Para determinar qual das funções apresentadas é uma métrica em \( \mathbb{R}^2 \), precisamos lembrar que uma métrica deve satisfazer as seguintes propriedades: 1. Não negatividade: \( d(P, Q) \geq 0 \) para todo \( P \) e \( Q \). 2. Identidade: \( d(P, Q) = 0 \) se e somente se \( P = Q \). 3. Simetria: \( d(P, Q) = d(Q, P) \). 4. Desigualdade triangular: \( d(P, R) \leq d(P, Q) + d(Q, R) \) para todos os pontos \( P, Q, R \). Vamos analisar as opções: A) \( d(P,Q) = (x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 \) - Esta é a fórmula da distância euclidiana ao quadrado, que não é uma métrica porque não satisfaz a propriedade de não negatividade (não é zero apenas quando \( P = Q \)). B) \( d(P,Q) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| \) - Esta é a distância de Manhattan, que é uma métrica válida, pois satisfaz todas as propriedades. C) \( d(P,Q) = ||x_1 - y_1| - |x_2 - y_2|| \) - Esta não é uma métrica, pois não satisfaz a desigualdade triangular. D) \( d(P,Q) = \sup\{|x_i - y_i|; i = 1 \text{ ou } 2\} \) - Esta é a métrica do máximo, que também é válida. E) \( d(P,Q) = \begin{cases} 1 & \text{se } P = Q \\ 0 & \text{se } P \neq Q \end{cases} \) - Esta não é uma métrica, pois não satisfaz a propriedade de identidade. Portanto, as opções B e D são métricas válidas. No entanto, como a pergunta pede uma única resposta, a mais comum e reconhecida é a B. A resposta correta é: B.