Achar a solução exata PV I: y′ + 8y = ex com y(0) = 3

Para resolver a equação diferencial \( y' + 8y = e^x \) com a condição inicial \( y(0) = 3 \), seguimos os seguintes passos: 1. Identificar a equação: É uma equação diferencial linear de primeira ordem. 2. Encontrar o fator integrante: O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por: \[ \mu(x) = e^{\int 8 \, dx} = e^{8x} \] 3. Multiplicar a equação pela fator integrante: \[ e^{8x}y' + 8e^{8x}y = e^{9x} \] 4. Reescrever a equação: \[ \frac{d}{dx}(e^{8x}y) = e^{9x} \] 5. Integrar ambos os lados: \[ e^{8x}y = \int e^{9x} \, dx = \frac{1}{9}e^{9x} + C \] 6. Isolar \( y \): \[ y = \frac{1}{9}e^{x} + Ce^{-8x} \] 7. Aplicar a condição inicial \( y(0) = 3 \): \[ 3 = \frac{1}{9}e^{0} + Ce^{0} \implies 3 = \frac{1}{9} + C \implies C = 3 - \frac{1}{9} = \frac{26}{9} \] 8. Solução final: \[ y = \frac{1}{9}e^{x} + \frac{26}{9}e^{-8x} \] Essa é a solução exata da equação diferencial dada.