Selección de Temas de Matemática [Jorge Gid Hoffmann]

Prévia do material em texto

www.FreeLibros.org
PROLOGO
Las páginas que siguen son fruto de la convicción, reforzada por m uchos 
años de experiencia docente, de que al estudiante venezolano de bachillerato le 
sobran capacidad y voluntad para enfrentar el estudio de la M atem ática de una forma 
. profunda e íntegra y para fijar sus m etas más allá de los mínimos requerim ientos de 
los programas oficiales.
La aceptación que ha tenido m i anterior trabajo, Selección de Tem as de 
M atem ática 4, me ha hecho ver, además, que, lejos de estar solo en m i em peño por 
exigir lo máxim o del estudiante, soy tan sólo uno más de una verdadera legión de 
docentes que no se resignan a la superficialidad.
A todos aquellos, estudiantes y docentes, que com baten la m ediocridad y no 
temen guiar su barca hacia aguas profundas para atrapar los mejores peces del saber, 
dedico con admiración y respeto este trabajo.
M uchos han sido los que de una form a u otra estuvieron a mi lado en la 
realización de esta obra. A todos les estoy agradecido. Sin em bargo me parecería 
una ingratitud no m encionar a algunos de quienes recibí una ayuda m uy especial:
Carolina Orellana y Francis Abreu, brillantes exalumnas, quienes m e hicieron 
llegar sus observaciones y correcciones. Este trabajo sale con muchos m enos errores 
debido a la dedicación de ellas. Varias secciones no pasaron, lam entablem ente, por 
sus m anos; los errores que en ellas pueden aparecer son exclusivam ente de mi 
responsabilidad.
Jorge B arrero,, tocayo y am igo, en quien no sé qué adm irar m ás, si su 
capacidad para encontrar so lución a los problem as que se le presen tan , o su 
sensibilidad para advertir los problem as de los demás y ayudar a resolverlos.
N o me queda sino desear que este libro sea de utilidad para aquél que lo tome 
en sus manos y que encuentre en él elem entos que le ayuden en su em peño por 
lograr un dom inio profundo de la m ateria. Y ojalá que, al constatar que el esfuerzo 
por hacer bien las cosas deja una honda satisfacción, haga de la lucha contra la 
mediocridad una filosofía de vida.
SELECCION
DE
TEMAS
DE
MATEMATICA
POLINOMIOS - 
SUMATORIAS 
INDUCCION COMPLETA ' 
COMBINATORIA'
BINOMIO DE NEWTON 
GEOMETRIA ANALITICA 
CONICAS 
INECUACIONES 
VECTORES, RECTA Y PLANO 
en el espacio 
MATRICES Y DETERMINANTES 
SISTEMAS
4150 ejercicios propuestos 
con sus resultados
JORGE GID HOFFMANN
SPHINX
Caracas
POLINOMIOS
Generalidades
Toda expresión en la forma
axn + bx"~* + cx"~2 + ■•■■■ + p x + q
donde n es un entero positivo, recibe el nom bre de P olin om io en el que x es la 
Variable, cada sumando es un Térm ino y los parám etros a, b, c, ... , p y q son los 
Coeficientes de los términos del polinomio.
Un polinom io en x se representa por la notación P (x) que se lee “P de x” , o
con el uso de otras letras (Qup M (xP%N (xpf xp gfx), etc.).
Por ejem plo, x~ + 3a' 2 - 5 x + 2 es un polinom io en x . Podem os expresarlo
así:
P( x ) s x 3 + 3 j c 2 - 5 x + 2
El V alor num érico de un polinom io en x para un cierto valor particular x - a 
se representa por Pla) y se obtiene sustituyendo la variable x por a.
En el ejem plo anterior, el valor numérico del polinom io para x = - 2 es
El G rado de un térm ino de un polinom io es igual a la sum a de los 
exponentes de las variables de dicho término.
5x es un térm ino de primer grado porque el exponente de la parte literal * es 
uno ( 1 ).
8 -vy es un térm ino de segundo grado porque la sum a de los exponentes de los 
factores literales es 2
xy2 es un térm ino de tercer grado
l x iy 2z es un término de octavo grado
El Grado de un polinom io es el grado de su térm ino de m ayor grado. En el 
polinom io 5* 3 +3.v 2 +2.v + 7el prim er térm ino es el de m ayor grado (tercero). El 
polinom io es, entonces, de tercer grado.
U n pplinomio puede ser de Grado nulo si el máxim o grado de la variable es 
cero. PU )= 7 es un polinomio de grado nulo.
En general, cualquier número real distinto de cero es un polinom io de grado
= ( - 2 ) 3 + 3 ( - 2 ) : — 5 (—2) + 2 
= - 8 + 1 2 + 10 + 2
POLINOMIOS 7
nulo. El núm ero cero tam bién se considera un polinom io: es el único polinom io 
cuyo grado no está definido. ■
Por eso se prefiere llamar Polinom io constante al polinom io P(x) = a (donde 
a * 0) y Polinom io nulo al polinomio P(x) = 0 .
Un polinomio es homogéneo si todos sus términos son de igual grado:
4 a 5 - 3 a 4>>+2A3 y 2 + A2 y 3 -5 A y 4 + y 5 es un polinom io hom ogéneo de 
' quinto grado, pues todos sus térm inos son de quinto grado.
Térm inos sem ejantes de dos polinom ios son los térm inos que tienen 
idéntica la parte literal.
. Los coeficientes de los térm inos de un polinom io pueden ser e n te r o s , 
fraccionarios, irracionales e imaginarios:
x 3 + 3.x2 + 2 a - 1 es un polinomio con coeficientes en Z
— a 2 + — x + — e s u n p o l in o m io c o n c o e f ic ie n te s e n Q
2 2 1 4
V 2 jc 3 + 3 \ Í 6 x 2 + 1 e s u n p o l in o m io c o n c o e f ic ie n te s e n R
x 4 + (3 + i ) a 3 + 2ix + 5 es un polinom io con coeficientes en C
Dos polinom ios Plx) y Qlx) son iguales sólo si los coeficientes de los términos 
del mismo grado son iguales.
Operaciones con polinomios 
Suma Algebraica
Para sum ar dos o más polinom ios, se suman algebraicam ente los térm inos 
semejantes de dichos polinomios.
El grado del polinomio suma es igual o menor que el del Polinomio 
sumando de mayor grado
Ejemplo
Sean P{x) = 3.x3 - 5 a 2 + 3
M (l) = - 5 a 4 - 2 a 3 - 5 a - 1 
N lx )=x~ - 4 x 2 + 3 x - 2 
Determinar Py
PU) + Af( v) - N (x) = 3.r3 - 5 a 2 + 3 + 5 a 4 - 2 a 3 - 5 a - 1 - a 3 + 4 a 2 - 3 a + 2
5 a j - a 2 - 8a + 4
El polinorpio suma es de cuarto grado (al igual que M (xr que era el polinom io 
sumando de mayor grado). Podría haber sido de tercer grado si en la sum a algebraica 
se hubieran elim inado los términos de cuarto grado, o de grado menor, si se hubieran 
eliminado también los términos de tercero, segundo, etc., grado.
8 POLINOMIOS
Multiplicación
La m ultiplicación de polinom ios se efectúa teniendo en cuenta la ley de los 
signos y aplicándola propiedad distributiva
El grado del Polinomio Producto es igual a la suma de los grados 
de los Polinomios Factores
Ejemplo
Sean P{ = 2 a + 3 a - a + 2
M {x) = x - 4 * — 1
D eterminar P{x)'-Mlx)
P( x ) - M {x) = ( 2 a 3 + 3 a 2 - a + 2 ) ( a 3 - 4 a - 1 ) 
= 2 a :6 - , 8 a :4 - 2 a :3 + 3 a :5 - 1 2 a :3 - 3 a :2 - a 4 + 4 a 2 + a + 2 a 3 - 8 a - 2
2 a :6 + 3 a :5 - 9 a :4 - 1 2 a :3 + a 2 - 7 a - 2
Multiplicación por coeficientes
Si los polinom ios factores contienen una m ism a única variable y están 
ordenados en la m ism a form a con relación a la variable (se aconseja que sea en 
form a decreciente) la m ultiplicación se facilita utilizando sólo los coeficientes, tal 
com o se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejem p lo
Efectuar el anterior producto PU) ■ M {x) utilizando sólo los coeficientes:
2 3 —1 2 C oefic ientes de P,„
1 0 - 4 - 1 C oefic ien tes de M ,„ (nó tese e l cero , coeficiente de x2)
2 3 - 1 2
- 8 - 1 2 4 - 8
_______________ r 2 - 3 _____ 1 - 2
2 3 —9 —12 1 —7 - 2 Coeficientes del Polinomio Producto (de 6o grado)
Plx) ■ M ( x) = 2 x + 3 a - 9 a -4 - 1 2 a 3 + a 2 - 7 a - 2
División de polinomios
O rdenados el D ividendo y el D iv isor, se d iv ide el prim er térm ino del 
dividendo entre el prim ero del divisor para obtener el prim er térm ino del Cociente. 
Este prim er térm ino se m ultiplica por todo el divisor y el producto se resta del 
D ividendo (para lo cual se le cam bia signo), escribiendo cada térm ino debajo de su 
semejante. Se obtiene así un primer residuo parcial.
La operación se repite con cada residuo parcial que se obtenga (m ientras el 
grado del residuo parcial sea m ayor o igual al del Divisor).
POLINOMIOS
El Residuo de la división será el prim er residuo parcial cuyo grado sea menor 
que el del Divisor.
Ejemplo________________________________Sean D(x) = 2 x 5 - 3jc4 - 8 x 3 - 1 l x 2 - 35x - 24 
¿u) = x 2 ~ 3 x - 2 
Determinar Qlxl (cociente) y R(x> (residuo) de dividir D lx) entre dlx).
3a:4 - 8 jc3 - 1 Ijc2 - 3 5 * - 2 4 1 * 2 - 3 * ~ 2 
6x a + 4 x 3 2x3 + 3x2 + 5 * + 10
3 x 4 - 4 x 3 
-3x4 + 9x3+ 6x2 
5 x 3 - 5 * 2 
•+5*3 + 1 5 *2 + 1 0 *
1 Ojc2 - 25x 
- 1 0 * 2 + 30a:+ 20 
5 x - 4
Q(x, = 2 * 3 + 3 . r + 5 * + 10
*u> = 5 * - -4
En la división, el grado del Cociente es igual a la diferencia 
del grado del Dividendo y el grado del Divisor.
El mayor grado que puede tener el Residuo es el grado del 
Divisor menos una unidad.
El Residuo es cero cuando la división es exacta.
En toda división se cumple que
Dividendo = D ivisor x Cociente + Residuo 
(Identidad fundamental de la división)
La división del ejem plo anterior se puede hacer de form a más sencilla 
utilizando sólo los coeficientes:
2
- 2
- 3 - 8 
6 ___ 4
-11 -3 5 -2 4 1 - 3 -2
5 10
- 4
9
5
-5
-5
1 1 _ JO
1 0
-1 0
-25
_ J 0 _ 20
-4
Respuesta:
= 2 x 3 + 3 .v + 5* + 10
*u> = 5 x - -4
1 0 POLINOMIOS
C Ejercicio 1 [
Dados los siguientes polinomios:
Mu) b 6 x B + 17x5 + 2 * 4 + 2 * 3 - 38*2 + 9* - 63 
N(x) = 2 x 3 + 5x2 - x + 7 
P(x) = 2 * 5 + x 4 - 10x3 + 2 9 * 2 - 32* + 4 
7 ^ 2 * 2 - 3 * + 6 
V;a) = * 3 - 2 * 2 + 3 * + 1 
4 * 3 - 2 * + l 
3 * 5 + * 3 - * 2 + 3 
Su, s * - 2
fy*, = 2 * + 1
L a división de un polinom io por el binom io * + a puede realizarse con m ayor 
rapidez por un procedim iento que recibe el nom bre de División Sintética o Regla de 
Ruffini.
E jemplo 1 _________________________
Sea la división (x 4 + 5 x 3 + 2 x 2 - 3* + 3) + (x + 2)
Para ob tener el cocien te por el p roced im ien to o rd inario se d ispone la 
operación de esta forma:
x 4 + 5 x 3 + 2 x 2 - 3 x + 3 | x + 2 
- * 4 - 2 x 3 •' x 3 + 3 x 2 - 4 x + 5
3x 3 
- 3 x 3 - 6 x 2 
—4 x 2 
4 x 2 + 8 x
5x 
- 5 x - 10 
-7
Llamemos d,, d 2, d 3 ... los coeficientes del Dividendo: 
d, = 1 d 2 = 5 d 3 = 2 d 4 = -3 d 5 = 3
determinar:
División de un polinomio entre x+a 
- Regla de Ruffini
POLINOMIOS 11
Llam em os a el segundo térm ino del Divisor: a = 2 (La raíz del D ivisor será 
- a = - 2 y
Llam em os c „ c2, c 3 ... los coeficientes del Cociente: 
c, = 1 c2 = 3 c 3 = - 4 c4 = 5
Llamemos, por último, R al Residuo: R = - 7
Podemos, entonces, observar:
1) El coeficiente del primer térm ino del Cociente es igual al del primero del 
Dividendo: c, = d, = 1.
2) El coeficiente del segundo térm ino del Cociente se obtiene multiplicando 
el del térm ino anterior por - 2 (raíz del D ivisor) y sumando el producto al 
co e fic ie n te del segundo té rm ino del D iv idendo : c , = l ( - 2 ) + 5 
= c, • ( - a ) + d2
3) El coeficiente del tercer térm ino del Cociente se obtiene multiplicando el 
del térm ino anterior por la raíz del D ivisor y sum ando el producto al 
c o e f ic ie n te ; del te rc e r té rm in o del D iv id en d o : c . = 3 ( - 2 ) + 2 
= c2 - ( - 0 ) + ¿ 3
4) D e form a análoga se obtienen el coeficiente del cuarto térm ino del 
Cociente y el Residuo
5) O bsérvese, por últim o, que el grado del Cociente es una unidad menor 
que el gra^o del Dividendo, lo que sucederá siem pre que el D ivisor sea 
de prim er grado, es decir, de la forma x + a.
Disposición práctica
Los cálculos anteriores se efectúan rápidam ente disponiendo los elementos de 
la siguiente forma:
r
2 | - 3 | 3 |
4 : 2 T t V r ■y r lQ V
1 3 5 I -7 Residuo
C oefic ientes del D ividendo
Raíz del D iv isor ^ _ _ . . , _ .
Coeficientes del Cociente
Las flechas dirigidas lateralmente .....................y ) indican un producto.
Las flechas dirigidas hacia abajo ( ^ ) indican una suma algebraica.
Resumen de ia División Sintética o Regla de Ruffini:
1) El Cociente de dividir un polinom io en x por otro de la form a x + a es 
un tercer polinom io de grado m enor en una unidad que el grado del 
Dividendo.
2) El coeficiente del prim er térm ino del Cociente es igual al coeficiente del 
primer térm ino del Dividendo.
1 2 POLINOMIOS
3) A partir del segundo, los coeficientes de un térm ino cualqu iera del 
C ociente se obtienen m ultiplicando el coeficiente del térm ino anterior 
por la ra íz del D iv iso r y sum ándole al p roducto el co efic ien te 
correspondiente del Dividendo.
Ejemplo 2______________________________
''Efectuar: (x 8 + 5 x J - 3 x 5 - 2 x 4 + 6 x 2 - 3x + 5) + (a: +1)
U tiliz a n d o la R eg la de 
R uffini:
1 5 0 -3 - 2 0 6 -3 5
- 1 - 1 - 4 4 - 1 3 - 3 -3 Ó
1 4 -4 1 -3 3/
3 - 6 LLL
(2, v) = x 1 + 4 x 6 - 4 x 5 + x 4 - 3 x i + 3 x 2 + 3 x - 6 
R = \ \ _________ _________________________
Ejemplo 3______________________________
Efectuar: ( 6 x 4 - 5 x 3 - 3 x + 2) + (x - 2)
U tilizando R uffini:
6 ~5 0 -3 2
2 1 2 14 28 50
6 7 14 25 L52
Q x) = 6 x 3 + 7 x 2 + 1 4 * + 25 
R = 52___________________
Ejem plo 4______________________________
Efectuar: (2 x 5 + 3V3* 4 + I x 3 + 2 ^ 3 x 2 - 3x + 3V3) + (jc + V 3)
U tilizando Ruffini:
2 3V3 7 2V3 -3 3V3
- V 3 - 2 ^ 3 - 3 - 4 V 3 6 - 3 ^ 3
2 V3 4 - 2 ^ 3 3 !_£
<2(a) = 2 x 4 + V3* 3 + 4a : 2 - 2- j3x + 3 
R = 0 (La división es exacta)
E jm pJsJ.____________________________
Efectuar: (3x 5 + 4 x 4 - 2 x 3 - -j x 2 + 2 x - 1 ) + (x - ■})
U tilizando Ruffini:
3 4 - 2 - 1 2 - i
1 2 4
4
T i
i á
9
3 6 2 1 13 L i
Q( x) = 3 x 4 + 6 x 3 + 2 x 2 + x + f
POLINOMIOS 13
E¡jemplo 6 _________________________
Efectuar: (2 Z 4 + 3¿Z3.+ 3 Z 2 + Z + 5) + (Z + 2 i) 
Utilizando Ruffini:
2 3i 3 1 5
- 2 i -4 i - 2 i —4—2 i
2 - i 1 1 —2 i i 1 —2 i
= 2 Z 3 - t'Z2 + Z +1 - 2í
R = l - 2 i _________________
Ejemplo 7______________________________
/
■ • Efectuar: [3Z 3 - ( 8 - 5¿)Z 2 + (1 + 3¿)Z - 3 + 9i] + (Z - 3 + 2 i)
Utilizando Ruffini:
3 -8+5i l+3i -3+9i
3-2i 9—6 i 1 —5i 2-1 Oi
3 1 - i 2 —2 i 1 - 1 - i
j ^ , ) = 3 Z 2, + ( l - i ) Z + 2 - 2 t 
R = ~ l - i _____________________
Eienwto 8___________________
Efectuar: ( 5 a 12 + 6 a 9 - 2 a 6 - 4 a 3 + 2 ) -* - ( a 3 + 1 )
A unque en esta oportu ­
nidad el divisor no es de la 
form a x + a, sin embargo, 
dado que los exponentes de 
la variable en el dividendo 
son múltiplos del exponen­
te de la variable del divi­
sor, efectuando un cambio 
de v a r ia b le , po d em o s 
e m p le a r la R eg la de 
Ruffini.
Haciendo x3 = y tenemos: + 6 _y — 2 y — 4 y + 2 ) ■+■ ( y + 1)
Utilizando ahora Ruffini:
5 6 - 2 - 4 2
- 1 -5 - ] 3 1
5 1 - 3 - 1 í_ 2
fitjr) = 5y 3 + y 2 - 3y - 1 
R = 3
Y, deshaciendo el cambio 
de variable:
Q x) = 5 a 9 + a 6 - 3 a 3 - 1 
R = 3__________________
POLINOMIOS
Ejemplo 9______________________________
Efectuar: (3* 2 5 - 6 a 20 + 2 a 15 - 7 a 5 - 2) + ( a 5 - 2)
Dado que los exponentos 
de la variable en el d iv i­
dendo son m últiplos del 
exponente de la variable 
del divisor, podemos efec­
tuar un cambio de variable.
Haciendo x5 = y tenemos: ( 3 y — 6 >’ + 2 y ' — l y — 2 ) + ( y — 2 )
Utilizando Ruffini:
3 - 6 2 0 -7 - 2
2 6 0 4 8 2
3 0 2 4 1 LO
f í v, = 3 / + 2 r + 4 y + l 
R = 0 (La división es exacta)
Y . d eshac iendo el cam b io
de variable: *____________________________
Q ( x ) = 3 x 2 0 + 2 x ' ° + 4 x 5 + \
R = 0____________________
( Ejercicio 2
Determinar Q(x, y R por el método de Ruffini:
1 ) ( 3 a 3 - 2x~ - 1 1 a + 7 ) + ( a - 2 )
2) ( 5 a 4 - 4 3 a 2 + 4 a + 4) -s- ( a + 3)
3) ( a 4 - 5 a 3 - 2 a + 8 ) - í - ( a - 5 )
4 ) U 5 + 1 ) + (jc + 1)
5) ( 3 a 4 + 7 a 3 + 8 a 2 + 1 4 a + 7 ) ^ a + - ^
6 ) ( 6 a 4 + 5 a 3 - 9 a 2 - 1 3 a + 1 0 ) - ( a
0 ) ( 4 a 4 - a 3 + 2 a 2 - 2 a + 1 ) h - Í a - - Í 1
8 ) ( a 4 + 2 a 3 + A‘ + 2 A + l ) - 5 - ^ A + -^-j
9 ) (A 5 - 5 a 3 + 11 a + 5 V 2 ) - (A - < 2 )
(fí¡p
11) ( 3 a 5 - 5 3 a 3 + 2 \ ' 2 a2 - 7 a + v '2 ) + ( a + 3 ^ 2 )
12) ( a 5 - 2 a c 4 + a 2A 3 - 2 a 2 - 2 o A + l) + ( A - a )
(£$)) [ 2 a 3 + (3m —2 a ) * 2 + (ni2 - \)x~+anj2 - a 2m + a ]- 5- ( A - a + m)
( l4 ) (2 Z 4 - /Z 3 + Z 2 + 3Z - 2 f ) - ( Z - 0
POLINOMIOS 1
15) [Z 5 - Z 4 - iZ 3 + (4 + 7 i)Z 2 + 6 /Z - 4 + 2/] + (Z - 2 + i)
16) [(1 + i)Z 3 + ( 1 - 2¿)Z 2 + (1 - 1 li)Z - 8 i] + (Z - 3 - 2 i)
17) [(1 + 2r)Z3 - (5 + 5í)Z2 - 6 + 4 i] + (Z - 3 + i)
18) [2 Z 3 + (3 - 4 i)Z 2 - ( 2 - i )Z + 3 - 4 i] + ( Z - j - i )
19) (3x 6 - 7 x 4 + 7 x 2 - 8 ) + (x 2 - 2)
20) (x 1 5 + 6 x 1 0 - x 5 - 25) + (x 5 + 5)
21) (2 x 1 6 + 6 x 1 2 + x 4 + 4 ) + (x 4 + 3)
2 2 ) (6 x 2 l - 7 x l4 + 3 ) + | x 7 - i j
. 23) (3x 1 2 - 10x 6 + 7 x 3 + 6 ) + (x 3 + 2)
( 0 ) (ax 1 8 - 3axn + a x 6 + 5) + (x 6 - 2)
25) (3x 6 - 2 a x 4 + 5 a 2 x 2 - 6 a 3) + (x 2 - a)
26) (2 Z 9 + 3 Z 6 + 3iZ 3 - 1 ) (Z 3 + 1 )
27) [2 Z 2 4 + (1 - j)Z 1 6 - (22 - 1 5 i)Z 8 + 13] + (Z 8 - 3 + í)
28) (Z 8 + 4 )- í- (Z 2 - l - i )
División de un polinomio entre ax + b
M ediante una sencilla operación, puede también aplicarse la Regla de Ruffini 
en el caso de que el divisor sea de la form a ax + b.
T éngase sólo en cuen ta que, al rea liza r una m ism a operación con el 
D ividendo y con el D ivisor, el C ociente no se altera, pero el R esiduo s í queda 
afectado por la operación realizada. Esto es fácilm ente com probable m ediante una 
elemental división de números.
Si, por ejemplo, dividim os Dividendo y D ivisor entre 3, al realizar la división 
sintética no obtendrem os R sino R/3; si multiplicam os D ividendo y D ivisor por 5, no 
obtendremos R sino 5R. Veámoslo en la práctica:
Ejem plo 10_________________________________________________ '___________
Efectuar: (9 x 4 + 6 x 3 + 2 x 2 + x - 3) + (3x +1)
Debemos, para poder apli­
car Ruffini, llevar primero 
el divisor a la forma x + a.
Para esto dividimos entre 3
todos lo s térm inos del . , , 2 .
dividendo y del divisor: (3* + 2 x + - 5-X + -y X — l ) + (x + - )̂
Utilizando Ruffini:
3 2 } i - 1
- i -1 - i - f r
3 1 i í
6 POLINOMIOS
La operación realizada con 
el d iv idendo y con el 
d iv iso r no a fe c ta al 
cociente. Por tanto
El residuo, en cambio, sí 
q u eda a fec tad o por la 
operación. Por tanto lo que 
o b tuv im os al hacer la 
división no es R sino R/S:
Despejando R
Qix) = 3 * 3 + X 2 + ^ X ~ $
R = _ 29 
3 ” 27
E im p te .il______________________________________________________________
Efectuar: + 5 x 2 - 9 x + 1 0 ) í-y +1
M ultip licam os todos los 
térm inos del dividendo y 
del d iv iso r por 7 para 
llevar éste últim o a la 
forma x + a
Utilizando Ruffini:
El cociente no se alteró 
por la operación realizada, 
por tanto
( l x i + 35 x2 r- 63x + 7 0 )+ (* + 7)
7 35 -6 3 70
- 7 -4 9 98 -24,5
7 -1 4 35 -175
g x) = l x 2 - 1 4 * + 35
En cam bio, el residuo sí, 
por lo cual no obtuvimos R
sino IR: 7R = —175
Despejando R:
EknuteJL
R = -2 5
Efectuar: (4 x 25 + 8 * 2 0 - x ' s - 2 x 10 + x 5 - 1) + (2 x 5 - 1)
Hacemos, en primer lugar,
d C am bio de V a ria b le . ^ + &y, _ y , _ l y í + y _ , ) + ( 2 y _ , )
Dividiendo ahora todos ios 
términos entre 2 : (2 y5 + 4 / - ± y 3 - y 2 + ± y - ± ) + ( y - ± )
2 4 - i -1 i -
_ i i ____ i ____ I____2_
2 5 2 0 i
*
E l co c ien te no se h a _ 9 4 _j_ 3 j . 9 v 2 -í-A
alterado, el residuo sí: **(>•> _ + - V + z / + T
_-L
4
POLINOMIOS 1 7
Despejando R:
D eshaciendo el C am bio de 
V ariable:
Ejemplo 13_____________________________
Efectuar: [(3 - 4 i)Z 3 + (1 - 8 i)Z 2 + (4 + 3/)Z + 14 - 7/] - [(2 - i)Z + 5]
/
D iv id im o s to d o s lo s r .0 , / , , , -7I r -7 , o , -l
términos entre 2 -i: P ~ ‘^Z + < 2 - 3 ‘>Z + d + 2«)Z + 7 j + [ Z + 2 + l]
U tilizando Ruffini:
2 - i 2 -3 i l+ 2 i 7
- 2 - i -5 3+9i 3-26i
2 - i - 3 -3 i 4+11 i 10—26i
El cociente no quedó 
alterado, el residuo sí:
— = 1 0 - 2 6 /
2 - i
D espejando R: /? = (2 - /) (1 0 - 2 6 / )
|~ f t = - 6 - 6 2 /
( Ejercicio 3
Determinar Qfx) y R por el método de Ruffini:
1 ) ( 4 a 3 + 1 0 a - 3 a + i ) + ( 2 a - 1 )
2 ) ( 9 x 4 + 6 x 3 + a 2 - 3 a + 1) + (3 a + 1)
© ( 6 x 3 - x 2 - a + 3 ) + (3 a - 2 )
4 ) ( a 3 - 2 a 2 - a - 2 ) + ( 2 a - 5 )
5) ( 5 a 4 - 3 a:3 -■^■a - 1 5 ) + ( 5 a + 2 )
6 ) ( 2 x 4 - a x 3 - 8a '2 + 2 a x + 2 a 2 ) + ( 2 a -
7) ( 3 x 3 - 4 i x 2 - a + 6 ) + (3 a - / )
8 ) (-i x 3+ j x 2 + a - 7 ) + ( í a + 1 )
® ( * * ’ - U 2 - * ) + ( ± x - l )
( ^ 4
- b x 3 + -*-a2 — 3¿>a + 3 a b 2 j +• ( 4 a
1 1 ) (4 Z 3 + 2/Z - /Z - 4 + 2/) + (2Z - 1)
1 2 ) [2 Z 3 + ( 6 - 3/)Z + 3 - /] + (2 Z - 1 - 3 / )
Q Z) = (2 ~ 'i )Z 2 - (3 + 3i )Z + 4 + 11/
Qix) = 2 x 20 + 5jc15 + 2 a 10 + + 
R = - \
POLINOMIOS
^ 3 p [(2 + 2*)Z3 + (5 - 3i)Z 2 - (1 - ¿)Z + 5 + 2 i] + (2Z +1 - 2 i)
14) (25*12 + 6 5 a :9 + 5 x 6 + 6 0 a:3 + 40) + (5*3 + 3)
15) ( | x 2 ,-2 jc '4 + j x 7 + i ) + (3jc7 - l )
16 ) [(7 + /)Z 3 - (10 - 5 í)Z 2 - (18 - 6 i)Z + 1 5 -1 0 /] + [(2 + i )Z - 5]
"17) [(4 - 7/)Z 4 - (21 - /)Z 3 - (26 - 13/)Z2 - (53 - 5¿)Z - 50 + i] +
+ [ ( 3 - 2 i ) Z - 1 3 ]
Teorema del Residuo (o del Resto)
/
El residuo R de la división de un polinom io por el binom io r + a e s igual 
al valor que tom a el polinom io para x = - a , es decir, P,.a):
Ert efecto , si llam am os QM 
al co c ien te y R al residuo 
que se ob tien en al d iv id ir 
P,xl por x + a, tendrem os, 
por la identidad fundam en­
tal de la división , que
R = P( - a )
P{x)= ( x + a ) Q ix) + R
Si en la iden tidad a n te rio r _ ^ _
hacem os x = -a tendrem os: i-a) ~ ' 'a + a ' ' + *
El p rim e r té rm in o de la 
d erecha se e lim ina po r ser 
- a + a = 0, p o r lo que 
resulta que
EÍ?mpjo_14____________
D eterm inar el residuo R de la división de P{x) = x 3 - 5 x ¿ - 3x + 2 por x - 2, 
sin efectuar la operación.
P o r e l T e o r e m a d e l
R es id u o , p a ra c a lc u la r R p _ p
basta hallar P,.2;. K ~ U-2)
= ( - 2 ) 3 - 5 ( - 2 ) 2 - 3 ( -2 ) + 2 
= - 8 - 2 0 + 6 + 2
= -20
( Ejercicio 4
.1 ) P{x)= 2 x A - 2 x * + 4 x 2 - 5 x + l
2) *P{X) s 2 jc 3 - 3 a : 2 + 5jc +1
Determ inar (̂l)> P(2)
D eterm inar P(¡), P(4),
POLINOMIOS 1 9
3) = A4 + a 2 - 2 Determinar P< M
u
4) = A3 + 2 a 2 + 3 a + 2 Determinar Pn-iV
5) * > S A 3 + a 2 + A + l Determinar P(\+2i) » Pi-J 2 )
C Ejercicio 5
Determinar en cada caso el residuo sin efectuar la división:
1) ( 3 a 4 - 2 a 3 + 4 a 2 - 7 a + 3 ) - * - ( a - 1 )
© ( 2 a 4 - 3 jc3 + 2 a 2 - 2 x - 12) + ( a + 1 )
3) ( a 5 - 5 x 4 + 7 a 3 - 8a 2 + 1 O a + 9 ) - ( a - 2)
é ( x 3 + 7 . r 2 + 1 5 . r + l ] ) - K x + 3)
( Z 5 + 2 Z 4 + Z 3 - 3 Z 2 + 3 ) - K Z + í )
6) (Z 4 + 3 Z 3 + 4 Z 2 + 1 0 Z + 3) + ( Z - 2 i )
Criterio de divisibilidad de un polinomio por x + a
Sabem os, por el teorem a anteriorm ente dem ostrado, que el residuo de dividir 
PM por x + a es P,.a,
R=P,-a)
Sabemos, por otra parte, que una cantidad es divisible por otra si, al efectuar 
la operación, no queda residuo.
Relacionando am bos conceptos, tenem os que un polinom io P (x) es divisible 
por x + a si P(-ap el residuo, es igual a cero.
(x + a ) / » _ a ) = 0
Si = 0 , decim os q u e -a e s u n a ra íz o u n c e ro d e P(x)i p o r q u e a l s u s t i tu i r 
la variable por - a el polinom io s e a n u la .
Recíprocamente, k e s r a íz d e P(x), s i Plkl = 0.
Problemas sobre división de polinomios
Ejemplo 15_____________________________
D eterm inar c u á l d e b e s e r e l v a lo r d e m p a r a q u e a l d i v i d i r e l p o l in o m io
u>P & 2 a 3 + o t a 2 + ( 3 o t - 1 )a + 5m p o r a + 1 e l r e s id u o s e a 8 .
El residuo dela división 
será y, según las 
condiciones del problem a, _
éste debe ser igual a 8: “(-i > — °
portanto : 2 ( - l ) 3 + o t ( - 1 )2 + ( 3 o t - 1 ) (—1) + 5 o t = 8
Resolviendo:. - 2 + OT - 3 o t + 1 + 5 o t = 8
*
De donde m _ 3 I
20 POLINOMIOS
E m m ls-L L
Determ inar m para que P x) = 5 x 3 + ( m - 9 )x 2 - 3 x + m - l sea divisible por
2 .
P ara q u e se cu m p lan las 
c o n d ic io n es del p rob lem a, 
el re s id u o de la d iv is ió n 
debe ser cero:
Por tanto
^ , = 0
5 (2 ) 3 + (m - 9) (2 ) 2 - 3 (2) + m - 1 = 0
Resolviendo: 40 + 4 m - 3 6 - 6 + r a - l = 0 
5m - 3 = 0
3 m = — 
5
Ejemplo 17
D eterm inar cuál es el valo r que debe tom ar m para que el polinom io 
P(x) = 2 x 4 + (ni+ 2 5 )x } + ( \ 2 m - l l ) X 2 - ( \ 4 m - 2 4 ) x + m + 2 sea d iv is ib le p o r 
x + 13.
S egún las co n d ic io n es del 
p rob lem a , e l residuo d e b e , 
ser nulo, es decir,
Pero c a lcu la r P ,., ,, o rig ina 
la aparic ión de can tidades 
m uy g ran d es . E ste in c o n ­
v en ien te se e lim in a si, en 
lugar de ob ten e r el residuo 
calcu lan d o P,. 1(|, lo h a lla ­
m os e fectuando la d ivisión 
com pleta.
U tilizando Ruffini:
El residuo de la d iv isión es 
14»? + 28 , y é ste deb e se r . 
igual a cero pa ra que P , v 
sea d iv isible pora: + 13:
2 m+25 1 2 m -l 1 -14m +24 m + 2
-1 3 -2 6 -13m +13 13m -26 13m+26
2 m - 1 - m + 2 -m - 2 1 ,14m+28
14 m + 28 = 0
m = - 2
Ejemplo 18
D eterm inar cuál debe ser el valor de m para que una de las raíces del 
polinom io P{ v) = x 4 - m x 1 + (m 2 + l ) x + 3m 2 +1 sea - 2.
Para que - 2 sea ra íz o cero _ A
de P ,lv debe cum plirse que (- 2 ) ~ ^
POLINOMIOS 2 1
P or tanto
R esolviendo:
( - 2 ) 4 - m ( - 2 ) 2 + (m 2 + 7 ) ( - 2 ) + 3m 2 + 1 = 0 
\ 6 - 4 m ~ 2 m 2 - 1 4 + 3m 2 + 1 = 0 
m 2 - 4 m + 3 = 0
Factorizando: ( m - 3 ) ( m - l ) = 0
D e donde m, = 3 
m2 = 1
( Ejercicio 6
Determinar en cada caso el valor que debe tomar m: 
d j / para que P(t) = r 3 + m 2 + ( m - 3)x + 10 sea divisible por x - 2.
para que P(x)-= m x 3 - I m x + 2 adm ita la raíz -3 .
3) para que P(:) = m x 3 + m 2x 2 + (3m2 - m ) x + 4 m 2 - 2 m — 24 sea d iv isib le
por x + 2.
4) para que P(xj = 2 x 4 + m x 3 + (7 - m )x 2 + m 2x - I m +1 adm ita la raíz 1.
6 ) para que al dividir P{x) = x 3 - m x 2 + (lOra - 15)x - 1 5 m - 30 entre x - 5 el 
residuo sea R = - 1 0 .
7) para que al dividir P(x) = m x 3 + 2 m x 2 + 3m x + 4 m + 7 entre x + 3 el residuo 
sea/? = 5.
8 ) para que al d iv id ir P{x) = ( m - 3 ) x 3 + 3 x 2 + m x + m + 2 en tre x + 1 -e l 
residuo sea 1 0 unidades m ayor que si se divide entre x + 2.
ei residuo sea ¿o unidades m enor que si se divide entre x - z.
1 0 ) p a ra que la d ife re n c ia de l re s id u o que se o b tie n e a l d iv id ir
P(x) = m x3 - (2m - 3 )x 2 + ( 5 m ~ \ ) x + 2m entre x + 1 y e l residuo que se 
obtiene al dividirlo entre x - 1 sea igual a 6 . 
fTl)j para que al dividir P(x) = 3jc2 - 5 x - 4 entre r - m el residuo sea R = -2 .
12) para que P(x) = 6 x 2 + x - 1 sea divisible por x + m.
Ejemplo 19_____________________________
Determ inar m y n para que P{x) = x 3 + m x 2 + n x - 2 Q sea divisible por x - 5 
y por x - 2 .
Si P ,x) e s diviíiib le por
x - 5 , en tonces
2 2 POLINOMIOS
Por tanto 125 + 2 5 m + 5/i - 20 = 0
Sim plificando:
S i P ,„ es, adem ás, d iv is i­
ble po r x - 2 . entonces
Sim plificando:
Form am os un s istem a con 
las ecuaciones I y II:
25m + 5 n = -1 0 5 
5 m + n = -21
^ 2 , = 0
8 + 4 m + 2 n — 20 — 0 
4 m + 2n = \2 
2 m + n = 6
5m + n - -21
2 m + n = 6
( I)
(II)
La solución del sistem a es: m = - 9 
n = 24
Ejemplo 20_____________________________
D eterm inar m y n p ara que P[x) = 6 x 3 + m x 2 + r a
2 x 2 - x - 3
Si u n a can tidad cualqu iera 
e s d iv is ib le p o r un p ro ­
ducto , es d iv isib le tam bién 
po r cada un o de los fac to ­
res q u e co m p o n en d ich o 
producto.
C o m o e n n u e s tro caso 
2x~ - x - 3 = ( 2 x - 3 )(* + 1)
Plxl debe ser d iv isib le por 
c ad a un o de lo s fa c to re s 
( Ix - 3 ) y (x + 1) pa ra que 
s e a d i v i s i b l e p o r 
2x2 - x - 3 . Y las ra íc e s - 
de esos b inom ios deben ser 
tam b ién ra íces de P,„. Por 
tanto.
¡ i r 0
- 3 sea d iv isib le
D esa rro llan d o la p r im e ra 
igualdad:
¿ 2 7 9 3 , A
6 ------- 1— m -1— n — 3 = 0
8 4 2
POLINOMIOS 2 3
M u ltip lic an d o -la ecuac ión 
p o r 4:
S im plificando:
D e sa rro llan d o la seg u n d a 
igualdad:
F o rm am os un s istem a con 
las ecuaciones 1 y II:
81 + 9m + 6n - 3 = 0 
9 m + 6 n = -6 9
3 m + 2 « = -2 3
- 6 + m - « - 3 = 0 
m - n = 9
3m + 2n = -2 3 
m - n = 9
( I)
( I I )
L a solución del sistem a es;. m = - 1 
« = - 1 0
Ejemplo 21
Hallar m y n para que P(x) = 2 x 3 + m x 2 + n x - 2 1 sea divisible por x 2 + 9
,v" + 9 no tie n e ra íc e s 
r e a le s . S u s r a íc e s so n 
im aginarias: ± 3i
E s ta s d eb en se r tam b ién 
ra íces de P,,¡ y, po r tanto:
D e sa rro llam o s la p rim era 
igualdad:
Efectuando las potencias:
Sim plificando:
R ed u c ien d o las p o ten c ias 
de i:
A grupando la parte rea l y 
la im aginaria:
^ ) = °
* U > = o
2 (3i)3 + m (3/)2 + n (3 i) - 27 = 0 
5 4 i3 + 9m i2 + 3ni - 27 = 0 
18/3 + 3 m i2 + n i - 9 = 0 
- 1 8 í - 3 m + m ~ 9 = 0
-3 m - 9 + (« - 1 8 ) ¿ = 0
Igualando las partes reales: —3m — 9 = 0
de donde m = — 3
Igualando las im aginarias: « —18 = 0
de donde « = 18
2 4 POLINOMIOS
Nota: El problem a del ejercicio anterior quedó resuelto desarrollando tan sólo la 
ecuac iónPa¡) = 0 . Desarrollando la segunda, P{_3¡) = 0 , hubiéram os obtenido - 
exactamente el mismo resultado.
Ejemplo 22_____________________________
D eterm inar si es divisib le por x - 2 un polinom io de tercer grado cuyo 
térm ino independiente es -2 , es divisible por x 2 +1 y al ser dividido por x + 3 arroja 
un residuo de -50 .
Para poder de te rm inar si el 
po linom io es d iv isib le por 
x - 2 d ebem os prim ero c o ­
nocerlo.
S abem os q u e es de te rcer 
g rad o y q u e su té rm in o 1
in d epend ien te es - 2 . T en- = , 2 , r _ ?
drá, po r tanto, e sta form a: r (x) “ T T ^
Si e s d iv is ib le po r x 2 + 1, _ _
debe cum plirse que (0 —
D esarro llando la igualdad: q . g ¿2 + 0 — 2 = 0
R éd u c ien d o las p o ten c ias 
de i:
A g ru p a n d o p a rte rea l y 
parte im aginaria:
Ig ua lando , a c e ro am b as 
partes:
de donde
- A i - 6 + 0 - 2 = 0 
- B - 2 + (~A + C)i = O
- 5 - 2 = O 
5 = - 2
y - A + C = O (I)
Si al d iv id ir en tre x + 3 • 
se o b tien e u n re s id u o de _
-5 0 , tenem os que: (-1) ~ —^
D esarrollando: -27A + 9 5 - 3C - 2 = -5 0
S ustituyendo el va lo r cono ­
cido de B: - 2 7 A - 1 8 - 3 C - 2 = -5 0
-2 7 A - 3C = -3 0
Sim plificando: _ 9 ¿ _ C = _10 (II)
POLINOMIOS 2 5
F orm am os un sis tem a con 
las ecuaciones I y II: -A + C = 0 
-9 A ~ C = -10
La solución del sistem a es: A = l 
C = 1
E l p o lin o m io será, e n to n ­
ces: = x - 2 x + x - 2
V e rif ic a m o s ah o ra si es 
d iv isib le por x - 2 , p a ra lo
cual calcu lam os P,2): p = 2 3 — 2 - 2 2 + 2 — 2
P(2) - 0
Por tanto P.x) es divisible p o rx -2
( Ejercicio 7
1) Determ inar m y n para que P(x) = 3x 3 + m x 2 + n x - 6 sea divisible por 
x + 1 y por x - 3.
2) Determ inar p y q para que P{x) = 3jc3 + + ^ x - 2 sea divisible por
jc + 2 y por x - 1 .
3)) D eterm inar A y B para que P(x) = x 4 + Ajc3 + Sjc2 - 3x + 7 sea divisible 
por x 2 - 1
4) Determ inar m y ti para que PU) = x 3 + m x 2 + n x - 1 5 sea divisible por 
x 2 + 2 x - 3 .
5) D eterm inarm, n y p p ara que Píx) = x 4 + m x 3 + n x 2 + p x + 6 sea
divisible por x + 1, por x - 2 y por x + 3.
6 ) D eterm inar m, n y p p ara que P(x) = x 4 + m x 3 + n x 2 + p x + 1 2 sea
divisible por x - 1 y por x 2 - 4 .
7) D eterm inar p p ara que P(x) = x ' , + 1 + px" +3X ' 1' 1 + 7 sea divisible por
x - 1 .
8 ) D eterm inar p y q para que .P{x) = p x 2" + 3 x ”+l + qx" - 7 sea divisible 
por x 2 - 1 (n - entero impar).
9) Determ inar p y q para que al dividir P(x) = x 3 + p x 2 + q x - 2 entre x - 2
. y x + 3 los residuos sean, respectivamente, 20 y 25.
10) Determ inar m y n para que al dividir P(x) = 2 x 3 + m x 2 + n x - l l entre
x + 1 y x + 2 los residuos sean, respectivamente, - 8 y -3 .
2 6 POLINOMIOS
11) ^ D e te rm in a r m, n y p para que P(x) = x 2 + m x 2 + n x + p sea divisible por
x - 1, y al dividirlo entre x - 2 y x + 3 los residuos sean, respectiva-
A lente, 1 1 y 16.
V ̂ -y
12) Determinar A , B y C para que s x + A * ' + Bx + C sea divisible por 
- x 2 - 3* + 2 y al dividirlo entre x - 3 el residuo sea 16.
13) Construir un polinom io de tercer grado cuyo prim er coeficiente sea 1, 
sea divisible por x - 2 y ; c - 3 , y a l dividirlo entre x - 5 el residuo de la 
división sea 36.
14) Construir el polinom io de tercer grado cuyo térm ino independiente es 2,
es divisible por * + 2 y al dividirlo entre x + 1 y x + 3 los residuos son,
■ • respectivamente, 6 y -28 .
15) Determ inar el residuo que se obtiene al dividir un polinom io de tercer 
grado por 2x + 1 sabiendo que dicho polinom io es divisible por x 2 - 4 , 
al d ividirlo entre x - 1 el residuo es - 6 y sabiendo que el térm ino 
independieqte del polinomio es -4 .
16) D eterm inar m y n para que P(x) s x 2 + w u 2 + n x - 3 sea divisib le por 
x 2 + l .
17) D eterm inar A , B y C para que P{x) = A x 4 + B x 2 + C x 2 - 5 x + 6 sea
divisible por x 2 + 1 y al dividirlo entre x - 1 el residuo de la división 
sea 4.
18) Determ inar A, B, C y D para que P{x) = x 5 + A x 4 + B x 3 + C x 2 + D x - 16 
sea divisible por x 4 - 16.
Método de Horner 
(para expresar un polinomio en x en términos de x + a)
Si, dado P (xl,-querem os encontrar un polinom io P (t+0J equivalente al anterior, 
podem os conseguir nuestro objetivo a través de una serie de divisiones y aplicando 
la identidad fundamental de la división P(x) = (* + a)Q lx) + R tal com o se ilustra en
el siguiente ejemplo:
Ejemplo 11___________________________
Dado P(x) = 2 x 4 — 1 3jc3 + 25.x2 - 1 5 * + 6 , determinar Plx_2).1 (A )
Dividamos P lxl por x - 2 
utilizando Ruffini:
A plicando la identidad de 
la división, tenemos:
2 -13 25 -1 5 6
2 4 -1 8 H - 2
2 - 9 7 - 1 L J
ü . , = (x - 2 ) (2 * 3 - 9 ^ - 7* - 1 ) + 4 (I)
M,,,
POLINOMIOS 2 7
Dividamos M m por x - 2 :
- . 4 -
- 5
7
10 .
-1
j=6
-3 I -7
A p lican d o la id en tid ad de 2 * n
la división: M u ) = ( * " 2 H 2 * " 5 * - 3 ) - 7
Sustituyendo en (1): 
Multiplicando:
P(x) = (jc - 2 ) [ ( ; t - 2 ) ( 2 a :2 - 5 * - 3 ) - 7 ] + 4
PM = ( x - 2 ) { 2 x 2 - 5 x - l ) - l { x - 2 ) + 4 '
(II)
D ividam os N(x, por x - 2 :
- 5 - 3
_ 4 z 2
2 - 1 1 - 5
A p lican d o la iden tidad de
la división: N « ) = ( x - 2 ) (2 x - - 5
Sustituyendo en (II): P(x)= ( x - 2 ) 2 [(x - 2) (2 x - 1) - 5 ] - 7 (x - 2 ) + 4
Multiplicando: = ( x - 2 ) 3(2 x - 1) - 5 ( x - 2)2 - 7 ( x - 2 ) + 4
(III)
D ividam os Tu, por x - 2 :
2 -1 
4
2 U
Aplicando la identidad de — o a
la división: — (-* — 2 ) - 2 + 3
Sustituyendo en (III): /> ^ = ( x _ 2 ) 3[ ( * - 2)- 2 + 3 ] - 5 ( * - 2 ) 2 - 1 ( x - 2 ) + 4
Multiplicando:
Plx_2) = 2 (x - 2 ) 4 + 3 (jc - 2) - 5 (* - 2 ) 2 - 7 (jc - 2) + 4 (IV)
El M étodo de H orn er es una disposición que nos perm ite realizar este 
proceso de form a m ucho más sencilla m ediante d ivisiones reiteradas, tal com o 
mostraremos a continuación:
POLINOMIOS
T om em os P l(} del e jem p lo 
an terio r y d iv idam os re ite ­
radam ente po r .v - 2 :
E sc rib a m o s la ex p re sió n 
IV obtenida anteriorm ente:
Podem os observar que los residuos obtenidos cada vez que realizam os una división 
son los coeficientes, en orden creciente, de las potencias de x - 2 .
Ejemplo 24
Expresar Plxj = 3 a 4 + 8a " - a 2 - 9 a - 1 4 en térm inos de a + 1.
U tilizando H orner:
- 1
3 8
- 3
- 1
-5
- 9 -1 4 
6 3
3 5 - 6 - 3 1 -11
- 1 -3 - 2 8
3 2 - 8 5
- 1 -3 1
3 - 1 -7
- 1 -3
3 1 -4
P<x- „ = 3 ( a + 1 ) 4 - 4 (a + 1) 3 - 7 ( a + 1) 2 + 5 ( a + 1 ) - 1 1
Ejemplo 25
( X )
U tilizando H orner
Ply] = x 3 + ( 3 - 3 í)a 2 + ( 6 - 6 ¿)a - 6 - 8 i; calcular P(XJr2-¡)
-?+ i
1 3—3i 
- 2 +i
6 - 6 i
5i
- 6 - 8 i 
—1 1 —8 i
1 1 —2 i 6 - i 1 -1 7
- 2 +i - 2 +i 3+i
1 - 1 - i L 9
- 2 +i - 2 +i
1 Lr-3
Píx_2l = 2 ( a - 2 ) 4 + 3 ( a - 2 ) 3 - 5 ( x - 2 ) 2 - 7 ( a - 2 ) + 4
POLINOMIOS 29
P(x+2-n = (•* + 2 - « ) 3 - 3 (a + 2 - í ) 2 + 9 ( a + 2 - 1) - 17
EjtmpJffM . ____________________________
Pu) = 16a4 - 8a 3 + 16a2 - 8a + 5; determinar P{2x_ 1}
U tiliz an d o H o rn er, vam os 
a d e t e r m in a r p r im e -
" ' K f
16 - 8 16 - 8 5
1 / 2 8 0 8 0
16 0 16 0 L 5
1 / 2 8 4 2 0
16 8 2 0 1 2 0
1 / 2 8 8
16 16 1 28
1 / 2 8
16 L24
Para ob ten er P(2x -l) h a re ­
m os las s igu ien tes transfo r­
m aciones:
En definitiva:
24HJ=24ñrí=24
^ = ( 2 , - . r
( 2 a - l ) 3
28 a = 2 8
2 a - 1
= 28
( 2 a - l ) 2 
22
= 3 ( 2 a - l ) 3
= 7 ( 2a - 1)"
pn*-\) = (2* - 1) 4 + 3 (2 a - 1) 3 + 7 (2 a - 1) 2 + 1 0 (2 a - 1 ) + 5
Ejemplo 27 ____________
P{x)-= 9 a 3 - 1 5 a 2 + a + 14; determ inar P0x+2)
U tilizan d o H orner, vam os 
a d e te r m in a r p r im e r o
3 0 POLINOMIOS
H)'
T enernos que:
Para ob ten e r ¡ \ 3a+2, ha re ­
m os las s iguientes transfor-
En definitiva:
( 2 Y ft('3 a + 2 Y
( , + - j = 9 (
. 3 J' . , S ^ f í , i 0 „ 2 f
-2A „ ( 3 x + 2 \
3 3 [ jc + - | = 33| = 11(3a + 2)
/>, „ = i (3a + 2 ) 3 - — (3x + 2 ) 2 +11 (3x + 2 ) + 4(3.1+2)
( Ejercicio 8
Determinar P,U+3)
Determinar P,( x - 2 )
Determinar P,U + 2 )
Determinar P,(.r-n
Determinar P
1) /> r) = 3 a :3 + 10 .x 2 + 4.x + 5
2 ) P xl = x 4 - 3 a 3 + 2 .x 2 + a- + 3
3 ) PIT, = 2 a 4 + 4 a - - 3.x2 + x + 1 0
4 ) P¡ t) = a 4 - 4 .x 3 + -3 .x2 - 2 a + 1
5) P[x) = 2 a 4 + \ /2 .x 3 - 5 a 2 - \ 2 a + 1
6 ) P{fi = a 3 + ( 2 - 3 a ) A 2 + (3a2 - 4 a + 3 ) A - a 3 + 2 a 2 - 3 a + l
Determinar Pu._(l)
7 ) Pi v ) = a ' - ( 3 m - 1 ) a 2 + ( 3 m : - 2 m + 1 )a - m 3 + m 2 — 2 Determinar P{x_m)
8 ) P(x) = x 4,+ (2 + 4 / ) a 3 - ( 6 - 6 i )a 2 - ( 8 + 4 i)x +1 - i Determ inar Pfx+i)
9 ) P{ v) = a 3 - ( 2 + 3 / ) a 2 + (3 + 4 / ) a - 2 - 5 i Determinar i ^ _ W)
( W 2 )
POLINOMIOS 3 1
1 0 ) P(xi) = x 20 - 5 x 15 + 7 x 10 - l x 5 + 4
1 1 ) P , = * 9 - 4 * 6 + 5 x 3 - 7
' (x )
1 2 ) Plx)= S x 3 + 4 x 2 - 3
1 3 ) P(¿ = 8 : t 3 - 2 4 x 2 + 28 jc - 1 1
1 4 ) P(x) = 2 7 x 3 - 2 7 x z + 15x + 2
1 5 ) P(x) = 8 jc3 - 4 8 ^ 2 + 9 0 jc - 3
1 6 ) P(x)= 4 x 3 - 2 2 x 2 + 4 x + 7
1 7 ) Plx)s 9 x 4 + 2 4 x 3 - 2 j t 2 + 1 5 x + 7
18) P(x)= S x 4 - 3 2 x 3 - 4 2 x 2 +9%x + 330
Determinar 
Determinar P , „(•<" -3)
Determ inar Pf2x+,»
Determ inar ^ 2v_3)
Determ inar /^3jr_1)
Determinar /^2i_5)
Determ inar P(2x_,> 
/
Determ inar /}3r+l) 
Determ inar P(2x_7)
Variante
Hallar 1“ V+(J) equivalente a y que carezca de un cierto término.
La tarea consiste en determ inar cuál debe ser el valor de a para que P(x+a) 
carezca del térm ino indicado.
Utilizaremos un ejemplo concreto para explicarlo:
Eiempk? 28____________________
D ado P(x) = x 3 - 9 x 2 + 2 4 x - 1 7 determ inar P{x+a) tal que Pix+a) carezca del 
térm ino de segundo grado.
H acem os el siguiente C am ­
bio de Variable: x + a = y
y. po r tanto. x = y - a
C alculam os P,
p(y-a) = (y~ aí - 9(y - af + 2*{y - a) - 17
D esarrollando: = y 3 - 3ay 2 + 3 a 2 y - a 3 - 9 y 2 + 1 8 ay - 9 a 2 + 24y - 24a - 1 7
R e d u c ie n d o té rm in o s y 
sacando fac to r com ún:
= y 5 - (3a + 9 ) y 2 + (3 a2. + 1 8a + 24)y - a 3 - 9 a 2 - 2 4a - 1 7 (1)
P a ra q u e e s te n u e v o 
p o lin o m io n o te n g a e l 
térm ino de segundo grado,
debe cum plirse que 3a + 9 = 0
de donde
POLINOMIOS
Si a tom a el valor - 3 , el 
p o l in o m io r e s u l ta n te 
no tendrá el término
cuadrático.
P a ra c a lc u la r P((_3)
tenem os dos opciones: la 
p rim e ra , h a c e r en la 
ecuación ( 1 ) las siguientes 
sustituciones:
la segunda, calcular P(x_3)
a partir de Phl utilizando el 
Método de Homer.
Seguirem os este segundo 
camino:
En conclusión:
y = x - 3 
a = - 3
1 - 9 24 -1 7
3 3 -1 8 18
1 6 L i
3 3 - 9
1 -3 L = a
3 3
1 LQ
Dado P(x) a 2 x 3 + 7 x 2 + 4 x + 2 determinar P(x+a) tal que P(x+a) carezca del 
término de primer grado.
Hacemos el siguiente Cam ­
bio de Variable:
y, por tanto. 
Calculamos
x + a = y 
x = y - a
pi y - a ) = 2 ( y - a )3 + 7 ( y ~ a f + 4 ( y - a ) + 2
Desarrollando: _ 2 y i _ 6 a y 2 + 6 a 2y - 2 a 3 + l y 2 - 1 4 ay + 7 a 2 + Ay - 4a + 2
R educiendo térm inos y , , , ̂ ,
sacando factor común: ~ 2 y ~ — 7)y + ( 6 fl — 14a + 4)_y — 2a + la ~ — 4tf + 2
P ara q ue e s te nuevo 
p o lin o m io ' no ten g a e! 
térm ino de prim er grado 
debe cumplirse que 6 a — 1 4 a + 4 = 0
POLINOMIOS 33
Sim plificando; 3 a 2 - 7 a + 2 = 0
Ecuación cuyas soluciones a — 2 
son: ' ,
E l prob lem a tiene, dos 
so lu c io n e s, pues tan to 
pix+2) com o p( n 
r +3j
satisfacen la condición. 
Primera solución:
P{x+2)= 2 ( x + 2 ) ' - 5 ( x + 2)2 + 6
Segunda solución:
J i V j 1V 34P, , = 2 \ x + - \ - 5 x + - \ + —
M V 3J 3 J 27l 3 Í v
( Ejercicio 9
Determ inar en cada ejercicio P(x+a) tal que P{x+a) carezca del térm ino que se 
indica entre paréntesis.
1) P ,, = x 3 - 6 x 2 + 5x +1 (Término de segundo grado)
2 ) s 3 x 3 + 9 x 2 + 5x + l (Término de segundo grado)
3) P ^ £ 2jc3 - 30jc2 + 120a: - 25 (Término de segundo grado)
4) = Axl - \ 2 x 2 -+-1 3jc — 7 (Término de segundo grado)
3 4 - POLINOMIOS
5.) ^ 0 = x 3 - 9 x 2 + l l x + 2 (Término de segundo grado)
6 ) = x 3 - 3 x -+2 (Término de primer grado)
7 ) = x 3 + x 2 - 5 x + 2 (Término de primer grado)
8 ) , *?,> = 2 a :3 + a 2 - 4 x + 1 (Término de primer grado)
9 ) 3 , , = x 3 - x 2 - 1 6 a : - 1 0 (Término de primer grado)
1 0 ) *í,> = x 4 + x 2 - 3a : 2 - 3a: + 4 (Término de segundo grado)
Factorización de un polinomio en x
Ya vimos que, si PM es divisible por x + a , entonces P,.a) = 0 y - a es raíz o 
cero de Plx). 
Recíprocamente, si Plk) = 0, podem os concluir que k es raíz de P(x) y que P U) 
es divisible por x - k .
S u p e r n o . que uu p o „ - P u ¡ a a o X , , + a ¡ x „ + .......... + a i _tX + ü t
de g rad o n tiene n ra íces
distin tas: G-i > ® 2 ’ ^ 3’ ..........»®vi
1) Al s e r a , ra íz de P (l) 
p o d e m o s a f i r m a r q u e
pia,)=Q y clue «
d iv is ib le p o r x - a, y en 
consecuencia PU) = { x - a x)-Qx̂ (I)
d o n d e Q , , A) s e rá un 
po linom io de g rado » - 1 
c u y o p rim e r c o e f ic ie n te 
será U(¡ (p o r la reg la de 
Ruffini).
2) D ado que a , tam bién es 
ra íz de P ,,, debe cum plirse
que PWl i = 0 y , po r tanto. . = ( « 2 “ a i ) ' , = 0
C om o o s — «1 * 0 po r ser 
c a n t i d a d e s d i s t i n t a s , 
n ecesariam en te Q\Ux ) = 0
y en e se c a s o 0 1(v) es 
d iv is ib le p o r .v - a , . En 
consecuencia
s iendo Q2 {x) un po linom io 
de g rad o n - 2 cuyo p rim er 
coefic ien te es a¡,.
POLINOMIOS 35
S u s ti tu y e n d o en (I) t e ­
nem os:
3 ) Al ser cr3 ra íz de PM se 
cum ple que V . ) = °
N u ev am en te , ' 0:3 - a ¡ & 0 
y ' a 2 - a 2 *0 . por lo que
02,0,) =0 y &<,> es
divisible por .Y -ct3:
s iendo Qj,(x) un po linom io
de g rado n - 3 cuyo p rim er 
coefic ien te es a0.
S ustituyendo en (II):
4) P ro sig u ien d o en fo rm a 
id é n tic a o b te n d re m o s la 
igualdad
siendo Qn( r) un polinom io
de g rado cero cuyo p rim er 
coefic ien te es a0.
Si Qn(x¡ es un po linom io 
de g rado cero, se tra tará de 
un po lin o m io constan te y, _
en tal caso *¿tu> — a <>
Sustituyendo en (III):
P(x) = ( x - a , ) ( x - a 2) Q 2u)
P ax) = ( a 3 - a , ) ( « 3 ~ ( x 2) Q2{a0 = 0
Q2(x) = (X ~ 031 ( )
/
P{ x) = (X - a , ) (* - a 2 )(A- - a 3 ) • g 3ui 
; /»x) = u - a , )(.* - a 2 )(A- - a 3) ( x - a n) 0 „(I)
(II)
(III)
= a 0(x - a , ) ( * - a 2 ) ( * - £ * , ) ........U - a „ ) (IV)
que es la iden tidad que nos 
pe rm itirá fac to riza r un po­
lin o m io cu an d o co n o zc a ­
m os sus raíces o ceros.
Si su stitu im o s en (IV ) un 
nuevo v a lo r k. d is tin to de 
a , . a 2, Cf3 , , a „ . ra í­
ces d e l p o lin o m io , te n e ­
mos:
y , c o m o n in g u n o de los 
fac to res del m iem bro de la 
d e re ch a es igua l a cero , 
tam poco lo será P,Ll y en 
co n se cu en c ia k no puede 
ser un cero o raíz de Plxl.
En conclusión
Pa = a0(k - a . ) ( k - a 2) (k - a ?) ( k - a n)
Un polinom io P <x) de grado n no puede tener más 
de n raíces o ceros.
3 6 POLINOMIOS
Raíces múltiples
Es posible que un polinom io Plx) sea divisible no sólo por x + a, sino también 
por un grado más alto de x + a, por ejemplo, por (x + a)m. En tal caso se dice que - a
es una raíz* m últiple de Plxl o que P lx) tiene raíces m últiples o repetidas y m es el
orden de m ultiplicidad de la raíz -a.
■ Por ejem plo , sea p ̂ _ 3 * - + 3 * _ \
al fac to rizar, a p licando un
conocido producto no tab le , n i \3
tenem os: *
D ecim os en tonces que 1 es 
'r a íz m ú ltip le de P,s, y que 
e l o rd en de m u ltip lic id ad 
de esa ra íz es 3.
Raíces enteras de una ecuación
Sea la ecuación de segundo grado ( x - a ) (x - b) - 0 de raíces enteras x, = a 
y x2 = b. La ecuación desarrollada será x 2 - (a + b)x + ab = 0 en la que el térm ino 
independiente es el producto de las raíces de la ecuación.
De igual form a, al desarrollar la ecuación (x - a ) ( x - b ){x - c) = 0 de raíces 
enteras x , = a , x 2 = b y x , = c se ob tiene la ecuación x 3 - ( a + b + c ) x 2 + 
+ (ab + bc + ac)x - abe = 0 en la que el térm ino independiente es el producto de las 
raíces.
En general, en toda ecuación (x - a ) ( x - b ) ( x - c ) ........( x - n ) = 0 de raíces
enteras a, b, c, ....... , n el térm ino independiente de la ecuación desarrollada es el
producto de las raíces de la ecuación: Térm ino Independiente = a b e n .
Esta propiedad de las ecuaciones desarrolladas nos será de gran utilidad al 
em plear el M étodo de Ruffini para calcular las raíces enteras de una ecuación.
Acotación de raíces
Un número a es cota o lím ite superior de las raíces reales de una ecuación si 
no hay otras raíces mayores que a.
Un número b es cota o lím ite inferior de las raíces reales de una ecuación si
no hay otras raíces menores que b.
1) Si el realizar la división sintética en una ecuación con el núm ero a todos 
los coeficientes del cociente resultante son positivos, entonces a es la cota o lím ite 
superior de las raíces reales de la ecuación.
2) Si el realizar la división sintética en una ecuación con el núm ero b los 
coeficientes del cocien te resu ltan te son alternadam ente positivos y negativos, 
entonces b es la cota o lím ite inferior de las raíces reales de la ecuación.
po l in o m io s 37
Método de Ruffini
para resolver ecuaciones de raíces enteras
El método es de tanteo y consiste en hacer divisiones sintéticas con distintas 
raíces hasta obtener residuos nulos. Por las propiedadesanteriormente estudiadas, 
sabemos que tenem os que buscar esas raíces entre los divisores del término 
independiente, pues éste proviene de la multiplicación de las raíces.
Resolver la ecuación P{x) s x 4 + - 1 \ x 2 - 9x + 18 = 0
Buscamos los divisores del 
té rm ino independiente y 
construimos una tabla:
Tabla
de posibles raíces enteras 
±1 ±2 ±3 ±6 ± 9 ±18
D isponem os lo s c o e f i­
cien tes de las respectivas 
potencias de x para realizar 
la d iv is ió n s in té tica y 
probam os con la prim era 
de las posibles raíces:
Al probar con 1 se obtiene 
residuo nulo, por lo tanto 
dicho número es raíz de la 
ecuación:
1 1 - 1 1 -9 18
1 1 2 -9 -18
1 2 - 9 -18 Lfl
* i = l
A plicando la identidad de 
la d iv is ió n , p o d em o s 
escribir: P s ( j c -1 ) ( j c 3 + 2 x 2 -9 jc + 18) = 0 (I)
Repetim os el proceso con 
Mlxl. La Tabla de posibles 
raíces enteras sigue siendo 
la misma, pues el té rm in o . 
independiente sigue siendo 
18.
Al volver a probar con 1 
(puede ser raíz múltiple), y 
al probar con 2 , los resi­
duos que se obtienen son 
d istin tos de cero, por lo 
cual d ichos núm eros no 
son raíces de Mlxl y los eli­
m inam os de la T ab la de 
posibles raíces. Esta queda 
así:
38 POLINOMIOS
Tabla
de posibles raíces enteras 
-1 - 2 ±3 ±6 ± 9 ±18
A l p ro b a r co n 3 ( la s i­
guiente ra íz positiva), ob te ­
nem os cero en .e l residuo:
nueva raíz:
S ustituyendo en (I):
1 2 - 9 - 1 8
3 3 13 18
1 5 6 LQ
tenemos una
X = 3
M, V) = (x - 3 )(x 2 + 5 x + 6 ) 
/> = (Jt - 1)(* - 3 )(x 2 + 5 * + 6 ) = 0 (II)
O bsérvese que al realizar la 
d iv is ió n s in té tic a co n e l 
n úm ero 3 , los coefic ien tes 
d e l c o c i e n te o b te n id o 
resu lta ron todos positivos. 
E n c o n sec u en c ia , 3 e s la 
cota superior de las raíces 
reales de la ecuación.
P o r lo ta n to , a n te s de 
c o n tin u a r e l p ro ceso con 
Nlxl, e lim inam os de la tabla 
de posib les ra íces el 3 y los 
n ú m e ro s su p e r io re s a 3. 
E lim in a m o s tam b ién los 
n ú m ero s - 9 y - 1 8 . pues 
é s to s n o son ya d iv iso re s 
del térm ino independiente.
La T ab la queda así:
C o n tin u a m o s el p ro c e so 
para Nfxl p robando con -1 .
Al d a r re s id u o d is tin to de 
ce ro lo e lim in a m o s de la 
Tabla y probam os con -2 :
O b ten em o s re s id u o n u lo , 
por lo cual:
1 5 6
- 2 - 2 - 6
1 3 LQ
X = - 2
POLINOMIOS 3 9
y
Sustituyendo en (II):
N(x)= ( x + 2){x + 3)
PU) = ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( j c + 2 ) U + 3 ) = 0
Y las ra íces de la ecuación 
son:
(L a c u a r ta ra íz la le im os 
d ire c ta m en te de la e cu a ­
ción factorizada).
N o es necesario realizar por etapas el proceso descrito en el ejem plo anterior, 
sino que puede ser hecho en form a continua (ten iendo en cuen ta todas las 
observaciones que se hicieron), con idéntico resultado:
R aíces d e la ecuación:
Y , conociendo las raíces, 
podemos factorizar (de ser . 
necesario) la ecuación
utilizando la relación (IV ) f T ~ T~. T o w , r\
de la pág. 36: a ( * ~ 1 ) U ~ 3 ) ( * + 2 ) (jí + 3 ) = 0
Para realizar la búsqueda de las raíces enteras de una ecuación con la m enor 
pérdida de tiempo es conveniente prestar atención a las siguientes
Sugerencias
1) Cerciorarse de que la ecuación esté debidam ente ordenada en potencias 
decrecientes, sim plificar los coeficientes (si es posible) y sacar factor com ún si no 
existe el término independiente (con lo cual se obtiene ya la raíz x, = 0 ).
4 0 POLINOMIOS
2) Construir la Tabla de posibles raíces enteras con los divisores del térm ino 
independiente (positivos y negativos).
3) Realizar las divisiones sintéticas com enzando por lo núm eros positivos (de 
m enor a mayor) hasta alcanzar la cota superior de las raíces enteras.
4 ) ,P roseguir con las posibles raíces negativas (de m ayor a m enor) hasta 
. alcanzar la cota inferior o hasta term inar el proceso, si la ecuación sólo tiene raíces 
enteras.
5) Cada vez que se obtiene residuo distinto de cero, elim inar de la Tabla el 
núm ero con el que se probó la división.
6 ) Cada vez que se obtiene un residuo nulo, revisar la Tabla de posibles 
raíces para elim inar aquellas que ya no d iv iden e l térm ino independiente del 
polinom io restante o sean mayores que la cota superior, si ésta fue alcanzada.
7) Si la ecuación original tiene todos los térm inos positivos, la ecuación sólo 
puede tener raíces negativas. Si los térm inos de la ecuación original son alternada­
m ente positivos y negativos (y ningún coeficiente es nulo), ésta sólo tiene raíces 
positivas.
8 ) Un núm ero puede ser raíz, m últiple de la ecuación. Por consiguiente no se 
debe elim inar un núm ero de la Tabla hasta com probar que, efectivam ente, ya no es 
raíz del polinom io restante.
Ejemplo 31_____________________________
Resolver la siguiente ecuación y factorizar el polinom io del prim er miembro:
1 1 4 a :3 - 2 6 a :4 - 1 8 x 5 + 1 7 2 a :2 - 2 4 0 a : - 2 a :6 = 0
(D am o s en las n o tas que 
e stán d esp u és del e je rc ic io 
la exp licac ión de los pasos 
seguidos, y d e los ra z o n a ­
m ien tos hechos)
1 LQ
- 2 a :6 - 18*5 - 2 6 a :4 + 1 1 4 a ;3 + 1 7 2 a :2 - 2 4 0 * = 0 (1 )
2 a :6 + 1 8 a:5 + 2 6 a :4 - 1 1 4 a :3 - 1 7 2 x 2 + 2 4 0 a : = 0 (2 )
a:6 + 9 a :5 + 13 x 4 - 5 7 * 3 - 8 6 a:2 + 120 a : = 0 (3 )
A ( a :5 + 9 a :4 + 13a:3 - 5 7 a : 2 - 8 6 a: + 1 2 0 ) = 0 (4)
1 9 13 -5 7 - 8 6 1 2 0 (5)
1 1 1 0 23 -3 4 - 1 2 0
2
1 1 0
2
23
24
-3 4
94
- 1 2 0
1 2 0
LO (6 )
1 1 2 . 47 60 LQ (7)
-3 -3 -2 7 -60
1 9 2 0 L 0 ( 8 )
- 4 -4 - 2 0
1 5 LJ3 (9 )
-5 -5
POLINOMIOS 41
(1) Ordenamos la ecuación en potencias decrecientes.
(2) Multiplicamos toda lá ecuación por -1 para que el término de mayor grado sea 
positivo.
(3) Dividimos todos los términos por 2 para simplificar la ecuación.
(4) Como no existe término independiente, podemos sacar factor común x. Con esto
obtenemos ya la primera raíz de la ecuación: x, = 0
(5) Disponemos los coeficientes del polinomio del paréntesis para realizar las divisiones 
sintéticas. Elaboramos la Tabla de posibles raíces enteras con los divisores del 
término independiente: /
Tabla
de posibles raíces enteras
±1 ±2 ± 3 ± 4 ±5 ±6 ±8 ± 10
. ±12 ±15 ± 20 ± 24 ± 30 ±40 ± 60 ±120
(6 ) Comenzamos a probar con 1 y obtenemos el primer residuo nulo. Volvemos a probar 
con 1 (para eliminar la posibilidad de que dicha raíz esté repetida) sin obtener residuo 
nulo. Podemos, pues, eliminarlo de la Tabla:
Tabla
de posibles raíces enteras
- 1 ±2 ± 3 ±4 ±5 ±6 ±8 ±10
±12 ±15 ± 2 0 ± 24 ± 30 ±40 ± 60 ±120
(7) Probamos con 2, obteniendo residuo nulo. Esta raíz es la cota superior, dado que todos 
los coeficientes del polinomio restante son positivos. Eliminamos, por tanto,, el 2 y 
todos los números mayores que 2. Eliminamos también aquellos que no dividen ya el 
último término. La Tabla queda así:
Tabla
de posibles raíces enteras 
-1 - 2 - 3 - 4 - 5 -6 - 1 0
-1 2 -1 5 - 2 0 - 3 0 -6 0
(8 ) Probamos ahora con -1 y -2 sin resultado (los eliminamos de la Tabla) y a 
continuación con -3 obteniendo una nueva raíz. Al eliminar los números que no 
dividen el último término del polinomio restante la Tabla de posibles raíces enteras 
queda así:*
POLINOMIOS
Tabla
de posibles ralees enteras
- 4 - 5 - 1 0
-2 0
(9) Al probar con -4 obtenemos otra raíz y en la última etapa ya es evidente que la raíz 
que falta es -5.
L as ra íce s d e la ecuac ión 
son, pues:
x, = 0 
* 2 = 1 
* 3 = 2 
* 4 = -3
*5 = -4 
Xf. =-5
Y , u tilizando la re lac ión IV. 
de la pág. 36, factorizam os 
e l polinom io:
( Ejercicio 10
Resolver las siguientes ecuaciones y factorizar en cada caso e l polinomio del 
primer miembro:
1) * 3 - 3 x 2 + 4 = 0
2) 2 * 3 + 4 - 6* = 0
3) 7x3 + 7 - 7 x - 7 x 2 = 0
4) 3*4 + 33*2 - 1 8 * - 18*3 = 0
5) 6 * - * 4 - 4* 3 - * 2 = 0
6) * 3 - 4 * - 3 * 2 + 1 2 = 0
7) 5 * 3 - 10x2 - 20* + 40 = 0
8) x 4 - 3*3 - 9 * 2 - 5* = 0
9) 10*3 - 4 0 * 2 - 30* + 1 8 0 = 0
10) x 3 - 22* - * 2 + 40 = 0
11) 3 4 * 2 - 2 * 4 - 1 2 0 * + 8*3 = 0
12) 180 - 180*2 - 20* + 2 0*3 = 0
13) * 4 + 2 * 3 - 9 * 2 - 2* + 8 = 0
14) * 5 - 15*3 + 10*2 + 24* = 0
15>. 5*3 - * 4 - 240 + 28*2 - 92* = 0
16) 5 *3 - 10*4 - 60* 3 + 9 0 * 2 + 1 35* = 0
2 * ( * - 1 )(* - 2 ) ( * + 3)(* + 4)(* + 5) = 0
POLINOMIOS 43
( Í 7 1 x 4 + 1 2 a :3 + 4 8 a :2 + 80 a : + 4 8 = 0
1 8 ) x 5 - 3x4 - 2 8 a :3 + 3 6 a 2 + 1 4 4 a = 0
1 9 ) a 4 + 6 a 3 - 1 6 a 2 - 1 5 0 a - 2 2 5 = 0
2 0 ) a 5 - 1 1 a 4 + 3 3 a 3 + 1 1 a 2 - 1 5 4 a + 1 2 0 = 0 
a 5 - 1 5 a 3 + 5 a 4 - 1 2 5 a 2 - 2 2 6 a - 1 2 0 = 0
2 2 ) 2 a 6 - 1 0 a 5 - 2 2 a 4 + 1 3 8 a 3 + 3 6 a 2 - 4 3 2 a = 0
2 3 ) 2 7 6 a 2 + 2 5 a 4 - a 6 - 1 4 4 a - 1 6 0 a 3 + 4 a 5 = 0
2 4 ) 1 7 a 3 + 6 8 4 a - 8 a 4 + 2 7 6 a 2 + 4 3 2 - a 5 = 0
2 5 ) 3 a 6 + 1 8 a 5 + 2 7 a 4 - 3 6 a 3 - 1 4 4 a 2 - 1 4 4 a - 4 8 = 0 '
2 6 ) a 7 - 6 a 6 + 4 a 5 + 3 0 a 4 - 4 1 a 3 - 2 4 a 2 + 3 6 a = 0
2 7 ) a 6 - 3 a 5 - 1 2 a 4 + 2 4 a 3 + 4 8 a 2 - 4 8 a - 6 4 = 0
2 8 ) a 6 - 2 0 a 5 + 1 0 8 a 4 - 1 4 2 a 3 - 3 7 a 2 + 1 6 2 a - 7 2 = 0
2 9 ) a 7 + 5 a 6 - 4 a 5 - 5 0 a 4 - 5 1 a 3 + 4 5 a 2 + 5 4 a = 0
( 3 0 ) ) a 7 - 6 a 6 - 2 0 a 5 + 1 7 0 a 4 - 1 6 1 a 3 - 4 8 4 a 2 + 9 0 0 a - 4 0 0 = 0
3 1 ) a 8 - 4 a 7 - 2 5 a 6 + 9 2 a 5 + 1 5 2 a 4 - 5 4 4 a 3 - 2 7 2 a 2 + 9 6 0 a = 0
Raíces fraccionarias de una ecuación 
con coeficientes enteros
S ea la ecuación ( a x - m ) ( b x - n ) = O d e raíces fraccionarias a , = 7 - y 
a 2 = La ecuación desarrollada toma la siguiente forma:
ab x2 - (an + b m )x + m n = 0
Podem os observar que el térm ino independiente de la ecuación es el producto 
de los num eradores de las raíces fraccionarias y que el coeficiente del térm ino de 
m ayor grado, o prim er coeficiente, es el producto de lo denominadores.
Lo m ism o sucede en la ecuación ( a x - m ) ( b x - n ) ( c x —p ) = 0 de raíces 
x \ = ir» x 2 =Jt y * 3 = - 7 • La ecuación desarrollada es
abe a 3 - (acn + bem + ab p )x l + (anp + bmp + cm n)x - mnp = 0 .
Nuevam ente el térm ino independiente es el producto de los num eradores de 
las raíces y el prim er coeficiente es el producto de lo denominadores.
G eneralizando para una ecuación de cualquier grado, podem os establecer las 
propiedades de las posibles raíces fraccionarias de la ecuación: éstas son de la forma 
-$•, donde
M es divisor del término independiente y
N es divisor del primer coeficiente.
4 4 POLINOMIOS
Resolución de ecuaciones con rafees fraccionarias
Observaciones:
1) Es obvio que una ecuación de coeficientes enteros sólo puede tener raíces 
fraccionarias (racionales) si el coeficiente del primer térm ino es distinto de 1 .
2) Al resolver una ecuación es conveniente buscar prim ero las raíces enteras, 
si las tiene, y posteriorm ente las fraccionarias.
3) Para buscar las raíces fraccionarias, conviene probar con las fracciones 
positivas (desde las de m enor denom inador) y proseguir con las negativas (desde las 
de m enor denom inador también).
/
. ■ 4) A l realizar la división sintética con una fracción M /N los coeficientes del
cociente resultante serán siem pre divisibles por N , com o se com probará en los 
ejem p los que reso lverem os. Si sim p lificam o s d ichos co e fic ien te s p o r N, 
trabajarem os con cantidades más pequeñas y se nos facilitará la tarea de elim inar de 
la T abla de posibles raíces las fracciones que no lo sean.
Ejemplo 32 ‘____________________
Resolver la siguiente ecuación y factorizar el prim er miembro:
2 4 jc 5 - 1 2 8 a :4 + 2 5 0 a :3 - 2 2 0 a :2 + 8 6 a - 1 2 = 0
(L as n o ta s al f in a l del 
e je rc ic io exp lican los pasos 
segu idos y los razonam ien- 
• tos hechos)
1 2 a :5 - 6 4 a -4 + 1 2 5 a 3 - 1 1 0 a 2 + 4 3 a - 6 = 0 ( 1 )
1 2 -6 4 125 - 1 1 0 43 - 6 (2 )
1 1 2 -5 2 73 -3 7 6 (3)
1 2 -5 2 73 -37 6 LO (4)
2 24 -5 6 34 - 6
1 2 -28 17 -3 LO (5)
1 / 2 6 - 1 1 3
1 2 - 2 2 6 LO
6 - 1 1 3 (6 )
3/2 9 -3
6 - 2 LO
3 - 1 (7)
1/3 1
3 LO
(1) Simplificamos la ecuación y verificamos si está ordenada en forma decreciente.
*
(2) Disponemos los coeficientes para realizar la división sintética. Elaboramos la Tabla de
p o l i n o m i o s 45
posibles raíces enteras con los divisores del término independiente; dado que los 
coeficientes son alternadamente positivos y negativos, la ecuación sólo tiene raíces 
positivas.
Tabla
de posibles raíces enteras 
1 2 3 6
(3) Probamos con 1 obteniendo residuo nulo.
(4) Volvemos a probar con 1 (podría ser raíz múltiple) sin resultado. Tachamos el l de la 
. Tabla. Probamos con 2 y obtenemos residuo nulo. Revisamos la Tabla, de la que
eliminamos los números que no dividen el último término del cociente resultante:
Tabla
de posibles raíces enteras 
3
(5) Probamos con 3 y, al no obtener residuo nulo, concluimos que la ecuación no tiene 
más raíces enteras. Fabricamos la Tabla de posibles raíces fraccionarias. Son de la 
forma M/N:
M puede tomar los valores 1 y 3 (divisores del último término)
N puede tomar los valores 2, 3 ,4 , 6 , y 12 (divisores del primero)
Tabla
de posibles raíces fraccionarias
i i i i *
í í i i ¿
Eliminamos de la Tabla los números j-, f y -fe , pues, al ser simplificados, o no son 
fracciones o repiten algunas de las anteriores. Por otra parte, no colocamos valores 
negativos pues ya determinamos, al comenzar el ejercicio, que la ecuación sólo tiene 
raíces positivas. ____________________________
Tabla
de posibles raíces fraccionarias
± i i i iir 
i f
Probamos con -jr obteniendo residuo nulo.
(6) Simplificamos por 2 los coeficientes del cociente resultante y eliminamos de la Tabla 
las fracciones cuyos denominadores no dividen ya al primer coeficiente:
POLINOMIOS
Tabla
de posibles raíces fraccionarias
i i i 
í
Volvemos a probar con ^ sin resultado (lo eliminamos de la Tabla) y a continuación 
con \ obteniendo residuo nulo.
(7) Simplificamos por 2 los coeficientes del cociente resultante y eliminamos las 
fracciones que ya no pueden ser raíces.
Tabla
de posibles raíces fraccionarias
i
Con | obtenemos el último residuo nulo.
L as ra íc e s de la ecuac ión 
son en definitiva: X\ = 1 
* 2 “ 2 
* 3 = ±
x4 = j
X5 = Í
P a ra fa c to riz a r e l p rim e r 
m ie m b ro te n e m o s d o s 
opciones:
a) U tiliz a r la re la c ió n IV _ . . . , w , w „
de la pág . 36: 1 2 ( * - 1 ) ( * - 2 ) ( * - ± ) ( x - * ) ( * - * ) = 0
D escom ponem os el 12 así: (* - 1) (* - 2) • 2 (* - ±) • 2 (* - ■£) • 3 (* - $) = 0
M ultiplicam os:
b) T en iendo en cuen ta que 
£ es la ra íz que se obtiene 
del fac to r ax - b si la ecua­
c ió n tiene c oefic ien tes en­
te ros, escrib im os un fac to r 
en esa fo rm a po r c ad a raíz 
frac c io n a ria s in n eces idad 
d e c o lo c a r en tonces a0 (en 
e s te caso 12 ) cp m o p rim er 
factor:
(x - \ ) ( x - 2) (2 jc - 1 ) (2 x - 3) (3 jc - 1 ) = 0
{x - l ) (x - 2 ){2x - \ ) (2 x - 3 )(3* - 1 ) = 0
POLINOMIOS 4 7
Ejemplo 33 ________________________
Resolver la ecuación 3 6 x 4 + 2 4 a:3 - 47x 2 + x + 6 = 0 , sabiendo que no tiene 
raíces enteras. Factorizar el primer miembro.
1/2
36 24
18
-4 7
21
1
-1 3
6
- 6
(1)
36 42 -2 6 -1 2 LQ (2)
2/3
18 21
12
-1 3
22
- 6
6
(3)
18 33 9 LQ (4)
3/2
6 11
-9
3
-3
(5)
6 2 LQ
1/3
3 - 1
1
(6)
3 LQ,
Notas explicativas
(I) Después de expresarle nuestro más profundo agradecimiento al autor del libro por 
habernos dado el dato de que la ecuación no tiene raíces enteras (lo cual nos ahorra el 
trabajo infructuoso de probar con los números ±1, ±2, ±3 y ± 6 ), elaboramos la Tabla 
de posibles raícesfraccionarias:
Posibles numeradores: 1, 2, 3, 6 (divisores del último término)
Posibles denominadores: 2, 3 ,4 , 6 ,9 , 12, 18 y 36 (divisores del primero)
Tabla
de posibles raíces fraccionarias
± ± ± i ±4 ± ¿ ±9 ±12 ±18 ± ^
± i ±1 ± i ± i ± 1 ± * ±1s ± ^
± ¿ ± i ± *
r^¡+144 ±Ts ±16
± i ±* ±*
+1•cj».
+1 ±■1 ± *
Eliminando los números que, al ser simplificados , resultan enteros o repiten fraccio­
nes anteriores, la Tabla queda así:
Tabla ■
de posibles raíces fraccionarias
± + ± i
± 1
± 4 ±6 ± 9 ± 1 2 ± 1 8 ± 3 6 
± *
+1 1+ 4*
^
POLINOMIOS
(2) Probamos la división con \ y obtenemos el primer residuo nulo.
(3) Simplificamos por 2 los coeficientes del cociente resultante y eliminamos de la Tabla 
las fracciones que ya no pueden ser raíces de la ecuación:
Tabla
de posibles raíces fraccionarias
± 2 ± 6 ± 78
± 9
± í
(4) Al probar con y no obtenemos residuo nulo, por lo que los vamos tachando 
de la Tabla. (Casi nunca hay que llegar a terminar una división sintética para constatar 
que una determinada fracción no es raíz: si al multiplicar un coeficiente del cociente 
por ella el resultado no es entero, ya podemos descartarla).
Al probar con obtenemos residuo nulo.
(5) Simplificamos por 3 los coeficientes del cociente resultante y eliminamos de la Tabla 
las fracciones que ya no pueden ser raíces. Eliminamos también los signos positivos, 
pues el último cociente tiene coeficientes positivos.
de posibles
Tabla 
raíces fraccionarias
- i - i - 6
- i
Probamos con - ̂ sin resultado y luego con - \ , que sí es raíz.
(6 ) Simplificamos por 2 los coeficientes del cociente resultante y revisamos la Tabla
Tabla
de posibles raíces fraccionarias
es la última raíz.
POLINOMIOS 4 9
Las raíces de la ecuación 
son, en definitiva:
x 3 = - j
= i
y la ecuación, factorizada: (2x - 1 )(3 jc - 2 ) (2 a : + 3 ) (3 jc + 1 ) = 0
Otro método
para resolver una ecuación con raíces fraccionarias consiste en hacer un 
C am bio de V ariable para transform ar la ecuación en una que sólo tenga raíces 
enteras, es decir, en una ecuación en la que el coeficiente del prim er térm ino sea 1 .
En la ecuación que acabam os de resolver, esto se logra con el siguiente 
Cam bio de Variable:
* = 
6̂
En efecto, la ecuación dada 
es 3 6 a :4 + 2 4 a : - 4 7 a :2 + a: + 6 = 0
.H aciendo el C am bio de 
Variable:
Simplificando:
M ultiplicando la ecuación 
por 36:
R e so lv em o s, com o ya 
sabemos, por Ruffini:
36 4 + 2 4 - y
3 y
- 4 1 —.- 2 + —+ 6 =
6 6 6 6
4 . 3 2
J L + Z - 4 7 Z _ + 1 + 6 = 0
36 9 36 6
y 4 + 4 / - 4 7 y 2 + 6y + 216 = 0
1 4 -4 7 6 216
3 3 21 -7 8 -216
1 7 -2 6 -7 2 LO
4 4 44 72
1 11 18 LQ
- 2 - 2 -1 8
1 9 LQ
-9 - 9
1 LQ
Las raíces de la ecuación 
son: * y 2 = 4 * = - 2 y 4 = - 9
Deshaciendo el Cambio de
* 1 !
-¡
ts
> II
1IIr*)
H
* 4*
II 1
U
+
-
POLINOMIOS
( Ejercicio 11
Resolver las siguientes ecuaciones y factorizar en cada caso el polinom io del 
primer miembro:
1) 6 0 x 2 - 5 jc + 2 0 jc3 - 1 5 = 0
2 ) - 1 9 a:3 + 6 a:4 + 1 4 a:2 - a: - 2 = 0
0 } 1 8 a:4 - 1 8 a: + 1 8 a:3 - 1 4 a:2 - 4 = 0
4 ) 3 2 a :2 - 8 a :4 - 1 3 a : 3 - 1 2 * + 4 x 5 = 0
© 1 2 a:4 - 3 2 a:3 + 1 3 a:2 + 8 x - 4 = 0
6 ) 3 0 a :4 - 2 9 a :3 - l x 2 + 5 a : + 1 = 0
7 ) 1 4 4 a:5 + 3 6 a:4 - 2 8 a:3 - 3 a:2 + a: = 0
8 ) 2 2 5 + 1 6 a:4 - 1 3 6 a:2 = 0
9 ) 1 2 0 a:5 + 1 5 4 a:4 + 7 1 r 3 + 1 4 a:2 + * = 0
1 0 ) 2 0 a:4 + 6 2 a:3 + 7 0 a:2 + 3 4 * + 6 = 0
1 1 ) 1 4 0 a:2 - 4 9 0 a:4 - 1 0 + 3 6 0 a:6 = 0
1 2 ) 1 6 a:6 - 1 1 2 a:5 + 2 1 6 x 4 - 8 x 3 - 2 4 7 a:2 + 1 0 5 a: = 0
1 3 ) 3 0 a:4 + 4 9 a:3 - 1 0 6 a:2 + 4 9 a: - 6 = 0
1 4 ) 1 0 * 5 + 2 1 a :4 - 3 5 a :3 - \ 5 x 2 + 2 5 a : - 6 = 0
1 5 ) 3 6 a:5 + 1 2 a:4 - 7 1a: 3 - 4 8 a:2 + 5 a: + 6 = 0
1 6 ) 1 8 a:5 - 3 3 * 4 - 2 2 a:3 + 3 3 a:2 - 4 = 0
Raíces complejas 
de una ecuación con coeficientes reales
Si un com plejo a + b i es raíz de la ecuación con coeficientes reales P M = 
entonces su conjugado a - b i también es raíz de la ecuación.
E n efecto , sea la ecuación a ^x n + a x̂ n~' + ......... + a ^ x + a n = 0
S i a + bi es raíz, entonces • P(a+bi) = 0
A l c a l c u l a r P{a+N), 
sustituyendo la variable de 
la ecuac ión po r a + b i, las 
p o te n c ia s p a re s de b i 
producirán núm eros reales, 
m ien tras que las po tencias 
im p ares de b i p roducirán 
d iv e rso s m ú ltip lo s d e la 
unidad im ag inaria ,
Si rep resen tam os p o r M la 
su m a a lg e b ra ic a de las
POLINOMIOS 5 1
p a rte s re a le s q u e re su ltan 
d e e s ta sústitución y p o r N 
la de la s im ag ina ria s , ten ­
d rem os que
M + N i = 0 
y e n consecuencia que M = 0
N = 0
S i aho ra hallam os 
las p o ten c ias pares de -b i 
serán ig u a le s a las p o ten ­
c ia s p a res d e b i. L as p o ­
te n c ia s im p a re s d e - b i 
tend rán s igno o puesto a las 
de bi. P o r tanto
y , d a d o q u e M y N son 
iguales a cero, quedará que /> ^ = 0
y e n co n sec u en c ia a - b i 
ta m b ié n s e rá ra íz d e la 
ecuación .
Raíces irracionales 
de una ecuación con coeficientes racionales
Si un núm ero irracional a + 4 b es raíz de la ecuación de coeficientes 
racionales ^ = 0 , entonces su conjugado a - 4 b también es raíz de la ecuación.
La dem ostración de esta afirm ación es análoga a la que utilizam os en el punto 
anterior para las raíces com plejas de una ecuación.
Resolución de ecuaciones 
con dos raíces complejas o dos raíces irracionales
Si una ecuación, con coeficientes racionales tiene dos raíces com plejas o dos 
raíces irracionales, éstas pueden ser halladas utilizando la fórm ula de resolución de 
la ecuación de segundo grado al term inar de hallar las raíces enteras y fraccionarias, 
com o se m uestra en los siguientes ejemplos.
EicmutoJá________________
Resolver la ecuación 2 x 4 - x 3 - 1 5 x 2 + 23x + 15 = 0
B uscam os, tal com o hem os 
h e c h o h a s ta a l\o ra la s 
ra íc e s en te ra s y f r a c c io ­
narias:
52 POLINOMIOS
2 -1 -1 5 23 15
-3 - 6 21 -1 8 -1 5
2 -7 6 5 LQ
-1 /2 -1 4 - 5
2 -8 10 LQ
D e sp u é s de a g o ta r las 
p o s ib i l id a d e s d e ra íc e s 
e n te ra s y f r a c c io n a r ia s , 
queda la ecuación:
Simplificando:
U tilizando la fórm ula de la 
ecuac ión de seg u n d o g ra ­
do:
R aíces de la ecuación:
2 x 2 - 8 * + 1 0 = 0 
x 2 - 4 * + 5 = 0
x =
4 í - > / M ) 2 - 4 - 1 - 5 
2-1
4 ± V—4
E im e la J l______________________________________________________________
Resolver la ecuación x 4 + l x 3 + I x 1 - 30* - 4 0 = 0
B uscam os las ra íces e n te ­
ras:
1 7 7 -3 0 - 4 0
2 18 50 40
1 9 25 20 LQ
- 4 - 4 -2 0 -2 0
1 5 5 LQ
La ecu ac ió n no tiene más 
ra íce s en te ra s . F ra c c io n a ­
rias tam p o co p o r se r 1 el 
p rim er co efic ien te . Q ueda, 
p u e s , p a ra re s o lv e r la 
ecuación X 2 + 5* + 5 = 0
- 5 ± V 5 2 - 4 5-1
x = -------------------------
POLINOMIOS 53
x =
- 5 ± V 5
R aíces de la ecuación: x , = 2
* 2 = - 4
* 3 . 4 =
- 5 ± V 5
( Ejercicio 12
Resolver las siguiéntes ecuaciones:
1) \ l x + x 4 - 4 x 3 - 1 4 = 0
2) x 4 + 8 x 3 + 8 x 2 - 37x - 3 8 = 0
3) 4 x 4 + 22x3 + 1 2 x 2 - 8x - 2 = 0
4) 9 x 4 + 123x2 - 6 0 x 3 - 42x - 30 = 0
5) x 4 + 3 x 3 - 2 6 x 2 - 7 5 x + 25 = 0
6) x 5 - 15x3 + 16x2 + 2 x 4 — 4 x = 0
7)/—N 18x4 - 2 4 x 3 + 6 x 2 - 1 2 x + 12 = 0
• & ) 24x4 + 4 x 2 - 4 x 3 + 8 - 20x = 0
9) 9 x 5 + 4 x 3 - 2x + 5 x 2 - 6 x 4 = 0
10) 6 x 6 + 5x5 + 4 x 4 - 8x3 - 12x2 + 3x + 2 = 0
Ecuaciones recíprocas
Llamaremos Ecuación recíproca de prim er tipo a una ecuación de la forma
a x n + b x n~i + c x ”~~ + ......... + c x 2 + b x + a = 0
en la que los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales.
Llamaremos Ecuación recíproca de segundo tipo auna ecuación de la forma
a x " + b x " ~ ] + c x n~2 + - c x 2 — b x - a = 0
en la que los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son opues­
tos.
Las ecuaciones recíprocas de cualquiera de los dos tipos pueden ser de grado 
p a r o de grado impar.
5 4 POLINOMIOS
Las ecuaciones anteriormente descritas se llaman recíprocas porque gozan de 
la propiedad de poseer pares de raíces recíprocas: esto quiere decir que si a es raíz 
de la ecuación, también lo será 1 ¡a.
En efecto, en las de primer „ „ , „_i n- 7 i ,
tipo tenemos que * < « > = « « + b ( X + C « + + CCC2 + b ( X + a
Y, por otra parte, _ a b C C b
P'i>= ^ + ̂ + ̂ + ........+ ^ + a + °
S acando m ínim o com ún
denominador: a + b a + C ( X 2 + ..........+ C ( X n~2 + b a " ~ ' + a a n
<±>" a "
El num erador es igual al p
desarrollo de por con- p — (g)
. siguiente: <“ ) a"
Si P{a) es cerq, por ser a raíz de la ecuación, entonces también P(±) es cero y
en consecuencia 1 /a también es raíz de la ecuación.
Se puede comprobar fácilménte a través de un razonamiento análogo que lo 
dicho es válido para las ecuaciones recíprocas de segundo tipo.
Resolución de ecuaciones recíprocas
Las ecuaciones recíprocas tienen características especiales según su tipo y 
grado. Las estudiaremos, por tanto, por separado.
A) Ecuaciones recíprocas de primer tipo de grado par
Para resolverlas utilizaremos el siguiente procedimiento (ejemplificado con 
una ecuación de sexto grado):
Sea la ecuación a x 6 + b x 5 + c x 4 + d x 3 + c x 2 + b x + a = 0
1) D iv id im os cada uno de 
lo s té rm in o s p o r x"12 (en
este caso por x-’): a x 6 b x 5 e x 4 d x 3 e x 2 b x a
■ — + —r + —T + — + —r + - T + -T = o
x x x x x x x
Sim plificando: , . c b a
a x 3 + b x 2 + c x + d + - + — + - ^ = 0
X X X
A g ru p am o s los p a re s de 
té rm in o s e q u id is tan te s de 
lo s e x tr e m o s , s a c a n d o
factor com ún en cada par: ( 3 <3 \ j , 2 & \ I c i
v 1 a x 3 + - r + \ b x * + - r r + \ c x + - +<i = 0
POLINOMIOS 5 5
P rep a ra m o s e l s ig u ie n te 
C am bio de V ariable:
P ara c a lc u la r í . r 2 + ~ V
V x~ 
procederem os así:
* + i | = /
x 2 + 2 + \ = y 2
2 n 
* - + ~ = y 2 - 2
x 2 )
Y . po r ú ltim o, para calcu lar
x + i | = y3
* 3 + 3 x + - + \ = y 3
a 3 +
X X '
1 V 3 Í x + i ] = /
x 3 + • = y 3 - 3 y
E fec tu an d o el C am bio de 
Variable: a ( y 3 ~ 3 y ) + b ( y 2 ~2') + c y + d = 0
4 ) R eso lvem os la ecuación 
en v o b te n ie n d o , e n este 
caso, tres raíces: y = y i y = y2 y = y¡
5) D eshacem os e l C am bio 
de V aria b le y re so lvem os 
cada una de las ecuaciones * + - | = yi
Veámoslo con un ejemplo práctico:
Ejemplo 36
Resolver la ecuación 3 a 6 - 8 a 5 - 9 2 a :4 + 5 4 a 3 - 9 2 a 2 - 8 a + 3 = 0
Es una e cu ac ió n del p r i­
m er tipo y de grado par.
5 6 POLINOMIOS
P rocederpos, pues, a reso l­
verla u tilizando el p ro ced i­
m iento an tes explicado.
1) D iv id im os cada térm ino 
po r x 1:
Sim plificando:
3 x 6 8 x 5 9 2 a :4 5 4 a :3 9 2 a :2 8 a: 3
9 2 8
3x - 8a : - 92a: + 5 4 ------------ - + — = 0
A g ru p a n d o los p a re s de 
té rm in o s e q u id is tan te s detérm inos equidistantes de / j \ / j \ / j \
los extrem os y sacando 3 A 3 + — - 8 A 2 + — — 9 2 A + — + 5 4 = 0
factor común en cada par: V X J \ X ' J v x j
H a c ie n d o e l C a m b io de
x + - \ = yV a r i a b l e
(y los derivados de él):
D esp u és de m u ltip lica r y 
red u c ir té rm in o s sem ejan ­
tes queda:
R eso lv e m o s la e cu a c ió n 
utilizando Ruffini:
3 (y 3 - 3y) - 8 (y 2 - 2 ) - 92y + 54 = 0 
3y3 - 8 y 2 -1 0 1 y + 70 = 0
Con los sigu ien tes re su lta ­
dos:
D eshac iendo el C am bio de 
V ariable, tenem os:
a)
X + — = 1 
X
x 2 - l x + l = 0
y 3 = t
X =
7 ± y 49 - 4
7 ± 3-\/5
POLINOMIOS 5 7
b)
x + — - - 5
x
x + 5 x + l = 0
x -
- 5 ± V 2 5 - 4
* 3 .4 =
- 5 ± V 2 1
c) 1 2 
x + — = - 
x 3
3x2 - 2x + 3 = 0
x =
2 ± V 4 - 3 6 
2 -3
1 . 2 V 2 .x . * = - ± ------- 1
56 3 3
B) Ecuaciones recíprocas de primer tipo de grado impar
Tienen la particularidad de que admiten la raíz -1 y son divisibles, por tanto, 
porx + 1. Esto es fácilmente verificable hallando P(.n.
Para resolverlas aprovechamos esta particularidad y separamos primero la 
raíz -1 mediante una división sintética. El cociente resultante será recíproco del 
primer tipo de grado par y se resuelve con el método anteriormente descrito.
E ism to JZ
Resolver 2 x 5 - 3x4 - 4 x 3 - 4 x 2 - 4x + 2 = 0
C o m o e s u n a e c u a c ió n 
rec íp roca d e p rim er tip o y 
de g rado im par, adm ite la 
r a í z - 1 .
L a s e p a ra m o s m e d ia n te 
una d iv isión sintética:
-1
2 -3 
- 2
- 4 - 4
-1
- 3 - 2
- 2
2 . -5 1 -5 2 LQ
O b ten em o s a s í la p rim era 
ra íz de la ecuación:
8 POLINOMIOS
y nos queda e l cociente 2 x A — 5 jc 3 + X 2 — 5 x + 2 = 0
que , po r se r de p rim er tipo 
y de g rad o par, puede~ ser 
re s u e lto p o r e l m é to d o 
conocido.
D iv id ie n d o cad a té rm in o 
po r x 2 y sim plificando:
l x 2 - 5 j c + 1 ------- + — = 0
A g ru p a n d o los p a re s de 
té rm in o s e q u id is tan te s de 
J o s , e x tre m o s y sac a n d o 
fac to r com ún en cada par:
E fec tu an d o el C am b io de 
V ariable f x + — j = y
queda la ecuación:
cuyas so luciones son:
D eshac iendo e l C am b io de 
V ariable, tenem os:
a)
2 | x 2 + - y j — 5 Í j c + - ^ 1 + 1 = 0
2 ( / - 2 ) - 5 y + l = 0 
2 y 2 - 5 y - 3 = 0 
y ¡ = 3 y 2 = - i
* + - = 3 
x
x 2 - 3 x + l = 0
x =
3 ± V 9 - 4
b)
* 2 . 3 ”
3 ± V 5
1 1
x + — = —
* 2 
2 x 2 + * + 2 = 0
— 1 ± Vi - 1 6
x = -----------------------
l 4 .5
4 4
POLINOMIOS 5 9
C) Ecuaciones recíprocas de segundo tipo de grado par
Las ecuaciones recíprocas de segundo tipo de grado par tienen dos 
particularidades:
1) Su término central debe ser nulo, porque el coeficiente de dicho término 
debe ser opuesto a sí mismo y esta condición no la satisface ningún número distinto 
de cero.
Por ejemplo, en la ecuación a x 4 + b x 3 + c x 2 - b x - a = 0 , el primero y 
segundo coeficientes tienen su opuesto, respectivamente, en el último y penúltimo 
coeficientes. El término central debe tener su opuesto en sí mismo y esto sólo es 
posible si, como hemos dicho, c es igual a cero. En tal caso tendremos la ecuación 
a x 4 + b x 3 - b x - a - 0 que sí es recíproca de segundo tipo y de grado par.
2) Admiten las raíces 1 y -1 , lo cual es fácilmente comprobable hallando
y P( D -
R eso lu ción : separamos primero las raíces 1 y -1 mediante dos divisiones 
sintéticas y el cociente resultante (que será recíproco del primer tipo y de grado par) 
lo procesamos por e l método conocido,.
Ejemplo 38_____________________________
Resolver 2 x % + x 1 - 17x6 + * s - x 3 + \ l x 2 - x - 2 = 0
La ecuación es de segundo 
tipo y de grado par por lo 
cual admite las rafees 1 y
- I .
Las separamos mediante 
divisiones sintéticas:
2 1 - 1 7 1 0 - 1 17 - 1 - 2
1 2 3 - 1 4 - 1 3 - 1 3 - 1 4 3 2
2 3 - 1 4 - 1 3 - 1 3 - 1 4 3 2 LO
-l - 2 - 1 15 - 2 15 - 1 -?,
O btenem os a s í las dos 
primeras raíces:
2 1 - 1 5 2 - 1 5 1 2 LQ
. = 1 x 2 = - \
Y la ecuación restante es
del prim er tipo y de grado 
par. 2x 6 + * 5 - 1 5 x 4 + 2 x 3 - 1 5 * " + x + 2 = 0
Dividiendo cada término 
por*3:
2x3 + jc2 - 1 5 x + 2 - — + 4 r + ̂ - = 0
Agrupando pai;es y sacan­
do factor común: >
2( * 3 + - 7 M * í + ? ) - ,5 H ) + 2 = o
POLINOMIOS
H aciendo el C am bio de
Variable + — j = y 2 (> , J - 3 j ) + ( / - 2 ) - 1 5 > ’ + 2 = 0
M ultiplicando y reducien­
do términos semejantes: 2 y 3 + y 2 - 2 1 y = 0
Sacando factor común: y ( 2 y 2 + y - 2 l ) = 0
Factorizandola expresión 
del paréntesis: y ( 2 y + 7 ) ( 2 y - 6 ) = 0
de donde
M<n1II£
OII
.
•Deshaciendo el Cambio de 
Variable:
a > -4
A + — = 0
* = 3
b)
c)
* + 1 = 0
*3.4 = ±*
1 7
a + — = —
* 2
2 a 2 + 7 * + 2 = 0
a< * =
- 7 ± V 3 3
a h — = 3 
*
a 2 - 3 a + 1 = 0
3 ± V 5
D) Ecuaciones recíprocas de segundo tipo de grado impar
Admiten la raíz 1. 
Para resplverlas, separamos primero la raíz 1 mediante una división sintética 
y continuamos después como en los ejemplos anteriores.
POLINOMIOS 61
Cuadro Sinóptico de las ecuaciones recíprocas
del primer-tipo
P{x) = a x " + b x n~' + cx"~2 + .......+ c x 2 + b x + a = 0
si n es PAR Dividir P(x) entre x~\ agrupar por pares los
té rm inos equ id istan tes de los ex trem os, sacar 
factor com ún y efectuar el siguiente C am bio de 
Variable:
X + I ) - „
- +¿ b 2- 2
* 3 + ' ) = y > - 3 y
^ 4 + ^ - j = y4 - 4 y 2 + 2 ,e tc .
R esolver Ply) y deshacer el C am bio de 
Variable
s¡ n es im p a r /> ( admite la raíz -1
del segundo tipo
P(x) = a x " + b a " - 1 + cx"~2 + - e x 2 - b x - a = 0
si n es PAR (y el térm ino central es nulo)
Pix) adm ite las raíces 1 y -1 
si n es IMPAR adm ite la raíz 1
[ Ejercicio 13
Resolver las siguientes ecuaciones:
D 3 a 4 + 4 a 3 - 1 4 a 2 + 4 a + 3 = 0
2 ) 6 a 4 + 3 5 a 3 + 6 2 a 2 + 3 5 a + 6 = 0
3) 1 2 a 4 - 1 1 a 3 - 1 4 6 a 2 - 1 1 a + 1 2 = 0
4 ) 2 a 4 - 5 a 3 + 4 a 2 - 5 a + 2 = 0
5 ) a 4 + 2 a 3 + 2 a 2 + 2 a + 1 = 0
6 ) ' 2 / - 7 a 3 + 4 a 2 - 7 a + 2 = 0
7) 7 2 a 4 - 6 a 3 - 1 8 1 a 2 - 6 a + 7 2 = 0
POLINOMIOS
8 ) 150*4 - 9 5 x 3 -6 8 6 jc 2 -9 5 ;c + 150 = 0
9) 6 x 5 + 1 lx 4 - 33x 3 - 3 3 x2 +1 lx + 6 = O
10) 6 x 5 - * 4 ~-43jc 3 + 4 3 x 2 + x - 6 = 0
11) 6 x 5 + 2 9 x 4 + 2 7 x 3 - 2 7 x 2 - 2 9 x - 6 = 0
12) ' x 5 - 4 x 4 + 3x 3 + 3jc2 - 4x +1 = 0
13) 2 x 5 - 15x4 + 37x 3 - 37x 2 + 1 5x - 2 = 0
14) 12x 6 + 35x 5 - 1 12x 4 - 270x3 - 1 12x 2 + 35jc + 1 2 = 0
15) 2 x 6 - 5 x 5 + 2 x 4 - 2 x 2 + 5x - 2 = 0
16) x 6 - 5 x 5 + x 4 - x 2 + 5 x - l = 0
■ 17) 3x 6 + 14x5 + 1 lx 4 - 1 lx 2 - 14x - 3 = 0
18) y 6 - 1 l x 5 + 37x 4 - 4 6 x 3 + 37x 2 - 1 lx +1 = 0
19) 2 x 6 - 3x 5 - 2 x 4 - 9 x 3 - 2 x 2 - 3* + 2 = 0
20) 6 x 7 + 5 x 6 - 15x5 + 4 x 4 + A x3 - 15x2 + 5x + 6 = 0
21) 6 x 6 - 35xs + 56x4 - 56x2,+ 35x - 6 = 0
22) 2 x 7 - 19x6 + 3 9x 5 - 21x 4 + 2 \ x 3 - 39x 2 + 19x - 2 = 0
23) 6 x 8 + 13x7 - 53x 6 - 1 3 7 x 5 + 137x3 + 53x 2 - 13x - 6 = 0
24) 6 x 8 + I x 1 + 24x6 + 20x 5 + 36x4 + 2 0 x 3 + 2 4 x 2 + I x + 6 = 0
25) 2 x 8 + 7 x 7 - 4 3 x 6 + 1 4 x 5 - 4 1 x 4 + 1 4 x 3 - 4 3 x 2 + 7 x + 2 = 0
26) a 2b 2x 5 + a 2b 2x 4 — (a 4 + b 4) x 3 - ( a 4 + b 4) x 2 + a 2b 2x + a 2b 2 = 0
27) a x4 - ( a - l ) 2x 3 - (2a2 - 2a + 2 ) y 2 - (a - 1) 2 x + a = 0
Ecuaciones trascendentes de grado superior
Resolverem os ecuaciones trigonom étricas, logarítm icas y exponenciales de 
grado m ayor que 2 .
Si se hacen convenientes Cam bios de Variable, se transforman en ecuaciones 
com o las resueltas hasta ahora.
De no hacer Cam bios de Variable, es necesario tener en cuenta que las raíces 
que se obtienen no son los valores de x que anulan la ecuación, sino los valores de 
senx, tgx, lg^x, e \ 3X, etc., que sí la anulan.
Para la resolución de ecuaciones trascendentes elem entales rem itirem os a 
nuestro libro Selección de Temas de M atem ática 4: páginas
79 y ss. (para las ecuaciones exponenciales),
87 y ss. (para las logarítmicas) y
185 y ss. (para las trigonométricas).
p o l in o m io s 6 3
Ejem plo 39 __________________________
Resolver la ecuación 8 eos 4 x - 4 eos 3 x - 1 0 eos 2 x + 3 eos x + 3 = 0
U tilizando R uffini :
8 -4 - 1 0 3 3
1 8 4 - 6 -3
8 4 - 6 -3 LQ
- ] (? - 4 0 3
8 0 - 6 LQ
L a ecu ac ió n no tien e m ás 
ra íces rac io n a les . Facto ri- 
zando, tendrem os:
o tam bién:
En consecuencia:
R eso lv em o s e s ta s tre s e- 
cuaciones elem entales:
a)
b)
c)
(eos x - l) (c o sX + 4-)(8 eos2 x - ó ) = 
(eos x - 1X2 eos x +1)^4 eos2 x - 3)
eos x - 1
C0SJt = 1
COSX = - +
X = I k K
eo s* =
x = 2 k n ± — 
3
eos 2 X - j
eos X = ±
V3
x = k n ±
n
Ejemp lo 4ÍL
Resolver: 2 sen 3 x + 3 sen 2 x - 3 sen x - 2 = 0
U tilizando Ruffini:
= 0 
= 0
eos 2 x = i
6 4 POLINOMIOS
E! p ro ceso d a o rigen a las 
s ig u ien tes ecu ac io n e s e le ­
m entales:
•>
de donde
b)
que n o tiene solución
c)
de donde
sen x - 1
n
x = — + 2 k n 
2
sen x = - 2 
(INADM ISIBLE)
se n x = -4 -
x = k n - ( - ! ) *
n
Ejemplo 41
Resolver: 3 tg 3 * - 2 t g 2 j c - 3 t g * + 2 = 0
U tilizando R uffini:
R eso lv em o s aho ra las s i­
g u ie n te s e c u a c io n e s e le ­
m entales:
a)
de donde
b)
de donde
tg * = ± l
x = k ) 80° ± 45°
tg x = } = 0 ,667
jt = fc-180° + 3 3 °4 r
Eíc m IqAZ
R eso lver 12cos 2 * + 1 6 c o s ;c -4 se c A :- - tg 2 x = 0
A n te s d e ' r e s o lv e r la 
e c u a c ió n d e b em o s h ace r 
a lg u n a s tra n s fo rm a c io n e s 
p a ra u n if ic a r la v a riab le .
POLINOMIOS 65
U tiliza rem o s co n o c id as i- 
den tidades trigonom étricas.
T ran s fo rm an d o e l cu a r to 
térm ino:
M u l t ip l ic a n d o to d a la 
ecuación po r cqs2*:
O rdenando:
U tilizando Ruffini:
12cos2 A; + 1 6 c o s A :-4 s e c A :-s e c 2 x + l = 0
12cos4 a: + ló e o s 3 x ~ 4 c o s x - l + cos2 x = 0 
12cos4 a: + 16cos3 a: + cos2 a : - 4 c o s a : - 1 = 0
1 2 16 1 - 4 - i
-1 - 1 2 - 4 3 1
1 2 4 -3 - 1 LQ
1/2 6 3 1
1 2 1 0 2 L Q
6 5 1
1/2 - 3 -1
6 2 LjQ
3 1
1/3 -1
3 LQ
R esu ltan las s ig u ien tes e- 
cuaciones elem entales:
a)
d e donde
b)
de donde
c)
de donde
c o s a : = - 1 
x = 180° + fc-360°
x = 180°(1 + 2 &)
c o s a : - ±-¿-
x = k l 80° ± 60c
c o s a : =
c o s a : = -0 ,3 3 3
x = k - 3 6 0 °± 109°28l
Resolver: , lg 3 x - 7 lg a: + 6 = 0
6 6 POLINOMIOS
Util izando'R uffini:
1 0 - 7 6
1 1 1 - 6
1 1 - 6 LQ
2 ?- 6
1 3 LQ
3 - 3
1 LQ
R esu ltan las s ig u ien tes e- 
cuaciones e lem entales:
a)
■ de donde
b)
de donde
c)
de donde
l g 2 X = l
x = 2
\g2 x = 2
x = 4
lg , x = - 3
x =
Ejemplo 44
Resolver: 3ÍA- 1 0 - 3 2" + 7 - 3 A+ 18 = 0
U tilizando Ruffini:
R esu ltan las s ig u ien tes e- 
cuaciones elem entales:
a)
de donde
b)
3A = 2
* = lg 3 2 = 0 ,6309
3 ( = 9 
3 l = 3 2
de donde x = 2
POLINOMIOS 67
C)
que no tiene solución:
Eimp.lo.45
3 ' = -1
(INADM ISIBLE)
Resolver: 2 4 j + 4 - 53 • 2 3x+i +189 • 2 lx - 43 • 2 (+l + 8 = 0
H a ce m o s las s ig u ie n te s 
transfo rm aciones pa ra u n i­
ficar la variable:
Sustituyendo:
U tilizando R uffini:
2 4 * * 4 = 2 4v • 2 4 = 16 • 2 4í 
23t+1 = 23a -2 = 2 (2 ¥ )3 
2 2x = (2 r ) 2 
2 V~’ = 2 V-2 = 2 ( 2 ')
1 6 ( 2 ') 4 - 1 0 6 ( 2 1)3 + 1 8 9 (2 " )2 - 8 6 ( 2 ' ) + 8 =
16 -106 189 - 8 6 8
2 32 -148 82 - 8
16 -7 4 41 -4 LQ
4 64 -4 0 4
16 - 1 0 1 LQ
1 / 2 8 -1
16 - 2 LQ
8 - 1
1 / 8 1
8 LQ
R esu ltan las s ig u ien tes e- 
cuaciones e lem entales:
a)
de donde
b)
de donde 
C)
de donde 
d)
de donde
V = 2 
x = 1
V = 4
" ¡ T í "
V = 4
¡ x = - l
2 r = i
a- = - 3
= . 6 ( r ) 4
0
6 8 POLINOMIOS
C E jerc ido 14
Resolver las siguientes ecuaciones:
1 ) 4 sen 4 * - 1 2 sen 3 * + 7 sen 2 x + 3 s e n ; t - 2 = 0
2 ) „ t g 4 * + t g 3 X - 5 t g 2 a: - 3 t g a: + 6 = 0
3) 2 co s3 a: + 2 cos2 a: - cosa: - 1 = 0
4) 2sec4 A: + 9sec3x - 1 8 s e c 2 A :-7 1 s e c A :-3 0 = 0
5) 2sen3 A: + 3sen2 x - 3 s e n A : - 2 = 0
6 ) lO sen3 Aí + 13sen2 ;c + 2 s e n A : - l = 0
7) 8sen4 Ar + 4se n 3 a: + 1 0 cos2 A : - 3 s e n A : - 7 = 0
8 ) 2 t g 4 A: + sec4 A T - 3 t g 3 A : - 5 s e c 2 A : -4 t g 2 A: + tgA : + 6
9) 12sen2 A :-25 senA : + 2cscA: + l = 0
10) lO co s2 A :-1 7 c o s A :-7 s e c A : + 3 tg 2 a: - 3 4 = 0
11) lg 3 J t - 6 1 g 2 a: + 11 lg a: — 6 = 0
1 2 ) 7 l g 3 jc — 2 3 l g 2 a: + 2 0 l g 4 = 0
13) 7 lg 3 a: — 8 lg 2 jc - 41 lg jc -H 6 = 0
14) lg 4 J t - 8 lg 32 x + 17 lg 2 Ar + 2 lg 2 * - 2 4 = 0
15) 6 lg 3 ac: — 11 lg 2 x + 6 lgA: + c o lg lO = O
16) 3 lg 3x + 2 lg 2 * + 7 c o lg ; t + lg l0 0 = 0
1 7 ) lg ; x + 2 1 g 4 x - 1 6 1g3 x - 2 l g 2 a: + 1 5 l g 3 a: = O
18) 61g4 ac- lg 3 jc — 2 4 lg 2 a: + 4 lg at = O
1 9 ) 23x- l - 2 lx + 1 4 - 2 ' - 8 = 0
20) 2 3* - 6 ■ 2 2jr + 1 1 • 2 v - 6 = O
2 1 ) 3 4a - 1 2 - 3 3' + 2 6 - 3 2 i + 1 2 - 3 ' - 2 7 = 0
22) 2 4* - 1 0 • 2?x + 35 • 2 2jr - 50 • 2 ‘r + 24 = O
23) 8* - 4 X - 2 X+1 + 2 = 0
24) 2 3j - 2 2*+3 - 5 - 2 * + 8 4 = 0
25) e3x-13e2x+ 4 7 ^ - 3 5 = O •
26) 4 3 , - 9 - 4 2a + 2 6 - 4 ' - 2 4 = 0
27) 4 ■ 24x+3 - 1 4 • 2 3' +2 - 92 • 2 2* + 43 • 2X+1 - 1 5 = 0
28) rñ3x - ( a + b + 1 )m 2x + (a + ab + b)m x - a b = O
Factorización y simplificación de fracciones
Sabiendo ya hallar las raíces de un polinom io y sabiendo factorizarlos, la fac­
torización y sim plificación de fracciones no reviste ninguna novedad.
Sin embargo, es bueno prestar atención a la siguiente observación: el m étodo 
que tradicionalm ente se m aneja desde cursos anteriores al factorizar expresiones 
cuadráticas cuyo prim er coeficiente es distinto de la unidad, im plica m ultiplicar toda 
la expresión por dicho coeficiente. Esto no afecta en absoluto el resultado si se trata 
de una ecuación igualada a cero, pero sí altera el resultado si se trata del num erador 
o del denom inador de una fracción no igualada a cero.
Veámoslo con un ejemplo:
/
6 x 2 - 7 x - 5 = 0
(6x ) ( 6 * ) = 0
( 6 x - ) ( 6 x ) = 0
(6 x - ) (6 x + ) = 0
D a d o q u e lo s s ig n o s 
c o lo c ad o s so n o p u e sto s , 
buscam os dos núm eros que 
m ultip licados del 6x5= 30 y 
res tados d en 7. E sto s nú­
m eros son 10 y 3. (Coloca­
m os e l mayor en e l p rim er , „ , ,
factor): ( 6 * - 1 0 ) ( 6 * + 3 ) = 0
Puede constatarse fácilm ente que, si efectuamos la m ultiplicación indicada en 
esta últim a expresión, obtenemos la expresión multiplicada por 6 .
P or consiguiente, si al factorizar una expresión cuadrática u tilizam os este 
m étodo, tenem os que com pensar la m ultip licac ión im plíc ita de la ecuación 
dividiendo por 6 .
E s decir, la factorización de la expresión 6 x 2 - I x — 5 es:
( 6 x - 1 0 ) ( 6 * + 3 )
6
Al reso lver la ecuación
p o r e l m é to d o c ita d o e- 
fectuam os el sigu ien te p ro ­
ceso:
Form am os dos facto res bi- 
nó m ico s c u y o p rim er té r­
m ino es 6x:
C olocam os com o signo del 
seg u n d o té rm in o d e l p r i ­
m er b in o m io el s igno del 
seg u n d o té rm in o d e la e- 
cuación:
y com o s igno d e l segundo 
té rm in o d e l s eg u n d o b i­
n o m io el p ro d u c to de los 
s ignos del segundo y tercer 
térm ino de la ecuación:
POLINOMIOS
S iem pre pod rem os sim p li­
f ic a r lo s té rm in o s de uno 
de lo s fa c to re s p o r e se 
n úm ero o , com o en este 
c aso , c ad a fa c to r p o r "un 
su bm últip lo de ese núm e-
ro: _ ( 6 x - 1 0 ) ( 6 x + 3)
2 -3
obteniéndose ( 3 * _ 5 ) ( 2 x + 1 )
Ejemplo 46
Factorizar y sim plificar la siguiente fracción:
x 4 - 5 x i - x 2 + 8 x - 4 
+ 3x 3 - 3 x 2 - 7 x + 6
B uscam os, u tilizan d o R u ­
ffin i, las ra íces del num e-, 
ra d o r pa ra p o d er fa c to ri- 
zarlo:
El num erado r es
B uscam os aho ra las raíces 
del denom inador:
El denom inador es
y la fracción factorizada: (x - 1 ) 3(x + 2 )2 
(x - 1 ) 2(x + 2 )(* + 3)
POLINOMIOS 7 1
Sim plificando: (jc- ! ) ( * + 2 ) 
i x + 3)
Eim p.k>47
Factorizar y sim plificar la fracción 10* 2 - 9 x + 2
1 0* - 9 x - 8 x + 9jc - 2
F a c to riz am o s el n u m era - (lOx - 5)(10* - 4 ) 
dor: ----
S im plificando po r 5 e l p ri­
m er fa c to r y p o r 2 e l s e ­
gundo:
F ac to rizam os e l d enom ina­
d o r utilizando R uffini:
10
( 2 x - l ) ( 5 x - 2 )
2/5
-2
2
LO
I 0
El denom inador es:
La fracción queda así:
S im plificando:
(x - 1 ) ( jc + 1)(2 jc- 1 ) ( 5 a: - 2 )
( 2 x - l ) ( 5 x - 2 ) 
( j t - l ) ( * + l ) ( 2 j c - l ) ( 5 j t - 2 )
1
( * - l ) U + l)
( Ejercicio 15
Factorizar las siguientes fracciones y simplificarlas: 
x 3 + 6 jc2 + 1 I j t + 6
jc3 - 7 x - 6 
x 4 - 5 x 2 + 4
x - x - I x + x + 6 
2 x l + 3 x 2 - \ S x + S 
4 x 4 ~ l l x 2 + 4
POLINOMIOS
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
■xs - 2 1 j c 3 + 1 6 x 2 + 1 0 8 * - 1 4 4 
x 4 + 2 x 3 - \ l x 2 - 18.x + 72 
6 x 4 + Jt3 + 2 x 2 - 4 x +1 
6 x 4 + 7 x 3 + 5 x 2 —x — 2 
6Q .x4 + 1 6 ;x 3 - 2 1 j x 2 - 3 j x + 2 
6 0 jc 4 - 1 0 4 x 3 + 7 j c 2 + 2 5 j c - 6 
x 4 + 6 x 3 + 3.x+ 140 
jx4 - 4 x 3 - 1 0 ; x 2 + 5 3 * - 1 4 0 
2.x6 + 3 x 5 - 3 2 x 4 + 9 x 3 - 9 x 2 + 9 6 x - 45 
x 5 + 2 x 4 - 15x3 - 3.x2 - 6 x + 45 
2 * 4 + 6 x 3 - 5 6 * 2
x 4 + 2 x 3 - 3 1 x 2 + 2 Z x 
6jc4 +11jc3 +18jc2 + 1 U + 2
9 x 4 + 9 x 3 + 17jc2 - x - 2 
•>
Límites con la indeterminación -
o
k
En matem áticas se dice que el cociente — no está definido.
0
A l estudiar, por ejemplo, el dominio de la función
7 ( 0 x - 2
afirm am os que la variable puede tom ar cualquier valor real a excepción del 2 , pues 
en tal caso se anula el denom inador y no se obtiene para la función un valor 
definido.
Sin em bargo, se dice que | = °°, f = - « , etc., utilizando el criterio de que, a 
m edida que el denom inador de una fracción va tom ando valores cada vez más 
pequeños, el cociente se va haciendo proporcionalm ente cada vez más grande y, si el 
denom inador tom a un valor infinitam ente pequeño cercano a cero, el cociente se 
hace infinitamente grande.
N o sucede lo mismo con la expresión ^ .
Esta se considera en matem áticas una Indete rm inac ión , es decir, un resulta­
do respecto al cual no podem os afirm ar absolutamente nada.
Estudiarem os a continuación algunos casos de funciones fraccionarias que, 
para determinados valores de la variable, dan origen a esta indeterminación.
Veamos el caso de la función
_ x 2 - 5 x + 6 
/ u , “ x - 3
POLINOMIOS 73
H arem os, e l g rá fico d e f M 
m e d ia n te u n a ta b la de 
valores:
A i tra ta r de c a lc u la r f }) 
o btuv im os el resu ltado 0/0. 
L a func ión n o ex iste , po r 
tanto, pa ra x - 3.
L levando lo s va lo res a un 
g ráfico , ob tenem os el de la 
figura 1 :
P ara ten e r u n a v isión m ás 
com ple ta de la función en 
e l. p u n to c r í t ic o x = 3, 
h a re m o s u n a a m p liac ió n 
del re cu ad ro de la Fig. 1 y 
fa b ric a rem o s la s ig u ien te 
tab la adicional:
E l recuadro am pliado y con 
los n uevos va lo res señ a la ­
dos aparece en la Fig. 2:
0 -2
1 - 1
2 0
3 ???
4 2
5 3
6 4
2,7 0,7
2,8 0,8
2,9 0,9
3 ???
3,1 1,1
3,2 1,2
3,3 1,3
74 POLINOMIOS
A m pliam os e l recuadro pe­
queño cen tra l de la F ig . 2 y 
añad im os los puntos de una 
nueva tabla:
El resultado puede verse en 
la Fig. 3:
2,97 0 97
2,98 0 98
2,99 0 99
3
3,01 1 01
3,02 1 02
3,03 1 03
Fig. 3
E l punto de discontinuidad siem pre existirá por más que tom em os valores de 
la variable cada vez más cercanos a 3. Pero ese punto es infinitesim al y por eso 
podem os decir que, cuando la variable se acerca al valor 3, la función se acerca al 
valor 1 .
En el lenguaje matemático ese concepto se expresa de esta forma:
, , x 2 - 5 x + 6 ,
l in t = 1
-«->3 X - 3
(y se lee así: el límite, cuando x tiende a 3, de —— 5 x+ ^ es i)
x - 3
Para calcular este tipo de límites procederemos de la siguiente forma:
E jm p to 49--------------------------------------------------
Calcular l ím x - 5 x + 6
-*-*3X - 3
(El m ism o ejercicio anterior, resuelto ahora en form a analítica).
1) C o m p ro b ap io s , c a lc u ­
lando f ()), que se tra ta de un 
lím ite d e la fo rm a 0/0 :
POLINOMIOS 75
f (3) = # (Indeterminación)
2 ) S i e l n u m erad o r y e l 
denom inador se anu lan pa-_ 
ra x = 3 es porque 3 e s raíz 
o c e ro d e a m b a s e x p re ­
siones y, po r tan to , am bas 
son d iv is ib le s p o r x - 3. 
T ra ta re m o s e n to n c e s de 
a islar ese fac to r que es el 
‘q u e p ro d u c e la in d e te r­
m inación.
En n u estro e jem p lo , basta 
co n fa c to riz a r e l n u m era ­
dor: • •
= Um ( , - 2 ) ( , - 3 ) 
*-»3 x - 3
3 ) El va lo r al que se acerca 
n u e s t r a fu n c ió n e s e l 
m ism o al q u e se ace rca 
esta o tra (que no tiene el
f a c to r q u e p ro d u c e la _ ^ _ 2 )
indeterm inación): *-»3
4 ) Y el lím ite se c a lcu la 
s u s titu y e n d o la v a ria b le
por 3: = 3 — 2
- r a
Nota: es im portante insistir en que en ningún m om ento hem os afirm ado que las 1
funciones / U )= — y •/<*>-(*“ 2) sean iguales. A m bas se j
com portan en form a c a s i idéntica, pero la p rim era tiene un punto de ! 
d iscontinuidad que la segunda no posee. Lo que podem os afirm ar es que i 
ambas funciones se acercan al mismo punto cuando la variable tiende a 3.
Ejem plo 49_____________________________
x 4 + 3* 3 - 3* 2 - 12jr - 4 
Calcular l im — ----------------
^ - 2 a:4 + 4 x 3 + 6jc2 + 19 jt + 30
C om probam os que = !± (Indeterminación)
Si e l n u m e ra d o r y e l 
d e n o m in a d o r se a n u la n 
para x = - 2 es porque - 2 es 
ra íz de am bas exp resiones 
y am bas son d iv isib les por 
a + 2 , q u e e s e l fac to r que 
p ro d u c e la in d e te rm in a ­
c ió n . A is la r e m o s , e s e 
factor.
7 6 POLINOMIOS
D ividim os el num erador
p o r * + 2:
P robam os de nuevo con - 2 
( p u e d e s e r u n a r a íz 
m últip le) sin resultado.
1 3 -3 - 1 2 - 4
- 2 - 2 1 0 4
1 1 -5 - 2 LQ
El num erador es igual a: ( x + 2 ) ( * 3 + X 2 - 5 x — 2 )
(N o nos in te resa fac to rizar 
p o r com ple to el num erador 
sino tan só lo a is la r el factor 
q u e p roduce la in d e te rm i­
nación).
D iv id im os el d enom inador 
po r * + 2 :
A l no d iv id ir a l ú ltim o 
té rm ino del cocien te resul­
tan te , - 2 no puede ser ra íz 
m ú ltip le del denom inador. 
E ste será igual, en tonces, a:
Y e l lím ite que deseam os 
calcu lar es
1 4 6 19 30
- 2 - 2 - 4 - 4 -3 0
1 2 2 15 m
(* + 2 )(x 3 + 2 x 2 + 2 x + 15)
= lím
que es equivalente a
S u s titu y e n d o la v a ria b le 
po r -2 p a ra ca lcu la r e l lí­
mite:
= l ím
(y + 2 ^ y 3 + x 2 —5 x — 2j 
-2 (x + 2)(jc3 + 2 x 2 + 2jc + 15)
x 3 + x 2 - 5 x - 2
*-*-2 x 2 + 2 x 2 + 2 x + \5 
- 8 + 4 + 1 0 - 2 
- 8 + 8 - 4 + 15
( Ejercicio 16
Calcular los siguientes límites:
* - 5
1 )
2)
3)
l ím
-<:■-> 1
l ím
• 3 + 4 x 2 + x - 6
> jc3 + 2 x 2 — 1 3a: + 10 
x 3 + 3* 2 - 4
2 x 3 - * 2 - 6x
2 x 2 - 5 x - 3
lim =----------------
—a x - 8x + 2 Ijc - 1 8
POLINOMIOS 7 7
4). l ím -
x—*1
5) l í m -
x - * 2
6) ' lím -
x—>1
7) lím
x~*~ T
8) lím
9) l ím -
10) lím1
1 1 ) lím
x -» - 3
12) lím
13) lím
x~*~ T
14) l ím -x-></
15) lím
x—>— a
x4 - x 3 — 3 x 2 + 5 x - 2 
xA - 6 x 3. + 8 x 2 - 3 
x 5 * 5 x 4 - 9 x 3 - 8 x 2 - 3 x - 2 
3 x 4 - 5 x 3 + 7 x - 2 2 
x 6 - 4 x 5 + 3 x a + 2 x 3 - 3 x 2 + 8x - 7 
2a:6 — 2 x 5 + 3 x 3 - 4 x 2 + 6 x - 5 
4 x 4 + 8 x 3 + 9 x 2 + 5 x + l 
4x3 — 4 x 2 - 7 x —2 
3 x 4 - 7 x 3 - 2 x - 4 
3xA - 10 x3 + l x 2 + x - 6 
5 4 x 3 - 8 1 x 2 + 3 6 x - 5 
27x3 - 21 x2 + 9 x - 1 
3a:5 + 2x3 + 2a:2 + a: + 4 
2a:5 -k 7a:4 - 2a:2 + 1 l x + 8 
x 3 + 8 x 2 + 1 4 x - 3 
x 3 + 2 x 2 + 4 x + 21 ’
9 x 4 - 3x 3 - 23x2 - 13x - 2 
9 x 4 + 15x3 + 16x2 + 7x +1 
8 x 4 + 4 x 3 - 12x 2 - 4x +1
x 2 - a 2
x - a
.2x ¿ + (2 + a )x + 2 a 
x 2 + 2 ax + a 2
Límites de funciones trascendentes 
con ia indeterminación -
o
Con un acertado Cambio de Variable, los lím ites de funciones trascendentes 
se transforman en límites como los que se acaban de estudiar. Veámoslo con algunos 
ejemplos.
EkmdvSO__________________
Calcular lím — te x 71gx + 6-------
¿-.loo ig x - 3 1 g x - 4 1 g x + 12
Cuando la variable x tiende 
a 100, la expresión Ig x 
tiende al valor 2:
78 POLINOMIOS
si x —> 1 0 0
entonces lg x —» lg 1 0 0 
l g x - * 2
Podem os exp resar entonces 
e l lím ite a n te r io r d e la 
siguiente form a:
y , si hacem os e l sigu ien te 
C am bio de V ariable
el lím ite q u e te n d re m o s 
qu e calcu lar es éste:
V erificam os que
A is lam o s, d iv id ien d o p o r 
y - 2, e l fac to r q u e prodyce 
la indeterm inación:
En el num erador:
D ado que 2 n o p u ed e ser 
r a íz d e l c o c ie n te , e l 
num erador será:
En el denom inador:
D ado que 2 no es ra íz del 
c o c ien te re su lta n te (co m ­
p ru éb ese ), e l d enom inador 
será:
El lím ite a calcu lar será:
equ ivalen te a é ste otro:
= l ím *g * ~ 7 1 g * + 6 
>g*->2 l g 3 j t - 3 1 g 2 x - 4 1 g x + 1 2
\ g x = y
y 3 -7 )> + 6
>-*2 y 3 - 3 y 2 - 4 y + 12 
/ {2) = $ (Indeterminación)
1 0 -7 6
2 2 4 - 6
1 2 -3 LQ
{ y - 2 ) ( y 2 + 2 y - 3 )
1 - 3 - 4 12
2 2 - 2 - 1 2
1 - 1 - 6 LQ
{ y - 2 ) ( y 2 - y - 6 )
( y - 2 ) ( y 2 + 2 y - 3 ) 
’-*2 (y —2 ) (y 2 - y - 6 )
„ ( r + 2 y - 3 )
= l(m V i r r
^ 2 (y 2 - y - 6 )
= 4 + 4 - 3 
4 - 2 - 6
POLINOMIOS 7 9
C Ejercic io -17
C alcular los siguientes límites:
1 ) lím l g ^ + 2 1 g * ~ 3 
*-*><> lg'^: + 4 1 g x - 5
2 ) ' Um
* - * 1 0 0 lg 3 J t-3 1 g - JC + 4
3 ) Um lg 3 * + 91g2 x + 261g.* + 24 
*-*0 001 lg 3 x + 7 lg 2 X + 7 lg x - 15
4) Um l8 42 X - 5 l & x + 5 \g 22 x + 5 \g 2 x - 6 
*->* lg 3 ;r + 31g2 x - 1 0 1 g 2 ^ - 2 4
5) l ím - i ± l
* - * ' 0 lg4 J t - l g 3* - 3 1 g 2 * + 5 1 g * - 2
6 í lím 1g ^ + 5 »g3 ^ + 21g3 . r - 8 
»i l g 3 a: + 6 l g 3 a; + 1 1 l g 3 a; + 6X - > i
7) Um »l Í £ . + 51g i x - l - 4
lg lx - 2 lg 25x - lg , x + 2
8) Um lg ;* + 5 1 g ; * - 7 1 g , + l
*-*io l g - 6 lg a: + 2 l g a: + 3
, , l n 3 A: + l n 2 A : - 2 1 n A :
9 ) lim
*-**• ln 2 A: + ( e - l ) ln A ; - é ?
. . . ln 3 A: + 2 In 2 A : - ln A r - 2
1 0 ) l i m r------------------------
*—*» ln a: - 3 ln A : - 2
11) l ím l g 3 * ~ 5 lg 2 -r + 3 lg a: + 9 
*->1000 lg a: — 6 lg a: + 11 lg a: - 6
12 í lím ]g 2 ^ ~ 5 1 g jA : + 31g2 A: + 9 
- 8 lg 2 a: — 4 lg 2 a: - 3 lg 2 a: + 18
/B H J ¿ x t l g ; x - 5 1 g y x + 3 
*-*7 2 lg 3 a: - lg 2 a: - 3 lg 7 a: + 2
>4\ i/m 21gjA : + 5 Ig 2 A :-1 9 1 g 2 A r -4 2 
*-»3 lg 3 A: + 61g2 A: + 31g2 a: - 1 0
Ejemplo 51
. , , 2 c o s 4 a : - c o s 3 a: + 21cos2 * + 5 c o s a :-3Calcular: h m t—— — -------------- r---------------------
* -*¥ 2co s a: + cos a : - 2 c o s a: + 13cosa: + 7
Si ‘ a: - »
80 POLINOMIOS
E ntonces , COSA: - » COS^f
Ei lím ite se puede exp resar 
así:
cosa: —> - y
2 eos 4 x - eos 3 x + 21 eos 2 x + 5 eos x - 3 
cosx-»-i 2 c o s 5 x + cos 4 JC-2COS2 JC + 13COSX+7
= l ím
H acie n d o e l C a m b io de 
V ariab le eos* = y , te n e ­
mos:
C om probam os que
A islan d o e l fac to r 2y + 1, 
q u e e s e l q u e p roduce la 
’ inde te rm in ac ió n , e n e l n u ­
m era d o r y e n e l d e n o m i­
n ad o r (m ed ian te d iv isiones 
sintéticas):
2 y 4 - y 3 + 21y 2 + 5 y - 3 
A -i 2 y 5 + y 4 - 2 y 2 + 13 y + 7= l ím
f = ü/ ( - i ) “ o (Indeterminación)
(2 y + l ) ( y 3 - y 2 + l l y - 3 )
- l im — *— ■ .-----------r— -
v ^ -i (2y + l ) ( / - r f7 )
= l ím
y 2 + l l y - 3
- i y 4 - y + 7
i + I q - 7 
1 6 2
142 
121
Calcular l ím
4 c o s 8 a: + 12cos 6 a : - 3 c o s4 j c - 8 cos 2 a: + 3
4 eos 8 x —16 cos° x + 21 eos1* x - 1 1 cosz x + 2
3 *
4
V2
Si
entonces cosa: —» -■
eos2 x —» 4-
(N ó te s e q u e to d o s lo s 
té rm inos de la func ión son 
potencias de eos2*)
E l lím ite se puede exp resar 
así: , 7, 4 c o s 8 x + 12eos 6 x - 3 eos 4 x - 8 eos 2 x + 3
“ /í/71 o ir 4 9
eos2 x—»i 4 c o s at — 16eos x + 21cos a :-1 1 c o s a: + 2
POLINOMIOS 8 1
H a c ie n d o e l C a m b io de 
V ariab le eos2* = y , te n e ­
m os: = I tm 4 / + 1 2 / - 3 y * - 8 y + 3 
4 y 4 - 1 6 y + 21y - l l y + 2
C om probadlos que f = —A i) 0 (Inde term inación)
A islan d o el fac to r 2y - 1, 
c au sa n te d e la in d e te rm i­
n ación , e n e l num erad o r y 
e n e l d e n o m in a d o r (m e ­
d ia n te d iv is io n e s s in té ti­
cas):
, , ( 2 y - l ) 2 ( / + 4 y + 3)
l í m f
(2y - 1) (y - 3y + 2)
.2
= l ím
/ + 4 y + 3
y~>\ y - 3 y + 2 
{ + 2 + 3
J- - 2 + 24 2
( Ejercicio 18
C a lcu la r los siguientes lím ites:
1 ) l ím
2)
3)
4)
5)
6) 
7)
tg x - 2 t g x - t g x + 2 
3 tg 3 x + 2 tg 2 x - 7 t g x + 2
4sen x - 3 s e n x + l
l ím -
* -> f 4 sen' x - 12 sen x + 9 s e n x - 2
l ím
16sen4 x - 8 s e n 2 x - 3 
j 16 sen4 x - 16 sen2 x + 3
l ím
2 eos3 x + e o s 2 x - 1 3 c o s x + 6
2 eos x - 3 c o s x - l l c o s x + 6
l ím
tg 4 x - 2 tg 2 x - 3 
f tg 4 x + 2 tg 2 x - 15
lím
4 c o s 4 x + 4 c o s 2 x - 3
4co s x - 8 c o s x + 3
lítn
3sec x - 4 s e c x - 4
>f 5sec x - 8 s e c x - 4
8 2 POLINOMIOS
tg 5 A + 6 tg 4 A + 14 tg3 A + 1 6 tg 2 A + 9 tgA + 2
o) llttl c 7 ~ 7 ~ “
x->^f tg- jcHr2 tg jc — 2 tg* x - 8 tg- A - 7 t g A - 2 
2 sen 4 a:+ 5 sen 2 a - 3
9) l im t 2 T
x->f 2 sen A + sen a - 1
1Q)- ; . n c t g ^ - 3 c t g ^ - c t g 2 , + 3
1 1 ) /ira
c tg a - 9 
t g 3 A - 3 t g A + 2
1 2 ) l ím
x ^ f t g 3 A + 3 t g 2 A - 9 t g A + 5 
4 eos6 A - 3 eos2 A + 1
14) / ira
| 8 c o s 6 a - 4 c o s 4 a - 2 c o s 2 A + l 
sec 4 a - t g 3 a - 9 sec 2 a + tg a + 14 
sec2 A + 5 t g A + 3
1 6 eos3 a + 7 c o s 2 a - 1
1 3 ) l í m 2
4co s a - 2 c o s a - c o s a - 1 
t g 3 A + 4 t g 2 A + t g A - 6
x - * f t g 3 A - 6 t g 2 A + l l t g A - 6
2 t g 4 a - 7 t g 2 a + 3
1 5 ) l ím - 3 2
1 6 ) lím 4 2
* - > f t g A - 6 t g A +
Ejemplo 53
2 3í - 3 - 2 2t+1 + 5-2* + 12
Calcular l im —3 - — —
x—>2 2 — 3 • 2 - 3 • 2 + 8
D escom ponem os las exp re­
siones que tienen una sum a
com o exponente: ^ 2 2* + 5 . 2 X + 1 2
“ l l™2 2 3 ' - 3 - 2 2x - 6 - 2 * + 8 
S i A —> 2
en tonces 2 X > 4
El lím ite se puede expresar 
así:
H a c ie n d o el C am b io de
2 3x - 6 ■ 2 2x + 5 - 2 X + 1 2 
" 2 ^ 4 2 3v - 3 • 2 2a - 6 • 2 X + 8
V ariable 2 ' = y . tenem os: ,,3 _ ^ 2 4 5 y 4 1 2
= l ím "L--------- 1-------
y—> 4 y - 3 y ~ - 6 j + 8
POLINOMIOS 8 3
Comprobamos que f _ o 
/<4) ~ 0 (Indeterminación)
Aislamos el factor que pro­
duce la indeterminación: = lint
(y - 4)(y2 - 2y - 3) 
y->* fy —4 ){y 2 + y — 2 ) 
/ - 2 y - 3
= Km
>4 y 2 + y - 2 
1 6 - 8 - 3 
16 + 4 - 2
18
E h a a k J á _____________________________
2 9x - 2 6* - 2 3x+2 + 4
Calcular l(m -
x -* \2 9x - 2 bx+x - 5 - 2 3* +10
. Descomponem os primero 
las expresiones que tienen
una suma com o exponente: 2 9-* — 2 bx — 4 • 2 3* + 4
= Km
i 2 9x - 2 • 2 6x - 5 • 2 3* + 1 0 
S¡ j c - + i
entonces 2 3* —> 2
(Tomaremos 21' com o ex­
presión básica para el 
Cambio de Variable dado 
que todos los términos de 
la función son potencia, de 
2 ’1).
El Hmite se puede expresar
así: 2 9x - 2 6x — 4 • 2 *x + 4
= Km
2 29x - 2 • 2 6x - 5 • 2 Xx +10
H aciendo el Cambio de
Variable 2'x = y, tenemos: „3 _ 2 _ 4 + 4
= Km
y - * iy i - 2 y - 5 y + 10
Comprobamos que / (2) = ^ (Indeterminación)
Aislamos el factor y - 2 en 
e l numerador y en el de- •
Dominador: ( y ~ 2 ) ( y 2 + y - 2 )
= l í m — 7
.V-.2 ( y - 2 ) (y 2 - 5
POLINOMIOS
- 4
( Ejercicio 19
Calcular los siguientes límites: 
1 ) lím
2)
3)
4)
5)
8)
9)
10)
4 3x + 2 • 4 2x ~ 5 4 * - 6
x->\ 4 3x - 1 0 • 4 2* + 23 4 * - 1 4
Um ^ x + 4 n 2x - l \ 7 t x + 6 
x™ n 3x +1 \ n 2x - 25tíx +13
4 ■ 2 3* + 8 • 2 2x - 1 1 • 2 * + 3
/ím
A:-»-l
/ím
.r - » 0
l ím
j:—* 1 e
2-2?x - 2 ' “ - 2 - 2 * +1| 2 X
,2a: + e * - 2
6 ) l ím
7 ) / í m
e2* + 2ex - -3
*2* + e x+I-- 2 e 2
*2* - 3 e x+l + 2 e2
2 3x — 2 2x —U - 2 X - 4
2 3* + 2 2x - 21 2 X + 4
53* + 4 - 5 2x - 7 - 5 x + 2
¿4ó 53* - 7 - 5 ¿* + 1 0 - 5 * - 42 *
.2 ^ + 2
/ím
Jr—> — 2 3
+ 8 • 3 * - 1
2a:+2 - 1 0 - 3 ^ — 1
/ím
AT->0
2 3* + 3 •2 2x+x - 2 X+3 +1
2 3x+i + 2 2x - 2 j
5 ^ - 4 - 5 ^ - 7 - 5 ^ + l Q 
+ 2 - 5 2* + 1 5
:4a: 2a:
/ím
X—>| 2 ■ 56* - 1 1 • 5 4 a:
1 1 ) l ím
2 ^ + 1 , / 2 i \ *¿ + (£ - l ) e — e
*-»-! e 2 * * 1 - ( e 2 + l ) e x + e.
,3 x + l
1 2 ) lím
5 - 2 2*+1 - 1 -2x+3 + 8
13) «/ím
a: -» 2 3 . 23x+1 - 1 7 • 2 2* + 9 - 2 * + 8 
2 3* + 2 2* - 1 7 - 2 * + 1 5
* - * ig 2 3 2 3x - 2 2* - 41 • 2 * + 1 0 5
POLINOMIOS 8 5
14) l ím 34x - l l - 3 3x + U - 3 2x+] - 5 • 3* - 50 
* “ íg‘ 5 34x - 3 - 33x+2 + 13-32* + 5 -3 ' t + 2 - 5 0
15) lím
~5e3x - l $ e 2x + 7 e x + 6 
•*—>in3 4 e 3A- 1 5 e 2j:- ^ + 3 0
16) lím
k 9x + 2 tc6x+1 -7C3x+2 - 2 tü2
17) lím
*-»i n yx - 6 k ox+i + U n 3X+í - 6 t t
2 5x+i - 3 • 24x + 2 3 x + 3 - 3 • 2 2x+2 + 2 ' r + 4 - 1 1
*_>o 2 5x+1 -3 ■ 2 4x+2 + 1 3 -2 3x - 1 -2 2x + 2
Límites de funciones irracionales (Primer tipo)
Los límites de funciones irracionales en los que la variable se presenta en la 
form a r fx (y que llevan a la indeterm inación ^ ) pueden ser calculados con un sim ­
ple Cam bio de Variable com o se hizo con los lím ites de funciones trascendentes.
Posteriorm ente veremos otros lím ites de funciones irracionales que deben ser 
racionalizados previam ente para podér ser calculados.
Ejemplo 55_____________________________
„ x - 2 ^ í x 5 - 2 2 ^ 2 + 6 6 4 7 - l l l [ 7 - 1 6 * 1 7 + 20
Calcular l im --------------------------- t = —----- f = ------ -------------
x “ > 6 4 x - W x 5 - l 34 x 2 + 48V * - 5 4 y x - t f j x + 2 4
Si x —>64
entonces
2
EH Ím ite se puede expresar ^ ^ x - 2 ^ 7 - 2 2 ^ 7 + 6 6 ^ 7 - 1 1 * 1 7 - 1 6 * ] 7 + 2 0
V*~>2 x - 4 $ f 7 - 1 * J 7 + 4 ^ 7 7 - 5 4 * 1 7 s t f 7 + 24
Hacemos el Cambio de_____________ _
Variable: §J~X _ y
(Se muestran al lado las. 
transformaciones hechas en
los demás términos para ,— ,—
unificar la variable): AJ x = y X 2 = y 2
.3
^ 2 = V x 4 = /
.6
86 POLINOMIOS
T enem os, entonces: y 6 - 2 y 5 - 2 2 / + 6 6 y 3 - 1 ly 2 - 76y + 20 
,5 5 y 6 - 4 y 5 - 7y 4 + 48y3 - 54y 2 - 8 y + 24
C om probam os que
A is lam o s e l fa c to r y - 2 
cau san te de la in d e te rm i­
nación:
f {2) - (Indeterminación)
(>. - 2 ) 2( / + 2 / - 1 8 / - 1 4 > ' + 5)
= hm ----------- \ 1
y~ *2 (■y _ 2 ) 2 (y 4 - 1 l y 2 + 4 y + 6 )
, l ím y ' + f - i f - u y + s '
y - * 2 y - 1 ly + 4y + 6
_ 16 + 1 6 - 7 2 - 2 8 + 5 
1 6 - 4 4 + 8 + 6
C Ejercicio 20
C a lcu la r los siguientes lím ites:
x + 2-Jx - 8 
1 ) hm --------------------
x - * 4 X —4
2 )
, , X-y/x - IX + l ' J x + 15hm — 7= ----------------7=--------
jc-»9 x ^ x - l x - 9 ^ x + 6 3
3)
x + 7%fx2 +\5%[x~ + 9 
hm ---------- j = --------- 7= --------
*“» - 27 x + 2 l¡x2 -15*1 x - 3 6
4)
x V * - 6 .X + 3 V * + 1 0hm — 7=---------------- ?=--------
jt—>25 - 4 j c - 7 V * + 1 0
5)
x + 6 4 ^ ? + 3 V * - 26^[x~ - 24 
hm ---------- 7= — 7= -------- 7= ------ -
x- h ó x - W x 3 - 4 x + 1 6 i j x - 1 2
6 )
, , 4^jc3 - 2-\¡x - 5 y¡x + 6 hm - 7= ---------j = ---------j = --------
* - » 8i ^ 3 _ 5 ^ x + 3^ j . + 9
7)
x + \ l x 2 - 6 \ ¡ x h m --------- 7= ---------j = ---------
* -* 8 x - 6 ^ x 2 +3^Jx + 1 0
8)
x - 7 ^ ¡ x 5 + 8\¡x2+ 3 2 V x -6 4 ^ / jc ~ — \6%[x~ + 64 
hm ---------— ------- 7= -------- 7= ---------- — ---------- — -------
x - T ^ j x 5 + 9* jx2 + 4 3 V jc — 154^/jc + 180fyx - 7 2
POLINOMIOS 8 7
9 )
10)
11)
12)
1 3 )
1 4 )
1 5 )
1 6 ) 
1 7 )
■ jcV jc + 14x + 6 oV ? + 5oV *~-125
l ím — y---------------------— f = -------
* - » " 125 jcV jc + 6 x - 2 0 ^ ' x 2 -1 5 0 V * -1 2 5 
2 x + 3*Jx2 - 3 * [ x - 2
l im | = 7 = -----
x-* -* 6 x - 2 9 y x 2 - 6 l ] x +5
2 eo s 4 x - 7 c o s ? x + 7 c o s 4 x - 2 
l im ------- 5-------------- 1-------------- t--------
v _ > 0 3 eos
l ím
v v 5*
lím
x~> 81
/zm
r—>H
lím
x + 4 c o s 2 a:- 5 eo s 4 x - 2 
6 t g x - 1 1 tg 4 x - 1 2 tg 2 x + 2 3 tg 4 x - 6 
6 t g 4 je —13tg^ x + 9 tg 4 x - 2
* - 3 a: 4 - 3 x 2 + 1 1a: 4 - 6 
1 I I 
a: 4 - 4 a:2 + x 4 + 6
x - 1 6
' f
r —^ 1 6 x - 2 \ 'x 3 + 4 x - \ ' x - 2 
x - 7 v /x - 6 ,
lím
" 8 x + 3^fx2 - 4 Vx - 1 2
x + 3 ^ x + 4 a/x - 4
!l#/í 7--- -̂------ 7= ----
- >64 3V x 2 - 6 V x + 9 ^ / x + 4 a/ x - 1 2 
lím — « g * x -5 < g » * + 4 ----------
X“*“ x t g 3 x + 3 t g x - 11 t g 3 x - 3 t g 3 x + 10
Divisibilidad de x" ± an por x ± a
A nalizarem os a con tinuac ión qué cond iciones deben darse para que 
P(x) = x" ± a" sea divisible por x ± « . Por el Teorem a del Resto sabemos que P(x) 
es divisible por x ± a si P(*a) ~ ° -
1) x" - a" s iem pre es divisible por x - a. En efecto, cualquiera que sea n,
P{a)= a ” - a ” = 0 
El cociente lo podemos calcular por una simple división sintética:
1 0 0 ... 0 0 0 - a n
a a a 2 ... ... a " " 3 n—2a a a n
1 a
0a ... a " " 3 n—2 n - \a a LO
Por tanto:
X — a > n —1 n - 1 "> n - 1------------= x ’ + flx " ¿ + a ¿x"
x - a
+ a n~2x 2 + a n~2x + a n~l (I)
POLINOMIOS
2) xn + a n n u n ca es divisib le por x - a. En efecto, cualquiera que sea n,
P(a) = a n + a " = 2 a n * 0
3) xn — a n es d iv is ib le po r x + a si n es p a r . En efecto, si n es par tenemos:
P(_a ) = ( - a ) n - a n = a n - a n = 0 
E n cam bio, si n es im par:
p(_a) = ( -a ) " - a n = - a " - a" = - 2 o" * 0 
E l cociente, para n par, es:
= x n- ' - a x n- 2 + a 2x n- 3 -------- a " - 3x 2 + a "J2x - a " - ' (II)
x + a
4) x n + a n es d iv is ib le p o r x + a si n es im p ar. En efecto, si n es im par:
P(_a) = (- a ) n + a n = - a n + a" = 0 
lo que no ocurre para un va lo r par de n.
E l cociente es:
r " + " ” = x - ' - a x " - 2 + a 2x " - 3 + a"~3x 2 + (III)
x + a
Los cocientes I, II y III reciben el nombre de cocientes no tables. 
Ejemplos de desarrollos de algunos cocientes notables:
4 4
x — y x ? 2 1 x + x y + x y + y
x ~y
4 4
X — y 3 2 2 3
 ------ -— = x - x y + xy - y
x + y
x 4 + y 4
----------- (No es divisible)
A - y
a 4 + v 4
----------- (No es divisible)
A + y
r 5 v 5a - y 4 . 3 2 2 3 4
 — = x + X y + X y + A y + y
a - y
a5 - y 5
 (No es divisible)
A + y
a 5 + y 5
----------- (No es divisible)
A - y
r 5 -i- v 5A + y , 4 3 2 2 3 4
 — - X - a y + A y - A y - + y
A + y
POLINOMIOS 8 9
( Ejercicio 21
D eterm inar, en caso de que sea exacto, el cociente en cada una de las 
siguientes divisiones:
1) x3 + y 3 -r- x + y 10) a 3 - b 3 -*■ a + b
2) - jc6 + / H- x - y 11) a * - b * -i- a - b
3) a 4 - 16 - a + 2 12) a 7 + b 7 +• a - b
4) a 7 + b7 -5- a + b 13) m5 -32 -i- m - 2
5) a 6 - 6 4 -r- a - 2 14) 21 — m 3 3 - m
6) 81 + a 4 -7- 3 - a 15) x * - l + JC + 1
7) 125- x 3 - r 5 - x 16) a V - 6 2 5 - a b - 5
8) 4 , 4 m + n m + n 17) 27m 3 + 8 n 3 + 2>m + 2n
9) x 4 - 8 1 -i-. x + 3 18) a 5 - 1 -í- a - 1
Racionalización de denominadores
Se llam a racionalización al proceso de m ultiplicar una expresión irracional 
M por una cantidad adecuada E (que llamaremos conjugada de M ) de tal form a que 
el producto M x E sea una expresión racional. Si M es el denom inador de una 
fracción, el proceso recibe el nombre de racionalización del denominador.
Estudiaremos tres casos de racionalización de denominadores:
A) Cuando el denominador contiene radicales en forma 
de factor
Si el denom inador es a - J b , la conjugada es E = 4 b .
Si el denom inador es a ^ b '" (n >m), la conjugada es E = *{jbn~m . Si n < m,
la conjugada será E = ^¡bp , donde p es una cantidad tal que m + p sea múltiplo de 
n (véase el Ejemplo 59).
Ejemplo 56 ,________________
Racionalizar el denominador: ^ —1
2V5
C onjugada del denom inador: £ _
M ultip licam os num erad o r y
denom inador po r E : \ 5 - \ f l ■ -J5
~ 2 V 5 •V5
9 0 POLINOMIOS
Efectuando:
Sim plificando:
Ejemplo 57
15V35
2 -5
3a/35
Racionalizar el denominador:
C onjugada del denom inador:
2 a
■ M ultiplicam os am bos té rm i­
nos de la fracción po r E:
Efectuando:
2 a \ ¡ 7
3a
Sim plificando:
Ejemplo 58
3 > 2
Racionalizar el denominador:
D escom ponem os p rim ero los 
coefic ien tes del num erado r y 
de la can tidad subrad ical del 
denom inador:
6 a 3bc
2 -3 a 'b c 1
C onjugada del denom inador:
M ultip licam os am bos té rm i­
nos de la fracción po r E:
Efectuando:
f e - 3 4d V c
£ = f r ' 3 2o V
2 ■ 3a i b c1^¡2A ■ 32a 7'bc~
V 22 -34« V c 6V 24 -3 V ¿ > c5
2 • 3abc
Sim plificando:
a 2c ^ 2 4 ■32a i b c5
POLINOMIOS 9 1
E im p to M -
Racionalizar el denominador:
2 a V
D e sco m p o n e m o s e l c o e f i­
c ien te de la can tid ad subra- 
dical:
C o n s tru im o s la c o n ju g a d a 
d e l d e n o m in a d o r d e ta l 
form a que los exponen tes de 
los factores, sum ados con los 
de los fac to res de la cantidad 
subrad ical del denom inador, 
den todos m últip los de 7:
M ultip licam os am bos té rm i­
nos de la fracción por E:
Efectuando y sim plificando:
2 a 3bc2
l¡2 5a " b 2V
E = Tj22a 3b 5c 6
2a, bc2tl2 2a W
2 a , bc1W a í b V
V 2 V W 4
2 a3bc2W a 3b5c 6
2 a 2b V
a l]4 a 3b5c6
b3
E ism nIsM .
Racionalizar el denominador:
C onjugada del denom inador:
3jc - 3y
\ [ 7 + y
E = lj{x + y )2
M ultip licam os am bos té rm i- . 
nos de la fracción po r E:
F a c to rizan d o e n e l num era-
(3 x 2 - 3 y 2) ^ ( x + y )2 
l jx + y l j ( x + y )2
dor y e fectuando el p roducto _ . . . I, ' 2̂
del denom inador: = 3 (x + y )(x - y)-^(x + y)
x + y
3 (x -y )% jx 2 + 2 x y + y 2
92 POLINOMIOS
( Ejercicio 22 |
Racionalizar el denominador de las siguientes fracciones y simplificar.
, ) ‘ 10 )M ^
l6c 17
2)
V 3 H ) 3 V Ü 1 9 )W V V
” * " ’ w
2 a/ 6 — 2 f l3 + 3 f l2fe + 3o¿»2 +¿)3
1 ^ *Ja2 +2ab + b2
'5> W 5 ,4 ) *1 4 ) - = = _ a z + a - 6
6)
VW 22>
_ iL _ 1 ' V * 2 + 6 a + 9
b 4 a 15) 7 r 4 = , _ , s _ 7 j r _ 6
1 ^ 1 6 a b e 23) j - ----------------
7) - r — ¿ . v a - 4 a - 3 a + 18
yjab , oab
_ 6 _ i¡12ab3 24) 2^ 3 ~ JC" ~ 2 x 'f l
} 5V 2 . . . 3a¿>c ^ 2 a 3 + 3a 2 - 1
9) 2 ^ 3
3^5 > %j\62abV
B) Cuando el denominador es un suma algebraica de 
rafees cuadradas
Si el denominador es a^jb ± c -J d , la conjugada es E = a 4 b T c V d .
Si el denominador es a-Jb ± c , la conjugada es E - a 4 b T c .
Si el denominador tiene más de dos términos, la racionalización se realiza 
mediante un proceso reiterativo, com o se muestra en el Ejemplo 66.
E jm p lv é i______________________________________________________________
Racionalizar el denominador: ^ +
2 V 5 - 3
C onjugada del denom inador: £ _ 2-> /5 + 3
M ultip licam os am bos té rm i- / ? + + 3 ^
nos de la fracción po r E: _ __ ________ A __________
~ (2V5 - 3)(2V 5 + 3)
POLINOMIOS 9 9
Efectuando:, 1 4 V 5 + 2 1 + 2 - 5 + 3 V 5 
4 - 5 - 9
17 V 5 + 3 1 
11
Ejemplo 62
Racionalizar el denominador:
C onjugada del denom inador:
2 a/ Í 4
M ultip licam os am bos té rm i­
nos de la fracción po r E:
Efectuando:
Sim plificando:
A 4 l + 3a/2'
E = 4 v r7 - 3V 2
2 a/14 ( 4 / 7 - 3 ^ 2 )
( 4 + 3 \ / 2 ) ( 4 v 7 - 3 v 2 )
5 6 V 2 - 1 2 y 7 
1 6 - 7 - 9 - 2
5 6 / 2 - 1 2 / 7 
94
28 v 2 - 6 / 7 
4 7
Ejemplo 63
Racionalizar el denominador:
C onjugada dei denom inador:
M ultip licam os am bos té rm i­
nos de la fracción po r E:
~J x + 3 + v x + 2 
4x~+ 3 - \ ' x + 2
E = V a + 3 + V x + 2 
^ v x + 3 + Va + 2
A "b 3 — \/A' + 2 j^-\ ' A + 3 + a/ a + 2 j
Efectuando:
R educiendo té rm inos sem e­
jantes:
A + 3 + 2 a/ ( a + 3 ) ( a + 2 ) + a + 2 
a + 3 - ( a + 2 )
2 a + 5 + 2 a/ a 2 + 5 a + 6
POLINOM IOS
EímbIqM — r--------------
Racionalizar el denominador: 
C onjugada del denom inador:
M ultip licam os am bos té rm i­
nos de la fracción por E:
Introducim os e l segundo fac­
to r del n u m erad o r en e l ra ­
d ica l y, e fe c tu am o s e l p ro ­
ducto del denom inador:
_ ^ 2 + ^ 5 
3 - V 5
E = 3 + V5
V 2 W 5 (3 + V 5) 
” ( 3 - V 5 ) (3 + V 5)
(2 + V 5)(3 + vf5 ) 
_
, ^ (2 + V 5)(9 + 6 V 5 + 5 )
~ 4
(2 + V 5 )(l4 + 6V 5)
V28 + 12V5 + 1 4 V 5 + 3 0
^ 5 8 + 2 6^5
tacionalizar el denominador: ■
V4 + V3
a del denom inador:
M ultip licam os am bos té rm i­
nos de la fracción por E:
In troducim os e l p rim er fac ­
to r del num erad o r en e l ra ­
d ica l y e fec tu am o s e l p ro ­
ducto del denom inador:
1̂ + V3 j ̂ 4 — V3 
4 + V3 a/ 4 - / 3
V'(l + V3)2( 4 - V 3 ) 
V l 6 - 3
POLINOMIOS 9 5
^ ( l + 2V3 + 3 ) ( 4 - V 3 )
v ñ
a/(4 + 2 V 3 ) ( 4 - V 3 ) 
VÍ3
^ 1 6 - 4 ^ 3 + 8 ^ 3 - 6
VÍ3
V olvem os a m u ltip licar am ­
bos té rm in o s de la fracción , 
esta vez por: F = ^¡Í3
^J\Q + 4^ |3^ | \3 
V B a /Í3
y¡l3<\+5243
13
Ejemplo 66
V 3 + V 2
Racionalizar el denominador:
(V 3 + V 2 ) [ (V 3 + V 2 ) + l ] 
[ ( V 3 + V 2 ) - l ] [ ( V 3 + V 2 ) + l ]
3 + a/6 + a/3 + V 6 + 2 + ^f2 
( V 3 + V 2 ) 2 - !
5 + 2V6 + V3 + V2 
3 + 2 V 6 + 2 - 1
5 + 2 ^ 6 + -n/3 + V2
4 + 2 S
V3 + V 2 - 1
D ad o q u e e l d e n o m in ad o r 
tiene tres térm inos, e l p roce­
so d e rac ionalizac ión lo ha­
c em o s p o r p a rte s . A g ru p a ­
m os los dos p rim eros té rm i­
nos del d enom inador y m u l­
tip licam os po r E:
9 6 POLINOMIOS
Sacam os fac to r com ún en el 
d e n o m in á d o r (co sa que . de 
ser p osib le , e s siem pre m uy 
co n v en ien te hace r para_ tra ­
b a ja r con núm eros m ás p e ­
queños) y m ultip licam os nu­
m erado r y d en o m in ad o r por 
la conjugada"*F: F = 2 - 4 6 
{5 + 2 S + 4 3 + V2 )(2 - S )
2 (2 + V 6 )(2 -v " 6 )
IO + W 6 + 2 V3 + 2 V 2 - 5 V6 - I 2 - 3 V 2 - 2 V 3
2 ( 4 - 6 )
- 2 - V 6 - V 2
- 4
2 + V6 + 4 2
( Ejercicio 23
Racionalizar el denom inador de las siguientes fracciones y simplificar:
D
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8) 
9)
2 + 4 3
10)
1
4 3 - 4 2 . 11)
1
4 i + S
12)
2
4 2 - 1 13)
4 3
4 5 + 4 3 ■
14)
2 4 5
4 i - 4 $
15)
V io
2 V5 + 3 V 2
16)
b — c
4 a b - s j a c 17)
3V 2 + 2 V 3
3 4 2 - 2 4 3 18)
3V2 + 1 
3 V 2 -1 
3V 2 + 2 V 5
5 4 2 - 4 5
4
V 3 2 - 2 / 2
9
2-V27 + 4 V3 
mn
rri'jn - tiyjm
V* + 5 - 4 4 - 3 
V* + 5 + 4 x - 3 
5 4 2 x ^ 1 + 1 0 
V 5 j c - 1 - 2 
a + 4 x - a 
4 x + a - 4 x - a
4 x - a + 4 a - x 
4 x - a - ^ l a - x
POLINOMIOS 9 7
19
20 
21 
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
a/7 + 4V3
2 + V r
 i _
'V 5 - V 2 Í
1
V3 + 2 V 2
1
V9 - 4 V2 
1 0 - 4 V 3 
V 3 7 - 1 2 V3 
V7 + 1 
V4 - V 7 • 
6 V3 - 3 V 2 
V 1 4 - 4 V6 
1
a - ^ a 2 — 4 a
a - 1
■\¡a + 1 + 2 Va 
a 2 - 9 
■\ja + 3 — 243a 
13 + 4 2 
4 - V 3 - V 2 
1
V 5 — V 3 + 1
V 5 + V 3 .
V5 + v 3 + 44,
s
4~5 — V 3 + V2 
5 + 6V 3 
3 + V 3 - V 7 
. 1 2 + 6V 6 
243 '+ 3a/2 - V6
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
49)
1 + 4 2 - 4 3
2 + 4 6 — 4 2 
2 - 4 6 + 4 2
2 — 46 + 4 2
2 + 4 6 - 4 2
3 + 4 6 - 4 3
3 + V6 + V3 / '
1 + 2V35 
V5 + V 7 -V T T
 4___________
3 V 2 + 2 V 3 - V 6 - 2
16
V 7 - V 5 + V 3 - 1
1
S + 4 3 + 4 2 - 2
1 5 V 2 + 1 5 V 3 + 5 V 6 -V 3 0 + 10 
2 V 3 + 3 V 5 - 3 V 2 + V Í 0
5 4 T 5 -5 4 Í0 + 4 3 - 4 2 - 5 
5 4 5 - 4 3 - 4 2 + 1
45
V5 + V3 + \^8 — VÍ5
15
V i o + V 120 + 4 4 4 - 4 5 - 4 4 6 
a - 4 b 
%ja + 4b
9 8 POLINOMIOS
C) Cuando el denominador es una suma algebraica de 
radicales de índices superiores a 2
E l cá lcu lo de la conjugada para expresiones com o Ifa ± 4 b ó ifa ± ifb , etc., 
es una ap licación de lo v is to en la pág. 88 al estudiar los crite rios de d iv is ib ilid a d de 
xn ± a " entre x ± a .
U tilizan d o , po r e jem p lo , el 
cocien te notable (I), sabem os 
que 4 4
X — \ 3 9 2 3
= JC + x y + xy + y
x - y
^ p o d e m o s tam b ién esc ri- ^ _ y ̂ 3 + + ^ , 2 + y 3 j = ¿ _ y
"Si h a cem o s a h o ra los s i­
guientes cam bios:
la e x p re s ió n a n te r io r s e / ,— ,-------- ,------ r— \
transform a así: ( ifa - 4 b j f y a 3 + 4 a 2b + 4 a b 2 + i j b 3 j = a - b
x = ija
y = ifb
En e lla e l segundo fac to r del 
m iem bro de la izqu ierda es 
la con jugada de la diferencia 
d e r a d ic a le s d e l p r im e r 
fac to r, pues e l p ro d u c to es 
una expresión racional.
D e la m ism a m anera , e fec ­
tuando un p ro ceso aná lo g o 
con e l co c ien te no tab le (II),con e i co c ien te no iam e n i ; , ✓-- ,-------- ,------- ,------- ,-\
se obtiene: ( ifa + i f b ) ( i f í f - 4 a 2b + \ / ab2 - i f t f J = a - b
E
e x p re s ió n e n la q u e el 
s eg u n d o fac to r e s la c o n ­
ju g a d a de la sum a de ra d i­
cales del p rim er factor.
D ejam os al estudiante que rea lice este m ism o proceso con los cocientes 
notables (I) y (III) para expresiones com o 4 a ± 4 b .
Com o consecuencia de lo anterior, podemos establecer que
para 4 a + ifb
la conjugada es E = '4an~l - 4 a" ~2b + 4 a n~3b 2 - ••• •• 4 b n~]
para '4a - 4 b
la conjugada es E = '4an- [ + 4 a n ~2b + 4 a n~3b 2 + ••• •• W z / ' - '
p o l in o m io s 9 9
Téngase, además, en cuenta que
( 4 a + * ! b ) E = a + b
si n es im p a r
¡\ía - ) E = a - b
('Va + b 3j E = a — b 
('Va — 'Vb^E - a - b
si n es p a r
En el caso, por ejemplo, de \ !a + b , la conjugada tom a la siguiente forma: 
E = 'va 4 - b \ a ' + b~ \ a 2 - b 3 a + b 4 
y el producto será: ( \ a + /?) E = a + b 5
Ejemplo 67
Racionalizar el denominador:
, a~ - b~
C o n stru im o s la c o n ju g ad a 
del denom inador:
M ultip licam os am bos té rm i­
n os 'de la fracc ión por E:
F ac to rjz am o s el num erado r 
para poder sim plificar:
\! a - \:b 
E = \ a 2 + \¡ab + Mb2
(a2 - b 2) E 
(a a - \ b | E
_ ( a 2 - b 2) E
a - b
_ (a + b ) ( a - b ) E_ _____
= (a + b ) E
(a + b) \ \ a 2 + \ ab + \ b 2
Ejemplo 68
Racionalizar el denominador:
x - -J4 ..V -3 2
C o n stru im o s la c o n ju g a d a 
del denom inador:
S im p lificando el rad ical del 
segundo térm ino:
i j x + 2 
E = $!x* - 2 i [ x 2 + 4 i¡x - 8
E = \ & - 2 v ’jc + 4 \ í x - 8
1 0 0 POLINOMIOS
M u ltip licam o s n um erado r y 
denom inador po r E\
Factorizam os e l num erador y 
e fec tu am o s el p ro d u c to del 
denom inador:’"
(jc2 -1 4 jc -3 2 ) -E 
(V ^ + 2 )E 
(jg -1 6 )(jc + 2 ) E 
* - 1 6 
( x + 2 ) E
(* + 2 ) ( V ? - 2 a / * ~ + 4 i f x - 8^
Ejemplo 69
Racionalizar el denominador:
C o n stru im o s la c o n ju g a d a 
d e l denom inador:
R acionalizando:
V 3 + V 2
E ,= V í4 - V Í M + + V ?
£ = V 8 l - V 5 4 + V 3 6 - ^ 2 4 + V Í 6
5E
( \ Í3 + \¡ 2 ) E 
5E 
3 + 2
= £
= 3 / 8 1 - 3 / 5 4 + 3 / 3 6 - 3 / 2 4 + 3 / Í 6
Ejemplo 70
Racionalizar el denominador:
a - 1
S acam os fac to r com ún en eí 
denom inador:
4Í~J 4/ 2 j_ V« —' ¡ a b
a - b
ija*\ [ t f a —tfb } 
a - b
La c o n ju g a d a del p r im e r 
factor del denom inador es:
La del segundo:
4 a [4 a - 4 b j
E = 4 a
F = tfa* + t fc4b + + tfb*
p o l in o m io s 101
Racionalizando:(a - b) E F
V a E ( t f a - t f b ) F
( a - b ) E F 
a ( a - b )
EL
a
V a fV a 3 + i la 2b + ̂ ]ab2 + i[ÍP
Eitm pfa 71
Racionalizar el denominador:
Transformamos los radicales 
del denominador en dos ra­
dicales equivalentes que ten­
gan e l mismo índice:
a - b
' J a + t f b
- a ~ b 
Construimos la conjugada: £ = ^
E = 4 7 - i í T b + - ab + & - W
E = a 1 Va - a 2 V b + a t f a V - ab + b V a V - * 
_ (a - b ) ERacionalizando:
_ ( a - b ) E 
" a 3 - b 2
( a - b ) [ a 24 ¿ - a 2 V ¿ + a V o V - a b + b*ia3b 2 - b t f b 2 ^
3 . 2a — b
Eimpk>JZ_
Racionalizar el denominador:
A2 - A
Transformamos los radicales 
en dos radicales equivalentes 
de igual índice: t a2 - a
1 0 2 POLINOMIOS
S acam os fac to r com ún e n el 
denom inador: X 2 - X
La con jugada del prim er fac­
tor del denom inador es:
La del segundo:
R acionalizando:
x 2 - x
e = 4 4
f = i + 4 4 + , 4 7 + V ? + 4 7 + 4 7
/
f = 1 + 4 4 + 4 4 + 4 4 + 4 7 + 4 7
(.x 2 - x ) E F
4 7 e ( 1 - 4 4 ) f
x { x - \ ) E F 
x ( l - x )
- E F
4 4 ( 1 + 4 4 + 4 4 + 4 4 + 4 7 + 4 7
( Ejercicio 24
Racionalizar el denom inador de las siguientes fracciones y simplificar:
1)
2)
3)
4)
5)
6) 
7)
1
4 a + 4 b
_ 1 ___
4 3 - 4 2
4
4 i +Ü3
a + b
4 4 4 4 b
a - b
4 4 + 4 4
2
4 5 - 4 3 
, 1
4 4 + 2
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
1
4 4 - 2
x 2 + 2 x - 3
4 4 + 4 3
x 2 - 2 6 x - 2 1
4 4 - 3
a 2 - 2 a + 1
4 4 + \
7
4 5 + 4 2
m 2 + m n - 2 n 2
4 a 2m - 4 a 2n 
x - y 
4 a ? x - t f a * y
POLINOMIOS 1 0 3
15)
16)
17)
18)
19)
20) 
21)
22)
23)
24)
25)
a - b
Ax +-2y
V s i '+ V ^ y
i
*í>
* 2 - ? 2
1
4~a — \[b
 1
\Í2+%¡2
b - a 
a 2 + a
4 a - §fa 
2
V 2 - V 2
17
V 3 + V 2
x
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
x 2 — x
f x Y + 4 4
14
42-42
1
 _y-y________
V ? + t f x 2y + i[xy2 + tfy*
_ 5______
V 9 - V 6 + V 4
 3___________
^/Í25 - VSO + V20 - ^ 8
______________* 3 - y 3______________
Vx4-Vx3>+V*V-VV+^//
2jc- 2
+4x + \
1
V 5 + V 2 - V 7
17
2 V 5 - V 3
4 x - 4 x
Límites de funciones irracionales (Segundo tipo)
El procedim iento que hem os seguido en el cá lcu lo de los lím ites que se 
estudian en este capítulo se pueden resum ir así:
1) Com probamos que se trata de un lím ite con la indeterminación $ .
2) Aislamos, factorizando, el factor que origina la indeterminación.
3) Buscamos un lím ite equivalente que no tenga esa indeterminación.
4) Sustituimos la variable por el valor al que tiende para calcular e l límite. 
Esquemáticamente:
Com probam os que f {a) = ^
Factorizam os
Sim plificam os
C alculam os el lím ite
104 POLINOMIOS
En los casos que siguen, dado que la variable aparece afectada por el símbolo 
de radical, el segundo paso, la factorización, no puede ser ejecutado si no racionali­
zam os antes la expresión irracional. Tendrem os, pues, que racionalizar el num e­
rador, o el denom inador, o ambos.
E l esquema del procedimiento será éste:
Com probam os que / (a) = ^
Racionalizam os
Factorizam os
Simplificamos
Calculam os el límite
Ejemplo 73
Calcular: lím
.r->2
C om probam os que
N o p o d e m o s a is la r en e l 
n u m erad o r e l fa c to r x - 2 , 
q u e es e l q u e p ro d u c e la 
ind e te rm in ac ió n . R ac io n a li­
zam os, pues, e l n u m erad o r 
m u ltip lican d o am bos té rm i­
nos de la fracción po r la c o n ­
ju g a d a E:
3 x 3 - S x 2 + 5 x - 2 
_ o (Indeterminación)
E = V *4 - * 3 + * + Vx + 8
( ^ x 4 - x 3 + x - ^ x + $ ) e
= lím 7— v-^—
x—*2 (3 x 3 - 8 x 2 + 5 x - 2 ) £
x 4 - x 3 + x - x - %
= h m - -------------T—
*-*2 \3x - S x + 5 x - 2 j E
A islam os, m ed ian te d iv is io ­
nes sin té ticas, e l fac to r x - 2 
e n e l n u m e ra d o r y en e l 
denom inador:
= l ím
x 4 - x 3 - :
2 (3x3 — 8 x 2 + 5 x - 2 } E
(x - 2) ( x 3 + x 2 + 2 x + 4) 
— h m r r ■
x-»2 (x - 2 ) ( 3 x2 - 2 jc + 1)£:
POLINOMIOS 105
= lím
jc->2
x 3 + x 2 + 2 * + 4
(3* 2 - 2 * + 1 ) |V * 4 - x 3 + x + 4 x + S
8 + 4 + 4 + 4
( 1 2 - 4 + l) (V l 6 - 8 + 2 + V 2 + 8 ) 
20
9 -2 V Í0
Vio
EkmkL24.
Calcular: l ím
x 2 - x - 2 0
x-*5 i]3x + l - 3 / 4 * - 4 
C om probam os que , / (5) = # (Indeterminación)
R ac io n a lizam o s e l d en o m i­
n ad o r p a ra p o d e r a is la r el 
fac to r x - 5 que es e l que 
produce la indeterm inación.
C o n stru im o s , pa ra e so , la 
conjugada:
E = ^/(3* + 1)3 + 3/(3* + l ) 2( 4 * - 4 ) + ^/(3* + l ) ( 4 * - 4 ) 2 +
M ultip licam os num erad o r y 
denom inador po r E: (x 2 - x - 2 0 ) e = l ím 7 - = = = = = 4 = 7 - 
^ 5 (3/3* + l - 3 / 4 * - 4 £
(x 2 - x - 2 0 ) e
= lím ---------------- —
»5 3* + 1 - 4 * + 4
(* 2 - * - 20) £
= lím ¿---------------- i -
*->5 - * + 5
Factorizam os el num erador: . ( * — 5 ) ( * + 4 ) £
= lim
= /ím
>5
Jt-> 5 - ( * - 5 )
- (* + 4)j^/(3* + l)3 + ̂ (3* + l)2(4 * -4 ) + ̂ (3* + l) (4 * - 4 )2 +^¡
= - ( 5 + 4 )^ V l6 J + V l6 5’ + t / l 6 3 + V 1 6 3")
= - 9 ■ ( 8 + 8 + 8 + 8 ) = - 2 8 8
t / ( 4 * - 4 ) 3
!4 * -4 )3 ]
1 0 6 POLINOMIOS
Üitmstte 25— -----------------------------------------
^ , , , , l ¡ x 2 + 4 - \ ¡ 5 x - 2
Calcular: l im -----------------.
V 3x + 3 - V x 2 + 5 
Comprobamos que / ( 2) = f (Indeterminación)
En esta oportunidad tenemos 
que racionalizar am bos tér­
m inos de la fracción para 
poder aislar el factor x - 2 .
C onstru im os la conjugada
del num erador i — _---------------------------
E = *j(x2 + 4 ) + ^ ( * 2 + 4 ) ( 5 * - 2 ) + # * - 2 ) 2
y la del denominador: p = ^ 3 ^ 3 + ^ 2 + 5
M ultiplicam os num erador y , .
denominador por ambas con- | 3/ * 2 + 4 — 3/5* —2 ) E F
j u g a d a _ l(m ' *-___
x -> 2 ( j 3 x + 3 - y ¡ x 2 + 5 ^ E F
(* 2 + 4 - 5 * + 2 ) F
= lím -------------- r—
^ 2 (3jc + 3 - j c 2 - 5 ) £ :
( x 2 - 5 * + ó ) f
= lím j — z 4 — 
* - * 2 { - x 2 + 3 x - 2 ) E 
(* 2 - 5 * + ó ) f 
" l*™2 - [ x 2 - 3x + 2 ) e 
= lím
x-> 2 - ( x - 2 ) ( x - \ ) E
lím
x -*2
( x -3 ) ^ ] 3 x + 3 + y¡x2 + 5 ^ !
- ( * - 1 ) ^ 2 + 4 f + 3J[x 2 + 4]|(5* - 2) + $j(5x - 2)2 j
(~ 1 )(V 9 + V 9 )
6 _ nr
4 + 4 + 4 ~ 2
POLINOMIOS 1 9 7
( Ejercicio 25
C a lc u la r lo s s ig u ien te s l ím i tes : 
2 - 4 2 + x
1 ) l í m
>2 2 - x
2) Km
x - > 3 3 — X
3 ) l í m -
j:-)2 2
4 - x '
- V
4 ) l í m
x * + 5 
1 6 - a:2
2 ~ 4 x
V 8 — 2 x — V x + 2
5 ) l í m
x - > 2
6 ) /í'm
;r->2
7 ) l í m
x - 2
5a:- 1 - V a :+ 7 
4 T x + 2 - - 4 
3 - 4 5 x + 4
x —> I 4 3 x + l - 4 5 x - l 
4 i o + x - 4 a ~- x
8 ) l í m
x - > - 3 4 x + 5 - V 2 a : + 8 
4 2 x - 2
9) /í'm
1 0 ) l í m
x —) 2
V 3 * - í - V i 1 — 3 a: 
4 x + 3 - 4 3 x - 1
1 1 ) l í m
1 2 ) l í m
4 x 2 + 2 - 4 3 x + 2 
*-»3 4~x + \ - 4 2 x - 2 
4 x + 3 - \ I~ 5 x - 1
-t- > i a: ' + 7 x - 6 a: + 3 a: - 5
1 3 ) l í m
x - ^ - a a: + . a
14) l í m
2 4 - 3 x
4 4 - 2
15) /í'm
a: 3 - 5 x 2 + 4 a: + 4
rV' 2 4 x + í - 4 2 x - \ 
4 i T + i - 2
16) l i m —2-------- ^ ~ -------------
*->» a: + 5 a: - 3 a: - a - 2
17) /í'm
.r—»-2
Va:'4 + a:3 + 8 - 2
a: - 3 a: - 1 0
18) Itm ^ - \ + 7 T 2 
x -> 2 x - 5 x + 5 x + 2
V a:2 + 2 a:
19) l í m 7 7 — = — .
*-»o 4 x + 5 - 4 3 x + 5
l ' X2 + 2 x + l - 4 x 2 ^ 7
20) lim — p— ----- .
*->-3 V 4 —a: - V - Í + IO
2 1 ) l í m
4 2 x + l - 2 x - \
2 2 ) l í m
2 3 ) /í'm
n w ,...... —
• * -> 3 Va: + 7 — 4 2 x + 4 
4 Í 4 + 2 - 4 5 x + 6
2 4 ) /í'm
**/« — . 1 — -
■*—*2 Va: + 1 — \ l 2 x — 1 
a:5 - 7 a : 4 + 3 a : 2 + 3
uu i - y ■ ---- .. ■
* - 1 4 5 X + 1 - 4 l x - i
2 5 ) l í m
X̂ ° \ b + x — 4 b - x 2
26) l í m
4 3 x 2 + 2 - 4 4 x + 2
27) /í'm
*->3
Í 5 x 2 + \ 2 x - & + 21
4 2 x 2 + \ - 4 5 x + 4 
\ Í3 x + 2 - 4 5 x - 2
2 8 ) l í m - — — .----------
^ 2 t /3jc + l - 4 5 x - 3
2 9 ) /í'm
Via:2 + 7 - 3
* -» 2 4x + 2-43x4+2. 
4 x + 5 - 4 T - x
30) /í'm
- 1 Íjr4 - 5 x - 4 x + l0
3 1 ) l í m
a:
3 2 ) f /m
x —»2 4 X + 1 — 3
3 3 ) /í'm
3 4 ) l ím
.x—»0
4 x + 1 - 4 5 x + 3 
“ " í V i 3a: + 1 9 - V 20a: + 1 2
3 /4 + * - i ¡ 4 - x 2 + x 3
4 3 x + 2 - 4 x 2 + 2
1 0 8 POLINOMIOS
Método de los Coeficientes Indeterminados
Es un método utilizado para hallar los coeficientes de una o varias expresio­
nes algebraicas (de grado y form a determ inadas), que, som etidas a ciertas operacio­
nes, deben dar un resultado conocido. El proceso consiste en representar dichos 
coeficientes por letras y posteriorm ente calcularlos mediante la aplicación de ciertos 
principios. Generalm ente lleva a la construcción de un sistem a de ecuaciones que, 
una vez resuelto , nos perm ite conocer el valor exacto de esos coeficien tes 
indeterminados.
Dos de los principios más frecuentem ente utilizados son los que siguen:
1) El prim ero ya fue enunciado al com ienzo del capítulo y es el que se refiere 
a la igualdad de polinomios: '
D os polinomios Plx) y Qlx) son iguales o equivalentes sólo si los coeficientes 
de los términos del mismo grado son iguales:
Sean P,„ = añx" +« |.x" 1 + a 2x n 2 +' (.r) “ u0-
QCx) = V " + V ' + b->x' + b„
P,x) = Q(x) <-> a , = V a¡ = b{, a 2 = b2, a., = b„ (I)
2) El segundo es un corolario del primero:
Si dos polinomios Plxl y Qix¡ son iguales, toman igual valor numérico para un
mismo valor de la variable:
Pix) - Q.v) p(k) - Qi k) (II)
Veamos la aplicación de estos principios en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 76
¿Cuáles deben ser los valores de m y n para que M (x,y N U) sean polinom ios 
equivalentes?
M ( v) = 5 x 2 + (m + n ) x 1 + (m + 6 n)x - 3 
N i x) = 5.v3 - l x 2 + 3x - 3
P a ra q u e M ,xl y Nltl sean 
po linom ios equ iva len tes d e ­
ben se r iguales los co efic ien ­
tes de los té rm inos del m is­
m o g ra d o (A p lic a c ió n del 
p rincip io 1).
Ya so n ig u a le s lo s c o e f i­
c ien tes de x 3 y los té rm inos 
independ ien tes. D eben serlo 
tam bién los co e fic ien te s de 
x2 y de x. P o r tanto: í m + H = —7
m + 6n = 3
L a s o lu c ió n d e l s is te m a 
planteado es:
m = - 9 
n = 2
POLINOMIOS 1 0 9
Ejemplo 77 __________________________
Determ inar A, B, C y D, sabiendo que 
M {x) = A (x— 1) (* 2 + .x + l) + (B;t + C ) ( .x - l ) ( ; t - 2 ) + Z)(;c2
O ry _
y N {x)= S x - 1 4 * + 8 * - 1 7 son polinom ios iguales.
E ste e jem p lo , que puede ser 
resuelto si se quiere com o el 
an te rio r, se puede re so lv e r 
m ás f á c i lm e n te c o n la 
aplicación del p rincip io n .
Si M m y N(x¡ son polinom ios 
iguales, podem os escribir:
/
• A (x - l) (* 2 + * + l) + (&t + C ) ( * - l ) ( ; t - 2 ) + D (*2 +jt + l) ( .r -2 ) = 8*:
.P o r e l p rinc ip io II, s i los p o ­
linom ios son iguales, tom an 
igual v a lo r num érico pa ra un 
m ism o valor de la variable.
Podem os, p o r tanto, sustitu ir 
la v a r ia b le p o r c u a lq u ie r 
v a lo r a rb itra r io y , cad a vez ’
q u e lo h ag am o s, o b te n d re ­
m o s u n a ecu a c ió n co n las 
in c ó g n ita s A, B, C y D. Si 
c o n stru im o s de e s ta fo rm a 
cu a tro ecuac iones, podem os 
fo rm ar un s is te m a y h a lla r 
los va lo res de esas in có g n i­
tas.
Sin em b arg o , s i sustitu im os 
la v a riab le p o r va lo res q u e 
anulen a lgún térm ino del p ri­
m er m iem bro , e l trab a jo se 
sim plifica. P o r e jem plo , para 
x = 1 se anu lan los dos p ri­
m eros té rm in o s y se puede 
ob tener de inm ediato el valor 
de D: Para x = 1
A (0 ) (3 ) + (B + C ) (0 )( -1 ) + D ( 3 ) ( - l ) = 8 
- 3 D = -1 5
S i hacem os x = 2 , se anulan 
e l segundo y e l te rce r té rm i­
no y se ob tiene e l valor de A:
D = 5
P a ra ,* = 2
A (1) (7) + (2 B + C) (1) (0) + D ( 7) (0) = 64 
7A = 7
A = 1
+ x + 1) (a: — 2 )
- 1 4 x 2 + 8 * - 1 7
- 1 4 + 8 - 1 7
5 6 + 1 6 - 1 7
1 1 0 POLINOMIOS
Para o b ten e r B y C sustitu i­
m os la variab le po r o tro s del 
va lo re s . U no , m uy c o n v e ­
nien te siem pre, e s x = 0:
Para x = 0
A ( - l ) ( l ) + C (—1) (—2) + -0(1) (—2) = -1 7
R eem p la zam o s lo s v a lo res
ya conocidos de A y D: — 1 + 2C —10 = —17
2C = - 6
C = - 3
Para hallar B hacem os una 
última sustitución, p o r 
ejem plo , x ■ -1 Para x = - I
A ( -2 ) (1) + ( - £ + C) ( - 2 ) ( -3 ) + D (1) ( -3 ) = - 8 - 1 4 - 8 - 1 7 
- 2 A - 6 B + 6 C - 3 D - -4 7
( Ejercicio 26
¿Qué condiciones deben cum plirse en cada caso para que M lx) y N(xl sean poli­
nom ios equivalentes?
M(X) = 3x3 - (ra + n )x 2 + (m + 2n)x - 2 
/ / u ) s 3 x 3 - 5 x 2 + 7 x - 2
M (x) s 5a:4 + (2# + 5 r)x 3 + (q + 2r + p ) x 2 + (4 r + q + 2 p ) x + 5
W( x) h= 5 x 4 - 1 0 x 3 + x 2 + 2 x + 5
M {x) = (m + n ) x 3 - 5 x 2 + 3x - 4
N (x) ^ x 3 + ( n - m 2 )x 2 + 3x - 4
M(jf) = x 3 + (n - ra)x2 + ( r a - 4 « ) x + 6
R eem plazando valo res c o n o ­
cidos: - 2 - 6 5 - 1 8 - 1 5 = -4 7 
- 6 5 = - 1 2
5 = 2
4)
5)
M (x) s x 3 + (4 m - 3n)x2 + (3 ra - 3 n )x - 2 m - p - n 
N (x) s ( x - l ) ( x + 5 )(x + p )
POLINOMIOS 1 1 1
(p + 3)x3 + (2 p + l ) x 2 — 1 
a b x3 + (b - a + a b )x2 + (b - a - l)x - 1
A ( x 2 + \ ) + B x 2 + C x ( x 2 +1)
1
(Ax + f l ) ( x - l ) + C (x2 + l )
2 x - 3
A x ( x - l ) + f l ( x - l ) ( x + 2 ) + C x(x + 2 )
3 x 2 - 5 x + 3
(A x + B ) ( x 2 - 4x + 1) + (Cx + D )( x 2 + x + 1)
2 x 3 + 3x2 - x +1
4x'3 + ( 2 m - n ) x 2 + l l x + l 
4 x 3 + 6 x 2 + (n 2 ^ m ) x + 1
Algunas aplicaciones 
del Método de Tos Coeficientes Indeterminados
A prenderem os a utilizar el M étodo de los C oeficientes Indeterm inados a 
través de algunas aplicaciones prácticas. Las prim eras (dividir polinom ios, hallar la 
raíz de un polinom io) tienen com o única finalidad la de fam iliarizam os con el 
método, pues existen formas mucho más prácticas para realizar esas operaciones. En 
cam bio dedicarem os m ayor atención a la aplicación del M étodo de los Coeficientes 
Indeterm inados a la separación de fracciones algebraicas en fracciones simples.
A) División de polinomios
Es conveniente, antes de pasar a los ejem plos ilustrativos, releer el Cuadro- 
resumen que aparece en la pág. 10.
Eismp k t 78_____________________________
Dividir por el M étodo de los Coeficientes Indeterminados:
D(-t) = x 5 +1 lx 4 + 28x3 - 7 x 2 — 5x - 3 entre 
d(X) = x 3 + l x 2 + 2x - 1
L a tarea consiste en de term i­
n a r Qm y R lxl (C o c ien te y 
R esiduo). '
7 >
A * .,)-
N ( X ) -
8) |* U > »
k x ) -
9)
N ( X ) =
10)
M (x) - 
N ( X ) =
11)
12)
M (x) -
112 POLINOMIOS
D el c o c ien te só lo sab em o s 
que es ung exp resión de se­
gundo g rad o y q u e e l co e ­
fic ien te del p rim er té rm ino 
e s 1. R ep resen tando con- le­
tras lo s co efic ien tes d esco ­
n o c id o s de lo s o tro s té r­
m inos, el cocien te tom a esta 
form a:
D el residuo sabem os q u e , de 
e x is t ir , e s u n a e x p re s ió n 
c u y o g ra d o n o p u e d e se r 
m a y o r q u e 2 . C o m o sus 
co e fic ien te s son d esco n o c i­
dos, los rep resen tam o s con 
letras:
Por la identidad fundam ental 
' de la d iv isión , podem os e s- _ , _
tr ib ir : ° { x ) “ d (x) ' Q x ) + * \x )
Sustituyendo:
. x 5 + U x 4 +2Sx3 - l x 2 - 5 x - 3 = (x3 +7x2 + 2 x - i j x 2 +Ax + B)+Cx2 +Dx + E (I)
T rabajarem os e n e l segundo 
m iem b ro m u ltip lican d o , re ­
du c iendo té rm inos sem ejan ­
tes y sacan d o fac to r com ún 
en cada grupo:
= x 5 + Ax4 + Bx3 + 7x4 + 7Ax3 + I B x 2 + 2x3 + 2Ax2 + 2Bx - x 2 - Ax - B + Cx2 + Dx + E 
= x 5 + (A + 7)x4 + (B + 1A + 2)x3 + {IB + 2A -1 + C)x2 + (25 - A + D)x - B + E
C on lo q u e la e cu ac ió n (I) 
queda así:
je5 + 1 1*4+ 28*3 - l x 2 - 5 * - 3 =
= * 5 + (A + 7)*4 + (fl + 7A + 2)x3 + (7B + 2A - 1 + C)x2 +(2 B - A + D ) x - B + E
A plicando aho ra el p rincip io 
d e ig u a ld ad d e po linom ios , 
p o d em o s ig u a la r lo s c o e f i­
c ien tes d e lo s té rm in o s del 
m ism o grado:
En él término rigjt4: A + 7 = l l
= x 2 + A x + B
A = 4
En el téiminp.dfi.̂ 3: B + 7 A + 2 = 28
Reemplazando el valor
conocido de A: ¿? + 7A + 2 = 28
POLINOMIOS 1 1 3
Endtérmiatute*2; 7 £ + 2 A - l + C = - 7
Reemplazando valores cono­
cidos: - 7 ( -2 ) + 2- 4 - l + C = -7
C = 0
En el término de x: 2 B - A + D = - 5
2 ( -2 ) - 4 + D = - 5 
D = 3
En,el tárouKundfipentiiente; - B + E = - 3
2 + £ = - 3
Sustituyendo los valores ya 
conocidos de los coeficientes 
indeterminados, tenemos, en 
definitiva, que: Q x) = X 2 + 4 x - 2 
Rix) = 3 x - 5
( Ejercicio 27
H allar po r el M étodo de los Coeficientes Indeterm inados el cociente y el 
residuo de dividir DM entre dM:
\d , , s x 4 - 4jc3 + 3 * 2 - 2 x + 6
1)
[< kx )* x ~ 2 x + l
\D(x) = x 5 + 5 x 4 + 2 * 3 - 6 * 2 + 9 x - 4
2) [Jm * x 2 + 2 x - 2
\ d (x) = * 6- + 2 * 5 + 6 x 4 + 4 x 3 + 7 x 2 - 2 x + 2 
|r f (jr) s x 3 + 2 * 2 + 4 x +1
fD(x) = x 6 + x 5 + 2 x 4 + 2 x 3 - x 2 - x +1
4) ,
K ) a j t - 1
Í D , e 3x6 + x 4 + l x 3 + 3
5 ) ■ 3
1 1 4 POLINOMIOS
B) Raíz de un polinomio
Recordem os,algunos aspectos elem entales referentes a radicación de polino­
m i o s :
Raíz «-sim a de un polinom io P(.x) es otro polinom io Q x) que, elevado al 
exponente «, nos da el primero:
lP(x) - Q x ) SI PU) = Qx)
El grado de Q x) será igual al grado de dividido entre «.
Todo esto es cierto si tiene ra íz exacta. En caso contrario, existirá un 
residuo R(x). Si restam os de este residuo, la raíz será exacta y tendremos que
Por tanto
y, finalmente:
^ P(x) ~ % ) * Qx)
P(x) - R { x ) = [ f i ( x ) ]
P M + P { x ) (I)
El coeficiente del p rim er térm ino de Q x) es igual a la raíz «-sim a del 
coeficiente del prim er térm ino de
Nota: Si la raíz buscada es de índice par, existirán dos expresiones, Q v) y 
- Q x), que, elevadas al índice n nos darán Pi*V P or tanto, si « es par, la relación (I) 
se transform a así:
P(x) “ [ * { % * ) ] + R ix) (II)
El máxim o grado que puede alcanzar R^x), de existir, es igual a una unidad 
menos que el grado de menos el grado de Q xy
M áxim o grado de R^x) = G rado de P(x) - grado de - 1 (III)
Utilizarem os las relaciones (I) y (II) en el planteam iento de los ejercicios que
siguen.
Ejemplo 79
Calcular: v/x6 - 6 x 5 + 19x4 - 32x3 + 21a:2 +1
L lam an d o P,xl a la can tidad
subrad ical tenem os (ap lican- D 14 -/1 1" o
d o l í ) : PW = [± U {x ) \ + í Xx)
El g rado de Q(xt será 6^-2 = 3 
y el p rim er coefic ien te será 1
D ando a los dem ás térm inos 
coefic ien tes ' indeterm inados, 
tenem os:
= X 3 + A x 2 + B x + C
(1)
POLINOMIOS •' J 1 1 5
y
[ ± Q x)f = * 6 + 2 A x 5 + (A2 + 2 B )x 4 + (2 A B + 2 C )x3 + ( tf2 + 2A C )*2 + 2 5 C x + C 2
El m áxim o grado q u e puede 
a lc a n z a r , d e e x i s t i r , e l 
re s id u o es -(ap licando III):
. 6 - 3 - 1 = 2 .
D a n d o a s u s té rm in o s
coefic ien tes inde term inados, D 2 i? r
el residuo será: * \x ) ~ U x + & X + *
S ustituyendo en (1):
x 6 - 6 x 5 + I9x4 - 32x3 + 21x2 +1 =
 ̂ = x (> + 2A*5 + |a 2 + 2B¡jx4 + (2AB+2C)xi + ¡̂ B2 + 2AC);t2 + 2BCx + C2 + Dx2 +Ex + F
x 6 - 6 x5 + \9 x4 - 32*3 + 21x2 +1 =
= * 6 + 2 Ax* + (A2 + 2 B)x4 + (2AB + 2 C)x3 +(b 2 +2 A C + D )x2 + (2 BC + E)x + C2 +F
Igualando los coefic ien tes d e ,
los térm inos de igual grado:
En el término dé x5; 2 A = - 6
En d término-tle A2 + 2 5 = 19
9 + 2 5 = 19 
5 = 5
En el término de 2 A B + 2 C = ~32
- 3 0 + 2 C = -3 2
En el término de a2; B 2 + 2 A C + D = 21
25 + 6 + D = 21
, . , D - - 1 0
En el término de. a ; 2 5 C + £ = 0
-1 0 + £ = 0
£ = 10
1 1 6 POLINOMIOS
En el té rm ino independiente: C 2 + F = l 
\ + F = l
F = 0
S u stitu y en d o en (1 ) te n d re ­
m os, en definitiva: P{x) = [± (x 3 - 3 x 2 + 5 x - l ) ] - 10x2 + lOx
E im p b $Q
Calcular: V *6 + 9 x 5 + 2 lx 4 - 4 x 3 - 2 2 x 2 + 36x - 8
L lam an d o PM a la can tidad 
subradical y ap licando (I):
E l g rado de Qfx) será 6+3 = 2 
y e l co e fic ien te del p rim er 
té rm ino será 1. D ando a los 
dem ás té rm inos coefic ien tes 
indeterm inados, tenem os:
x) (1)
Q x) - x 2 + Ax + 5
[fi(.r)]3 = X6 + 3Ax5 + (3A2 + 3fi)x4 + ( a 3 + 6 AB)x3 + (3A25 + 352)x2
E l m á x im o g rad o d e l re s i­
duo , en c aso de ex istir, será 
(ap licando III): 6 - 2 - 1 = 
3. D a n d o a su s té rm in o s 
coefic ientes indeterm inados: R^x) = C x3 + D x 2 + E x + F
S u s t i tu y e n d o e n (1 ) y 
re d u c ie n d o té rm in o s sem e ­
ja n te s , ten d re m o s en d e f i­
nitiva:
xft + 9x + 21x4 - 4x - 22*¿ + 36x - 8 =
x6 + 3Ax5 + (3A2 + 3i?)x4 + (A3 + 6 A B + c )x 3 + (3A2 B + 3fl2 + Ó)x2 + (3A52
Igualando los coefic ien tes de 
los térm inos de igual grado:
E n el térm ino de X5:
Eadtóraüao-d& x:?.;
3A = 9
A = 3
3A2 + 3 5 = 21 
27 + 3 5 = 21
5 = - 2
+ 3A52x + 5 3
+ E^x + 5 3 + F
POLINOMIOS 1 1 7
En si término dex'; 2 A B + 2 C = - 3 2
A 3 + 6 A B + C = - 4 
27 - 36 + C = - 4
C = 5
En.eI.t£rmmo..dê 2.: 3 A 2B + 3B 2 + D = - 2 2
-5 4 + 12 + D = - 2 2 
D = 20
En eLtérmino de x; 3 ¿ g 2 + £ = 36
36 + £ = 36
£ = 0
En el término independiente; Z?3 + £ = - 8 
- 8 + £ = -8
£ = 0
En defin itiva: / \3 0
£u ) = (x 2 + 3 x - 2 ) + 5x + 20x
( Ejercicio 28 |
C alcular las siguientes raíces por e l M étodo de los Coeficientes Indeterm i­
nados:
1) y¡x4 + 2 x 3 + 5 x 2 + 3x + 5
2) ^ 4 x 4 - 4 x 3 + 1 3 x 2 - 6 x + 9
3) a/ 9 x 4 - 2 4 x 3 + 2 8 x 2 - 6 x + 1
4) ■yjx6 + 2 x 4 + 6 x 3 + 6 x 2 + 6x + 6
5) Vx6 + 2 x 5 + x 4 + 2 x 3 + x 2 +1
6 ) V x6 - 3x5 + 6 x 4 - 9 x 3 + 6 x 2 - 5x +1
7) 3/x6 - 3x5 - 6 x 4 + 17x3 + 27x 2 - 27x - 27
8 ) - J ( x , - l ) x ( x + l ) ( x + 2 ) + l
1 1 8 POLINOMIOS
C) Separación de fracciones algebraicas en fracciones 
simples.
P
La expresión
D (X )
en la que P(x) y D{x) son polinom ios, es una fracción algebraica racional. P( x es 
el num erador y Du) el denom inador de dicha fracción.
P
La fracción algebraica ru )
D (x)
se .llama p r o p ia si el grado de D^x) es m ayor que el grado de P{x)- Se llam a 
im propia en el caso contrario.
Llamarem os factor lineal a toda expresión en la form a a x + b, siendo a y b 
números reales (a * 0).
L lam arem os factor cuadrático irreducible a toda expresión en la form a
2 ̂ax + b x + c , siendo a, b y c números reales que satisfacen la desigualdad b~ < 4ac
Un factor lineal o un factor cuadrático pueden estar elevados a un exponente 
n sin dejar de ser tales. Por ejem plo, ( 3 x - 2 ) 5 sigue siendo un factor lineal y
(x 2 + x + 1) sigue siendo un factor cuadrático irreducible.
La separación en fracciones sim ples de una fracción algebraica sigue las 
siguientes normas:
1) A cada factor lineal ax + b que aparezca una sola vez com o factor del
A
denom inador, corresponde una fracción sim ple de la form a ----------, en donde A * 0
ax + b
es una constante.
Ejemplo:
PM A , B C
( a x + b \ c x + d ) ( m x + n) a x + b c x + d m x + n
2 ) A cada factor lineal a x + b que aparezca k veces com o factor del 
denom inador, corresponde la sum a de k fracciones sim ples cuyos denom inadores 
serán el factor a x + b elevado sucesivamente a los exponentes 1 ,2 , , k - \ , k .
Ejemplo:
P(x) A B M N P
-----------------7-----------------— -----------------1-------------------y + ............. 4-------------------- 7 —r 4----------------- t 4--------------
( a x + b ) ( c x + d ) a x + b ( a x + b ) ( a x + b )( a x + b ) c x + d
3) A cada factor cuadrático irreducible a x 2 + b x + c que aparezca una sola 
vez com o factor del denom inador, corresponde una fracción sim ple de la form a
— j — + .— , en donde A y B son constantes no sim ultáneam ente nulas. 
a x + b x + c ,
Ejemplo:
p o l i n o m i o s 1 1 9
4) A cada factor cuadrático irreducible a x 2 + bx + c que aparezca k veces 
com o factor del denom inador, corresponde la sum a de k fracciones sim ples cuyos 
denominadores serán el factor a x 2 + bx + c elevado sucesivamente a los exponentes
1-, 2 , k - l , k .
Ejemplo:
P(X) Ax + B Cx+ D Mx + N Px + Q------------ —------------ “ 1---------------------------------f- ------------------------------------ 1------------------- —_____
(«x2 + bx + c j ax ^ b x + c ^ 2 +/?x + c ĵ îa x 2 + ¿,x + c j {ax2 + bx + cj
• En esta expresión, A,B,C,D, ... , M, N, P y Q son constantes y P y Q no son 
simultáneamente nulas.
5) Si la fracción algebraica dada es impropia, debe prim ero efectuarse la d ivi­
sión teniendo en cuenta que
1 ^-r) _ a .
/) (x) r\
U (x) U(x)
( a * 2 +bx + c j n i x 2 + n x + p ] ax2 +bx + c m x 2 +nx + p
R , x)
Q,x) y una fracción p ro p ia—— , fracción ésta últim a que puede ser separada en
D ( x )
con lo que se transform a la fracción im propia original en la sum a de un polinom io
Qtx) y una fracciór
fracciones simples.
p
6) El caso especial de la fracción a lgebraica M , en la que el
( ax + b )
denom inador es un único factor lineal repetido k veces, se separa más fácilm ente en 
fracciones simples (aun en el caso de fracciones im propias) utilizando el método de 
Horner, tal com o se m uestra en los ejemplos 86 y 87.
N ota: Para hallar el valor de los coeficientes indeterm inados A, B, C, D, etc., puede 
aplicarse indistintam ente cualquiera de los dos principios enunciados en la 
pág. 109. Por su m ayor practicidad, siem pre que podam os utilizarem os el
segundo.
Ejemplo 81
c . . . . . . 2 * “ + 1 8 * + 16
Separar f (t) en tracciones simples: r,r , = —= x-----------
' . J(x) x + 4 * + * - 6
F a c to r iz a m o s , u t i l iz a n d o 
Ruffini, el denom inador:
1 2 0 POLINOM IOS
T enem os, pues, que
El denom inador con tiene só ­
lo fac to res lineales. L a d e s ­
c o m p o s ic ió n en fa c to re s 
sim ples será 'd e la form a:
A x )
Ax) -
2x 2 + 18 x + 1 6 
( x - l ) ( x + 2 ) ( x + 3)
2 x + 1 8 x + 16
+
B C
( x - l ) ( x + 2 ) ( x + 3) x - \ x + 2 x + 3
(1)
S a c a n d o m ín im o c o m ú n 
d en o m in ad o r en e l segundo 
m iem bro:
2 x 2 + 1 8 x + 16 A ( x + 2 ) ( x + 3 ) + # ( x - 1 ) ( x + 3) + C ( x - 1 ) ( x + 2)
( x - l ) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x - l ) ( x + 2 ) ( x + 3)
• P a ra que dos fracc io n es de 
ig u a l d e n o m in a d o r sean 
eq u iv a len te s tienen que ser 
tam bién igua les sus num era­
dores. Por tanto:
2 x + 1 8x + 16 = A ( x + 2 ) ( x + 3) + B ( x - l ) (x + 3) + C ( x - 1) (x + 2)
D am os va lo res a la variable 
x p a ra ob ten er A, B, y C (es 
co n v en ien te u tiliz a r las ra í­
ces de los fac to res linea les, 
pu es a l h ace rlo se anu lan 
siem pre algunos térm inos).
Para x = 1 2 + 18 + 16 = A(3)(4) 
3 6 = 12 A
Para x = - 2
A = 3
8 - 3 6 + 16 = 6 ( - 3 ) ( l ) 
- 1 2 = - 3 B
Para x = - 3
B = 4
18 - 54 + 1 6 = C ( - 4 ) ( - l ) 
- 2 0 = 4 C
S u stitu y en d o e n (1 ) los va­
lores hallados ob tenem os f Kl 
s e p a r a d o e n f r a c c io n e s 
sim ples:
C = - 5
3 4
Ax) - — +x — 1 x + 2 x + 3
POLINOMIOS
Ejemplo 82
- 2 a 3 - 1 9 a 2 - 1 8 * + 7
Separar f x) en fracciones simples: . ... ...........
x + 8a~ + 18a:- + 16a: + 5
F ac to rizam o s e l d en o m in a­
dor:
L a fracción es, pues:
/ ( a) ~
- 2 a - - 1 9 a 2 - 1 8 a + 7 
( a + 1 )3( a + 5 )
La separac ión en fracc iones 
sim ples será de la form a
- 2 a 3 - 1 9 a 2 - 1 8 a + 7 A
/< ,> = * = +
B
(a + i ) ’(.v + 5)
■ + ■
D
A + 1 (A + 1) (A + 1 )' A + 5
S a c a n d o m ín im o c o m ú n 
d en o m in ad o r en e l segundo 
m iem bro:
- 2 a ‘ - 1 9 a " - 1 8 a + 7 A (a + 1)2 ( a + 5 ) + 5 ( a + 1 ) ( a + 5 ) + C ( a + 5 ) + ZX a: + 1)3
( a + 1 ) ( a + 5 )( a + 1) ( a + 5 )
Igualam os num eradores:
- 2 a 3 - 1 9 a 2 - 18a + 7 = A ( a + 1)2 ( a + 5 ) + B {x + 1 ) ( a + 5 ) + C (x + 5 ) + D (x +1)'
D am os valo res a la variable 
(p rim ero los valo res -1 y -5 
po r ser ra íces de los factores 
lineales del denom inador):
P a ra * = -1 • 2 - 1 9 + 18 + 7 = C ( 4 ) 
8 = 4 C
C = 2
Para * = -5 2 5 0 - 4 7 5 + 9 0 + 7 = D (-4 )' 
- 1 2 8 = - 6 4 D
D = 2
1 2 2 POLINOM IOS
N o h ab iendo m ás ra íces de 
fac to res lin ea les , dam os a la 
va riab le valo res cu a lesq u ie ­
ra. L os dos valo res m ás co n ­
venientes son 0 y 1.
Para x = 0
S u stitu y en d o los v a lo res ya 
conocidos:
de donde 
Para x = 1
R educ iendo térm inos y s im ­
plificando:
F o rm am o s un s is tem a con 
las ecuac iones (1) y (2):
L a solución del sistem a es:
sep a ra d o en fracc iones 
sim ples, es:
7 = A(1)(5) + B(1)(5) + C(5) + £>(1)
7 = 5A + 5B + 10 + 2 
A + B = - 1 (1)
- 2 - 1 9 - 1 8 + 7 = A (4)(6) + B( 2)(6) + C( 6) + 0 ( 8 ) 
-3 2 = 24A + 12/? + 1 2 +16
2 A + B = - 5
A + B = - 1 
2A + f i = - 5
(2)
A = 4
/(x) “ x +1 (* + 1 )- U + 1 ) * + 5
Eim p ly 83
Separar f x) en fracciones simples: f i x) =
F actorizando el denom inador:
jc3 + 1 9 x 2 -1 8 -r + 22 
x 4 + 2 x 3 - x 2 + 4 x - 6
1 2 -1 4 - 6
1 1 3 2 6
1 3 2 6 1 0
-3 -3 0 - 6
1 0 2 1 0
El ú ltim o cocien te resu ltan te 
n o tie n e ra íce s re a le s . La 
fracción, con el denom inador 
factorizado, es:
E l te rce r fac to r del den o m i­
nado r e s cu ad rático irreduci­
b le . L a s e p a ra c ió n en 
fracciones s im ples será de la 
form a:
A x ) -
A x ) -
x +19-* - 1 8 * + 22
(jc- 1 ) ( a: + 3 )(jc2 + 2 )
x + 1 9 * —18a:+ 22 A B Cx + D 
+ +
(jc — l)(^c + 3)(jc2 + 2 ) x - 1 x + 3 x 2 + 2
POLINOM IOS 1 2 3
S acan d o m ín im o com ún d e ­
n o m in ad o r é ig u a lan d o nu­
m eradores, resulta:
x 3 + 19x2 - 18x + 22' = A (x + 3 )(x 2 + 2) + B (x - l ) ( x 2 + 2) + (Cx + D )(x - l ) (x + 3)
D am os valo res a la variable: 
Para x = 1
Para x - - 3
Para x = 0
S u stituyendo va lo res y a c o ­
nocidos:
P a ra * = -1
1 + 1 9 - 1 8 + 22 = A(4)(3) 
24 = 12A
A = 2
- 2 7 +171 + 54 + 22 = 5 ( - 4 ) ( l 1) 
220 = - 4 4 B
B = - 5
22 = A(3)(2) + B ( - 1X2) + Z>(-1)(3) 
22 = 12 + 1 0 - 3 D
D = 0
- 1 + 1 9 + 1 8 + 22 = A(2)(3) + B ( - 2)(3) + ( - C + D ) ( - 2)(2) 
58 = 12 + 30 + 4C
C = 4
f ( x ) ~
5 4x
■ + •
x — 1 x + 3 x + 2
Eim pfo $4
S e p a ra r^ , en fracciones simples: f (x) =
Factorizando e l denom inador:
x 4 - 2 x 3 + 4 x 2 + 2x + 7 
x 5 + x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + x + l
1 1 2 2 1 1
- l -1 0 - 2 0 -1
1 0 2 0 1 i 0
El co c ien te re su ltan te , a u n ­
que no tiene ra íces reales, es 
e l d e sa rro llo d e l b in o m io
L a fracción, po r tanto, co n el 
denom inador facto rizado es: f ( x ) ~
x 4 - 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 7
(x + l ) ( x 2 + l )
1 2 4 POLINOM IOS
La sep arac ió n en fracc io - * 4 - 2 * 3 + 4 a:2 + 2 a: + 7 A B x + C D x + E
nes sim ples tom a la form a: f . . = ------------------------------------ ^---------= ------------ 1------ r----------1-----------------—
“ (* + l ) ( ; r + l ) 2 * + 1 X- + 1 ( x 2 + l f
S acando m ín im o com ún de­
n o m in ad o r e ig ua lando n u ­
m eradores:
jc4 - 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 7 = A ( x 2 + 1)2 + (B x + C )(x + 1 ) ( a :2 + 1 ) + (D x + E )(x + 1)
D ando valores a la variable: 
Para jr = -1 l + 2 + 4 ~ 2 + 7 = A(4) 
12 = 4 A
>1 = 3
i4 - 2i3+ 4 r + 2i + 7 = (D i + E)(i +1) 
1 + 2/ — 4 + 2/ + 7 = —D + Di + Ei + E
4 + 4/ = - D + E + (D + E)i
[ ~ D + E = 4 
[ D + E - 4
de donde r t — n
E = 4
Para x = 0 7 = A + C (l)(l) + £(1)
7 = 3 + C + 4
C = 0
Para * = l l - 2 + 4 + 2 + 7 = A(4) + (B + 0 ( 2 ) ( 2 ) + (D + E)( 2)
12 = 12 + 4 5 + 8
P ara x = i (ra íz im ag inaria 
del fac to r cuadrático):
A grupando en cada m iem bro 
la parte real y la parte im a­
ginaria:
Ig u a la n d o p a rte s re a le s y 
partes im aginarias:
f ( x ) “ x + 1
2 x
a:2 +1
POLINOMIOS 125
N ota: en el ejemplo anterior fue m uy ventajoso utilizar la raíz im aginaria i del factor 
cuadrático para hallar los valores de D y E. Si hubiéram os sustitu ido a 
continuación la variable por la otra raíz im aginaria no hubiésem os obte­
nido nada nuevo, sino otra vez los valores ya conocidos de D y E.
Ejemplo 85
Separar f x) en fracciones simples: f {x) = x 7 + 3 x5 - 6jc4 -1 9 * - 47jc - 67x -102 
x 5 - 2 x 4 + 8*3 - 16x2 +16* - 32
T ratán d o se d e una fracc ión 
im prop ia , debem os p rim ero 
efectuar la división:
1 0 3 - 6 -1 9 -4 7 -6 7 -102
-1 2 - 8 16 -1 6 32
2 -5 10 -3 5 -15
=2___4 -16 32 -32 64
-1 - 6 - 3 -4 7 -3
1 - 2 .___ 8 - 16 16 - 32
D e la d iv isión resulta que
5 -6 3 13 -1 3 4
- v2
1 1 - 2 8 -1 6 16 -3 2
1 2 -1
Q ( x ) ~ x + 2 x - l
^ = _ 8 * 4 + 5 x 3 - 63jc2 + 13x - 1 3 4
R ecordando que
u (x) U (x)
podem os escribir:
S ep a ra re m o s ah o ra g(x) en 
fracc iones sim p les. Facto ri- 
zando el denom inador:
El d en o m in ad o r só lo pod ía 
tener ra íc e s positivas, dado 
que los co efic ien tes son a l- ' 
ternadam ente positivos y n e ­
gativos. El cocien te resu ltan­
te no adm ite m ás ra íces p o si­
tivas, po r lo que tenem os que 
c onclu ir que e l denom inador 
no tiene m ás ra íce s rea les. 
S in e m b a rg o , e l c o c ie n te 
resu ltan te e s e l desarro llo de 
2
. P o r tanto:
f ( x ) = x + 2 x - \ +
- S x 4 + 5 x 3 - 6 3 x 2 + 1 3 * -1 3 4 
x 5 - 2jc4 + 8x3 - 16x2 + \ 6 x - 32
* ( V >
1 -2 8 -1 6 16 -3 2
2 2 0 16 0 32
1 0 8 0 16 LO
8(x) ~
- 8 x 4 + 5 x 3 - 6 3 x 2 +13x 134
(x - 2 ) ( x 2 + 4 )
1 2 6 POLINOMIOS
La separac ión e n fracc iones 
sim ples tom a la forma:
_ - 8 * 4 + 5 jc3 - 63a:2 + 1 3 * - 1 3 4 
£(* )—
U - 2 ) ( ^ 2 + 4 ) ‘
A Bx + C D x + E . + + .
x - 2 x + 4
S acando m ín im o com ún de­
n o m in ad o r e ig ua lando nu- 
. m eradores:
-8a:4 + 5a:3 - 6 3 a :2 + 1 3a- - 134 = A (x2 + 4^~ + (Bx + C)(x - 2 ) (a :2 + 4 ) ■+ (Dx + E)(x - 2)
D ando valores a la variable: 
Para x = 2 -1 2 8 + 40 - 252 + 26 - 1 3 4 = A(64) 
-4 4 8 = 64A
A = - 7
P ara * = 2 i (ra íz im aginaria 
del fac to r cuadrático):
A g ru p an d o p a rte s re a le s y 
partes im aginarias :
S im plificando:
Ig u a la n d o p a rte s re a le s y 
partes im aginarias:
de donde
Para .v = 0
- 1 2 8 í4 + 4 0 í3 + 252 + 26 i - 1 3 4 = (2 D i + E)(2i - 2) 
-1 2 8 - 40¿ + 252 + 26i - 134 = - 4 0 ~4Di + 2Ei - 2E
- 1 0 - 1 4 i = - 4 D - 2 £ + ( - 4 0 + 2 £ ) / 
- 5 - 7 i = - 2 D - £ + ( - 2 O + E)i
- 2 D - E = - 5 
- 2 D + £ = - 7
0 = 3
£ = -1
-1 3 4 = A(16) + C (-2 )(4 ) + £ ( - 2 ) 
-1 3 4 = - 1 1 2 - 8 C + 2 
- 2 4 = -8 C
C = 3
Para x = 1 - 8 + 5 - 63 + 13 - 1 3 4 = A(25) + ( £ + C )( - l) (5 ) + (O + £ ) ( - l )
-1 8 7 = -1 7 5 + (B + 3)(—5) + (3 - 1)(—1)
-1 8 7 = - 1 7 5 - 5 5 - 1 5 - 2
B = - 1
POLINOM IOS 1 2 7
. i ~ , —7 —x + 3 3x - 1
. f ( x ) = X 3 - 2 x — 1 H H t h •
X - 2 x 2 + 4 ( , ’ + 4 r
/ (x) = ' í 2 + 2 'í - 1 - x - 2
x_-3 
x 2 + 4
3 x - l
( x 2 + 4 )2
, ¡
¡ N ota: Al com enzar la resolución del ejem plo precedente efectuam os inm ediatam en- i
i te la división por tratarse de una fracción impropia. Sin em bargo es, tal vez, ¡
i preferible, adelantar el trabajo de factorizar el denom inador pues, si éste es de i
j. la form a (ax + b)n, tal división es com pletam ente innecesaria, com o podrá j
i verse en el ejemplo 8 7 . i
E im plQ .86 :___________________
Separar/,., en fracciones simples: f,r , = —r r — ~— 7 — ---------------
1 P x - 10* + 40* - 80* + 80* - 32
F a c to riz an d o el d e n o m in a ­
dor:
1 -1 0 40 -8 0 80 -3 2
2 2 -1 6 48 -6 4 32
1 -8 24 -3 2 16 LQ
2 2 -1 2 24 -1 6
1 -6 12 -8 1 0
2 2 - 8 8
1 -4 4 U2
2 2 -4
1 - 2 LO
2 2
1 LO
L a fracc ión , con e l d en o m i­
nado r factorizado, es:
D ado q u e e l denom inador es 
u n ú n ic o fa c to r lin e a l, la 
s ep a ra c ió n e n fr a c c io n e s 
sim ples se hace m ás fác il si 
e sc rib im os e l num erad o r en 
térm inos d e (x - 2) u tilizando 
e l m é to d o d e H o rn e r (s in 
n e c e s id a d d e a c u d i r a l 
M étodo de los C oefic ien tes 
Indeterm inados. .
f ( x ) ~
3x - lO x + 7
( x - 2 ) 5
U tilizando H orner:
1 2 8 POLINOM IOS
3(x - 2) + 8(x - 2) - 4 (x - 2 ) - 9
( í - 2 ) 5
D iv id iendo c ad a térm ino del ^ (x — 2 )3 8(x — 2)2 4 (x — 2) / 9
n u m e ra d o r p o r e l d en o m i- f , r-, = s~ +nador: (x-2)5 (X - 2 ? (x - 2 ) ’ ( x - 2 )
Sim plificando:
Ax) - ( x - 2 ) 2 ( x - 2 ) 3 ( x - 2 ) 4 ( x - 2 ) 5
Ejemplo 87..........................................................
, . , x6 + 7x5 + 18x4 +26x3 + 4 0 x 2 +59x + 26
Separar /L en fracciones simples: / , r) = --------------------5-------- =------------------------
F () F J(x) x + 8x + 2 4 a: + 32x +16
L a fracc ión a separar e s im ­
prop ia , pero e l hecho de que 
el d en o m in ad o r sea (* + 2 )4 
(com pruébese), hace innece ­
sario d iv id ir previam ente.
E scrib im os, u tilizan d o H or- 
ner, e l num erad o r en té rm i­
nos de (x + 2):
1 7 18 26 40 59 26
-2 - 2 -1 0 -1 6 -2 0 -4 0 -3 8
1 5 8 10 20 19 -1 2
-2 - 2 -6 -4 -1 2 -1 6
1 3 2 6 8 L3
- 2 - 2 0 -1 2
1 1 0 6 1 - 4
• -2 - 2 2 - 4
1 -1 2 12
-2 - 2 6
1 -3 1 8
=2_ - 2
1 1 -5
(x + 2 )6 - 5(x + 2)5 + 8(x + 2 )4 + 2 (x + 2 )3 - 4 (x + 2 )2 + 3(x + 2 ) - 1 2
u ) (x + 2)4
D ivid iendo cada térm ino del 
num erador po r el denom i-
POL1NOMIOS 1 2 9
n a d o r y s im p lif ic an d o :
'<*) “
Desarrollando la parte entera 
y reduciendo términos seme­
jantes:
f{x) = C* + 2) - 5(x + 2) + 8 +
12
* + 2 (x + 2 )2 (x + 2 )3 (x + 2 )4
/(x) = * 2 “ x + 2 + 2
12
* + 2 ( j c + 2 r u + 2 r ( * + 2 y
( Ejercicio 29
Separar f x) en fracciones simples
n f - 5x+1. 1> Ax) - . 2
x + 2 x - 3
2 ) / ( a ) - 3
x - x
•2\ r ó*2 - 7x - 2
Ax) ~ 3 2 ü ¿
x — x — 4 x + 4
4) / < * ) = - ^ 6" ' 16
5) / ( „ =
x + x - 4 x — 4 
- x 3 + 7 x 2 - 2 3 x - 7 
x 4 - x 3 - 7 x 2 + x + 6
_ - 2 x 3 - 2 6 x 2 + 4 2 x + 9 6 
] ~ x 4 - 2 x 3 - 1 3 x 2 + 1 4 x + 2 4
7) /(x) ~ 3
8) /<*> =
x + 4
x - 4 x ' + x + 6 
1 4 x 2 - 1 3 x + 2
9) /<*) =
10) / U) =
4 x 3 - 8 x 2 + 5 x - l 
x 3 - 2 x 2 
x 4 - 4 x 3 + 6 x 2 - 4 x + 1 
x 3 - 6 x 2 + 1 5 x —10 
x 4 - 8 x 3 + 2 4 x 2 - 3 2 x + 1 6
U ) / ( x ) = ~ T - 4 --------7
x ' - x - x + l
12) f tX)
x 3 + 6 x 2 - 4 x + 4 
x 4 - 4 x 3 + 6 x 2 - 4 x + l
n , _ 5 x 3 + 2 2 x 2 + 2 4 x + 3
(v) ~ x 4 + 8 x 3 + 2 4 x 2 + 3 2 x + 1 6
1 4 ) f (x,=
- 2 x - 1 9 x - 1 8 x + 7 
x 4 + 8 x 3 + 1 8 x 2 + 1 6 x + 5
15) f M -
16) / u ) =
17) / {x)>
18) f {xy
19) /( ,)
20) f [x)
21) Ax)
22) f (x)
23) /<,)
24) f (x)
25) f (X)
26) f (x)
27) f (x)
28) / ( , ,
5 x 4 + 1 6 x 3 + 1 5 x 2 + 4 x - l 
x 5 + 5 x 4 + 1 0 x 3 + 1 0 x 2 + 5 x + l 
- 4 x 3 - 2 8 x 2 + 8 3 x - 3 3 
x 4 + 2 x 3 - 1 2 x 2 + 1 4 x - 5 
7 x 3 + 6 1 x 2 + 1 7 6 x + 17 2 
x 4 + 1 2 x 3 + 5 4 x 2 + 1 0 8 x + 8 1
_________ x 2 + x — 1_________
x 4 + 6 x 3 + 1 3 x 2 + 1 2 x + 4 
3 x 2 - 8 x + 9
x 3 - 6 x 2 + 1 2 x - 8 
X2 + xx 3 - X2 + X - 1
5 x 2 + 2 x - l 
x 3 + 3 x 2 + 3 x + 2 
1 0 x 2 - 5 x + 9 
x 3 - x 2 + x - l
x 3 + 7 x 2 + 1 3 x + 10 
x 4 + 5 x 3 + 1 0 x 2 + l O x + 4 
2 6 x 2 + 5 x + 2 6 
x 4 + 2 x 3 - 4 x 2 - 5 x — 6 
5 x 2 - 3 x + 10
x ' — x + 3 x — 3 
9 x 2 - x + 14 
x 3 + x 2 + 2 x + 2 
4 x 2 + 5 x + 16 
x 3 - 2 x 2 + 2 x - 4 
x 3 + 1 9 x 2 - 1 8 x + 2 2 
x 4 + 2 x 3 - x 2 + 4 x - 6
1 3 0 POLINOM IOS
->m f _ 1UA - Z J A + :>1
■1 M x) ~ 4 3 , , 2 ,<•»a - a -1 1 a — jc —12
30) / , o = - 4 ± V '
36)
3 1 ) f - — + 3-v~ + 5 a + 4 _ .....
- ■( 0 .v4 + 5.v3 + 1 Oa 2 + 9 a + 3
- 3 a 3 - 11 a 2 + 25.v - 7 
a 5 - 5 a 4 + 9 a 3 - 9 a 2 + 8 a - 4
a-2 +1
32) / U1
33) f vi - -
¡Xs +.V+1I
2 a 4 + 3 a 3 - 4 a 2 + 8 a - 1 
A'3 — A'4 + 2a’3 — 2.V2 + A — 1
^ x _ 4 a 4 - 3a 3 + 5 a 2 - a - 1
} } ~ a 3 - v4 + 2 a 3 - 2 a 2 + x~ -l
r _ 4 a 4 - 2 a 3 + 2 a 2 - 7 
h x ] - ■ ,2
(A — 2)1 A ” + A + 1J ’
8 a 4 - 11a 3 + 13a 2 - 8 a - 1
3 /) /(A) -
a 5 - 2 a 4 + 2 a 3 - 4 a 2 + A - 2
_ —A4 + 2a3 — 7a” + A + 1
0 1 a 6 - 3 a 5 + 4 a 4 - 6 a 3 + 5 a 2 - 3 a + 2 
_ a 4 - 2 a 3 - 4 a 2 + a + 4 
' v) ~ a 3 + 3a4 + 2a3 + 6 a 2 + a + 3 
25
40) f x
42) f A)= -
43) =
44) f U) =
45) /< ,,=
a ‘ - 2 a + 2 a ‘ - 4 a ” + a - 2 
a 3 + 4 a 4 + 7 a 3 + 2 9 a 2 + 9 a + 3 8 
A6 - A5 + 2 a 4 - 4 a 3 - 4 a 2 - 4 a - i 
4 8
a s - 3 a 4 + 6 a 3 - 1 8 a 2 + 9 a - 2 7 
2.v2 - 2 a - 7 
a 2 + 3 a + 2 
2 a 3 ' - a 2 - 3 a + 9
A + A — 6 
A3 - A2 + 5 A + 1
A - 3a + 2
3 a 4 - 2 a 3 - 1 5 a 2 + 2 8 a - 1 8
46) /(A ) -- 3 7 7 7 -----------
a . - 7 a + 6
' . A5 - A3 - A2
4 /) ./<\»--- = --- ----------
A - 1
POLINOM IOS 1 3 1
.V6 + 7 a 5 + 1 8 .y 4 + 2 6 Y3 + 4 0 .v ' + 59.v + 2 6
' /( v\ - 1 ^ t
a 4 + 8 a 3 + 2 4 a 2 + 3 2 x + 16 
, _ 3 a-6 - 1 0 a-5 + 9 a-4 - 1 5 a 3 + 1 9 a 2 —2 0 y + 8
A Y) — 5 4 - 3 ■ 2 , 2
a - - 3 a + 2 a - 6 a + a - 3
_ a 6 + a + 6 a 4 + 9 a ‘ — a"“ + 7 a* — 2 
' A x ) " a 5 + 2 a 4 + 4 a 3 + 8 a 2 + 4 a + 8
, A-7 + 4 y6 - 4 y5 + 4 a 4 - 1 2 a 3 + 4 a 2 - 1
/(.Y)- } 2 «
A- - A + A — 1
2 a 4 + (a - 4 ) a 3 - ( 2 a + 1 5 ) a 2 - (9a - 3 2 ) v + 1 8 a - 9
56) Av) = ----------------------------------- . ------------------------
a - 2 x - 9 a + 18 
¿ ja3 + ( a ' - a b + b)x~ +{ab — a ~ b ~ b~ | a + a + b - a b 2
57) /<,)=■
a “ + o x - b x - a b
58) - - - - -
59)
3 a 3 -f 15a + 6
60) / u ) “
a 4 + a 3 + 3 a 2 + 2 a + 2 
7 a 4 - 5 a 3 + 2 6 a-2 - 1 5 a + 19
A5 — A4 + 6 A3 - 6 a 2 + 9 x
l E je r c ic io 30
Ejercicios de R ecapitu lación
1) D eterm inar A , B, C y D para que Plr) = a 4 + A a 3 + B x 2 - 8a + 4 sea 
divisible por / ) 2v), siendo D, = v2 -¡ Cv + D.
2) Determ inar !a relación que debe existir entre los parám etros a, b, c y d 
p ara que se cum pla que A-1(~X) - A'( o» siendo M(x)=2x~ ■‘¡■ax + b y 
N (x , = 4a4 - 4 c a 3 + 4í/v2 + 2 c ( p + 1 )a + ( p + 1 )2 .
3) Determ inar para qué valores racionales de a y b es divisible el polino­
m io 'a 4 + 3 v3 - 5<«2 + b por a 2 + 2 a x + 2 .
1 3 2 POLINOMIOS
4) Determ inar para qué valores racionales de a y b es divisible el polino­
mio x4 + 2x3 - 3 x 2 + 8ax + b p o rx 2 - a x + 2.
5) La ecuación 3x4 - 5 x 3 + 3x2 + 4 x - 2 = 0 adm ite la raíz 1 + *. Determ inar 
las restantes raíces de la ecuación.
6) Determ inar las cuatro raíces de la ecuación x 4 - ( Im - 4)x2 + (m + 1)2 = 0 , 
sabiendo que éstas son racionales y están en progresión aritmética.
7) D eterm inar las ra íces de la ecuación x 4 -(2 m + 10)x2 + (m -3 )2 = 0, 
sabiendo que éstas son com plejas y están en progresión aritmética.
Determ inar los polinom ios de segundo grado a los que corresponden las siguientes 
tablas de valores:
8) X -1 1 2
Ax) . 9 3 3
• 9) X 0 1 2
A x ) -7 - 4 3
10) X - 2 -1 1
/(x) -31 -15 -1
D eterm inar los polinom ios de tercer 
tablas de valores:
11) X -3 - 2 -1 1
A x ) -2 0 -5 0 4
12) X 0 1 2. 3
f (x) -1 2 15 50
13) X -3 - 2 1 2
f (x) -1 4 -2 10 26
D eterm inar los polinom ios de cuarto grado a los que corresponden las siguientes 
tablas de valores:
14)
15)
16)
17)
x - i 0 1 2 3
Ax) 12 / 2 - 4 -12 -4
X - 2 -1 1 2 3
Ax) 59 -3 -13 -33 -31
X - 2 -1 0 1 2
Ax) 207 30 1 - 6 3
X - 2 -1 0,5 1 5
’Ax), 0 -1 2 0 0 0
POLINOM IOS 1 3 3
Calcular los siguientes límites:
18) l ím f 1
19) lím
jr-» lU “ * l - * 3 .
7 - 2 * 1
20) lím
x —>2
21) lím
x - > 2
x^>2\x - x - 2 x — 3x + 2 
14 x2 +3
-+-x —6) x2 - 6 x + 8 
* - 1 2 x 2 + l
x 2 + 2 x - 8 3(*2 - 5 * + ó )
14tg "x + 4 +
22) lím t g - x - 3
5 + -
14
tg x - 9
23) ¿Qué condiciones deben cum plirse para que un polinom io de la forma
x 3 + px + q sea divisible por un polinomio de la forma x 2 + mx -1 ?
24) ¿Qué condiciones deben cum plirse para que un polinom io de la form a
x 4 + px + q sea divisible por un polinomio de la form a x 2 + mx +1 ?
25) Determinar A y B para que Ax4 + Bx3 +1 sea divisible por (x - 1)2.
Construir el polinomio de grado mínimo y de coeficientes enteros que adm ita ... 
... las raíces 1, 2 y - 1 +i.26)
27)
28)
29)
30)
... las raíces -1 , 3 y 1—v 7 /
... las raíces 2 + ~J?>i y -7 + \~2i 
... las raíces 1, i, - 1 -V 3 /, - 2 + v5/ 
... la raíz doble 2 - 3i
31) D eterm inar la relación que debe ex istir entre los coeficientes de la
ecuación x 4 +ax3 +bx2 +cx + d = 0 para que el producto de dos raíces de 
la ecuación sea igual al producto de las otras dos.
32) Determ inar m en la ecuación x 3 - 7x + m = 0 para que una de las raíces
sea igual al doble de la otra.
33) D eterm inar a, b y c en la ecuación x 3 - a x 2 + b x - c - 0 para que las 
raíces de la ecuación sean, precisamente, a, b y c.
34) D eterm inar a , b y c en la ecuación *3 + ax2 +bx + c = 0 para que las 
raíces de la ecuación sean, precisamente, a, b y c.
1 3 4 POLINOM IOS
35) H allar la relación entre los coeficientes de la ecuación x 3 + p x + q = 0 
para que las raíces de la ecuación satisfagan la siguiente condición: 
* 3= -L + -L .
■5 -*! “ a:2
36) /(_,) es un polinom io de quinto grado en el que el coeficiente de a:5 es 3. 
- El residuo que se obtiene al dividir P(x) por x 2 +1 es el m ism o que el
que se ob tiene al d iv id irlo p o r a 2 +3a + 3. A l d iv id ir P(x) por 
(x - 1)2 (a: +1) el residuo es 4a:+5. Hallar P(x).
37) P(x) es un polinom io de tercer grado y de coeficientes enteros en el que 
el coeficiente de a;3 es 1. P{x) adm ite la raíz - / . H allar ñ x ) sabiendo, 
además, que P(x+,) no tiene térm ino cuadrático.
38) Determ inar P(x) sabiendo que es un polinom io de cuarto grado, que el
coeficiente de a:4 es 1, que adm ite la raíz -1 , que al dividirlo por x + 2 el 
residuo es 9 y que P{x+2) carece de los térm inos de tercero y de primer
grado.
39) Dado P(x) = a 4 - a 3 - 3 a 2 + a + 2, determ inar P(y) tal que las raíces de 
P<y) sean iguales a las de P(x) multiplicadas cada una por 3.
40) D ado /5,*) = x 4 -2 a :3 -3a:2 + 2 0 a+ 20, determ inar un polinom io P(y) tal 
que sus raíces sean las de P(x) aum entadas cada una en 2 unidades.
41) D ado /(*) = x 4 - 2 x 3 - l x 2 + 8a: + 12, determ inar un polinom io P{y) tal 
que sus raíces sean las de Pfx) dism inuidas cada una en una unidad.
42) D a d o /( r) = x 4 + 3a2 + 2a + 3, determ inar un polinom io P(v) tal que sus 
raíces sean las de Pix) m ultiplicadas cada una por 2. H allar después las 
cuatro raíces de P{y) sabiendo que una de las raíces es ¿-1- ' .
43) En la ecuación 8*3 + 36a:2 + 40a: + 12 = 0 hágase el cam bio x = ay + b 
y hállese cuál debe ser el valor de a y b para que la ecuación en y tenga 
el coeficiente de y 3 igual a la unidad y no exista el término y2.
44) Determ inar el valor de k en la ecuación a 3 - 3 a 2 + ¿ a -1 2 = 0 para que el 
producto de dos de las raíces de la ecuación sea - 6 y reso lver la 
ecuación. ■
45)Determinar el valor de k en la ecuación 7 a3 - 3 7 a 2 + ¿ * -1 2 = 0 para que 
la suma de dos de las raíces de la ecuación sea 5 y resolver la ecuación.
46) Determ inar el valor de k en la ecuación 6 a3 - 1 1a2 + kx - 24 = 0 para que
dos de las raíces de la ecuación sean recíprocas entre sí y resolver la 
ecuación.
47) Determ inar el valor de k en la ecuación 9 a3 - 2 1 a 2 +kx + 25 - 0 para que 
■ la ecuación tenga una raíz real doble y resolver la ecuación.
48) Determ inar el valor de k en la ecuación 8a3 + k x 2 -1 8 a + 9 = 0 para que
dos de las raíces de la ecuación sean opuestas y resolver la ecuación.
p o l i n o m i o s 1 3 5
49) Determ inar m y n para que la ecuación 12* - 4 4 x +mx + n* + 3 = 0 
tenga un par de- raíces dobles racionales y resolver la ecuación.
50) Determ inar m y n sabiendo que son núm eros reales y que la ecuación 
* 4 - 8 * 3 +mx2 +nx + 169 = 0 tiene una doble raíz imaginaria. Resolver la 
ecuación.
51) Determ inar m y n p ara que la ecuación 4*4 + 2*3 - 3 x 2 +mx + n = 0 
tenga una raíz triple y resolver la ecuación.
52) D em ostrar que, si la ecuación x 3 +cx + d = 0 tiene una ra íz doble, 
entonces +{ j ) ~ ̂ • Demostrar, además, el recíproco.
-i ^ #
, . 53) Dem ostrar que, si la ecuación * +bx +cx + d = 0 tiene una raíz triple,
entonces d = .
54) D em o stra r que, si ¿ = ( f ) 3 y 3c = £»2, en to n ce s la ecuac ión 
*3 + bx2 + cx + d = 0 tiene una raíz triple.
55) La d iferencia de los cuadrados de dos trinom ios de segundo grado es 
16*3 - 4 8 * - 3 2 . D eterm inar los dos trinom ios sabiendo que el térm ino 
independiente del prim ero es 2 y que el térm ino independiente del 
segundo es un número negativo.
Resolver las siguientes ecuaciones:
56) lg3* + 2 lg2 (IOjc) — 9 lg * - 8 = 0
57) lg^(2*) + 9 1 g |f - 3 6 I g 2 * + 45 = 0
5 8 ) — — + + — L _ = i
lgx + 2 31g* + l l g * - l
59) 6tg5 jt — 13tg4 * - 3 0 tg 3 * + 30tg2 jc + 13tgjc — 6 = 0
60) Un polinom io dividido por x + 2, da de residuo 29; dividido por
x ~ 2, da de residuo 25. ¿Qué residuo dará si se divide por x 2 - 4 ?
61) Un polinom io P(x), d ividido por x - 1, da de residuo 1; dividido por 
x - 2, da d e residuo 16. ¿Qué residuo dará si se divide por x 2 - 3 x + 2?
62) Al dividir un polinom io por x + 1 se obtiene -4 5 de residuo. Al dividirlo 
por x - 3, el residuo es -1 6 5 . ¿Cuál será el residuo al dividir pix) por
x 2 -2 .X -3 ?
63) Al dividir un polinom io P(x) por x + 1 el residuo es -2 ; al dividirlo por
x + 2, el residuo es -1 y, al dividirlo por x + 3, el residuo es 28. ¿Cuál
será el residuo al dividir P( t) por x 3 + 6x2 +11*+ 6 ?
64) El ̂ residuo de div id ir P( v) por * - 1 es -4 ; el residuo de dividirlo por 
* - 2 es - 9 y el residuo de dividirlo por x + 3 es 196. Determ inar cuál es 
el residuo cuando se divide P( t) por * 3 - l x + 6.
136 POLINOM IOS
65) Al dividir un polinom io P(x) por x - a, x - b y x - c, se obtienen
residuos iguales, respectivam ente, a A , B y C . C alcu lar el residuo
cuando el polinom io se divide por ( x - a ) ( x - b ) ( x - c ) .
66) Resolver: (V2 ) ' = —^
67) Las raíces de P{x) = x 3 + x 2 - 2 son 1, « y f i . C onstruir un polinom io
p (x) de segundo grado sabiendo que q>w = l, <P(a)= P y 
Dem ostrar que <p((P) ^ - x es divisible exactam ente por P(¿) y calcular el 
cociente Q(x) de dicha división.
68) ¿Q ué re lación debe ex is tir en tre los coefic ien tes del polinom io
= ax3 +bx2 +cx + d , si entre las raíces de P(x) existe la siguiente 
relación: X[X2 + x 2x3 = 2x|X3?
69) Resolver la ecuación x 4 + x 3 +3x2 + 2x + 2 = 0 sabiendo que una de sus 
raíces es un número imaginario puro.
70) R esolver la ecuación 5x4 - x 3 +25x2 - 4 x + 20 = 0 sabiendo que una de 
sus raíces es un núm ero im aginario puro.
71) R eso lver la ecuación x6 + 2 x 5 +25x4 + 6 x 3 +266x2 +600 = 0 sabiendo 
que una de sus raíces es un núm ero im aginario puro y que 1 + 3 / es 
también raíz de la ecuación.
72) Si las raíces del polinom io = x3 + px + q son a, b y c, determ inar el 
polinom io Q x) cuyas raíces son y
73) Dado P(x) = x 3 - 6 x 2 +mx + n , determ inar m y n para que las raíces de
sean tres números naturales consecutivos.
74) Desde hace años, los hermanos G óm ez acostum bran hacer cada semana 
un cuadro de caballos. R ecientem ente los herm anos M artínez se han 
unido al grupo y ahora hacen el cuadro entre todos. Un d ía ganan y, de 
acuerdo con las norm as que ellos m ism os establecieron, se reparten a 
partes iguales el 80% del total ganado. El 20% restante lo reparten así: 
60% para los G óm ez, que son los m ás antiguos, y 40% para los 
M artínez. De esta forma, los M artínez ganan entre todos Bs. 264.000 
más que los Gómez, pero cada G óm ez gana Bs. 75.600 más que cada 
M artínez, Si la repartición se hubiera hecho dividiendo sencillam ente la 
ganancia total entre todos, cada M artínez hubiera recibido Bs. 33.600 
más. ¿Cuántos son los herm anos Gómez, cuántos los M artínez y cuánto 
pagó el cuadro ganador?
p o l i n o m i o s 137
SUMATORIAS
Generalidades
/
Sea la sucesión de 100 términos
an ~ a 1» a2 ’ a3 ’ » a 100
La suma de los términos de la sucesión es
5 .0 0 = a \ + a 2 + a 3 + ...........+ f l 100
E sta sum a se puede expresar de form a m ás sencilla con el sím bolo de 
sum atoria X (m ayúscula de la letra sigm a griega, correspondiente a la s de nuestro 
alfabeto) de la siguiente forma:
100
5.00 ~ 'L ak
*=i
Esta expresión se lee así: sumatoria desde k = 1 hasta 100 de la sucesión ak.
El uso de la letra k en la sum atoria anterior es arbitrario, pudiéndose utilizar 
otras letras:
100 100
I a¡ ó ¿ a ,
i=i t=i
son otras formas de expresa)' la sum a de los términos de la misma sucesión.
Tenemos por tanto que la sumatoria
¿ X (m < n)
k ~ m
es una form a de expresar la suma de los términos de una sucesión, términos que se 
obtienen dando a la variable ¡k valores enteros comprendidos entre dos límites 
escritos en la parte inferior y superior del símbolo X de sumatoria.
Los límites m y n reciben el nombre de índices de la sumatoria.
Ejemplos:______________________________
20
i20
a) X 2 * = 2 ' + 2 2 + 2 3 + ........+ 2 2
k=\
10 1
+ H----
, ^ 2 Í + 3 2 3 13
lu 1 1 1
b r y — = i + - + -
c) (21 + 1) = 1 + 3 + 5 + .........+ (2n + 1)
í=0
SUM ATORIAS 1 3 9
Algunas propiedades de las sumatorias
1) Si c es una constante y ak una sucesión, entonces
n n
X c a *
<3
HoII
*=1 *=1
(I)
En efecto:
£ c a k = c a i + c a 2 + c a 3 + ....... + c a n
*=i
= c ( a , + a2 + a 3 + + an)
= c ± a k
k=I
2) Si c es una constante, entonces
' £ c = ( n - m + l)c
k-m
y, en particular,
X c = wc
*=i
En efecto:
£ c = c + c + c + .......+ c = nc
¿=i ' v '
(II)
3) Si a* y ¿i- son sucesiones se cumple que
X K + b k ) = X a* + X ^
¿=i * = I k = l
En efecto:
(III)
X(«*+M ==(«1 +^)+(«2+^2)+(«3+^)+ + K + M
- ( a , + a2 +ci3 + ....... + a„ ) + (¿>, + b 2 + b3 + ........ + bn )
= Í a k + ± b k
k=i ¿=i
Esta propiedad es válida tam bién para el caso siguiente:
> n n n n
X K +c)= X a* + X c=m:+X aA
k=1 ír = l A = l A = 1
1 4 0 SUM ATORIAS
4) Si m < p < n. entonces
5)
En efecto:
En efecto:
/' /> n
nW
X "< (IV)
k = n¡ k — tn k =p+1
n
5 X =r»„, + a m+l +••• ’ + ll,> + a r +1 + ¿V '2 + '
k = in #/V
X";
k-
n w + />
X « . = 1 “L -, (V)
k - m k - n i+ f )
n
T ük = a.n +6i»n + .. . • + f l „
t a.
k~m
Por otra parte
11 +p
¿ L í¿í4 -/> ' a I I I + / > - / > a n t + i> + I - p
k -111 + ¡I
+ f an+p-p
~ am + fl#»i + ! + " +Üi,
Ejercicios que implican el uso de sumatorias 
Desarrollo de sumatorias
A continuación aparecen algunos ejem plos ilustrativos de desarro llo de 
sum atorias. Se utilizan, en lo posible, las propiedades anteriorm ente enunciadas 
cuando ayudan a sim plificar los cálculos.
7
n I O i - 4 )
U tilizando la propiedad 111:
U tilizando la p ropiedad I en 
la p rim era s u m a to ria y la 
propiedad IIen la secunda:
= X 3 ¡ - X 4
= 3 ¿ / - ( 7 - 2 + 1 ) 4
D esarrollando: = 3(2+3+4+5+6+7) - 24 
= 81 - 24 = f 31
SUM ATORIAS 1 4 1
5
k = 2
5
2> S ( 3 i t + 1)*-2
= (3 -2 + 1 )° + (3 -3 + 1)' + (3 - 4 + O2 + (3 -5 + 1)3 
= 1 + 10 + 1 6 9 + 4096 = 4276
3) £ ( 2 * + l ) ( - l ) ‘
k = 0 /
= 1 (—1)° + 3 (—l) 1 + 5 (—l) 2 + 7 ( - l ) 3 + 9 ( - l ) 4 + 11 (— 1 )5 
= 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 1 1 = | - 6 |
10
4 ) £ ( 1 0 0 - 1 0 * )
P o r las p ro p ied a d es I. II y 10
III: = 1 0 - 1 0 0 - 1 ( ) £ *
*=l
= 1 0 0 0 -1 0 (1 + 2 + 3 + + 10)
= 1 0 0 0 -5 5 0 = 450
5> £ ( k + 2 ) { 2 k + 3)
k = \
= 3 5 + 4 - 7 + 5 -9 + ........+ (n + 2)(2w + 3)
N ota: en e l caso de la sum a de los térm inos de una sucesión infinita, com o en el 
ejem plo anterior, no tiene sentido sum ar los prim eros térm inos que se 
desarrollan.
6> E i g 2 *
k = 2
= lg 2 2 + lg 2 3 + )g2 4 + lg2 5 + lg2 6 
= 1 + lg 2 3 + 2 + lg 2 5 + (lg2 2 + lg 2 3) 
= 1 + lg 2 3 + 2 + lg2 5 + 1 + lg2 3
= 4 + 2 lg2 3 + lg , 5
1 4 2 SUM ATORIAS
= t g ( - f ) + t g O + t g f + t g ^
P or la propiedad III:
= -V 3 + 0 + V 3 - V 3 = — V3
8) ¿ ( s e n - f + cos-*f)
*=-2
= X se n - T + S c o s ¥
k = - 2 *=- 2
= sen(-Tr) + se n (- -j) + sen 0 + sen f + c o s ( - f ) + c o s (- f ) + eos 0 + eos f
El segundo y cuarto térm inos 
se e lim in a n e n tre sí. -El 
p r im e ro , te rc e ro y q u in to _ „
térm inos son nulos: z c o s 4
= V 2 + 1
C Ejercicio 31
D esarrollar y calcular el valor (si se trata de la sum atoria de una sucesión 
finita) de las siguientes sumatorias. Utilizar, cuando se pueda, las propiedades de las 
sumatorias para simplificar el proceso.
1) i *
k = 0
8) ¿ ( * - l ) ( * + 2)
*=3
15)
k = Q
» m r
9) 1
+ 16) ¿ ( 2 0 - 2 * ) ( - l ) ‘
k = ()
7
£ ( 2 * - 4) 10)
k=- 2
17) ¿ ( * + 3 ) ( - l ) ‘
k = - 2
( í ) ¿ ( 2 * + l) ' 11) í ^ - k )
k=-3
18) ¿ a + 5 )
¿=0
5)
k=2
12) ¿ ( * 2 + 3 * - 7 ) 
* = -1
19) Í « + d 3
* = l
6) í ^ 1
k = 0 Z
13)
2
¿ ( 3 / t 3 + 5A:2 -E A: - 3)
k = - 3
20)
«+3
5 > 2 - 7 )
*=4
4
7) 2 > ’+ 3 ) 2
k = - 3
14)
¿ 3fc2 -5 fc + 9 
¿ 2 2 * - l
21) X ( 2 * + 3)2
k = -2
SUM ATORIAS 1 4 3
22) ”¿ ( * 2 - 2 * - 5 ) 2
*=0
23) ¿ l g 2(* + l ) '
k= 0
24) ¿ l g 2'2 *
25)
*
27>
É < 1 0 0 - * ) ( - l ) ‘
*=0
29) I ( sen* x + eos* jc I
28) lgs
2
5
*=0
30) X ^ T - 
*=o
31) ¿ ( s e n f + c tg 3 f)
* = 1
3
32) £ eos 2 kn
33) S t g 2 ^
* = - 2
34) X [ sen2
*=-!
6 ■
35) S sen
* = 1.
36) lg2-V 3
- e o s
Jk(—1) jt + ( -1 ) eos (*-!)*
l o o s f
k-~2
37) 2 í ( c i s “ )
k=- 2 
6
38) X [ ( C is« ) 4 A - C is ( 3 - i t ) « l
*=i
39) ¿ [ ( C i s a ) 2" ‘: - ( C ¡ s « ) |- i l ( - l ) ‘
*=0
40) ¿ [ l g 2(* + 2) + c o s £ ]
* = - |
41) lg2 ¿ c o s f + ¿ se n T
42) ¿ 2 * ( l - s e n f )
*=o
*=0
Desarrollo de sumatorias dobles y triples
Las sumatorias múltiples se desarrollan a partir de la más interna.
Es de sum a im portancia reducir los prim eros desarro llos a su m ínim a 
expresión.
Ejemplos de desarrollo de sumatorias dobles:
9) i £ ( * + / - 3 )
k=0 í=1
D esarro llam os prim ero la 
sumatoria interna: = X [ ( * + l - 3 ) + (* + 2 - 3 ) + (* + 3 - 3 ) + (* + 4 - 3 ) ]
k= 0
= ¿ ( 4 * - 2 ) )
k=0
L44 SUM ATORIAS
P or las p ro p ied ad es 1, II y 
III:
Desarrollando:
10)
D e sa rro llan d o la su m ato ria 
interna:
E l terher paréntesis es igual a 
la unidad . P o r tanto:
P o r las propiedades II y III:
D e sa rro lla n d o las su m ato - 
rias:
E l p rim er co rchete se anu la 
p o r c o m p le to . S u stituyendo 
valores en e l segundo:
= 4 £ * - 3 2
. k= 0
= 4 (0 + 1 + 2 ) - 6 = [ T ]
¿ ¿ ( s e n ' * f + eos' f )
k = - 1 í= 0
= £ [(l + D + H f + c o s f ) + (sen2 J f + cos2 £ ) ]
k= -\
/
= ¿ ( 3 + s e n f + c o s f )
= 3 -3 + ¿ s e n ^ - + ¿ e o s kn
*=-1
= 9 + [se n (- f ) + sen 0 + sen f-] + [c o s(- ■§) + eos 0 + eos f 
= 9 + [ - sen j + sen 0 + sen -j] + [eos ~ + eos 0 + eos ~]
i i )
= 9 + :y - + l + -y
¿ ¿ ( * + «• + 3)
k=1 i=2
10 + V3
D e sa rro llan d o la su m ato ria 
interna:
3
= X [ ( * + 2 + 3) + (* + 3 + 3) + ....... + (* + n + 3)]
*=t
= ¿ [ ( * + 5) + (A: + 6) + ....... + (¿ + « + 3)]
k =i
V olviendo a desarrollar:
[6 + 7 + ....... + (n + 4)] + [7 + 8 + ........ + (n + 5)] + [8 + 9 + ........ + (n + 6)]
12)
D esa rro llan d o la su m ato ria 
interna: '
X X ( * + 0 *
k=21= 0
= ¿ [ o + {k + l) + {k + 2 )2 + (k + 3)3]
k=2
SUMATOR1AS 1 4 5
= ¿ ( 6 * + 14)
k=2
V olviendo a desarrollar: 26 + 32 + ....... + (6/7 + 14)
( Ejercicio 32
D esarrollar las siguientes sum atorias dobles y calcular su valor si se trata de 
sucesiones finitas:
2 3 5 2
f e
1 2 £ ( * + ¿ + 2)
k=0i=l
14) 2 2 0 - 0 * '
k=\ 1=0
.2 )
*=l Í=0
15) ¿ í ( 3 i - 8 ) ‘ +2
*=-2 i=3
3) X t ( 2 ^ - f - l ) i - f
*=2(=0
16) ¿ ¿ ( * + <)2’ '
k=0 í=l
4) ¿ ¿ ( f c + í + i ) * ' 
1=1 *=-1
17) Í ¿ [ l g t (2¡ + 2) + c t g f ]
A-=2 1=1
5) i i c o s *
k=0 1 = 1
18) ¿ ¿ [ l g a ‘' + s e n i á + (-lV
¿=0 Í = 1
6) ¿
¿=-i /=i
19) í i ( * + o *
i=2 Jfc=—1
7) ¿ ¿ ( s e n ' M + c o s 'M ) 
*=-11=0
20) ¿ ¿ ( 2 * + < - l ) ‘
A =0 i=2
8) ¿ ¿ ( s e c ' M - . g ' f ) 
A = l i=-I
21) i ¿ ( 2 ¡ - 7 ) ‘
1=0 A:=0
9)
4 4
2 2 f e *
k = 2 1=2
22) ¿ ¿ ( 3 i - 2 * + 4 ) ‘
i=-l A=0
10) ¿ ¿ [ l g t ( 2 ¡ - l ) + ( - l ) ‘ lg* 2.1
A:=2 i=\
23) t ¿ ( * - í + i )
/= 3 ¿ = 2
11) 2 2 ,g a*(*+ 3 )
A=1 i= —2
24) ¿ ¿ ( ( . • - 2 , + 5)i- i
A=2 /= 3
12)
100 2
I S f e ' g f
* = 2 i= l
25) ¿ ¿ [ s e n 1 (2% "n + s t n k <2Í
* = 1 Í=1
13) 2 2 0 - 0 *
*=-1 /=2
1 4 6 SUMATORIAS
Ejemplos de desarrollo de sumatorias triples:
3 I 2
D e s a r r o l la n d o la s u m a to r ia _3 
m ás in te rna :
k = \ ¡ = - i
13) i x n a + * y
k~\ / = - ! f= 0
= 1 £ [ l + ( 2 * +I')+(2<. + ¡)2]
D e s a r r o l la n d o la s u m a to r ia 
in te rn a :
= ± { [ l + 2 k - \ + ( 2 k - 1)2] + [l + 2k + (2 ¿ )2] + [l + 2k +1 + {2k + 1)2]}
E fe c tu a n d o y re d u c ie n d o té r- 3 / 2 \
m in o s se m e ja n te s : = / 112Ar“ + 6& + 51
k = l
A p lic a n d o las p ro p ie d a d e s 1, 3 3
II y n i : = 1 2 ] T r ,+ 6 £ ¿ + 3 - 5
k = 1 *=1
= 12 (1 + 4 + 9 ) + 6 (1 + 2 + 3 )+ 1 5 
= 168 + 36 + 15
219
100 3 2
l4) s I X M p +0
, = 4 0 r= l
D e s a r r o l la n d o la s u m a to r ia 100 3 . _
m ás in te rn a y s im p lif ic a n d o : = Y , (eos + ¿ ) + [C O S + ¿ )
í~ 4 k= 0 '
100 3
= X X (c O S -y- + COS y p + 2í)
V ...
D e s a r ro l la n d o la s u m a to r ia 
in te rn a :
100
= X [ ( l +1 + 2/) + (eos-y + cos-y + 2/j + (eos ~ + cos 4 - + 2/) + (eos n + COS 27T + 2íjj
i " 4
S u s t i tu y e n d o to s v a lo re s de 
la s e x p re s io n e s tr ig o n o m é tr i­
c a s y r e d u c ie n d o té r m in o s 
sem e jan te s :
100
= 2 ( 1 + 8.)
i= 4
P o r la s p r o p ie d a d e s I , II y 100 100
= 2 i + 8 2 '
/= 4 /= 4
SUM ATORIAS 147
( 1 0 0 - 4 + 1 )1 + 8 (4 + 5 + 6 + + 100)
97 + 8 (4 + 5 + 6 + ........+ 100)
L o s n ú m e ro s de* p a ré n te s is 
(o rin a n tin a ¡¿i o p re s ió n a r i t ­
m é tic a u e 97 té rm in o s c u y a 
s u m a c a lc u la m o s p o r la c o ­
n o c id a fó rm u la :
5 =
(«¡ + « „ >
S<i 7 =
_ (4 + 100)97
S91 = 5044
.S u s titu y e n d o : - 97 + 8•5044 = 40449
C Ejercicio 33
D esarrollar las siguientes sum atorias triples y calcular su valor si se trata de 
sucesiones finitas:
>0 X X ¿(<+<+*)
k~~-\ í=-I /=()
 s
á r - E ¿ ¿ ( 2 t + r - 3 i )
/= -! A=3 /=2
« ) ¿ X X(2í+0* ;
 7 = - l r = - l A=!
4 > X X X [ ( + (“ 1)1 s e n '* 1 a
A=-l /=() 7 = 1 •
5) 2 , Z S [ í + I g*(¿+ 5)]
A=2 /=() i=-4
6) É Í ¿ í ' g"
k-2t-\ i = l
7> £ X X í g / ^ + o
A =2 /=-I i'=-2
8) X Í Í l * f ( r + S)
f=-4 k=0 i'=2
9) X Í X c t g ' ^ '
A =- | í = 2 7>0
5 0 2
>») X X ! ( < + * - 1)'*
1=4 k = -2 i=0
.(A+2)/.
' ! ) X X ¿ 2 ' ( l - s e n ^ )
/-O A=~l ¡M)
12) X X X ( ' + « » ¥ ) '
/=() A = -1 /=()
I3 > X X hs2(2 + kl)¡
7=0 A = -l 7=0
■4) x x x ( cos“ +3 ')
7=—7 A =0r = l
95 -I 3
15) X X E ( 2 r + 7 + 2i)
7=—2 A =-3 7=0
148 SUM ATORIAS
Cambio de índices de sumatorias
La propiedad (V) de las sumatorias nos perm ite cam biar a nuestra convenien­
cia los índices de una sumatoria. Hay que tener tan sólo en cuenta que la cantidad 
que se le suma o resta a ambos índices en el sím bolo de sum atoria debe restársele o 
sumársele respectivamente a la variable en el término general de la sucesión.
Ejemplo 15___________
7
Dada £ ( k + 5),
k= - 3 ,
cambiar los índices para que la sumatoria com ience a variar desde 1.
P ara q u e e l ín d ic e in fe r io r d e 
la s u m a to r ia se a 1, h a y q u e 
su m a rle 4 u n id a d e s , c a n tid a d 
q u e se le s u m a ta m b ié n a l ín ­
d ic e s u p e r io r y se le res ta ' a 
la v a r ia b le e n e l té rm in o g e ­
nera l d e la su ces ió n :
Ejemplo 1 6 ____________________________
45
Dada £ ( 3 * - 1 7 ) ,
k=5
cam biar los índices para que la sum atoria com ience a variar desde cero.
R e s ta m o s 5 a c a d a u n o d e 
lo s ín d ic e s y s u m a m o s 5 a la 
v a r ia b le e n e l té r m in o g e -
4 5 - 5
X [ 3 ( * + 5)
* = 5 - 5
- 1 7 ]
40
X ( » - 2 )
A=0
Eiem plo 1 7_____________________________
34 46
Dada ]T £ ( 2 f c - ¿ + 18) ,
• k~-5 i= 7
cambiar los índices para que la sumatoria com ience a variar desde 1.
S u m a m o s 6 a lo s ín d ic e s del 
p r im e r s ím b o lo d e s u m a to r ia 
y r e s ta m o s 6 a la v a r ia b le k
7 + 4
= X ( * - 4 + 5)
A'= - 3 + 4
X ( * + i )
A = 1
SUM ATORIAS 1 4 9
en el término general.
P or o tra parte , restam os (r a 
los índices del segundo s ím ­
bolo y su m am o s 6 a la va­
riab le i en el Iprm ino g en e­
ral: 3 4 * 6 4 6 - 6
= I S [ 2 ( * - 6 ) - ( ¿ + 6) + 18] =
* = - 5 + 6 ( = 7 - 6
4 0 40
X X ( 2 * - f!
*=li=l
Ejemplo 18
n+ 6 h - 4
; ' Dada, £ X ( 7* “ 50)
* = 7 /= - 4
2 - i
cam biar los índices para que la sum atoria com ience a varia r desde cero.
R estam os 7 a los índices del 
p rim er sím bolo de sum atoria > 
y sum am os 7 a la variable k ■ 
en e l té rm in o general. A d e­
m ás. su m am o s 4 a los indi- ’
c e s d e l s eg u n d o s ím bo lo y 
restam os 4 a la variable i en 
e l térm ino general: íj+ 6 - 7 í i - 4 + 4
= £ £ [7(A + 7 ) - 5 0 ]
* = 7 - 7 < = -4 + 4
2—(f—4)
£ 1 ( 7 * - O
k= 0 /=0
6-/
( Ejercicio 34
C a m b ia r conven ien tem ente los índ ices para que las s iguientes sum atorias 
com iencen a variar desde cero:
i ) Í £ ( * + ¡ - i )
*=3í=-2
* -3
7
5 n
2) £ 2 ( 2 A + 3, - 1 0 ) 2- ¿
* = - 2 ;= 5
3) £ £ ( * + 1 -1 )!
* = - 3 i= 4
*+ 3
2 d+ 3 n - 3
4 > £ £ £ ( 2 A - í + 31 + 25)
* = - 5 i= 3 i= - 4
5) ¿ ( * + l ) ( 2 * - l )
*+i-i'+6
* = 2
0 '6 e k+ 3
6» I £ 7
* = - 3 /= 3 ( i - 3 ) ‘
7) X ( 6 - * ) ( 3 * - 2 )
* = 3
8) X X ^ - w p - , ) ,
* = 2 i= - 4
9) X ( 5 ~ k ) ( 4 k - 5)
* = 2
10) ¿ ¿ 2 * - 3 tg ( 2 - / ) x
* = 2 í= - 3
n ) £ £ ( .g f c v ) 2- '
* = - 3 1 = 2
12) £ £ ( 2 ¿ —3 /- 1 3 )
*=2 /=—3
1 5 0 SUMATORIAS
Utilización del símbolo de sumatoria para expresar la 
suma de los términos de una sucesión
Efectuarem os este proceso de una form a más bien intuitiva. Sin embargo, las 
siguientes-consideraciones nos pueden facilitar la tarea:
1) Conviene fijar desde el principio el lím ite o índice inferior de la sumatoria. 
La experiencia nos ayudará a hacer la elección más conveniente.
2) En una m ism a sucesión pueden existir cantidades que varían en distinta 
forma. Cada una de esas series de números se procesa por separado.
3) Si los números de una serie crecen siempre en k unidades, la variable en el 
térm ino general estará multiplicada por k.
Por ejemplo, en la suma
5 = 5 + 1 1 + 17 + 23 + .....
los núm eros crecen siem pre en 6 unidades. Si elegim os cero com o lím ite inferior, 
podríamos expresar esa suma de la siguiente forma:
■ S = ¿ ( 6 * + 5)
k=0
H em os corregido el térm ino general añadiéndole 5 unidades para que, al 
tomar la variable el valor cero, se obtenga el prim er sumando de 5.
4) Si los núm eros de una serie decrecen siem pre en k unidades, la variable en 
el térm ino general estará multiplicada por -k.
Por ejemplo, en la suma
5 = 90 +83 +76 + .....
los núm eros decrecen en 7 unidades por vez. Si elegim os nuevam ente cero com o 
lím ite inferior, tendremos que
S = ¿ ( 9 0 - 7 í r )
k =0
N uevam ente hicim os una corrección sum ándole 90 unidades a la variable 
para que, al tomar ésta el valor cero, se obtenga el primer sumando de la serie.
5) Si los signos de los sumandos son alternadam ente positivos y negativos, el 
término general estará m ultiplicado por (-1)* o por ( -1 )Á+I.
Por ejemplo, en la suma
5 = 5 - 9 + 1 3 - 1 7 + .....
el valor absoluto de los sum andos va creciendo en 4 unidades por vez y los 
sum andos son alternadam ente positivos y negativos. E lig iendo 1 com o lím ite 
inferior, podemos expresar la sum a de esta forma:
. S = ¿ ( 4 * + l ) ( - l ) ‘ n
k = \
Se ha m ultiplicado el térm ino general por ( - l / + 1 pues, para que e l prim er
SUM ATORIAS 15 1
sum ando sea positivo , e l exponente de ( -1 ) debe ser par, cosa que se logra 
sumándole una unidad al límite inferior, que es impar.
Si la suma hubiese sido, en cambio,
S = - 5 + 9 - 1 3 + 1 7 - .....
expresada mediante una sumatoria sería:
S = ¿ ( 4 * + l ) ( - l ) 4
k = 1
con lo que se obtendría que el prim er térm ino fuera negativo.
6) Si en todos los térm inos de la sum a hay alguna cantidad que perm anece 
constante, esa cantidad no debe ser expresada con una variable. '
Sea, por ejemplo, '
S = 2 3 • 52 + 2 4 • 7 2 + 2 5 • 9 2 + 26 • 112 + .......
En esta sucesión van variando el exponente del prim er factor (en una unidad 
por vez) y la base del ségundo factor (en dos unidades por vez). En cam bio, la base 
del prim er factor y el exponente del segundo son constantes. La sum a, expresada 
mediante sumatoria, podría ser:
S = ¿ 2 * ( 2 * - l ) 2
k = 3
7) Si la sum a tiene un núm ero finito de sum andos, el lím ite superior de la 
sumatoria se calcula al final, com o se ilustra en el siguiente ejemplo:
„ 6 13 20 27 510
S = ------+ --------+ ----------+ ----------+ •
9 - 4 17 9 25-14 33-19 585-364
El num erador crece 7 unidades por vez. Los factores del denom inador en 8 y 
5 unidades, respectivamente, por vez. Tomando 1 como límite inferior, tenemos:
5 - V l k ~ l____
f i ¡ (8 * + l ) ( 5 * - l )
P ara determ inar el lím ite superio r igualam os una cu a lq u ie ra de las 
expresiones del térm ino general con su correspondiente en el últim o térm ino. Por 
ejemplo,
7A: — 1 = 510
7 * = 5 1 1
¿ = 7 3
Igual resultado hubiéram os obtenido con cualqu iera de estos otros dos 
planteamientos:
8 ¿ + 1 = 5 8 5 ó 5 k - 1 = 364 
En definitiva, podem os.expresar la suma así:
* 5=£ ZLli---
£ ( 8 i + l ) ( 5 * - l )
1 5 2 SUM ATORIAS
( Ejercicio 35
Expresar mediante sumatorias las siguientes sumas:
1) 5 = l + 2 + 3 + 4 + 5 + .......
2) 5 = 2 + 4 + 6 + 8 + .......
3 )" 5 = l + 3 + 5 + 7 + .......
4) 5 = 3 + 6 + 9 + 12 + .......
5) 5 = 4 + 7 + 10 + 13 + .......
6) 5 = 2 + 5 + 8 + 1 1 + ........
7) 5 = 2 + 4 + 6 + 8 + ...........+ 500
8) 5 = 4 + 7 + 10 + 13 + .......+ 271
9) 5 = 1 + 6 + 11 + 16 + ........+ 756
10) 5 = 100 + 99 + 98 + 97 + .......
11) 5 = 50 + 49 + 48 + 4 7 + ....- 1 5 0
12) 5 = 1 0 0 + 98 + 96 + 94 + .......
13) 5 = 250 + 243 + 236 + 229 + + 40
14) 5 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - .......
15) 5 = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + .......
16) 5 = 2 - 4 + 6 - 8 + ........
17) 5 = 2 0 0 -1 9 8 + 1 9 6 -1 9 4 + ........
18) 5 = 1 -2 + 3 - 4 + ........ - 1 0 0
19) 5 = l- 2 + 2 -3 + 3 -4 + 4 -5 + ........
20) 5 = l- 2 -3 + 2 - 3 - 4 + 3 -4 -5 + 4 - 5- 6 + .........
21) 5 = 2 . - 4 - 3 - 5 + 4 - 6 - 5 - 7 + .........
22) 5 = - l - 2 + 2 - 3 - 3- 4 + 4- 5 + ......... + 50-51
23) 5 = l - 2 - 3 + 2 - 4 - 6 + 3 -6 -9 + 4 - 8 1 2 + .......
24) 5 = 1 - 3 - 5 - 2 - 5 - 9 + 3 - 7 - 1 3 - 4 - 9 - 1 7 + ........
25).......5 = 1-100 + 2 •9 9 + 3 •98 + 4 •9 7 + .......
^ „ 1 2 3 4 180
26) 5 = - + - + - + - + .........+ ------
2 3 4 5 181
1 4 7 10
27) 5 —---------------- 1........................ 1-........
2 -3 3 -5 4 - 7 5 -9
-ov r 2 3 34 4 5 56
28) 5 — —y H— t H— ¡"I— r + .........
3 4 .5 6
„ 50 492 483 474
- 9 ) S - 4 ,o 5 9 + 6 s ? 7 + ......
SUM ATORIAS 1 5 3
1 -2 J • 5J 2 - 3 J -6‘+ 3 -4 -7 4 -5
32) -.5 = l + V 2 + ^ / 3 + V 4 + .......
33) 5 = tg 3 A - tg 4 .t + t g 5 A - t g 6 x + ........
34) S = tg x + sen 2 x + tg 2x + sen 3x + tg 3x + sen Ax + ........
35) 5 = sen x + cos I x + sen 2x + cos 6 x + sen 3 x + cos 5x + •
36) S = lg2 (x + 5) + lg3(* + 6) + lg4(x + 7) + lg5(* + 8 )+ • • ■
: 37) S = v 7 + V 8 + V9 + 3/ÍÓ + VTT + V Í2 + 1 3
oox o 5 12 19 278
38) S —--------1-------- h -------- — + •
;-2 13 6 1 8 - 1 0 2 0 3 - 1 5 8
3 9 ) * A _ Z Z _ + ^ L + 1 0 0
40)
5 - 1 1 1 - 8 1 7 - 1 5 3 6 5 - 4 2 1
5 = _ lg 2 6 0 + lg 2 _ 5 8 _ 1 ^ 5 6 + ........_ J _
3 8 13 148
4 1 ) 5 o i + i & i + 2 + . . . ; . + «
3 4 5 65
4 2 ) s = _ 1 00 - * + - ? ° ~ “ + .......
6 13 2 0 167
( Ejercicio 36
Ejercicios de recapitulación
En los siguientes ejercicios a„ y b„ son sucesiones.
20 30 15
1) Sabiendo que X a * = 3 ° y 9ue X ak = I 8» determ inar 'Yj ak .
*=10 *=16 *=io
100 100 I <M)
2) Sabiendo que = 28 y que X ^ * = 43 , calcular X , (4«* ~5¿>Á).
*=i *=i *=i
KM) ^ KM) , HM)
3) S abiendo que . )‘ = 50 , X ( ^ a) ~ = 30 y X a A^*= 4 0 , calcular 
100
X K + M " •
*=i
10 . 10
4) Sabiendo que X , a k = 12 » calcular X (8 “ 3íZ*) Y X | “T ” 10 ] •
* = ! * = l *=A 4
100 100
5) Calcular ^ sabiendo que X ~ ^ak ) = ^02 •
, *=io *=io
100 100
6) Calcular ^ b k sabiendo que X ( ^ * “ 5) = 16.
*=i *=i
• *=! * = 1 * = 1
100
1 5 4 SUM ATORIAS
7) Sabiendo que ' ^ l cik = 2 9 y X^a = 33 , calcular X(3íía ~3̂ a +4).
A=l A=l A=l
42 ' 42 42
8) Sabiendo que ̂ a k = S 4 y X ^ a = - 6 4 , calcular X ( ^ a A + ~^a + 3)-
A= 9 A = 9 A= 9
37 37
9) Sabiendo que X ( 3íía - 5) = 9 , calcular .
A= 5 A= 5
21 21
10) ^S ab ien d o que ^ ( 4 « A- 7 ) = 215 y que X ( ^ a _ 8) = 180, ca lcu lar
A = 7
% ( 2 c t +3bk - n ) .
A=7
10 25 30 30
11) Sabiendo que ]T íía = 5 5 , ^ a k = 2 1 0 y ak = 465 , calcular X ak
k = \ A = 11 A = l A = 26
Z ' 5 10 10 5
/ 12) Sabiendo que ^ ak = 4 8 , X ttA= ^ 8 y ^ a k.= 143, calcular X a A-
' - . " A =0 ' A = 3 A =0 A=3
9 9 13 13
13) Sabiendo que X flA = 315, 2 rtA= 1 4 5 y é/A = 2 0 7 , calcular ^ .
A = l A= 5 A= 5 'A = I
9 18 14 9
14) Sabiendo que ^ o k = - 2 , X a A- 3 = ^0 Y X a *+i = 65, calcular X a A -
A=3 A= 9 A =2 A=6
15) Si a„ es una sucesión en la que ak = ak_, Eara cualquier valor de k y
50
^ a ¡ = 100, determinar a„.
¡=i
n
16) Si «„ es una sucesión, dem ostrar que - «A_ |) = - a l .
A = 2
iooo 2
17) Calcular / , —y------ (Sugerencia: separar el térm ino general en fracciones simples y desarrollar).
k = \k~ + k
500o oo i
18) Calcular X - 2 -
A=2^ “ I
400
19) Calcular £ —
1
¿tío *■ ~ 1 ** + 30
_ 2 ¿ 2 + 6 á: + 6
20) Calcular V —¡------- s y-------
^ +1 \k + 6k
Resolver los siguientes sistemas:
21 )
¿ ( /c * + y) = 55
A = l 22)
£ ( k x + y) = 98
A = l
X (- t + Av + l) = - 7
t=3
8
X ( 2 — ky - 9) = 28
A- = l
SUM ATORIAS 1 5 5
2 3 )
ii
£ ( * + * } --6 ) = 1 4
1=4
7
X [ 3 * - ( 2 f c + l ) y + 5] = 72
¿ ( * + * y - 4 ) = 20
k=4
6
' £ ( x y + k) = 30
k=2U=2
200
i k 2 +?>k+]=lki + l k 2 +3k + \ ) - k > =2 5 ) C a lc u la r ^ 3 ¿ 2 + 3 & + l ) . S u g e r e n c ia :
k = 1
= (k + 1)'1 - A3. Sustitu ir y desarrollar.
1000
26) Calcular £ ( 2 k + \ )
k = 1 
30
27) Calcular- X ( 4 ¿ 3 + 6* 2 + 4Jt + 1)
k =I 
301
• 28) Calcular £ ( - 2 ¿ + l)
k=2
200
29) Calcular £ 4 *
*=2 
999999 / i \
30) Calcular £ l g 1 + -
*=i ^
4096 / .
31) Calcular
* = 3
32) Calcular X ( -
í =oV
k
k2
*=o^ ^
\k
33) Calcular { —
tc= (A 2
45 100 100
34) Sabiendo que ^ ( 2 & - l ) + ]T (2 ¿ - 1 ) = 10, determinar ]T(3& + 2).
k=1 ¿ = 4 6 * = l
20 4 0 54
35) Sabiendo que ^ ( 3 ¿ - l ) + X + 2 ) = 315, determinar ^ ( 4 / c - 5 0 ) .
k= i A=21 * = 15
22 55 42
36) Sabiendoque ^T(2fc + 3) + X ( 2^ “ ^) = l^O, determinar ]T(3/c + 20).
k= -2 *= 31 i = - 7
10 13 22
37) S ab ien d o que ] T ( 3 £ - 1 1 ) + £ (3 fc + l) + £ ( 3 ¿ + 4 ) = 2 2 , de term inar
k=4 t = 8 ¿ = 11
30
1 ( 2 * - 1 1 ) .
k= 6
156 SUM ATORIAS
INDUCCION COMPLETA
El ser hum ano utiliza su habilidad de razonar, su lógica, de dos formas 
distintas. A veces aplicando a casos particulares leyes o proposiciones generales 
conocidas. Es el caso del silogismo. Un ejemplo de silogismo podría ser éste:
Todos los seres humanos son mortales , ,
. . Pedro es un ser humano;
por lo tanto, Pedro es mortal.
O tras veces se pasa de casos particulares a proposiciones generales: de la 
observación de un fenóm eno que se rep ite reiteradam ente , se saca una ley o 
generalización. Es el ca.so de una persona, por ejemplo, que en varias oportunidades
conoce a ciudadanos chinos que lo tratan con mucha cortesía y saca esta conclusión:
"Todos los chinos son corteses".
A pesar de que este últim o modo de razonar puede originar errores, la gene­
ralización es una form a usual de razonamiento en el campo de las ciencias y muchas 
de las grandes leyes científicas nacieron de la observación de casos particulares.
En nuestro lenguaje ordinario hablam os de deducción en cualquiera de las 
dos form as descritas de razonamiento: en el prim er ejem plo se deduce que Pedro es 
mortal; en el segundo, se deduce que los chinos son corteses.
En m atem áticas estos procesos reciben nom bres diferentes: la aplicación de 
una proposición general a un caso particular recibe el nom bre de D e d u c c ió n ; la 
generalización derivada de la observación de casos particulares recibe, en cambio, el 
nombre de Inducción.
En m atem áticas tam bién se usa con frecuencia la inducción. V eam os, por 
ejemplo, cóm o determinamos, al estudiar las progresiones aritméticas, la fórm ula del 
término general: 1
Sea la progresión 1, 4, 7, 10, 1 3 , de razón r = 3
O rdenem os en colum na los térm inos de la progresión y notemos la 
form a en que puede'descom ponerse cada uno de ellos:
a. = 1 =1 = a x
a , = 4 - 1 + 1-3 — a¡ +1 ■ /•
¿ < 3 = 7 = 1 + 2 - 3 = a¡ +.2 r
c<4=10 = 1 + 3 -3 = a, + 3 r
= 1 3 = 1 + 4 - 3 = a, + 4 r
1 R eproducim os una parle de la pág. 239 de nuestro libro Selección de Temas de Matemática 4.
INDUCCION COM PLETA 1 5 7
S igu iendo este p roceso podem os 
calcu lar cualqu ier térm ino.
P b r lo tanto
G eneralizando:
an = 1 + ( « - ! ) 3 = a, + (n - l ) r
a„ = a } + ( n - \ ) r
La deficiencia de esta dem ostración es obvia: establecim os una fórm ula pata 
unos cuantos valores de n y sacam os inm ediatam ente la conclusión de que esa 
fórm ula era válida para cualquier valor entero de n en esa y en cualquier otra 
progresión aritmética.
Aunque en el ejem plo anterior la generalización hecha da por resultado una 
expresión cierta (como más tarde estarem os en capacidad de dem ostrar), el mismo 
niodo de razonar puede llevarnos a un error.
Véase, por ejemplo, el siguiente caso: al calcular los diez prim eros términos 
de la sucesión an = ( « - 1) 2 + n + 40 nos encontram os con que, curiosam ente, todos 
ellos son primos. En efecto:
a, = 41
a 2 = 43 ’ 
a3 = 47 
= 5 3 
a5 = 61 
« 6 = 7 1 
a 7 = 83 
« 8 = 9 7 
¿*9=113 
«io =
¿Podemoshacer ya una generalización? M ejor no precipitarse. Calculem os 
cinco términos más, por si acaso:
« , ,= 1 5 1
« 1 2 = 173
. «13 = *97
• a ,4 = 2 2 3
« 1 5 =251
Todos los núm eros que se obtienen son primos. ¡Pues no perdam os más 
tiempo! Saquemos nuestra conclusión:
Todos los términos de la sucesión an = (n - 1)" + n + 40 son p rim os
A cabam os, lam entablem ente, de sacar una conclusión falsa. N uestra 
generalización es errónea. Si calculam os 25 térm inos más, todos ellos serán primos. 
Pero cuando calculemos el término 41 tendremos:
1 5 8 INDUCCION COM PLETA
a 41 = ( 4 1 - 1)2 + 4 1 + 40 = 1681
que no es un número primo, pues 
1681 = 412
Alguno podría pensar: "La fa lla está en no haber comprobado suficientes 
casos. Si en lugar de verificar 15 términos, verificamos 100 o 200, no podremos 
equivocamos".
Tam poco esto es cierto: en la sucesión an = 991n2 +1 cualquiera sea el 
núm ero de térm inos que calculem os, nunca en nuestra vida encontrarem os un 
térm ino que sea un cuadrado perfecto, pues el prim er valor de n que produce un 
cuadrado perfecto es, nada menos, que ,
; ' « = 12055735 7 9 0 3 3 1 3 5 9 4 4 7 4 4 2 5 3 8 7 6 7 (!!!)
En la h istoria de la m atem ática nos encontram os con casos fam osos de 
errores de este tipo.
Fermat, matem ático francés del siglo XVII, afirm aba que todos los núm e­
ros del tipo
2 2" +1 »
eran primos. Su colega suizo Eulcr, del siglo X VIII, encontró que 
¿r +1 = 4 2 9 4 9 6 7 2 9 7 = 6 4 1 x 6 7 0 0 4 1 7 ,
es decir, un número compuesto. Fermat, pues, estaba equivocado.
Leibnitz, m atem ático y filósofo alem án del siglo XVII, dem ostró que, 
cualquiera sea el entero positivo n, el núm ero n - n es divisible por 3, el número 
n 5 - n es divisible por 5 y el núm ero n 1 - n es divisible por 7. Esta coincidencia lo 
llevó a pensar que, para todo k im par y todo n natural, la expresión n k - n era 
divisible por k. Posteriorm ente él m ism o constató la falsedad de esta suposición 
cuando encontró que 2 9 - 2 = 510 no era divisible por 9.
El matem ático D. A. Grave afirm aba que. para todo p primo, la expresión 
2 P_I - 1 no era divisible por p 2. Resultó ser falso: si p = 1093 (número prim o) la 
expresión 2 1092 - 1 sí es divisible por 10932 .
Después de estudiar estos casos, podríamos sacar la siguiente conclusión:
En matemáticas no se debe nunca generalizar
¡Esta generalización tam bién es errónea! La m atem ática cuenta con un 
poderoso instrum ento que perm ite com probar, sin lugar a error, si una generali­
zación es válida o no: es la demostración por Inducción Completa.
Esta forma matem ática de demostración com prende dos pasos:
1) Comprobar que una determinada proposición es válida para n = 1.
2) Demostrar que, si la proposición es válida para n = k , lo es también
para el siguiente valor de n, es decir, para n = k + 1.
INDUCCION COM PLETA 1 5 9
. Si logram os dem ostrar que de la validez de la proposición para un valor n 
se desprende su validez para el siguiente valor natural, habiendo ya com probado que 
la proposición es válida para n = 1, tenem os que concluir que lo es tam bién para 
n = 2, el siguiente valor de n.
Pero, nuevam ente, si la proposición es válida para n = 2, habiendo 
dem ostrado que entonces es válida también para el siguiente valor de n, tenemos que 
concluir que lo es también para n = 3.
Y, si es válida para n - 3, lo es también para n = 4, el siguiente valor de n.
Siendo válida para n = 4, lo es también para n - 5, etc.
Se establece así una cadena infinita, pues, sum ando una unidad por vez, se 
puede alcanzar cualquier valor natural de n..
De esta form a sí podem os afirm ar con todo derecho, y sin posibilidad de 
equivocarnos, que la proposición es válida para todos los valores naturales de n.
Podem os com parar la Inducción C om pleta con lo que sucede cuando 
disponem os las fichas-del dom inó en fila y a una distancia conveniente para que, si 
una ficha se cae, se caiga también la siguiente.
Si las p iezas se d ispo­
nen com o se ha dicho (Fig. 1-a), 
la ca ída de la p rim era ficha 
causará la caída de la segunda 
(Fig. 1-b). L a ca íd a de ésta 
causará la caída de la tercera y, 
como cada ficha al caer hará caer 
la siguiente, e l resu ltado final 
será (F ig . 1-c) que to d a s las 
fichas term inarán cayéndose.
Pero ¡cuidado! Para que 
el fenóm eno se produzca exitosa­
mente, es necesario que se cum ­
plan dos condiciones:
1) Que las fichas estén colocadas de tal form a que la caída de una origine la 
caída de la siguiente.
2) Que la primera ficha de la fila se caiga.
Si una cualquiera de estas condiciones no se da, o no se cae ninguna ficha, 
o sólo se cae una porción de ellas.
Veamos algunos ejemplos de dem ostraciones por Inducción Completa:
(a) (b) 
Fig. 1
(c)
Ej empJoJ-
Dem ostrar que 1 + 2 + 3 + + « =
n (n +1)
C om probam os que la p ro p o ­
sición es vá lida £>ara n = 1. 
E n efecto:
1 = 1(1 + 1)
1 6 0 INDUCCION COM PLETA
S u p o n e m o s q u e la p ro p o ­
sición es c ie rta para un valor
cualquiera n = k: , _ _ , k ( k + 1)
1 + 2 + 3 + k —----------- (a)
T enem os que dem ostrar, e n ­
tonces, que* la p roposic ión es 
vá lid a tam b ién p a ra e l s i­
gu ien te v a lo r de n , e s decir,
i + 2 + 3 + ....... + * + ( * + i ) = 2 ± M ± 2 > (b)
T o m am o s el p rim er m iem ­
b ro de la igualdad (b): 1 + 2 + 3 + ....... + & + (& + !)
S u s titu im o s los k p rim ero s 
té rm in o s po r su equ iva len te 
en la igualdad (a): '
w ± ! > + (* + o
Jt(* + 1) + 2(A: + 1)
(k + l ) ( k + 2) 
2
Partiendo del prim er m iem bro de la igualdad (b), y utilizando la igualdad (a), 
hem os obtenido el segundo m iem bro de la igualdad (b). Con esto acabam os de 
dem ostrar que, si la proposición (a) es cierta, tam bién lo es la proposición (b), es 
decir, que de la validez de la proposición para n = k se desprende su validez para el 
siguiente valor de n. Y, com o ya hem os com probado que la proposición es válida 
para n = 1, tenem os que concluir que la igualdad que teníam os que dem ostrar es 
válida para cualquier valor natural de n.
A ntes de seguir adelante con más ejem plos querem os subrayar el hecho de 
que el m étodo de Inducción C om pleta no tiene la finalidad de deducir fórm ulas 
m atem áticas sino la de dem ostrar si son válidas o no las fórm ulas que hem os 
planteado por otras vías o las suposiciones que hem os hecho por la observación de 
fenómenos recurrentes.
E j m p f a ?______________________________
c . l i l i iSea la sucesión a„ = , , , , ........, -----------------------
" 1-3 3 -5 5 -7 7 -9 (2 n - l) ( 2 # i + l)
N otem os q u e e l p rim er té r­
m ino de la sucesión se puede 
ex p resa r de la sigu ien te for-
_L = ! = _ L _
1-3 3 2-1 + 1
INDUCCION COM PLETA 161
L a sum a de los dos. prim eros
térm inos, asf: 1 1
+ ■
L a de los tres p rim eros té r­
minos:
1-3 3 -5 15 5 2 - 2 + 1
1 1 1 = 45 = 3 = 3
1 - 3 + 3 - 5 + 5 -7 105 7 2 -3 + 1
L a de los c u a tro p rim ero s
térm inos: 1 1 1 1 _ 140 _ 4 _ 4
r 3 + F 5 + 5^7 + 7^9_ 3l5 " 9 " 2 - 4 + 1
T o d o n o s in d u ce a p en sa r 
que e l fenóm eno se segu irá
rep itien d o pa ra la su m a d e /
los cineo , seis, siete, e tc ., tér-
m irtos y, en general, pa ra la
su m a de c u a lq u ie r n úm ero
de térm inos.
P lan team os, po r tan to , la s i­
guiente igualdad: 1 1 1 1 1
+ + + •
1-3 3 -5 5 -7 ( 2 n - l ) ( 2 n + l) 2n + \
P or Inducción C om ple ta p o ­
d em os a h o ra c o m p ro b a r si 
nuestra suposic ión es válida.
C om o ya verificam os q u e la 
ig u a ld ad es c ie r ta pa ra los 
valo res 1, 2, 3 y 4 de « , no es 
n e ce sa rio q u e v o lv am o s a 
c o n sta ta r que es válida para 
n = 1.
E s su fic ien te que dem ostre ­
m os q u e , s i la igua ldad es 
v á lid a p a ra n = k , lo e s 
tam bién para n = k + 1.
Para n = k tenemos:
T enem os que dem ostrar que, 
e n to n c es , e s to tam b ién es 
c ie rto para n = k + 1:
1 1 1 1 k 1-------+ ------- (-........ + ■ —---------- (a)
1-3 3 -5 5 -7 ( 2 k - l ) ( 2 k + l) 2k + l
1 1 1 1 | 1 = k + l
1-3 + 3 -5 + 5 -7 + ....... + ( 2 k - l ) ( 2 k + l) + (2k + l ) (2 k + 3) 2 k + 3
T o m am o s el p rim er m iem ­
bro de la igualdad (b):
S u s titu im o s lo s k p rim eros 
té rm inos p o r su equ iva len te 
en la igualdad (a):
1 1 1 ' 1 1 
+ + + •
1-3 3 -5 5 -7 ( 2 k - l ) ( 2 k + l) (2fc + l) (2 * + 3)
2 k + \ + (2k + l ) ( 2 k + 3)
1 6 2 INDUCCION COMPLETA
*(2fc + 3) + l
(2k + l ) (2 k + 3)
2 k 2 + 3k + l 
~ (2k + l ) (2 k + 3)
(2k + 2 ) (2 k + 1)
2
( 2 * + l)(2/fe + 3) 
_ Qfc + l)(2fc + l) 
~ ( 2 * + l ) ( 2 * + 3) .
' ' _ k + l
2 k + 3
Logramos dem ostrar, utilizando la igualdad (a), que la igualdad (b) es cierta. 
Esto significa que, si la igualdad es válida para n = k, lo es tam bién para el siguiente 
valor de n, es decir,' n = k +1. Y com o ya com probam os inicialm ente que existen 
valores de n que satisfacen la igualdad, podem os concluir que nuestra fórm ula es 
^ válida para cualquier valor natural de n.
Ejemplo 3______________________________
n
Dem ostrar que i ( i + 1)2 = -fe n (n + 1) (n + 2) (3« + 5)
i=i
L a igualdad que tenem os que 
d em ostra r se puede ex p resa r 
tam bién así:
1-2Z + 2 -3 z + 3 - 4 z + + n (n + 1)2 = -fen(n + l ) (n + 2)(3n + 5)
C om probam os q u e es válida
p a r a n - 1 : 1 • 2 2 = tV ' 1 • 2 • 3 • i12
21-2 = 4
S u p o n e m o s que e s vá lid a 
para n = k:
1 • 2 2 + 2 • 32 + 3 • 4 2 + ....... + k ( k + \ ) 2 = - fek (k + \ ) ( k + 2 ) (3k + 5) (a)
D em ostrarem os que , e n to n ­
ces . e s vá lida tam b ién para 
« = *+1:
1-2- +2-3 + 3 -4 + + k(k + 1)2 +(k + \)(k + 2) = ± ( k + l)(k + 2)(k + 3)(3k + 8) (b)
1 -22 + 2 - 3 2 + 3 - 4 2 + + k ( k + l ) 2 + (k + l ) ( k + 2 )2
T o m am o s el p rim er m iem ­
bro de la igualdad (b):
INDUCCION COM PLETA 1 6 3
S u s titu im o s ,lo s p rim ero s k 
té rm inos po r su equ iva len te 
en la igualdad (a): = k (k +1) (k + 2 )(3 k + 5) + (k + l ) ( k + 2 Y 
= (k + l ) ( k + 2 ) [ ± k (3 k + 5) + (k + 2)]
= (k + l ) ( k + 2)
7>k¿ + 5k + \2 k + 24
12
= ± { k + l ) (k + 2 )(3 k 2 + 17 k + 24)
= x ( t + 1)(, + 2 ) ( M ± W 8 )
-¿ ( ¿ + !)(*: + 2 ) (* + 3) (3 * + 8)
La proposición es, por tanto, válida para cualquier valor natural de n.
Ejemp h á -
Dem ostrar que
5-2-5 + 7-5-9 + 9-8-13 + + (2« + 3 )(3 /t-l)(4n + l) = - (3 6 n 3 + 140rc2 + 123n + l)
C om probam os q u e la p ropo­
sición es válida para n = 1:
5-2-5 = —(36 + 140 + 123 + 1) 
6
50 = — -300 = 50 
6
S u p o n em o s q u e es vá lid a 
para n = k:
5-2-5 + 7 5-9 + 9-8 13 + ......+(2* + 3)(3* - l)(4>t +1) = — (36A:3 +140*2 +123* + l) (a)
D em o strarem o s que . en to n ­
ces, e s válida tam b ién pa ra 
n = k + 1:
5-2-5 + 7- 5- 9 + 9- 8 • 13+•••■••+(2& + 3)(3k - l)(4fc +1) + (2k + 5)(3k + 2)(4k + 5) =
= - ^ Ü [ 3 6 ( f c + 1)3 + 140(ik + 1)2 + 123(vt + 1 ) + 1
T o m am o s el p rim er m ie m ­
b ro de la igua ldad (b ) y su s­
titu im os en e lla los k p rim e­
ros té rm inos po r su eq u iv a ­
lente en la igualdad (a):
- (3 6 * 3 + 140*2 + 123A; + 1) + (2* + 5)(3 k + 2)(4 k + 5)
(b)
1 6 4 INDUCCION COM PLETA
*(36jk3 +140* 2 +123k + 1)+ 6 (2 k + 5)(3 k + 2)(4 k + 5)
6
36* 4 + 140*3 + 123*2 + * + 6(24 *3 + 106*2 +135* + 50)
_ -
36* 4 + 284* 3 + 759k 2 + 811* + 300
U tiliz a n d o e l m é to d o de 
H om er, escrib im os el num e­
rador en térm inos de k + 1:
36 284 759 811 300
-1 -3 6 -248 -51 \ - 3 0 0
36 248 511 300 LQ
-1 -3 6 -2 1 2 -2 9 9
36 212 299 1 1
-1 -3 6 -1 7 6
36 176 1 123
H -3 6
36 i 140
_ 36(* + 1)4 + 140(* + 1)3 + 123(* + l)z +(* +1)
6
S acando , po r ú ltim o , fac to r 
com ún:
<* + l) [36(* + 1)3 + 140(* + 1)2 + 123(* +1) + 1]
L a proposición es, por tanto, válida para cualquier valor natural de n. 
( Ejercicio 37
Dem ostrar por Inducción Com pleta las siguientes igualdades:
1) 1 + 2 + 3 + + n = í í í ± l >
2
2) 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n + l)
1 + 3 + 5 h— + (2r»-l) = n 2
4) 4 + 8+12+*'— •+ 4 / i = 2n(n + l)
5) 2 + 6 + 10+- — f ( 4 n - 2 ) = 2n2
6) 2 + 7 + 12+- •—+ (5n - 3) = ~ (5 h -1 ) '
7) 1 + 4 + 7 + -- • •+(3n - 2) = ~ (3n -1 )
8) l+ 3 + 6 r i- -
n(n + l) n(n + l)(/t + 2)
2 6
9) 2 + 5 + 8 + - -+ (3 n - l) = -|(3« + l)
INDUCCION CO M PLETA 1 6 5
10) 2 + 5+ 1 0 + .....+(/i2 + l ) = ^ (2n2 +3n + 7)
11) 1 + 5 + 9 + + (4n - 3) = n(2rt -1 )
12) 5 + 11 + 17+......+ ( 6 / i - l ) = n(3n + 2)
13) 3 + 10 + 17+......+ (7 n -4 ) = j n ( 7 « - l )
14) 3 + 11+19+......+ (8n - 5) = n(4n -1 )
15) 1 + 11 + 21+......+ (lOn - 9) = n(5n - 4)
16) 1 2 + 3 4 + 5 6 * ......+ (2 n - l )2 n = n (n + ̂ K4n ~ 0
17) 1 - 3 + 3 - 5 + 5 7 + ......+ (2« - l) (2n + l) = in (4 n 2 + 6 « - l )
18) 1-2-3 + 2-3-4 + 3-4-5 + +n(n + l)(/i + 2) = ^ ( n + l)(n + 2)(n + 3)
• 19) 1-2 + 2-5 + 3-8 + ......+ n(3n - l ) = n2(n + 1)
20) 1-4 +2-9 + 3-14+ + n (5 n - l ) = }n (n + l)(5n + l)
21) 3-2 + 5-5 + 7 -8 + ......+ (2n + l ) (3 n - l ) = jn (4 n 2 +7n + l)
22) 1-5 + 4-9 + 7-13+......+ (3n-2)(4n + l) = {n (8n 2 + 7 n - 5 )
23) 1-1-1 + 2-3-4 + 3 -5 -7+ ......+ n {2 n - l) (3 n -2 ) = ±n(n + l)(9n2 - 5 « - l )
24) 1-4-1 + 3-7-5 + 5-10-9+......+ (2n - l) (3« + l ) (4 n -3 ) = i / i (3 6 « 3 +28n2 - 3 3 « - 7 )
25) 1-2-3 + 3-4-5 + 5 -6 -7 + ......+ (2n-l)2n(2n + l) = n(/i + l)(2n2 + 2 n - l )
26) l-n + 2 ( n - l ) + 3 ( n - 2 ) + + n - l = ^n(n + \)(n + 2)
27) l-2-n + 2 - 3 (w - l )+ 3 - 4 ( n - 2 ) + +w(n + l) - l = -yyn(n + l)(n + 2)(n + 3)
31)
32)
33)
34)
35)
1 1 1 1 n
1-2 2-3 3-4 n(n + l ) n + 1
1 1 1 1 n
1-4 4-7 7-10 ' (3n-2)(3 /i + l) 3n + l
1 1 1 1 n
1-5 5-9 9 1 3 ‘ (4h -3 )(4 k + 1) 4« + 1
1 1 1 n
a(a +1) (a + l)(a + 2) (a + n - l ) ( a + n) a(a + n)
1 1 1 1 n
2-5 5-8 811 ' (3 n -l)(3 n + 2) 6n + 4
1 1 1 1 n(3« + 5)
1-3 2-4 3-5 n(n + 2) 4(n + l)(n + 2)
1 + _ 1 , , 1 n(n + 3)
1 2 3 2-3-4 n(n + l)(n + 2) 4(n + l)(/z + 2)
5 + 6 n + 4 n(3n + 7)
1-2-3 2-3-4 n(n + l)(n + 2) 2(n + l)(n + 2)
1 6 6 I N D ^ e d O Ñ C O l ^ E T A
36) - J _ + - 2 _ + _ i - + + » -
37) X
1 3-5 3-5-7 5-7-9 (2 n -l) (2 n + l)(2#i + 3) 2(2* + l)(2n + 3)
j* n(n2 +6n + l l )
k{k + 1)(* + 2)(k + 3 ) " 18(n + l)(n + 2 )(n + 3)
■ 3 8 ) l » +V + 3’ + . . + , , » , » ( " + » ( * ■ + »)
6
39) l2 + 3 2 + 52 + .....+( 2 n - l ) 2 = n{2n- 1l (2n + l)
40) 22 + 4 2 + 6 2 + ... + (2n)2 = jn ( n + l)(2n + l).
41) l2 + 4 2 + 7 2 + .... + (3 n -2 )2 = ±n(ón2 - 3 n - l )
; . 42) . I2 ;+ 52 + 92 + •: • • •+(4n - 3)2 = } n(l6n2 - 1 2n - 1)
43) l2 - 2 2 + 32 - 4 2 + ......+ (—l)” 'n 2 = (-1 )n- 1 2 / 1 « ( « + ! )
44) (**>)
s
45) l 3 + 2 3 + 3 3 + .... + n3 = l n 2 (n + l)2
46) l4 + 24 + 34 + .... + n4 = ¿ n(n + 1)(2» + 1)(3k2 + 3n - 1)
47) l 5 + 25 + 35 + .....+ n5 = -¡Ln2 (n + 1)2 (2n2 + 2n - 1)
48) l 3 + 33 + 5 3 + .....+ ( 2 n - l ) 3 = n2 (2n2 — lj
49) 2 + 22 + 2 3 + .... + 2" = 2 n+l - 2
50) l 3 + 4 3 + 73 + .....+(3» ■- 2)3 = |n ( 2 7 « 3 - 18«2 - 9n + 4)
51) l + 3 + 32 + -•-•+ 3 ""1
5"+1 -1
52) 1 + 5 + 5 2 + + 5 " =
4
53) 2 -l + 3- 2 + 4 -22 + 5 -23 + .+ (n + l)2"_1 = n- 2"
54) 1-1 + 2-2 + 3-22 + 4 -2 3 + .....+ n-2"_l = ( n - l ) 2 '1
55) 1-3 + 2-32 + 3 -33 + .....+n-3n = (2 n ~ } ! l ----- —
4
1 1 1 1 1 156) — I— — s-+ H— — — 1— —
2 2 2 2" 2”
1 2 3 n n + 2
57) - + - T + - T + .....+— = 2 ------- —
2 2 2 2” . 2"
CON 1 ' 1 1 1 1 f , 1 158 ) 1 + —5"+ H---- - T 1— ~ |
3 3 3 3” 2 l 3" J
INDUCCION COM PLETA 1 6 7
59)
60) 
61)
. 3 i 5 f 7 2«4-l
l2 -22 22 -32 32 -42 «2(«4-l)2
1 7 ‘ 17 2«2 —1
l 2 -22 22 -32 32 -42 « 2(«4-l)2
3- 4 5 «4-2
1-2-2 2-3-22 3 -4 -23 «(«4-1)2'
!2 22 32 « 2 n
= 1 -
63)
1 3 3-5 5-7 
2-1 22 -2 23 -3
 4 - -f-----------
2-3 3-4 4-5
n - 1
(2«-l)(2«-fl) 2(2«+ l)
2 " • « »n+l -1(« + 1)(« + 2) « 4-2
64) 5¡f(2'4-3,') = 2"-l4-l(3n-l)
i=0
65) 14-64-244-844-....4-(4-3"-1 -3 2"_I) = 2(3” -l)-3(2n -l)
 ̂ , ' , v , n \2 a + (n ~ l ) r |66) o4-(a4-r)4-(íi4-2r)4-....4-[fl4-(«-l)r] = ~ ---------- -
2 . _ a -a r" _
1
67) a + ar + ar 4-.... 4 ar" =
68) ---- 4----- -
Igjr 2 ■ lgjr 4 lgjr 4 -lgjr 8
n ( n ' 2
69) S i
1 - r
4-....+ ■
íg ,2 " - '- l g ,2 n
= 1 - n i
n ; ig ^ 2
/=! V«=l
2 n¿.n • ¿n
’ O) S = 1, . , k mi= » + l m=l
71) (l4-24-34--:-4-r.)2=-i-rt2(«4-l)
( Ejercicio 38
1) Obsérvese que 14-^- = 2 - —
1 1 ^ 1 1H I = 2 ----
2 4 4
1 1 1 ^ 1 14---- 1----1— = 2 
2 4 8 8
Indúzcase la ley general y dem uéstrese por Inducción Completa.
2) Obsérvese que 1 = 1
1 - 4 = - (1 4 -2 )
1 . 4 + 9 = 1 + 2 4 -3 
1 - 4 4 - 9 - 16= -(1 4 -24-34 -4 ) 
Indúzcase la ley general y dem uéstrese por Inducción Completa.
168 INDUCCION COM PLETA
,3) Obsérvese que
44 
4X4)4
4X4X4H
Indúzcase la ley general y dem uéstrese por Inducción Completa.
4) Obsérvese que
1 2 = | l ( l+ l ) ( l + 2) 
l-2 + 2-3 = | - 2 ( 2 + l)(2 + 2) 
l-2 + 2-3 + 3-4 = |- 3 ( 3 + l)(3 + 2)
1-2 + 2-3 + 3-4 + 4-5 = ~ 4 ( 4 + l ) ( 4 + 2)
Indúzcase la ley general y dem uéstrese por Inducción Completa.
5) Obsérvese que
K ( " í )
I L
3 + 32 32
3 + 32 + 33 2 { 33
Indúzcase la ley general y dem uéstrese por Inducción Completa.
6) H allar la ley general que sim plifica el producto
... I - '
y dem uéstrese por Inducción Completa.
EjftrwtoS ;---------------------
Dem ostrar por Inducción Com pleta que para cualquier valor natural de n
32"+i + 2 n+2 = 7 ( 7 se lee "múltiplo de 7")
C om probam os q u e la p ropo - . •
sición es válida para n = i : 3 + 2 = 2 7 + 8 = 3 5 = 7
Suponem os que es válida . . . . . . •
3 + 2 = 7 (a)
D e b em o s d e m o s tra r q u e ,
entonces, es tam bién válida , •
para n = Jt + 1: 3 2 M + 2 i+ 3 = 7 (b )
INDUCCION CO M PLETA 169
T o m am o s e l p rim er m iem -
bro de la igualdad (b): 3. + + 2 +
D escom ponem os am bos té r­
m inos tra tan d o de a is la r la 
igualdad (a): 32*+i . 3 2 + 2 k+2 . 2 
9 • 32*+l + 2 • 2*+2
D escom ponem os 9 en 7 + 2: = ( 7 + 2)- 3 2* +l + 2 - 2 k+2
= 7 • 32*+1 + 2 • 3¿K+l + 2 - 22k+\ .* +2
Sacam os fac to r com ún en los 
dos ú ltim os térm inos:
fcl p r im e r té r m in o es 
obv iam en te m últip lo de 7 y, 
s i (a ) es c ie rta , e l segundo 
térm ino tam bién:
Y la su m a d e dos m últip los 
d e 7 da com o resu ltado un 
m últip lo de 7:
= 7 . 32*+i + 2 ( 3 2*+i + 2 * +2)
• •
7 + 7
S í m p l s <£
Dem ostrar que, para todo valor natural de n , 32"+2 + 2 6,1+l = 11
C om probam os que la p ropo­
sición es válida para n - 1 :
S u p o n e m o s q u e es v á lid a 
para n - k \
D e b em o s d e m o s t ra r q u e , 
en to n ces , e s tam b ién válida 
para n = k + 1 :
T o m am o s e l p rim er m iem ­
bro de la igualdad (b):
D escom ponem os am bos té r­
m inos tra tan d o de a is la r la 
igualdad (a):
34 + 2 7 = 81 +128 = 209 = 19-11 = 11
32*+2 + 2 6* + l =1*j
32*+4 + 2 6*+7 _ n
,2 ¿ + 4 , 0 6* + 7+ 2
— ^2&+2 ^2 2̂
= 9 - 3 2i+2 + 6 4 - 2 6*+i
(a)
(b)
D e s c o m p o n e m o s 6 4 en 
9 + 55 y m ultiplicam os: = 9 • 32*+2 + (9 + 55) • 26k+l
*2/c+2 >6k+\ >6/c + I
Sacam os fac to r com ún en los 
dos prim eros térm inós:
= 9 ( 32*+2 + 2 6*+ i) + 5 5 -2 6*+l
1 7 0 INDUCCION COM PLETA
Si la igua ldad (a ) e s válida ,
el p rim er térm ino e s m últip lo •
de 11 y , dado que 55 es 11 -5,
e l seg u n d o té rm ino tam b ién • •
lo e s : = 1 1 + 11
Y la sum a d a m últip lo de 11
Ejemplo 7
Dem ostrar que, para todo valor natural de n , 9 "+l -8 n + ^ ) 5 = 64
' C om probam os que la p ropo - •
sición es válida para n = 1: 9 —8 + 55 = 81 — 8 + 5 5 = 128 = 6 4 -2 = 64
S u p o n em o s q u e es vá lid a
para n-k: 9 + — Sk + 55 = 64 (a)
D e b em o s d e m o s tra r q u e ,
en to n ces , e s tam b ién vá lid a •
para n = k+ 1: - 8 (k + 1) + 55 = 64 (b)
T o m am o s e l p rim e r m iem - *+ 2 .
b ro de la igualdad (b): o (AC + 1 J + j j
D escom ponem os tra tando de
a isla r la expresión (a): = 9 • 9* +1 — 8Jt — 8 + 5 5
= (8 + l ) -9*+1 - 8fc - 8 + 55 
= 8 • 9k+l + 9 k+l - 8& - 8 + 55 
= 8 -9 * +1- 8 + 9*+1 — 8A: + 55 
= 8(9*+1- l ) + (9*+ l -8/fc + 55)
Si la igualdad (a) e s c ierta , el
segundo té rm ino es m últip lo _ — 1 j + 5 4
P ero tenem os que dem ostrar
que el prim ero tam bién lo es, 8 Í9*+1 — l ) = 64
e s decir, que \ /
o , lo que es lo m ism o, que . . . •
9 - 1 = 8 (d)
E sta d em o strac ió n la h ace ­
m os tam b ién po r Inducción 
C om pleta.
C om probam os que la p ro p o ­
s ic ió n (d ) e s v á lid a p a ra «
*=1: 9 2 - 1 = 8 1 - 1 = 80 = 8
S up o n em o s su v a lid e z p a ra , , •
k*h: 9 - 1 = 8 (e)
INDUCCION CO M PLETA 171
D e b em o s d e m o s tra r q u e , 
en to n ces , fes tam b ién vá lida 
para k - h + 1:
T o m am o s e l p r im er m iem ­
bro de (f):
D escom ponem os tra tando de 
a islar la expresión (e):
E l p rim er té rm in o es o b v ia ­
m en te m ú ltip lo de 8 ; e l se ­
gundo tam bién , si e s cierta la 
proposición (e):
9 h+2 - 1 = 8
9h+2 - 1
= 9 -9 ',+ l- 1 
= (8 + l) -9 * +l - 1 
= 8 -9 /,+l + ( 9 /l+l - l )
= 8 +
(f)
G on lo q u e queda dem ostra ­
da la p roposic ión (d).
V olviendo a la expresión (c ) :1
acabam os de d em o stra r que 
e l p rim er térm ino es m últip lo 
de 64 y, por tanto.
= 8(9*+1- l ) + 64
= 6 4 + 6 4
64
La dem ostración del ejem plo anterior puede ser hecha más brevem ente de la 
siguiente forma:
Prescindim os, p o r haberlo ya 
hecho , de com probar la vali­
dez para n = 1.
T ranscrib im os las igualdades 
(a) y (b ) re su ltan tes de sus­
titu ir n p o r k y po r k + 1, res­
pectivam ente:
9*+I - 8 * + 55 = 64
9*+ 2- 8 (* + !) + 5 5 = 64
(a)
(b)
T o m am o s e l p rim er m iem ­
bro de (b):
9*+2 - 8 ( * + l) + 55
= 9 -9 * +1- 8 * + 47
T ratam os de a is la r la ex p re ­
s ió n (a ) m u ltip licada p o r 9, 
es decir, la expresión 9 9*+ , - 9 - 8 * + 9 -5 5
que, una vez efectuada, da 9 '9 * +1 - 7 2 * + 495
1 7 2 INDUCCION COMPLETA
p ara lo cual:
a) restam os y sum am os 6 4 k 
a la expresión:
b) sum am os y restam os 448:
S acam os fac to r com ún 9 en 
lo s tres p rim eros té rm inos y 
64 en los dos últim os:
E l p r im e r té r m in o e s 
m últip lo de 64 si e s válida la 
p ro p o sic ió n (a). El segundo 
ohviam ente lo es:
Y la sum a lo será tam bién:
= 9 . g k+l _ J 2 k + 47 + 64k 
= 9 • 9*+1 - 12k + 495 + 64k - 448
= 9(9*+l - 8 * + 5 5 )+ 6 4 ( * - 7 )
6 4 + 64
64
Ejem plo 8
Demostrar que, para todo valor natural d e n , n 4 + 2 « 3 + n 2 = 4
C om probam os que la p ropo­
sición es válida para n = 1:
S u p o n e m o s q u e es v á lid a 
pa ra n =k:
D e b em o s d e m o s tra r q u e , 
en tonces, es tam b ién vá lida 
para n = k + 1:
T o m am o s el p r im er m iem ­
b ro de la igualdad (b):
D esarrollam os:
1 + 2 + 1 = 4 = 4 
k 4 + 2 k 3 + k 2 = 4
(k + 1)4 + 2(k + 1)3 + (k + 1)2 = 4 
(k + 1)4 + 2(k + 1)3 + (k + 1)2
(a)
(b)
= k 4 + 4 k* + 6 k 2 + 4 k + l + 2 ( k 3 + 3 k 2 + 3k + 1) ■+ k 2 + 2k +1 
=-k4 + 4 k 2 + 6 k 2 + 4 k + \ + 2 k 3 + 6 k 2 + 6 k + 2 + k 2 + 2 k + \
A g ru p a m o s lo s té rm in o s 
subrayados, que son los que 
con fo rm an la exp resión <a), 
y sum am os los restantes:
Si la igua ldad (a ) e s válida, 
el p rim er térm ino es m últip lo 
de 4 . E s e v id e n te que el 
segundo tam bién lo es:
= ( ¿ 4 + 2 k 3 + k 2) + 4 k 2 + 1 2 k 2 + 12* + 4 
= (fc4 + 2 k 3 +'k2) + 4(A:3 + 3 k 2 + 3k + 1)
= 4 + 4 = H
INDUCCION COMPLETA 1 7 3
Ejemplo 9
O tra form a de hacer la dem ostración delejemplo anterior:
n 4 + 2 n 3 + n 2 = 4
E l m iem b ro de la izqu ie rda 
e s factorizabler"
C om probam os para n = 1: 
Suponem os para n =k:
D eb em o s d e m o stra r q u e la 
p roposic ión es, en tonces, vá­
lid a tam bién para n = k + 1:
T o m am o s e l p rim e r m iem ­
b ro de la igualdad (b):
D e sa rro lla m o s e l s eg u n d o 
cuadrado:
M u ltip licam o s, ap licando la 
p ropiedad d istributiva:
E l p rim er té rm in o es m ú l­
tip lo de 4 si la igua ldad (a) 
e s válida . L os té rm inos re s ­
tan tes son ob v iam en te m ú l­
tip los de 4:
( Ejercicio 39
n 2[n2 + 2n + l) = 4
n 2(n + l ) 2 = 4
l 2 -2 2 = 4 
k 2(k + 1)2 = 4
(* + l ) 2(* + 2 )2 = 4 
(* + l ) 2(fc + 2 )2
= (* + l)2( ¿ 2 + 4 /: + 4)
= k 2(k +1 f + 4 k ( k + 1)2 + 4 {k + 1 Y 
= 4 + 4 + i = 0
(a)
(b)
Dem ostrar por Inducción Com pleta las siguientes igualdades o proposiciones:
1) V +5" = 2 6) N> w a 1 II -0 
•
11) 24” -1 = 1*5
2) 22" - 1 = 3 7) 32” - 1 = 8 12) 24n+2 +1 = 5
3) 22n+l +1 = 3 8) 8” - 5 " =3 13) 26m+3+1 = 9
4) 4" - 1 = 3 9) 7" - 1 = 6 14) ^2w+2 _ y
5) 5" -1 = 4 10) 34" + 9 = 10 15)
174 INDUCCION COM PLETA
16) 5 , 3 4 *+! _jy 27) n(n + l)(rt + 2) = 3
17) 25 •72 " " 1 + 34" =32 28) n(n + l)(n + 2 ) = 6
18) 34 " - 2 2 n =7*7 29) n 3 +2n = 3
19) 2-7" + 3 - 5 " - 5 = 24 30) n 3 + 5n = 3
2 0 ) l l n+2 +122"+l =133 31) n 3 - n = 6
2 1 ) 10" + 1 +10" +1 = 3 32) n(2n + l)(7n + l) = 6
22) 106” - 1 = 13 33) 2n3 +3n2 +7n = 6
23) 4 ” + 1 5 n - l = 9 34) n 4 +3/i3 ~ n 2 -3 rt = 6
24) 10" + 3-4 ” + 2 + 5 = 9 35) n4 + 2n3 + 3n2 + 2n = 8
25) l 2n - 48n - 1 = 2304 36) 25n4 - 2n 3 - n 2 + 2n = 2*4
26) n2 + n = 2 37) n5 - n = 30
38) E l producto de cuatro números enteros consecutivos es divisible por 24.
39) La sum a d e los cubos de tres núm eros enteros consecutivos es siem pre
divisible por 9.
40) E l producto de tres núm eros pares consecutivos es siem pre divisible por
48.
41) E l producto de tres m últiplos consecutivos de tres núm eros consecutivos
es divisible por 162.
42) [n2 - l ) n 2(n2 + l) = 60
43) n 7 - n = 7
44) n1 - n = 42
45) n - 1 = 8 (si n £ 3 es impar)
46) n4 - 1 = 16 (si n > 3 es impar)
47) n 3 - n = 24 (si n > 3 es impar)
48) El producto de un cubo por el núm ero que le precede y por el que le sigue
es múltiplo de 504.
49) i ( n 3 +2n) es un entero positivo.
50) j ( n 3 + 6n2 + 2nj es un entero positivo.
INDUCCION COM PLETA 1 7 5
Ejem ply 10____________________________
Dem ostrar por Inducción Com pleta que
e o s i ü l d ggji Jl£L
e o s a + e o s 2 a + e o s 3 a + ....... + e o s n a = — —— —
s e n "
El p rim er térrryno de la suce­
sión se o b tien e al s u s titu ir 
p o r i e i v a lo r d e n en el 
térm ino general.
C o m p ro b a m o s , p o r ta n to , 
que la p roposic ión es válida 
para n = 1: c o s a s e n y
c o s a = ------------ /
s e n y
Suponem os para n = k : c o s *+1 a s e n í a
e o s a + e o s 2 a + e o s 3 a + -----+ c o s k a = ------ -— —— — (a)
sen f
T enem os q u e p robar q u e la., 
p roposic ión es, en tonces, vá­
lida tam bién para n = k + 1:
c o s ~ * a s e n ^ - a
c o s a + c o s 2 a + c o s 3 a + ......+ c o s £ a + cos(fc + l ) a = ------ --------— -— (b)
v v s e n y
S u s titu im o s los p rim ero s k 
té rm inos po r su equ iva len te 
en te igualdad (a) y tenem os 
que p robar en tonces que: c o s c a s e n ̂— + c o s ( k + l ) a =
s e n
k + 2 i + l c o s a s e n a
sen ^
M ás fác il se h ace , d ad a la 
sem ejan za de lo s té rm in o s , 
p robar que
c o s ( k + l ) a =
k+2 ¿+1c o s ^ a s e n ^ a c o s c a s e n -
sen ̂
expresión que ob tuv im os pa­
san d o el p rim er té rm in o de 
la izquierda al m iem bro de la 
derecha.
T om am os e l segundo m iem ­
b ro d e la igua ldad anterior. 
D em ostrarem os que es igual 
a l prim ero: c o s ^ í ^ a s e n ^ a c o s a s e n 
s e n y
U tiliz a n d o tes fó rm u las de 
W erner, descom ponem os en 
su m an d o s los n u m erad o res 
de am bas fracciones: s e n a - s e n fl its e n - y p - a - s e ñ a ­
s e n ̂ s e n ^ -
1 7 6 INDUCCION COMPLETA
S acan d o .com ún d en o m in a ­
d o r, m u ltip lican d o n u m era ­
d o r y d en o m in ad o r p o r 2 y 
e lim in an d o los s ignos d e a- 
g rupación, tenem os:
R educiendo térm inos:
sen - sen y - sen a + sen y 
2 sen y
24 + 1sen — a - sen a
2seny
F actorizando el num erador: 2cos(* + l)a sen y
2 sen“
' S im plificando: cos(k + l)a
Ejemplo 11_________.____________________
Dem ostrar por Inducción Coqipleta que
sen3 a + -j sen3 3 a + + -pr sen33” a = y |3 se n a
E l p rim er té rm ino de la su ­
ces ió n se o b tien e dando a n 
e l v a lo r c e ro e n e l té rm ino 
general.
C om probam os, p o r tan to , la
v a lid ez d e la igu a ld ad pa ra 3 > , ,
n = 0. sen a = y (3 sen a - s e n 3a)
A p licando la fórm ula de án - = ± Í 3 s e n a - 3 s e n a + 4 s e n 3 a )
gu io trip le: 4 \ /
= y -4 sen 3a 
= sen3 a
S uponem os para n = k:
sen3 a + y sen3 3 a + ......+ -̂ r sen33*a = y |3 se n a -^ ~ s e n 3 * +1a j (a)
T enem os q u e dem ostrar que, 
en to n ces , la igua ldad e s v á ­
lida para n = k + 1 :
sen3a + -|sen33 a + ......+ ̂ s e n 33 * a + - ^ s e n 3 3*+1a = y |3 s e n a - - ^ r sen3¿+2a j (b)
S u s titu im o s los k p rim ero s 
té rm in o s p o r su equ iva len te 
en la igualdad (a):
-^ -se n 3 "+1a j
INDUCCION COM PLETA 1 7 7
j | 3 s e n a - ^ s e n 3 * + 1 a j + - ^ T s e n 3 3 * + I a = - j j 3 s e n G ' - - ^ r s e n 3 * + 2 a j
Pasam os el p rim er térm ino al 
m iem bro de la derecha:
-¡kj- sen3 3'k+1 a = j |3 sen a - — • sen 3k+2 a j —j ¡3sen a - ~ sen 3k+1 a j
T o m am o s e l m iem bro d e la 
d erecha y dem ostram os que 
es igual al de la izquierda:
j | 3 s e n a - - p ^ s e n 3 * +'2 a j - - ^ 3 s e n a - ^ r g e n 3 * +1« j 
= j | 3 s e n a - s e n 3 *+ 2 a - 3 s e n a + ^ - s e n 3 * + 1« j
= ? ( - ̂ ¿ r sen 3*+2 « + j r sen3*+1«)
T eniendo en cuenta que 3 * + 2 a = 3 • 3 *+1 a
y sacando fac to r com ún, te ­
nem os:
= 4 " ^ r ( ~ í s e n 3 ' 3 *+1 ce + s e n 3 * +l a j
A p licando la fó rm u la de án­
g u lo trip le al p rim er térm ino 
del paréntesis:
= ̂ --p-|-y(3sen3<:+la - 4 s e n 33í:+Ia j + sen3í:+,a | 
= j--^J~sen3*+1a + ysen33*+la + sen3A:+la j 
= i - ^ . - | s e n 33*+,a
-sen33*+la
Ejem plo 12_____________________________
Dem ostrar por Inducción Com pleta que
( c o s f - l s e c f ) ( c o s f - i s e c f ) ( c o s ^ - l s e c
2"
El p rim er térm ino se obtiene 
dán d o le a n e l valor 1 en el 
térm ino general.
C o m p ro b a m o s , p u es , pa ra 
n = 1: eos*cos-S---¿-sec~ =.r _
2 2 eos y
1 7 8 INDUCCION COM PLETA
A p lic a n d o la fó rm u la d e á n - 2C O S2 — — 1
g u io d o b le : = ------------- -------
2 eos-y
= cos-|-2 -sec-|
S u p o n e m o s p a ra n = k:
(coS| - i s e c f ) ( c o s f - ls e c ¿ ) ..... ( e o s j - ^ s e c j - ) = (*)
2*
T enem os que dem ostrar que,
en tonces, la igualdad es tam - *
bién válida para n = k + 1:
(cosf - í secf ) 2 sec# r ) = ? ^ T :
2*+!
S us titu im o s lo s k p rim ero s 
fac to res p o r su eq u iv a len te
. de la igualdad (a): c o s x / x i x \ _ e o s *— . ( c o s ^ s e c ^ 2 t + , c o i _ f c
A islando el paréntesis: e o s * • 2 k e o s —
(cos- ^ r - 2 sec# r ) = ̂ T i ...\ 2 2 / 2 COS-— COSX
2
T o m am o s e l m iem bro de la
d erecha y dem ostram os que k x
e s igual al de la izquierda: c o s x ' ^ c o s
2 *+l c o s ^ - c o s *
Sim plificando: cos-^-
2 c o s ^ -
T ransform am os así e l ángulo x _ 2x _ o *
del num erador: 2* 2-2* 2*+l
T enem os entonces: c o s o
2^+i
2 0 0 5 ^
A p licando la fórm ula de án- 2 e o s 2 — ____1
guio doble:--------------------------------ZÜl------
2 COS
( b )
D iv id ie n d o a m b o s té rm in o s : _ „ „ c x _ 1 c __ x
- CO!>2*+i 2 2*+l
INDUCCION COM PLETA 1 7 9
( Ejercicio 40 Dem ostrar por Inducción Completa:
a— i* stii i
1) sen a + sen 2o: + sen 3 a + + sen n a = — —
sen y
,» senlncc2) eos a + eos 3 a + eos 5 a + ----+ cos(2n - l ) a = ----------
2 sena
,, sen2 n a3) sen a + sen 3 a + sen 5 a + --- + sen(2n - 1 j a = ----------
sen a
4) sen y + sen y + sen y + ......+ s e n a = sen 2 y - a esc y
5) seny + se n -y + sen7T + + sen -y- = 2 sen -y- sen -ny - •'
. . • (n + l)co sn a -n co s(n + l)a6) co sa + 2cos2a + 3cos3a + .+ n cosna = - =--------------- ------
4 sen y
* (n + l)se n n a -n se n (n + l)a
7) sen a + 2sen2a + 3sen3a + ----+ n senna = ------ ------------=—— —
4 sen y
8) l + 2 c o s 2 a + 2 c o s 4 a + .......+ 2 c o s 2 n a = esc a sen(2n + l)a -1
senl a + Isenía + f )
9) sen a + sen(a + /3) + sen(a + 2/3)+ + sen(a + n/3) = — --------- ---
11
sen
10) sen a + sen(a + 2/3) + sen(a + 4/3)+......+ sen[a + (2n - 2)/3] =
= sen[a + (n - 1)/3] sen n/3 esc /3
2 « „ l - x c o s a - x n+l cos(n + l)a + x ''+2 eos n a
l + x co sa + x cos2a + ...... + x cosna = y -----------------
l - 2 x c o s a + x
_ _ , , , „ cos(n + 2 )a sen n a
12) sen a sen 2 a + sen 2 a sen 3 a + + sen n a sen( n + l ) a = ^ c o s a -— - —
2 2 sena
13) eos a eos a + eos2 a c o s2 a + .+ eos" a cosna = sen n a eos" a c tg a
14) co sase n a + cos2 a s e n 2 a + .+ cos'' a sen n a = ( l-e o s " a c o sn a jc tg a
ic \ m sen2"+ ,a
1 5 ) cosa eos2a e o s4 a cos2 a = ----- --------
2 sena
16) eos y eos y eos -f-’ cos-^- = — —
2 4 8 2" 2” sen-“
2"
17) fc o sa --y se ca )-(c o s2 a -4 -sec 2 a ) (cos2'la -4 -se c 2 ,la ) = — —V 2 / \ 2 ) \ 2 } 2n+l CQsa
18) (c o s f + ro s!)- ( c o s f + coS| ) (eos ■£-+c o s £ ) =
2 ^cos2„ eos 2„ 1
19) seca seg2a + sec2a sec3a + + secn a sec(n + l)a = t8(” + ̂ )Q:—í l f l
sena
« A , 2 2 /•* 2 ^ 2 « cos(n + l)a sen n a20) eos a + eos 2 a + eos 3 a + ......+ cos“ n a = y + — -------------------
2sena
INDUCCION COM PLETA
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
2 2 ., 2 n cos(n + l)a sennasen a + sen 2cr + sen 3 a + ...... + sen na = f - ------------
¿ 2 sena
2 - 2 -, ? í- 2 m n sen4nasen a + sen 3 a + sen 5 a + ...... + sen (2n - l ) a = 4 -------------
v ' 2 4 sen 2 a
sen3y + 3sen3y + 9sen3-y- + + 3"-1 sen3 = yÍ3" s e n s e n a
eos a - ^ c o s ' 3a + ......+ ( - i f 1 c » ’ 3 ~ '« = ± 3cosa + ( -y ) cos3"aj
(3 -4 s e n 2 f ) ( 3 - 4sen 2 f ) ...... (3 -4 s e n 2 í l ) = 2 £ 5 | L
/
2 t g 2 x + 4 tg 4 .x + 8 t g 8.x -t----- + 2 'í t g 2 " x = 2 c tg 2 . x - 2 ',+ 1 c t g 2 n+1* 
y t g f + T tg f + i t g f + + -lr tg ^ r = - L c tg ^ - -c tg x (x*ro ;r)2" “ 2" 2" ~ 2" 
2.tg* tg2 f + 2 tg j tg 2 f + ...... + 2” , t g ^ T tg2 ^ r = t g x - 2 ” tg ^ r
( l + sec;c)-(l + sec2.r).....(l + sec2'l_l .*) = ctgy tg2”-1;t
( l - t g 2 f ) ( l - t g 2 | ) ..... ( l - t g 2 ^ ) = 2" c tg x tg ^ -
í 1 1 í 1 1 1 1
l l - t g 2 «> 1 1 - tg2 2« J i^ l- tg 2 2”- , a J
I = ^ r c tg a tg 2 na
eos3 a + eos3 2a + ......+ eos3 na _ 3cos^ |! a sen-y- + c o s 3 ( ^ - ) a s e n ^
4 s e n “ 4 s e n ^
sen3 a + sen3 2a + ......+ sen3 na =_ S s e n ^ a s e n ^ - se n 3 (^ )a se n
3 na 
2
4 sen y 4sen^rL
( Ejercicio 41
Ejercicios de recapitulación
Dem ostrar por Inducción Com pleta las siguientes proposiciones:
(si n no es divisible por 2 ni por 3) 
(si n no es múltiplo de 3)
1) 4n¿ +3n + 5 = 6
2) 72" + 7" +1 = 5*7
3) (a V - 4 a 2¿>)(a4 + a 2 - 2 ) = 7*2
4) ab(a4 -¿>4) = 240
5) an {a4 - l j = 60
- l j es divisible por 2 12 si n es impar.
7) (n2 - l)(n 2 - 4j = 36 (si n no es múltiplo de 3)
(si a y b son impares) 
(si a > 1 y n > 1)
INDUCCION COM PLETA 1 8 1
8) n 2 - 1 = 2*4 (si «2:5 es primo)
9) n4 - 5n2 + 4 = 360 (si n > 5 es primo)
10) n 2 +1 * 3
11) «2 + « - l * 3
12) n2 - « - l * 3
13) 8«2 -3 « + 6 * 5
14) 3«2 + 2« + l * 5
15) «4 + l* 5
16) n4 + 2 * 5
17) «4 +3 * 5 1
18) n4 + « 2 + l* 5
19) «4 + n 3 - l * 5
20) E l térm ino n-sim o de una progresión aritm ética se determ ina por la 
fórm ula an = a¡ + (n - l ) r .
21) E l térm ino n-sim o de una progresión geom étrica se determ ina por la 
fórm ula an = 0 ] r " -1 .
22) La sum a de los ángulos in ternos de un po lígono de n lados es 
(n - 2)-180°.
23) El núm ero de diagonales de un polígono de n lados es \ n ( n - 3).
24) are ctg3 + are ctg 5 + .......+ are ctg(2« -1 ) =
= are tg2 + arc tg -| + + arc tg-2— - « are tg l
25) (C isa)" = C is« a
26) 106n - 1 = 1*3
27) «9 + n 7 - 7 n 5 - n 3 +6n = 67*20
28) (n3 -« )(5 8,,+4+ 3 4”+2) = 3804
29) (n5 - n ) (n 4 + n 2 - 6 ) = 2Í0
30) Si n es entero, ■— -— - también es entero.
• 8
' (2n + l)3 - (2 « + l)
31) Si n es entero, ------- -— ------- también es entero.
1 8 2 INDUCCION COM PLETA
TEORIA COMBINATORIA
Factorial de un número
Se denom ina fac to ria l de un núm ero natural n al producto de una serie de 
factores decrecientes en una unidad cada vez, el prim ero de los cuales es n y el 
último 1.
n != n ( n - l ) ( n - 2 ) .......3 -2 -1
De esta forma
7!= 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5040 
(La expresión 7* se lee "7 factorial" o "factorial de 7").
8!= 8 7 -6 -5 -4 ^ 3 -2 -1 = 40320 
E l sím bolo ! que se usa para indicar el factorial de un núm ero se debe al 
m atemático K ram p.
C Ejercicio 42
Calcular:
1) 5! 5) 3!
2) 4! 6) 12!
3) 6! 7) 9!
4) 2! 8) 11!
La descom posición en factores de una cantidad factorial se puede detener de 
acuerdo a la conveniencia de las circunstancias.
Cualquiera de las expresiones siguientes es equivalente a 12!:
12 11 10 9 8 7!
12 11!
12 11 10 9!
12 11-10 9 8 7 6 5!
C Ejercicio 43
D esarro llar las sigu ien tes can tidades facto riales deten iendo el proceso 
después del tercer factor:
1) 10! 3) 8! 5) (a-2)!
2) 15! 4) (x+9)! 6)(m+6)!
COM BINATORIA 1 8 3
7> 12) (4 m - l) ! 17) (7 -* )!
8 ) (m +2)! 13) al 18) (2+*)!
9 ) (a + 3 )! 14) (m+n+1)1 19) (m + n )!
10) (íí+4)! 15) (rn+n-5)! 20) (m -n + 1 )
11) " (5.v+3)! 16) (m -n + 3 )!
( Ejercicio 44
Transform ar los siguientes productos en factoriales:
1) 7 6 5 !
2) 9 8 - 7 - 6 !
3) ( m - . l ) ( m - 2 ) ( m - 3 ) !
4) 90 8!
5) 56-6!
6) 4 -3 -2
7) 132-10!
8) (m + n + l) (m + n)!
9) (m + n )(m + n + \) (m + n - l ) \
10) (m - n)(m - n + 1 ) (m - n + 2 )(m - n -1 )!
1 1 ) 8 4 0 - 3 !
12) 3024-5!
13) m!(m + l) (m + 2)
14) (x3 - x ) U - 2 ) !
15) ( í í + l ) ! ( a 2 + 5 a + 6)
16) 4536-80
1 7 ) 7 2 - 7 0
18) 720
19) 2520-15840
20) 73920-6480
21) (x 3 + 6 x 2 + 1 1 * + 6).*!
22) (a - 1)!(«3 + 3 a2 + 2a)
23) - 5 .x 4 +5jc3 + 5 x 2 — 6jc)(jc — 4)!
24) (8x3 + 24x2 + 2 2 x + 6) (2*)!
25) m (m - l)(m - 2) - - - -(m - n + 2 ) ( m - n + 1 ){m - «)!
26) -Expresar el siguiente producto com o producto de dos factoriales:
1 0 -9 -8 -7 -6
27) E x p re s a r e l s ig u ie n te p ro d u c to c o m o p ro d u c to d e
dos 45 - 24 • 22 - 20 -18-16-15-14
184 COMBINATORIA
28) E xpresar el siguiente p roducto com o producto de dos factoriales: 
3 2 •3 3 •3 5 •3 6 -3 9 ■ 4 0 •4 2 •4 8 •6 0
29) E xpresar el siguiente p roducto com o producto de tres factoriales: 
3 5 •3 6 •4 0 •4 8 •5 4 •6 0 •6 3 •6 4
30) E xpresar el siguiente p roducto com o producto de tres factoriales: 
- 44 •4 5 •4 8 - 5 0 •5 4 •5 6 •8 4
31) Expresar el siguiente producto com o producto de cuatro factoriales:
5 0 • 5 2 • 5 4 • 5 5 • 5 6 • 6 0 • 6 3 - 6 4 • 7 2 • 9 6
32) Expresar el número 522.547.200 como el producto de cuatro factoriales.
33) Verificar la siguiente igualdad: 3! 5! 7! = 10!
34) Verificar la siguiente igualdad: 2! 8! 13! = 4! 16!
Simplificación de fracciones 
que contienen factoriales
Los siguientes son ejem plos -de fracciones que contienen factoriales y que 
pueden ser simplificadas sin necesidadde desarrollar por com pleto los factoriales.
Ejem plo 1______________________________
7 ' 15’
Sim plificar --------
12! 9!
D escom ponem os en facto res 
e l 15! hasta llegar a 12!. De 
la m ism a fo rm a el 9! hasta
Negar a 7!: _ 7! 1 5 1 4 1 3 1 2 !
12! 9 8 7!
S im plificando las can tidades 1 5 -1 4 1 3 
factoriales: = “ “
Sim plificando todavía: 5 - 7 - 1 3
3 -4
E jem plo 2
455
12
22!+21!
Simplificar -----------
20Í+19!
D escom ponem os en factores 
los factoria les del num erador 
y e l p r im e ro del d e n o m i­
n a d o r h asta lleg a r en todos 
e llos hasta 19!:
22-21-20-191+21 -20-19! 
20-191+19!
COM BINATORIA 1 8 5
D ivid iendo cad a té rm ino por 
19!:
D iv id ien d o todos los té rm i­
nos po r 21:
22 21 20 + 21 20 
20 + 1
22 2 1 -2 0 + 21-20 
21
= 2 2 -2 0 + 20 = 440 + 20 = 460
C E je r c ic io 45
Simplificar las siguientes fracciones desarrollando sólo lo indispensable:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Ejemplo 3
11
5!
81
4!
6 !
8 !
11!
13!
5! 13!
12! 7!
6! 15! 10! 
9! 8! 14!
7)
8)
9)
10) 
11) 
12)
Simplificar
(x + l)!
x ( x - 2 ) !
D escom ponem os en facto res 
e l fa c to ria l d e l n u m erad o r 
h a sta a lc an za r e l del d en o ­
m inador:
S im plificando: (x + l ) ( x - l )
Ejemplp.á-
Simplificar
(x + 7 ) ! -1 2 (x + 5)!
(x + 7 ) !- (x + 6 )!-9 (x + 5)!
D escom ponem os en factores 
e l p rim er facto ria l del num e­
rador y los d o s prim eros del 
d enom inador h asta a lc an z a r 
(x + 5)! en cada uno de ellos:
15!+14!
13!
172 15!
17!+16!+15!
2 2 !+ 23!+ 24!+25!
2 4 -2 2 !
31 !+ 3 2 !+ 3 3 !+ 3 4 !
31!+32!
1 0 !+ !!!+ 1 2 !
12!+13!+14!
13(14!+13!)
15(11!+12!+13!)
_ (* + ! ) * ( * - ! ) ( * - 2 ) ! 
* ( * - 2 ) !
(x + 7 )(x + 6 )(x + 5 )!-1 2 (;r + 5)!
{x + 7 )(* + 6)(jc + 5)!-(jc + 6 )(x + 5)! - 9 ( x + 5)!
1 8 6 COM BINATORIA
D iv id ien d p todos lo s té rm i­
nos po r (x + 5)!:
D esarrollando:
Factorizando:
S im plificando:
(x + 7 )(x + 6 ) - 1 2 
(x + 7) (x + 6) - (x + 6) - 9
x 2 + 13x + 4 2 - 1 2 
" x 2 + 13x + 4 2 - x - 6 - 9 
x 2 + 13.x+ 30 
” x 2 + 12x + 27
_ (x + 10)(x + 3)
” (x + 9 )(x + 3)
x + 10 
x + 9
( Ejercicio 46
Sim plificar las siguientes fracciones:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
(* + 2)! 
x\
( x - 5 ) \
(-x — 4)!
( x - 3 )! 
( x - 5 ) \
x\
x ( x - 2 ) !
( x + 5)\
(x + 4 ) (x + 3)!
(* + 7 )|
(x + 6 )(x + 7)
( * ~ 2 ) ( x - 3 )
( * - 2 ) !
( 7 - * ) !
( 5 - * ) !
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
(x + 7 ) ! ( x - 4 ) !
( x - 3 ) ! ( 6 + x)!
(x + 5 ) ! ( x -6 ) !x !
(x - 1 ) ! ( jc + 6 )!(x - 5 ) !
(x + 5)!+(x + 4)!
(x + 4 )!+ 2 (x + 3)!
( x - 2 ) ! + ( x - 3 ) ! + ( x - - 4 ) !
( x - 4 ) ! + ( x - 3 ) !
( x - 3 ) ! - 2 ( x - 5 ) !
(x - 3 )!+ (x - 4 ) ! - 3 (x - 5)!
(x - 2 )!+ (x - 3 )!-8 (x - 5)! 
( x - 3 ) ! + 4 ( x - 4 ) ! + 8 ( x - 5 ) !
(x + 4 ) ! - 2 (x + 2)1+12 (x + l)!-2 0 x ! 
(x + 3 ) ! -2 (x + 2 )!+ 4 (x + l) !-4 x !
(x 2 - 1 6 ) ! (x + 3)!
(x + 4)! (x 2 - 1 7 ) !
COM BINATORIA 1 8 7
Teoría Combinatoria
La Teoría Com binatoria es la ram a de la M atem ática que estudia la cantidad 
de grupos distintos que se pueden form ar con un núm ero dado de elementos, distin­
guiéndose cada grupo de los restantes por algunas condiciones que se dan en cada 
caso para la-formación de los mismos.
D ependiendo de estas condiciones, estudiarem os tres tipos de agrupaciones 
que reciben los nombres de Permutaciones, Variaciones y Combinaciones.
Teorema Fundamental
 1-------------------
Si un prim er evento puede ocurrir de m fo rm as diferentes y, después 
de que éste ocurra, un segundo evento puede ocurrir de n fo rm as diferentes, 
entonces el número de form as diferentes en que puede ocurrir la secuencia 
de los dos eventos es igual a m-n.
Ejemplo, 5___________ __________________
Si para el cargo de Presidente de una organización cualquiera se presentan 
tres candidatos (A, B y C) y para el de V icepresidente se presentan otros cuatro (M, 
N, P y Q), existen 3 • 4 = 12 posibles parejas de Presidente y Vicepresidente.
Las parejas que podrían formarse son las siguientes:
A M BM CM
A N BN CN
A P BP CP
A Q BQ CQ
Ejem plo $______________________________
Si en una librería disponen de tres libros distintos de A lgebra (A |, A2, A3), 
dos de B iología (£ ,, B2) y cuatro de C ontabilidad (C¡, C2, C3, C4), existen 
3 • 2 • 4 = 24 form as distintas de com prar tres libros, uno de cada m ateria. Esas 
formas son las siguientes:
A\ Bx C | a 2 b ¡ c , a 3 b , c ,
Aj B[ C2 a 2 b ¡ c 2 a 3 b , c 2
A, 6 | C3 Ai B¡ C3 a 3 b ¡ c 3
A, B, C4 A 2 b , c 4 a 3 b , c 4
Ai B2 C, a 2 b 2 c . a 3 b 2 c ¡
A| B2 C2 A2 b 2 c 2 A3 b 2 c 2
A, B2 C3 a 2 b 2 c 3 a 3 b 2 c 3
A, B2 C4 a 2 b 2 c 4 a ?, b 2 c 4
1 8 8 COM BINATORIA
Permutaciones
Estudiarem os "el prim er tipo de agrupaciones distintas que se pueden form ar 
con n elem entos a través de un problem a práctico: ¿de cuántas form as distintas 
pueden ocupar sitio cinco personas en un banco de un parque en e l que pueden 
sentarse, precisamente, cinco personas?
Si numeramos del 1 al 5 los puestos del banco, es evidente que para ocupar el 
prim er sitio podem os elegir a cualquiera de las cinco personas, por lo que tenemos 5 
opciones.
U na vez ocupado el prim er puesto, para ocupar el segundo, tenem os 4 
opciones, pues son cuatro las personas que quedan de pie.
Ocupados los dos prim eros puestos, quedan tres personas para elegir a la que 
Ocupará el tercer puesto.
Para ocupar el cuarto puesto tendrem os que elegir entre las dos personas 
restantes. .
Y el quinto puesto será para la última persona que quede.
Resumiendo: para elegir la forfna en que las cinco personas ocuparán su sitio 
en el banco tenemos:
5 opciones para asignar el prim er puesto 
4 opciones para asignar el segundo puesto 
3 opciones para asignar el tercer puesto 
2 opciones para asignar el cuarto puesto 
1 opción para asignar el quinto puesto
De acuerdo con el Teorem a Fundam ental antes enunciado, el núm ero total de 
formas en que pueden colocarse las cinco personas en el banco será
5 - 4 - 3 - 2 1 = 120 formas distintas.
O bsérvese que el prim er m iem bro de la igualdad anterior es el desarrollo de
5!
Es fácil deducir por el ejem plo estudiado que, para colocar n personas en un 
banco de n puestos, las opciones que tenemos son las siguientes: 
n opciones para asignar el prim er puesto 
n - 1 opciones para asignar el segundo puesto 
n - 2 opciones para asignar el tercer puesto
i
<1
tiii
2 opciones para asignar el penúltimo puesto
1 opción para asignar el últim o puesto
y que el núm ero total de form as en que podrán colocarse las n personas en el banco 
será igual a
COM BINATORIA 189
n ( n - l ) ( n - 2 ) ........3 -2 -1
tn ies decir, a
Las distin tas'ordenaciones que podem os form ar con n objetos de tal form a 
que en cada ordenación intervengan todos ellos recibe el nom bre de P e rm u ta c ió n 
de n objetos y ésta se sim boliza así: P„.
En una perm u tación de n objetos, una ord en a ció n d ifie re de otra 
exclusivam ente p o r e l orden de colocación de los objetos. El núm ero total de 
ordenaciones se calcula por la siguiente fórmula:
P„= nl ( l c)
*( Ejercicio 47
D eterminar el valor de las siguientes expresiones:
1) P i 5) *13 8) P *+1
2) Pío 6) Pe 9) *2/i-1
3) P2 7) K 10) P 3 - j t
4) P b
Variaciones
Procederem os, para e l estudio de este otro tipo de agrupaciones, con otro 
problem a ilustrativo.
D e un grupo de 7 personas debem os elegir un Presidente, un V icepresidente 
y un Secretario. ¿De cuántas formas distintas se puede conform ar esta junta?
Para ocupar el cargo de Presidente podem os elegir una cualquiera de las 7 
personas, por lo que tenemos 7 opciones distintas.
U na vez nom brado el Presidente, el V icepresidente puede ser elegido entre 
las 6 personas restantes.
Ocupados los dos prim eros cargos,el Secretario puede ser elegido entre las 5 
personas que quedan.
Tenemos, pues,
7 opciones para el cargo de Presidente 
6 opciones para el cargo de Vicepresidente 
5 opciones para el cargo de Secretario
Por el Teorem a Fundamental, el número de posibles juntas es 
7 - 6 - 5 = 210
P ara un núm ero m de candidatos y para un núm ero n de cargos se nos 
presentan las siguientes opciones:
1 9 0 COM BINATORIA
m opciones para el prim er cargo
m - 1 opciones para el segundo cargo
m 2 opciones para el tercer cargo
m - n + 2 opciones para el penúltimo cargo
m - n + 1 opciones para el último cargo
y el total de posibles juntas de n cargos que se pueden form ar con las m personas 
disponibles es
, . m ( m - l ) ( m - 2 ) - - - - ( m - n + 2 ) ( m - t t + l)
Las distintas ordenaciones que podem os form ar en estas condiciones con m 
personas tom ando n de ellas, recibe el nom bre de V a r ia c ió n de m elem entos 
tomados de n en n, y se sim boliza así: Vm n. El número total de estas ordenaciones es
(2C)Vm n = m (m - l ) ( m - 2) ■ • • j m - n + 2 ) ( m - n +1)
 ,______ n factores_____________________
En una variación, una ordenación difiere de otra p o r el orden en que se 
toman los elementos o por tener algún elemento distinto.
En efecto, en el ejem plo anterior, la ju n ta en la que A es Presidente, B es 
V icepresidente y C es Secretario es distinta a la jun ta en la que B es Presidente, C es 
V icepresidente y A es Secretario y es distin ta tam bién a la ju n ta en la que esos 
cargos son ocupados por A, B y D.
El cálculo de una variación se facilita teniendo en cuenta que el desarrollo de 
Vm n es igual al producto de n factores decrecientes en una unidad por vez, siendo m
el prim ero de ellos, com o se m uestra en los siguientes ejemplos:
Ejem plo 7____________
Calcular V1A
La variac ión ped ida e s eq u i­
v a len te a l p ro d u c to de 4 
facto res decrec ien tes en una 
un idad po r vez siendo 7 el 
prim er factor:
840
Ejem plo 8_____________________
Calcular Vx+2-6
La variac ión ped ida e s equ i­
v a len te a l p ro d u c to d e 6 
facto res decrec ien tes en una 
unidad po r vez siendo (x + 2 ) y 
el p rim er factor: -r+2,6 (x + 2 ) ( x + 1)x(a: - l) ( ; t - 2 ) ( x - 3)
COM BINATORIA 1 9 1
( Ejercicio '48
Calcular las siguientes variaciones:
1) V6.2 5) V8.3 9) V x + ,.4
2) V x ,2 6) v 9,2 10) V,u
3) V ia 7) y 10,4 11) y m + n —1.2
4) V . r + 3,3 8) W , 2 12) y m - n + 1,2
Fórmula factorial de las variaciones
Tom em os la fórm ula (2C):
Vmn = m ( m - l) (m - 2) ■■■ -(m - n + 2) ( m - n + 1)
Si m u ltip licam o s y d iv id i­
m os po r (m -n )'. tenem os:
En esta expresión e l num era­
d o r es igual a m!, po r lo cual:
_ m { m - l) (m - 2 ) - • • (m - n + 2 ) ( m - n + 1 )(m - n)!
y m ,n •> ( m - n ) !
m!
( m - n ) !
(3C)
La fórm ula (3 C) nos perm itirá desarrollar una variación en los casos en los 
que el valor de n sea desconocido.
E jem plo 9
Desarrollar V , +5. ,+3
Utilizando (3C): (x+ 5y. 
x+5'x+3 (x + 5 - x - 3)!
_ (x + 5)! _ 
2!
(x + 5)!
( Ejercicio 49
Desarrollar las siguientes variaciones:
1) v 7. 5) V 2X -3.X- 1 8) V ,
2) V ¿ + 4 ,* + l 6 ) ^ m+n,m-n 9) V ,
3) ' V , - 3 , , - 5 7) y m + n,n-3 10) V ,
4) V * s - A
m —n ,4 - n
m + n + p ,n + p
m —n + p ,p + n
1 9 2 COM BINATORIA
Combinaciones
Estudiaremos tam bién este último tipo de ordenaciones a través de un ejem ­
plo ilustrativo.
De un grupo de 7 personas se necesita elegir 3 para trasladar unos bultos. ¿De 
cuántas formas distintas puede estar com puesto este equipo de tres personas?
Este problem a se diferencia del problem a que estudiam os en la pág. 190 en 
que, en el ejem plo de la variación, la ju n ta form ada por A P residen te , B 
V icepresidente y C Secretario era distin ta de la form ada por B P residente, C 
V icepresidente y A Secretario o de cualquier jun ta formada por cualquier ordenación 
distin ta de los m ism os elem entos; en nuestro ejem plo, en cám bio, el equipo 
compuesto por las personas A, B y C no difiere del equipo formado por B, C y A.
En aquel ejem plo, el orden en que se tom aban los elem entos determ inaba la 
•formación de jun tas distintas; en éste, no: sólo tendrem os un equipo distinto si se 
cambia alguna de las personas que lo conforman.
Una variación ¿s, pues, el producto de todas las ordenaciones distintas que se 
pueden obtener cambiando algún elem ento por la permutación de esos elementos.
U na C om binación (así se denom ina el caso de nuestro problem a) es el 
conjunto de ordenaciones que se pueden obtener de tal form a que una ordenación 
sea distinta de otra sólo si tiene algún elemento diferente.
Para calcular una com binación basta, entonces, tom ar la variación de esos 
elementos y dividirla por la permutación de los mismos:
(4C)
Si sustituim os en el num erador y en el denom inador del m iem bro de la 
derecha por sus equ ivalen tes de las fó rm ulas ( 2 C) y ( 1 c ), respectivam ente, 
tendremos:
(5C)
El resultado de una com binación de m elem entos tom ados de n en n será, 
pues, el producto de n factores decrecientes en una unidad por vez, siendo m el 
prim ero de ellos, dividido por n\
En nuestro ejem plo, el total de equipos d istintos de tres personas que se 
pueden form ar con las siete personas disponibles será Q 1 , .
L a co m b in ac ió n q u e d e b e ­
m os c a lcu la r e s equ iva len te 
al p roducto d e 3 facto res d e ­
crecien tes en una unidad por 
vez siendo 7 e l p rim er fac to r 
y d iv id ido po r 3!:
C 7,3 =
7 6 5
3!
7 -6 -5
3 -2
35
r =
^ myn
m (m - 1 ) (m - 2) • • • (m - n + 2) (m - n +1) _ _ _ _ _
r =^ m,n
yy m,n
P n
COM BINATORIA 1 9 3
Ejemplo 10
Calcular C x+3,4
L a c o m b in ac ió n que d e b e ­
m os ca lcu la r e s equ iva len te 
a l p roducto de 4 factores de­
c rec ien tes s iendo x + 3 el 
pFimer fac to r y d iv id ido por 
4!: (x + 3 )(x + 2 )(x + l ) x
■x+3 , 4 4!
(x + 3 )(x + 2 )(x + l)x
24
(■ Ejercicio 50
Desarrollar las siguientes combinaciones:
1 ) C 5 . 2 5) C 1 2 . 2 9) C x<5
2) Có.3 6)’ C m,3 1 0 ) C 1 1,4
3) Cl0.3 7) Cx+7,l 1 1 ) Cffi+n+1,3
4) C 9 . 4 8) C?2x+1.3 12) C m + p , 2
Fórmula factorial de las combinaciones
Si en la fórm ula (4C) sustituim os el num erador y el denom inador de la 
derecha por sus equivalentes de las fórm ulas (3C) y ( l c), respectivam ente, tenemos 
que
mi
r =m.n
(m - n)l
ni
mi
(m - n ) \ n\
(6 )
Esta fórm ula nos. perm itirá, com o en el caso de la fórm ula (3C), desarrollar 
una com binación cuando el valor de n sea desconocido.
E jem plo 11
Desarrollar C ,+ 6 f * + 4
U tilizando (6°):
c
(x + 6)!
v+6,.v+4 (x + 6 - x - 4)!(x + 4)!
D esarro llando e l faotorial del í x _j_ + 5 ) ( j t + 4 )¡
num erador: — ------------------------------------------ =
2! (x + 4)!
(x + 6 )(x + 5)
1 9 4 COM BINATORIA
C Ejercicio 51
Desarrollar y simplificar las siguientes combinaciones:
1) C \ n 5) C 2x+3,x~] 9) c,
2) - C x,x- 3 6) C l , n~\ 10) c,
3) Cx+4.x 7) C s,x-2 11) c,
4) C x-5,x-b 8) C x+7,x+6 12) c,
m + n , n - \
m - 9 ,m - 1 0
m + n - p , n - p
m - n + p , n + p
En efecto:
Combinaciones equivalentes '
Dos com binaciones, Q m y C m,n2 » son equivalentes si «, + n2 = m .
n
r =^ m,w.
m!
Pero
Sustituyendo:
( m - n ,) ! n,! 
n, = m - « 2 
mi
(w - m + n2 )• (m “ n2 )•
m!
n2! (m - n 2)!
— C m .n ,
Se suele resum ir esta propiedad mediante la siguiente igualdad:
Y la exp resión an terio r e s el 
desarro llo de
r = cy-'in.n ' s m,m-n (7C)
Son ciertas, por la propiedad anterior, las siguientes igualdades:
C|5.7 = Cl5,8 
C20.15 = C20.5 
C7.1 = C7.6
etc. Y podemos aprovechar esta propiedad para facilitar en algunas ocasiones 
el cálculo de combinaciones.
E jem plo 12_____________________________
Calcular: C 5o,48
L a com binación a c a lcu la r es 
equ ivalen te a e staotra:
D esarro llando ésta:
- Cso,2 
50-49 1225
COM BINATORIA 195
( Ejercicio 52
Calcular las siguientes combinaciones:
C 2 0 J 8 5) C ío ,8
2 ) -C l7 ,1 4 6 ) C l 00,98
3) Cs5,53 2) C70.66
4) C 26,25 **) C 33,30
9) C 200,198
10) C62.61
11) C20J4
12) C|8,12
Factorial de cero: 0!
El valor de toda com binación en la que m y n son cantidades iguales es la 
unidad. En efecto:
^ _ 5 -4 -3 -2 -1 ,
t 5 . 5 ^ “ 15!
^ _ 7 - 6 - 5 - 4 - 3 ? l t
C 7,7 ~ - 1
En general:
_ _ m ( m - l ) ( m - 2 ) - - - 3 - 2 1
C m -m ~ m! ‘
Pero si calculam os cualquiera de esas expresiones por la fórm ula (6C), nos 
encontramos con lo siguiente:
„ _ mi _ m\ _ J_
“ (m - m )\ m! ” O h^l “ 0!
Sabem os que m - 1; por lo tanto la expresión —• es igual a la unidad y
esto sólo puede ser cierto si 0! es igual a 1.
En consecuencia
0!= 1
Podem os, entonces, calcular tam bién expresiones com o C 5 0 ’ C 1 0 0 ’ e tc-’ 
que no podrían ser calculadas con la fórm ula (5C):
m!
Cm. 0
mi
' m’° ( m - 0 ) ! 0 ! m !0!
Toda com binación en la que 
n = 0
ó n = m
es igilal a la unidad.
C = C =1m.m m,0
= 1
(8C)
1 9 6 COM BINATORIA
( Ejercicio 53
Calcular las siguientes expresiones:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
C í a ' y 7,3
, C í a ' C \o ,6
C l4 , \2 ’ C \5 , \5 ' P 3 
V « 3 ,2 - C 7,5
C lQ ,3 ( C l l ,4 ~ C lQ ,s ) 
C l 3 . l l ' V s a 'C \ 2 , 0
C\QA+ C&,6 + CéA 
V 4 ¿ + V s .2 + V W + V 7.2
V m+2,3
C m +2,3 ’ P 3
C 3 x P x P l - x
7 > Í C , 2
k=2
* ) Í ( - D * C U
*=3
5
’y '.C k+ s .s -k
k=0 '
10) £ ( - 1 ) ^
*=0
5
i i ) X lg M C i . ‘ -i
Relación entre m y n en las fórmulas combinatorias
Siendo m y n, respectivam ente, el núm ero total de elem entos de los que se 
dispone y el núm ero de elementos que entran en cada ordenación, es obvio que m y 
n deben ser cantidades e n te ra s y positivas (n puede ser tam bién igual a cero 
tratándose de combinaciones, com o ya hem os visto).
Por otra parte, el núm ero total de elem entos debe ser m ayor o, por lo menos, 
igual al de los que entran en cada ordenación. Tratándose de variaciones, m debe ser 
m ayor que n, pues, de ser iguales, la expresión se transform a en una permutación:
V = Py m,m * m
Resumiendo: 
para las variaciones (V m m) para las com binaciones [ C m „)
m > 1 (m g N )
n > 0 (neA T)
m > n
m > 1 (m e N )
n > 0 ( n e N )
m > n
(9C)
Ecuaciones que contienen expresiones 
combinatorias
P ara reso lver ecuaciones que con tienen expresiones com binato rias es 
necesario, en lá m ayoría de los casos, desarrollar éstas. Al term inar de resolver las 
ecuaciones es n ecesario verificar si las so luc iones ob ten idas sa tisfacen las 
condiciones resumidas en (9C).
COM BINATORIA 1 9 7
E im n k J l________________
Resolver: V x-s 2 = 72
D esarro llando la variación: (x — 5 )(x — 6) = 72
M u ltip lic an d o y red u c ien d o 2 1 o n — ”70
térm inos sem ejantes: * — 1 IX + .ÍU — /Z
X2 - l l x - 4 2 = O 
Factorizando: (x - 14)(x + 3) = O
x 2 = - 3 (Inadmisible)x, = 1 4
. Se puede resolver tam bién esta ecuación aprovechando la circunstancia de 
que, una vez desarrollada la variación, tenem os en el m iem bro de la izquierda dos 
'factores consecutivos decrecien tes, cosa que podem os ob tener tam bién en el 
miembro de la derecha. El valor de la incógnita se halla igualando cualquiera de los 
factores del miembro de la izquierda con su correspondiente del miembro derecho.
L a resolución del ejem plo anterior por este m étodo sería com o se m uestra a 
continuación:
D esarro llando la variación: ^ — 5) ( x — 6 ) = 72
T ran sfo rm an d o el m iem bro 
de la derecha en un p roducto 
de d o s fac to res consecu tivos . . .
decrecientes: ( x — 5)(x — 6 ) = 9 • 8
Ig u a la n d o el p r im er fa c to r 
del m iem bro d e la izqu ierda 
co n e l p r im e ro d e l d e la 
derecha: X — 5 — 9
X = 14
 — — — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . — . . . . . . . . . -------- — — ----,
N ota: este m étodo no es válido para resolver una ecuación de segundo grado, pues ¡ 
una ecuación de segundo grado tiene dos raíces, ambas de igual importancia, j 
y este m étodo sim plificado ignora una de ellas. Sin em bargo lo seguirem os i 
utilizando en las ecuaciones que contienen expresiones com binatorias porque | 
e l valor o los valores (en el caso de ecuaciones de grado m ayor que dos) i 
ignorados, al ser sustituidos en las expresiones com binatorias, dan origen a j 
valores negativos para m o valores que hacen que m sea m enor que n. j
E im p te 14_____________________________
Resolver: C x+9 , 2 = 6
D e sa rro llan d o la co m b in a-
ción: (* + 9 ) ( x + 8)
2
M ultip licando po r 2: ( x + 9 ) ( x + 8 ) = 1 2
198 COM BINATORIA
T ran sfo rm an d o el m iem bro 
de la derecha en un producto
de dos facto res consecu tivos ' , t „
decrecientes: _ (-C + 9 ) (JC + 8 ) = 4 • 3
X + 8 = 3
x = - 5
E jem plo 15_____________________________
Resolver: V x-i ,2 = 11 (* - 2)
‘D esarro llando la variación: — 2) = 11 (x — 2)
D ividiendo po r x - 2: (x —l) = l l
jc = 12 I ’
N ota: N uevam ente hem os hecho una sim plificación que no estam os autorizados a ! 
hacer al resolver una ecuación de segundo grado. D ividir los térm inos de una i 
ecuación por expresiones que contengan la variable causa de inm ediato que ¡ 
se ignoren raíces de la ecuación. En la ecuación anterior, sim plificando por ¡ 
x - 2, hemos descuidado la raíz jc = 2.
Pero tam poco en esta oportunidad la raíz ignorada satisface la ecuación j 
original, pues, si x tom ara el valor 2, tendríam os que en la variación m sería j 
m enor que n. i
Ejem plo 16___________________________
Resolver: C x+6,n = C , + 6 .4
O b s é rv e s e q u e en e s te 
e jem plo tenem os dos co m b i­
naciones equ ivalen tes siendo 
m igua l en am bas. P o r la 
p rop iedad (7 C) sabem os qué, 
en e se caso , n, + n 2 = m. En 
consecuencia: 1 2 + 4 = X + 6
de donde v — 1 f»
Ejemplo 17____________________________ ;__
Resolver: V v+7i4 = 360 
D esarro llando la variación: (* + j ) ( x + 6 ) ( j c + 5 ) ( j c + 4 ) = 360
Igualando uno de lo s fa c to ­
res de la izqu ierda (tom am os 
e s ta vez e l segundo) co n el 
.co rrespond ien te d e la d e re ­
cha:
COM BINATORIA 1 9 9
T ran sfo rm an d o el m iem bro 
de la derecha en un producto 
de cuatro fac to res co n secu ti­
vos decrecientes:
Igua lando uno de los fac to ­
res d e la izq u ie rd a co n su 
co rresp o n d ien te de la d e re ­
cha:
( x + 7 ) ( x + 6 ) ( x + 5 ) ( x + 4 ) = 6 - 5 - 4 - 3
x + 7 = 6
x — —1
Ejem plo 18
Resolver: V m4 + C mA = 875
A ntes d e d esa rro lla r las e x ­
p resiones com binato rias, va­
m os a u tilizar la fórm ula (4C) 
para s im plificar el cálculo:
M ultip licando po r 24:
S im plificando:
D esarro llando la variac ión y 
tra n s fo rm a n d o e l m iem b ro 
d e la d e re c h a e n c u a tro 
fac to res consecu tivos d ec re ­
cientes:
Igualando e l p rim er fac to r de 
cada m iem bro:
m, 4
y
P,4
V
m,4+ 24
- = 875 
— = 875
24Vm.4 + Vm,4 = 21000 
25Vw.4 = 21000
y . , 4 = 840
m ( m - l) (m - 2 ) ( m - 3) = 7 • 6 • 5 - 4
m = 7
EkmpJoJSL
Resolver: V m A ~ 8 C m,3 = 40
D esarro llan d o las e x p re s io ­
nes com binatorias:
M ultip licando po r 3:
M ultip licando y reduciendo 
térm inos sem ejantes:
( i v o v 8m (m —l ) ( m - 2 )m ( m - l)(m - 2 )(m - 3 ) --------1------- —-------- - = 40
6
3m (m - 1 ) ( m - 2 ) ( m - 3 ) - 4 m ( m - 1 ) ( m - 2) = 120
3m4 - 1 8 m 3 + 33m 2 — 18m —^4m3 - 12m2 + 8m) = 120 
3m4 - 22m 3 + 45m 2 - 26m - 1 2 0 = 0
2 0 0 COM BINATORIA
R eso lve rem os esta ecuación 
u t i l i z a n d o R u f f in i . N o 
pro b arem o s co n va lo res ne­
ga tivos (m no puede se r n e ­
g a tiv a ) n i con valoresmSno- 
res de 4 (la v a ria c ió n no 
tendría sen tido). T am poco lo 
harem os con-valores fraccio­
narios.
O b ten em o s e l p r im er cero 
d iv id iendo po r x - 5:
L os -restan tes d iv iso re s del 
ú ltim o té rm in o del cocien te 
no son ra íces de la ecuación , 
p o r tanto:
3 -2 2 45 -2 6 -120
,5 15 -35 50 120
3 -7 10 24 LO,
m = 5
Ejem plo 20
D esa rro llan d o las v a ria c io ­
nes:
Sacando fac to r com ún:
Resolver: V m,4 + V m,3 = 480
m ( m - l ) ( / n - 2 ) ( m - 3 ) + m ( m - l ) ( m - 2 ) = 480
m (m - l) (m - 2 )[(m - 3) + i] = 480 
m ( m - l ) ( m - 2 )2 = 480
A d iferencia del ejerc icio an­
terior, en e s ta oportun idad se 
hace m ás fácil descom poner 
el m iem bro de la d erecha en 
fac to res q u e guarden entre s í 
la m ism a re lac ió n que los 
fac to res del m iem b ro de la 
izq u ie rd a , lo que nos e v ita 
tener que reso lv er una ecua­
ción de cuarto grado: m (m - l)(m - 2 )2 = 6 ■ 5 • 4"
Igualando el prim er fac to r de 
cada m iem bro:
m = 6
Ejem plo 21 /__________________
Resolver: P x_4 = 24
D e sa rro l la n d o la p e rm u ta - , . .
ción: ( * - 4 ) ! = 2 4
L a e c u a c ió n se re s u e lv e 
fácilm ente si logram os trans­
fo rm ar e l m iem bro de la d e ­
recha en un factorial:
■ , (jc — 4)!= 1 - 2 * 3 * 4
(jc — 4)!= 4!
COM BINATORIA 2 0 1
Es obv io que, para que esta 
igualdad sea válida, tiene 
que cumplirse que * ■ '-4 = 4
de donde * = i
Ejem plo 22____ ________________________
Resolver: P x+6 = 3 0 P x+4 
D esarrollando: ( * + 6)! = 30 (* + 4)!
D escom ponem os (x + 6)! pa­
ra sim plificarlo con (jc + 4)!:
Igualando el p rim er fac to r de 
cada m iem bro:
(* + 6)(* + 5)(* + 4)!= 30 (* + 4)! 
(* + 6)(* + 5) = 30 
(* + 6)(* + 5) = 6-5
* + 6 = 6
* = 0
E je m p lo 23.
Resolver: V 10,n = T V 9,n
U tilizando (3 C):
D escom ponem os el den o m i­
n a d o r de la fracc ió n de la 
izq u ie rd a y tran sfo rm am o s 
en un facto ria l el num erador 
de la derecha:
S im plificando:
Invirtiendo las fracciones: 
de donde
10! 10 9!
( 1 0 - « ) ! 7 ( 9 - n ) !
10! 10!
( 1 0 - n ) ( 9 - n ) ! 7 ( 9 - / i ) !
1
ío -A i : 
10-7 t = 7
n = 3
E je m p lo 2 4 .
Resolver: 3 C 7 . , = 5 C 7. , +2 
U tilizando (6C): ' 3 - 7 ! 5 7!
( 7 - * ) ! * ! ( 5 - * ) ! ( * + 2)!
2 0 2 COM BINATORIA
S im p lific am o s los n u m era ­
dores y descom ponem os las 
e x p re s io n es (7 - x)! e n la 
izq u ie rd a y (x + 2)! a i la 
derecha:
Simplificando:
( 7 - j c ) ( 6 - j c ) ( 5 - j c ) ! jc! ( 5 - j c ) ! (jc + 2 ) ( x + 1 )* !
3 _ 5
( 7 - * ) ( 6 - j c ) (jc + 2 )(a t + 1 )
T rasp o n ien d o d en o m in a d o - . . , . . . .
3 (* + 2 )(x + l) = 5 ( 7 - x ) ( 6 - x )
M u ltip lic an d o y red u c ie n d o , 
térm inos:
D ivid iendo po r 2: 
Factorizando: 
d e donde
3 x 2 + 9jc + 6 = 210 - 6 5 jc + 5 jc 2 
2 x 2 - lA x + 204 = 0
jc2 -37 ;c + 102 = 0
( jc- 3 4 ) ( * - 3 ) = 0
jc, = 3 4 (Inadmisible)
x 2 = 3
E jemBlQ2 5
Resolver: C s . , = 2 C 8.x+3
U tilizando (6C): 8! 2 8!
( 8 - j c ) ! x \ ( 5 - j c ) ! ( j c + 3)!
S im p lif ic a n d o y d e s c o m ­
p o n ie n d o la s e x p re s io n e s 
(8 - x ) ! y (x + 3)!
1
(8 - jc ) (7 - jc) ( 6 - x ) ( 5 - a:)! x \ ( 5 - x ) ! ( . r + 3 ) ( x + 2 )(* + 1).k! 
„ ^ : aSPOn¡en' (* + 3 ) ( j + 2 ) (x + 1 ) = 2 (8 - * )(7 — x)(6 - x)
M u ltip lic an d o y reduciendo 
térm inos:
D iv id iendo por 3:
jc3 + 6 jc2 + 1 Ijc + 6 = 6 7 2 - 2 9 2 jc + 4 2 jc 2 - 2 jc 3 
3 jc3 - 3 6 jc 2 + 3 0 3 jc - 6 6 6 = 0
jc3 - 12 ;c2 + IO Ijc - 2 2 2 = 0
A l re so lv e r la e cu ac ió n po r 
R u ffin i, só lo te n d rem o s en
CO M BIN A TO RIA 203
cuen ta , de lo s d iv iso re s de 
222, los positivos y los que 
no sean m ayores de 5, para 
q u e la c o m b in a c ió n del 
m iem bro de la d erecha d é la 
ecuación o rig inal tenga sen ­
tido.
L a ú n ic a r a íz e n tre los 
núm eros que satisfacen estas 
condiciones e s 3:
E n definitiva:
1 -12 101 -222
3 3 -27 222
1 -9 74 LQ
* = 3
( Ejercicio 54 [
Resolver las siguientes ecuaciones: y
C . H 3
21) V 2m-,.4 = 120
22) C 3m+, 4 = 210
1) V ,„2 = 12
2) C „ . 2 = 10
1 ^ ) Cm-3:2 = H
= 35
4) V m+3,2 = 30
5) V „ u = 24*
6) C x, 2.3 = 7*
V „ u - 2 V « j
g ) V ,- |.3 = 7 V ,-2 .2
9) V ,3 = 2 V 4 +U
10) 5 C , 2 = 2 C , 4
11) C * +2.3 = 4 C K |,2
§ C m>10 =C x + 5.7 = C j + 5,13
14) V m+2,3 — 35(m +1)
15) C ,-2 .3 = 8( * - 3 )
16) V , i4 = 28 V ^ . ,2
17) V , +u = 45 V , ,3
18) 4 C , 5 = . 9 C , - U
@ V , - u = « o
, = 16^ 3 ^ C m.2+ C m+1,2
24) V „ ,2 + V mt2,2 = 86 
© C m t,.2 - C „ - , 2 = 13 
^ 2 V „ t M - V „ . 2 = 82 
© 3 C .,.2 “ 2 C x +,,2 = 3
3
28) X C 2 * , t = 7m 
* = 1
29) V m+1,2 + V ra.2 + V m., = 22m 
© V m.2 - m = C m.3
31) 2 V_,_u - 2 C ,.2 = 33(x-1)
t V „,3 + V „ +1,3 = 84 
-V m.3 + 2 C m+1,2 = 90
34) V x,3 + V I+U - V ,+13 + 36 = o
33) VxA~Cx,4+ V x-l ,y~Cx-l,y~
,36) V , , 3 - C 4 + u = 85 
3 ¡ j ) p x = 120
•2 0 4 COM BINATORIA
V 1, - / ? o
3 8 ) P m - 2 = 7 2 0
39) P x = A P X_\
4 0 ) P x +2 = 3 0 P x
41) P , +3 = 6 0 P ,
42) v 1; rt= 2 v 11,
43) V 9 ,n = 3 V 8,„
44) 4 y 9 n = 9 V 8 n
45) Vz„ = 7V5,n 
•'46) 2 V 7 n = 7 y 5 n
47) 1 5 V M - 2 8 y M = 0
48) ClO,n = 2C9,H
49) C 12, „ - 3 C n > 0
50) C , o,„ = 3 C 8,„
5 1 ) 2 C 1 5 n = 3 ( 7 1 4 n
32) Ci3,n_ Ci3,/¡+! = 0 
53) C I5.x+2 = 1 3 C l5,
54^) C l u + 7 = 6 C , u +5 
55) ^ C 9 ,x - \ = ^C9,x+l 
C\4,x- \~ ? £ \4 ,x - l - O
v 6, r = i 2 v 2
38) V7,jc+1 = ^3 V 8,.r-I
59) 7 y 6,_ 1- 6 0 V 7 x_ 3 = 0
60) 4 ( 7 ,0 x+7 = 7 ( 7 10 r+4
61) Cl2,A!+2 = ^C]2,X-1
62) 5 (7,2^+8 = 18(7l2,x+4
6 3 ) V , + 3 . 4 = 7 2 y , + l > 2
64) i 8 y 2x+4,3 = i3 y x+4t4
65) 5 y 2m+3 3 = 126 Vm+2 , 2
66) y 3*+4,3 = 35 V.x+2,2,
6 7 ) 5 y 2mí+43 = i 4 y m+3 4
68) i 5 y 2x_2, 3 = i 4 y , +1.4
69) C2.V+4.3 ~ ^4(7 .t + 2.4
7 0 ) 3 C 2 , +„u = 4 4 C , +5.4
71) 2 y ,_ 2>2+ (^ - 2 ) y r_ 3 3 = 6 c .t .4
7 2 ) U + 2 ) C , + 1,3 + 5 y , + 2 i 2 - 3 C * + 4 . 4 “ O
7 3 ) y I0 . . Í + 2 = V 8 . * ' V 3 * + l , 2
7 4 ) y 8 , + 3 = 4 y M - y 4 , , 2
75) 2 ( 7 2x+3 2 - V i ,x - y 9 ,x+ 2
7 6 ) i 2 y 6.,_ i = y 6j;t+, ,
77) I 2 y 7i,_ , = 7 y 6i,
7 8 ) P x = 2 V x,5
79) 5 ( y , , . 2- V , +l.3) = 4 8 C I+2.4
8 0 ) y .r+ 2 .4 ~ C a -2,2 = 24C.V+1.3
81) V.v+3,5- C .tJ,2 = ) 6 0 (7 a+2.4
8 2 ) V^.c+2,4 4" 5 C 2a +2,5 = 16 C x~ ,2
8 3 ) 1 2 ( 7 Ai3 + 2 2 y r 3 = P x
8 4 ) 3̂ 3 P 2 .r = 2 C 2 .V.3 3 y 2.V.3
8 5 ) V a+ 2. , + V a+4.a = V v +5,,
86) C x + l , x ~ C.C+5.x ~ Cx+4.x 
4 3 2 0 ( j c + 8 )
87)
88)
89)
90)
_ J + ___1_
C .t+ 3,A C x+4,x P .t+ 4
31201 3
• +
*+5..r V x+6.x P.v+6
1 7 1 1- + •
y x+4,x V , + 5 , V x w 1 2 ° C +5 ,
1 1 _ - * P , +4
V *+ 3 , V t+4,A 2400
91) ( P r)2 - 30 P v + 144 = O
92) (V ,.2 )2 - 5° V , . 2 + 600 = 0
9 3 ) ( C , 2)2 “ l S C , . 2 + 4 5 = 0
9 4 ) ( C o ) 2 - 1 4 C . , + 4 0 = 0
9 5 ) P x P x+\ = 9 10 12 14 15 16
COM BINATORIA 2 0 5
96) P x - P i + 2 = 10- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4
97) P ~ 2 _ 720 ■
‘ 68 ~ P x+5
98) P x P , « P „ 2 = 17280
99)
“») VXJ-V„w-V„M- 172*»
720
101) V , t u ? , 3 =
102)
x - 2
V x + S , 3 ' P x + 2 1 1
20160 x 2 + 7x + 12 x 2 + 9x + 20
C Ejercicio 55
Dem ostrar las siguientes igualdades:
1) V =C P' y m,n ^ m,n * n
2 ) Cm,„ = C m,m-n
3) V i2 ,3‘ V^9,4' Vs,4 = P l2
4) Viiy V 1y V * y V 2,l = Pn
5) V m+1,„ = V w,n + » V m,„_,
6) A plicando reiteradam ente la relación dem ostrada en el ejercicio ante­
rior, dem ostrar que
= V*-!,* + « V*-2.«-l + n<n ‘ J) V m- 3,n-2 + ........+" ! V m-n+U
V V . V •, •V ’ *<y\ " m./t r m-l,n y m-2,n ’ m-i,n t j
V ■V V V ~ V rn-n+\A* m,n-1 ’ m—1,«—1 ' m-2,n-I » m—3,/¡-i8) V4n,2n = V 2n,n P n ' C <\n,2n
9) P 2 n = { P n)2 ' C 2n,n
10) C m,„ = C m-Un + C m - \ , n - \ <R e g la d e PaSCal>
11) A plicando reiteradam ente la relación dem ostrada en el ejercicio an te­
rior, dem ostrar que
Cm ,n ~ C m - \ ,n - \ C m - 2 ,n - \ C w¡-3 ,n-l 
^ V m+l,n ~ m {V m ,n - \ + V , « - 1,0- 2)
B ) W C - = C — 1 
14> =
206 COM BINATORIA
15) P n+i ~ P n = n P n
1 6 ) Pn + P n - X = ~nPw+ .
17) P n +2 + P n = (" + V 2 P n - P n +i
1 8 ) , ^ n P n - P n) P 2n. , = ^ P n. 2 P 2n. ,
,9 ) — L _ = _ ^ l _
m! (m + 1)! (m + 1)!
20) P m+1 ' P ' P = V m+\,m ' V num -1'
21) Cm+\,m'Cm,m-\'Cm-\,m-2 = m ~ m ^
22) V w+I,m + + V m- , m-2 = ■ **< « + 1)-
2 3 ) V 8 a ,4 a ' V 4 a ,2 a ' V 2 a ,a = V 8 * .7 *
24) lg P ,0 = 61g2 + 41g3 + lg 7 + 2
25) ( m - n ) y mn = m P n - C m- Ln
26) ( C 2w,« + V 2 w.w) Pn=V 2/i. w + P 2/i
) - C 4„ .2/; ' Có/i ■3/i _ /-1
1 / \2 '— 6/i,2/i
l * 4 / ij
28 ) V m.m = V = P , „
29) lg6 (27 P 9) = 7 + lg6 35
30) \ / 15,3 ’ C i 1,9 ’ C 9.6 y 9,2 ’ 6,3 ’ VA,2 ~ P 13
Sistemas de ecuaciones 
que contienen expresiones combinatorias
E jemplo .26.
D 1 1 t p C x . v - l " 5 C a , v - 2Resolver el sistema:
2 y - x = 1 
D e sa rro l la n d o la p r im e ra
e c u a c ió n d e l s is te m a : 3 5
( x - y + l)! ( y - 1 )! ( a - 3 -+ 2 )! ( > - 2 )!
Sim plificando los num erado­
res y hac ien d o las d escom ­
posiciones facto ria les conve­
n ien te s p a ra p o d e r s im p li­
ficar los denom inadores:
{ x - y + 1)! (>■ - 1 ) ( / - 2)! ( x - y + 2 ) ( x - y + l } . ( y - 2 ) \
COM BINATORIA 2 0 7
C on el d esa rro llo de la p ri­
m e ra e c u ac ió n , e l s is tem a 
•queda así:
y - 1 x - y + 2 
3 ( x - y + 2 ) = 5 ( y - l ) 
3jc - 3_v + 6 = 5y - 5 
3 x - 8 y = - l l
3x - 8>’ = -11 
- x + 2 y = \
L a so lución d e e ste s is tem a 
elem ental es: X = 1
y = 4
Ejem plo 27
Resolver el sistema:
T om am os la segunda ecu a ­
c ió n y tra n s fo rm a m o s el 
m iem bro de la d erecha u ti­
lizando (4C): y
' 4 V , ^ l + 2 V , > = 1 5 C IO
I V x + \ , y = ^ C x + l.y
6 V -T + l.V
v+l.y
Sim plificando:
D e sa rro lla n d o la p e rm u ta ­
c ió n y tran sfo rm an d o 6 en 
un factorial:
de donde
P v = 6
y! =3!
y = 3
Ai su stitu ir e s te va lo r en la
prim era ecuación , é sta queda A t r , o T 7
así: 4 r .,2 + ¿ v , r u t . t jasí:
D esarrollando:
4 x ( x - l ) + 2 x { x - \ ) ( x - 2 ) =
1 5 x ( x - l ) ( x - 2 )
D iv id iendo todos los té rm i­
nos p o r.r(x - 1):
de donde, resolviendo:
Y la solución de l's is tem a es:
4 + 2 (x - 2) = — (x - 2)
x = 10
(10,3)
208 COM BINATORIA
EjemplQ 28
Resolver el sistema:
Tomamos la segunda ecua­
ción y transform am os el 
miembro de la derecha utili­
zando (4C):
V
Vx+2,y+\ + 6 V x+] y - 6 C V - .y - ,
y ,» . ,+i= 24 c x* ,+,
2 4 y ^ , v+l
j T , v+I
P y +1
Simplificando y resolviendo: p +( = 2 4
. . (>- + 1 )1 = 4 !
>- + 1 = 4
Sustituyendo este valor en la 
primera ecuación:
Desarrollando:
>- = 3
V r+ 2 .4 + ^ V.v+1.3 “ ^ C .' jc ,2
(jc + 2 )( jC + 1) jc ( jc - 1 ) + 6 ( x + 1 ) jc (.X - 1 ) =
6.v2(jc2 - 1)
Dividiendo todos los térmi- . . „
nos p o r(x + 1) . í ( . r - 1): ( x + 2 ) + 6 = 3.X
de donde
La solución del sistema es:
JC = 4
(4,3)
( Ejercicio 56
Resolver los siguientes sistemas:
J C , , . - 1 = C x.y 
I 4 C x,y = 5 C x l y - 2
\px̂ v x,y
j V „ y = 6 C , . V 
| 5 C , y = 4 C ,. .v- ,
1* - y = 3
4 ) 3 C , y = 5 C , y - 1 = 3 C .r ,y +1
5) 5 C , >.; i = 5 C , . v_, = 4 C , y
6)
7)
8) 
9)
S V * , v V x - ) , y ~ C x - \ , y + \
{ V x . y = 2 C x ,y
\ C x,y + ^ Cx,y+1 = 5 Cjr-],y
[V.r+l, v-l = 2 Cx+l,y-l
f V r - 1,y+1-1 2 0 C x - ,..v +1= 0
[ 4 C v,y-, + 2 C x .v = l l C - , . . v - ,
fV x>.,+2 = 7 2 0 0 . ^ 2
I3 Vx+3.y+l ~ ^ V x + 2 . y = ^ C x2, y - 2
COM BINATORIA 2 0 9
1 0 )
11)
12)
! 3).
14)
15)
[?4 Vx-.y + P * - '
C x+2,y+l + ^ C x+Í,y = ^ C x+2,y
f lg C xy_2 + lg (x + y - 3) = lg C + l v _ 2 + lg (X - y + 3)
[C * ,y + I “ C x,y+2 ~ ^
[2 lg C x y - l g C A V_, - lg C x y_2 = 2 lg u - y + 1 ) + lg 4 - 2 lg 5 - lg ( v - 1 ) 
[ C x,y = C x,y- 3 
[ C x .y - C x,2y~\ ~ ^
P x P h = 86400
[ 7 V , .y = 5 V , +I.,
V . / > 7 y - 1 0 = J í l 2 _
r *-3 ' 7 y - 8
V .r+ } '+ l,2 y + l
= 6
x+y,2y
16)
17)
18)
132 V 2 .V.V- 2 ~ V/2.v..v 
_24
X
P 5 - y - V x +2,2 =
720
8 - y
_ V .̂v-v+1.2 P x - y - i
r x-< r — P i 
4 C , +1, - 7 C m = 0 
[ 1 5 V ,+u = 7 V , . , v+1
[C v.3v-1 “ C , v = ®
Problemas de Combinatoria
Para resolver los problem as de Com binatoria es esencial determ inar primero 
de qué tipo de agrupación se trata.
U na form a práctica para lograrlo es form ar una ordenación cualquiera. Una 
vez form ada la ordenación, se form a otra con los mismos elem entos cam biados de 
lugar. Si resulta un grupo nuevo, se trata de una variación; en caso contrario, de una 
combinación.
Se reconoce fácilm ente si se trata de una permutación si todos los elementos 
form an parte de cada ordenación y las ordenaciones difieren entre sí si cam bia el 
orden en que se toman los elementos.
Los sigu ien tes prob lem as son casos de perm utaciones, variaciones y 
com binaciones sim ples; es decir, ordenaciones que no contem plan repetición de 
elem entos. Posteriorm ente verem os perm utaciones, variaciones y com binaciones 
con repetición de elementos.
EjtWpkL22
En grupo com puesto por 9 personas debem os eleg ir un P residente, un 
Tesorero y un Suplente. ¿De cuántas formas distintas se puede realizar la elección?
D ado que e l n úm ero to ta l de 
e lem en tos es m = 9 y e l de 
los e lem en tos q u e en tran en 
c ad a o rd e n ac ió n es n = 3.
2 1 0 COM BINATORIA
co n clu im o s q u e .n o se tra ta 
de una perm utación.
P a ra d e te rm in a r s i e s una 
variación o u n a com binación 
fo rm am os u n a p rim era ju n ta 
h ip o té tic a co n las p e rso n as 
A, B y C.
F o rm am o s aho ra o tra c a m ­
b iando e l o rd en de los e le ­
m entos:
H em os o b ten id o u n a ju n ta 
d is tin ta de la an te r io r : e l 
o rd en e n q u e se tom an los 
'e le m e n to s in f lu y e e n la 
fo rm ac ió n de o rd en ac io n es 
d is tin ta s . C o n c lu im o s, p p r 
tan to , q u e se tra ta d e una 
variación.
Si lla m am o s T a l n úm ero 
to ta l d e p o s ib le s ju n ta s , 
tendrem os que:
A - Presidente 
B - Tesorero 
C - Suplente
B - Presidente 
A - Tesorero 
C - Suplente
T = V 9 3 = 9-8-7
504
Ejemp lo 30--------------------------------------------
Se tienen 7 galones de pintura de diferentes colores. ¿Cuántos colores distin­
tos pueden obtenerse m ezclando partes iguales de 3 de esas pinturas?
Siendo m = 7 y n = 3, n o se 
tra ta de u n a perm utación.
T o m am o s p a rte s ig u a le s de 
t re s d e e sa s p in tu ra s . Al 
m e z c la r la s o b te n e m o s un 
c o lo r X : A + B + C = Color X
Si hacem os la m ezcla en o tro 
o rden , o b ten d rem o s , d e to ­
das fo rm as, e l m ism o color: C + A + B = Color X
Se tra ta , pues, de una combi­
nación.
E l to ta l será:
T = C 73 =
7 -6 -5
3 - 2 "
= 35
COM BINATORIA 2 1 1
E im y to U _________________________
¿D e cuántas formas distintas pueden llegar a la m eta 5 personas que realizan 
una com petencia de yelocidad si no existe la posibilidad de que dos o más lleguen ai 
mismo tiempo?
C o m o to d a s las p e rso n as 
pa rtic ip an tes « o rren a l m is­
m o tiem po , la d ife renc ia en 
la llegada só lo puede deberse 
a l o rden de llegada. Se tra ta
de ana permutación: i = i 5 — 5! = 5-4-3 -2
( Ejercicio 57
1) Se dispone de 8 franjas de tela de distintos colores. ¿C uántas banderas 
distintas de tres franjas horizontales se puedenhacer con ellas?
2) Se tienen 10 galones de pintura de distintos colores. ¿C uántos colores 
nuevos se pueden obtener m ezclando partes iguales de tres de ellas?
3) C inco m uchachos hacen una carrera de com petencia. ¿De cuántas formas 
distintas pueden llegar a la m eta (suponiendo que no hay empates)?
4) ¿Cuántos núm eros diferentes de cuatro cifras se pueden form ar con los 
dígitos 1, 2, 3 ,4 , 5 y 6, sin repetir ninguno?
5) En un salón de 30 alum nos se solicitan cuatro voluntarios para llevar una 
mesa. ¿Cuántos equipos distintos de voluntarios se podrían integrar?
6) ¿De cuántas formas se pueden ordenar 7 libros en un estante?
7) ¿C uántas sum as distintas de tres sum andos cada una pueden obtenerse 
con los números 1 ,4 , 8, 16, 32 y 64?
8) U n club tiene 27 m iem bros. Se desea e leg ir en tre e llos una ju n ta 
com puesta por presidente, secretario, tesorero y vocal. ¿C uántas jun tas 
distintas pueden formarse?
9) En un juego de lotería hay un pote acum ulado de Bs. 200.000.000. Una 
persona, para estar segura de ganárselo, decide m arcar todos los posibles 
resultados. ¿Cuánto dinero gastará, sabiendo que para elaborar un billete 
hay que elegir seis números entre 42 y que cada billete vale Bs. 300?
10) U na m uchacha tiene tres anillos diferentes y decide llevarlos cada d ía en 
una posic ión nueva. ¿D urante cuán tos días podrá hacerlo sin repetir 
ninguna de las posiciones anteriores? (Se exceptúan los dedos pulgares y 
no debe colocarse más de un anillo en un m ism o dedo).
11) Con 15 alum nos ¿cuántos equipos distintos de fútbol y cuántos equipos de 
remo (de 11 alumnos) se pueden form ar? Se supone que en el prim er caso 
la efectividad es distinta según el puesto que ocupe cada alum no, y en el 
segundo caso no.
2 1 2 COM BINATORIA
12) Si cada vez que un jugador de dom inó, al tom ar las 7 fichas que le 
corresponden, Je saliera un juego distinto, ¿después de cuántos juegos le 
volvería a salir un juego repetido?
13) Un estudiante desea utilizar 4 colores diferentes para colorear un mapa. 
¿De cuántas formas distintas puede hacerlo si tiene 10 colores distintos?
. . . . . . . . . . . . . . . 1
Nota: A partir de este m om ento suponem os conocido el p rocedim iento para i
determ inar si la agrupación pertinente en un problem a es una variación, una j
com binación o una permutación.
Ejem p lo 32--------------------------------------------
¿Cuántos números m enores de 3.000 se pueden form ar con los dígitos 1, 2, 3, 
• 4, 5, 6 y 7, sin repetir ninguno de ellos?
T o d o s los núm eros de una, 
dos y tres c ifras son m enores 
de 3000.
L o s q u e se p ueden fo rm ar 
co n los 7 d íg itos que nos dan 
son:
de una cifra: 
de dos cifras: 
de tres cifras:
D e lo s n ú m ero s de cu a tro 
c if ra s só lo sa tis fa c e n la s 
cond iciones d e l p rob lem a los 
que com ienzan po r l ó po r 2 
(los q u e com ienzan po r o tra 
c if ra se rán ya m ay o re s de 
3000).
P a ra c a lc u la r c u án to s n ú ­
m eros de 4 c ifra s q u e c o ­
m ie n zan p o r 1 se p u ed en 
fo rm ar razonarem os así: d i­
ch o s n ú m ero s se rán de- la 
fo rm a 1X X X . L a p rim era 
c ifra se rá 1 y , para llenar los 
re s tan te s tre s lu g a re s , nos 
q uedan 6 dígitos. E l to ta l de 
esto s núm eros será, pues:
E l razonam ien to es idén tico 
p a ra los núm eros de cuatro 
c ifra s que com iencen p o r 2.
El to ta l de es,tos n ú m ero s 
será tam bién:
V r x
V 7 . 2
V 7.3
v 6, 3
COM BINATORIA 2 1 3
E n consecuencia , la can tidad 
to tal de núm eros m enores de 
3000 que se p ueden fo rm ar 
con los d íg ito s dados se rá :' 7 , = V 7., + V ^ 2 + V '7 .3 + 2 y 6 .3
= 7 + 4 2 + 2 1 0 + 2 -1 2 0 = 499
E je m p lo A l
Con los m ism os dígitos del ejem plo anterior, ¿cuántos núm eros pares de 
cinco cifras se pueden form ar? /
Lo$ núm ero s p ed id o s serán 
de la form a
XX XX2 
XX XX4 
XX XX6
E n c ad a un o de lo s t r e s 1 
caso s , si uno de los d íg ito s 
o cupa e l p uesto de la quin ta 
cifra , quedarán 6 d ígitos para 
d is p o n e r lo s e n los cu a tro 
puestos restantes.
El total será, p o r tanto: T=3V.6,4
=3-360= 1080
Ejem plo 34_____________________________
C on los m ism os d íg itos de los ejem plos anteriores, ¿cuántos núm eros 
mayores de 500 y menores de 40.000 pueden formarse?
Entre los de tres c ifras , só lo 
sa tis fa c e n las c o n d ic io n es 
del p rob lem a los núm eros de 
la form a
5XX
6XX
7XX
L a . can tidad de esto s núm e- _ _
ros es: 3 y 6,2
T odos lo s núm eros de cuatro 
c ifra s sa tis face n las cond i- 
ciones. Su to ta l es: V 7,4
D e los de c inco c ifra s , sólo 
sa tis fa c e n la s c o n d ic io n es 
del problem a los-de la form a
IX XXX
2 X X X X ¡y ,
3 X X X X
2 1 4 COM BINATORIA
L a can tidad de e s to s núm e- _ _
ros es: ^,4
El to ta l será, en defin itiva: 7 = 3 1 ^ , 2 + V 7, 4 + 3 V M
= 3-30 + 8 4 0 + 3 -3 6 0 = 2010
Ejem plo 35
Con los m ism os díg itos, ¿cuántos núm eros im pares m ayores de 500.000 
pueden formarse?
L os núm ero s de se is c ifras 
que-nos sirven son los de la 
form a
5X X X X 1 
5 X X X X 3 
5X X XX7
6X X X X 1 
6X X XX3 
6X X XX5 
6X X X X 7
7X X X X I 
7X X XX3 
7X X XX5 
(O bsérvese que no tom am os 
en c u e n ta lo s de la fo rm a 
5X X X X 5 y 7X X X X 7 dado 
qu e los d íg ito s n o p ueden 
repe tirse). P ara cad a un o de 
esto s casos vale e l sigu ien te 
razonam ien to : s i e l p rim ero 
y ú ltim o lugares están o c u ­
pados p o r d o s d íg ito s d e te r­
m inados, quedan 5 para d is­
p o n e rlo s e n los 4 lu g a res 
restantes.
L a can tid a d to ta l d e e s to s 
núm eros e s , entonces:
Los núm eros im pares d e sie­
te c ifra s son todos m ayores 
de 5 0 0 .0 0 0 . S e rá n de la 
form a
X X X X X X I 
X X X X X X 3 
X X X X X X 5 
X X X X XX7
La can tid ad de esto s núm e-
ros será: 4 r 6
Y e l to ta l de los n ú m ero s m ~
pedidos: * = 1 0 V j,4+ 4 P
10 Vs.A
= 10-120+ 4-720= 4080
COM BINATORIA 215
Ejem plo 36
Con los m ism os dígitos, ¿cuántos núm eros de cuatro cifras pueden formarse 
si las dos primeras deben ser pares y las dos últimas impares?
Los núm eros son de la form a 
PPII (P = par; f = impar).
L a can tid ad de fo rm as d is ­
tin ta s en q u e p ueden e s ta r 
ocu p ad o s los dos p rim eros 
lugares de las c ifras es:
y la can tid ad de form as d is ­
tin ta s e n que pueden e s ta r 
o c u p ad o s los dos ú ltim o s 
lugares de las c ifras es
P o r el T eo rem a Fundam ental 
de la C om bina to ria , el to ta l 
de n ú m e ro s que se p ueden 
fo rm ar en esta s cond iciones
V 3,2
V 4,2
r = v , 2x v 4,2
= 6 1 2 = 72
( Ejercicio 58
C alcular cuántos núm eros (que satisfagan las condiciones dadas de cada
ejercicio) se pueden form ar con los dígitos. 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, sin repetir ninguno.
1) Números pares de tres cifras.
2) Números impares de cuatro cifras.
3) Números mayores de 5.000.
4) Números menores de 600.
5) Números mayores de 4.000 y menores de 300.000.
6) Números pares mayores de 60.000.
7) Números impares menores de 4.000.
8) Números distintos.
9) Números pares.
10) Números impares.
11) Números de cinco cifras de las cuales las tres primeras sean impares y las 
dos últimas sean pares.
12) Números de cinco cifras de las cuales tres sean impares y dos pares.
13) N úm eros m ayores de 20.000 y m enores de 70.000 que tengan las dos 
primeras cifras pares y las tres restantes impares.
14) Núm eros m ayores de 20.000 y m enores de 70.000 que tengan dos cifras 
pares y tres impares.
15) N úm eros de cuatro cifras que no tengan dos cifras pares o dos cifras 
impares juntas.
2 1 6 COM BINATORIA
Ejem plo 37_____________________________
¿Cuántos núm eros de cinco cifras pueden form arse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 
5, 6 y 0, sinrepetir ninguno de ellos?
L a can tidad to ta l de núm eros
de c in co c ifra s que p od rían _ .
form arse con*? d ígitos es: V 7,5
P ero en tre e s to s d íg ito s se 
encuen tra el cero que puede 
o c u p a r c u a lq u ie r p o s ic ió n 
en tre las c ifra s del núm ero 
ex cep to la p rim era: un n ú ­
m ero de la fo rm a 0X X X X '
deja de ser de cinco cifras.
H ay, po r tanto, que res tar del
to tal an te rio r los núm eros de
la fo rm a 0X X X X cuya can- _ .
tidad es: . V 6,4
El to ta l d e lo s n ú m e ro s rT — \ 7 \ 7
pedidos es, por tanto: — V 7,5 T V 6.4
Ejem plo 38_____________________________
Con los dígitos del ejem plo 37, ¿cuántos núm eros im pares de cuatro cifras 
pueden formarse?
Los núm eros que satisfacen 
las cond iciones del problem a 
son de la form a
A ésto s hay que restarle los 
q u e t ie n e n e l c e ro en el 
p rim er lugar, pues de jan de 
se r de cu a tro c ifras . E stos 
son de la form a
= 2 5 2 0 - 3 6 0 = 2160
x xxi
X X X 3
X X X 5
cuyo to ta l es: 3 V 6.3
0 XXI 
0 X X 3 
0 X X 5
y su to ta l es:
= 3 1 2 0 - 3 - 2 0 = 300
COM BINATORIA 2 1 7
Eim áe.i& __________________
Con los dígitos del ejemplo 37, ¿cuántos números pares mayores de 50.000 
pueden formarse?
H ay n ú m ero s de c in co , de 
se is y de s ie te c ifra s q u e 
sa tis fa c e n la s " c o n d ic io n es 
del problem a:
a) D e c inco c ifras: só lo nos 
s irv e n lo s q u e c o m ien za n 
co n 5 o con 6 (lo s dem ás son 
m enores de 50 .000) y son de
la form a '
5X X X 0 
5 X X X 2 
5X XX4 
5X X X 6 
6 X X X 0 
6X XX2 
6X X X 4
El total de estos números es: 7 V 5,3
b) D e se is c ifras: nos sirven 
los de la form a
X X X X X 0 
X X X XX2 
X X X XX4 
X X X X X 6
excepto los que com ienzan 
por cero:
0X X X X 2 
0X X XX4 
0X X X X 6
El to ta l d e núm eros de se is . . .
cifras es: 4 V 6 ,5 “ V 5,4
c ) Dfi siete c ifras; nos sirven 
los de la form a
X XXX xxo 
X XXX XX2 
X XXX XX4 
X XXX XX6
e x cep to lo s q u e com ien zan 
po r cero:
0 X X X XX2 
0 X X X XX4 
0 X X X X X 6
El to ta l de núm eros de siete 
cifras es:
e s decir:
4 V 6 .6 - 3 V 5.5 
= 4 p 6 - 3 p 5
218 COM BINATORIA
E n defin itiva , tendrem os: J = ? + (4 - $ y w ) + (4 / > 6 - 3 / > 5)
= 7-60 + 4 -7 2 0 -3 -1 2 0 + 4 -7 2 0 -3 -1 2 0 = 5460
E jem plo 40
Con los dígitos del ejem plo 37, ¿cuántos núm eros pares mayores de 63.000 y 
m enores de 3.420.000 pueden formarse?
a) L o s n ú m ero s d e c in co 
c ifras que satisfacen las con­
d iciones del problem a son de / 
la form a:
6 3 X X 0 
63 XX2
63 XX4 
6 4 X X 0
64 XX2
65 XX0 
65 XX2 
65 XX4
con un total de: 8 ^ 4 , 2
b) D e lo s d e se is c if ra s 
tom am os en cuen ta los de la 
form a
X X X X X 0 
X X X XX2 
X X X XX4 
X X X X X 6
e x ce p to lo s q u e com ienzan 
p o r cero:
0X X XX2 
0X X X X 4 
0X X XX6
El total d e éstos es: 4 V 6. 5 - 3 V 5.4
c) D e lo s d e s ie te c ifra s 
tom am os en cuen ta todos los 
que com ienzan po r 1 o po r 2':
1 X X X XX0 
1 X X X XX2 
1 X X X X X 4
1 X X X X X 6
2 X X X X X 0
2 X X X X X 4 _ r ,
2 X X X X X 6 7 V 5,5 ~ 7 J r 5
T o m am o s en c u e n ta , a d e ­
m ás, en tre los qúe c o m ie n ­
zan po r 3, los de la form a
COM BINATORIA 2 1 9
3 OXX XX2 
3 OXX X X 4 
3 OXX X X 6 
3 1XXXXO 
3 ¡ X X X X 2 
3 1XX XX4 
3 1XX \ X 6 
3 2X X XXO 
3 2X X XX4 
3 2X X XX6
y los de la form a
3 40X XX2 
' . • 3 40X XX6
3 4 IX XXO 
3 4 1 X X X 2 
3 4 1 X X X 6
En definitiva:
1 0 V 4.4 = 1 0 P 4
5 y 3,3 = 5 p 3
r = 8 y 4,2 + ( 4 V 6,5 - 3 V 5,4) + 7 p 5 + 1 0 P 4 + 5/>3 
= 8-12 + 4 -7 2 0 -3 -1 2 0 + 7-120 + 10 -24+ 5 -6
= 3726
( Ejercicio 59
C alcular cuántos núm eros (que satisfagan las condiciones dadas de cada 
ejercicio) se pueden form ar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 0, sin repetir ninguno 
de ellos.
1) Números pares de 4 cifras.
2) Números impares de 5 cifras.
3) Números mayores de 40.000.
4) Números menores de 3.000.
5) Números mayores de 5.000 y menores de 4.000.000.
6) Números mayores de 350.000.
7) Números pares menores de 5.200.
8) Números pares mayores de 4.750.000.
9) Números impares menores de 34.500.
10) Números de 6 cifras de las cuales las cuatro prim eras sean pares y las dos 
últimas impares.
11) Números de 6 cifras de las cuales cuatro sean im pares y dos pares,
12) Números pares mayores de 57.000 y menores de 435.000.
2 2 0 COM BINATORIA
Ejem plo 41
E n una em presa trabajan 40 em pleados discrim inados así: 18 hom bres y 22 
m ujeres. Se desea form ar un com ité com puesto por 4 m ujeres y 3 hom bres. ¿De 
cuántas formas distintas puede form arse ese comité?
E l n ú m e ro to ta l de fo rm as
d is tin tas en que p ueden ser
e leg id o s 3 h o m b res d e un _
grupo de 18 es: C-18,3
Y el de fo rm as d is tin ta s en
que pueden ser e leg idas las 4 _
m ujeres del grupo de 22 es: ^ 22,4
/
P or e l T e o re m a Fundam ental 
de la C om bina to ria , e l to ta l 
d e com ités d istin to s que pue-
E iem plo 42_____________________________
El abecedario de un extraño idiom a tiene 6 vocales y 8 consonantes. Las 
palabras de ese idiom a tienen todas 7 letras y tienen la particularidad de que las 
vocales y las consonantes están siem pre alternadas. ¿Cuántas palabras existen en ese 
idioma?
S i las palabras de ese idiom a 
com ienzan con vocal, tienen 
la siguiente configuración:
S i, en cam bio , po r consonan ­
te, tienen esta otra:
C V C V C V C
E stu d iem o s c ad a c a s o po r 
separado.
a ) E o irn a ...Y C yC V C y ; el 
núm ero de fo rm as d is tin ta s ' 
en que pueden ser dispuestas 
las vocales en los cuatro lu­
g a res que les co rresponden 
es: V 6.4
y el núm ero de form as para 
d isp o n er las consonan tes en 
los tres puestos restantes es: V 8,3
E l to ta l de p a la b ra s q u e . T
den form arse es:
= 8 1 6 x 7 3 1 5 = 5.969.040
v c v c v c v
tienen esta configuración es: V b A X V g , 3
COM BINATORIA 221
b) F o rm a C V C V C Y C ; en 
este caso las d istin tas form as 
para d isp o n er las co n so n an ­
tes son:
y para d isponer las vocales
El to ta l de p a lab ras de este 
• tipo es:
Y el n ú m e ro to ta l de p a la ­
bras que ex isten en e l idiom a
es: r=(vM><v,uWVmxVm)
= 360•336 +1680 • 120 = 322.560
E jem plo 43 _________________
¿De cuántas formas pueden repartirse 12 libros distintos entre 3 personas si a
cada una le debe tocar igual núm ero de, libros?
L as fo rm as d is tin ta s pa ra 
asig n a rle a la p rim era p e r­
so n a lo s 4 lib ro s q u e le
corresponden son: L - 12.4
U na vez asignados los libros 
a ía p rim era persona, quedan 
8 libros para asignarle 4 a la 
seg u n d a . L as d is tin ta s for- 
m as para hace r esto son: 8,4
P ara a s ig n a rle los 4 lib ros 
res tan tes a la te rce ra pe rso ­
na , las fo rm as de h a ce rlo ^
son: C ' 4,4
(una sola posibilidad)
El to ta l de fo rm as d istin tas 
de rep a rtic ió n que nos p ide 
e l p ro b le m a s e rá (p o r e l 
T eo rem a F undam ental de la ■
Ejem plo 44_____________________________
N ueve personas se presentan com o voluntarios para conform ar una jun ta 
com puesta p o r Presidente, V icepresidente, Secretario, Tesorero y Vocal. C inco de 
ellos sólo se postulan si no son elegidos ni de Presidente, ni de V icepresidente. 
¿Cuántas juntas diferentes pueden formarse en esas condiciones?
C om binatoria):
= 495-70 1= 34.650
2 2 2 COM BINATORIA
Sólo cuatro personas aceptan 
s e r e le g id a s pa ra lo s dos 
p u esto s p rin c ip a le s . E l n ú ­
m ero de form as d istin tas j>a- 
ra ocupar estos puestos es
U n a v e z o c u p a d o s e s to s c a r ­
g o s , q u e d a n 7 p e rs o n a s d is ­
p o n ib le s p a r a o c u p a r lo s o - 
tro s tre s . La s d is t in ta s f o r ­
m as d e h a c e r lo son : 7,3
= 12 2 1 0 = 2.520
Ejem plo 45_____________________________
Siete amigos, 4 .muchachos y 3 m uchachas, van a un cine y deciden sentarse 
en siete puestos consecutivos de una misma hilera de asientos. ¿D e cuántas formas 
distintas pueden hacerlo si las muchachas quieren sentarse juntas?
D ado que las m uchachas de­
sean sen ta rse ju n ta s , c o n si­
derém oslas com o una unidad 
in s e p a ra b le . E s ta u n id ad , 
ju n to con los cu a tro m ucha­
chos fo rm an un con jun to de 
c in co un idades. E l núm ero 
de fo rm as d is tin ta s en que 
pueden co locarse estas c inco 
unidades es: i 5
P ero po r cad a una de estas 
posib ilidades, las fo rm as en 
que p u ed en c o lo c a rse las 
m u ch ach as ocup an d o pues- 
tos consecutivos es: 1 3
Ejem plo 46__________________ __________
¿Cuántos colores diferentes se pueden obtener m ezclando partes iguales de 7 
pinturas de colores distintos?
T o m an d o cad a p in tu ra por 
separado, los co lo res que se 
obtienen son:
T o m an d o pa rte s igua les de 
d o s de e s a s p in tu ra s y 
m e z c lá n d o la s , los c o lo re s
que se obtienen son: 1— 7.2
El total será: T = p 5x p 3
= 1 2 0 -6 = 720
COM BINATORIA 2 2 3
T om ando p a rte s igua les de 
tres p in turas se obtienen:
C onsiderando sucesivam ente 
los c o lo re s n u ev o s q u e se 
o b tie n e n m ezc lan d o pa rte s 
iguales de 4 , de 5. de 6 y de 
las 7 p in tu ras, el núm ero to­
tal de co lo res q u e se pueden 
obtener será:
r=XCw
7
k = I
~ C ?,1 + C*7,2 + C l , 3 + C l , 4 + C 7,5 + C l . b + C l J
= 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1= 127
( Ejercicio 60
1) En un salón de clase hay 15 m uchachos y 16 muchachas. Se desea form ar 
una com isión com puesta por 2 m uchachas y 3 m uchachos. ¿C uántas 
com isiones distintas podrían formarse?
2) Se tienen 4 vocales y 4 consonantes. ¿Cuántas palabras de 8 letras pueden 
formarse con ellas con la condición de que las consonantes y las vocales 
estén alternadas?
3) Se tienen 5 vocales y 7 consonantes. ¿C uántas palabras distintas de 8 
letras pueden form arse con la condición de que las consonantes y las 
vocales estén alternadas?
4) Se tienen 4 vocales y 4 consonantes. ¿Cuántas palabras de más de 5 letras 
pueden form arse con la condición de que las consonantes y las vocales 
estén alternadas?
5) ¿Cuántos sonidos d istintos pueden obtenerse con una flauta que tiene 9 
agujeros?
6) ¿Cuántos sonidos distintos pueden obtenerse con 10 campanas?
7) ¿Cuántos grupos diferentes se pueden form ar con 9 pintores, 11 albañiles 
y 7 plom eros si un grupo está form ado por 3 pintores, 4 albañiles y 2 
plomeros?
8) ¿D e cuántas form as se pueden repartir 15 caram elos d istintos entre 3 
niños si a todos les debe tocar la misma cantidad de caramelos?
9) ¿De cuántas form as se pueden repartir 14 postales diferentes entre 4 
personas dando 3 a cada una?
10) ¿Cuántos grupos diferentes pueden formarse con 8 personas?
11) En un grupo de 15 personas se desea form ar dos com isiones de cuatro 
integrantes cada uno. ¿Cuántas son las posibilidades?
12) En un torneo de ajedrez se inscriben 15 personas. Cada una de ellas 
deberá jugar dos partidas con cada uno de los restantes jugadores. En caso
2 2 4 COMBINATORIA
d e em pate, jugarán una partida más. ¿C uál es el núm ero m ínim o de 
juegos a realizarse? ¿Y el máximo?
13) ¿De cuántas formas pueden repartirse 6 regalos entre 3 personas si a cada 
una de ellas le debe corresponder por lo menos un regalo?
14) Se lanzan dos dados, uno a continuación del otro. ¿Cuántos resultados 
" distintos pueden obtenerse?
15) Una prueba consta de 10 preguntas de "Verdadero" y "Falso". ¿D e 
cuántas formas distintas puede contestarse la prueba?
16) El m anager de un equipo de baseball insiste en que su m ejor jugador 
batee en cuarto lugar y el pichter al final. En estas condiciones, ¿cuántos 
órdenes de bateo son posibles, si hay 9 jugadores? /
17) Entre las ciudades A y B hay cinco caminos principales y entre B y C hay 
cuatro. ¿D e cuántas m aneras puede una persona viajar de A a C y 
regresar, pasando por B en ambos sentidos, y sin viajar dos veces por el 
mismo camino?
18) Si se lanzan sim ultáneam ente 5 m onedas diferentes, ¿de cuántas formas 
distintas pueden caer éstas?
19) En un carro caben 3 personas en el asiento delantero y 3 en el de atrás. Si 
entre 8 personas sólo dos saben manejar, ¿de cuántas formas distintas se 
puede llenar el carro?
20) Un matrimonio y sus tres hijos desean tomarse una foto fam iliar sentados 
en un banco de un parque. ¿D e cuántas form as d is tin ta s podrán 
disponerse? ¿En cuántas de esas fotos quedarán los padres sentados uno 
junto a otro?
21) ¿De cuántas form as distintas pueden formarse 8 soldados en línea recta si 
dos de ellos no deben nunca quedar juntos?
22) En un grupo de 9 personas hay seis m ujeres y tres hombres. ¿D e cuántas 
form as pueden ponerse en fila de m anera que los tres hom bres queden 
siempre juntos?
23) ¿D e cuántas form as pueden ponerse en fila las personas del ejercicio 
anterior de manera que los tres hombres nunca queden juntos?
24) Se tienen los núm eros 6.789 y 12.345. ¿C uántos núm eros diferentes 
pueden form arse que contengan dos cifras del prim ero y tres del segundo, 
sin que se repita ninguna cifra?
25) ¿Cuántos de los números del ejercicio anterior serán mayores de 7.000?
26) Una persona que presencia la salida de un grupo de ladrones de un banco 
refiere a la policía que éstos huyeron en un automóvil cuya placa tenía 6 
cifras. E l testigo sólo recuerda que la placa no tenía núm eros repetidos, 
que era un núm ero im par y que las tres primeras cifras eran 254. ¿Cuántos 
vehículos, como máximo, tendrá que investigar la policía?
27) ¿De cuántas formas diferentes pueden asignarse 4 jugadores de baseball a 
• las posiciones del infield si sólo dos de ellos pueden jugar el shortstop?
28) ¿Cuántas sumas diferentes se pueden obtener con un centavo, un medio, 
un real, una m oneda de a bolívar, una de dos bolívares y una de 5 
bolívares?
COM BINATORIA 2 2 5
29) E l equipo de tennis de un colegio tiene 12 jugadores; el de otro tiene 10. 
¿D e cuántas formas distintas se puede organizar un match doble entre las 
dos instituciones?
30) Un profesor tiene una colección de 15 problem as de Com binación y 11 
problem as de Perm utación. ¿Cuántos exám enes distintos puede elaborar 
con ellos si éstos deben incluir 4 problem as de cada tipo?
31) ¿D e cuántas form as d iferentes puede uno hacer una se lección de 3 
novelas, 2 biografías y 5 libros de cienciaficción de una colección de 10 
novelas, 8 biografías y 10 libros de cienciaficción?
32) ¿Cuántas com isiones distintas de 6 personas pueden form arse en un grupo 
de 12 hombres y 20 m ujeres, si el núm ero de m ujeres en J.a com isión no
, . debe ser m ayor de 4?
33) ¿Cuántos equipos distintos de baseball pueden form arse con 18 jugadores 
si sólo 4 pueden pitchar, sólo dos pueden catchar y estos seis jugadores no 
pueden jugar en otra posición?
34) ¿De cuántas formas diferentes pueden separarse 6 objetos en dos grupos 
iguales?
35) ¿De cuántas formas diferentes pueden separarse 7 objetos en dos grupos, 
uno de 4 objetos y otro de 3?
36) ¿De cuántas formas diferentes pueden separarse 8 objetos en dos grupos 
iguales?
37) ¿D e cuántas formas diferentes pueden separarse 9 objetos en dos grupos, 
uno de 5 objetos y otro de 4?
( Ejercicio 61
Se dispone de 6 libros diferentes de física, 4 de quím ica y 3 de matemáticas. 
¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse en un estante...
1) . .. si pueden estar mezclados?
2) ... si los libros de cada m ateria deben quedar juntos?
3) ... si los libros de cada m ateria deben estar juntos y los de física en el 
medio?
4) ... si los libros-de física deben estar de últimos?
5) ... si los libros de quím ica deben estar juntos?
6) ... si cada libro de matemáticasdebe estar entre dos libros de química?
7) ... si el primer libro y el último deben ser de matemáticas?
8) ... si el primer libro y el último deben ser de física?
9) ... si los libros de física deben estar jun tos y ordenados de m enor a 
mayor?
10) ... si los libros de quím ica deben estar juntos y en orden de tamaño?
2 2 6 COM BINATORIA
Calcular el número de diagonales de un heptágono convexo.
U n po lígono cualqu iera -tiene 
tan to s v é rtic e s ' com o lados 
posee. U n heptágono tiene 7 
vé rtic e s. EL, seg m en to q u e 
une c ad a d o s v é rtic e s no 
consecutivos del po lígono es 
una d iagonal del m ism o.
Para d e te rm in a r e l núm ero 
de d iagonales del heptágono, 
c a lcu larem os p rim ero el nú­
m ero de segm entos que pue­
den •fo rm arse un iendo cada 
dos vértices y le re s tarem os • 
e l núm ero de lados {que son 
.segm en tos que unen vértices 
consecutivos).
Ejemplo 47 _________________________
D e esta form a tendrem os que 
el total de d iagonales es: .
T = C l 2 ~ ' 1
= 2 1 - 7 = 14
N ota: En general, el número de diagonales de un polígono de n lados es:
T = C „ , 2 ~ n
E jem plo 48_____________________________
En un plano hay 11 rectas de las cuales 5 son paralelas. ¿Cuántos puntos de 
intersección hay si en un mismo punto no se cortan más de dos rectas?
D os rec ta s n o p a ra le las del 
p lano se in tc rse c tan en un 
punto. S i po r cada dos rectas 
se p ro d u c e un p u n to de 
in te rsecc ió n , el n ú m e ro de 
in te rsecc iones o rig inado por 
11 rectas será: . C - i l ,2
Pero a esta can tidad hay que 
re s ta r le la s in te rs e c c io n e s 
c o r re s p o n d ie n te s a las 5 
rec ta s q u e son p a ra le la s y 
que. po r tanto, no se corlan:
F.l total es. pues:
C.s.2
r = c „ . 2 - C 5 ,5 , 2
= 5 5 - 1 0 = 4 5
COM BINATORIA 2 2 7
En un plano hay 15 circunferencias. Cada una intersecta a todas las demás 
con excepción de 7 circunferencias que son concéntricas y, obviam ente, no se 
intersectan entre sí. ¿Cuántos son los puntos de intersección?
Dos c ircun fe rencias secantes 
en tre s í dan o rig en a dos 
p u n to s de in te rse c c ió n . Si 
to d as las 15 de n u estro pro- 
'b iem a se co rta ran entre sí. el 
total de in tersecciones sería:
S in em b arg o a este núm ero 
hay q u e re s ta r le las in te r­
secc io n es que no se p ro d u ­
cen .- d ado el hecho de que 7 
c ircu n fe ren cias son co n cén ­
tricas. El núm ero de esas in ­
tersecciones sería:
Ejemplo 49 _______________________
2 C . 5 . 2
2 C 7l;
El to ta l b u sca d o e s , p o r y _ _
tanto: ' 1 ~ 1 C 15.2 “ 1 C 7,2
= 2 1 0 5 - 2 - 2 1 = 168
Ejemplo 50_____________________________
D eterm inar cuán tos paralelogra- 
mos pueden apreciarse en la figura.
(Las cinco líneas horizontales son 
paralelas; las tres inclinadas tam bién lo 
son)
C ada p a r de rectas ho rizon ta­
les puede serv ir com o el pa r 
de la d o s o p u e s to s de un 
p a ra le lo g ram o . E l to ta l de 
p osib les p a res de lados h o ­
rizontales es: C W
C ada p a r de rectas inclinadas 
puede p roporcionar los lados 
o p u esto s que c o m p le tan el 
paralelogram o. E l núm ero de 
estos pares de lados es: C 3.2
El to ta l de pa ra le logram os 
que hay en la figura es (por 
e l T eo rem a F undam ental de 
la C om binatoria): T ~ C-*5,2 X C 3.I
= 1 0 -3 = 30
2 2 8 COM BINATORIA
( Ejercicio 62
1) ¿Cuántas diagonales tiene un hexágono?
2) ¿Cuántas diagonales tiene un octágono?
3) Se tienen en un plano 5 rectas de las cuales 3 son paralelas. ¿En cuántos
puntos se cortan las rectas, si en un mismo punto no se cortan más de dos
de ellas?
4) Se tienen 8 rectas de las cuales 2 son paralelas. ¿En cuántos puntos se 
cortan?
5) Se tienen 14 rectas de las cuales 5 son paralelas. ¿C uántas son los puntos 
de intersección?
6) ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de 25 lados?
7) Se tienen en el plano 7 rectas. Entre ellas hay dos que son paralelas entre 
s í y o tras dos que son paralelas entre sí pero no lo son de las dos 
anteriores. ¿Cuántos puntos de intersección hay?
8) En un plano hay 12 rectas. Entre ellas hay 4 que son paralelas entre sí y, 
en otra dirección, otras 3 ^que son paralelas entre sí. ¿Cuántos son los 
puntos de intersección?
9) En un plano hay 7 puntos de los cuales no hay tres que estén alineados. 
¿Cuántas rectas que pasen por dos de esos puntos pueden trazarse?
10) En un plano hay 13 puntos y, a excepción de 4 puntos que están 
alineados, no hay otros tres que lo estén. ¿C uántas rectas que pasen por 
dos de esos puntos pueden trazarse?
11) En un plano se tienen 8 circunferencias, cada una de las cuales intersecta 
a las restantes. ¿Cuántos son los puntos de intersección?
12) En un plano hay 12 circunferencias. Cada una de ellas cuales intersecta a 
todas las dem ás, a excepción de tres que son concéntricas. ¿Cuántos son 
los puntos de intersección?
13) C alcular el m áxim o núm ero de puntos de intersección que se pueden 
obtener con n circunferencias en el plano.
14) Sabiendo que tres puntos determ inan una circun ferencia , ¿cuántas 
circunferencias se pueden obtener con 15 puntos del plano no habiendo 
entre ellos tres puntos colineales?
15) ¿C uántas circunferencias se pueden obtener con 15 puntos del plano si 
tres de ellos son colineales?
16) ¿Y si hay 4 puntos colineales?
17) ¿Y si hay 5 puntos colineales? -
18) Dos elipses pueden in tersectarse hasta en cuatro puntos. ¿C uál es el 
máxim o núm ero de puntos de intersección que se pueden obtener con 12 
elipses en el plano?
19) ¿Cuántos triángulos quedan determ inados por 10 puntos del plano si no 
hay entre ellos tres que sean colineales?
20) ¿C uántos cuadriláteros quedan determ inados por 15 puntos del plano si
COM BINATORIA 2 2 9
no hay entre ellos tres que sean colineales?
21) ¿Cuántos tetraedros quedan determ inados por 9 puntos si no hay cuatro 
que estén en el mismo plano?
22) ¿Cuántos triángulos se obtienen uniendo cada tres vértices de un penta- 
decágono convexo?
23) Se tiene un sistem a de 5 rectas paralelas y o tro sistem a de 4 rectas 
paralelas, perpendiculares a las anteriores. ¿Cuántos rectángulos pueden 
obtenerse con ellas?
24) ¿Cuántos paralelogramos se pueden obtener al intersectar un sistema de 8 
rectas paralelas con otro de 6 rectas paralelas entre sí pero no a las 
anteriores? /
25) En una de dos .rectas paralelas se tom an 5 puntos. En la otra se toman 4. 
Cada uno de los puntos de la prim era recta se une m ediante un segmento
con cada uno de los puntos de la otra. C alcular en cuántos puntos se
intersectan dichos segm entos sabiendo que en ningún punto se cruzan 
más de dos segmentos al mismo tiempo.
26) En un sistem a de rectas paralelas hay m rectas; en otro sistem a de rectas 
del m ism o plano hay n rectas paralelas entre sí (pero no a las anteriores). 
¿Cuántos paralelogramos se forman?
27) ¿Cuántos rectángulos hay en la Fig. 1?
28) ¿Cuántos paralelogramos tiene la Fig. 2?
29) ¿Cuántos rectángulos y cuántos trapecios rectángulos hay en la Fig. 3?
2 3 0 COM BINATORIA
¿Cuántos elem entos vson necesarios para form ar con ellos 55 com binaciones 
binarias?
Ejemplo 51 ________________________
Si llam am os x e l núm ero de 
e lem entos, tenem os que
R esolv iendo la ecuación:
D esco m p o n ien d o e l m ie m ­
bro de la d e re ch a en dos 
facto res consecu tivos d ecre­
cientes:
De donde
Cx.2 = 55
f í i l J ) = 5 5 
2
;t(* - 1 ) = 110
t ( t - l ) = l M 0
jr = l l
Ejem plo 52
Las com binaciones cuaternarias de un núm ero y las com binaciones binarias 
de otro núm ero m ayor que el prim ero por cuatro unidades están en la relación 1:3. 
¿Cuál es el prim er número?
Si lla m a m o s x a l p r im er 
núm ero, tenem os que:
Resolviendo la ecuación:
C x,4
c*-4,2
3 C x A ~ C x ^ 4.2
3jc(.x: — 1)(.« — 2 ) (a: — 3) _ (x + 4 ) (x + 3)
4 - 3 -2 ” 2S im plificando y tra sp o n ien ­
do denom inadores:
x (jt - l ) (x - 2) ( x - 3) = 4 (x + 4 )(x + 3) 
jc4 - 6 x 3 + l l x 2 - 6 jc = 4.x2 + 2 8 x + 48 
x 4 - 6 x 3 + l x 2 - 34* - 48 = 0
R e s o lv e m o s la e c u a c ió n 
u tilizando R uffin i. Para que 
la p rim era com binación ten ­
ga se n tid o d eb e cu m p lirse 
que x > 4. P robarem os por 
tanto só lo con núm eros p o si­
tivos de 4 en adelante.
La p rim era ra íz que en co n ­
tram os es 6:
1 - 6 7 -3 4 -48
6 6 0 42 48
1 0 7 8 1 0
COM BINATORIA 2 3 1
El c o c ie n te re s u lta n te no 
tiene m ás ra íces p o s itiv a s ; 
po r tan to , la so lu c ió n ún ica 
del problem a es: x = 6
Ejem plo 53
¿Cuál es el polígono que tiene 35 diagonales?
C „ , 2 ~ n
En un po lígono de n lados (y 
vértices) e l núm ero de d iago ­
nales es igual a:
E n n u e s tro p ro b le m a el 
núm ero de d iagonales es 35. 
T enem os entonces que:
R esolviendo:
D e donde:
L a seg u n d a so lu c ió n e s en 
nuestro caso inadm isib le . El 
p o líg o n o d e 35 d iag o n a les 
e s , e n c o n s e c u e n c ia , e l 
decágono.
C „.2- « = 35
— 35
2
n (n — l) — 2 n = 70 
n 2 - n - 2 n - 70 = 0 
n 2 ~ 3 n - 70 = 0 
( n - 1 0 ) ( n + 7) = 0
n, = 10 n-, = - 7
Ejem plo 54_____________________________
En un polígono, e l núm ero de diagonales excede en 5 al triple del núm ero de 
lados. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
Si llam am os n al núm ero de
lados, tendrem os que: ( J n 2 — n = 3n + 5
R esolviendo: n ( n — 1)
- i - ~ n = 3n + 5
2
n ( n - l ) - 2 n = 6n + 10 
n 2 - n - 2n - 6n - 1 0 = 0 
n 2 - 9 n - 1 0 = 0 
( n - 1 0 )(n + l) = 0
2 3 2 COM BINATORIA
D e donde ' n, =10 « 2 = - l
El polígono tiene 10 lados.
Ejemp l o ^ _____________________________
El to tal de núm eros de 3 y de 4 cifras que se pueden form ar con un 
determ inado núm ero de dígitos distintos (entre los que no figura el cero), sin repetir 
ninguno de ellos, es igual a 480. ¿Cuántos son los dígitos?
L lam an d o x a l n ú m e ro de 
d íg ito s , los núm eros de tres 
c ifra s q u e pueden fo rm arse
son:
L os de cuatro cifras son: 
T enem os, en tonces, que: 
D esarrollando:
Sacando fac to r com ún:
D e sc o m p o n ie n d o 4 8 0 en 
facto res que guarden entre sí 
la m ism a re lac ión que g u a r­
dan en tre s í los fac to res del 
m iem bro de la izquierda:
V x j
V , 4
V .U + ^ . 4 = 480
x (a: - 1)(* - 2 ) + x (x - l ) ( x - 2 ) ( x - 3) = 480
x ( x - l ) (x - 2 ) [ l + (x - 3)] = 480 
x ( x - l ) ( x - 2 ) 2 = 4 8 0
jc(;c- 1 ) ( jc- 2 ) 2 = 6 - 5 - 4 :
D e donde: X — 6
Ejemplo_56--------------------------------------------
E l total de núm eros de 5 cifras que se pueden form ar con un determ inado 
núm ero de dígitos (entre los que figura el cero) sin repetir ninguno de éstos es 5 
veces m ayor que el de números de 4 cifras que se pueden form ar con ellos. ¿Cuántos 
son los dígitos?
S ea x e l núm ero de d íg ito s 
del que se d ispone. L os n ú ­
m eros de 5 c ifras que se pue­
den fo rm ar con e llo s son de 
la fo rm a X X X X X . A éstos 
hay que restarle los q u e c o ­
m ienzan p o r cerp y q u e tie ­
nen la form a 0X XXX: V . . - V * -1 ,4
COM BINATORIA 2 3 3
A nálogam ente , los de cuatro 
c ifras seráli los de la fo rm a 
X X X X m e n o s lo s de la 
form a O X X X :
Según la s co n d ic io n es del 
p r o b le m a , e l to ta l de 
aq u é llo s e s 3 veces m ay o r 
que el de éstos: Vx.5-V ,- ¡A = Í V xA- V , .u )
R esolviendo:
x (x - l ) (x - 2 ) ( x - 3 )( x - 4 ) - (* - l) (x - 2 ) ( x - 3 )(x - 4 ) =
= 5[* (a - l ) (x - 2) (x - 3) - ( x s l ) ( x - 2 ) ( x - 3)]
Los d íg itos son 9.
( Ejercicio 63
1) ¿Cuántos elementos deben intervenir para que con ellos se puedan formar 
tantas variaciones binarias como com binaciones ternarias?
2) ¿Cuántos elementos deben intervenir para que con ellos se puedan formar 
tantas variaciones ternarias como com binaciones cuaternarias?
3) Las com binaciones ternarias y las com binaciones cuaternarias de un 
núm ero están en la relación 4:5. ¿Cuál es el número?
4) La relación entre las variaciones ternarias y las com binaciones ternarias 
de un núm ero k es k. ¿Cuál es el valor de k?
5) ¿C uán tos e lem en to s son n ec esa rio s para fo rm ar con e llos 91 
com binaciones binarias?
6) E l núm ero de variaciones b inarias de un determ inado núm ero de 
elem entos es el doble de las com binaciones cuaternarias de los mismos 
elementos. ¿Cuántos son éstos? -
7) L as com binaciones cuaternarias de un núm ero exceden en 10 a las 
variaciones ternarias de otro núm ero inferior al prim ero en 3 unidades. 
¿Cuál es el primer número?
8) La sum a de las com binaciones binarias de un núm ero, las ternarias del 
núm ero consecutivo y las cuaternarias del consecutivo de éste último ex­
cede en 5 unidades a las variaciones ternarias del primero. ¿Cuál es éste?
D ividiendo cad a térm ino po r
X *-I)(*-2)(x-3): • jc(jc — 4 ) — (jc — 4 ) = 5[jc - 1 ]
x 2 - 4 x - x + 4 = 5* - 5 
* x 2 -1 0 jc + 9 = 0
x , = 9
2 3 4 COM BINATORIA
9) En un polígono regular se pueden trazar 54 diagonales. ¿Cuántos lados 
tiene el polígono?
10) ¿Cuántos, lados tiene un polígono si el núm ero de sus diagonales es 5 
veces m ayor que el núm ero de sus lados?
11) ¿Cuántos lados tiene un polígono si el núm ero de sus diagonales es 7 
"veces el número de sus lados?
12) E l húm ero de diagonales de un polígono excede en 3 al núm ero de lados 
del polígono. ¿De qué polígono se trata?
13) En un polígono, el número de diagonales excede en 4 al doble del número 
de lados. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
14) E n un plano hay un núm ero determ inado de c ircunferencias todas 
secantes entre sí. D eterm inar el núm ero de circunferencias sabiendo que 
el total de intersecciones es 90 y que en un m ism o punto no se cortan más 
de dos circunferencias.
15) El total de números distintos de dos y de tres cifras que se pueden formar 
con un determinado número de dígitos distintos (entre los que no figura el 
cero), sin repetir n inguno de ellos, es igual a 25 veces la cantidad de 
dígitos de la que se dispone. ¿De cuántos dígitos se dispone?
16) El total de números de dos y de tres cifras que se pueden form ar con un 
determ inado núm ero de dígitos distintos (entre los que no figura el cero), 
sin repetir ninguno de ellos, es igual a 49 veces la cantidad de dígitos de 
la que se dispone. ¿Cuántos son éstos?
17) El total de núm eros de dos y de tres cifras que se pueden form ar con un 
determ inado núm ero de dígitos (entre los que está el cero), sin repetir 
ninguno de ellos, es igual a 31 veces el núm ero de dígitos dism inuido en 
uno. ¿Cuántos son éstos?
18) El total de núm eros de dos y de tres cifras que se pueden form ar con un 
determ inado núm ero de dígitos (entre los que está el cero), sin repetir 
ninguno de ellos, es igual a 216. ¿Cuántos son los dígitos?
19) El total de núm eros de 5 cifras que se pueden form ar con un determinado 
núm ero de dígitos d istintos (entre los que figura el cero), sin repetir 
ninguno de ellos, es 3 veces m ayor que el de números de 4 cifras que se 
pueden form ar con ellos. ¿Cuántos son los dígitos?
20) En una reunión a la que asiste un determ inado núm ero de personas, cada 
uno de los asistentes saluda con un apretón de m anos a cada una de las 
restan tes personas. Si en to tal se producen 36 apretones de mano, 
¿cuántos eran los asistentes?
21) Dos países A y B en litigio envían sendos grupos de representantes a un 
debate. La delegación del país A es más num erosa que la del país B. Los 
delegados son, en total, 18. Los del país A se saludan entre sí, al igual que 
los del país B, pero ningún delegado saluda a un delegado del otro país. 
En total se producen 73 saludos. ¿Cuántos representantes hay en cada
' delegación?22) Se realiza un congreso de Zam bos, Zim bos y Zumbos. Al encontrarse, los 
de cada delegación se saludan entre sí y saludan a los m iem bros de las
COM BINATORIA 2 3 5
otras delegaciones, con excepción de Z im bos y Z um bos que son 
' enem igos y no se saludan. En total se producen 244 saludos. Determ inar 
cuántas personas hay en cada delegación, sabiendo que en total hay 25 
personas, que los Zam bos son los más num erosos y que el núm ero de 
Zam bos excede en 3 al de los Zumbos.
23) Un grupo de profesionales está com puesto por m édicos, abogados e 
ingenieros. El número de formas distintas en que pueden colocarse en una 
fila, con la condición de que los abogados queden juntos y los ingenieros 
queden tam bién ju n to s , es de 3.456. D eterm inar cuántos m édicos, 
abogados e ingenieros hay, sabiendo que los abogados son la tercera parte 
del grupo y que los ingenieros superan en uno el número de abogados.
24) Se dispone de una cantidad de libros de M atem áticas, Fí'sica, Quím ica y 
Biología. Si se pone la condición de que los libros de F ísica deben estar 
juntos y. tam bién los de Quím ica y los de Biología, hay 49.766.400 formas 
distintas de colocar todos los libros en un estante. D eterm inar cuántos 
libros hay de cada m ateria, sabiendo que la cuarta parte de los libros son 
de Física, los d e Química exceden en uno a los de Física y los de Biología 
en uno a los de Química.
25) Un polígono tiene tantas diagonales com o lados. ¿Cuál es el polígono?
26) En un polígono se trazan todas las diagonales y el núm ero de éstas resulta 
menor que el número de lados. ¿De qué polígono se trata?
27) En un polígono el núm ero de diagonales es m ayor que el número de lados 
pero sin llegar a ser el doble de éstos. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
28) En un polígono el núm ero de diagonales es m ayor que el doble pero m e­
nor que el triple del núm ero de lados. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
29) En un polígono que tiene un núm ero im par de lados, el núm ero de 
diagonales es m ayor que cinco veces el núm ero de lados pero m enor que 
siete veces el número de éstos. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
30) E l núm ero de diagonales de un polígono es 10 veces el núm ero de 
diagonales de otro polígono que tiene 9 lados m enos que el prim ero. 
¿Cuántos lados tiene el prim er polígono?
31) E l núm ero de d iagonales de un po lígono es 1/18 del núm ero de 
d iagonales de otro polígono que tiene 17 lados más que el prim ero. 
¿Cuántos lados tiene el prim er polígono?
32) La suma de las diagonales de un polígono y las de otro polígono que tiene 
dos lados más-es igual al número de diagonales de un tercer polígono que 
tiene siete lados más que el primero. ¿Cuántos lados tiene el primero?
33) La sum a de las diagonales de un polígono y las de otro que tiene tres 
lados más es igual al núm ero de diagonales de un tercer polígono que 
tiene nueve lados más que el primero. ¿Cuántos lados tiene el primero?
34) E l núm ero de diagonales de un polígono excede en 6 unidades a la suma 
de las diagonales de otros dos polígonos que tienen, respectivam ente, 8 y 
12- lados menos que el prim er polígono. ¿Cuántos lados tiene el primero?
35) Si cierto polígono tuviera un lado menos, tendría siete diagonales menos. 
¿Cuántos lados tiene?
COM BINATORIA
Permutaciones con repetición
Supóngase'que deseam os conocer la cantidad de núm eros de siete cifras que 
se pueden form ar con los dígitos 5, 5, 6, 6, 6, 7 y 8. Supóngase también que estos 
d íg itos están grabados cada uno sobre una de las caras de dados de m adera 
diferentes.
Formemos con los dados un número cualquiera de siete cifras, por ejemplo
v y / / / / /
5 6 5 7 OS 6 8
Si en esta ordenación intercam biam os el primero y el tercer dado
5 6 5 7 6 6
0
0
el núm ero que ob tenem os será idén tico al an terio r. Lo m ism o ocurre si 
intercam biam os entre sí de cualquier form a los tres dados que tienen grabado el 
núm ero 6.
L lam em os M al núm ero de perm utaciones discernibles (es decir, realm ente 
distintas) que se pueden form ar con estos elementos.
Dado que tenem os 2! form as de intercam biar los dados que tienen grabado el 
núm ero 5 y 3! formas de intercam biar los que tienen grabado el 6, el número total de 
form as distintas en que pueden ser ordenados los siete dados es (por el Teorem a 
Fundamental de la Combinatoria):
T = M 2! 3!
Por otra parte, ya sabem os que el total de formas en que se pueden ordenar 
siete elementos es
T = P n= l \
Igualando las expresiones anteriores:
M - 2! 3!= 7!
7!
y Ai = ------
7 2! 3!
G eneralizando, el núm ero de perm utaciones que podem os ob tener con n 
elem entos entre los que hay p elementos iguales entre sí, q iguales entre sí, t iguales 
entre sí, etc., es
— 1 (10c)
p\ q\ *!•••
COM BINATORIA 2 3 7
Ejemplo 57_
¿Cuántos núm eros distintos de ocho cifras se pueden form ar con los dígitos
3, 3, 3, 3, 5, 5, 7, y 8?
O b v iam en te se tra ta de un 
caso de p e rm u ta c ió n con 
repe tic ión . D ado q u e el tres 
e s tá re p e tid o 4 veces y el 
cinco 2 veces, el total será:
, - ¿Cuántos de los números del ejemplo anterior serán pares?
S erán p a res los te rm inados 
én 8, es d ecir, los de la fo r­
m a X X X X XX8.
E l núm ero de éstos es:
( Ejercicio 64
1) ¿Cuántos núm eros distintos de 4 cifras se pueden form ar con los dígitos
7, 8, 8, 8?
2) ¿Cuántos números distintos de 5 cifras se pueden form ar con los dígitos
8, 9, 9, 9, 9?
3) ¿Cuántos números distintos de 6 cifras se pueden form ar con los dígitos 
2, 2, 2, 4, 5, 6?
4) ¿Y con los dígitos 2, 2, 2 ,4 , 6, 6?
5) ¿Y con los dígitos 2, 2, 2, 2, 6, 6?
¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de las siguientes palabras?
6) M AM UT
7) LOGRAR
8) CARACAS ‘
9) HEREDERO
10) CACOFONIA
11) PROPORCION
12) BARRABAS
13) BOCACALLE
14) ABRACADABRA
15) INDEPENDIENTE
T
4! 2! 4! 2!
Ejemplo 58
2 3 8 COM BINATORIA
A continuación se dan 5 palabras. En cada caso determ inar cuántas palabras 
distintas (que tengan igual núm ero de letras que la palabra dada) se pueden form ar 
con la condición de que las vocales y las consonantes estén alternadas:
16) LICENCIA
17) PAPUPAPA
18)” PENITENTE
19) PENICILINA
20) TITIRITERO
21) ¿Cuántos números distintos de 7 cifras se pueden form ar con los dígitos 2, 
2, 2, 2 ,4 , 5, 6?
22) ¿Cuántos de los números del ejercicio anterior serán divisibles por 5?
23) ¿Cuántos serán divisibles por 25?
24) ¿Cuántos serán divisibles por 125?
Variaciones con repetición
Estudiem os la variación de m elementos en el caso de que éstos puedan estar 
repetidos cualquier número de veces.
E l hecho de que los m elem entos puedan aparecer repetidos hace que, en el 
caso de las variaciones con repetición, n pueda ser menor, igual o m ayor que m.
Designaremos este tipo de variaciones con el sím bolo V ^ n
Si d isponem os de m e lem en­
tos, las variaciones m onarias 
de éstos son: f l | , CI-), Cl3 ,
T enem os, pues, que:
V \ = mm,\
L as v a riac io n es b in a ria s se 
o b tienen co locando a la d e ­
recha de cada m onaria los m 
e lem en to s d ad o s, tal com o 
aparece en e l s ig u ien te cu a ­
dro: a,ai“ i
a 3a \
Q\(X~ a |¿*3
QfCl')
a mü I a ma 2 a ma 3
a \am
(*2am
a 3üm
E s obv io que ,
CO M BINATORIA 2 3 9
Las va riac iones te rn a ria s se 
ob tienen co locando a la d e ­
recha de cada una de las b i­
na ria s los ni e lem en to s d a ­
dos.
T endrem os, pues, que:
R azonando en fo rm a análo ­
ga, tendrem os la fórm ula ge- 1 
neral:
(11C)
E jem plo 59
¿Cuántos números de 4 cifras se pueden form ar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6? 
(Para este ejem plo y para los siguientes se supone que los elem entos pueden 
repetirse cualquier cantidad de veces).
E l núm ero de e lem en tos d a ­
do es m = 6 y e l de los que 
entran en cada o rdenación es 
n = 4.
El total del núm ero es: T = V j* . = 6 ^ =0,4
Ejem plo 60
¿Cuántos números de 6 cifras sepueden form ar con los dígitos 2, 3 y 4?
E l to ta l de e lem en tos dados 
e s m = 3 y el de los que 
entran en cada o rdenación es 
n = 6.
T endrem os que: T — = 3** =
Ejem plo 61_____________________________
¿Cuántas ordenaciones distintas de 4 letras cada una pueden form arse con las 
letras A, B, C, D ' E, F, G, H, í, si en cada ordenación debe haber dos vocales y dos 
consonantes?
1296
\ / R n V.. .=m *
V , =m m
m, 2
T w'r 2
m.2 = m
2V , =m -mm, 3 
\/ R 3V , =mm, 3
2 4 0 COM BINATORIA
El to ta l d e fo rm as d istin tas 
en q u e se p ueden co lo car las 
vo ca les e n lo s d o s s itio s 
correspondientes a e llas e&: V R3,2
El to ta l de form as en q u e se 
p u ed en c o lo c a r las c o n so ­
n an tes e n los dos s itio s re s ­
tantes es: 6,2
L os esp ac io s de la o rd en a ­
c ión p ueden e sta r ocupados 
p o r las vocales y co n so n an ­
tes de seis form as d istin tas, a 
saber:
V V CC
V C V C
V C C V
C V V C
C V C V
C CV V
El to ta l de ordenaciones que 
p u e d e n h a c e rs e c o n la s 
cond ic iones dadas es (p o r el 
T eo rem a Fundam en ta l de la 
C om binatoria):
= 32 -6 2 -6 = 1944
( Ejercicio 65
1.) ¿Cuántos núm eros distintos de 3 cifras se pueden form ar con los dígitos 
1 ,2 , 3 ,4 , 5 y 6?
2) ¿Y cuántos números de 5 cifras se pueden form ar con los mismos dígitos?
3) ¿Cuántos núm eros m enores de 400 se pueden form ar con los dígitos del 
ejercicio 1?
4) ¿Cuántos núm eros m ayores de 4 .000 y m enores de 300.000 se pueden 
form ar con los dígitos del ejercicio 1?
5) ¿Cuántas placas de carro distintas se pueden obtener que tengan dos de 
las letras A, B, C, D, E, F, G y, a continuación, cuatro de los siguientes 
dígitos: 1, 2, 3 ,4 , 5 y 6?
6) Un dispositivo hexagonal para hacer señales lum inosas tiene, en cada 
vértice, cuatro faros de colorés am arillo, azul, rojo y verde. ¿Cuántas 
señales distintas pueden hacerse con él si para cada señal debe estar 
encendido sólo uno de los faros de cada vértice?
7) .¿Cuántos núm eros distintos de 3 cifras se pueden form ar que tengan dos 
cifras pares y una impar si se excluye el cero?
8) ¿Cuántos son los números del ejercicio anterior si no se excluye el cero?
COM BINATORIA 2 4 1
9) ¿Cuántas ordenaciones de 5 letras cada una pueden form arse con las letras 
a, b, c, d y e si en cada ordenación debe haber 3 consonantes y 2 vocales?
10) ¿Cuántas_ordenaciones de 5 letras cada una pueden form arse con las letras 
del ejercicio anterior si en cada ordenación debe haber 3 vocales y 2 
consonantes?
11) "Para transm itir señales de una isla a la costa se dispone de 6 luces blancas 
y 6 rojas, colocadas en los vértices de un hexágono. En cada vértice no 
puede haber encendida más que una luz (b lanca o roja) y el núm ero 
mínimo de luces encendidas es tres. Hallar el núm ero de señales distintas 
que se pueden hacer.
Combinaciones con repetición
Utilizaremos el símbolo
para designar las com binaciones con repetición, es decir, aquellas en las que cada 
uno de los elementos puede repetirse cualquier número de veces.
E n las com binaciones con repetición, dos ordenaciones se consideran diferen­
tes cuando difieren en algún elem ento o cuando tienen los m ism os elem entos 
repetidos un núm ero distinto de veces.
Tam bién en el caso de las com binaciones con repetición, n puede ser menor, 
igual o m ayor que m.
Para calcular su núm ero considerem os que disponemos de m elem entos y que 
n de ellos entran a form ar parte de cada ordenación.
Construyamos una ordenación cualquiera de n elementos como la siguiente:
a ,, o ,, a ,, a 2, a2, a 3, a9, ..........om
P ara d iferenciar m ejor cada uno de esos elem entos los transform arem os 
designándolos con otra letra b cuyo subíndice será el subíndice dism inuido en una 
unidad del elem ento que querem os transform ar más el ordinal del elem ento en la 
ordenación. Dicho de otra forma: el subíndice de b será igual al del correspondiente 
elemento a aum entado en tantas unidades com o términos le preceden:
1 «1 b]+\-\ = bx
1 . «1 T<N+
-O = b2
1 a \ ^1+3-1 = b3
1 a 2 ^2 + 4 -1
-esII
1 a 2 ^2+.5-1 = ¿>6
1 «3 ^3+ 6 -1 = b&
1 Og ^9+ 7 -1 = ¿>,5
: i : ¡
! ! ! íI ' I l
n a m b m + n-\ ~ b m+n- 1
2 4 2 COM BINATORIA
C on esto hem os obtenido que cada uno de los elem entos de la ordenación de 
la segunda colum na quede representado por algún elem ento de la que aparece en la 
cuarta colum na. La diferencia rad ica en que en la p rim era ordenación aparecen 
elementos repetidos,- no así en la segunda.
El núm ero de ordenaciones del prim er tipo es una com binación con repeti­
ción de m elem entos entrando n en cada ordenación: C * „.m,n
El número de ordenaciones del segundo tipo es una com binación ordinaria de 
m + n - 1 elementos entrando n en cada ordenación: C m+n-i «•
Y dado que hay una correspondencia biunívoca entre las ordenaciones de 
ambos tipos, podemos concluir que
o también:
s~iR _ { m + n - 1)! 
m-n ~ n\ (m -1 )!
(12°)
Ejem plo 62
E n una tienda hay estatuitas de vidrio, de porcelana, de m adera y de bronce. 
¿De cuántas formas distintas pueden elegirse 6 estatuitas?
H ay cuatro tipos de e lem en­
tos (m = 4 ) con los que hay 
que fo rm ar o rdenaciones de 
seis (n = 6).
El to ta l de form as d istin tas 
de hacerlo es: r - r R _ (4 + 6 - 1)!
6! (4 -1 ) !
9! 9 8 7 6! 9 -8 -7
6! 3! 6! 3! 3 -2
= 84
E jem pU iM ;__________________
A un congreso asisten representantes de cuatro países (A ustria, Bélgica, 
C anadá y Dinam arca). Todas las delegaciones tienen al m enos ocho representantes, 
a excepción de la de D inam arca que sólo tiene tres. ¿D e cuántas form as distintas 
puede elegirse entre todos ellos un equipo de trabajo de 6 personas?
Si la d e leg ac ió n d an esa tu ­
v iera al m enos seis represen­
tantes, los equ ipos de trabajo 
que podrían form arse serían : R
^4,6
COM BINATORIA 2 4 3
Pero , d ado q u e los d aneses 
son só lo tres , hay q u e restar 
de e ste núm ero las siguientes 
configuraciones:
D D D D D D cuyo núm ero es:
D D D D D X cuyo núm ero es:
D D D D X X cuyo núm ero es:
El to ta l de equ ipos de trabajo 
eS, po r tanto:
= 84 - (1 +1 • 3 +1 • 6) = 74
( Ejercicio 6 6
1) Con los núm eros 1, 7, 11, 15, 24 y 37, ¿cuántas sum as distintas de tres 
sum andos cada una pueden obtenerse, sabiendo que d ichos núm eros 
pueden repetirse cualquier número de veces?
2) Se tienen pinturas de cinco colores. ¿Cuántos colores pueden obtenerse 
con ellas m ezclando tres m edidas iguales de una o de varias de esas 
pinturas?
3) ¿Cuántas notas y acordes distintos pueden obtener cuatro flautistas si cada 
uno de ellos tiene una flauta que puede producir 12 sonidos diferentes? 
(Se considera que el acorde producido por un flautista que toca el Do, dos 
que tocan el M i y uno que toca e l Sol es distinta al producido por un Do, 
un M i y dos Sol, por ejemplo).
4) Una florista dispone de claveles, rosas y crisantem os. ¿C uántos ram os 
distintos de 8 de esas flores puede formar?
5) ¿Cuántos grupos distintos de 11 personas se pueden form ar con pilotos, 
marinos, soldados de infantería y guardias nacionales?
6) E n una asam blea com puesta de abogados, m édicos, arqu itectos y 
econom istas se desea form ar una com isión de 7 personas. ¿D e cuántas 
form as distintas puede form arse ésta si en la com isión debe haber por lo 
menos un médico?
7) U n em presario que tiene cuentas en cinco bancos debe darle cinco 
cheques de igual m onto a un proveedor. ¿D e cuántas form as distintas 
puede hacerlo?
8) E n un barco en peligro hay niños, adultos, ancianos y m iem bros de la 
tripulación. ¿De cuántas form as pueden elegirse los ocupantes de un bote 
salvavidas en el que caben 10 personas si el bote debe llevar por lo menos 
dos niños y un miembro de la tripulación?
244 COM BINATORIA
9) Se dispone de cuadernos de cinco m arcas distintas. ¿De cuántas formas 
distintas se le pueden dar siete cuadernosa un estudiante?
10) De un grupo de 9 trom petistas, 10 saxofonistas, 8 clarinetistas y 3 
flautistas se desea seleccionar a siete m úsicos para form ar un conjunto. 
¿De cuántas formas puede hacerse esto?
11)- En un grupo de cantores hay sopranos, contraltos, tenores, barítonos y 
bajos. De cada uno de ellos hay por lo m enos diez, a excepción de los 
bajos que son sólo cuatro. ¿Cuántos coros distintos de 10 personas pueden 
formarse con ellos?
Permutaciones circulares
/
Llam arem os perm utaciones circulares a las ordenaciones de n elem entos 
d ispuestos sobre una línea cerrada (por ejem plo una c ircunferencia) y las 
designarem os con el símbolo .
D os perm utaciones circulares son iguales si los objetos iguales de ambas 
tienen, a su derecha e'izquierda, objetos respectivamente iguales.
Las perm utaciones de la figura anterior son todas iguales, pues en ellas un 
objeto cualquiera tiene siempre a derecha e izquierda los mismos objetos.
D ado que un objeto cualquiera puede ocupar n lugares alrededor de la 
circunferencia, son n las permutaciones iguales derivadas de esta rotación.
Ya es sabido que el total de perm utaciones que se pueden obtener con n 
elementos es Pn = «!
Si dividim os por n este total, obtendrem os las perm utaciones circulares 
distintas:
En definitiva,
Pnc = P ^ = ( n - i y . (13°)
Ejem plo 64
¿D e cuántas formas distintas pueden sentarse siete personas alrededor de una 
mesa redonda?
Es obviamente un caso de 
permutación circular de 7 
elementos. El total es:
T = R C= 6!= 720
COM BINATORIA 2 4 5
Ejemplo 65
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse el Presidente de una em presa y 
seis em pleados alrededor de una mesa redonda?
C uando en una perm utación 
c ircu la r un o de los elem entos 
d e stac a de lo s d em ás, las 
d istin tas posiciones que e ste 
e le m en to o c u p a en la línea 
c e rra d a deb en co n sid e ra rse 
com o ordenaciones d istintas.
E l p ro b le m a se c o n v ie rte , 
p o r tan to , en un caso sim ple 
de perm utaciones ordinarias.
E l tó ta l'ped ido es:
T = P7 =7!= 5040
Ejem plo 66 2________________
¿D e cuántas form as distintas pueden colocarse 8 personas alrededor de una 
mesa si hay tres de ellas que no deben o’cupar sitios consecutivos?
C alcu larem os e l total de p e r­
m u ta c io n es c irc u la re s y le 
re s ta rem o s aq u ellas en las 
que las tres personas ocupan 
sitios consecutivos.
E l to ta l de p e rm u tac io n es 
circu lares es:
Para c a lcu la r las o rd en ac io ­
nes en las que las tres perso­
n as ocupan sitios c o n secu ti­
v os , c o n s id e ra re m o s e s ta s 
p e rso n as co m o una unidad 
inseparable . E sta unidad con 
las c in co personas restan tes 
fo rm an u n to ta l de se is 
e lem en to s . L as pe rm u tac io ­
nes circu lares de éstos son:
P ero , po r c ad a una de estas 
posib ilidades, las fo rm as en 
que pueden co locarse las tres 
personas en sitios consecu ti­
vos es:
E l n úm ero de o rdenaciones 
en las que las tres personas 
ocupan puestos consecu tivos 
es:
Y el total pedido es:
P í
p::
p s
P£ X P
T = Pf- (P6c xP3)
= 7!-5! 3! = 4320
COM BINATORIA
( Ejercicio 67
1) ¿De cuántas form as distintas pueden colocarse cuatro personas para ju g ar 
dominó?
2) ¿De cuántas form as d istin tas pueden colocarse alrededor de una m esa 
redonda un profesor con sus 8 alumnos?
3) ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse 8 velas de distintos colores 
en los bordes de una torta redonda?
4) ¿D e cuántas form as pueden colocarse las velas del ejercicio anterior si una 
de ellas debe ir en el centro de la torta?
5) ¿D e cuántas form as distin tas pueden colocarse siete niños al hacer una 
rueda si entre ellos hay dos hermanitos que siempre quieren quedar juntos?
6) ¿De cuántas form as pueden colocarse 9 personas alrededor de una m esa 
redonda si 4 de ellas no deben quedar en sitios consecutivos?
7) ¿De cuán tas form as distintas pueden colocarse cinco presos alrededor de 
una m esa redonda si uno de ellos tiene la m ano derecha esposada a la 
izquierda de otro preso? ,
8) ¿De cuántas form as pueden cuatro niños y cuatro niñas hacer una rueda si 
los niños y las niñas deben estar alternados?
( Ejercicio 68
Ejercicios de recapitulación
1) D em ostrar que n\+{n +1)!= +
n + 1
2) Dem ostrar que (n + 1)! -n ! = n 2 (n -1 )!
, , _ 1 1 W + 23) Dem ostrar que — h
n! (n + 1)! (n + 1)!
.. _ m! mi (m + 1)!
4) Dem ostrar que — + — = — L— -
(n — 1)! ( m - n + 1)! n ! ( m - n ) ! n ! ( m - n + l)!
Dem ostrar por Inducción Com pleta las tres igualdades siguientes:
5) 1-1! +2 • 2! +3 - 3! + ....... + n n ! = ( n + l ) ! - l
, , 1 2 3 n 1
6 ) 1------1 h + — — = 1 — —
2! 3! 4! (n + 1)! (n + 1)!
7) V mn = m ( m - l ) ( m - 2 ) ( m - n + 1 )
8). Un dispositivo para hacer señales con banderas tiene 6 posiciones para 6 
banderas. ¿C uántas señales d istin tas pueden hacerse con ellas desp le­
gándolas sim ultáneam ente si tres de las banderas son rojas, dos son azules 
y una es blanca?
CO M BINATORIA 247
9) ¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse 5 llaves en un aro?
10) ¿Cuántos com ités-distintos de 6 personas se pueden form ar con los 10 
empleados y con los 15 obreros de una fábrica
a) st el com ité debe estar formado por 4 obreros y 2 em pleados?
b) si en el comité no debe haber más de 4 empleados?
11 ) ¿De cuántas form as distintas se pueden ordenar las letras de la palabra 
"M URCIELAGO" si en todas ellas las vocales deben aparecer en ese 
mismo orden: U 1 E A O ?
12) ¿De cuántas form as distintas pueden ordenarse las letras de la palabra 
'TRIQ U ITRA QU E" si después de la letra Q debe ir una U y, después de 
éstas, una / o una E l '
13) Se dispone de 3 pesas de 5 gr cada una, 3 pesas de lk g cada una y 2 pesas 
de 5 kg cada una. ¿C uántas pesadas distintas pueden efectuarse con 3
pesas com o máximo?
\ ( x - y ) l = y ~ l 
[x + y = 5 
\ ( ¿ - y ) \ = 5 y + l 
[x + 2 y = 6
14) Resolver el sisnema:
15) Resolver el sistema:
16) Resolver:
x \ ± l
( 3 - > ’)!* 2 
x - 2 y = 1
17) Seis personas, entre las que están A y B, van a tom ar la palabra en una 
reunión. ¿De cuántas formas distintas puede establecerse el orden de las 
intervenciones si A debe hablar antes que B I
18) ¿Cuántos cuadrados hay en un tablero de ajedrez?
La prim era fila de una sala de cine tiene 12 asientos. ¿D e cuántas form as 
distintas pueden sentarse en esa primera fila 5 hombres y 4 mujeres ...
19) ... si pueden sentarse en cualquier asiento, sin ninguna restricción?
20) ... si el grupo debe sentarse en asientos contiguos?
21) ... si las mujeres deben sentarse en asientos contiguos?
22) ... si los hombres deben sentarse en asientos contiguos?
. 23) ... si las m ujeres deben colocarse de a dos y entre un par de m ujeres y 
otro debe haber al menos un hombre?
24) ... si no deben quedar más de tres hombres en asientos contiguos?
25) .... si hom bres y mujeres deben colocarse en form a alternada y en asientos
contiguos?
26) ... si hom bres y m ujeres deben colocarse en form a alternada pero no
necesariam ente en asientos contiguos?
COM BINATORIA
27) ... si no deben sentarse dos hombres o dos m ujeres en asientos contiguos?
28) ... si las m ujeres deben colocarse en asientos contiguos y en orden de 
edad?
29) si no deben quedar dos asientos contiguos vacíos?
30) ... si deben sentarse todos en orden de estatura?
31) U na urna contiene 12 bolas, de las cuales 5 son negras, 4 blancas y 3 
rojas. ¿De cuántas m aneras se pueden sacar sim ultáneam ente grupos de 
seis donde haya por lo menos una de cada color?
- 32) ¿De cuántas formas se pueden colocar 3 dam as en un tablero de ajedrez 
de tal form a que sus posiciones sean los vértices de un triángulo 
rectángulo cuyos catetos sean paralelos a los bordes del tablero?
33) ¿De cuántas formas se pueden colocar 4 dam as en un tablero de ajedrez 
de tal fornja que sus posicionessean los vértices de un rectángulo de 
lados paralelos a los bordes del tablero?
34) ¿Cuántos rectángulos hay en un tablero de ajedrez, que tengan un lado 
igual al doble del otro?
35) ¿Cuántos rectángulos hay en un tablero de ajedrez que tengan un lado 
igual al triple del otro?
36) ¿D e cuántas formas se pueden colocar 4 dam as en un tablero de ajedrez 
de tal form a que sus posiciones sean los vértices de un rectángulo de 
lados paralelos a los bordes del tablero y que uno de los lados sea igual al 
doble del otro?
37) Cuatro m uchachos viajan en un autobús que corre a una velocidad de 9(1 
km/hora, ocupando cuatro puestos que están al fondo del vehículo. Cada 
cuarto de hora se intercam bian los puestos y llegan a su destino cuando 
han agotado todas las d isposiciones posib les. ¿C uántos k ilóm etros 
recorrió el autobús?
CO M BiNATORfA 2 4 9
BINOMIO DE NEWTON
Números combinatorios
En el estudio de las propiedades de la potencia de un binomio, em plearemos, 
dada su practicidad, la notación de E u le r para representar la ya conocida
•expresión C m,„ •
. í m'' = c (14°)[ n j
La expresión recibe el nom bre de núm ero com binatorio. A pesar de
que no se trata de una fracción, llamaremos num erador al núm ero m y denom ina­
dor al núm ero n.
D ado que e l núm ero com binato rio | /nj es igual a C m n, todas las
equivalencias y propiedades de éste último se pueden aplicar al primero.
Tenemos, por tanto, que, por la relación (4C):
w 'j_ m (m — l ) ( m - 2 ) ( m - n + 1)
Kn ) n\
(15°)
Esta relación nos perm ite calcular el valor del núm ero com binatorio cuando 
conocem os el valor de n.
Ejem plos
5
2 y
v4,
5 - 4
= 10
2!
7 - Ó - 5 - 4
4!
= 35
'x ( x - l ) ( x - 2 ) x ( x - l ) ( x - 2 )
3!
BINOM IO DE NEW TON 2 5 1
Tenem os/adem ás, que, por la relación (6C):
m m\
(m - n)\ n\
( 1 6 c ):
relación que nos será de utilidad especialm ente cuando desconozcam os el 
valor de n.
Ejemplos_______________________________
5!
x j (5 - a -)! a ! 
' x + A ( a + 7)!
7! a !
v.A — 3 /
a ! _ a ( a - 1 ) ( a - 2 ) ( a - 3 ) ! _ a ( a - 1 ) ( a - 2 ) 
3! ( x - 3 ) ! ~ 6 ( a - 3 ) ! ~ 6
Propiedades de los húmeros combinatorios
Son las mismas que las de la expresión Q m n .
P ro p ied ad I: Por la relación (7C) tenemos:
m 
m - n
(17c)
es decir, que dos núm eros com binatorios con igual num erador y denom ina­
dores com plem entarios con respecto a aquél son iguales.
Ejem plos___________ ___________________
Son ciertas por la propiedad (17c) las siguientes igualdades:
9
7
a n
v 5 ,
Esta propiedad nos perm ite, com o en el caso de las com binaciones, sim plifi­
car algunos cálculos.
E jem plo ___________________________
Calcular
90'
88
2 5 2 BINOM IO D E NEWTON
f90> 3H
Ni
90 89 
2!
= 4005
Propiedad II: Por la relación (8C) tenemos:
= 1
00
= 1
<*)
= >
. o j
<15
,15
II
, o ) = ‘
(18c)
Propiedad ID: Es fácilmente dem ostrable que
rn
=
m
= m
s 1 *
En efecto:
m mi _ m ( m - 1)! _
1 ) ( m - l ) ! l ! (m -1 )!
mi
= m
(19c)
m mi m (m — 1)!
 — - = m
m - l j ( m - m + 1)! (m -1 )! l! (m —1)! (m -1 )!
Ejem plos
8
7
9 a
b
10N
9
7
1
= 1 
= 9 
= 10 
= 1
BINOM IO D E NEW TON 253
( Ejercicio 69
Calcular el valor de los siguientes números combinatorios:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
/
/ A') \
\ 4 0 , 
110^ 
107 
15 
4
7)
8) 
9)
10)
11)
12)
31
5
74
71
'5 2 x
\4 9 /
'61
, 2 ,
38
34
85
4
13)
14)
15)
16)
17)
18)
91 
89 
120^ 
118 
r u s
3
f943 
942 
x + l
2
x - 5
3
19)
20) 
21 ) 
22)
23)
24)
3 ,
X
A - 3
X 
x — 1 
x + \
X
x + \ \ 
x - \
( x + 2 
x - l
( Ejercicio 70
T om ando en cuen ta la p rop iedad (17c), determ inar por sim ple 
inspección el valor de x en cada una de las siguientes igualdades:
1)
2)
3)
4)
5)
5^
2
6
2
7
0
'1 1 '
5 
x 
(6 
x 
7
' l l x
6)
7)
8) 
9)
17
7
30
12
'18̂
r
V í 20lJ U J
)_r v*J\ '30̂
/
'12^ ri2> ( CA
= io ) u
, 6 ; ^ x ) w vx )
( Ejercicio 71
Tom ando en cuenta la propiedad (17c), determ inar cuál debe ser el 
valor de m en las siguientes igualdades:
2 5 4 BINOM IO DE NEWTON
4)
5)
6) 
7)
■ 8)
2 rn V f 2 m \J-. 0;
m
\ a 
' 3 m
Kb
a + 2 y
m + 2 
2* + 3 
15 - m
7 + *
3 m 
1 - a 
m + 2 
8 - 2 * 
1 5 - m ) 
7 - x
9)
10) 
11) 
12) 
13)
6 - m 
8 + 3* 
8 - 4 m
a - b 
Sm + lO^
7 + 2*
m2
7 - * ;
m 2 + 3
8 + a
( 6 - m 
9 - 3 x y 
8 - 4 m 
3a + 5b 
(5 m + \0 
3 + 3*
2 \
V
m 
x + 2
m 2 + 3A
11 —a
P ro p ie d ad IV : Esta última propiedad de los números com binatorios, llamada 
Regla de Pascal, fue dem ostrada en el Ejercicio 55 N° 10 (pág. 206):
m - l ' j f m - 1 ^ 
n - \ y { n
(20c)
que se puede expresar también de esta forma:
m 
n +1
m + Ia 
n +1 (21c)
La sum a de dos números com binatorios de igual num erador y denom inadores 
que difieren en una unidad, es otro núm ero com binatorio cuyo num erador es supe­
rior en una unidad al de los anteriores y cuyo denom inador es el m ayor de los deno­
minadores.
Ejemplos_______________________________
Son ciertas las siguientes igualdades:
^ 8 > ' 7 ' ( 7
J j , 6 ,
+
( 1 5 ( 1 4 \ ( w
u J=\ n b
r * + o f X
\
V
= , 2
+
/ 7 y
y también éstas otras:
(4") f4
+ =
, 2 7 Ib Ib
BINOM IO D E NEW TON 2 5 5
( Ejercicio 72
Utilizando la propiedad (20c), descom poner cada uno de los siguientes 
números com binatorios en una sum a de números combinatorios:
1)
2)
3)
4)
5'
3 
6
4
rn \
v5y
9
4
r i 2 ' n s ' i
5)
o
8)
k14 J
'a + 3"
6) 9)
^ + 2 y, 2 ,
( 9 \ ' 2 x - l
7) 10)
 ̂ x + 1
( Ejercicio 73
Utilizando la propiedad (21°), hallar el núm ero com binatorio equivalente a 
cada una de las siguientes sumas:
1)
2)
3)
4)
8̂\ > 00 ( A ' A+ 5) 1 =
A l 6J J )
'9 ^ f9> n + r (+ 6)
l o
+
15, \
i r
7 /
no
7)
f2 x + 3' 
9
'x + 1
( 2 x + 3
A 8
+
Ejem plo 1
Resolver la ecuación: ( A+ „
,2 ; W
A p lic a m o s l a , p ro p ie d a d 
(2 1 ° ) al p rim er m iem bro: x + 1 
3
= 56
8)
9)
10)
3 x - 2 
12 
10 ̂
x + 5 
20 
x + 7
+
3 x - 2 
11 
10 
x + 6 
20 
x + 6
2 5 6 BINOM IO D E NEWTON
D e sa rro l la m o s e l n ú m e ro 
com binatorio:
D escom ponem os el m iem bro 
de la derecha e n tres facto res 
decrecientes consecutivos:
D e donde
f x + l ) x ( x - l ) _
3!
= 5 6
(x + l ) x ( x - l ) = 336 
(x + l ) x ( x - 1 ) = 8 • 7 • 6
x = 7
£itmpk>.L
Resolver la ecuación:
A p lic a m o s la p ro p ie d a d 
(21c ) a los dos p rim eros té r­
m inos del m iem bro izq u ie r­
do:
V olvem os a hacerlo c o n los 
d o s p rim ero s té rm inos d e la 
ecuación resultante:
N uevam ente:
R esolviendo:
D e donde
N ' x + T,
+ 1 . = 2 5 2
3*GMr'-
x + n f x + r 
4 H 5 1 = 252
x + 2 
5
252
(x + 2 )(x + l ) x ( x - l ) ( x - 2 ) _
5!
= 252
(x + 2 )(x + l ) x ( x - l ) (x - 2 ) = 30240 
(x + 2 )(x + l ) x (x - l ) (x - 2 ) = 10 • 9 • 8 • 7 • 6
x = ■
Ejemplo 3
Resolver la ecuación:
A plicando (21°) en el p rim er
' 9 
vx + l
( 9
x + 2
= 3
m iem bro: ( 10 ^ (9
= 3
x + 2 ,
BINOM IO D E NEW TON 2 5 7
D esarro llando am bos m iem ­
b ro s m e d ia n te la re la c ió n 
(21c):
Sim plificando y resolviendo:
D e donde
10! 3 - 9 !
( 8 - * ) ! ( * + 2)! ( 9 - jc)! x\
10 9! 3 9!
(8 - *)! (a: + 2 )(x + 1) *! ( 9 - j c ) ( 8 - * ) ! *!
10 3
(x + 2 ) (x + 1 ) ~ (9 - x )
10 (9 - * ) = 3 (x + 2 ) (x + 1 )
90 - IOjc = 3jc2 + 9* + 6 
3 x 2 + 1 9 * - 8 4 = 0
x 2 = 3
( Ejercicio 74
Utilizando la relación (21c), resolver cada una de las siguientes ecuaciones:
1)
v b
2 ) , ' l +
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
= 28 
= 495
x 
1y
x - 1
3
2 JA 3
f x + \'+ „
l 3
x-1)
+
4 J
f x + 2
= 35 
= 126 
= 5
v 5 ,
f x + 3
( 4 J
' x ' x + 1' f A+ +
, 3 1 5 A *J
X - 2 r* i
. 
N
)
+ +
V 1 2 ■ M
= 35
f x + l 
v 3 , 
x— 1
v - 5 ,
+ f " )
\ * + 3> fx> ( x + 4 )
+ + +
/ , 5 U ; l 6 J
= 84
+
3 A 4 y v6 /
+ 1 3 1 = 2 1 0
\
00 r 9 -n 00
+ + = 3
/ X + l j kx + 2 j { x + 2 ¡
2 5 8 BINOM IO DE NEWTON
( Ejercicio 75
1) Dem ostrar que
(2
= 2
'2n - r
A plicar la relación dem ostrada en el ejercicio anterior a cada uno de los 
‘siguientes casos:
2)
3)
"12> (2 &
4)
k io ,
"18) 1 r i o )
5) c
l 5 J
Verificar las siguientes igualdades:
/ ' n
6)
7)
8) 
9) 
10)
vly
n
1
+ 2
+ 6
v2,
= n
+ 6 = n'
+ 1 4 1 
+ 301
f n \ (n ^ V 4
+ 3 6 [ + 24 \ = n AU J 3; A
( n / \ n \ "n3 ( n \
+ 150 + 240 + 120 r
u ,
= n
r« + n r« + 23
+ 4 +
v3 3. , k 3 J
= n
Resolver las siguientes ecuaciones:
/ v \ ^ + 2\
11) 5
12) 2 
13)
v^ /
= 0
- 3
A
= 0
"A f x ^ ( A
A
+ 6
2 ) +6U
BINOM IO DE NEW TON 2 5 9
Teorema del Binomio
Exam ínese la siguiente tabla de números combinatorios:
N v nm \ 0 1 2 3 4 5 6
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
En ella aparecen algunos valores de j . Los valores de m aparecen escritos
verticalm ente en la colum na de la izquierda; los de n, horizontalm ente en la fila 
superior.
Verifiqúese, por ejemplo, que ’
f 4 '
= 3 = 6
,2 , A
= 10 = 15
{* )
Obsérvese, además, que cada uno de ellos satisface la regla de Pascal
(m> m - L f m - n
n - \ }
+
l n J
En efecto, cualquier núm ero com binatorio de la tabla es igual a la sum a del 
que está inm ediatam ente arriba y el que precede a éste últim o en la f ila a la que
pertenece. Por ejemplo, 2 0 = 1 0 + 1 0 ; 15 = 5 + 1 0 ó 15 = 10 + 5; 6 = 3 + 3, etc.
Por esta razón, este cuadro recibe el nombre de Triángulo de Pascal.
Exam ínense, ahora, los desarrollos de las siguientes potencias del binom io 
a + b, desarrollos que se obtienen fácilm ente con la aplicación de productos notables 
o de multiplicaciones sucesivas:
(a + b)° = 1
(a + b )1 = a + b
(a + b )2 = a 2 + la b + b 2
(a + b )3 = a 3 + 3 a 2b + 3 a b 2 + b 3
(a + b)4 = a 4 + 4 a 3b + 6 a V + 4 ab3 + b 4
(a + b)5 =5 a 5 + 5 a 4¿> + 10a3b 2 + 10a V + 5 a b 4 + b 5
(a + b f = a 6 + 6 a 5b + 15 a V + 20 a 3b 3 + 15 a V + 6 ab5 + b 6
2 6 0 BINOM IO DE NEW TON
Un hecho salta inm ediatam ente a la vista: los coeficientes de los térm inos de 
un desarrollo cualquiera coinciden con los núm eros de la fila correspondiente en el 
cuadro de números com binatorios que anteriormente construimos.
Sustituyendo, por tanto, en un desarrollo cualquiera, por ejemplo en (a + b )5, 
los coeficientes por los números com binatorios equivalentes, tenemos:
, Xa + b) =
0
3 . 2 ,a b +
v3>
« V + \ab* +
Dado que esto podem os hacerlo en cada uno de los seis casos, parece natural 
esperar que lo mismo suceda con el desarrollo de cualquier potencia n:
( n \ ' n '
a " - ' b + (n)\a + UJan~2b2 + ...... +
n 
n - 2
Demostraremos, por Inducción Com pleta, que esto es cierto. 
Ya comprobamos que la igualdad es cierta para algunos valores de n. 
Supongamos que es cierta para n = k:
(a + b) =
fk'] k M k -u ( k \= \o + \a 1b + \aloj 10 I v
.k-2 ,2 k
k - 2
k 
k - 1
abk~l -f (D
Demostraremos que, entonces, la igualdad es también cierta para n = k + 1, es decir,
que
(<a + b)k+l =
fk + 1
0
ak+l + r‘ ; W ‘ ; V v + .
■+í!!y *‘M \ +v +(íi!y+i ®
Partimos del miembro izquierdo de la igualdad (II):
:+1 = (a + b)k(a + b)
Sustituimos (a + b)k por su equivalente en la igualdad (I):
í í n V +
rk>
v . U i
„k-2,2 , a b +■
k - 2
Multiplicamos aplicando la propiedad distributiva:
k
(a + b)
<k'
a*+l +
rk '
\akb + f f l a
( v
_¿-l r.2
k - 2
hk~2 -L-a b +
akb + _k-\ .2 v + - í * W - ' + í k abk + (k b k+'
( k - 2 ) ( k - l ,
Sacando factor común en cada par de términos semejantes:
a*+ ,+ a kb + „ k-\t2 ,a b +■
......+ Í L V ' i ' , '
„2>k-\ , a b +
' k
abk +
( k - 2 ; ( k - 1, k - l ; I b
(k .*+1
Aplicando la propiedad (21c) de los números combinatorios, transformamos cada una 
de las sumas que aparecen entre corchetes:
BINOM IO D E NEWTON 2 6 1
f * + f \ f i )
Perol 1=1 I y, también I ^
¿+1
O
a ™ + r t ; iw * ; v - v + .
. Por tanto, sustituyendo tenemos
k + l
• +
'k + V\ 
k - 1 * + 1
.¿+ 1
con lo que demostramos la proposición.
Podem os en consecuencia generalizar nuestra proposición para cualquier 
valor natural de n:
{a + b)n = a"_1¿> + í"l
u>, . X UJ
.n-2,2r +■
n
n - 2
a2bn~2 + abn~ + |b”
n - l j [n
Esta igualdad se conoce com o T eo rem a del B inom io (22c).
Propiedades del Binomio de Newton
A nalizando la igualdad (22c) podem os deducir algunas propiedades del 
B inom io de N ew ton. P ara fac ilita r este análisis, tom arem os com o ejem plo el 
desarrollo de (a + b)6:
'6> 1 T (6^ fó'j - , r6> í 6l«‘ + a 5b + a b + a V + L V + ab5 +X ,2, X j 15, ,6,
En el desarrollo de (a + b)n se observan las siguientes
Propiedades
1) El número de términos del desarrollo es igual a n + 1. En nuestro ejemplo, 
los términos del desarrollo son 6 + 1 = 7 .
2) E l coeficiente de un térm ino cualquiera de l desarrollo es un núm ero 
combinatorio cuyo num erador es n y cuyo denom inador es e l ordinal del término 
disminuido en una unidad.
Véase en el desarrollo tom ado com o ejem plo, que todos los núm eros com ­
b inatorios tienen com o num erador 6. Por o tra parte, en el tercer térm ino el
denom inador del núm ero com binatorio es 2; en el sexto térm ino el denom inador del 
número com binatorio es 5; etc.
3 ) E l exponente de a en un térm ino cualquiera es siem pre igual a la 
diferencia en tre num erador y denom inador de l núm ero com binatorio que ese 
término tiene po r coeficiente.
El exponente de a en el cuarto térm ino es 6 - 3 = 3
El exponente de a en el séptim o térm ino es 6 - 6 = 0
4) E l exponen te de b en un térm ino cualquiera es siem pre igual al 
denom inador de l núm ero com binatorio que ese térm ino tiene de coeficiente. 
(Verifiqúese).
2 6 2 BINOM IO DE NEWTON
5) La suma de los exponentes de a y b en un térm ino cualquiera es siempre 
igual a n.
En el tercer término: 4 + 2 = 6 
En el sexto término: 1 + 5 = 6
6) E l exponente de a en e l prim er térm ino del desarrollo es n y decrece en 
una unidad po r vez en cada uno de los términos siguientes.
7) El exponente de b en e l prim er térm ino del desarrollo es cero y crece en 
una unidad po r vez en cada uno de los términos siguientes.
8) L o s térm inos equ id istan tes de los ex trem os tienen siem pre igual 
coeficiente. Esto se debe a que en los núm eros com binatorios de esos térm inos los 
denom inadores son com plem entarios con respecto al numerador. '
E l primero y el séptimo término tienen coeficiente 1 
El segundo y el sexto térm ino tienen coeficiente 6 
y así sucesivamente.
9) La suma de los coeficientes de los términos impares es igual a la suma de 
los de los térm inos pares, y esta suma es siem pre igual a 2n l. (Esta propiedad y la 
siguiente serán dem ostradas más adelante).
En nuestro ejemplo:
1 + 15 + 15 + 1 = 32 = 2 6-1 = 2 5
6 + 20 + 6 = 32 = 2 6-1 = 2 5
10) La suma de los coeficientes de todos los términos del desarrollo es siempre 
igual a 2n.
1+ 6 + 15 + 20 + 1 5 + 6 + 1 = 64 = 26
Desarrollo de potencias de binomios
Ejem plo 1______________________________
Desarrollar: + y)8
El desarro llo tendrá 9 té rm i­
nos cuyos coefic ien tes serán:
( 8 ) V f8̂ f+ + + . +loj . UJ l
1 (V+ + +J u, A
El p r im e r té rm in o x del 
b inom io aparecerá con expo ­
nente 8 en e l p rim er térm ino 
del d esa rro llo y. a p a rtir de 
ése , en todos los dem ás té r­
m inos co n exponeptes decre ­
c ien tes una unidad po r vez:
BINOM IO DE NEW TON 2 6 3
El segundo término y d el 
binomio aparecerá en todos 
los términos con exponentes 
crecientes en una unidad por 
vez, com enzando por el 
exponente cero:
x 6y 2 + i * y + i ¡ i * v +
+l. j J* V + l6 * v + i ; i * v + * v
Calculando los números 
combinatorios y simplifican-. 
do:
x 8 + S x 7y + 2%x6y 2 + 5 6 x V + 7 0 x 4 / +56jc3y 5 + 2 8 x 2y 6 + 8 x y 1 + y 8
Ejem plo 2
D esa rro lla r: (a - b ) '
Construimos los coeficientes 
de los 6 términos del desa­
rrollo:
( 5\
+
lo j W
Colocamos a en potencias 
decrecientes:
Colocamos - b en potencias 
crecientes:
\a5 ( - b f +
5̂1
Í 51 5 4 Í 51 3 f 5> 2 f 5 '' i í51« + a + « + a + , a +1 \al o J [v U ,
a 2( -¿ )3 + |^ j « 1( -¿ ) 4 + l5 a°(~£)5
C alculam os lo s números 
combinatorios y simplifica­
mos:
a 5 - 5 a 4 b + l 0 a 2b 2 - 1 0 a 2 b 3 + 5 a b 4 - b 5
Nota: C u a n d o e l s e g u n d o té r m in o d e l b in o m io t ie n e s ig n o n e g a t iv o , lo s té r m in o s d e l j 
d e s a r r o l lo s o n a lte r n a d a m e n te p o s i t iv o s y n e g a t iv o s . E s to s u c e d e p o r q u e | 
c u a n d o e l s e g u n d o té r m in o - b t ie n e e x p o n e n te p ar, c o s a q u e o c u r r e e n lo s !
2 6 4 BINOM IO D E NEW TON
i térm inos im pares, el resultado es una cantidad positiva. Lo contrario sucede j
j cuando - b tiene exponente im par, cosa que ocurre en los térm inos pares. ]
¡ Tendrem os en cuenta esta observación en los ejemplos que siguen. ■
Ejem plo 3_
Desarrollar: (a 2 -¿>3)6
Construimos los coeficientes 
con signo alternado, dado 
que el segundo término es 
negativo, de los 7 términos 
del desarrollo:
ñ + "1 Í61<3,
Colocamos a2 en potencias 
decrecientes:
- O - r - C H
Colocamos b* en potencias 
crecientes:
¡f*2)4
Ff - (s>2)
(6}
= ( : > 2)6- K > 2)5̂ ) - g > 2)4("3)2- ( 3 > 2)3(fc3)',+
Calculando coeficientes y 
efectuando potencias:
o 12 - 6 a 1 V + 15a8í>6 - 2 0 a V + 1 5 a V 2 - 6 a V 5 + í>18
Ejem plo 4
Desarrollar: ( fy a - 2)?
Él desarrollo tendrá la si­
guiente forma:
■23 +
rl ] r a f - 2 * - $ r a f . 25 + ( 2) ( H 2 ‘ - ( 2> 7
BINOM IO D E NEW TON 2 6 5
E fec tu an d o y s im p lificando 
radicales:
atya - 14a4- 8 4 ^ ? - 2 8 0 ^ ? + 560Va - 672^'a + 4 4 8 ^ -128
E jem plo 5 -
Desarrollar: (1 + 2/)
El d esa rro llo 
guíente form a:
•\4
te n d rá la si-
f 4>
( 4 \ 7 ,
r 4 l+ 2 /+ \2~i + 2 / +
0 ; I2J UJ
4 - 42 t
E fectuando y reduciendo las
p o te n c ia s d e la u n ,d a d = ! + 8Í _ 24 - 32t + 16 =
im aginaria: - 7 - 2 4 /
( Ejercicio 76
Desarrollar las siguientes potencias y simplificar los resultados:
i) ( - t + i r 1 11) (1 + /)6
"'2)! (tt2 - l ) 5 12) ( l - i f
3) (v T + i)5 13) (1 + V 3/)7
, , f . - i í
14) ( \ ¡ x - 2 f
V X )
5) ( c o s a + se n á f
15) ( 1 - l g x ) 4
/ , \ 5
6) ) (c o s jr -s e n jc )3
/ n 'j \4
16)
( i + i )
’ * ( ! * ! ) 17)
8) , { 2 X + 1)5 18) (flv + i ) 3
9) ( x - J í j 1 19) ( tg a + c tg a ) 6
10) ^ J x + 2 x j 20)
C Ejercicio 77 1
Tomando en cuenta las propiedades del Binomio de Newton, calcular en cada 
caso el valor de n en (a + b )n , el coeficiente del térm ino, el núm ero de térm inos del 
desarrollo, el ordinal del térm ino y la sum a de los coeficientes de los térm inos del 
desarrollo sabiendo que hay un térm ino cuya parte literal es:
1) a Ab 2
2) a 5b '
3) a 2b 5
4) a 4b 3
5) a 3b 2
6) a 9b 2
7) a V
8) a b 1
9) a b 8 
10) a 2b u
266 BINOM IO DE NEWTON
Cálculo de un término cualquiera
Las propiedades del B inom io de N ew ton nos perm iten calcular un térm ino 
específico de una potencia sin necesidad de desarrollarla por completo.
Veamos algunos ejemplos.
E jem plo 6
Calcular el quinto térm ino del desarrollo de
El té rm in o que se nos p ide 
(7"s) tiene co m o coefic ien te 
un nym ero com bina to rio cu­
yo n u m erad o r es n (12 en 
n u estro c aso ) y c u y o d en o ­
m inador es e l ord inal del tér­
m ino d ism inu ido en una u n i­
dad ( 5 - 1 = 4 ) :
El exponen te del p rim er tér- 
■ m ino del b inom io es igual a 
la d ife re n c ia en tre n u m era ­
do r y d en o m in ad o r del nú­
m ero com binato rio ( 1 2 - 4 =
8):
Él del seg u n d o té rm in o del 
b inom io es igual a l den o m i­
nado r del n úm ero co m b in a ­
torio:
V í + - rV*
12
' ¡ M i l
El térm ino es, po r tanto:
7; = Í12W ( ¿ ' 4
Efectuando y sim plificando: 9 1
= 495x" • —j- 
x
. = 495
EjemploJL
( 2 3 \l Isen a + csc a l
S igu iendo en fo rm a análoga 
los pasos dados en e l e je rc i­
c io anterior, tendrem os: 11
= 462 sen10 a esc18 a = 462 escs a.18
BINOM IO D E NEW TON 267
Ejemplo 8
D eterminar el penúltimo térm ino del desarrollo de (3 - 1 )13
Como el desarrollo de esta 
potencia tiene 14 términos, 
el que se nos está pidiendo
es el 13o:
Nótese que el segundo térmi­
no del binomio es negativo. 
Sin embargo, como en el T,3 
dicha expresión aparece ele­
vada-a exponente par, ten­
dremos: = 13-3 í 12
Reduciendo las potencias de p—*-
la unidad imaginaria: = 13 • 3 • 1 = 39
Término o términos centrales
El desarro llo de la po tencia de un binom io tendrá uno o dos térm inos 
centrales dependiendo de que el exponente sea par o impar.
En efecto, si el exponente es par, dado que el núm ero de térm inos del 
desarrollo es igual a n + 1, tendrem os ún núm ero im par de térm inos en el desarrollo 
y un solo térm ino central.
Por el contrario , si el exponenté es im par, tendrem os un núm ero par de 
términos y, en consecuencia, dos térm inos centrales.
Ejemplo .?
¿Cuál es el térm ino central en (a + fe)10?
El desarrollo tiene 11 térmi­
nos y, por tanto, un solo 
término central.
Para saber cuál es, dividimos 
11 entre 2: 11 + 2 = 5,5
Térm ino central = T6
E jem plo 10
¿Cuáles son los términos centrales en (a + fe)15?
El desarrollo tiene 16 térmi­
nos y, por tanto, dos centra­
les: 16 + 2 = 8
Térm inos centrales = T8 y T9
2 6 8 BINOM IO D E NEWTON
( Ejercicio 78
Calcular en cada uno de los siguientes desarrollos el térm ino o los térm inos 
que se indican entre paréntesis:
(*i)
(Tt y ts ) 
(T , y t6) 
(Ti y Ta )
(T central)
(Ts centrales) 
(Penúltimo Término)
fa)
\ 12
2)
( 2 i ^ V 4 a
k 2 ” 3 j
3) ( V í + V f c ) 13
4) Í 5 l _ A )
10
— ' N r v i v 7
10
5) ' A V 9 ,
$
7) (a + # ) 17
8) (esc2 a - s e n 3a )
S a ^ fb
12
9) V 2 ” V7V
V2x %]3y2
10)
11) ( ^ / tg a + ^ /c tg a )
12)
10
V3 V2 i 
2 3
13)
14)
3 2
13
2 X+3 + 1
a + 5
17
{T central)
(Ti y T i)
{Ts centrales)
( r l0 y Tg) 
(Tu y t7)
c
v
e -
<■
BINOM IO D E NEW TON 2 6 9
Términos de ordinal desconocido
L a aplicación de las propiedades del Binomio de Newton nos perm ite, con la 
ayuda de determ inados datos, trabajar con térm inos de ordinal desconocido y 
calcularlos.
U n térm ino de o rd inal k del desarro llo de (a + b ) n tiene la siguiente 
configuración:
s \
n
Tu =
Kk - i ,
a n~k+xb k~x
Por su m ayor sencillez, se hace preferible, en los casos de térm inos de ordinal 
desconocido, darles el subíndice k + 1. En ese caso la expresión anterior queda así:
„ n - k i ka b
V eam os algunos ejemplos que im plican la utilización del térm ino de ordinal 
desconocido:
Ejem plo 11__________________________2__
( 5 V 7
E n el desarrollo de l a 3 1 hay un térm ino cuya parte literal es a~ . ¿De
cuál térm ino se trata? ¿Tiene el desarrollo térm ino independiente?
N o conocem os el ord inal del 
té rm ino cu y a parte literal es 
. a 23. L o llam arem os Tm y su 
configuración es: 3\i7 -¿ ( 5 a 
[a )Tk+1 -
Sabem os q u e la parte literal 
de ese térm ino es a23. T o m a­
m os la parte lite ra l del Tm 
(p resc ind iendo de las dem ás 
can tidades y de los signos) y ^
la igualam os a fi23: ^ 1 | ______ 23
- I = a 
a
L a ig ua lación hecha d a o ri­
gen a una ecuación exponen ­
cia l q u e s iem p re se puede 
re so lv e r p o r ig u a lac ió n de 
bases (¿Por qué?)
5 1 - 3 k - k „ 2 3a a - a
a 5\-3k-k _ f l 23 ( I )
S iendo iguales las bases, de­
ben serlo tam b ién los e x p o ­
nentes: 51 — 3& — k = 23
de donde k = 1
2 7 0 BINOM IO D E NEW TON
C o n o c ien d o el v a lo r d e k, 
podem os d a r re spuesta a la 
p rim era pregunta. El térm ino 
que con tiene a” es: ^7+1 ~
L a s e g u n d a p a r te d e l 
p rob lem a Consiste en d e te r­
m in a r s i e l d esa rro llo tiene 
té rm in o in d e p e n d ien te . E l 
té rm in o in d e p e n d ie n te es 
aquel en e l que la parte lite ­
ral tiene exponente cero.
S i e n la e c u a c ió n (I) 
■ igua lam os e l m iem bro de la 
' izqu ierda a a ° podrem os dar 
respuesta a la pregunta:
a 5 \ - 3 k - k = a 0
5 1 - 3 * - * = 0
* - 5 1
4
E l d e s a r r o l lo n o t ie n e 
té rm ino independ ien te , pues 
é ste d eb ería se r e l té rm in o 
5 5 /4 y e l o rd in a l d e un 
té rm ino debe ser un núm ero 
e n te ro , p o s itiv o y m en o r o 
igual a n. N o hay térm ino independiente
EimeioJl.
D eterminar el coeficiente del térm ino que contiene y en el desarrollo de
T enem os que conocer p rim e­
ro de cuál té rm ino se tra ta . 
L o llam arem os TM \
Tk+l - Í 10Í J - 2 L
,10-*
1 Í í R ]\ 5 x 2V /
S ab em o s q u e e l e x p o n en te 
de y en ese térm ino es 3:
10- *
V I = v
R esolviendo:
H 0- y ) ‘ = r
_ 1+Jl 1* -i y 2 + 4 . = y 3
5 , * , 2 ¿ o
y - y
BINOM IO DE NEW TON 2 7 1
Ig u a la n d o e x p o n e n te s :
- ’ + ‘ + " = 3 
2 4 3
M ultip licando po r 12: - 3 0 + 3/t + 8* = 36 
l l i t = 66 
k = 6
El co efic ien te d e ese té rm i­
no, e l séptim o, es: m í i r ) * '
6 J1 V 14
4 / r—\6
- 3 | -
O b sé rv ese q u e hem os p res­
cind ido de la parte literal:
- 2 1 0 . - L . ± =
14 25
Eirnuk 13
Calcular el térm ino independiente de
2 2 s e n 2 a
sec o + csc a + -----------
16
A ntes de com en zar cualqu ier 
c á l c u lo , t r a ta r e m o s de 
c o n v e r tir e n un b in o m io la 
e x p re s ió n q u e e s tá e n tre 
paréntesis: sec2 a + esc2 a +
sen3 2 a 
16
\ 20
1 1 sen 2 a------— i-------- — |-------------
cos a sen a 16
eos2 a + sen2 a sen3 2 a
 2 2 + -----------cos a sen a
,20
16
eos2 a sen2 a
4 sen2 a eos2 a
s e n 2 a
sen2 2 a
+ •
sen3 2 a 
16
sen3 2 a
sen3 2 a ̂ 
16 /
sen 3 2 a 
16
20
20
+ ■
/
,20
20
L lam am o s al té rm in o 
independiente del desarrollo:
Tk+1 -
( 2 0 \ í 2 2 1
20-A
sen3 2 a ̂UJ sen2 2 a N>
\20
>
(I)
2 7 2 BINOMIO DE NEWTON
En ese té rm ino e l exponen te 
de sen2ct es cero:
1
•sen 2 a
2 0 -*
(sen3 2 a j = (sen 2 a ) °
R esolviendo:
(sen 2 2 a ) 2° *(sen3 2 a J = ( s e n 2 a )° 
(sen 2a)~40+2k (sen 2 a ) 3* = (sen 2 a )°
Igualando exponentes:
El té rm ino independ ien te es 
Th,. Se nos p id e ca lcu la rlo . 
D ado q u e e s , p rec isam en te , 
e l té rm in o in d e p e n d ien te , 
sen2a e s ta rá e le v a d o al 
exponen te cero. P o r e so en la 
exp resión (I) p rescind irem os 
de sen2a :
(sen 2 a ) -40+2*+3* = (sen 2 a ) °
-4 0 + 2 k + 3k = 0 
k = 8
Tq =
= 125 9 7 0 -2 24-
1 125970
,32 “ ^8
62985
128
( Ejercicio 79
Calcular los datos que se piden de cada uno de los desarrollos que aparecen a 
continuación:
1)
2)
3)
4)
5)
a 2 3 — + — 
2 a
2a b
~ ^ ~ T a 
V * . 2y
3 x 3
(̂ _ _ b _ 
, Va* 4 x
12
14
18
¿En cuá l térm ino aparece a 9 ? ¿Q ué lugar 
ocupa el térm ino independiente?
¿En cuál térm ino aparece x 13 ? ¿C uál es el 
coeficiente de x -41?
C alcular el térm ino que contiene a a 9. ¿Existe 
algún térm ino independiente de a l
¿En cuál térm ino aparece x -7 ? ¿C uál es el 
exponente de y en el térm ino que contiene 
x -21?
¿Cuál es el exponente de a en el térm ino que 
contiene jc~4 ? ¿C uál es e l co efic ien te
_ i
num érico de x 3?
BINOM IO DE NEW TON 2 7 3
6) H — +
x 1 ^ ¿C uál es el coeficiente de x 4? ¿Existe en este
V Í4 V3x J desarrollo un térm ino independiente de x ?
15 217) (sec4 x + eos5 x j C a lcu la r el térm ino que co n tien e eos x .
Calcular el coeficiente de sec6 x .
8) í^ jtg x - fy c tg x ) C alcular el térm ino independiente. Determ inar
‘ / o m / . u n ] f X 1 / f > ven cuál término aparece ctg 715 x .
_3.r i
9 ) [e2x _ e~3x j ¿C uál es el coeficien te de ¿ r ? ¿En cuál
término-aparece e~2xl f
: 10) (sen2 2 a + tg a + ctg a ) "' ¿Q ué lugar ocupa el térm ino independiente?
Calcular el térm ino que contiene sen36 2 a .
( Ejercicio 80
¿Cuál el valor de n en ,(« + b) ...
1) ... si el coeficiente del 7o término es igual al del 24° término?
2) ... si no existe otro térm ino que tenga el coeficiente igual al del término
13o?
3) ... si el término n - 19 y el térm ino y - 1 tienen igual coeficiente?
4) ... si n < l l \ hasta el 37° térm ino , por lo m enos, no hay dos
coeficientes iguales y hay dos términos centrales?
5) ... si los coeficientes de los térm inos 5o. 6 o y 7 o están en progresión
aritmética?
6) ... si el coeficiente del 8o térm ino es el doble del del 7o?
7) ... si el coeficiente del 8o término es el doble del del 9o?
8) ... si el coeficiente del 6o término es el triple del del 5o?
9) ... si el coeficiente del 4 o término excede en 5 unidades al del 3o?
10) ... si el coeficiente del 7o térm ino es igual a la suma de los del 5o y 6 o
térm inos? .
11) ... si la sum a de los coeficientes del 2o, 3o y 4 o térm inos equivale al
coeficiente del 5o término?
12) ... si la sum a de los coeficientes de los tres primeros térm inos excede al
coeficiente del 4 o en dos unidades?
13) ... si el coeficiente del 5 o térm ino excede en 33 unidades a la diferencia
de los coeficientes del 6o y 4 o términos?
14) ... «i el coeficiente del 4 o térm ino excede en 35 unidades al cuádruplo
del del 3er. término?
2 7 4 BINOM IO DE NEWTON
Otros problemas de Binomio de Newton
EjemplQ.U . ____________________
En el desarrollo de ( x t f y + y V * j" hay un térm ino cuya parte literal es x by 7 
¿Cuál es e r valor de n i ¿D e cuál término se trata?
D esconocem os el ord inal de! 
té rm in o q u e co n tien e xby 1. 
Lo llam arem os Tm :
C om o e l exponen te de x en 
ese té rm in o es 6, po d em o s 
p la n te a r la s ig u ien te e cu a ­
ción:
Resolviendo:
Igualando exponentes:
Y com o el exponente de y en 
ése té rm in o es 7, podem os 
p lantear que:
R esolviendo:
Igualando exponentes:
l k+ 1
X " " X 3 = X
r t-k + j _ 6
n - k + - = 6 
3
3 n - 2 k = 18
n -k
k
y ^ - y - y
y a? + k= y 1
yk - y 7
7
n - k
(1)
+ * = 7
Para ha lla r los valores de n y 
k , fo rm am os un sis tem a con 
las ecuac iones ( 1 ) y (2):
L a solución del sistem a es:
n + 3* = 28
3 n - 2 k = \S 
n + 3k = 2%
n = 10
L a p r im e ra p re g u n ta y a 
q u e d a re sp o n d id a : e l v a lo r 
de n e s 10 .
Y e l té rm in o q y e c o n tie n e |-------- .
■*V es: r 6+, = [ ^ ]
k = 6
(2)
BINOM IO D E NEW TON 2 7 5
E im p Je.15..
En el desarrollo de
U + v i J
¿Cuánto vale n? ¿Cuál es el coeficiente de ese término?
hay un térm ino cuya parte literal es y**.
D esconocem os el o rd ina l de 
e se térm ino. P lanteam os, po r 
tanto, que:
r*+, = I . 11-7-
n -k
y
V I
Si e n la p a rte l i te ra l no 
aparece x es porque e l expo­
nen te de x en ese té rm in o es 
cero. T enem os, pues, que:
,n —k 1
r *
= x
R esolviendo: x n~k X~^ = JC°
n - k — = 0
3
3 n - 4 k = 0 (1)
E l e x p o n en te de y en ese 
térm ino es 15/2. Por tanto: 1
[Ty J
n -k
i ^
■yk = y '
Resolviendo: k-n , 15
y * * k = y ‘*
k - n 15
 + k = —
2 2
3 * - n = 15 (2)
F o rm am o s un s is tem a c o n . (3« — 4k = 0 
las ecuaciones ( 1 ) y (2 ):
3k — n — 15
La solución del sistem a es « = 12 k = 9
El va lo r de n es 12 y e l co e ­
fic iente de e se térm ino es: 12̂ 1
6
220
2 7 6 BIN OM IO D E NEW TON
EjempJo J jL
En el desarrollo de + t fy el coeficiente del térm ino que contiene y ¿
es 45. ¿Cuál es el valor de n? ¿Cuál es el exponente de x en ese término?
D ado que d esco n o cem o s el 
o rd ina l del térm ino, p lan tea­
m os:
El ex p o n en te de y e n e se 
térm ino es 2 , por tanto:
Resolviendo:
Tk+\ ~
E l c o e f ic ie n te d e e se9o 
térm ino es igual a 45:
S u stitu y en d o e l v a lo r c o n o ­
c id o d e k:
R esolviendo:
T ran sfo rm am o s e l segundo 
m iem b ro e n o ch o fac to re s 
decrecientes consecutivos:
de donde
C alcu lam os ahora x en ese 9o 
térm ino:
Sustituyendo:
n-k
y) -y
y* =y 
k 
4 
k = 8
= 2
= 45
= 45
« ( « - 1 ) ........( h ~ 7 ) _
8!
= 45
n ( n - l ) .......(« - 7 ) = 45 - 8!
n ( n - l ) ( n - 7 ) = 1 0 - 9 -8 - 7 -6 - 5 - 4 -3
« = 10
r j \ n~k
W *
10-8
a = , -
X
El e x p o n en te de x en ese 
térm ino es EU
BINOM IO DE NEW TON 2 7 7
Ejemplo 17
En el desarro llo de ( 4 x + y j el te rcer térm ino vale 72 .000 y 
787.500. Determinar el valor de x y el de y.
C alcu lam os el te rcer térm ino 
del desarro llo y- lo igualam os 
a 72.000:
T ,=
10
(v /^ )8y 2 = 72000
D e donde 4 5 * V = 7 2 0 0 0
x A y 2 = 1 6 0 0 (1)
C alcu la m o s ah o ra e l sex to 
té rm in o y lo ig u a lam o s a 
787.500:
^6 = (V 7 )5 y 5 = 7 8 7 5 0 0
252 V ? y 5 =5 787500 
V ? y 5 = 3125 (2)
F o rm am o s un s is te m a con 
las ecuaciones ( 1) y (2): [jc4y 2 = 1 6 0 0 
W x * y 5 = 3125
D e sc o m p o n e m o s e n c ad a 
e cu ac ió n e l m iem bro de la 
derecha en factores prim os: \ x V = 2 6 -5 2 
[ V ? y 5 = 55
E levam os am b o s m iem bros» 
de la p rim era ecuac ión a la 
q u in ta p o te n c ia y am b o s 
m iem bros de la segunda al 
cuadrado para que , al d iv id ir 
m ie m b ro a m ie m b ro , se 
e lim ine y:
D iv id ie n d o la s e cu a c io n e s 
m iem bro a m iem bro:
( * V ) 5 = ( 2 6 -5 2)5
k 2y ° = 2 30-510 
k y ° = 5 10
x 20y 10
* v °
2 30-5 10
clO
el sexto
2 7 8 BINOM IO D E NEWTON
* ,5 = 2 30
D e donde: X = 2 ‘
S ustituyendo e n la ecuac ión 
(1):
x = 4
4 4y 2 = 1 6 0 0 
256y2 = 1 6 0 0 
2 1600 
y 256
S ó lo e l v a lo r p o s itiv o dé y 
sa tisface las c ond ic iones del 
prob lem a. En efecto , si y to ­
m a el va lo r negativo , en ton ­
ces e l sex to té rm ino debería 
se r negativo , con trad ic iendo 
las co n d ic io n es d e l p ro b le ­
m a. P o r tanto:
Y la so lución del p rob lem a
es:
5
M )
EiemplQ.lft.
¿Cuál debe ser el valor de x y el de y en {\[x + y) 
valga 16 6 3 2 ^3 y el octavo, 17820^/108?
Procesam os e l p rim er dato: yj. = 1 6 6 3 2 ^ 3
; =1663273
462 * V = 16632V3 
x 2y 5 = 36V3 .
* 2y 5 = 2 2 -32V3
r a = 1 7 8 2 0 ^ 1 0 8
( V ^ ) V = 17820 $ J m
Procesam os el segundo dato: 8 
m
7
/
para que el sexto térm ino
(1)
BINOM IO D E NEW TON 279
F o rm am o s urf s is tem a con 
las ecuac iones ( ! ) y (2):
E levam os am bos m iem bros 
de la p rim era e cu ac ió n al 
cuad rad o y am bos m iem bros 
de la seg u n d a a i c u b o para 
qu é , a l d iv id ir m iem b ro a 
m iem bro, se elim ine x:
D iv id ie n d o m ie m b ro a 
m iem b ro la seg u n d a e cu a ­
ción en tre la prim era y reso l­
viendo:
330 V ? / = 17820 VÍ08 
V 7 y 7 =54<í/T08 
( / 7 y 7 = 2 -3 3 ^ 2 r l I 
í * y = 2 2 -32V3
l V 7 y 7 = 2 - 3 3 V ? l 5'
(x V ) 2 = (2 2 -32J 3 ) 2
{ ^ Í 7 y 2j
y y ° = 2 4 -34 -3
U y = 2 ) -39 V ? 1 T
* y ‘ 2 4 -3 i0 V3
* 4y 10 2 4 -35
y = 3 5 V3
y " = 35 -3* 
ny = 3
i
y = 37
= V3
S ustituyendo en (1): * 2V 35 = 2 2 -32V3 
^ • 3 2V3 = 2 2 -32V3
x 2 = 2 2
* = ±2
La v a riab le x puede to m ar 
cu a lq u ie ra de los dos v a lo ­
res, e l positivo o e l negativo . 
L a solución del problem a es, 
por tanto:
(±2 ,V 3)
(2)
2 8 0 BINOM IO D E NEWTON
La sum a de los térm inos del desarrollo de (jc + y )14 es 16.384. Determ inar el
valor de x y de y sabiendo que el térm ino central vale 3.432.
Si la su m a de los té rm inos 
del d esa rro llo es 16.384, el 
va lo r de la po tencia sin desa­
rro lla r debe ser e l m ism o:
Ejemplo 19 _________________________
D e donde:
C alcu lam os el té rm in o c en ­
tral, e s decir, TH:
(x + y )14 = 1 6 3 8 4 
x + y = ±2 
14
x V = 3 4 3 2
(1)
R esolviendo: 3 4 3 2 * 7y 7 = 3 4 3 2 
x 1 y 1 = 1
*y = l (2)
C on las ecuac iones (1 ) y (2) 
se p ueden fo rm ar dos s is te ­
mas:
R esolvem os el prim ero:
x + y = 2 
xy = 1
x + y = 2 
*y = l
x + y = - 2
xy = i
D espejam os y en la p rim era 
ecuación: y = 2 - X
S u stitu im o s este v a lo r en la 
o tra y resolvem os: x ( 2 - x ) = l 
2 x - x 2 = \ 
x 2 - 2 x + 1 = 0 
( x - l ) 2 = 0
* = 1
Sustituyendo nuevam ente: y = 1
R eso lv iendo en form a análo ­
ga e l segundo sistem a, se o b ­
tiene:
X = - l y = — 1
Las so luciones dcL prob lem a 
son: ( ± 1 , ± 1 )
BINOM IO DE NEW TON 2 8 1
Eiemplo 20
El valor total'del desarrollo de (x + y )10 es 4 , y e l sexto término vale 
-32 .256 . Determinar x y y.
El p rim er d a to nos perm ite 
p lantear la igualdad: + y ) 10 = 4
D e donde:
P o r o tra parte:
x + y = ± V 2
10
^ 6= L U V = -3 2 2 5 6
252 x 5y 5 = -3 2 2 5 6 
x 5y 5 = - 1 2 8
xy = - 2 V4
C on las ecuac iones (1 ) y (2 ) 
p o d em o s fo rm ar d o s s is te ­
mas:
R eso lu c ió n d e l p rim e r s is ­
tem a:
D espejam os y e n la p rim era 
ecuación:
S u stitu im o s e s te v a lo r e n la 
o tra y resolvem os:
íx + y = V 2 
[xy = - 2 ^ 4
x + y = V2 
xy = - 2 V4
y = V 2 - x
x ( V 2 - x ) = - 2 V 4 
H l x - x 2 = - 2 V 4 
x 2 - V 2 x - 2 V 4 = 0
V 2 ± V V 4 + 8 V 4 
't = 2 •
V 2 ± ^ 9 W
x = --------- *-------
2
V 2 ± 3 V 2
x = --------------------
(1)
(2)
[x + y = - V2 
[xy = - 2 V4
282 BINOM IO DE NEWTON
V 2 - m = _ ^
P or sustitución hallam os los 
va lo res co rresp o n d ien tes de
y-
T enem os ya un p rim er par 
de SQluciones:
S egundo sistem a a re so lver:-
R eso lv iendo este sistem a en 
fo rm a a n á lo g a a l u tiliz ad o 
para re so lv e r el an te rio r, se 
o b tien e e l s ig u ien te p a r de 
soluciones:
L as so luciones del problem a 
son, pues:
y , = - V 2
y 2 = 2 V2 
(2 3 /2 ,- i ¡ 2 )
( - V 2 .2 V 2)
( M2 - 2 S J 2 ) 
( - 2 K I 2 M )
Ejem plo 21_____________________________
Si se suman tocios los térm inos del desarrollo de ( \¡x + el resultado es -1 . 
Calcular x y y sabiendo que el sexto térm ino vale -672.
Si la sum a de los té rm inos 
del desarro llo da - 1 , lo m is­
m o po d em o s a firm ar de la , , ,7
potencia sin desarrollar: ( m x + y ) = — 1
de donde + y =
D espejando *: ¡ Z _ _ _ ,
BINOM IO D E NEWTON 2 8 3
x = ( - y - l ) 2
x = y + 2 y + l (1 )
Por o tra parte:
Sustituyendo en (2) e l valor 
de /o b te n id o en ( 1):
A l re so lv er, u tiliz an d o Ru- 
ffin i, la ún ica ra íz q u e e n ­
contram os es - 2 :
P o r tanto:
r6 = ( ; ) ^ ) V = - 672
21 x y 5 = -6 7 2 
x y 5 = -3 2
( r + 2 y + l ) y 5 = - 3 2 
y 7 + 2 y 6 + y 5 + 3 2 = 0
(2)
1 2 1 0 0 0 0 32
_2 -2 0 - 2 4 -8 16 -3 2
1 0 1 - 2 4 - 8 16 1 0
y = -2
S ustituyendo en (1):
Y la solución es:
x = ( - 2 ) + 2 ( -2 ) + 1
x = l
(1^-2)
E jem plo 22
En el desarrollo de (a + b )n el tercer térm ino vale 240, el cuarto vale -1 6 0 y 
el quinto, 60. Determinar el valor de a, de b y de n.
C o n stru im o s los tres té rm i­
nos de va lo r conocido:
Tx =
Tá =
t5 =
v2,
a n~2b 2 = 240 
a n~3b i = -1 6 0
( 1)
a " - V = 6 0
2 8 4 BINOM IO DE NEWTON
D iv id im o s T A e n tre T } y 
sim plificantes: „"-3 l3a b
^ n~2u2a b
-1 6 0
240
n ( n - l ) ( n - 2 ) 
6
n ( n - 1)
a ~ [b = ~ — 
3
n-2 , 2
 a b = —
3 3
a ~ lb = -
n - 2
(2)
D iv id im o s T s e n tre r 4 y 
s im plificam os:
a n~ 3b \
60
-1 6 0
n ( n - l ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) 
24
n ( n - l ) ( « - 2 )
Igualando e l segundo m iem ­
bro de las e cu ac io n es (2 ) y
(3) y resolv iendo:
2 ( n - 3 )
n - 2 2 ( n - 3 )
4 ( « - 3 ) = 3 ( / i - 2 ) 
4 n - 1 2 = 3 n - 6
(3)
n = 6
S ustituyendo en (2 ) y despe- _ f 2
jan d o b: a b = —
6 - 2
b = - “ (4)
BINOM IOD E NEW TON 2 8 5
S ustituyendo en (1) e l va lo r 
c o n o c id o d e n y e l v a lo r 
obtenido para b en (4): = 2 4 0
1 5 a
= 2 4 0
a 6 = 6 4
S ustituyendo , po r ú ltim o, en
(4): •
La so lución del p rob lem a es?
pues:
a = ±2
6 - (“ í
2
b = T 1
(±2, T I ,6)
E jemp lo 21.
El tercer térm ino del desarrollo de (a + b )n vale el quinto vale y el 
séptimo, . Calcular a , b y n .
C o n stru im o s los tre s té rm i­
nos conocidos: r , = I \an~2b 2 = -j~ ( 1)
n = \ 1 a " " V =
35
108
D iv id im o s T 5 e n tre T 3 y ( n
sim plificam os: n - 4 . 4 35a o
n - 2 . 2a b
108 
5
2 y 16
n ( n - \ ) ( n - 2 ) ( n - 3 )
24 .
n ( n - l )
a~2b 2 = — 
27
28
( » - 2 ) ( i i - 3 ) 2 z _ 2 8 
12 27
( n - 2 ) ( n - 3 ) a - V = ^
2 8 6 BINOM IO DE NEWTON
D iv id im o s T 7 e n tre T 5 y 
sim plificam os:
Igualando el segundo m iem ­
bro de las ecuac iones (2 ) y
(3) y resolviendo:
a 2b 2 =
112
9 (« —2 )(n —3)
(2)
n 35
486
a " " 4/?4
35
,4y 108
n(w - 1)(« --2 ) ( / | -
720
S ustituyendo en (3 ) e l único 
v a lo r a d m is ib le de n y 
despejando b 2:
n ( n - í ) ( n - 2 ) ( n - 3 )
24
> - 4 ) ( n - 5 ) 3 . 2¿t2_ 2 
30 9
(/i - 4 )(n - 5)a~2b 2 = y
a~2b 2 = — 
9
< r V =
20
3(/i - 4 ) ( / i - 5) 
112 20
9 ( / j - 2)(/t - 3) 3 ( « - 4 ) ( n - 5 )
2 8 5
3 ( n - 2 ) ( n - 3 ) ( h - 4 ) ( « - 5 )
2 8 ( m - 4 ) ( ; í - 5 ) = 1 5 ( n - 2 ) ( n - 3 )
2 8 ( / í 2 - 9 n + 2 ü ) = 1 5 ( n 2 - 5n + 6 )
28/í2 - 252n + 560 = 15//2 - 15n + 90 
13/í2 - I77/i -h 470 = 0 
(13/2 - 1 3 0 ) (13« - 47) = 0
«i = 1 0
a 2b 2 =
20
- 2 . 2 2 a o — —
3 -6 -5
2
9
(3)
/ r =
2a
(4)
BINOM IO DE NEW TON 2 8 7
Sustituyendo en (1 ) e l va lo r 
de n y e l v a lo r o b ten ido en
(4) para b2: 10 2a¿ _5_
1 6
10
45 — — = —
5_
1 6
a 10 =
a ,0 =
a = ±
_L
32 
_\_ 
2 5 
1
V2
a = ±
V2
S u s titu y en d o e s te v a lo r en
(4):
2 • —
b 2 =
9 ’
b ± 3
Las so luciones del problem a 
son, en definitiva:
'±£.±I..o'
2 3
( Ejercicio 81
1) En el desarrollo de [ x 4 x + y 3/y) hay un térm ino cuya parte literal es x 3y 8. 
¿Cuál es el valor d e n ? ¿Cuál término es?
1
2) E n el desarrollo de hay un térm ino cuya parte literal es y *.
¿Cuál es el valor d e n ? ¿D e cuál térm ino se trata?
3) En el desarrollo de ^ ¡ x 2 - hay un térm ino en el que el exponente de
x es 4 y el de y es 9/5. ¿Cuál es el valor de n ? ¿C uál es el coeficiente de ese 
término?
4) Calcular el coeficiente del térm ino que contiene a 6b ]3-\fb en el desarrollo de
a b
\ b \>a
2
2 8 8 BINOM IO D E NEWTON
5) C alcular el coeficiente del térm ino que contiene x 5y 3 en el desarrollo de
\ n
y + x
V 2x l f l5 y
6) Calcular el coeficiente del térm ino que contiene x l4y 3 en el desarrollo de
r v<
a: 1
+
7) En el desarrollo de ( \/x + %fy j el coeficiente del térm ino que contiene y 2 es
210. ¿Cuál es el valor d e n ? ¿Cuál es el exponente de y en eáe término?
8) En el desarrollo de (2a - b ) 6 el quinto térm ino vale 60 y el sexto vale 12. 
¿Cuáles son los valores de a y de b ?
9) En el desarrollo de (2a + b )b el tercer térm ino vale 2.160 y el sexto vale
-2.916. ¿Cuáles son los valores de a y de b ?
/ r~ vlü
10) En el desarrollo de N x + y I el séptim o térm ino vale 1.890 y el quinto vale 
5.670. ¿Cuáles son los valores de x y de y ?
11) Se sabe que en el desarrollo de (\¡x + y y ) el quinto térm ino vale 77.220 y 
el undécimo vale 27.456. ¿Cuánto valen x y y ?
12) ¿Cuáles deben ser los valores de x y y en el desarrollo de ^x + ^jy j para que 
el 9o térm ino valga 102.960 y el 4o valga 9 1 0 ^ 2 ?
13) Calcular cuáles deben ser los valores de * y y en el desarrollo de {^¡x + y) 
para que el 9o término valga 330 y el 6o valga -1.848.
14) ¿Cuáles deben ser los valores de x y y en el desarrollo de 
que el tercer término valga ^ y el cuarto valga ^ 7 ?
r - ' 5 Vx 3
6 xjy
para
{ i i N5 
6 + S
el tercer térm ino vale ^ y el cuarto vale15) En el desarrollo de
i 6
15. Determinar los valores de x y de y .
16) En el desarrollo de (jc + ̂ /y) el cuarto térm ino vale 17600V2 y el octavo 
vale 79200 ̂ 2 0 0 . ¿Cuánto valen x y y ?
17) La sum a de los térm inos del desarrollo de (x + y )"1 es 1.024 y el térm ino 
central vale 252. ¿Cuánto valen x y y ?
18) En el desarrollo de (x + y) la sum a de todos los térm inos es 1 y el término 
central vale -439.296. Calcular x y y .
/ \9 -19) La sum a de los térm inos del desarrollo de (x + y) es 512 y el séptim o
BINOM IO DE NEWTON 2 8 9
térm ino vale 2.268. Determ inar los valores de x y de y .
20) La sum a de los térm inos del desarro llo de (x + y )7 es y el segundo 
térm ino vale - j . ¿Cuánto valen x y y ?
21) El valor total del desarrollo de (x + y )" es -1. E l 7o térm ino vale -14 .784 . 
Calcular los valores de x y de y .
22) El valor total del desarrollo de (x + ^ /y) es 2.187 y el 2o térm ino vale 14. 
C alcular x y y.
23) La sum a de los térm inos de [x + ̂ /y j es 19.683. E l valor del séptim o 
■ térm ino es 5.376. Hallar x y y.
24) La sum a de todos los térm inos del desarrollo de & _ 3 _ Í 
2
es 32. El últi­
m o térm ino vale 1, Determinar los valores de x y de y .
i— \7
25) E n el desarrollo de
4 x + yjy los térm inos m edios valen, respectivam en-
3 2
te, y ■ Determ inar los valores de x y de y .
26) En el desarrollo de (a + b)n el 2o térm ino vale 80, el 3er térm ino vale 80 y el 
4o térm ino vale 40. Determ inar a , b y n .
27) En el desarrollo de (a + b)n el 3er térm ino vale 2 0 V 2 , el 4o vale 20 y el 5o
vale 5 \/2 . Determinar a , b y n .
28) El 2o térm ino del desarrollo de (a + b)n vale 12, el 4o vale 160 y el 6o vale
192. Determinar a , b y n .
29) El 2o térm ino del desarrollo de (a + b )n vale 2.304, el 5o vale 4.032 y el 8o 
vale 144. Determinar a , b y n .
Binomio de Newton y 
fórmula de potenciación de Moivre
Recordam os la fórm ula de potenciación de M oivre que perm ite elevar un 
complejo dado en forma trigonométrica a un exponente n :
( rC is a ) " = r" C is n a
Haciendo r = 1, tenemos una expresión más sencilla de dicha fórmula:
(C isa )" = Cisncr
donde Cis a = eos a + i sen a
(23c)
(24c)
La utilización de la fórm ula de M oivre com binada con las propiedades del
2 9 0 BINOM IO DE NEWTON
Binomio de Newton perm ite dos aplicaciones interesantes en trigonometría:
1) Expresar funciones trigonom étricas de ángulos m últiples en térm inos de 
ángulo simple.
2) Expresar una potencia de c o s a o s e n a , o un producto de potencias de 
„ cos a y sen a , como una suma de senos y cosenos de ángulos múltiples.
1-. Funciones trigonométricas de ángulos múltiples 
expresados en términos de ángulos simples
Ejem plo 24_____________________________ ,
Expresar sen 4 a , cos 4 a , tg 4 a y ctg 4 a en térm inos de ángulo simple.
, P rocederem os de la siguiente 
form a: p lan team os, u tilizan ­
do la re la c ió n (23°). la si- , .4
guíente igualdad: ' C is 4 a = (C ts a )
U tilizando (24*). la transfo r- , , . ,4
iríamos asi:
D e sa rro lla m o s el s eg u n d o 
m iem bro:
cos 4 a + í sen 4 a = (cos a + / sen a )
cos 4 a + i sen 4 a = eos4 a +
'4>
eos3 a • i sen a +
,0 ;
1 .? 2cos" a • 1 sen a + cos a • í3 sen3 a + 1 ^ i i" sen" a
C a lc u la m o s los n ú m e ro s 
co m b in a to rio s y red u c im o s 
las potencias de i:
eos4a + / sen4a = eos4 a + 4tcos3a s e n a -6 c o s 2 a sen2 a - 4 / cosa sen3 a + sen4 a
A grupam os parte real y parte 
im aginaria en el m iem bro de 
la derecha:
cos4« + ísen4a = cos4 a - 6 c o s 2 a sen2 a + sen4 a + (4cos3a s e n a - 4 c o s a sen3a)<
C om p aran d o partes reales y 
pa rte s im ag in a ria s , o b te n e ­
m os d irec tam en te los e q u i­
valentes de c o s 4 a y s e n d a
cos 4 a = eos4 a - 6 eos2 a sen2 a + sen4 a
s e n 4 a = 4 c o s3 a s e n a - 4 c o s a sen3 a
BINOM IO DE NEW TON 2 9 1
U tiliz