Exercício 3 Determine as coordenadas do vértice e as equações dos eixos de simetria da superfície cônica 3x² + 5y² − z² − 3x + 2y − z + 7/10 = 0.

Para determinar as coordenadas do vértice e as equações dos eixos de simetria da superfície cônica dada pela equação \(3x² + 5y² - z² - 3x + 2y - z + \frac{7}{10} = 0\), vamos seguir os passos: 1. Reorganizar a equação: \[ 3x² - 3x + 5y² + 2y - z² - z + \frac{7}{10} = 0 \] 2. Completar o quadrado para as variáveis \(x\) e \(y\): - Para \(x\): \[ 3(x² - x) = 3\left((x - \frac{1}{2})² - \frac{1}{4}\right) = 3(x - \frac{1}{2})² - \frac{3}{4} \] - Para \(y\): \[ 5(y² + \frac{2}{5}y) = 5\left((y + \frac{1}{5})² - \frac{1}{25}\right) = 5(y + \frac{1}{5})² - \frac{1}{5} \] 3. Substituir na equação: \[ 3\left(x - \frac{1}{2}\right)² - \frac{3}{4} + 5\left(y + \frac{1}{5}\right)² - \frac{1}{5} - z² - z + \frac{7}{10} = 0 \] 4. Simplificar: \[ 3\left(x - \frac{1}{2}\right)² + 5\left(y + \frac{1}{5}\right)² - z² - z + \left(-\frac{3}{4} - \frac{1}{5} + \frac{7}{10}\right) = 0 \] Calculando a constante: \[ -\frac{3}{4} - \frac{1}{5} + \frac{7}{10} = -\frac{15}{20} - \frac{4}{20} + \frac{14}{20} = -\frac{5}{20} = -\frac{1}{4} \] Assim, a equação fica: \[ 3\left(x - \frac{1}{2}\right)² + 5\left(y + \frac{1}{5}\right)² - z² - z - \frac{1}{4} = 0 \] 5. Identificar o vértice: O vértice da superfície cônica é dado por: \[ \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{5}, -\frac{1}{2}\right) \] 6. Eixos de simetria: - O eixo de simetria em relação a \(z\) é \(z = k\), onde \(k\) é uma constante. - Os eixos de simetria em relação a \(x\) e \(y\) são dados pelas equações \(x = \frac{1}{2}\) e \(y = -\frac{1}{5}\). Resumindo: - Coordenadas do vértice: \(\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{5}, -\frac{1}{2}\right)\) - Eixos de simetria: \(x = \frac{1}{2}\), \(y = -\frac{1}{5}\) e \(z = k\) (onde \(k\) é uma constante).