7. A vorticidade é uma grandeza física usada em mecânica dos fluidos e na meteorologia para medir a velocidade de rotação das partículas de um fluido num ponto, a vorticidade é um vetor. Para calcular a vorticidade, usamos a fórmula v = 0,5.rot(F), onde v é a vorticidade e rot(F) é o rotacional da função da forma F(x,y,z)=(f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z)). Dado o campo de velocidade F(x,y,z) =(2xy, 3yz, z²) qual é o vetor vorticidade no ponto (- 1, - 2, - 3), sabendo que:
a) v = (3, 0, 1).
b) v = (- 6, 0, - 2).
c) v = (6, 0 , 2).
d) v = (- 3, 0 , - 1).
a) v = (3, 0, 1).
b) v = (- 6, 0, - 2).
c) v = (6, 0 , 2).
d) v = (- 3, 0 , - 1).
Respostas
Ed 
há 2 anos
Para calcular a vorticidade no ponto (-1, -2, -3) usando o campo de velocidade F(x, y, z) = (2xy, 3yz, z²), podemos usar a fórmula v = 0,5.rot(F). Primeiro, vamos calcular o rotacional da função F(x, y, z). O rotacional de uma função vetorial F(x, y, z) = (f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z)) é dado por rot(F) = (∂h/∂y - ∂g/∂z, ∂f/∂z - ∂h/∂x, ∂g/∂x - ∂f/∂y). Calculando as derivadas parciais, temos: ∂f/∂x = 0 ∂f/∂y = 2x ∂f/∂z = 0 ∂g/∂x = 0 ∂g/∂y = 3z ∂g/∂z = 3y ∂h/∂x = 0 ∂h/∂y = 0 ∂h/∂z = 2z Agora, substituindo esses valores na fórmula do rotacional, temos: rot(F) = (2z - 0, 0 - 0, 3y - 2x) = (2z, 0, 3y - 2x) Substituindo o ponto (-1, -2, -3) na expressão do rotacional, temos: rot(F) = (2(-3), 0, 3(-2) - 2(-1)) = (-6, 0, -6 + 2) = (-6, 0, -4) Por fim, multiplicando o resultado por 0,5, temos: v = 0,5.rot(F) = 0,5(-6, 0, -4) = (-3, 0, -2) Portanto, a resposta correta é a alternativa d) v = (-3, 0, -1).
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Em matemática, a matriz Hessiana de uma função f de n variáveis é a matriz quadrada com n colunas e n linhas (n X n) das derivadas parciais de segunda ordem da função. Por isto, esta matriz descreve a curvatura local da função 'f'. Matrizes hessianas são usadas em larga escala em problemas de otimização que não usam métodos newtonianos. Baseado na matriz hessiana a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) A matriz hessiana no ponto (0,-1) é a matriz identidade.
( ) A matriz hessiana no ponto (0,-1) é a matriz nula.
( ) A matriz hessiana ajuda a definir pontos críticos da função.
( ) A matriz hessiana tem ordem igual ao maior grau da função.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) F - F - V - V.
b) F - V - V - F.
c) V - F - V - F.
d) V - V - F - F.
O diferencial total de uma função real de várias variáveis reais corresponde a uma combinação linear de diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função. O que é realizado é a soma das derivadas parciais em cada direção dada na função de várias variáveis. Dada a função f(x,y) = 3x²y + 5xy², analise as sentenças a seguir:
I- O diferencial total de f é 6xy + 5xy.
II- O diferencial total de f é 6xy² + 10xy.
III- O diferencial total de f é 3x² + 5y² + 16xy.
IV- O diferencial total de f é x² + y² + 8xy.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) Somente a sentença II está correta.
b) Somente a sentença IV está correta.
c) Somente a sentença I está correta.
d) Somente a sentença III está correta.
Uma das aplicações das derivadas parciais é a taxa de crescimento ao longo de mais de uma direção. Baseado nisto, calcule a taxa com que está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 6 cm e está crescendo a uma taxa de 0,5 cm/s, enqu
anto que sua largura é de 10 cm e está crescendo 0,2 cm/s. Sobre o exposto, assinale a alternativa CORRETA:
a) 6,2 cm²/s.
b) 5,6 cm²/s.
c) 9 cm²/s.
d) 6 cm²/s.
6. A integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis. Além de calcular áreas e volumes definidos por funções de mais de uma variável, este conceito também possui aplicações na área da física, como, por exemplo, no cálculo do centro de massa de um corpo. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas sobre as integrais abaixo quanto a sua relação com a região compreendida entre y = x³ e y = 4x.
a) F - V - F - F.
b) V - F - F - F.
c) F - F - F - V.
d) F - F - V - F.
8. Uma barragem foi construída e formou um lago cuja superfície se assemelha à metade de uma circunferência no plano xy, como mostra a Figura. A profundidade desse lago em metros é dada pela função f(x,y) = 300 - x² + 2x + y². Existe um certo tipo de peixe neste lago que normalmente é encontrado nas partes mais profundas. Um biólogo pretende estudar este peixe e para isso precisa pegar um exemplar. Sabendo que o biólogo está com o bote no ponto (-2, 4), qual a direção que ele deve navegar para chegar no ponto de maior profundidade e qual é a maior profundidade?
a) (6, 8) e 10.
b) (6, 8) e 14.
c) (-2, 4) e 12.
d) (-1, 4) e 316.
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