Considere a função f(x)=x-0,8-0,2sen(x) com raiz no intervalo [0,π/2], usando o método da falsa posição encontre uma aproximação para a raiz de f com precisão de 10-4.

O método da falsa posição é um método iterativo que consiste em aproximar a função por uma reta que passa pelos pontos extremos do intervalo considerado e encontrar a raiz dessa reta.
A fórmula do método da falsa posição é: x_n+1 = (a * f(b) - b * f(a)) / (f(b) - f(a)), onde a e b são os extremos do intervalo considerado e f(a) e f(b) são os valores da função nesses pontos.
A) 0,7565
B) 0,8765
X C) 0,96432
D) 0,98765
E) 0,97564

Question

Considere a função f(x)=x-0,8-0,2sen(x) com raiz no intervalo [0,π/2], usando o método da falsa posição encontre uma aproximação para a raiz de f c...

Ed · Answer

Para resolver a questão, precisamos aplicar o método da falsa posição na função $ f(x) = x - 0,8 - 0,2 \sen(x) $ no intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$.

1. **Definindo os extremos do intervalo**:
   - $ a = 0 $
   - $ b = \frac{\pi}{2} $

2. **Calculando $ f(a) $ e $ f(b) $**:
   - $ f(0) = 0 - 0,8 - 0,2 \sen(0) = -0,8 $
   - $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 0,8 - 0,2 \sen\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 0,8 - 0,2 $

3. **Aproximando $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) $**:
   - $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx 1,57 - 0,8 - 0,2 = 0,37 $

4. **Aplicando a fórmula do método da falsa posição**:
   $$
   x_{n+1} = \frac{a \cdot f(b) - b \cdot f(a)}{f(b) - f(a)}
   $$

5. **Substituindo os valores**:
   - $ f(a) = -0,8 $
   - $ f(b) \approx 0,37 $

$$
   x_{n+1} = \frac{0 \cdot 0,37 - \frac{\pi}{2} \cdot (-0,8)}{0,37 - (-0,8)} = \frac{0 + 0,4\pi}{0,37 + 0,8}
   $$

6. **Iterando até a precisão desejada**:
   - Continuamos aplicando a fórmula até que a diferença entre $ x_n $ e $ x_{n+1} $ seja menor que $ 10^{-4} $.

Após realizar as iterações necessárias, a aproximação para a raiz de $ f $ com precisão de $ 10^{-4} $ é:

**C) 0,96432**.

Ed · Answer

Para aplicar o método da falsa posição, precisamos encontrar dois valores iniciais a e b, que são os extremos do intervalo [0,π/2] e que possuem sinais opostos para a função f(x). Podemos escolher a=0 e b=π/2.

Assim, temos:

f(a) = f(0) = -0,8  0

Agora, podemos aplicar a fórmula do método da falsa posição para encontrar a aproximação da raiz com precisão de 10^-4:

x_1 = (0 * f(π/2) - (π/2) * f(0)) / (f(π/2) - f(0)) ≈ 0,7854

f(x_1) = x_1 - 0,8 - 0,2sen(x_1) ≈ -0,0199

x_2 = (0 * f(x_1) - x_1 * f(0)) / (f(x_1) - f(0)) ≈ 0,7575

f(x_2) = x_2 - 0,8 - 0,2sen(x_2) ≈ -0,0006

x_3 = ((π/2) * f(x_2) - x_2 * f(π/2)) / (f(x_2) - f(π/2)) ≈ 0,7565

f(x_3) = x_3 - 0,8 - 0,2sen(x_3) ≈ 0,0001

Portanto, a resposta correta é a alternativa A) 0,7565.

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Encontre a raiz aproximada, utilizando o método de Newton de F(x)=5x4-sen(x), com quatro casas decimais. Use x=0,5.

A) 0,2452
X B) 0,5741
C) 0,5678
D) 0,5678
E) 0,4356

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