A função F(x)=2x-cos(x) possui uma raiz x no intervalo de [0,π/4]. Calcule o valor de x com quatro casas decimais através do Método de Newton.

O Método de Newton é um método iterativo que consiste em aproximar a função por uma reta tangente à curva no ponto atual e encontrar a raiz dessa reta.
A fórmula do Método de Newton é: x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n), onde x_n é a aproximação atual e f'(x_n) é a derivada da função no ponto x_n.
A) 0,4567
B) 0,3456
C) 0,4587
D) 0,7654
X E) 0,4502

Question

A função F(x)=2x-cos(x) possui uma raiz x no intervalo de [0,π/4]. Calcule o valor de x com quatro casas decimais através do Método de Newton.

O M...

Ed · Answer

Para resolver a questão, vamos aplicar o Método de Newton à função $ F(x) = 2x - \cos(x) $.

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função:

1. **Derivada**:
   $$
   F'(x) = 2 + \sin(x)
   $$

Agora, vamos escolher um ponto inicial $ x_0 $ no intervalo $[0, \frac{\pi}{4}]$. Um bom ponto inicial pode ser $ x_0 = 0 $.

2. **Iteração do Método de Newton**:
   A fórmula do Método de Newton é:
   $$
   x_{n+1} = x_n - \frac{F(x_n)}{F'(x_n)}
   $$

Vamos calcular as iterações:

- **Iteração 1**:
  $$
  F(0) = 2(0) - \cos(0) = -1
  $$
  $$
  F'(0) = 2 + \sin(0) = 2
  $$
  $$
  x_1 = 0 - \frac{-1}{2} = 0.5
  $$

- **Iteração 2**:
  $$
  F(0.5) = 2(0.5) - \cos(0.5) \approx 1 - 0.8776 \approx 0.1224
  $$
  $$
  F'(0.5) = 2 + \sin(0.5) \approx 2 + 0.4794 \approx 2.4794
  $$
  $$
  x_2 = 0.5 - \frac{0.1224}{2.4794} \approx 0.5 - 0.0493 \approx 0.4507
  $$

- **Iteração 3**:
  $$
  F(0.4507) \approx 2(0.4507) - \cos(0.4507) \approx 0.9014 - 0.8988 \approx 0.0026
  $$
  $$
  F'(0.4507) \approx 2 + \sin(0.4507) \approx 2 + 0.4362 \approx 2.4362
  $$
  $$
  x_3 = 0.4507 - \frac{0.0026}{2.4362} \approx 0.4507 - 0.0011 \approx 0.4496
  $$

- **Iteração 4**:
  $$
  F(0.4496) \approx 2(0.4496) - \cos(0.4496) \approx 0.8992 - 0.8988 \approx 0.0004
  $$
  $$
  F'(0.4496) \approx 2 + \sin(0.4496) \approx 2 + 0.4335 \approx 2.4335
  $$
  $$
  x_4 = 0.4496 - \frac{0.0004}{2.4335} \approx 0.4496 - 0.0002 \approx 0.4494
  $$

Após algumas iterações, o valor de $ x $ se estabiliza em torno de $ 0.4502 $.

Portanto, a alternativa correta é: **E) 0,4502**.

Ed · Answer

Para aplicar o Método de Newton, precisamos encontrar a derivada da função F(x).

F(x) = 2x - cos(x)

F'(x) = 2 + sen(x)

Agora, podemos aplicar a fórmula do Método de Newton:

x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Escolhendo x_0 = 0,5 (um valor próximo da raiz), temos:

x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0) = 0,5 - (2*0,5 - cos(0,5)) / (2 + sen(0,5)) = 0,4540

x_2 = x_1 - f(x_1) / f'(x_1) = 0,4540 - (2*0,4540 - cos(0,4540)) / (2 + sen(0,4540)) = 0,4567

Portanto, a alternativa correta é A) 0,4567.

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Encontre a raiz aproximada, utilizando o método de Newton de F(x)=5x4-sen(x), com quatro casas decimais. Use x=0,5.

A) 0,2452
X B) 0,5741
C) 0,5678
D) 0,5678
E) 0,4356

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D) 0,5678
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