determine a distancia entre a reta x/2 = y/2 = z0-/1 e o ponto P (0, 2, 0)

Para determinar la distancia entre la recta \( \frac{x}{2} = \frac{y}{2} = z - 1 \) y el punto \( P(0, 2, 0) \), primero necesitamos encontrar la ecuación paramétrica de la recta. La recta se puede parametrizar como: - \( x = 2t \) - \( y = 2t \) - \( z = t + 1 \) Donde \( t \) es el parámetro. Ahora, el punto \( P(0, 2, 0) \) tiene coordenadas \( (0, 2, 0) \). Para encontrar la distancia desde el punto a la recta, utilizamos la fórmula de la distancia entre un punto y una recta en el espacio tridimensional. La distancia \( d \) se puede calcular como: \[ d = \frac{| \vec{AP} \cdot \vec{n} |}{|\vec{n}|} \] Donde: - \( \vec{A} \) es un punto en la recta (por ejemplo, cuando \( t = 0 \), \( A(0, 0, 1) \)). - \( \vec{P} \) es el punto \( (0, 2, 0) \). - \( \vec{n} \) es un vector director de la recta, que en este caso es \( (2, 2, 1) \). 1. Calculamos \( \vec{AP} = \vec{P} - \vec{A} = (0, 2, 0) - (0, 0, 1) = (0, 2, -1) \). 2. Calculamos el producto punto \( \vec{AP} \cdot \vec{n} = (0, 2, -1) \cdot (2, 2, 1) = 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 = 4 - 1 = 3 \). 3. Calculamos la magnitud de \( \vec{n} \): \( |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \). 4. Finalmente, calculamos la distancia: \[ d = \frac{|3|}{3} = 1 \] Por lo tanto, la distancia entre la recta y el punto \( P(0, 2, 0) \) es \( 1 \).