3-Raciocínio-Lógico-matemática

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RACIOCÍNIO LÓGICO
Compreensão de estruturas lógicas.	01
Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões.	10
Operações com conjuntos.	15
Progressões aritméticas e geométricas.	21
Funções.	29
Razões e proporções.	35
Porcentagem e regra de três.	41
Princípios de contagem e probabilidade.	49
Arranjos e permutações.	49
Combinações	49
Bruno fagundes
 
RACIOCÍNIO LÓGICO
 (
COMPREENSÃO DE ESTRUTURAS LÓGICAS.
)
Estruturas lógicas
1. Proposição
Proposição ou sentença é um termo utilizado para ex- primir ideias, através de um conjunto de palavras ou sím- bolos. Este conjunto descreve o conteúdo dessa ideia.
São exemplos de proposições:
p: Pedro é médico.
q: 5 > 8
r: Luíza foi ao cinema ontem à noite.
2. Princípios fundamentais da lógica
Princípio da Identidade: A é A. Uma coisa é o que é. O que é, é; e o que não é, não é. Esta formulação remonta a Parménides de Eleia.
Principio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa, ao mesmo tempo.
Principio do terceiro excluído: Uma alternativa só pode ser verdadeira ou falsa.
3. Valor lógico
Considerando os princípios citados acima, uma propo-
sição é classificada como verdadeira ou falsa.
Sendo assim o valor lógico será:
· a verdade (V), quando se trata de uma proposição verdadeira.
· a falsidade (F), quando se trata de uma proposição falsa.
4. Conectivos lógicos
Conectivos lógicos são palavras usadas para conectar as proposições formando novas sentenças.
Os principais conectivos lógicos são:
	~
	não
	∧
	e
	V
	Ou
	→
	se…então
	↔
	se e somente se
5. Proposições simples e compostas
As proposições simples são assim caracterizadas por apresentarem apenas uma ideia. São indicadas pelas letras minúsculas: p, q, r, s, t...
As proposições compostas são assim caracterizadas por apresentarem mais de uma proposição conectadas pe- los conectivos lógicos. São indicadas pelas letras maiúscu- las: P, Q, R, S, T...
Obs: A notação Q(r, s, t), por exemplo, está indicando que a proposição composta Q é formada pelas proposi- ções simples r, s e t.
Exemplo:
Proposições simples:
p: Meu nome é Raissa
q: São Paulo é a maior cidade brasileira r: 2+2=5
s: O número 9 é ímpar t: O número 13 é primo
Proposições compostas 
P: O número 12 é divisível por 3 e 6 é o dobro de 12. Q: A raiz quadrada de 9 é 3 e 24 é múltiplo de 3.
R(s, t): O número 9 é ímpar e o número 13 é primo.
6. Tabela-Verdade
A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógi- co de uma proposição composta, sendo que os valores das proposições simples já são conhecidos. Pois o valor lógico da proposição composta depende do valor lógico da pro- posição simples.
A seguir vamos compreender como se constrói essas tabelas-verdade partindo da árvore das possibilidades dos valores lógicos das preposições simples, e mais adiante ve- remos como determinar o valor lógico de uma proposição composta.
Proposição composta do tipo P(p, q)
Proposição composta do tipo P(p, q, r)
Proposição composta do tipo P(p, q, r, s)
A tabela-verdade possui 24 = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores.
Proposição composta do tipo P(p1, p2, p3,..., pn)
 (
1
)A tabela-verdade possui 2n linhas e é formada igual- mente as anteriores.
Bruno fagundes
 
RACIOCÍNIO LÓGICO
7. O conectivo não e a negação
O conectivo não e a negação de uma proposição p é outra proposição que tem como valor lógico V se p for fal- sa e F se p é verdadeira. O símbolo ~p (não p) representa a negação de p com a seguinte tabela-verdade:
	P
	~P
	V
	F
	F
	V
Exemplo:
p = 7 é ímpar
~p = 7 não é ímpar
	P
	~P
	V
	F
q = 24 é múltiplo de 5
~q = 24 não é múltiplo de 5
	q
	~q
	F
	V
8. O conectivo e e a conjunção
9. 
O conectivo ou e a disjunção
O conectivo ou e a disjunção de duas proposi- ções p e q é outra proposição que tem como valor lógi- co V se alguma das proposições for verdadeira e F se as duas forem falsas. O símbolo p ∨ q (p ou q) representa a disjunção, com a seguinte tabela-verdade:
	P
	q
	p V q
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
Exemplo:
p = 2 é par
q = o céu é rosa
p ν q = 2 é par ou o céu é rosa
	P
	q
	p V q
	V
	F
	V
10. O conectivo se… então… e a condicional
A condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbo- lo p → q representa a condicional, com a seguinte tabela-
O conectivo e e a conjunção de duas proposi- ções p e q é outra proposição que tem como valor lógi- co V se p e q forem verdadeiras, e F em outros casos. O símbolo p Λ q (p e q) representa a conjunção, com a se- guinte tabela-verdade:
	P
	q
	p Λ q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
Exemplo
p = 2 é par
q = o céu é rosa
p Λ q = 2 é par e o céu é rosa
	P
	q
	p Λ q
	V
	F
	F
p = 9 < 6
q = 3 é par
p Λ q: 9 < 6 e 3 é par
	P
	q
	p Λ q
	F
	F
	F
2
 Bruno fagundes
verdade:
	P
	q
	p → q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
Exemplo:
P: 7 + 2 = 9
Q: 9 – 7 = 2
p → q: Se 7 + 2 = 9 então 9 – 7 = 2
	P
	q
	p → q
	V
	V
	V
p = 7 + 5 < 4
q = 2 é um número primo
p → q: Se 7 + 5 < 4 então 2 é um número primo.
	P
	q
	p → q
	F
	V
	V
p = 24 é múltiplo de 3 q = 3 é par
p → q: Se 24 é múltiplo de 3 então 3 é par.
	P
	q
	p → q
	V
	F
	F
RACIOCÍNIO LÓGICO
p = 25 é múltiplo de 2 q = 12 < 3
p → q: Se 25 é múltiplo de 2 então 2 < 3.
	P
	q
	p → q
	F
	F
	V
11. O conectivo se e somente se e a bicondicional
A bicondicional p se e somente se q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e F nos outros casos.
O símbolo	representa a bicondicional, com a seguinte tabela-verdade:
	P
	q
	p ↔ q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
Exemplo
p = 24 é múltiplo de 3 q = 6 é ímpar
= 24 é múltiplo de 3 se, e somente se, 6 é ímpar.
	P
	q
	p ↔ q
	V
	F
	F
12. Tabela-Verdade de uma proposição composta Exemplo
Veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ⋁ q) → (~p)) → (p ⋀
q) , onde p e q são duas proposições simples.
Resolução
Uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 24 = 4 linhas, logo:
	p
	q
	p V q
	~p
	(p V p)→(~p)
	p Λ q
	((p V p)→(~p))→(p Λ q)
	V
	V
	
	
	
	
	
	V
	F
	
	
	
	
	
	F
	V
	
	
	
	
	
	F
	F
	
	
	
	
	
Agora veja passo a passo a determinação dos valores lógicos de P.
a) Valores lógicos de p ν q
	p
	q
	p V q
	~p
	(p V p)→(~p)
	p Λ q
	((p V p)→(~p))→(p Λ q)
	V
	V
	V
	
	
	
	
	V
	F
	V
	
	
	
	
	F
	V
	V
	
	
	
	
	F
	F
	F
	
	
	
	
b) (
3
)Valores lógicos de ~P
	p
	q
	p V q
	~p
	(p V p)→(~p)
	p Λ q
	((p V p)→(~p))→(p Λ q)
	V
	V
	V
	F
	
	
	
	V
	F
	V
	F
	
	
	
	F
	V
	V
	V
	
	
	
	F
	F
	F
	V
	
	
	
Bruno fagundes
 
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c) Valores lógicos de (p V p)→(~p)
	p
	q
	p V q
	~p
	(p V p)→(~p)
	p Λ q
	((p V p)→(~p))→(p Λ q)
	V
	V
	V
	F
	F
	
	
	V
	F
	V
	F
	F
	
	
	F
	V
	V
	V
	V
	
	
	F
	F
	F
	V
	V
	
	
d) Valores lógicos de p Λ q
	p
	q
	p V q
	~p
	(p V p)→(~p)
	p Λ q
	((p V p)→(~p))→(p Λ q)
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	
e) Valores lógicos de ((p V p)→(~p))→(p Λ q)
	p
	q
	p V q
	~p
	(p V p)→(~p)
	p Λ q
	((p V p)→(~p))→(p Λ q)
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
13. Tautologia
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.
Exemplos:
· Gabriela passou no concurso do INSS ou Gabriela não passou no concurso do INSS
· Não é verdade que o professor Zambeli parece com o Zé gotinha ou o professor Zambeli parece com o Zé gotinha.
Ao invés de duas proposições, nos exemplos temos uma única proposição, afirmativa e negativa. Vamos entender isso
melhor.
Exemplo:
Grêmio cai para segunda divisão ou o Grêmio não cai para segunda divisão
Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “~p” e o conetivo de “V” Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p V ~p
Exemplo
A proposição p ∨ (~p)é uma tautologia, pois o seu valor lógico é sempre V, conforme a tabela-verdade.
	p
	~P
	p V q
	V
	F
	V
	F
	V
	V
Exemplo
A proposição (p Λ q) → (p q) é uma tautologia, pois a última coluna da tabela-verdade só possui V.
	p
	q
	p Λ q
	p↔q
	(p Λ q)→(p↔q)
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	V
4
Bruno fagundes
 
RACIOCÍNIO LÓGICO
14. Contradição
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem
Exemplos:
· O Zorra total é uma porcaria e Zorra total não é uma porcaria
· Suelen mora em Petrópolis e Suelen não mora em Petrópolis
Ao invés de duas proposições, nos exemplos temos uma única proposição, afirmativa e negativa. Vamos en- tender isso melhor.
Exemplo:
Lula é o presidente do Brasil e Lula não é o presidente do Brasil
Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “~p” e o conetivo de “^”
Assim podemos representar a “frase” acima da seguin- te forma: p ^ ~p
Exemplo
A proposição (p Λ q) Λ (p Λ q) é uma contradição, pois o seu valor lógico é sempre F conforme a tabela-ver- dade. Que significa que uma proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo, isto é, o princípio da não contradição.
	p
	~P
	q Λ (~q)
	V
	F
	F
	F
	V
	F
15. Contingência
Quando uma proposição não é tautológica nem contra válida, a chamamos de contingência ou proposição contin- gente ou proposição indeterminada.
A contingência ocorre quando há tanto valores V como F na última coluna da tabela-verdade de uma proposição. Exemplos: P∧Q , P∨Q , P→Q ...
16. Implicação lógica
Definição
A proposição P implica a proposição Q, quando a con- dicional P → Q for uma tautologia.
O símbolo P ⇒ Q (P implica Q) representa a implica- ção lógica.
Diferenciação dos símbolos → e ⇒
O símbolo → representa uma operação matemática entre as proposições P e Q que tem como resultado a pro- posição P → Q, com valor lógico V ou F.
O símbolo ⇒ representa a não ocorrência de VF na tabela-verdade de P → Q, ou ainda que o valor lógico da condicional P → Q será sempre V, ou então que P → Q é uma tautologia.
Exemplo
A tabela-verdade da condicional (p Λ q) → (p ↔ q) será:
	p
	q
	p Λ q
	P↔Q
	(p Λ q)→(P↔Q)
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	V
Portanto, (p Λ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, por isso (p Λ q) ⇒ (p ↔q)
17. Equivalência lógica
Definição
Há equivalência entre as proposições P e Q somen- te quando a bicondicional P ↔ Q for uma tautologia ou quando P e Q tiverem a mesma tabela-verdade. P ⇔ Q (P é equivalente a Q) é o símbolo que representa a equiva- lência lógica.
Diferenciação dos símbolos ↔ e ⇔
O símbolo ↔ representa uma operação entre as propo- sições P e Q, que tem como resultado uma nova proposi- ção P ↔ Q com valor lógico V ou F.
O símbolo ⇔ representa a não ocorrência de VF e de FV na tabela-verdade P ↔ Q, ou ainda que o valor lógi- co de P ↔ Q é sempre V, ou então P ↔ Q é uma tautologia.
Exemplo
A tabela da bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) será:
	p
	q
	~q
	~p
	p→q
	~q→~p
	(p→q)↔(~q→~p)
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	V
Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicon- dicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia.
Veja a representação:
(p → q) ⇔ (~q → ~p)
EQUIVALÊNCIAS LOGICAS NOTÁVEIS
Dizemos que duas proposições são logicamente equi- valentes (ou simplesmente equivalentes) quando os resul- tados de suas tabelas-verdade são idênticos.
Uma consequência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la.
A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente como: p q, ou sim- plesmente por p = q.
 (
5
)Começaremos com a descrição de algumas equivalên- cias lógicas básicas.
Bruno fagundes
 
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Equivalências Básicas
1. p e p = p
Ex: André é inocente e inocente = André é inocente
2. p ou p = p
Ex: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cine-
ma
3. p e q = q e p
Ex: O cavalo é forte e veloz = O cavalo é veloz e forte
4. p ou q = q ou p
Ex: O carro é branco ou azul = O carro é azul ou bran-
co
5. p ↔ q = q ↔ p
Ex: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se
Equivalências com o Símbolo da Negação
Este tipo de equivalência já foi estudado. Trata-se, tão somente, das negações das proposições compostas! Lem- bremos:
É possível que surja alguma dúvida em relação a úl- tima linha da tabela acima. Porém, basta lembrarmos do que foi aprendido:
p↔q = (pq) e (qp)
amo.
6. p ↔ q = (pq) e (qp)
Ex: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo
Para facilitar a memorização, veja a tabela abaixo:
Equivalências da Condicional
As duas equivalências que se seguem são de funda- mental importância. Estas equivalências podem ser veri- ficadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação entre as tabelas-verdade. Fica como exercício para casa estas demonstrações. As equivalências da condicional são as seguintes:
1) Se p então q = Se não q então não p.
Ex: Se chove então me molho = Se não me molho en- tão não chove
2) Se p então q = Não p ou q.
Ex: Se estudo então passo no concurso = Não estudo
ou passo no concurso
Colocando estes resultados em uma tabela, para ajudar a memorização, teremos:
6
 Bruno fagundes
(Obs: a BICONDICIONAL tem esse nome: porque equi- vale a duas condicionais!)
Para negar a bicondicional, teremos na verdade que negar a sua conjunção equivalente.
E para negar uma conjunção, já sabemos, nega-se as duas partes e troca-se o E por OU. Fica para casa a de- monstração da negação da bicondicional. Ok?
Outras equivalências
Algumas outras equivalências que podem ser relevan- tes são as seguintes:
1) p e (p ou q) = p
Ex: Paulo é dentista, e Paulo é dentista ou Pedro é mé- dico = Paulo é dentista
2) p ou (p e q) = p
Ex: Paulo é dentista, ou Paulo é dentista e Pedro é mé- dico = Paulo é dentista
Por meio das tabelas-verdade estas equivalências po- dem ser facilmente demonstradas.
Para auxiliar nossa memorização, criaremos a tabela seguinte:
NEGAÇAO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
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Questoes comentadas:
1. (PROCERGS - Técnico de Nível Médio - Técnico em Segurança do Trabalho - FUNDATEC/2012) A proposição “João comprou um carro novo ou não é verdade que João comprou um carro novo e não fez a viagem de férias.” é:
A) um paradoxo.
B) um silogismo.
C) uma tautologia.
D) uma contradição.
E) uma contingência.
Tautologia é uma proposição composta cujo resultado é sempre verdadeiro para todas as atribuições que se têm, independentemente dessas atribuições.
Rodrigo, posso estar errada, mas ao construir a tabela- verdade com a proposição que você propôs não vamos ter uma tautologia, mas uma contingência.
A proposição a ser utilizada aqui seria a seguinte: P v
~(P ^ ~Q), que, ao construirmos a tabela-verdade ficaria
da seguinte forma:
	P
	Q
	~Q
	(P/\~Q)
	~(P/\~Q)
	P V
~(P/\~Q)
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
2. (PM-BA - Soldado da Polícia Militar - FCC /2012)
A negação lógica da proposição: “Pedro é o mais velho da classe ou Jorge é o mais novo da classe” é
A) Pedro não è o mais novo da classe ou Jorge não é o mais velho da classe.
B) Pedro é o mais velho da classe e Jorge não é o mais novo da classe.
C) Pedro não é o mais velho da classe e Jorge não é o mais novo da classe.
D) Pedro não é o mais novo da classe e Jorge não é o mais velho da classe.
E) Pedro é o mais novo da classe ou Jorge é o mais novo da classe.
p v q= Pedro é o mais velho da classe ou Jorge é o mais novo da classe.
~p=Pedro não é o mais velho da classe.
~q=Jorge não é o mais novo da classe.
~(p v q)=~p v ~q= Pedro não é o mais velho da classe ou Jorge não é o mais novo da classe.
3. (PC-MA - Farmacêutico Legista - FGV/2012)
Em frente à casa onde moram João e Maria,a prefeitu- ra está fazendo uma obra na rua. Se o operário liga a brita- deira, João sai de casa e Maria não ouve a televisão. Certo dia, depois do almoço, Maria ouve a televisão.
Pode-se concluir, logicamente, que
A) João saiu de casa.
B) João não saiu de casa.
C) O operário ligou a britadeira.
D) O operário não ligou a britadeira.
E) O operário ligou a britadeira e João saiu de casa. “Se o operário liga a britadeira, João sai de casa e Ma-
ria não ouve a televisão”, logo se Maria ouve a televisão, a britadeira não pode estar ligada.
(TJ-AC - Técnico Judiciário - Informática - CESPE/2012) Em decisão proferida acerca da prisão de um réu, de- pois de constatado pagamento de pensão alimentícia, o magistrado determinou: “O réu deve ser imediatamente
solto, se por outro motivo não estiver preso”.
Considerando que a determinação judicial correspon- de a uma proposição e que a decisão judicial será conside- rada descumprida se, e somente se, a proposição corres- pondente for falsa, julgue os itens seguintes.
4. Se o réu permanecer preso, mesmo não havendo outro motivo para estar preso, então, a decisão judicial terá sido descumprida.
A) Certo
B) Errado
A decisão judicial é “O réu deve ser imediatamente sol- to, se por outro motivo não estiver preso”, logo se o réu continuar preso sem outro motivo para estar preso, será descumprida a decisão judicial.
5. Se o réu for imediatamente solto, mesmo havendo outro motivo para permanecer preso, então, a decisão ju- dicial terá sido descumprida.
A) Certo
B) Errado
P = se houver outro motivo Q = será solto
A decisão foi: Se não P então Q, logo VV = V
A questão afirma: Se P então Q, logo FV = V
Não contrariou, iria contrariar se a questão resultasse
V + F = F
6. As proposições “Se o réu não estiver preso por outro motivo, deve ser imediatamente solto” e “Se o réu não for imediatamente solto, então, ele está preso por outro moti- vo” são logicamente equivalentes.
A) Certo
B) Errado
O réu não estiver preso por outro motivo = ~P Deve ser imediatamente solto = S
Se o réu não estiver preso por outro motivo, deve ser imediatamente solto=P S
Se o réu não for imediatamente solto, então, ele está preso por outro motivo = ~SP
 (
7
)De acordo com a regra de equivalência (A B) = (~B ~A) a questão está correta.
Bruno fagundes
 
RACIOCÍNIO LÓGICO
7. A negação da proposição relativa à decisão judicial estará corretamente representada por “O réu não deve ser imediatamente solto, mesmo não estando preso por outro motivo”.
A) Certo
B) Errado
“O réu deve ser imediatamente solto, se por outro motivo não estiver preso” está no texto, assim:
P = “Por outro motivo não estiver preso” Q = “O réu deve ser imediatamente solto” PQ, a negação ~(P Q) = P e ~Q
P e ~Q = Por outro motivo estiver preso o réu não deve ser imediatamente solto”
8. (Polícia Civil/SP - Investigador – VUNESP/2014) Um antropólogo estadunidense chega ao Brasil para aperfei- çoar seu conhecimento da língua portuguesa. Durante sua estadia em nosso país, ele fica muito intrigado com a frase “não vou fazer coisa nenhuma”, bastante utilizada em nos- sa linguagem coloquial. A dúvida dele surge porque
A) a conjunção presente na frase evidencia seu signi-
ficado.
B) o significado da frase não leva em conta a dupla
negação.
C) a implicação presente na frase altera seu significado.
D) o significado da frase não leva em conta a disjunção.
E) a negação presente na frase evidencia seu signifi- cado.
~(~p) é equivalente a p
Logo, uma dupla negação é equivalente a afirmar.
RESPOSTA: “B”.
9. (Receita Federal do Brasil – Analista Tributário - ESAF/2012) A negação da proposição “se Paulo estuda, en- tão Marta é atleta” é logicamente equivalente à proposição:
A) Paulo não estuda e Marta não é atleta.
B) Paulo estuda e Marta não é atleta.
C) Paulo estuda ou Marta não é atleta.
D) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta.
E) Paulo não estuda ou Marta não é atleta.
A negação de uma condicional do tipo: “Se A, então B” (AB) será da forma:
~(A B) A^ ~B
Ou seja, para negarmos uma proposição composta re- presentada por uma condicional, devemos confirmar sua primeira parte (“A”), trocar o conectivo condicional (“”) pelo conectivo conjunção (“^”) e negarmos sua segunda parte (“~ B”). Assim, teremos:
RESPOSTA: “B”.
10. (ANVISA - TÉCNICO ADMINISTRATIVO - CE- TRO/2012) Se Viviane não dança, Márcia não canta. Logo,
A) Viviane dançar é condição suficiente para Márcia
cantar.
B) Viviane não dançar é condição necessária para Már- cia não cantar.
C) Viviane dançar é condição necessária para Márcia cantar.
D) 
Viviane não dançar é condição suficiente para Már- cia cantar.
E) Viviane dançar é condição necessária para Márcia não cantar.
Inicialmente, reescreveremos a condicional dada na forma de condição suficiente e condição necessária:
“Se Viviane não dança, Márcia não canta”
1ª possibilidade: Viviane não dançar é condição su- ficiente para Márcia não cantar. Não há RESPOSTA: para essa possibilidade.
2ª possibilidade: Márcia não cantar é condição neces- sária para Viviane não dançar.. Não há RESPOSTA: para essa possibilidade.
Não havendo RESPOSTA: , modificaremos a condicio- nal inicial, transformando-a em outra condicional equiva- lente, nesse caso utilizaremos o conceito da contrapositiva ou contra posição: pq ~q ~p
“Se Viviane não dança, Márcia não canta” “Se Márcia canta, Viviane dança”
Transformando, a condicional “Se Márcia canta, Viviane dança” na forma de condição suficiente e condição neces- sária, obteremos as seguintes possibilidades:
1ª possibilidade: Márcia cantar é condição suficiente para Viviane dançar. Não há RESPOSTA: para essa possi- bilidade.
2ª possibilidade: Viviane dançar é condição necessária para Márcia cantar.
RESPOSTA: “C”.
11. (BRDE - ANALISTA DE SISTEMAS - AOCP/2012) Considere a sentença: “Se Ana é professora, então Camila é médica.” A proposição equivalente a esta sentença é
A) Ana não é professora ou Camila é médica.
B) Se Ana é médica, então Camila é professora.
C) Se Camila é médica, então Ana é professora.
D) Se Ana é professora, então Camila não é médica.
E) Se Ana não é professora, então Camila não é médica.
Existem duas equivalências particulares em relação a uma condicional do tipo “Se A, então B”.
1ª) Pela contrapositiva ou contraposição: “Se A, então B” é equivalente a “Se ~B, então ~A”
“Se Ana é professora, então Camila é médica.” Será equivalente a:
“Se Camila não é médica, então Ana não é professora.”
2ª) Pela Teoria da Involução ou Dupla Negação: “Se A,
então B” é equivalente a “~A ou B”
“Se Ana é professora, então Camila é médica.” Será equivalente a:
“Ana não é professora ou Camila é médica.”
Ficaremos, então, com a segunda equivalência, já que
esta configura no gabarito.
RESPOSTA: “A”.
8
Bruno fagundes
 
RACIOCÍNIO LÓGICO
(PC/DF – Agente de Polícia - CESPE/UnB/2013) Consi- derando que P e Q representem proposições conhecidas e que V e F representem, respectivamente, os valores verda- deiro e falso, julgue os próximos itens. (374 a 376)
12. (PC/DF – Agente de Polícia - CESPE/UnB/2013) (PC/ DF – Agente de Polícia - CESPE/UnB/2013) As proposições Q e P (¬ Q) são, simultaneamente, V se, e somente se, P for F.
( )Certo ( ) Errado
Observando a tabela-verdade da proposição compos- ta “P (¬ Q)”, em função dos valores lógicos de “P” e “Q”, temos:
	P
	Q
	¬Q
	P→(¬Q)
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	V
Observando-se a 3 linha da tabela-verdade acima,
―Q‖ e ―P ® (¬ Q) são, simultaneamente, V se, e somente se, ―P‖ for F.
Resposta: CERTO.
13. (PC/DF – Agente de Polícia - CESPE/UnB/2013) A proposição [PvQ]Q é uma tautologia.
( )Certo ( ) Errado
Construindo a tabela-verdade da proposição compos-
ta: [P Ú Q] ® Q, teremos como solução:
	P
	Q
	Pv Q
	(Pv Q)→Q
	(p^~q)↔(~p
v q)
	V
	V
	V
	V→V
	V
	V
	F
	V
	V→F
	F
	F
	V
	V
	V→V
	V
	F
	F
	F
	F→F
	V
P(P;Q) = VFVV
Portanto, essa proposição composta é uma contingência
ou indeterminação lógica. Resposta: ERRADO.
14. (PC/DF – Agente de Polícia - CESPE/UnB/2013) Se P for F e P v Q for V, então Q é V.
( )Certo ( ) Errado
Lembramos que uma disjunçãosimples, na forma: “P vQ”, será verdadeira (V) se, pelo menos, uma de suas partes for verdadeira (V). Nesse caso, se “P” for falsa e “PvQ” for verdadeira, então “Q” será, necessariamente, verdadeira.
Resposta: CERTO.
(PC/DF – Agente de Polícia - CESPE/UnB/2013)
P1: Se a impunidade é alta, então a criminalidade é alta.
P2: A impunidade é alta ou a justiça é eficaz.
P3: Se a justiça é eficaz, então não há criminosos livres.
P4: Há criminosos livres.
C: Portanto a criminalidade é alta.
Considerando o argumento apresentado acima, em que P1, P2, P3 e P4 são as premissas e C, a conclusão, julgue os itens subsequentes. (377 e 378)
15. (PC/DF – Agente de Polícia - CESPE/UnB/2013) O ar- gumento apresentado é um argumento válido.
( )Certo ( ) Errado
Verificaremos se as verdades das premissas P1, P2, P3 e P4 sustentam a verdade da conclusão. Nesse caso, devemos considerar que todas as premissas são, necessariamente, verdadeiras.
P1: Se a impunidade é alta, então a criminalidade é alta.
(V)
P2: A impunidade é alta ou a justiça é eficaz. (V)
P3: Se a justiça é eficaz, então não há criminosos livres.
(V)
P4: Há criminosos livres. (V)
Portanto, se a premissa P4 – proposição simples – é ver- dadeira (V), então a 2ª parte da condicional representada pela premissa P3 será considerada falsa (F). Então, veja:
Sabendo-se que a condicional P3 é verdadeira e conhe- cendo-se o valor lógico de sua 2ª parte como falsa (F), então o valor lógico de sua 1ª parte nunca poderá ser verdadei- ro (V). Assim, a proposição simples ―a justiça é eficaz‖ será considerada falsa (F).
Se a proposição simples ―a justiça é eficaz‖ é considera- da falsa (F), então a 2ª parte da disjunção simples representa- da pela premissa P2, também, será falsa (F).
 (
9
)Sendo verdadeira (V) a premissa P2 (disjunção simples) e conhecendo-se o valor lógico de uma das partes como falsa (F), então o valor lógico da outra parte deverá ser, neces- sariamente, verdadeira (V). Lembramos que, uma disjunção simples será considerada verdadeira (V), quando, pelo me- nos, uma de suas partes for verdadeira (V).
Bruno fagundes
 
RACIOCÍNIO LÓGICO
Sendo verdadeira (V) a proposição simples ―a impuni- dade é alta, então, confirmaremos também como verdadei- ra (V), a 1ª parte da condicional representada pela premissa P1.
Considerando-se como verdadeira (V) a 1ª parte da condicional em P1, então, deveremos considerar também como verdadeira (V), sua 2ª parte, pois uma verdade sem- pre implica em outra verdade.
Considerando a proposição simples ―a criminalidade é alta como verdadeira (V), logo a conclusão desse argumen- to é, de fato, verdadeira (V), o que torna esse argumento válido.
Resposta: CERTO.
16. (PC/DF – Agente de Polícia - CESPE/UnB/2013) A negação da proposição P1 pode ser escrita como “Se a im- punidade não é alta, então a criminalidade não é alta”.
( )Certo ( ) Errado
Seja P1 representada simbolicamente, por:
A impunidade não é alta(p) então a criminalidade não é alta(q)
A negação de uma condicional é dada por:
~(pq)
Logo, sua negação será dada por: ~P1 a impunidade é alta e a criminalidade não é alta.
Resposta:ERRADO.
 (
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES.
)
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO ARGUMENTO
Argumento é uma relação que associa um conjunto de proposições (p1, p2, p3,... pn), chamadas premissas ou hipó- teses, e uma proposição C chamada conclusão. Esta relação é tal que a estrutura lógica das premissas acarretam ou tem como consequência a proposição C (conclusão).
O argumento pode ser representado da seguinte for-
ma:
EXEMPLOS:
1. Todos os cariocas são alegres.
Todas as pessoas alegres vão à praia Todos os cariocas vão à praia.
2. Todos os cientistas são loucos. Einstein é cientista.
Einstein é louco!
Nestes exemplos temos o famoso silogismo categórico de forma típica ou simplesmente silogismo. Os silogismos são os argumentos que têm somente duas premissas e mais a conclusão, e utilizam os termos: todo, nenhum e algum, em sua estrutura.
ANALOGIAS
A analogia é uma das melhores formas para utilizar o raciocínio. Nesse tipo de raciocínio usa-se a comparação de uma situação conhecida com uma desconhecida. Uma analogia depende de três situações:
· os fundamentos precisam ser verdadeiros e im- portantes;
· a quantidade de elementos parecidos entre as situações deve ser significativo;
· não pode existir conflitos marcantes.
INFERÊNCIAS
A indução está relacionada a diversos casos pequenos que chegam a uma conclusão geral. Nesse sentido pode- mos definir também a indução fraca e a indução forte. Essa indução forte ocorre quando não existe grandes chances de que um caso discorde da premissa geral. Já a fraca re- fere-se a falta de sustentabilidade de um conceito ou con- clusão.
DEDUÇÕES
ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS
Os argumentos podem ser classificados em dois ti- pos: Dedutivos e Indutivos.
1) O argumento será DEDUTIVO quando suas premis- sas fornecerem informações suficientes para comprovar a veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das pre- missas.
10
Bruno fagundes
 
RACIOCÍNIO LÓGICO
EXEMPLO:
Todo ser humano têm mãe. Todos os homens são humanos. Todos os homens têm mãe.
2) O argumento será INDUTIVO quando suas premis- sas não fornecerem o “apoio completo” para ratificar as conclusões. Portanto, nos argumentos indutivos, a conclu- são possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não válidos para argumentos indutivos.
EXEMPLO:
O Flamengo é um bom time de futebol. O Palmeiras é um bom time de futebol. O Vasco é um bom time de futebol.
O Cruzeiro é um bom time de futebol.
Todos os times brasileiros de futebol são bons.
Note que não podemos afirmar que todos os times
brasileiros são bons sabendo apenas que 4 deles são bons.
Exemplo: (FCC) Considere que as seguintes afirma- ções são verdadeiras:
“Toda criança gosta de passear no Metrô de São Paulo.” “Existem crianças que são inteligentes.”
Assim sendo, certamente é verdade que:
(A) Alguma criança inteligente não gosta de passear no Metrô de São Paulo.
(B) Alguma criança que gosta de passear no Metrô de São Paulo é inteligente.
(C) Alguma criança não inteligente não gosta de pas- sear no Metrô de São Paulo.
(D) Toda criança que gosta de passear no Metrô de São Paulo é inteligente.
(E) Toda criança inteligente não gosta de passear no Metrô de São Paulo.
SOLUÇÃO:
Representando as proposições na forma de conjuntos (diagramas lógicos – ver artigo sobre diagramas lógicos) teremos:
“Toda criança gosta de passear no Metrô de São Paulo.” “Existem crianças que são inteligentes.”
Pelo gráfico, observamos claramente que se todas as crianças gostam de passear no metrô e existem crianças inteligentes, então alguma criança que gosta de passear no Metrô de São Paulo é inteligente. Logo, a alternativa correta é a opção B.
CONCLUSÕES VALIDADE DE UM ARGUMENTO
Uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento dedutivo diremos que ele é válido ou in- válido. Atente-se para o fato que todos os argumentos indutivos são inválidos, portanto não há de se falar em validade de argumentos indutivos.
A validade é uma propriedade dos argumentos que depende apenas da forma (estrutura lógica) das suas pro- posições (premissas e conclusões) e não do seu conteúdo.
Argumento Válido
Um argumento será válido quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória de suas premissas. Em ou- tras palavras, podemos dizer que quando um argumento é válido, a verdade de suas premissas deve garantir a ver- dade da conclusão do argumento. Isso significa que, se o argumento é válido, jamais poderemos chegar a uma con- clusão falsa quando as premissas forem verdadeiras.
Exemplo: (CESPE) Suponha um argumento no qual as
premissas sejam as proposições I e II abaixo.
I - Se uma mulher está desempregada, então, ela é in- feliz.
II - Se uma mulher é infeliz, então, ela vive pouco. Nesse caso, se a conclusão for a proposição “Mulhe-
res desempregadas vivempouco”, tem-se um argumento correto.
SOLUÇÃO:
Se representarmos na forma de diagramas lógicos (ver artigo sobre diagramas lógicos), para facilitar a resolução, teremos:
I - Se uma mulher está desempregada, então, ela é
infeliz. = Toda mulher desempregada é infeliz.
II - Se uma mulher é infeliz, então, ela vive pouco. =
Toda mulher infeliz vive pouco.
 (
11
)
	
Bruno fagundes
 
RACIOCÍNIO LÓGICO
Com isso, qualquer mulher que esteja no conjunto das desempregadas (ver boneco), automaticamente estará no conjunto das mulheres que vivem pouco. Portanto, se a con- clusão for a proposição “Mulheres desempregadas vivem pouco”, tem-se um argumento correto (correto = válido!).
Argumento Inválido
Dizemos que um argumento é inválido, quando a ver- dade das premissas não é suficiente para garantir a verda- de da conclusão, ou seja, quando a conclusão não é uma consequência obrigatória das premissas.
Exemplo: (CESPE) É válido o seguinte argumento: Se Ana cometeu um crime perfeito, então Ana não é suspeita, mas (e) Ana não cometeu um crime perfeito, então Ana é suspeita.
SOLUÇÃO:
Representando as premissas do enunciado na forma de diagramas lógicos (ver artigo sobre diagramas lógicos), obteremos:
Premissas:
“Se Ana cometeu um crime perfeito, então Ana não é suspeita” = “Toda pessoa que comete um crime perfeito não é suspeita”.
“Ana não cometeu um crime perfeito”. Conclusão:
“Ana é suspeita”. (Não se “desenha” a conclusão, ape- nas as premissas!)
O fato do enunciado ter falado apenas que “Ana não cometeu um crime perfeito”, não nos diz se ela é suspeita ou não. Por isso temos duas possibilidades (ver bonecos). Logo, a questão está errada, pois não podemos afirmar, com certeza, que Ana é suspeita. Logo, o argumento é in- válido.
EXERCICIOS:
(TJ-AC - Analista Judiciário - Conhecimentos Bási- cos - Cargos 1 e 2 - CESPE/2012) (10 a 13)
Considerando que as proposições lógicas sejam re- presentadas por letras maiúsculas, julgue os próximos itens, relativos a lógica proposicional e de argumenta- ção.
1. A expressão é uma tautologia.
A) Certo
B) Errado Resposta: B.
Fazendo a tabela verdade:
	
	P
	Q
	P→Q
	(P→Q) V P
	[(P→Q) V P]→Q
	
	V
	V
	V
	V
	V
	
	V
	F
	F
	V
	V
	
	F
	V
	V
	V
	V
	
	F
	F
	F
	F
	F
Portanto não é uma tautologia.
2. As proposições “Luiz joga basquete porque Luiz é alto” e “Luiz não é alto porque Luiz não joga basquete” são logicamente equivalentes.
A) Certo
B) Errado Resposta: A.
São equivalentes por que “Luiz não é alto porque Luiz não joga basquete” nega as duas partes da proposição, a deixando equivalente a primeira.
3. A sentença “A justiça e a lei nem sempre andam pelos mesmos caminhos” pode ser representada sim-
bolicamente por PΛQ, em que as proposições P e Q são convenientemente escolhidas.
A) Certo
B) Errado
Resposta: B.
Não, pois ^ representa o conectivo “e”, e o “e” é usado para unir A justiça E a lei, e “A justiça” não pode ser con- siderada uma proposição, pois não pode ser considerada verdadeira ou falsa.
12
Bruno fagundes
 
RACIOCÍNIO LÓGICO
4. Considere que a tabela abaixo representa as primeiras colunas da tabela-verdade da proposição
Logo, a coluna abaixo representa a última coluna dessa tabela-verdade.
A) Certo
B) Errado
Resposta: A.
Fazendo a tabela verdade:
	P
	Q
	R
	(P→Q)^(~R)
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	V
TJ-AC - Técnico Judiciário - Informática - CES- PE/2012)
Com base na situação descrita acima, julgue o item a seguir.
5. O argumento cujas premissas correspondem às quatro afirmações do jornalista e cuja conclusão é “Pe- dro não disputará a eleição presidencial da República” é um argumento válido.
A) Certo
B) Errado
Resposta: A.
Argumento válido é aquele que pode ser concluído a partir das premissas, considerando que as premissas são verdadeiras então tenho que:
Se João for eleito prefeito ele disputará a presidência; Se João disputar a presidência então Pedro não vai dis-
putar;
Se João não for eleito prefeito se tornará presidente do partido e não apoiará a candidatura de Pedro à presidência;
 (
13
)Se o presidente do partido não apoiar Pedro ele não disputará a presidência.
Bruno fagundes
RACIOCÍNIO LÓGICO
(PRF - Nível Superior - Conhecimentos Básicos - Todos os Cargos - CESPE/2012)
Um jovem, visando ganhar um novo smartphone no dia das crianças, apresentou à sua mãe a seguinte argu- mentação: “Mãe, se tenho 25 anos, moro com você e papai, dou despesas a vocês e dependo de mesada, então eu não ajo como um homem da minha idade. Se estou há 7 anos na faculdade e não tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades, então não tenho um mínimo de maturidade. Se não ajo como um homem da minha idade, sou tratado como criança. Se não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança. Logo, se sou tratado como criança, mereço ganhar um novo smartphone no dia das crianças”.
Com base nessa argumentação, julgue os itens a seguir..
6. A proposição “Se estou há 7 anos na faculdade e não tenho capacidade para assumir minhas responsabilida- des, então não tenho um mínimo de maturidade” é equivalente a “Se eu tenho um mínimo de maturidade, então não estou há 7 anos na faculdade e tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades”.
A) Certo
B) Errado
Resposta: B.
Equivalência de Condicional: P -> Q = ~ Q -> ~ P
 (
P
Q
R
¬P
¬Q
¬R
P^¬Q
(P^¬Q) → ¬R
¬P^Q
R→ (¬P^Q)
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
)Negação de Proposição: ~ (P ^ Q) = ~ P v ~ Q
Portanto não são equivalentes.
7. Considere as seguintes proposições: “Tenho 25 anos”, “Moro com você e papai”, “Dou despesas a vocês” e “Dependo de mesada”. Se alguma dessas proposições for falsa, também será falsa a proposição “Se tenho 25 anos, moro com você e papai, dou despesas a vocês e dependo de mesada, então eu não ajo como um homem da minha idade”.
A) Certo
B) Errado Resposta: A. (A^B^C^D) E
Ora, se A ou B ou C ou D estiver falsa como afirma o enunciado, logo torna a primeira parte da condicional falsa, (visto
que trata-se da conjunção) tornando- a primeira parte da condicional falsa, logo toda a proposição se torna verdadeira.
8. A proposição “Se não ajo como um homem da minha idade, sou tratado como criança, e se não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança” é equivalente a “Se não ajo como um homem da minha idade ou não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança”.
A) Certo
B) Errado Resposta: A.
A = Se não ajo como um homem da minha idade, B = sou tratado como criança,
C= se não tenho um mínimo de maturidade
 
 Bruno fagundes
14
RACIOCÍNIO LÓGICO
	A
	B
	C
	~A
	~C
	(~A → B)
	(~C → B)
	(~A v ~ C)
	(~A→ B) ^ (~ C→ B)
	(~A v ~ C)→ B
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
De acordo com a tabela verdade são equivalentes.
 (
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.
)
Conjuntos
É uma reunião, agrupamento de pessoas, seres ou objetos. Dá a ideia de coleção.
Conjuntos Primitivos
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são primitivos, ou seja, não são definidos.
Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de conjuntos.
Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto.
Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de retas é um conjunto onde cada elemento (reta) é também conjunto (de pontos).
Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c,
..., x, y, ..., embora não exista essa obrigatoriedade.
Em Geometria, por exemplo, os pontos são indicados por letras maiúsculas e as retas (que sãoconjuntos de pontos)
por letras minúsculas.
Outro conceito fundamental é o de relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto.
Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos xA Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A.
Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos xA Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A.
Como representar um conjunto
Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula.
Exemplos
- {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 6, 7 e 8.
{a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b e m.
{1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos elementos são 1, {2; 3} e {3}.
Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A,
este fica bem determinado.
P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer
 (
15
)temos:
Bruno fagundes
 
RACIOCÍNIO LÓGICO
Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por:
{x, tal que x tem a propriedade P}
Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou ainda :, podemos indicar o mesmo conjunto por:
{x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda,
{x : x tem a propriedade P}
Exemplos
· { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u}
· {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que {0, 1, 2, 3}
· {x : x em um número inteiro e x2 = x } é o mesmo que
{0, 1}
Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn- Euler consiste em representar o conjunto através de um “círculo” de tal forma que seus elementos e somente eles estejam no “círculo”.
Exemplos
· Se A = {a, e, i, o, u} então
- Se B = {0, 1, 2, 3 }, então
Conjunto Vazio
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se pela letra do alfabeto norueguês 0 ou, simplesmente { }.
Simbolicamente:  x, x 0
Exemplos
· 0 = {x : x é um número inteiro e 3x = 1}
· 0 = {x | x é um número natural e 3 – x = 4}
- 0 = {x | x ≠ x}
Subconjunto
Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou A é a parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos por A  B.
Simbolicamente: A  B  (  x)(x   xB)
Portanto, A  B significa que A não é um subconjunto de B ou A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B.
Por outro lado, A  B se, e somente se, existe, pelo menos, um elemento de A que não é elemento de B.
Simbolicamente: A  B  (  x)(xA e xB)
Exemplos
- {2 . 4}  {2, 3, 4}, pois 2  {2, 3, 4} e 4  {2, 3, 4}
- {2, 3, 4}  {2, 4}, pois 3 {2, 4}
- {5, 6}  {5, 6}, pois 5 {5, 6} e 6 {5, 6}
Inclusão e pertinência
A definição de subconjunto estabelece um relacionamento entre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão (  ).
A relação de pertinência () estabelece um relacionamento entre um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da relação de inclusão.
Simbolicamente xA  {x}  A xA  {x}  A
Igualdade
Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é também subconjunto de A.
Simbolicamente: A = B  A  B e B  A
Demonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, segundo a definição, a demonstrar que A  B e B  A.
Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e
somente se, possuem os mesmos elementos.
Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A ≠ B se, e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto de A. Simbolicamente: A ≠ B  A  B ou B  A
Exemplos
- {2,4} = {4,2}, pois {2,4}  {4,2} e {4,2}  {2,4}. Isto nos
mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não pela ordem em que esses elementos são descritos.
- {2,2,2,4} = {2,4}, pois {2,2,2,4}  {2,4} e {2,4} 
{2,2,2,4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é
desnecessária.
- {a,a} = {a}
- {a,b = {a}  a= b
- {1,2} = {x,y}  (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1)
Conjunto das partes
 Bruno fagundes
16
RACIOCÍNIO LÓGICO
Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A e é indicado por P(A).
Simbolicamente: P(A)={X | X  A} ou X  P(A)  X 
A
Exemplos a) = {2, 4, 6}
P(A) = { 0 , {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A}
b) = {3,5}
P(B) = { 0 , {3}, {5}, B}
c) = {8}
P(C) = { 0 , C}
d) = 0 P(D) = { 0 }
Propriedades
Seja A um conjunto qualquer e 0 o conjunto vazio.
Exemplos
- {2,3,4}  {3,5}={3}
- {1,2,3}  {2,3,4}={2,3}
- {2,3}  {1,2,3,5}={2,3}
- {2,4}  {3,5,7}=
Observação: Se A  B= , dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.
Valem as seguintes propriedades
	0 ≠( 0 )
	0  0
	0  0
	0 { 0 }
	0  A  0 P(A)
	A  A  AP(A)
Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, portanto, P(A) possui 2n elementos.
União de conjuntos
A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a
B. Representa-se por A  B.
Simbolicamente: A 4 B = {X | XA ou XB}
Exemplos
- {2,3}  {4,5,6}={2,3,4,5,6}
- {2,3,4}  {3,4,5}={2,3,4,5}
- {2,3}  {1,2,3,4}={1,2,3,4}
- {a,b}   {a,b}
Intersecção de conjuntos
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A  B. Simbolicamente: A  B
 (
17
)= {X | XA ou XB}
Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos.
Note que ao subtrairmos os elementos comuns
evitamos que eles sejam contados duas vezes.
Observações:
a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será verdadeira.
b) Podemos ampliar a relação do número de elementos
para três ou mais conjuntos com a mesma eficiência.
Bruno fagundes 
RACIOCÍNIO LÓGICO
Observe o diagrama e comprove.
Subtração
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Simbolicamente: A – B = {X | X A e XB}
O conjunto A – B é também chamado de conjunto complementar de B em relação a A, representado por CAB.
Simbolicamente: CAB = A - B{X | XA e XB}
Exemplos
- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2}
CAB = A – B = {1,3} e CBA = B – A =
- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}
CAB = A – B = {1} e CBA = B – A = {14}
- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5}
CAB = A – B = {0,2,4} e CBA = B – A = {1,3,5}
Observações: Alguns autores preferem utilizar o conceito de completar de B em relação a A somente nos casos em que B  A.
- Se B  A representa-se por B o conjunto complementar de B em relação a A. Simbolicamente: B  A
 B = A – B = CAB`
Exemplos
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:
a) A = {2, 3, 4}  A = {0, 1, 5, 6}
b) B = {3, 4, 5, 6 }  B = {0, 1, 2}
c) C =   C = S
Número de elementos de um conjunto
Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, ainda, A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de elementos temos:
n(A  B)=n(A)+n(B)-n(A  B)
A  B=  n(A  B)=n(A)+n(B) n(A -B)=n(A)-n(A  B)
B  A  n(A-B)=n(A)-n(B)
Resolução de Problemas Exemplo:
Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergun- ta-se
a) quantas crianças existem na escola?
b) quantas crianças são meninas ou são ruivas
Sejam:
A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = x B o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9
C o conjunto dos meninos não ruivos e n(C) = 13 D o conjunto das meninas não ruivas e n(D) = y De acordo com o enunciado temos:
n(B  D)  n(B)  n(D)  9  y  42  y  33
 (

)n( A  D)  n( A)  n(B)  x  9  24  x  15
 Bruno fagundes 
18
RACIOCÍNIOLÓGICO
Assim sendo
a) O número total de crianças da escola é:
n( A  B  C  D)  n( A)  n(B)  n(C)  n(D)  15  9  13  33  70
b) O número de crianças que são meninas ou são ruivas é:
n[( A  B)  (B  D)]  n( A)  n(B)  n(D)  15  9  33  57
Questões
1 – (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO AD-
MINISTRATIVO – FCC/2014) Dos 43 vereadores de uma cidade, 13 dele não se inscreveram nas comissões de Edu- cação, Saúde e Saneamento Básico. Sete dos vereadores se inscreveram nas três comissões citadas. Doze deles se inscreveram apenas nas comissões de Educação e Saúde e oito deles se inscreveram apenas nas comissões de Saúde e Saneamento Básico. Nenhum dos vereadores se inscreveu em apenas uma dessas comissões. O número de vereado- res inscritos na comissão de Saneamento Básico é igual a
A)	15.
B)	21.
C)	18.
D)	27.
E)	16.
2 – (TJ-SC) Num grupo de motoristas, há 28 que diri- gem automóvel, 12 que dirigem motocicleta e 8 que diri- gem automóveis e motocicleta. Quantos motoristas há no grupo?
A) 16 motoristas
B) 32 motoristas
C) 48 motoristas
D) 36 motoristas
3 – (TRT 19ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2014)
Dos 46 técnicos que estão aptos para arquivar documentos 15 deles também estão aptos para classificar processos e os demais estão aptos para atender ao público. Há outros 11 técnicos que estão aptos para atender ao público, mas não são capazes de arquivar documentos. Dentre esses úl- timos técnicos mencionados, 4 deles também são capazes de classificar processos. Sabe-se que aqueles que classifi- cam processos são, ao todo, 27 técnicos. Considerando que todos os técnicos que executam essas três tarefas foram citados anteriormente, eles somam um total de
A) 58.
B)	65.
C)	76.
D) 53.
E)	95.
4 – (METRÔ/SP – OFICIAL LOGISTICA –ALMOXARI-
 (
19
)FADO I – FCC/2014) O diagrama indica a distribuição de atletas da delegação de um país nos jogos universitários por medalha conquistada. Sabe-se que esse país conquis- tou medalhas apenas em modalidades individuais. Sabe-se
ainda que cada atleta da delegação desse país que ganhou uma ou mais medalhas não ganhou mais de uma meda- lha do mesmo tipo (ouro, prata, bronze). De acordo com o diagrama, por exemplo, 2 atletas da delegação desse país ganharam, cada um, apenas uma medalha de ouro.
A análise adequada do diagrama permite concluir cor- retamente que o número de medalhas conquistadas por esse país nessa edição dos jogos universitários foi de
A)	15.
B)	29.
C)	52.
D)	46.
E)	40.
5 – (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP/2014) Qual é o número de elementos que formam o conjunto dos múltiplos estritamente positi- vos do número 3, menores que 31?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
6 - (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP/2014) Considere dois conjuntos A e B, sabendo que A ∩ B = {3}, A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 5} e A – B =
{1 ; 2}, assinale a alternativa que apresenta o conjunto B. A) {1; 2; 3}
B) {0; 3}
C) {0; 1; 2; 3; 5}
D) {3; 5}
E) {0; 3; 5}
7 – (Agente Administrativo) Em uma cidade existem duas empresas de transporte coletivo, A e B. Exatamente 70% dos estudantes desta cidade utilizam a Empresa A e 50% a Empresa B. Sabendo que todo estudante da cidade é usuário de pelo menos uma das empresas, qual o % deles que utilizam as duas empresas?
A) 20%
B) 25%
C) 27%
D) 33%
E) 35%
Bruno fagundes
 
RACIOCÍNIO LÓGICO
8 – (METRÔ/SP – ENGENHEIRO SEGURANÇA DO TRABALHO – FCC/2014) Uma pesquisa, com 200 pessoas, investigou como eram utilizadas as três linhas: A, B e C do Metrô de uma cidade. Verificou-se que 92 pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas utilizam a linha B e 110 pessoas utili- zam a linha C. Utilizam as linhas A e B um total de 38 pes- soas, as linhas A e C um total de 42 pessoas e as linhas B e C um total de 60 pessoas; 26 pessoas que não se utilizam dessas linhas. Desta maneira, conclui-se corretamente que o número de entrevistados que utilizam as linhas A e B e C é igual a
A)	50.
B)	26.
C)	56.
D)	10.
E)	18.
9 – TJ/RS – TÉCNICO JUDICIÁRIO – ÁREA JUDICIÁ- RIA E ADMINISTRATIVA – FAURGS/2012) Observando-
se, durante certo período, o trabalho de 24 desenhistas do
Tribunal de Justiça, verificou-se que 16 executaram dese- nhos arquitetônicos, 15 prepararam croquis e 3 realizaram outras atividades. O número de desenhistas que executa- ram desenho arquitetônico e prepararam croquis, nesse período, é de
A)	10.
B)	11.
C)	12.
D)	13.
E)	14.
10 - (TJ/RS – OFICIAL DE TRANSPORTE – CE- TRO/2013) Dados os conjuntos A = {x | x é vogal da pa- lavra CARRO} e B = {x | x é letra da palavra CAMINHO}, é correto afirmar que A∩ B tem
A) 1 elemento.
B) 2 elementos.
C) 3 elementos.
D) 4 elementos.
E) 5 elementos.
Respostas
1 - RESPOSTA: “C”
De acordo com os dados temos:
7 vereadores se inscreveram nas 3.
APENAS 12 se inscreveram em educação e saúde (o 12 não deve ser tirado de 7 como costuma fazer nos con- juntos, pois ele já desconsidera os que se inscreveram nos três)
APENAS 8 se inscreveram em saúde e saneamento bá- sico.
São 30 vereadores que se inscreveram nessas 3 comis- sões, pois 13 dos 43 não se inscreveram.
Portanto, 30-7-12-8=3
Se inscreveram em educação e saneamento 3 verea- dores.
Só em saneamento se inscreveram: 3+7+8=18
2 – RESPOSTA: “B”
Os que dirigem automóveis e motocicleta: 8 Os que dirigem apenas automóvel: 28-8 = 20 Os que dirigem apenas motocicleta: 12-8= 4
A quantidade de motoristas é o somatório: 20+8+4 = 32 motoristas.
3 - RESPOSTA: “B”.
Técnicos arquivam e classificam: 15 Arquivam e atendem: 46-15=31 classificam e atendem: 4
Classificam: 15+4=19 como são 27 faltam 8
Dos 11 técnicos aptos a atender ao público 4 são capa- zes de classificar processos, logo apenas 11-4 = 7 técnicos são aptos a atender ao público.
Somando todos os valores obtidos no diagrama tere- mos: 31+15+7+4+8 = 65 técnicos.
4 - RESPOSTA: “D”.
O diagrama mostra o número de atletas que ganharam medalhas.
No caso das intersecções, devemos multiplicar por 2 por ser 2 medalhas e na intersecção das três medalhas mul- tiplica-se por 3.
Intersecções:
Somando as outras: 2+5+8+12+2+8+9=46
 Bruno fagundes
20
RACIOCÍNIO LÓGICO
5 -RESPOSTA: “B”.
Se nos basearmos na tabuada do 3 , teremos o seguin- te conjunto
A={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}
10 elementos.
6 - RESPOSTA: “E”.
A intersecção dos dois conjuntos, mostra que 3 é ele- mento de B.
A-B são os elementos que tem em A e não em B.
Então de A∪B, tiramos que B={0;3;5}.
7 - Resposta “A”.
70 – 50 = 20.
20% utilizam as duas empresas.
8 - RESPOSTA: “E”.
92-[38-x+x+42-x]+94-[38-x+x+60-x]+110-[42-x+x+-
60-x]+(38-x)+x+(42-x)+(60-x)+26=200
92-[80-x]+94-[98-x]+110-[102-x]+38+42-x+-
60-x+26=200
92-80+x+94-98+x+110-102+x+166-2x=200
x+462-180=200 ➜ x+182 = 200 ➜ x = 200-182 ➜ x = 18
9 - RESPOSTA: “A”.
16-x+x+15-x+3=24 ➜ x+34 = 24 ➜ -x = 24-34 ➜ -x =
-10, como não existe variável negativa neste caso multipli- ca-se por (-1) ambos os lados , logo x = 10.
10 
- RESPOSTA: “B”.
Como o conjunto A é dado pelas vogais: A={A,O}, e B é dado pelas letras : B={ C,A,M,I,N,H,O}, portanto A∩ B={A,O}
 (
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E 
GEOMÉTRICAS.
)
Progressão Aritmética (PA)
Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas se- quências como, por exemplo, a sucessão de cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Pau- lo ou a sucessão das datas de aniversário dos alunos de uma determinada escola.
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Eviden- temente, daremos atenção ao estudo das sequências nu- méricas.
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por re- ticências no final.
Exemplos:
· Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5,
7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc.
· Sequênciados números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7,
9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência infinita com
a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc.
· Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 = 9.
1. Igualdade
As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões diferentes.
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos termos, na mesma ordem.
Exemplo
A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 5; y = 8; z =
15; e t = 17.
 (
21
)Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1) são diferentes, pois, embora apresentem os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente.
Bruno fagundes 
RACIOCÍNIO LÓGICO
2. Formula Termo Geral
Podemos apresentar uma sequência através de uma determina o valor de cada termo an em função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta formula que determina o valor do termo an e chamada formula do termo geral da sucessão.
Exemplos
· Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral e igual a:
an = n – 2n,com n € N* a Teremos:
A1 = 12 – 2 . 1 a a1 = 1
A2 = 22 – 2 . 2 a a2 = 0
A3 = 32 – 2 . 3 a a3 = 3
A4 = 42 – 4 . 2 a a4 = 8
A = 55 – 5 . 2 a a = 15
Observação 1
Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto que podemos de- terminar um termo no “meio” da sequência sem a necessida- de de determinarmos os termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências.
Observação 2
Algumas sequências não podem, pela sua forma “de- sorganizada” de se apresentarem, ser definidas nem pela lei das recorrências, nem pela formula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como esta é a sucessão de nú- meros naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma formula geral para seus termos.
4. Artifícios de Resolução
Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas
5	5	alguns elementos da PA, é possível, através de artifícios de
· Determinar os cinco primeiros termos da seqüência cujo termo geral é igual a:
an = 3 . n + 2, com n € N*.
a1 = 3 . 1 + 2 a a1 = 5
a2 = 3 . 2 + 2 a a2 = 8
a3 = 3 . 3 + 2 a a3 = 11
a4 = 3 . 4 + 2 a a4 = 14
a5 = 3 . 5 + 2 a a5 = 17
· Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a:
an = 45 – 4 + n, com n € N*.
Teremos:
a12 = 45 – 4 . 12 a a12 = -3
a23 = 45 – 4 . 23 a a23 = -47
3. Lei de Recorrências
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma formula) que permite a determinação de cada termo conhecendo- se o seu antecedente. Essa forma de apresentação de uma sucessão é dita de recorrências.
Exemplos
· Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que:
a1 = 3 e an+1 = 2 . an - 4, em que n € N*.
Teremos:
a1 = 3
a2 = 2 . a1 – 4 a a2 = 2 . 3 – 4 a a2 = 2
a3 = 2 . a2 – 4 a a3 = 2 . 2 - 4 a a3 = 0
a4 = 2 . a3 – 4 a a4 = 2 . 0 - 4 a a4 = -4
a5 = 2 . a4 – 4 a a5 = 2 .(-4) – 4 a a5 = -12
· Determinar o termo a5 de uma sequência em que:
resolução, tornar o procedimento mais simples:
PA com três termos: (a – r), a e (a + r), razão igual a r. PA com quatro termos: (a – 3r), (a – r), (a + r) e (a + 3r),
razão igual a 2r.
PA com cinco termos: (a – 2r), (a – r), a, (a + r) e (a + 2r), razão igual a r.
Exemplo
· Determinar os números a, b e c cuja soma é, igual a 15, o produto é igual a 105 e formam uma PA crescente.
Teremos:
Fazendo a = (b – r) e c = (b + r) e sendo a + b + c = 15, teremos:
(b – r) + b + (b + r) = 15 → 3b = 15 → b = 5.
Assim, um dos números, o termo médio da PA, já é conhecido.
Dessa forma a sequência passa a ser:
(5 – r), 5 e ( 5 + r ), cujo produto é igual a 105, ou seja:
(5 – r) .5 . (5 + r) = 105 → 52 – r2 = 21
r2 = 4 → 2 ou r = -2.
Sendo a PA crescente, ficaremos apenas com r= 2.
Finalmente, teremos a = 3, b = 5 e c= 7.
5. Propriedades
P1: para três termos consecutivos de uma PA, o termo médio é a media aritmética dos outros dois termos.
Exemplo
Vamos considerar três termos consecutivos de uma PA: an-1, an e an+1. Podemos afirmar que:
I - an = an-1 + r
II - an = an+ 1 –r
Fazendo I + II, obteremos: 2an = an-1 + r + an +1 - r 2an = an -1+ an + 1
a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n € N*.
a2 = a1 – 2 → a2 = 12 – 2 → a2=10
a3 = a2 – 2 → a3 = 10 – 2 → a3 = 8
Logo: an
= a -1 + an  1
n	2
a4 = a3 – 2 → a4 = 8 – 2 → a4 = 6 a5 = a4 – 2 → a5 = 6 – 2 → a5 = 4
22
Portanto, para três termos consecutivos de uma PA o termo médio é a media aritmética dos outros dois termos.
RACIOCÍNIO LÓGICO
6. Termos Equidistantes dos Extremos
Numa sequência finita, dizemos que dois termos são equidistantes dos extremos se a quantidade de termos que pre- cederem o primeiro deles for igual à quantidade de termos que sucederem ao outro termo. Assim, na sucessão:
(a1, a2, a3, a4,..., ap,..., ak,..., an-3, an-2, an-1, an), temos:
a2 e an-1 são termos equidistantes dos extremos; a3 e an-2 são termos equidistantes dos extremos; a4 an-3 são termos equidistantes dos extremos.
Notemos que sempre que dois termos são equidistantes dos extremos, a soma dos seus índices é igual ao valor de n +
1. Assim sendo, podemos generalizar que, se os termos ap e ak são equidistantes dos extremos, então: p + k = n+1.
Propriedade
Numa PA com n termos, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma destes extremos.
Exemplo
Sejam, numa PA de n termos, ap e ak termos equidistantes dos extremos. Teremos, então:
I - ap = a1 + (p – 1) . r a ap = a1 + p . r – r
II - ak = a1 + (k – 1) . r a ak = a1 + k . r – r
Fazendo I + II, teremos:
Ap + ak = a1 + p . r – r + a1 + k . r – r Ap + ak = a1 + a1 + (p + k – 1 – 1) . r
Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:
ap + ak = a1 + a1 + (n + 1 – 1) . r ap + ak = a1 + a1 + (n – 1) . r
ap + ak = a1 + an
Portanto numa PA com n termos, em que n é um numero ímpar, o termo médios (am) é a media aritmética dos extremos.
A  a1  an m	2
7. Soma dos n Primeiros Termos de uma PA
Vamos considerar a PA (a1, a2, a3,…,an-2, an-1,an ) e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja:
Sn = a1 + a2 + a3 + …+ an-2 + an-1 + an
(igualdade I)
Podemos escrever também:
Sn = an + an-1 + an-2 + ...+ a3 + a2 + a1
(igualdade II)
Somando-se I e II, temos:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + …+ (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1)
Considerando que todas estas parcelas, colocadas entre parênteses, são formadas por termos equidistantes dos extremos e que a soma destes termos é igual à soma dos extremos, temos:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) +
+… + (a1 + an) → 2Sn = ( a1 + an) . n
E, assim, finalmente:
S  (a1  an ).n
 (
23
)n	2
Bruno fagundes
 
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplo
- Ache a soma dos sessenta primeiros termos da PA (2
, 5, 8,...).
Dados: a1 = 2
r = 5 – 2 = 3
Calculo de a60:
A60 = a1 + 59r → a60 = 2 + 59 . 3
a60 = 2 + 177
a60 = 179
Calculo da soma:
Classificação
As classificações geométricas são classificadas assim:
· Crescente: Quando cada termo é maior que o ante- rior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1.
· Decrescente: Quando cada termo é menor que o an-
terior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1
< 0 e q > 1.
· Alternante: Quando cada termo apresenta sinal con-
trario ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0.
· Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG
]	(a  a )n
(a  a ).60
estacionaria.
Sn 	1	n
2
 S60 
1	60
2
- Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto
ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.
S60
 (2  179).60 2
Formula do Termo Geral
A definição de PG está sendo apresentada por meio de
S60 = 5430
Resposta:5430
Progressão Geométrica (PG)
PG é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por uma constante q chamada razão da PG.
an+1 = an . q
Com a1 conhecido e n € N*
Exemplos
· (3, 6, 12, 24, 48,...) é uma PG de primeiro termo a1 =
3 e razão q = 2.
- (-36, -18, -9, 9 , 9 ,...) é uma PG de primeiro termo
uma lei de recorrências, e nos já aprendemos nos módu- los anteriores que a formula do termo geral é mais pratica. Por isso, estaremos, neste item, procurando estabelecer, a partir da lei de recorrências, a fórmula do termo geral da progressão geométrica.
Vamos considerar uma PG de primeiro termo a1 e
razão q. Assim, teremos: a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = a1 . q3 a5 = a4 . q = a1 . q4
.	.
.	.
.	.
n-1
a1= -36 e razão q =21 . 4
2
an= a1 . q
Exemplos
- (15, 5, 5 , 5
3	9
e razão q = 1 .
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15
· Numa PG de primeiro termo a1 = 2 e razão q = 3, temos o termo geral na igual a:
3	a = a
. qn-1 → a
= 2 . 3n-1
· (
n
1
n
)(-2, -6, -18, -54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 =
-2 e razão q = 3.
- (1, -3, 9, -27, 81, -243, ...) é uma PG de primeiro termo
Assim, se quisermos determinar o termo a5 faremos:
desta PG,
a1 = 1 e razão q = -3.
· (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5
A5 = 2 . 34 → a5 = 162
· (
1
)Numa PG de termo a
= 15 e razão q = , temos o
e razão q = 1.
· (7, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7
termo geral na igual a:
e razão q = 0.
· (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q qualquer.
an = a1 . qn-1 → an = 15 . n-1
Assim, se quisermos determinar o termo a6 faremos:
desta PG,
Observação: Para determinar a razão de uma PG, basta
efetuar o quociente entre dois termos consecutivos: o
posterior dividido pelo anterior.
A = 15 . (1).5
6	2
→ a6
= 5 
81
 (
a
) (
n
)q  an  1 (a
 0)
- Numa PG de primeiro termo a1 = 1 e razão = -3 temos o termo geral na igual a:
n	an
24
= a1
. qn-1 → an
= 1 . (-3)n-1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Assim, se quisermos determinar o termo a4 desta PG,
faremos:
Fazendo I . II, obteremos:
a 
A4 = 1 . (-3)3 → a4 = -27
(an)2 = (an-1 . q). (
n1 ) a (an )2 = an-1 . an+1
q
Artifícios de Resolução
Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PG, é possível através de alguns elementos de resolução, tornar o procedimento mais simples.
PG com três termos:
a a; aq
q
PG com quatro termos:
Logo: (an)2 = an-1 . an+1
Observação: Se a PG for positive, o termo médio será a
media geométrica dos outros dois: an = √an-1 . an+1
P2: Numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos.
Exemplo
Sejam, numa PG de n termos, ap e ak dois termos equidistantes dos extremos.
 a q
;
; aq; aq3
Teremos, então:
I (
p
1
)– a = a . qp-1
q3 q
II 
– ak = a
1 . qk-1
PG com cinco termos:
 a ; q ; a; aq; aq2
q2 q
Multiplicando I por II, ficaremos com:
ap . ak = a1 . qp-1 . a1 . qk-1 ap . ak = a1 . a1 . qp-1+k-1
Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:
Exemplo
Considere uma PG crescente formada de três números. Determine esta PG sabendo que a soma destes números é 13 e o produto é 27.
Vamos considerar a PG em questão formada pelos
termos a, b e c, onde a = e c = b . q.
Assim,
b . b . bq = 27 → b3 = 27 → b = 3.
q
Temos:
3 + 3 +3q = 13 → 3q2 – 10q + 3 = 0 a
q
q = 3 ou q = 1
3
Sendo a PG crescente, consideramos apenas q = 3. E, assim, a nossa PG é dada pelos números: 1, 3 e 9.
Propriedades
P1: Para três termos consecutivos de uma PG, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois.
Exemplo
Vamos considerar três termos consecutivos de uma PG:
an-1, an e an+1. Podemos afirmar que:
I – an = an-1 . q	e
II – an = an1
 (
25
)q
ap . ak = a1 . an
Portanto, numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos.
Observação: Numa PG positiva, com n termos, onde n é um numero impar, o termo médio (am) é a media geométrica dos extremos ou de 2 termos equidistantes dos extremos.
am = √a1 . an
Soma dos termos de uma PG
Soma dos n Primeiros Termos de uma PG
Vamos considerar a PG (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an), com q diferente de 1 e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja:
Sn = a1 + a2 + a3 + ...+an-2 + an-1 + an
( igualdade I)
Podemos escrever, multiplicando-se, membro a
membro, a igualdade ( I ) por q:
q . Sn = q . a1 + q . a2 + q . a3 + ...+ q . an-2 +
+ q . an-1 + q . an
Utilizando a formula do termo geral da PG, ou seja, an
= a1 . qn-1, teremos:
q . Sn = a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an + a1 . qn
(igualdade II)
RACIOCÍNIO LÓGICO
Subtraindo-se a equação I da equação II, teremos:
S = 4 + 2 + 1 + 1  1  1  1  1  1  511
= 7,
 (
9
)q . S – S = a . qn – a → s
. (q – 1) =
984375
2	4	8 16
32	64	64
 (
1
)= a n. (qnn– 1) 1	1	n
a .(qn  1)
1	1	1	1	1	1
 
1	1023
E assim: S  1	
n	q  1
S = 4 + 2 + 1 +		
 (
10
2
4
)= 7, 9921875

8 16
			
32	64	128	128
Se tivéssemos efetuado a subtração das equações em
ordem inversa, a fórmula da soma dos termos da PG ficaria:
a .(1  qn )
Devemos notar que a cada novo termo calculado, na
PG, o seu valor numérico cada vez mais se aproxima de
zero. Dizemos que esta é uma progressão geométrica
Sn 
1
1  q
convergente.
Evidentemente que por qualquer um dos “caminhos” o resultado final é o mesmo. É somente uma questão de forma de apresentação.
Observação: Para q = 1, teremos sn = n . a1
Série Convergente – PG Convergente
Dada a sequência ( a1, a2, a3, a4, a5,..., an-2, an-1, an), chamamos de serie a sequência S1, S2, S3, S4, S5,..., Sn-2, sn-1, sn,tal que:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
S4 = a1 + a2 + a3 + a4
S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
.
.
Sn-2 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2
Sn-1 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1 + an
Vamos observar como exemplo, numa PG com primeiro
termo a1 = 4 e razão q = , à série que ela vai gerar.
Por outro lado, na serie, é cada vez menor a parcela que se acrescenta. Desta forma, o ultimo termos da serie vai tendendo a um valor que parece ser o limite para a série em estudo. No exemplo numérico, estudado anteriormente, nota-se claramente que este valor limite é o numero 8.
Bem, vamos dar a esta discussão um caráter matemático. É claro que, para a PG ser convergente, é necessário que cada termo seja, um valor absoluto, inferior ao anterior
a ele. Assim, temos que:
PG convergente → | q | < 1
ou
PG convergente → -1 < 1
Resta estabelecermos o limite da serie, que é o Sn para quando n tende ao infinito, ou seja, estabelecermos a soma dos infinitos termos da PG convergente.
Vamos partir da soma dos n primeiros termos da PG:
a .(1  qn )
Os termos que vão determinar a progressão geométrica
Sn 
1
1  q
são: (4, 2, 1, 1 , 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1 , 1 , 1 
...)
2
E, portanto, a série correspondente será: S1 = 4
S2 = 4 + 2 = 6
S3 = 4 + 2 + 1 = 7
128
256
512
Estando q entre os números -1e 1 e, sendo n um expoente que tende a um valor muito grande, pois estamos somando os infinitos termos desta PG, é fácil deduzir que qn vai apresentando um valor cada vez mais próximo de zero. Para valores extremamente grandes de n não constitui erro considerar que qn é igual a zero. E, assim, teremos:
 (
a
)1
S 
S = 4 + 2 + 1 + 1
4	2
= 15
2
= 7, 5
1  q
S = 4 + 2 + 1 + 1  1  31 = 7, 75
Observação: Quando a PG é não singular (sequência com
5	2	4	4
termos não nulos) e a razão q é de tal forma que q | ≥ 1, a serie
S = 4 + 2 + 1 + 1  1  1  63
6	2	4	8	8
= 7, 875
é divergente. Séries divergentes não apresentam soma finita.
Exemplos
 (
7
)S = 4 + 2 + 1 + 1  1  1  1  127
= 7, 9375
- A medida do lado de um triângulo equilátero é 10.
Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se o
2
S = 4 + 2 + 1 + 1 
8	2
4	8
1  1
4	8
16
 1 
16
16
 1 
32
255
32
= 7, 96875
segundo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados deste novo triangulo equilátero, obtém-seum terceiro, e assim por diante, indefinidamente. Calcule a soma dos perímetros de todos esses triângulos.
26
RACIOCÍNIO LÓGICO
Solução:
Temos: perímetro do 1º triangulo = 30 perímetro do 2º triangulo = 15 perímetro do 3º triangulo = 15
2
Logo, devemos calcular a soma dos termos da PG
4. 
A soma dos elementos da sequência numérica infini- ta (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:
a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3, 999
e) 4
5. A soma dos vinte primeiros termos de uma progres- são aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa PA., com o décimo quinto termo, vale:
a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
6. Os números que expressam os ângulos de um qua- drilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:
a) 28°
infinita 30, 15, 15 ,... na qual a1 = 30 e q =. 1
2	2
b) 32°
c) 36°
 30	 30
S = a → s =		= 60.
d) 48°
1	1  q
1  1
2
Exercícios
e) 50°
7. Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9
onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condi- ções, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:
a) 1
1. Uma progressão aritmética e uma progressão geo- métrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coin- cidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geomé- trica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
2. O valor de n que torna a sequência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]
3. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a:
a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) (
27
)62
b) 10
c) 100
d) -1
e) -10
8. Se a soma dos três primeiros termos de uma PG de- crescente é 39 e o seu produto é 729, então sendo a, b e c os três primeiros termos, pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2.
9. O limite da expressão	onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefini- damente é igual a:
a) 1/x
b) x
c) 2x
d) n.x
e) 1978x
10. Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ?
RACIOCÍNIO LÓGICO
1) Resposta “D”. Solução:
Respostas
Daqui e de (1) obtemos que:
an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar
an = 8 + (n/2) - 1 se n é par
Logo:
Sejam (a1, a2, a3,…) a PA de r e (g1, g2, g3, …) a PG de
razão q. Temos como condições iniciais: 1 - a1 = g1 = 4
2 - a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3
3 - a2 = g2 + 2
Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:
4 - a3 = a1 + 2r e g3 = g1 . q2 → 4 + 2r = 4q2 5 - a2 = a1 + r e g2 = g1 . q → 4 + r = 4q + 2
Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:
5 - r = 4q + 2 – 4 → r = 4q – 2
4 - 4 + 2(4q – 2) = 4q2 → 4 + 8q – 4 = 4q2 → 4q2 – 8q = 0
→ q(4q – 8) = 0 → q = 0 ou 4q – 8 = 0 → q = 2
Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):
r = 4q – 2 → r = 8 – 2 = 6
Para concluir calculamos a3 e g3:
a3 = a1 + 2r → a3 = 4 + 12 = 16 g3 = g1.q2 → g3 = 4.4 = 16
2) Resposta “B”.
Solução: Para que a sequência se torne uma PA de ra- zão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igual- dades (aplicação da definição de PA):
(1) -5n = 2 + 3n + r (2) 1 – 4n = -5n + r
Determinando o valor de r em (1) e substituindo em
(2):
(1) → r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2
(2) → 1 – 4n = -5n – 8n – 2 → 1 – 4n = -13n – 2
→ 13n – 4n = -2 – 1 → 9n = -3 → n = -3/9 = -1/3
Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b.
3) Resposta “B”.
Solução: Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …).
Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:
(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a re- gra geral de formação da sequência, que está intrinseca- mente relacionada às duas progressões da seguinte forma:
· Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i - 1,
ou seja, i = (n + 1)/2;
· Se n é par temos n = 2i ou i = n/2.
a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37
E, portanto:
a30 + a55 = 22 + 37 = 59.
4) Resposta “E”.
Solução: Sejam S as somas dos elementos da sequên- cia e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009;…) de razão q
= 10 - 1 = 0,1. Assim:
S = 3 + S1
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma
de uma PG infinita para obter S1:
S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4
5) Resposta “D”.
Solução: Aplicando a fórmula da soma dos 20 primei- ros termos da PA:
S20 = 20(a1 + a20)/2 = -15
Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto
são equidistantes dos extremos, uma vez que: 15 + 6 = 20 + 1 = 21
E, portanto:
a6 + a15 = a1 + a20
Substituindo este valor na primeira igualdade vem: 20(a6 + a15)/2 = -15 → 10(a6 + a15) = -15 → a6 + a15 =
-15/10 = -1,5.
6) Resposta “D”.
Solução: Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geo- métrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:
(x, 2x, 4x, 8x).
Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º.
Logo,
x + 2x + 4x + 8x = 360º
15.x = 360º
Portanto, x = 24º. Os ângulos do quadrilátero são, por- tanto: 24º, 48º, 96º e 192º.
O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.
7) Resposta “B”.
Solução: Observe que podemos escrever a soma S como:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ...
+ (10n – 1)
S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... +
(10n – 1)
Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes, resultando em n(-1) = - n.
Logo, poderemos escrever:
28
RACIOCÍNIO LÓGICO
S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n
Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n, que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo an = 10n.
Teremos:
Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) =
(10n+1 – 10) / 9
Substituindo em S, vem:
S = [(10n+1 – 10) / 9] – n
Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)
Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 –
10) / 9
Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) = 10.
8) Resposta “819”.
Solução: Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que: x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.
Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo: 9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0
Multiplicando ambos os membros por q, fica: 9 + 9q2 – 30q = 0
Dividindo por 3 e ordenando, fica: 3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encon-
traremos q = 3 ou q = 1/3.
Como é dito que a PG é decrescente, devemos consi- derar apenas o valor
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.
Portanto, a PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de
q vem: 27, 9, 3.
O problema pede a soma dos quadrados, logo: a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819.
9) Resposta “B”.
Solução: Observe que a expressão dada pode ser es- crita como:
x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...
O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de
primeiro termo a1 = 1 /2 e razão q = 1 /2.
Logo, a soma valerá:
S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1
Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x
10) 
Resposta “6171”. Solução: Dados:
M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000.
M(7) = 1001, 1008, ..., 9996.
M(35) = 1015, 1050, ... , 9975.
M(1) = 1, 2, ..., 10000.
Para múltiplos de 5, temos: an = a1+ (n-1).r → 10000 = 1000 + (n - 1). 5 → n = 9005/5 → n = 1801.
Para múltiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r → 9996 = 1001 + (n - 1). 7 → n = 9002/7→ n = 1286.
Para múltiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r → 9975
= 1015 + (n - 1).35 → n = 8995/35 → n = 257.
Para múltiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r → 10000
= 1000 + (n - 1).1 → n = 9001.
Sabemos que os múltiplos de 35 são múltiplos comuns de 5 e 7, isto é, eles aparecem no conjunto dos múltiplos de 5 e no conjunto dos múltiplos de 7 (daí adicionarmos uma vez tal conjunto de múltiplos).
Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35).
Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171
 (
FUNÇÕES.
)
Diagrama de Flechas
Gráfico Cartesiano
 (
29
)Muitas vezes nos deparamos com situações que en- volvem uma relação entre grandezas. Assim, o valor a ser pago na conta de luz depende do consumo medido no pe- ríodo; o tempo de uma viagem de automóvel depende da velocidade no trajeto.
RACIOCÍNIO LÓGICO
Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos numéricos, e pode- mos definir com mais rigor o que é uma função matemáti- ca utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos.
Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f
uma relação de A em B.
Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B.
Notação: f:A→B (lê-se função f de A em B)
Domínio, contradomínio, imagem
O domínio é constituído por todos os valores que po- dem ser atribuídos à variável independente. Já a imagem da função é formada por todos os valores correspondentes da variável dependente.
O conjunto A é denominado domínio da função, indicada por D. O domínio serve para definir em que conjunto esta- mos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x.
O conjunto B é denominado contradomínio, CD.
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y damos o nome de imagem de x pela função f. O conjunto de todos os valores de y que são imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im.
Exemplo
Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} criamos a função f: A→B.definida por f(x) = x + 5 que tam- bém pode ser representada por y = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, desta função, é:
No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contra- domínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem é Im
= {6, 9, 12}
Classificação das funções
Injetora: Quando para ela elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no contradomínio.
30
Sobrejetora: Quando todos os elementos do contra- domínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio.
Bijetora: Quando apresentar as características de fun- ção injetora e ao mesmo tempo, de sobrejetora, ou seja, elementos distintos têm sempre imagens distintas e todos os elementos do contradomínio são imagens de pelo me- nos um elemento do domínio.
Função 1 grau
A função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), consti- tuindo, assim, a função f(x) = ax + b.
Estudo dos Sinais
Definimos função como relação entre duas grandezas representadas por x e y. No caso de uma função do 1º grau, sua lei de formação possui a seguinte característica: y = ax
+ b ou f(x) = ax + b, onde os coeficientes a e b pertencem aos reais e diferem de zero. Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da imagem cres- cem ou decrescem de acordo com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e caso ele tenha sinal negativo, a função é decrescente.
RACIOCÍNIO LÓGICO
Função Crescente: a > 0
De uma maneira bem simples, podemos olhar no gráfi- co que os valores de y vão crescendo.
Função Decrescente: a < 0
Nesse caso, os valores de y, caem.
Raiz da função
Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersec- ta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir:
Podemos estabelecer uma formação geral para o cálcu- lo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma gene- ralização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função).
X=-b/a
Dependendo do caso, teremos que fazer um sistema com duas equações para acharmos o valor de a e b.
Exemplo:
Dado que f(x)=ax+b e f(1)=3 e f(3)=5, ache a função.
F(1)=1a+b
3=a+b
F(3)=3a+b
5=3a+b
Isolando a em I a=3-b Substituindo em II
3(3-b)+b=5
9-3b+b=5
-2b=-4
b=2 Portanto, a=3-b a=3-2=1
Assim, f(x)=x+2
Função Quadrática ou Função do 2º grau
Em geral, uma função quadrática ou polinomial do se- gundo grau tem a seguinte forma:
f(x)=ax²+bx+c, onde a≠0
f(x)=a(x-x1)(x-x2)
É essencial que apareça ax² para ser uma função qua- drática e deve ser o maior termo.
Considerações
Concavidade
A concavidade da parábola é para cima se a>0 e para baixo se a<0
Discriminante(∆)
∆=b²-4ac
∆>0
 (
31
)A parábola y=ax²+bx+c intercepta o eixo x em dois pontos distintos, (x1,0) e (x2,0), onde x1 e x2 são raízes da equação ax²+bx+c=0
RACIOCÍNIO LÓGICO
∆=0
Quando	, a parábola y=ax²+bx+c é tangente ao eixo x, no ponto 
Repare que, quando tivermos o discriminante	, as duas raízes da equação ax²+bx+c=0 são iguais
∆<0
A função não tem raízes reais
Raízes
Vértices e Estudo do Sinal
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máxi- mo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são
. Veja os gráficos:
Equação Exponencial
É toda equação cuja incógnita se apresenta no expoen- te de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1.
Exemplo
Resolva a equação no universo dos números reais.
Solução
Função exponencial
A expressão matemática que define a função exponen- cial é uma potência. Nesta potência, a base é um número real positivo e diferente de 1 e o expoente é uma variável.
32
RACIOCÍNIO LÓGICO
Função crescente
Se temos uma função exponencial crescente, qualquer que seja o valor real de x.
No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. Graficamen- te vemos que a curva da função é crescente.
Função decrescente
Se temos uma função exponencial decrescente em todo o domínio da função.
Neste outro gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a cur- va da função é decrescente.
A Constante de Euler
É definida por :
e = exp(1)
O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:
Ln(e) = 1
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.
O valor deste número expresso com 10 dígitos decimais, é:
e = 2,7182818284
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é: ex = exp(x)
Propriedades dos expoentes
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então:
· ax ay= ax + y
· ax / ay= ax - y
· (ax) y= ax.y
· (a b)x = ax bx
· (a / b)x = ax / bx
· a-x = 1 / ax
 (
33
)Dado um número real x, o módulo de x, denotado por é igual a x se x≥0 e igual a –x se x<0.
RACIOCÍNIO LÓGICO
Equação Modular
Toda equação em que a variável aparece em módulo.
Sua solução é obtida aplicando-se a definição de módulo.
Exemplo
Solução
2x-4=x+2 X=6
2x-4=-x-2
3x=2 X=2/3 S={2/3, 6}
Inequação Modular
Para resolver uma inequação modular, empregamos ini- cialmente a propriedade seguinte, obtendo as inequações equivalentes de resoluções conhecidas.
Exemplo
Faça o gráfico da função f(x)=|x²-5x+4|
Solução
Primeiramente, fazemos o gráfico da função sem o mó- dulo:f(x)=x²-5x+4
O gráfico da função f(x)=|x²-5x+4| será
Exemplo
Resolva as inequações:
a)
b)
Solução
a) x≤-2 ou x≥2
S={x∈R| x≤-2 ou x≥2}
b)	-3<2x+5<3
-3-5<2x<3-5
-8<2x<-2
-4<x<-1
S={x∈R|-4<x<-1}
Função Modularfunção modular.
dada por f(x)=|x| denomina-se
Considerando-se dois números N e a reais e positivos, com a ≠1, existe um número c tal que:
A esse expoente c damos o nome de logaritmo de N
na base a
Ainda com base na definição podemos estabelecer con- dições de existência:
As principais características dessa função modular são:
-domínio:R
-imagem:R+
-
Exemplo
34
RACIOCÍNIO LÓGICO
 (
RAZÕES E PROPORÇÕES.
)Consequências da Definição
Propriedades
Razão
Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b (nessa ordem) o quociente a b, ou .
A razão é representada por um número racional, mas é lida de modo diferente.
Exemplos
3
a) A fração 5
3
b) A razão
5
lê-se: “três quintos”.
lê-se: “3 para 5”.
Os termos da razão recebem nomes especiais.
O número 3 é numerador
Mudança de Base
Exemplo
Dados log 2=0,3010 e log 3=0,4771, calcule: a)log 6
b) log1,5
c) log 16
a) Na fração
a) Na razão
Exemplo 1
O número 5 é denominador
 (
3
5
) (
3
5
)O número 3 é antecedente
O número 5 é consequente
A razão entre 20 e 50 é 20  2 ; já a razão entre 50 e
Solução
20 é 50  5 .
50	5
a)	Log6=log2⋅3=log2+log3=0,3010+0,4771=0,7781
b)	
c)
Função Logarítmica
Uma função	dada por , em que
20	2
Exemplo 2
Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. A
razão entre o número de rapazes e o número de moças é
18  3 , o que significa que para “cada 3 rapazes há 4 mo-
a constante a é positiva e diferente de 1, denomina-se fun-
24	4
ção logarítmica.
ças”. Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e o
total de alunos é dada por 18  3 , o que equivale a dizer
42	7
que “de cada 7 alunos na classe, 3 são rapazes”.
Razão entre grandezas de mesma espécie
A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.
Exemplo
 (
35
)Uma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupar o centro dessa sala mede 384 dm2. Vamos calcular a razão entre a área do tapete e a área da sala.
RACIOCÍNIO LÓGICO
Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma mesma unidade:
Área da sala: 18 m2 = 1 800 dm2
dio.
A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo mé-
A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve
Área do tapete: 384 dm2
Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever a razão:
acompanhar a razão.
Exemplo 4
384dm2
1800dm2
 384  16
1800	75
Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento é representado num desenho por 20 cm. Qual é a escala do desenho?
Razão entre grandezas de espécies diferentes
Exemplo 1
Escala  comprimento i no i desenho  20cm  20cm  1 ou1 : 40
Considere um carro que às 9 horas passa pelo quilôme- tro 30 de uma estrada e, às 11 horas, pelo quilômetro 170.
comprimento i real
8m	800cm	40
Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 km Tempo gasto: 11h – 9h = 2h
Calculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para isso:
140km  70km / h
A razão entre um comprimento no desenho e o corres- pondente comprimento real, chama-se Escala.
Proporção
A igualdade entre duas razões recebe o nome de pro- porção.
3  6 
2h	Na proporção 5	10 (lê-se: “3 está para 5 assim como
A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média. Observe que:
· as grandezas “quilômetro e hora” são de naturezas
diferentes;
· a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve
acompanhar a razão.
Exemplo 2
6 está para 10”), os números 3 e 10 são chamados extre- mos, e os números 5 e 6 são chamados meios.
Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao pro- duto 5 x 6 = 30, o que caracteriza a propriedade fundamen- tal das proporções:
“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.
Exemplo 1
A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de
Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927 286
km2 e uma população de 66 288 000 habitantes, aproxima-
Na proporção
2  6 , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18;
3	9
damente, segundo estimativas projetadas pelo Instituto Bra-
e em 1  4 , temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16.
sileiro de Geografia e Estatística (IBGE) para o ano de 1995.
Dividindo-se o número de habitantes pela área, obte-
4	16
remos o número de habitantes por km2 (hab./km2):
6628000  71, 5hab./ km2
927286
A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade de-
mográfica.
A notação hab./km2 (lê-se: ”habitantes por quilômetro quadrado”) deve acompanhar a razão.
Exemplo 3
Exemplo 2
Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do “peso” da criança.
Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada
por:
5gotas  x  x  30gotas
2kg	12kg
Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 L de gasolina. Dividindo-se o número de quilômetros percor- ridos pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro de gasolina:
83, 76km  10, 47km / l
8l
Por outro lado, se soubermos que foram corretamente ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu “peso” é 8 kg, pois:
5gotas  20gotas / p  p  8kg
2kg
(nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é co- mumente chamado de regra de três simples.)
36
RACIOCÍNIO LÓGICO
Propriedades da Proporção
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: essa propriedade possibilita reconhecer quando duas ra- zões formam ou não uma proporção.
Questões
1 - (VUNESP - AgSegPenClasseI-V1 - 2012) – Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. A razão do número de candidatos aprovados para o
4 e12
formam uma proporção, pois
total de candidatos participantes do concurso é:
3 9	A) 2/3
B) 3/5
Produtos dos extremos  4.9  3.12  Produtos dos
C) 5/10
meios.
36	36
D) 2/7
E) 6/7
A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).
5  10  ⎧ 5  2  10  4  7  14
2 
– (VNSP1214/001-AssistenteAdministrativo-I – 2012)
– Em uma padaria, a razão entre o número de pessoas que tomam café puro e o número de pessoas que tomam café
com leite, de manhã, é 2/3. Se durante uma semana, 180
⎨
2	4	⎩ 5
ou
10	5	10
pessoas tomarem café de manhã nessa padaria, e supondo que essa razão permaneça a mesma, pode-se concluir que o número de pessoas que tomarão café puro será:
A) 72
5  10  ⎧ 5  2  10  4  7  14
B) 
86
⎨
2	4	⎩ 2
4	2	4
C) 
94
D) 105
A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a dife- rença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).
E) 112
3 - (PREF. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SEGU- RANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN/2013) Num zooló-
4  8
4  3
 (

)
 8  6  1  2
gico, a razão entre o número de aves e mamíferos é igual à razão entre o número de anfíbios e répteis. Considerando
3	6	 4
ou
8	4	8
que o número de aves, mamíferos e anfíbios são, respecti- vamente, iguais a 39, 57 e 26, quantos répteis existem neste zoológico?
4	8	4  3
8  6	1	2
A) 
31
 (

)3  6   3		6  3  6
B) 
34
C) 36
A soma dos antecedentes está para a soma dos con- sequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.
 (
⎨
)12  3  ⎧12  3  12  15  12
D) 
38
E) 43
4 - (TRT - Técnico Judiciário) Na figura abaixo, os pon- tos E e F dividem o lado AB do retângulo ABCD em seg-
mentos de mesma medida.
8	2	⎩ 8  2	8
ou
10	8
12  3  ⎧12  3  3  15  3
 (
⎩
)8	2	⎨ 8  2	2	10	2
A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.
 3  1  ⎧ 3  1  3  2  3
A razão entre a área do triângulo (CEF) e a área do re-
 (
⎩
)15	5	⎨15  5	15	10	15
ou
tângulo é:
a) 1/8
b) 1/6
 (
⎨
) 3  1  ⎧ 3  1  1  2  1
c) 1/2
d) 2/3
 (
37
)15	5	⎩15  5	5	10	5
e) 3/4
RACIOCÍNIO LÓGICO
5 - (CREFITO/SP – ALMOXARIFE – VUNESP/2012) Na biblioteca de uma faculdade, a relação entre a quantidade de livros
e de revistas era de 1 para 4. Com a compra de novos exemplares, essarelação passou a ser de 2 para 3.
Assinale a única tabela que está associada corretamente a essa situação.
A)
	
	Nº de livros
	Nº de revistas
	Antes da compra
	50
	200
	Após a compra
	200
	300
B)
	
	Nº de livros
	Nº de revistas
	Antes da compra
	50
	200
	Após a compra
	300
	200
C)
	
	Nº de livros
	Nº de revistas
	Antes da compra
	200
	50
	Após a compra
	200
	300
D)
	
	Nº de livros
	Nº de revistas
	Antes da compra
	200
	50
	Após a compra
	300
	200
E)
	
	Nº de livros
	Nº de revistas
	Antes da compra
	200
	200
	Após a compra
	50
	300
6 - (CREFITO/SP – ALMOXARIFE – VUNESP/2012) Uma rede varejista teve um faturamento anual de 4,2 bilhões de reais com 240 lojas em um estado. Considerando que esse faturamento é proporcional ao número de lojas, em outro estado em que há 180 lojas, o faturamento anual, em bilhões de reais, foi de
A)	2,75
B)	2,95
C)	3,15
D)	3,35
E)	3,55
7 - (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. IMARUÍ/2014) De cada dez alunos de uma sala de aula, seis são do
sexo feminino. Sabendo que nesta sala de aula há dezoito alunos do sexo feminino, quantos são do sexo masculino?
A) Doze alunos.
B) Quatorze alunos.
C) Dezesseis alunos.
D) Vinte alunos.
8 - (TJ/SP – ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO – VUNESP/2013) Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados, sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos chegaram no horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de alunos que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e número de alunos que chegaram no horário, nessa ordem, foi de
A)	2:3
B)	1:3
C)	1:6
D)	3:4
E)	2:5
38
 (
39
)RACIOCÍNIO LÓGICO
9 - (PMPP1101/001-Escriturário-I-manhã – 2012) – A razão entre as idades de um pai e	de seu filho é hoje de 5/2.
Quando o filho nasceu, o pai tinha 21 anos. A idade do filho hoje é de
A) 10 anos
B) 12 anos
C) 14 anos
D) 16 anos
E) 18 anos
10 - (FAPESP – ANALISTA ADMINISTRATIVO – VUNESP/2012) Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o nú- mero de atendimentos a usuários internos e o número de atendimento total aos usuários (internos e externos), em um determinado dia, nessa ordem, foi de 3/5. Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total, o número de usuários atendidos foi
A)	84
B)	100
C)	217
D)	280
E)	350
Respostas
1 – Resposta “B”
2 – Resposta “A”
Sejam CP e CL o número de pessoas que consumiram café puro e café com leite respectivamente. Como na semana o número total de pessoas que consumiram café foi de 180, temos que:
CP+CL = 180
A relação encontrada entre eles é de	;	assim aplicando a propriedade da proporção teremos:
	 180.2 = CP.5  CP =	 CP = 72
3 - RESPOSTA: “D”
Aplicando-se o produto dos meios pelos extremos temos:
 
RACIOCÍNIO LÓGICO
4 - Resposta “B”
5 - RESPOSTA: “A”
Para cada 1 livro temos 4 revistas
Significa que o número de revistas é 4x o número de livros.
50 livros: 200 revistas Depois da compra
2 livros :3 revistas
200 livros: 300 revistas
6 - RESPOSTA: “C”
 
240.x = 4,2.180 → 240x = 756 → x = 3,15 bilhões
7 - RESPOSTA: “A”
Como 6 são do sexo feminino, 4 são do sexo masculino(10-6 = 4) .Então temos a seguinte razão:
 6x = 72  x = 12
8- RESPOSTA: “C”
Se 2/5 chegaram atrasados
chegaram no horário
tiveram mais de 30 minutos de atraso
 
9 – RESPOSTA: “C”
A razão entre a idade do pai e do filho é respectivamente	, se quando o filho nasceu o pai tinha 21, significa que hoje o pai tem x + 21 , onde x é a idade do filho. Montando a proporção teremos:
 
 
40
RACIOCÍNIO LÓGICO
10 - RESPOSTA: “E”
Usuários internos: I
Usuários externos : E
 5I = 3I+420 2I = 420 I = 210
I+E = 210+140 = 350
 (
PORCENTAGEM E REGRA DE TRÊS.
)
PORCENTAGEM
É uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.
Deste modo, a fração 50 é uma porcentagem que
Assim, podemos escrever:
Preço de custo + lucro = preço de venda Preço de custo – prejuízos = preço de venda
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo. 100% Lucro sobre a venda = lucro/preço de venda. 100%
Observação: A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.
Exemplo
Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00.
Pede-se:
· o lucro obtido na transação;
· a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;
· a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.
Resposta:
podemos representar por 501%00.
Forma Decimal: É comum representarmos uma
Lucro = 800 – 500 = R$ 300,00
 (
c
)L = 300 = 0,60 = 60%
500
porcentagem na forma decimal, por exemplo, 35% na
L = 300 = 0,375 = 37,5%
forma decimal seriam representados por 0,35.
75% = 75 = 0,75
v	800
Aumento
100
Cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma
Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial
V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor.
Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor após o
porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a fração por V.
p
100
aumento. Então, A = p% de V =
p . V
100
P% de V =
p
 (
. 
V
)100
VA = V + A = V +
p . V
100
Exemplo 1
VA = ( 1 +
p
 (
) . 
V
) (
100
)100
23% de 240 =
Exemplo 2
23 . 240 = 55,2
100
Em que (1 +
p ) é o fator de aumento.
Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa?
67
Desconto
Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor após o
desconto. Então, D = p% de V = p . V
Resolução: 67% de 56 000 =
Resposta: 37 520 pessoas.
100
.56000  37520
VD = V – D = V –
p . V
100
100
Porcentagem que o lucro representa em relação ao preço de custo e em relação ao preço de venda
VD = (1 –
p ) . V
100
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o
Em que (1 –
Exemplo
p ) é o fator de desconto.
100
preço de custo.
Lucro = preço de venda – preço de custo
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de
 (
41
)prejuízo.
Uma empresa admite um funcionário no mês de janeiro sabendo que, já em março, ele terá 40% de aumento. Se a empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de março, seja R$ 3 500,00, com que salário deve admiti-lo?
RACIOCÍNIO LÓGICO
Resolução: VA = 1,4 . V
3 500 = 1,4 . V
V = 3500  2500
1,4
Resposta: R$ 2 500,00
Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor inicial V, e vamos considerar que ele irá sofrer dois
aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor após o primeiro aumento, temos:
V1 = V . (1 +
p1 )
100
Sendo V2 o valor após o segundo aumento, temos:
V2 = V1 . (1 +
p2 )
100
V2 = V . (1 +
p1 ) . (1 +
100
p2 )
100
Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p1% e p2%.
 (
1
)Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, temos: V = V. (1 – p1 )
100
Sendo V2 o valor após o segundo desconto, temos:
V2 = V1
. (1 –
p2 )
100
V2 = V . (1 – p1 ) . (1 –
100
p2 )
100
Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer um aumento de p1% e, sucessivamente, um desconto de p2%.
Sendo V1 o valor após o aumento, temos:
V = V . (1+ p1 )
1	100
Sendo V2 o valor após o desconto, temos:
V2 = V1 . (1 –
p2 )
100
V2 = V . (1 + p1 ) . (1 –
100
p2 )
100
Exemplo
(VUNESP-SP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, são:
	p n
Resolução: VA = 1  100  .v

 (

)VA = 1.


15  n
 .1000
100 
VA = 1 000 . (1,15)n
VA = 1 000 . 1,15n VA = 1 150,00n
QUESTÕES
1 - (PREF. AMPARO/SP – AGENTEESCOLAR – CONRIO/2014) Se em um tanque de um carro for misturado 45 litros de etanol em 28 litros de gasolina, qual será o percentual aproximado de gasolina nesse tanque?
A) 38,357%
B) 38,356%
C) 38,358%
D) 38,359%
42
RACIOCÍNIO LÓGICO
2 - (CEF / Escriturário) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é :
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
3 - (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Observe a tabela que indica o consumo mensal de uma mesma torneira da pia de uma cozinha, aberta meia volta por um minuto, uma vez ao dia.
Em relação ao cosumo mensal da torneira alimentada pela água da rua, o da torneira alimentada pela água da caixa representa, aproximadamente,
A) 20%
B) 26%
C) 30%
D) 35%
E) 40%
4 - (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) O preço de uma mercadoria, na loja J, é de R$ 50,00. O dono da loja J resolve reajustar o preço dessa mercadoria em 20%. A mesma mercadoria, na loja K, é vendida por R$ 40,00. O dono da loja K resolve reajustar o preço dessa mercadoria de maneira a igualar o preço praticado na loja J após o reajuste de 20%. Dessa maneira o dono da loja K deve reajustar o preço em
A) 20%.
B) 50%.
C) 10%.
D) 15%.
E) 60%.
5 - (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) O preço de venda de um produto, des- contado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de venda é superior ao de compra?
A) 67%.
B) 61%.
C) 65%.
D) 63%.
E) 69%.
6 - (DPE/SP – AGENTE DE DEFENSORIA PÚBLICA – FCC/2013) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o preço de venda desse produto em sua loja, o comerciante decidiu que o valor deveria ser sufi- ciente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e ainda assim garantir lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas condições, o preço que o comerciante deve vender essa mercadoria é igual a
A) R$ 620,00.
B) R$ 580,00.
C) R$ 600,00.
D) R$ 590,00.
E) R$ 610,00.
7 - (DPE/SP – AGENTE DE DEFENSORIA PÚBLICA – FCC/2013) Uma bolsa contém apenas 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Sorteando ao acaso uma bola dessa bolsa, a probabilidade de que ela seja preta é
A) maior do que 55% e menor do que 60%.
B) menor do que 50%.
C) maior do que 65%.
D) maior do que 50% e menor do que 55%.
E) (
43
)maior do que 60% e menor do que 65%.
RACIOCÍNIO LÓGICO
8 - PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYA- MA/2013) Das 80 crianças que responderam a uma en- quete referente a sua fruta favorita, 70% eram meninos.
Dentre as meninas, 25% responderam que sua fruta favori- ta era a maçã. Sendo assim, qual porcentagem representa, em relação a todas as crianças entrevistadas, as meninas que têm a maçã como fruta preferida?
A) 10%
B) 1,5%
C) 25%
1 - RESPOSTA: “B”.
Mistura:28+45=73 73	100%
28	x
X=38,356%
2 - RESPOSTA “C”.
12 horas → 100 %
RESPOSTAS
D) 7,5%
E) 5%
9 - (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014)
Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a seguinte
promoção:
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embala- gens completas foi:
A) R$33,60
B) R$28,60
C) R$26,40
D) R$40,80
E) R$43,20
10 - (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014)
Leilão de veículos apreendidos do Detran aconteceu no dia 7 de dezembro.
O Departamento Estadual de Trânsito de Sergipe – De- tran/SE – realizou, no dia 7 de dezembro, sábado, às 9 ho- ras, no Espaço Emes, um leilão de veículos apreendidos em fiscalizações de trânsito. Ao todo foram leiloados 195 veí- culos, sendo que 183 foram comercializados como sucatas e 12 foram vendidos como aptos para circulação.
Quem arrematou algum dos lotes disponíveis no leilão pagou 20% do lance mais 5% de comissão do leiloeiro no ato da arrematação. Os 80% restantes foram pagos impre- terivelmente até o dia 11 de dezembro.
Fonte: http://www.ssp.se.gov.br05/12/13 (modificada).
Vitor arrematou um lote, pagou o combinado no ato da arrematação e os R$28.800,00 restantes no dia 10 de dezembro. Com base nas informações contidas no texto, calcule o valor total gasto por Vitor nesse leilão.
A) R$34.600,00
B) R$36.000,00
C) R$35.400,00
D) R$32.000,00
E) R$37.800,00
50 % de 12 horas =	= 6 horas
X = 12 horas → 100 % = total de horas trabalhado
Y = 50 % mais rápido que X.
Então, se 50% de 12 horas equivalem a 6 horas, logo Y faz o mesmo trabalho em 6 horas.
3 - RESPOSTA: “B”.
4 - RESPOSTA: “B”.
O reajuste deve ser de 50%. 5 - RESPOSTA: “A”.
Preço de venda: PV
Preço de compra: PC
Note que: 1,4 = 100%+40% ou 1+0,4.Como ele supe- rou o preço de venda (100%) em 40% , isso significa soma aos 100% mais 40%, logo 140%= 1,4.
PV - 0,16PV = 1,4PC 0,84PV=1,4PC
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra.
6 - RESPOSTA: “C”.
Preço de venda: PV Preço de compra: 350
30% de desconto, deixa o produto com 70% do seu valor.
Como ele queria ter um lucro de 20% sobre o preço de compra, devemos multiplicar por 1,2(350+0,2.350) ➜ 0,7PV = 1,2 . 350
O preço de venda deve ser R$600,00.
44
RACIOCÍNIO LÓGICO
7 - RESPOSTA: “A”.
Ao todo tem 12 bolas, portanto a probabilidade de se tirar uma preta é:
8 - RESPOSTA: “D”.
Tem que ser menina E gostar de maçã. Meninas:100-70=30%
 , simplificando temos ➜
P = 0,075 . 100% = 7,5%.
9 - RESPOSTA: “A”.
Distância (km)	Litros de álcool 180		15
210	x
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha:
Distância (km)	Litros de álcool 180		15
210	x
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No es- quema que estamos montando, indicamos esse fato colo- cando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de álcool”:
Distância (km)	Litros de álcool 180		15
210	x
mesmo sentido
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:
 (
15
x
)1806 	6x = 7 . 15	6x = 105	x = 105	x
O lucro de Alexandre foi de R$33,60.
2107
= 17,5	6
10 - RESPOSTA: “E”.
R$28.800	80%
x	100%
Valor total: R$36.000,00+R$1.800,00=R$37.800,00
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Os problemas que envolvem duas grandezas direta- mente ou inversamente proporcionais podem ser resol- vidos através de um processo prático, chamado regra de três simples.
Exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?
Solução:
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool.
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser
consumido.
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha:
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool.
Exemplo 2: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, eu gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?
Solução: Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos:
Velocidade (km/h)	Tempo (h)
60	4
80	x
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha:
Velocidade (km/h)	Tempo (h)
60	4
80	x
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”:
Velocidade (km/h)	Tempo (h) 60		4
80	x
 (
45
)sentidos contrários
RACIOCÍNIO LÓGICO
 (
4
 

 
80
4
x
60
3
)Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos:
12
o x.
Comparemos cada grandeza com aquela em que está
As	grandezas	peças	e	dias	são	diretamente
4x = 4 . 34x = 12	x =
4
Resposta: Farei esse percurso em 3 h.
x = 3
proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”:
Exemplo 3: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso?
Vamos representar pela letra x o tempo procurado.
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 s e x s).
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três.
	Velocidade
	Tempo gasto para fazer o percurso
	200 km/h
	18 s
	240 km/h
	x
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; logo,
as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os
Máquinas	Peças	Dias 8	160		4
6	300	x
Mesmo sentido
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”:
Máquinas	Peças	Dias
8	160	4
6	300	x
Sentidos contrários
Agora vamos mon4tar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é x , com o produto das outras razões,
 (
160
8
1
300
15
5
) (
8
) (

) (

)obtidas segundo a orientação das flechas  6 . 160  :
 
números 200 e 240 são inversamente proporcionais aos
números 18 e x. Daí temos:
200 . 18 = 240 . x
4 
 (
6
2
8
1
)x
4  2
.
=> 2x = 4 . 5	a	x =
	300 
 (
4
2
.5
2
1
)=>	x = 10
3 600 = 240x	x	5
240x = 3 600
x = 3600
x = 15
240
Resposta: Em 10 dias.
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andan- do em 200 km/h, teria gasto 18 segundos para realizar o percurso.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta.
Exemplo 1: Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 dessas peças?
Solução: Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha:
Máquinas	Peças	Dias
8	160	4
6	300	x
Exemplo 2: Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto?
Solução: Em de ano foi pavimentada de estrada.
Comparemos cada grandeza com aquela em que está
o x.
Sentido contrário
As grandezas “pessoas” e “tempo” são inversamente proporcionais (duplicando o número de pessoas, o tem- po fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “tempo” uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “pessoas”:
46
RACIOCÍNIO LÓGICO
As grandezas “pessoas” e “estrada” são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colo- cando-se na coluna “estrada” uma flecha no mesmo senti- do da flecha da coluna “pessoas”:
Como já haviam 210 pessoas trabalhando, logo 315 – 210 = 105 pessoas.
Reposta: Devem ser contratados 105 pessoas.
Questões
1 – (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPE-
RACIONAL – VUNESP/2013) Um atleta está treinando para fazer 1 500 metros em 5 minutos. Como ele pretende manter um ritmo sempre constante, deve fazer cada 100 metros em
A) 15 segundos.
B) 20 segundos.
C) 22 segundos.
D) 25 segundos.
E) 30 segundos.
2 – (SAP/SP – AGENTE DE SEGURANÇA PENITEN- CIÁRIA DE CLASSE I – VUNESP/2013) Uma máquina de-
mora 1 hora para fabricar 4 500 peças. Essa mesma máqui-
na, mantendo o mesmo funcionamento, para fabricar 3 375 dessas mesmas peças, irá levar
A) 55 min.
B) 15 min.
C) 35 min.
D) 1h 15min.
E) 45 min.
3 - (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF.
IMARUÍ/2014) Manoel vendeu seu carro por R$27.000,00(- vinte e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do tal veículo, por quanto Manoel adquiriu o carro em questão?
A) R$24.300,00
B) R$29.700,00
 (
47
)C) R$30.000,00 D)R$33.000,00 E) R$36.000,00
4 
- (DNOCS -2010) Das 96 pessoas que participaram de uma festa de Confraternização dos funcionários do De- partamento Nacional de Obras Contra as Secas, sabe-se que 75% eram do sexo masculino. Se, num dado momento antes do término da festa, foi constatado que a porcen- tagem dos homens havia se reduzido a 60% do total das pessoas presentes, enquanto que o número de mulheres permaneceu inalterado, até o final da festa, então a quanti- dade de homens que haviam se retirado era?
A) 36.
B) 38.
C) 40.
D) 42.
E) 44.
5 - (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Em uma ma-
quete, uma janela de formato retangular mede 2,0 cm de largura por 3,5 cm de comprimento. No edifício, a largura real dessa janela será de 1,2 m. O comprimento real corres- pondente será de:
A) 1,8 m
B) 1,35 m
C) 1,5 m
D) 2,1 m
E) 2,45 m
6 - (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO AD-
MINISTRATIVO – FCC/2014) O trabalho de varrição de
6.00 m² de calçada é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. Mantendo-se as mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em um dia, trabalhando por dia, o tempo de
A) 8 horas e 15 minutos.
B) 9 horas.
C) 7 horas e 45 minutos.
D) 7 horas e 30 minutos.
E) 5 horas e 30 minutos.
7 – (PREF. CORBÉLIA/PR – CONTADOR – FAUEL/2014)
Uma equipe constituída por 20 operários, trabalhando 8 horas por dia durante 60 dias, realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². Se essa equipe fosse constituída por 15 operários, trabalhando 10 horas por dia, durante 80 dias, faria o calçamento de uma área igual a:
A) 4500 m²
B) 5000 m²
C) 5200 m²
D) 6000 m²
E) 6200 m²
8 – (PC/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VU- NESP/2014) Dez funcionários de uma repartição traba- lham 8 horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender o
mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será:
RACIOCÍNIO LÓGICO
A) 29.
B) 30.
C) 33.
D) 28.
E) 31.
9 - (TRF 3ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2014) Sa-
be-se que uma máquina copiadora imprime 80 cópias em 1 minuto e 15 segundos. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras, de mesma capacidade que a primei- ra citada, possam imprimir 3360 cópias é de
A) 15 minutos.
B) 3 minutos e 45 segundos.
C) 7 minutos e 30 segundos.
D) 4 minutos e 50 segundos.
E) 7 minutos.
10 – (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYA-
MA/2013) Os 5 funcionários de uma padaria produzem, utilizando três fornos, um total de 2500 pães ao longo das 10 horas de sua jornada de trabalho. No entanto, o dono de tal padaria pretende contratar mais um funcionário, comprar mais um forno e reduzir a jornada de trabalho de seus funcionários para 8 horas diárias. Considerando que todos os fornos e funcionários produzem em igual quan- tidade e ritmo, qual será, após as mudanças, o número de pães produzidos por dia?
A) 2300 pães.
B) 3000 pães.
C) 2600 pães.
D) 3200 pães.
E) 3600 pães.
Respostas
1- RESPOSTA: “B”
Como as alternativas estão em segundo, devemos tra- balhar com o tempo em segundo.
1 minuto = 60 segundos ; logo 5minutos = 60.5 = 300 segundos
Metro Segundos 1500	300
100	x
Como estamos trabalhando com duas grandezas dire- tamente proporcionais temos:
Como estamos trabalhando com duas grandezas dire- tamente proporcionais temos:
4500.x = 3375.1 ➜ x = 0,75 h
Como a resposta esta em minutos devemos achar o correspondente em minutos
Hora Minutos 1	60
0,75	x
1.x = 0,75.60 ➜ x = 45 minutos.
3. RESPOSTA : “C”
Como ele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é 90% do valortotal.
Valor % 27000	90
X	100
= 27000.10 ➜ 9x = 270000
➜ x = 30000.
4. RESPOSTA : “A”
75% Homens = 72
25% Mulheres = 24	Antes
40% Mulheres = 24
60% Homens =	x	Depois
40% -------------- 24
60% 	x
40x = 60 . 24 ➜ x = ➜ x = 36.
Portanto: 72 – 36 = 36 Homens se retiraram.
5. RESPOTA: “D”
Transformando de cm para metro temos : 1 metro = 100cm
➜ 2 cm = 0,02 m e 3,5 cm = 0,035 m Largura	comprimento
0,02m	0,035m
1,2m 	x
15.x = 300.1 ∪ 15x = 300 ∪ x = 20 segundos
2- RESPOSTA: “E”.
Peças Tempo 4500	1 h
3375	x
o x.
6. - RESPOSTA: “D”.
Comparando- se cada grandeza com aquela onde esta
M²↑	varredores↓	horas↑
6000--------------18	5
7500--------------15	x
48
RACIOCÍNIO LÓGICO
Quanto mais a área, mais horas(diretamente propor- cionais)
Quanto menos trabalhadores, mais horas(inversamen- te proporcionais)
Como 0,5 h equivale a 30 minutos , logo o tempo será de 7 horas e 30 minutos.
7 - RESPOSTA: “D”.
Operários↑	horas↑	dias↑	área↑
20-----------------8-------------60-------4800
15----------------10------------80	x
Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo:
8- RESPOSTA: “B”
Temos 10 funcionários inicialmente, com os afastamen- to esse número passou para 8. Se eles trabalham 8 horas por dia , passarão a trabalhar uma hora a mais perfazendo um total de 9 horas, nesta condições temos:
Funcionários↑ horas↑ dias↓
10---------------8--------------27
8----------------9	x
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser tra- balhados (inversamente proporcionais).
Quanto mais horas por dia, menos dias devem ser tra- balhados (inversamente proporcionais).
Funcionários↓	horas↓	dias↓
8---------------9-------------- 27
10----------------8	x
➜ x.8.9 = 27.10.8 ➜ 72x = 2160 ➜ x =
30 dias.
9 - RESPOSTA: “C”.
Transformando o tempo para segundos: 1 min e 15 se- gundos = 75 segundos
Quanto mais máquinas menor o tempo (flecha con- trária) e quanto mais cópias, mais tempo (flecha mesma posição)
Máquina↑	cópias↓	tempo↓
1----------------80	75 segundos
7--------------3360	x
Devemos deixar as 3 grandezas da mesma forma, in- vertendo os valores de” máquina”.
Máquina↓	cópias↓	tempo↓
7----------------80	75 segundos
1--------------3360	x
 ➜ x.7.80 = 75.1.3360 ➜ 560x = 252000
➜ x = 450 segundos
Transformando
1minuto	60segundos
x	450
x=7,5 minutos=7 minutos e 30segundos.
10 - RESPOSTA: “D”.
Funcionários↑	Fornos ↑	pães ↑	horas↑
5--------------------3-----------2500----------10
6--------------------4-------------x	8
As flecham indicam se as grandezas são inversamente
ou diretamente proporcionais.
Quanto mais funcionários mais pães são feitos(direta- mente)
 (
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM E PROBABILIDADE.
ARRANJOS E PERMUTAÇÕES. 
COMBINAÇÕES
)
Análise Combinatória
 (
49
)Análise combinatória é uma parte da matemática que estuda, ou melhor, calcula o número de possibilidades, e estuda os métodos de contagem que existem em acertar algum número em jogos de azar. Esse tipo de cálculo nasceu no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), chamado também de Tartaglia. Depois, apareceram os franceses Pierre de Fermat (1601- 1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A análise desenvolve métodos que permitem contar, indiretamente, o número de elementos de um conjunto. Por exemplo, se quiser saber
RACIOCÍNIO LÓGICO
quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. Veja quais propriedades existem:
· Princípio fundamental da contagem
· Fatorial
· Arranjos simples
· Permutação simples
· Combinação
· Permutação com elementos repetidos
Princípio fundamental da contagem: é o mesmo que a Regra do Produto, um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes:
· O primeiro estágio pode ocorrer de m modos
distintos.
· O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos.
Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m . n
Exemplo: Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente ela quer se decidir qual o modelo e a cor do seu novo veículo. Na concessionária onde Alice foi há 3 tipos de modelos que são do interesse dela: Siena, Fox e Astra, sendo que para cada carro há 5 opções de cores: preto, vinho, azul, vermelho e prata. Qual é o número total de opções que Alice poderá fazer?
Resolução: Segundo o Principio Fundamental da Contagem, Alice tem 3×5 opções para fazer, ou seja,ela poderá optar por 15 carros diferentes. Vamos representar as 15 opções na árvore de possibilidades:
Generalizações: Um acontecimento é formado por k estágios sucessivos e independentes, com n1, n2, n3, … , nk possibilidades para cada. O total de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento é n1, n2, n3, … , nk
Técnicas de contagem: Na Técnica de contagem não
importa a ordem.
Considere A = {a; b; c; d; …; j} um conjunto formado por 10 elementos diferentes, e os agrupamentos ab, ac e ca”.
ab e ac são agrupamentos sempre distintos, pois se diferenciam pela natureza de um dos elemento.
ac e ca são agrupamentos que podem ser considerados distintos ou não distintos pois se diferenciam somente pela ordem dos elementos.
Quando os elementos de um determinado conjunto A forem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, …, 9}, e com estes algarismos pretendemos obter números, neste caso, os agrupamentos de 13 e 31 são considerados distintos, pois indicam números diferentes.
Quando os elementos de um determinado conjunto A forem pontos, A = {A1, A2, A3, A4, A5…, A9}, e com estes pontos pretendemos obter retas, neste caso os agrupamentos são iguais, pois indicam a mesma reta.
Conclusão: Os agrupamentos...
1. Em alguns problemas de contagem, quando os agrupamentos se diferirem pela natureza de pelo menos um de seus elementos, os agrupamentos serão considerados distintos.
ac = ca, neste caso os agrupamentos são denominados combinações.
Pode ocorrer: O conjunto A é formado por pontos e o problema é saber quantas retas esses pontos determinam.
2. Quando se diferir tanto pela natureza quanto pela ordem de seus elementos, os problemas de contagem serão agrupados e considerados distintos.
ac ≠ ca, neste caso os agrupamentos são denominados
arranjos.
Pode ocorrer: O conjunto A é formado por algarismos e o problema é contar os números por eles determinados.
Fatorial: Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808. A função fatorial é normalmente definida por:
Por exemplo, 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120
50
RACIOCÍNIO LÓGICO
Note que esta definição implica em particular que 0!
= 1, porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor, pois este faz com que a função recursiva (n + 1)! = n! . (n + 1) funcione para n = 0.
Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial.
Arranjos simples: são agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Seja A um conjunto com n elementos e k um natural menor ou igual a n. Os arranjos simples k a k dos n elementos de A, são os agrupamentos, de k elementos distintos cada, que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus elementos.
Cálculos do número de arranjos simples:
Na formação de todos os arranjos simples dos n
elementos de A, tomados k a k:
n → possibilidades na escolha do 1º elemento.
n - 1 → possibilidades na escolha do 2º elemento, pois
um deles já foi usado.
n - 2 → possibilidades na escolha do 3º elemento, pois
dois deles já foi usado.
.
n - (k - 1) → possibilidades na escolha do kº elemento,
pois l-1 deles já foi usado.No Princípio Fundamental da Contagem (An, k), o número total de arranjos simples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:
An,k = n (n - 1) . (n - 2) (n – k + 1)
(é o produto de k fatores)
Multiplicando e dividindo por (n – k)!
Note que n (n – 1) . (n – 2).	(n – k + 1) . (n – k)! = n!
Podemos também escrever
Permutações: Considere A como um conjunto com n elementos. Os arranjos simples n a n dos elementos de A, são denominados permutações simples de n elementos. De acordo com a definição, as permutações têm os mesmos elementos. São os n elementos de A. As duas permutações diferem entre si somente pela ordem de seus elementos.
Cálculo do número de permutação simples:
O número total de permutações simples de n elementos indicado por Pn, e fazendo k = n na fórmula An,k = n (n – 1) (n – 2) . … . (n – k + 1), temos:
Pn = An,n= n (n – 1) (n – 2) . … . (n – n + 1) = (n – 1) (n – 2) . … .1 = n!
Portanto: Pn = n!
Combinações Simples: são agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Considere A como um conjunto com n elementos k um natural menor ou igual a n. Os agrupamentos de k elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos são denominados combinações simples k a k, dos n elementos de A.
Exemplo: Considere A = {a, b, c, d} um conjunto com elementos distintos. Com os elementos de A podemos formar 4 combinações de três elementos cada uma: abc – abd – acd – bcd
Se trocarmos ps 3 elementos de uma delas: Exemplo: abc, obteremos P3 = 6 arranjos disdintos.
	abc
	abd
	acd
	bcd
	acb
	
	
	
	bac
	
	
	
	bca
	
	
	
	cab
	
	
	
	cba
	
	
	
Se trocarmos os 3 elementos das 4 combinações obtemos todos os arranjos 3 a 3:
	abc
	abd
	acd
	bcd
	acb
	adb
	adc
	bdc
	bac
	bad
	cad
	cbd
	bca
	bda
	cda
	cdb
	cab
	dab
	dac
	dbc
	cba
	dba
	dca
	dcb
 (
51
)(4 combinações) x (6 permutações) = 24 arranjos Logo: C4,3 . P3 = A4,3
RACIOCÍNIO LÓGICO
Cálculo do número de combinações simples: O número total de combinações simples dos n elementos de A representados por C n,k, tomados k a k, analogicamente ao exemplo apresentado, temos:
a) Trocando os k elementos de uma combinação k a k, obtemos Pk arranjos distintos.
b) Trocando os k elementos das Cn,k . Pk arranjos
distintos.
Portanto: Cn,k . Pk = An,k	ou
C	= An,k
QUESTÕES
01. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 8?
02. Organiza-se um campeonato de futebol com 14 clubes, sendo a disputa feita em dois turnos, para que cada clube enfrente o outro no seu campo e no campo deste. O
 (
P
)n,k
k
número total de jogos a serem realizados é:
(A)182
Lembrando que:
Também pode ser escrito assim:
Arranjos Completos: Arranjos completos de n elementos, de k a k são os arranjos de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular os arranjos completos, deve-se levar em consideração os arranjos com elementos distintos (arranjos simples) e os elementos repetidos. O total de arranjos completos de n elementos, de k a k, é indicado simbolicamente por A*n,k dado por: A*n,k = nk
Permutações com elementos repetidos Considerando:
α elementos iguais a a, β elementos iguais a b,
γ elementos iguais a c, …, λ elementos iguais a l,
Totalizando em α + β + γ + … λ = n elementos.
Simbolicamente representado por Pnα, β, γ, …, λ o número de permutações distintas que é possível formarmos com os n elementos:
	
Combinações Completas: Combinações completas de n elementos, de k a k, são combinações de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular as combinações completas devemos levar em consideração as combinações com elementos distintos (combinações simples) e as combinações com elementos repetidos. O total de combinações completas de n elementos, de k a k, indicado por C*n,k
(B) 91 (C)169 (D)196 (E)160
03. Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco A, B, C, D e E, seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se entre as letras puder haver repetição, mas se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas possíveis é:
(A) 78.125
(B) 7.200
(C) 15.000
(D) 6.420
(E) 50
04. (UFTM) – João pediu que Cláudia fizesse cartões com todas as permutações da palavra AVIAÇÃO. Cláudia executou a tarefa considerando as letras A e à como diferentes, contudo, João queria que elas fossem consideradas como mesma letra. A diferença entre o número de cartões feitos por Cláudia e o número de cartões esperados por João é igual a
(A) 720 (B) 1.680 (C) 2.420 (D) 3.360 (E) 4.320
05. (UNIFESP) – As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é
(A) PROVA.
(B) VAPOR.
(C) RAPOV.
(D) ROVAP.
(E) RAOPV.
06. (MACKENZIE) – Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O número de possíveis comissões é:
52
RACIOCÍNIO LÓGICO
(A) 66
(B) 72
(C) 90
(D) 120
(E) 124
07. (ESPCEX) – A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática composto
03.
 (
Algarismos
)Letras
de 5 questões sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas maneiras distintas a equipe pode montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3 de retas?
(A) 80
(B) 96
(C) 240
(D) 640 (E) 1.280
08. Numa clínica hospitalar, as cirurgias são sempre assistidas por 3 dos seus 5 enfermeiros, sendo que, para uma eventualidade qualquer, dois particulares enfermeiros, por serem os mais experientes, nunca são escalados para trabalharem juntos. Sabendo-se que em todos os grupos participa um dos dois enfermeiros mais experientes, quantos grupos distintos de 3 enfermeiros podem ser formados?
(A) 06
(B) 10
(C) 12
(D) 15
(E) 20
09. Seis pessoas serão distribuídas em duas equipes para concorrer a uma gincana. O número de maneiras diferentes de formar duas equipes é
(A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 25
(E) 30
10. Considere os números de quatro algarismos do sistema decimal de numeração. Calcule:
a) quantos são no total;
b) quantos não possuem o algarismo 2;
c) em quantos deles o algarismo 2 aparece ao menos uma vez;
d) quantos têm os algarismos distintos;
e) quantos têm pelo menos dois algarismos iguais.
Resoluções
 (
 
)01.
02. O número total de jogos a serem realizados é A14,2
 (
53
)= 14 . 13 = 182.
As três letras poderão ser escolhidas de 5 . 5 . 5 =125 maneiras.
Os quatro algarismos poderão ser escolhidos de 5 . 4 .
3 . 2 = 120 maneiras.
O número total de senhas distintas, portanto, é igual a 125 . 120 = 15.000.
04.
I) O número de cartões feitos por Cláudia foi
II) O número de cartões esperados por João era
Assim, a diferença obtida foi 2.520 – 840 = 1.680
05. Se as permutações das letras da palavra PROVA forem listadas em ordem alfabética, então teremos:
P4 = 24 que começam por A P4 = 24 que começam por O P4 = 24 que começam por P
A 73.ª palavra nessa lista é a primeira permutação que começa por R. Ela é RAOPV.
06. Se, do total de 10 diretores, 6 estão sob suspeita de corrupção, 4 não estão. Assim, para formar uma comissão de 5 diretores na qual os suspeitos não sejam maioria, podem ser escolhidos, no máximo, 2 suspeitos. Portanto, o número de possíveis comissões é
 
07. C5,3 . C4,2 . C4,3 = 10 . 6 . 4 = 240
08.
I) Existem 5 enfermeiros disponíveis: 2 mais experientes
e outros 3.
II) Para formar grupos com 3 enfermeiros, conforme o enunciado, devemos escolher 1 entre os 2 mais experientes e 2 entre os 3 restantes.
III) O número de possibilidades para se escolher 1 entre
os 2 mais experientes é
RACIOCÍNIO LÓGICO
IV) O número de possibilidades para se escolher 2
entre 3 restantes é
V) Assim, o número total de grupos que podem ser formados é 2 . 3 = 6
09. 
10.
a) 9. A*10,3 = 9 . 103 = 9 . 10 . 10 . 10 = 9000
b) 8 . A*9,3 = 8 . 93 = 8 . 9 . 9 . 9 = 5832
c) (a) – (b): 9000 – 5832 = 3168
d) 9 . A9,3 = 9 . 9 . 8 . 7 = 4536
e) (a) – (d): 9000 – 4536 = 4464
Binômio de Newton
Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da
forma (a + b)n , sendo n um número natural .
Exemplo:
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21
a2b5 + 7 ab6 + b7
Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º ter- mo (21 a2b5) ?
Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multipli- camos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5.
Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto ter- mo, conforme se vê acima.
Observações:
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um poli- nômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos equidistantes dos extre- mos , no desenvolvimento De (a + b)n são iguais .
4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .
Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton
Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n
, sendo p um número natural, é dado por
B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).
Tp1
 ⎛⎜ n ⎞⎟ .anp.b p
 (
⎝
⎠
p
)Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton
:
onde
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
⎛ n ⎞ 
 (
⎜
⎟
C
)⎝ p ⎠
n. p
n!	
p!(n  p)!
b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
Nota:
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão ve- jamos:
Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memori- zação:
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) aci- ma teríamos:
5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo an- terior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a de- cresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2).
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do
binômio de Newton (a + b)7 será:
é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p.
Este número é também conhecido como Número
Combinatório.
Probabilidade
Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento
Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos considerar:
Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis.
Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o número de elementos do espaço amostra por n(S).
Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral; será representado por A e o número de elementos do evento por n(A).
Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos.
Ø = evento impossível. S = evento certo.
54
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conceito de Probabilidade
As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos A e o número de elemento S. Representando:
Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, temos:
· um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
· um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6} C S.
· o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3.
· a probabilidade do evento número par é 1/2, pois
Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio
· Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1.
· Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
· Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A)
= 1 - P(A).
Demonstração das Propriedades
Considerando S como um espaço finito e não vazio,
temos:
União de Eventos
Considere A e B como dois eventos de um espaço
amostral S, finito e não vazio, temos:
 (
A
B
S
)
Logo: P(A	B) = P(A) + P(B) - P(A	B)
Eventos Mutuamente Exclusivos
 (
A
B
S
)
Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso temos, analogicamente:
P(A1 A2 A3 … An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An)
Eventos Exaustivos
Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos se A1 A2 A3 … An = S
Então, logo:
 (
55
)Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Probabilidade Condicionada
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É representada por P(B/A).
Veja:
Eventos Independentes
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente quando:
P(A/N) = P(A)	P(B/A) = P(B)
Intersecção de Eventos
Considerando A e B como dois eventos de um espaço
amostral S, finito e não vazio, logo:
Assim sendo:
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)
P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B)
Considerando A e B como eventos independentes, logo
P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A)
. P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a representação:
A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ou
A e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
Lei Binominal de Probabilidade
Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 – p.
Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes?
Resolução:
· Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes o evento A.
· Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:
· As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k.
· Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que
possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade desejada é: Cn,k . pk . (1 – p)n-k
QUESTÕES
01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:
(A) (B) (C) (D) (E)
02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é
(A) (B) (C) (D) (E)
03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52cartas, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama?
04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ímpares ou dois números iguais?
56
RACIOCÍNIO LÓGICO
05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é
(A) 10%
(B) 12%
(C) 64%
(D) 82%
(E) 86%
06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca?
07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%, respectivamente, de acertar. Nestas condições, a probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo é:
(A) 42%
(B) 45%
(C) 46%
(D) 48%
(E) 50%
08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é:
(A) 0,5
(B) 5/7
(C) 0,6
(D) 7/15
(E) 0,7
09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas, sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem brancas é:
(A)	(B)	(C)	(D)	(E)
10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abacaxi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, para o décimo cliente, não haja mais laranjas suficientes para fazer o suco dessa fruta é:
(A) 1 (B)	(C)	(D)	(E)
Respostas
01.
02.
A partir da distribuição apresentada no gráfico: 08 mulheres sem filhos.
07 mulheres com 1 filho.
06 mulheres com 2 filhos.
02 mulheres com 3 filhos.
Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25.
03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) =
			
 
04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois números ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é:
05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω)
= 500
A: o número sorteado é formado por 3 algarismos;
A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) =
401/500
B: o número sorteado é múltiplo de 10; B = {10, 20, ..., 500}.
Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em que
a1 = 10
an = 500
r = 10
Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 →
n = 50
Dessa forma, p(B) = 50/500.
A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10; A Ω B = {100, 110, ..., 500}.
De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10
→ n = 41 e p(A	B) = 41/500
 (
57
)Por fim, p(A.B) =
RACIOCÍNIO LÓGICO
06. 
Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1, V2, V3 as vermelhas.
Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9
A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4 B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2
Como A	B = , A e B são eventos mutuamente exclusivos;
Logo:	P(A	B)	=	P(A)	+	P(B)	=
07. 
Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os seguintes eventos:
(A) “A” acerta e “B” erra; ou
(B) “A” erra e “B” acerta. Assim, temos:
P (A B) = P (A) + P (B)
P (A B) = 40% . 70% + 60% . 30%
P (A B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30 P (A B) = 0,28 + 0,18
P (A B) = 0,46 P (A B) = 46%
08. 
Sendo A e B eventos independentes, P(A	B) = P(A) .
P(B) e como P(A	B) = P(A) + P(B) – P(A	B). Temos:
P(A	B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B)
0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B)
0,7 . (PB) = 0,5
P(B) = 5/7.
09. Representando	por	 a probabilidade pedida, temos:
 =
=
10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de sucos e que os nove primeiros clientes foram servidos com apenas um desses sucos, então:
I- 
Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é possível fornecer sucos de laranjas para os nove primeiros clientes, pois seriam necessárias 27 laranjas.
II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo cliente, é necessário que, entre os nove primeiros, oito tenham pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco.
A probabilidade de isso ocorrer é:
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
01. (Banco do Brasil - Assistente Técnico-Adminis- trativo - FCC/2014)
Considere que há três formas de Ana ir para o tra- balho: de carro, de ônibus e de bicicleta. Em 20% das vezes ela vai de carro, em 30% das vezes de ônibus e em 50% das vezes de bicicleta. Do total das idas de carro, Ana chega atrasada em 15% delas, das idas de ônibus, chega atrasada em 10% delas e, quando vai de bicicle- ta, chega atrasada em 8% delas. Sabendo-se que um determinado dia Ana chegou atrasada ao trabalho, a probabilidade de ter ido de carro é igual a
A) 20%.
B) 40%.
C) 60%.
D) 50%.
E) 30%.
Imagine que Ana vá ao trabalho 100 vezes. Como são 20% de carro, 30% de ônibus e 50% de bicicleta então te- mos:
20 idas de carro. 30 idas de ônibus 50 idas de bicicleta
Das 20 idas de carro Ana chega atrasada em 15% das vezes (3 idas).
Das 30 idas de ônibus Ana chega atrasada em 10% das vezes (3 idas).
Das 50 idas de bicicleta Ana chega atrasada em 8% das vezes (4 idas).
Assim, Ana chega atrasa da em 3+3+4 = 10 vezes.
Sabendo que Ana chegou atrasada a probabilidade de ela ter ido de carro é:
P = 3/10 = 30% que é a divisão das idades de carro
atrasada pelo total de atrasos.
RESPOSTA: “E”.
58
RACIOCÍNIO LÓGICO
02. (Ministério da Fazenda - MI - Assistente Técni- co administrativo - Cespe/UnB/2013) Sorteando-se um número de uma lista de 1 a 100, qual a probabilidade de o número ser divisível por 3 ou por 8?
A) 41%
B) 44%
C) 42%
D) 45%
E) 43%
A probabilidade de sair um número divisível por 3 (ou múltiplo de 3) é a probabilidade de ocorrer o evento A =
{3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51;
54; 57; 60; 63; 66; 69; 72; 75; 78; 81; 84; 87; 90; 93; 96; 99}.
Como: n(A) = 33 múltiplos de 3 entre 1 e 100 e n(S) = 100 números naturais, então, tem-se:
A probabilidade de sair um múltiplo de 8 é a probabi- lidade de ocorrer o evento B ={8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64;
72; 80; 88; 96}.
Como: n(B) = 12 múltiplos de 8 entre 1 e 100 e n(S) = 100 números naturais, então, tem-se:
Sendo A = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39;
42; 45; 48; 51; 54; 57; 60; 63; 66; 69; 72; 75; 78; 81; 84; 87; 90;
93; 96; 99}, e B = {8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80; 88; 96},
então AB será dado por: A∩B = {24, 48, 72, 96}
Portanto, a probabilidade de P (A∩B) será de:
Onde n(A∩B) representa os 3 múltiplos simultâneos de
3 e 8, compreendidos entre 1 e 100.
Então, P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) =
códigos cujos caracteres pertençam ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
03. (TCU – Analista de controle externo - UNB/CES- PE/2014) Se os protocolos de uma empresa devem con- ter 4 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então podem ser gerados menos de 400.000 protocolos distintos.
( ) CERTA (	) ERRADA
Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 le- tras, sendo permitida a repetição de caracteres, então po- dem ser gerados menos de 400.000 protocolos distintos.
Para cada “casa” citada anteriormente, podemos locar 26 letras, pois e permitida a repetição das letras, formando, assim:
26 x 26 x 26 x 26 = 456.976 códigos distintos
RESPOSTA: “ERRADA”.
04. (TCU – Analista de controle externo - UnB/Ces-
pe/2014) Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sen- do permitida a repetição de caracteres, então e possível obter mais de 1000 códigos distintos.
( ) CERTA (	) ERRADA
Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então e possível obter mais de 1000 códigos distintos.
Como não serão permitidas asvogais, então teremos 21 letras para obtenção dos códigos.
Observação: será permitida a REPETIÇÃO das letras, ex- cluindo as vogais.
21 letras (código formado por uma letra)=21 códigos 21 x 21 (código formado por duas letras)=441 códigos 21 x 21 x 21 = 9.261 códigos
Assim sendo, serão obtidos:
21 + 441 + 9.261 =
RESPOSTA: “ERRADA”.
05. (TCU – Analista de controle externo - UnB/Ces- pe/2014) O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas e superior a 15000.
( ) CERTA ( ) ERRADA
33
100 +
12
100 −
4
100 =
41
100
= 41%
O número total de códigos diferentes formados por 3 le- tras distintas e superior a 15000.
26x25x24=15600 códigos
RESPOSTA: “A”.
 (
59
)(TCU – Analista de controle externo - UnB/Ces- pe/2014) Em geral, empresas públicas ou privadas uti- lizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar
RESPOSTA: “CERTA”.
(TRE/RJ – Técnico Judiciário - CESPE/UnB/2012) Nas eleições municipais de uma pequena cidade, 30 candida-
tos disputam 9 vagas para a câmara de vereadores. Na sessão de posse, os nove eleitos escolhem a mesa direto-
RACIOCÍNIO LÓGICO
ra, que será composta por presidente, primeiro e segun- do secretários, sendo proibido a um mesmo parlamentar ocupar mais de um desses cargos. Acerca dessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.
06. (TRE/RJ – Técnico Judiciário - CESPE/UnB/2012) A quantidade de maneiras distintas de se formar a mesa diretora da câmara municipal é superior a 500.
( ) CERTA ( ) ERRADA
Após serem escolhidos os 9 candidatos, esses formarão a mesa diretora, que será composta por um presidente, primei- ro e segundo secretários, ou seja, por 3 desses integrantes. A escolha será feita pelo arranjo simples de 9 pessoas escolhi- das 3 a 3, já que a ordem dos elementos escolhidos altera a formação da mesa diretora.
 (
!
)!! = 9.8.7 = 504 !"#$%& !"#$"%$&# !" !"#$ !" !"#$%&#'
RESPOSTA: “CERTA”.
07. (TRE/RJ – Técnico Judiciário - CESPE/UnB/2012)A quantidade de maneiras distintas para se formar a câmara de vereadores dessa cidade é igual a 30!/(9!×21!).
( ) CERTA ( ) ERRADA
Para a escolha dos 9 vereadores dos 30 candidatos, fare- mos uma combinação simples dos 30 candidatos escolhidos 9 a 9, pois aqui, a ordem de escolha não altera o agrupamento formado, já que, ao ser escolhidos, por exemplo, um agrupa- mento de 9 pessoas, essas mesmas pessoas não poderão ser escolhidas novamente, mesmo em outra ordem.
A) 400
B) 520
C) 640
D) 1000
E) 1200
Considerando-se os algarismos de 0 a 9 (0; 1; 2; 3; 4; 5;
6; 7; 8; 9), podemos formar a seguinte quantidade de “capi- cuas” de sete algarismos, que inicia-se com o algarismo 1.
1 x 10 x 10 x 10 x 1 x 1 x 1=10x10x10=1000 capicuas
RESPOSTA: “D”.
10. (VALEC – Assistente Administrativo - FEM- PERJ/2012) Uma rodovia tem 320 km. A concessionária da rodovia resolveu instalar painéis interativos a cada 10 km, nos dois sentidos da rodovia. Em cada sentido, o primeiro painel será instalado exatamente no início da rodovia, e o último, exatamente ao final da rodo- via. Assim, a concessionária terá de instalar a seguinte quantidade total de painéis:
A) 32
B) 64
C) 65
D) 66
E) 72
Tem-se a seguinte sequência numérica: marco zero: 1º painel.
marco 10 km: 2º painel. marco 20 km: 3º painel.
...
Marco 320 km : n-ésimo painel.
 (
!! 
!
 
− 
! 
!
) (
!
)!! =	!!
RESPOSTA: “CERTA”.
30!
 (
9! 30 − 9 !
)=
30!
= 9! 21!
Obtendo-se a seguinte sequência numérica dada pela progressão aritmética (PA):
!! = 0
08. (TRE/RJ – Técnico Judiciário - CESPE/UnB/2012) Sabendo-se que um eleitor vota em apenas um candi- dato a vereador, é correto afirmar que a quantidade de
!"(0; 10; 20; . . . ; 320)	! = 10
!! = 320
maneiras distintas de um cidadão escolher um candida- to é superior a 50.
( ) CERTA (	) ERRADA
Só existem 30 candidatos, logo não tem como haver 50 formas distintas de escolher um candidato.
RESPOSTA: “ERRADA”.
09. (VALEC - Assistente Administrativo – FEM- PERJ/2012) Uma “capicua” é um número que escrito de trás para a frente é igual ao número original. Por exemplo: 232 e 1345431 são “capicuas”. A quantidade de “capicuas” de sete algarismos que começam com o algarismo 1 é igual a:
Sendo a fórmula que define o termo geral de uma PA
dada por an= a1+(n – 1).r, teremos:
320
320 = 0+ ! −1 .10 → 10 = ! −1 → ! = 1+32 = 33
n = 33 painéis, em apenas um dos sentidos da rodovia.
Para o sentido inverso têm-se mais 33 painéis o que totaliza:
33 + 33 = 66 painéis, ao todo.
RESPOSTA: “D”.
60
RACIOCÍNIO LÓGICO
11. (VALEC – Assistente Administrativo - FEM-
! !
7 6 5 5 4
PERJ/2012) Num certo ano, 10% de uma floresta foram
desmatados. No ano seguinte, 20% da floresta rema- nescente foi desmatada e, no ano seguinte, a floresta
!! .!! =
. . . .
3 2 1 2 1
= 35.10 = 350 !"#$%!&'()*+
remanescente perdeu mais 10% de sua área. Assim, a floresta perdeu, nesse período, a seguinte porcenta- gem de sua área original:
A) 35,2%
B) 36,4%
C) 37,4%
D) 38,6%
E) 40,0%
Considerando-se o total inicial da floresta, antes do 1º desmatamento, igual a 100% teremos, após os desmata- mentos sucessivos, o seguinte percentual de floresta des- matado:
1º ano: foram desmatados 10% do total (100%), logo,
sobraram 90% de floresta não desmatada.
2º ano: foram desmatados 20% da floresta remanes- cente (90%), logo, sobraram 90% – 20% de 90%.
90% – 20% de 90%. = 90% – 18% = 72% de floresta
não desmatada.
3º ano: foram desmatados 10% da floresta remanes- cente (72%), logo, sobraram 72% – 10% de 72%.
72% – 10% de 72%. = 72% – 7,2% = 64,8% de floresta
não desmatada.
Portanto, foram desmatados 100% – 64,8% = 35,2%
RESPOSTA: “A”.
12. (BRDE – Analista de sistemas - AOCP/2012) Quantos subconjuntos podemos formar com 3 bolas azuis e 2 vermelhas, de um conjunto contendo 7 bolas azuis e 5 vermelhas?
A) 250
B) 5040
C) 210
D) 350
E) 270
Podemos interpretar esse enunciado da seguinte for- ma: “de um conjunto de 7 bolas azuis e 5 bolas vermelhas, quantos agrupamentos de 3 bolas azuis e 2 bolas verme- lhas podemos formar”?
Nesse caso tem-se uma combinação simples de 7 bo- las azuis escolhidas 3 a 3 permutando-se com a combina- ção simples de 5 bolas vermelhas escolhidas 2 a 2.
Lembramos que, formamos agrupamentos por com- binação, quando a ordem dos elementos escolhidos não altera o agrupamento formado. Por exemplo, um agru- pamento formado pelas bolas vermelhas V1 V2 V3 será idêntico a qualquer outro agrupamento formado por es- sas mesmas bolas, porém e outra ordem. Logo, a ordem desses elementos escolhidos não altera o próprio agru- pamento.
RESPOSTA: “D”.
(PM/CE - Soldado da Polícia Militar - Cespe/ UnB/2013) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para ex- piar seu crime, foi enviado a presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma serie de provas a serem cum- pridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéia e cap- turar o javali de Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens subsequentes.
13. (PM/CE - Soldado da Polícia Militar - Cespe/ UnB/2013) O número máximo de possíveis listas que Hercules poderia preparar e superior a 12x10!
( ) CERTA (	) ERRADA
O número máximo de possíveis listas que Hercules poderia preparar e superior a 12x10!.
“Considere que a Hercules seja dada a escolha de pre- parar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória”.
Seja a lista de tarefas dada a Hercules contendo as 12 tarefas representada a seguir. Lembrando que a ordem de escolha ficara a critério de Hercules.
Então, permutando (trocando) as tarefas de posição, vai gerar uma nova sequencia, ou seja,uma nova ordem da realização de suas tarefas, assim, o numero de possibi- lidades de Hercules começar e terminar suas tarefas será dada pela permutação dessas tarefas.
12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 ou simplesmente: 12! = 12 x 11 x 10!
Como 12x11x10! e diferente de 12x10!. RESPOSTA: “ERRADA”.
14. (PM/CE - Soldado da Polícia Militar - Cespe/ UnB/2013) O número máximo de possíveis listas con- tendo o trabalho “matar o leão de Neméia” na primei- ra posição é inferior a 240 x 990 x 56 x 30.
( ) CERTA (	) ERRADA
O número máximo de possíveis listas contendo o tra- balho “matar o leão de Neméia” na primeira posição é inferior a 240 x 990 x 56 x 30.
 (
61
)Fixando a tarefa “matar leão de Neméia” na primeira posição, vão sobrar 11 tarefas para serem permutadas nas demais casas:
RACIOCÍNIO LÓGICO
x._._._._._._._._._._._=x.11!
Sendo X a posição já ocupada pela tarefa “matar leão
de Nemeia”.
Reagrupando os valores, temos:
24 x 990 x 56 x 30.
Portanto, inferior a 240 x 990 x 56 x 30, tornando este item ERRADO.
RESPOSTA: “ERRADA”.
15. (PM/CE - Soldado da Polícia Militar - Cespe/ UnB/2013) O número máximo de possíveis listas con- tendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira posição e “ capturar o javali de Erimanto” na terceira posição e inferior a 72 x 42 x 20 x 6.
( ) CERTA (	) ERRADA
O número máximo de possíveis listas contendo os tra- balhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira posição e “ capturar o javali de Erimanto” na terceira posição e infe- rior a 72 x 42 x 20 x 6.
Fixando as tarefas “capturar a corça de Cerinéia” na pri- meira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição, restam 10 tarefas a serem permutadas nas demais posições, assim, temos que:
X . 1 . x . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10
Sendo “X” as posições já ocupadas pelas tarefas “cap- turar a corça de Cerinéia” e “capturar o javali de Erimanto”, ainda sobram 10 posições a serem permutadas.
Ou seja:
10 x 72 x 42 x 20 x 6
Portanto, teremos 10 x 72 x 42 x 20 x 6, um valor supe- rior e diferente de 72x42 x 20 x 6
RESPOSTA: “ERRADA”.
16. (PM/CE - Soldado da Polícia Militar - Cespe/
Ou seja:
90 x 8! x 2 que equivale a 180 x 8!
Sendo 180 um valor inferior a 6! (6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x
1 = 720), logo o valor
180 x 8! será inferior a 6! x 8!, tornando este item CER-
TO.
RESPOSTA: “CERTA”.
(TRT 10ª Região – Técnico Judiciário - Cespe/ UnB/2013) Considere que em um escritório trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 tem o nível mé- dio e 2 são de nível fundamental. Será formada, com esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar um trabalho de pesquisa. Com base nessas in- formações, julgue os itens seguintes, acerca dessa equi- pe.
17. (TRT 10ª Região – Técnico Judiciário - Cespe/ UnB/2013) Se essa equipe for formada somente com empregados de nível médio e fundamental, então ela poderá ser formada de mais de 60 maneiras distintas.
( ) CERTA (	) ERRADA
Se essa equipe for formada somente com empregados de nível médio e fundamental, então ela poderá ser forma- da de mais de 60 maneiras distintas.
Das 11 pessoas, 3 são de nível superior(S), 3 nível médio(M), e 2 são de nível fundamental(F)
Sendo a equipe formada apenas pelos funcionários de escolaridade de nível Médio e Fundamental teremos ape- nas 3 possibilidades de formação das equipes:
1ª POSSIBILIDADE: Somente 1 funcionário de nível
Fundamental e os demais de nível médio.
!!.!! = 2!/1!(2-1)!.6!/3!(6-3)!=40 equipes distintas
!	!
UnB/2013) O número máximo de possíveis listas con-
tendo os trabalhos “ capturar a corça de Cerineia” e “ capturar o javali de Erimanto” nas ultimas duas posi- ções, em qualquer ordem, e inferior a 6! x 8!.
2ª POSSIBILIDADE: com 2 funcionários de nível Funda- mental e os demais de nível médio.
!!.!!
( ) CERTA (	) ERRADA
O número máximo de possíveis listas contendo os tra- balhos “ capturar a corça de Cerinéia” e “ capturar o javali de Erimanto” nas ultimas duas posições, em qualquer or- dem, e inferior a 6! x 8!.
Fixando as tarefas “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o javali de Erimanto” nas duas ultimas posições, e lembrando que essas tarefas podem ser permutadas entre si, pois são colocadas em qualquer ordem, assim, restaram 10 posições a serem permutadas.
10.9.8.7.6.5.4.3.2.1.x.x
Sendo “X” as posições já ocupadas pelas tarefas “cap- turar a corça de Cerinéia” e “capturar o javali de Erimanto”, podendo ser permutadas entre si, ainda, sobram 10 posi- ções a serem permutadas.
!	! = 2!/2!(2-2)!.6!/2!(6-2)!=15 equipes distintas
3ª POSSIBILIDADE: Uma equipe formada por funcioná- rios apenas de Nível Médio.
 (
!
)!! . = 6!/4!(6-4)!=15 equipes distintas
Somando-se os resultados obtidos nas 3 possibilida- des anteriores, encontramos:
40 + 15 + 15= 70 equipes distintas
Como o item afirma que a equipe poderá ser formada
por mais de 60 maneiras distintas.
RESPOSTA: “CERTA”.
 62 Bruno fagundes