Problema 32: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{4x^2 - 5} \). a) \( 0 \) b) \( 1 \) c) \( \frac{1}{2} \) d) \( \infty \)

Para determinar o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{4x^2 - 5} \), vamos analisar a expressão. 1. Identificar os termos dominantes: Quando \( x \) tende ao infinito, os termos \( 2x^2 \) e \( 4x^2 \) dominam os outros termos na fração. Portanto, podemos focar apenas nesses termos. 2. Simplificar a fração: Dividimos o numerador e o denominador pelo maior termo de \( x \), que é \( x^2 \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{4x^2 - 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{4 - \frac{5}{x^2}} \] 3. Calcular o limite: À medida que \( x \) tende ao infinito, \( \frac{3}{x^2} \) e \( \frac{5}{x^2} \) tendem a 0. Assim, a expressão se torna: \[ \frac{2 + 0}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Portanto, o limite é \( \frac{1}{2} \). A alternativa correta é: c) \( \frac{1}{2} \).