83. Calcule o valor da integral definida ∫(0 até 1) (x e^x) dx.

Para calcular a integral definida \(\int_{0}^{1} x e^x \, dx\), podemos usar o método de integração por partes. Vamos definir: - \(u = x\) \(\Rightarrow du = dx\) - \(dv = e^x dx\) \(\Rightarrow v = e^x\) Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo os valores: \[ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx \] A integral de \(e^x\) é \(e^x\), então temos: \[ \int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C \] Agora, precisamos calcular a integral definida de \(0\) a \(1\): \[ \int_{0}^{1} x e^x \, dx = \left[ x e^x - e^x \right]_{0}^{1} \] Calculando os limites: 1. Para \(x = 1\): \[ 1 \cdot e^1 - e^1 = e - e = 0 \] 2. Para \(x = 0\): \[ 0 \cdot e^0 - e^0 = 0 - 1 = -1 \] Agora, subtraímos os resultados: \[ 0 - (-1) = 1 \] Portanto, o valor da integral definida \(\int_{0}^{1} x e^x \, dx\) é \(1\).