Para calcular a série de Taylor da função \(f(x) = \ln(1+x)\) em torno de \(x=0\) até o termo de \(x^4\), precisamos encontrar as derivadas da função e avaliá-las em \(x=0\). 1. Função e suas derivadas: - \(f(x) = \ln(1+x)\) - \(f'(x) = \frac{1}{1+x}\) - \(f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}\) - \(f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}\) - \(f^{(4)}(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}\) 2. Avaliar as derivadas em \(x=0\): - \(f(0) = \ln(1+0) = 0\) - \(f'(0) = 1\) - \(f''(0) = -1\) - \(f'''(0) = 2\) - \(f^{(4)}(0) = -6\) 3. Série de Taylor: A série de Taylor é dada por: \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \ldots \] Substituindo os valores: \[ f(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2}x^2 + \frac{2}{6}x^3 + \frac{-6}{24}x^4 \] Simplificando: \[ f(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \] Agora, analisando as alternativas: a) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\) - Correta b) \(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4}\) - Incorreta c) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{24}\) - Incorreta d) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4}\) - Incorreta Portanto, a alternativa correta é: a) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\).