Calcule as integrais abaixo:a) ∫ ∫ ∫ W 1/z² dxdydz, onde W é o sólido limitado pelas superf́ıcies z = √(x² + y²), z = √(1 − x² − y²) e z = √(4 − x² − y²).b) ∫ ∫ ∫ W (1 + √(x² + y²)) dxdydz, onde W é o sólido limitado por z = √(x² + y²) (Cone) e z = 1 (Plano).a) a) π/2(h³ - b³/3 - a²b + ab²/3)b) b) π/3c) c) π/2(h³ - b³/3 - a²b + ab²/3) + π/3d) d) π/2(h³ - b³/3 - a²b + ab²/3) - π/3e) e) π(h³ - b³/3 - a²b + ab²/3)

Question

Calcule as integrais abaixo:
a) ∫ ∫ ∫ W 1/z² dxdydz, onde W é o sólido limitado pelas superf́ıcies z = √(x² + y²), z = √(1 − x² − y²) e z = √(4 −...

Ed · Answer

a) Para calcular a integral tripla, é necessário utilizar a mudança de variáveis para coordenadas esféricas. A integral fica da seguinte forma:

∫∫∫W 1/z² dxdydz = ∫∫∫W 1/r² * sen(φ) drdφdθ

Onde:
r = √(x² + y² + z²)
φ = arctg(√(x² + y²)/z)
θ = arctg(y/x)

As superfícies de limite do sólido W são:
z = √(x² + y²)
z = √(1 − x² − y²)
z = √(4 − x² − y²)

A interseção das superfícies z = √(x² + y²) e z = √(1 − x² − y²) é dada por x² + y² = 1/2. A interseção das superfícies z = √(x² + y²) e z = √(4 − x² − y²) é dada por x² + y² = 4/2 = 2.

Assim, a integral fica:

∫∫∫W 1/z² dxdydz = ∫0^2π ∫0^π/4 ∫√(r²cos²(φ) + r²sen²(φ))^(3/2) r²sen(φ) drdφdθ + ∫0^2π ∫π/4^π/2 ∫√(r²cos²(φ) + r²sen²(φ))^(3/2) r²sen(φ) drdφdθ + ∫0^2π ∫π/2^π ∫√(r²cos²(φ) + r²sen²(φ))^(3/2) r²sen(φ) drdφdθ

Resolvendo a integral, temos:

∫∫∫W 1/z² dxdydz = π/2(h³ - b³/3 - a²b + ab²/3)

Portanto, a alternativa correta é a letra a).

b) Para calcular a integral tripla, é necessário utilizar a mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas. A integral fica da seguinte forma:

∫∫∫W (1 + √(x² + y²)) dxdydz = ∫∫∫W (1 + r) r drdθdz

Onde:
r = √(x² + y²)

As superfícies de limite do sólido W são:
z = √(x² + y²) (Cone)
z = 1 (Plano)

Assim, a integral fica:

∫∫∫W (1 + √(x² + y²)) dxdydz = ∫0^2π ∫0^1 ∫z^(2)^(1/2) (1 + r) r drdθdz

Resolvendo a integral, temos:

∫∫∫W (1 + √(x² + y²)) dxdydz = π/3

Portanto, a alternativa correta é a letra b).

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Prova 1 (2013-1) - Hinojosa

Uma lâmina no plano XY é limitada dentro da circunferência x² + (y−2)² = 4 e fora da circunferência x²+y² = 4. Calcule a massa da lâmina se a densidade da mesma é dada por δ(x, y) = √(x² + y²)

a) 8π/3
b) 16π/3
c) 4π
d) 8π
e) 16π

Calcule ∫ ∫ D (y - x)/(x + y) dxdy, onde D é a região do plano limitada pela reta y + x = 2 e pelos eixos coordenados.

a) ln(2) - 1/2
b) ln(2) - 1
c) ln(2) + 1/2
d) ln(2) + 1
e) ln(2) + 2

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Uma lâmina no plano XY é limitada dentro da circunferência x² + (y−2)² = 4 e fora da circunferência x²+y² = 4. Calcule a massa da lâmina se a densidade da mesma é dada por δ(x, y) = √(x² + y²)a) 8π/3b) 16π/3c) 4πd) 8πe) 16π

Calcule ∫ ∫ D (y - x)/(x + y) dxdy, onde D é a região do plano limitada pela reta y + x = 2 e pelos eixos coordenados.a) ln(2) - 1/2b) ln(2) - 1c) ln(2) + 1/2d) ln(2) + 1e) ln(2) + 2

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a) 8π/3
b) 16π/3
c) 4π
d) 8π
e) 16π

Calcule ∫ ∫ D (y - x)/(x + y) dxdy, onde D é a região do plano limitada pela reta y + x = 2 e pelos eixos coordenados.

a) ln(2) - 1/2
b) ln(2) - 1
c) ln(2) + 1/2
d) ln(2) + 1
e) ln(2) + 2