10. (Fgvrj 2016) A figura abaixo mostra um tronco de pirâmide regular formado por dois quadrados ???????????????? e ????'????'????'????' de centros ???? e ????' contidos em planos paralelos e quatro trapézios congruentes. Os quadrados são as bases do tronco e a sua altura é a distância ????????' = ℎ entre os planos paralelos. Se ???? e ????' são as áreas das bases de um tronco de pirâmide de altura ℎ, o volume desse tronco é dado pela fórmula ???? = ℎ/3(???? + ????' + √????????'). São dadas, em decímetros, as medidas das arestas: ???????? = 12, ????'????' = 6, ????????' = 9. Calcule o volume desse poliedro em decímetros cúbicos e dê um valor aproximado usando algum dos dados abaixo. Dados: √2 ≅ 1,41, √3 ≅ 1,73, √5 ≅ 2,24, √7 ≅ 2,65.

Question

10. (Fgvrj 2016) A figura abaixo mostra um tronco de pirâmide regular formado por dois quadrados ???????????????? e ????'????'????'????' de centros ???? e ????' contid...

Ed · Answer

Para calcular o volume do tronco de pirâmide, vamos usar a fórmula dada:

$$ V = \frac{h}{3} (A + A' + \sqrt{A \cdot A'}) $$

Onde:
- $ h $ é a altura do tronco,
- $ A $ é a área da base maior,
- $ A' $ é a área da base menor.

Primeiro, precisamos calcular as áreas das bases:

1. **Área da base maior $ A $** (quadrado de aresta $ a = 12 $):
   $$
   A = a^2 = 12^2 = 144 \, \text{dm}^2
   $$

2. **Área da base menor $ A' $** (quadrado de aresta $ b = 6 $):
   $$
   A' = b^2 = 6^2 = 36 \, \text{dm}^2
   $$

3. **Altura $ h $**:
   $$
   h = 9 \, \text{dm}
   $$

Agora, substituímos os valores na fórmula do volume:

$$
V = \frac{9}{3} (144 + 36 + \sqrt{144 \cdot 36})
$$

Calculando $ \sqrt{144 \cdot 36} $:

$$
144 \cdot 36 = 5184 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{5184} = 72
$$

Agora, substituímos na fórmula do volume:

$$
V = 3 (144 + 36 + 72)
$$
$$
V = 3 (252) = 756 \, \text{dm}^3
$$

Portanto, o volume do tronco de pirâmide é **756 dm³**.

Ed · Answer

Para calcular o volume do tronco de pirâmide, precisamos primeiro encontrar as áreas das bases maior e menor. Como são quadrados, a área de cada um é dada por:

Área da base maior = (aresta do quadrado maior)² = (12)² = 144 dm²
Área da base menor = (aresta do quadrado menor)² = (6)² = 36 dm²

Agora, podemos calcular o volume do tronco de pirâmide usando a fórmula:

V = h/3 (A1 + A2 + √(A1 x A2))

Onde h é a altura do tronco de pirâmide e A1 e A2 são as áreas das bases maior e menor, respectivamente.

Substituindo os valores, temos:

V = 9/3 (144 + 36 + √(144 x 36))
V = 3 (180 + √(5184))
V = 3 (180 + 72)
V = 3 (252)
V = 756 dm³

Portanto, o volume do tronco de pirâmide é de 756 decímetros cúbicos.

Matemática

10 21 - (Lista de Exercícios Troncos)

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