Estácio Cálculo II Questões AV e AVS _

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ESTÁCIO CÁLCULO II 
QUESTÕES AV e AVS 
1 
 
Determine a derivada vetorial r (t )=(t 2 +3)i +3t j +se ntk 
r ′(t )=2t i +3j +2cos2tk 
 r ′(t )=2t i +3j +costk 
r ′(t )=2t i +3j +cos2tk 
r ′(t )=t i +3 j +2cos2tk 
 r ′(t )=2t i +j +2cos2tk 
 
2. 
 
Dada a função vetorial r(t) = 2t i + 4t j - 3tk, as componentes do vetor que será a 2
representação da sua derivada será : 
 
(0,0,0) 
 
 
(4,4,-3) 
 
(4,-4,3) 
 
(4,0,3) 
 
(-3,4,4) 
 
3. 
 
 
Dada a função vetorial r(t) = 2t i + 4t j - 4tk, a sua derivada será : 2
 r'(t) =4ti + 4 j 
 r'(t) =4i + 4 j - 4k, 
 r'(t) =4ti - 4k, 
 r'(t) =ti + 4 j - 4k, 
 r'(t) =4ti + 4 j - 4k, 
 
4 
 
Integrando a função vetorial r(t) = 2ti + 4tk - 6tk, temos a seguinte função 
vetorial: 
 t
2 i+ 2t2j- 3t2k 
 -t
2 i+ 2t2j +3t 2k 
 t
2 i+ 2t2j+3t 2k 
 2t
2 i+ 2t2j+3t 2k 
 t
2 i- 2t2j+3t 2k 
 
 
 
 
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5. 
 
Integrando a função vetorial r(t) = 3t i + 6t - k, temos a seguinte função 2 2k 6t2
vetorial: 
 t i + 2t k +2t
3 3 3k 
 t i + 2t - k 
3 3k 2t3
 -t i + 2t - k 
3 3k 2t3
 3t
3 i + 2t - k 3k 2t3
 t i + t - k 
3 3k 2t 3
 
6. 
 
Determinando a derivada da função vetorial, f (t )=− cos2ti −s e ntj +cos3tk , temos 
como resposta: 
 f ′ =2 cost∙s e nti −costj −cos2t∙se ntk 
 f ′ =cos t∙s e nti −costj −3cos2t∙ s e ntk 
 f ′ =2 cost∙s e nti −costj +3cos2t∙ s e ntk 
 f ′ =2cos t∙s e nti −co s tj −cos 2t∙se ntk 
 f ′ =2 cost∙s e nti −costj −3cos2t∙ s e ntk 
 
1. 
 
O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento em um plano é dado por r(t)= 2t4i+3tj. Determine a sua 
velocidade quando t = 4 
 
v(4)= 512i+3j 
 
v(4)= 12i+3j 
 
v(4)= 512i-3j 
 
v(4)= 510i+3j 
 
v(4)= 502i+3j 
 
2. 
 
O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento em um plano é dado por r(t)= t2 i+ 
3t2j .Determine a sua aceleração instante t. no 
-4i - 6j 
 
6j 
 
4i 
 
-4i +6j 
 
4i+6j 
 
 
3. 
 
O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento em um plano é dado por r(t)= 4t2 i+ 
3tj .Determine a sua velocidade no instante t. 
 
v(t) = 8i+3 
 
v(t) = 8t+3j 
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v(t) = 8ti-3j 
 
v(t) = 8ti+3 
 
v(t) = 8ti+3j 
4. 
 
O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento em um plano é dado 
por r(t) = 2t4i+2 t 3j.Determine a sua aceleração num instante t = 1 
240i + 12j 
 
24i + 2j 
 4i + 12j 
 24i + 12j 
 24-i + 12j 
5. 
 
O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento em um plano é dado por r(t)= 4t2 i+ 
3tj .Determine a sua aceleração nos instante t. 
 
16i+3j 
 
0 
 
16i 
 
3j 
 
-16i 
6. 
 
O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento em um plano é dado 
por r(t)= 4 t3i+3t2jr(t)=4 t 3 i+3t 2 j . Determine a sua velocidade quando t = 2 
v(2)= 48i-12j 
 
v(2)= -48i-12j 
 
v(2)= 48i+12j 
 
v(2)= 8i+12j 
 
v(2)= -48i+2j 
 
 
1 
 
Utilizando a derivada parcial de segunda ordem, determine f da função :f(x,y)=xyy
3+y3-3xy 
6x - 6 
 6x 
 
6y 
 x - 6 
 6 
 
2 Determine a derivada fx da função f(x,y)=(ye x+xs e ny) 
fx=e x+s e n y 
 
fy=e x+co s y 
 
fx=ye x+s e ny 
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fx=ye xs e ny 
 
 fy=ex+cosy 
3. 
 
Determine a derivada fx da função f(x,y)=exln (xy) 
fx=ex.ln (xy) 
 
fx=e x.1 /xy +e x.ln (xy) 
 fx=ex.1/xy 
 fx=1 /xy+ln (xy) 
 fx=1 /xy+ex.ln (xy) 
 
4. 
 
Determine a derivada fy da função f(x,y)= (yex+ xs eny)f(x,y )=(ye x+xs e ny) 
 
fy=ex+xcos yfy=e x+xco s y 
 
fx= ex+s enyfx=e x+s e ny 
 
fx=yex+s enyfx=ye x+se ny 
 
 fy=ex+cosxfy =e x+co s x 
 
fy=yex+ cosy 
5 
 
Utilizando a derivada parcial de segunda ordem, determine f da função :f(x,y)=xxx 4+y3-3xy 
 
12x - 3 
 
6y 
 
1 2x2 
 
12 
 
6 
6. 
 
Determine a derivada fy da função f(x,y)=(yex+ xs eny)f(x,y )=(ye x+xs e ny) 
 
fy=e x+x co s y 
 
fx=e x+s e n y 
 
fx=ye x+s e ny 
 
 fy=e x+co s x 
 fy=yex+ cosy 
 
1. 
 
A melhor utilização do teorema de Fubini está representado na seguinte resposta: 
 
 Em todos os tipos de integrais 
 
 Integral cujo os limites são funções 
 
Integral com várias variáveis 
 
Integral Iterada 
 
Todos os tipos de integral dupla 
2. 
 
Calcule a integral dupla ∫∫ ycosxdA, onde sua área de integração é R=(x,y )/0≤y ≤2 ,0≤x ≤π 
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1 
 4 
 5 
 3 
 
0 
 
3. 
 
Calcule a integral dupla ,∫ ∫ xsenyd A,onde R=(x,y )/0≤x≤2,0≤y ≤π /2 
4 
 
2 
 
5 
 
6 
 
3 
 
4. 
 
Calcular a integral iterada ∫ 0 1∫ 0 2 (x2 +2 y)dyd x 
33/6 
 
32/7 
 
32/5 
 
32/4 
 
32/3 
 
 
5. 
 
Determine a área limitada pelas funções y = 2x e y = x 2 contidas no paraboloide z =x 2+ y2 no plano xy 
21/35 
 
215/355 
 
216 
 
216/35 
 
35 
 
6. 
 
Determine a área limitada pelas funções y = x e y = x contidas no paraboloide2 
 x2+y2no plano xy 
23/120 
 
23/140 
 
35/140 
 
32/140 
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23/142 
 
7. 
 
Determine a área limitada pelas funções y = x e y = x 2 contidas no paraboloide z =x2+ 2y2 no plano xy 
 
13/15 
 
11 
 
15/16 
 
11/60 
 
60 
 
1. 
 
Calcular a área de uma semi- circunferência, utilizando as coordenadas polares, 
sabendo que a essa semi- circunferência fica na parte superior tem seu centro 
na origem e 4 de raio. 
6π6π 
 
3π3π 
 
2π2π 
 
5π5π 
 
4π 
 
2. 
 
Transforme as coordenadas cartesianas(−√ 3,1)(−√ 3 ,1)em coordenada polar. 
2 ,5 π /8) 
 (2 ,5π /6) 
 
(2 ,3π /6) 
 (3 ,3π /6) 
 
(4 ,3π /6) 
 
3. 
 
Transforme as coordenadas cartesianas ( 1, -1) em coordenada polar. 
(√ 2 ,5 π /4) 
 (√ 2 ,7 π /3) 
 (√ 3 ,7 π /4) 
 (√ 2 ,6 π /4) 
 (√ 2 ,7 π /4) 
 
4. Calcule ∫ ∫ yd Aonde a sua área e a região limitada pelos dois círculos x2+y2=1x2 +y2 =1 
15/3 
 
11/3 
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14/3 
 
13/3 
 
12/3 
 
5. 
 
 Transforme as coordenadas polares em coordenada cartesiana( 5 ,π/6) 
 
((5√3 )/2 ;5 /2) 
 
((3√3 )/2 ;5 /2) 
 
((5√2 )/2 ;5 /2) 
 
((4√3 )/2 ;5 /2) 
 
((5√3 )/2 ;3 /2) 
 
6. 
 
Determine o volume do sólido delimitado pela função (x,y)=x y2 f(x,y)=x2 y o quarto de um círculo. No 
primeiro quadrante, cujo seu centro localiza-se na origem e seu raio é de 3. 
81/14 
 
81/11 
 
81/13 
 
81/10 
 
81/12 
 
 
1. 
 
 
Calcule o volume de uma figura em três dimensões sabendo que seus limites estão definidos da seguinte maneira 
[0,1]x[1,2][0,3] 
 
0 
 2 
 4 
 3 
 1 
 
2. 
 
 
Calcule a integral tripla ∫∫T∫xyz 2dV onde T é o paralelepípedo retângulo [0,1]x [0,2]x[1,3] 
11/3 
 5/3 
 
8/3 
 10/3 
 7/3 
 
3. 
 
 
Calcule o volume utilizadoa integral ∭dv onde a região que gera o volume é do primeiro octante 
limitado por x = 4 - y 2 , y = x, x = 0 e z =0 
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4 
 2 
 3 
 
0 
 1 
 
4. Calcule ∭TdV= onde T é o sólido delimitado pelos planos y + z = 8 , y + z = 8 e x = 0 , x = 4 y = -1 e y = 2 
10 
 14 
 13 
 
12 
 11 
 
 
 
 
5. 
 
Sejam os conjuntos A = {-1, 0 } e B = {1, 2,}, determine o produto cartesiano de A x B 
 
 
{( -1, 1), (1, 2), (0, 1), (0, 2)} 
 {( -1, 1), (-1, 2), (0, 1), (0, 0)} 
 {( -1, 1), (-1, 2), (0, 1), (0, 2)} 
 {(1, 1), (-1, 2), (0, 1), (0, 2)} 
 {( -1, 1), (-1, 2), (0, 1), (0, 1)} 
 
6. 
 
Calcule a integral tripla ∫π0∫10∫y0(s enx)dzdydx 
 
0 
 
1 
 
4 
 
2 
 
3 
 
7. 
 
 
 Calcule o volume de uma figura em três dimensões sabendo que seus limites estão definidos da seguinte maneira : 
[0,1]x[1,2]x[0,4] 
 
4 
 
0 
 
3 
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2 
 
1 
 
 
1. Os pontos (0,2√ 3,− 2) estão em coordenadas cartesianas , transforme em coordenadas esféricas. 
(4,2π/3,π/3) 
 
(4,π/3,π/2) 
 
(3,2π/3,π/2) 
 
(4,2π/3,π/2) 
 
(2,2π/3,π/2) 
 
2. 
 
Sabendo que a coordenada cartesiana é (3, -3, -7) transforme em coordenadas 
ci l í ndri cas . 
 
(3√ 2,7π/4,−1) 
 
(2√ 2,7π/4,−7) 
 
(3√ 2,7π/4,−7) 
 
(3√ 2,7π/4,−6) 
 
(3√ 2,6π/4,−7) 
 
3. 
 
 
 Os pontos (2,π π/4, /3) estão em coordenadas esféricas, reescreva esses pontos em 
coordenadas retangulares. 
(√ (3/2),√ (3/2),6) 
 
(√ (3/2),√ (3/2),2) 
 
(√ (3/2),√ (3/2),3) 
 
(√ (3/2),√ (3/2),1) 
 
(√ (3/2),√ (3/2),4) 
 
4. Sendo as coordenadas cilíndricas (2,2π/3,1) transforme em Coordenadas Cartesiana. 
(−1,√2,0) 
 
(−1,√2,1) 
 
(1,√ 3,1) 
 
(−1,√3,1) 
 
(−1,√3,0) 
 
 
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5. 
 
 
Um sólido E está contido no cilindro x2 2+y = 1 abaixo do plano z= 4 e acima do 
paraboloide z = 1 - x2- y2. Calcule o volume desse cilindro. 
30π 
 
50π 
 
40π 
 
20π 
 
60π 
 
6. 
 
Sabendo que os limites de integração de uma integral tripla é representado por 2≤ ρ≤ 4, 0≤ θ≤ π/2, 0≤ ∅≤ π calcule o valor dessa 
integral. 
 
56π/3 
 
56π/6 
 
56π 
 
56π/7 
 
56π/4 
 
 
1. 
 
Calcule ∫CF∙dr onde F(x,y,z)=2 yi+yxj +3 zk onde C é a cúbica retorcida dada por x=t y=t2 
z= t2 0≤t≤1 
 
78/30 
 
77/30 
 
80/30 
 79/30 
 76/30 
 
2. 
 
Calcule ∫CF∙dr onde F (x,y,z)= xy i+yz j+z xk onde x=t y=t2 z= t3 0≤t≤1 é a cúbica retorcida dada por 
31/32 
 25/26 
 30/31 
 
27/28 
 28/29 
 
3. 
 
 
Calcule a integral de linha ∫cx3ds onde C e a curva dada C:x=t, y=t+1, 0≤ t≤2 
√2√2 
 
5√ 25 √ 2