Determine o valor da série infinita ∑_{n=1}^{∞} 1/(n(n^2 + 1)). a) π/4 - 1 b) π/2 - 1 c) π - 1

Para determinar o valor da série infinita ∑_{n=1}^{∞} 1/(n(n^2 + 1)), é necessário analisar a convergência da série. Ao observar a série, percebemos que se trata de uma série telescópica, onde podemos decompor a expressão 1/(n(n^2 + 1)) em frações parciais. Realizando a decomposição em frações parciais, obtemos a forma: 1/(n(n^2 + 1)) = A/n + B/(n^2 + 1) Multiplicando os dois lados por n(n^2 + 1), temos: 1 = A(n^2 + 1) + Bn Para encontrar os valores de A e B, podemos substituir n=0 e n=1, o que resulta em um sistema de equações que nos leva a A=1/2 e B=-1/2. Assim, a série pode ser reescrita como: ∑_{n=1}^{∞} 1/(n(n^2 + 1)) = ∑_{n=1}^{∞} (1/2n - 1/2(n^2 + 1)) Agora, podemos separar a série em duas séries conhecidas: ∑_{n=1}^{∞} 1/2n - ∑_{n=1}^{∞} 1/2(n^2 + 1) A primeira série é a série harmônica alternada, que converge para ln(2), e a segunda série é uma série telescópica que converge para 1/2. Portanto, a soma da série infinita é ln(2) - 1/2. Analisando as alternativas fornecidas: a) π/4 - 1 b) π/2 - 1 c) π - 1 Nenhuma das alternativas corresponde ao valor correto encontrado para a série.