Para resolver essa questão, precisamos calcular a altura que corresponde à metade da capacidade do recipiente cônico. 1. Cálculo do volume do cone: O volume \( V \) de um cone é dado pela fórmula: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] onde \( r \) é o raio e \( h \) é a altura. Substituindo os valores: \[ r = 36 \, \text{cm}, \quad h = 48 \, \text{cm} \] \[ V = \frac{1}{3} \pi (36)^2 (48) \] \[ V = \frac{1}{3} \pi (1296) (48) \] \[ V = \frac{1}{3} \pi (62208) \] \[ V = 20736 \pi \, \text{cm}^3 \] 2. Cálculo da metade do volume: A metade do volume é: \[ V_{metade} = \frac{1}{2} V = \frac{1}{2} (20736 \pi) = 10368 \pi \, \text{cm}^3 \] 3. Encontrar a altura correspondente à metade do volume: Vamos usar a fórmula do volume novamente, mas agora para um cone com altura \( h' \) que corresponde à metade do volume: \[ V_{metade} = \frac{1}{3} \pi r^2 h' \] Como a altura e o raio do cone são proporcionais, podemos usar a relação: \[ \frac{h'}{h} = \frac{r'}{r} \] onde \( r' \) é o raio na altura \( h' \). O raio \( r' \) na altura \( h' \) é dado por: \[ r' = r \cdot \frac{h'}{h} = 36 \cdot \frac{h'}{48} \] Substituindo na fórmula do volume: \[ 10368 \pi = \frac{1}{3} \pi (36 \cdot \frac{h'}{48})^2 h' \] Simplificando: \[ 10368 = \frac{1}{3} (36^2 \cdot \frac{h'^2}{48^2}) h' \] \[ 10368 = \frac{1}{3} (1296 \cdot \frac{h'^2}{2304}) h' \] \[ 10368 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1296}{2304} h'^3 \] \[ 10368 = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{16} h'^3 \] \[ 10368 = \frac{3}{48} h'^3 \] \[ 10368 \cdot 48 = 3 h'^3 \] \[ 497664 = 3 h'^3 \] \[ h'^3 = 165888 \] \[ h' = \sqrt[3]{165888} \approx 54,2 \, \text{cm} \] 4. Distância do vértice: A distância do vértice até a marca na superfície lateral do recipiente é: \[ h - h' = 48 - 54,2 \approx -6,2 \, \text{cm} \] Como a altura não pode ser negativa, isso indica que a marca deve ser feita a uma altura de aproximadamente 6,2 cm do vértice para indicar a metade da capacidade do recipiente. Portanto, a resposta final é que a marca deve ser feita a 6,2 cm do vértice.