6) Com os dígitos 1,2,3,4,5 são formados números de 4 algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de ele ser: a) Par? b) Ímpar?

Question

6) Com os dígitos 1,2,3,4,5 são formados números de 4 algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de ele ser: a) Par?...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos analisar a formação dos números de 4 algarismos distintos com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5.

1. **Total de números de 4 algarismos distintos**: 
   Para formar um número de 4 algarismos, escolhemos 4 dígitos dos 5 disponíveis. O número de maneiras de escolher 4 dígitos é dado por $ \binom{5}{4} = 5 $. Para cada escolha de 4 dígitos, podemos permutá-los de $ 4! = 24 $ maneiras. Portanto, o total de números de 4 algarismos distintos é:
   $$
   5 \times 24 = 120
   $$

2. **Números pares**: 
   Um número é par se seu último dígito for 2 ou 4. Vamos calcular a quantidade de números pares:
   - Se o último dígito for 2, os dígitos restantes são 1, 3, 4 e 5. Podemos escolher 3 dígitos entre eles, que podem ser organizados de $ 3! = 6 $ maneiras. Portanto, temos:
     $$
     1 \times 6 = 6 \text{ números}
     $$
   - Se o último dígito for 4, os dígitos restantes são 1, 2, 3 e 5. Novamente, podemos escolher 3 dígitos entre eles, que também podem ser organizados de $ 3! = 6 $ maneiras. Portanto, temos:
     $$
     1 \times 6 = 6 \text{ números}
     $$
   - Total de números pares: $ 6 + 6 = 12 $.

3. **Probabilidade de ser par**:
   A probabilidade de escolher um número par é dada pela razão entre o número de números pares e o total de números:
   $$
   P(\text{par}) = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}
   $$

4. **Números ímpares**:
   Um número é ímpar se seu último dígito for 1, 3 ou 5. Vamos calcular a quantidade de números ímpares:
   - Se o último dígito for 1, os dígitos restantes são 2, 3, 4 e 5. Podemos escolher 3 dígitos entre eles, que podem ser organizados de $ 3! = 6 $ maneiras. Portanto, temos:
     $$
     1 \times 6 = 6 \text{ números}
     $$
   - Se o último dígito for 3, os dígitos restantes são 1, 2, 4 e 5. Novamente, podemos escolher 3 dígitos entre eles, que também podem ser organizados de $ 3! = 6 $ maneiras. Portanto, temos:
     $$
     1 \times 6 = 6 \text{ números}
     $$
   - Se o último dígito for 5, os dígitos restantes são 1, 2, 3 e 4. Novamente, podemos escolher 3 dígitos entre eles, que também podem ser organizados de $ 3! = 6 $ maneiras. Portanto, temos:
     $$
     1 \times 6 = 6 \text{ números}
     $$
   - Total de números ímpares: $ 6 + 6 + 6 = 18 $.

5. **Probabilidade de ser ímpar**:
   A probabilidade de escolher um número ímpar é dada pela razão entre o número de números ímpares e o total de números:
   $$
   P(\text{ímpar}) = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}
   $$

Resumindo:
- A probabilidade de o número ser par é $ \frac{1}{10} $.
- A probabilidade de o número ser ímpar é $ \frac{3}{20} $.

Ed · Answer

Para resolver essa questão, primeiro precisamos determinar quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5.

Como são 5 dígitos disponíveis e queremos formar números de 4 algarismos distintos, podemos usar a permutação, que é dada por P(n, k) = n! / (n - k)!. Neste caso, temos P(5, 4) = 5! / (5 - 4)! = 5! / 1! = 5 x 4 x 3 x 2 = 120.

Portanto, existem 120 números de 4 algarismos distintos que podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5.

a) Para determinar a probabilidade de escolher um número par, precisamos contar quantos desses números são pares. Com os dígitos disponíveis, os números pares possíveis são aqueles que terminam em 2 ou 4. Ou seja, 2 e 4 são as opções para a última posição.

Para as outras posições, temos 4 opções para a primeira, 3 para a segunda e 2 para a terceira, pois não podemos repetir os dígitos.

Portanto, o total de números pares que podem ser formados é 2 x 4 x 3 x 2 = 48.

Assim, a probabilidade de escolher um número par é 48/120 = 2/5 = 0,4 ou 40%.

b) Da mesma forma, para os números ímpares, temos as opções 1, 3 e 5 para a última posição. Então, o total de números ímpares que podem ser formados é 3 x 4 x 3 x 2 = 72.

Logo, a probabilidade de escolher um número ímpar é 72/120 = 3/5 = 0,6 ou 60%.

Portanto, a resposta correta para a questão é:
a) A probabilidade de escolher um número par é 40%.
b) A probabilidade de escolher um número ímpar é 60%.

Matemática

Lista 2 - Probabilidade

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