4) Quais as equações reduzidas da reta s que passa pelo ponto A (-2, 1, 0) e é paralela à reta r (Resp.: y = 4x + 9 e z = - x – 2)

Para encontrar as equações reduzidas da reta \( s \) que passa pelo ponto \( A(-2, 1, 0) \) e é paralela à reta \( r \), precisamos primeiro entender a direção da reta \( r \). As equações dadas para a reta \( r \) são \( y = 4x + 9 \) e \( z = -x - 2 \). A partir dessas equações, podemos identificar o vetor diretor da reta \( r \). 1. Identificando o vetor diretor da reta \( r \): - A equação \( y = 4x + 9 \) indica que para cada unidade que \( x \) aumenta, \( y \) aumenta 4 unidades. Portanto, a componente \( y \) do vetor diretor é 4. - A equação \( z = -x - 2 \) indica que para cada unidade que \( x \) aumenta, \( z \) diminui 1 unidade. Portanto, a componente \( z \) do vetor diretor é -1. Assim, o vetor diretor da reta \( r \) é \( \vec{d} = (1, 4, -1) \). 2. Equação da reta \( s \): A reta \( s \) passa pelo ponto \( A(-2, 1, 0) \) e tem o mesmo vetor diretor \( \vec{d} \). A forma paramétrica da reta \( s \) pode ser escrita como: \[ \begin{cases} x = -2 + t \\ y = 1 + 4t \\ z = 0 - t \end{cases} \] 3. Equações reduzidas: Para encontrar as equações reduzidas, podemos eliminar o parâmetro \( t \): - Da equação \( x = -2 + t \), temos \( t = x + 2 \). - Substituindo \( t \) nas equações de \( y \) e \( z \): \[ y = 1 + 4(x + 2) = 1 + 4x + 8 = 4x + 9 \] \[ z = 0 - (x + 2) = -x - 2 \] Portanto, as equações reduzidas da reta \( s \) são: \[ y = 4x + 9 \quad \text{e} \quad z = -x - 2 \] Essas são as equações que você procurava!