Exercícios Resolvidos Determine o maior conjunto no qual a função e continua

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Exercícios Resolvidos: Determine o maior conjunto no qual a função e 
continua. 
 
14.2 EXERCÍCIOS: página 835. Cálculo Volume 2 – 6ª Edição 
 
33. 𝐺(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥2 + 𝑦2 − 4) 
 
𝐺(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥2 + 𝑦2 − 4) = 𝑔(𝑓(𝑥, 𝑦)) 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 4, 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑜 𝑒𝑚 ℝ2 
𝑔(𝑡) = ln 𝑡, 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 {𝑡; 𝑡 > 0} 
G é contínua no domínio {(𝑥, 𝑦); 𝑥2 + 𝑦2 − 4 > 0} = {(𝑥, 𝑦); 𝑥2 + 𝑦2 > 4} 
 
37. 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥2.𝑦3
2𝑥2+𝑦2
 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 
1 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0) 
 
 
 
 𝑓 é uma função racional, que não está definida na origem. 
→ 𝑓 é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑛𝑜 ℝ2 𝑡𝑖𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚. 
𝑥2 ≤ 2𝑥2 + 𝑦2 , 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 |
𝑥2. 𝑦3
2𝑥2 + 𝑦2 
| ≤ |𝑦3| 
Sabemos que |𝑦3| → 0 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝑥, 𝑦) → (0,0) 
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑓(𝑥, 𝑦) = lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2. 𝑦3
2𝑥2 + 𝑦2
= 0 
Mas 𝑓(0,0) = 1 , então 𝑓 é descontínua em (0,0) 
∴ 𝑓 é contínua em {(𝑥, 𝑦); (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)}.