Lista Distribuições-Gabarito

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Gabarito - Lista de Exercícios: Principais
Distribuições
REC 2303
Introdução à Probabilidade e à Estatística Aplicada II
1 Distribuição Normal
Exercício 1.1: (Morettin e Bussad cap. 7, ex. 15) Para X ∼ N(100, 100),
calcule :
(a) P (X < 115),
(b) P (X ≥ 80),
(c) P (|X − 100| ≤ 10),
(d) o valor a, tal que P (100− a ≤ X ≤ 100 + a) = 0, 95.
Resposta:
(a) X ∼ N(100, 100) então
P (X < 115) = P (Z < 1, 5) = 0, 933
(b) P (X ≥ 80) = P (Z ≥ −2) = 0, 977
(c) P (|X − 100| ≤ 10) = P (−10 ≤ X − 100 ≤ 10) = P
(
−1 ≤ X−100
10
≤ 1
)
= P (−1 ≤ Z ≤ 1) = 0, 6827
(d) P (100− a ≤ X ≤ 100 + a) = P (−a ≤ X − 100 ≤ a)
= P
(
− a
10
≤ X ≤ a
10
)
= 0.95 ⇒ a
10
= 1, 96→ a = 19, 6
1
Exercício 1.2: (Morettin e Bussad cap. 7, ex. 18) As vendas de deter-
minado produto têm distribuição aproximadamente normal, com média 500
unidades e desvio padrão 50 unidades. Se a empresa decide fabricar 600 uni-
dades no mês em estudo, qual é a probabilidade de que não possa atender a
todos os pedidos desse mês, por estar com a produção esgotada?
Resposta:
V ∼ N (500, 502)
P (V > 600) = P (Z > 2) = 0, 023
Exercício 1.3: (Morettin e Bussad cap. 7, ex. 19) Suponha que as am-
plitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D1 e D2, tenham distribuições
N(42, 36) e N(45, 9), respectivamente. Se os aparelhos são feitos para ser
usados por um período de 45 horas, qual aparelho deve ser preferido? E se
for por um período de 49 horas?
Resposta:
D1 ∼ N(42; 36)
D2 ∼ N(45; 9)
Para um periodo de 45 horas, tem-se:
P (D1 > 45) = P (Z > 0.5) = 0.31
P (D2 > 45) = P (Z > 0) = 0, 50
Neste caso, D2 deve ser preferido. Para um período de 49 horas, tem-se:
P (D1 > 49) = P (Z > 1, 17) = 0, 121
P (D2 > 49) = P (Z > 1, 33) = 0, 092
E neste caso, D1 deve ser preferido.
Exercício 1.4: (Morettin e Bussad cap. 7, ex. 22) Seja Y com distribuição
binomial de parâmetros n = 10 e p = 0,4. Determine a aproximação normal
para :
(a) P (3 < Y < 8)
2
(b) P (Y ≥ 7)
(c) P (Y < 5)
Resposta:
(a) P (3 < Y < 8) = P (4 ≤ Y ≤ 7) ∼= P (35 ≤ X ≤ 75)
= P (−0, 32 ≤ Z ≤ 2, 26) = 0, 4881 + 0, 1255 = 0, 6136
(b) P (Y ≥ 7) ∼= P (X ≥ 6, 5) = P (Z ≥ 1, 61) = 0, 0537
(c) P (Y < 5) = P (Y ≤ 4) ∼= P (X ≤ 4, 5) = P (Z ≤ 0, 32) = 0, 6255
Exercício 1.5: (Morettin e Bussad cap. 7, ex. 23) De um lote de produ-
tos manufaturados, extraímos 100 itens ao acaso; se 10% dos itens do lote
são defeituosos, calcule a probabilidade de 12 itens serem defeituosos. Use
também a aproximação normal.
Resposta:
Pelo enunciado a distribuição dos itens segue a seguinte distribuição:
X ∼ b(100; 0.1)
Então a probabilidade de X = 12 é de:
P (X = 12) =
(
100
12
)
× (0.1)12 × (0.9)2
Aproximando pela normal:
Y ∼ N(10; 9)
P (X = 12) = P (11, 5 ≤ Y ≤ 12, 5) = P (0.5 ≤ Z ≤ 0, 83) = 0, 1043
Exercício 1.6: (Morettin e Bussad cap. 7, ex. 34) O peso bruto de latas
de conserva é uma v.a. normal, com média 1.000 g e desvio padrão 20 g.
(a) Qual a probabilidade de uma lata pesar menos de 980 g?
(b) Qual a probabilidade de uma lata pesar mais de 1010 g?
Resposta:
3
(a) X =Peso Bruto ∼ N (1000; 20−1)
P (X < 980) = P (Z < −1) = 0, 15866
(b) P (X > 1010) = P
(
Z > 1
2
)
= 0, 30854
2 Outras Distribuições
Exercício 2.1: (Morettin e Bussad cap. 7, ex. 59) Usando a aproximação
normal a uma variável qui-quadrado, calcular :
(a) P (χ2(35) > 49, 76);
(b) O valor y tal que P (χ2(40) > y) = 0, 05.
Resposta:
Como nos dois itens temos v>30 (graus de liberdade) usaremos a apro-
ximação pela normal. Recordando, que se v>30 e Y tiver distribuição qui-
quadrado com v graus então:
Z =
√
2Y −
√
2v − 1 ∼ N(0, 1)
(a) Queremos P (Y > 49, 76). Então aproximando pela normal:
Z =
√
2 ∗ 49, 76−
√
2 ∗ 35− 1 =
√
99, 52−
√
69 = 9, 97− 8, 30 = 1, 66
Então pela aproximação pela Normal (olhando a tabela da normal pa-
drão):
P (Z > 1, 66) = 1− (0, 5 + 0, 455) = 0, 055 ∴ 5, 5%
Obs: Se olharmos diretamente a tabela da distribuição Qui-Quadrado,
considerando v=30, temos que P (Y > 43) = 5%. Então de fato a
Normal é uma boa aproximação.
(b) Novamente aproximando pela normal, para que P (Z > y) = 0, 05 -
olhando a tabela Normal - temos Z = 1, 65.
Então:
1, 65 =
√
2y −
√
2 ∗ 40− 1
1, 65 + 8, 88 =
√
2y
4
10, 53 =
√
2y
y = 111,05
2
= 55, 52
Exercício 2.2: (Anpec 2006) São corretas as afirmativas :
(a) Se Y é uma variável aleatória Normal, com média 0 e variância 1; se
X segue uma Qui- quadrado com r graus de liberdade; e se Y e X são
independentes, então Z = Y√
X/r
segue uma distribuição t com r graus
de liberdade.
(b) Sejam Y e X variáveis aleatórias com distribuições Qui-quadrado com p
e q graus de liberdade, respectivamente.Portanto, Z = Y/p
X/q
segue uma
distribuição F com p e q graus de liberdade.
Resposta:
(a) Verdadeira. Pela definição de distribuição t dada sabemos que é exa-
tamente essa.
(b) Falsa. O único erro na afirmativa é que Y e X devem ser independentes.
Exercício 2.3: Julgue as afirmativas (Anpec 2012):
(a) Suponha que x1,x2,...,xn sejam variáveis aleatórias independentes e
identicamente distribuídas com distribuição de Bernoulli com parâ-
metro p. Então,X =
∑n
i=1 xi possui uma distribuição binomial com
parâmetros n e p.
(b) Suponha que uma variável aleatória X tenha uma distribuição t de
Student com n graus de liberdade. Então, Y = x2 tem uma distribuição
F com 1 e n graus de liberdade.
(c) Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuições de
qui-quadrado com v1 e v2 graus de liberdade, respectivamente. Então
X = X1 + X2 possui uma distribuição de qui-quadrado com v1+ v2
graus de liberdade.
Resposta:
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(a) Verdadeiro. Por definição, uma variável aleatória com distribuição Bi-
nominal conta o número de sucessos em n experimentos de Bernoulli
independentes.
(b) Verdadeiro. Por definição, temos:
X = Z√
W/n
∼ tn, onde Z ∼ N(0, 1) e W ∼ χ2n
F = W1/n1
W2/n2
∼ Fn1,m2 , onde W1 ∼ χ2n1 e W2 ∼ χ
2
n2
Assim:
Y = X2 = Z
2/1
W/n
∼ F1,n
onde Z2 ∼ χ21 ou seja, Y será uma razão entre uma qui-quadrado com
1 de liberdade e uma qui-quadrado de n graus, e, consequentemente,
seguirá uma F1,n.
(c) Verdadeiro. A soma de duas variáveis aleatórias independentes com
distribuições qui-quadrado com v1 e v2 graus de liberdade possuirá,
também, distribuição qui-quadrado com v1 + v2 graus de liberdade.
Exercício 2.4: Julgue as afirmativas abaixo (Anpec 2014):
(a) Suponha que Zi , i=1,2,....,n, sejam variáveis aleatórias independentes,
cada uma delas com distribuição normal padrão, com média igual a 0 e
variância igual a 1. EntãoX =
∑n
i=1 Zi
2 tem distribuição qui-quadrado
com n graus de liberdade.
(b) Suponha que Z seja uma variável aleatória com distribuição normal
padrão, e que X tenha uma distribuição quiquadrado com n graus de
liberdade. Então, T = Z√
X/n
tem distribuição t de student com n graus
de liberdade.
(c) Suponha que T seja uma variável aleatória com distribuição t de student
com n graus de liberdade. Então, o quadrado de T tem distribuição F
com 1 e n graus de liberdade.
(d) Suponha que X seja uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado
com n graus de liberdade. Então, o quadrado de X tem distribuição F
com 1 e n graus de liberdade.
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(e) Suponha que W e V sejam variáveis aleatórias que possuem distribui-
ções qui-quadrado independentes, com graus de liberdade m e k, res-
pectivamente. Então, W/m
V/k
tem distribuição F com graus de liberdade
m e k.
Resposta:
(a) Verdadeiro.A soma dos quadrados de n variáveis aleatórias indepen-
dentes, cada uma com distribuição normal padrão, segue distribuição
Qui- Quadrada com n graus de liberdade, exatamente como prevê o
enunciado.
(b) Falso. A variável T segue distribuição t de Student se e somente se a
variável aleatória com distribuição normal padrão, em seu numerador,
e a variável aleatória com distribuição qui-quadrada, em seu denomi-
nador, são independentes. Como esta condição não é mencionada no
enunciado, o item é falso.
(c) Verdadeiro.A divisão de variáveis aleatórias independentes, cada uma
com distribuição qui-quadrada, divididas pelos seus respectivos graus
deliberdade segue distribuição F (v1, v2), onde v1 e v2 são os graus de
liberdade, respectivamente, do numerador e do denominador. Obser-
vamos, também pela definição da t de Student que o quadrado de uma
variável aleatória que segue esta última distribuição é:
T 2 = Z
2
χ2/n
na qual o numerador é uma variável aleatória com distribuição normal
padronizada ao quadrado, ou seja, uma variável aleatória qui-quadrada
dividida pelo seu grau de liberdade (igual a um), bem como o deno-
minador (com grau de liberdade igual a n). De forma complementar,
sabemos que as v.a.’s no numerador e denominador são independen-
tes, do contrário T não seguiria uma t de Student, e, portanto, seus
quadrados também são independentes. Como T2 consiste exatamente
na divisão de Qui-quadradas divididas pelos seus graus de liberdade
(1 e n), pode-se afirmar que esta variável segue distribuição F com
parâmetros 1 e n, como diz o enunciado.
7
(d) Falso. Pelo item c, concluímos que o quadrado de uma variável aleatória
com distribuição t de Student é que segue uma distribuição F com 1 e
n graus de liberdade e não o quadrado de uma variável aleatória com
distribuição qui- quadrada.
(e) Verdadeiro. A explicação é a mesma do item c, com exceção de que
agora o enunciado informa diretamente que W e V são variáveis alea-
tórias independentes, cada uma com distribuição qui-quadrada.
Exercício 2.5: (Anpec 2014) Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias indepen-
dentes, cujas distribuições são representadas por X1 ∼ N(µ1, σ21) e X2 ∼
N(µ2, σ
2
2) . Considere a seguinte combinação linear: Y = aX1 + bX2 , em
que a e b são constantes. É correto afirmar que:
(a) Y tem distribuição normal;
(b) Y tem média igual a aµ1 + bµ2
(c) Y tem variância igual a σ21 + σ22
(d) A distribuição de X1 é simétrica em torno de zero;
(e) e b = 0, Y tem variância igual a σ21
Resposta:
(a) Verdadeiro. Como X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes e
seguem distribuição normal, a combinação linear delas também será
normal.
(b) Verdadeiro. Como X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes:
µy = E(Y ) = E (aX1 + bX2) = aE (X1) + bE (X2) = aµ1 + bµ2
(c) Falso. Como X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes então, elas
são não correlacionadas, ou seja Cov(x1, x2) . Portanto:
Var(Y ) = Var (aX1 + bX2) = a
2Var (X1)+b
2Var (X2)+abCov (X1, X2)︸ ︷︷ ︸
=0
Var(Y ) = a2σ21 + b
2σ22
8
(d) Falso. Como, a distribuição de X1 é normal, logo ela é simétrica, e será
em torno de sua média, que é igual a mu1.Colocado de outra forma, a
distribuição será simétrica ao redor de zero se e somente se µ1 = 0, o
que não está garantido.
(e) Falso. Se b = 0, e utilizando a fórmula obtida no item 2, a variância
de Y será:
Var(Y ) = a2σ21 + b
2σ22 = a
2σ21
9