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Sobre estas estruturas, assinale a alternativa correta:

A B={x∈Q; x∉Z} é subanel de Q.
B ZZ é um ideal de Q.
C B={[abc0]∈M2(R)} é subanel de M2(R).
D I={f:R→R; f(0)=0} é ideal do anel das funções F(R,R).
E Se II é um ideal do anel (A,+,⋅), então II é subanel de (A,+,⋅).
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Questões Estruturas Algébricas
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há 6 meses

Vamos analisar cada uma das alternativas para determinar qual é a correta: A) \( B = \{x \in \mathbb{Q}; x \notin \mathbb{Z}\} \) é subanel de \( \mathbb{Q} \). FALSO. Um subanel deve conter o elemento neutro (0) e ser fechado sob adição e multiplicação. Como \( B \) não contém todos os inteiros, não é um subanel. B) \( \mathbb{Z} \mathbb{Z} \) é um ideal de \( \mathbb{Q} \). FALSO. O conjunto \( \mathbb{Z} \) não é um ideal em \( \mathbb{Q} \) porque não é fechado sob multiplicação por elementos de \( \mathbb{Q} \). C) \( B = \{[abc0] \in M_2(\mathbb{R})\} \) é subanel de \( M_2(\mathbb{R}) \). FALSO. O conjunto de matrizes da forma \( [abc0] \) não é fechado sob multiplicação, pois a multiplicação de duas matrizes dessa forma pode resultar em uma matriz que não está na mesma forma. D) \( I = \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}; f(0) = 0\} \) é ideal do anel das funções \( F(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \). VERDADEIRO. Este conjunto é um ideal, pois é fechado sob adição e multiplicação por funções em \( F(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \). E) Se \( II \) é um ideal do anel \( (A, +, \cdot) \), então \( II \) é subanel de \( (A, +, \cdot) \). FALSO. Um ideal não é necessariamente um subanel, pois um ideal não precisa conter o elemento inverso multiplicativo. Portanto, a alternativa correta é a D) \( I = \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}; f(0) = 0\} \) é ideal do anel das funções \( F(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \).

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Analisando as afirmações sobre as estruturas apresentadas: A) B={x∈Q; x∉Z} é subanel de Q. Para ser um subanel, B deve ser um subconjunto de Q, fechado para adição e multiplicação, e conter o elemento neutro da adição. No entanto, como B é definido como os números racionais que não são inteiros, não é fechado para multiplicação, pois a multiplicação de dois números racionais que não são inteiros pode resultar em um número inteiro. Portanto, essa afirmação é falsa. B) ZZ é um ideal de Q. O conjunto dos números inteiros (ZZ) é um subanel e um ideal de Q, pois é fechado para adição e multiplicação, contém o elemento neutro da adição e é fechado para inversos aditivos. Portanto, essa afirmação é verdadeira. C) B={[abc0]∈M2(R)} é subanel de M2(R). Para ser um subanel de M2(R), B deve ser um subconjunto de M2(R), fechado para adição e multiplicação, e conter o elemento neutro da adição. No entanto, a condição dada para B não garante que seja fechado para multiplicação, pois a multiplicação de duas matrizes que satisfazem a condição pode resultar em uma matriz que não satisfaz a condição. Portanto, essa afirmação é falsa. D) I={f:R→R; f(0)=0} é ideal do anel das funções F(R,R). Para ser um ideal, I deve ser um subconjunto de F(R,R), fechado para adição e multiplicação por elementos de F(R,R). Além disso, I deve ser fechado para multiplicação por elementos de R. Como a condição dada para I não garante que seja fechado para multiplicação por elementos de R, essa afirmação é falsa. E) Se II é um ideal do anel (A,+,⋅), então II é subanel de (A,+,⋅). Essa afirmação é verdadeira, pois todo ideal de um anel é também um subanel desse anel. Portanto, a alternativa correta é: B) ZZ é um ideal de Q.

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Questão 1/10 - Álgebra Moderna
A noção de ideal foi introduzida no final do século XIX pelo matemático alemão Richard Dedekind. Os ideais formam uma classe especial de subanéis e surgiram como ferramenta para o estudo da Teoria dos Números. Sobre esta noção, é correto afirmar
A ZZ é ideal de Q.Q.
B ZZ é ideal de R.R.
C QQ é ideal de R.R.
D J={(u0v0)∈M2(R)}J={(u0v0)∈M2(R)} é ideal de M2(R).M2(R).
E 2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é ideal de Z.Z.

a) ZZ é ideal de Q.Q.
b) ZZ é ideal de R.R.
c) QQ é ideal de R.R.
d) J={(u0v0)∈M2(R)}J={(u0v0)∈M2(R)} é ideal de M2(R).M2(R).
e) 2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é ideal de Z.Z.

Questão 2/10 - Álgebra Moderna
Leia o enunciado a seguir:
Dois subconjuntos especiais de anéis são os subanéis e os ideais. Sobre estas estruturas e considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, assinale a alternativa correta:
A B={x∈Q; x∉Z}B={x∈Q; x∉Z} é subanel de Q.Q.
B ZZ é um ideal de Q.Q.
C B={[abc0]∈M2(R)}B={[abc0]∈M2(R)} é subanel de M2(R).M2(R).
D I={f:R→R; f(0)=0}I={f:R→R; f(0)=0} é ideal do anel das funções F(R,R).F(R,R).

a) B={x∈Q; x∉Z}B={x∈Q; x∉Z} é subanel de Q.Q.
b) ZZ é um ideal de Q.Q.
c) B={[abc0]∈M2(R)}B={[abc0]∈M2(R)} é subanel de M2(R).M2(R).
d) I={f:R→R; f(0)=0}I={f:R→R; f(0)=0} é ideal do anel das funções F(R,R).F(R,R).

Questão 4/10 - Álgebra Moderna
A estrutura algébrica de um conjunto com operações é a denominação dada ao conjunto em função dos axiomas satisfeitos pelas operações. Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. ( ) Todo domínio de integridade é anel.
II. ( ) Se KK é corpo, então KK é domínio de integridade.
III. ( ) Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero.
Agora, marque a sequência correta:
A V, V, V.

a) V, V, V.

Questão 5/10 - Álgebra Moderna
Considere o anel R[x]R[x] dos polinômios com coeficientes reais na variável x.x. Com base neste anel, analise as afirmativas:
I. O polinômio nulo p(x)=0p(x)=0 é o elemento neutro da adição do anel R[x].R[x].
II. O elemento simétrico do polinômio p(x)∈R[x]p(x)∈R[x] é o polinômio −p(x).−p(x).
III. Efetuando a multiplicação do polinômio p(x)=1+xp(x)=1+x pelo polinômio q(x)=2+x+x2,q(x)=2+x+x2, obtemos o polinômio p(x)⋅q(x)=2+3x+x2+x3.p(x)⋅q(x)=2+3x+x2+x3.
São corretas as afirmativas:
A I, apenas.
B I e II, apenas.

a) I, apenas.
b) I e II, apenas.

Questão 6/10 - Álgebra Moderna
Leia o enunciado a seguir:
Considere (A,+,⋅)(A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂AB⊂A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
(i) se a,b∈Ba,b∈B, então a+b∈Ba+b∈B e a⋅b∈Ba⋅b∈B;
(ii) (B,+,⋅)(B,+,⋅) é um anel.
Diante disso e dos conteúdos adquiridos nas aulas, leia as afirmativas a seguir e assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa.
I. ( ) Com as operações usuais, ZZ é um subanel de R.R.
II. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B={2k; k∈Z}B={2k; k∈Z} é subanel de Z.Z.
III. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares C={2k+1;k∈Z}C={2k+1;k∈Z} é subanel de Z.Z.
Agora, marque a sequência correta:
A V - V - V.

a) V - V - V.

Questão 8/10 - Álgebra Moderna
Considere (A,+,⋅)(A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂AB⊂A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
(i) se a,b∈Ba,b∈B, então a+b∈Ba+b∈B e a⋅b∈Ba⋅b∈B;
(ii) (B,+,⋅)(B,+,⋅) é um anel.
Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. ( ) Com as operações usuais, ZZ é um subanel de R.R.
II. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B={2k; k∈Z}B={2k; k∈Z} é subanel de Z.Z.
III. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares C={2k+1;k∈Z}C={2k+1;k∈Z} é subanel de Z.Z.
Agora, marque a sequência correta:
A V, V, V.

a) V, V, V.

Questão 9/10 - Álgebra Moderna
Leia o enunciado abaixo e responda de acordo com as informações contidas nele e com os conteúdos estudados nas aulas:
Considere o polinômio p(x)=x3+5x2−22x−56p(x)=x3+5x2−22x−56. Assinale a alternativa que contém as raízes reais de p(x)p(x):
A 2, 4 e 7.
B -7, -4 e 2.
C -2, 4 e 7.
D -7, -4 e -2.
E -7, -2 e 4.

a) 2, 4 e 7.
b) -7, -4 e 2.
c) -2, 4 e 7.
d) -7, -4 e -2.
e) -7, -2 e 4.

Questão 10/10 - Álgebra Moderna
O subconjunto BB do anel (A,+,⋅)(A,+,⋅) é subanel de AA quando a−b∈B e a⋅b∈Ba−b∈B e a⋅b∈B para todos a,b∈B.a,b∈B. Com base nessa estrutura, analise as afirmativas:
I. ZZ é um subanel de Q.Q.
II. L={f∈A; f(1)=1}L={f∈A; f(1)=1} é subanel de A=F(R,R).A=F(R,R).
III. 2Z={2x; x∈Z}2

a) ZZ é um subanel de Q.Q.
b) L={f∈A; f(1)=1}L={f∈A; f(1)=1} é subanel de A=F(R,R).A=F(R,R}.
c) 2Z={2x; x∈Z}2

Z={2x; x∈Z} é subanel de Z.Z. São corretas as afirmativas:
I. I, apenas.
II. I e III, apenas.
A I, apenas.
B I e II, apenas.
C I e III, apenas.
D II, apenas.
E II e III, apenas.

A estrutura algébrica de um conjunto com operações é a denominação dada ao conjunto em função dos axiomas satisfeitos pelas operações. Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. Todo domínio de integridade é anel.
II. Se KK é corpo, então KK é domínio de integridade.
III. Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero.
A V, V, V.
B V, F, V.
C V, V, F.
D V, F, F.
E F, V, V.

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