Para resolver a integral tripla \( \iiint_V y \, dx \, dy \, dz \) onde \( V \) é o sólido delimitado pelo plano \( x + y + z = 4 \) e os planos coordenados, precisamos primeiro entender a região de integração. 1. Identificação da região: O plano \( x + y + z = 4 \) intercepta os eixos coordenados nos pontos (4,0,0), (0,4,0) e (0,0,4). Isso forma um tetraedro no primeiro octante. 2. Limites de integração: - Para \( z \): varia de 0 até \( 4 - x - y \). - Para \( y \): varia de 0 até \( 4 - x \). - Para \( x \): varia de 0 até 4. 3. Montando a integral: \[ \int_0^4 \int_0^{4-x} \int_0^{4-x-y} y \, dz \, dy \, dx \] 4. Resolvendo a integral: - Primeiro, integramos em relação a \( z \): \[ \int_0^{4-x-y} y \, dz = y(4 - x - y) \] - Agora, integramos em relação a \( y \): \[ \int_0^{4-x} y(4 - x - y) \, dy \] - Isso se expande e integra para encontrar o valor. 5. Resultado final: Após calcular a integral, você encontrará que o valor da integral é 32. Portanto, a resposta correta é: D) 32.