Se z = 2 + 2i, qual é o valor de z^4? a) -16 + 16i b) 16 - 16i c) 16 + 16i d) -16 - 16i

Para calcular \( z^4 \) onde \( z = 2 + 2i \), podemos primeiro encontrar \( z^2 \) e depois elevar o resultado ao quadrado novamente. 1. Calcule \( z^2 \): \[ z^2 = (2 + 2i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 2i + (2i)^2 = 4 + 8i - 4 = 8i \] 2. Agora, calcule \( z^4 \): \[ z^4 = (z^2)^2 = (8i)^2 = 64i^2 = 64(-1) = -64 \] No entanto, parece que houve um erro na interpretação do problema, pois o resultado não está entre as opções. Vamos verificar novamente. Se calcularmos diretamente \( z^4 \) usando a forma polar ou a fórmula de De Moivre, podemos simplificar o processo. 1. Primeiro, escrevemos \( z \) na forma polar: \[ r = |z| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] O ângulo \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{2}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \] 2. Assim, podemos escrever \( z \) como: \[ z = 2\sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right) \] 3. Agora, usando a fórmula de De Moivre: \[ z^4 = (2\sqrt{2})^4 \left( \cos(4 \cdot \frac{\pi}{4}) + i\sin(4 \cdot \frac{\pi}{4}) \right) = 32 \left( \cos(\pi) + i\sin(\pi) \right) = 32(-1) = -32 \] Parece que ainda não encontramos a resposta correta. Vamos revisar as opções: Nenhuma das opções corresponde ao resultado que encontramos. Portanto, a resposta correta não está entre as alternativas fornecidas. Você pode precisar revisar o problema ou as opções.