Seja A=×[2 1 -1 3] então A-1 + At é igual a

Para resolver a questão, precisamos primeiro entender a matriz \( A \) e calcular \( A^{-1} \) (a inversa de \( A \)) e \( A^T \) (a transposta de \( A \)). Dada a matriz \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \): 1. Calcular a inversa \( A^{-1} \): A fórmula para a inversa de uma matriz \( 2 \times 2 \) é: \[ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \] onde \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \). Para \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \): - \( a = 2, b = 1, c = -1, d = 3 \) - O determinante \( det(A) = ad - bc = (2)(3) - (1)(-1) = 6 + 1 = 7 \). Portanto, \[ A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{7} & -\frac{1}{7} \\ \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix} \] 2. Calcular a transposta \( A^T \): A transposta de \( A \) é obtida trocando suas linhas por colunas: \[ A^T = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \] 3. Somar \( A^{-1} + A^T \): Agora, somamos as duas matrizes: \[ A^{-1} + A^T = \begin{bmatrix} \frac{3}{7} & -\frac{1}{7} \\ \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \] Para somar, precisamos que as matrizes tenham o mesmo denominador: \[ = \begin{bmatrix} \frac{3}{7} + \frac{14}{7} & -\frac{1}{7} - \frac{7}{7} \\ \frac{1}{7} + \frac{7}{7} & \frac{2}{7} + \frac{21}{7} \end{bmatrix} \] \[ = \begin{bmatrix} \frac{17}{7} & -\frac{8}{7} \\ \frac{8}{7} & \frac{23}{7} \end{bmatrix} \] Portanto, \( A^{-1} + A^T = \begin{bmatrix} \frac{17}{7} & -\frac{8}{7} \\ \frac{8}{7} & \frac{23}{7} \end{bmatrix} \).