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Álgebra Linear

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Sendo I a matriz identidade de ordem 2, A = [ 1 1 –1 1 ] e B = [ √3/2 1/2 1/2 – √3/2 ] , considere as afirmativas a seguir:
1. A + At = 2 . I
2. det (A . B) = – √3
3. B2007 = B
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
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há 2 anos

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Respostas

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há 2 anos

Vamos analisar cada afirmativa: 1. A + At = 2 . I Calculando a transposta de A (At) e somando com A, temos: A = [ 1 1 ; -1 1 ] e At = [ 1 -1 ; 1 1 ] A + At = [ 1 1 ; -1 1 ] + [ 1 -1 ; 1 1 ] = [ 2 0 ; 0 2 ] Multiplicando 2 pela matriz identidade de ordem 2, obtemos: 2 . I = 2 . [ 1 0 ; 0 1 ] = [ 2 0 ; 0 2 ] Portanto, a afirmativa 1 é verdadeira. 2. det (A . B) = – √3 Para calcular o determinante do produto de A por B, precisamos realizar a multiplicação das matrizes e então calcular o determinante: A . B = [ 1 1 ; -1 1 ] . [ √3/2 1/2 ; 1/2 -√3/2 ] A . B = [ √3/2 + 1/2 1/2 - √3/2 ; -√3/2 + 1/2 -√3/2 - 1/2 ] A . B = [ 1 -√3 ; -2 -√3/2 ] det (A . B) = (1 * -√3) - (-√3 * -2) = -√3 + 2√3 = √3 Portanto, a afirmativa 2 é falsa. 3. B2007 = B Como a matriz B é uma matriz fixa, elevar a matriz B a qualquer potência não irá alterá-la. Portanto, a afirmativa 3 é verdadeira. Assim, a resposta correta é: d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

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1. (PUC-RS) Dada a matriz A = 1 1
1 1 e a função f, definida no conjunto das matrizes 2 x 2 por f(x) = x2 – 2x, então f(A) é:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .

2. (UFG) Um modelo matemático usado para a ampliação de uma imagem consiste em considerar uma transformação linear dada pela multiplicação de uma matriz escala Es por uma matriz coluna A, compostas pelas coordenadas do ponto P, que forma a imagem que será ampliada. Considerando as matrizes A e Es dadas por A = x y e Es = Ex 0 0 Ey em que Ex e Ey são fatores multiplicativos que indicam a mudança da escala, então a matriz Q que indica as novas coordenadas do ponto P, obtidas pela multiplicação das matrizes Es e A, é:
a) xEx yEy.
b) Ex + x Ey + y.
c) yEx xEy.
d) xEx 0 0 yEy.
e) Ex x y Ey.
alternativas

2. (UFC) O valor 2A2 + 4B2 quando A = 2 0
0 –2
e
B =
0 –1
1 0 é igual a:

a) 4 4
b) 4 0
c) 0 0
d) 0 4
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3. (UEL) Sobre as sentenças:
I. O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3 x 1.
II. O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 4 x 2.
III. O produto de matrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz quadrada 2 x 2.
É verdade que:

a) somente I é falsa.
b) somente II é falsa.
c) somente III é falsa.
d) somente I e III são falsas.
e) I, II e III são falsas.

4. (UEL) Uma reserva florestal foi dividida em quadrantes de 1 m2 de área cada um. Com o objetivo de saber quantas samambaias havia na reserva, o número delas foi contado por quadrante da seguinte forma:
O elemento aij da matriz A corresponde ao elemento bij da matriz B, por exemplo, 8 quadrantes contêm 0 (zero) samambaia, 12 quadrantes contêm 1 samambaia. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a operação efetuada entre as matrizes A e B, que resulta no número total de samambaias existentes na reserva florestal.

a) At x B.
b) Bt x At.
c) A x B.
d) At + Bt.
e) A + B.

5. (UERN) Considere a seguinte operação entre matrizes:
( 6 4 2 3 ) · k = ( –6 1 )
A soma de todos os elementos da matriz K é:

a) 1.
b) 3.
c) 4.
d) 7.

6. (UFPR) Um criador de cães observou que as rações das marcas A, B, C e D contêm diferentes quantidades de três nutrientes, medidos em miligramas por quilograma, como indicado na primeira matriz abaixo. O criador decidiu misturar os quatro tipos de ração para proporcionar um alimento adequado para seus cães. A segunda matriz abaixo dá os percentuais de cada tipo de ração nessa mistura.
A B C D percentuais
nutriente 1 nutriente 2 nutriente 3
370 340 225
450 305 190
A B C D
Quantos miligramas do nutriente 2 estão presentes em um quilograma da mistura de rações?

a) 389 mg.
b) 330 mg.
c) 280 mg.
d) 210 mg.
e) 190 mg.

7. (UFSM) Sabendo-se que a matriz
A =
y 36 –7
x2 0 5x
4–y –30 3
é igual à sua transposta, o valor de 2x + y é:

a) –23.
b) –11.
c) –1.
d) 11.
e) 23.

9. (UFSM) Na planilha de cálculos do setor de Engenharia, responsável pelas obras de um shopping, foram encontradas as matrizes:
A = log 1 log 0,01
log 100 log 10
e
B =
cos S�__ 2 tg S�BB�4

sen3 S�__ 2 cos S�__ 3
É correto, então, afirmar que A é igual a:

a) ( 1 ___ 2 ) B.
b) B.
c) –B.
d) 2Bt.
e) 2B.

10. (UEG) Dada a matriz A = e
2x2 0
0 |y + x|
e seja B uma matriz identidade de ordem 2 os valores de x e y não negativos, tal que as matrizes A e B sejam iguais, são respectivamente:

a) 0 e 1.
b) 1 e 1.
c) 0 e dXX 2 ___ 2 .
d) dXX 2 ___ 2 e 1– dXX 2 ___ 2 .

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