7) Quais o valores de k para os quais (2,k), (14,-3) e (k,3) são colineares:

Para que os pontos \((2, k)\), \((14, -3)\) e \((k, 3)\) sejam colineares, a área do triângulo formado por eles deve ser igual a zero. Podemos usar a fórmula da área de um triângulo com vértices em coordenadas: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Substituindo os pontos: - \( (x_1, y_1) = (2, k) \) - \( (x_2, y_2) = (14, -3) \) - \( (x_3, y_3) = (k, 3) \) A área será: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| 2(-3 - 3) + 14(3 - k) + k(k - (-3)) \right| = 0 \] Simplificando: \[ \frac{1}{2} \left| 2(-6) + 14(3 - k) + k(k + 3) \right| = 0 \] \[ \left| -12 + 42 - 14k + k^2 + 3k \right| = 0 \] \[ \left| k^2 - 11k + 30 \right| = 0 \] Agora, resolvemos a equação quadrática: \[ k^2 - 11k + 30 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} \] \[ k = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2} = \frac{11 \pm 1}{2} \] Assim, temos duas soluções: \[ k_1 = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{e} \quad k_2 = \frac{10}{2} = 5 \] Portanto, os valores de \(k\) para os quais os pontos são colineares são \(k = 5\) e \(k = 6\).