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MÉTODOS
NUMÉRICOS
Segunda Edición
Francis Scheid
Rosa Elena Di Costanzo
MÉTODOS NUMÉRICOS
Segunda edición
MÉTODOS NUMÉRICOS
Coautoría:
Traducción:
Revisión técnica:
Rosa llena Di Costanzo Loreces
Ingeniero en Sistemas Computáciones
Maestría en Investigación de Operaciones
Profesora de Métodos Numéricos ITESM
Gabriel Nagore Cazares
Facultad de Ciencias UNAM
Instituto de Investigaciones Eléctricas
Glicina Merino Castro
Lic. en Matemáticas UAEM
Jefe del área de Matemáticas Aplicadas
Facultad de Ingeniería UAEM
Profesora del ITESM Campus Toluca
McGRAW-HILL
MEXICO • BOGOTA • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA
MADRID • NUEVA YORK • PANAMÁ • SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO
AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI
PARÍS • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS
SIDNEY • TOKIO • TORONTO
FRANCIS SCHEID, Ph.lD.
Profesor Emérito de Matematica
Universidad de Boston
Francis Scheid es profesor emérito de Matemáticas en la Universidad de Boston, ha
sido miembro de la facultad desde que recibió su Doctorado sobre MIT en 1948,
fungiendo como Jefe del departamento de 1956 a 1968. En 1961 -1962 fue profesor
emérito en la Universidad Rangoon en Burma. El profesor Scheid ha impartido varias
conferencias para educación por televisión, y sus videotapes son usados por la
Marina de los Estados Unidos de Norteamérica. Sus investigaciones están ahora
centradas en modelos de simulación por computadora sobre el golf. Entre sus
publicaciones están los libros de la serie Outline de Schaum, "Numerical Analysis",
"Computer Science" y "Computers and Programming".
MÉTODOS NUMÉRICOS
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra
por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 1991, respecto a la segunda edición en español por
McGRAW-HILL INTERAMERICANA DE MÉXICO, S. A. de C. V.
Atlacornulco 499-501, Fracc. Ind. San Andrés Atoto,
535QQ Naucalpan de Juárez, Edo. de México
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1890
ISBN 968-422-790-6
(ISBN 968-451-100-0 primera edición)
Traducido de la segunda edición en inglés de
SCHAUM'S OUTLINE NUMERICAL ANALYSIS
Copyright © MCMLXXXVIII, by McGraw-Hill, Inc., U. S. A.
ISBN 0-07-055221-5
1234567890
Impreso en México
9087654321
Printed In México
Esta obra se terminó de
imprimir en febrero de 1991
en Programas Educativos, S.A. de C.V.
Calz, Chabacano 65-A
Col. Asturias
Deleg. Cuauhtémoc
06850 México, D.F.
Se tiraron 6000 ejemplares
Rosa Elena Di Costanzo Lorencez es profesora de la División de Ingeniería y Ciencias en el Campus Toluca
del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Originaria de México, D. F., cursó sus estudios
de primaria y secundaria en el Colegio Motolinia de Tampico, Tamps. Es graduada de la Preparatoria en Cien-
cias Físico-Matemáticas, de la Carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales y de la Maestría en Inves-
tigación de Operaciones del ITESM, Campus Monterrey.
Es vocal en Educación Superior y Promoción Cultural de Toluca, A. C. (asociación que auspicia al Campus
Toluca del ITESM).
Tiene dieciséis años de experiencia docente en diversas instituciones profesionales y de postgrado, como el
Tecnológico Regional de Cd. Madero, Tamps., la Universidad Autónoma de Tamaulipas en Tampico, Tamps.
y el ITESM Campus Monterrey y Campus Toluca.
Ha dirigido grupos estudiantiles de trabajo en las áreas de Ingeniería Industrial y de Computación, en empresas
del Valle Toluca-Lerma, tales como FAMOSA Toluca, Cervecería Cuauhtémoc, S. A., Plásticos Vallejo, S. A.,
Vitrocrisa Toluca, Ladrillera La Huerta, S.A., CRYOINFRA Toluca, Resistol, Servicio Villegas, S. A., y cuatro
hospitales de Toluca.
Ha impartido diversos cursos en las mismas áreas como Análisis Numérico, Métodos Numéricos para
Ingeniería, Algoritmos Computacionales, Programación Lineal, Programación Fortran, Cobol, Basic, Análisis
y Diseño de Sistemas, Ciencias Computacionales, Programación Estructurada, Calidad y Productividad,
Sistemas de Información Computarizados, Administración de Centros de Cómputo e Ingeniería de Sistemas.
Ha colaborado en proyectos de desarrollo de planes y programas de estudio y de capacitación y adiestramiento
a nivel profesional, diplomados y de postgrado en las mismas instituciones y en el Sistema Estatal de
Informática del Gobierno del Estado de México.
Ha trabajado como analista y como jefa de proyectos en la Unidad de Informática Zona Norte de PEMEX, en
la Dirección General de Acreditación y Certificación de la Secretaría de Educación Pública, en el Grupo Sigma
y en el Sistema Estatal de Informática del Gobierno del Estado de México.
Contenido
Capítulo Pág.
1 ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 1
2 POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 33
3 DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS 43
4 POLINOMIOS FACTORIALES 54
5 SUMAS (SUMATORIAS) 67
6 EL POLINOMIO DE NEWTON 75
7 OPERADORES Y POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 85
8 PUNTOS NO EQUIDISTANTES 104
9 INTERPOLACIÓN_POR_SEGMENTACIÓN_(SPLINES) 118
10 POLINOMIOS OSCULADORES 131
11 EL POLINOMIO DE TAYLOR 140
12 INTERPOLACIÓN 152
13 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA 172
14 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 187
15 INTEGRACIÓN GAUSSIANA 211
16 CASOS ESPECIALES EN LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA 241
17 SUMAS Y SERIES 250
18 ECUACIONES EN DIFERENCIAS 278
19 ECUACIONES DIFERENCIALES 296
20 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 343
21 APROXIMACIÓN POLINOMIAL POR MÍNIMOS CUADRADOS 356
22 APROXIMACIÓN POLINOMIAL POR MINIMAX 403
23 APROXIMACIÓN POR FUNCIONES RACIONALES 427
24 APROXIMACIÓN POR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 445
25 ÁLGEBRA NO LINEAL 475
26 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 529
27 PROGRAMACIÓN LINEAL 611
28 SOLUCIÓN DE SISTEMAS INCONSISTENTES 630
29 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA 640
30 MÉTODO DE MONTE CARLO 671
APÉNDICE. PROBLEMAS INTEGRADORES 685
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 693
ÍNDICE 705
Prefacio
de la 2a edición en inglés
El objetivo principal del análisis numérico sigue siendo el mismo: encontrar soluciones aproximadas a problemas
complejos utilizando sólo las operaciones más simples de aritmética. En pocas palabras, se trata sencillamente de
resolver problemas difíciles mediante muchos pasos fáciles. Ello significa identificar los procedimientos por medio
de los cuales las computadoras pueden hacer ese trabajo por nosotros. Los problemas provienen de diversas
áreas de las matemáticas, sobre todo del álgebra y el análisis; en ocasiones los límites o fronteras entre ellas no
están bien definidos. Gran parte de la teoría básica la toma el analista de esas áreas, algunas de las cuales han
de incluirse en un libro introductorio para lograr mayor claridad. También es cierto que este libro no se ocupa sólo
de simples números en esas áreas. No olvidemos que el método numérico ha realizado notables aportaciones a la
teoría algebraica y analítica.
En esta segunda edición se han incorporado muchos temas nuevos. Entre otras cosas se incluye el análisis
de error regresivo, interpolación por segmentación (splines), la integración adaptativa, las transformadas rápidas
de Fourier, los elementos finitos, las ecuaciones diferenciales rígidas y el método QR. El capítulo dedicado a los
sistemas lineales ha sido reelaborado por completo. Se han abreviado o suprimido algunos temas más antiguos,
pero una parte considerable del análisis numérico clásico se ha conservado en parte por razones históricas. Muy a
mi pesar he tenido que hacer algunas de esas supresiones, en especial la de la prueba constructiva de la exis-
tencia de soluciones a las ecuaciones diferenciales. La nueva edición exige un poco más a los estudiantes, pero lo
mismo puede decirse de esta materia en general.
La presentación del libro y su finalidad no han cambiado. Se ha incluido suficiente material para un curso de
un año al inicio del nivel de postgrado. El libro puede adaptarse a un curso de un semestre si se efectúan las mo-
dificaciones (supresiones)necesarias. El formato de los problemas permite utilizarlos como un complemento de
otros libros y facilita el estudio independiente. Cada capítulo comienza con un resumen del contenido y ha de con-
siderarse como su tabla de contenidos. No se pretende que el texto sea autoexplicatorio y por ello se ofrecen deta-
lles de apoyo a lo largo de los problemas resueltos.
Y vuelvo a insistir en un aspecto sumamente importante: no cabe duda que el lector meticuloso encontrará
errores en el libro, a pesar de todos ios esfuerzos que hice por evitarlos. Los analistas numéricos son las personas
que más se preocupan por no cometer errores, posiblemente porque tienden mucho a hacerlos. Agradeceré a los
lectores si me comunican los errores que encuentren. (Realmente la respuesta a esta petición fue muy buena en
la primera edición.) Y sigo creyendo que en la vida uno de los mejores premios al esfuerzo humano es la alegría
que acompaña la búsqueda de la "verdad" tan elusiva.
FRANCIS SCHEID
Prefacio
de la edición adaptada
En esta adaptación al Español, se conservan todas las ventajas de la segunda edición en inglés, además de tener
adiciones importantes para emplear este libro a nivel de Licenciatura y de Postgrado, que considero atractivas tan-
to para alumnos como para maestros, ya que permiten el empleo del libro como texto.
Se ha dado un nuevo enfoque en cada capítulo, incluyendo teoría básica en donde se juzgó necesario, obje-
tivos específicos de aprendizaje en cada uno de los treinta capítulos y algo muy importante fue la inclusión de al-
goritmos detallados de algunos métodos, sobre todo en los temas de Raíces de Ecuaciones, Ceros de Polinomios
y Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.
La forma de presentar los objetivos específicos de aprendizaje, es empleando verbos de acción para darles
claridad, además de estar correlacionados con los problemas del capítulo correspondiente, lo que permitirá al
maestro definir al alumno el grado de profundidad con que se va a tratar cada tema, seleccionando los objetivos
requeridos, dependiendo del nivel del curso que se esté impartiendo.
Los algoritmos que se han incluido, están definidos paso a paso; en otros casos se incluyen diagramas de
flujo los que respetan una estructura que permite su programación en cualquier superlenguaje, ésta es una ventaja
adicional, ya que estas metodologías no obligan al usuario a emplear un superlenguaje determinado, sino a utilizar
el que conozca o el que juzgue más conveniente.
Asimismo se incluye un método relativamente nuevo, comparado con la eliminación gaussiana para resolver
Sistemas de Ecuaciones Lineales, éste es el Método de Montante, desarrollado por los ingenieros mexicanos Re-
ne Mario Montante Pardo y Marco Antonio Méndez Cavazos en Universidad Autónoma de Nuevo León, en la ciu-
dad de Monterrey, N. L
ROSA ELENA DI COSTANZO LORENCEZ
¿Qué son los
métodos numéricos?
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar con sus propias palabras por qué son útiles los métodos numéricos (Introducción, Problemas
1.1. Ejemplos 1.1,1.6).
2. Explicar con sus propias palabras las desventajas e inconvenientes de los métodos numéricos
(Introducción).
3. Definir con sus propias palabras lo que es una sucesión aritmética y una sucesión geométrica
(Introducción, Capítulo 5).
4. Definir con sus propias palabras lo que es una serie aritmética y una serie geométrica (Introducción,
Problemas 1.10,1.11, Capítulos 5 y 17).
5. Escribir buscando en los capítulos posteriores, las series de Taylor y Fourier (Capítulos 11,24).
6. Explicar con sus propias palabras lo que es una fórmula recursiva y su aplicación dentro de métodos
numéricos (Introducción).
7. Explicar con sus propias palabras lo que es recursividad simple y múltiple (Introducción).
8. Obtener matemáticamente una fórmula de recursión de una sucesión, dados los elementos iniciales
(Introducción).
9. Definir con sus propias palabras convergencia de una sucesión y convergencia de una serle
(Introducción, Problemas 1.9 a 1.11).
10. Definir con sus propias palabras lo que es exactitud y precisión (Introducción, Problemas 1.8,1.40,
1.42).
11. Definir con sus propias palabras lo que es un error inherente (Introducción, Problemas 1.26 a 1.30).
12. Definir con sus propias palabras dígitos significativos (Introducción, Problemas 1.40 a 1.44,1.46 a 1.49).
13. Definir con sus propias palabras error absoluto (Introducción, Problemas 1.3,1.12,1.23 a 1.25).
14. Definir con sus propias palabras error relativo (Introducción, Problemas 1.2,1.6,1.7).
15. Definir con sus propias palabras error de truncamiento (Introducción).
16. Definir con sus propias palabras error de redondeo (Introducción).
17. Definir con sus propias palabras error sistemático (forward) y error accidental (backward)
(Introducción, Problemas 1.26 a 1.30).
18. Definir con sus propias palabras overflow y underflow (Introducción, Problemas 1.19,1,20).
19. Representar y operar números normalizados en módulo binarlo y decimal (Introducción, Problemas
1.15 a 1.18,1.21,1.22).
1
2 MÉTODOS NUMÉRICOS
20. Sumar sucesiones de números, identificando el error de redondeo y aplicar posteriormente diferentes
agrupaciones de ellos (Introducción, Problema 1).
21. Deducir las fórmulas de error relativo para las operaciones de suma, resta, multiplicación y
división de dos números X y Y, cada uno con error relativo (Introducción).
22. Obtener el error relativo que se cometerá al hacer una serie de operaciones ( + , - , * , / ) (Introducción).
23. Enumerar por lo menos cinco aplicaciones de los métodos numéricos (Introducción).
24. Dar una definición de algoritmo y sus características (Introducción).
25. Definir con sus propias palabras el significado de algoritmo estable (Problema 1.14).
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS
Métodos numéricos 1
Polinomios 2
Manejo de funciones continuas
Polinomios osculadores 10
El polinomio de Taylor 11
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Aproximación polinomial por funciones racionales 23
Aproximación polinomial de funciones trigonométricas 24
Manejo de funciones discretas
Diferencias divididas 3
Polinomios factoriales 4
Sumas (sumatorias) 5
Sumas y series 17
El polinomio de Newton 6
Aproximación polinomial mediante interpolación
Operadores y polinomios de colocación 7
Puntos no equidistantes 8
Interpolación por segmentos (splines) 9
Interpolación 12
Operación de polinomios
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Integración gaussiana 15
Integrales simples con puntos de singularidad 16
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Aproximación polinomial por funciones racionales 23
Aproximación polinomial de funciones trigonométricas 24
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 3
Manejo de ecuaciones
Ecuaciones en diferencias 18
Ecuaciones diferenciales 19
Sistemas de ecuaciones diferenciales 20
Álgebra no-lineal y optimización
Raíces de ecuaciones 25
Ceros de polinomios 25
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales 26
Programación lineal 27
Sistemas con múltiples soluciones 28
Problemas con valores en la frontera 29
Métodos de Monte Cario (números aleatorios) 30
4 MÉTODOS NUMÉRICOS
ALGORITMOS
El objetivo del análisis numérico es resolver problemas numéricos complejos utilizando sólo operaciones simples
de la aritmética, con el fin de desarrollar y evaluar métodos para calcular resultados numéricos a partir de los datos
proporcionados. Los métodos de cálculo se denominan algoritmos.
Nuestros esfuerzos se centrarán en la búsqueda de algoritmos. Para algunos problemas aún no se ha en-
contrado un algoritmo satisfactorio, mientras que para otros hay varios, por lo que deberemos elegir de entre ellos.
Son varias las razones para elegir un algoritmo en vezde otro; dos criterios evidentes son la rapidez y la precisión.
La rapidez es una ventaja evidente, aunque en el caso de problemas pequeños dicha ventaja se ve casi eliminada
por la capacidad de la computadora. En problemas de grande escala, la rapidez es aún un factor principal y un al-
goritmo lento tiene que rechazarse por impráctico. Así, siendo otros factores iguales, es seguro que el método más
rápido será el elegido.
Dado que una computadora está compuesta de dispositivos que realizan operaciones lógicas y aritméticas;
los procedimientos matemáticos deben simplificarse a tal grado que sean accesibles para procesarse en
una computadora. Éste es uno de los objetivos principales para el estudio de los métodos numéricos.
Los métodos que vamos a estudiar nos permitirán simplificar los procedimientos matemáticos de manera
que podamos auxiliarnos con una computadora o una calculadora, para obtener resultados; como ejemplos de los
procedimientos que al final del curso podremos desarrollar, se encuentran: cálculo de derivadas, integrales,
ecuaciones diferenciales, operaciones con matrices, interpolaciones, ajuste de curvas, regresión lineal y
polinomial, raíces de ecuaciones de segundo grado y ceros de polinomios.
Las aplicaciones de los métodos numéricos son prácticamente ilimitadas y se requieren conocimientos de la
materia en disciplinas tan variadas como: economía, contabilidad, mercadotecnia, física e ingenierías industrial, ci-
vil, eléctrica, mecánica, química, etc. Asimismo, propicia la formación de criterios de decisión para la elección
del método adecuado, dependiendo del equipo computacional con el que nos estemos auxiliando, pudiendo ser
éste desde una gran computadora hasta una calculadora de bolsillo (programable o no), pasando por equipos
orientados hacia uno o más usuarios, ya que el comportamiento de los procesos diferirá mucho dependiendo del equipo.
DEFINICIÓN DE ALGORITMO:
El procedimiento matemático general que vamos a aplicar a los problemas que se nos presentan se llama algorit-
mo, voz de origen árabe que significa procedimiento matemático para la solución de un problema.
ALGORITMO: procedimiento matemático que nos indica la serie de pasos y decisiones que vamos a tomar para la
solución de un problema.
CARACTERÍSTICAS DE UN ALGORITMO:
1. FINITO: siempre debe terminar en un número determinado de pasos.
2. DEFINIDO: las acciones deben definirse sin ambigüedad.
3. ENTRADA: puede tener una o varias entradas.
4. SALIDA: debe tener una o más salidas.
5. EFECTIVIDAD: todas las operaciones deben ser lo suficientemente básicas para que puedan hacerse exac-
tamente en un determinado tiempo, no mayor que el que tome una persona empleando lápiz y papel.
EJEMPLO 1.1 Encuentre la raíz cuadrada de 2 hasta cuatro decimales.
Existe más de un algoritmo con ios que sólo se usan las cuatro operaciones básicas de la aritmética. El favo-
rito es sin duda
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 5
2
xn
xn x1= 1
1
2
del cual unos cuantos cálculos mentales producen rápidamente
17 24
17 12
1
2 x4 = x3 =
17
12
3
x 2 = 2
o, redondeando hasta cuatro decimales,
x2= 1.5000 x3 = 1.4167 x4= 1.4142
siendo correcto el último resultado con cuatro decimales. Este algoritmo numérico tiene una larga historia y se en
contrará de nuevo en el capítulo 25 como un caso especial del problema de determinar raices de ecuaciones.
RECURRENCIA O RECURSIVIDAD
FÓRMULA RECURSIVA: relaciona términos sucesivos de una sucesión particular de números, funciones o poli
nomios, para proporcionar medios para calcular cantidades sucesivas en términos de las anteriores.
FÓRMULA RECURSIVA SIMPLE:
Por ejemplo, encuentre
S= la suma de un conjunto de n números reales (a1 a2, a3 an).
S1 = a1
S2 = a1 + a2 = S1 + a2
S} = a1 + a2 + a3 = S2 + a3
Sk =a1 + a2 + ... +ak = Sk-1 + ak
S„ = a1 + a2 + ... +an = Sn-1 + an
Fórmula inicial S1 = a1, para k - 1
Fórmula recursiva Sk = 5k-1 + ak,para k = 2, 3, . . . ,n .
Desarrolle un diagrama de flujo completo.
FÓRMULA RECURSIVA MÚLTIPLE:
Por ejemplo, encuentre la sucesión de números de Fibonacci, 0,1,1, 2, 3, 5, 8,13, 21,. . .
En este caso la fórmula recursiva está en función de más de una variable anterior
Fórmula inicial t1 = 0 Fórmula recursiva tk+2+ tk+1+ tk para k = 1,2,...
t2 = l
Desarrolle un diagrama de flujo completo.
SUCESIÓN
DEFINICIÓN FORMAL DE SUCESIÓN:
Sucesión es una función f definida en el conjunto de Z+ Si f (n) - xn para n Z+ se acostumbra representar la su
cesión f por el símbolo {Xn} o a veces por x1 x2, x3 , . . .
6 MÉTODOS NUMÉRICOS
Los valores de f, esto es, los elementos de x„ se llaman términos de la sucesión.
Si A es un conjunto y xn A se dice que { xn } es una sucesión en A o una sucesión de elementos de A.
La definición de sucesión involucra tres aspectos:
1) Un conjunto de índices, el conjunto de Z+
2) Un conjunto de valores M, M 0.
3) Una función de N en M, tal que para cada n N le corresponde un elemento definido de M denotado por an.
Una sucesión no es simplemente un subconjunto, es un subconjunto numerado (indexado).
Si los elementos de M son números, se habla de una sucesión numérica; si los elementos de M son funcio
nes, tenemos una sucesión de funciones, etc.
En una manera menos formal, es una colección ordenada de términos {tO, t1, t2............tk,.....} y se denota
por {tk}. Si el rango de k es finito, la sucesión es finita, de lo contrario es infinita. Se considera recursiva si sus tér
minos satisfacen alguna relación de recursividad.
SUCESIÓN ARITMÉ
Por ejemplo {1, 3, 5, 7,.
t0 = a
t1= a + h
h = (a + h) + h
tk=[a + ( k - l ) h ] + h
tn = [a + (n - 1) h] + h
TICA
.. } o {2, 4. 6. 8 , . . .}
= t0 + h
= t1 + h
= tk-1 + h
= tn-1 + h
Fórmula inicial tO-a
Fórmula recursiva tk=tk-1+ h para k = 1 ,2 , . . . ,n
Desarrolle un diagrama de flujo completo.
SUCESIÓN GEOMÉTRICA
Por ejemplo generar las sumas pardales de la sucesión geométrica a, ar, ar2, ar3 ark,.... arn.
t0 = a
t1 - ar
t2 = (ar)r
t3 - [(ar)r]r
tk = [ar(k-1)r]
tn= [ar(n-1)r]
-t1r
= t2r Fórmula inicial S0 = t0
= tk - 1r
= tn-1r
Fórmula inicial t0 = a
Fórmula recursiva tk = tk-1r para k- 1,2, ...,n
Fórmula recursiva Sk = Sk-1 + tk
Desarrolle un diagrama de flujo completo.
SERIE:
S = es la serie infinita correspondiente a la sucesión infinita (t0, t1,t2, ..........., tk, ...) = { tk }.
Sk = tj es la k-ésima suma parcial de la serie infinita S.
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 7
La sucesión [Sk] de sumas parciales de la serie infinita S, es la sucesión (S0, S1 S2, ...) = { Sk }.
La serie converge si la sucesión converge.
La serie no converge si la sucesión no converge.
SERIE DE TAYLOR:
SERIE DE FOURIER:
f (X )=A 0 + A1 cos X + B1 sen X+ ... + An cos nX + Bn sen nX + ...
ERROR
En los cálculos numéricos el optimista pregunta qué tan precisos son los resultados calculados; el pesimista pre
gunta qué tanto error se ha introducido. Desde luego, las dos preguntas corresponden a lo mismo. Sólo en raras
ocasiones los datos proporcionados serán exactos, puesto que suelen originarse en procesos de medida. De mo
do que hay un error probable en la información de entrada. Además, el propio algoritmo introduce error, quizá re-
dondeos inevitables. La información de salida contendrá entonces error generado por ambas fuentes.
EXACTITUD: se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone repre
senta.
PRECISIÓN: se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad, a esto se refiere cuando
se habla de doble precisión, dependiendo de la máquina que estemos utilizando.
DÍGITOS SIGNIFICATIVOS: son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de iz
quierda a derecha; empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las cel
das que guardan la mantisa.
ERRORES INHERENTES O HEREDADOS: son errores en los valores numéricos con quese va a operar, pue
den deberse a dos causas: sistemáticos o accidentales.
ERRORES SISTEMÁTICOS: debidos a la imprecisión de los aparatos de medición.
ERRORES ACCIDENTALES: debidos a la apreciación del observador y otras causas.
ERROR DE TRUNCAMIENTO: se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación.
Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un número finito de in
tervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada sólo toma en
cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígito perdido.
8 MÉTODOS NUMÉRICOS
ERROR DE REDONDEO: debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades que re-
quieren un gran número de dígitos.
ERROR DE REDONDEO INFERIOR: se desprecian los dígitos que no pueden conservarse dentro de la localiza-
ción de memoria correspondiente (pensando de una manera estricta, este caso puede considerarse como un error
de truncamiento).
ERROR DE REDONDEO SUPERIOR: este caso tiene dos alternativas, según el signo del número en particular:
a) Para números positivos, el último dígito que puede conservarse en la localización de memoria se
incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es > 5.
b) Para números negativos, el último dígito que puede conservarse en la localización de memoria se reduce
en una unidad si el primer dígito despreciado es > 5.
ERROR ABSOLUTO: es la diferencia entre el valor de un número y su valor aproximado y - valor real, y* - va-
lor aproximado, e, - error absoluto.
ey = | y - y*|
ERROR RELATIVO: es el cociente del error absoluto entre el valor real.
ry = ey / y = |(y - y*)| /y para todo y ≠ 0.
OVERFLOW: en el lenguaje técnico de computación se acostumbra emplear este anglicismo, ya que las traduc-
ciones posibles no proporcionan una idea clara de su significado; con todo, en la presente obra se usará con fines
prácticos el término "sobreflujo". Se dice que existe overflow o sobreflujo cuando dentro de una localización de al-
macenamiento no cabe un número, debido a que éste es mayor que la capacidad de la mencionada localización
de almacenamiento.
UNDERFLOW: en el lenguaje técnico de computación se acostumbra emplear este anglicismo, ya que las tra-
ducciones posibles no proporcionan una ¡dea clara de su significado; con todo, en la presente obra se usará con fi-
nes prácticos el término "subflujo". Se dice que existe underflow o subflujo cuando dentro de una localización de
almacenamiento no se puede representar un número positivo muy pequeño, debido a que éste es menor que la
capacidad de la mencionada localización de almacenamiento.
EJEMPLO 1.2 Suponga que el número .1492 es correcto en los cuatro decimales dados. En otras palabras, es
una aproximación de un valor verdadero que se encuentra en el intervalo entre .14915 y .14925. Consecuente-
mente, el error es a lo sumo de cinco unidades en el quinto decimal, o la mitad de una unidad en el cuarto. En tal
caso se dice que la aproximación tiene cuatro dígitos significativos. De modo similar, 14.92 tiene dos lugares deci-
males correctos y cuatro dígitos significativos siempre que su error no exceda .005.
EJEMPLO 1.3 Se dice que el número .10664 se redondea hasta cuatro decimales cuando se escribe como
.1066, en tanto que .10666 se redondearía a .1067. En ambos casos el error que se produce al aproximar no es
mayor que .00005, suponiendo que las cifras dadas son correctas. El primero es un ejemplo de redondeo hacia
abajo y el segundo, de redondeo hacia arriba. Un caso intermedio tal como .10665 suele redondearse hasta el dí-
gito par más cercano, para este número, .1066. Esto se hace para evitar la parcialidad excesiva entre los redon-
deos anteriores.
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 9
EJEMPLO 1.4 Cuando 1.492 se multiplica por 1.066, el producto es 1.590472. Las computadoras trabajan de
acuerdo con un "largo de palabra" establecido, cortando todos los números según ese largo. Suponiendo una má
quina ficticia de cuatro dígitos, el producto anterior se redondearía a 1.690. Tales errores de redondeo son errores
de algoritmo y se hacen inevitablemente por millones en la computación moderna.
TEORÍA DE APOYO
A pesar de que nuestra perspectiva del análisis numérico está orientada a las aplicaciones, estaremos inte
resados en la teoría de apoyo, que se emplea tanto para descubrir algoritmos como para establecer su validez. A
menudo, la teoría hacia la cual nos dejamos conducir tiene interés intrínseco, se trata de matemáticas atractivas.
Tenemos, por consiguiente, el mejor de ambos mundos, pero no debemos olvidar que nuestro interés es más fun
cional que estético.
EJEMPLO 1.5 El cálculo de los valores de las funciones trigonométricas, exponenciales, así como de otras fun
ciones no elementales depende claramente de la teoría de apoyo. Para obtener el coseno de x para valores pe
queños de x, la serie clásica sigue siendo una buena elección.
REPRESENTACIONES NUMÉRICAS
Puesto que los objetivos fundamentales son numéricos, conviene hablar brevemente de la representación de
los números. La entrada numérica será por lo general en forma decimal, ya que estamos más familiarizados con
ella. Sin embargo, como casi todos saben, las computadoras encuentran por lo regular más conveniente las repre-
sentaciones binarias, al corresponder su 0 y su 1 con el apagado y encendido o con los estados alto y bajo de los
componentes eléctricos. Para enteros positivos, la forma binaria es
dn 2n+ dn-1 2n-1+ . . . + d121 + d020
en tanto que para los números positivos menores que uno es
con todos los dígitos binarios d1 ya sea 0 o 1. Tales representaciones son únicas.
Las representaciones de punto flotante tienen una ventaja adicional. En esta forma, tres partes describen el
número: un signo, una mantisa y un exponente (también con signo propio). Tomando los decimales como primer
ejemplo, el número .1492 aparecería como
cos x = 1
x2 x4 xb
2! 4! 6!
Con x - .5 esto se convierte en
cos .5 = 1 - . 125 + .0026041 - .0000217 + • • •
= .877582
resultado que tendrá más exactitud entre más términos tomemos de la serie. El límite de error en este ejemplo es
tá garantizado por la teoría matemática de apoyo, que establece que para series como ésta el error no es mayor
que el primer término omitido (véase el problema 1.9). Aquí el primer término omitido es x8/8!, que para x = . 5 as
ciende a un poco menos que .0000001.
d-12-1 + d - 2 2 - 2 + d-32-3+...
10 MÉTODOS NUMÉRICOS
+ .1492 10°
siendo + el signo, .1492 la mantisa y 0 el exponente. También puede considerarse la alternativa +1.492 10-1, entre
otras posibilidades, pero la práctica estándar exige que el primer dígito (diferente de cero) venga justo después del
punto. El exponente entonces determina el orden de magnitud. Dichas representaciones se llaman normalizadas.
De tal modo, 1492 se expresaría como +.1492 104.
NÚMEROS DE PUNTO FLOTANTE
Se llaman así, a diferencia de los números enteros, porque tienen decimales y en consecuencia tienen punto deci-
mal.
Su representación es
Ni = aibei para i = 1,2,...
donde ai = coeficiente; b = base del sistema numérico; ei = exponente. Ejemplo: 245.3 = .2453(10)'
OPERACIONES DE SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NÚMEROS DE PUNTO FLOTANTE:
NÚMEROS NORMALIZADOS:
Se llama de esta manera a aquellos números de punto flotante que se expresan de la forma siguiente:
Sea a una fracción F, tal que (1/b) \F | < 1, donde F es la mantisa.
REPRESENTACIÓN INTERNA DE UN NÚMERO NORMALIZADO:
Únicamente cuando las
cantidades sean negativas,
tanto en mantisa como en
exponente, llevarán signo
negativo.
.0001627
7392842.0
-.034287654
8279314836.25
8279314835.0
-32.461
. 1 6 2 7 0 0 0 0
. 7 3 9 2 8 4 2 0
- . 3 4 2 8 7 6 5 4
.82793148
.82793148
- . 3 2 4 6 1 0 0 0
10-3
10-7
10-1
1010
1010
102
Celdas para la mantisa normalizada Celdas para elexponente
EJEMPLOS DE NÚMEROS NORMALIZADOS A OCHO DÍGITOS SIGNIFICATIVOS:
Punto decimal hipotético
signo
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 11
OPERACIONES ARITMÉTICAS CON NÚMEROS NORMALIZADOS DE PUNTO FLOTANTE:
X = Fx -10ez => .1≤|Fx |<1
Y = Fy -10ez => . l≤ |F y |<l
.1 ≤ |Fz |< 1
m - dígitos significativos
SUMA Y RESTA:
Z = X ± Y = [(Fx10ex) ± (Fx10ey)]
Z = X ± Y = [Fx ± (Fy10ey-ez )] 10ex
Sean ex > ey, de no ser así: X −> Y, Y −> X, F^y = Fy10ey-ex
Recordemos que Fx10ex ± Fy 10ey10ex10ey
a) Si |Fx ±Fy | < . 1 , Fy = 10m(Fx ± F^y), ez = ex-m
b) Si .1 < |Fx ± F^y | < .1 ,F z = FX± F^y, ez = ex
c) Si |Fx ± F^y | >1, Fz - {Fx ± F^y /10},ez =ex+ 1
Si |f| < .5 => |Z| - |F |. 10ez => |Ex|=|f| .10ez-d
ERRORES DE REDONDEO EN OPERACIONES ARITMÉTICAS DE PUNTO FLOTANTE:
d = número de dígitos; Ez - error en el valor redondeado de z; f - dígitos que no caben en la palabra de memoria
a) Si.l ≤ |Fx / Fy| < 1,Fz = | Fx / Fy,|, ez = ex-ey
b) Si |Fx / Fy| > 1,Fz = | Fx / 10Fy,|,ez = ex-ey+l
DIVISIÓN:
a) Si |FxFy|< .1 => Fz = 10 FxFy, ez = ex + ey - 1
6) Si .1 < |FxFy| < 1 => Fz = FxFy, e2 = ex + ey
MULTIPLICACIÓN:
MÉTODOS NUMÉRICOS
Si |f| ≥ .5 =>|Z| = |F | × 10ez + 10ez-d => |E2| = |1 - f| 10ez-d
MULTIPLICACIÓN:
DIVISIÓN:
suponemos
RESUMIENDO Y PONIENDO ERROR DE REDONDEO:
FÓRMULAS DE ERROR RELATIVO:
se ignora
FÓRMULAS DE ERROR ABSOLUTO:x,y- reales; - aproximados
ex + ey
ex + ey
SUMA:
RESTA:
SUMA:
¿QUE SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 13
RECOMENDACIONES PRÁCTICAS PARA LOGRAR MAYOR PRECISIÓN:
1. Cuando se van a sumar y/o restar números, trabajar siempre con los números más pequeños primero.
2. Evitar siempre que sea posible la resta de números aproximadamente iguales, reescribiendo la resta.
3. Ejemplos: a(b - c) - ab - ac; (a - b)/c - a¡c — b l c (en caso de que a sea aproximadamente igual a b,
efectuar primero la resta de b - c).
4. Cuando sea posible que algún denominador se haga cero, preguntar en el programa, antes de efectuar
la operación.
5. Cuando se desea sumar y/o restar una gran cantidad de números, es conveniente asociarlos en n
grupos de aproximadamente n elementos.
6. Cuando no se aplica ninguna de las reglas anteriores, minimizar el número de operaciones aritméticas.
EJEMPLO 1.6 Convierta el decimal 13.75 en una forma binaria de punto flotante.
Existen métodos de conversión más formales, pero incluso sin ellos puede verse fácilmente que el binario
equivalente de 13.75 es 1101.11, con 8 + 4 + 1 a la izquierda del punto y ½ + ¼ a la derecha. Ahora reescribimos
esto como
+.110111(+100)
donde el +100 entre paréntesis sirve como exponente 4. Una conversión final es
0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0
en la que la aparición sólo de ceros y unos es atractiva para fines eléctricos, siempre y cuando se entiendan cier-
tas convenciones. El primer cero se interpreta como un signo más. (1 significaría menos.) Seis dígitos binarios o
bits forman entonces la mantisa, asumiéndose un punto binario en su primer dígito. El cero que sigue es otro signo
más, esta vez para el exponente, el cual concluye la representación. La forma final no se parece mucho a 13.75,
pero es comprensible. En la práctica, tanto la mantisa como el exponente incluirían más dígitos y las formas del
signo y el exponente variarán, pero las representaciones de punto flotante constituyen una herramienta básica de
la computación moderna.
NORMAS DE VECTORES Y MATRICES
La longitud euclidiana de un vector, esto es,
para el vector V con componentes v¡, se denomina también la norma de V y se le asigna el símbolo ||V ||. Tres
propiedades básicas de esta norma son
MÉTODOS NUMÉRICOS
La última se conoce como la desigualdad del triángulo.
Varias funciones reales más tienen también estas propiedades y se llaman también normas. De interés parti-
cular son las normas Lp.
para p > 1. Con p - 1, se trata de la norma L1, la suma de las magnitudes componentes. Con p = 2, se tiene la fa-
miliar longitud vectorial o norma euclidiana. Cuando p tiende al infinito, prevalece el vi dominante y tenemos la nor-
ma máxima
En más de una ocasión, encontraremos usos para estas normas, en particular en el estudio del comportamiento
del error de algoritmos.
EJEMPLO 1.7 Empleando la norma L1, los vectores (1, 0) (½, ½) (0, 1), entre otros, tienen norma 1. En la figu-
ra 1.1a se presenta un esquema de tales vectores unitarios, partiendo todos del origen. Sus puntos terminales for-
man un cuadrado. La figura 1.16 muestra los vectores unitarios más familiares de la norma euclidiana. Utilizando
la norma Lo», los vectores (1, 0) (1,1) (0,1), entre otros, tienen norma uno. Su gráfica se asemeja a la de la figu-
ra 1.1c, formando también un cuadrado los puntos terminales.
b) c)
Figura 1.1
Al considerar matrices, definimos
1. || V|| ≥ 0, y equivale a 0 si y sólo si V = 0
2. ||cV|| = c • || V || para cualquier número c
3. ||V + W|| ≤ ||V|| + ||W||
a)
||A|| = máx ||AV||
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 15
y la segunda, la suma de renglón absoluta de A
tomándose el máximo sobre todos los vectores unitarios V. El significado de unitario en este caso depende del ti-
po de norma vectorial que se esté usando. Tales normas de matriz tienen propiedades paralelas a las listadas an-
tes para vectores.
1. || A || ≥ 0, y equivale a cero si y sólo si A = 0
2. ||cA|| =c • ||A|| para cualquier número c
3. ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||
Además, para las matrices A y B y el vector V, las propiedades
4. ||AV|| ≤ ||A||•||V||
5. ||AB|| ≤ ||A||•||B||
serán útiles. Las normas L1 y L∞ tienen la ventaja de ser fáciles de calcular, siendo la primera el máximo de la su-
ma de columna absoluta
Muchas de estas características se demostrarán en los problemas resueltos.
EJEMPLO 1.8 Encuentre las normas L1, L2 y L∞ de la matriz:
Las sumas máximas absolutas de columnas y renglón se encuentran de inmediato, y rápidamente determi-
namos que
L1 = L∞ = 2
Desafortunadamente no hay una teoría de apoyo correspondiente que ayude a L2 y esta matriz en apariencia tan
sencilla no da tal valor sin algunos problemas. Por definición, la norma L2 de A es la norma máxima L2 del vector
para x2 + y2 = 1, esto es, para (x, y) en el círculo unitario de la figura 1.1b. El cuadrado de esta norma es
(x + y)2 + x2 = 1 + 2xy + x2 = 1 + 2x 1 -x 2 + x2
16 MÉTODOS NUMÉRICOS
que puede maximizarse mediante cálculo elemental. La suposición de que y es positiva no es restrictiva aquí
puesto que la norma toma el mismo valor para (x, y) y (-x, -y). A la larga se encuentra que ocurre un máximo para
Problemas resueltos
1.1 Calcule el valor del polinomio
p(x) = 2x3 - 3x2 + 5x - 4
para el argumento x - 3.
Siguiendo el curso natural, encontramos x2 = 9, x3 = 27, y uniendo las partes
p(3) = 54 - 27 + 15 - 4 = 38
Al contar se descubre que se efectuaron cinco multiplicaciones, una suma y dos restas.
Volviendo a acomodar el polinomio, ahora en la forma
se realiza otra vez el procedimiento. De x = 3 tenemos en forma sucesiva 6, 3, 9, 14, 42 y 38. Esta vez sólo
se hicieron tres multiplicaciones, en lugar de cinco. La reducción no es considerable, pero sí sugestiva.
Para un polinomio general de grado n, el primer algoritmo requiere 2n - 1 multiplicaciones, y el segundo
sólo n. En una operación más larga, que incluya muchas evaluaciones de polinomios, puede ser sig-
nificativo el ahorro de tiempo y de errores de algoritmo (redondeo).
1.2 Defina el error de una aproximación.
La definición tradicional es
Valor verdadero = aproximación + error
de modo que, para el ejemplo, √2 = 1.414214 + error
π = 3.1415926536 + error
1.3 ¿Cuál es el error relativo?
Éste es el error medido relativo al valor verdadero.
Error relativo =
valor verdadero
p(x) = [(2x-3)x + 5] x-4
error
y que
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 17
En el caso común de que el valor verdadero se desconozca o sea difícil de manejar, la aproximación se
sustituye por él y el resultado sigue llamándose, unpoco libremente, error relativo. De tal manera la
aproximación familiar de 1.414 para √2 tiene un error relativo de alrededor de
.0002
1.414
.00014
en tanto que la aproximación menos exacta de 1.41 tiene un error relativo cercano a .003.
Puesto que xi - E ≤ Xi ≤ xi + E
sumando se deduce que ∑ x1 - nE ≤ ∑X1 ≤ ∑x1 + nE
por lo que - nE ≤ ∑X1 - ∑x1 ≤ nE
que es lo que se quería demostrar.
1.5 Calcule la suma + ... + con todas las raíces evaluadas hasta dos lugares decimales. De
acuerdo con el problema anterior, ¿cuál es el máximo error posible?
Ya sea mediante unas cuantas líneas de programación bien elegidas o por medio de la anticuada
consulta de tablas, las raíces en cuestión pueden encontrarse y sumarse. El resultado es 671.38. Como ca
da raíz tiene un error máximo de E =.005, el error máximo posible en la suma es nE = 100(.005) = .5, lo
que sugiere que la suma en la forma que se determina no puede ser correcta ni siquiera hasta un lugar de
cimal.
6 ¿Qué se entiende por el error probable de un resultado calculado?
Ésta es una estimación de error tal que el error real excederá al estimado con una probabilidad de un
medio. En otras palabras, es igualmente probable que el error real sea más grande o más pequeño que el
estimado. Puesto que esto depende de la distribución del error, no es fácil de determinar, por lo que un sus
tituto menos aproximado se utiliza a menudo, en donde E es el máximo error posible.
7 ¿Cuál es el error real del resultado en el problema 1.5 y cómo se compara con los errores máximo y pro
bable?
Un nuevo cálculo, con raíces cuadradas determinadas hasta cinco lugares decimales, produce la su
ma 671.46288. Esta vez el error máximo es 100(.000005) que corresponde a .0005, de modo que la suma
es correcta hasta tres lugares como 671.463. El error real del primer resultado es consecuentemente cerca
no a .08, comparado con el máximo .50 y el probable .05. Una de nuestras estimaciones fue demasiado pe
simista y la otra ligeramente optimista.
8 Suponga que se sumarán mil raíces cuadradas, en vez de sólo cien. Si se quiere una precisión de hasta
tres lugares, ¿con qué exactitud deben calcularse las raíces individuales?
Para tener una garantía sólida conviene suponer el caso más extremo en el que podría llegarse al
máximo error posible. La fórmula nE del (gobierna 1.4 se convierte en 1000E, mostrando que pueden per
derse tres lugares decimales en una suma de este largo. Puesto que se quiere un resultado con una exacti-
18 MÉTODOS NUMÉRICOS
tud de hasta tres lugares, puede ser sensato tener seis lugares correctos en la entrada. La cuestión es que
en cómputos muy largos hay tiempo para que errores muy pequeños hagan una contribución colectiva con-
siderable.
1.9 Calcule la serie
1 1 1
2 3 4
1
corrija hasta tres dígitos.
Esta serie ilustra un teorema de análisis frecuentemente utilizado. Puesto que entre sus términos se
alterna el signo y éstos disminuyen de manera estable, las sumas parciales se alternan a ambos lados del
límite (el valor de la serie). Esto implica que el error en cualquier punto será menor que el primer término
omitido. Para lograr la exactitud especificada, necesitamos entonces 1 / n ≤ .0005 o n ≥ 2000. Tienen que su-
marse dos mil términos. Trabajando con ocho lugares decimales, los 2000 redondeos pueden acumularse
nE = 2000(.000000005) = .00001
que puede llegar a ser de poca consideración, lo que permite continuar el cómputo, redondear el resultado
hasta tres lugares y obtener .693.
Note que en este problema no tenemos error de entrada, sólo errores de algoritmo. Primero, única-
mente tomamos una suma parcial en lugar de la serie, y después hacemos numerosos errores de redondeo
al tratar de evaluar dicha suma. El primero se llama error de truncamiento y parece ser el mayor en las dos
fuentes de error en este problema. En resumen,
Error real = error de truncamiento + error de redondeo
= .0005 +.00001
aproximadamente. De hecho, el valor de la serie es el logaritmo natural de 2, y hasta tres lugares corres-
ponden a nuestro valor de .693.
1.10 Demuestre que si la serie
a1- a2 + a3 - a4 + . . .
es convergente, siendo todos los ai positivos, entonces
es también convergente y representa el mismo número.
Con An y Bn representando las sumas enésimas parciales de las dos series, es fácil ver que An - Bn =
± ½ an. Como la primera serie es convergente, el límite de an es cero y concluye la demostración.
1.11 Aplique el teorema del problema anterior para evaluar la serie del problema 1.9, también hasta tres de-
cimales.
½ a1 +½ (a1 -a2) - ½ (a2 - a3) +½ (a3 -a4)+ . . .
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 19
Ésta es nuevamente una serie alternante con términos monótonos, así que podemos recurrir al teorema del
problema 1.9. Para una exactitud de tres dígitos necesitamos
2n(n +1)
≤ .0005
o n ≥ 32. Se trata de muchos menos términos que los que se necesitaron antes y el redondeo será difícil-
mente un producto de una máquina de ocho dígitos. El nuevo algoritmo es mucho más rápido que el ante-
rior y maneja el mismo .693 con menor esfuerzo.
1.12 Dado que los números .1492 y .1493 son correctos a medida que se avanza, esto es, los errores no son
más grandes que cinco unidades en el quinto lugar, ilustre el desarrollo del error relativo considerando el
cociente 1/(.1498 - .1402).
Para los números dados, los errores relativos son aproximadamente iguales a 5/15 000, que es cer-
cano a 1.03%. En el caso de la suma, esto conduce también a un error relativo próximo al .03%, pero
con la diferencia de .0006 encontramos un error de una parte en seis, lo cual es el 17%. Volviendo al co-
ciente requerido, puede ser conveniente considerar la posición pesimista. En la forma dada, se calcularía el
cociente de 1667, hasta el entero más cercano. Pero es concebible que el que debe determinarse en lugar
del anterior es 1/(.14985 - .14915), lo cual nos llevaría a 1429. En el otro extremo está 1/(.14975 -
.14925) = 2000. Este simple ejemplo aclara que un gran error relativo generado en alguna etapa anterior de
un cálculo continuo puede conducir a errores absolutos más grandes en los pasos posteriores del procedi-
miento.
1.13 ¿Qué se entiende por la condición de un problema numérico?
Un problema está bien condicionado si cambios pequeños en la información de entrada ocasionan
cambios pequeños en la salida. De otro modo se dice que está pobremente condicionado. Por ejemplo, el
sistema
x + y = 1
l.l x + y=2
presenta una dificultad obvia. Representa la intersección de líneas casi paralelas y tiene la solución x - 10 y
y = - 9 .
Cambiemos ahora el valor 1.1 a 1.05 y resolvamos otra vez. Esta vez x = 20 y y = -19. Un cambio de
5% en un coeficiente ha provocado un cambio del 100% en la solución.
1.14 ¿Qué es un algoritmo estable?
En los cálculos prolongados es probable que se realicen muchos redondeos. Cada uno de ellos
desempeña el papel de un error de entrada para el resto del cálculo y cada uno tiene un efecto sobre la
consiguiente salida. Los algoritmos en que es limitado el efecto acumulativo de tales errores, de modo que
se genera un resultado útil, se llaman algoritmos estables. Desafortunadamente, hay ocasiones en las
que la acumulación es devastadora y la solución está colmada de errores. Es innecesario decir que esos al-
goritmos se denominan inestables.
Con un poco de álgebra se encuentra que B = ½, y para n > 1.
1
20 MÉTODOS NUMÉRICOS
1.15 Interprete el decimal de punto flotante +.1066*104.
Es claro que el decimal corre el punto decimal cuatro lugares a la derecha para producir 1066. De ma-
nera similar, +.1066*10-2 corresponde a .001066.
1.16 Interprete el símbolo binario de punto flotante +.10111010 * 24.
El exponente corre el punto binario cuatro lugares a la derecha, resultando 1011.1010, equivalente al
decimal 11 + ⅝ u 11.625. Similarmente, +.10111010 * 2-1 es .01011101. Éste es, desde luego, 1/32 veces el
número dado originalmente.
1.17 Interpreteel símbolo binario de punto flotante 0101110100100, considerando que la mantisa usa ocho
lugares y el exponente tres, aparte de sus signos.
Los ceros en las posiciones uno y diez deben tomarse como signos más.
0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0
signo mantisa signo exponente
El punto binario se supone a la cabeza de la mantisa. Con estas consideraciones tenemos otra vez
+.10111010* 24. De manera similar y con las mismas convenciones, +.10111010 * 2"1 se convierte en
0101110101001, correspondiendo los últimos cuatro dígitos a un exponente d e - 1 .
1.18 Sume estos números de punto flotante usando las convenciones del problema precedente
0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
De una u otra manera, los puntos binarios tendrán que "alinearse". La interpretación de los símbolos
conduce a la siguiente suma:
10.110111
+ .000010001100
= 10.111001001100
En la forma utilizada para las entradas esto se vuelve
0101110010010
tomando nuevamente la mantisa ocho lugares y el exponente tres, aparte de los signos. Se produce un
error de redondeo cuando los últimos seis dígitos binarios se eliminan para adecuarse a la capacidad de la
máquina de cálculo.
1.19 ¿Qué es un sobreflujo?
Empleando otra vez las convenciones de nuestra máquina ficticia, el número más grande que puede
expresarse es 0111111110111, siendo máximos tanto la mantisa como el exponente. Siete corrimientos del
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 21
punto binario hacen que éste se transforme en el equivalente 1111111.1 que corresponde al decimal 127 +
½, o 27 - 2-1. Cualquier número mayor que el anterior no puede representarse bajo las convenciones es-
tablecidas y se llama un sobreflujo.
1.20 ¿Qué es un subflujo?
El número más pequeño que puede representarse en la forma que se está usando, aparte del cero y
de números negativos, es 0000000011111. Sin embargo, por diversas razones conviene insistir en que el
primer dígito de una mantisa es un 1. Esto se conoce como la forma normalizada, y fija el exponente. Tam-
bién aquí debe hacerse una excepción para el número cero. Si se requiere la normalización, el número po-
sitivo más pequeño viene a ser 0100000001111. En decimales corresponde a 2-1 * 2-7 o 2-8. Cualquier nú-
mero positivo más pequeño que éste no puede representarse y se llama un subflujo. Cualquier sistema de
punto flotante de representación de números tendrá tales limitaciones y se aplicarán los conceptos de so-
breflujo y subflujo.
1.21 Imagine un sistema de punto flotante aún más simple, en el que las mantisas tienen sólo tres dígitos
binarios y los exponentes son -1 ,0 o 1. ¿Cómo se distribuyen estos números en una línea real?
Suponiendo normalización, estos números tienen la forma .1xx aparte del exponente. El conjunto
completo, por tanto, se compone de tres subconjuntos de cuatro números cada uno, en la forma que sigue:
.0100
.100
1.00
.0101
.101
1.01
.0110
.110
1.10
.0111
.111
1.11
(para exponente-1)
(para exponente 0)
(para exponente 1)
Estos subconjuntos se grafican en la figura 1.2. Note el agolpamiento más denso de los números más
pequeños, incrementándose la separación de 1/16 a ¼ conforme se pasa de un grupo a otro. Esto se debe, por
supuesto, al hecho de que tenemos sólo tres dígitos significativos (la cabeza se fija en 1), brindando el ex-
ponente un aumento progresivo a medida que crece. Por ejemplo, aquí no está disponible 1.005. El conjun-
to no es tan denso en esta parte de su intervalo. Sería necesario un cuarto dígito significativo. Los sistemas
de punto flotante reales tienen ese mismo rasgo, de un modo más complejo, y las ideas de dígitos sig-
nificativos y error relativo son importantes.
1.22 Suponga un número x representado por un símbolo binario de punto flotante, redondeado hasta una man-
tisa de n bits. Suponga también normalización. ¿Cuáles son los límites de los errores absoluto y relativo
causados por el redondeo?
Figura 1.2
exponente =0 sobreflujo
exponente = 1 exponente = -1
subflujo
22 MÉTODOS NUMÉRICOS
El redondeo provocará un error de cuando mucho una unidad en el lugar binario (n + 1) o de media
unidad en el lugar n-ésimo. De tal modo
Error absoluto ≤ 2-n-1
en tanto que para el error relativo debemos tomar en cuenta el verdadero valor de x. La normalización signi-
fica una mantisa no menor que i y esto lleva al siguiente límite:
y la segunda por
½≤|m1 + m2 * 2 f-e| < 1
Si ocurre el sobreflujo, se requerirá un corrimiento de un lugar a la derecha, y tenemos
fl(x +y) = [(m1 + m2 * 2f-e) 2-1+ e ]* 2e+1
donde є es el error de redondeo. Esto puede reescribirse
con |E| ≤ 2є ≤ 2-n.
Si no hay sobreflujo, entonces
ñ(x +y) = [(mt + m2* 2f-n) + e] * 2e
1 ≤ | ml + m2*2f-e|<2
|Error relativo| < 2-n
2-1
2-n-1
con En consecuencia, la operación de redondeo puede verse entonces como la sustitución de x
por un valor perturbado x + xE, siendo la perturbación relativamente pequeña.
1.23 Encuentre un limite para el error relativo que se produce por la suma de dos números de punto flotante.
Sean los números con y como el más pequeño. De tal modo que m2 deba
correrse e-f lugares a la derecha (alineamiento de los puntos binarios). Después se suman las mantisas,
se normaliza el resultado y se redondea. Hay dos posibilidades. Ocurre sobreflujo a la izquierda del punto
flotante (no sobreflujo en el sentido del problema 1.19) o no ocurre. La primera posibilidad está carac
terizada por
Es útil reescribir lo anterior dejando que fl(x) represente el símbolo de punto flotante para x. Por consiguien-
te
Error relativo = = E
X
ff(x)-x
f l(x)=x(l + E)=x+xE
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? ¡23
con E limitado como antes.
Un resultado correspondiente para la resta de punto flotante se encontrará en el problema 1.45.
1.24 Encuentre un límite para el error relativo que se produce al multiplicar dos números de punto flotante.
Sean también en este caso los dos números x - m1*20 y y = m2*2f. Entonces xy - m1m2*2e+f con ¼ ≤
|m1m2| < 1 debido a la normalización. Esto significa que para normalizar el producto habrá un corrimiento a
la izquierda de cuando mucho un lugar. El redondeo producirá, en consecuencia, ya sea m1m2 + є o 2m1m2 +
є, con |є| < 2-n-1. Esto puede resumirse como sigue:
= xy(l + E)
con |E| ≤ 2 |є| ≤ 2-n.
Un resultado similar se bosqueja para la operación de la división en el problema 1.46. Esto quiere de-
cir que en la totalidad de las operaciones aritméticas, utilizando números de punto flotante, el error relativo
que se introduce no excede de 1 en el lugar menos significativo de la mantisa.
1.25 Estime el error generado al computar la suma
utilizando operaciones de punto flotante.
Consideramos las sumas parciales s1. Sea s1 - x1. Entonces
s2 = fl(s1+ x2) = (s1+ x2)(1 + E2)
con E1 acotado por 2-n como se muestra en el problema 1.23. Reescribiendo,
s2 = x1(1 + E1)+x2(1 + E2)
x1+x2+ . . . +xk
Observe que si la suma verdadera ∑x¡ es pequeña comparada con las x¡, entonces el error relativo E puede
ser grande. Éste es el efecto de cancelación causado por las sustracciones, observado antes en el proble-
ma 1.12.
1.26 Ejemplo de un análisis de error progresivo.
Suponga que se calculará el valor de A(B + C), utilizando las aproximaciones a, b y c cuyos errores
son las cantidades e1, e2, e3. Entonces el valor verdadero es
A(B + C) = (a + e1)(b + e2 + c + e3) = ab + ac + error
donde Error = a(e2 + e3) + be1 + ce1 + e1e2 + e1e3
Suponiendo la cota uniforme |e,| < e y que los productos de error pueden despreciarse, encontramos
|Error| ≤ (2|a| + |b| + |c|)e
Este tipo de procedimiento se conoce como análisis de error progresivo. En principio puede efectuarse con
cualquier algoritmo. Sin embargo, el análisis suele ser tedioso si es que no abrumador. Además, las cotas
24 MÉTODOS NUMÉRICOS
Continuando
s3 = fl(s2 + x3) = (s2 + x3)(1 + E2)
= x1(l + E1)(1 + E2) + x2(1 + E1)(1 + E2) +x3(1 + E2)
y finalmente
sk = fl(sk-1+ xk) = (sk-1+ xk)(1+ Ek-1)
= x1(1 + c1) + x2(1 + c2) + • • • + xk(1 + ck)
donde, para i = 2 k.
1 + c1 = (1 + Ei-1)(1 +Ei). . . (1 + Ek-1)
y 1 + c, - 1 + c2. En vista de la cota uniforme sobre las E¡, tenemos ahora esta estimación para las 1 + c¡:
(1 - 2-n)k-i+1 ≤ 1 + c1 ≤ (1 + 2-n)k-i+1
Resumiendo
donde donde
(l + E)
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 25
que resultan, con frecuencia son muy conservadoras, apropiadas si lo que se necesita es una idea del peor
de los casos que podría ocurrir. En el presente ejemplo emerge un punto de menor interés. El valor de a pa-
rece ser dos veces más sensible que los valores de b y c.
1.27 ¿Qué es el análisis de error regresivo?
La idea importante detrás del análisis de error regresivo es tomar el resultado de un cálculo y tratar de
determinar el intervalo de los datos de entrada que podría haberío producido. Es importante entender el ob-
jetivo. No hay intención de modificar los datos para acomodar la respuesta. Si se completa un análisis de
error regresivo y se muestra que el resultado encontrado es consistente con los datos de entrada, dentro
del intervalo del error observacional o de redondeo, entonces puede tenerse cierta confianza del resultado.
Si esto no sucede, existe entonces una fuente principal de error en otra parte, presumiblemente dentro del
propio algoritmo.
1.28 Demuestre que el análisis de error en el problema 1.23 fue un análisis de error regresivo.
El resultado obtenido fue
con |E| ≤ 2-2, donde n es el número de lugares binarios en la mantisa. Reescribiendo esto como
fl(x + y) =x(l + E) + y(l + E)
y recordando el problema 1.22, vemos que la suma tal como se computó, esto es fl(x + y), es también la
suma verdadera de los números que difieren de los x y y originales en no más que la cota del error de
redondeo E. Esto es, la salida puede ser bien explicada por los datos de entrada dentro del limite de error
reconocido.
1.29 Demuestre que el análisis efectuado en el problema 1.24 fue de error regresivo.
Encontramos
fl(xy)=xy(1 + E)
que podemos pensar como el producto de x por y(1 + E). Esto significa que el fl(xy) calculado es también el
producto verdadero de números que difieren de los x y y originales en no más que el error de redondeo.
Concuerda bien con los datos de entrada dentro de nuestro límite de error admitido.
1.30 ¿Qué indica el análisis de error regresivo efectuado en el problema 1.25?
Primero, la ecuación
muestra que la suma de punto flotante de k números x, a xk es también la suma verdadera de k números
que difieren de las x¡ por errores relativos de tamaño c¡. Desafortunadamente, las estimaciones obtenidas
fl(x+y) = (x+y)(l + E)
= x1,(1+ c1) + ••••••+ xk (1+ck)
26 MÉTODOS NUMÉRICOS
entonces en el problema 1.25 muestran también que estos errores pueden ser mucho más grandes que los
simples redondeos.
1.31 Pruebe la propiedad del triángulo de la longitud de un vector, la norma L2. probando primero la desigualdad
de Cauchy-Schwarz.
Una prueba interesante se inicia notando que es no negativa, por lo que la ecuación cua
drática
no puede tener raíces reales distintas. Esto requiere
y al cancelar los 4 tenemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
La desigualdad del triángulo se deduce casi directamente, empleando un poco de álgebra. Escrita en
forma de componentes, establece que
Elevando al cuadrado, eliminando términos comunes, elevando otra vez al cuadrado y empleando la
desigualdad de Cauchy-Schwarz llegamos al resultado deseado (véase el problema 1.50).
1.32 Muestre que la norma vectorial tiende a máx cuando p tiende a infinito.
Supongamos que vm es la componente absoluta más grande por lo que reescribimos la suma como
Dentro deL paréntesis todos los términos excepto el primero se acercan a cero en el límite, de donde se
concluye el resultado que se requería.
1.33 Muestre que la definición ||A || - máx ||AV || para V unitario satisface las propiedades 1, 2 y 3 que se
presentaron en la introducción.
Esto se demuestra de manera más fácil a partir de las propiedades correspondientes de la norma
vectorial asociada. Puesto que AV es un vector, ||AV || ≥ 0 y por ello ||A || ≥ 0. Si ||A || ≥ 0 e incluso si un
elemento de A no fuera cero, entonces V podría elegirse para hacer una componente de A V positiva, que
es una contradicción para máx ||A ||=- 0. Esto prueba la primera propiedad.
A continuación encontramos
||cA|| =máx ||cAV|| = máx |c| • ||AV|| = |c| • ||A||
que prueba la segunda. La tercera se maneja en forma similar.
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 27
1.34 ¿Cuáles son las normas L1, L2 y L∞ de la matriz identidad?
Todas son iguales a 1. Tenemos
|| I || = máx||IV||=máx||V|| = l
puesto que V es un vector unitario.
1.35 ¿Cuáles son las normas L1, L2 y L∞ de la matriz
Tenemos que
AV =
Suponga por sencillez que V1 y v2 son no negativas. Entonces para L1 sumamos y encontramos ||AV ||=
2(v1 + v2) = 2, ya que v es un vector unitario en la norma L1. De tal modo ||A ||1 = 2. Para la norma L2
debemos elevar al cuadrado y sumar las dos componentes, obteniendo 2(v22 + 2v1v2 + v22). En esta norma
v12 +v22 = 1, lo que maximizará v1v2. El cálculo elemental produce entonces v1 = v2 = 1/√2 conduciendo
rápidamente a || A ||2 = 2. Por último, ||AV ||∞ - v1 + v2, puesto que con esta norma buscamos la componente
máxima. Pero de nuevo aquí el máximo es 2, debido a que con esta norma ningún v, puede exceder 1. Las
normas L, y L∞. podrían haberse señalado de inmediato utilizando el resultado del siguiente problema o su
asociado.
1.36 Demostrar que
Elíjase un vector V con todas las componentes de tamaño 1 y signos que correspondan con las a,
de manera tal que ∑ |aη | sea máxima. Entonces ∑ aη,vj es un elemento de AV que iguala este valor máximo y
evidentemente no puede excederse. Puesto que esta V tiene norma 1, la norma de A también toma este
valor. El resultado similar para la norma L, se deja como el problema 1.52.
1.37 Demuestre que ||AV || ≤ ||A || • ||V ||.
Para un sector unitario U tenemos, por definición de IIA II,
por lo que al elegir U = V / ||V || y aplicar la propiedad 2,
1.38 Pruebe que ||AB ||≤ ||A || • | |B | | .
28 MÉTODOS NUMÉRICOS
Problemas suplementarios
1.39 Calcule 1 /.982 usando la teoría de apoyo
1.40 Los números son exactos hasta dos lugares cuando su error no excede .005. Las siguientes raíces
cuadradas se toman de una tabla. Redondee cada una hasta dos lugares y anote el valor del redondeo.
¿Cómo se comparan estos errores de redondeo con el máximo de .005?
n
hasta tres lugares
hasta dos lugares
redondeo aproximado
11
3.317
3.32
+ .003
12
3.464
3.46
-.004
13
3.606
14
3.742
15
3.873
16
4.000
17
4.123
18
4.243
19
4.359
20
4.472
El error total de redondeo podría estar teóricamente en cualquier parte del intervalo de 10(-.005) a 10(.005).
¿Realmente cuál es el total? ¿Cómo se compara con el "error probable" de √10 (.005)?
1.41 Suponga que N números, todos correctos hasta un número de lugares dado, se van a sumar. ¿Aproximada-
mente hasta qué valor de N dejará probablemente de tener sentido el último dígito de la suma calculada?
¿Los últimos dos dígitos? Use la fórmula del error probable.
1.42 Una sucesión J0, J1,J2, . . . está definida por
con J0 = .765198 y J1 = .440051 correctos hasta seis lugares. Calcule J2 , J7 y compare con los valores
correctos que siguen. (Estos valores correctos se obtuvieron mediante un proceso por completo diferente.
Véase el siguiente problema para explicación de errores.)
n
Jn correcto
2
.114903
3
.019563
4
.002477
5
.000250
.6
.000021
7
.000002
= 1 + X + X2 + . . .
1
con x = .018. 1-x
Volvemos a utilizar el resultado del problema 1.37:
||AB|| = máx ||ABU|| ≤ máx ||A || •||BU || ≤ máx ||A || • ||B|| • ||U|| = ||A|| • ||B ||
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 29
exactamente. Calcule esto a partir de los valores dados de J0 y J1. Se obtendrá el mismo valor erróneo.Los
coeficientes grandes multiplican los errores de redondeo en los valores dados de J0 y J1 y los resultados
combinados contienen entonces un error grande.
1.44 Hasta en seis lugares el número JB debe ser cero. ¿Qué es lo que en realidad produce la fórmula del
problema 1.42?
1.45Muestre que el error introducido por la resta de punto flotante está acotada por Sean
como en el problema 1.23. Entonces y a menos que esto sea cero
1.46 Mostrar que el error introducido durante una división de punto flotante está acotado por 2-n. Con las con
venciones del problema 1.24, déjese que la mitad de la mantisa del numerador sea dividida por la mantisa
del denominador (para evitar cocientes mayores que uno) y que se resten los exponentes. Esto produce
1.43 Muestre que para la sucesión del problema anterior,
Mostrar entonces que
y finalmente
La normalización de la nueva mantisa puede requerir hasta n - 1 corrimientos a la izquierda, determinán
dose el número real s por medio de
con Después de esto, sígase el resto del análisis efectuado para la operación de
multiplicación con el fin de mostrar otra vez que el error relativo está acotado como se establece.
y después establezca que
como el del problema 1.25. Sea
1.47 Analice el cálculo del producto interior
30 MÉTODOS NUMÉRICOS
para Esto hace a sk el producto interior requerido. A continuación encuentre relaciones y es
timaciones similares a las que se encontraron en el problema anterior mencionado.
1.48 Usando las convenciones del problema 1.17, interprete este símbolo de punto flotante: 0100110011010.
(Este número se aproxima mucho a .1492 con una mantisa de sólo 8 bits.)
1.49 Imitando el problema 1.21, imagine un sistema de punto flotante en el cual las mantisas normalizadas
tienen 4 bits y los exponentes son - 1 , 0 y 1. Muestre que estos números forman tres grupos de ocho, de
acuerdo con sus exponentes, cayendo un grupo en el intervalo de otro en el intervalo de a 1, y el ter
cero entre 1 y 2. ¿Cuáles números positivos causarán sobreflujo? ¿Y subflujo?
1.50 Complete la prueba iniciada en el problema 1.31.
1.51 Termine el problema 1.33 demostrando que la norma de la suma de dos matrices no excede la suma de
sus normas.
1.52 Mediante la elección adecuada de un vector unitario (una componente 1, el resto 0) muestre que la norma
Z.1 de una matriz A puede calcularse como el máximo de la suma de columna de elementos absolutos.
Compare con la prueba relacionada en el problema 1.36.
1.53 Demuestre que para A = las normas y son iguales.
1.54 Demuestre que para A = la norma es
1.55 Demuestre que para,4 = un vector V maximiza \\AV H2 puede encontrarse en la forma
con eos en el caso en tanto que tan en otro caso.
1.56 Se ha sugerido que el siguiente mensaje se transmita al espacio exterior como una señal de que en el
planeta hay vida inteligente. La idea es que cualquier forma de vida inteligente en cualquier parte compren
da con seguridad su contenido intelectual y con ello deduzca nuestra presencia inteligente aquí en la Tierra.
¿Cuál es el significado del mensaje?
11.001001000011111101110
1.57 Si el vector V con componentes x, y se usa para representar el punto (x, y) de un plano, entonces los pun
tos correspondientes a vectores unitarios en la norma forman el clásico círculo unitario. Como se
muestra en la figura 1.1, en las normas y el "círculo" toma una forma cuadrada. En una ciudad de
cuadras cuadradas, ¿cuál es la norma adecuada para un viaje en taxi? (Encuentre todas las intersecciones
a una distancia dada de una intersección determinada.) En un tablero de ajedrez, ¿por qué es la norma
apropiada para los movimientos del rey la norma L»?
1.58 Codifique en PASCAL, FORTRAN o BASIC las siguientes fórmulas, recordando que se debe respetar la
jerarquía de operaciones en el código (paréntesis, potencia, multiplicación/división y suma/resta; en todos
los casos de izquierda a derecha).
¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? 31
1.59 Con los valores de con cinco dígitos significativos, calcule tan exacto como sea posible,
utilizando los siguientes métodos:
a) Evaluación directa
b) Racionalizando el numerador
c) Por el teorema del valor medio
d) Desarrollo en series de Taylor alrededor del punto x - 50
1.60 Haga un programa en BASIC o PASCAL para evaluar dando valores grandes de x, evalúe
20 puntos.
1.61 Haga un programa para evaluar iterativamente las expresiones siguientes:
dando valores para
1.62 Deduzca las fórmulas de error relativo para: a) suma; b) resta; c) multiplicación; d) división.
1.63 Determine las fórmulas de error relativo de las siguientes operaciones:
1.64 Realice la suma siguiente con números normalizados, asumiendo que la mantisa es de cuatro dígitos
(recuerde que a medida que se van haciendo las sumas de una cifra con la siguiente, se va acarreando un
error de redondeo).
32 MÉTODOS NUMÉRICOS
a) Sume las cifras de arriba hacia abajo.
b) Sume las cifras de abajo hacia arriba.
c) Asuma que están normalizados a 10 dígitos significativos.
a)
Datos
.3767 * 10°
.7658 * 10°
.3564 * 101
.7649 * 101
.5686 * 102
.1436* 102
.2456 * 103
.1563 * 103
.9586 * 104
.4396 * 104
Sumas
parciales
.3767 * 10°
.1143*10'
.4707 * 101
.1236* 102
.6922 * 102
.8358 * 102
.3292 * 103
.4855 * 103
.1007 *105
.1447 *105
b)
Datos
.4396 * 104
.9586 *104
.1563 * 103
.2456 * 103
.1436 *102
.5686 * 102
.7649 * 101
.3564 * 101
.7658 * 10°
.3767 * 10°
Sumas
parciales
.4396 * 104
.1398 *105
.1414 * 105
.1439 * 105
.1440 *105
.1446 *105
.1447 *105
.1447 *105
.1447 *105
.1447 * 105
c)
Datos
.3767 * 10°
.7658 * 10°
.3564 * 101
.7649 * 101
.5686 * 102
.1436 * 102
.2456 * 103
.1563 * 103
.9586 * 104
.4396 * 104
Sumas parciales
.3767000000 * 10°
.1142500000* 101
.4706500000 * 101
.1235550000 * 102
.6921550000 * 102
.8357550000 * 102
.3291755000 * 103
.4854755000 * 103
.1007114755 *105
.1446747550 * 105
Polinomios de
colocación
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar con sus propias palabras por qué es útil aproximar una función a un polinomio (Introducción
de los capítulos 1.12.21, 22, 23, 24).
2. Explicar con sus propias palabras cuando menos cuatro de las desventajas e inconvenientes de
aproximar mediante un polinomio una función (Introducción de los capítulos 2,12,21,22,23,24).
3. Definir con sus propias palabras lo que es colocación polinomial (Introducción de los capítulos 2,12,
21,22,23,24).
4. Definir con sus propias palabras lo que son polinomios osculadores (Introducción de los capítulos 2,
12,21,22,23,24).
5. Definir con sus propias palabras lo que significa aproximación polinomial mediante mínimos cuadrados
(Introducción, Capítulo 21).
6. Definir con sus propias palabras lo que significa aproximación polinomial mediante minimax
(Introducción, Capitulo 22).
7. Describir con sus propias palabras cuando menos cuatro de las diferencias en el significado de
colocación, osculación, mínimos cuadrados y minimax (Introducción de los capítulos 2,10,12,21,
22).
8. Describir con sus propias palabras cuando menos cuatro de las semejanzas en el significado de
colocación, osculación, mínimos cuadrados y minimax (Introducción de los capítulos 2,10,12, 21,
22).
9. Demostrar que si se aproxima una función mediante un polinomio de colocación en ciertos puntos,
éste es único (Introducción, Problemas 2.6,2.7,2.19, 2.20).
10. Demostrar que un polinomio de grado n tiene cuando mucho n ceros (Introducción, Problema 2.5).
11. Aplicar el algoritmo de división a un polinomio dado (Introducción, Problemas 2.1, 2.3).
12. Aplicar el teorema del residuo a un polinomio dado (Introducción, Problemas 2.2, 2.3).
13. Aplicar el teorema del factor a un polinomio dado (Introducción, Problemas 2.1 a 2.4).
14. Explicar con sus propias palabras la división sintética o método de Horner (Introducción, Problemas2.3.2.11,2.12).
15. Aplicar el algoritmo de división sintética a un polinomio dado (Problemas 2.3, 2.11, 2.12).
16. Aplicar el algoritmo de división sintética a un polinomio dado, para obtener la primera derivada
evaluada en un punto dado (Problemas 2.3,2.11,2.12, Capítulo 25).
17. Conociendo una función real, aproximarla mediante un polinomio de colocación; posteriormente
comparar el resultado con la función real (Problemas 2.7, 2.9, 2.10, 2.14, 2.15).
2
34 MÉTODOS NUMÉRICOS
18. Conociendo una función real, aproximarla mediante un polinomio de colocación; después obtener la
diferencia entre la aproximación y la función real (Problemas 2.7, 2.9, 2.15, 2.20, 2.21).
19. Conociendo una función real, aproximarla mediante un polinomio de colocación y derivar el polinomio
hasta la segunda derivada; posteriormente comparar los resultados con la función real y sus
derivadas (Problemas 2.16, 2.17).
20. Conociendo una función real, aproximarla mediante un polinomio de colocación e integrarla;
posteriormente comparar los resultados con la función real y su integral (Problema 2.19).
21. Estimar la precisión de los polinomios de colocación (Problemas 2.9,2.15).
APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE COLOCACIÓN
Los polinomios de colocación garantizan que el valor de la función y el del polinomio de aproximación son igua-
les en determinados puntos; sin embargo no garantizan nada con referencia a la primera derivada o a deriva-
das de órdenes superiores. Asimismo, es interesante empezar a observar y a comparar qué ocurre cuando
integramos una función obtenida mediante polinomios de colocación, de la cual sí conocemos su forma real.
Estos polinomios se podrán emplear cuando no necesitemos obtener datos de ninguna derivada y ge
neralmente se utilizan aproximaciones cuando la función original es difícil de evaluar o bien de ser utilizados
en alguna aplicación.
Otro de los casos de utilización es cuando sólo nos interesan ciertos puntos de la función original y ésta
no es sencilla de evaluar; también cuando no conocemos una función original y sólo contamos con una mues-
tra de los puntos reales.
Este capítulo es introductorio y está muy orientado hacia la comprensión y el dominio de la mecanización,
ya que el concepto se empleará más adelante.
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS
Colocación polinomial 2
Manejo de funciones continuas
Polinomios osculadores 10
El polinomio de Taylor 11
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Aproximación polinomial por funciones racionales 23
Aproximación polinomial de funciones trigonométricas 24
Manejo de funciones discretas
Diferencias divididas 3
Polinomios factoriales 4
POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 35
Sumas 5
Sumas y seríes 17
El polinomio de Newton 6
Aproximación polinomial mediante interpolación
Operadores y polinomios de colocación 7
Puntos no equiespaciados 8
Interpolación por segmentos (spllnes) 9
Interpolación 12
Operación de polinomios
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Integración gaussiana 15
Integrales simples con puntos de singularidad 16
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Aproximación polinomial por funciones racionales 23
Aproximación polinomial por funciones trigonométricas 24
Manejo de ecuaciones
Ecuaciones en diferencias 18
Ecuaciones diferenciales 19
Sistemas de ecuaciones diferenciales 20
Álgebra no lineal y optimización
Raíces de ecuaciones 25
Ceros de polinomios 25
36 MÉTODOS NUMÉRICOS
APROXIMACIÓN POR POLINOMIOS
La aproximación por polinomios es una de las ideas más antiguas en el análisis numérico y sigue siendo una de
las más utilizadas. Un polinomio p(x) se usa como un sustituto para la función y(x), por un sinnúmero de razones.
Quizá la más importante de todas sea que los polinomios son fáciles de calcular al incluir solamente potencias
simples de enteros. Sus derivadas e integrales se encuentran también sin mucho esfuerzo y son también polino
mios. Las raíces de ecuaciones de polinomios se descubren con menores dificultades que en el caso de otras fun
ciones. No es difícil entender el porqué de la popularidad de los polinomios como sustitutos.
La diferencia y(x) - p(x) es el error de la aproximación, y la idea central es, desde luego, mantener este error razo
nablemente pequeño. La simplicidad de los polinomios permite que esta meta se alcance de diversas maneras, de
las cuales consideraremos
El polinomio de colocación es el objetivo de éste y los siguientes capítulos. Coincide (se coloca) con y(x) y en cier
tos puntos especificados. Varias propiedades de tales polinomios, y de los polinomios en general, desempeñan un
papel en el desarrollo.
1. El teorema de existencia y unicidad establece que existe exactamente un polinomio de colocación de
grado n para argumentos . . . , es decir, tal que y(x) - p(x) para estos argumentos. La existencia se
probará exhibiendo realmente un polinomio de tales características en los capítulos siguientes. La unici
dad se prueba en el presente capítulo y es una consecuencia de ciertas propiedades elementales de los
polinomios.
2. El algoritmo de la división. Todo polinomio p(x) puede expresarse como
donde r es cualquier número, g(x) es un polinomio de grado n - 1, y R es una constante. Esto tiene dos
corolarios inmediatos.
3. El teorema del residuo establece que p(r) - R
4. El teorema del factor establece que si p(r) - 0, entonces x - r es un factor de p(x).
5. La limitación en ceros. Un polinomio de grado n puede tener a lo más n ceros, lo que equivale a que la
ecuación p(x) - 0 puede tener a lo más n raíces. El teorema de unicidad es una consecuencia inmediata,
como se demostrará.
6. La división sintética es un procedimiento (o algoritmo) económico para producir q(x) y R del algoritmo de
la división. A menudo se emplea para obtener R, que por el teorema del residuo es igual a Este cami
no hacia p(r) puede ser preferible en vez de la computación directa de este valor del polinomio.
1. colocación 2. osculación 3. mínimos cuadrados 4. minimax
CRITERIO DE APROXIMACIÓN
EL POLINOMIO DE COLOCACIÓN
POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 37
7. El producto desempeña un papel central en la teoría de la colocación.
Note que se hace cero en los argumentos que corresponden a nuestros argumentos de co
locación. Se mostrará que el error del polinomio de colocación es
donde depende de x y se encuentra entre los puntos extremos de colocación, siempre y cuando la pro
pia x lo esté. Note que esta fórmula se reduce a cero en de manera que p(x) corresponde a
y(x) en esos argumentos. En otra parte consideraremos p(x) como una aproximación a y(x).
2.1 Demuestre que cualquier polinomio p(x) puede expresarse como
donde r es cualquier número, q(x) es un polinomio de grado n -1 y R es una constante.
Éste es un ejemplo del algoritmo déla división. Sea p(x) de grado n.
Problemas resueltos
Entonces
será de grado n - 1 o menor. De manera similar.
será de grado n - 2 o menor. Continuando de esta forma, llegaremos finalmente al polinomio de grado
cero, una constante. Renombrando como R esta constante, tenemos
2.2 Demuestre que Éste se llama el teorema del residuo.
Sea en el problema 2.1. Inmediatamente,
2.3 efectuando la división descrita en el problema 2.1, usando r - 2 y
y(x)-p(x) =
38 MÉTODOS NUMÉRICOS
La división sintética es meramente una versión abreviada de las mismas operaciones descritas en el
problema 2.1. Sólo aparecen los coeficientes diferentes. Para los p(x) y r anteriores, el arreglo inicial es
"Multiplicamos" tres veces por r y "sumamos" para completar el arreglo.
1 - 3 5 7
2 - 2 6
1 - 1 3 13
Por tanto, Esto puede verificarse calculando (x - r)q(x) + R, que será p(x).
Resulta también útil determinar q(x) por el método de la "división larga", empezando a partir de este arreglo
familiar:
Comparando el cálculoresultante con el algoritmo "sintético" que acaba de realizarse, puede observarse fá
cilmente la equivalencia de los dos.
2.4 Demuestre que si p(r) - 0, entonces x - r es un factor de p(x). Éste es el teorema del factor. El otro factor
tiene grado n - 1 .
Por lo que tenemos que,
2.5 Pruebe que un polinomio de grado n puede tener a lo más n ceros, lo que equivale a que p(x) - 0 pueda
tener a lo más n raíces.
Suponga que existen n raíces. Llámense Entonces por n aplicaciones del teorema del
factor,
donde A tiene grado 0, una constante. Esto hace claro que no puede haber otras raíces. (Note también que
2.6 Demuestre que al menos un polinomio de grado n puede tomar los valores especificados yk en los ar
gumentos dados donde
Suponga que hay dos de tales polinomios, Entonces la d i f e r e n c i a s e
ría de grado n o menor, y tendría ceros en todos los argumentos Puesto que hay n + 1 de tales
argumentos, esto contradice el resultado del problema anterior. De modo que, a lo más un polinomio puede
tomar los valores especificados. En los siguientes capítulos se presenta este polinomio en varias formas úti
les. Éste se llama el polinomio de colocación.
coeficientes dep(x) 1 - 3 5 7
el número R
coeficientes
dcq(x)
1
POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 39
2.7 Suponga que un polinomio p(x) de grado n toma los mismos valores que una función y(x) para
[Esto se denomina colocación de dos funciones y p(x) es el polinomio de colocación.] Obtenga una fórmula
para la diferencia entre p(x) y y(x).
Como la diferencia es cero en los puntos de colocación, anticipamos un resultado de la forma
que puede tomarse como la definición de C. Consideremos ahora la siguiente función F(x):
Esta F(x) es cero para y si elegimos un nuevo argumento
entonces será también cero. Ahora F(x) tiene por lo menos n + 2 ceros. Por el teorema de
tiene entonces garantizados n + 1 ceros entre aquellos de F(x), en tanto que están garantizados n ceros pa
ra entre aquellos de Al continuar aplicando el teorema de Rolle en esta forma se mostrará al fi
nal que tiene al menos un cero en el intervalo de digamos e n D e s p u é s de esto calcúle
se esta derivada, recordando que la derivada (n + 1) de p(x) será cero, y haciendo x igual a
Esto determina C, que ahora puede sustituirse en uno de los pasos anteriores:
Puesto que puede ser cualquier argumento entre excepto e n y puesto que nuestro re
sultado es también evidentemente cierto en sust i tu imos.por la más simple x:
Este resultado es con frecuencia bastante útil a pesar del hecho de que el número a menudo no puede
determinarse, debido a que podemos estimar independientemente de
2.8 Encontrar un polinomio de primer grado que toma los valores y(0) - 1 y y(1) - 0, o en forma tabular
0 1
1 0
El resultado p(x) - 1 - x es inmediato ya sea por inspección o por geometría elemental. Éste es el po-
linomio de colocación para los escasos datos proporcionados.
40 MÉTODOS NUMÉRICOS
2.9 La función y(x) - eos \nx toma también los valores especificados en el problema 2.8. Determinar la diferen
cia y(x) -p(x).
Por el problema 2.7, con n - 1,
Incluso sin determinar podemos estimar esta diferencia mediante
Considerando p(x) como una aproximación lineal de y(x), esta estimación de error es simple, aunque el
error es amplio. En sugiere un error de aproximadamente .3, en tanto que el error real es aproxi
madamente
2.10 Cuando el grado n se incrementa indefinidamente, ¿la secuencia resultante del polinomio de colocación
converge a y(x)?
La respuesta es algo complicada. Para una elección cuidadosa de los argumentos de colocación y
funciones razonables y(x), está asegurada la convergencia, como se verá después. Pero para el caso más
común de argumentos igualmente espaciados xk, puede ocurrir divergencia. Para alguna y(x) la sucesión de
polinomios es convergente para todos los argumentos x. Para otras funciones, la convergencia se limita a
un intervalo finito, con el error y(x) - p(x) oscilando en la forma que se muestra en la figura 2-1. Dentro del
intervalo de convergencia la oscilación se interrumpe y el lím (y - p ) = 0, pero fuera del intervalo y(x) -p(x)
crece arbitrariamente a medida que aumenta n. El factor produce la oscilación, siendo afectado el ta
maño de la misma por las derivadas de y(x). Este comportamiento del error es una seria limitación para el
uso de polinomios de colocación en alto grado.
y(x) - p(x)
Fig.2-1
intervalo de
convergencia
POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 41
Problemas suplementarios
2.11 Aplique la división sintética para dividir entre x - 1. Note que
es un factor de es un cero de f(x).
2.12 Aplique la división sintética a p(x) - 2x* - 24X3 + 100x2 - 168x + 93 para calcular p(1). (Divida entre x - 1 y
tomé el residuo R.) Calcule también p(2), p(3), p(4), p(5).
2.13 Para encontrar un polinomio de segundo grado que toma los siguientes valores:
0 1 2
0 1 0
podríamos escribir p(x) - A + Bx + y sustituir para encontrar las condiciones
0 = A 1=A + B + C G = A+2B + 4C
Resuelva con respecto de A, B y C y determine asi el polinomio de colocación. Teóricamente se aplica el
mismo procedimiento para polinomio de mayor grado, pero pueden desarrollarse algoritmos más eficientes.
2.14 La función también toma los valores especificados en el problema 2.13. Aplique el problema
2.7 para mostrar que
donde t, depende de x.
2.15 Continúe el problema 2.14 para mostrar que
Esto estima la precisión del polinomio de colocación p(x) como una aproximación a y(x). Calcule esta esti
mación en x -1 y compare con el error real.
2.16 Compare en
2.17 Compare en
2.18 Compare las integrales de y(x)y p(x) sobre el intervalo (0,2).
2.19 Encuentre el polinomio cúbico único p(x) que toma los siguientes valores.
42 MÉTODOS NUMÉRICOS
xk
yk
0 1 2 3
0 1 16 81
2.20 La función toma también los valores dados en el problema anterior. Escriba una fórmula para la
diferencia y(x) - p(x), utilizando el problema 2.7.
2.21 ¿Cuál es el máximo de |y(x) -p(x)| en el intervalo (0, 3)?
Diferencias
divididas finitas
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar por qué es útil emplear diferencias finitas, para aproximar una función a un polinomio
(Introducción, Capítulos 6,12).
2. Explicar las desventajas e inconvenientes de aproximar una función mediante un polinomio obtenido
por diferencias finitas (Introducción, Capítulos 6,12).
3. Explicar con sus propias palabras lo que son las diferencias de una función constante (Introducción,
Problema 3.6).
4. Explicar con sus propias palabras lo que son las diferencias de una constante multiplicada por otra
función (Introducción, Problema 3.7).
5. Explicar con sus propias palabras lo que es la diferencia de la suma de dos funciones (Introducción,
Problemas 3.8, 3.9).
6. Explicar con sus propias palabras la propiedad de linealidad (introducción, Problemas 3.8, 3.9,3.18,
3.27).
7. Explicar con sus propias palabras lo que son las diferencias de un producto (Introducción, Problema
3.6).
8. Explicar con sus propias palabras lo que son las diferencias de un cociente (Introducción, Problema
3.15).
9. Explicar con sus propias palabras lo que son las diferencias de una función de potencia (Introducción,
Problemas 3.3 a 3.5, 3.14,3.19 a 3.21,3.26,3.28, 3.29).
10. Explicar con sus propias palabras lo que son las diferencias de las funciones seno y coseno
(Introducción, Problemas 3.30,3.31).
11. Explicar con sus propias palabras lo que son las diferencias de la función logaritmo (Introducción,
Problema 3.32).
12. Construir tablas de diferencias a partir de datos tabulados, además de sugerir datos faltantes, de
acuerdo con el comportamiento de los existentes (Problemas 3.1, 3.2, 3.10,3.11, 3.13,3.22 a 3.25,
Capítulos 6, 7).
13. Identificar y sugerir corrección de datos fuera de rango o con error, mediante la construcción de
tablas de diferencias a partir de datos tabulados (iniciar intuitivamente elproceso de suavización)
(Problemas 3.1,3.2,3.10 a 3.12. 3.16, 3.17, Capítulos 6,7,21, 22).
44 MÉTODOS NUMÉRICOS
APLICACIONES DE LAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS
Este capítulo está orientado hacia el dominio de la mecanización, ya que el concepto se empleará más adelante,
como se puede observar en el capítulo 6, que está basado en estos conocimientos.
La interpolación es un método que nos permite encontrar puntos desconocidos dentro de un intervalo
de puntos conocidos; existen muchos métodos de interpolación y varios de ellos se basan en la obtención de di-
ferencias divididas; ésta es la razón por la cual se tratan en primer lugar como un tema aparte, el que posterior-
mente se integrará a los métodos de interpolación.
El uso de diferencias divididas tiene tanto ventajas como desventajas; entre las ventajas podemos men-
cionar que:
1) Es muy sencillo introducir nuevos puntos dentro del intervalo,
2) En caso de necesidad podremos quitar otros puntos,
3) Con sólo observar la tabla podemos deducir el grado máximo del polinomio de interpolación y elegir el
que nos convenga,
4) Al ir obteniendo las diferencias, nos podemos percatar de errores en los datos.
5) En caso de falta da datos, observando cuidadosamente el comportamiento de la tabulación inicial y de las
diferencias, podremos deducir los faltantes o bien detectar los erróneos.
Dentro de las desventajas, se encuentra:
1) Se requiere que las abscisas (x0, x,, x 2 . . . , xn) sean equidistantes para obtener el polinomio de interpo-
lación, lo cual se puede eliminar empleando otra técnica.
En los siguientes temas veremos que el polinomio único de interpolación se puede representar en otras for-
mas explícitas, expresándolo en términos de diferencias divididas (llamadas diferencias divididas finitas.) Se pue-
de encontrar un número de diferentes formas explícitas de polinomios, dependiendo de que usemos diferencias
progresivas, regresivas o centrales.
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS
Manejo de funciones discretas
Diferencias divididas 3
Polinomios factoriales 4
Sumas (sumatorias) 5
Sumas y series 17
La fórmula de Newton 6
Aproximación polinomial mediante interpolación
Operadores y polinomios de colocación 7
Puntos no equidistantes 8
Interpolación por segmentos (splines) 9
Interpolación 12
DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS 45
DIFERENCIAS FINITAS
Las diferencias finitas han ejercido una fuerte atracción para los matemáticos durante siglos. Isaac Newton fue uno
de los que más recurrió a ellas, y gran parte del tema se originó con él. Dada una función discreta, esto es, un
conjunto finito de puntos teniendo cada uno su correspondiente pareja y suponiendo que los puntos están
igualmente espaciados, esto es las diferencias de los valores se denotan
y se llaman primeras diferencias. Las diferencias de éstas se denotan
y se llaman segundas diferencias. En general,
define a las n-ésimas diferencias.
La tabla de diferencias es el formato estándar para desplegar las diferencias finitas. Su forma diagonal hace
que cada entrada, con excepción de corresponda a la diferencia de sus dos vecinos más cercanos a la iz
quierda.
Cada diferencia demuestra ser una combinación de los valores y en la segunda columna. Un sencillo ejemplo es
El resultado general es
donde es un coeficiente binomial.
FÓRMULAS DE DIFERENCIA
Las fórmulas de diferencia para las funciones elementales son un poco paralelas a aquellas del cálculo. Entre los
ejemplos se incluyen:
1. Las diferencias de una función constante son cero. En símbolos,
46 MÉTODOS NUMÉRICOS
donde C denota una constante (independiente de k).
2. Para una constante por otra función, tenemos
3. La diferencia de una suma de dos funciones es la suma de sus diferencias:
4. La propiedad de linealidad generaliza los dos resultados anteriores como
donde C1 y C2 son constantes.
. 5. Las diferencias de un producto están dadas por la fórmula
en la cual debe observarse el argumento k + 1.
6. Las diferencias de un cociente son
\vk/ vk+1vk
y también aquí debe notarse el argumento k + 1.
7. Las diferencias de la función potencia están dadas por
El caso especial C = 2 lleva a
8. Las diferencias de las funciones seno y coseno son también evocaciones de los resultados correspon
dientes del cálculo, pero los detalles no son tan atractivos.
9. Las diferencias de la función logaritmo son un desengaño similar. Con tenemos
DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS 47
Cuando es muy pequeño corresponde aproximadamente a pero en otro caso el recí
proco de x, que tiene un lugar fundamental en el cálculo de logaritmos, es demasiado remoto.
10. La función de error unitario, para la cual en un único argumento y 0 en otro caso, tiene una tabla
de diferencia compuesta de los coeficientes binomiales sucesivos con signos alternantes. La detección de
errores aislados en la tabla de valores puede basarse en esta propiedad de la función error unitario.
11. La función de error oscilante, para la cual alternativamente, tiene una tabla de diferencias com
puesta por potencias sucesivas de 2 con signos alternantes.
12. Otras funciones de especial interés se estudiarán en capítulos posteriores, y las relaciones entre el cálcu
lo de diferencias y el diferencial será de continuo interés.
Problemas resueltos
3.1 Calcule hasta la tercera diferencia de la función discreta cuyos valores se muestran en las columnas
de la tabla 3.1. (La variable entera k aparece también por conveniencia.)
Las diferencias requeridas aparecen en las tres columnas restantes. La tabla 3.1 recibe el nombre de
tabla de diferencias. Su estructura diagonal se ha convertido en un formato estándar para desplegar dife
rencias. Cada entrada en las columnas de diferencias es la diferencia de sus dos vecinos más cercanos a
la izquierda.
Tabla 3.1
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
8
27
64
125
216
343
512
7
19
37
61
91
127
169
12
18
24
30
36
42
6
6
6
6
6
Cualquier tabla como ésta muestra diferencias como las que se muestran en la tabla 3.2.
MÉTODOS NUMÉRICOS
3.2 ¿Qué sucede con las diferencias cuarta y de orden mayor de la función del problema 3.1 ?
Cualesquiera de tales diferencias es cero. Esto es un caso especial que se obtendrá más adelante.
3.3 Demuestre que
Ya sea a partir de la tabla 3.2 o de las definiciones proporcionadas al principio,
3.4 Demuestre que
Por definición Empleando el resultado del problema 3.3 y la casi idéntica diferencia
obtenida al avanzar todos los índices más bajos, el resultado requerido se obtiene de inmediato.
3.5 Pruebe que para cualquier entero positivo k,
donde se ha utilizado el familiar símbolo de los coeficientes binomiales,
La demostración se hará por inducción. Para k - 1, 2, 3 y 4 ya se ha demostrado la proposición, por
etc.
Por ejemplo
Tabla 3.2
48
DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS 49
definición cuando k es 1. Supóngase cierta cuando k es algún entero particular p:
¡-o
Avanzando todos los índices más bajos tenemos también
y mediante un cambio en el índice de la suma, básicamente; - / +1
Conviene además realizar un cambio nominal del índice de la suma en nuestra otra suma:
Entonces
Ahora usando
(véase el problema 4.5) y haciendo un cambio final del índice de la suma,
3.7 Pruebe que
Esto es análogo a un resultado del cálculo
Esencialmente este problema comprende dos funciones definidas para los mismos argumentos
Una función tiene los valores y la otra los valores Hemos probado
3.8 Considere dos funciones definidas para el mismo conjunto de puntos Denomine los valores de estas fun
ciones mediante Considere también una tercera función con valores
De este modo nuestro resultado se establece cuando k es el entero p + 1. Esto completa la inducción.
3.6 Pruebe que para una función constante todas las diferencias son cero.
Sea para todo k. Ésta es una función constante. Entonces, para todo k.
50MÉTODOS NUMÉRICOS
donde son dos constantes (independientes de xk). Demuestre que
Ésta es la propiedad de linealidad de la operación de la diferencia.
La prueba es directa a partir de las definiciones.
Es claro que la misma prueba se aplicaría en sumas de cualquier longitud finita.
3.9 Con los mismos símbolos que en el problema 3.8, considere la función con los valores y pruebe
que
Empezando de nuevo a partir de las definiciones,
El resultado también podría demostrarse.
3.10 Calcule las diferencias de la función presentada en las primeras dos columnas de la tabla 3.3. Esto puede
considerarse como un tipo de "función de error", si uno supone que todos sus valores son cero, pero un
solo 1 es un error unitario.¿De qué manera este error unitario afecta las diversas diferencias?
Algunas de las diferencias que se requieren aparecen en las columnas de la tabla 3.3.
Tabla 3.3
DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS 51
Este error afecta una parte triangular de la tabla de diferencias, incrementándose para diferencias
más altas y teniendo un patrón de coeficiente binomiai.
3.11 Calcule las diferencias para la función presentada en las primeras dos columnas de la tabla 3.4. Ésta puede
verse como un tipo de función de error, siendo cada valor un error de redondeo de valor igual a una unidad.
Mostrar que el patrón alternante ± conduce a un serio crecimiento del error en las diferencias más altas. Por
fortuna, los errores de redondeo raramente se alternarán de esta manera.
Algunas de las diferencias que se necesitan aparecen en las otras columnas de la tabla 3.4. El error
se duplica en cada diferencia de orden mayor.
Tabla 3.4
X0 1
x1 - 1
x2 1
x3 — 1
x4 1
x5 - 1
1
- 2
2
- 2
2
- 2
2
4
- 4
4
- 4
4
- 8
8
- 8
8
16
-16
16
-32
64
32
3.12 Un número en esta lista es un error de imprenta. ¿Cuál es?
1 2 4 8 16 26
Calculando las primeras cuatro diferencias, y presentándolas en forma horizontal para utilizar otro for-
mato, tenemos
1 2 4 8 10 16 22 29
1 2 4 2 6 6 7
1 2 - 2 4 0 1
1 - 4 6 - 4 1
y es inevitable la impresión de que estos coeficientes binominales surgen de un error de los datos de tamaño
1 en la entrada central 16 de la lista original. Cambiándolo por 15 se produce la nueva lista
1 2 4 8 15 26 42 64 93
52 MÉTODOS NUMÉRICOS
de la cual encontramos las diferencias
1 2 4 7 11 16 22 29
1 2 3 4 5 6 7
que sugieren un trabajo bien hecho. Éste es un ejemplo muy sencillo de ajuste de datos, que trataremos en
forma más detallada en un capítulo posterior. Existe siempre la posibilidad de que los datos tales como los
de nuestra lista original provengan de un procedimiento irregular, no de una de ajuste, por lo que la irregula-
ridad (16 en vez de 15) es real y no un error de imprenta. El análisis anterior puede considerarse como una
detección de irregularidades, más que una corrección de errores.
Problemas suplementarios
3.13 Calcule hasta cuartas diferencias para los siguientes valores .(Puede suponerse en este caso que
3.14 Verifique el problema 3.5 para k - 5 mostrando directamente de la definición que
3.15 Imitando el problema 3.9, pruebe que
3.16 Calcule hasta las quintas diferencias para observar el efecto de "errores" adyacentes de tamaño 1.
3.17 Encuentre y corrija un error simple en estos valores
k
yk
0
0
1
0
2
1
3
6
4
24
5
60
6
120
7
210
3.18 Use la propiedad de linealidad para mostrar que si entonces
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6
0 1 16 81 256 625 1296
3.19 Demuestre que si entonces
3.20 Demuestre que si entonces
3.21 Demuestre que si entonces
3.22 Calcule los valores que faltan a partir de las diferencias primeras que se proporcionan
3.23 Calcule ios valores que faltan a partir de los datos que se brindan.
3.24 Calcule los valores que faltan de a partir de los datos que se proporcionan.
0 0 0 6 24 60
0 0 6 18 36
0 6 12 18
6 6 6 6 6 6
3.25 Encuentre y corrija el error de imprenta en estos dates.
1 3 11 31 69 113 223 351 521 739 1011
3.26 escriba un desarrollo similar para
Calcule la suma de estas segundas diferencias. Debe ser igual a
3.27 Encuentre una función para la cual
3.28 Encuentre una función para la cual ¿Puede usted encontrar dos funciones de tales característi
cas?
3.29 Continuando el problema anterior, encuentre una función tal que y que tenga
3.30 Demuestre que
3.31 Demuestre que
3.32 Demuestre que
DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS 53
Polinomios factoriales
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar con sus propias palabras el significado y la utilidad del polinomio factorial (Introducción).
2. Explicar con sus propias palabras la relación de los polinomios factoriales con los coeficientes
binomiales (Introducción).
3. Definir intuitivamente el concepto de interpolación (Introducción).
4. Definir intuitivamente el concepto de extrapolación (Introducción).
5. Conocer la mecánica para calcular factoriales (Problemas 4.23, 4.24).
6. Conocer la mecánica para calcular coeficientes binomiales (Problema 4.25).
7. Aplicar las fórmulas de recursividad simple y múltiple (Problemas 4.1 a 4.5, 4.27, 4.28).
8. Aplicar la fórmula de coeficientes binomiales para valores enteros (Problemas 4.5 a 4.8).
9. Aplicar la fórmula de coeficientes binomiales para valores fraccionarios (Problemas 4.8 a 4.11).
10. Encontrar y aplicar los números de Stirling de primera clase (Problemas 4.12 a 4.17).
11. Encontrar y aplicar los números de Stirling de segunda clase (Problemas 4.18 a 4.21).
12. Construir tablas de diferencias a partir de datos tabulados, predecir datos faltantes, de acuerdo con
el grado del polinomio deseado, además de sugerir el grado del polinomio (Problemas 4.26, 4.35 a
4.38, Capítulos 3, 6, 7).
13. Expresar polinomios a partir de tabulaciones dadas (Problemas 4.29 a 4.34).
14. Encontrar una función, dada una fórmula de diferencia (Problemas 4.39 a 4.43).
APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS FACTORIALES
Los polinomios factoriales son de mucha utilidad para la aplicación de las diferencias divididas finitas vistas
en el capítulo 3 y desde luego para interpolar, temas que se van a estudiar con mayor profundidad en capítulos
posteriores.
El buen manejo de los coeficientes binomiales, que a su vez están fuertemente relacionados con los poli-
nomios factoriales, nos ayuda en la solución de problemas de probabilidad y estadística, para obtener permu-
taciones y combinaciones, así como éstas sirven de base para algunas funciones de probabilidad, tales como:
la distribución binomial, la distribución hipergeométrica, la distribución binomial negativa y la distribución
de Poisson. Dentro de los problemas complementarios, se incluye una aplicación de cada una de las distribu-
POLINOMIOS FACTORIALES 55
ciones de probabilidad. Este capítulo está muy orientado hacia la comprensión y el dominio de la mecaniza-
ción, ya que el concepto se empleará más adelante, a partir de los capítulos 5 y 6; en el capítulo 30 veremos apli-
caciones orientadas hacia la Ingeniería Industrial, donde se tratan ejemplos de simulación y de muestreo, que
emplean distribuciones de probabilidad a partir de la generación de números aleatorios.
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS
Manejo de funciones continuas
Polinomios osculadores 10
El polinomio de Taylor 11
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Manejo de funciones discretas
Diferencias finitas 3
Polinomios factoriales 4
Sumas (sumatorias) 5
Sumas y series 17
El polinomio de Newton 6
Aproximación polinomial mediante interpolación
Operadores y polinomios de colocación .7
Puntos no equiespaciados 8
Interpolación por segmentos (splines) 9
Interpolación 12
Métodos de Monte Cario (números aleatorios) 30
56 MÉTODOS NUMÉRICOS
POLINOMIOS FACTORIALES
Los polinomios factorialesestán definidos por
donde n es un entero positivo. Por ejemplo. Estos polinomios desempeñan un papel central
en la teoría de las diferencias finitas debido a sus útiles propiedades. Las diversas diferencias de un polinomio fac
torial son también polinomios factoriales. De modo más específico, para la primera diferencia,
que recuerda cómo responden las potencias de x a la diferenciación. Las diferencias de mayor orden se convier-
ten entonces en polinomios factoriales de grado decreciente, hasta que finalmente
con todas las diferencias de mayor orden iguales a cero.
Los coeficientes binomiales se relacionan con los polinomios factoriales mediante
y en consecuencia comparten algunas de las propiedades de estos polinomios, siendo de las más importantes la
más famosa recursión
que tiene la forma de un fórmula de diferencia finita.
La recursión simple
se obtiene de la definición de polinomios factoriales. Reescribiéndola como
y puede usarse para extender la idea factorial sucesivamente a los enteros n - 0, - 1 , - 2 , . . . La forma básica
es, por tanto, verdadera para todos los enteros n.
NÚMEROS DE STIRLING
Los números de Stíriing del primer tipo aparecen cuando los polinomios factoriales se expresan en la forma po-
linomial estándar. Así
POLINOMIOS FACTORIALES 57
ASÍ
siendo los números de Stirling. Como por ejemplo
lo que hace . La fórmula de recursión
permite la rápida tabulación de los números de Stirling.
Los números de Stirling de segundo tipo aparecen cuando las potencias de k se representan como com-
binaciones de polinomios factoríaies. De tal modo
siendo las los números de Stirling. Como ejemplo,
por lo que . La fórmula de recursión
permite la tabulación rápida de estos números. Un teorema básico establece que cada potencia de k puede tener
sólo una de tales representaciones como una combinación de polinomios factoríaies. Esto asegura la determina-
ción única de los números de Stirling de segundo tipo.
REPRESENTACIÓN DE POLINOMIOS ARBITRARIOS
La representación de polinomios arbitrarios o cualesquiera como combinaciones de polinomios factoriales es
el siguiente paso natural. Cada potencia de k se representa de ese modo y entonces se combinan los resultados.
La representación es única debido al teorema básico que acaba de mencionarse. Por ejemplo,
Las diferencias de un polinomio arbitrario se determinan adecuadamente expresando ese polinomio como
combinaciones de polinomios factoriales y obteniendo las diferencias de cada uno de los factores en que se ha
descompuesto ese polinomio, mediante la aplicación de nuestra fórmula.
El teorema principal del capítulo está ahora a la mano, y establece que la diferencia de un polinomio de gra
do n es otro polinomio de grado n - 1 . Esto hace que la diferencia n-ósima de tal polinomio sea una constante, y
cero las diferencias de orden mayor.
58 MÉTODOS NUMÉRICOS
Problemas resueltos
4.1 Considere la función especial para la cual
Este mismo resultado se da en forma tabular, para los primeros valores enteros de k, en la tabla 4.1.
4.2 Generalizando el problema 4.1, considere la función especial
(Nótese que el índice superior no es una potencia.) Pruebe que, para
un resultado que se asemeja en gran medida al teorema de la derivada de la potencia n-ésima de una fun
ción.
Tabla 4.1
0
1
2
3
4
5
0
0
0
6
24
60
0
0
6
18
36
4.3 Demuestre que si Entonces
El problema 4.2 puede aplicarse a en lugar de
Las extensiones a diferencias de mayor orden proceden justo como en el caso de derivadas.
POLINOMIOS FACTORIALES 59
4.4 Pruebe que y
Después de n aplicaciones del problema 4.2 se obtiene el primer resultado. (El símbolo puede in
terpretarse como 1.) Como n! es una constante (independiente de k) todas sus diferencias son 0.
4.5 Los coeficientes binomiales son los enteros
Pruebe la fórmula recursiva
Usando polinomios factoriales y aplicando el problema 4.2,
la cual se transforma de inmediato en la expresión que se quería demostrar. Este famoso resultado ya se
había utilizado.
4.6 Utilice la recursión para los coeficientes binomiales para tabular estos números hasta
La primera columna de la tabla 4.2 produce que se define igual a 1. La diagonal, donde es 1 por
definición. Las otras entradas resultan de la recursión. La tabla se extiende fácilmente.
4.7 Muestre que si k es un entero positivo, entonces y son para [Para el símbolo se
define como
Tabla 4.2
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
2
1
3
6
10
15
21
28
3
1
4
10
20
35
56
4
1
5
15
35
70
5
1
6
21
56
6
1
7
28
7 8
1
8 1
60 MÉTODOS NUMÉRICOS
4.8 El símbolo del coeficiente binomial y el símbolo factorial se utilizan con frecuencia para k no entero. Calcule
4.9 La idea de factorial se ha extendido a índices superiores que no son enteros positivos. Se sigue de la
definición que cuando n es un entero positivo, Reescribiendo esto como
y usándolo como una definición de para demuestre que
Con el primer resultado es inmediato. Para el segundo encontramos sucesivamente
y así en adelante. Se indica una demostración inductiva pero se omitirán los detalles. Para en ocasio
nes conviene definir y aceptar las consecuencias.
4.10 Pruebe que para todos los enteros n.
Para n > 1, esto se ha probado en el problema 4.2. Para n - 1 y 0, es inmediato. Para n negativo, di
gamos
Este resultado es análogo al hecho establecido en el teorema del cálculo entonces
es también cierto para todos los enteros.
4.11 Encuentre
Por los problemas anteriores,
POLINOMIOS FACTORIALES 61
4.12 Muestre que
Directamente de las definiciones:
4.13 Generalizando el problema 4.12 demuestre que en el desarrollo de un polinomio factorial a un polinomio
estándar
el coeficiente satisface la fórmula de recursión
Estos coeficientes se llaman números de Stirling del primer tipo.
Sustituyendo n por n + 1,
y usando el hecho de que encontramos
Compare ahora los coeficientes de W en ambos lados. Ellos son
para i = 2, . . . , n. Deben notarse los casos especiales comparando los
coeficientes de
4.14 Utilice las fórmulas del problema 4.13 para generar una breve tabla de números de Stirling del primer tipo.
La fórmula especial conduce de inmediato a la columna uno de la tabla 4.3. Por ejem
plo, puesto que es claramente igual a 1,
y así sucesivamente. La otra fórmula especial llena la diagonal superior de la tabla con 1s. Nuestra recur-
sión principal completa entonces la tabla. Por ejemplo,
62 MÉTODOS NUMÉRICOS
y asi sucesivamente. Hasta n - 8 la tabla es como se muestra en seguida:
Tabla 4.3
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
- 1
2
- 6
24
- 1 2 0
720
- 5 , 0 4 0
2
1
- 3
11
-50
274
- 1 , 7 6 4
13,068
3
1
- 6
35
- 2 2 5
1,624
- 1 3 , 1 3 2
4
1
-10
85
- 7 3 5
6,769
5
1
-15
175
- 1 , 9 6 0
6 7 8
1
-21 1
322 -28 1
4.15 Utilice la tabla 4.3 para desarrollar
Empleando el quinto renglón de la tabla,
4.16 Muestre que
Utilizando la tabla 4.3,
4.17 Como un preliminar necesario para el problema que sigue, pruebe que una potencia de k puede tener sólo
una representación como una combinación de polinomios factoriales.
Suponga que existen las dos representaciones para
La sustracción conduce a
Como el lado derecho es un polinomio y la variable k no puede ser cero, entonces los coeficientes de cada
término deben ser cero. Pero aparece sólo en el último término; por lo tanto su coeficiente debe ser cero
lo cual lleva a que: debe ser igual a Y entonces para el coeficiente de se tiene que
Este razonamiento se sigue hasta llegar a
Esta prueba es típica de las pruebas de representación únicas que se necesitan con frecuencia en el
análisis numérico. El teorema análogo, según el cual dos polinomios no pueden tener valores idénticos sin
POLINOMIOS FACTORIALES 63
tener también coeficientes idénticos, es un resultado clásicodel álgebra y ya se ha utilizado en el problema
4.13.
4.18 Generalizando el problema 4.16, mostrar que las potencias de k pueden representarse como com
binaciones de polinomios factoriales
y que los coeficientes satisfacen la recursión Estos coeficientes se llaman números de
Stirling del segundo tipo.
Procederemos por inducción, habiendo ya establecido en el problema 4.16 la existencia de tales re
presentaciones para valores de k pequeños. Supongamos
y después multiplicando por k obtenemos
Ahora note que por lo que
Ésta es ya una representación de terminándose la inducción, de manera que podemos escribir
Por el problema 4.17, los coeficientes de en las dos últimas líneas deben ser los mismos, por lo que
para Los casos especiales deben notarse, comparando los coefi
cientes de
4.19 Use las fórmulas del problema 4.18 para generar una breve tabla de los números de Stirling del segundo
tipo.
La fórmula especial conduce de inmediato a una columna de la tabla 4.4, ya que es cla
ramente 1. La otra fórmula especial produce la diagonal superior. Nuestra recursión principal completa en
tonces la tabla. Por ejemplo.
y así sucesivamente. Hasta n - 8, la tabla se lee como sigue:
64 MÉTODOS NUMÉRICOS
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2
1
3
7
15
31
63
127
Tabla
3
1
6
25
90
301
966
4.4
4
1
10
65
350
1701
5
1
15
140
1050
6
1
21
266
7 8
1
28 1
4.20 Utilice la tabla 4.4 para desarrollar en polinomios factoriales.
Usando el quinto renglón de la tabla,
4.21 Pruebe que las n-ésimas diferencias de un polinomio de grado n son iguales, siendo cero las diferencias de
mayor orden.
Considere el polinomio P(x) y tome sus valores para un conjunto discreto de puntos igualmente espa
ciados A menudo resulta conveniente tratar con un valor entero sustituto de k, que hemos utili
zado con mucha frecuencia, relacionado con x por donde h es la diferencia uniforme entre pun
tos consecutivos x. Denote el valor de nuestro polinomio para el argumento k con el símbolo Puesto que
el cambio de argumento es lineal, el polinomio tiene el mismo grado en términos tanto de x como de k, y po
demos escribirlo como
El problema 4.18 muestra que cada potencia de k puede representarse como una combinación de polino
mios factoriales, conduciendo a una representación del mismo como tal combinación.
Aplicando el problema 4.2 y la propiedad de linealidad
y reaplicando el problema 4.2 se llega al final a De modo que todas las diferencias n-ésimas
son este número. Ellas no varían con k y, en consecuencia, las diferencias de mayor orden son cero.
4.22 Suponiendo que los siguientes valores de pertenecen a un polinomio de grado 4, calcule los siguientes
tres valores.
k 0
0
1
1
2
2
3
1
4
0
5 6 7
POLINOMIOS FACTORIALES 65
Un polinomio de cuarto grado tiene cuartas diferencias constantes, de acuerdo con el problema 4.21.
Al calcular a partir de los datos proporcionados, obtenemos las entradas a la izquierda de la línea en la ta-
bla 4.5.
Tabla 4.5
Suponiendo que las otras cuatro diferencias también son 4, conduce a los enteros a la derecha de la
línea con los cuales las entradas que faltan pueden predecirse:
Problemas suplementarios
4.23 Calcule los factoriales:
4.24 Calcule los factoriales:
4.25 Calcule los coeficientes binomiales:
4.26 Calcule las diferencias hasta de cuarto orden para estos valores de.
k 0
0
1
0
2
0
3
0
4
24
5
120
6
360
7
840
4.27 Aplique el problema 4.2 para expresar las primeras cuatro diferencias de en términos de polinomios
factoriales.
4.28 Aplique el problema 4.3 para expresar las primeras cinco diferencias de en términos de polinomios
factoriales.
4.29 Use la tabla 4.3 para expresar como un polinomio convencional.
4.30 Utilice la tabla 4.3 para expresar como un polinomio convencional.
4.31 Use la tabla 4.4 para expresar como una combinación de polinomios factonales.
4.32 Utilice la tabla 4.4 para expresar como una combinación de polinomios factoriales.
5 21 51
16 30
10 14
4 4
6
6
4
1 1
0 - 2
- 2
4
- 1
o
2
- 1
66 MÉTODOS NUMÉRICOS
4.33 Use el resultado del problema anterior para obtener en términos de polinomios factoriales. Después
aplique la tabla 4.3 para convertir el resultado en un polinomio convencional.
4.34 Use el resultado del problema 4.32 para obtener en términos de polinomios factoriales. Después
aplique la tabla 4.3 para convertir ambos resultados en polinomios convencionales.
4.35 Suponiendo que los siguientes valores de corresponden a un polinomio de grado 4, prediga los siguien
tes tres valores.
k 0
1
1
- 1
2
1
3
- 1
4
1
5 6 7
4.36 Suponiendo que los siguientes valores de y* corresponden a un polinomio de grado 4, prediga los siguien-
tes tres valores.
k 0
0
1
0
2
1
3
0
4
0
5 6 7
4.37 ¿Cuál es el grado más bajo posible para un polinomio que toma estos valores?
3 posible
k
0
0
para un
0
0
1
3
polinomio
1
1
2
8
3
15
que toma
2
1
3
1
4
24
estos
4
1
5
35
valores?
5
0
4.39 Encuentre una función para la cual
4.40 Encuentre una función para la cual
4.41 Encuentre una función para la cual
4.42 Encuentre una función para la cual
4.43 Encuentre una función para la cual
4.38 ¿Cuál es el grado más bajo posible para un polinomio que toma estos valores?
Sumas (sumatorias)
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar con sus propias palabras el concepto de suma de una colección de números (Introducción).
2. Explicar la notación de suma (sumatoria), indicando sus partes; la sigma el subíndice variable, los
valores extremos del subíndice y los sumandos.
3. Demostrar que las sumas telescópicas son sumas de diferencias (Introducción, Problema 5.1).
4. Demostrar la suma por partes aplicando la analogía de la integración por partes, vista en cursos de
cálculo (Introducción, Problema 5.4).
5. Evaluar series, aplicando integración por partes (Problema 5.7).
6. Evaluar sumas, en términos de números de Stirling (Problemas 5.2, 5.9, 5.19).
7. Aplicar sumas, en problemas sencillos de probabilidad (Problemas 5.6, 5.8, 5.16, 5.17).
8. Evaluar sumas, mediante integración finita (Problemas 5.2, 5.9 a 5.11, 5.13).
9. Evaluar sumas de coeficientes binomiales (Problema 5.12).
10. Evaluar sumas hasta infinito, para ejercitar la mecanización (Problemas 5.3, 5.5, 5.14 a 5.18, 5.20,
5.21).
11. Expresar integrales finitas en forma de sumas (Problemas 5.22, 5.23).
APLICACIONES DE LAS SUMAS (Sumatorias)
Este capítulo está muy orientado hacia la comprensión del concepto suma (sumatoria) y el dominio de la me-
canización, ya que se empleará más adelante.
Una aplicación fundamental de la suma es el concepto dé integración, ya que se puede visualizar como la
suma de áreas muy pequeñas (infinitesimales), para calcular el área completa bajo la función.
Otra aplicación importante se encuentra en los modelos de aproximación polinomial mediante mínimos cua-
drados y minimax, y aquellos modelos que si bien la técnica original no tiene ese nombre, por ejemplo, aproxima-
ción por funciones racionales o por funciones trigonométricas, emplea en algunos casos los conceptos
anteriores; estos temas se van a cubrir en los capítulos 21 al 24.
A partir de un análisis de regresión (mínimos cuadrados), se pueden encontrar coeficientes de varianza y
covarianza, para lo cual se utilizan nuevamente las sumas.
El concepto de suma de una colección de números es muy útil en las áreas de probabilidad y estadística,
para evaluar funciones, para obtener promedios y para modelos de análisis de varianza, tales como "cuadrados
68 MÉTODOS NUMÉRICOS
latinos" y otros que tienen grandes apiicadones en ingeniería química; dentro de los problemas complementarios,
se encuentran dos ejemplos de análisis de varianza.
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS
Manejo de fundonescontinuas
Integradón numérica 14
Aproximadón poiinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximadón poiinomial por minimax 22
Aproximadón polinomial por fundones racionales 23
Aproximadón polinomial por fundones trigonométricas 24
Manejo de fundones discretas
¿Qué son los métodos numéricos? 1
Diferendas finitas 3
Polinomios factoriales 4
Sumas (sumatorias) 5
El polinomio de Newton 6
Sumas y series 17
Aproximadón polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximadón polinomial por minimax 22
Aproximadón polinomial por fundones racionales 23
Aproximadón polinomial por fundones trigonométricas 24
Aproximadón polinomial mediante interpoladón
Operadores y polinomios de colocación 7
Puntos no equidistantes 8
SUMAS (SUMATORIAS) 69
S U M A
La suma es la operación inversa de la diferencia, como la integración es a la diferenciación. En el capítulo 17 apa
rece un tratamiento detallado, pero en este capítulo se presentan dos resultados elementales.
1. Las sumas telescópicas son sumas de diferencias, y tenemos el simple pero útil resultado
análogo a la integración de derivadas. Las sumas arbitrarias pueden convertirse en sumas telescópicas
siempre que la ecuación pueda resolverse para la función yk. Entonces
La integración finita es el proceso con el que se obtiene yk de
donde , se conoce. A partir de ello se deduce claramente que
la integración finita y la suma son el mismo problema. Como en el cálculo integral, sin embargo, hay oca
siones en las que las integrales finitas explícitas (que no incluyen son útiles.
2. La suma por partes es otro resultado fundamental del cálculo de sumas e implica la fórmula
que recuerda la correspondiente fórmula de la integración por partes.
La integración de esta fórmula comprende el intercambio de una suma por una suma (presumible
mente) más simple. Si se conoce una de las la fórmula sirve para determinar la otra.
Las seríes infinitas también pueden evaluarse en ciertos casos en los que las sumas responden a ios méto
dos de las sumas telescópicas o de la suma por partes.
Problemas resueltos
5.1 Demuestre que
Éste es un resultado simple pero útil. Puesto que incluye la suma de diferencias, suele compararse
con un resultado análogo del cálculo que comprende la integración de una derivada. Observe primero que
70 MÉTODOS NUMÉRICOS
que ilustra el tipo de sumas telescópicas que se incluyen. En general,
ocurriendo todos los demás valores de y tanto con signo más como con signo menos. La suma de diferen
cias adyacentes produce la diferencia de dos entradas en el renglón de abajo.
Se cumplen resultados similares en cualquier parte de la tabla.
5.2 Pruebe que
Necesitamos una función para la cual Esto es similar al problema de integración del cálculo.
En este simple ejemplo, podría encontrarse casi por intuición, pero aun así aplicamos un método que nos
permitirá también manejar problemas más difíciles. Primero sustituimos por una combinación de polino
mios factoriales, empleando los números de Stirling.
Una función que tiene esta diferencia es
como puede verificarse fácilmente calculando La obtención de y, a partir de Ay¡ se denomina integra
ción finita. La semejanza con la integración de derivadas es evidente. Ahora reescribimos el resultado del
problema 5.1 como y sustituimos para obtener
5.3 Evalúe la serie
Por un resultado a n t e r i o r P o r consiguiente, utilizando el problema 4.9 para ma
nejar
La serie se define como lím y es, en consecuencia, igual a 1.
SUMAS (SUMATORIAS) 71
5.4 Considere dos funciones definidas para el mismo conjunto de puntos teniendo valores
Demuestre que
Esto recibe el nombre de suma por partes y es análoga al resultado del cálculo.
La prueba se inicia con el resultado del problema 3.9, donde se ha hecho un ligero cambio.
Sumando de i= 0 hasta i=n=1,
y aplicando después el problema 5.1 a la primera suma de la derecha. Asi se obtiene el resultado requeri
do.
5.5 Evalúe la serie
Puesto que podemos h a c e r y aplicar l a suma por
partes. Tome la suma finita
La última suma es geométrica y responde a una fórmula elemental, haciendo
Puesto que tienen limite cero, el valor de la serie infinita es lím
5.6 Se lanza una moneda hasta que cae la primera cara. Entonces se realiza una apuesta, igual a dólares si la
primera cara cae al lanzamiento (un dólar si la cara se obtiene en el primer lanzamiento, dos
dólares si la primera cara se obtiene en el segundo lanzamiento, etc.). La teoría de probabilidades conduce
a la serie
para la apuesta promedio. Utilice el problema anterior para calcular esta serie.
72 MÉTODOS NUMÉRICOS
Por el problema 5.5 con - 2 dólares.
5.7 Aplique la suma por partes para evaluar la serie
Estableciendo encontramos y de ese modo
Las dos primeras sumas que quedan se evaluaron en el problema 5.5 y la segunda es geométrica. De tal
modo llegamos a
y dejando alcanzamos finalmente lím
5.8 Se lanza una moneda hasta que se obtiene la primera cara. Se hace una apuesta, igual a dólares si la pri
mera cara sale al lanzamiento. La teoría de probabilidades conduce a la s e r i e p a r a la
apuesta promedio. Evalúe la serie.
Por el problema 5.7 con - 6 dólares.
Problemas suplementarios
5.9 Use la integración finita (como en el problema 5.2) para probar que
5.10 Evalúe por integración finita.
5.11 Muestre que usando integración finita. (Véase el problema 3.21.) Esto es, desde luego, la
suma geométrica del álgebra elemental.
5.12 Muestre que
5.13 Evalúe por integración finita:
5.14 Evalúe
SUMAS (SUMATORIAS) 73
5.15 Evalúe
5.16 Altere el problema 5.8 para que la apuesta sea Use el problema 5.15 para evaluar la apuesta promedio,
que es
5.17 Altere el problema 5.8 de modo que la apuesta sea +1 cuando / es par y -1 cuando es impar. La apuesta
promedio es Evalúe la serie.
5.18 Evalúe
5.19 Evalúe en términos de los números de Stirling.
5.20 Evalúe
5.21 Evalúe
5.22 Exprese una integral finita de en la forma de una suma, evitando k - 0.
5.23 Exprese una integral finita de en la forma de una suma.
5.24 Demuestre que (Puede emplear el método del problema 5.2.)
5.25 Demuestre que (Puede emplear el método del problema 5.2.)
5.26 Demuestre el teorema siguiente:
Si n es cualquier entero positivo y si son conjuntos de números, entonces:
a)
(ai + bi) = (a1 + a2 + a3 + • • • +a n ) + (b1 + b2 + b3 + •••••• + bn).
b) para cualquier número c;
ca1 + ca2 + ca3 + • • • • • +can
(ai + b i ) = ( a 1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + •••••••• + (an + bn)
74 MÉTODOS NUMÉRICOS
c)
(ai - bi) = (a1 - b1) + (a2 - b2) + (a3 - b3) + • • • + (an - bn)
(ai -bi) = (a1+a2 + a1 +• • • •+ an)-(b1 + b2 + b3) + • • • + bn)
El polinomio de Newton
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Expresar matemáticamente el polinomio de colocación de Newton, en términos de diferencias
divididas (Introducción, Problemas 6.1 a 6.4).
2. Expresar matemáticamente el polinomio de colocación de Newton, en términos de polinomios
factoriales (Introducción, Problemas 6.1 a 6.4).
3. Obtener, dado un conjunto de puntos equidistantes, sus diferencias divididas y a partir de ellas,
encontrar un polinomio de colocación de Newton del grado que se le pida (Problemas 6.5,6.7 a
6.12).
4. Encontrar, dada una función f(x), un polinomio de colocación de Newton del grado que se le pida, en
los valores de la variable independiente que se proporcionen (Problemas 6.14 a 6.19).
5. Explicar con sus propias palabras el significado de interpolación (Introducción, Capítulo 12).
6. Explicar con sus propias palabras el significado de extrapolación (Introducción, Capítulo 12).
7. Explicar con sus propias palabras el significado de colocación polinomial y su relación con los
conceptos de interpolación y de aproximación (Introducción).
8. Demostrar que el polinomio de interpolación es único (Capítulo 2).
9. Mencionar y explicar tres ventajas del método de Newton de diferencias divididas (Introducción).10. Mencionar y explicar tres desventajas del método de Newton de diferencias divididas (Introducción).
11. Derivar el polinomio de Newton de grado n-ésimo (Problema 6.13).
APLICACIONES DEL POLINOMIO DE NEWTON
En este capítulo encontraremos diversas aplicaciones de los polinomios de colocación (aproximación, inter-
polación) mediante el polinomio de Newton; ya que nos permite con simples restas, obtener una aproximación a
partir de una serie de puntos equidistantes (equiespaciados).
El significado de la palabra "colocación" es similar al de "aproximación" y al de "interpolación", tra
tándose de este tema; ya que garantiza que el polinomio resultante tocará a la función original f(x) en los pun-
tos muestreados que deben ser equidistantes para el caso del polinomio de Newton; esto significa que en los
se cumplen las igualdades siguientes:
Tradicionalmente la interpolación se ha empleado para obtener valores de funciones elementales (tri-
76 MÉTODOS NUMÉRICOS
gonomótricas, hiperbólicas, logarítmicas, etc.) que han sido tabuladas para valores discretos de la variable inde-
pendiente. En la actualidad los valores de las funciones elementales se generan mediante subrutinas estándar que
evalúan algún tipo de serie convergente.
Lo anterior significa que la interpolación está vigente en esta época de calculadoras y computadoras de altí-
sima velocidad, ya que si la forma explícita de una función no se conoce y no se puede obtener por méto-
dos analíticos, tendremos que trabajar con muestras o sea valores discretos de la función que son
conocidos o pueden calcularse.
La interpolación nos proporciona medios para obtener una simple función de aproximación que podrá fácil-
mente ser derivada, integrada, evaluada o bien lo que se requiera para obtener información acerca de la
función original cuya forma explícita no se conoce; asimismo si tenemos una función determinada, podremos
obtener un polinomio de aproximación, evaluando puntos equidistantes y a partir de ellos encontrar el po-
linomio requerido.
Se dice que la interpolación "es el arte de leer entre las líneas de una tabla". La extrapolación es obtener
valores fuera del intervalo, a partir de datos conocidos.
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS
Polinomios 2
Manejo de funciones continuas
Polinomios osculadores 10
El polinomio de Taylor 11
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Manejo de funciones discretas
Diferencias finitas 3
Polinomios factoriales 4
Sumas (sumatorias) 5
Sumas y seríes 17
El polinomio de Newton 6
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Aproximación polinomial mediante interpolación
Operadores y polinomios de colocación 7
Puntos no equidistantes 8
Interpolación por segmentos (splines) 9
Interpolación 12
EL POLINOMIO DE NEWTON 77
POLINOMIO ÚNICO DE INTERPOLACIÓN
Supongamos que tenemos (n + 1) pares de datos que representan (n + 1) puntos de la
gráfica de una función donde no se conoce la forma explícita de f(x).
Se asume que cada valor de la variable independiente es diferente.
Deseamos aproximar f(x) mediante una función P(x) que sea fácilmente manipulable matemáticamente y
que pueda evaluarse en cualquier x - X dentro del intervalo / que contiene a las
Posteriormente el valor de P(x) se utiliza para aproximar f(x). Dado que tenemos (n + 1) valores de la fun
ción y¡ para podemos imponer n + 1 condiciones para determinar los coeficientes en la aproxi
mación polinomial.
Esto significa que podemos determinar un polinomio de grado máximo n, con los coeficientes determi
nados por las n + 1 condiciones:
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN: Aquel polinomio P„(x) que se aproxima a f(x) sobre un intervalo y que
satisface
Asuma que existe un polinomio de la forma que satisface las restric
ciones impuestas Pn(xi)= yi para i= 0, 1 n, entonces podemos escribir las ecuaciones de restricción en
forma desarrollada:
Y a partir de ellas, podemos escribir los coeficientes de las ecuaciones de restricción en forma matriciai:
Estas ecuaciones simultáneas de restricción tienen una solución única ya que el determinante de la matriz de coe
ficientes es diferente de cero; esta solución única nos dará valores para los coeficientes con los
que construiremos un polinomio de la forma:
DETERMINANTE DE VANDERMONDE: Es el determinante de la matriz de coeficientes formada a partir de las
ecuaciones simultáneas de restricción.
En la práctica existen formas más convenientes de realizar la interpolación, que no requieren el manejo de matri
ces; uno de los métodos más sencillos es mediante el polinomio de Newton que se verá a continuación,
para el caso de un polinomio de tercer grado:
Otra forma general del siguiente desarrollo se encuentra en los problemas 6.2 y 6.3. Dado un conjunto de
parejas de datos que representan puntos de una función y = f (x), determine un
78 MÉTODOS NUMÉRICOS
polinomio de grado máximo 3:
que se aproxime a y= f(x) en el intervalo [x0, x3] de tal manera que el polinomio P3(x) coincida con la función en
los puntos x1 (para i = 0 ,1 , 2,3), tal que p3 (xi) = y1 (para j = 0 ,1 , 2, 3), donde h = x M - xi para j = 0 ,1 , 2).
Desarrollando P3(xi) = y¡ (para i = 0 ,1 , 2, 3), encontraremos las ecuaciones de restricción:
Sustituyendo la relación ( x j - x i ) = (j=i)h, para j > i
Formaremos un sistema de ecuaciones lineales no homogéneas, que además nos queda un sistema triangu
lar inferior muy sencillo de resolver.
Co
c0 + c1h
c0 + c12h + c22hh
c0 + c13h + c23h2h + c33h2hh
= y0
= y1
= y2
= y3
c0 = y0
c1 = (y1-c0)/h = ( y 1 - y 0 ) / h
c2 = (y2-c12h-c0) / 2h2 = ( y 2 - 2y1 + y0)/2/h2
c3 = (y3 - c26/h2 - c13h - c0) / 6h3 = (y3 - 3y2 + 3y1 - y0) / 6h3
Ahora sustituiremos en el polinomio de tercer grado de Newton, los valores de los coeficientes c0, c1, c2, c3 median
te los operadores delta, que se encuentran ampliamente explicados en el capítulo 7.
6h3 2h2 h
y0(x - x0)
c0 = y0,
(x - x0)(x - x1) (x - x0)(x - x1)(x - x2)
A continuación se construye la tabla de diferencias diagonales:
x0 y0
x1 y1
x2 y2
x3 y3
c0 = y0
para k= 1,2,3
Algunas aplicaciones del polinomio de interpolación de Newton (que se debe emplear con puntos equidistantes),
se encuentran en los problemas 12.1,12.3,12.4,12.6,12.7,12.28,12.54.
El desarrollo del polinomio de Newton se puede hacer de la misma forma para grado n. (Véase el problema
6.13.)
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA INTERPOLACIÓN POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS
VENTAJAS:
1) Se pueden incluir puntos adicionales a la fórmula de Newton, con sólo sumarle otro término.
2) Se pueden quitar puntos de interpolación al final del intervalo, con sólo borrarlos de la fórmula.
EL POLINOMIO DE NEWTON 79
Los puntos de colocación son x0 xn. En estos puntos (argumentos) nuestro polinomio toma los valores
preescritos y0 yn.
Problemas resueltos
6.1 Pruebe que
3) La tabla de diferencias divididas nos da un indicio del grado máximo del polinomio de interpolación reque
rido para una precisión en particular. Por ejemplo, si un conjunto dado de puntos se puede representar
exactamente mediante un polinomio de grado n, significa que la columna de la n-ésima diferencia es
constante.
4) Se pueden detectar errores aleatorios en los valores de la función, observando la tabla de diferencias divi
didas, ya que si éstas se comportan de manera errática, el analista puede sospechar que la interpolación
no es correcta.
DESVENTAJAS:
1) El método requiere que las abscisas xi para i = 0, 1 n sean equiespaciadas; lo cual se puede elimi
nar empleando otro método de interpolación, como los que se encuentran en los capítulos posteriores; es
pecialmente en el capítulo 8.
2) Este polinomio no se puede adaptar a la interpolación inversa (Capitulo 12), excepto cuando se trata de
interpolación lineal.
3) En el caso de que hubiera nuevos valores de las ordenadas yi para i = 0 , 1 , . . . , n, con el mismoconjunto
de abscisas xi para i = 0, 1 n, sería necesario calcular nuevas tablas de diferencias divididas para
cada conjunto de ordenadas.
LA FÓRMULA DE NEWTON
El polinomio de colocación puede expresarse en términos de diferencias finitas y polinomios factoriales. La
fórmula de la suma
se demuestra primero y conduce directamente a la fórmula de Newton para el polinomio de colocación, que pue
de escribirse como
Una forma alternativa de la fórmula de Newton, en términos del argumento xk, puede obtenerse utilizando
xk=x0 + kh, y es
80 MÉTODOS NUMÉRICOS
e infiera resultados similares tales como
Esto es solamente un resultado preliminar con respecto a uno más general. El primer resultado es evi
dente. Para el segundo, observando la tabla 6.1,
que conduce de inmediato al resultado que se quería. Note que esto expresa en términos de entradas en
la diagonal superior de la tabla 6.1. Note también que los cálculos casi idénticos producen
etc., expresando las entradas sobre la diagonal y2 en términos de aquellas en la diagonal superior. Por últi
mo,
llevando rápidamente al tercer resultado requerido. Pueden escribirse expresiones similares para
etc., elevando simplemente el índice superior en cada
Tabla 6.1
6.2 Pruebe que para cualquier entero positivo (Aquí equivale simplemente a
La demostración se efectuará por inducción. Para k = 1, 2 y 3, véase el problema 6.1. Suponga que el
resultado es verdadero cuando k es algún entero particular p.
Entonces, como se sugirió en el problema anterior, la definición de nuestras diversas diferencias hace que
también sea verdadera. Encontramos ahora
x0 y0
x1 y1
x2 y2
x3 y3
X4 y4
EL POLINOMIO DE NEWTON 81
El problema 4.5 se utilizó en el tercer paso. El índice de la suma puede cambiarse ahora de j a i si se de
sea. De este modo nuestro resultado se establece cuando k es el entero p + 1, completándose la inducción.
toma los valores pk = yk para k=0,1 n. Ésta es la fórmula de Newton.
Note primero que cuando k es 0 sólo el término y0 aparece, siendo todos los demás cero. Cuando k
es 1 sólo aparecen los dos primeros términos a la derecha, y todos los demás son cero. Cuando k es 2 úni
camente aparecen los tres primeros términos. De tal modo, empleando el problema 6.1,
y se indica la naturaleza de nuestra prueba. En general, si k es cualquier entero de 0 a n, entonces será
cero para i > k. (Contendrá el factor k - k.) La suma se abrevia en la forma
y por el problema 6.2 esto se reduce a yk. En consecuencia, el polinomio de este problema toma los mismos
valores que nuestra función yk para los argumentos enteros k = 0 n. (El polinomio es, sin embargo, de
finido para cualquier argumento k.)
6.4 Exprese el resultado del problema 6.3 en términos del argumento xk, donde xk = x0 + kh.
Observe primero que
y asi sucesivamente. Usando el símbolo p(xk) en vez de pk, encontramos ahora
que es la fórmula de Newton en su forma alternativa.
6.5 Encuentre el polinomio de grado tres que toma los cuatro valores listados en la columna yk de abajo en los
correspondientes puntos xk.
Las diversas diferencias necesarias aparecen en las columnas restantes de la tabla 6.2.
6.3 Demuestre que el polinomio de grado n,
82 MÉTODOS NUMÉRICOS
Tabla 6.2
Sustituyendo los números encerrados en círculo en sus respectivos lugares en la fórmula de Newton,
que puede simplificarse a
aunque en las aplicaciones es a menudo preferible la primera forma.
6.6 Exprese el polinomio del problema 6.5 en términos del argumento k.
Directamente del problema 6.3,
que es una forma conveniente para calcular los valores de pk y puede dejarse como está. Puede también
cambiarse:
6.7 Aplique la fórmula de Newton para encontrar un polinomio de cuarto grado o menor que tome los valores yk
de la tabla 6.3.
Las diferencias necesarias se encierran en círculos. Sustituyendo las entradas encerradas en círculo
en sus lugares en la fórmula de Newton,
que es también
Puesto que k = xk - 1, este resultado también puede escribirse como
EL POLINOMIO DE NEWTON 83
Tabla 63
Problemas suplementarios
6.8 Encuentre un polinomio de grado cuatro que tome estos valores.
6.9 Encuentre un polinomio de grado dos que tome estos valores.
6.10 Encuentre un polinomio de grado tres que tome estos valores.
6.11 Encuentre un polinomio de grado cinco que tome estos valores.
0 1 2 3 4 5
0 0 1 1 0 0
k = xk
yk
3 4 5 6
6 24 60 120
xk
yk
1 2 4 7 11 16 22 29
0 1 2 3 4 5 6 7 k = xk
yk
2 4 6 8 10
0 0 1 0 0
xk
yk
84 MÉTODOS NUMÉRICOS
6.12 Encuentre un polinomio cúbico que incluya estos valores.
(Véase también el problema 3.12.)
6.13 Expresando un polinomio de grado n en la forma
calcule Muestre después que el requerimiento
lleva a etc. Deduzca después
y sustituya estos números para obtener una vez más la fórmula de Newton.
6.14 Encuentre un polinomio cuadrático que coincida con y(x) - x4 en x - 0 ,1 , 2.
6.15 Encuentre un polinomio cúbico que coincida con y(x) - en x - 0, 1, 2, 3. Compare las dos fun
ciones en x - 5.
6.16 ¿Hay un polinomio de grado cuatro que coincida con y(x) - en x = 0,1,2, 3,4?
6.17 ¿Hay un polinomio de grado dos que coincida con y(x) -
6.18 Encuentre un polinomio de grado cuatro que coincida con ¿Dónde es el
polinomio más grande que y(x), y dónde es menor?
6.19 Encuentre un polinomio de grado dos que coincida con y (x) - ¿Por qué no se aplica la
fórmula de Newton?
6.20 Encuentre una solución de para todos los enteros k con
0 1 2 3 4 5
1 2 4 8 15 26
k — xk
yk
Operadores y
polinomios de colocación
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar con sus propias palabras la utilidad de representar ciertas operaciones mediante
operadores (Introducción).
2. Explicar con sus propias palabras el funcionamiento y la utilidad del operador delta (Introducción,
Problemas 7.1 a 7.5, 7.32).
3. Explicar con sus propias palabras el funcionamiento y la utilidad del operador E (Introducción,
Problemas 7.1 a 7.5, 7.29, 7.49).
4. Explicar con sus propias palabras el funcionamiento y la utilidad de la combinación lineal de
operadores (Introducción, Problema 7.30).
5. Explicar con sus propias palabras el funcionamiento y la utilidad del producto de operadores
(Introducción, Problemas 7.6, 7.7,7.31).
6. Explicar con sus propias palabras el funcionamiento y la utilidad de la igualdad de operadores
(Introducción, Problemas 7.1 a 7.5).
7. Explicar con sus propias palabras el funcionamiento y la utilidad de la inversión de operadores
(Introducción, Problema 7.27).
8. Explicar con sus propias palabras el funcionamiento y la utilidad de la identidad de operadores
(Introducción, Problemas 7.1 a 7.3).
9. Explicar con sus propias palabras el funcionamiento y la utilidad del operador de diferencia regresiva
(Introducción, Problemas 7.6 a 7.10,7.27).
10. Explicar con sus propias palabras el funcionamiento y la utilidad del operador de diferencia central
(Introducción. Problemas 7.11, 7.12, 7.28,7.31,7.51).
11. Explicar con sus propias palabras el funcionamiento y la utilidad del operador de promedios
(Introducción, Problemas 7.13, 7.50).
12. Explicar con sus propias palabras las seis diferentes fórmulas de expresar los polinomios de
colocación (aproximación) de Newton que aparecen en este capitulo y la utilidad de cada una
(Introducción).
13. Desarrollar y aplicar la fórmula regresiva de Newton (Introducción, Problemas 7.9, 7.10, 7.33 a 7.35).
14. Desarrollar y aplicar la fórmula progresiva de Gauss (Introducción, Problemas 7.14 a 7.16, 7.37, 7.40).
15. Desarrollar y aplicar la fórmula regresiva de Gauss (Introducción, Problemas 7.17,7.18,7.38,7.39,
7.41).
86 MÉTODOS NUMÉRICOS
16. Desarrollar y aplicar la fórmula de Stirling (Introducción, Problemas 7.19 a 7.21, 7.42, 7.43).
17. Desarrollar y aplicar la fórmula de Everett (Introducción, Problemas 7.22, 7.23,7.44 a 7.46).
18. Desarrollar y aplicar la fórmulade Bessel (Introducción, Problemas 7.24 a 7.26, 7.47, 7.48).
APLICACIONES DE LOS OPERADORES Y DE LOS POLINOMIOS DE COLOCACIÓN
Fundamentalmente este capítulo nos proporciona elementos para poder operar los temas siguientes, ya que nos
plantea un gran panorama para representar los polinomios con los que vamos a aproximar (colocar) las
funciones complicadas con las que nos enfrentemos, o bien con aquellos conjuntos de datos muestreados que
tengamos que operar. Es ésta la razón por la cual también incluye un gran número de operadores que nos van
a facilitar el manejo de fórmulas complicadas que se encuentren a lo largo de este libro. Este capítulo está
muy orientado a reafirmar la comprensión del concepto de polinomio de colocación, pensándolo en la forma
general y al dominio de la mecanización, ya que se empleará profundamente en el capítulo 12.
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS
Polinomios 2
Manejo de funciones continuas
Polinomios osculadores 10
El polinomio de Taylor 11
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Manejo de funciones discretas
Diferencias finitas 3
Polinomios factoriales 4
Sumas (sumatorías) 5
Sumas y series 17
El polinomio de Newton 6
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Aproximación polinomial mediante interpolación
Operadores y polinomios de colocación 7
Puntos no equidistantes 8
Interpolación por segmentos (splines) 9
Interpolación 12
OPERADORES Y POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 87
OPERADORES
Los operadores se utilizan aquí y en el análisis numérico, en particular para simplificar el desarrollo de
fórmulas complicadas. Algunas de las aplicaciones más interesantes se efectúan con un espíritu de optimismo, sin
demasiada atención a la precisión lógica, sometiéndose los resultados a una comprobación por medio de otros
métodos o a una verificación experimental.
Varias de las fórmulas que se deducirán en este capítulo son, en parte, de interés histórico, proporcionan
una visión de las prioridades numéricas en el pasado. Los nombres asociados, como los de Newton y Gauss, indi
can su importancia en esos tiempos. Los cambios en el hardware de las computadoras han reducido su gama de
aplicación, un aspecto que se repetirá en el capítulo 12 donde se presentarán ciertas aplicaciones clásicas.
Los conceptos específicos de operador que se emplearán ahora son:
1. El operador está definido por
Consideramos a A un operador el cual si yk es una entrada produce yk+1 - yk como salida, para todos los
valores de k a considerar.
La analogía entre operador y un algoritmo (como se describió en el capítulo 1) es aparente.
2. El operador E está definido por
Eyk = yk+1
Aquí también la entrada para el operador es yk. La salida es yk+1.
Tanto como tienen la propiedad de linealidad, esto es,
donde C1 y C2 son cualesquiera constantes (independientes de k). Todos los operadores que se presenta
rán tendrán esta propiedad.
3. Combinación lineal de operadores. Considere dos operadores, denominados L1 y L2, que producen sali
das L1yk y L2yk a partir de la entrada yk. Entonces la suma de estos operadores se define como el operador
de salida L1yk + L2yk.
88 MÉTODOS NUMÉRICOS
Una definición similar presenta la diferencia de dos operadores.
En forma más general, si C1 y C2 son constantes (independientes de k) el operador C1L1, + C2L2 pro
duce la salida C1L1y k + C2L2yk.
4. El producto de operadores L1 y L2 se define como el operador que produce la salida L1L2yk. Un diagrama
hará que esto sea más claro.
El operador L1 se aplica a la salida producida por L2. El conjunto de las tres partes centrales representa al
operador L1L2.
Con la definición de producto, los números C1 y C2 anteriores también pueden pensarse como operado
res. Por ejemplo, siendo C cualquier número, el operador C efectúa una multiplicación por el número C.
5. Igualdad de operadores. Se dice que dos operadores L1 y L2 son iguales si ellos producen salidas idénti
cas para todas las entradas a considerar. En símbolos,
LX = L2 si Lxyk = L2yk
para todos los argumentos k a considerar. Con esta definición una comparación de salidas muestra de in
mediato que para cualesquiera operadores L 1 L 2 y L3
L1 + (L2 + L3) = (L1 + L2) + L3
L1(L2L3) = (L1L2)L3
L1(L2 + L3) = L1L2 + L1L3
pero la ley conmutativa de la multiplicación no siempre es válida:
Sin embargo, si alguno de los operadores es un número C, la igualdad es evidente al comparar las sali
das
ClL1yk + C2L2yk C1L1 + C2L2 yk
yk L2 L2y k L1 L 1 L 2 y k
OPERADORES Y POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 89
6. Operadores inversos. Para gran parte de los demás operadores que usaremos, la .conmutatividad tam
bién será válida. Como un caso especial, se denominan operadores inversos si
En tal caso utilizamos los símbolos
El operador 1 se conoce como operador de identidad y el fácil observar que con él para
cualquier operador L.
7. Entre algunas de las ecuaciones simples que relacionan se encuentran:
Dos teoremas relacionados, ya demostrados antes por otros medios, aparecen como sigue en sím
bolos de operadores:
8. El operador de diferencia regresivo está definido por
y consecuentemente es fácil verificar que
Se demuestra que la relación entre
y lleva al desarrollo
para enteros negativos k.
90 MÉTODOS NUMÉRICOS
9. El operador de diferencia central está definido por
Se deduce que A pesar de los argumentos fraccionarios éste es un operador ampliamente usa
do. Guarda una estrecha relación con el siguiente operador.
10. El operador promedio se define
y es el principal mecanismo mediante el cual pueden eliminarse los argumentos fraccionarios de las ope
raciones de diferencia central.
POLINOMIOS DE COLOCACIÓN
El polinomio de colocación puede ahora expresarse en una diversidad de formas alternativas, todas equiva
lentes a la fórmula de Newton del capítulo 6, pero cada una de ellas apropiadas a situaciones un poco diferentes.
Analizaremos la siguiente, que encuentra aplicación al principio del capítulo 12.
1. Fórmula de diferencia regresiva de Newton
representa el polinomio de colocación que toma los valores para
2. La fórmula progresiva de Gauss puede obtenerse desarrollando la relación entre y se lee
si el polinomio es de grado par 2n y la colocación está en Se convierte en
si el polinomio es de grado impar 2n + 1 y la colocación está en k = -n n + 1.
3. La fórmula regresiva de Gauss puede obtenerse de manera similar. Para grado par toma la forma
con la colocación también en k = - n n. Una utilización importante de las dos fórmulas de Gauss co
rresponde a la deducción de la fórmula de Stirling.
OPERADORES Y POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 91
4. La fórmula de Stirling es una de las formas de mayor aplicación del polinomio de colocación. Se lee
Problemas resueltos
7.1 Demuestre que
Por definición de y por definición de 1 +
Cuando tienen salidas idénticas para todos los argumentos k, los operadores son iguales. Este re
sultado también puede expresarse como
7.2 Pruebe que
La igualdad de salidas establece que los operadores son iguales. Éste es un ejemplo en el que es válida la
ley conmutativa de la multiplicación.
y es una fórmula muy popular. Está por demás decir que la colocación es en k = -n n.
5. La fórmula de Everett toma la forma
y puede obtenerse al reacomodar los ingredientes de la fórmula progresiva de Gauss de grado impar. La
colocación es en k = -n n + 1 . Note que sólo aparecen las diferencias par.
6. La fórmula de Bessel es un reacomodo de la de Everett y puede escribirse como
y
92 MÉTODOS NUMÉRICOS
7.3 Demuestre que
Utilizando diversas propiedades del operador,
El teorema del binomio es válido siempre que a y b (y por tanto a + b)
muten en la multiplicación. En la situación presente estos elementos serán E y -1 y ellos conmutan. De tal
manera,
Notando que Ey0 - y1, E2y0 = y2, etc., tenemos finalmente
que reproduce el resultadodel problema 3.5.
7.5 Pruebe
Puesto que el teorema del binomio p r o d u c e A p l i c a n d o este opera
dor a y0, y utilizando el hecho de que se produce de inmediato el resultado que se quería. Note
que lo anterior reproduce el problema 6.2.
7 . 6 L a diferencia regresiva está definida p o r E s claro que ella asigna u n nuevo símbolo a
Demuestre que
Puesto que estas expresiones son válidas para todos los argumentos k, tenemos
Usando el símbolo para el operador definido por vemos que son am
bos En el lenguaje de los operadores son inversos: Por último, como un ejercicio con
los cálculos con operadores,
7.7 Las diferencias regresivas normalmente se aplican sólo en la parte inferior de una tabla, usando k argumen
tos negativos como se muestra en la tabla 7.1. Utilizando símbolos etc. pruebe
que
7.4 Aplique el teorema del binomio para demostrar
(E - 1)(E - 1) = E2 - 1 • E - E • 1 + 1 = E2 - 2E + 1
OPERADORES Y POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 93
Puesto que tenemos Pero conmutan, de modo que los factores 2n a la dere
cha pueden reacomodarse en la forma Aplicando esto a
Tabla 7.1
7.8 Pruebe que
y que en general para k un entero negativo, +
Tomando directamente el caso general: Con k un entero negativo se
aplica el teorema del binomio, haciendo
Para k = - 1 , -2, -3 se obtienen los casos especiales.
7.9 Pruebe que el polinomio de grado n que tiene los valores definidos por la siguiente fórmula se reduce a pk=
yk cuando k = 0,-1 -n. (Ésta es la fórmula de la diferencia regresiva de Newton.)
La prueba es muy similar a la del problema 6.3. Cuando k es 0, sólo aparece el primer término en el
lado derecho. Cuando sólo los dos primeros términos intervienen, siendo todos los demás cero. En
94 MÉTODOS NUMÉRICOS
general, si k es cualquier entero de 0 a -n, entonces k(k + 1) • • • (k + / - 1) será 0 para / > -k. La suma se
simplifica a
y por el problema 7.8 esto se reduce a El polinomio de este problema concuerda, por consiguiente, con
nuestra función para
7.10 Encuentre el polinomio de grado tres que toma los cuatro valores listados como en la tabla 7.2 en los co
rrespondientes argumentos
Las diferencias necesarias aparecen en las columnas restantes de la tabla 7.2.
Tabla 7.2
Sustituyendo los números dentro de los círculos en sus lugares en la fórmula de diferencia regresiva
de Newton,
Note que excepto para los argumentos k estos datos son los mismos que los del problema 6.5. Eliminando
k mediante la relación la fórmula encontrada en ese problema
se obtiene otra vez. Las dos fórmulas de Newton son simplemente reacomodos del mismo polinomio. Des
pués de esto se obtendrán otros reacomodos.
7.11 El operador de diferencia central está definido por y así
sucesivamente. Observe que son inversos y q u e D e m u e s t r e que
De la definición de tenemos Aplicado a esto produce el resultado
que se quería.
- 3
- 2
- 1
0
4 1
2
6 3 3
5
8 8
10
OPERADORES Y POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 95
7.12 En la notación 6, la tabla de diferencias usual puede reescríbirse como en la tabla 7.3.
Tabla 7.3
Exprese utilizando el operador
Por el problema 7.11,
7.13 E l operador promedio está definido por por l o q u e y así sucesiva
mente. Demuestre que
Primero calculamos Después
7.14 Compruebe lo siguiente para los valores dados de k:
k = 0,1
k = - 1 , 0 , 1
k = - 1 , 0 , 1,2
k=-2, - 1 , 0 , 1,2
Para k = 0 sólo interviene el término y0 de la derecha. Cuando k = 1 todo el lado derecho corresponde
al operador
lo cual produce Para k - 1 las últimas tres fórmulas conducen a
- 2
- 1
0
1
2
96 MÉTODOS NUMÉRICOS
lo que produce y-1. Cuando k - 2 las últimas dos fórmulas llevan a
produciendo y2. Por último, cuando k - -2 la última fórmula implica
conduciendo a y-2.
Las fórmulas de este problema se generalizan para formar la fórmula progresiva de Gauss. Ella
representa un polinomio cualquiera de grado 2n.
tomando los valores pk = yk para k = -n n, o de grado 2n +1
tomando los valores pk= yk para k=-n n + 1. (En casos especiales el grado puede ser más bajo.)
7.15 Aplique la fórmula de Gauss con n - 2 para encontrar un polinomio de grado cuatro o menor que tome los
valores yk de la tabla 7.4.
Las diferencias necesarias se listan en la forma usual. Esto recuerda una función usada al ejemplificar
las dos fórmulas de Newton, con un cambio en el argumento k y un par de valores añadidos en la parte su
perior. Puesto que la cuarta diferencia es 0 en este ejemplo, predecimos un polinomio de grado tres. Susti
tuyendo las entradas encerradas en círculos en sus lugares respectivos en la fórmula de Gauss,
Si k se elimina utilizando la relación xk= 6 + 2k, el polinomio cúbico ya encontrado dos veces antes apare
cerá de nuevo.
Tabla 7.4
- 2
- 1
0
1
2
2 - 2
3
4 1 - 1
2 4
8 8
10 20
12
7
6
OPERADORES Y POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 97
7.16 Aplique la fórmula progresiva de Gauss para encontrar un polinomio de grado cuarto o menor que tome los
valores yk de la tabla 7.5.
Las diferencias necesarias se encierran en círculos.
Tabla 7.5
Sustituyéndolas en sus respectivos lugares en la fórmula de Gauss,
que se simplifica en
Puesto que k = xk - 3, este resultado puede también escribirse como
concordando, desde luego, con el polinomio que se encontró antes con la fórmula de Newton.
7.17 Compruebe que, para k = - 1 , 0 ,1 ,
y para k - -2, - 1 , 0,1, 2,
Para k = 0, sólo contribuyen los términos y0 a la derecha. Cuando k = 1 ambas fórmulas implican el
operador
- 2
- 1
0
1
2
1 1
- 2
2 - 1 4
2 - 8
3
4 -1 4
2
5 1
98 MÉTODOS NUMÉRICOS
que produce y1. Para k = -1 ambas fórmulas implican
que produce y-1 Continuando con la segunda fórmula, encontramos, para k = 2,
y para k = -2,
como se requería.
Las fórmulas de este problema pueden generalizarse para formar la fórmula regresiva de Gauss. Ella
representa el mismo polinomio que la fórmula progresiva de Gauss de orden par y puede verificarse como
antes.
7.18 Pruebe
De las definiciones de los coeficientes binomiales,
como se requería.
7.19 Deduzca la fórmula de Stirling, dada a continuación, a partir de las fórmulas de Gauss.
Sumando término por término de grado 2n de las fórmulas de Gauss, dividiendo entre dos y utilizando
el problema 7.18,
Ésta es la fórmula de Stirling.
7.20 Aplique la fórmula de Stirling con n - 2 para encontrar un polinomio de grado cuarto o menor que tome los
valores yk en la tabla 7.6.
OPERADORES Y POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 99
Las diferencias necesarias se listan nuevamente. Sustituyendo las entradas dentro de círculos en sus
lugares respectivos en la fórmula de Stirilng,
la cual se observa fácilmente como un reacomodo menor del resultado encontrado por la fórmula progresi-
va de Gauss.
Tabla 7.6
El lado izquierdo se convierte en (utilizando el problema 4.5)
en cuyo último paso usamos
7.22 Deduzca la fórmula de Everett a partir de la fórmula progresiva de Gauss de grado impar.
Empleando el problema 7.21, tenemos de inmediato.
que es la fórmula de Everett. Puesto que es un rearreglo de la fórmula de Gauss es el mismo polinomio de
7.21 Demuestre
100 MÉTODOS NUMÉRICOS
grado 2n +1, el cual satisface pk = yk para k =-n n + 1. Se trata de una fórmula ampliamente utilizada
debido a su simplicidad, incluyendo sólo diferencias par.
7.23 Aplique la fórmula de Everett con n - 2 para encontrar un polinomio de grado cinco o menor que tome los
valores yk de la tabla 7.7.
Las diferencias necesarias se encierran en círculos.
Tabla 7.7
Sustituyendo las entradas en círculo en sus lugares respectivos en la fórmula de Everett,
que puede simplificarse, usando xk = k + 2, para
7.24 Muestre que
El lado izquierdo corresponde al operador
El lado derecho corresponde al operador
por lo que ambos lados son iguales.
OPERADORES Y POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 101
7.25 Demuestre que la fórmula de Bessel es un acomodo de la fórmula de Everett.La fórmula de Bessel es
Por el problema anterior ésta se reduce de inmediato a la fórmula de Everett.
7.26 Aplique la fórmula de Bessel con n - 1 para encontrar un polinomio de grado tres o menor que tome los
valores yk de la tabla 7.8.
Tabla 7.8
Las diferencias necesarias están encerradas en círculo y se han insertado en sus lugares respectivos en la
fórmula de Bessel. Está por demás decir que el polinomio resultante es el mismo que se ha encontrado con
otras fórmulas
Puede verificarse que éste es equivalente a resultados anteriores.
Problemas suplementarios
7.27 Demuestre que
7.28 Demuestre que
7.29 Demuestre que
7.30 Dos operadores conmutan si Muestre que ' conmutan entre sí.
MÉTODOS NUMÉRICOS
7.31 Pruebe que
7.32 Pruebe que
7.33 Aplique la fórmula regresiva de Newton a los siguientes datos para obtener un polinomio de grado cuatro en
el argumento k:
Use después xk - k + 5 para convertirlo en un polinomio en xk. Compare el resultado final con el del proble
ma 6.7.
7.34 Aplique la fórmula regresiva de Newton para encontrar un polinomio de grado tres que incluya los siguien
tes pares xk, yk:
Empleando xk - k + 6, conviértalo en un polinomio en xk y compárelo con el resultado del problema 6.10.
7.35 Muestre que el cambio de argumento xk = x0 + kh convierte la fórmula regresiva de Newton en
7.36 Aplique el problema 7.35 a los datos del problema 7.34 para producir el polinomio cúbico directamente en el
argumento xk.
7.37 Aplique la fórmula progresiva de Gauss a los datos que siguen y compare el resultado con el del proble
ma 6.8.
7.38 Aplique la fórmula regresiva de Gauss a los datos del problema 7.34.
7.39 Aplique la fórmula regresiva de Gauss a los datos del problema 7.34, con el argumento k cambiado de
manera que k = 0 en x - 6.
OPERADORES Y POLINOMIOS DE COLOCACIÓN 103
7.40 Aplique la fórmula progresiva de Gauss a los datos que siguen y compare el resultado con el del proble-
ma 6.11.
7.41 Verifique que para
y que para
Éstas también pueden considerarse formas de la fórmula regresiva de Gauss, siendo impar en vez de par el
grado de estos polinomios.
7.42 Aplique la fórmula de Stirling a los datos del problema 7.37.
7.43 Aplique la fórmula de Stirling a los datos del problema 6.9. Elija cualesquiera de tres argumentos igual
mente espaciados y deje que ellos correspondan a k = - 1 , 0 , 1 .
7.44 Aplique la fórmula de Everett a los datos del problema 7.34 pero con el par central de argumentos como k -
0 y 1.
7.45 Aplique la fórmula de Everett a los datos del problema 7.40
7.46 Aplique la fórmula de Everett a los datos del problema 6.9.
7.47 Aplique la fórmula de Bessel a los datos del problema 7.44.
7.48 Aplique la fórmula de Bessel a los datos del problema 7.40.
7.49 Pruebe que
7.50 Muestre que
7.51 Pruebe que
- 2 - 1 0 1 2 3
0 1 2 3 4 5
0 0 1 1 0 0
k
xk
yk
Puntos no equidistantes
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar con sus propias palabras qué caminos podemos tomar cuando tenemos un conjunto de datos
no equidistantes, para aproximarlos a un polinomio (Introducción).
2. Explicar las desventajas e inconvenientes de aproximar mediante un polinomio un conjunto de datos
no equidistantes (Introducción).
3. Expresar con sus propias palabras cinco ventajas y cinco desventajas de la interpolación por el
método de Lagrange (Introducción).
4. Desarrollar las fórmulas de la interpolación por el método de Lagrange y aplicarlas en problemas de
ejemplo (Introducción, Problemas 8.1 a 8.5,8.15 a 8.22).
5. Expresar con sus propias palabras cinco ventajas y cinco desventajas de la interpolación por el
método del polinomio único de interpolación (Introducción).
6. Expresar con sus propias palabras cinco ventajas y cinco desventajas de la interpolación por el
método de diferencias divididas (Introducción, Capitulo 6).
7. Desarrollar las fórmulas de la interpolación por el método de diferencias divididas y aplicarlas en
problemas de ejemplo (Introducción, Problemas 8.6 a 8.14, 8.23 a 8.26, 8.31 a 8.33).
8. Desarrollar las fórmulas de la interpolación por el método de Newton para puntos no
equiespaciados y aplicarlas en problemas de ejemplo (Introducción, Problemas 8.13, 8.14, 8.27 a
8.29).
9. Expresar con sus propias palabras cinco ventajas y cinco desventajas de la interpolación lineal
iterativa (método de Aitken-Neville) (Introducción).
10. Desarrollar las fórmulas de la interpolación por el método de Stirling y de Bessel para puntos no
equiespaciados y aplicarlas en problemas de ejemplo (Introducción, problema 8.30).
APLICACIONES DE LA INTERPOLACIÓN CON PUNTOS EQUIDISTANTES
Como hemos visto a partir del capítulo 2, podemos aproximar el comportamiento de una secuencia de datos me-
diante una función o polinomio de aproximación. A los métodos que veremos en este capítulo, se les llama méto-
dos de interpoiación, algunos autores les llaman métodos de colocación, debido a que sólo garantizan que la
función original y el polinomio de aproximación (en este caso interpolación o colocación) son iguales en los pun-
tos muestreados y no nos dicen nada al respecto de la primera derivada del polinomio ni de la función, ni tampoco
en derivadas de órdenes superiores.
PUNTOS NO EQUIDISTANTES 105
En la teoría del capitulo 2, demostramos que si existe un polinomio de interpolación, éste es el único que va-
mos a utilizar ahora, al emplear argumentos no equidistantes.
En el capitulo 3 aprendimos a manejar mecánicamente el método de diferencias divididas (diferencias fini-
tas), cuya teoría veremos con mayor amplitud en éste.
Dentro del capítulo 6 también aprendimos el manejo del polinomio de Newton y en éste haremos una gene-
ralización muy útil para capítulos posteriores.
En este tema veremos que el polinomio único de interpolación se puede representar en otras formas explícitas.
La gran utilidad de tener métodos de interpolación para puntos no equidistantes, es que en la vida real
no siempre es posible obtener un muestreo de datos muy estricto debido a que en algunos casos es excesivamen-
te costoso mantener el control; en otros casos debido al experimento que se esté conduciendo será necesario de-
sechar ciertas lecturas que no garanticen apego a la realidad o bien que se sospeche algún sesgo.
El muestreo de datos es una herramienta muy utilizada para generar estadísticas en diversas áreas, por
ejemplo: ventas dentro de una empresa, cualquier tipo de costos, cantidad de productos aceptados o rechazados
en el área de producción, número de vehículos o personas que ingresan a algún lugar por unidad de tiempo, nú-
mero de personas que consumen determinado artículo, datos para determinar curvas de oferta o de demanda y en
general siempre que deseemos conocer un polinomio a partir de los datos tomados o generados por funciones
más complicadas.
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS
Polinomios 2
Manejo de funciones continuas
Polinomios osculadores 10
El polinomio de Taylor 11
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Manejo de funciones discretas
Diferencias divididas 3
Polinomios factoriales 4
Sumas (sumatorías) 5
Sumas y seríes 17
El polinomio de Newton 6
Aproximación polinomial mediante interpolación
El polinomio de Newton 6
Operadores y polinomios de colocación 7
Puntos no equidistantes 8
Interpolación por segmentos (splines) 9
Interpolación 12
Operación de polinomios
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Integración gaussiana 15
Integrales simples con puntos de singularidad 16
106 MÉTODOS NUMÉRICOS
PUNTOS NO EQUIDISTANTES
El polinomio de colocación para puntos no equidistantes x0 xn puede encontrarse de diversas maneras. En
este capítulo se presentarán los métodos de Lagrange, de determinantes y de diferencias divididas,
1. La fórmula de Lagrange es
donde es la función multiplicadora de Lagrange
que tiene las propiedades
La fórmula de Lagrange representa alpolinomio de colocación, esto es, p(xk) = yk para k = 0 , . . . , n. La fun
ción
puede usarse para expresar la función multiplicadora de Lagrange en una forma más compacta
La función estrechamente relacionada
conduce a una segunda representación compacta de la función multiplicadora de Lagrange,
2. Una forma determinante del polinomio de colocación p(x) es
PUNTOS NO EQUIDISTANTES 107
puesto que p(xk) = yk para k = 0 , . . . . n. Esta forma se emplea ocasionalmente, sobre todo en trabajos teóri
cos.
3. La primera diferencia dividida entre x0 y x1 se define como
aplicándose una fórmula similar entre otro par de argumentos.
De tal modo, las diferencias divididas mayores se definen en términos de diferencias divididas me-
nores. Por ejemplo,
es una segunda diferencia, en tanto que
es una n-ésima diferencia. En múltiples formas estas diferencias desempeñan un papel equivalente al de las dife
rencias más simples que se utilizaron antes.
Una tabla de diferencias vuelve a ser un medio conveniente para representar diferencias, siendo utilizada la
forma diagonal estándar.
El teorema de representación
muestra cómo cada diferencia dividida puede presentarse como una combinación de valores yk. Esto debe compa
rarse con un teorema correspondiente al capitulo 3.
La propiedad de simetría de diferencias divididas establece que tales diferencias son invariables bajo todas
las permutaciones de los argumentos xk, siempre que los valores yk se permuten de la misma manera. Este resul
tado es muy útil y es una consecuencia natural del teorema de representación.
Las diferencias divididas y las derivadas se relacionan por medio de
y0
y1
y2
y3
y4
y(x0 , x1
y(x1 , x2)
y(x2 , x3)
y(x3 , x4)
y ( x 0 , x 1 , x 2 )
y ( x 1 , x 2 , x 3 )
y(x2 , x3 , x4)
y(x0 , x1, x2 , x3)
y(x1, x2, x3, x4)
y(x0 , x1, x2, x3 , x4)
108 MÉTODOS NUMÉRICOS
En el caso de puntos igualmente espaciados, las diferencias divididas se reducen a diferencias finitas ordi-
narias; específicamente,
Una útil propiedad de las diferencias finitas ordinarias puede obtenerse en esta forma, a saber,
Paría una función y(x) con derivadas acotadas, todas las teniendo una cota independiente de n, se de
duce que, para h pequeño,
para n creciente. Esto generaliza el resultado encontrado antes para polinomios y explica por qué con frecuencia
las diferencias más altas en la tabla tienden a cero.
El polinomio de colocación puede obtenerse ahora en términos de diferencias divididas. El resultado clásico
es la fórmula de diferencias divididas de Newton,
sin que se requiera que los argumentos o puntos tengan igual espaciamiento. Esto generaliza la fórmula de
Newton del capítulo 6, y en el caso de igual espaciamiento se reduce a ella.
El error y(x) - p(x), donde y(x) y p(x) se colocan en los argumentos aún está dado por la tórmula
obtenida antes,
puesto que todavía estamos analizando el mismo polinomio de colocación p(x). Una forma alternativa de este
error, usando diferencias divididas, es
y(x)-p(x) = y(x1 x0, . . . , xn)(x-x0) • • • ( x - x n )
Problemas resueltos
8.1 ¿Qué valores toma la función multiplicadora de Lagrange
cuando
PUNTOS NO EQUIDISTANTES 109
Note primero que los factores del numerador garantizan que Li(xk) - 0 para y de ese modo los
factores del denominador garantizan que Li(xi) - 1.
8.2 Compruebe el polinomio toma el valor yk en el argumento xk, para k = 0, . . . , n. Ésta es la
fórmula de Lagrange para el polinomio de colocación.
por lo que la fórmula de Lagrange proporciona el
8.3 Con π(x) definida como el producto muestre que
Puesto que es el producto de n + 1 factores, el proceso usual de diferenciación produce co
mo la suma de n + 1 términos, en cada uno de los cuales se ha diferenciado un factor. Si definimos
de modo que sea igual a excepto por el factor x - xk que se omite, entonces
Pero entonces en x = xk todos los términos son cero excepto Fk(xk), puesto que éste es el único término que
no contiene x - xk. De tal modo que
y
8.4 Muestre que la ecuación de determinante
brinda el polinomio de colocación p(x).
Desarrollando este determinante por menores del primer renglón, se producirá claramente un polino
mio de grado n. Sustituyendo x = xk y p(x) - yk produce que dos renglones sean idénticos de tal modo que el
110 MÉTODOS NUMÉRICOS
determinante es cero. En consecuencia, p(xk) = yk y este polinomio es el polinomio de colocación. A pesar
de ser tan atractivo, este resultado no se utiliza mucho debido a la dificultad de evaluar determinantes de
gran tamaño.
8.5 Encuentre un polinomio de tercer grado que toma los valores que a continuación se señalan.
El polinomio puede escribirse directamente.
Puede arreglarse como
8.6 Calcule las diferencias divididas hasta el tercero de los valores yk en la tabla 8.1.
Las diferencias se listan en las tres últimas columnas.
Tabla 8.1
Por ejemplo,
8.7 Pruebe que y(x0, xt) = y(x1 x0). Esto se denomina simetría de la primera diferencia dividida.
Esto resulta evidente de la definición, pero también puede observarse partiendo del hecho de que
0 1 2 4
1 1 2 5
xk
yk
p(x )=
( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 4 )
( 0 - l ) ( 0 - 2 ) ( 0 - 4 ) 1 +
x ( x - 2 ) ( x - 4 )
1(1 - 2)(1 - 4)
1 + x(x -1) (x - 4)
2 ( 2 - l ) ( 2 - 4 )
2 + x ( x - l ) ( x - 2 )
4 ( 4 - l ) ( 4 - 2 )
5
PUNTOS NO EQUIDISTANTES 111
puesto que al intercambiar x0 con x1 y y0 con y1 se invierte simplemente el orden de los dos términos a la de
recha. Ahora este procedimiento puede aplicarse a diferencias más altas.
8.8 Pruebe que y(x0, x1, x2) es simétrica.
Reescríbase esta diferencia como
Intercambiando cualesquiera dos argumentos xj y xk y los valores y correspondientes sólo se intercambian
en estas condiciones los términos yj y yk a la derecha, dejando que el resultado no sufra cambio. Puesto
que cualquier permutación de los argumentos xk puede ser afectada por intercambios sucesivos de pares,
la diferencia dividida es invariante bajo las permutaciones (tanto de los números xk como de los yk).
8.9 Pruebe que, para cualquier entero positivo n.
donde Esto generaliza el resultado de los dos
problemas previos.
La prueba es por inducción. Ya tenemos este resultado para n = 1 y 2. Supongámoslo cierto para
n = k. Entonces por definición,
Puesto que hemos supuesto verdadero nuestro resultado para diferencias de orden k, el coeficiente de yk a
la derecha, para i = 1, 2 k, será
donde se entiende que el factor (xl - xi) no se incluye en los productos del denominador. Pero este coefi
ciente se reduce a
como se quería. Para i = 0 o i = k + 1 el coeficiente de yi queda de una pieza en vez de dos, pero en ambos
casos se observa fácilmente que será el que exige el teorema con n = k + 1, esto es,
Lo anterior completa la inducción y prueba el teorema.
y 2 - y 1 y 1 - y 0
x1 - x0 x 2 - x 1 x 2 - x 0
1
x2 - x0
y(x0, x1 y(x1,x2) y (x 0 , x 1 x 2 ) =
y1
( x 1 - x 0 ) ( x 1 - x 2 ) ( x 0 - x 1 ) ( x 0 - x 2 )
y0 y2
(x2-x0)(x2-x1)
(x0-x1) (x0 - xk+1)
1
(xk+1 - x0) (xk+1 - xk)
1
(xi - xk)
1
(xi - x0) (xi - xk + l)
1
(xi - x 1 ) xk+1 - x0)
1
112 MÉTODOS NUMÉRICOS
8.10 Pruebe que la n-ésima diferencia dividida es simétrica.
Esto se desprende de inmediato a partir del problema anterior. Si cualquier par de argumentos se in
tercambia, digamos x¡ y xk, los términos que incluyen a yi, y a yk a la derecha se intercambian y no hay nin
gún otro cambio.
8.11 Evalúe unas cuantas de las primeras diferencias de y(x) = x2 y x3.
Considere primero y(x) - x2. Entonces
Considerando a x0 como fija y a x1 como el argumento, las diferentes partes de esta fórmula pueden verse
como funciones de x1. En particular, el numerador es un polinomio en x1 de grado n, con un cero en x1 = x0.
Por el teorema del factor el numerador contiene a x1 - x0 como un factor y por consiguiente el cociente, que
es p(x0, x1), es un polinomio en x1 de grado n - 1. Por la simetríade p(x0, x1) es también, en consecuencia,
un polinomio en x0 de grado n - 1. El mismo argumento puede repetirse ahora. Una segunda diferencia típi
ca es
Considerando a x0 y x1 fijos y a x2 como argumento, el numerador es un polinomio en x2, de grado n - 1 ,
con un cero en x2 = x0. Por el teorema del factor p(x0, x1, x2) es, por tanto, un polinomio en x2 de grado n - 2.
Por la simetría de p(x0, x1, x2) es también un polinomio en x0 o en x1 nuevamente de grado n - 2. Continuan
do en esta forma se llega al resultado que se requiere. Se requiere una inducción para completar la prueba,
pero este caso es sencillo y se omitirán los detalles.
De nuevo las diferencias de mayor orden son claramente cero. Note que en ambos casos todas las diferen
cias son polinomios simétricos.
8.12 Demuestre que la k-ésima diferencia dividida de un polinomio de grado n es un polinomio de grado n - k si
y es cero si k > n.
Defínase el polinomio p(x). Una diferencia dividida típica es
Las diferencias de mayor orden claramente serán 0. Tomemos ahora y(x) - x3.
PUNTOS NO EQUIDISTANTES 113
8.13 Pruebe que la fórmula de diferencias divididas de Newton
representa el polinomio de colocación. Esto es, toma los valores p(xk) = yk para k - 0 n.
El hecho de que p(x0) - y0 es evidente. A continuación, de la definición de diferencias divididas, y utili
zando la simetría,
que se simplifica en y que corresponde al mismo resultado encontrado con la
fórmula de Lagrange.
p(x) = y0 + (x-x0) y (x0, x1) + (x-x0)(x-x1) y (x0, x1, x2)
(x - 0)(x - 1)(X - 2) p(x) = 1 + (x - 0)0 + (x - 0)(X - 1) 1 12
que demuestra que p(xn) - yn.
Puesto que esta fórmula representa el mismo polinomio que la fórmula de Lagrange, cada una de
ellas es sólo un acomodo de la otra.
8.14 Encuentre un polinomio de tercer grado que tome los valores de la tabla 8.1.
Empleando la fórmula de Newton, que incluye las diferencias en la diagonal superior de la tabla 8.1,
yn = y0 + (xn -x0)y(x0 , x1) + (xn -x0 ) (xn -x1)y(x0 , x1,x2)
+ • • • + (xn -x0)(xn- x1) • • • (xn - x n - 1 ) y (x0, • • • , xn-1, xn)
Por ejemplo, la segunda línea se deriva de
Para k - 1 la primera de éstas prueba que p(x1) - y1. Sustituyendo la segunda en la primera se obtiene
la cual para k - 2 prueba que p(x2) - y2. Las sustituciones sucesivas verifican que p(xk) - yk para cada xk co
rrespondiente hasta que finalmente llegamos a
yk = y0 + (xk-x0) y (x0, x1) + (xk-x0)(xk-x1) y (x0, x1, xk)
y(x1, x0)
xK - x1
y(x0, xk)
y(x0, x1, xk) = y (x1, x0, xk) =
y(x0, • • •, xn-2, xk) = y (x0, • • •, xn-1) + (xk-xn-1) y (x0, • • • , xn-1, xk)
y (x0, x1, xk) = y (x0, x1, x2) + (xk-x2) y (x0, x1, x2, xk)
yk = y0 + (xk-x0) y (x0,xk)
y (x0, xk) = y (x0, x1) + (xk-x1) y (x0 ,x1, xk)
+ • • • + (x - x0)(x-x1) • • • (x-xn-1) • • • (x-xn-1) y (x0, • • •, xn)
114 MÉTODOS NUMÉRICOS
Problemas suplementarios
8.15 Use la fórmula de Lagrange para producir un polinomio cúbico que incluya los siguientes pares de números
xk, yk. Evalúe después este polinomio en x = 2, 3, 5.
8.16 Use la fórmula de Lagrange para generar un polinomio de cuarto grado que incluya los siguientes pares de
números xk, yk. Evalúe después el polinomio en x = 3.
8.17 Deduzca la fórmula de Lagrange determinando los coeficientes ai en el desarrollo de fracciones parciales
[Multiplique ambos lados por x - x, y permita que x se acerque a xi en el límite, recordando que p(xi) = yi en
la colocación.] El resultado es
8.18 Aplique el problema 8.17 para expresar como una suma de fracciones parciales
[Sugerencia. Considere el denominador como para algunos x0, x1, x2 y después encuentre los corres
pondientes y0, y1 y2. Esto equivale a considerar p(k) como el polinomio de colocación.]
8.19 Exprese como una suma de fracciones parciales.
8.20 Demuestre que
Pueden escribirse desarrollos similares por simetría para los demás coeficientes.
0 1 4 6
1 - 1 1 - 1
xk
yk
(x-x0) • • • (x-xn-1)
(x0-x1) • • • (x0-xn) (x0-x1) (x0-x2)
(x-x0) (x-x1) x-x0
x0-x1
L0(x) = 1 +
PUNTOS NO EQUIDISTANTES 115
8.21 Escriba la fórmula de Lagrange de tres puntos para los argumentos y después considere el
límite cuando tiende a 0. Muestre que
Esto determina un polinomio cuadrático en términos de y(x0), y'(x0) y y(x1).
8.22 Proceda como en el problema anterior, empezando con la fórmula de Lagrange para argumentos x0, x0 +
para representar un polinomio cúbico en términos de y(x0), y'(x0), y(x1). y'(x1).
8.23 Calcule las diferencias divididas hasta de tercer grado para los pares xk, yk:
8.24 Encuentre el polinomio de colocación de tercer grado para los pares xk, yk del problema 8.23. Use la fórmula
de Newton. Compare el resultado con el obtenido mediante la fórmula de Lagrange.
8.25 Reacomode los pares de números del problema 8.23 como sigue:
Calcule otra vez la tercera diferencia dividida. Debe ser el mismo número que antes, ilustrando la propiedad
de simetría.
8.26 Calcule la cuarta diferencia dividida para los siguientes valores yk:
8.27 Aplique la fórmula de Newton para encontrar el polinomio de colocación para los datos del problema 8.26.
¿Qué valor toma este polinomio en x = 3?
8.28 Muestre que
0 1 4 6
1 - 1 1 - 1
Xk
yk
4 1 6 0
1 - 1 - 1 1 yk
xk
116 MÉTODOS NUMÉRICOS
8.29 Para y(x) = (x - x0)(x - x1,) • • • (x - xn) = π(x), pruebe que
y (x0, x1, • • • xp) = 0
y (x0, x1, • • • xn, x) = l
y(x0, x1, • • • xn, x, z) = 0
8.30 Muestre que
es otra manera de escribir el polinomio de colocación, verificando que
P(xk)=yk para k = -2 , - 1 , 0, 1, 2
Ésta es una generalización de la fórmula de Stirling para puntos no equidistantes. Puede ser ampliada a un
grado mayor y también es factible generalizar la fórmula de Bessel y otras fórmulas.
8.31 Muestre que para argumentos que son igualmente espaciados, por lo que xk+1 -xk=h, tenemos
8.32 Las diferencias divididas con dos o más argumentos iguales pueden definirse mediante procesos de límite.
Por ejemplo, y(x0, x0) puede definirse con el lím y(x, x0), donde el lím x = x0. Esto implica que
Compruebe esto directamente cuando mostrando que en este c a s o p o r lo que el
lim Compruébelo también directamente cuando mostrando primero que en
este caso
para todas las
para todas las
X
x , z
para p = 0, 1,• • • ,n
P(x) = y0
y ( x 1 , x 0 ) + y ( x 0 , x - 1 )
2
(x - x0) + y(x1 x0, x-1)(x - x0)
y ( x 2 , x 1 , x 0 , x - 1 )
2
y(x1 x0, x-1 x - 2 ) (x-x1)(x-x0)(x-x-1)
+ y(x2, x1 x0,x -1, x -2)(x - X 0 ) ( X -x -1)(x -x -1)
PUNTOS NO EQUIDISTANTES 117
8.33 En la segunda diferencia dividida
puede verse que el lado derecho tiene la f o r m a c o n considerada una constante. Si el lím
definimos
Esto implica que
Compruebe esto directamente cuando mostrando primero que en este caso
en tanto que
Interpolación por
segmentos (splines)
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar con sus propias palabras qué caminos podemos tomar cuando tenemos una secuencia de
datos equidistantes o no equidistantes, para aproximarlos mediante interpolación por segmentos
(Introducción, Capítulos 3, 6, 8,10,11,12).
2. Explicar con sus propias palabras a partir de qué conceptos surge el concepto de interpolación por
segmentos (Introducción).
3. Expresar con sus propias palabras cinco ventajas y cinco desventajas del uso de interpolación por
segmentos en comparación con otros métodos de interpolación (Introducción).
4. Aplicar la interpolación por segmentos en problemas con datos equidistantes y no equidistantes
(Problemas 9.7, 9.11, 9.18, 9.23).
5. Obtener segmentos de interpolación e imponerles el requisito de que pasen a través de los nodos
apropiados, para determinar las constantes de integración (Introducción, Problemas 9.1 a 9.3, 9.22).
6. Asegurar la continuidad de una interpolación por segmentos en la primera derivada (Introducción,
Problemas 9.4 a 9.6, 9.24, 9.25).
7. Encontrar segmentos cúbicos de interpolación parauna función determinada, en un intervalo
(Problemas 9.7, 9.8, 9.18 a 9.20).
8. Obtener segmentos de interpolación e imponerles el requisito de que pasen a través de los nodos
apropiados, para determinar las constantes de integración, omitiendo ciertos segmentos, de acuerdo
con las necesidades del problema en particular (Introducción, Problemas 9.9 a 9.11, 9.21, 9.23).
9. Estimar el error de una aproximación por segmentos (Problemas 9.12, 9.13).
10. Estimar qué tan bien se aproxima la primera derivada de una función, mediante la interpolación por
segmentos (Problemas 9.12 a 9.17).
APLICACIONES DE LA INTERPOLACIÓN POR SEGMENTOS
Como se podrá ver en el capítulo 8, la interpolación es una herramienta muy útil dentro de muy diversas discipli-
nas; el concepto de interpolación por segmentos (spiines) podría decirse que es una aplicación muy sofistica-
da de la interpolación, ya que en lugar de emplear sólo un polinomio de aproximación que pudiera ser de alto
grado, se emplean varios polinomios conjuntados, debido a que se crea un polinomio de bajo grado entre cada
uno de los puntos de la muestra, además de que se reducen los picos.
INTERPOLACIÓN POR SEGMENTOS {SPUNES) 119
Otra ventaja muy importante es que al emplear polinomios de bajo grado evitamos posibles oscilaciones que
ocurrirían con polinomios de alto grado.
Como en todos los casos de aproximación polinomial, una vez que tenemos la aproximación adecuada,
podemos derivarla, integrarla, evaluarla, conocer su comportamiento, obtener sus raíces y en general emplearla
para hacer cualquier tipo de operaciones que necesitemos.
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS
Polinomios 2
Manejo de funciones continuas
Polinomios osculadores 10
El polinomio de Taylor 11
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Manejo de funciones discretas
Diferencias finitas 3
Polinomios factoriales 4
Sumas (sumatorias) 5
Sumas y series 17
El polinomio de Newton 6
Aproximación polinomial mediante interpolación
Operadores y polinomios de colocación 7
Puntos no equidistantes 8
Interpolación por segmentos (splines) 9
Interpolación 12
Operación de polinomios
Diferenciación numérica . . . . . 13
Integración numérica 14
Integración gaussiana 15
Casos especiales de integración numérica 16
120 MÉTODOS NUMÉRICOS
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA
En lugar de usar un solo polinomio, presumiblemente de alto grado, para representar una función dada so
bre un intervalo para alcanzar la precisión requerida, podemos unir varios segmentos de polinomio, cada uno de
ellos de bajo grado. El ejemplo clásico es, desde luego, un conjunto de segmentos de línea, en donde cada uno
de ellos corresponde a los datos proporcionados sobre un subintervalo. Tal aproximación es continua pero tiene
una primera derivada con discontinuidades en los extremos del intervalo, las esquinas (Fig. 9-1). Ésta es la base
para las interpolaciones elementales en las tablas y para la regla trapezoidal en la integración numérica. La supo
sición implícita de que entre los puntos dato la función dada es casi lineal, puede ser razonable si los puntos están
lo suficientemente cercanos.
Fig. 9-2
En el capítulo 14 ajustaremos segmentos parabólicos (polinomios cuadráticos) en conjunto para desarrollar
la regla de Simpson para la integración numérica. Se darán también otros ejemplos usando polinomios de grado li
geramente mayor. En todos estos casos habrá esquinas donde se unan los segmentos.
Consideraremos ahora un método en el que segmentos cúbicos se reconstruyen de manera tal que las es
quinas se redondean, siendo continuas tanto la primera como la segunda derivada de la aproximación. Los poli
nomios de alto grado tienen característica oscilatoria. Uno de grado n puede tener tantos como n - 1 puntos de
retorno. Cuando un polinomio de tales características representa con precisión una función dada, ello suele ser
por una oscilación regresiva y progresiva a través de la función. Esto tiene efectos colaterales indeseables como
una pobre aproximación de la derivada, por mencionar sólo uno. La aproximación por interpolación segmentaria
que se obtendrá ahora, evita dichas oscilaciones porque está compuesta de segmentos de bajo grado. El término
interpolación segmentaria se omite en el instrumento de dibujo del mismo nombre, una tira flexible que se usa en
el dibujo de curvas.
Dado un intervalo (a, b)= 1 dividido en n subintervalos por los puntos x0= a, x1 x2 ..............xn=b, un segmento
cúbico se ajustará a cada subintervalo, tomando valores específicos y, en los puntos xi con la primera y segunda
derivadas en subintervalos adyacentes que concuerdan en valor con la unión. Los puntos x, a xn-1 se llaman los
nodos, o nudos, de la interpolación segmentaria (Fig. 9-2). Los detalles del desarrollo de estos segmentos de in
terpolación se tratarán en los problemas resueltos, y se brindarán ejemplos.
segmentos cúbicos
nudo
continuas)
x0 x¡ x„
y¡
Fig. 9-1 Una interpolación segmentaria primitiva.
INTERPOLACIÓN POR SEGMENTOS (SPUNES) 121
Problemas resueltos
9.1 Un polinomio de tercer grado, cúbico, tiene cuatro coeficientes. Es una representación común
Con las convenciones de la figura 9.2, los n segmentos cúbicos juntos implicarán 4/7 coeficientes. ¿Cómo
se compara lo anterior con el número de condiciones que se imponen a la interpolación segmentaría?
El punto es que ordinariamente esperaríamos que 4n coeficientes fueran determinados por 4n condi
ciones. Aquí tenemos que cumplir cuatro condiciones en los nudos x1 a xn-1 es decir, el segmento en cual
quiera de los lados debe alcanzar este punto, y las primeras dos derivadas tienen que concordar. Esto se
convierte en 4n - 4 condiciones. En los dos puntos extremos sólo nos interesa la colocación, dos condicio
nes más, haciendo un gran total de 4n - 2. La interpolación segmentaria no está, entonces, definida com
pletamente por las especificaciones dadas. Restan dos grados de libertad. Algunas veces éstos se usan
para hacer cero la segunda derivada en los puntos extremos, conduciendo a lo que se conoce como la in
terpolación segmentaría natural. De manera alternativa es posible requerir que los segmentos extremo co
rrespondan con los valores de la derivada en el extremo de la función dada, si éstos pueden conocerse o
aproximarse. Puede además explorarse una tercera opción, relativa a la reducción de las especificaciones
en los nudos x1 y xn-1.
9.2 Sean los subintervalos de la figura 9.2 /1 a /n, de modo que /i=(xi-l, x i). Defínase también hi=xi- xl-1
notando que los subintervalos no necesitan ser del mismo largo. Si Si (x) es el segmento de interpolación
en /1, muestre que
para constantes
Sobre el segmento de interpolación es cúbico, por lo que su primera derivada será cuadrática y la
segunda derivada lineal. Sólo queda comprobar la continuidad en cada nudo para El
segmento toca este nudo en su extremo derecho en tanto que lo toca en su extremo izquierdo. Las
derivadas requeridas son por tanto
reduciéndose ambas a C. La continuidad está asegurada y descubrimos que las constantes C son de he
cho ios valores comunes de las segundas derivadas de la interpolación segmentaria.
9.3 Integre dos veces el resultado del problema precedente para obtener los segmentos de interpolación e im
ponga después el requerimiento de que esos segmentos pasen a través de los nudos apropiados para
determinar la constante de integración.
Con las dos integraciones se obtiene
y
122 MÉTODOS NUMÉRICOS
siendo los dos últimos términos la función lineal presentada por las constantes de integración. Para la colo
cación en los nudos, debemos tener S,(xi-1)= yi-1 y Si(xi)= yi. Estas condiciones fijan ci y di y conducen a
como puede verificarse insertando xi-1 y xi.
9.4 Resta asegurar la continuidad de las primeras derivadas. Para ello, diferencie el resultado del problema
anterior y compare los valores adyacentes como en el problema 9.2.
Diferenciando
por lo que las derivadasrequeridas en el nudo xk son
Puesto que éstas son ¡guales, tenemos, para k = 1 n - 1 ,
que es un sistema lineal de n - 1 ecuaciones para las constantes C0 a Cn. Como se observó antes, el siste
ma no está determinado. Nos faltan dos ecuaciones.
Hay una manera interesante de incluir dos ecuaciones adicionales en el sistema lineal, manteniendo
nuestras opciones abiertas y preservando el carácter general de la matriz. Primero dejemos que
para i = 1 , . . . , n - 1. El sistema puede entonces reescribirse, aun para i = 1 n - 1, como
Tomando ahora dos condiciones adicionales en la forma
y
INTERPOLACIÓN POR SEGMENTOS (SPUNES) 123
con a nuestra disposición. El sistema combinado toma, por tanto, la forma:
La matriz coeficiente es diagonal triple, con todos los demás elementos iguales a cero.
9.5 ¿Cómo puede usarse el sistema lineal del problema anterior para encontrar una interpolación segmentaria
natural?
Elija como cero. Las ecuaciones superiores e inferiores obligan entonces a que C0 y Cn
sean también cero y esto es lo que identifica a la interpolación segmentaría natural. El sistema se reduce al
orden n -1 determinando las restantes C1 a Cn-1.
9.6 En forma similar, ¿cómo podemos arreglar las condiciones que deben cumplirse en los extremos?
Omitiendo las fórmulas apropiadas del problema 9.4, tenemos
que se convierten fácilmente en
Comparando ahora con la primera y última ecuaciones del sistema lineal, es decir
2Cn = dn, se sugieren las elecciones
que proporcionarán, en efecto, los valores extremos requeridos.
y
y
124 MÉTODOS NUMÉRICOS
9.7 Ajuste segmentos de interpolación cúbicos a la función f(x) - sen x en el intervalo Use sólo los dos
puntos interiores
El conjunto de datos correspondiente es
con i = 0 3 y todas las Son tres los segmentos cúbicos que deben encontrarse. Los valores
uniformes hi producen de inmediato que sean iguales a E n consecuencia,
con el mismo resultado para d2. Esto nos lleva a las ecuaciones
y al tema de las condiciones de los extremos. La interpolación segmentaria natural es en verdad apropiada
en este caso debido a que la función seno tiene segundas derivadas cero en los puntos extremos. Así que
ajustamos C0 y C3 a cero. El sistema restante rápidamente produce La sustitución en
las fórmulas del problema 9.3 da como resultado los segmentos de interpolación, que después de simplifi
caciones son:
El problema 9.19 pide que se verifiquen estos segmentos cúbicos revisando todas las condiciones que se
imponen sobre los mismos. La simplicidad del ejemplo ha permitido manejar valores exactos a lo largo de
todo el proceso. Note también que el segmento "cúbico" central es en realidad cuadrático.
9.8 Ajuste de nuevo segmentos cúbicos para lá función seno, pidiendo esta vez que las primeras derivadas en
los puntos extremos sean iguales a las derivadas del seno.
Las nuevas condiciones en los puntos extremos son A partir del problema 9.6
encontramos
INTERPOLACIÓN POR SEGMENTOS (SPLINES)
así que el nuevo sistema lineal es
y tiene esta solución
Sustituyendo en las fórmulas S,(x) del problema 9.3, tenemos otra vez los segmentos cúbicos. La verifica
ción de que estos segmentos cumplen todas las funciones que se imponen sobre ellos se plantea en el pro
blema 9.20, donde además puede encontrarse que los valores extremos de no son cero.
9.9 Una tercera manera de obtener un sistema bien determinado para la aproximación por interpolación seg
mentaria es relajar un poco nuestros requerimientos. Por ejemplo, omitiendo los segmentos S1(x) y Sn(x),
podemos pedir que S2(x) y Sn-1,(x) se hagan cargo de las colocaciones de los puntos extremos. Esto elimina
además los requerimientos de continuidad en x1 y xn-1, que ya no son nudos. Muestre que el problema
resultante tendrá tantas condiciones que satisfacer como coeficientes disponibles para cumplirlas.
Ahora habrá n - 2 segmentos cúbicos en lugar de n, con 4 n - 8 coeficientes disponibles. Pero sólo
habrá n - 3 y no n - 1 nudos. Con cuatro requerimientos por nudo, deben satisfacerse 4 n - 1 2 condiciones.
Puesto que también se requiere la colocación en x0, x1, xn-1, y xn, el conteo de condiciones asciende a 4n - 8.
9.10 Modifique los desarrollos en los problemas 9.2 y 9.4 para satisfacer los requerimientos que se sugieren en
el problema 9.9.
Una cuidadosa relectura de los problemas mencionados mostrará que puede ahorrarse mucho. Las n - 3
ecuaciones centrales de nuestro sistema lineal, como se presentaron en el problema 9.4, aún son válidas
porque ellas se refieren a los nudos x2 a xn-2 en donde no se han hecho cambios. Éstas ya proporcionan n - 3
ecuaciones para los n - 1 coeficientes C1 a Cn-1. Las otras dos ecuaciones necesarias harán que S2(x0) = y0
y Sn-1(xn) = yn. Regresando a la fórmula de Si(x) dada en el problema 9.3, estas condiciones pueden poner
se en práctica. Después de algunos manejos algebraicos puede inducirse que tomarán la forma
con las siguientes definiciones:
125
126 MÉTODOS NUMÉRICOS
La forma final del sistema es por consiguiente
de nuevo diagonal triple, con todos los demás elementos iguales a cero.
9.11 Aplique el método que acaba de desarrollarse a en el intervalo usando tres puntos inte
riores igualmente espaciados.
Hay cuatro subintervalos, con segmentos de interpolación que se encontrarán para los dos interiores.
El único nudo estará en Esto aclara por qué no continuamos el ejemplo anterior, el cual tenía un in
tervalo menos. No habría nudos y un solo segmento cúbico interpolaría los cuatro puntos dados. El conjun
to de datos presente es
con todos los Las fórmulas p a r a s e aplican ahora sólo en el nudo x2 y producen
Encontramos además y consecuentemente la única ecuación
Regresando a las fórmulas más recientes, y
INTERPOLACIÓN POR SEGMENTOS (SPLINES) 127
por lo que nuestro sistema lineal es el siguiente:
Resolviendo, y recurriendo otra vez al problema 9.3, llegamos a estos dos segmentos de interpolación:
Con un poco de paciencia puede comprobarse que S2 une los primeros tres puntos, S3 los últimos tres y
que ellos forman un nudo apropiado en x2. Esto es todo lo que se requirió. Dividendos tales como
o habrían sido convenientes, pero no hay razón para ser tan ambiciosos. Tendrán que ha
cerse las aproximaciones 1.05 y -1.09.
9.12 ¿Cuál es el error en la aproximación por interpolación segmentaria?
Puede mostrarse que
donde H es el mayor de los hi y los máximos están en el intervalo /.
9.13 Aplique la cota de error del problema 9.12 a la interpolación segmentaria del problema 9.7.
La cuarta derivada de sen x está acotada, desde luego, por De tal modo
9.14 ¿Qué tan bien se aproxima una interpolación segmentaria a la derivada
Puede demostrarse que
9.15 Aplique la fórmula del problema 9.14 a la interpolación segmentaria del problema 9.12.
Encontramos aproximadamente. Hablando en general, las interpolaciones segmentarias
son aproximaciones bastante buenas para las derivadas.
128 MÉTODOS NUMÉRICOS
9.16 ¿Qué se entiende cuando se dice que una interpolación segmentaria es una aproximación global a f(x)?
Los segmentos de la interpolación no se determinan independientemente unos de otros. Cada uno
está enlazado con todos los demás. El conjunto de coeficientes C, que identifica los segmentos está deter
minado por un sistema lineal. En contraste, podría ajustarse un polinomio cúbico para los primeros cuatro
puntos, x0 a x3, después otro correspondiente al grupo x3 a x6 y asi sucesivamente a través del intervalo /.
Cada segmento tendría que encontrarse entonces en forma independiente de los otros, pero las propieda
des de continuidad de la interpolación segmentaria en los nudos es casi seguro que estaría ausente.
9.17 Muestre que la interpolación segmentaria natural en (a, b) minimiza singularmente
entre todas las fundones f(x) que tienen segundas derivadas continuas y que satisfacen f(x1) = y, en los nu
dos. Observe primero que
con S(x) la interpolación segmentariacúbica. La integración por partes sobre cada subintervalo convierte la
última integral en la forma siguiente:
Los últimos dos términos desaparecen puesto que f(x) es igual a Si(x) en los nudos y Si(4)(x) es cero. Su
mando lo que está a la izquierda para i = 1 n hay cancelación de todos los valores interiores dejando
que también se hace cero puesto que S es la interpolación segmentaria natural. Observe que este residuo
aún se haría cero si supiéramos alternativamente que concuerdan en los puntos extremos. En cual
quier caso, reordenando un poco la ecuación original,
que hace la primera integral más pequeña que la segunda.
9.18 Ajuste una interpolación segmentaria cúbica a estos datos.
0 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6
0 2.9 3.5 3.8 3.5 3.5 3.5 2.6 0
xi
yi
INTERPOLACIÓN POR SEGMENTOS {SPLINES) 129
Eligiendo la interpolación segmentaria natural, el sistema del problema 9.4 proporciona siete ecuacio-
nes para las siete C, interiores. Su solución, redondeada hasta dos lugares, es como sigue:
Una gráfica con los nueve puntos dato y los segmentos de interpolación aparece en la figura 9.3. Recordan
do que las C, son los valores de la segunda derivada en los puntos dato, con C0 y C8 iguales a cero, es tran
quilizador observar su comportamiento a través del intervalo, en particular los grandes valores que más o
menos se esperaban.
Problemas suplementarios
9.19 Compruebe que la interpolación segmentaria del problema 9.7 cumple con todas las condiciones que se le
imponen.
9.20 Compruebe que el primer segmento cúbico en el problema 9.8 es
y encuentre los otros dos segmentos. Verifique que cumplen los requerimientos impuestos sobre ellos.
9.21 Verifique los detalles dados en el problema 9.10.
Fig. 9-3
1 2 3 4 5 6 7
-.23 -.72 -4.08 2.65 .69 -5.40 -.70
i
Ci
130 MÉTODOS NUMÉRICOS
9.22 Encuentre la interpolación segmentaria natural que pasa a través de los siguientes puntos:
9.23 Aplique el procedimiento del problema 9.10 a los datos anteriores, encontrando una interpolación de dos
segmentos en los dos subintervalos centrales. El único nudo estará en x = 2, pero la interpolación debe, por
supuesto, pasar también a través de los dos puntos extremos.
9.24 El caso en el que todos los puntos dato caen en una línea recta es uno que difícilmente requiere una
interpolación segmentaria, pero vale la pena un momento de reflexión al respecto. Recuerde que las cons
tantes C¡ son los valores de la segunda derivada y en este caso deben ser todas cero. ¿Cómo logra esto
nuestro sistema lineal?
9.25 ¿Qué sucede con nuestro sistema lineal si todos los puntos dato caen sobre una parábola?
0 1 2 3 4
0 0 1 0 0
xi
yi
Polinomios osculadores
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar con sus propias palabras el significado de los polinomios osculadores (Introducción).
2. Explicar con sus propias palabras la diferencia sustancial entre polinomio osculador y polinomio de
colocación (Introducción, Capítulos 6, 7, 8).
3. Expresar con sus propias palabras cinco ventajas y cinco desventajas del uso de los polinomios
osculadores al aproximar una función (Introducción, Capítulos 6, 7, 8).
4. Aplicar los métodos para obtener polinomios osculadores en problemas con datos equidistantes y no
equidistantes (Introducción, Problemas 10.3,10.7 a 10.10,10.15 a 10.17).
5. Desarrollar matemáticamente la fórmula de Hermite que cumple la osculación de primer orden,
además, demostrar que sólo existe un polinomio que cumple las especificaciones requeridas
(Introducción, Problemas 10.1,10.2,10.5).
6. Aplicar la fórmula de Hermite que cumple la osculación de primer orden en problemas de ejemplo
(Introducción, Problemas 10.3,10.8,10.9,10.15).
7. Obtener una fórmula matemática que muestre la diferencia entre la función original y el polinomio
osculatorio de aproximación; asimismo, estimar el error de aproximación (Problemas 10.4,10.14).
8. Encontrar un polinomio de osculación hasta la segunda derivada y aplicarlo en problemas de
ejemplo (Problemas 10.6,10.7,10.10,10.16,10.17).
9. Encontrar dos polinomios de osculación hasta la segunda derivada y aplicarlos en problemas de
ejemplo (Problemas 10.11,10.12).
10. Derivar, a partir de la fórmula de osculación de dos puntos de Hermite, la fórmula del punto medio y
estimar el error en que se incurre (Problemas 10.13,10.14).
APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS OSCULADORES
La palabra osculatorio proviene de "ósculo" voz de origen latino que significa beso. Como se ha podido ver a lo
largo de los primeros capítulos, la aproximación polinomial es una herramienta muy útil dentro de muy diversas
disciplinas; los polinomios osculadores garantizan que además de tener el mismo valor en determinados puntos
de la función original, lo tienen en la primera derivada, en la segunda derivada y en derivadas de órdenes supe-
riores.
Por lo tanto la gran utilidad de estos polinomios es que a pesar de ser aproximaciones de un original, nos re-
ducen el riesgo de tener grandes oscilaciones aun teniendo exponentes mayores.
132 MÉTODOS NUMÉRICOS 10
Como en todos los casos de aproximación polinomial, una vez que tenemos la aproximación adecuada, po-
demos derivarla, integrarla, evaluarla, conocer su comportamiento, obtener sus raíces y en general emplearla para
hacer cualquier tipo de operaciones que necesitemos.
Este capitulo una vez más está destinado al dominio del conocimiento y a la mecanización del concepto, ya
que se empleará como herramienta en los temas sustanciales de métodos numéricos.
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS
Polinomios 2
Manejo de funciones continuas
Polinomios osculadores 10
El polinomio de Taylor 11
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Manejo de funciones discretas
Diferencias finitas 3
Polinomios factoriales 4
Sumas (sumatorias) 5
Sumas y series 17
El polinomio de Newton 6
Aproximación polinomial mediante interpolación
Operadores y polinomios de colocación 7
Puntos no equidistantes 8
Interpolación por segmentos (splines) 9
Interpolación 12
Operación de polinomios
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Integración gaussiana 15
Casos especiales en la integración numérica 16
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Aproximación polinomial por funciones racionales 23
Aproximación polinomial por funciones trigonométricas . 24
Álgebra no lineal y optimización
Raíces de ecuaciones 25
Ceros de polinomios 25
Método de descenso más rápido (gradiente) 25
POLINOMIOS OSCULADORES 133
POLINOMIOS OSCULANTES
Los polinomios osculantes no sólo concuerdan en valor con una función dada en los argumentos especifica
dos, que es la idea de la colocación, sino que sus derivadas hasta de cierto orden corresponden también con las
derivadas de la función dada, usualmente en los mismos argumentos. De tal modo para la osculación más simple,
requerimos
para k = 0, 1 n. En el lenguaje de la geometría, esto hace que sean tangentes entre si las curvas que repre
sentan nuestras dos funciones en estos n + 1 puntos. La osculación de mayor orden requeriría también que
y así sucesivamente. Las curvas correspondientes tienen entonces lo que se denomina contacto de mayor
orden. La existencia y unicidad de los polinomios osculantes puede probarse mediante métodos que se asemejan
a los que se emplearon con los más simples polinomios de colocación.
La fórmula de Hermite, por ejemplo, exhibe un polinomio de grado 2n + 1 o menor que tiene osculación de
primer orden. Éste tiene la forma
donde son los valores de la función dada y de su derivada en xi. Las funciones Ui(x) y Vi(x) son polinomios
con propiedades similares a las de los multiplicadores de Lagrange Li(x) presentados antes. En efecto,
La fórmula de error de Hermite puede expresarse en una forma que recuerda a la del error de la colocación pero
con una derivada de mayor orden, una indicación de una mayor precisiónque puede obtenerse con la osculación.
El error es
Un método de coeficientes indeterminados puede utilizarse para obtener polinomios que tienen osculación
de orden más alto. Por ejemplo, tomando p(x) en la forma estándar
y al requerir que para los argumentos x0 xn lleva a 3n + 3 ecuaciones para los
3n + 3 coeficientes , Está por demás decir que para n más grande éste será un gran sistema de ecuaciones. Los
métodos del último capítulo pueden utilizarse para resolver tal sistema. En ciertos casos pueden utilizarse procedi
mientos especiales para realizar simplificaciones.
Problemas resueltos
10.1 Compruebe que será un polinomio de grado 2n + 1 o menor, cumpliendo
siempre que
134 MÉTODOS NUMÉRICOS
a) sean polinomios de grado 2n + 1.
b)
c)
El resultado del grado es obvio, puesto que una combinación aditiva de polinomio de un grado deter
minado es un polinomio del mismo o menor grado. Sustituyendo x - xk tenemos
p(xk)= Uk(xk)yk+0 = yk
y en forma similar sustituyendo
siendo los demás términos iguales a cero.
10.2 Recordando que el multiplicador de Lagrange L,(x) satisface muestre que
cumple con todos los requerimientos listados en el problema 10.1
Puesto que Li(x) es de grado n, su cuadrado tiene grado 2n y tanto Ui,(x) como Vi(x) son de grado
2n + 1. Para el segundo requerimiento notamos que Ui(xk) - Vi(xk) = 0 para puesto que Li(xk) = 0. Ade
más, sustituyendo x = xn
por lo que Después calculamos las derivadas
De inmediato Ui(xk) = 0 y Vi(xk) = 0 para debido al factor Li(xk). Y para x - xn Ui(x) = 2Li(xi) - 2Li(xi) = 0
puesto que Li(xi) = 1. Por último, Vi(xi) = [Li (xi)]2 = 1. La fórmula de Hermite es, por tanto
10.3 Una trayectoria de maniobra entre dos rieles de ferrocarril paralelos corresponderá a un polinomio cúbico
que une las posiciones (0, 0) y (4, 2) y que es tangente a las líneas y = 0 y y = 2, como se muestra en la
figura 10-1. Aplique la fórmula de Hermite para producir este polinomio.
donde 1 para
0 para
POLINOMIOS OSCULADORES 135
Fig. 10-1
Las especificaciones requieren un polinomio cúbico que corresponda a estos datos
Con n - 1, tenemos
y sustituyendo en la fórmula de Hermite (sólo es necesario calcular el término puesto que
La importancia de esta trayectoria de maniobra es, desde luego, que brinda un viaje más suave. Siendo
tangente a ambos rieles paralelos, no habrá cambios bruscos de dirección, ni esquinas. Puesto que y
no son cero, hay, sin embargo, discontinuidades en la curvatura. (No obstante véase el problema
10.7.)
10.4 Obtenga una fórmula para la diferencia entre y(x) y su aproximación polinomial p(x).
La deducción es muy similar a la de un polinomio de colocación más simple. Ya que y(x) - p(x) y y(x) =
en los argumentos x0 x„ predecimos un resultado de la forma
donde 7t(x) - (x - x0) (x - xn) es como antes. En consecuencia, definimos la función
que tiene Eligiendo cualquier argumento xn+1 en el intervalo entre
xn, y haciendo
o
o
o
2
o
4
x0 - x1
x — xx L0(x) = L1(x) =
x - x 0
x1 - x0
L0(x) =
xa - x1
1
x1 - x0
1
L1(x) =
136 MÉTODOS NUMÉRICOS
hacemos también Puesto que tiene ahora por lo menos ceros
en puntos intermedios. También tiene ceros en haciendo ceros en total. Esto implica que
ceros por lo menos. Las aplicaciones sucesivas del teorema de Rolle muestran en estas
condiciones que tiene al menos 2n ceros, tiene ceros, y asi sucesivamente hasta
que tiene garantizado al menos un cero en el intervalo entre
esta derivada, obtenemos
que puede resolverse con respecto de C. Sustituyendo hacia atrás,
(2« + 2)
Recordando que puede ser cualquier argumento aparte de y notando que este resultado si
gue cumpliéndose para (siendo ambos lados iguales a cero), reemplazamos.por la más sim
ple x:
10.5 Pruebe que sólo un polinomio puede cumplir las especificaciones del problema 10.1.
Suponga que son dos los polinomios. Puesto que deben compartir valores comunes en los ar
gumentos xk, podemos elegir uno de ellos como el p(x) del problema 10.4 y el otro como el y(x). En otras
palabras, podemos considerar un polinomio como la aproximación del otro. Pero como y(x) es ahora un po
linomio de grado 2n + 1, sigue que es cero. En consecuencia, y(x) es idéntico a p(x), y los dos poli
nomios son en realidad uno y el mismo.
10.6 ¿Cómo puede encontrarse un polinomio que corresponda a los siguientes datos?
En otras palabras, se especifican los valores del polinomio y de sus primeras dos derivadas en dos argu
mentos.
Suponga por simplicidad que x0= 0. Si esto no es cierto, ello se logra muy fácilmente con un corri
miento de argumento. Sea
con A, B y C por determinarse. En x= x0= 0 las especificaciones ya se han cumplido. En x - x1 requieren
POLINOMIOS OSCULADORES 137
Estas tres ecuaciones determinan A, B y C singularmente.
10.7 Una trayectoria de maniobra entre ríeles de ferrocarril paralelos unirá las posiciones (0, 0) y (4, 2). Para
evitar discontinuidades en ambas direcciones y curvatura, se hacen las siguientes especificaciones:
Encuentre un polinomio que cumpla estas especificaciones.
Aplicando el procedimiento del problema 10.6,
la parte cuadrática se hace cero. En x1= 4 encontramos
64A + 256B + 1024C = 2 48A + 256B + 1280C = 0 24A + 192B + 1280C = 0
a partir de la cual Sustituyendo,
Problemas suplementarios
10.8 Aplique la fórmula de Hermite para encontrar un polinomio cúbico que cumpla estas especificaciones.
Este caso puede considerarse como el correspondiente a una trayectoria de maniobra entre rieles no para-
lelos.
10.9 Aplique la fórmula de Hermite para encontrar un polinomio que satisfaga las siguientes especificaciones.
10.10 Aplique el método del problema 10.6 para encontrar un polinomio de quinto grado que cumpla las siguien-
tes especificaciones.
o
o
o
o
o
2
O
4
o
1
o
1
o
1
o
o
o
o
1
o
o
1
2
138 MÉTODOS NUMÉRICOS
Ésta es una trayectoria de maniobra más suave que la del problema 10.8.
10.11 Encuentre dos polinomios de cuarto grado, uno con y el otro con
pasando ambos por (2,1), como se indica en la figura 10-2. Muestre que de modo que un par
de arcos parabólicos sirve también como trayectoria de maniobra entre rieles paralelos, así como el
polinomio cúbico del problema 10.3.
10.12Encuentre dos polinomios d e cuarto grado, uno c o n y e l otro con
pasando ambos por (2,1) con Ésta es otra trayectoria para la cual la dirección y
la curvatura están libres de discontinuidades, del mismo modo que el polinomio de quinto grado del
problema 10.7. Verifique esto mostrando que la primera y la segunda derivadas concuerdan en ambos
lados de (0, 0), (2,1) y (4, 2) donde se unen cuatro tramos de la trayectoria.
10.13 A partir de la fórmula de Hermite para la osculación de dos puntos obtenga la fórmula del punto medio
donde L = x 1 - x0.
10.14 Muestre que el error de la fórmula en el problema 10.13 es
10.15 Encuentre un polinomio de cuarto grado que cumpla las siguientes condiciones:
Fig. 10-2
o
o
o
1
o
1
o
1
POLINOMIOS OSCULADORES 139
Note que no se cuenta con uno de los valores
10.16 Encuentre un polinomio de cuarto grado que cumpla con estas condiciones.
10.17 Encuentre un polinomio de tercer grado que cumpla con estas condiciones.
- 1
7
1
2
O
1
- 2
4
1
1
O
1
El polinomio
de Taylor
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar con sus propias palabras la utilidad del polinomio de Taylor (Introducción).
2. Expresar con sus propias palabras cinco ventajas y cinco desventajas del uso del polinomio de
Taylor al aproximar una función (Introducción).
3. Demostrar que una vez obtenido el polinomio de Taylor, éste es único (Introducción).
4. Encontrar el polinomio de grado n o menor, que junto con sus primeras n derivadas toma los valores
yo, yo(1) yo(n), para el punto x0 (emplee el método de coeficientes indeterminados) (Introducción,
Problema 11.1).
5. Encontrar un polinomio de grado n,tal que en x0 = 0, el polinomio de aproximación y ex concuerdan en
sus valores, junto con sus primeras n derivadas (Introducción. Problema 11.2).
6. Desarrollar matemáticamente la fórmula del residuo del polinomio de Taylor, expresada en forma de
integral (Introducción, Problema 11.3).
7. Desarrollar matemáticamente la fórmula del residuo del polinomio de Taylor, expresada en la fórmula
de Lagrange (Introducción, Problemas 11.4,11.21).
8. Estimar el grado y desarrollar el polinomio de Taylor para alguna función determinada y(x), evaluada
en x0 = 0, que garantice una correcta aproximación con un número definido de decimales (Problemas
11.5,11.11, 11.12, 11.14,11.20, 11.22, 11.23, 11.25).
9. Expresar el polinomio de Taylor con la simbología de los operadores (Introducción, Problemas 11.6 a
11.10, 11.13,11.24, 11.26a 11.29).
10. Desarrollar matemáticamente el caso especial del polinomio de Taylor, para encontrar la fórmula de
Euler-Maclaurin (Introducción, Problemas 11.15 a 11.19).
APLICACIONES DEL POLINOMIO DE TAYLOR
De acuerdo con los capítulos anteriores, hemos visto que los valores de funciones polinomiales se pueden encon-
trar efectuando un número determinado de sumas y multiplicaciones.
Sin embargo hay funciones que no se pueden manipular tan sencillamente como la logarítmica, la exponen-
cial y las trigonométricas, por lo que se hace necesario desarrollarlas mediante un polinomio que nos brinda mu-
chas ventajas; éste es el polinomio de Taylor, ya que no sólo nos garantiza la igualdad en los puntos de
colocación, sino que nos garantiza osculación en todas sus derivadas.
Como en todos los casos de aproximación polinomial, una vez que tenemos la aproximación adecuada,
podemos derivarla, integrarla, evaluarla, conocer su comportamiento, obtener sus raíces y, en general, emplearla
para hacer cualquier tipo de operaciones que necesitemos.
EL POLINOMIO DE TAYLOR 141
Este capitulo está destinado a mostrar las bondades del polinomio de Taylor, ya que éste puede emplear-
se en lugar de la función original, debido a que la diferencia entre los valores de la función y la aproximación poli-
nomial es lo suficientemente pequeña.
La aproximación mediante el polinomio de Taylor, llamado así en honor del matemático inglés Brook Taylor
(1685-1731) es uno de los métodos de aproximación más utilizados.
Como se ha podido ver a lo largo de los primeros capítulos, la aproximación polinomial es una herramienta
muy útil dentro de muy diversas disciplinas; los polinomios osculadores, de los cuales el polinomio de Tayior
es uno de los máximos exponentes, garantizan que además de tener el mismo valor en determinados puntos de la
función original, lo tienen en la primera derivada, en la segunda derivada y en derivadas de órdenes superiores.
Este capítulo una vez más está destinado al dominio del conocimiento y a la mecanización del concepto, ya
que se empleará como herramienta en los temas sustanciales de los métodos numéricos.
Cabe mencionar que la fórmula conocida como de Maclaurin (que es un caso especial del polinomio de
Taylor) fue desarrollada antes por los matemáticos Brook Taylor y por James Stirling.
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS
Polinomios 2
Manejo de funciones continuas
Polinomios osculadores 10
El polinomio de Taylor 11
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Manejo de funciones discretas
Diferencias finitas 3
Polinomios factoriales 4
Sumas (sumatorias) 5
Sumas y series 17
El polinomio de Newton 6
Aproximación polinomial mediante interpolación
Operadores y polinomios de colocación 7
Puntos no equidistantes 8
Interpolación por segmentos (splines) 9
Interpolación 12
Operación de polinomios
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Integración gaussiana 15
Casos especiales en la integración numérica 16
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Aproximación polinomial por funciones racionales 23
Aproximación polinomial por funciones trigonométricas 24
Álgebra no lineal y optimización
Raíces de ecuaciones 25
Ceros de polinomios 25
Método de descenso más rápido (gradiente) 25
142 MÉTODOS NUMÉRICOS
EL POLINOMIO DE TAYLOR
El polinomio de Taylor es la esencia de la osculación. Para un solo argumento se requiere de los valores
del polinomio y de sus primeras derivadas n para igualar aquellas de una función dada y(x). Esto es,
para i = 0, 1, . . . , n
Se demostrará la existencia y unicidad de tal polinomio, donde ambas constituyen resultados clásicos del análisis.
La fórmula de Taylor establece directamente el tema de la existencia al exhibir tal polinomio en la forma
El error del polinomio de Taylor, cuando se considera una aproximación a y(x), puede expresarse por la fór
mula integral
La fórmula del error de Lagrange puede deducirse aplicando el teorema del valor medio a la fórmula integral.
Ésta es
y se asemeja claramente a nuestras fórmulas de error de colocación y de osculación.
Si las derivadas de y(x) están acotadas independientemente de n, entonces cualquier fórmula de error sirve
para estimar el grado n requerido para reducir por debajo de una tolerancia preescrita sobre un inter
valo dado de argumentos x.
Las funciones analíticas tienen la propiedad de que, para n tendiendo al infinito, el error anterior de la aproxi
mación tiene límite cero para todos los argumentos x en un intervalo dado. Tales funciones son representadas en
tonces por la serie de Taylor
La serie del binomio es un caso especialmente importante de la serie de Taylor. Para tenemos
OPERADOR DE DIFERENCIACIÓN D
El operador de diferenciación D está definido por
EL POLINOMIO DE TAYLOR 143
El operador exponencial puede entonces definirse como
y la serie Taylor en la forma del operador se convierte en
y{xk) = ekDy0(x0)
La relación entre D y A puede expresarse en cualquiera de las formas
A + í = eD D = A-~A2 + ^A3
las cuales incluyen operadores de "seríes infinitas".
La transformación de Euler es otra relación útil entre operadores de seríes infinitas. Puede escribirse como
usando la serie del binomio.
Los números de Bernoulli se definen por medio de
En realidad, desarrollando el lado izquierdo en su serie de Taylor encontramos que y asi
sucesivamente. Estos números se representan en diversas ecuaciones de operadores. Por ejemplo, el operador
sumatoria definida se define mediante
y se relaciona con D a través de
donde las B¡ son los números de Bernoulli. El operador es el conocido operador integral indefinido.
La fórmula de Euler-Maclaurin puede deducirse de la relación anterior,
y se emplea con frecuencia en la evaluación ya sea de sumas o integrales.
Las potencias de O pueden expresarse en términos del operador de diferencia central 6 empleando las se-
ries de Taylor. Algunos ejemplos son los siguientes:
144 MÉTODOS NUMÉRICOS
Problemas resueltos
11.1 Encuentre el polinomio p(x) de grado n o menor, que junto con sus primeras derivadas n toma los valores
en el argumento
Un polinomio de grado n puede escribirse
Diferenciaciones sucesivas producen
Las especificaciones requieren entonces
Resolviendo para los coeficientes a„ y sustituyendo
11.2 Encuentre un polinomio p(x) de grado n tal que, en concuerden en valor junto con sus
primeras derivadas n.
Puesto que para e* las derivadas de todos los órdenes son también ex,
El polinomio de Taylor puede escribirse por consiguiente
11.3 Considere una segunda función y(x) que tenga también las especificaciones del problema 11.1. Debemos
pensar a p(x) como una aproximación polinomial a y(x). Obtenga una fórmula para la diferencia y(x) -p(x)
en forma integral, suponiendo que es continua entre x0 y x.
3150 560 90 12
EL POLINOMIO DE TAYLOR 145
Aquí es conveniente usar un procedimiento diferente del que nos llevó a las estimaciones del error co
rrespondiente a los polinomios de colocación y de osculación. Empezamos denominando temporalmente la
diferenciamediante R,
R=y(x)-p(x)
o con todo detalle
Esto define en realidad a R como función de x y x0. Al calcular la derivada de R relativa a x0, manteniendo fi
ja x, encontramos
ya que la diferenciación del segundo factor en cada producto cancela el resultado de la diferenciación del
primer factor en el producto previo. Sólo permanece el último término. Habiendo diferenciado con respecto
a invertimos la dirección e integramos con respecto a para recuperar R.
+ constante
Por la definición original de y la constante de integración es 0. Invirtiendo los límites,
la cual se conoce como la fórmula integral del error.
11.4 Obtenga la forma de Lagrange del error partiendo de la forma integral.
Aquí empleamos el teorema del valor medio del cálculo, que señala que si f(x) es continua y w(x) no
cambia de signo en el intervalo (a, b) entonces
donde está entre a y b. Eligiendo x(x) - (x - x0)n, obtenemos fácilmente
donde está entre x0 y x o su valor se desconoce en otro caso. Esta forma del error es muy popular debido
146 MÉTODOS NUMÉRICOS
a su gran semejanza con los términos del polinomio de Taylor. Excepto para un ξ en lugar de un x0 sería el
término que produce el polinomio de Taylor del siguiente grado mayor.
11.5 Estime el grado de un polinomio de Taylor para la función y(x) - ex, con x0 - 0, el cual garantiza
aproximaciones correctas hasta tres lugares decimales para -1 < x < 1. Realice la estimación hasta en seis
lugares decimales.
Por la fórmula de Lagrange del error,
Para una precisión de tres lugares éste no debe exceder .0005, que es una condición que se cumple
para n - 7 o mayor. El polinomio
es, por tanto adecuado. De modo similar, para una precisión de seis lugares no debe exceder .0000005,
que será verdadero para n - 10.
11.6 ¿Cuál es el resultado de la aplicación de potencias sucesivas de D
Tenemos de inmediato que
11.7 Exprese el polinomio de Taylor en símbolos de operadores.
Sea x - x0 - kh. Éste es el simbolismo que hemos usado antes, con xk abreviado ahora como x. De tal
modo la sustitución directa del polinomio de Taylor del problema 11.1 nos lleva a
Una manera común de reescribir este resultado es
o en términos de la variable entera k
donde como antes p(xk) - pk.
11.8 Una función y(x) se llama analítica en el intervalo si cuando n ∞,
lím R(x, x()) = 0
EL POLINOMIO DE TAYLOR 147
para todos los argumentos x en el intervalo. Es entonces costumbre escribir y(x) como una serie infinita, lla
mada serie de Taylor
Exprese ésta en forma de operador.
Procediendo igual que en el problema 11.7, e n c o n t r a m o s É s t e es nuestro pri
mer operador de serie infinita. La aritmética de tales operadores no es tan fácil de justificar como en el caso
de los operadores más simples utilizados antes.
11.9 El operador ekD se define como Escriba la serie Taylor utilizando este operador.
Tenemos de inmediato que
11.10 Pruebe que eD = E.
Por el problema 11.9 con k - 1 y la definición de E, y(x1) = y1 = Ey0 - eD y0 haciendo E = eD.
11.11 Desarrolle la serie de Taylor para y(x) = In (1 + x), usando x0 = 0.
Las derivadas son por lo que Puesto que y(0) - In 1 - 0,
tenemos
La prueba conocida del cociente muestra que ésta será convergente para -1 < x < 1. Sin embargo, pruebe
que en otro caso ia serie es igual a ln(1 + x). Para ello deje que p(x) represente el polinomio de Taylor, de
grado n. Después por la fórmula de Lagrange para el error
Considere por simplicidad sólo el intervalo 0 < x < 1. La serie se aplica principalmente en este intervalo. El
error puede estimarse sustituyendo ξ por 0 y x por 1 para producir y esto tiene
límite 0. De tal modo p(x) - ln(1 + x), que era nuestro objetivo.
11.12 Estime el grado de un polinomio de Taylor para la función y(x) = ln(1 + x), con xo = 0, que garantice una
precisión de tres lugares decimales en 0 < x < 1.
Por la fórmula de Lagrange para el error
148 MÉTODOS NUMÉRICOS
11.13 Exprese el operador D en términos del operador Δ.
De eD - E encontramos D = In E = In (1 + Δ) = Δ - + • • • .
La validez de este cálculo no está plenamente confirmada, y cualquier aplicación del mismo debe
comprobarse con todo cuidado. Sugiere que el operador de la serie final producirá el mismo resultado que
el operador D.
11.14 Exprese y(x) - (1 + x)p como una serie de Taylor.
Para un entero positivo p, éste es el teorema del binomio del álgebra. Para otros valores de p es la
serie del binomio. Sus aplicaciones son muy amplias. Fácilmente encontramos
y(1)(x) =p(p - 1) • • • (p - i + 1)(1 +x)p-1 =p(i)(1+x)p
donde p ( i ) es otra vez un polinomio factorial. Eligiendo x0 - 0
y sustituyendo en la serie de Taylor,
donde (pi) es el coeficiente binomial generalizado. Puede demostrarse la convergencia de esta serie a y(x)
para -1 < x < 1.
11.15 Utilice la serie del binomio para reducir la transformación de Euler.
La transformación de Euler es un acomodo extensivo de la serie alternante S -a0-a,+ a2-a3 + • • •
que reescribimos como
por el teorema del binomio con p = - 1 . El operador (1 + E)-1 puede interpretarse como el operador inverso
de 1 + E. Se obtiene una segunda aplicación del teorema del binomio
Nuestra deducción de esta fórmula ha sido una aplicación un poco optimista de la aritmética de operadores.
No existe un criterio general fácil de aplicar que asegure su validez.
11.16 Los números de Bernoulli se definen como los números B¡ en la siguiente serie:
Encuentre
mnin.Hn
y(i)(0)=p(i)
S = (1 - E + E2 - E3 + • •)a0 = (1 + E)-1a0
EL POLINOMIO DE TAYLOR 149
La serie de Taylor requiere que y(i)(0) =Bi pero es más fácil en este caso proceder de manera dife
rente. Multiplicando por ex -1 y empleando la serie de Taylor para ex, obtenemos
Comparando ahora los coeficientes de potencias sucesivas de x,
Es evidente la forma en la que podría continuarse el proceso.
11.17 Suponga que ΔFk = yk. Entonces un operador inverso Δ-1 puede definirse mediante
Este operador inverso es "indefinido" en que para un yk dado están determinados los Fk excepto por una
constante aditiva arbitraría. Por ejemplo, en la siguiente tabla los números yk se listan como primeras dife
rencias. Muestre que los números F0 pueden elegirse de manera arbitraría y que ios demás números Fk es
tán, por consiguiente, determinados.
Tenemos de inmediato
y en general Los requerimientos se mantienen claramente para un F0 arbitrario, y la analogía
con la integración indefinida es aparente.
11.18 Obtenga una fórmula para Δ-1 en términos del operador D.
El resultado eD - 1 + Δ sugiere que
Δ-1 = (eD - I)-1 = D-1[D(eD - l) -1]
donde D-1 es un operador integral indefinido, un inverso de D. De la definición de los números de Bernoulli,
F1 = F0 + y0 F2 = F 1 + y 1 = F0 + y0 + y1 F3 = F2 + y2 = F0 + y0 + y 1 + y2
Fk = Δ-1yk
B 0 + B1x
1
2
B2x2 X = X
1
2
1
6 6
1
B3x3
Bo = l B1=
1
2
1
6
B2 = B3 = 0 B4 =
1
30
B5 = 0
B10 =
5
66
B9 = 0 30
1
B8 = B7 = 0 B6 =
1
42
F0 •
150 MÉTODOS NUMÉRICOS
Como ocurre siempre con la integral indefinida (y aquí tenemos también una sumatoria indefinida)
puede suponerse la presencia de una constante aditiva.
11.19 Obtenga de manera opcional la fórmula Euler-Maclaurin.
Combinando los resultados de los dos problemas anteriores, tenemos
De acuerdo con el primero de éstos,
en tanto que al considerar el segundo,
que es la fórmula de Euler-Maclaurin. El operador aritmético empleado en esta deducción requiere clara-
mente de fundamento lógico, pero el resultado es útil a pesar de su cuestionable origen y no obstante el he-
cho de que la serie obtenida suele ser no convergente.
Problemas suplementarios
11.20 Encuentre los polinomios de Taylor de grado n para el sen x y el cos x, usando x0 - 0.
11.21 Exprese el término del error en la forma de Lagrange, tanto para el sen x como para el cos x. Muestre que
cuando n — ∞ este error tiene límite 0 para cualquier argumento x.
11.22 ¿Para qué valor de n elpolinomio de Taylor se aproximará a sen x correctamente hasta alcanzar tres
lugares decimales en 0 < x < π/2?
11.23 ¿Para qué valor de n el polinomio de Taylor se aproximará a cos x correctamente hasta alcanzar tres
lugares decimales en 0 < x < π/2?
por lo que finalmente,
EL POLINOMIO DE TAYLOR 151
11.24 Exprese el operador Δ como un operador de seríes en D.
11.25 Las funciones senh x y cosh x se definen como
Muestre que sus series de Taylor son
11.26 Muestre mediante la aritmética de operadores que δ = 2senh D, μ = cosh D.
11.27 Utilice la serie del binomio para expresar Δ - δ2 + 6 como una serie de potencias de δ, hasta el
término δ7.
11.28 Combine los resultados de los problemas 11.13 y 11.27 para expresar D como una serie de potencia de δ,
comprobando estos términos hasta δ7.
11.29 Verifique los siguientes términos de una serie de Taylor para D2:
elevando al cuadrado el resultado del problema 11.28 y agrupando las diferentes potencias de δ.
cosh x =
ex + e-x
2
senhx =
e x - e - x
2
coshx = senhx =
Interpolación
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar con sus propias palabras al concepto de interpolación (Introducción).
2. Explicar con sus propias palabras la utilidad y cuando menos cinco aplicaciones de la interpolación
(Introducción).
3. Explicar con sus propias palabras el concepto de extrapolación (Introducción).
4. Explicar con sus propias palabras el método de interpolación lineal (Introducción).
5. Explicar gráficamente el método de interpolación lineal (Introducción).
6. Explicar con sus propias palabras el concepto de polinomio único de interpolación, recurriendo a la
teoría presentada en el capítulo 6.
7. Demostrar que el polinomio de interpolación es único, recurriendo a la teoría presentada en el
capítulo 6.
8. Desarrollar matemáticamente el método de Lagrange para la obtención del polinomio de interpolación
(Problemas 12.10.12.23,12.37,12.38).
9. Obtener el polinomio de interpolación que pasa por un conjunto dado de puntos, utilizando el método de
Lagrange (Problemas 12.10,12.23,12.37,12.38).
10. Desarrollar matemáticamente el método de Newton (diferencias progresivas), para la obtención de
polinomio de interpolación, recurriendo a la teoría presentada en los capítulos 3, 6, 7 y 8 (Problemas
12.1.12.3,12.4).
11. Obtener el polinomio de interpolación que pasa por un conjunto de puntos dado, utilizado el método
de Newton (diferencias progresivas), recurriendo a la teoría presentada en los capítulos 3,6,7 y 8
(Problemas 12.1,12.3.12.4).
12. Desarrollar matemáticamente el método de Newton (diferencias regresivas), para la obtención del
polinomio de interpolación, recurriendo a la teoría presentada en los capítulos 3, 6, 7 y 8 (Problemas
12.7,12.28,12.54).
13. Obtener el polinomio de interpolación que pasa por un conjunto de puntos dado, usando el método de
Newton (diferencias regresivas), recurriendo a la teoría presentada en los capítulos 3, 6, 7 y 8
(Problemas 12.7,12.28,12.54).
14. Desarrollar matemáticamente el método de Aitken-Neville (interpolación lineal iterativa), para la
obtención del polinomio de interpolación (Introducción, Capitulo 8).
15. Obtener el polinomio de interpolación que pasa por un conjunto de puntos dado, usando el método de
Aitken-Neville (interpolación lineal iterativa) (Introducción, Capítulo 8).
INTERPOLACIÓN 153
16. Explicar con sus propias palabras el concepto de interpolación lineal inversa (Problema 12.11).
17. Explicar con sus propias palabras tres ventajas y tres desventajas de cada uno de los métodos de
interpolación tratados en este capítulo.
18. Mencionar todos los métodos de interpolación que se pueden utilizar cuando se tienen puntos
equiespaciados.
19. Mencionar todos los métodos de interpolación que se pueden utilizar cuando se tienen puntos no
equiespaciados.
20. Elegir el mejor método de interpolación de acuerdo con la función o tabulación que se le presente en
un problema práctico determinado.
APLICACIONES DE LA INTERPOLACIÓN
Este capítulo es el primero que propiamente aplica la materia esencial de este libro, ya que nos presenta una am-
plia gama de métodos numéricos para interpolar; la mayor parte de los métodos se fundamentan en teoría y
mecanizaciones plasmadas en los primeros once capítulos, ya que como se ha mencionado en el prefacio, la par-
te medular de los métodos numéricos se inicia precisamente aquí.
Los métodos de interpolación son muy variados debido que su utilización depende de la función con la
que vayamos a trabajar, o bien del comportamiento de valores tabulados, en cuyo caso puede ser que sepamos si
tienen error y la magnitud del mencionado error, o consideremos que son datos fidedignos. (La teoría sobre erro-
res en los datos se estudia en el capítulo 1.)
La interpolación polinomial, que muchos autores llaman colocación o aproximación polinomial, es pre-
cisamente como lo sugieren sus diversos nombres, la garantía de que dada una función o. una sucesión de da-
tos, podremos encontrar un polinomio que nos asegure que, evaluado en esa sucesión de datos, su valor
es igual al valor original.
La ventaja fundamental de tener un polinomio de interpolación es que lo podremos encontrar de manera
que sea más fácil de utilizar que la función original o que los datos discretos.
Podremos encontrar diferentes formas de expresar el mismo polinomio, como el caso del polinomio de
Newton, tratado en los capítulos 6 y 7, o bien, encontrar diferentes polinomios, dependiendo del método emplea-
do; sin embargo si hemos aplicado adecuadamente el método, llegaremos a resultados similares por caminos dife-
rentes, como lo podremos ver en los ejercicios de aplicación.
La interpolación polinomial se emplea como primer paso en diversos métodos como la integración numéri-
ca, que se trata en el capitulo 14, y la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias, capítulos 18 y 19, debido a
lo cual es usual reemplazar la función original por un polinomio de interpolación; como ejemplo de los métodos te-
nemos las fórmulas de cuadratura de Newton, Romberg (integración), Euler-Romberg y Adams-Bashforth-
Moulton (ecuaciones diferenciales).
También encontraremos en este capítulo herramientas para conformar nuestro criterio ingenien! y tomar de-
cisiones apropiadas al enfrentarnos con problemas de la vida real. La interpolación se emplea prácticamente en
cualquier rama de la ingeniería, ya que en todas, en mayor o menor grado, se emplean muestras de datos, así co-
mo también fórmulas complicadas y difíciles de manipular y evaluar.
Desde que estudiamos secundaria, se nos indujo en el concepto de interpolación lineal empleado en trigo-
nometría, conocimiento que iremos sofisticando gradualmente y que seguiremos aplicando a lo largo de cualquier
carrera ingenien!, administrativa o contable.
154 MÉTODOS NUMÉRICOS
Algunos métodos empleados en áreas de economía y de mercadotecnia, destinados a conocer el comporta-
miento de variables tales como oferta, demanda, tendencias, etc. están basados en el concepto de interpo-
lación.
Asimismo, para poder hacer predicciones sobre datos estadísticos, requeriremos primero interpolar para
después extrapolar.
CORRELACIÓN DEL T E M A CON OTROS CAPÍTULOS
Polinomios 2
Manejo de funciones continuas
Polinomios osculadores 10
El polinomio de Taylor 11
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Manejo de funciones discretas
Diferencias finitas 3
Polinomios factoriales 4
Sumas (sumatorias) 5
Sumas y series 17
El polinomio de Newton 6
Aproximación polinomial mediante interpolación
Operadores y polinomios de colocación 7
Puntos no equidistantes 8
Interpolación por segmentos (splines) 9
Interpolación 12
Operación de polinomios
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Integración gaussiana 15
Casos especiales de la integración numérica 16
Aproximación polinomialpor mínimos cuadrados . 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Aproximación polinomial por funciones racionales 23
Aproximación polinomial por funciones trigonométricas 24
Álgebra no lineal y optimizadón
Raíces de ecuaciones 25
Ceros de polinomios 25
Método de descenso más rápido (gradiente) 25
12 INTERPOLACIÓN 155
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
Los capítulos anteriores han consistido básicamente en teoría de apoyo. Ésta se utilizará ahora de diversas
maneras, empezando por el problema clásico de la interpolación, que corresponde al familiar proceso de estimar
los valores de una función y(x) para argumentos entre x0 xn en los que se conocen los valores y0,..., yn. La
interpolación inversa se realiza sencillamente en la dirección opuesta. La subtabulación es la interpolación siste
mática de muchos valores entre cada par de argumentos xi xi+1 reduciendo así el espaciamiento de una tabla de
valores, tal vez de h a h/10. La predicción requiere estimar un valor y(x) para x fuera del intervalo en el que se en
cuentran los argumentos dato.
Todas estas operaciones fueron mucho más apremiantes antes del advenimiento de las computadoras de
alta velocidad, que calculan valores de todas las funciones conocidas mediante series u otras formas no tabulares.
Las fórmulas de este capítulo llevan los nombres de prominentes matemáticos del siglo pasado y épocas anterio
res, cuando las tablas de funciones eran indispensables. Su lugar en nuestro tema es parcialmente, más no del to
do, histórico. Es interesante ver cómo fueron superados los obstáculos computacionales de tiempos pasados,
aunque es importante notar que las tablas de funciones especiales siguen elaborándose de manera qué una parte
de este trabajo continúa teniendo un papel de utilidad.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Los métodos de interpolación implican sustituir para y(x) alguna función más fácil de calcular, con frecuencia
un polinomio, y la más simple de todas es una línea recta. Los valores de y0 yn pueden introducirse en cual
quiera de nuestras fórmulas de polinomios (Newton, Everett,...), las cuales se convierten en esa forma en un al
goritmo para la interpolación, siendo la salida una aproximación a y(x). Se observó que empleando datos de
ambos lacios del argumento de interpolación x se lograba algo que "tenia sentido" y con ello se llegó a mejores va
lores o a cálculos más cortos. Las formulas de Stirling, Bessel y Everett surgieron con base en este razonamiento
y el estudio de los errores comprendidos brinda un soporte lógico. Al final de una tabla esto no se podía hacer y
entonces se requería utilizar las fórmulas progresiva y regresiva de Newton. No era necesario elegir el grado del
polinomio de aproximación desde el principio sólo para continuar ajusfando diferencias de la tabla en los lugares
apropiados, siempre que los resultados parecieran estar garantizados. Se observó también que ocurre un punto
de disminución de retornos, donde los resultados empeoran en lugar de mejorar, y que este punto depende de la
precisión de los valores tabulados.
El procedimiento alternativo de Lagrange ajusta el polinomio a los datos sin utilizar diferencias finitas. El gra
do tiene que elegirse al principio, pero el método tiene ventajas adicionales. El método de Aitken es otra variante
que no requiere un espaciamiento igual de los argumentos tabulares o del grado del polinomio al principio.
Los polinomios de osculación y el polinomio de Taylor encuentran aplicación también en los problemas de
interpolación en circunstancias especiales.
ERRORES DE ENTRADA Y DE ALGORITMO
Los errores de entrada y de algoritmo ocurren en todas estas aplicaciones. Su impacto en las salidas finales
puede estimarse sólo hasta cierto punto. Suelen identificarse tres fuentes principales de error.
1. Los errores de entrada surgen cuando son inexactos los valores y0 yn dados, como suelen ser los
valores experimentales o calculados.
2. El error de truncamiento es la diferencia y(x) - p(x), la cual aceptamos en el momento que decidimos uti
lizar una aproximación polinomial. Se ha encontrado antes que este error es igual a
y(x)-p(x) = π(x)
(n + l)
y(n+1)(ξ)
156 MÉTODOS NUMÉRICOS
Aunque se desconoce ξ, esta fórmula puede seguirse usando en algunas ocasiones para obtener cotas
de error. El error de truncamiento es un tipo de error de algoritmo. Este error puede ser sustancial en los
problemas de predicción puesto que el factor π(x) se vuelve extremadamente grande fuera del intervalo
en el cual se encuentran los argumentos dato x0 xn.
3. Los errores de redondeo ocurren puesto que las computadoras operan con un número fijo de dígitos y
se pierden todos los dígitos que se producen en multiplicaciones o divisiones. Ellos son otro tipo de error
de algoritmo.
Problemas resueltos
12.1 Prediga los dos valores faltantes de yk.
k = x k
yk
0
1
1
2
2
4
3
8
4
15
5
26
6 7
A pesar de que éste es un ejemplo sencillo, servirá para recordarnos que las aplicaciones se basarán
en la aproximación polinomial. Calcule algunas diferencias
1 2 4 7 11
1 2 3 4
1 1 1
Presumiblemente los valores faltantes yk podrían ser cualquiera de estos números, pero la evidencia de es
tas diferencias apunta principalmente hacia un polinomio de grado tres, lo que sugiere que los seis valores
yk dados y los dos que se predecirán pertenecen a dicho polinomio. Aceptando esto como una base para la
predicción, no es ni siquiera necesario encontrar este polinomio de colocación. Sumando dos 1 más al ren
glón de las terceras diferencias, suministramos de inmediato un 5 y un 6 al renglón de las segundas diferen
cias, un 16 y un 22 como nuevas primeras diferencias, y predecimos entonces y6 = 42 y y7 = 64. Éstos son
los mismos datos utilizados en el problema 6.12, donde se encontró el polinomio de colocación cúbico.
12.2 En la tabla 12.1 se listan valores de y(x) - redondeados hasta cuatro lugares decimales, para argumen
tos x - 1.00(.01)1.06. (Esto significa que los argumentos van de 1.00 a 1.06 y están igualmente espaciados
con h - .01.) Calcule las diferencias hasta Δβ y explique su significado.
Las diferencias se listan también en la tabla 12.1.
Por simplicidad, los ceros que encabezan se omiten en las diferencias registradas. En esta tabla to
das las diferencias son hasta el cuarto valor decimal. Aunque la función raíz cuadrada es en realidad no li
neal, las primeras diferencias son casi constantes, lo que sugiere que sobre el intervalo tabulado y hasta
una precisión de cuatro lugares, esta función puede aproximarse en forma exacta mediante un polinomio li
neal. La entrada Δ2 es la que mejor se considera como un error de redondeo unitario, y su efecto sobre dife
rencias de mayor orden sigue el familiar patrón del coeficiente del binomio observado en el problema 3.10.
En esta situación lo común sería calcular sólo las primeras diferencias. Muchas funciones familiares tales
INTERPOLACIÓN 157
como log x, sen x, etc., se han tabulado en esta forma, con argumentos espaciados de manera tan rígi
da que las primeras diferencias son casi constantes y la función puede aproximarse con precisión mediante
un polinomio lineal.
12.3 Aplique la fórmula progresiva de Newton con n - 1 para interpolar considerando
La fórmula de Newton se lee
Eligiendo n - 1 para una aproximación lineal encontramos, con
pk = 1.0000+ (.0050) = 1.0025
Esto no es una sorpresa. Puesto que hemos usado un polinomio de colocación lineal, que corresponde a
nuestros valores de y=- en argumentos 1.00 y 1.01, podríamos haber anticipado con seguridad este re
sultado intermedio.
12.4 ¿Cuál podría ser el efecto al utilizar un polinomio de grado mayor para interpolación del problema 12.3?
Un cálculo sencillo muestra que varios de los siguientes términos de la fórmula de Newton, empezan
do con el término de la segunda diferencia, corresponden aproximadamente con .00001. No hay ningún
efecto sobre nuestro resultado.
12.5 En la tabla 12.2se listan los valores de y(x) - redondeados hasta cinco lugares decimales, para ar
gumentos x = 1.00(.05)1.30. Calcule las diferencias hasta Δ6 y explique su significado.
Las diferencias se listan en la tabla 12.2
Tabla 12.1
Δ Δ2 Δ3 Δ4 Δ5 Δ6
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.0000
1.0050
1.0100
1.0149
1.0198
1.0247
1.0296
50
50
49
49
49
49
0
- 1
0
0
0
- 1
1
0
0
2
- 1
0
- 3
1
4
Δny0 Δ2y0 + • • • + Δy0 + Pk=y0 +
x - x0 k =
h
1.005-1.00
.01
158 Tabla 12.2
Aquí el patrón del error es más confuso pero las fluctuaciones de los signos + y - en las últimas tres colum
nas se asemejan a los efectos producidos en los problemas 3.10 y 3.11. Es posible que sea más adecuado
considerar estas tres columnas como efectos del error, no como información útil para calcular la función de
la raíz cuadrada.
12.6 Utilice los datos del problema 12.5 para interpolar en
La fórmula progresiva de Newton es conveniente para interpolaciones cercanas a la parte superior de
la tabla. Con k - 0 en la entrada superior x0 - 1.00, esta elección conduce a términos reducidos y hace que
sea casi automática la decisión de cuántos términos usar. Sustituyendo en la fórmula como se presenta en
el problema 12.3, con k = (x - x0)lh = (1.01 -1.00)/.05= encontramos
pk = 1.00000+ (.02470)- (-.00059)+ (.00005)
terminando con este término puesto que no afecta el quinto lugar decimal. Note que este último término utili
za las diferencias de mayor orden que consideramos en el problema 12.5, importantes para los cálculos de
la raíz cuadrada. No hemos violado las columnas que presumiblemente eran sólo efectos de error. El valor
de p„ se reduce a
pk = 1.000000 + .004940 + .000048 + .000002 = 1.00499
que es correcto hasta cinco lugares. (Si esto es posible es apropiado llevar un lugar decimal extra durante
los cálculos para controlar los "errores de algoritmo" descritos en el capítulo 1. En los cálculos de máquina,
desde luego el número de dígitos es fijo de cualquier modo, por lo que no se aplica esta observación.)
que es correcto hasta cinco lugares. (Si esto es posible es apropiado llevar un lugar decimal extra durante
los cálculos para controlar los "errores de algoritmo" descritos en el capítulo 1. En los cálculos de máquina,
desde luego el número de dígitos es fijo de cualquier modo, por lo que no se aplica esta observación.)
12.7 Use los datos del problema 12.5 para interpolar en
Aquí es conveniente la fórmula regresiva de Newton y la mayor parte de las observaciones hechas en
el problema 12.6 se aplican otra vez. Con k = 0 en la entrada inferior x0 = 1.30, tenemos k = (x - x0)lh =
Δ Δ2 Δ3 Δ 4 Δ s Δ 6
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.00000
1.02470
1.04881
1.07238
1.09544
1.11803
1.14017
2470
2411
2357
2307
2259
2214
-59
-54
-50
-48
-45
5
4
2
3
- 1
- 2
1
- 1
3
4
x
INTERPOLACIÓN 159
(1.28 -1.30)/.05 - Sustituyendo en la fórmula regresiva (problema 7.9)
obtenemos pk = 1.14017+ ( . 0 2 2 1 4 ) + ( - . 0 0 0 4 5 ) + (.00003)
= 1.140170 - .008856 + .000054 - .000002 = 1.13137
que es correcta hasta cinco lugares.
12.8 Los dos problemas previos han tratado casos especiales de la interpolación, trabajando cerca de la parte
superior y de la parte inferior de una tabla. Este problema es más común en los datos de que se dispondrá
en ambos lados del punto de interpolación. Interpole para utilizando los datos del problema 12.5.
Las fórmulas de diferencia central son convenientes en este caso puesto que ellas facilitan el uso de
datos más o menos iguales a ambos lados. En el problema 12.15 veremos que esto tiende también a man
tener pequeño el error de truncamiento. Se utilizara la fórmula de Everett
donde se han omitido los términos de mayor orden puesto que no se necesitarán en el problema. Eligiendo
tenemos Sustituyendo en la fórmula de Everett,
sin que contribuyan en nada los dos términos de más alto orden (como esperábamos, ya que éstos se ex
traen de las columnas de efectos de error). Por último pk = 1.05830, que es correcto hasta cinco lugares.
Note que las tres interpolaciones hechas en la tabla 12.2 se han basado en polinomios de colocación de
tercer grado.
12.9 Se ha pedido al empleado más joven de un laboratorio "buscar" el valor y(.3333) en la tabla NBS-AMS 52
de la Serie de Matemáticas Aplicadas del National Bureau of Standards. En la página apropiada de este ex
tenso volumen el empleado encuentra abundante información de la cual una parte pequeña se produce en
la tabla 12.3. Aplique la fórmula de Everett para la interpolación necesaria.
pk= (1 .07238)+ ( - . 0 0 0 5 0 ) + ( - . 0 0 0 0 2 )
(1.04881) - I ( - . 0 0 0 5 4 ) - ( - . 0 0 0 0 1 )
= .428952 + .000028 + .629286 + .000035
160 MÉTODOS NUMÉRICOS
Tabla 12.3
Eligiendo x = 0 en x0 = .33, tenemos k = (x-x0)lh = (.3333 = .33)/.01 - .33. Escribiendo la fórmula de
Everett hasta las segundas diferencias en la forma
pk = ky1 + (1 - k)y0 + E1δ2y1 - E0δ2y0
donde E1= y E0= , el interpolador encontrará todos los ingredientes disponibles en las tablas. Para
k = .33, encontramos E1 = -.0490105, E0 = .0615395. Entonces
pk = (.33)(. 13545218) + (.67)(. 13105979) + (-.0490105)(.00002349) - (.0615395)(.00002365)
= .13250667
Esta tabla se preparó con la fórmula de Everett en mente.
12.10 Aplique la fórmula de Lagrange para obtener a partir de ios datos de la tabla 12.2.
La fórmula de Lagrange no requiere argumentos igualmente espaciados. Puede aplicarse, desde lue
go, a tales argumentos como un caso especial, pero se presentan dificultades. El grado del polinomio de
colocación debe elegirse al principio. Con las fórmulas de diferencias de Newton, Everett u otras puede de
terminarse el grado calculando términos hasta que ya no sean significativos. Cada término es una correc
ción aditiva para los términos ya acumulados. Pero con la fórmula de Lagrange un cambio de grado implica
un cálculo por completo nuevo, de todos los términos. En la tabla 12.2 la evidencia apunta a que es apro
piado un polinomio de tercer grado. Podemos proceder sobre esta base para elegir x0 = 1.05 x3 = 1.20
y sustituir en
para producir
p= (1.02470)+ (1.04881)+ (1.07238)+ (1.09544) = 1.05830
Esto concuerda con el resultado del problema 12.8.
.1223 4609
.12669105
.13105979
.1354 5218
.1398 6806
.31
.32
.33
.34
.35
2392
2378
2365
2349
2335
δ2 y(x) X
(x-x0)(x-x1)(x-x3)
(x2-x0))(x2-x1)(x2-x3)
( x 1 - x 0 ) ( x 1 - x 2 ) ( x 1 - x 3 )
y1
(x - x0) (x - x2) (x - x3) (x - x1 )(x - x2) (x - x3)
y0 (x0- x1)(x0- x2)(x0- x3) p =
y2
(x-x0)(x-x1)(x-x2)
(x3-x0)(x3-x1)(x3-x2) y3
INTERPOLACIÓN 161
12.11 El problema de la interpolación inversa invierte los papeles de xk y yk. Podemos considerar los números yk
como argumentos y los xk como valores. Es claro que los nuevos argumentos no tienen usualmente el
mismo espaciamiento. Dado que = 1.05, use los datos de la tabla 12.2 para encontrar x.
Puesto que podríamos determinar con facilidad que x = (1.05)2 -1.1025 mediante una simple multipli
cación, esto no es más que otro "caso de prueba" de nuestros algoritmos disponibles. Puesto que se aplica
a argumentos desigualmente espaciados, suponga que usamos la fórmula de Lagrange. Intercambiando los
papeles x y y.
Con los mismos cuatro pares xk, yk utilizados en el problema 12.10, esto se convierte en
p = (- .014882)1.05 + (.97095)1.10 + (.052790)1.15 + (- .008858)1.20 = 1.1025
como se esperaba.
12.12 Aplique la fórmula de Everett al problema de interpolación inversa que acaba de resolverse.
Como la fórmula de Everett requiere argumentos igualmente espaciados, regresamos x y y a sus pa
peles originales. Escribiendo la fórmula de Everett como
tenemos una ecuación polinomial de quinto grado en k. Éste es un problema que se trata de manera amplia
en un capítulo posterior. Aquí puede utilizarse un procedimiento iterativo simple.Descártense primero todas
las diferencias y obténgase una primera aproximación resolviendo
1.05 = k(l.07238) + (1 - k)(1.04881)
El resultado de esta interpolación lineal inversa es k = .0505. Insértese este valor en los términos δ2, des
preciándose todavía los términos δ4, y obténgase una nueva aproximación a partir de
1.05 = k(1.07238)+ (-.00050) + (1 - k)(1.04881)- (.00054)
Esto da por resultado k = .0501. Al aplicar este valor tanto en los términos δ2 como en los δ4 se obtiene
k = .0500. Al reintrodudr este último valor de k en los términos δ2 y δ4, k se reproduce, por lo que interrumpi
mos el proceso. El correspondiente valor de x es 1.1025 hasta cuatro lugares.
12.13 Interpole en en la tabla 12.2.
Para estos argumentos que se encuentran en la parte media de los argumentos tabulados, la fórmula
1.05 = k(1.07238) + ( - . 0 0 0 5 0 ) + ( - . 0 0 0 0 2 )
+ (1 - k)(1.04881) - (-.00054)- (-.00001)
p-
(y - y1)(y - y2)(y - y3)
(yo-yl)(yo-y2)(y0-y3)
Xo
(y - yo)(y - y2)(y - y3)
(y1-yo)(yi-y2)(y1-y3)
x1
(y - y0)(y - y1)(y - y1)
( y 2 -y o ) (y 2 -y 1 ) (y 2 -y 3 )
X2
(y - y0)(y - y1)(y - y2)
(y3-y0)(y3-y1)(y3-y2)
x3
162 MÉTODOS NUMÉRICOS
si interrumpimos el procedimiento en el cuarto grado. Los términos de diferencias impares desaparecen por
completo debido a los factores k - Sustituyendo,
pk = 1.06060+ (-.00052)+ (-.000015) = 1.06066
sin que contribuya de nuevo el término δ4. De modo similar en el segundo caso, con k = 0 ahora en x0 =
1.15, tenemos otra vez k = y encontramos pk = 1.08397. Al encontrar todos esos valores medios, es posi
ble duplicar el tamaño de la tabla. Éste es un caso especial del problema de subtabulaclón.
12.14 Al usar un polinomio de colocación p(x) para calcular aproximaciones a una función, aceptamos el llamado
error de truncamiento, y(x) -p(x). Estime este error en nuestras interpolaciones en la tabla 12.1.
La fórmula para el error de truncamiento de un polinomio de colocación se obtuvo en el capítulo 2 y
es la siguiente
cuando la aproximación polinomial es de grado n. Para la tabla encontramos apropiada n = 1. Los puntos
de colocación pueden denominarse x0 y x1 conduciendo a esta estimación de error para la interpolación li
neal:
Puesto que tenemos
Para k entre 0 y 1, que arreglamos para cualquier intervalo de nuestra elección de x0, el polinomio cuadráti-
co k(k - 1 ) tiene un tamaño máximo de en el punto medio k = (véase la Fig. 12-1). Esto nos permite com
pletar nuestra estimación del error de truncamiento,
Fig. 12-1
de Bessel es muy atractiva. Primero elíjase k = 0 en x0 = 1.10, haciendo k = (1.125 — 1.10)/.05 - La fórmu
la de Bessel (problema 7.25) es
Pk = μy1/2 + μδ2y1/2 + μδ4y1/2
INTERPOLACIÓN 163
y descubrimos que no puede afectar el cuarto lugar decimal. La tabla 12.1 se elaboró considerando la inter
polación lineal. Se eligió el intervalo h = .01 para mantener este valor pequeño del error de truncamiento.
12.15 Estime los errores de truncamiento para nuestros cálculos en la tabla 12.2.
Usamos principalmente la fórmula de Everett para un polinomio cúbico. Para otras fórmulas cúbicas
se obtiene la misma estimación del error. Suponiendo argumentos de colocación igualmente espaciados x-1
X0, X1 y X2,
El polinomio (k + 1) k (k - 1)(k - 2) tiene la fórmula general de la figura 12.2. Fuera del intervalo -1 < k < 2
asciende considerablemente. Dentro de 0 < k < 1 no excede a y ésta es una parte apropiada para la inter
polación. Tenemos ahora, para un error máximo en la interpolación cúbica.
En este ejemplo h = .05 y y(4)(x) = y como consecuencial y(x) - por lo que el
error de truncamiento no ha afectado nuestros cálculos de cinco decimales.
Fig. 12-2
12.16 ¿Qué tan grande podría hacerse la longitud del intervalo h en una tabla de con una fórmula cúbica que
siga teniendo una precisión de cinco lugares? (Suponga 1 x.)
Este tipo de pregunta es naturalmente de interés para los encargados de elaborar tablas. Nuestra
fórmula del error de truncamiento puede escribirse como
Conservar lo anterior menor que .000005 requiere que h4 < .000228, o casi h Este valor es un poco más
grande que el de h = .05 utilizado en la tabla 12.1, pero otros errores entran en nuestros cálculos y por eso
se produce tal resultado.
12.17 El problema anterior sugiere que la tabla 12.2 puede reducirse a la mitad, si se va a utilizar el polinomio
(k + l)k(k-l)(k-2)h4y(4)ξ
(x - x-1)(x - x0)(x - x1)(x - x2) y(4)(ξ) y(x)-p(x) =
164 MÉTODOS NUMÉRICOS
cúbico de Everett para interpolaciones. Encuentre las segundas diferencias necesarias en esta fórmula de
Everett.
El resultado es la tabla 12.4, en la cual las primeras diferencias pueden ignorarse.
Tabla 12.4
12.18 Use la tabla 12.4 para interpolar en y(1.15).
Con la fórmula de Everett yk-
pk= (1.09544)- (-.00191)+ (1.04881)- (-.00217) = 1.07238
como se listó en la tabla 12.2. Esto confirma el problema 12.6 en este caso.
12.19 Estime el error de truncamiento en una fórmula de quinto grado.
Suponga los argumentos de colocación con igual espaciamiento y en como en la
fórmula de Everett. (La posición es en realidad poco importante.)
El factor del numerador, en 0 < k < 1, toma un valor absoluto máximo de en k - como puede compro
barse fácilmente, haciendo
12.20 Para la función ¿de qué tamaño un intervalo h es consistente con una precisión de cinco
lugares si se va a utilizar la fórmula de Everett de quinto grado en interpolaciones?
Para esta función, y(6)(x) - -11/12 Sustituyendo esto en el resultado del problema previo y re
quiriendo una precisión de cinco lugares,
δ δ2
1.00000
4881
1.04881 - 2 1 7
4664
1.09544 - 1 9 1
4473
1.14017
1.00
1.10
1.20
1.30
945
64
.000005 225
64
1
720
12 INTERPOLACIÓN 16S
produciendo h aproximadamente. El intervalo permitido con la interpolación de quinto grado excede des
de luego al correspondiente a la interpolación de tercer grado.
12.21 Para la función y(x) = sen x, ¿de qué tamaño un intervalo h es consistente con una precisión de cinco
lugares si se va a utilizar una fórmula de Everett de quinto grado en interpolaciones?
Para esta funcióny(6)(x) está acotada en forma absoluta por 1, así que necesitamos
.000005, lo que da como resultado h .317. Éste es el equivalente de intervalos de 18°, y significa que ¡só
lo cuatro valores de la función seno, además de sen 0 y sen 90°, se necesitan para cubrir todo este interva
lo básico!
12.22 Una segunda fuente de error en el uso de nuestras fórmulas para el polinomio de colocación (siendo la
primera fuente el error de truncamiento) es la presencia de inexactitudes en los valores de los datos. Si, por
ejemplo, el número yk se obtiene mediante una medición física será inexacto debido a las limitaciones im
puestas por el equipo, y si se obtiene por medio de cálculos contendrá probablemente errores de redondeo.
Muestre que la interpolación lineal no aumenta tales errores.
El polinomio lineal puede escribirse en la forma de Lagrange,
p = ky1 + (1 - k)y0
donde las yk son, como es usual, los valores de los datos reales. Suponga que estos valores son impreci
sos. Con Y1 y Yo denotando los valores exactos pero desconocidos, podemos escribir
donde los números e0 y e1 son los errores. Por lo tanto, el resultado exacto deseado es
ocurriendo el error de nuestro resultado calculado
Si los errores ek no exceden E en magnitud, entonces
para 0 < k < 1. Esto significa que el error en el valor p calculado no excede el máximo error de los datos. No
ocurre incremento de error.
12.23 Estime el incremento de las inexactitudes de los datos debido a la interpolación cúbica.
Empleando de nuevo la forma lagrangiana pero suponiendo argumentos espaciados en k = - 1 , 0, 1,
2, el polinomio cúbico puede escribirse como
P-p = ke1 + (l-k)e0
Y0 = y0 + e0 Y1=y1 + e1
Como en el problema 12.22, dejamos Yk= yk+ek1 con Yk denotando los valores exactos de los datos.
(k + 1)k(k - 2) (k + l)(k - l)(k - 2) k(k- l ) (k-2)- 6 p = y-1 2 y0 - 2 y1
(k + l)k(k - 1 )
6 y2
166 MÉTODOS NUMÉRICOS
Note que para 0 < k < 1 los errores e_, y e2 tienen coeficientes negativos, en tanto que los otros dos tienen
coeficientes positivos. Esto significa que si los errores no exceden E en magnitud,
que se simplifica en
No es una sorpresa que el factor de incremento cuadrático tome su máximo en y así
E. El error de los datos E puede ser incrementado por un factor de Ésta es, desde luego, una
estimación pesimista. En ciertos casos los errores pueden incluso anularse entre sí, haciendo más preciso
el valor calculado p que los datos
12.24 ¿Qué otras fuentes de error hay en la interpolación?
Una fuente que es muy importante tomar en cuenta, aun cuando con frecuencia está por completo
fuera de nuestro control, es la continua necesidad de efectuar redondeos durante la realización del algorit
mo. Esto no puede evitarse cuando se trabaja con un número limitado de dígitos. Nuestras diferentes
fórmulas, aun cuando representen en forma exacta el mismo polinomio de colocación, procesan los datos
incluidos de maneras diferentes. En otras palabras, representan algoritmos diferentes. Tales fórmulas acep
tan los mismos errores de entrada (inexactitudes de los datos) y pueden tener el mismo error de trunca
miento aunque sigan difiriendo en la manera en que se desarrollan los redondeos.
Fig. 12-3
12.25 Describa cómo puede utilizarse la serie de Taylor en la interpolación.
Considere la función ye'. Pero la serie de Taylor,
ex+1 = ex • e1 = ex(1 + t+ + • • •)
Suponga que el factor ex se conoce. El truncamiento de la serie después del término t2 significa un error
(dentro del paréntesis) a lo más de donde h es el intervalo en el cual se distribuyen los argumentos
en la tabla. Esto supone que la interpolación se basará siempre en la entrada tabular más cercana. Si h -
Si P representa nuevamente el resultado exacto que se desea, el error es entonces
(k + l ) (k- l ) (k-2) k(k - 1)(k - 2)
-6
P-p = e-1 2 e0
(k + l)k(k - 2)
- 2
e0
(k + l)k(k - 1)
6 e2
INTERPOLACIÓN 167
.05, este error es Esto significa que, al interrumpir en el término t2, se obtendrá la preci
sión hasta cinco dígitos (no lugares decimales) en el valor computado de ex+t. Por ejemplo, utilizando los
datos dé la tabla 12.5 la interpolación en e2.718 es como sigue. Con f = .018,1 + = 1.01816 y
e2.718 = e2.70(1.01816) = (14.880)(1.01816) = 15.150
que es correcto hasta cinco dígitos. Nuestros polinomios de colocación también darían este resultado.
Tabla 12.5
12.26 ¿Cómo puede utilizarse la interpolación de ¡a serie de Taylor para la función y(x) - sen x?
Puesto que sen x y cos x suelen tabularse juntos, podemos expresar
sen = sen x± cos x- senx
Aquí, por supuesto, t se mide en radianes. Si el intervalo tabular es h - .0001, como lo es en la serie NBS-
AMS 36, del cual es un extracto la tabla 12.6, la fórmula anterior producirá una precisión de hasta nueve dí
gitos, puesto que está más allá del doceavo lugar.
Tabla 12.6
12.27 Calcule sen 1.00005 mediante la interpolación de la serie de Taylor.
Con x =1 y t = .00005,
sen 1.00005 = .8414 70985 + (.00005)(.5403 02306) - (.8414 70985) = .8414 97999
12.28 Aplique la fórmula regresiva de Newton a la predicción de en la tabla 12.2.
Con k = 0 en x0 = 1.30 encontramos k = (1.32 -1.30)/.05 - .4. Sustituyendo en la fórmula de Newton,
p = 1.14017 + (.4)(.02214) + (.28)( - .00045) + (.224)(.00003) = 1.14891
2.60 2.65 2.70 2.75 2.80
13.464 14.154 14.880 15.643 16.445
.5403 02306
.5402 18156
.5401 34001
.5400 49840
.8414 70985
.8415 25011
.8415 79028
.8416 33038
1.0000
1.0001
1.0002
1.0003
X senx cosx
168 MÉTODOS NUMÉRICOS
que es correcto a medida que se avanza. La fórmula regresiva de Newton parece ser la elección natural pa-
ra tales problemas de predicción, ya que el suministro de diferencias disponibles es mayor para esta fórmu-
la y pueden introducirse términos de diferencia hasta que ya no contribuyan a los lugares decimales reteni-
dos. Esto permite elegir el grado del polinomio de aproximación conforme avanza el cálculo.
12.29 Analice el error de truncamiento en la predicción.
El error de truncamiento del polinomio de colocación puede expresarse como
k { k + l ) - - - ( k + n ) , . , . + n / t . x
donde los puntos de colocación se encuentran en k = 0, -1 -n como en el caso en el que se utilizó la
fórmula regresiva de Newton. Para la predicción, k es positiva. El factor del numerador crece rápidamente
con el aumento de k, y en forma más rápida cuando n es grande, como sugiere la figura 12-4. Esto indica
que el error de truncamiento no se tolerará más allá de cierto punto, y que es peligrosa la predicción más
allá del final de la tabla, como podría suponerse. El error de truncamiento de un polinomio de colocación os
cila entre los puntos de colocación, pero fuera de este intervalo se vuelve muy grande.
12.30 Prediga a partir de la tabla 12.2.
Con/t = (1.50-1.30)/.05 = 4,
p = 1.14017 + (4)(.02214) + (10)(-. 00045) + (20)(.00003) = 1.22483
en tanto que el resultado correcto es 1.22474. Nótese también que los términos de diferencias de mayor or
den, que creemos que de todos modos tendrán efectos de error, sólo harían menos exacto el resultado de
bido a que son positivos.
Problemas suplementarios
12.31 A partir de los datos de la tabla 12.1 obtenga por interpolación lineal, hasta cuatro lugares
decimales. ¿El término de la segunda diferencia afectaría el resultado? ¿Afectarían los términos de mayor
orden?
Fig. 12-4
INTERPOLACIÓN 169
12.32 A partir de los datos de la tabla 12.1 obtenga por interpolación lineal. Nótese que si la fórmula
regresiva de Newton se utiliza (con k = 0 en x = 1.05) no se dispondría de ninguna diferencia segunda en
este caso.
12.33 Interpole para en la tabla 12.2.
12.34 Interpole para en la tabla 12.2.
12.35 Aplique la fórmula de Stiriing para obtener a partir de los datos de la tabla 12.2. ¿El resultado con
cuerda con el del problema 12.8?
12.36 Aplique la fórmula de Everett a la tabla 12.3 y obtenga y(.315).
12.37 Aplique la fórmula de Lagrange para interpolar en y (1.50) empleando aigunos de los siguientes valores de
la función de error normal,
El resultado correcto es .1295.
12.38 Utilice la fórmula de Lagrange para la interpolación inversa del número x correspondiente a y = .1300 en los
datos del problema 12.37.
12.39 Aplique el método del problema 12.12 a la interpolación inversa del problema 12.38.
12.40 Aplique la fórmula de Bessel para obtener y(1.30), y(1.50), y y(1.70) para los datos del problema 12.37.
12.41 En una tabla de la función y(x) = sen x hasta cuatro lugares decimales, ¿cuál es el intervalo h más grande
consistente con la interpolación lineal? (Manteniendo el error de truncamiento por debajo de .00005.)
12.42 En una tabla de y(x) = sen x de hasta cinco lugares, ¿cuál es el intervalo h más grande consistente con la
interpolación lineal? Compare estas estimaciones con las de las tablas conocidas de la función seno.
12.43 Si se usó el polinomio cúbico de Everett para interpolación, en vez de un polinomio lineal, ¿de qué tamaño
podría utilizarse un intervalo h en una tabla de cuatro lugares decimales de y(x) = sen x? ¿En una tabla de
cinco lugares decimales?
12.44 En una aproximación cuadrática con la fórmula de Newton, la función k(k - 1)(k - 2) aparece en la
estimación del error de truncamiento. Muestre que esta función tiene la forma indicada en la figura 12-5 y
que para 0 < k < 2 no excede a en valor absoluto.
12.45 La función k(k2 -1)(k2- 4) aparece en la estimación del error de truncamiento para la fórmula de Stirling.
Elabore una gráfica de la misma para -2 < k < 2 y estime su máximo valor absoluto para que es
el intervalo en el cual suele limitarse el uso de esta fórmula.
1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00
.2420 .1942 .1497 .1109 .0790 .0540
170 MÉTODOS NUMÉRICOS
12.46 Muestre que los máximos y mínimos relativosde los polinomios
k(k2 - l)(k2 - 4) k(k2 - l)(k2 - 4)(k2 - 9)
aumentan en magnitud cuando sus distancias al intervalo -1 < k < 1 se incrementan. Estos polinomios apa
recen en el error de truncamiento para la fórmula de Stirling. La implicación es que esta fórmula es más pre
cisa en el centro del intervalo de colocación.
12.47 Muestre que los máximos y mínimos de los polinomios
(k + 1)k(k - 1)(k - 2) (k + 2)(k + 1)k(k - 1)(k - 2)(k - 3)
aumentan en magnitud con la distancia al intervalo 0 < k < 1. Estos polinomios aparecen en el error de trun
camiento correspondiente a la fórmula de Everett o de Bessel. La implicación es que estas fórmulas son
más precisas sobre este intervalo central.
12.48 ¿De qué tamaño es consistente un intervalo h, con la interpolación mediante la fórmula de quinto grado de
Everett, si se requiere la función y(x) = log x y una precisión de cinco lugares?
12.49 Estime el incremento debido a la interpolación de segundo grado en las inexactitudes de los datos. Siga los
argumentos de los problemas 12.22 y 12.23, con 0 < k < 1.
12.50 Estime el incremento debido a una interpolación de cuarto grado en las inexactitudes de los datos, con 0 <
k<1.
12.51 Aplique la fórmula de Stirling para calcular y(2.718) a partir de los datos de la tabla 12.5.
12.52 Calcule sen 1.00015 a partir de los datos que se proporcionan en la tabla 12.6.
12.53 Muestre que la interpolación de la serie de Taylor
puede truncarse después del término t2 con una precisión de seis lugares decimales para 1 < x, siempre que
el espaciamiento tabular sea h = .01.
12.54 Use la fórmula regresiva de Newton y prediga a partir de los datos de la tabla 12.2.
Fig. 12-5
log (X + t) = logx + log =logx+ + • • •
INTERPOLACIÓN 171
12.55 Prediga a partir de los datos de la tabla 12.4.
12.56 Grafique el error del polinomio cuadrático del problema 6.14. Muestre que el error es igual a cero en x = -3 ,
así como en los puntos de colocación. ¿Cómo se explica esto en términos de nuestra fórmula de error de
colocación
12.57 En el problema 6.15, ¿cómo se explica el error igual a cero en x = 4 en términos de la fórmula de error
12.58 Use el resultado del problema 10.15 para estimar el valor faltante y'(1).
12.59 Emplee el resultado del problema 10.16 para estimar el valor faltante y"(1).
12.60 Utilice el resultado del problema 10.17 para estimar los valores faltantes y'(0) y y'(1).
Diferenciación
numérica
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar con sus propias palabras el concepto y la utilidad de la diferenciación numérica (Introducción).
2. Explicar con sus propias palabras las fuentes de error involucradas en la diferendación numérica
(Introducdón).
3. Explicar con sus propias palabras en qué consiste la fórmula progresiva de Newton para la
diferenciadón numérica (Introducdón).
4. Explicar con sus propias palabras en qué consiste la fórmula de Stirling para la diferendación numérica
(Introducdón, Problemas 13.3,13.4).
5. Explicar con sus propias palabras en qué consiste la fórmula regresiva de Newton para la
diferenciadón numérica (Introducdón).
6. Desarrollar matemáticamente la fórmula progresiva de Newton para la diferendación numérica y
aplicarla en problemas de ejemplo (Problemas 13.1,13.2).
7. Desarrollar matemáticamente la fórmula de Stirling para la diferenciadón numérica y aplicarla en
problemas de ejemplo (Problemas 13.3 a 13.5,13.8,13.26,13.27).
8. Desarrollar matemáticamente la fórmula regresiva de Newton para la diferenciadón numérica y
aplicarla en problemas de ejemplo (Problemas 13.1,13.2).
9. Explicar las diferencias en su forma y en su aplicación entre las fórmulas progresiva y regresiva de
Newton para la diferenciación numérica.
10. Aplicar y comparar la fórmula de Newton con la de Stirling (Problema 13.6).
11. Estimar el error por truncamiento propidado por la fórmula de Newton (Problema 13.6).
12. Estimar el error por redondeo propiciado por la fórmula de Newton (Problema 13.6).
13. Estimar el error por truncamiento propiciado por la fórmula de Stirling (Problemas 13.6,13.7,13.9,
13.14 a 13.18,13.31,13.32).
14. Estimar el error por redondeo propidado por la fórmula de Stirling (Problemas 13.6,13.10 a 13.14,
13.31,13.33).
15. Desarrollar matemáticamente la fórmula de Bessel para la diferendación numérica (Problema 13.22).
16. Aplicar la fórmula de Bessel para la diferenciación numérica en problemas de ejemplo (Problema
13.23).
17. Estimar el error por truncamiento propiciado por la fórmula de Bessel (Problema 13.24).
18. Estimar el error por redondeo propiciado por la fórmula de Bessel (Problema 13.25).
19. Obtener la derivada de una función en un punto, por medio de diferendas.
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA 173
20. Explicar con sus propias palabras cómo puede aplicarse la extrapolación de Richardson en la
diferenciación numérica (Problemas 13.20,13.21).
21. Explicar con sus propias palabras cómo se emplea la fórmula de interpolación de Lagrange con
puntos equiespaciados para obtener fórmulas de diferenciación numérica (Capítulo 12).
22. Aplicar la fórmula de interpolación de Lagrange con puntos equiespaciados para obtener fórmulas
de diferenciación numérica (Capítulo 12).
23. Encontrar, mediante la utilización de la interpolación por segmentos, la derivada aproximada de la
función seno (Problema 13.19).
24. Aplicar, de acuerdo con su criterio y con los conocimientos adquiridos en este tema, el método de
diferenciación que considere más conveniente en problemas de ejemplo (Capítulo 12, Problemas
13.28 a 13.30).
APLICACIONES DE LA DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
Éste es el segundo tema propiamente de la esencia de los métodos numéricos, ya que en repetidas ocasiones
podremos necesitar la derivada de una función en un punto, como lo hemos visto en muy diversos problemas
de ingeniería en general y de otras disciplinas tales como economía, mercadotecnia, teoría de inventarios, optimi-
zación, etc.
En problemas de física, la primera derivada representa la velocidad y la segunda representa la acele
ración.
El significado de la derivada de una función con respecto a la variable independiente (que en términos ge
nerales es X) es la pendiente de la recta tangente a la función en un punto determinado. La pendiente de una
función nos expresa la razón de cambio instantánea de la función con respecto a la variable independiente. Por
tanto la derivada nos va a mostrar el incremento o decremento según sea el caso, en el valor de la función (varia
ble dependiente f(X) o Y) por unidad de incremento en la variable independiente. En otras palabras decimos que
la derivada es la razón de cambio de f(X) con respecto a X.
Al proceso de encontrar la derivada, dada una función, se le llama diferenciación. Dentro de los cursos de
cálculo hemos aprendido las fórmulas para derivar funciones, sin embargo, dentro de los métodos numéricos
aprenderemos nuevas formas de hacerlo, ya que no es muy común introducir dentro de una computadora o una
calculadora dichas fórmulas para encontrar la derivada de una función en general o evaluada en un punto.
Asimismo, en este tema veremos además de métodos para obtener la primera derivada, otros métodos
cuando requerimos derivadas de órdenes superiores.
Con la primera derivada de una función sabremos si ésta es creciente o decreciente, son la segunda de
rivada sabremos si nos encontramos en un máximo, en un mínimo o en un punto estacionario y también con
la segunda derivada sabremos si es o no un punto de inflexión (punto donde la función cambia de creciente a de
creciente o viceversa).
Dentro de los problemas suplementarios se incluye un problema de física y un problema de inventarios.
Cabe mencionar que en los temas de solución de ecuaciones no lineales (Capítulo 25) veremos la evalua
ción de polinomios mediante división sintética, la cual nos proporciona la primera derivada evaluada en un punto;
la división sintética y el teoremadel factor se vieron en el capitulo 2.
Debido a que la diferenciación numérica nos da una gran tendencia hacia el error, es conveniente evitarla
en lo posible y esto es particularmente verdadero cuando los valores de f(X) están sujetos a algún tipo de error co
mo probablemente ocurriría si se han determinado experimentalmente (los ingenieros y los científicos de hecho,
174 MÉTODOS NUMÉRICOS
usan a menudo pruebas de diferenciación sobre los datos de laboratorio para tener indicios de precisión experi-
mental).
Si fuera indispensable calcular derivadas en tales casos (datos experimentales con error inherente), particu-
larmente cuando los resultados se van a emplear en cálculos posteriores, resulta mucho mejor emplear algún mé-
todo de suavización de curvas que minimice el error inherente en los datos y posteriormente derivar el polinomio
resultante; este método llamado "aproximación polinomial mediante mínimos cuadrados", se encuentra en el capí-
tulo 21.
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS
Polinomios 2
Manejo de funciones continuas
Polinomios osculadores 10
El polinomio de Taylor 11
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Aproximación polinomial por funciones racionales 23
Aproximación polinomial por funciones trigonométricas 24
Manejo de funciones discretas
Diferencias finitas 3
Polinomios factoriales 4
Sumas (sumatorias) 5
Sumas y series 17
El polinomio de Newton 6
Aproximación polinomial mediante interpolación
Operadores y polinomios de colocación 7
Puntos no equiespaciados 8
Interpolación por segmentos (splines) 9
Interpolación 12
Operación de polinomios
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Integración gaussiana 15
Casos especiales en la integración numérica 16
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA 175
DERIVADAS APROXIMADAS
Las derivadas aproximadas de una función y(x) pueden encontrarse a partir de una aproximación polinomial p(x)
aceptando simplemente p', p(2), p ( 3 ) , . . . en lugar de y', y(2), y(3) Nuestros polinomios de colocación conducen a
una amplia variedad de útiles fórmulas de este tipo. Las tres bien conocidas fórmulas
se obtienen diferenciando las fórmulas progresiva de Newton, de Stirling y regresiva de Newton, respectivamente,
empleándose sólo un término en cada caso. Pueden disponerse fórmulas más complicadas utilizando simplemen
te más fórmulas. Por consiguiente
se produce diferenciando la de Stirling. Otras fórmulas de colocación dan como resultado aproximaciones simila-
res. Para las segundas derivadas un resultado muy conocido es
y proviene de la fórmula de Stirling. Conservando sólo el primer término, tenemos la conocida
FUERTES DE ERROR EN UNA DIFERENCIACIÓN APROXIMADA
El estudio de los casos de prueba sugiere que las derivadas aproximadas que se obtienen a partir de polinomios
de colocación debe verse con escepticismo a menos de que se dispongan de datos muy precisos. Incluso en ese
caso la precisión disminuye con el aumento del orden de las derivadas.
La dificultad básica es que y(x) -p(x) puede ser muy pequeño en tanto que y'(x) -p'(x), muy grande. En len
guaje geométrico, dos curvas pueden estar muy cerca una de la otra pero tener pendientes muy diferentes. Tam
bién están presentes todas las demás fuentes de error, incluso errores de entrada en los valores yi, errores de
truncamiento tales como y - p', y(2) - p(2), etc., y redondeos internos.
La fuente de error dominante son los propios errores de entrada. Éstos son críticos, aun cuando sean peque
ños, debido a que los algoritmos los incrementan enormemente. Un factor clave en este incremento es la potencia
reciproca de h que se presenta en las fórmulas, multiplicando tanto a los valores verdaderos como a los errores
que se fusionan entre sí para conformar los datos yi. En algunas ocasiones puede hacerse una elección óptima del
intervalo h. Puesto que el error de truncamiento depende directamente de h, en tanto que el incremento del error
depende inversamente, es posible utilizar el método usual de cálculo para minimizar la combinación.
surge de la fórmula de Newton, en tanto que
y(x + h)-y(x)
h y(x)
y(x + h)-y(x-h)
2h
y'(x) y(x)-y(x-h) y'(x) h
2y(x) + y(x-h)
h2
y(x + h) y(2)(x)
176 MÉTODOS NUMÉRICOS
Deben esperarse grandes errores en las derivadas aproximadas que se basan en los polinomios de coloca-
ción. Siempre que sea posible será necesario obtener cotas de error. Los métodos alternativos para la diferen-
ciación aproximada pueden basarse en polinomios obtenidos mediante mínimos cuadrados o procedimientos de
minimax más que por colocación. (Véanse los capítulos 21 y 22.) Puesto que estos métodos también ajustan los
datos proporcionados, resultan más satisfactorios. La aproximación trigonométrica (Capítulo 24) brinda aun otra al-
ternativa.
Los números de Stirling pueden usarse para expresar los factoriales como potencias, después de lo
cual, un sencillo cálculo produce las derivadas relativas a k. Empleando de nuevo el operador D para re
presentar tales derivadas, Dpk, D2pk utilizamos la conocida x = x0 + kh para obtener derivadas relati
vas al argumento x.
Los resultados son
y así sucesivamente
13.2 Aplique las fórmulas del problema 13.1 para producir p'(1), p(2)(1) y P(3)(1) a partir de los datos de la tabla
13.1. (Ésta es la misma tabla 12.2 pero con las diferencias mayores de tercer orden suprimidas.
Recuérdese que aquellas diferencias se escribieron como efectos de error. La tabla se reproduce aquí por
comodidad.)
pk=y0+ Δy0+ Δ2y0+ Δ3y0+ Δ4y0+• • •
13.1 Diferencie la fórmula progresiva de Newton,
Problemas resueltos
h
Dpk p '(x)= p(2)(x) =
D2pk
h2
3k2-6k + 2
Δ2y0 + Δy0 + p'(x) = 6 Δ
3y0 +
2k3-9k2 + 1 1 k - 3
12 Δ
4y0 +
p ( 2 )(x)= Δ2y0 + ( k - l ) Δ 3 y 0 +
6k2-18k + ll
12 Δ
4y0 +
p ( 3 )y0= Δ3y0 +
2k-3
2 Δ
4y0 +
P(4)(x) = (Δ4y0+ • • •)
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA 177
Tabla 13.1
Con h = .05 y k = 0 en x0 = 1.00, nuestras fórmulas producen
p'(1) = 20(.02470 + .000295 + .000017) = .50024
p(2)(l) = 400(-.00059 - .00005) = - .256
p(3)(l) = 8000(.00005) = .4
Los resultados correctos son, puesto que
A pesar de que ios datos de entrada son exactos hasta en cinco lugares decimales, encontramos
p'(x) sólo correcta hasta tres lugares decimales, p(2),(1) no muy correcta hasta en dos lugares y p(3)(1) sólo
correcta hasta uno. Es evidente que los errores de algoritmo son considerables.
13.3 Diferencie la fórmula de Stirling,
13.4 Aplique las fórmulas del problema 13.3 para producir p '(1.10), p ( 2 ) (1 .10) y p(3) (1.10) a partir de los datos
de la tabla 13.1.
y así sucesivamente
Procediendo como en el problema 13.1, encontramos
Pk = y0 + δμy0 + δ2y0 + δ3μy0 + δ4y0+• • •
1.00000
2470
1.02470 - 5 9
2411 5
1.04881 - 5 4
2357 4
1.07238 - 5 0
2307 2
1.09544 - 4 8
2259 3
1.11803 - 4 5
2214
1.14017
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
p'(x)= δμy0 + kδ
2y0
3k2-1
6
δ3μy0 12
2k3-k δ4y0 +
P(2) (X) = δ
2y0 + kδ3μy0
6k2-1
12
δ4y0
P(3)(x) (δ3μy0 + kδ4y0
p(4)(x)= (δ4y0 +
178 MÉTODOS NUMÉRICOS
Con k = 0 en x0 = 1.10, nuestras fórmulas producen
13.5
Los resultados correctos son y'(1.10) = .47674, y(2) (1 .10) = -.2167 y y(3)(1.10) = .2955.
Los datos de entrada fueron correctos hasta en cinco lugares decimales, pero nuestras aproximacio
nes a estas tres primeras derivadas son correctas en forma aproximada hasta en cuatro, tres y un lugar,
respectivamente.
Los problemas anteriores sugieren que la diferenciación aproximada es inexacta. Amplíe este punto com
parando la función y(x) = e sen (x/e2) con la aproximación polinomial p(x) - 0.
Las dos funciones se colocan en los argumentos igualmente espaciados x - ie2π para enteros i. En el
caso de un número β muy pequeño, la aproximación es extremadamente exacta, sin que y(x) - p(x) exceda
nunca a e. Sin embargo, puesto que y'(x) = (1/e) cos (x/e2)y p'(x) = 0, la diferencia en las derivadas es
muy grande. Este ejemplo muestra que la aproximación exacta de una función no debe esperarse que equi
valga a la aproximación precisa de su derivada. Véase la figura 13-1.
13.6 Los problemas 13.1,13.3 y 13.23 sugieren tres aproximaciones a y'(x) usando sólo las primeras diferencias,
Estas, interpretadas geométricamente, son las pendientes de las tres líneas que se muestran en la figura 13-2.
También se muestra la linea tangente x0. Parece ser que la aproximación de en medio es la más cerca
na a la pendiente de la línea tangente. Confirme esto computando los errores de truncamiento de las tres
fórmulas.
Fig. 13-2
p(2)(1.10) = 400(-.00054 + 0) = -.216
p(3)(1.10) = 8000(.000045) = .360
Fig. 13-1
02411+ .02357
2 p'(l-10) = 20 o
.00005 + .00004
2
.4766
y 0 - y - 1
h 2h
y 1 - y - 1 y 1 - y 0
h
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA 179
La fórmula progresiva de Newton, truncada después del primer término de diferencia, deja el error de
truncamiento como
con x = x0 + kh como es usual. Es útil considerar aquí a k como un argumento continuo, y no restringido a
valores enteros. Suponiendo continua y(2)(ξ), encontramos entonces el error de nuestra fórmula de la deriva
da (por la regla de la cadena) para k=0.
Nótese que para k = 0 la derivada del factor problemático y (2)(ξ) no está comprendida. De manera similar
para la fórmula regresiva de Newton,
Con ia fórmula de Stirling se recibe un beneficio inesperado. Conservando incluso el segundo término
de diferencia en nuestra aproximación encontramos que en k = 0 este término desaparece de p'(x). (Véase
el problema 13.3.) De tal modo podemos considerar ia aproximación media bajo análisis como si surgiera
de una aproximación polinomial de segundo grado. El error de truncamiento es por tanto
que conduce a
Es cierto que el símbolo ξ representa probablemente tres números distintos desconocidos en estos tres
cálculos. Pero puesto que h suele ser pequeño, la apariencia de h2 en el último resultado, en comparación
con h en los otros, sugiere que este error de truncamiento es más pequeño, por un "orden de magnitud".
Esto confirma la evidencia geométrica.
13.7 Aplique la fórmula media del problema 13.6 para aproximar y'(1.10) con respecto a los datos de la tabla
13.1. Encuentre el error real de este resultado y compárelo con la estimación del error de truncamiento del
problema 13.6.
Esta aproximación es en realidad el primer término computado en el problema 13.4: y'(1.10) = .4768.
El error real es, hasta en cinco lugares,
y'(l. 10) - .4768 = .47674 - .47680 = - .00006
La estimación que se obtuvo en el problema 13.6 fue h2y(3)(ξ)/6. Puesto que y(3)(x) = x - 5 '2 sólo
exageramos un poco al sustituir la ξ desconocida por 1, obteniendo -h2y(3)(ξ)/6 = = -.0016. Esta
estimación es grande, pero no irrealista.
180 MÉTODOS NUMÉRICOS
Diferenciando como en el problema 13.6 y dejando
13.10 Compare la estimación del problema 13.9 con el error real del resultado calculado en el problema 13.4.
Hasta en cinco lugares el error real es
y'(1.10) -p'(1.10) = .47674 - .47660 = .00014
en tanto que la fórmula del problema 13.9, con y(5)(1) sustituyendo el valor desconocido y ocasio
nando una ligera exageración, produce
¡Sin duda esto no es lo que se esperaba! Aunque el error de truncamiento se ha eliminado esencialmente
utilizando diferencias de mayor orden, el error real es más grande. Es claro que otra fuente de error domina
en estos algoritmos. Dicha fuente son los errores de entrada de los valores y¡ y se observa cómo se incre
mentan con el algoritmo. Por brevedad incluiremos esto en el término del error de redondeo.
13.11 Estime el comportamiento del error de redondeo para la fórmula (y1 - y-1)/2h.
Como antes, dejamos que Y1, y Y-1 sean los valores exactos (desconocidos) de los datos. Entonces
Y1 = y1 + e1 y Y-1 = y-1 + e-1 con e1 y e-1 representando los errores de los datos. La diferencia
es en consecuencia el error en nuestra salida debido a las inexactitudes de entrada. Si no excede a
E en magnitud, este error de salida es entonces en el peor de los casos haciendo de el máximo
error de redondeo.
13.12 Aplique la estimación del problema 13.11 al cálculo del problema 13.7.
Aquí De tal modo el error de redondeo en el algoritmo
puede influir ligeramente en el cuarto lugar.
13.9 Estime el error de truncamiento en la fórmula del problema 13.8.
Puesto que la fórmula se basó en el polinomio de Stirling de cuarto grado,
Tenemos k - 0 para este caso, haciendo
13.8 Convierta la fórmula para p'(x) obtenida en el problema 13.3 en una forma que exhiba los valores yk
utilizados en vez de las diferencias.
( y 1 - y - 1 ) (y2 — 2y1 + 2y-1 — y_2) ( y - 2 - 8 y - 1 + 8y 1 -y 2 )
=.0000007
64
7
30
(.05)4
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA 181
13.13 Estime el comportamiento del error de redondeo en la fórmula del problema 13.8.
Procediendo del mismo modo que en el problema 13.10 encontramos (1/12h)(e-2 - Be-1 + Be1 - e-2)
para el error en la salida debido a las inexactitudes de entrada. Si ek no excede a E en magnitud, entonces
este error de salida es en el peor de los casos 18E/12h, es decir, el error de redondeo máximo - (3/2h)E.
El factor (3/2h) es el factor de incremento, como (1/h) lo fue en el problema 13.11. Nótese que para h pe
queño, lo que por lo general se asocia con una gran exactitud, este factor es considerable y los errores de
redondeo en la información de entrada se incrementarán de manera importante.
13.14 Aplique la estimación del problema 13.13 al cálculo del problema 13.14. Compare después los diversos
errores asociados con nuestros intentos para calcular y'(1.10).
Con h - .05 y E = .000005, (3/2h)E = .00015. Los diversos errores se agrupan en la tabla 13.2.
Tabla 13.2
En el primer caso el error de redondeo ha ayudado, pero en el segundo caso ha perjudicado. Es daro que
el alto incremento de tales errores hace que no tengan sentido los bajos errores de truncamiento, excepto
para datos en extremo precisos.
13.15 Estime el error de truncamiento de la fórmula
de manera que al sumarlas y restar después 2y0 encontramos
Desafortunadamente ξ, es probable que no sea el mismo que ξ2 pero para una estimación del error de trun
camiento supóngase que sustituimos ambas derivadas cuartas por un número y ( 4 ) que podemos elegir arbi
trariamente. Para tener una seguridad total podríamos elegir y ( 4 ) = máx| y(4'(x)| sobre el intervalo compren-
Fórmula Error real Error de trunc. est Max. error de red.
que se obtiene a partir del problema 13.3 interrumpiendo después del segundo término de diferencia.
Aquí puede ser conveniente seguir una ruta diferente para el error de truncamiento, empleando la se
rie de Taylor. En particular
-.00016
.0000007
-.00006
,00014
± .00010
± .00015
182 MÉTODOS NUMÉRICOS
dido, lo que nos llevaría a una cota superior para la magnitud del error de truncamiento, si bien podrían ser
posibles otras elecciones. Tenemos ahora
Error de truncamiento
13.16 Aplique la estimación del problema 13.15 al cálculo del problema 13.4.
El cálculo de p(2)(1.10) en el problema 13.4 ya se realizó mediante la fórmula
puesto que los términos de diferencia de mayor orden no contribuyen en nada. El resultado ya se ha com
parado con el valor correcto y"(1.10) = -.21670. La estimación del error de truncamiento del problema
13.15, con
sugiere una ligera exageración
Error de truncamiento
El error real es -.00070, lo que indica nuevamente que el error de truncamiento no es la principal fuente de
error.
13.17 Estime el error de redondeo de la fórmula δ2y0/h2.
Procediendo como antes, encontramos que el error de salida debido a las inexactitudes de entrada
es (1/h2)(e1 - 2e0 + e-1) donde los ek son los errores de entrada. Si éstos no exceden a £ en magnitud, en
tonces el error en el peor de los casos puede ser (4/h2)E; de tal modo que el máximo error de redondeo -
(4/h2)E.
13.18 Aplique lafórmula del problema 13.17 al cálculo del problema 13.4 y compare el error real de nuestra
aproximación a y(2)(1 .10) con estimaciones de truncamiento y redondeo.
Como antes h = .05 y E = .000005, haciendo (4/h2)E = .00800.
El factor de magnificación (4/h2) tiene un fuerte efecto. Nuestros resultados confirman que el redondeo
ha sido la principal fuente de error en nuestra aproximación de y(2)(1.10), y sólo ha contribuido con aproxi
madamente 90 de unas 800 unidades potenciales.
Error real Error de trunc. est. Max. error de red.
1
5120
.00020
±.00800 .00020 -.00070
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA 183
13.19 Aplique las interpolaciones segmentarias de los problemas 9.7 y 9.8 para encontrar derivadas aproximadas
de la función seno.
En el problema 9.7 encontramos la interpolación segmentaria natural, teniendo segundas derivadas
cero en los puntos extremos. Puesto que la propia función seno tiene estas derivadas en los extremos, la
interpolación segmentaria natural es apropiada en este caso. Tomando primero el punto central, encontra
mos que la derivada del segmento de interpolación central S2 es
que es precisamente cero en x = π/2. Es claro que la simetría ha sido útil. Puede efectuarse una prueba de
mayor validez en x = π/3, que fue uno de los nudos y en donde encontramos que S'2 corresponde a .496. El
error de .4 por ciento puede juzgarse considerando que sólo se utilizaron tres interpolaciones segmentarias
sobre el intervalo (0, π).
En el problema 9.8 encontramos la interpolación segmentaría que corresponde al punto extremo de la
primera derivada de la función seno. Para la sección central encontramos
que es de nuevo cero en x = π/2. En x = π/3, el valor es = 2π)/6π o .494.
Para la segunda derivada aparece otra vez el deterioro anticipado. La interpolación segmentaria natu
ral predice S"2 = -.948 para el intervalo central completo, donde la segunda derivada verdadera varía
de-.866 a - 1 .
13.20 ¿Cómo puede aplicarse el método de extrapolación de Richardson a la diferenciación numérica?
Como es usual, la información en torno al error en una fórmula de aproximación se usa para efectuar
una corrección. Como un ejemplo tómese la fórmula central
donde 7 es el error de truncamiento. Con un sencillo cálculo empleando la serie de Taylor se encuentra
T = a1h2 + a2h4 + a3h6 + • • •
Haciendo dos aplicaciones, con el uso de h y h/2, tenemos
con F(h) y F(h/2) denotando las derivadas aproximadas, y donde suponemos que las a, no cambian mucho
para h pequeño. La supresión del término a, produce
y(x + k)-y(x-h)
2/h y'(x) =
184 MÉTODOS NUMÉRICOS
de modo que en
tenemos una fórmula de diferenciación aproximada de cuarto orden de precisión, que se obtuvo combinan-
do dos resultados a partir de una fórmula de precisión de segundo orden.
El argumento puede ahora repetirse, empezando con
y eliminando el término b1, para producir una aproximación
15
con una precisión de sexto orden. Es evidente que repeticiones adicionales son posibles, conociéndose el
proceso completo como extrapolación al limite.
El conjunto de aproximaciones calculado durante una extrapolación al límite suele presentarse como
sigue:
añadiéndose más entradas según sea necesario. La fórmula general es:
No es difícil modificar el proceso que acaba de describirse de modo que el tamaño del paso se reduz
ca de alguna otra manera, tal vez h1 = ri-1h), con h1 como la h inicial. Una secuencia arbitraria de hi podría in
cluso manejarse a bajo costo. Existen ejemplos con los que se muestra que algunas veces estas variacio
nes pueden ser provechosas.
13.21 Aplique la extrapolación de Richardson a la función y(x) = -1/x para determinar y'(.05). El valor es 400.
Los cómputos se resumen en la tabla 13.3 y se efectuaron con una computadora de ocho dígitos. La
fórmula original del problema 13.20 produce la columna encabezada con la letra F (reduciéndose todas las
entradas de la tabla en 400), porque su mejor intento, para h = .0001, estuvo fuera del tercer lugar decimal.
Después de eso el error de redondeo fue el dominante. Observando en cualquier parte de la tabla se en
cuentra que aparecen valores casi correctos hasta cinco lugares.
F(h)
F(h/2)
F(h/4)
F(h/8)
h
h/2
h/4
h/8
F1(h/2)
F1(h/4) F2(h/4)
F1(h/8) F2(h/8) F3(h/8)
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA 1S5
Tabla 13.3*
"Entradas reducidas en 400.
Problemas suplementarios
13.22 Diferencie la fórmula de Bessel, obteniendo derivadas hasta p(5)(x) en términos de diferencias hasta de
quinto orden.
13.23 Aplique los resultados del problema anterior para producir, p', p ( 2 ) y p ( 3 ) en x = 1.125 partiendo de los datos
de la tabla 13.1.
13.24 Encuentre el error de truncamiento de la fórmula para p'(x) obtenida en el problema 13.22 utilizando
Estímelo utilizando ξ = 1. Compare el error real.
13.25 Encuentre el máximo error de redondeo posible de ta fórmula del problema anterior. Compare el error real
con las estimaciones de los errores de truncamiento y redondeo.
13.26 Muestre que la fórmula de Stirling de sexto grado produce
Demuestre que el error de truncamiento de esta fórmula es
13.27 Convierta la fórmula del problema anterior a la forma
y pruebe que el máximo error de redondeo es 11E/6h.
p'(x0)= ( - y - 3 + 9y-2-45y-1 + 45y1- 9y2 + y3)
28.05289
6.66273 -.46732
1.64515 -.02737 .0096
.41031 -.00130 .00043 .00041
.10250 -.00010 -.00002 -.00002
.02625 .00084 .00090 .00091
.00750 .00125 .00127 .00127
.00500 .00417 .00436 .00441
.01000 .01166 .01215 .01227
.0128
.0064
.0032
.0016
.0008
.0004
.0002
.0001
.00005
186 MÉTODOS NUMÉRICOS
13.28 Encuentre el argumento correspondiente a y' = 0 en la tabla 13.4 por interpolación cúbica inversa, usando
la fórmula de Lagrange o la de Everett. (Véanse otra vez los problemas 12.11 y 12.12.) Encuentre después
el valor y correspondiente por la interpolación directa.
Tabla 13.4
13.29 Ignorando las líneas superior e inferior de la tabla 13.4, aplique la fórmula de Hermite para encontrar un
polinomio cúbico que se ajuste a los datos restantes. ¿En dónde es igual a cero la derivada de este poli
nomio cúbico? Compare con el problema anterior. Aquí los datos corresponden a y(x) = sen x, de tal modo
que el argumento correcto es π/2.
13.30 La función de la distribución normal tiene un punto de inflexión exactamente en x = 1.
¿Qué tan cercanamente ésta podría determinarse, a partir de cada una de las tablas independientes de
cuatro lugares siguientes?
13.31 Partiendo de los problemas 13.9 y 13.13 encontramos que los errores combinados de truncamiento y
redondeo de la aproximación
tienen la forma Ah4 + 3E/2h donde A = ly(5)(ξ)/30l ¿En el intervalo h éste será será un mínimo? Calcule su
resultado a partir de la función raíz cuadrada y con una precisión de cinco lugares.
13.32 Muestre que el error de truncamiento de la fórmula y(4)(x0) = δ4y0/h4 es h2/(6)(ξ)l6.
13.33 Demuestre que el máximo error de redondeo de la fórmula en el problema 13.38 es 16E/h4.
.16997
.07074
-.02920
-.12884
.98545
.99749
.99957
.99166
1.4
1.5
1.6
1.7
.50 .3521 .98 .2468
.75 .3011 .99 .2444
1.00 .2420 1.00 .2420
1.25 .1827 1.01 .2396
1.50 .1295 1.02 .2371
Integración numérica
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar con sus propias palabras el concepto de integración numérica (Introducción, Problema 14.67).
2. Explicar con sus propias palabras las fuentes de error involucradas en la integración numérica
(Introducción).
3. Dar la interpretación geométrica de la integral de una función f(x), sobre un intervalo dado
(Introducción).
4. Explicar con sus propias palabras en qué consiste la fórmula progresiva de Newton para la
integración numérica (Introducción).
5. Desarrollar matemáticamente y aplicar la fórmula progresiva de Newton para obtener la integración
numérica (Problemas 14.1,14.35,14.36).
6. Explicar con sus propias palabras el concepto de fórmulas compuestas paraobtener la integración
numérica (Aplicaciones).
7. Explicar en detalle, con apoyo en una gráfica, el método trapezoidal para calcular numéricamente una
aproximación de la integral de una función (Introducción).
8. Deducir la fórmula del método trapezoidal a partir de la interpretación geométrica de la integral
(Introducción, Problemas 14.4,14.5,14.8,14.17,14.18,14.31,14.37 a 14.40,14.42,14.43,14.46,
14.48 a 14.51).
9. Calcular numéricamente una aproximación de la integral de una función dada, utilizando el método
trapezoidal (Problemas 14.4,14.5,14.8,14.17,14.18,14.31,14.37 a 14.40,14.42,14.43,14.46,14.48
a 14.51).
10. Elaborar el algoritmo para aplicar en forma iterada el método trapezoidal (Introducción).
11. Explicar detalladamente, apoyado en una gráfica, el método Simpson 1/3 para calcular numéricamente
una aproximación de la integral de una función (Introducción).
12. Deducir la fórmula del método Simpson 1/3 a partir de la integración geométrica de la integral
(Problemas 14.10,14.11,14.14 a 14.17,14.19 a 14.22,14.26,14.33,14.39,14.40,14.42,14.44,14.46,
14.48 a 14.51).
13. Calcular numéricamente una aproximación de la integral de una función dada utilizando el método
Simpson 1/3 (Problemas 14.10,14.11,14.14 a 14.17,14.19 a 14.22,14.26,14.33,14.39,14.40,14.42,
14.44,14.46,14.48 a 14.51).
14. Elaborar el algoritmo para aplicar en forma iterada el método Simpson 1/3 (Introducción).
15. Explicar la extrapolación de Richardson a la fórmula trapezoidal, para obtener la fórmula Simpson
1/3 (Capitulo 13).
188 MÉTODOS NUMÉRICOS
16. Explicar detalladamente, apoyado en la gráfica, et método de Romberg para calcular numéricamente
una aproximación de la integral de una función (Introducción).
17. Deducir la formula del método de Romberg a partir de la interpretación geométrica de la integral
(Problemas 14.23. t4.24,14.39,14.40,14.42,14.48 a 14.51).
18. Calcular numéricamente una aproximación de la integral de la función dada, utilizando el método de
Romberg (Problemas 14.23,14.24.14.39,14.40,14.42,14.48 a 14.51).
19. Elaborar el algoritmo para aplicar en forma iterada el método de Romberg (Introducción).
20. Estimar el error cometido al realizar la Integración numérica de una función, usando los métodos
nombrados en los objetivos anteriores (Problemas 14.2,14.3,14.6,14.7,14.9,14.12,14.13,14.15.
14.22,14.32,14.41,14.45,14.65,14.66).
21. Explicar con sus propias palabras de qué manera se pueden obtener fórmulas más complejas para
calcular numéricamente una aproximación de la integral de una función (Problemas 14.25,14.61).
22. Explicar con sus propias palabras en qué consiste la fórmula de Gregory para obtener la integración
numérica (Problemas 14.30,14.47).
23. Explicar con sus propias palabras en qué consiste la aplicación del teorema de Taytor para obtener la
integración numérica (Problemas 14.31,14.37,14.38,14.56 a 14.60).
24. Explicar con sus propias palabras cómo se puede aplicar el método de coeficientes indeterminados
para obtener la integración numérica (Problemas 14.34,14.62 a 14.64).
25. Explicar con sus propias palabras en qué consiste el concepto de integración adaptativa (Problemas
14.27 a 14.29,14.52 a 14.55).
APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Como vimos en ei capitulo 5, las sumas (sumatorias) son una herramienta muy útil en los métodos numéricos,
y mediante ellas podemos calcular áreas.
En este capitulo obtendremos áreas de diversas regiones que no sólo se encuentran acotadas por rectas.
En ei estudio del cálculo hemos visto el concepto de integración, como la suma de rectángulos muy angos-
tos; en este tema aprenderemos métodos que nos permitan ei cálculo de funciones complicadas, mediante com-
putadora o calculadora.
Dentro del estudio del cálculo hemos aprendido las fórmulas para integrar funciones, sin embargo dentro de
los métodos numéricos aprenderemos nuevas formas de hacerlo, ya que no es muy común introducir dentro de una
computadora o una calculadora dichas fórmulas para encontrar la integral definida o indefinida de una función.
Las aplicaciones de la integración son muy variadas, debido a que no sólo se emplean para calcular áreas,
sino para calculan el área comprendida entre dos gráficas, volúmenes de sólidos de revolución, en física para el
cálculo de trabajo, flujo de líquidos, presión de líquidos, centros de masa, momentos de inercia y en otras discipli-
nas como economía y evaluación de proyectos para cálculos de depreciación, valor presente e inversiones.
Cuando no es posible la evaluación de integrales definidas mediante los métodos formales o cuando tene-
mos sólo una pequeña muestra de los valores de la función f(X), requeriremos de otro enfoque. La alternativa ob-
via es encontrar una función g(X) que sea a la vez una aproximación apropiada de f(X) y sencilla para integrarla
formalmente.
Afortunadamente los polinomios de interpolación vistos en el capitulo 12, a menudo nos proporcionan las
dos características requeridas.
La diferencia entre f(X) y g(X), nos da diferentes signos en los segmentos del intervalo de integración, por lo
que usualmente el error total de la integración se hace pequeño, ya que los errores positivos en unos segmentos
INTEGRACIÓN NUMÉRICA 189
tienden a cancelar los negativos en otros; ésta es la razón por la cual se dice que la integración es un proceso de
suavización.
Existen muchas fórmulas para la integración numérica (amada también cuadratura), debido a que tenemos
muchas posibilidades para seleccionar el espaciamiento de los puntos base, el grado del polinomio de aproxima-
ción y el lugar de los puntos base con respecto al intervalo de integración.
Los métodos de integración comúnmente utilizados se pueden clasificar en dos grandes grupos:
a) Las fórmulas de Newton-Cotes que emplean puntos equidistantes.
b) Las fórmulas de integración gaussiana que emplean puntos no equidistantes, determinados por al
gunas propiedades de los polinomios ortogonales, tema que se tratará en el capítulo 15.
Dentro de las fórmulas con puntos equidistantes, encontramos dos clases: cerradas y abiertas, en ambos
casos los límites de la integración son coincidentes con los puntos base o se pueden desplazar de ellos.
Las fórmulas cerradas emplean «formación de f(X) que tiene puntos base en ambos límites de la integración.
Las fórmulas abiertas no requieren información de f(X) en los límites de la integración.
A menudo es conveniente emplear las fórmulas de integración compuesta para reducir el error asociado
con el uso de fórmulas de integración de bajo orden; en este caso se subdivide el intervalo de Integración en
pequeños intervalos y se emplea la fórmula separadamente en cada subintervalo.
La aplicación repetida de fórmulas de bajo orden es preferible en general a la aplicación única de una fórmula
de alto orden, debido a la sencillez en la aplicación y a la sencillez en los cálculos.
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS
Polinomios 2
Manejo de funciones continuas
Polinomios osculadores 10
El polinomio de Taylor 11
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Aproximación polinomial por funciones racionales 23
Aproximación polinomial por funciones trigonométricas 24
Manejo de funciones discretas
Diferencias divididas 3
Polinomios factoriales 4
Sumas (sumatorias) 5
Sumas y series 17
La fórmula de Newton . 6
Aproximación polinomial mediante interpolación
Operadores y polinomios de colocación . 7
Puntos no equiespaciados 8
Interpolación por segmentos (splines) 9
Interpolación 12
Operación de polinomios
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Integración gaussiana 15
Casos especiales en la integración numérica 16
190 MÉTODOS NUMÉRICOS
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
La importancia de la integración numérica puede apreciarse al notar con qué frecuencia la formulación de proble-
mas en el análisis aplicado incluyederivadas. Es por tanto natural esperar que la solución de tales problemas in-
cluya integrales. Para la mayor parte de las derivadas no es posible la representación en términos de las funciones
elementales, por lo que la aproximación se vuelve necesaria.
APROXIMACIÓN POLINOMIAL
La aproximación polinomial sirve como base para una amplia variedad de fórmulas de integración, donde la idea
principal es que si p(x) es una aproximación a y(x), entonces
y en general este planteamiento es muy exitoso. En el análisis numérico la integración es la operación "fácil" y la
diferenciación la "difícil", en tanto que lo inverso es más o menos cierto en el análisis elemental. Los ejemplos más
conocidos son los siguientes:
1. La fórmula de integración progresiva de Newton de grado n entre x0 y xn (el intervalo completo de la
colocación) conduce a varias fórmulas útiles, que incluyen
y puede estimarse de diversas maneras. Por ejemplo, un argumento de la serie de Taylor muestra que es-
te error es aproximadamente -h3y(2)(ξ)/12 cuando n = 1, y cercano a -h5y4)(Ξ)/90 cuando n - 2.
2. Las fórmulas compuestas se obtienen aplicando en forma repetida las sencillas fórmulas que acaban de
presentarse para cubrir intervalos más largos. Esto es como usar varios segmentos lineales conectados o
segmentos parabólicos, etc., y su uso es más simple que el de un solo polinomio de alto grado.
3. La regla trapezoidal,
es una fórmula compuesta elemental, pero poco común. Utiliza, desde luego, segmentos de linea conec-
tados como la aproximación a y(x). Su error de truncamiento es aproximadamente -(xn - X0)h2y(2)(Ξ)/1 2.
p(x)dx = y(x)dx
p(x) dx = (yo+y1)
p(x) dx = (yo + 4y1+y2)
p(x)dx = (yo + 3y1+ 3y2 + y3)
(yo + 2y1 + ... + 2yn-1+yn) y(x) dx =
y(x)dx- p(x) dx
para n - 1, 2 y 3. El error de truncamiento de cualquier fórmula de tales características es
INTEGRACIÓN NUMÉRICA 191
también es una fórmula compuesta y surge al usar segmentos parabólicos conectados como la aproxima-
ción a y(x). Es una de las fórmulas que más se utilizan para la integración aproximada. El error de trunca-
miento es alrededor de -(xn - xo)h4y(4)(ξ)/180.
4. La regla de Simpson,
. El método de Romberg se basa en el hecho de que el error de truncamiento de la regla trapezoidal es
casi proporcional a h2. Dividiendo h entre dos y volviendo a aplicar la regla en esa forma, se reduce el
error por un factor de 1/4 . La comparación de los dos resultados lleva a una estimación de error restante.
Esta estimación puede utilizarse entonces como una corrección. El método de Romberg es un refinamien-
to sistemático de esta sencilla idea.
y(x)dx ≈ h/3(y 0 + 4y1 + 2y2 + ...+yn) - h/90(δ 4y 1 + δ 4 y 3 + )
6. Es posible obtener fórmulas más complejas integrando polinomios de colocación sobre una parte menor
que el intervalo de colocación. Por ejemplo, la regla de Simpson con términos de corrección puede obte-
nerse integrando la fórmula de Stirling de sexto grado, que brinda la colocación en Xx-3 , . . . , x3, justo sobre
los dos intervalos centrales xn-1 a x1, y empleando después el resultado para desarrollar una fórmula com-
puesta. El resultado es
+ h/756(δ6yl + δ6y3+ ...+ δ6yn-1)
la primera parte de la cual es la regla de Simpson.
7. La fórmula de Gregory toma la forma de la regla trapezoidal con términos de corrección. Puede obtener-
se a partir de la fórmula de Euler-Maclaurin expresando todas las derivadas como combinaciones apropia-
das de diferencias para obtener
y también en este caso la primera parte es la regla trapezoidal. La propia fórmula de Euler-Maclaurin pue-
de usarse como una fórmula de integración aproximada.
8. El teorema de Taylor puede aplicarse para desarrollar el integrando como una serie de potencias, des-
pués de lo cual, la integración término por término conduce en ocasiones a una computación factible de la
integral. Se han desarrollado también formas más complejas relativas al uso de este teorema.
9. El método de los coeficientes indeterminados puede utilizarse para generar fórmulas de integración de
una amplia variedad de tipos para propósitos especiales.
10. La integración ajustada cubre los muchos métodos que se han ideado para afrontar el hecho de que la
mayor parte de las funciones son más difíciles de integrar con precisión sobre ciertos intervalos que sobre
otros. Una sección en particular difícil podría, por ejemplo, obligar al uso de un valor muy pequeño de h en
la regla de Simpson y conducir a demasiado cómputo innecesario. Los métodos ajustados utilizan subdivi-
192 MÉTODOS NUMÉRICOS
siones más finas sólo donde ellos son realmente necesarios. Se ilustrará una forma sistemática para lle-
var a cabo lo anterior.
FUENTES DE ERROR
Se presentan las fuentes usuales de error. Sin embargo, los errores de entrada en los valores de los datos
y 0 , . . . . yn no son magnificados por la mayor parte de las fórmulas de integración, por lo que esta fuente de error
no es ni con mucho tan molesta como la diferenciación numérica. El error de truncamiento, que es,
para nuestras fórmulas más simples, y una composición de piezas similares para la mayor parte de las otras, es
ahora el principal contribuyente. Se han efectuado una amplia variedad de esfuerzos para estimar este error. Una
pregunta relacionada es la de la convergencia. Esta fórmula: cuando se usan continuamente polinomios de mayor
grado, o cuando se utilizan continuamente intervalos hn más pequeños entre los puntos dato como lím hn = 0, cuál
secuencia de aproximaciones se produce con el limite del error de truncamiento igual a cero. En muchos casos,
siendo excelentes ejemplos las reglas trapezoidal y de Simpson, puede probarse la convergencia. Los errores de
redondeo tienen también un fuerte efecto. Un intervalo pequeño h equivale a una computación sustancial y a mu-
cho redondeo.
Estos errores de algoritmo a final de cuentas oscurecen la convergencia que teóricamente debe ocurrir; y se
encuentra en la práctica que al reducir h debajo de cierto nivel se producen errores más grandes en vez de más
pequeños. Cuando el error de truncamiento se vuelve despreciable, los errores de redondeo se acumulan, limitan-
do la precisión que se obtiene con un método determinado.
Problemas resueltos
14.1 Integre la fórmula de Newton para un polinomio de colocación de grado n. Utilice los límites x0 y xn, que co-
rresponden con los limites exteriores de la colocación. Suponga argumentos con igual espaciamiento.
El problema requiere la integración de una función lineal de x0 a X1, o una forma cuadrática de x0 a x2,
y asi sucesivamente. Véase la figura 14-1.
Fig. 14-1
[y(x)-p(x)]dx
INTEGRACIÓN NUMÉRICA 193
La función lineal conduce realmente a 1/2h(y0 + y1)- Para la cuadrática
y un sencillo cálculo da como resultado, puesto que x = x0 + kh.
Para el polinomio cúbico un cálculo similar produce
También pueden obtenerse en la misma forma resultados para polinomios de mayor grado
y los valores C y c1, para algunos de los primeros valores de n se presentan en la tabla 14.1. Tales fórmulas
reciben el nombre de fórmulas de Cotes.
Tabla 14.1
Es raro que se utilicen fórmulas de mayor grado, en parte porque se dispone de fórmulas más simples e
igualmente precisas, y debido también al hecho un poco sorprendente de que los polinomios de mayor gra-
do no siempre equivalen a un mejoramiento de la precisión.
14.2 Estime el error de truncamiento de la fórmula n =1.
p(x) dx = Ch(c0 y0 + ... + cnyn)
n
1
2
3
4
6
8
C
1/2
1/3
3/8
2/45
1/140
4/14,175
C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
1 1
1 4 1
1 3 3 1
7 32 12 32 7
41 216 27 272 27 216 41
989 5888 -928 10,496 -4540 10,4% -928 5888 989
En este simple caso podemos integrar la fórmula
194 MÉTODOS NUMÉRICOS
directamente y aplicar el teorema del valor medio del modo siguiente, obteniendo el error exacto:
donde h = x1 - x0. La aplicación del teorema del valor medio es posible debido a que (x - x0) (x - x1) no cam-
bia de signo en (x0,x1). La continuidad de y2 (ξ) también está comprendida. Para n > 1 un cambio de signo
evita una aplicación similar del teorema del valor medio y muchos métodos se han ideado para estimar el
error de truncamiento, la mayoría de ellos presentan algunas desventajas. Vamos a ilustrar ahora uno de
los más antiguos, usando la serie de Taylor, para el sencillo caso de n = 1. Primero tenemos
que presenta el error de truncamiento en forma de serie. El primer término puede usarse como una esti-
mación del error. Éste debe compararse con el error real cuando está dado por-(h3/12)y(2)(£) donde x0 <
14.3 Estime el error de truncamiento de la fórmula n - 2.
Procediendo como en el problema anterior, primero encontramos
La propia integral es
y sustrayendo
Usando una integral indefinida F(x), donde F(x) - y(x), podemos también encontrar
y restando
INTEGRACIÓN NUMÉRICA 195
tenemos otra vez el error en forma de serie. El primer término se utilizará como una aproximación. Puede
además demostrarse que el error está dado por -(h5l90)y4)(ξ) dónde x0 < ξ < x2. (Véase el problema 14.65.)
Se aplica un procedimiento similar a las otras fórmulas. Los resultados se presentan en la tabla 14.2,
mostrándose sólo el primer término.
Nótese que las fórmulas para n impar son comparables con aquellas para el siguiente entero más pe-
queño. (Por supuesto, tales fórmulas cubren un intervalo más de longitud h, pero esto no parece ser impor-
tante. Las fórmulas pares son superiores.)
14.4 Obtenga la regla trapezoidal.
Esta antigua fórmula continúa encontrando aplicación e ilustra de manera muy simple cómo las
fórmulas del problema 14.1 pueden extenderse para cubrir muchos intervalos. La regla trapezoidal se aplica
a nuestra fórmula n =1 para intervalos sucesivos hasta xn.
Esto lleva a la fórmula
que es la regla trapezoidal.
14.5 Aplique la regla trapezoidal a la integración de √x entre los argumentos 1.00 y 1.30. Use los datos de la
tabla 13.1, compare con el valor correcto de la integral.
Encontramos fácilmente
El valor correcto es 2/3[(1.3)3/2 -1 ] - .32149 hasta cinco lugares, haciendo el error real igual a .00002.
14.6 Obtenga una estimación del error de truncamiento de la regla trapezoidal.
El resultado del problema 14.2 puede aplicarse en cada intervalo, produciendo un error de trunca-
miento total de aproximadamente
n
1
2
3
Error de
truncamiento
- (h3/12)y(2)
-(h5/90)y(4)
-(3h5/80)y(4)
n
4
6
8
Error de
truncamiento
-(8h7/945) (6 )
-(9h9/1400)y(8)
-(2368h11/467 775)y(10)
196 MÉTODOS NUMÉRICOS
Suponiendo la segunda derivada acotada, m < y(2) < M, la suma entre paréntesis estará entre nm y nM.
Además, la suposición de que esta derivada es continua permite que la suma se escriba como ny(2)(ξ)don-
de x0 < ξ < x2. Esto se debe a que y(2)(ξ) asume entonces todos los valores intermedios para m y M. Con-
viene denominar a los extremos del intervalo de integración como x0 = a y xn = b, haciendo b-a = nh. Con
todo esto, tenemos
14.7 Aplique la estimación del problema 14.6 a nuestra integral de la raíz cuadrada.
Con h = .05, b - a = .30 y y(2)(x) = -x -3/2/4, el error de truncamiento ≈ .000016 que es ligeramente me-
nor que el error real de .00002. Sin embargo, redondeando hasta cinco lugares y sumando esta estimación
del error a nuestro resultado calculado, obtenemos .32149, que es el resultado correcto.
14.8 Estime el efecto de las inexactitudes en los valores y* sobre los resultados obtenidos mediante la regla
trapezoidal.
Con yk denotando los valores verdaderos, como antes, encontramos 1/2h (e0 + 2e1 + ... + 2en-1 + en) co-
mo el error debido a las inexactitudes ek - yk - yk. Si los ek no exceden la magnitud de £, este error de sali-
da está acotado por 1/2h[E +2(n - 1 ) E + E] = (b - a)E.
14.9 Aplique lo anterior a la integral de la raíz cuadrada del problema 14.5.
Tenemos que (b - a)E = (.30)(.000005) = .0000015, por lo que esta fuente de error es despreciable.
14.10 Obtenga la regla de Simpson.
Ésta puede ser la más popular de todas las fórmulas de integración. Implica el uso de nuestra fórmula
n = 2 a pares sucesivos de intervalos hasta xm de donde se obtiene la suma
h/3 (y2 + 4y1 + y2 + h/3 (y2 + 4y3 + y4) + ... +h/ 3 (yn-2 + 4yn-1 + yn)
que se simplifica en
h/3 (y0+ 4y1 + 2y2 + 4y3 + ... + 2yn_2 + 4yn-1 + yn)
Ésta es la regla de Simpson y requiere que n sea un entero par.
14.11 Aplique la regla de Simpson a la integral del problema 14.5
la cual es correcta hasta en cinco lugares.
Error de truncamiento ≈
la cual es correcta hasta en cinco lugares.
[1.0000 + 4(1.02470 + 1.07238 + 1.11803) + 2(1.04881 + 1.09544) + 1.14017] = .32149
INTEGRACIÓN NUMÉRICA 197
14.12 Estime el error de truncamiento de la regla de Simpson.
El resultado del problema 14.3 puede aplicarse a cada par de intervalos, produciendo un error de trun-
camiento total de alrededor de
-h5/90 (y0(4) + y2(4)+ ... + y(4)n-2)
La suposición de que la cuarta derivada es continua permite escribir la suma entre paréntesis como
(n/2)y4(ξ) donde x0 < ξ < xn. (Los detalles son casi los mismos que los del problema 14.6.) Puesto que b -
a-nh,
Error de truncamiento =
14.13 Aplique la estimación del problema 14.12 a nuestra integral de la raíz cuadrada.
Como y(4)(x) = - 15/16 x - 7/2, el error de truncamiento ≈ . 00000001, que es insignificante.
14.14 Estime el efecto de las inexactitudes de los datos sobre los resultados calculados mediante la regla de
Simpson.
Como en el problema 14.8, se determina que este error es
y si las inexactitudes de tos datos ek no exceden a E en magnitud, este error de salida está acotado por
exactamente como en el caso de la regla trapezoidal. Aplique esto a la integral de la raíz cuadrada del pro-
blema 14.11 obtenemos el mismo valor de .0000015 como en el problema 14.9, por lo que nuevamente es-
ta fuente de error es despreciable.
14.15 Compare los resultados de la aplicación de la regla de Simpson a los intervalos 2h y h y obtenga una nueva
estimación del error de truncamiento.
Suponiendo los errores de datos despreciables, comparamos los dos errores de truncamiento. Deje-
mos que E1 y E2 denoten estos errores para los intervalos 2h y h, respectivamente. Por tanto,
por lo que E2 ≈ E1 /16. El error se reduce por un factor de 16 al partir en dos el intervalo h. Lo anterior puede
ahora emplearse para obtener otra estimación del error de truncamiento de la regla de Simpson. Llámese l
al valor correcto de la integral; y A1 y A2 a las dos aproximaciones de Simpson. Por consiguiente
I = A1 + E1 = A2 + E2 ≈ A1 + 16E2
X
senx
0 π/12 2 Π / 1 2 3 Π / 1 2 4 Π / 1 2 5 Π / 1 2 π/2
.00000 .25882 .50000 .70711 .86603 .96593 1.00000
198 MÉTODOS NUMÉRICOS
Resolviendo para E2, el error de truncamiento asociado con el intervalo h es E2 ≈ (A2 - A1) /15.
14.16 Utilice la estimación del problema 14.15 para corregir la aproximación de la regla de Simpson.
Ésta es una idea elemental pero útil. Encontramos
14.17 Aplique la fórmula trapezoidal de Simpson y n = 6 para calcular la integral de sen x entre 0 y π/2 a partir de
los siete valores que se proporcionan en la tabla 14.3. Compare con el valor correcto de 1.
Tabla 14.3
La regla trapezoidal produce .99429. La regla de Simpson da como resultado 1.00003. La fórmula
n = 6 lleva a
Es claro que la regla n = 6 funciona mejor para estos datos fijos proporcionados.
14.18 Muestre que para la obtención de la integral del problema previo, correcta hasta en cinco lugares con la
regla trapezoidal, se requiere un intervalo h de aproximadamente .006 radianes. En contraste, la tabla 14.3
tiene h = π/12 ≈ .26.
El error de truncamiento del problema 14.6 sugiere que queremos
lo cual ocurrirá siempre que h < .006.
14.19 ¿Qué valor de h se requeriría para obtener la integral del problema 14.17 correcta hasta en cinco lugares,
utilizando la regla de Simpson?
El error de truncamiento del problema 14.12 sugiere
o h < .15 aproximadamente.
14.20Pruebe que las reglas trapezoidal y de Simpson son convergentes.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA 199
Si suponemos que la única fuente de error es el truncamiento, entonces en el caso de la regla trape-
zoidal
donde / es la integral exacta y A la aproximación. (Aquí dependemos de la representación exacta del error
de truncamiento mencionada al final del problema 14.2.) Si el lim h = 0 y suponiendo entonces a y(2) acota-
da, lím (l - A) = 0. (Ésta es la definición de convergencia.)
Para la regla de Simpson tenemos un resultado similar
Si el lím h = 0 y suponiendo entonces a y ( 4 ) acotada, lím (l - A) = 0. El uso múltiple de fórmulas de mayor
grado conduce también a la convergencia.
14.22 Las computaciones del problema 14.21 indican una fuente de error que permanece y que no desaparece
cuando h disminuye, aumentando, de hecho, a medida que el trabajo continúa. ¿Cuál es esta fuente de
error?
Para intervalos h muy pequeños el error de truncamiento es muy pequeño y, como vimos antes, las
inexactitudes de los datos tienen poco impacto en la regla de Simpson en cualquier intervalo h. Pero una h
pequeña equivale a una gran cantidad, con la perspectiva de numerosos redondeos computacionales. Esta
fuente de error no ha sido un factor importante en los muchos algoritmos, más breves, que se encontraron
en la interpolación y en la diferenciación aproximada. Aquí se ha vuelto dominante y limita la precisión obte-
nible, aun cuando nuestro algoritmo es convergente (problema 14.20) y pequeño el efecto de las inexactitu-
des de los datos (estamos salvando ocho lugares decimales). Este problema resalta la importancia de con-
tinuar la búsqueda de algoritmos más breves.
14.23 Desarrolle la idea de los problemas 14.15 y 14.16 en el método de Romberg de la integración aproximada.
h
π/8
π/16
π/32
π/64
Integral aprox.
1.0001344
1.0000081
1.0000003
.99999983 (máximas)
h
π/128
π/256
π/512
π/1024
Integral arox .
.99999970
.99999955
.99999912
.99999870
14.21 Aplique la regla de Simpson a la integral
para buscar una mayor precisión.
dividiendo a la mitad continuamente el intervalo h
Las computaciones de máquina, llevando ocho dígitos, dan los resultados de la tabla 14.4.
Tabla 14.4
200 MÉTODOS NUMÉRICOS
Supóngase que el error de una fórmula de aproximación es proporcional a hn. Entonces dos aplicacio-
nes de la fórmula, con intervalos h y 2h, implican errores
Para n = 4 esto reproduce el problema 14.16. Para n = 2 se aplica a la regla trapezoidal en la cual el error
de truncamiento es proporcional a h2. No es difícil verificar que para n = 2 nuestra última fórmula reproduce
la regla de Simpson, y que para n = 4 reproduce la fórmula de Cotes n = 4. Puede demostrarse que el error
en esta fórmula es proporcional a hn+2 y esto sugiere una computación recursiva. Aplique la regla trapezoidal
varias veces, dividiendo continuamente h. Llame los resultados A1, A2, A3.... Aplique nuestra fórmula an-
terior con n = 2 a cada par de Ai consecutiva. Llame los resultados B1, B2, B 3 . . . . P u e s t o que el error es
ahora proporcional a h4 podemos volver a aplicar la fórmula, con n = 4, hasta la Bj.... Los resultados pueden
denominarse C1, C2, C3 .... Continuando en esta forma se obtiene un arreglo de resultados
haciendo E2 ≈ E/22. Con / = A1 + E1 = A2 + E2 como antes, encontramos rápidamente la nueva aproximación
E1 ≈ C(2h)2 E1 ≈ Chn
El cálculo continúa hasta que las entradas en la parte inferior derecha del arreglo concuerdan con la tole-
rancia requerida.
14.24 Aplique el método de Romberg a la integral del problema 14.21.
Los diferentes resultados son como sigue:
La convergencia hacia el valor correcto de 1 es manifiesta.
14.25 Es posible obtener fórmulas de integración más precisas integrando un polinomio sobre una parte menor
que el intervalo completo de colocación. Integre la fórmula de Stirling sobre los dos intervalos centrales.
Hasta la sexta diferencia la fórmula de Stirling es
Puntos utilizados
Resultado de la
regla trapezoidal
4 8 16 32
.987116 .996785 .999196 .999799
1.000008 1.000000 1.000000
1.000000 1.000000
1.000000
A1 A 2 A3 A 4 . . .
B1 B2 B3 . . .
C1 C2 . . .
D1 . . .
INTEGRACIÓN NUMÉRICA 201
La integración produce, puesto que x - x0 =kh y dx = h dk,
Es claro que se dispone de más términos al incrementar el grado del polinomio. Interrumpiendo el
proceso en el termino de la segunda diferencia llegamos otra vez a la combinación inicial de la regla de
Simpson, en la forma (h/3)(y-1 + 4y0 + y1). En este caso la integración se ha extendido sobre el intervalo
completo de la colocación como en el problema 14.1. Con el término de la cuarta diferencia integramos so-
bre sólo la mitad del intervalo de colocación (Fig. 14-2).
Fig. 14-2
Cuando se utilizan más diferencias y(x) y p(x) se colocan en argumentos adicionales, pero la integra-
ción se extiende sólo los dos intervalos centrales. Puesto que éstos son los intervalos donde la fórmula de
Stirling tiene el error de truncamiento más pequeño (problema 12.64), puede esperarse que una fórmu-
la de integración obtenida de esta manera será más precisa. Sin embargo, esta precisión extra tiene cierto
precio; en las aplicaciones tales fórmulas requieren valore yk, fuera del intervalo de integración.
El error de truncamiento de esta fórmula puede ser estimado por el método de la serie de Taylor usa-
do en el problema 14.6, y se obtiene aproximadamente
14.26 Emplee el resultado del problema 14.25 para desarrollar la regla de Simpson con términos de corrección.
Efectuamos n/2 aplicaciones centradas en x1, x3 xn-1, donde n es par. El resultado es
Esto puede extenderse, si se desea, a diferencias de mayor orden.
El error de truncamiento del resultado será aproximadamente n/2 veces el del problema anterior y
puede escribirse como
h
A2 = — (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + y4)
3
2h
A2 = — (yo + 4y2 + y4)
3
X
2
4
6
8
x6/6
10.667
682.667
7 776.000
43 690.67
Computado
10.667
682.667
7 775.99
43 690.58
k
4
5
6
7
14.29 Aplique la integración ajustada a la integral arco seno
Se efectuaron unas cuantas corridas con tolerancias diferentes y cambios ligeros en el límite superior.
La siguiente salida abreviada es común. Note en especial los valores de k, que empiezan en 1 (no impreso)
y ascienden a 7. Un intento por incrementar el limite superior un poco más encuentra que k aumenta rápi-
damente.
es en ese caso conveniente, puesto que en el problema el error se estimó como (A2 - A1)/15. La aproxima-
ción A2 se acepta entonces siempre que A2 - A1 ≤ 15E/2k y se acumula en la suma de otros resultados
aceptados a su izquierda. Es claro que el proceso finaliza cuando los fragmentos aceptados cubren (a, b).
14.28 Aplique el método de la integración ajustada del problema anterior a la integral:
podría elegirse. Como medida del error, la regla del intervalo doble
La idea esencial es subdividir cada parte del intervalo de integración tan finamente como sea posible
para que sólo contribuya con su proporción al error total. Hay muchas maneras de hacer esto. Supóngase
que el error total permisible es E. Elíjase una fórmula de integración y aplíquese al intervalo. Aplique un es-
timador de error. Si el error es menor que E, hemos terminado. Si no, aplique la fórmula a la mitad izquierda
del intervalo. Si la nueva estimación del error es menor que E/2, hemos terminado con ese medio intervalo.
Si no, este intervalo se parte a la mitad y se continúa el proceso. Al final se llega a un intervalo de longitud
(b - a)/2k siendo (a, b) el intervalo original, donde la fórmula en uso produce un resultado aceptable, con el
error menor que E/2k. El proceso se reanuda entonces, empezando en el margen derecho del intervalo
aceptado.
Como fórmula de integración básica, la regla de Simpson
202 MÉTODOS NUMÉRICOS
14.27 Desarrolle la idea de la integración ajustada.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA 203
Inquieta la discontinuidad infinita en el limitesuperior, lo que sugiere una disminución en el tamaño
del paso cerca de este extremo, al igual que en el problema precedente. Los valores de k ascienden de ma-
nera estable cuando el cómputo avanza y llegan a 15 con este resultado:
Límite superior - .9999
Integral - 1.5573
En este punto el valor correcto del arco seno es 1.5575.
14.30 Obtenga la fórmula de Gregory.
Ésta es una forma de la regla trapezoidal con términos de corrección y puede obtenerse de varias
maneras. Una de ellas empieza con la fórmula de Euler-Maclaurin (Problema 11.19) en la forma
Mas términos están disponibles si son necesarios. Ahora, exprese las derivadas en xn en términos de las diferencias atrasadas, y las derivadas en x0 en términos de diferencias avanzadas.
El resultado de sustituir estas expresiones es
y otra vez pueden computarse más términos si es necesario. Ésta es la fórmula de Gregory. No requiere de
valores y» fuera del intervalo de integración.
14.31 Aplique el teorema de Taylor para evaluar la integral de la función error
204 MÉTODOS NUMÉRICOS
para x = .5 y x = 1, correcta hasta cuatro decimales.
Para x - .5 esto produce .5205 y para x = 1 encontramos .8427. El carácter de esta serie asegura que el
error que se hace al truncarla no excede al último término utilizado, por lo que podemos confiar en nuestros
resultados. El método de la serie ha funcionado muy bien aquí, pero se aclarará que si se quieren más lu-
gares decimales o si se usarán límites superiores x más grandes, entonces se incluirán muchos más térmi-
nos en esta serie. En tales casos suele ser más conveniente proceder como en el siguiente problema.
14.32 Tabule la integral de la función error para x - 0(.1)4 hasta seis lugares.
Adoptamos el método que se utilizó para preparar la tabla de quince lugares de esta función, NBS-
AMS 41. Las derivadas necesarias son
H'(x) = 2/√π e-x² H2(x) = - 2xH(x) H(3)(x) = - 2xH(2)x) - 2H'(x)
y en general H(n)(x) = - 2xH(n-1)(x) - 2(n - 2)H(n-2)(x)
La serie de Taylor puede ser escrita como
H(x + h) = H(x) + h H ' ( x ) + .....
donde el residuo es el usual R - h (n+1) H(n+1)(ξ)/(n+1)!. Note que si M denota la suma de los términos de
potencias pares y N los términos de potencias impares, entonces
H(x + h) = M + N H(x-h) = M - N
Para una precisión de seis lugares usamos términos de la serie de Taylor que afectan el lugar octavo, por-
que la magnitud de la tarea que hay que efectuar hace que sea posible el crecimiento sustancial del error
de redondeo. Con H(0) - 0, la computación empieza con
sólo contribuyen las potencias impares. A continuación ponemos x = .1 y encontramos
H(2)(.l)= -.2H'(.1)= -.22343032
INTEGRACIÓN NUMÉRICA 205
llevando a
Puesto que H(x - h) = M - N, redescubrimos que H(0) = 0, lo cual comprueba la corrección del cálculo. Ob-
tenemos también
Después de esto se repite el proceso para obtener una verificación en H(.1) y una predicción de H(.3).
Continuando en esta forma se llega a H(4). Los dos últimos lugares decimales pueden entonces redondear-
se. Los valores correctos hasta seis lugares se proporcionan en la tabla 14.15 para x = 0(.5)4. En las com-
putaciones de la tabla NBS-AMS 41 se efectuaron hasta 25 lugares, que luego se redondearon hasta 15. Des-
pués se realizaron extensas subtabulaciones para argumentos x pequeños.
Tabla 14.5
H(.2) = H(x+h) = M + N = .22270258
M = .11246291 - .00111715 + .00000555 - .00000002 =.11135129
N= .11171516 - .00036494 + .00000107 = .11135129
14.33 Ilustre el método de los coeficientes indeterminados para obtener fórmulas de integración aproximadas,
aplicándolo a la deducción de la regla de Simpson.
En este método apuntamos directamente a un fórmula de un tipo preseleccionado. Para la regla de
Simpson la elección
es conveniente. La selección de los coeficientes ck puede proceder de muchas maneras, pero para la regla
de Simpson la elección se hace sobre la base de que la fórmula resultante es exacta cuando y(x) es cual-
quiera de las primeras tres potencias de x. Tomando y(x) = 1, x, y a su vez x2, llegamos a las condiciones
2 = c-1 + c0 + c1 0 = - c-1 + c1 2/3 = c-1 + c1
h(c-1 y-1, + c0y0 + c1y1)
H(3)(.1) = -.2H(2)(.l)-2H'(.1)= -2.1896171
H(4)(.l) = -.2H(3)(.l) - 4H(2)(.l) = 1.3316447
H(5)(.l) = - .2H(4)(.1) - 6H(3)(.l) = 12.871374
H(6)(.l)= -.2H(5)(.l) - 8H(4)(.l)= -13.227432
X
H(x)
.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
.520500 .842701 .966105 .995322 .999593 .999978 .999999 1.000000
206 MÉTODOS NUMÉRICOS
que produce c-1 = c1 - 1/3, c0 = 4/3 haciendo
Aplicando este resultado a pares sucesivos de intervalos entre x0 y xn se genera otra vez la regla de Simp-
son.
Como un beneficio, este resultado demuestra ser exacto para y(x) - x3, como puede observarse fácil-
mente a partir de las simetrías. Esto significa además que es también exacto para cualquier polinomio de
grado tres o menor. En polinomios de mayor grado hay un término de error.
(y-1+4y0 + y1)
14.34 Aplique el método de coeficientes indeterminados para obtener una fórmula del tipo
Con cuatro coeficientes disponibles, tratamos de hacer la fórmula exacta cuando y(x) = 1, x, x2 y x3.
Esto nos lleva a cuatro condiciones
dx = h(a0 y0 + a1 y1) + h2(b0 y'0 + b1 y'1 ) y(x)
q u e p r o d u c e a0 = a1 b0= -b1 = La fórmula resultante es
que reproduce los primeros términos de la fórmula de Euler-Maclaurín. Puede generarse una gran varie-
dad de fórmulas mediante este método de los coeficientes indeterminados. Como en los ejemplos que aca-
ban de presentarse, un poco de planeación preliminar y el uso de la simetría pueden con frecuencia simplifi-
car el sistema de ecuaciones que al final determina los coeficientes.
Problemas suplementarios
14.35 Integre la fórmula de Newton para un polinomio de colocación de cuarto grado y de ese modo verifique el
renglón n = 4 de la tabla 14.1.
14.36 Verifique el renglón n = 6 de la tabla 14.1.
14.37 Use el método de la serie de Taylor para obtener la estimación del error de truncamiento para la fórmula n = 3
como se lista en la tabla 14.2.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA 207
14.38 Use el método de la serie de Taylor para verificar la estimación del error de truncamiento para la fórmula
n = 4.
14.39 Aplique diversas fórmulas al siguiente suministro de datos limitados para aproximar la integral de y(x):
X
y(x)
1.0
1.0000
1.2
.8333
1.4
.7143
1.6
.6250
1.8
.5556
2.0
.5000
Utilice la regla trapezoidal, aplicando términos de corrección. ¿Qué tanta confiabilidad puede usted dar a su
resultado? ¿Sería correcto hasta cuatro lugares? (Véase el siguiente problema.)
14.40 Los datos del problema 14.39 pertenecen en realidad a la función y(x) - 1/x. Por tanto, la integral es correc-
ta hasta en cuatro lugares, In 2 = .6931. ¿Se ha producido esto con algún método aproximado?
14.41 Use la estimación del error de truncamiento correspondiente a la regla trapezoidal para predecir qué tan
compactamente deben empaquetarse los valores de y(x) (qué intervalo h) para que la propia regla
trapezoidal logre un resultado correcto hasta en cuatro lugares en relación con∫2 dx/x.
14.42 Suponga que los datos del problema 14.39 se amplían mediante la inclusión de estos nuevos pares de
números:
X
y(x)
1.1
.9091
1.3
.7692
1.5
.6667
1.7
.5882
1.9
.5263
Vuelva a aplicar la regla trapezoidal al conjunto completo de datos proporcionados. Use este resultado co-
mo A2, y como A1, el resultado correspondiente del problema 14.39, y la fórmula del problema 14.23 para
obtener incluso otra aproximación a /. ¿Es ésta correcta hasta en cuatro lugares?
14.43 Aplique la regla trapezoidal con términos de corrección al conjunto de datos completo disponible para
14.44 Aplique la regla de Simpson a los datos del problema 14.39. ¿Serán necesarios los términos de corrección
como en el problema 14.26? Si es así, aplíquelos.
14.45 Use la estimación del error de truncamiento correspondiente a la regla de Simpson para predecir cuántos
valores de y(x), o quétan pequeño un intervalo h, se necesitarán para que esta regla produzca In 2 correcto
hasta en cuatro lugares.
14.46 ¿Qué tan pequeño se requeriría un intervalo h para obtener el valor de In 2 correcto hasta en ocho lugares
utilizando la regla trapezoidal? ¿Empleando la regla de Simpson?
14.47 Aplique la fórmula de Euler-Maclaurin (problema 14.30) hasta en los términos de la quinta derivada para
evaluar In 2 hasta en ocho lugares decimales. El valor correcto es .69314718. (Trate con ti - .1.)
208 MÉTODOS NUMÉRICOS
14.48 A partir de los siguientes datos estime
¿Qué tanta confiabilidad puede dar a sus resultados? ¿Considera que sean correctos hasta en tres tugares
decimales?
¿Qué tanta confiabilidad puede dar a sus resultados?
siendo π el valor exacto.
14.56 Aplique el método de la serie de Taylor como en el problema 14.31, para calcular la integral del seno
de la mejor manera que usted pueda hacerlo.
14.49 Los datos del problema 14.48 se tomaron de la función exponencial y(x) - e2. La integral correcta es, por
tanto, hasta en tres lugares,
nuestras fórmulas?
- 1 = 6.389. ¿Fue posible producir este resultado con alguna de
14.50 A partir de los siguientes datos, estime de la mejor manera que pueda hacerlo.
x 0
y(x) 1.000
.25
1.284
.50
1.649
.75
2.117
1.00
2.718
1.25
3.490
1.50
4.482
1.75
5.755
2
7.389
X
y(x)
1
0
1.5
.41
2
.69
2.5
.92
3
1.10
3.5
1.25
4
1.39
4.5
1.50
5
1.61
14.51 Los datos del problema 14.50 corresponden a y(x) - log x. Por tanto, la integral correcta hasta en dos
¿Fue posible predecir este resultado con alguna de nuestras lugares es
fórmulas?
14.52 Calcule
o hasta en siete lugares .7853892.
correcta hasta en siete lugares mediante la integración ajustada. El valor correcto es Π/4,
14.55 Utilice la integración ajustada para verificar
14.54 Muestre que hasta en cuatro lugares
hasta en cuatro lugares decimales. Ésta se llama una integral elíptica. Su valor
correcto es 1.4675. Use la integración ajustada.
14.53 Calcule
INTEGRACIÓN NUMÉRICA 209
para x - 0(.1)1, hasta en cinco lugares decimales. El procedimiento refinado que se utilizó en el problema
14.32 no es necesario aquí. El último resultado debe ser Si(1) - .94608.
14.57 Aplique el método de la serie de Taylor como en el problema 14.32 para calcular la integral del seno para
x - 0(.5)15, hasta en cinco lugares decimales. Él resultado final debe ser Si(15) - 1.61819.
14.58 Aplique el método de la serie de Taylor para calcular sen x dx hasta ocho lugares decimales.
14.59 Aplique el método de la serie de Taylor para calcular hasta cuatro lugares decimales.
14.60 Calcule la longitud del arco total de la elipse x2 + y2/4 - 1 hasta seis lugares decimales.
14.61 Añadiendo (h/140)δ6y3 a la fórmula n - 6 de la tabla 14.1, obtenga la regla de Weddle,
14.62 Use el método de los coeficientes indeterminados para deducir una fórmula de la forma
que es exacta para polinomios del mayor grado posible.
14.63 Utilice el método de los coeficientes indeterminados para obtener la fórmula
probando que es exacta para polinomios hasta de tercer grado.
14.64 Use el método de los coeficientes indeterminados para obtener
probando que es exacta para polinomios hasta de quinto grado.
14.65 Obtenga la expresión exacta para el error de truncamiento de nuestra fórmula n = 2 mediante el siguiente
método. Sea
Diferencie tres veces con respecto a h, empleando el teorema de "diferenciación bajo el signo integral"
210 MÉTODOS NUMÉRICOS
para obtener F(3)(h) = h/3[y3(h) -y(3)( - h)]
Note que F'(0) = F(2)(0) = F(3)(0) = 0. Suponiendo y(4)(x) continua, el teorema del valor medio produce en esas
condiciones
donde θ depende de h y ésta cae entre -1 y 1. Invertimos la dirección y recuperación F(h) por integración.
Resulta conveniente sustituir h por t (haciendo θ una función de t). Verifique que
diferenciando tres veces con respecto a h para recuperar la F(3) (h) anterior. Puesto que esta fórmula hace
también F(0) = F'(0) = F(2)(0), es la F(h) original. Aplique a continuación el teorema del valor medio
con a <ξ<b, que es válido para funciones continuas siempre que f(t) no cambie de signo entre a y b. Estas
condiciones se cumplen aquí con f(t) = -t2(h - t)2/3. El resultado es
14.67 Evalúe correcta hasta en seis lugares.
Error de truncamiento =
para la fórmula n = 1.
14.66 Modifique el argumento del problema 14.65 para obtener la fórmula dada al final del problema 14.2.
Éste es el resultado que se mencionó en el problema 14.3. Las primeras etapas de esta prueba, en la que
maniobramos a partir de F(h) hasta su tercera derivada y regresamos otra vez, tiene como meta una repre-
sentación de F(h) para la cual el teorema del valor medio puede aplicarse. Recuerde que f(t) no cambia de sig-
no en el intervalo de integración. Ésta es con frecuencia la dificultad principal al obtener una fórmula de
error de truncamiento del tipo que se acaba de encontrar.
Integración gaussiana
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar con sus propias palabras el concepto de integración gaussiana (Introducción).
2. Explicar con sus propias palabras las fuentes de error involucradas en la integración gaussiana
(Introducción).
3. Calcular una estimación del error de truncamiento, empleando la integración gaussiana (Problemas
15.2,15.27,15.28,15.33,15.34).
4. Calcular una estimación de la precisión, empleando la integración gaussiana (Problemas 15.25,15.58).
5. Calcular numéricamente la integral definida de una función, calcularla también aplicando algún método
del capítulo 14 (Simpson, Taylor, etc.) comparándola con el resultado utilizando integración
gaussiana (Problemas 15.31,15.32,15.56,15.59,15.60,15.74 a 15.78):
6. Explicar con sus propias palabras el efecto de la longitud del intervalo en la integración gaussiana
(Problema 15.30).
7. Explicar con sus propias palabras el importante papel que juegan los polinomios ortogonales dentro de
la integración gaussiana (Problemas 15.3 a 15.7).
8. Explicar con sus propias palabras en qué consisten las fórmulas de integración de Gauss-Legendre
(Problemas 15.8 a 15.15).
9. Calcular numéricamente una aproximación de la integral de una función dada, utilizando el método de
Gauss-Legendre (Problemas 15.16 a 15.18,15.23,15.24,15.26,15.29,15.47,15.48 a 15.55,15.57,
15.63,15.64).
10. Derivar la identidad de Christoffel mediante la recursividad de los polinomios de Legendre (Problemas
15.19 a 15.21).
11. Explicar con sus propias palabras en qué consisten las fórmulas de integración de Gauss-Laguerre
(Problemas 15.35,15.61,15.66).
12. Calcular numéricamente una aproximación de la integral de una función dada, utilizando el método de
Gauss-Laguerre (Problemas 15.36 a 15.38,15.62,15.65,15.67 a 15.70).
13. Explicar con sus propias palabras en qué consisten las fórmulas de integración de Gauss-Hermite
(Problemas 15.1,15.2).
14. Calcular numéricamente una aproximación de la integral de una función dada, utilizando el método de
Gauss-Hermite (Problemas 15.39 a 15.42,15.71 a 15.73).
15. Explicar con sus propias palabras en qué consisten las fórmulas de integración de Gauss-Chebyshev
(Problemas 15.43,15.44).
15
212 MÉTODOS NUMÉRICOS
16. Calcular numéricamente una aproximación de la integral de una función dada, utilizando el método de
Gauss-Chebyshev (Problemas 15.45,15.79).
17. Explicar con sus propias palabras las ventajas de la integración gaussiana, con respecto a las fórmulas
de integración vistas en el capitulo 14 (Aplicaciones e Introducción).
18. Explicar con sus propias palabras las desventajas de la integración gaussiana, con respecto a las
fórmulas de integración vistas en el capítulo 14 (Aplicaciones e Introducción).
APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Las fórmulas de integración gaussiana son difíciles de aplicar en cálculos manuales, primordialmente debido
a que lasabscisas usualmente son irracionales. Sin embargo para las computadoras, estas abscisas y sus pesos
(ponderaciones) correspondientes se pueden precalcular y almacenar en memoria principal o en archivos, para
emplearse posteriormente a la hora de los cálculos. En términos generales la integración gaussiana nos proporcio-
na mayor precisión que las fórmulas de Newton vistas en el capítulo 14.
Otra ventaja muy importante con respecto a los métodos del capitulo 14, es que la integración gaussiana no
se ve afectada por la inestabilidad que caracteriza en algunos casos a las fórmulas de Newton.
En el capítulo 14 derivamos fórmulas de integración en las cuales dos de los puntos fundamentales Xo y Xn
se acomodaban de tal manera que coincidieran con los límites de la integral a y b. Si esta restricción no existiera y
tuviéramos la libertad de asignar otros lugares estratégicos para estos puntos base, podríamos esperar desarrollar
fórmulas que nos proporcionaran mayor precisión para un número de puntos dado; esta libertad en la restricción
nos da la pauta para emplear la integración gaussiana que nos proporcionará mayor precisión. Mediante una
apropiada transformación de la variable de integración o de la función que se va a integrar, las cuatro fórmulas de
(cuadratura) integración gaussiana que se van a desarrollar en este capítulo (Gauss-Legendre, Gauss-Lague-
rre, Gauss-Hermite y Gauss-Chebyshev), permiten la evaluación de integrales de buen comportamiento sobre
intervalos de integración finitos, semi-infinitos o infinitos. En algunos casos será posible evaluar integrales en las
cuales el integrando tiene alguna singularidad (impropiedad) dentro del intervalo de integración, relegando el tér-
mino impropio (singular) a la función de ponderación; este tema en particular se cubrirá en el capítulo 16.
Existe una gran variedad de fórmulas de cuadratura del tipo gaussiano, que pueden generarse para
funciones de ponderación particulares, para límites de integración y para conjuntos de polinomios ortogonales.
Las fórmulas gaussianas pueden emplearse repetidamente sobre subintervalos del intervalo de integra-
ción; no existe en términos generales el concepto de ahorrar en el número de evaluaciones funcionales por subin-
tervalo, como ocurre cuando se construyen fórmulas compuestas provenientes de los métodos cerrados de
Newton-Cotes de bajo orden, vistos en el capítulo 14.
Desde otro punto de vista, una desventaja de la integración gaussiana es que el uso de factores de ponde-
ración y de puntos base, requiere fórmulas de orden alto que son virtualmente imposibles de calcularse manual-
mente; asimismo en algunos casos puede ser tediosa la preparación de programas computacionales para obtener
una cuadratura de muchos puntos, debido a la gran cantidad de datos de ponderación que se tienen que generar y
posteriormente almacenar.
Aunque las proposiciones siguientes no se pueden considerar estrictamente matemáticas, en la práctica se
cumplen a menudo:
a) El método más sencillo es el del trapezoide, por su fácil representación y comprensión geométrica, sin
embargo tiene serias limitantes con respecto a precisión.
INTEGRACIÓN GAUSIANA 213
b) El método de Simpson requiere de la mitad de puntos que el del trapezoide para generar la misma preci-
sión.
c) Consecuentemente si deseamos mayor precisión en el método del trapezoide, deberemos incrementar
el número de puntos, a sabiendas de que podemos incrementar el error de redondeo (Capítulo 1).
d) En muchas ocasiones los métodos de integración gaussiana requieren la mitad de puntos que el méto-
do de Simpson.
e) Consecuentemente los métodos de integración gaussiana requerirán la mitad del trabajo que el método
de Simpson.
f) Es muy importante recordar que los métodos de trapezoide y Simpson requieren puntos equidistantes.
g) La integración gaussiana por el contrario, no requiere puntos equidistantes.
CORRELACIÓN DEL TEMA CON OTROS CAPÍTULOS
Polinomios 2
Manejo de funciones continuas
Polinomios osculadores 10
El polinomio de Taylor 11
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados 21
Aproximación polinomial por minimax 22
Aproximación polinomial por funciones racionales 23
Aproximación polinomial por funciones trigonométricas 24
Manejo de funciones discretas
Diferencias divididas 3
Polinomios factoriales 4
Sumas (sumatorias) 5
Sumas y series 17
La fórmula de Newton 6
Aproximación polinomial mediante interpolación
Operadores y polinomios de colocación 7
Puntos no equiespaciados 8
Interpolación por segmentos (splines) 9
Interpolación 12
Operación de polinomios
Diferenciación numérica 13
Integración numérica 14
Integración gaussiana 15
Casos especiales en la integración numérica 16
214 MÉTODOS NUMÉRICOS
CARÁCTER DE UNA FÓRMULA GAUSSIANA
La idea principal detrás de la integración gaussiana es que en la selección de una fórmula
puede no ser prudente especificar que los argumentos xi están igualmente espaciados. Todas las fórmulas del ca-
pítulo anterior suponen igual espaciamiento, y si los valores y(x,) se obtienen en forma experimental esto probable-
mente será cierto. Sin embargo, muchas integrales implican funciones analíticas que pueden computarse para
cualquier argumento y con gran precisión. En tales casos, es útil preguntar qué elección de las xi y las A, en con-
junto llevará a la máxima precisión. Se ha demostrado que es conveniente analizar la fórmula un poco más general
en la cual w(x) es una función de peso que se especificará después. Cuando w(x) = 1 tenemos la fórmula original
más simple.
Un planteamiento para tales fórmulas gaussianas es requerir la precisión perfecta cuando y(x) es una de las
funciones potencias 1, x, x2 x2n-1 . Esto brinda 2n condiciones para determinar los 2n números xi y Ai. En
efecto,
donde Li(x) es la función del multiplicador de Lagrange presentada en el capítulo 8. Los argumentos x 1 , . . . , xn son
los ceros del polinomio pn(x) de grado n-ésimo perteneciente a una familia que tiene la propiedad de ortogonalidad
Estos polinomios dependen de w(x). La función de peso afecta por consiguiente tanto a Ai como a xi pero no apa-
rece en forma explícita en la fórmula gaussiana.
La fórmula de Hermite para un polinomio de osculación proporciona otro planteamiento para las fórmulas
gaussianas. La integración del polinomio de osculación produce
pero la elección de los argumentos x, como los ceros de un miembro de una familia ortogonal hace todas las Bi = 0.
0. La fórmula se reduce entonces a la del tipo prescrito. Esto indica, y procederemos a comprobarlo, que un poli-
nomio de colocación simple en estos argumentos igualmente espaciados conduciría al mismo resultado.
Por tanto, los polinomios ortogonales desempeñan un papel central en la integración gaussiana. Un estudio
de sus principales propiedades constituye una parte sustancial de este capítulo.
El error de truncamiento de la fórmula gaussiana es
b
INTEGRACIÓN NUMÉRICA 215
donde π(x) - (x - X1) ... (x - xn). Puesto que esto es proporcional a la derivada 2n de y(x), tales fórmulas son exac-
tas para todos los polinomios de grado 2n - 1 o menor. En las fórmulas del capítulo anterior es y(n)(ξ) lo que apare-
ce en este lugar. En cierto sentido nuestras fórmulas presentes son dos más veces más precisas que las basadas
en argumentos igualmente espaciados.
TIPOS PARTICULARES DE FORMULAS GAUSSIANAS
Pueden obtenerse tipos particulares de fórmulas gaussianas eligiendo w(x) y los límites de integración de di-
ferentes maneras. Algunas veces se desea también imponer restricciones, tales como especificar cierta xi al princi-
pio. Se presentan varios tipos particulares.
1. La fórmula gaussiana de Legendre ocurre cuando w(x) = 1. Ésta es el prototipo del método gaussiano y
lo analizaremos con mayor detalle que los otros tipos. Es costumbre normalizar el intervalo (a, b) en
(-1,1). Los polinomios ortogonales son entonces los polinomiosde Legendre
con P0(x) = 1. Las xi son los ceros de estos polinomios y los coeficientes son
Se disponen las tablas xi y Ai para sustituirlas directamente en la fórmula de Gauss-Legendre
PB(x) tiene n ceros reales en (-1,1)
(n + 1)Pn+1(x) = (2n + l)xPn(x) - nPn-1(x)
Se requieren varias propiedades de los polinomios de Legendre en el desarrollo de estos resulta-
dos, que incluyen las siguientes:
216 MÉTODOS NUMÉRICOS
La estimación de Lanczos del error de truncamiento de las fórmulas de Gauss-Legendre toma en-
tonces la forma
donde / es la integral aproximada obtenida mediante la fórmula gaussiana del punto n. Nótese que el tér-
mino Σ implica la aplicación de esta misma fórmula a la función xy'(x). Esta estimación del error parece
ser bastante precisa con respecto a funciones continuas.
2. Las fórmulas de Gauss-Laguerre toman la forma
siendo las xi los ceros del polinomio n-ésimo de Laguerre
y siendo los coeficientes Ai
Los números xi y Ai se disponen en tablas.
La deducción de las fórmulas de Gauss-Laguerre es muy similar a la de Gauss-Legendre, al em-
plear propiedades de los polinomios de Laguerre.
3. Las fórmulas de Gauss-Hermite toman la forma
siendo los argumentos xi los ceros del polinomio n-ésimo de Hermite
y siendo los coeficientes Ai
Los números x, y A¡ se encuentran disponibles en tablas.
INTEGRACIÓN GAUSIANA 217
4. Las fórmulas de Gauss-Chebyshev toman la forma
siendo los argumentos xi los ceros del polinomio n-ésimo de Chebyshev Tn(x) = cos (n arccos x).
Problemas resueltos
EL MÉTODO GAUSSIANO
15.1 Integre la fórmula de Hermite para una aproximación de polinomio de osculación a y(x) en los argumentos
xi a xn.
Aquí es conveniente eliminar el argumento x0 en nuestro polinomio de osculación. Esto requiere sólo
cambios menores en nuestras fórmulas del capítulo 10. La fórmula de Hermite por sí misma se convierte en
donde Li(x) - Fi(x)IFi(xi) es la función multiplicadora de Lagrange, siendo Fi(x) el producto Fi (x) = (x - xk).
Integrando, encontramos
(x - xk).
218 MÉTODOS NUMÉRICOS
Puesto que w(x) se elegirá como una función no negativa y [π(x)]2 es seguramente positiva, el teorema del
valor medio produce de inmediato
para el error de truncamiento. Aquí a < θ < b, pero como es usual θ no se conoce en otras circunstancias.
Note que si y(x) fuera un polinomio de grado 2n - 1 o menor, este término del error sería exactamente 0.
Nuestra fórmula será exacta para todos los polinomios de tales características.
15.3 Demuestre que los coeficientes Bi serán 0 si
15.4 Defina las funciones ortogonales y vuelva a enunciar el resultado del problema 15.3 en términos de la or-
togonalidad.
Las funciones f1(x) y f2(x) reciben el nombre de ortogonales en el intervalo (a, b) con la función de pe-
so w(x) si
Los coeficientes Bi, de nuestra fórmula serán cero si (x) es ortogonal a xp para p = 0 , 1 , . . . , n - 1.
Además π(x) será entonces ortogonal a cualquier polinomio de grado n-1 o menor, incluyendo las funcio-
nes multiplicador de Lagrange Li(x). Tal ortogonalidad depende y determina nuestra elección de los argu-
mentos de colocación xk y se supone para el resto del capítulo.
15.6 Obtenga la fórmula más simple Ai
15.5 Pruebe que con todas las Bi = 0, los coeficientes Ai se reducen a
siguiente, números positivos.
que se reduce a la forma requerida cuando Bi = 0
Por el problema 8.3 (x -xi)Li(x) - n(x)/π'(xi). Sustituyendo esto en la fórmula para Bi,
Pero Li(x) es un polinomio de grado n - 1 y así
y son, por con-
INTEGRACIÓN GAUSIANA 219
Se obtiene el resultado si podemos mostrar que
como se indicó. Aquí p(x) representa el polinomio de colocación. En el problema 15.1 éste simbolizó al poli-
nomio más complicado de osculación. Ambos conducen a la misma fórmula de integración. (Para un ejem-
plo específico de esto, véase el problema 15.25.)
FÓRMULAS DE GAUSS-LEGENDRE
15.8 El caso especial w(x) - 1 conduce a las fórmulas de Gauss-Legendre. Es común utilizar el intervalo de
integración (-1, 1). Como un ejercicio preliminar, determine los argumentos xk directamente de las con-
diciones del problema 15.3
para el valor n = 3.
El polinomio π(x) es, en consecuencia, cúbico, digamos π(x) = a + bx + cx2 + x3. La integración pro-
duce
lidad del problema 15.3. Esta fórmula se obtuvo por integración de un polinomio de osculación de grado 2n - 1,
determinado por los valores yi y yi' en los argumentos xi. Demuestre que la misma fórmula se obtiene por
medio de la integración del polinomio más simple de colocación de grado n - 1, determinado únicamente
por los valores yi. (Ésta es una forma de considerar las fórmulas gaussianas; con ellas se logra una gran
exactitud a partir de polinomios de grado relativamente bajo.)
El polinomio de colocación especial es por lo que la integración produce
y los argumentos x¡ tienen que elegirse mediante los requerimientos de octógona-
15.7 La fórmula de integración de esta sección puede ahora escribirse como
con p(x) de grado n -1 a lo sumo. El problema 15.3 garantiza, por tanto, que la integral es cero.
Pero Li(x) - 1 debe contener (x -xi) como un factor, debido a que Li(xi) -1 = 1 - 1 = 0.
En consecuencia,
donde
220 MÉTODOS NUMÉRICOS
Los argumentos de colocación son por tanto xn = - √3/5, 0, √3/5.
lo que rápidamente lleva a a = c = 0, b = -3/5. Esto hace
Tomando k = n en el problema anterior,
Esta última integral responde al tratamiento
15.10 Demuestre que
lo que también hace a Pn(x) ortogonal para cualquier polinomio de grado menor que n.
Aplique la integración por partes k veces.
con P0(x) = 1. Demuestre que para k = 0,1 , n - 1
15.9 El polinomio de Legendre de grado n está definido por
Teóricamente este procedimiento produciría las xk para cualquier valor de n, pero es mas rápido usar
un planteamiento más sofisticado.
INTEGRACIÓN GAUSIANA 221
por lo que
Multiplicando ahora arriba y abajo por 2n(2n - 2) ... 2 - 2nn! y recordando la definición de Pn(x) para obte-
ner, como se requería,
15.11 Demuestre que
Separando la potencia más alta de x en un factor Pn(x),
Las potencias menores xn no contribuyen, por el problema 15.9. Empleando el problema anterior, tenemos
Pm(x)Pn(x)dx = 0. 15.12 Demuestre que para m≠n,
Escribiendo fuera el polinomio de menor grado, encontramos cada potencia en el ortogonal al polino-
mió de más alto grado. En particular con m = 0 y n ≠ 0 tenemos el caso especial
El polinomio (x2 - 1 ) n es de grado 2n y tiene ceros múltiples en ±1. Su derivada, por tanto, tiene un ce-
ro interior, por el teorema de Rolle. Esta primera derivada es también cero en ±1, lo que hace tres ceros en
total. Por tanto, existe la certeza de que la segunda derivada tiene dos ceros interiores por el teorema de
Rolle, y también es cero en ±1, lo que hace cuatro ceros en total. Continuando de la misma forma encontra-
mos que seguramente corresponderán n ceros interiores a la derivada n-ésima, por el teorema de Rolle, y
exceptuando un factor constante, esta derivada es un polinomio de Legendre Pn(x).
15.14 Demuestre que para la función de peso w(x) - 1, n(x) -
Dejemos que los n ceros de Pn(x) correspondan a X1 xn. En consecuencia
El único requerimiento adicional sobre π(x) es que sea ortogonal a xk para k=0,1,...,n-1. Pero esto re-
sulta del problema 15.9.
15.15 Calcule los primeros polinomios de Legendre directamente de la definición, notando que sólo las potencias
pares o las impares pueden ocurrir en cualquiera de tales polinomios.
2 2 2 MÉTODOS NUMÉRICOS
P0(x) por definición es 1. Entonces encontramos
De manera similar,
y así sucesivamente. Puesto que (x2 - 1)n implica sólo potencias pares de x, el resultado de diferenciar n
veces contendrá sólo potencias pares o sólo impares.
15.16 Demuestre que xn puede expresarse como una combinación de polinomios de Legendre hasta Pn(x). Lo
mismo se cumple entonces para cualquier polinomio de grado n.
Resolviendo a su vez para potencias sucesivas, encontramosetcétera. El hecho de que cada Pk(x) empieza con un término diferente de cero en xk permite que este pro-
cedimiento continúe en forma indefinida.
15.17 Demuestre la recurrencia de los polinomios de Legendre,
El polinomio xPn (x) es de grado n + 1, y por ello puede expresarse como la combinación (véase el
problema 15.16)
(n + 1)Pn+l(x) = (2n + 1)xPn(x) - nPn-1(x)
Multiplique por Pk(x) e integre para encontrar
cancelándose todos los demás términos de la derecha puesto que los polinomios de Legendre de diferen-
tes grados son ortogonales. Pero para k < n - 1 sabemos que Pn(x) también es ortogonal a xPk (x), puesto
que en esas condiciones este producto a lo mucho tiene grado n - 1. (Véase el problema 15.9.) Esto hace
ck = 0 para k < n - 1 y
La fórmula de recurrencia del problema 15.17 puede multiplicarse por P,(i) para obtener
(2i + 1)xPi(x)Pi(t) = (i + 1)Pi+1(x)Pi(t) + iPn-1(x)P(t)
Escribiendo esto también con los argumentos x y t invertidos (puesto que es cierto para cualesquiera x y t) y
lo que confirma los resultados que se obtuvieron en el problema 15.15. El proceso de recurrencia es bas-
tante adecuado en el cómputo automático de estos polinomios, en tanto que el proceso de diferenciación
del problema 15.15 no lo es.
15.19 Deduzca la identidad de Christoffel,
y con n = 6,
15.18 Ilustre el uso de la fórmula de recurrencia.
Tomando n = 5, encontramos
y utilizando los resultados de los problemas 15.10 y 15.11 se encuentra fácilmente que cn-1 = n/(2n + 1).
Sustituyendo estos coeficientes en nuestra expresión para xPn(x) llegamos a la recurrencia requerida. Co-
mo beneficio adicional tenemos también la integral
de donde cn+1 = (n + 1)/(2n + 1) resulta. Comparando los coeficientes de xn y recordando que sólo aparecen
las potencias alternas en cualquier polinomio de Legendre, conduce a cn = 0. Para determinar cn-1 regresa-
mos a nuestras integrales. Con k = n - 1 imaginamos a Pk(x) escrito fuera de la suma de potencias. Sólo es
necesario considerar el término xn-1, puesto que los términos menores, incluso cuando se multiplican por x,
serán ortogonales a Pn(x). Esto lleva a
Note que, de acuerdo con la definición, el coeficiente de xn en Pn(x) será (2n!/2n(n!)2 comparamos los coefi-
cientes de xn+1 en la expresión anterior para descubrir que
INTEGRACIÓN GAUSIANA 223
224 MÉTODOS NUMÉRICOS
sustrayendo después, tenemos
Sumando de i = 1 a i = n, y observando el "efecto amplificador" a la derecha, tenemos
El último término puede transferirse al lado izquierdo donde puede absorberse dentro de la suma como un
término i = 0. Ésta es la identidad de Christoffel.
15.20 Utilice la identidad de Christoffel para evaluar los coeficientes de integración correspondientes al caso
Gauss-Legendre, probando que Ak
Dejemos que xk sea un cero de Pn(x). Entonces el problema precedente, con t sustituido por xk, hace
que
Integre ahora de -1 a 1. Por un caso especial del problema 15.12, sólo se conserva el término i = 0 a la de-
recha, y tenemos
La fórmula de recurrencia con x - xk produce (n + 1)Pn+1(xk) = -nPn-1(xk) lo que nos permite la alternativa
lo que lleva de inmediato al resultado que se quería.
15.21 Pruebe que (1 - x2)Pn'(x) + nxPn(x) - nPn-1(x), lo cual es útil para simplificar el resultado del proble-
ma 15.20.
Primero notamos que la combinación de (1 - x2)Pn' + nxPn es a lo mucho de grado n + 1. Sin embar-
go, con A representando los coeficientes principales de Pn(x), es fácil ver que xn+1 viene multiplicado por -nA +
nA y por ello no interviene. Puesto que Pn no contiene ningún término en xn+1 nuestra combinación tampoco
tiene término en xn. Su grado es a lo mucho n - 1 y por el problema 15.16 puede expresarse como
Por los problemas 15.6 y 15.14 encontramos ahora
(2i + l)(t -x)Pi(x)Pi(t) = (i + 1)[Pi+1 (t)Pi(x) - Pi(t)Pi+1(x)] - i[Pi(t)Pi-1(x)-Pi-1(t)Pi(x)]
INTEGRACIÓN GAUSIANA 225
Procediendo como en el desarrollo de nuestra fórmula de recurrencia, podemos ahora multiplicar por Pk(x) e
integrar. A la derecha sólo queda el término k-ésimo, debido a la ortogonalidad, y obtenemos
integrando la primera integral por partes, la parte integrada es cero debido al factor (1 - x2). Esto deja
Para k < n - 1 ambos integrandos tienen a Pn(x) multiplicado por un polinomio de grado n -1 o menor. Por
el problema 15.9 todos los ck serán cero. Para k = n -1 la última integral está cubierta por el caso de la inte-
gral tratada en el problema 15.17. En la primera integral sólo el término que encabeza a Pn-1 contribuye
(otra vez por el problema 15.9) haciendo este término
Utilizando el problema 15.10, esto se reduce ahora a
Sustituyendo estos resultados, encontramos
lo que completa la prueba.
15.22 Aplique el problema 15.21 para obtener Ak
Haciendo x - xk, un cero de Pn(x), encontramos (1 -x²k)Pn' (xk) = nPn-1 (xk). El factor de la derivada
puede ser sustituido en nuestro resultado del problema 15.20, produciendo el resultado requerido.
15.23 La fórmula de integración de Gauss-Legendre puede expresarse ahora como
donde los argumentos xk son los ceros de Pn(x) y los coeficientes Ak se dan en el problema 15.22. Tabule
estos números para n = 2, 4, 6 16.
Para n = 2 resolvemos P2(x) - 1/2(3x2 - 1) = 0 para obtener xk = ±√1/3 = ± .57735027. Se comprueba que
los dos coeficientes son iguales. El problema 15.22 hace que Ak = 2(1 - 1/3)/ [4(1/3)] =1.
Para n = 4 resolvemos P4(x) = 1/5 (35x4 - 30x2 + 3) = 0 para encontrar xk2 = (15 ± 2 √ 3 0 ) / 3 5 , lo que
lleva a los cuatro argumentos xk = ± [(15 ± 2 √ 3 0 ) / 35 ] 1 / 2 .
El cálculo de éstos y su inserción en la fórmula del problema 15.22 produce los pares xk, Ak dados en
226 MÉTODOS NUMÉRICOS
Tabla 15.1
la tabla 15.1. Los resultados correspondientes a enteros n más grandes, se encuentran de la misma mane-
ra, determinándose los ceros de los polinomios de alto grado mediante el familiar método de Newton de
aproximaciones sucesivas. (Este método aparece en un capítulo posterior.)
El cambio de argumento t = π(x + 1)/4 convierte esto en nuestro intervalo estándar como
15.24 Aplique la fórmula de los dos puntos a
y los argumentos gaussianos xk = ± .57735027 conducen a y(x1) = .32589, y(x2) =.94541. La fórmula de los
dos puntos genera ahora (π/4)(.32589 + .94541) = .99848, que es correcto hasta casi tres lugares. La fór-
mula gaussiana de los dos puntos ha producido un mejor resultado que la regla trapezoidal con siete pun-
tos (problema 14.17). ¡El error es dos décimos de 1 por ciento!
Es sorprendente observar lo que una fórmula de un punto podría haber hecho. Para n = 1 el resultado
n
2
4
6
8
10
12
xk
±.57735027
±.86113631
±.33998104
±.93246951
±.66120939
±.23861919
±.96028986
±.79666648
±.52553241
±.18343464
±.97390653
±.86506337
±.67940957
±.43339539
±.14887434
±.98156063
±.90411725
±.76990267
±.58731795
±.36783150
±.12533341
Ak
1.00000000
.34785485
.65214515
.17132449
.36076157
.46791393
.10122854
.22238103
.31370665
.36268378
.06667134
.14945135
.21908636
.26926672
.29552422
.04717534
.10693933
.16007833
.20316743
.23349254
.24914705
n
14
16
xk
±.98628381
±.92843488
±.82720132
±.68729290
±.51524864
±.31911237
±.10805495
±.98940093
±.94457502
±.86563120
±.75540441
±.61787624
±.45801678
±.28160355
±.09501251
Ak
.03511946
.08015809
.12151857
.15720317
.18553840
.20519846
.21526385
.02715246
.06225352
.09515851
.12462897
.14959599
.16915652
.18260342
.18945061
INTEGRACIÓN GAUSIANA 227
de Gauss-Legendre es, como puede verificarse fácilmente
convierte en
Para la función seno esto se
que es correcta dentro de un 10 por ciento aproximadamente.
15.25 Explique la precisión de las fórmulas, en extremo simples, que se utilizaron en el problema 15.24, mostran-
do los polinomios en las cuales se basan.
La fórmula n - 1 puede obtenerse integrando el polinomio de colocación de grado cero, P(x) - y(x,) -
y(0). Sin embargo, puede obtenerse también,y ésta es la idea del método gaussiano, a partir del polinomio
de osculación de grado 2n - 1 = 1, que por la fórmula de Hermite es y(0) + xy'(0). La integración de esta
función lineal entre -1 y 1 produce el mismo 2y(0), donde el término de la derivada es cero. El polinomio de
colocación de grado cero genera la misma integral que un polinomio de primer grado, debido a que el punto
de colocación fue el punto gaussiano (Fig. 15-1).
Figura 15.1
De modo similar, la fórmula n = 2 puede obtenerse integrando el polinomio de colocación de grado
uno, donde los puntos de colocación son los gaussianos
Esta misma fórmula se obtiene integrando el polinomio de osculación de tercer grado, ya que donde
El polinomio de primer grado funciona tan bien porque los puntos de colocación fueron los gaussianos (Fig. 15-2).
¡ Aplique la fórmula gaussiana de cuatro puntos a la integral del problema 15.24.
correcta hasta seis lugares. Comparando con el resultado de 32 puntos de Simpson de 1.0000003 y el de
Simpson de 64 puntos de .99999983, la encontramos superior a cualquiera de los dos.
Empleando el mismo cambio de argumento, la fórmula de cuatro puntos produce
228 MÉTODOS NUMÉRICOS
log (1 + t) dt. 15.29 Aplique la fórmula de Gauss-Legendre a
El valor correcto hasta en seis lugares de esta integral es
Para n = 2 esto hace nuestra estimación del error E = (.0074)(.298) = .00220, en tanto que para n = 4 en-
contramos E = (.0000003)(.113) = .00000003. Los errores reales fueron .00152 y, hasta en seis lugares, ce-
ro. Así que nuestras estimaciones son consistentes con nuestros resultados.
Este ejemplo ofrece una situación favorable. La función seno se fácil de integrar, incluso por medio de
métodos aproximados, debido a que sus derivadas están acotadas por la misma constante, esto es, 1. Las
potencias de π/4 entran con el cambio de argumento, y realmente ayudan en este caso. El siguiente ejem-
plo trata una función familiar cuyas derivadas no se comportan tan favorablemente.
15.28 Aplique la estimación del error del problema 15.27 a la integral del problema 15.24 y compare con los
errores reales.
Después del cambio de argumento que lleva a esta integral a nuestra forma estándar, encontramos
15.27 Adapte la estimación del error de truncamiento del problema 15.2 al caso especial de la aproximación de
Gauss-Legendre.
Combinando los problemas 15.2, 15.11 y 15.14, encontramos que el error es
No se trata de una fórmula sencilla de aplicar si las derivadas de y(x) don difíciles de calcular. Sin embargo,
hay una idea adicional en torno a la precisión de las fórmulas gaussianas, al calcular el coeficiente de y(2n)
para n pequeña.
Fig. 15-2
INTEGRACIÓN GAUSIANA 229
El cambio de argumento t = π(x +1)/4 convierte la integral en
La cuarta derivada del nuevo integrando es (π/4)5[ -6/(1 +t)4]. En el intervalo de integración ésta no puede
exceder a 6(π/4)5, por lo que el error de truncamiento no puede ser mayor que 6(π/4)5(.0074) si utilizamos la
fórmula gaussiana de dos puntos. Esto es seis veces la estimación correspondiente a la integral de la fun-
ción seno. De modo similar, la octava derivada es (Π/4)9 [-7!/(1 + f)8]. Esto significa un error de truncamiento
cuando mucho de (π/4)9. 7!(.0000003) que es 7! veces la estimación correspondiente para la integral de la
función seno. En tanto que las derivadas sucesivas de la función seno permanezcan acotadas por 1, aque-
llas de la función logaritmo aumentan como factoriales. La diferencia tiene un efecto evidente en los errores
de truncamiento de cualquiera de nuestras fórmulas, en especial, tal vez, en las fórmulas gaussianas, don-
de en particular se incluyen derivadas de alto orden. Aun así, estas fórmulas funcionan bien. Utilizando sólo
dos puntos obtenemos .858, en tanto que para cuatro puntos se maneja .856592, lo cual se aleja por sólo
dos unidades en el último lugar. La fórmula gaussiana de seis puntos se anota un acierto hasta de seis lu-
gares, aun cuando su término del error de truncamiento implica a y(12)(x), cuyo tamaño es aproximadamen-
te de 12!. En contraste, la regla de Simpson requiere 64 puntos para producir el mismo resultado de seis lu-
gares.
La función log (1 + t) tiene una singularidad en t = - 1 . Esto no está en el intervalo de integración, pero
está cerca, e incluso una singularidad compleja cercana podría producir el tipo de convergencia que se ob-
serva aquí.
15.30 ¿Cómo afecta la longitud del intervalo de integración a las fórmulas gaussianas?
Para una integral sobre el intervalo a < r < b, el cambio de argumento t - a
intervalo estándar -1 < x < 1. También da como resultado
(x + 1) produce el
En los ejemplos que acaban de presentarse, b - a fue π/2 y esta longitud del intervalo ayuda a reducir el
error, pero con un intervalo más largo el potencial de las potencias de b - a, resulta claro que magnifica el
error.
15.31 Aplique el método de Gauss a
Las derivadas de mayor orden de esta función error no son fáciles de estimar de manera realista. Pro
cediendo con los cálculos, se encuentra que las fórmulas n - 4, 6, 8,10 dan los resultados:
n
Aproximación
4 6 8 10
.986 1.000258 1.000004 1.000000
El efecto del error de truncamiento está en el factor de la derivada, que es
MÉTODOS NUMÉRICOS
En el caso de valores mayores de n, los resultados concuerdan con el de n = 10. Esto indica una precisión
hasta en seis lugares. Ya hemos calculado esta integral por medio de la paciente aplicación de la serie de
Taylor (problema 14.32) y encontrado que es igual a 1, y correcta hasta en seis lugares. En comparación, la
fórmula de Simpson requiere 32 puntos para alcanzar una precisión de seis lugares.
n
Aproximación
4
6.08045
8
6.07657
12
6.07610
16
6.07600
Esto indica una precisión hasta de cuatro lugares. La integral exacta puede encontrarse, mediante un cam
bio de argumento, que corresponde a 8/5 (2√3 +1/3), que es 6.07590 correcto hasta en cinco lugares. Obsér
vese que la precisión obtenida aquí es inferior a la del problema anterior. La explicación radica en nuestro
integrando de la raíz cuadrada no es tan uniforme como la función exponencial. Sus derivadas de mayor or
den alcanzan grandes valores, como los factoriales. El resto de nuestras fórmulas también sienten la in
fluencia de estas grandes derivadas. La regla de Simpson produce, por ejemplo, estos valores:
Núm. de puntos
Valores de Simpson
16
6.062
64
6.07411
256
6.07567
1024
6.07586
Incluso con un millar de puntos no permite la precisión que se alcanzó en el problema anterior con sólo 32
puntos.
15.33 Deduzca la estimación de Lanczos para el error de truncamiento de las fórmulas gaussianas.
para θ1 y θ2 adecuadas entre -1 y 1. Suponga que θ1 = θ2 = 0. Por un lado (xy)(2n+1) (0)/(2n)! es el coeficien
te de x2n en el desarrollo de la serie de Taylor de (xy)', en tanto que por el otro
15.32 Aplique el método gaussiano a
Las fórmulas n = 4, 8,12,16 producen los resultados
La relación
y(x) obtenida mediante la fórmula gaussiana de n puntos, e /* el resultado correspondiente para [xy(x)]'
Puesto que [xy(x)]' = y(x) + xy'(x),
se cumple exactamente. Sea / la integral aproximada de
por lo que el error en /* es
Llamando E al propio error en /, sabemos que
230
INTEGRACIÓN GAUSIANA 231
que lleva directamente a
de la cual deducimos
En consecuencia, E* - (2n + 1)£ aproximadamente, produciendo
Esto implica la aplicación de la fórmula gaussiana a xy'(x) así como a la misma y(x), pero evita el cálculo de
y(2n)(x), a menudo problemático. Al dejar θ1 = θ2 = 0 se establece la clave para la deducción de esta fórmula.
Se ha encontrado que esto es más razonable para integrandos uniformes tales como el del problema 15.31,
que para integrandos con derivadas grandes, lo que parece ser razonable puesto que y(2n)(θ1)/y(2n)(θ2) de
be ser cercano a 1 cuando y(2n+1) es pequeño.
15.34 Aplique la estimación del error del problema anterior a la integral del problema15.31.
Para n - 8 la estimación de Lanczos es .000004, lo que es idéntico al error real. Para n = 10 y valores
mayores, la estimación de Lanczos predice correctamente un error cero hasta en seis lugares. Sin embar
go, si se aplica a la integral del problema 15.32, en el cual el integrando no es muy uniforme, muestra que
la estimación de Lanczos es demasiado conservadora para ser útil. Los límites de la utilidad de esta fórmula
de error aún tienen que determinarse.
OTRAS FÓRMULAS GAUSSIANAS
15.35 ¿Cuáles son las fórmulas de Gauss-Laguerre?
Estas fórmulas para la integración aproximada son de la forma
siendo los argumentos xi los ceros del polinomio n-ésimo de Laguerre
y los coeficientes Ai
El error de truncamiento es
Se observa que los resultados son muy similares a los del caso Gauss-Legendre. Aquí la función de
peso es w(x) = e-x. La fórmula de n puntos es exacta para polinomios de grado hasta 2n - 1. En la tabla
15.2 se proporcionan argumentos y coeficientes.
232 MÉTODOS NUMÉRICOS
15.36 Aplique la fórmula de un punto de Gauss-Laguerre en la integración de e-x.
Puesto que L1(x) = 1 - x, tenemos un cero en x1 = 1. El coeficiente es A1 = 1/[L'1(1 )]2 que también es 1
La fórmula de un punto es, por tanto
Tabla 15.2
n
2
4
6
8
10
xk
.58578644
3.41421356
.32254769
1.74576110
4.53662030
9.39507091
.22284660
1.18893210
2.99273633
5.77514357
9.83746742
15.98287398
.17027963
.90370178
2.25108663
4.26670017
7.04590540
10.75851601
15.74067864
22.86313174
.13779347
.72945455
1.80834290
3.40143370
5.55249614
8.33015275
11.84378584
16.27925783
21.99658581
29.92069701
Ak
.85355339
.14644661
.60315410
.35741869
.03888791
.00053929
.45896467
.41700083
.11337338
.01039920
.00026102
.00000090
.36918859
.41878678
.17579499
.03334349
.00279454
.00009077
.00000085
.00000000
.30844112
.40111993
.21806829
.06208746
.00950152
.00075301
.00002826
.00000042
.00000000
.00000000
n
12
14
xk
.11572212
.61175748
1.51261027
2.83375134
4.59922764
6.84452545
9.62131684
13.00605499
17.11685519
22.15109038
28.48796725
37.09912104
.09974751
.52685765
1.30062912
2.43080108
3.93210282
5.82553622
8.14024014
10.91649951
14.21080501
18.10489222
22.72338163
28.27298172
35.14944366
44.36608171
Ak
.26473137
.37775928
.24408201
.09044922
.02010238
.00266397
.00020323
.00000837
.00000017
.00000000
.00000000
.00000000
.23181558
.35378469
.25873461
.11548289
.03319209
.00619287
.00073989
.00005491
.00000241
.00000006
.00000000
.00000000
.00000000
.00000000
INTEGRACIÓN GAUSIANA 233
En este caso y(x) = 1 y obtenemos la integral exacta, que es 1. Esto no es una sorpresa, puesto que con n = 1
tenemos la garantía de resultados exactos para cualquier polinomio de primer grado o menor. De hecho
con y(x) = ax + b la fórmula produce
crece rápidamente con n, no indica una gran confiabilidad en las fórmulas de aproximación. Con el cambio
de argumento t = x +1, esta integral se convierte en nuestro intervalo estándar en
y la fórmula del error se vuelve
que se reduce a (n!)2/e(θ + 1)2n+1. Si hacemos θ=0, obtenemos el valor máximo de E, lo cual es desesti
mulante y no nos proporciona información alguna. Los cálculos con la fórmula
producen estos resultados
n
Aproximación
2 6 10 14
.21 .21918 .21937 .21938
que es el valor correcto.
n
∑
2 6 10 14
.43 .50005 .5000002 .50000000
15.37 Aplique el método de Gauss-Laguerre a
Se encuentra fácilmente que el valor de esta integral es 1/2. La uniformidad de sen x, por la cual se en
tiende el acotamiento de sus derivadas, indica que nuestra fórmula funciona bien. La estimación del error
por lo que nuestra fórmula del error es algo pesimista.
15.38 Aplique el método de Gauss-Laguerre a
La poca uniformidad de y(t) = 1/t, que significa que su n-ésima derivada
para n = 6 e indica una precisión de tres
sen xi se producen los resultados lugares. En realidad, sustituyendo en
de (n!)2/(2n)!, que sustituye y(2n) por su máximo de 1, se reduce a 1/924
234 MÉTODOS NUMÉRICOS
Puesto que el valor correcto hasta en cinco lugares es .21938 vemos que el pesimismo exagerado fue inne
cesario. El argumento 6 parece aumentar con n. La comparación de los errores real y teórico permite que 6
sea determinado:
donde los argumentos xi son los ceros del polinomio n-ésimo de Hermite.
y los coeficientes A,,
El error de truncamiento es
Estos resultados se obtienen de manera análoga al caso de Gauss-Legendre. Aquí la función de peso es
w(x) - e-x^2. La fórmula de n puntos es exacta para polinomios de hasta grado 2n - 1. En la tabla 15.3 se pre
sentan los argumentos y los coeficientes.
15.40 Aplique la fórmula de dos puntos de Gauss-Hermite a la integral
Puede obtenerse un resultado exacto, por lo que calculamos primero
En este ejemplo la función y(x) tiene una singularidad en x = - 1 . Incluso una singularidad compleja
próxima al intervalo de integración puede producir la lenta convergencia que se evidencia aquí. (Compare
con el problema 15.29.) La convergencia es más rápida si nos alejamos de la singularidad. Por ejemplo la
integración de la misma función por medio del mismo método sobre el intervalo de 5 a ∞ lleva a los siguien
tes resultados:
El último valor es correcto casi hasta diez lugare
15.39 ¿Cuáles son las fórmulas de Gauss-Hermite?
Son de la forma
n
e
2 6 10
1.75 3.91 5.95
n
Aproximación
2 6 10
.001147 .0011482949 .0011482954
INTEGRACIÓN GAUSIANA 235
Tabla 153
n
2
4
6
8
10
xk
± .70710678
± .52464762
±1.65068012
± .43607741
±1.33584907
±2.35060497
± .38118699
±1.15719371
±1.98165676
±2.93063742
± .34290133
±1.03661083
±1.75668365
±2.53273167
±3.43615912
Ak
.88622693
.80491409
.08131284
.72462960
.15706732
.00453001
.66114701
.20780233
.01707798
.00019960
.61086263
.24013861
.03387439
.00134365
.00000764
n
12
14
xk
± .31424038
± .94778839
±1.59768264
±2.27950708
±3.02063703
±3.88972490
± .29174551
± .87871379
±1.47668273
±2.09518326
±2.74847072
±3.46265693
±4.30444857
A*
.57013524
.26049231
.05160799
.00390539
.00008574
.00000027
.53640591
.27310561
.06850553
.00785005
.00035509
.00000472
.00000001
Los ceros de este polinomio son xk = A partir de la fórmula del problema 15.39 se encuentra fácil
mente que los coeficientes Ai son Por tanto, la fórmula de dos puntos es
Con y(x) = x2 ésta se convierte en que es el valor exacto de la integral.
15.41 Evalúe x dx correcta hasta en seis lugares.
La fórmula de Gauss-Hermite produce los resultados:
n
Aproximación
2
.748
4
.5655
6
.560255
8
.560202
10
.560202
Esto parece indicar una precisión de seis lugares y el resultado es en realidad correcto hasta seis lugares,
siendo la integral exacta que comprende hasta ocho lugares: .56020226.
15.42 Evalúe dx correcta hasta en tres lugares.
El factor de la raíz cuadrada no es tan uniforme como la función seno del problema precedente, por lo
que no debemos esperar una convergencia tan rápida, y no conseguirla.
236 MÉTODOS NUMÉRICOS
n
Aproximación
2
.145
4
.151
6
.15202
8
.15228
10
.15236
12
.15239
Se observa que el valor es .152.
15.43 ¿Cuáles son las fórmulas de Gauss-Chebyshev?
Son de la forma gaussiana con w(x) = 1/√1 - x 2 ,
donde los argumentos x, son los ceros del polinomio n-ésimo de Chebyshev
Tn (x) = cos (n arccos x)
En contra de lo que parece, se trata en realidad de un polinomio de grado n, y sus ceros son
Todos los coeficientes Ai son simplemente π/n. El error de truncamiento es
15.44 Aplique la fórmula de Gauss-Chebyshev para n = 1 con el fin de verificar el resultado familiar
Para n = 1, encontramos Tn(x) = cos (arccos x) = x. Puesto que hay sólo un cero, nuestra fórmula fra
casa en πy(0). Puesto que la fórmula gaussiana con n = 1 es exacta para polinomiosde primer grado o me
nos, la integral dada es exactamente π . y(0) = π.
15.45 Aplique la fórmula
Directamente de la definición encontramos
fórmula de Gauss-Chebyshev produce en esas condiciones
exacto.
por lo que La
es lo cual también
INTEGRACIÓN GAUSIANA 237
15.46 Demuestre que Pn' = xP'n-1(x) + nPn-1(x), empezando de la manera siguiente. De la definición de los po
linomios de Legendre,
Problemas suplementarios
Aplique el teorema de la n-ésima derivada de un producto para encontrar
15.47 Demuestre que (1 - x2)Pn(2),(x) - 2xPn'(x) + n(n + 1)Pn(x) = 0, de la forma siguiente. Sea z = (x2 - 1)n. Enton-
ces z' = 2nx(x2 - 1)n-1 haciendo (x2 - 1)z' - 2nxz = 0. Diferenciando repetidamente esta ecuación, se ob-
tiene
(x2 - l)z(2) - (2n - 2)xz ' - 2nz = 0
(x2 - l)z(3) - (2n - 4)xz(2) - [2n + (2n - 2)]z' = 0
(x2 - 1)z3 - (2n - 6)xz(3) - (2n + (2n - 2) + (2n - 4)]z(2) = 0
y por último
(x2 - l)z(n+2) - (2n - 2n - 2)xz(n+1) - [2n + (2n - 2) + (2n - 4) + ... + (2n - 2n)]zn = 0
que se simplifica a (x2 - l)z(n+2) + 2xz(n+1) - n(n + 1)z(n) = 0
Puesto que Pn(x) = zn/2nn!, se obtienen los resultados que se requerían.
15.48 Diferencie el resultado del problema 15.21 y compárelo con el problema 15.47 para demostrar
xP'n(x)-P'n-1(x) = nPn(x)
15.49 Utilice el problema 15.21 para demostrar que para todo n, Pn(1) = 1, Pn(-1) = (-1)n.
15.50 Utilice el problema 15.46 para demostrar que Pn'(1) = 1/2 n(n + 1), Pn'(-1) = (-1)n+1 Pn'(1).
15.51 Use el problema 15.46 para demostrar que
Pnk)(x) = xPn-1(x) + (n+k-1)P(k-1)n-1(x)
Aplique después el método de la suma de diferencias para verificar
238 MÉTODOS NUMÉRICOS
y en general
Puesto que los polinomios de Legendre son funciones par o impar, compruebe también que
15.53 El coeficiente principal en Pn(x) es, como sabemos, An = (2n)! / 2n(n!)2. Muestre que puede también escribir-
15.52 Utilice el problema 15.46 y 15.48 para probar que
15.54 Calcule los argumentos y los coeficientes de Gauss-Legendre para el caso n - 3, mostrando que los ar-
y los coeficientes a 8/9 para xk = 0 y 5/9 para los otros argumentos. gumentos corresponden a
15.55 Compruebe los argumentos y coeficientes de Gauss-Legendre que se muestran a continuación para el
caso n = 5:
y compare con el valor exacto
15.58 Grafique los polinomios de colocación lineal y de osculación cúbica que conducen a la fórmula n = 2,
empleando la función y(t) = 1/(1 + t2) del problema 15.57. (Véase el problema 15.25.)
15.57 Aplique la fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos (n = 2) en
de π/2 ≈1.5708.
15.56 Aplique la fórmula gaussiana de tres puntos del problema 15.54 a la integral de la función seno,
¿Como se compara el resultado con el que se obtiene mediante la regla de Simpson, utilizando siete pun
tos (problema 14.17)?
15.59 ¿Con qué exactitud nuestras fórmulas verifican hasta en cuatro lugares? Aplique también
algunas de nuestras fórmulas con argumentos igualmente espaciados a esta integral. ¿Cuál algoritmo fun
ciona mejor? ¿Cuáles son los más sencillos de aplicar en forma manual? ¿Cuáles son los más sencillos de
programar para la computación automática?
15.60 Como en el problema 15.59 aplique métodos diferentes a
mejor para computo automático.
y decida qué algoritmo es
15.61 Calcule los polinomios de Laguerre hasta n = 5 a partir de la definición dada en el problema 15.35.
xk
0
±.53846931
±.90617985
Ak
.56888889
.47862867
.23692689
se como
INTEGRACIÓN GAUSIANA 239
15.62 Encuentre los ceros de L2(x) y verifique los argumentos y coeficientes que se dan en la tabla 15.2 para n = 2.
15.63 Utilice el método del problema 15.9 para demostrar que Ln(x) es ortogonal a cualquier polinomio de grade
menor que n, en el sentido de que
donde p(x) es cualquier polinomio de tales características.
15.65 Aplique la fórmula de Gauss-Laguerre de dos puntos para obtener estos resultados exactos:
15.64 Demuestre que por medio del método de los problemas 15.10 y 15.11.
15.66 Encuentre los argumentos y coeficientes exactos para la integración de Gauss-Laguerre de tres puntos.
15.67 Use la fórmula del problema anterior para verificar
15.75 ¿Con qué aproximación las fórmulas de cuatro puntos y ocho puntos reproducen este resultado?
15.74 ¿Con qué aproximación las fórmulas de cuatro puntos y ocho puntos reproducen el siguiente resultado?
15.73 Deduzca la fórmula exacta para la aproximación de Gauss-Hermite n = 3. Apliquela al caso y(x) = x4 para
obtener un resultado exacto.
Lo cual es exacto para 15.72 Muestre que la fórmula de Gauss-Hermite de un punto es
polinomios de grado uno o menor. Aplíquela a y(x) = 1.
15.71 Calcule los polinomios de Hermite con n = 5 a partir de la definición dada en el problema 15.39.
15.70 Demuestre que es correcta hasta cuatro lugares.
15.69 Aplique las fórmulas n = 6 y n = 8 a la integral no uniforme
15.68 Aplique las fórmulas n = 6 y n = 8 a la integral uniforme
15.80 Encuentre la siguiente integral correcta hasta en tres lugares:
15.81 Encuentre la siguiente integral correcta hasta en dos lugares:
15.79 Aplique la fórmula de Gauss-Chebyshev n = 2 para la comprobación exacta de
correcta hasta con una aproximación de tres lugares.
con una aproximación de tres lugares.
es correcta hasta en tres lugares. 15.76 Muestre que
15.77 Evalúe
15.78 Evalúe
240 MÉTODOS NUMÉRICOS
Casos especiales en
la integración numérica
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE
El alumno deberá ser capaz de:
1. Explicar con sus propias palabras el concepto de impropiedad (singularidad) en una integral
(Introducción).
2. Expresar con sus propias palabras las fuentes de error involucradas en las integrales impropias
(singulares) (Problema 16.1).
3. Determinar cuando una integral es impropia (singular), ayudándose de la observación y realizando la
evaluación directa (Problemas 16.2 a 16.4,16.9,16.11,16.13,16.14,16.21 a 16.26).
4. Explicar con sus propias palabras el procedimiento de ignorar la impropiedad y aplicarlo en problemas
prácticos al hacer el tratamiento de integrales impropias (singulares) (Problemas 16.2 a 16.4,16.11,
16.17,16.1916.21 a 16.26).
5. Explicar con sus propias palabras el procedimiento de desarrollar en series y aplicarlo en problemas
prácticos al hacer el tratamiento de integrales impropias (Problemas 16.5,16.8 a 16.10,16.15,16.18,
16.20 a 16.26).
6. Explicar con sus propias palabras el procedimiento de sustraer la impropiedad y aplicarlo en
problemas prácticos al hacer el tratamiento de integrales impropias (Problemas 16.6,16.16).
7. Explicar con sus propias palabras el procedimiento de cambiar de argumento y aplicarlo en problemas
prácticos al hacer el tratamiento de integrales impropias (Problemas 16.7,16.12,16.21 a 16.26).
8. Explicar con sus propias palabras el procedimiento de diferenciar con respecto a un parámetro y
aplicarlo en problemas prácticos al hacer el tratamiento de integrales impropias (Problemas 16.12,
16.21 a 16.26).
9. Explicar con sus propias palabras los procedimientos de integración gaussiana y aplicarlos en los
problemas prácticos al hacer el tratamiento de integrales impropias (Capítulo 15).
10. Explicar con sus propias palabras el procedimiento de series asintóticas y aplicarlo en problemas
prácticos al hacer el tratamiento de integrales impropias (Problema 16.10 y Capítulo 17).
11. Comparar la aplicación del método de Simpson reduciendo el incremento, al hacer el tratamiento de
integrales impropias (Problemas 16.13,16.14 y Capítulo 14).
12. Aplicar el concepto de integrales impropias en problemas de física (Problemas 16.27 a 16.29).
16
242 MÉTODOS NUMÉRICOS
APLICACIONES DE LOS CASOS ESPECIALES EN LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA:
Como hemos visto en los cursos de cálculo, existen funciones que no nos garantizan un comportamiento es-
table, ni nos proporcionan facilidad en su operación (en algunos casos las funciones podrán tener discontinui-
dades, etc.); ésta es la razón de la existencia del tema, ya queMais conteúdos dessa disciplina
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- 1 (77)
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- avaliação 1
- 1 (27)
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- 1 (2) Modelagem Matematica
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- Dois dos intervalos abaixo possuem raizes reais da função f(x) = In(x) - 3cos(x). H[1,2] J[2,3] K[3,4] L[5,6] Os intervalos são: A JeL B HeL C JeK D K
- Utilize 0 método de Newton Raphson para calcular 0 zero da função f(x) = sen(x) + X3 - 8 com X0 = 1,5 e erro e< 0,001. Utilize seis casas decimais. A
- Utilize O método de Newton Raphson para calcular O zero da função f(x) = sen(x) + X³ - 8 com Xo = 1,5 e erro e< 0,001. Utilize seis casas decimais. A
- Um dos desafios nos processos industriais consiste na modelagem e no controle de sistemas modernos, complexos e interligados.
Considerando que H (1...
- Em um sistema de automação industrial, um motor será ligado quando ocorrer determinadas combinações do acionamento de chaves e sensores.
A expressã...
- As lâmpadas a LED (Light Emitting Diode) possuem vida útil muito superior aos outros tipos de lâmpadas disponíveis no mercado.
Com relação aos LED,...
- As emissoras de TV brasileiras passaram por um processo de transição do sinal analógico para digital.
Considerando as informações apresentadas, ava...
- Controlador Lógico Programável (CLP) é um equipamento de controle bastante utilizado no setor industrial, sobretudo em sistemas de acionamentos, co...
- Em uma indústria produtora de celulose, estão instalados dois Motores de Indução Trifásicos (MIT) de 4 polos, 440 V e 60 Hz, que operam simultaneam...
- Os indutores são encontrados em diversos tipos de sistemas, como veículos de tração elétrica, reguladores de tensão, fontes de computadores, etc. P...
- A Transformada de Fourier é uma ferramenta matemática aplicada em diversas áreas do conhecimento. Em sua versão discreta, é aplicada, por exemplo, ...
- Considere a variável nebulosa especificada a seguir: X.V R: {C1, C2, C3} U. (x e R/0≤x≤10} Mf. trap(x, 0, 0, 2, 4) triang(x, 2, 5, 8) trap(x, 6, 8,...
- questions g
- questions h
