Dada a função f(x,y) = x2 + y2 - 6x – 2y + 7. Assinale a alternativa que apresenta o ponto crítico dessa função e sua correta classificação:

Question

Ed · Answer

Para encontrar o ponto crítico da função $ f(x,y) = x^2 + y^2 - 6x - 2y + 7 $, precisamos calcular as derivadas parciais e igualá-las a zero.

1. **Derivadas parciais**:
   - $ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 6 $
   - $ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2y - 2 $

2. **Igualando as derivadas a zero**:
   - $ 2x - 6 = 0 $  →  $ x = 3 $
   - $ 2y - 2 = 0 $  →  $ y = 1 $

Portanto, o ponto crítico é $ (3, 1) $.

3. **Classificação do ponto crítico**:
Para classificar o ponto crítico, calculamos a matriz Hessiana $ H $:

- $ f_{xx} = 2 $
- $ f_{yy} = 2 $
- $ f_{xy} = 0 $

A matriz Hessiana é:

$$
H = \begin{bmatrix}
f_{xx} & f_{xy} \
f_{xy} & f_{yy}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 & 0 \
0 & 2
\end{bmatrix}
$$

O determinante de $ H $ é:

$$
D = f_{xx} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4
$$

Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, o ponto $ (3, 1) $ é um **mínimo local**.

**Resposta final**: O ponto crítico é $ (3, 1) $ e é um mínimo local.

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