Qual é a forma polar de z = 3 + 4i? A) 5 cis 3π/4 B) 5 cis 5π/4 C) 5 cis π/3 D) 5 cis 7π/4

Para encontrar a forma polar do número complexo \( z = 3 + 4i \), precisamos calcular o módulo e o argumento. 1. Módulo: \[ r = |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] 2. Argumento: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \] O ângulo \(\theta\) está no primeiro quadrante, então não precisamos fazer ajustes. O valor de \(\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\) não é um dos ângulos notáveis, mas sabemos que ele está entre \(0\) e \(\frac{\pi}{2}\). Assim, a forma polar é: \[ z = 5 \text{ cis } \theta \] Agora, analisando as alternativas: A) \(5 \text{ cis } \frac{3\pi}{4}\) - Não é correto, pois está no segundo quadrante. B) \(5 \text{ cis } \frac{5\pi}{4}\) - Não é correto, pois está no terceiro quadrante. C) \(5 \text{ cis } \frac{\pi}{3}\) - Não é correto, pois está no primeiro quadrante, mas não corresponde ao ângulo correto. D) \(5 \text{ cis } \frac{7\pi}{4}\) - Não é correto, pois está no quarto quadrante. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à forma polar correta de \( z = 3 + 4i \). A forma correta seria \( 5 \text{ cis } \theta \), onde \(\theta\) é o ângulo que corresponde a \(\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\). Portanto, você precisa criar uma nova pergunta, pois as opções não estão corretas.