Determine o valor de ∫_{0}^{1} (x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5) dx. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Para resolver a integral \(\int_{0}^{1} (x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5) \, dx\), vamos primeiro simplificar a expressão dentro da integral. Observe que a expressão \(x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5\) pode ser reescrita como um polinômio. Vamos calcular a integral: 1. Calcular a integral de cada termo: - \(\int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6}\) - \(\int -5x^4 \, dx = -\frac{5x^5}{5} = -x^5\) - \(\int 10x^3 \, dx = \frac{10x^4}{4} = \frac{5x^4}{2}\) - \(\int -10x^2 \, dx = -\frac{10x^3}{3}\) - \(\int 5 \, dx = 5x\) 2. Somar as integrais: \[ \int (x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5) \, dx = \left[\frac{x^6}{6} - x^5 + \frac{5x^4}{2} - \frac{10x^3}{3} + 5x\right] \] 3. Avaliar de 0 a 1: \[ \left[\frac{1^6}{6} - 1^5 + \frac{5 \cdot 1^4}{2} - \frac{10 \cdot 1^3}{3} + 5 \cdot 1\right] - \left[\frac{0^6}{6} - 0^5 + \frac{5 \cdot 0^4}{2} - \frac{10 \cdot 0^3}{3} + 5 \cdot 0\right] \] \[ = \left[\frac{1}{6} - 1 + \frac{5}{2} - \frac{10}{3} + 5\right] \] 4. Simplificar: - \(\frac{1}{6} - 1 + \frac{5}{2} - \frac{10}{3} + 5\) - Colocando tudo sobre um denominador comum (que é 6): \[ = \frac{1}{6} - \frac{6}{6} + \frac{15}{6} - \frac{20}{6} + \frac{30}{6} \] \[ = \frac{1 - 6 + 15 - 20 + 30}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \] Portanto, o valor da integral é \(\frac{10}{3}\). Assim, a resposta correta é D) 3.