Apostila PMPE

Prévia do material em texto

Noção intuitiva (par ordenado) 
Par ordenado é um conjunto formado por 
dois números reais, x e y, no qual 
necessariamente x é o primeiro elemento e 
y é o segundo. 
Representamos por (x, y). 
Plano cartesiano O plano cartesiano é um 
sistema que permite representar os pares 
ordenados. 
Dizemos que o ponto P tem coordenadas 
(Xp,Yp), em que Xp é a abscissa e Yp é a 
ordenada. Assim, o eixo dos x é o eixo das 
abscissas e o eixo dos y é o das ordenadas. 
A origem é o ponto (0,0). 
 
Exemplo 
Marque os pontos A(-1, 3), B(0, -2), C(3/2, 
4), D( ), E( ) e F( ). 
 
Definição (produto cartesiano) 
O produto cartesiano dos conjuntos não 
vazios A e B é o conjunto de todos os pares 
ordenados (x, y) no qual x  A e y  B. 
Representamos por A  B. 
Exemplo 
Se A = {1, 2, 3} e B = {2,3}, 
A  B = {(1, 2), (1, 3), (2,2), (2,3), (3, 2), (3, 
3)}. 
 
 
 
Definição (relação) Uma relação entre os 
conjuntos não vazios A e B é qualquer 
subconjunto do produto cartesiano A  B. 
Definição (função) 
Uma função f de A em B é uma relação que 
associa a cada elemento x de A um único 
elemento y de B. 
Exemplo 
 
 
Proposição (teste da reta vertical) 
Uma curva no plano xy é o gráfico de 
alguma função se, e somente se, qualquer 
reta vertical intersecta a curva no máximo 
uma vez. 
Exemplo 
 
Notação 
Se f de A em B é uma função que associa x 
de A com y de B, escrevemos: 
f: A  B tal que y = f(x) 
 
Definição (domínio, imagem e 
contradomínio) 
Seja f: A  B tal que y = f(x). 
 O conjunto A é chamado de domínio de f. 
 O conjunto B é chamado de contradomínio 
de f. 
O conjunto dos y é chamado de imagem de 
f. 
Exemplo 
 
 
 
Definição (raiz de uma função) 
Dizemos que x é uma raiz de f se f(x) = 0. 
Exemplo 
A raiz da função dada por f(x) = 2x + 2 é x = 
– 1. 
Observação: As raízes reais de uma função 
são os valores de x em que o gráfico corta o 
eixo dos x. 
Exemplo 
 
As raízes dessa função são x = 1 e x = 3 
 
Função Composta 
Definição: Sejam as funções f e g tais que: 
g: A → B e f: B → C. Definimos a composta 
de f com g e denotamos por fog (lê-
se f “bola” g), à função dada por (fog)(x) = 
f(g(x)). A função h(x) = f(g(x)) é então 
denominada função composta de f com g, 
aplicada em x. 
 
Exemplos: 
1) Dadas as funções ƒ(x) = 2x – 3 e g(x) = x² 
+ 2, calcular: 
a) fog(x) = f(g(x)) = ƒ(x² + 2) = 2(x² + 2) – 3 = 
2x² + 4 – 3 = 2x² + 1. 
b) gof(x) = g(ƒ(x)) = g(2x – 3) = (2x – 3)² + 2 
= 4x² – 12x + 9 + 2 = = 4x² – 12x + 11. 
c) fof(x) = ƒ(ƒ(x)) = ƒ(2x – 3) = 2(2x – 3) – 3 
= 4x – 6 – 3 = 4x – 9. 
Exercícios: 
1) Sendo f(x) = x2 - 1 e g(x) = x + 2, então o 
conjunto solução da equação f(g(x)) = 0 é: 
a) {1, 3} b) {-1, -3} c) {1, -3} 
d) {-1, 3} e) { } 
2) Dada as funções
( ) 5 ( ) 3 2f x x e g x x  
, calcule : 
a) 
))3((gf
 b) 
))1(( fg
 
c) 
))1(())0(( fggf 
 
3) Sendo 
( ) ² 2f x x 
, determine o 
valor de x para que 
( ) ( 1)f x f x 
. 
4) Sendo f e g funções de R em R, tais que 
f(x) = 3x - 1 e g(x) = x2, o valor de f(g(f(1))) 
é: 
a) 1 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 
5) Se 
( ) 3 1 ( ) 2 1f x x e fog x x   
, 
determine 
( )g x
. 
Função Sobrejetora, Injetora e Bijetora 
Função Sobrejetora 
Uma função ƒ: A em B é sobrejetora 
quando, para todo y pertencente a B, existe 
um x pertencente a A tal que ƒ(x) = y. 
Obs: Quando ƒ: A em B é sobrejetora, 
ocorre Im(ƒ) = B. 
Exemplo: 
 
 
Função Injetora 
Uma função ƒ: A em B é injetora quando, 
para todo x1 e x2 pertencentes a A, x1 ≠ x2; 
então ƒ(x1) ≠ ƒ(x2). 
Exemplo: 
 
 
Função Bijetora 
Uma função ƒ: A em B é bijetora quando ƒ é 
sobrejetora e injetora. 
Exemplo: 
 
 
Função Inversa 
Dada a função ƒ: A em B, chama-se função 
inversa de ƒ, indicada por ƒ -1(x), a função ƒ 
-1 : B em A que associa cada y de B ao 
elemento x de A, tal que y = ƒ(x). 
OBS.: 
1) Apenas as funções bijetoras admitem 
função inversa. 
2) Regra Prática para obtenção de uma 
Função Inversa: 
•Trocar ƒ(x) ou a função que está 
representada por y. 
•Trocar x por y e y por x. 
•Isolar y para representá-lo como função de 
x. 
•Trocar y por ƒ -1 (x). 
Exemplo: 
1) Obter a função inversa da função ƒ(x) = 
3x – 2. 
ƒ(x) = 3x – 2 
y = 3x – 2 
 x = 3y – 2 
3y = x + 2 
y = (x + 2)/3 
ƒ -1 (x) = (x + 2)/3 
Exercícios: 
1) Dada as funções 
( ) 5 ( ) 3 2f x x e g x x  
, calcule : 
)()( 11 xfxg  
. 
2) O gráfico de uma função de 1º. Grau 
passa pelos pontos (-3, 4) e (3, 0). 
Determine 
1(2)f 
.3) Seja 
2 3
( )
5
x
f x


, 
determine o valor de x, sabendo que 
1 7( )
2
f x 
. 
4) Classifique cada uma das funções como 
sobrejetora, injetora ou bijetora: 
 
 
FUNÇÃO PAR 
Uma função f é considerada par quando f(–
x) = f(x), qualquer que seja o valor de x Є 
D(f). 
Exemplo 
Estudaremos a forma pela qual se constitui 
a função f(x) = x² – 1, representada no 
gráfico cartesiano. Note que na função, 
temos: 
f(–1) = (–1)² – 1 = 1 – 1 = 0 
f(1) = 1² – 1 = 1 – 1 = 0 
 
f(–2) = (–2)² –1 = 4 – 1 = 3 
f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3 
 
 
 FUNÇÃO ÍMPAR 
Uma função f é considerada ímpar 
quando f(–x) = – f(x), qualquer que seja 
o valor de x Є D(f). 
Exemplo 
Analisaremos a função f(x) = 2x, de acordo 
com o gráfico. Nessa função, temos que: 
f(–2) = – 4; f(2) = 4. 
 
f(–2) = 2 * (–2) = – 4 
 
f(2) = 2 * 2 = 4 
 
FUNÇÃO AFIM - RESUMO 
Definição: Uma função é chamada de 
função Afim se sua sentença for dada por 
f(x) = ax + b, sendo a e b constantes reais 
com a  0, onde x é a variável independente 
e y = f(x) é a variável que dependente de x. 
Gráfico da função Afim: O gráfico de uma 
função Afim f(x) = ax + b é a reta que passa 
pelo ponto (0, b) e corta o eixo X no ponto 






 0,
a
b
. A função será crescente se a > 0 
e decrescente se a < 0. 
OBSERVAÇÕES: 
1) A constante a é chamada de coeficiente 
angular e representa a variação de y 
correspondente a um aumento do valor de x; 
2) A constante b é chamada de coeficiente 
linear e representa, no gráfico, o ponto de 
intersecção da reta com o eixo Y; 
3) Se uma reta é paralela ao eixo Y, ela 
não representa uma função. 
- ZERO DA FUNÇÃO: 
é o valor de x para qual a função se anula: 
 f(x) = 0  ax +b = 0  x = 
a
b

; 
 
Exemplo. Analisar a função f(x) = – x + 2. 
- A função é decrescente, pois a < 0; 
- Coeficiente angular é a = -1; 
- Coeficiente linear é b = 2; 
- Zero da função é 2, pois – x + 2 = 0 => -x 
= - 2.(-1) => x = 2. 
f(x) < 0 {x  R | x > 2} 
 
f(x) = 0 {x  R | x = 2} 
 
f(x) > 0 {x  R | x < 2} 
Caso Particular: A função é constante, 
pois a = 0, com isso, não há inclinação; 
- Coeficiente angular é 0, pois a = 0; 
- Coeficiente linear é b = 4; 
- Não temos Zero da função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA – RESUMO 
Dados os números reais a e b, com a  0, 
chama-se função quadrática a função 
IRIR:f 
, definida por: 
y = ax2 + bx + c ou f(x) = ax2 + bx + c. 
 
Zeros (ou raízes) de uma função 
quadrática: 
Denominam-se zeros de uma função 
quadrática os valores de x que anulam a 
função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Em 
termos de representação gráfica, são as 
abscissas dospontos onde a parábola 
corta o eixo X. 
Para encontrar esses zeros, resolve-se a 
equação f(x) = 0. Isto é, ax2 + bx + c = 0 que 
nada mais é que resolver a equação do 2º 
grau, utilizando a fórmula resolutiva:
a
b
x
2


, onde 
ac4b2 
. 
Se Δ > 0 a equação tem duas raízes reais 
diferentes; 
Se Δ = 0 a equação tem única raiz real ou 
duas raízes idênticas (iguais). 
Se Δ < 0 a equação não tem raízes reais. 
Gráfico da função quadrática: 
O gráfico de uma função quadrática é uma 
curva denominada parábola. Seu domínio é 
o conjunto dos números reais e sua imagem 
é um subconjunto dos números reais. 
Ou seja, D(f) = IR e Im(f)  IR. 
Concavidade: O sinal de a (coeficiente de 
x2) determina a concavidade da parábola. 
Assim: 
i) Se a > 0, a concavidade é voltada para 
cima. 
ii) Se a < 0 (a negativo), a concavidade é 
voltada para baixo. 
 
 
Vértice da Parábola: Toda parábola tem um 
ponto de ordenada máxima ou um ponto de 
ordenada mínima. A esse ponto 
chamaremos vértice da parábola e o 
representaremos por V(xv,yv) onde: 
 
a4
y e 
a2
b
x vv


. 
Observação: De acordo com o valor de a 
na função f(x) = ax2 + bx + c, as ordenadas 
do vértice recebem as denominações de 
valor máximo ou valor mínimo. 
Este conceito é importante na resolução de 
exercícios onde os resultados são os 
maiores ou os menores possíveis. 
 
 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA – PA 
Uma progressão aritmética (P. A.) é uma 
sequência numérica em que cada termo, a 
partir do segundo, é igual à soma do termo 
anterior com uma constante O número é 
chamado de razão da PA. 
 
EXEMPLOS 
São exemplos de PA: 
(5, 10, 15, 20, 25,) é uma PA de razão r = 5 
(12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3 
 
(2, 2, 2, 2, 2, ...) é uma PA de razão r = 0 
 
 
 
 
NOTAÇÃO 
 
 PA ( a1, a2, a3, a4, ...., an) 
Onde: 
a1= primeiro termo 
r = razão 
n = número de termos (se for uma PA finita 
) 
an = último termo, termo geral ou n-ésimo 
termo 
 
Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25) 
a1 = 5 r = 4 n = 6 an = a6 = 25 
 
CLASSIFICAÇÃO 
1) Quanto a razão 
a) crescente: r >0 
b) decrescente: r <0 
c) constante: r = 0 
2) Quanto ao número de termos 
a) finita ou limitada 
b) infinita ou ilimitada 
 
PROPRIEDADES 
 
P1:Três termos consecutivos 
Numa PA, qualquer termo, a partir do 
segundo, é a média aritmética do seu 
antecessor e do seu sucessor. 
Exemplo: 
Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) 
e escolhamos três termos consecutivos 
quaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 
28. 
Observemos que o termo médio é sempre a 
média aritmética dos outros dois termos: 
 
 seja a PA 
 ( a1, a2, a3 ) temos que: 
 
Exemplo1:Determine x para que a 
sequência ( 3, x+3, 15) seja uma PA 
 X+3 = ( 3 + 15) / 2 => x+3 =9 => x= 6 
( 3, 6+3 , 15) => (3, 9 , 15) 
Exemplo2: Determinar x para que a 
seqüência (3+x,5x,2x+11) seja PA 
 
 
resolvendo essa equação obtém-se x=2 
 
P2: Termo Médio 
 Numa PA qualquer de número impar de 
termos, o termo do meio(médio) é a média 
aritmética do primeiro termo e do último 
termo. 
Exemplo: Consideremos a PA (3, 6, 9, 12, 
15, 18, 21) e o termo médio é 12. 
Observemos que o termo médio é sempre a 
média aritmética do primeiro e do último. 
 
 
Representação genérica de uma PA de três 
termos 
 
Para a resolução de certos problemas 
(envolvendo soma ou produto dos termos 
da PA). É de grande utilidade representar 
uma PA nas seguinte forma: (x-r ,x, x+r) 
onde “r” e a razão da PA. 
 
Exemplo 
Determinar a PA crescente de três termos, 
sabendo que a soma desses termos é 3 e 
que o produto vale –8 
 
Soma dos termos 
 x-r + x + x+r = 3 => 3x=3 => x = 1 
 
Produto dos termos 
24
2
2820
,...,12
2
168
,8
2
124






12
2
213


2
31
2
aa
a


2
)112()3(
5


xx
x
(1- r).(1).(1+r) = -8 => 1-r2 = - 8 => 1+8 = 
r2 => r2 = 9 r = +3 ou -3 como a PA é 
crescente temos que r = 3 
resposta (-2,1,4) 
 
P3: Termos Equidistantes 
A soma de dois termo equidistantes dos 
extremos de uma PA finita é igual à soma 
dos extremos. 
 Exemplo: 
Consideremos a PA (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 
31). 
 
 
 
TERMO GERAL DA PA 
an = a1 + (n-1)r, para n 
 
EXEMPLO 
Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...). 
Resolução: a1=3 a2=9 
 r = a2 - a1 = 9 – 3 = 6 
a4 = a1 + (4 -1)r => a4 = a1 + 3r =>a4 = 3 + 
3.6 => a4 = 3+18 a4 = 21 
 
SOMA DOS TERMOS DA PA 
 
EXEMPLO 
Calcule a soma dos 50 primeiros termos da 
PA(2, 6, 10,...). 
Resolução: a1 = 2 
r = a2 – a1 = 6 – 2 = 4 
Para podemos achar a soma devemos 
determinar o an(ou seja, a50): 
a50 = a1 + 49r = 2 + 49.4 = 2 + 196 = 198 
Aplicando a fórmula temos: 
S50 = (a1+an).n/2 = (2+198).50/2 = 
200.25=5000 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Entenderemos por progressão geométrica - 
PG - como qualquer sequência de números 
reais ou complexos, onde cada termo a 
partir do segundo é igual ao anterior, 
multiplicado por uma constante 
denominada razão. 
Exemplos: 
(1,2,4,8,16, ... ) PG de razão 2 
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1 
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2 
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3 
 
TERMO GERAL DA PG 
 
 
EXEMPLOS: 
 
a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o 
décimo termo. 
 
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para 
calcular o décimo termo, ou seja, a10, vem 
pela fórmula: 
a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024 
 
b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG 
crescente é igual a 20 e o oitavo termo é 
igual a 320. Qual a razão desta PG? 
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos 
escrever: a8 = a4 . q8-4 . 
Daí vem: 320 = 20.q4. Então q4 =16 e 
portanto q = 2. 
*N
Representação genérica de uma PG de três 
termos 
Uma PG genérica de 3 termos, pode ser 
expressa como: (x/q, x, xq), onde q é a 
razão da PG. 
 
 PROPRIEDADES PRINCIPAIS 
P1 - em toda PG, um termo é a média 
geométrica dos termos imediatamente 
anterior e posterior. 
 
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G) 
Temos então: B² = A . C ; 
 C² = B . D ; etc. 
 
P2 - o produto dos termos equidistantes 
dos extremos de uma PG é constante. 
 
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G) 
Temos então: 
A . G = B . F = C . E = D . D = D² 
 
SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE 
UMA PG 
 
Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros 
termos da PG (1,2,4,8,...) 
Temos: 
 
 Observe que neste caso a1 = 1. 
 
SOMA DOS INFINITOS TERMOS DA PG 
 
Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 
+ x/8 + x/16 + ... =100. Ora, o primeiro 
membro é uma PG de primeiro termo x e 
razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, 
vem: 
 
Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50. 
 
 
JUROS SIMPLES E JUROS 
COMPOSTOS 
JUROS 
Juro é o aluguel que pagamos pelo tempo 
em que determinada quantia fica 
emprestada a nós. Também, é o pagamento 
que recebemos – igualmente ao caso 
anterior – quando emprestamos certa 
quantia a alguém. 
 Marcela contraiu empréstimo 
no banco popular e pagará juros de 
12% a.a sobre o capital inicial. 
 Paulo emprestou R$ 2 000,00 a seu 
amigo João por tempo 
indeterminado, sob a condição de 
que ele lhe pague juros de 5% a.m. 
a.d → ao dia - a.m → aomês - a.b → ao 
bimestre - a.t → ao trimestre - a.s → ao 
semestre - a.a → ao ano 
JUROS SIMPLES 
Os sumérios, povo que viveu na região da 
Mesopotâmia, já utilizava ideias sobre juros 
simples e compostos, assim como, crédito. 
Nessa época – 2100 a.C – esse povo fazia 
seus registros em tábuas de argila, onde das 
mais de 50 000 encontradas, 400 eram 
totalmente voltadas à matemática. 
O cálculo dos juros simples é sempre feito 
sobre o capital inicial a certa taxa e, claro, 
determinado período de tempo. 
Vamos utilizar as seguintes representações: 
Juros (J) - Capital (c) - Taxa (i) 
- Período (t) 
Podemos calcular os juros simples 
utilizando a fórmula 
J = c . i . t 
EXEMPLOS: 
 Diogo contraiu um empréstimo de 
R$ 1 730,00 a uma taxa de juros 
simples de 38% a.a. Sabendo que o 
empréstimo foi pago após 10 
meses, qual o valor dos juros pagos 
por Diogo? 
c = R$ 1730,00 i = 38% a.a t = 10 
meses 
Observe que a taxa foi dada ao ano, mas o 
período em que o empréstimo foi quitado é 
dado em meses. Temos então que fazer a 
conversão. Basta dividir a taxa pelo número 
de meses que tem um ano (12). 
38% : 12 = 3,166% (valor aproximado) 
Ou seja 
38% a.a = 3,166% a.m 
Observação: o valor da taxa deverá estar 
escrito em decimal para ser substituído na 
fórmula. 
3,166 : 100 = 0,03166 
Vamos substituir os valores na fórmula 
J = c . i . t 
J = 1730 . 0,03166 . 10 
J = R$ 547,72 
Conclusão: Diogo pagou R$ 547,72 de 
juros sob as condições expostas no 
problema acima. 
Caso queira encontrar o montante (M) – 
Capital inicial (c) mais juros (j) – poderá 
utilizar a fórmula: 
M = c + j 
M = 1730,00 + 547,72 
M = R$ 2277,72 
É possível também encontrar o capital, a 
taxa ou o tempo utilizando a fórmula de juros 
simples. Na sequência darei um exemplo de 
como encontrar a taxa a partir dos dados 
descritos na questão. 
 No empréstimo de R$ 780,00 por 
um período de 7 meses, Roberta 
pagou R$ 351,00 de juros. Qual a 
taxa mensal de juros simples 
cobrada nesse empréstimo? 
J = R$ 351,00 c = R$ 780,00 
 i = ? t = 7 meses 
J = c . i . t 
351 = 780 . i . 7 
351 = 5460i 
i = 351/5460 
i = 0,06428...(dízima não periódica) 
Para escrevermos a taxa em porcentagem, 
multiplicamos esse resultado por cem. 
i = 0,06428... x 100 
= 6,43% (arredondamento) 
i = 6,43 
 
JUROS COMPOSTOS 
Diferente dos juros simples, o juro composto 
é calculado sobre o montante obtido no 
período anterior. Somente no primeiro 
período é que os juros são calculados sobre 
o capital inicial. 
Através da fórmula abaixo, poderemos 
calcular o montante adquirido ao longo do 
tempo em que certa quantia fica submetida 
ao regime de juros compostos. 
Montante(M)-Capital(C)-Taxa (i) - Período 
de tempo (t) 
M = C . (1 + i)t 
Para encontrar somente juros basta 
subtrairmos o capital inicial do montante 
encontrado. Vejam a fórmula: 
J = M – C 
EXEMPLOS: 
●Um capital de R$ 640,00 foi aplicado 
durante três meses a uma taxa de juros 
compostos de 2% a.m. Quantos reais de 
juros rendeu essa aplicação? 
M = ? C = 640,00 i = 2% = 0,02 t = 
3 meses 
Lembrete: a taxa, para ser substituída na 
fórmula, deverá estar escrita em números 
decimais. 
M = C . (1 + i)t 
M = 640 . (1 + 0,02)3 
M = 640 . (1,02)3 
M = 640 . 1,061208 
M = R$ 679,17 
J = M – C 
J = 679,17 – 640,00 
J = R$ 39,17 
Conclusão: Esta aplicação rendeu R$ 
39,17 de juros. 
● Um capital de R$ 5000,00, aplicado a uma 
taxa de juros compostos de 4% a.m por um 
período de cinco meses renderá quanto de 
juros? 
M = ? C = 5000,00 
 i = 4% a.m = 0,04 t = 5 meses 
M = C . (1 + i)t 
M = 5000 . (1 + 0,04)5 
M = 5000 . (1,04)5 
M = 5000 . 1,2166529024 
M = R$ 6083,26 
J = M – C 
J = 6083,26 – 5000,00 
J = R$ 1083,26 
Conclusão: esta aplicação renderá R$ 
1083,26. 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Podemos determinar a análise 
combinatória como sendo um conjunto de 
possibilidade constituído por elementos 
finitos, a mesma baseia-se em critérios que 
possibilitam a contagem. Realizamos o seu 
estudo na lógica matemática, analisando 
possibilidades e combinações. Acompanhe 
o exemplo a seguir, para poder 
compreender melhor o que vêm a ser a 
análise combinatória. 
Exemplo: Descubra quantos números com 3 
algarismos conseguimos formar com 
o conjunto numérico {1, 2, 3}. 
Conjunto de elementos finito: {1, 2, 3} 
Conjunto de possibilidades de números com 
3 algarismos: {123, 132, 213, 231, 312, 321} 
Resposta Final: Com o conjunto numérico 
{1, 2, 3}, é possível formar 6 números. 
A análise combinatória estuda os seguintes 
conteúdos: 
 Princípio fundamental da contagem 
 Fatorial 
 Permutação simples 
 Permutação com repetição 
 Arranjo simples 
 Combinação simples 
Confira a seguir uma definição resumida de 
cada tópico estudo pela análise 
combinatória. 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA 
CONTAGEM 
Determina o número total de possibilidade 
de um evento ocorrer, pelo produto de m x n. 
Sendo n e m resultados distintos de um 
evento experimental. 
Exemplo: Jeniffer precisa comprar uma saia, 
a loja em que está possui 3 modelos de saia 
diferente nas cores: preto, rosa, azul e 
amarelo. Quantas opções de escolha 
Jeniffer possuí. 
Para solucionar essa questão utilizamos o 
principio fundamental da contagem. 
m = 3 (Modelos diferentes de saia), n = 4 
(Cores que a saia possui) 
m x n = 3 x 4 = 12 
Jeniffer possui 12 possibilidades de escolha. 
FATORIAL 
O fatorial de um número qualquer, e 
representado pelo produto: 
n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1! 
Exemplo: Calcule 4! 
n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1! 
4! = 4 . (4 – 1) . (4 – 2) . (4 – 3) 
4! = 4 . 3. 2 . 1 
4! = 24 
PERMUTAÇÃO SIMPLES 
Na permutação os elementos que compõem 
o agrupamento mudam de ordem, ou seja, 
de posição. Determinamos a quantidade 
possível de permutação dos elementos de 
um conjunto, com a seguinte expressão: 
Pn = n! 
Pn = n . (n-1) . (n-2) . (n-3).....1! 
Exemplo: Em uma eleição para 
representante de sala de aula, 3 alunos 
candidataram-se: Vanessa, Caio e Flávia. 
Quais são os possíveis resultados dessa 
eleição? 
Vanessa (V), Caio (C), Flávia (F) 
Os possíveis resultados dessa eleição 
podem ser dados com uma permutação 
simples, acompanhe: 
n = 3 (Quantidade de candidatos 
concorrendo a representante) 
Pn = n! 
Pn = 3 . 2 . 1! 
Pn = 6 
Para a eleição de representante, temos 6 
possibilidades de resultado, em relação a 
posição dos candidatos, ou seja, 1º, 2º e 3º 
lugar. Veja a seguir os possíveis resultados 
dessa eleição. 
Resultado 
1 
Resultado 
2 
Resultado 
3 
Resultado 
4 
Resultado 
5 
Resultado 
6 
VCF VFC CVF CFV FCV FVC 
 
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO 
Nessa permutação alguns elementos que 
compõem o evento experimental são 
repetidos, quando isso ocorrer devemos 
aplicar a seguinte fórmula: 
 
 = 
permutação com repetição 
 = total de elemetos do evento 
 = Elementos 
repetidos do evento 
Exemplo: Quantos anagramas são 
possíveis formar com a palavra CASA. 
A palavra CASA possui: 4 letras (n) e duas 
vogais que se repetem (n1). 
 n! = 4! 
 n1! = 2! 
 
 
 
 
Anagramas da palavra CASA sem 
repetição 
CASA ACSA ASCA ASAC SCAA CSAA 
AASC AACS CAAS SAAC SACA ACAS 
 
ARRANJO SIMPLES 
No arranjo simples a localização de cadaelemento do conjunto forma diferentes 
agrupamentos, devemos levar em 
consideração, a ordem de posição do 
elemento e sua natureza, além disso, 
devemos saber que ao mudar os elementos 
de posição isso causa diferenciação entre 
os agrupamentos. 
Para saber a quantidade de arranjos 
possíveis em p agrupamento com n 
elementos, devemos utilizar a fórmula a 
seguir: 
 
 A = Arranjo 
 n = elementos 
 p = Agrupamentos 
No arranjo a quantidade de agrupamento p, 
sempre deve ser menor que n, ou seja: 
 
Exemplo: Flávia, Maria, Gustavo e Pedro 
estão participando de uma competição. 
Para competir precisam fazer agrupamento 
com apenas 3 participantes. Quais são os 
agrupamentos possíveis? 
 Quantidade de participantes da 
competição: n = 4 
 Quantidade de agrupamentos com 
apenas 3 participantes: p = 3 
 
 
 
 
É possível organizar 24 agrupamentos para 
com três participantes em cada. 
COMBINAÇÃO SIMPLES 
Na combinação simples, em um 
agrupamento mudamos somente a ordem 
dos elementos distintos. Para que isso seja 
feito podemos recorrer à utilização da 
fórmula: 
 
 C = Combinação 
 n = Elementos. 
 p = Agrupamento 
Sendo sempre: 
Exemplo: De quantos modos diferentes 
posso separar 10 bolinhas de cores 
distintas, colocando 2 bolinhas em cada 
saquinhos 
 Total de bolinhas: n = 10 
 Quantidade de bolinhas por 
saquinho: p = 2 
 
 
 
 
 
Com 10 bolinhas distintas colocando duas 
em cada saquinho, é possível fazer 45 
combinações. 
PROBABILIDADE 
Estudamos probabilidade com a intenção 
de prevermos as possibilidades de 
ocorrência de uma determinada situação ou 
fato. Para determinarmos a razão de 
probabilidade, utilizamos os conceitos 
descritos nas linhas a seguir. 
Experimento aleatório 
Um experimento é considerado aleatório 
quando suas ocorrências podem apresentar 
resultados diferentes. Um exemplo disso 
acontece ao lançarmos uma moeda que 
possua faces distintas, sendo uma cara e 
outra coroa. O resultado desse lançamento 
é imprevisível, pois não há como saber qual 
a face que ficará para cima. 
Espaço amostral 
O espaço amostral (S) determina as 
possibilidades possíveis de resultados. No 
caso do lançamento de uma moeda o 
conjunto do espaço amostral é dado por: S 
= {cara, coroa}, isso porque são as duas 
únicas respostas possíveis para esse 
experimento aleatório. 
Evento 
Na probabilidade a ocorrência de um fato ou 
situação é chamado de evento. Sendo 
assim, ao lançarmos uma moeda estamos 
estabelecendo a ocorrência do evento. 
Temos então que, qualquer subconjunto do 
espaço amostral deve ser considerado um 
evento. Um exemplo pode acontecer ao 
lançarmos uma moeda três vezes, é 
obtermos como resultado do evento o 
seguinte conjunto: 
E = {Cara, Coroa, Cara} 
Esse evento é subconjunto do espaço 
amostral, para representar essa afirmação 
utilizamos a seguinte notação: 
 
Razão de probabilidade 
A razão de probabilidade é dada pelas 
possibilidades de um evento ocorrer 
levando em consideração o seu espaço 
amostral. Essa razão que é uma fração é 
igual ao número de elementos do evento 
(numerador) sobre o número de elementos 
do espaço amostral (denominador). 
Considera os seguintes elementos: 
 E é um evento. 
 n(E) é o número de elementos do 
evento. 
 S é espaço amostral. 
 n(S) é a quantidade de elementos 
do espaço amostral. 
A Razão de probabilidade é dada por: 
 
Com n(S) ≠ 0 
A probabilidade normalmente é representa 
por um fração, cujo seu valor sempre estará 
entre 0 e 1, ou seja: 
0 ≤ P(E) ≤ 1 
Podemos também representar a 
probabilidade com um número decimal ou 
em forma de porcentagem (%). 
Exemplo: Ao lançarmos um dado com seis 
faces, qual a probabilidade de obtermos um 
número que seja múltiplo de 3? 
Resposta: O espaço amostral do 
lançamento de um dado é representado 
pelos números: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
n(S) = 6 
O evento é determinado pelas 
possibilidades de obtermos como resultado 
do lançamento um número que seja múltiplo 
de 3. 
E = {3, 6} 
n(E) = 2 
A Razão de Probabilidade é dada por: 
 
 
A porcentagem referente à probabilidade é: 
 
Resposta final: A probabilidade de obtermos 
um número que seja múltiplo de 3, ao lançar 
um dado com seis faces é de 33,3% ou 1/3. 
PROBABILIDA CONDICIONAL 
Probabilidade condicional é um segundo 
evento de um espaço amostral que ocorre 
em um evento depois que já tenha ocorrido 
o primeiro. 
E para calcular a probabilidade P(B∩A) 
basta multiplicar as probabilidades de A e 
B: 
P(B∩A) = P(A) . P(B) 
 
Exemplo: Em uma sala de aula há seis 
alunas (Ju, Isa, Gi, Bia, Thayná e Ma) e cada 
uma tem um dado em mãos. A professora 
de matemática está fazendo uma 
experiência que consiste em escolher uma 
aluna e ela jogar o dado e ver qual foi o 
resultado obtido. Qual a probabilidade da 
professora escolher a aluna Bia e ela tirar 
um número maior que dois no dado? 
Neste exemplo, vamos considerar o evento 
A como “escolher a aluna Bia” e o evento B 
"resultados do dado ( 3,4,5,63,4,5,6) ". Os 
eventos A e B são independentes, então a 
probabilidade da interseção é dada por: 
 
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=16⋅46=436÷4÷4=19≈0,1
111≈11,11%P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=16⋅46=436
÷4÷4=19≈0,1111≈11,11% 
 
E para calcular a probabilidade P(B∩A) 
basta multiplicar as probabilidades de A e 
B: 
P(B∩A) = P(A) . P(B) 
 
Dados dois eventos A e B de um espaço 
amostral S a probabilidade de ocorrer A ou 
B é dada por: 
 
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
Exemplo: 
Numa urna existem 10 bolas numeradas de 
1 a 10. Retirando uma bola ao acaso, qual a 
probabilidade de ocorrer múltiplos de 2 ou 
múltiplos de 3? 
 
 
 
A é o evento “múltiplo de 2”. 
B é o evento “múltiplo de 3”. 
 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
=