Para resolver a equação diferencial \( y' + y = x + 5 \) com a condição inicial \( y(0) = 2 \) usando o método de Euler melhorado (ou método de Heun), siga os passos abaixo: 1. Defina a função: A equação pode ser reescrita como \( y' = x + 5 - y \). 2. Escolha o passo: Aqui, \( h = 0,1 \). 3. Calcule os pontos: A malha de [0; 1] com \( h = 0,1 \) resulta nos pontos \( x_0 = 0, x_1 = 0,1, x_2 = 0,2, x_3 = 0,3, x_4 = 0,4, x_5 = 0,5, x_6 = 0,6, x_7 = 0,7, x_8 = 0,8, x_9 = 0,9, x_{10} = 1 \). 4. Aproximações: - Passo 0: \( x_0 = 0, y_0 = 2 \) - Passo 1: - \( k_1 = f(x_0, y_0) = 0 + 5 - 2 = 3 \) - \( y_{1}^{*} = y_0 + h \cdot k_1 = 2 + 0,1 \cdot 3 = 2,3 \) - \( k_2 = f(x_1, y_{1}^{*}) = 0,1 + 5 - 2,3 = 2,8 \) - \( y_1 = y_0 + \frac{h}{2} (k_1 + k_2) = 2 + 0,05(3 + 2,8) = 2 + 0,29 = 2,29 \) - Passo 2: - \( k_1 = f(x_1, y_1) = 0,1 + 5 - 2,29 = 2,81 \) - \( y_{2}^{*} = y_1 + h \cdot k_1 = 2,29 + 0,1 \cdot 2,81 = 2,57 \) - \( k_2 = f(x_2, y_{2}^{*}) = 0,2 + 5 - 2,57 = 2,63 \) - \( y_2 = y_1 + \frac{h}{2} (k_1 + k_2) = 2,29 + 0,05(2,81 + 2,63) = 2,29 + 0,22 = 2,51 \) - Passo 3: - \( k_1 = f(x_2, y_2) = 0,2 + 5 - 2,51 = 2,69 \) - \( y_{3}^{*} = y_2 + h \cdot k_1 = 2,51 + 0,1 \cdot 2,69 = 2,78 \) - \( k_2 = f(x_3, y_{3}^{*}) = 0,3 + 5 - 2,78 = 2,52 \) - \( y_3 = y_2 + \frac{h}{2} (k_1 + k_2) = 2,51 + 0,05(2,69 + 2,52) = 2,51 + 0,22 = 2,73 \) - Passo 4: - \( k_1 = f(x_3, y_3) = 0,3 + 5 - 2,73 = 2,57 \) - \( y_{4}^{*} = y_3 + h \cdot k_1 = 2,73 + 0,1 \cdot 2,57 = 2,99 \) - \( k_2 = f(x_4, y_{4}^{*}) = 0,4 + 5 - 2,99 = 2,41 \) - \( y_4 = y_3 + \frac{h}{2} (k_1 + k_2) = 2,73 + 0,05(2,57 + 2,41) = 2,73 + 0,1 = 2,83 \) 5. Resultados: - \( y_0 = 2 \) - \( y_1 \approx 2,29 \) - \( y_2 \approx 2,51 \) - \( y_3 \approx 2,73 \) - \( y_4 \approx 2,83 \) Essas são as aproximações para a solução do problema utilizando o método de Euler melhorado.