09 - Metodologia e utilização da estatística Variáveis quantitativas e qualitativas Séries estatísticas Organização e apresentação de variáveis

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Aula 07 – Estatística Descritiva 
Raciocínio Analítico, Matemática Financeira e 
Estatística p/ Auditor do TCU – 2019 
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Sumário 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA ............................................................................................................................... 3 
RAMOS DA ESTATÍSTICA ........................................................................................................................................ 3 
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS DE ESTATÍSTICA ............................................................................................... 4 
TABELAS E GRÁFICOS ............................................................................................................................................. 6 
Tabelas estatísticas .................................................................................................................................................. 6 
Gráficos estatísticos ............................................................................................................................................... 10 
Simetria de uma distribuição de dados .................................................................................................................. 12 
MEDIDAS ESTATÍSTICAS ...................................................................................................................................... 14 
Média ..................................................................................................................................................................... 15 
Cálculo da média para uma lista de dados (“dados em rol”) ....................................................................................... 15 
Cálculo da média para uma tabela de frequências ..................................................................................................... 18 
Cálculo da média para dados agrupados em classes ................................................................................................. 21 
Propriedades da média aritmética ............................................................................................................................ 24 
Média aritmética ponderada .................................................................................................................................... 26 
Mediana ................................................................................................................................................................. 29 
Moda ..................................................................................................................................................................... 35 
Simetria – média, mediana e moda ........................................................................................................................ 40 
VALOR ESPERADO ................................................................................................................................................. 42 
QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR ............................................................................................... 45 
LISTA DE QUESTÕES .................................................................................................................................. 133 
GABARITO .................................................................................................................................................. 179 
RESUMO DIRECIONADO ............................................................................................................................. 180 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Estatística Descritiva 
 
Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima. 
É com muita alegria que inicio mais essa aula. Vamos tratar sobre os seguintes tópicos: 
 
 
Metodologia e utilização da estatística. Variáveis quantitativas e qualitativas. Séries estatísticas. Organização e 
apresentação de variáveis. Estatística descritiva e análise exploratória de dados. Distribuição de frequências: absoluta, 
relativa, acumulada. Medidas de posição: média, moda,mediana e separatrizes. 
 
Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo: 
 
RAMOS DA ESTATÍSTICA 
A Estatística se divide em dois ramos principais: 
a) Estatística Descritiva (ou Dedutiva): tem por objetivo descrever um conjunto de dados, resumindo as 
suas informações principais. Fazem parte deste ramo tanto as técnicas para coletar os dados (técnicas de 
amostragem) quanto as técnicas para o cálculo dos principais parâmetros (características) daquele grupo de 
dados coletados. Também fazem parte deste ramo da Estatística as técnicas para a apresentação de dados em 
tabelas e gráficos, bem como o cálculo de medidas utilizadas para resumir estes dados (média, moda, mediana, 
desvio padrão, etc.). 
 
b) Estatística Inferencial (ou Indutiva): tem por objetivo inferir/induzir, a partir das informações de um 
conjunto de dados (amostra), informações sobre um conjunto mais amplo (população). A teoria da 
Probabilidade faz parte deste ramo, pois nela o nosso objetivo é, a partir do conhecimento de um fenômeno 
(ex.: lançamento de um dado), inferir possíveis resultados para a ocorrência de um determinado evento. 
Também fazem parte da estatística inferencial os testes de hipóteses, que visam obter conclusões sobre uma 
população a partir da análise de um subconjunto desta (amostra). 
Nesta aula veremos os aspectos introdutórios da Estatística Descritiva e também conheceremos as 
principais medidas de posição ou de tendência central: as famosas Média, Mediana e Moda. 
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CONCEITOS INTRODUTÓRIOS DE ESTATÍSTICA 
Para começarmos o estudo da Estatística Descritiva precisamos conhecer alguns conceitos básicos: 
 
- População: é o conjunto de todas as entidades sob estudo. Por exemplo, podemos realizar um estudo 
estatístico sobre a população da cidade de São Paulo, ou então sobre a população de alunos matriculados na 
escola A, ou então sobre a população de animais de estimação do meu bairro. Repare que todos os integrantes 
de uma determinada população possuem uma característica em comum que os permite reunir em um único 
grupo: morar em São Paulo, estar matriculado na escola A, ser animal de estimação no meu bairro, etc. 
 
- Censo: quando efetuamos o censo de uma população, analisamos todos os indivíduos que compõem 
aquela população. Por exemplo: podemos contar um por um os moradores de Brasília, ou todos os alunos da 
escola A, ou todos os animais de estimação de meu bairro. Normalmente o nosso interesse não é simplesmente 
contá-los, mas sim verificar um determinado atributo, ou característica que esses indivíduos possuem. 
Exemplificando, pode ser que queiramos saber, de todos os moradores de Brasília, quantos são homens, ou 
quantos tem mais de 1,80m de altura, ou quantos ganham mais que R$1.000,00 por mês. 
 
- Amostra: em muitos casos é inviável, custoso ou desnecessário, observar um por um dos membros de 
uma determinada população. Se queremos saber qual o percentual de homens na população de Brasília, 
podemos analisar um subconjunto daquela população, isto é, uma amostra. Se a amostrafor suficientemente 
grande (e bem escolhida, de acordo com o que veremos nesta aula), é possível que o percentual de homens da 
amostra seja muito parecido com o que seria obtido se analisássemos toda a população. 
 
- Variável: é um atributo ou característica (ex: sexo, altura, salário etc.) dos elementos de uma população 
que pretendemos avaliar. Conforme o nosso estudo e o nosso objetivo, podemos olhar variáveis diferentes de 
uma mesma população. Por exemplo, podemos fazer uma análise da população de São Paulo a respeito do 
salário e idade de cada cidadão. 
 
- Observação: trata-se do valor que a variável assume para um determinado membro da população. Ex.: 
a observação da variável SEXO referente a João, membro da população brasiliense, tem valor “Masculino”. Já 
a observação da variável “idade“ referente ao professor Arthur Lima, morador de São Paulo, é igual a 35 anos. 
 
Uma variável pode ser classificada em: 
- qualitativa, quando não assume valores numéricos, podendo ser dividida em categorias. Ex.: o sexo dos 
moradores de Brasília é uma variável qualitativa, pois pode ser dividido nas categorias Masculino ou Feminino. 
Se o objetivo fosse verificar quantos moradores possuem AIDS, teríamos outra variável qualitativa, dividida nas 
categorias SIM e NÃO. 
 
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- quantitativa, quando puder assumir diversos valores numéricos. Ex.: a altura dos moradores é uma 
variável quantitativa: 1,80m; 1,55m; 1,20m; 2,10m etc. O mesmo ocorre com os salários desses moradores. As 
variáveis quantitativas podem ser ainda divididas em: 
contínuas: quando a variável pode assumir infinitos valores entre dois números. Ex.: a variável 
Altura é contínua. Se alguém tem exatamente 1,80m, e outra pessoa tem 1,81m, você concorda que 
existem infinitas alturas entre essas duas? Por exemplo, é possível que alguém tenha 1,80000001m. Ou 
1,80000000001m. E assim por diante. 
 
discretas: quando a variável só pode assumir uma quantidade finita de valores entre dois 
números. Ex.: se uma pessoa tem 3 irmãos e outra pessoa tem 7 irmãos, quantas possibilidades temos 
entre as duas? Ora, temos 4, 5 ou 6 irmãos apenas. É um número finito de possibilidades (três), de modo 
que a variável “quantidade de irmãos de uma pessoa” é discreta. 
 
Chamamos uma variável de Variável Aleatória quando ela pode assumir, de maneira aleatória (“ao 
acaso”), qualquer dos seus valores. Em estatística trabalharemos sempre com variáveis aleatórias, que 
representamos por letras maiúsculas. Ex.: X pode ser a variável “idade dos moradores de Brasília”. Utilizamos 
letras minúsculas para representar valores específicos daquela variável. Exemplificando, x = 25 anos é um dos 
valores possíveis para a variável aleatória X. 
 
Finalizando, é preciso que você saiba que as variáveis aleatórias podem ser classificadas em: 
 
- variáveis nominais: são aquelas definidas por “nomes”, não podendo ser colocadas em uma ordem 
crescente. Ex.: a variável “sexo dos moradores de um bairro” é nominal, pois só pode assumir os valores 
“masculino” ou “feminino”. Veja que não há uma ordem clara entre esses dois possíveis valores (não há um 
valor maior e outro menor). 
 
- variáveis ordinais: são aquelas que podem ser colocadas em uma ordem crescente, mas não é possível 
(ou não faz sentido) calcular a diferença entre um valor e o seguinte. Ex.: numa escola onde as notas dos alunos 
sejam dadas em letras (A, B, C, D ou E), sabemos que a menor nota é “E” e a maior é “A”. Embora seja possível 
ordenar as notas, não podemos mensurar quanto seria, por exemplo, a subtração A – B. 
 
- variáveis intervalares: são aquelas que podem ser colocadas em uma ordem crescente, e é possível 
calcular a diferença entre um valor e o seguinte. Ex.: se as notas dos alunos forem dadas em números (de 0 a 
10), sabemos que a nota 5 é maior que a nota 3, e que a diferença entre elas é 5 – 3 = 2. 
 
Antes de prosseguir, trabalhe esta questão: 
 
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CESPE – CORREIOS – 2011) Julgue os itens seguintes, relacionados aos conceitos de estatística. 
( ) Escolaridade e número de filhos são exemplos de variáveis quantitativas ordenável e discreta, 
respectivamente. 
RESOLUÇÃO: 
A variável “Escolaridade” pode assumir valores como: Nível Fundamental, Nível Médio, Nível Superior, Pós-
Graduação etc. Trata-se, portanto, de uma variável qualitativa, e não quantitativa. Isto já torna o item ERRADO. 
Já a variável número de filhos é, de fato, quantitativa. Trata-se realmente de uma variável discreta, uma vez 
que o número de filhos pode ser {0, 1, 2, 3 ...}, mas não pode assumir qualquer valor entre 0 e 1, ou entre 1 e 2, 
por exemplo. 
Resposta: E 
 
TABELAS E GRÁFICOS 
Tabelas estatísticas 
Como já vimos, a estatística descritiva tem por objetivo descrever um conjunto de dados, resumindo as 
suas informações principais. Para isso, as tabelas e gráficos estatísticos são ferramentas muito importantes. 
Vamos começar tratando das tabelas. 
Para descrever um conjunto de dados, um recurso muito utilizado são tabelas como essa abaixo, 
referente à observação da variável “Sexo dos moradores de Brasília”: 
Valor da variável Frequências (Fi) 
Masculino 23 
Feminino 27 
 
Note que na coluna da esquerda colocamos as categorias de valores que a variável pode assumir, e na 
coluna da direita colocamos o número de Frequências, isto é, o número de observações (ou repetições) relativas 
a cada um dos valores. Note que foi analisada uma amostra de 50 pessoas, das quais 23 eram homens e 27 
mulheres. Estes são os valores de frequências absolutas. Podemos ainda representar as frequências relativas 
(percentuais): sabemos que 23 em 50 são 46%, e 27 em 50 são 54%. Portanto, teríamos: 
Valor da variável Frequências relativas (Fi) 
Masculino 46% 
Feminino 54% 
 
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Se essa amostra foi bem escolhida, ela nos dá uma boa estimativa de como é distribuída a população 
brasiliense: cerca de 46% são homens e 54% mulheres. Quanto maior a amostra (e mais bem escolhida), mais 
nos aproximaremos dos percentuais que seriam obtidos na análise de toda a população. 
Note que a frequência relativa é dada por Fi / n, onde Fi é o número de frequências de determinado valor 
da variável, e n é o número total de observações. 
Agora, veja a tabela abaixo, referente à observações da variável Altura dos moradores de Brasília: 
Valor da variável Frequências (Fi) 
1,50m 15 
1,51m 5 
1,53m 4 
1,57m 2 
1,60m 10 
1,63m 8 
1,65m 1 
1,71m 20 
1,73m 10 
1,75m 3 
1,83m 2 
 
Quando temos uma variável como esta, que pode assumir um grande número de valores distintos, é 
interessante “resumir” os dados, criando intervalos de valores para a variável (que chamaremos de classes). 
Veja um exemplo: 
Classe Frequências (Fi) 
1,50| – 1,60 26 
1,60| – 1,70 19 
1,70| – 1,80 33 
1,80| – 1,90 2 
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O símbolo | significa que o valor que se encontra ao seu lado está incluído na classe. Por exemplo, 1,50| - 
1,60 nos indica que as pessoas com altura igual a 1,50 são contadas entre as que fazem parte dessa classe, 
porém as pessoas com exatamente 1,60 não são contabilizadas. 
Assim, temos as seguintes formas de criar as classes, onde “li” é o limite inferior da classe (menor valor, 
ex.: 1,50) e “Li” é o limite superior (o maior valor, ex.: 1,60): 
li| – Li : limite inferior incluído na classe 
li – |Li : limite superior incluídona classe 
li| – |Li : limite inferior e superior incluídos na classe 
li – Li : limite inferior e superior excluídos da classe 
Veja abaixo novamente a última tabela, agora com a coluna Frequências absolutas acumuladas à direita: 
Classe Frequências (Fi) Frequências absolutas 
acumuladas (Fac) 
1,50| – 1,60 26 26 
1,60| – 1,70 19 45 
1,70| – 1,80 33 78 
1,80| – 1,90 2 80 
 
A coluna da direita exprime o número de indivíduos que se encontram naquela classe ou abaixo dela. Isto 
é, o número acumulado de frequências do valor mais baixo da amostra (1,50m) até o limite superior daquela 
classe. Veja que, para obter o número 45, bastou somar 19 (da classe 1,60| - 1,70) com 26 (da classe 1,50| - 1,60). 
Isto é, podemos dizer que 45 pessoas possuem altura inferior a 1,70m (limite superior da última classe). 
Analogamente, 78 pessoas possuem altura inferior a 1,80m. 
De posse das frequências absolutas acumuladas, podemos calcular as frequências relativas acumuladas, 
que nada mais é que o percentual de indivíduos cujo valor da variável (altura) é inferior a um determinado limite. 
Veja isso na coluna da direita da tabela abaixo: 
Classe Frequências 
(Fi) 
Frequências absolutas 
acumuladas (Fac) 
Frequências relativas 
acumuladas (Frc) 
1,50| – 1,60 26 26 32,50% 
1,60| – 1,70 19 45 56,25% 
1,70| – 1,80 33 78 97,50% 
1,80| – 1,90 2 80 100% 
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Portanto, podemos concluir que 32,50% dos indivíduos observados possuem menos de 1,60m. Já 56,25% 
possuem menos de 1,70m, e 97,50% tem menos de 1,80. Por fim, todos os indivíduos (100%) tem altura inferior 
a 1,90m, já que o maior valor observado foi 1,83m. 
Note que, para calcular o valor das frequências relativas acumuladas (Frc), bastou dividir o valor das 
frequências absolutas acumuladas (Fac) por n, que é o total de observações (n = 80 neste exemplo). 
 
Antes de prosseguirmos, vejamos um exercício sobre tabelas estatísticas. 
Instruções: Para resolver a questão seguinte, considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a 
distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade 
escolhido para análise. Sabe-se que: 
I. As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, sendo as frequências relativas do 
segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente. 
II. O terceiro intervalo possui o dobro do número de recolhimentos do segundo intervalo. 
 
FCC – SEFAZ/SP – 2009 – Adaptada) A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou 
iguais a R$ 3.000,00 é 
(A) 70% 
(B) 65% 
(C) 55% 
(D) 45% 
(E) 40% 
RESOLUÇÃO: 
Observe que as frequências relativas somam 1, ou seja, 100%. Ou seja: 
0,10 + x + y + 0,20 + 0,10 = 1 
x = 0,60 – y 
Como foi dito que o número de recolhimentos do terceiro intervalo é o dobro 0do número de recolhimentos do 
segundo, então também podemos dizer que as frequências relativas do terceiro intervalo (y) são o dobro das 
freqüências relativas do segundo (x): 
y = 2x 
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Substituindo y por 2x na primeira equação, temos: 
x = 0,60 – 2x 
3x = 0,60 
x = 0,20 
Com isso, 
y = 2x = 2.0,20 = 0,40 
Com isso, temos a seguinte tabela: 
 
Assim, a porcentagem de valores arrecadados iguais ou superiores a 3000 reais é a soma das frequências 
relativas das três classes mais altas: 
0,40 + 0,20 + 0,10 = 0,70 = 70% 
Resposta: A 
 
Gráficos estatísticos 
Gráficos também são muito utilizados no estudo da Estatística Descritiva. O principal deles, conhecido 
como Histograma, é um gráfico de barras que representa, no seu eixo horizontal, as classes de valores que uma 
variável pode assumir, e em seu eixo vertical os valores das frequências de cada classe. Para exemplificar, vamos 
utilizar os dados da tabela abaixo, que já usamos anteriormente: 
Classe Frequências 
(Fi) 
Frequências absolutas 
acumuladas (Fac) 
Frequências relativas 
acumuladas (Frc) 
1,50| – 1,60 26 26 32,50% 
1,60| – 1,70 19 45 56,25% 
1,70| – 1,80 33 78 97,50% 
1,80| – 1,90 2 80 100% 
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O histograma das frequências de cada classe seria assim: 
 
 
Note que, de fato, temos 26 frequências na classe 1,50|-- 1,60; 19 na classe 1,60|-- 1,70; e assim 
sucessivamente. Podemos traçar ainda o gráfico das frequências absolutas acumuladas, que normalmente é 
representado por uma linha como esta abaixo: 
 
 
Este gráfico de frequências acumuladas acima, onde ligamos os pontos extremos (limites superiores) das 
classes de valores, é conhecido como ogiva. Chamamos a figura formada no gráfico de polígono de frequências. 
Note que, no gráfico de frequências acumuladas, colocamos apenas o limite superior de cada classe de dados. 
Veja, por exemplo, que 78 frequências ocorrem abaixo de 1,80m. 
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Finalmente, veja o gráfico das frequências relativas acumuladas: 
 
Da leitura deste gráfico, podemos inferir que 97,5% das frequências são iguais ou inferiores a 1,80m. 
 
Simetria de uma distribuição de dados 
Observe agora o seguinte Histograma, relativo à observação das idades dos moradores de um 
determinado bairro: 
 
 
O colchete [ indica que o intervalo é fechado naquela extremidade, e o parêntese ) indica que o intervalo 
é aberto naquela extremidade. Isto é, no intervalo [10, 20), sabemos que estão contidas as pessoas com 
exatamente 10 anos, mas não estão contidas as pessoas com 20 anos. 
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Note que esse gráfico possui um pico na classe de 30 a 40 anos, e à medida que as classes se afastam desta 
(para a esquerda ou para a direita), a quantidade de frequências é igual, dando um aspecto de simetria (ex.: 
temos 15 frequências tanto no intervalo 20 - |30 como no intervalo 40 - |50). 
Podemos ter também histogramas assimétricos. Neste abaixo, temos uma assimetria à direita 
(assimetria positiva), pois temos o pico em 10-20 anos e os dados se estendem para a direita (sentido positivo), 
assumindo valores de até 70 anos. 
 
Já o histograma abaixo apresenta um caso de assimetria à esquerda (negativa) , onde os dados se 
estendem para a esquerda (sentido negativo): 
 
 
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Antes de prosseguirmos, vejamos um exercício sobre gráficos estatísticos. 
ESAF – IRB - 2006) No campo estatístico, ogivas são: 
a) polígonos de frequência acumulada. 
b) polígonos de frequência acumulada relativa ou percentual. 
c) histograma de distribuição de frequência. 
d) histograma de distribuição de frequência relativa ou percentual. 
e) o equivalente à amplitude do intervalo. 
RESOLUÇÃO: 
A ogiva, como vimos ao estudar os gráficos estatísticos, é uma figura formada no gráfico contendo, no eixo 
horizontal, os pontos extremos (limites superiores) dos intervalos de classes de dados, e no eixo vertical as 
frequências acumuladas. Reveja abaixo o exemplo que usamos na aula: 
 
Como você pode ver, trata-se de um gráfico de frequências acumuladas. 
Resposta: A 
 
MEDIDAS ESTATÍSTICAS 
Além dos gráficos e tabelas, outro recurso importante para a estatística descritiva é o uso de medidas 
estatísticas. Estas medidas tem por objetivo auxiliar o entendimentode um conjunto de dados, resumindo-os 
e apresentando as suas características mais relevantes. Dividimos as medidas estatísticas em alguns grupos: 
medidas de posição (ou de centralidade, ou de tendência central), medidas de dispersão (ou variabilidade), 
medidas de assimetria e curtose etc. 
 
Nesta aula veremos as medidas de posição (ou tendência central). Trata-se de medidas estatísticas que 
nos fornecem pontos de referência para interpretar uma distribuição de dados. São “posições características” 
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que podem ser usadas para resumir toda a distribuição. A título de exemplo, ao invés de apresentar toda uma 
distribuição de idades dos eleitores de uma cidade, eu poderia fornecer-lhe apenas a idade média destes 
eleitores. Este valor é um resumo daquela distribuição – e como todo resumo, ele acaba por omitir algumas 
informações. 
As principais medidas de posição são: média, moda e mediana. 
Média 
Certamente você ouve falar sobre alguma “média” praticamente todo dia: média salarial da sua categoria 
profissional, média de idade de um grupo de pessoas, velocidade média de um carro, expectativa média de vida 
dos brasileiros, etc. Acredito que você tenha uma noção de que a média é um número que, de alguma forma, 
representa uma característica de um grupo. 
Por exemplo, se eu te disser que a idade média dos jogadores da seleção de futebol do Paquistão é de 23 
anos, que imagem vem à sua mente? Por mais que provavelmente você não conheça nenhum jogador do 
Paquistão, você deve imaginar um grupo de jovens em torno de 23 anos, certo? Dificilmente você vai imaginar 
um grupo de crianças, ou um grupo de idosos... Portanto, a média aritmética é uma medida que tenta resumir 
as características de um grupo em um único número. Ao invés de listar as idades de todos os jogadores de 
futebol, é bem mais fácil eu te falar a idade média deles. Se eu te disser que a seleção da Jamaica tem idade 
média de 30 anos, você vai conseguir fazer uma comparação entre os dois times, concorda? Vai imaginar que 
os jogadores da Jamaica tendem a ser mais velhos que os do Paquistão – embora possam existir jogadores 
paquistaneses mais velhos que alguns dos jamaicanos. 
Ao longo das próximas seções nós vamos aprender como calcular a média em diversas situações. 
Veremos que, conforme os dados nos forem apresentados, o cálculo deve ser feito de forma diferente. Também 
vamos conhecer algumas propriedades da média que nos permitem realizar análises mais rápidas. E, por fim, 
falaremos de outros tipos de média, além da média aritmética, que é a mais comum de todas (e mais cobrada 
em prova). 
Cálculo da média para uma lista de dados (“dados em rol”) 
De maneira geral, a média é o resultado da divisão entre: 
- a soma de todos os valores da variável observada; e 
- a quantidade de valores da variável. 
Isto é, 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
 
Imagine que temos 4 colegas de turma reunidos, e a variável X que representa o número de irmãos que 
cada um tem. Descobrimos que as quantidades de irmãos de cada um são: {2, 3, 5, 5}. Ou seja, um colega tem 
2 irmãos, outro colega tem 3 irmãos, e outros dois colegas possuem 5 irmãos cada um. Qual é a quantidade 
média de irmãos que esses colegas possuem? Repare que basta fazermos: 
 
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𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
=
2 + 3 + 5 + 5
4
=
15
4
= 3,75 𝑖𝑟𝑚ã𝑜𝑠 
 
Portanto, em média os colegas possuem 3,75 irmãos. Note que é impossível uma pessoa ter exatamente 
“3,75 irmãos”. É preciso ter muito cuidado ao interpretar o valor obtido com a média. De qualquer forma, 
perceba que 3,75 é um número que se situa entre o menor (2) e o maior (5) valores da distribuição. Isto sempre 
vai acontecer. Não é possível ter uma média inferior ao menor valor, e nem superior ao maior valor. 
De maneira mais técnica, a fórmula para o cálculo da média de uma variável aleatória X é: 
1
n
i
Xi
Média
n
==

 
(leia: a média é igual ao somatório dos valores Xi, com i variando de 1 até n, dividido por n) 
 
Esta fórmula, que é a mesma da anterior, deve ser usada quando a questão nos fornecer uma lista de 
valores. Alguns autores chamam isso de “dados em rol”. Nestes casos, como vimos, basta somar todos os 
valores e dividir esta soma pela quantidade de valores. 
 
Veja comigo essa questão: 
CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2013) Um filme foi exibido em um cinema em 8 diferentes sessões, ao longo de todo o 
dia. O número de presentes em cada sessão é mostrado na tabela abaixo: 
 
O número médio de pessoas por sessão corresponde a: 
A) 68 
B) 72 
C) 76 
D) 81 
E) 85 
RESOLUÇÃO: 
Veja que temos uma lista de dados, que podemos representar assim: {88, 102, 90, 76, 94, 82, 80, 68). São OITO 
valores ao todo. Para calcular a média de uma lista de dados, basta fazer: 
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Ou seja, 
Média = (88 + 102 + 90 + 76 + 94 + 82 + 80 + 68) / 8 
Média = 85 
Resposta: E 
 
A partir da fórmula da média, podemos escrever também que: 
Soma dos valores = Média x Quantidade 
 
Este jeito de visualizar a fórmula pode ser muito útil em algumas questões. Veja esta: 
VUNESP – PREF. SJC – 2012) A média aritmética de alturas de 10 alunos de um time de futebol é 175 cm. Dois 
novos alunos entram para o time, e a nova média de alturas passa a ser 178 cm. Se a diferença entre as alturas 
desses dois novos jogadores é 6 cm, o maior dos dois mede, em cm, 
(A) 188. 
(B) 190. 
(C) 192. 
(D) 194. 
(E) 196. 
RESOLUÇÃO: 
No início do enunciado, sabemos que a média de altura é 175cm, e a quantidade de jogadores é 10. Portanto, 
Soma das alturas = Média x Quantidade 
Soma das alturas = 175 x 10 
Soma das alturas = 1750cm 
Vamos chamar este valor simplesmente de “S”. Sejam A e B as alturas dos dois novos jogadores. Após a 
inclusão dos dois, a média passa a ser de 178cm, e o total de jogadores passa a ser 12. Assim: 
Média = Soma dos valores / quantidade 
178 = (S + A + B) / 12 
178 = (1750 + A + B) / 12 
178 x 12 = 1750 + A + B 
A + B = 386cm 
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Foi dito ainda que a diferença de altura entre esses dois novos jogadores é de 6cm. Ou seja, 
A – B = 6 
A = B + 6 
Substituindo A por “B + 6” na equação A + B = 386, temos: 
(B + 6) + B = 386 
2B = 380 
B = 190cm 
A = B + 6 = 190 + 6 = 196cm 
Assim, o mais alto dos dois novos jogadores mede 196cm. 
Resposta: E 
 
Cálculo da média para uma tabela de frequências 
Em algumas questões o examinador vai nos fornecer uma tabela de frequências, como esta abaixo: 
Altura (Xi) Frequências (fi) 
1,50m 2 
1,51m 2 
1,53m 1 
1,57m 10 
Como ler essa tabela? Basta você saber que as frequências são o número de repetições de cada valor da 
nossa variável Altura. Isto é, temos 2 pessoas com 1,50m, temos outras 2 pessoas com 1,51m, apenas 1 pessoa 
com 1,53m, e um total de 10 pessoas com 1,57m. 
Para calcularmos a altura média a partir de uma tabela de frequências como esta, devemos usar a 
seguinte fórmula (por favor não se assuste com a “cara” dela, você verá que o seu uso é relativamente simples): 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 
∑ (𝑋𝑖 × 𝑓𝑖)
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
 
(leia: a média é igual ao somatório dos produtos Xi.fi dividido pela soma de fi) 
 
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Nessa fórmula, Xi representa cada um dos valores que a variável X (ex.: altura) pode assumir, e fi 
representa a frequência (repetição) referente a cada um desses valores. 
Embora a fórmula pareça estranha, a sua aplicação é bem simples. Basta você aproveitar a própria tabela 
que o examinador forneceu e criar uma nova coluna, na qual você vai calcular Xi.fi, isto é, vai multiplicar os dados 
das duas colunas fornecidas. Veja: 
Altura (Xi) Frequências (fi) Xi.fi 
1,50m 2 1,50 x 2 = 3,00 
1,51m 2 1,51 x 2 = 3,02 
1,53m 1 1,53 x 1 = 1,53 
1,57m 10 1,57 x 10 = 15,7 
 
Feito isto, podemos somar todos os valores da coluna Xi.fi, obtendo o termo ∑ (𝑋𝑖 × 𝑓𝑖)
𝑛
𝑖=1 , e 
também somar todos os termos da coluna fi, obtendo o termo ∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1 . Veja na tabela a última linha que 
incluí: 
Altura (Xi) Frequências (fi) Xi.fi 
1,50m 2 1,50 x 2 = 3,00 
1,51m 2 1,51 x 2 = 3,02 
1,53m 1 1,53 x 1 = 1,53 
1,57m 10 1,57 x 10 = 15,7 
 15 23,25 
 
Agora basta dividir um valor pelo outro, obtendo: 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 
∑ (𝑋𝑖 × 𝑓𝑖)
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
=
23,25
15
= 1,55𝑚 
Compreendeu? Espero que sim! Resumi abaixo esses passos do nosso cálculo: 
 
 
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CÁLCULO DA MÉDIA ARITMÉTICA PARA UMA TABELA DE FREQUÊNCIAS 
1. Criar uma coluna para calcular Xi . fi 
2. Somar todos os valores da coluna Xi . fi 
3. Somar todos os valores da coluna das frequências (fi) 
4. Dividir a soma dos valores da coluna Xi . fi pela soma das frequências (fi) 
Veja esta questão antes de avançar no seu estudo: 
A tabela apresenta o número de acertos dos 600 candidatos que realizaram a prova da segunda fase de um 
concurso, que continha 5 questões de múltipla escolha. 
 
VUNESP – TJM/SP – 2017) A média de acertos por prova foi de 
(A) 3,57. 
(B) 3,43. 
(C) 3,32. 
(D) 3,25. 
(E) 3,19. 
RESOLUÇÃO: 
Repare que temos uma tabela de frequências, em que os números de acertos são os valores da variável 
analisada (Xi), e os números de candidatos com cada quantidade de acertos são as frequências (fi). 
Podemos aproveitar a tabela fornecida para incluir uma coluna na qual multiplicamos Xi.fi, ou seja, 
 
Número de acertos 
(Xi) 
Número de 
candidatos (fi) 
Xi . fi 
5 204 5x204 = 1020 
4 132 4x132 = 528 
3 96 3x96 = 288 
2 78 2x78 = 156 
1 66 1x66 = 66 
0 24 0x24 = 0 
 
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Somando a coluna Xi.fi temos o valor 2058. E somando a coluna das frequências, temos 600 (como o próprio 
enunciado já havia dito). Portanto, 
 
Resposta: B 
 
Cálculo da média para dados agrupados em classes 
Veja esta tabela: 
Classes (intervalos) de alturas Frequências (fi) 
1,49 a 1,51m 2 
1,51 a 1,53m 2 
1,53 a 1,55m 1 
1,55 a 1,57m 10 
 
Veja que os dados estão agrupados em intervalos. Podemos dizer que 2 pessoas do grupo possuem altura 
entre 1,49m e 1,51m, assim como 10 pessoas do grupo possuem altura entre 1,55m e 1,57m. Compreendeu a 
leitura da tabela? Então vamos avançar. 
Quando os dados estão agrupados em classes, temos APENAS UMA modificação a fazer em relação ao 
cálculo anterior: devemos substituir os intervalos pelos seus respectivos pontos médios. Como assim? Ao 
invés de considerar o intervalo de 1,49m a 1,51m, por exemplo, nós vamos SUBSTITUIR pelo valor 1,50m, que 
está exatamente no meio entre 1,49 e 1,51. Da mesma forma, nós vamos substituir o intervalo de 1,51 a 1,53 
pelo valor 1,52m, que está exatamente no meio. Chamamos estes valores do meio de PONTOS MÉDIOS. 
Intuitivo, não acha? 
Nesse nosso exemplo a identificação dos pontos médios é relativamente fácil. Mas talvez você não ache 
tão simples assim encontrar o ponto médio do intervalo: 1,71 a 1,87m. Como fazer nesse caso? Basta somar os 
dois extremos e dividir essa soma por 2. Veja: 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 =
1,71 + 1,87
2
= 1,79𝑚 
Na tabela abaixo eu incluí uma terceira coluna em nossa tabela, na qual eu calculei os pontos médios: 
Classes de alturas Frequências (fi) PMi 
1,49|--1,51 2 (1,49+1,51)/2 = 1,50 
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1,51|--1,53 2 (1,51+1,53)/2 = 1,52 
1,53|--1,55 1 (1,53+1,55)/2 = 1,54 
1,55|--1,57 10 (1,55+1,57)/2 = 1,56 
 
Pronto, essa é a ÚNICA MODIFICAÇÃO. Nós vamos utilizar os pontos médios (PMi) no lugar dos 
intervalos. A fórmula para o cálculo da média fica: 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 
∑ (𝑃𝑀𝑖 × 𝑓𝑖)
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
Veja que eu marquei em vermelho o PMi, pois esta é a única mudança dessa fórmula para a anterior. 
O próximo passo consiste em calcular os valores das multiplicações PMi x fi, multiplicando essas duas 
colunas. Veja: 
Classes de alturas Frequências (fi) PMi PMi . fi 
1,49|--1,51 2 1,50 1,50x2 = 3,00 
1,51|--1,53 2 1,52 1,52x2 = 3,04 
1,53|--1,55 1 1,54 1,54x1 = 1,54 
1,55|--1,57 10 1,56 1,56x10 = 15,6 
 
Agora podemos somar todos os elementos da coluna PMi.fi, obtendo o termo ∑ (𝑃𝑀𝑖 × 𝑓𝑖)
𝑛
𝑖=1 da 
nossa fórmula. E podemos somar todos os termos da coluna fi, obtendo o termo ∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1 da fórmula. 
Ficamos com: 
Classes de alturas Frequências (fi) PMi PMi . fi 
1,49|--1,51 2 1,50 3,00 
1,51|--1,53 2 1,52 3,04 
1,53|--1,55 1 1,54 1,54 
1,55|--1,57 10 1,56 15,6 
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 15 23,18 
Agora só precisamos dividir uma soma pela outra: 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 
∑ (𝑃𝑀𝑖 × 𝑓𝑖)
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
=
23,18
15
= 1,545𝑚 
 
Deu para me acompanhar? Espero que sim 😊 . Veja abaixo o passo a passo deste cálculo: 
CÁLCULO DA MÉDIA ARITMÉTICA PARA UMA TABELA COM INTERVALOS DE CLASSES 
1. Criar uma coluna para calcular os pontos médios de cada classe (PMi) 
2. Criar uma coluna para calcular PMi . fi 
3. Somar todos os valores da coluna PMi . fi 
4. Somar todos os valores da coluna das frequências (fi) 
5. Dividir a soma dos valores da coluna PMi . fi pela soma das frequências (fi) 
 
Pratique esta fórmula resolvendo a seguinte questão: 
IDECAN – BOMBEIROS/DF – 2017) A média aritmética da distribuição de frequências a seguir é: 
 
A) 4,9. 
B) 5,2. 
C) 5,3. 
D) 5,5. 
RESOLUÇÃO: 
Estamos diante de uma tabela na qual os valores estão em intervalos de classes. O primeiro passo para calcular 
a média é, portanto, obter os pontos médios de cada classe: 
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O próximo passo consiste em obter os valores das multiplicações PMi.fi, que entrarão em nossa fórmula. 
Vejamos: 
 
A soma da coluna PMi.fi é igual a 520. Já a soma da coluna das frequências fi é 100. Logo, 
 
Resposta: B 
 
Propriedades da média aritmética 
Vejamos algumas propriedades relativas à média de um conjunto de dados. Elas são muito cobradas em 
prova. Para isso, observe a distribuição: {1,2,2,5,5}. 
A média desta distribuição é 3, afinal: 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
1 + 2 + 2 + 5 + 5
5
=
15
5
= 3 
 
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Se somarmos 2 unidades em cada elemento desta distribuição, ficamos com {3,4,4,7,7}. Qual será a média 
desta nova distribuição? Será que precisamos calcular novamente? A resposta é: NÃO precisamos calcular 
novamente, basta aplicar uma propriedade da média: 
 
- se somarmos um mesmo valor (neste caso o 2) a todos os termos de uma distribuição, a média também 
é acrescida deste mesmo valor. Ou seja, se antes a média era 3, agora elapassa para 3+2=5. 
 
Da mesma forma, se subtrairmos 2 unidades da nossa distribuição, ficamos com: {-1,0,0,3,3}. A média 
desta distribuição é igual a 1. Isto porque basta pegar a média original (3) e subtrair 2 unidades. 
 
Portanto, guarde essa propriedade: 
Somando-se ou subtraindo-se um valor constante em todas as observações, a média desse novo conjunto será somada ou 
subtraída do mesmo valor. 
 
E se eu quiser multiplicar todos os elementos da minha distribuição original por 2? Neste caso, ficarei com 
a distribuição {2,4,4,10,10}. Qual será a sua média? Basta eu multiplicar a média original (3) pelo mesmo valor 
(2), obtendo 3x2 = 6. 
 
Esta mesma lógica vale para a divisão. Portanto, fique com mais esta propriedade: 
Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores observados por um valor constante, a média desse novo conjunto será 
multiplicada ou dividida pelo mesmo valor. 
 
Outra propriedade interessante é a seguinte: 
A soma das diferenças entre cada observação e a média é igual a zero 
 
Para exemplificar, como na nossa distribuição original a média era 3, veja quanto dá a soma das diferenças 
entre cada observação e esta média: 
(1-3) + (2-3) + (2-3) + (5-3) + (5-3) = 
-2 – 1 – 1 + 2 + 2 = 
0 
Por fim, repare que o valor da média é calculado utilizando todos os valores da amostra. Portanto, 
qualquer alteração nesses valores poderá alterar a média. Assim, costumamos dizer que: 
A média é afetada pelos valores extremos da distribuição 
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 Exemplificando essa propridade: se substituirmos o valor 5 pelo valor 50 na nossa distribuição original, a 
média muda significativamente, concorda? 
 
 Uma última propriedade: 
Existe uma única média para um determinado conjunto de valores 
 
 Quando temos um grupo de números, esse grupo terá um ÚNICO VALOR representado a sua média. Isso 
não é necessariamente verdadeiro para outras medidas de posição. Uma distribuição pode ter mais de uma 
MODA, por exemplo (ou mesmo não ter nenhuma moda). 
 
Veja essa questão, que é relativa às propriedades da média: 
DOM CINTRA - PREF. PALMAS - 2010) A média aritmética das 25 notas de uma prova de matemática foi igual 
a 6,0. Se o professor aumentar 0,5 em cada uma dessas 25 notas, e, em seguida, calcular a média de todas elas, 
o valor encontrado por ele será de: 
a) 5,5 
b) 6,0 
c) 6,5 
d) 7,0 
e) 7,5 
RESOLUÇÃO: 
Aqui podemos usar uma das propriedades da média: se somarmos uma constante k a todos os membros de 
uma amostra, a nova média será igual à anterior, somada de k. Portanto, se somamos k = 0,5 na nota de cada 
um dos alunos, basta somar 0,5 na média anterior e obtemos a nova média: 6 + 0,5 = 6,5. 
Resposta: C 
 
Média aritmética ponderada 
Imagine o seu boletim de Matemática no colégio. As notas de cada um dos 4 bimestres letivos foram, 
respectivamente: 5, 5, 6, 8. Qual foi a sua nota média? Neste caso temos: 
- soma das notas = 5 + 5 + 6 + 8 = 24 
- quantidade de notas = 4 
Logo, a nota média é 24 / 4 = 6,0. 
 
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Agora imagine que a sua escola dá pesos diferentes para as notas de cada bimestre, sendo que o 1º 
bimestre tem o menor peso e o 4º tem o maior peso. Suponha que o peso do 1º bimestre é 1, do 2º é 2, do 3º é 
3 e do 4º é 4. Qual seria a sua nota média, aplicando-se os respectivos pesos? Estamos diante de um cálculo de 
média ponderada, isto é, uma média onde cada um dos valores observados tem um peso diferente, ou uma 
ponderação diferente. O cálculo é muito similar àquele que vimos ao trabalhar com tabelas, usando a fórmula: 
1
1
( )
n
i
n
i
Xi Fi
Média
Fi
=
=

=


 
Simplesmente vamos usar, no lugar das frequências fi, os valores dos pesos. Você pode fazer o cálculo 
montando uma tabela como esta: 
Nota (Xi) Peso do bimestre (fi) 
5 1 
5 2 
6 3 
8 4 
 
 Podemos criar a coluna para fazer a multiplicação entre as notas e os pesos: 
Nota (Xi) Peso do bimestre (fi) Xi . fi 
5 1 5x1 = 5 
5 2 5x2 = 10 
6 3 6x3 = 18 
8 4 8x4 = 32 
 
 Veja que a soma dos termos da coluna de Xi . fi é 65. Já a soma dos pesos (coluna fi) é 10. Efetuando a 
divisão, temos a média: 
65
6,5
10
Média = = 
 
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Se preferir, você pode fazer o cálculo sem utilizar a tabela. Basta jogar os valores diretamente na fórmula, 
como fiz a seguir: 
1
1
( )
5 1 5 2 6 3 8 4
1 2 3 4
n
i
n
i
Xi Fi
Média
Fi
=
=

 +  +  + 
= =
+ + +


 
65
6,5
10
Média = = 
 
Compare essa nota com aquela média obtida no cálculo de média aritmética simples (6,0). Observe que, 
como o 4º bimestre tem um peso maior, e justamente nesse bimestre tiramos uma nota maior (8), a média foi 
“puxada” para cima, indo de 6 para 6,5. Este é o efeito da ponderação: a média é “puxada” em direção aos 
valores correspondentes aos maiores pesos. 
Sobre este assunto, trabalhe a próxima questão: 
CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2013) A avaliação dos alunos em determinada disciplina é feita por meio de 4 provas, 
que possuem peso diferente na composição da nota final. A nota de determinado aluno em cada prova e o seu 
peso respectivo estão indicados na tabela abaixo: 
 
A nota final desse aluno é: 
A) 7,12 
B) 7,50 
C) 7,63 
D) 8,00 
E) 8,17 
RESOLUÇÃO: 
Aqui podemos utilizar a média ponderada para calcular a nota final: 
Média = (1 x 7 + 2 x 8 + 2 x 9,5 + 1 x 6) / (1 + 2 + 2 + 1) = 8 
Resposta: D 
 
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Mediana 
É a observação “do meio” quando os dados são organizados do menor para o maior. Abaixo da mediana 
encontram-se 50% (metade) das observações, e a outra metade encontra-se acima da mediana. Vamos 
aprender a calcular a mediana nas situações mais comuns em prova. 
 
Cálculo da mediana para uma lista de dados (dados em rol) 
Observe esses 5 valores: {9,4,5,1,8}. Como temos uma lista de dados, para encontrar a mediana nós 
precisamos seguir dois passos: 
1. Colocar os dados em ordem crescente; 
2. Encontrar a posição que divida os dados em duas metades; 
3. A mediana será o valor que está nesta posição. 
 
Colocando os valores em ordem crescente, temos: 
{1,4,5,8,9} 
Repare que temos 5 números. O 3º número é aquele que divide os dados em duas metades, pois temos 2 
números antes dele e 2 números depois dele. Esta é a posição da mediana. 
Olhando a 3ª posição, vemos o número 5, que é o valor da mediana desta distribuição. 
Como esta era uma distribuição pequena, fica fácil ver que o 3º valor é o que divide a distribuição em duas 
metades. Em distribuições maiores, você pode encontrar a posição da mediana com fórmula 
(𝑛+1)
2
, onde n é o 
número de elementos da distribuição. Em nosso exemplo, como a distribuição tinha n = 5 termos, a posição da 
mediana deveria ser 
(5+1)
2
=
6
2
= 3. 
 
ATENÇÃO: se a distribuição tiver um número par de termos, o cálculo de 
(𝑛+1)
2
 não dará um resultado exato. 
 
 
Para exemplificar, veja esta distribuição que possui n = 6 elementos: 
{0,1,6,8,9,10} 
Como os dados estão em ordem crescente, podemos ir direto para o cálculo da posição da mediana, que 
é 
(𝑛+1)
2
=
(6+1)
2
=
7
2
= 3,5. A mediana deveria estar na posição “3,5”. Como esta posição não existe, o que 
devemos fazer é calcular a média entre os termos da 3ª e 4ª posições da distribuição. Como o 3º termo é 6 e o 
4º termo é 8, a mediana será: 
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𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =
(6 + 8)
2
=
14
2
= 7 
 
Cuidado para não confundir a posição da mediana com o valor da mediana. 
Pratique o conceito resolvendo este exercício: 
 
ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Determine a mediana das seguintes observações: 
17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9 
a) 13,5 
b) 17 
c) 14,5 
d) 15,5 
e) 14 
RESOLUÇÃO: 
Primeiramente devemos colocar as observações em ordem crescente: 
3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42 
Temos ao todo 23 observações, ou seja, n = 23. Como n é ímpar, então a mediana será a observação na posição: 
 
A 12ª observação é igual a 17. Portanto, Mediana = 17. 
Resposta: B 
 
Cálculo da mediana para dados em uma tabela de frequências 
Quando os dados estão dispostos em uma tabela de frequências, podemos utilizar esta ferramenta para 
encontrar a mediana. Veja a tabela a seguir: 
Alturas (Xi) Frequências (fi) 
1,50m 15 
1,51m 5 
1,53m 4 
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1,57m 2 
1,60m 10 
1,63m 8 
1,65m 1 
1,71m 20 
1,73m 10 
1,75m 3 
1,83m 2 
Observe que temos 80 dados. Além disso, veja que os valores da variável altura estão ordenados do menor 
para o maior nessa tabela. Portanto, a mediana será o valor da posição (80+1)/2 = 40,5. Isto é, a mediana será a 
média entre os valores da 40ª e 41ª posições. 
Para encontrar o 40º e o 41º valores, precisamos obter as frequências acumuladas. 
Valor da variável Frequências (Fi) Frequências absolutas 
acumuladas (Fac) 
1,50m 15 15 
1,51m 5 20 
1,53m 4 24 
1,57m 2 26 
1,60m 10 36 
1,63m 8 44 
1,65m 1 45 
1,71m 20 65 
1,73m 10 75 
1,75m 3 78 
1,83m 2 80 
 
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Veja que até a altura 1,60m temos 36 pessoas. Temos mais 8 pessoas na altura 1,63m (abrangendo do 37º 
até o 44º). Portanto, tanto a posição 40 como a posição 41 possuem altura igual a 1,63m. Assim, a mediana será 
a média entre os valores dessas duas posições, que é: 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =
1,63 + 1,63
2
= 1,63𝑚 
Cálculo da mediana para dados em intervalos de classes (interpolação linear) 
Caso os dados sejam dispostos em uma tabela com intervalos de classes, o método para obtenção da 
mediana será conhecido como interpolação linear. Vamos aprender a usá-lo por meio de um exemplo. A tabela 
abaixo apresenta os intervalos de alturas de uma certa população, como já vimos anteriormente nesta aula. 
Com base nisso, vamos obter a altura mediana. 
Classe Frequências (Fi) Frequências absolutas 
acumuladas (Fac) 
1,50| – 1,60 26 26 
1,60| – 1,70 19 45 
1,70| – 1,80 33 78 
1,80| – 1,90 2 80 
1º passo: calcular a divisão n/2, onde n é o número total de frequências, obtendo a posição da mediana. 
Em nosso exemplo, n = 80 indivíduos, portanto a posição da mediana é 80/2 = 40 (muito cuidado, pois 
quando usamos esse método não calculamos (n+1)/2, como vimos anteriormente). 
 
2º passo: identificar a classe onde se encontra a mediana 
Observe a coluna de frequências acumuladas (caso ela não tenha sido fornecida, prepare-a). Veja que o 
elemento da posição 40 encontra-se na classe 1,60|--1,70 (pois esta classe vai do 26 ao 45). Portanto, essa é a 
classe mediana. 
 
3º passo: montar a proporção entre as frequências acumuladas e os limites da classe da mediana 
Neste passo vamos montar duas retas paralelas, como você vê abaixo, uma delas com as frequências 
acumuladas e a outra com os valores de alturas correspondentes: 
Frequências :26 40 45 
|-----------------------------|----------------| 
Valores: 1,60 X 1,70 
|-----------------------------|----------------| 
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Repare que eu associei (coloquei um abaixo do outro): 
- a última frequência da classe anterior (26) com o limite de altura daquela classe (1,60), que também é o 
limite inferior da classe da mediana; 
- a frequência da mediana (40) com o valor da mediana (X), que buscamos; 
- a última frequência da classe da mediana (40) com o limite de altura dessa classe (1,70). 
Feito isso, basta montar a proporção abaixo: 
𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠
𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠
=
𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
 
Ou seja, 
45 - 40 1,70 - X
=
45 - 26 1,70 - 1,60
 
Feito isso, basta terminar o cálculo para encontrar o valor de X, que neste caso é X = 1,67m. Esta é a 
mediana pelo método da interpolação linear. Exercite este método com a questão abaixo: 
 
FCC – SEFAZ/SP – 2006) O histograma de frequências absolutas abaixo demonstra o comportamento dos 
valores arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada: 
 
Observação: Considere que todos os intervalos de classe do histograma são fechados à esquerda e abertos à 
direita. 
Utilizando as informações contidas nesse histograma, calculou-se a média aritmética destes valores 
arrecadados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com 
o ponto médio deste intervalo. Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da interpolação 
linear. Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a: 
a) R$100,00 
b) R$400,00 
c) R$800,00 
d) R$900,00 
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e) R$1000,00 
RESOLUÇÃO: 
Para facilitar o nosso trabalho, vamos escrever os dados do gráfico em tabela, e já calcular o ponto médio de 
cada intervalo de classe: 
 
Assim, a média será: 
1
1
( )
1,5 200 2,5 400 3,5 500 4,5 600 5,5 300
3,7
200 400 500 600 300
n
i
n
i
PMi Fi
Média
Fi
=
=

 +  +  +  + 
= = =
+ + + +


 
Veja que os valores no gráfico estão em milhares de reais, portanto a média é de R$3700,00. 
Para obter a mediana, veja’ que temos n = 2000 frequências ao todo. Pelo método da interpolação linear, a 
mediana será o termo correspondente à posição n/2 = 1000. Esta posição encontra-se no intervalo de 3 a 4 mil 
reais, como você pode ver na tabela abaixo: 
 
Montando a proporção, temos: 
 Frequências: 600 1000 1100 
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 |-----------------------------|----------------| 
 Valores: 3 X 4 
 |-----------------------------|----------------| 
 
Assim, temos: 
− −
=
− −
=
4 1100 1000
4 3 1100 600
3,8
X
X
 
Portanto, a mediana é igual a R$3800,00 reais. A diferença entre a média e a mediana é de R$100,00. 
Resposta: A 
 
Propriedades da mediana 
Para finalizar o estudo da Mediana, note que ela é um único número para um determinado conjunto de 
observações. Não existem duas medianas para o mesmo conjunto. 
Veja também que o valor da mediana não é afetado pela troca de algum valor extremo (máximo ou 
mínimo) na distribuição. Para exemplificar, veja essas duas distribuições: 
3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42 
e 
3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23,24, 25, 31, 57, 88 
Apesar de eu ter trocado dois termos extremos da primeira para a segunda distribuição, ambas possuem 
a mesma mediana. Repare que a média se altera (neste caso, a média da segunda distribuição certamente seria 
maior). 
Moda 
A moda é o valor da observação com maior número de frequências, ou repetições (isto é, é o valor que 
está “na moda”). Ao contrário da média e da mediana, que são valores únicos, uma amostra pode ter 1, 2 ou 
mais modas (ser unimodal, bimodal etc.). Veja este conjunto de idades: 
{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} 
Note que a idade 8 é a que aparece mais vezes (3 vezes). Portanto, a moda deste conjunto é igual a 8. Já 
na tabela de alturas, que reproduzo novamente, a moda é a altura de 1,71m, pois ela aparece 20 vezes: 
 
 
 
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Valor da variável Frequências (Fi) 
1,50m 15 
1,51m 5 
1,53m 4 
1,57m 2 
1,60m 10 
1,63m 8 
1,65m 1 
1,71m 20 
1,73m 10 
1,75m 3 
1,83m 3 
 
Para fixar o que vimos até aqui, resolva a questão abaixo: 
 
ESAF – SEFAZ/CE – 2006) O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 
9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente: 
a) 3, 6 e 5. 
b) 3, 4 e 5. 
c) 10, 6 e 5. 
d) 5, 4 e 3. 
e) 3, 6 e 10. 
RESOLUÇÃO: 
Em exercícios que solicitam a moda, a média e a mediana, devemos ser “espertos” e começar calculando as 
mais fáceis, partindo então para as mais difíceis. Muitas vezes será possível acertar a questão sem precisar 
calcular todas as medidas de posição. Portanto, recomendo a seguinte ordem: 
1º - calcular a moda; 
2º - calcular a mediana; 
3º - calcular a média. 
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Repare que você só vai calcular a média, que é o valor mais trabalhoso, caso as informações anteriores não 
sejam suficientes para marcar o gabarito correto. Vamos lá? 
 
A moda é aquela nota que mais se repete. Neste caso, a nota 3 repete-se três vezes, portanto esta é a moda. 
Viu como foi rápido? Entretanto, ficamos entre as alternativas A, B e E. Vamos partir para o cálculo da mediana. 
Colocando os dados em ordem crescente: 
3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10 
Veja que temos n = 10 notas. Como n é um número par, a mediana será a média aritmética das duas notas 
centrais. Calculando (n+1)/2 = (10+1)/2 = 5,5, vemos que as notas centrais são a da 5ª e 6ª posições. Na quinta 
posição temos uma nota 5, e na sexta posição outra nota 5. Portanto, a mediana será (5 + 5)/2 = 5. 
Ainda ficamos entre as alternativas A e B, o que nos obriga a partir para o cálculo da média. 
A média é calculada pela soma das notas, dividido pela quantidade de notas: 
3 3 3 4 5 5 8 9 10 10 60
6
10 10
X
+ + + + + + + + +
= = = 
Resposta: A 
 
Moda de Czuber e Moda de King 
Os problemas mais difíceis envolvendo moda são aqueles onde é dada uma tabela com classes de valores 
para a variável, como esta abaixo (que também já utilizamos nessa aula): 
Classe Frequências (Fi) 
1,50| – 1,60 26 
1,60| – 1,70 19 
1,70| – 1,80 33 
1,80| – 1,90 2 
Para calcular a moda, você precisará seguir os seguintes passos: 
1. Descobrir qual é a classe modal (CM). A classe modal é aquela que apresenta o maior número de 
frequências. Neste caso, trata-se da classe 1,70| - 1,80, que apresenta 33 frequências. Já sabemos que a 
moda está ali dentro, isto é, será um valor entre 1,70 e 1,80. Veja que o limite inferior dessa classe é li = 
1,70. Note ainda que todas as classes tem amplitude de 0,10m, isto é, a diferença entre o menor (li) e 
maior (Li) valor da classe é de 0,10m. 
2. Identificar a classe posterior (post) e a classe anterior (ant). Neste caso, a classe posterior é a de 1,80| 
- 1,90, que possui 2 frequências; e a classe anterior é a de 1,60| - 1,80, com 19 frequências. 
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3. Aplicar uma das duas fórmulas abaixo, dependendo do método de cálculo da moda indicado pelo 
exercício: 
 
Moda de King: 
fpost
Moda li c
fant fpost
  
= +   
+  
 
 
Nesta fórmula, li é o limite inferior da classe modal (li = 1,70), c é a amplitude da classe modal (c = Li – li), 
fpost é o número de frequências da classe posterior (fpost = 2) e fant é o número de frequências da classe 
anterior (fant = 19). Portanto, a moda será: 
2
1,70 0,10 1,7095
2 19
Moda m
  
= +  =  +  
 
 
Moda de Czuber: 
2 ( )
fcm fant
Moda li c
fcm fant fpost
  −
= +   
− +  
 
Nessa fórmula fcm é o número de frequências da classe modal, que neste caso é fcm = 33. Portanto, a 
moda em nosso exemplo será: 
33 19
1,70 0,10 1,731
2 33 (19 2)
Moda m
  −
= +  =  
 − +  
 
Note que os valores obtidos são diferentes, motivo pelo qual você precisará saber as duas fórmulas. Se a 
questão não especificar o método, sugiro tentar primeiramente o método de Czuber. 
E note um grande diferencial do método de Czuber: ele é o único que leva em conta, no cálculo, as 
frequências da Classe Modal! Exercite esta fórmula com a questão abaixo: 
 
Instruções: Considere a distribuição de frequências a seguir para resolver a próxima questão. 
 
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FCC – BACEN – 2006) O valor da moda, obtida com a utilização da Fórmula de Czuber*, é igual a (desprezar 
os centavos na resposta) 
 Dados: 
* 
max
2. max ( )
Z Zant
Moda Li h
Z Zant Zpost
−
= +
− +
 
 em que: 
 Li = limite inferior da classe modal 
 h = intervalo de classe modal 
 Zmax = freqüência da classe modal 
 Zant = freqüência da classe anterior à classe modal 
 Zpost = freqüência da classe posterior à classe modal 
a) R$3201,00 
b) R$3307,00 
c) R$3404,00 
d) R$3483,00 
e) R$3571,00 
RESOLUÇÃO: 
Veja que a classe que apresenta maior número de frequências é aquela entre 3000-4000 reais, com Zmax = 16 
frequências. Essa é a classe modal. O seu limite inferior é Li = 3000 reais, e o seu intervalo é de h = 1000 reais. 
A classe anterior é a de 2000-3000 reais, que possui Zant = 8 frequências. E a classe posterior é a de 4000-5000 
reais, que possui Zpost = 10 frequências. 
Assim, podemos aplicar a fórmula de Czuber: 
max
2. max ( )
16 8
3000 1000
2.16 (8 10)
8
3000 1000 3571,42
14
Z Zant
Moda Li h
Z Zant Zpost
Moda
Moda
−
= +
− +
−
= +
− +
= + =
 
Resposta: E 
 
 
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Propriedades da moda 
Finalizando o estudo da Moda, veja que o seu valor não é afetado pelos valores extremos (mínimos e 
máximos) da distribuição. Isto é, a moda destas duas distribuições abaixo é a mesma: 
{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} 
e 
{ 1, 2, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} 
 
Além disso, lembre-se que uma distribuição pode não possuir nenhuma moda (ser amodal), ter uma única 
moda (ser unimodal), duas modas (ser bimodal), ou até mais. 
 
Simetria – média, mediana e moda 
Conhecendo a média, mediana e moda de uma amostra, podemos determinar a simetria daquela 
distribuição de dados. Veja isso na tabela abaixo: 
Simetria Média, Mediana e Moda 
Simétrica Média = Mediana = Moda 
Assimétrica positiva (à direita) Média > Mediana > Moda 
Assimétrica negativa (à esquerda) Média < Mediana < Moda 
 
Você não precisa decorar essa tabela. Inicialmente, veja um exemplo de distribuição simétrica, e perceba 
que, de fato, a média, mediana e moda encontram-se na mesma posição: 
 
Média, 
Mediana eModa 
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Quanto às distribuições assimétricas, basta lembrar que uma curva com assimetria negativa tem esse 
nome porque possui uma “cauda” para o lado esquerdo, isto é, para o sentido negativo do eixo horizontal; e 
uma curva com assimetria positiva possui uma cauda voltada para o sentido positivo do eixo horizontal. 
A existência de um prolongamento para um dos lados afeta a média, “puxando-a” naquele sentido. Por 
exemplo, na curva com assimetria negativa, a média é “puxada” para a esquerda, tornando-se a menor das três 
medidas de posição. A moda corresponde ao pico da curva (maior número de frequências), que neste caso é 
“puxado” para a direita, tornando a moda o maior dos três valores: 
 
No caso da assimetria positiva, a cauda se estende para a direita, puxando a média para este lado. A moda 
é puxada para a esquerda, pois há um pico de frequências à esquerda. Veja: 
 
Sobre este assunto, veja essa questão: 
 
média mediana moda 
moda mediana média 
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ESAF – IRB – 2006) Sendo a moda menor que a mediana e, esta, menor que média, pode-se afirmar que se 
trata de uma curva 
a) Simétrica. 
b) Assimétrica, com frequências desviadas para a direita. 
c) Assimétrica, com frequências desviadas para a esquerda. 
d) Simétrica, com frequências desviadas para a direita. 
e) Simétrica, com frequências desviadas para a esquerda. 
RESOLUÇÃO: 
No gráfico de distribuição de frequências, a moda se localiza na posição onde temos um pico de frequências. 
Se a moda é o menor valor, ela está deslocada para o lado esquerdo do eixo de valores (eixo horizontal). Isto 
significa que temos um pico de frequências à esquerda. Teremos também um prolongamento dos dados para 
a direita, o que “puxa” a média para este lado, tornando-a maior que as demais medidas de posição: 
 
Assim, estamos diante de uma distribuição Assimétrica Positiva (à direita). 
Resposta: B 
 
VALOR ESPERADO 
Chamamos de valor esperado de uma variável aleatória a soma dos produtos entre cada valor que a 
variável pode assumir e a probabilidade de cada valor ser obtido. Imagine, por exemplo, a variável aleatória X 
= “número de carros em uma casa”. A partir da análise de uma amostra de casas, você monta a tabela abaixo: 
Número de carros em uma casa: X Probabilidade: p(x) 
0 10% 
1 40% 
2 30% 
3 15% 
4 5% 
Mais de 4 0 
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Veja, por exemplo, que a probabilidade de entrar em uma casa com exatamente 3 carros é de 15%. Isto é, 
p(X = 3) = 15%. Assim, ao escolher aleatoriamente uma casa, o número esperado de carros ali presentes é dado 
por: 
( ) ( )E X x p x=  
( ) 0 10% 1 40% 2 30% 3 15% 4 5% 1,65E X =  +  +  +  +  = 
Portanto, espera-se encontrar 1,65 carros em uma casa escolhida aleatoriamente. Ou melhor, o valor 
esperado da variável aleatória X é igual a 1,65. Obviamente você nunca encontrará em uma casa um número 
fracionário de carros, mas ao avaliar várias casas, espera-se que em média você encontre 1,65 carros por casa. 
Utilizamos ainda os nomes “Esperança de X” ou “Expectância de X” como sinônimos do “Valor esperado 
de X”. E utilizamos o símbolo E(X). 
Assim, a rigor a esperança matemática, valor esperado ou expectância da variável aleatória X é dada por: 
1
( ) ( )i i
i
E X x p x

=
=  
A fórmula acima é válida para variáveis aleatórias discretas, de modo que p(xi) representa a probabilidade 
de cada valor xi que a variável X pode assumir. 
Algumas variáveis aleatórias apresentam a mesma probabilidade para qualquer dos valores possíveis. Em 
um dado não-viciado, por exemplo, a probabilidade de obter qualquer dos valores {1, 2, 3, 4, 5, 6} é igual a 1/6. 
Neste caso dizemos que estamos diante de um espaço amostral equiprovável, ou seja, todos os valores 
possíveis do espaço amostral da variável X possuem a mesma probabilidade. Nestes casos, o valor esperado é 
igual à média aritmética dos possíveis valores da variável aleatória. No caso do dado, temos: 
1
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 3,5
6 6 6 6 6 6
i i
i
E X x p x

=
=  =  +  +  +  +  +  =
 
Repare que o valor encontrado é justamente a média dos valores do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Isto é, a 
esperança matemática da variável aleatória X é justamente o valor médio desta variável. 
No caso das variáveis aleatórias contínuas, a fórmula da esperança é essencialmente a mesma, porém 
usando a Integral (operação que você não precisa conhecer). A título de curiosidade, seria: 
( ) ( )E X x f x dx

−
=  , 
onde f(x) é a função de densidade de probabilidade de X 
Finalizando, seguem algumas propriedades do Valor Esperado que julgo serem interessantes você 
conhecer: 
a) E(k) = k → a esperança de uma função constante é igual à própria constante. Ex.: se uma variável X é 
tal que só assume o valor k = 7, então E(X) = 7. 
 
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b) E(aX + b) = aE(X) + b → sendo a e b duas constantes, a variável aleatória Y = aX + b tem o valor esperado 
igual a aE(X) + b. Ex.: sendo Y = 2X + 1, então: 
E(Y) = E(2X + 1) = 2E(X) + 1 
 
c) E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) → sendo X e Y duas variáveis aleatórias, então a esperança da variável Z = 
aX + bY é igual a aE(X) + bE(Y). Ex.: sendo Z = 2X + 3Y, então: 
E(Z) = E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) 
 Chega de teoria! Que tal praticarmos um pouco de tudo o que vimos até aqui? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questões comentadas pelo professor 
ATENÇÃO: disponibilizei MUITAS questões nesta aula para que você possa praticar bastante. Não é necessário resolver 
todas, ok? Resolva um volume questões que te dê segurança quanto à assimilação do conteúdo. Lembre que o peso da 
minha matéria será pequeno em sua prova. Se for preciso, priorize as questões de concursos fiscais. 
1. CESPE – ABIN – 2018) 
Em fevereiro de 2018, o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP) começou 
a segunda etapa do Censo Escolar 2017, o módulo “Situação do Aluno”. Nessa etapa, serão coletadas 
informações sobre rendimento e movimento escolar dos alunos ao final do ano letivo de 2017. Para isso, será 
importante que as escolas utilizem seus registros administrativos e acadêmicos, como ficha de matrícula, diário 
de classe, histórico escolar. 
A partir do texto antecedente, julgue o item que se segue, relativo a estatísticas educacionais. 
( ) O texto se refere a um estudo censitário de diferentes variáveis da realidade educacional do país. 
RESOLUÇÃO: 
Observe que será realizado um censo escolar, ou seja, todos os elementos da população (alunos) serão 
avaliados. Trata-se, portanto, de um estudo censitário. E note ainda que diversas variáveis (características) da 
população serão analisadas: ficha de matrícula, diário de classe, histórico escolar. Item CERTO. 
Resposta: C 
 
2. CESPE – DEPEN – 2015) 
O diretor de um sistema penitenciário, com o propósito de estimar o percentual de detentos que possuem 
filhos, entregou a um analista um cadastro com os nomes de 500 detentos da instituição para que esse 
profissional realizasse entrevistas com os indivíduos selecionados. A partir dessa situação hipotética e dos 
múltiplos aspectos a ela relacionados, julgue os itens seguintes, referentes a técnicas de amostragem. 
() A diferença entre um censo e uma amostra consiste no fato de esta última exigir a realização de um número 
maior de entrevistas. 
RESOLUÇÃO: 
ERRADO, pois no censo devemos analisar TODOS os elementos da população, enquanto na amostra podemos 
reduzir nossa análise a um grupo menor. 
Resposta: E 
 
 
 
 
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3. CESPE – TJSE – 2014) 
Para verificar se a escolaridade dos servidores de determinado tribunal estaria relacionada à eficiência no 
atendimento ao público, um analista pesquisou alguns servidores, dispondo as informações obtidas na tabela 
a seguir. 
 
Com base nessas informações e considerando que a escolaridade de cada servidor entrevistado, apresentada 
na tabela, corresponda à maior escolaridade que possui, julgue os itens seguintes. 
( ) Foram pesquisados mais de 200 servidores. 
RESOLUÇÃO: 
ERRADO, pois somando os valores na tabela temos exatamente 200 servidores. 
RESPOSTA: E 
 
4. FCC – ICMS/SC – 2018) 
A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências dos salários, em número de salários mínimos (SM), 
dos funcionários de um órgão público: 
 
Sabe-se que: 
b − a = 5%, 
�̅� é a média salarial, obtida por meio dessa tabela, calculada como se todos os valores de cada faixa salarial 
coincidissem com o ponto médio da referida faixa, 
md é a mediana salarial, calculada por meio dessa tabela pelo método da interpolação linear. 
Nessas condições, �̅� + md, em anos, é igual a 
(A) 9,85 
(B) 11,35 
(C) 11,05 
(D) 10,95 
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(E) 11,65 
RESOLUÇÃO: 
A soma das frequências (porcentagens) deve ser igual a 100 (isto é, 100%), portanto: 
a + a + 20 + b + b – 10 = 100 
2a + 2b + 10 = 100 
2a + 2b = 90 
a + b = 45 
Foi dito que b – a = 5, de modo que b = a + 5. Substituindo b por a + 5 na equação acima, temos: 
a + a + 5 = 45 
2a = 40 
a = 20 
Logo, como b = a + 5, temos b = 20 + 5 = 25. Podemos reconstruir a tabela: 
Faixa salarial (SM) Porcentagem 
2 a 4 20% 
4 a 6 20 + 20 = 40% 
6 a 8 25% 
8 a 12 25 – 10 = 15% 
 
Para calcular a média, devemos criar a coluna dos pontos médios das faixas salariais: 
Faixa salarial (SM) Porcentagem 
Pontos Médios das faixas 
salariais 
2 a 4 20% 3 
4 a 6 40% 5 
6 a 8 25% 7 
8 a 12 15% 10 
 
Podemos multiplicar agora os pontos médios pelas respectivas frequências (porcentagens), obtendo: 
 
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Faixa salarial (SM) Porcentagem 
Pontos Médios das 
faixas salariais 
Pontos Médios x 
Porcentagens 
2 a 4 20% 3 0,20 x 3 = 0,60 
4 a 6 40% 5 0,40 x 5 = 2,00 
6 a 8 25% 7 0,25 x 7 = 1,75 
8 a 12 15% 10 0,15 x 10 = 1,50 
Somando os valores da coluna da direita, temos 5,85. Como a soma das frequências é 100%, ou 1, a média fica, 
simplesmente: 
�̅� =
5,85
1
= 5,85 
Para obter a mediana, devemos incluir a coluna das frequências acumuladas. Veja: 
Faixa salarial (SM) Porcentagem Frequências acumuladas 
2 a 4 20% 20% 
4 a 6 40% 20 + 40 = 60% 
6 a 8 25% 25 + 60 = 85% 
8 a 12 15% 15 + 85 = 100% 
 
Veja que a classe mediana é a segunda (4 a 6), visto que as frequências acumuladas começam a segunda classe 
em 20% e terminam em 60%, passando obrigatoriamente pelo 50%. Podemos montar a nossa proporção para 
a interpolação linear: 
Valores (da faixa salarial): 4 md 6 
 |---------------|------------------| 
Frequências acumuladas: 20% 50% 60% 
 |---------------|------------------| 
Montando a proporção: 
6 − 𝑚𝑑
6 − 4
=
0,60 − 0,50
0,60 − 0,20
 
6 − 𝑚𝑑
2
=
0,1
0,4
 
6 − 𝑚𝑑 = 2.
1
4
 
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6 − 𝑚𝑑 = 0,5 
𝑚𝑑 = 6 − 0,5 = 5,5 
Portanto, 
�̅� + md = 5,85 + 5,5 =11,35 
Resposta: B 
 
5. FCC – TRT/SP – 2018) 
Considerando na tabela abaixo a distribuição de frequências absolutas, referente aos salários dos n 
empregados de uma empresa, em R$ 1.000,00, observa-se que além do total dos empregados (n) não é 
fornecida também a frequência correspondente ao intervalo da 4ª classe (f4). 
 
O valor da média aritmética destes salários, obtido considerando que todos os valores incluídos num certo 
intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo, é igual a R$ 6.200,00. O valor da 
mediana em R$, obtido pelo método da interpolação linear, é igual a 
 a) 400,0f4 
 b) 412,5f4 
 c) 387,5f4 
 d) 350,0f4 
 e) 375,0f4 
RESOLUÇÃO: 
Vamos calcular o valor de f4 a partir da média. Lembrando que os salários estão em R$ 1.000,00, sendo PMi o 
ponto médio e fi a frequência da classe de salário i, temos que a média dos salários, que sabemos ser igual a R$ 
6.200,00, pode ser dada por: 
∑ 𝑃𝑀𝑖 ∙ 𝑓𝑖
5
𝑖=1
∑ 𝑓𝑖
5
𝑖=1
= 6200 
(2000 ∙ 4) + (4000 ∙ 8) + (6000 ∙ 10) + (8000 ∙ 𝑓4) + (10000 ∙ 2)
4 + 8 + 10 + 𝑓4 + 2
= 6200 
8000 + 32000 + 60000 + 8000𝑓4 + 20000 = 6200 ∙ (𝑓4 + 24) 
120000 + 8000𝑓4 = 6200𝑓4 + 148800 
8000𝑓4 − 6200𝑓4 = 148800 − 120000 
1800𝑓4 = 28800 
𝑓4 =
28800
1800
= 16 
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Agora que sabemos o valor de f4, sabemos o valor da frequência total, n, dada por n = 4 + 8 + 10 + 16 + 2 = 40. 
Portanto, no cálculo por interpolação linear, temos que até a mediana são acumuladas n/2 = 40/2 = 20 
observações. Ao calcular as frequências acumuladas das classes para o cálculo da mediana por interpolação, 
obtemos a seguinte tabela: 
Salários (em 
R$1.000,00) 
Freq 
simples 
Freq 
acumulada 
1 |---- 3 4 4 
3 |---- 5 8 12 
5 |---- 7 10 22 
7 |---- 9 16 38 
9 |---- 11 2 40 
 
Da tabela acima, temos que a mediana pertence à classe 5 |-- 7, pois nas classes anteriores a ela são acumuladas 
as primeiras 12 observações e essa classe contém as 10 observações seguintes, ou seja, vai da 13ª à 22ª 
observação, logo a 20ª observação (mediana) pertence a essa classe. Efetuando o cálculo por interpolação, 
chamando a mediana de Md, temos que: 
𝑀𝑑 − 5000
20 − 12
=
7000 − 5000
22 − 12
 
𝑀𝑑 − 5000
8
=
2000
10
 
𝑀𝑑 − 5000 = 200 ∙ 8 
𝑀𝑑 = 1600 + 5000 = 6600 
Reparem que as alternativas estão em função de f4 (no caso em unidades de f4), logo precisamos calcular 
quantas f4 “cabem” em 6600. Sabendo que f4 é igual a 16, temos que há um total de 6600/16 = 412,5f4 em 6600 
reais, portanto o gabarito é alternativa B 
Resposta: B 
6. CESPE – SEDF – 2017) 
Um estudo estatístico será realizado para avaliar a condição socioambiental de estudantes do 5.º ano do ensino 
fundamental das escolas da rede pública do DF. A partir de uma lista que contempla todas as turmas do 5.º ano 
do ensino fundamental das escolas da rede pública do DF, serão selecionadas aleatoriamente 50 turmas. Em 
seguida, os entrevistadores aplicarão questionários para todos os estudantes matriculados nessas 50 turmas. 
Com base nessas informações, julgue o seguinte item. 
( ) A escola é considerada a unidade amostral desse estudo estatístico. 
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RESOLUÇÃO: 
Observe que serão selecionadas 50 turmas e, nessas turmas, serão aplicados questionários aos estudantes. 
Portanto,a nossa unidade amostral é o ESTUDANTE. Vale lembrar que unidade amostral é a menor subdivisão 
que podemos fazer em nossa amostra. Não é possível analisar “meio estudante”, concorda? Item ERRADO. 
Resposta: E 
7. FUNRIO – INSS – 2014) 
Em uma pesquisa de satisfação, clientes de uma concessionária de veículos avaliam o atendimento atribuindo 
notas de 0 a 10 (qualquer número real na faixa de 0 a 10). A tabela abaixo apresenta os resultados da pesquisa. 
 
Utilizando o método da interpolação linear, o valor aproximado da mediana é 
A) 3,8. 
B) 4,6. 
C) 5,8. 
D) 6,2. 
E) 7,0. 
RESOLUÇÃO: 
Podemos ainda acrescentar a Frequência acumulada absoluta: 
Nota Quantidade de clientes (frequência simples) Frequência acumulada 
0│--2 100 100 
2│--4 250 350 
4│--6 500 850 
6│--8 100 950 
8│--10 50 1000 
Podemos extrair daqui, que temos 1000 clientes na pesquisa que avaliaram o atendimento, atribuindo notas 
que variam de 0 a 10. 
Portanto a mediana se encontra no centro dos dados, ou seja, 1000/2 = 500. 
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Pelo que consta na tabela acima, podemos montar retas paralelas, uma delas será a frequência acumuladas e 
a outra com os valores das notas correspondentes: 
Frequências: 350 500 850 
 |--------------------|------------------------------------| 
notas: 4 X 6 
 |--------------------|------------------------------------| 
Após isso, podemos estabelecer uma proporção entre os intervalos das frequências acumuladas: 
(6 - 4) -------------------- (850 - 350) 
(X - 4) -------------------- (500 – 350) 
2
𝑥−4
 = 
500
150
 
2
𝑥−4
 = 
10
3
 
10.x – 40 = 6 
10.x = 6 + 40 
10.x = 46 
X = 
46
10
 
X = 4,6 
Assim, o valor aproximado da mediana é 4,6. 
Resposta: B 
8. FUNRIO – INSS – 2014) 
O gráfico de setores da figura a seguir apresenta as notas obtidas pelos candidatos de um concurso público. 
Conforme a legenda desse gráfico, as notas obtidas pelos candidatos variam de 2 até 8, sendo que, por 
exemplo, 10% dos candidatos obtiveram nota 2. 
 
Sejam Mo e Md a moda e a mediana respectivamente, o valor de Mo + 2Md é 
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A) 4. 
B) 5. 
C) 9. 
D) 13. 
E) 14. 
RESOLUÇÃO: 
Note que a porcentagem de candidatos que obtiveram nota igual a 4 corresponde a: 
100% - (24 + 20% + 17% + 10% + 5% + 2%) = 22%. 
Note que para calcular a mediana Md, vamos organizar as notas em ordem crescente em uma tabela com as 
respectivas frequências simples, e uma coluna com a frequência acumulada: 
Nota Freq simples Freq acumulada 
2 0,10 0,10 
3 0,20 0,30 
4 0,22 0,52 
5 0,24 0,76 
6 0,17 0,93 
7 0,05 0,98 
8 0,02 1,00 
 
Da tabela acima, temos que a mediana é igual a 4. Imagine que tenhamos um total de 100 candidatos, por 
exemplo. Ordenando em ordem crescente suas notas, sabemos que a mediana seria a média entre a 50ª e a 51ª 
nota (pois 100 é um número par). O que a tabela acima nos diz é que em um cenário de 100 candidatos com as 
respectivas notas em ordem crescente as 10 primeiras notas mais baixas seriam iguais a 2, a 11ª até a 30ª nota 
(20 notas) seriam iguais a 3, e a 31ª até a 52ª nota seriam iguais a 4. Ou seja, a 50ª e a 51ª notas seriam iguais a 
4, logo a mediana (média entre elas) seria igual a 4 também. 
Repare que a maior frequência é aquela correspondente à nota 5, ou seja, Mo = 5. 
Assim, Mo + 2Md  5 + 2 x 4 = 5 + 8 = 13. 
Portanto, o gabarito é alternativa D. 
Resposta: D 
 
 
 
 
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9. FUNRIO – INSS – 2014) 
Os resultados de uma pesquisa são apresentados parcialmente na seguinte tabela. 
 
Sabendo-se que 2 é moda, o menor valor da média é 
A) 0,5 
B) 0,7 
C) 0,9 
D) 1,2 
E) 1,5 
RESOLUÇÃO: 
Repare que a moda vale 2, ou seja, x < 2x < 500, isto é, x < 250. 
Para calcularmos a média, fazemos: 
M = 
(0.𝑥 + 1.(2𝑥) + 2.(500)
𝑥 + 2𝑥 + 500
 = 
2.𝑥 + 1000
3𝑥 + 500
 
M = 
2.𝑥 + 1000
3𝑥 + 500
 
3.M.x + 500.M = 2.x + 1000 
3.M.x – 2.x = 1000 – 500.M 
(3.M - 2).x = 1000 – 500.M 
x = 
1000− 500.𝑀
3.𝑀− 2
 
Uma vez que x < 250, então: 
1000− 500.𝑀
3.𝑀− 2
 < 250------------dividindo por 250, teremos: 
4 − 2.𝑀
3.𝑀− 2
 < 1 ---------invertendo a inequação, teremos: 
3.𝑀− 2
4 − 2.𝑀
 > 1 ------ a média M é menor que 2, portanto 4 – 2.M > 0. Multiplicando a inequação por (4 – 2.M), 
temos: 
3.M – 2 > 4 – 2.M 
3.M + 2.M > 4 + 2 
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5.M > 6 
M > 6/5 
M > 1,2 
Note que o menor valor para média se aproxima de 1,2. 
Resposta: D 
10.FUNRIO – SESAU/RO – 2017) 
Uma variável aleatória discreta X tem valores possíveis 0, 1, 2 e 3 com probabilidades respectivamente iguais a 
0,2, 0,4, 0,3 e 0,1. A média de X é igual a: 
(A) 1,0. 
(B) 1,3. 
(C) 1,5. 
(D) 1,8. 
(E) 1,9. 
RESOLUÇÃO: 
Uma vez que a probabilidade equivale a uma frequência em que determinado evento ocorre, então: 
𝑥 =
∑ ( 𝑓𝑖 . 𝑥𝑖)
1
𝑛
∑ 𝑓𝑖
1
𝑛
 
𝑥 = 
0,2 𝑥 0 + 0,4 𝑥 1 + 0,3 𝑥 2 + 0,1 𝑥 3 
0,2 + 0,4 + 0,3 + 0,1 
 
𝑥 = 
0 + 0,4 + 0,6 + 0,3 
1,0 
 
𝑥 = 1,3 
Resposta: B 
 
11. FUNRIO – SESAU/RO – 2017) 
Considere a seguinte amostra de idades: 
18, 15, 24, 20, 22, 21, 19, 30, 20 
A mediana dessa amostra é igual a: 
(A) 19. 
(B) 19,5. 
(C) 20. 
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(D) 20,5. 
(E) 22. 
RESOLUÇÃO: 
Dispondo o rol em ordem crescente, temos: 
15, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 24, 30 
Uma vez que a Mediana corresponde ao termo central da série de dados, ou seja, (1 + 9)ª/2 = 5ª posição, então: 
15, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 24, 30 
Mediana = 20. 
Resposta: C 
12.IAUPE – PM/PE – 2018) 
A diferença entre os limites reais superior e inferior de uma determinada classe é denominada 
A) Amplitude. 
B) Ponto médio. 
C) Frequência. 
D) Distribuição. 
E) Frequência acumulada. 
RESOLUÇÃO: 
Essa é a definição de amplitude, que representa a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de 
dados. 
Resposta: A 
 
13. IAUPE – PM/PE – 2018) 
Carlos, Teresa e Valéria têm a mesma idade. A soma dessas idades com as de Lilia (13 anos), Sônia (18 anos) e 
Ricardo (20 anos) é 96 anos. É CORRETO afirmar que a moda dessas seis idades é igual a 
A) 13 anos. 
B) 15 anos. 
C) 16 anos. 
D) 11,5 anos. 
E) 12 anos 
RESOLUÇÃO: 
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Vamos chamar de “X” as idades de Carlos, Teresa e Valéria. A soma dessas três idades é 3X. Somando “3X” com 
as idades de Lilia, Sônia e Ricardo, temos: 
3X + 13 + 18 + 20 = 96 
3X + 51 = 96 
3X = 45 
X = 15 
A moda é a idade que mais aparece nesse conjunto. Portanto, a moda será 15 anos. 
Resposta: B 
 
A tabela seguinte mostra a distribuição dos salários de uma corporação. 
 
14.IAUPE – PM/PE – 2018) 
Assinale a alternativa que corresponde à classe mediana. 
A) 3 Ⱶ 6 
B) 6 Ⱶ 9 
C) 9 Ⱶ 12 
D) 12 Ⱶ 15 
E) 15 Ⱶ 18 
RESOLUÇÃO: 
Vamos montar uma tabela com os valores dos salários e as frequências correspondentes: 
Salário FrequênciaFrequência Acumulada 
3 Ⱶ 6 12 12 
6 Ⱶ 9 18 30 
9 Ⱶ 12 20 50 
12 Ⱶ 15 10 60 
15 Ⱶ 18 5 65 
18 Ⱶ 21 3 68 
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Temos um total de 68 militares. Sabe-se que a mediana corresponde ao termo que ocupa a posição central de 
uma distribuição. Nesse caso, será: (68+1)/2 = 34,5. Essa posição se encontra na classe de salário de 9 Ⱶ 12. 
Resposta: C 
15. IAUPE – PM/PE – 2018) 
O salário modal vale, em mil, 
A) R$ 9 
B) R$ 9,5 
C) R$ 10 
D) R$ 10,5 
E) R$ 12 
RESOLUÇÃO: 
Salário modal é aquele que corresponde à classe de maior frequência da distribuição: 9 Ⱶ 12 (20 militares). 
Devemos achar o valor médio dessa classe: (9+12)/2 = 21/2 = 10,5. 
Resposta: D 
16.IAUPE – PM/PE – 2018) 
O número de militares que não recebem menos de R$ 12.000,00 é 
A) 12. 
B) 18. 
C) 50. 
D) 60. 
E) 65. 
RESOLUÇÃO: 
Analisando a tabela, o número de militares que NÃO recebem menos de 12 mil corresponde à soma das classes 
12 Ⱶ 15, 15 Ⱶ 18 e 18 Ⱶ 21, ou seja, dos que recebem MAIS de 12 mil. Logo: 10 + 5 + 3 = 18 militares. 
Resposta: B 
17. IAUPE – CBM/PE – 2018) 
Numa pesquisa, depois de feita uma coleta de dados e organizados esses dados em ordem crescente ou 
decrescente, essa lista recebe o nome de 
A) dados brutos. 
B) rol. 
C) classe. 
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D) limite. 
E) frequência. 
RESOLUÇÃO: 
A organização dos dados de uma amostra, seja em ordem crescente ou decrescente, é chamada de rol. 
Resposta: B 
18.IAUPE – CBM/PE – 2018) 
Os salários de cinco bombeiros de uma corporação são: R$ 500,00, R$ 900,00, R$ 800,00, R$ 700,00 e R$ 300,00. 
É CORRETO afirmar que a mediana dos salários é 
A) R$ 700,00 
B) R$ 300,00 
C) R$ 900,00 
D) R$ 640,00 
E) R$ 600,00 
RESOLUÇÃO: 
Vamos colocar os salários em ordem crescente: 
300; 500; 700; 800; 900 
A mediana é o termo central desse rol. Logo: 700 reais. 
Resposta: A 
19.IAUPE – CBM/PE – 2018) 
Em uma corporação, o sargento mediu a altura de 50 soldados e construiu a seguinte distribuição de 
frequências: 
 
É CORRETO afirmar que a Moda das alturas é igual a 
A) 166. 
B) 170. 
C) 174. 
D) 190. 
RESOLUÇÃO: 
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Veja que a classe em que aparecem mais alturas é a que vai de 166 a 174 cm: 24 incidências. Logo, a altura 
modal será: (166+174)/2 = 340/2 = 170 cm. 
Resposta: B 
20.FUNDATEC – BRDE – 2015) 
Assinale a alternativa que representa a nomenclatura dos três gráficos abaixo, respectivamente. 
 
a) Gráfico de Setores – Gráfico de Barras – Gráfico de Linha. 
 b) Gráfico de Pareto – Gráfico de Pizza – Gráfico de Tendência. 
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 c) Gráfico de Barras – Gráfico de Setores – Gráfico de Linha. 
 d) Gráfico de Linhas – Gráfico de Pizza – Gráfico de Barras. 
 e) Gráfico de Tendência – Gráfico de Setores – Gráfico de Linha. 
RESOLUÇÃO: 
Ao observar os gráficos acima, nota-se que o gráfico 1 é um gráfico de barras, o gráfico 2 é um gráfico de setores 
(também chamado gráfico de pizza) e que o gráfico 3 é um gráfico de linha (ou de tendência), portanto a 
alternativa C é o gabarito da questão. 
Resposta: C 
 
21.PUC/PR – DPE/PR – 2012) 
 
Conforme a Tabela acima. Assinale CORRETAMENTE o gráfico que representa as informações da frota de 
veículos segundo a IPARDES 
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a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO: 
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 Ao observar os gráficos podemos verificar claramente que o gráfico de linhas da alternativa B representa 
com fidelidade os dados da tabela. Repare que temos no eixo horizontal os tipos de veículo por ordem crescente 
da frota, da esquerda para a direita, e no eixo vertical o tamanho da frota de cada veículo. Notem que, conforme 
verificamos na questão anterior, o gráfico da alternativa B confirma que os tipos de veículos de maior frota são 
automóvel, motocicleta, caminhonete e caminhão (da maior para a menor frota) sendo que podemos confirmar 
no gráfico também que a frota de automóveis é maior que 3.000.000 e menor que 3.500.000, o que também 
reflete a informação fornecida pela tabela. 
Resposta: B 
 
22.PUC/PR – DPE/PR – 2012) 
Em determinada semana, certa região foi dividida em 500 setores disjuntos para o estudo da distribuição 
espacial da incidência de certo tipo de crime. Cada setor possui a forma de um quadrado de aproximadamente 
5 km² de área. Acredita-se que a ocorrência de crime seja aleatória. A tabela abaixo apresenta o percentual de 
setores em que foi registrada a incidência X (número de ocorrências observadas no setor) do crime investigado. 
 
Com base nos dados da tabela julgue cada uma das sentenças abaixo marque a CORRETA. 
 a) A média de X é superior a 2 crimes por setor. 
 b) A moda de X é igual a 2. 
 c) A mediana de X é maior que 3. 
 d) Não mais que 35% dos setores tiveram mais de um crime. 
 e) De acordo com os dados apresentados, é correto concluir que, na semana considerada, em 60% dos setores, 
o crime ocorreu mais de duas vezes em cada setor. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos avaliar as alternativas: 
a) Lembrando que na segunda coluna temos a frequência percentual (relativa) de X, sabemos que a média de 
X é dada por: 
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�̅� =
(0 ∙ 0,10) + (1 ∙ 0,25) + (2 ∙ 0,35) + (3 ∙ 0,25) + (4 ∙ 0,05)
(0,10 + 0,25 + 0,35 + 0,25 + 0,05)
 
�̅� =
0 + 0,25 + 0,70 + 0,75 + 0,20
1
= 1,90 
Como 1,90 é menor que 2, concluímos que a alternativa está errada. 
b) A moda é o valor de X que apresenta maior frequência. A tabela nos mostra que a maior frequência é 35% 
(0,35), essa é a frequência para X = 2 ocorrências, logo a moda de fato é igual a 2, portanto a alternativa B está 
correta. 
c) Temos um total de n = 500 setores. Como n é um número par, a mediana corresponde à média entre as 
observações de posição n/2 = 250 e n/2 + 1 = 251. A tabela nos dá a informação de que 0 e 1 ocorrência acumulam 
as primeiras 10% + 25% = 35% observações, o que corresponde às primeiras 0,35 x 500 = 175 observações. 
Temos ainda que 35% das observações são iguais a 2, o que corresponde a 175 observações, ou seja, da 
observação de posição 176 (pois as 175 primeiras são iguais a 0 ou 1) até a observação de posição 350. Logo, as 
observações de posição 250 e 251 são ambas iguais a 2, sendo assim a média entre elas é igual a 2 também, 
portanto a mediana de X é igual a 2 e menor que 3, o que nos leva a concluir que a alternativa C está errada. 
d) O percentual de setores com mais de 1 crime é o percentual total de setores com 2, 3 ou 4 crimes, ou seja, é 
igual a 35% + 25% + 5% = 65% dos setores. Como 65% é maior que 35%, concluímos que a alternativa D está 
errada. 
e) O crime ocorreu mais de 2 vezes em setores onde ocorreram 3 ou 4 crimes, o percentual de setores em que 
ocorreram 3 ou 4 crimes é igual a 25% + 5% = 30% dos setores, e não 60%, portanto a alternativa E também 
está errada. 
Resposta: B 
 
23. CESPE – TCE/PA – 2016) 
A tabela apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que representa o número diário de 
denúncias registradas na ouvidoria de determinadainstituição pública. A partir das informações dessa tabela, 
julgue o item seguinte. 
 
( ) A variável X é do tipo qualitativo nominal. 
RESOLUÇÃO: 
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Como X é o número diário de denúncias, trata-se de uma variável quantitativa, ou seja, expressa em 
quantidades: 0 denúncias em um dia, 1 denúncia em outro dia, 2 denúncias em outro dia, e assim por diante. 
Trata-se de uma variável quantitativa discreta, pois entre 1 e 2 denúncias não temos nenhuma possibilidade, 
assim como não há qualquer possibilidade entre 2 e 3 denúncias, e assim por diante. O número de denúncias 
necessariamente deve ser inteiro. Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
24.FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) 
Uma pizzaria tem no seu cardápio 3 grupos de sabores de pizzas: 
Pizzas Tradicionais 
Pizzas Especiais 
Pizzas Gourmet 
Ao todo, há 15 pizzas Tradicionais, cada uma no valor de R$ 35,00, 10 pizzas Especiais, cada uma no valor de 
R$ 40,00, e 5 pizzas Gourmet, cada uma no valor de R$ 46,00. 
Levando em conta todas as pizzas vendidas por essa pizzaria, podemos afirmar que a média, a mediana e a 
moda dos valores são, respectivamente: 
a. ( ) R$ 35,00 • R$ 38,50 • R$ 37,50 
b. ( ) R$ 37,50 • R$ 35,00 • R$ 38,50 
c. ( ) R$ 37,50 • R$ 38,50 • R$ 35,00 
d. ( ) R$ 38,50 • R$ 35,00 • R$ 37,50 
e. ( ) R$ 38,50 • R$ 37,50 • R$ 35,00 
RESOLUÇÃO: 
A moda é claramente o valor de 35 reais, afinal há 15 repetições dele (este é o maior número de repetições). Isto 
já nos deixa entre as letras C e E apenas. 
Colocando as pizzas em ordem crescente de preço, temos 15 de 35 reais, 10 de 40 reais e 5 de 46 reais. Veja que 
são n = 30 pizzas ao todo. A posição da mediana é (n+1)/2 = (30+1)/2 = 15,5. Isto significa que devemos fazer a 
média entre a 15ª e a 16ª pizzas, em ordem crescente. A 15ª é a última de 35 reais, e a 16ª é a primeira de 40 
reais. A mediana será, portanto, (35+40)/2 = 37,50 reais. 
Veja que já podemos marcar a letra E, que contém os valores corretos para mediana e moda. 
Para conferir, vamos calcular a média: 
Média = (15×35,00 + 10×40,00 + 5×46,00)/(15+10+5) = 1155 / 30 = 38,50 reais 
Resposta: E 
 
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25. FGV – MPE/BA – 2017) 
O exame de um conjunto de dados mostra que a distribuição de frequências do número por classe de renda de 
envolvidos em um tipo bem específico de investigação, conduzida pelo Ministério Público, é fortemente 
assimétrica à esquerda. 
 
Com base nessa informação, é correto afirmar que: 
 a) a maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais ricos da população; 
 b) a maior frequência de envolvidos está numa classe de indivíduos de mais baixa renda; 
 c) a renda média dos envolvidos é menor do que ou igual à da maioria dos envolvidos; 
 d) a maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais pobres da população; 
 e) a renda média dos envolvidos é maior do que ou igual à da maioria da população. 
RESOLUÇÃO: 
Se a distribuição é fortemente assimétrica à esquerda significa que há uma grande concentração de envolvidos 
com alta renda, que a renda média é menor que a mediana e que a moda da renda dos envolvidos, e também 
menor ou igual à renda da maioria dos envolvidos, portanto a alternativa C é o gabarito da questão. 
Resposta: C 
 
26.FGV – MPE/BA – 2017) 
Um criminoso está avaliando se vale a pena ou não recorrer ao instituto da colaboração premiada. Caso não 
recorra, a sua probabilidade de ser condenado é igual a p, com 12 anos de reclusão. Se resolver delatar, pode 
pegar 6 anos de prisão, com probabilidade de 0,4, ou 10 anos, com a probabilidade complementar. 
 
Supondo que a decisão será tomada com base na esperança matemática da pena, o criminoso deve: 
 a) não delatar se o valor de p for inferior a 0,75; 
 b) delatar se o valor de p for superior a 0,55; 
 c) não delatar caso o valor de p seja superior a 0,80; 
 d) mostrar-se indiferente caso o valor de p seja 0,70; 
 e) delatar caso o valor de p seja inferior a 0,60. 
RESOLUÇÃO: 
Chamando de X o número de anos de reclusão do criminoso e de E(X) a esperança de X, ou seja, o número 
médio de anos de reclusão do criminoso, temos o seguinte cenário: 
1) Se o criminoso não recorre ao instituto da colaboração premiada, E(X) é dada por: 
E(X) = 12p 
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2) Se o criminoso recorre ao instituto da colaboração premiada (resolve delatar), E(X) é dada por: 
E(X) = 6∙0,4 + 10∙(1 – 0,4) = 2,4 + 6 = 8,4 anos 
Ao igualar a E(X) caso o criminoso delate e caso não delate chegamos ao seguinte valor para p: 
12p = 8,4 
p = 8,4/12 = 0,7 
Portanto, para p = 0,7, tomando como base na esperança matemática da pena, é indiferente para o criminoso 
delatar ou não, pois em ambos os casos a média de anos de reclusão esperada é a mesma (8,4 anos). Para 
valores de p menores que 0,7 o criminoso não deve recorrer ao instituto da colaboração premiada, pois a média 
de anos de reclusão caso não delate será menor que 8,4 anos (média esperada caso resolva delatar). Já para 
valores de p maiores que 0,7, o criminoso deve recorrer ao instituto de colaboração premiada, pois a média de 
anos de reclusão caso não delate será maior que 8,4 anos. Portanto, a alternativa D é o gabarito da questão. 
Resposta: D 
 
27. CESPE – TELEBRAS – 2015) 
Uma empresa coletou e armazenou em um banco de dados diversas informações sobre seus clientes, entre as 
quais estavam o valor da última fatura vencida e o pagamento ou não dessa fatura. Analisando essas 
informações, a empresa concluiu que 15% de seus clientes estavam inadimplentes. A empresa recolheu ainda 
dados como a unidade da Federação (UF) e o CEP da localidade em que estão os clientes. Do conjunto de todos 
os clientes, uma amostra aleatória simples constituída por 2.175 indivíduos prestou também informações sobre 
sua renda domiciliar mensal, o que gerou o histograma apresentado. 
Com base nessas informações e no histograma, julgue o item a seguir. 
 
( ) O CEP da localidade dos clientes e o valor da última fatura vencida são variáveis quantitativas 
RESOLUÇÃO: 
Este item é interessante pois o CEP, embora seja expresso na forma numérica, é uma variável qualitativa. Isto 
porque o CEP não expressa uma quantidade, e sim um nome, uma designação de determinada rua ou trecho 
de rua. O valor da última fatura é, de fato, uma variável quantitativa. Ainda assim, o item está ERRADO. 
Resposta: E 
 
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28.FCC – TRT/11 – 2017) 
Analisando a distribuição dos salários dos empregados de uma empresa em número de salários mínimos (SM), 
obteve-se o histograma de frequências absolutas abaixo com os intervalos de classe fechados à esquerda e 
abertos à direita. Considere que: 
 
I. Me é a média aritmética dos salários, calculada levando em conta que todos os valores incluídos num certo 
intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. 
II. Md é a mediana dos salários, calculada por meio do método da interpolação linear. 
III. Mo é a moda dos salários, calculada com a utilização da fórmula de King*. 
 
 em que L é o limite inferior da classe modal (classe em que se verifica, no caso, a maior 
frequência), f* é a frequência da classe anterior à classe modal, f** é a frequência da classe posterior à classe 
modal e h é a amplitude do intervalo de classe correspondente. 
 
O valor de (Me + Md + Mo) é, em SM, igual a 
 a) 18,6 
 b) 19,7 
 c) 19,2 
 d) 18,7 
 e) 18,5 
RESOLUÇÃO:A partir do histograma, podemos montar a seguinte tabela: 
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Classes 
Ponto 
médio 
Classes 
Freq 
Absoluta 
Freq 
Acumulada 
1 – 3 2 5 5 
3 – 5 4 10 15 
5 – 7 6 20 35 
7 – 9 8 15 50 
9 – 11 10 10 60 
 
Me =
5 ∙ 2 + 10 ∙ 4 + 20 ∙ 6 + 15 ∙ 8 + 10 ∙ 10
5 + 10 + 20 + 15 + 10
 
Me =
10 + 40 + 120 + 120 + 100
60
 
Me =
390
60
= 6,5 
Agora vamos calcular a mediana Md por interpolação linear: 
Sabemos que há um total de 60 salários e que até a segunda classe (3 a 5 S.M.) estão acumulados 15 salários e 
que até a terceira classe (5 a 7 S.M.) estão acumulados 35 salários. Portanto, podemos concluir que a observação 
de posição 60/2 = 30, ou seja, a mediana, pertence à terceira classe. Assim, temos: 
Md − 5
30 − 15
=
7 − 5
20
 
Md − 5
15
=
2
20
 
Md − 5
15
= 0,1 
Md − 5 = 1,5 
Md = 1,5 + 5 = 6,5 
A terceira classe é a classe modal, pois é a classe de maior frequência absoluta (20). Assim, para o cálculo de 
Mo temos que: 
L = 5 
f * = 10 
f ** = 15 
h = 2 
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Mo = L +
f ∗∗
f ∗ +f ∗∗
∙ h 
Mo = 5 +
15
10 + 15
∙ 2 
Mo = 5 +
30
25
= 5 + 1,2 = 6,2 
Finalmente, temos que: 
Me + Md + Mo = 6,5 + 6,5 + 6,2 = 19,2 
Portanto, a alternativa C é o gabarito da questão. 
Resposta: C 
 
29.CESPE – TELEBRAS – 2015) 
Roberto comprou, por R$ 2.800,00, rodas de liga leve para seu carro, e, ao estacionar no shopping, ficou 
indeciso sobre onde deixar o carro, pois, caso o coloque no estacionamento público, correrá o risco de lhe 
roubarem as rodas, ao passo que, caso o coloque no estacionamento privado, terá de pagar R$ 70,00, com a 
garantia de que eventuais prejuízos serão ressarcidos pela empresa administradora. 
Considerando que p seja a probabilidade de as rodas serem roubadas no estacionamento público, que X seja a 
variável aleatória que representa o prejuízo, em reais, ao deixar o carro no estacionamento público, e que Y seja 
a variável aleatória que representa o valor, em reais, desembolsado por Roberto ao deixar o carro no 
estacionamento pago, julgue o item subsequente. 
( ) A variável aleatória Y é contínua. 
RESOLUÇÃO: 
A variável Y só pode assumir o valor 70 reais, caso Roberto deixe o carro no estacionamento pago, e 0 reais, 
caso Roberto não deixe o carro no estacionamento. Portanto, Y pode assumir um número FINITO de valores. 
Isto a torna uma variável discreta. Item ERRADO. 
Atenção, pois se o pagamento fosse pago de acordo com o tempo de permanência do carro (por exemplo, 10 
reais por hora, e as frações da hora fossem pagas também de maneira proporcional), a variável Y poderia ser 
contínua. 
Resposta: E 
 
30.CESPE – SEFAZ/AL – 2002) 
Julgue a afirmativa. 
( ) Em uma distribuição de frequências para um conjunto de n indivíduos, pode-se calcular as frequências 
relativas, dividindo-se cada frequência absoluta pela amplitude da classe ou intervalo. 
RESOLUÇÃO: 
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Sabemos que o cálculo das frequências relativas é feito dividindo-se a quantidade de frequências absolutas pelo 
total de frequências: 
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 =
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑠
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠
 
Item ERRADO. 
Resposta: E 
31. CESPE – TCE/PA – 2016) 
A tabela apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que representa o número diário de 
denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição pública. A partir das informações dessa tabela, 
julgue o item seguinte. 
 
( ) A amplitude total da amostra é igual ou superior a 5. 
RESOLUÇÃO: 
A amplitude pode ser obtida pela subtração entre o valor máximo e o valor mínimo que a variável pode assumir. 
Repare que a variável X pode ir de 0 até 4 denúncias por dia. Logo, a amplitude de X é 4 – 0 = 4. Item ERRADO. 
Resposta: E 
32. CESPE – FUNPRESP – 2016) 
O gráfico ilustra cinco possibilidades de fundos de investimento com suas respectivas rentabilidades. 
Considerando que as probabilidades de investimento para os fundos A, B, C e D sejam, respectivamente, P(A) 
= 0,182; P(B) = 0,454; P(C) = 0,091; e P(D) = 0,182, julgue o item subsequente. 
 
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( ) O gráfico apresentado é um histograma. 
RESOLUÇÃO: 
Temos um gráfico de colunas, assim como costumamos ver em um histograma. Entretanto, estamos diante de 
uma variável nominal (fundo de investimento, que pode assumir os valores A, B, C, D ou E, cada um destes com 
uma frequência ou probabilidade diferente). Assim, este é um mero gráfico de colunas, e não um histograma. 
Em um histograma representamos variáveis quantitativas intervalares, como é o caso deste: 
 
Resposta: E 
 
33. CESPE – ABIN – 2018) 
Em fevereiro de 2018, o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP) começou 
a segunda etapa do Censo Escolar 2017, o módulo “Situação do Aluno”. Nessa etapa, serão coletadas 
informações sobre rendimento e movimento escolar dos alunos ao final do ano letivo de 2017. Para isso, será 
importante que as escolas utilizem seus registros administrativos e acadêmicos, como ficha de matrícula, diário 
de classe, histórico escolar. 
Internet:<www.inep.gov.br/noticias> (com adaptações). 
A partir do texto antecedente, julgue os itens que se seguem, relativo a estatísticas educacionais. 
( ) A população considerada na referida fase do estudo realizado pelo INEP é constituída pelos estabelecimentos 
escolares. 
( ) A moda a ser obtida no estudo indicará o resultado de maior frequência para cada uma das informações a 
serem coletadas. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A população considerada na referida fase do estudo realizado pelo INEP é constituída pelos estabelecimentos 
escolares. 
ERRADO. A população é composta pelos alunos, visto que serão coletadas informações sobre eles, e não sobre 
os estabelecimentos. 
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( ) A moda a ser obtida no estudo indicará o resultado de maior frequência para cada uma das informações a serem 
coletadas. 
CERTO. A moda corresponde ao valor que possui maior número de repetições, ou seja, maior frequência. 
Resposta: E C 
 
34.CESGRANRIO - PETROBRÁS - 2018) 
Para não comprometer o sigilo das informações, um periódico técnico-científico divulgou os dados básicos que 
utilizou em um modelo estatístico, na seguinte distribuição de frequência por classes: 
Faixas de X Frequência relativa 
-3 |-- -1 0,25 
-1|-- 1 0,40 
1 |-- 3 0,25 
3 |-- 5 0,10 
A melhor estimativa para a mediana da distribuição de X é: 
(A) -0,75 
(B) 0 
(C) 0,25 
(D) 0,50 
(E) 1 
RESOLUÇÃO: 
Veja que, na tabela abaixo, incluí a coluna das frequências relativas acumuladas: 
Faixas de X Frequência relativa Frequência relativa acumulada 
-3 |-- -1 0,25 0,25 
-1|-- 1 0,40 0,65 
1 |-- 3 0,25 0,90 
3 |-- 5 0,10 1,00 
 
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Podemos notar que a classe mediana é a segunda, que vai de 0,25 até 0,65 (passando pela frequência 
acumulada 0,50). Assim, podemos montar a interpolação linear: 
frequências: 0,25 ------------ 0,50 ----------- 0,65 
valores de X: -1 ---------------- Md -------------- 1 
 
Montando a proporção: 
(1 - Md) / (1+1) = (0,65-0,50)/(0,65-0,25) 
(1 - Md) / 2= (0,15)/(0,4) 
1 - Md = 0,3/0,4 
1 - Md = 0,75 
Md = 1 - 0,75 
Md = 0,25 
Resposta: C 
 
35. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2018) 
A Tabela a seguir mostra a distribuição de pontos obtidos por um cliente em um programa de fidelidade 
oferecido por uma empresa. 
 
A mediana da pontuação desse cliente é o valor mínimo para que ele pertença à classe de clientes “especiais”. 
Qual a redução máxima que o valor da maior pontuação desse cliente pode sofrer sem que ele perca a 
classificação de cliente “especial”, se todas as demais pontuações forem mantidas? 
(A) cinco unidades. 
(B) quatro unidades 
(C) uma unidade 
(D) duas unidades 
(E) três unidades 
RESOLUÇÃO: 
Podemos escrever a nossa tabela assim: 
 
 
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Pontos (Xi) Frequência (fi) Freq. Acumulada (FAC) 
0 1 1 
2 2 3 
3 4 7 
4 1 8 
6 1 9 
8 5 14 
9 1 15 
 
Veja que eu já incluí a coluna das frequências acumuladas. Temos n = 15 frequências, de modo que a mediana 
está na posição (n+1)/2 = 16/2 = 8. O oitavo termo, seguindo a tabela de frequências acumuladas, é o valor 4. 
Assim, 
Mediana = 4 
A maior pontuação é 9. Ela pode cair 5 unidades para chegar na mediana, que é o valor mínimo para o cliente 
continuar na classe especial. 
Resposta: A 
 
36.CETRO – ISS/SP – 2014) 
Munícipes de uma cidade atribuíram as seguintes notas para o atendimento de setores da prefeitura: 
Saúde: 5,4 
Habitação: 1,2 
Segurança: 4,5 
Educação: 7,5 
Saneamento Básico: 6,2 
Esportes e Cultura: 8,7 
 Considerando as notas oferecidas, a média e a mediana foram, respectivamente, 
(A) 6,7 e 6,9. 
(B) 6,2 e 5,9. 
(C) 6,1 e 5,7. 
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(D) 5,6 e 5,8. 
(E) 5,4 e 6,2. 
RESOLUÇÃO: 
Colocando as notas em ordem crescente, temos: 
1,2 – 4,5 – 5,4 – 6,2 – 7,5 – 8,7 
 
Temos n = 6 notas. A mediana será aquela da posição: 
𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =
𝑛 + 1
2
=
6 + 1
2
= 3,5 
 
Isto é, devemos obter a média entre o 3º e 4º termos: 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =
5,4 + 6,2
2
= 5,8 
 
Note que já podemos marcar a letra D, afinal esta é a única onde a mediana é 5,8. Para calcular a média, 
devemos somar todos os seis valores e dividir a soma por 6: 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
1,2 + 4,5 + 5,4 + 6,2 + 7,5 + 8,7
6
= 5,6 
Resposta: D 
 
37. CETRO – ISS/SP – 2014) 
Foram obtidos os seguintes dados para a idade dos filhos de uma amostra aleatória de 50 pessoas: 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 
9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 
13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Dessa amostra, conclui-se que a distribuição 
(A) tem assimetria negativa. 
(B) indica subpopulações com assimetria negativa. 
(C) é simétrica. 
(D) tem assimetria positiva. 
(E) é parte assimétrica positiva e parte simétrica. 
RESOLUÇÃO: 
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Veja que temos 50 pessoas, de modo que a mediana estará entre as posições 25 e 26. Marquei esses termos em 
vermelho: 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 
9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 
13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
 
Repare que o valor mínimo da distribuição (4) está bem mais próximo da mediana (9) que o valor máximo (23). 
Perceba que há uma grande concentração de valores entre 4 e 9, mas há uma cauda que se prolonga em relação 
a valores mais altos (como 18 e 23). Isto nos mostra que a distribuição é assimétrica, e essa assimetria é positiva. 
Resposta: D 
38.CETRO – ISS/SP – 2014) 
O setor de saúde de determinado município elencou os adolescentes atendidos por um programa segundo suas 
alturas, como descrito no gráfico abaixo. 
 
A amplitude do intervalo de classes determinado para a construção do gráfico é de 
(A) 1,90m. 
(B) 0,50m. 
(C) 0,30m. 
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(D) 0,10m. 
(E) 0,05m. 
RESOLUÇÃO: 
Observe que de 1,70m para 1,80m, que é um intervalo de 0,10m, temos duas colunas verticais. Portanto, cada 
uma dessas colunas tem largura de 0,10/2 = 0,05m. Esta é a amplitude de cada intervalo do histograma. 
Resposta: E 
39.IADES – HEMOCENTRO – 2017) 
Determinado corredor elaborou um programa de treinamento para certa maratona, conforme O quadro 
apresentado. 
 
Com base nesses dados, assinale a alternativa que indica, respectivamente, os valores (em km) da média, da 
mediana e da moda da série de treinamento. 
(A) 8, 12 e 8. 
(B) 12, 5 e 42. 
(C) 16, 5 e 28. 
(D) 16, 8 e 12. 
(E) 16, 12 e 5. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos começar achando a moda, que é o valor em km que mais aparece na tabela: 5km (é o único que aparece 
mais de uma vez). Aqui já acharíamos o gabarito, pois só a alternativa E apresenta esse valor. Mas vamos 
continuar. 
A mediana é o valor que ocupa a posição central. Como o número de dias é ímpar, será exatamente o do 4ºdia: 
12km. 
Para achar a média, basta somar os valores em km e dividir pelo número de dias: 
Média= (5+8+5+12+16+28+38)/ 7 
Média= 16km 
Resposta: E 
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40.CESGRANRIO – CHESF – 2012) 
O gráfico a seguir apresenta o número de acidentes sofridos pelos empregados de uma empresa nos últimos 
12 meses e a frequência relativa. 
 
A mediana menos a média do número de acidentes é 
 a) 1,4 
 b) 0,4 
 c) 0 
 d) - 0,4 
 e) - 1,4 
RESOLUÇÃO: 
Vejamos o cálculo da média: 
Média = 0 x 40% + 1 x 15% + 2 x 25% + 3 x 10% + 4 x 5% + 5 x 5% / (100%) 
Média = 1,4 
 
Para o cálculo da mediana, imagine que o total de funcionários é n = 100. Assim, 40 não sofreram nenhum 
acidente, 15 sofreram 1, 25 sofreram 2, 10 sofreram 3, 5 sofreram 4 e outros 5 sofreram 5 acidentes. A mediana 
estará na posição (n + 1)/2 = (100 + 1)/2 = 50,5. Ou seja, trata-se da média entre a 50ª e a 51ª frequências. 
Colocando os dados em ordem crescente, veremos que tanto a 50ª como a 51ª frequências são iguais a 1, sendo 
esta a mediana. 
 
Portanto: 
Mediana – Média = 1 – 1,4 = -0,4 
Resposta: D 
 
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41.CESGRANRIO – IBGE – 2016) 
Suponha que, em uma pesquisa on-line sobre as idades dos habitantes de um condomínio, um respondente de 
30 anos digite erroneamente sua idade como sendo 300 anos. Considere que esse erro passe despercebido e 
que não haja outros erros na base de dados. Nessas condições, a única conclusão que NÃO pode ser formulada 
é: 
 a) A média de idades calculada a partir dos dados da base será maior do que a média de idades reais dos 
respondentes. 
 b) A mediana de idades calculada a partir dos dados da base será maior do que a mediana de idades reais dos 
respondentes 
 c) A amplitude de idades calculada a partir dos dados da base será maior do que a amplitude de idades reais 
dos respondentes. 
 d) O valor máximo das idades calculado a partir dos dados da base será maior do que a idade real do 
respondente mais velho. 
 e) A diferença entre as duas maiores idades dos dados da base será maior do que a diferença das idades reais 
dos dois respondentes mais velhos. 
RESOLUÇÃO: 
A única medida de posição que é afetada pelos valores extremos é a MÉDIA. A mediana necessariamente é 
modificada, motivo pelo qual a alternativa B apresenta a informação incorreta. 
Quandotrocamos um valor 30 por um valor 300 na distribuição, a média dos valores AUMENTA. Isto é, a média 
calculada AUMENTA em relação à média real. O valor máximo (maior idade) também aumenta. A amplitude 
dos dados também aumenta, afinal a amplitude é justamente a diferença entre o valor máximo (que aumentou 
bastante) e o valor mínimo da distribuição. E a diferença entre as duas maiores idades também aumenta, afinal 
agora teremos uma “idade” de 300 anos. 
Resposta: B 
 
42.CESGRANRIO – IBGE – 2016) 
Uma pesquisa em determinado município coletou, dentre outros dados, o número de filhos em cada família. 
Algumas estatísticas são apresentadas na Tabela abaixo. 
 
Segundo essas estatísticas, 
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 a) metade das famílias tem mais do que 2 filhos. 
 b) o mais comum é que famílias tenham 2 filhos. 
 c) mais da metade das famílias não têm filhos. 
 d) uma família padrão tem em média 3 filhos. 
 e) de todas as famílias entrevistadas, nenhuma tem 6 filhos 
RESOLUÇÃO: 
Vejamos cada afirmação feita: 
 a) metade das famílias tem mais do que 2 filhos. 
ERRADO. O fato de a média ser igual a 2 NÃO garante que metade das famílias tenha mais do que 2 filhos. Se 
a distribuição for assimétrica, isso não seria verdade. 
 
 b) o mais comum é que famílias tenham 2 filhos. 
ERRADO. A moda é igual a ZERO. 
 
 c) mais da metade das famílias não têm filhos. 
ERRADO. A moda (zero) apresenta o valor que tem maior número de repetições. Não é preciso que seja mais 
da metade das famílias. 
 
 d) uma família padrão tem em média 3 filhos. 
ERRADO, a média é 2. 
 
 e) de todas as famílias entrevistadas, nenhuma tem 6 filhos 
CORRETO. Como a moda é ZERO, certamente temos famílias com 0 filhos. E, como a amplitude é 5, isto 
significa que no máximo teremos famílias com 5 filhos, pois desta forma a amplitude seria 5 – 0 = 5. 
Resposta: E 
 
43.CESGRANRIO - BASA/AM – 2015) 
Em uma instituição financeira 55% dos clientes não possuem seguro, 20% possuem 1 seguro, e o restante, 2 
seguros. A média e a mediana do número de seguros que cada cliente possui são, respectivamente: 
(A) 7/30 e 1/2 
(B) 1 e 1 
(C) 7/10 e 0 
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(D) 0 e 0 
(E) 1/3 e 1/2 
RESOLUÇÃO: 
Podemos montar a tabela de frequências a seguir: 
Número de seguros Frequências 
0 55% 
1 20% 
2 25% 
 
Veja que já coloquei 25% das frequências com 2 seguros, pois este é o restante. Podemos calcular a média 
rapidamente assim: 
Média = 0x55% + 1x20% + 2x25% 
Média = 0 + 0,20 + 0,50 
Média = 0,70 = 7/10 
 
Veja que já podemos marcar a alternativa C. A mediana será ZERO, afinal mais da metade das frequências 
(55%) estão nesta linha. Isto significa que, certamente, pelo menos metade das pessoas tem 0 seguros. 
Resposta: C 
 
44.CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) 
Uma variável aleatória X de interesse assume apenas os valores 1, 2 e k. Sabendo-se que P(X = 1) = 1/3 , P (X = 
2) = 1/4 e que a média da variável aleatória é 5, o valor de k é dado por 
 a) 10. 
 b) 12 
 c) 15 
 d) 25/6 
 e) 5/6 
RESOLUÇÃO: 
A média da variável é dada por: 
Média = somatório de X . P(X) 
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Assim, 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 1. 𝑃(1) + 2. 𝑃(2) + 𝑘. 𝑃(𝑘) 
 
Note ainda que: 
P(1) + P(2) + P(k) = 100% = 1 
1
3
+
1
4
+ 𝑃(𝑘) = 1 
𝑃(𝑘) = 1 −
1
3
−
1
4
 
𝑃(𝑘) =
2
3
−
1
4
 
𝑃(𝑘) =
8
12
−
3
12
=
5
12
 
Como a média é igual a 5, podemos escrever: 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 1. 𝑃(1) + 2. 𝑃(2) + 𝑘. 𝑃(𝑘) 
 
5 = 1.
1
3
+ 2.
1
4
+ 𝑘.
5
12
 
Multiplicando todos os termos por 12, temos: 
60 = 4 + 2.3 + k.5 
60 = 4 + 6 + 5k 
50 = 5k 
k = 10 
Resposta: A 
 
45.FGV – IBGE – 2017) 
Em certo município foi feita uma pesquisa para determinar, em cada residência, quantas crianças havia até 10 
anos de idade. O resultado está na tabela a seguir: 
 
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Em relação ao total de residências pesquisadas, as que possuem somente uma ou duas crianças representam: 
(A) 55,0%; 
(B) 57,5%; 
(C) 60,0%; 
(D) 62,5%; 
(E) 64,0%. 
RESOLUÇÃO: 
Veja na tabela que as residências com somente 1 criança são 44, e as residências com 2 crianças são 56. Logo, 
as residências com uma ou duas crianças são 44 + 56 = 100. 
O total de residências é 25 + 44 + 56 + 20 + 12 + 3 = 160. Logo, o percentual de residências com uma ou duas 
crianças é: 
P = 100 / 160 = 10 / 16 = 5 / 8 = 2,5 / 4 = 1,25 / 2 = 0,625 = 62,5%. 
Resposta: D 
 
46.FGV – ALBA – 2014) 
Observe a tabela de frequências a seguir, que se refere aos saldos em conta, num determinado dia, de duzentas 
contas‐correntes: 
 
A frequência relativa acumulada de saldos em R$ 900,00 é igual a 
a) 22%. 
b) 36%. 
c) 54%. 
d) 90%. 
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e) 97%. 
RESOLUÇÃO: 
A frequência acumulada é calculada somando a linha anterior com a atual. Vamos montar até a linha do Saldo 
= 900 reais. 
 
Como são 200 contas, a frequência relativa será dada por: 
Freq relativa = Freq Acumulada/Nº de observações 
Freq relativa = 180/200 = 0,9 = 90% 
Resposta: D 
 
47.FGV – CGE/MA – 2014) 
No setor A de uma empresa foi feita uma auditoria para descobrir quantas vezes cada pessoa fazia ligações 
pessoais do seu celular no período de trabalho de 14 às 17 horas de um único dia. O resultado está no gráfico a 
seguir. 
 
O número de pessoas que trabalham no setor A dessa empresa é 
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(A) 15 
(B) 22 
(C) 27 
(D) 29 
(E) 42 
RESOLUÇÃO: 
O gráfico informa o número de ligações feitas de acordo com o número de pessoas. Vamos organizar esses 
valores na forma de uma tabela: 
 
A questão pede o número de pessoas que trabalham nesse setor. Basta somarmos a coluna do “nº de pessoas”. 
Veja: 
2 + 5 +10 + 7 + 3 + 2 = 29 pessoas 
Resposta: D 
 
48.FGV – AL/BA – 2014) 
Os dados a seguir são uma amostra de 11 salários mensais (aproximados) em reais: 
2.080 1.830 2.480 3.010 1.450 1.650 2.500 1.740 3.600 1.900 2.840 
A mediana desses salários, em reais, é 
a) 1.990. 
b) 2.080. 
c) 1.650. 
d) 2.000. 
e) 2.220. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos colocar os salários na ordem crescente: 
1.450 1.650 1.740 1.830 1.900 2.080 2.480 2.500 2.840 3.010 3.600 
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Como são 11 salários, o termo central será (11 + 1)/2 = 6º termo. Logo, a mediana será 2.080 reais. 
Resposta: B 
 
49.FGV – CGE/MA – 2014) 
Sobre uma amostra com uma quantidade ímpar de valores, todos diferentes de uma variável aleatória, sabe-
se que a média é maior que a mediana. 
Com relação aos valores dessa amostra é necessariamente verdade que. 
a) há mais valores acima da média do que abaixo da média. 
 b) há mais valores abaixo da média do que acima da média 
 c) há mais valores acima da média do que abaixo da mediana. 
d) há mais valores acima da mediana do que abaixo da média. 
e) a quantidade de valores acima da média é igual à quantidade de valores abaixo da média. 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que a mediana divide a distribuição de números ao meio. Se a média é maior do que a mediana, então 
necessariamentehaverá mais números abaixo da média do que acima dela. 
Resposta: B 
 
50.FGV – Analista IBGE – 2016) 
Após a extração de uma amostra, as observações obtidas são tabuladas, gerando a seguinte distribuição de 
frequências: 
 
Considerando que E(X) = Média de X, Mo(X) = Moda de X e Me(X) = Mediana de X, é correto afirmar que: 
a) E(X) = 7 e Mo(X) = 10 
b) Me(X) = 5 e E(X) = 6,3 
c) Mo(X) = 9 e Me(X) = 9 
d) Me(X) = 9 e E(X) = 6,3 
e) Mo(X) = 9 e E(X) = 7 
RESOLUÇÃO: 
Veja que a moda é o valor 9, que possui o maior número de frequências (10). Ou seja, Mo(X) = 9. Isto já permite 
eliminar a alternativa A, que diz que a moda é igual a 10. 
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Para a mediana, veja que temos um total de 5+9+10+3 = 27 valores, de modo que a mediana é o valor da posição 
(n+1)/2 = (27+1)/2 = 14. Colocando os valores em ordem crescente, o 14º valor será um 5 (temos cinco valores 3 
e mais nove valores 5, de modo que o décimo quarto valor é um 5). Assim, Me(X) = 5. 
A média é dada por: 
Média = (3×5 + 5×9 + 9×10 + 13×3) / 27 = 7 
Logo, E(X) = 7. 
Com isso podemos marcar a alternativa E, onde a moda é 9 e a média é 7. 
Resposta: E 
 
51. FEPESE – UFFS – 2012) 
Um artesão produz N peças por dia. Suponha que 
N tenha a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
Suponha que o artesão produza uma peça defeituosa com probabilidade 0,1. 
Seja X o número de peças defeituosas produzidas pelo artesão. Determine a alternativa que corresponde ao 
valor de E(X|N). 
a.0,885 
b.0,845 
c.0,825 
d. ( ) 0,785 
e.0,745 
RESOLUÇÃO: 
A esperança (ou média) de uma variável aleatória discreta é dada pela soma de cada um dos valores que a 
variável pode assumir multiplicado pela respectiva probabilidade. 
Como o artesão produz uma peça defeituosa com probabilidade 0,1, temos que o número de peças defeituosas 
X = 0,1N. Assim, temos que E(X\N) = E(0,1N)=0,1∙E(N) 
A esperança de N é dada pela seguinte fórmula: 
E(N) = ∑ n ∙ P(N = n)
10
n=5
 
Assim, da tabela extraímos que: 
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E(N) = 5 ∙ 0,05 + 6 ∙ 0,10 + 7 ∙ 0,20 + 8 ∙ 0,35 + 9 ∙ 0,2 + 10 ∙ 0,10 
E(N) = 0,25 + 0,6 + 1,4 + 2,8 + 1,8 + 1 = 7,85 
Por fim, temos que: 
E(X\N) = 0,1 ∙ E(N) = 0,1 ∙ 7,85 = 0,785 
Portanto, a alternativa D é o gabarito da questão. 
Resposta: D 
 
52. FEPESE – UFFS – 2012) 
Considere o histograma abaixo: 
 
Para a distribuição acima, qual a alternativa que melhor a representa? (considere me=média, mo=moda e 
md=mediana) 
a.me > md > mo 
b.md > mo > me 
c.md > me > mo 
d.mo > me > md 
e.mo > md > me 
RESOLUÇÃO: 
Ao observar o histograma, nota-se que ele apresenta assimetria negativa (ou à esquerda), característica de 
distribuições que apresentam uma Moda (maior barra do histograma) maior que a mediana, que por sua vez é 
maior que a média. Portanto, temos que mo > md > me e que consequentemente a alternativa E é o gabarito 
da questão. 
Resposta: E 
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53. IBFC – SEDUC/MT – 2017) 
Com a ajuda de um globo para sorteio de bingo, foram sorteados de forma aleatória, os seguintes números – 
02, 45, 13, 54, 22, 23, 09. Analisando os números, um estudante concluiu que a média aritmética destes números 
é 24, a mediana é 22 e distribuição é amodal. Sobre os valores e conclusões deste estudante, analise as 
afirmativas a seguir assinale a alternativa correta. 
I.A média aritmética é a soma de todos os valores presentes na distribuição. 
II. A mediana é o valor central que divide a distribuição dos valores ordenados em dois, sendo os que estão à 
esquerda são menores e os que estão à direita são maiores que o elemento central. 
III. A moda é a frequência de aparecimento de um número em uma distribuição, como no bingo as bolas não 
retornam para a esfera, não há repetições. 
IV. A média aritmética está errada pois deveria ter o mesmo valor da mediana. 
Assinale a alternativa que contenha somente as afirmações corretas: 
a) I apenas 
b) II e IV apenas 
c) II, III, IV apenas 
d) II e III apenas 
e) III apenas 
RESOLUÇÃO: 
Vamos julgar as afirmativas: 
I. A média aritmética é a soma de todos os valores presentes na distribuição. 
ERRADO. A média é a soma dos valores dividida pela quantidade de valores na distribuição. 
 
II. A mediana é o valor central que divide a distribuição dos valores ordenados em dois, sendo os que estão à 
esquerda são menores e os que estão à direita são maiores que o elemento central. 
CORRETO. A mediana divide os dados na metade, em ordem crescente. 
 
III. A moda é a frequência de aparecimento de um número em uma distribuição, como no bingo as bolas não 
retornam para a esfera, não há repetições. 
CORRETO. A moda é o número que teve mais repetições (frequências). Como no bingo cada número sai apenas 
uma vez, a distribuição é amodal, isto é, sem moda. 
IV. A média aritmética está errada pois deveria ter o mesmo valor da mediana. 
Vamos calcular a média: 
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Média = (2 + 45 + 13 + 54 + 22 + 23 + 9)/7 = 24 
A média está correta, logo a afirmativa está ERRADA. 
Resposta: D 
 
54.IBFC – SEDUC/MT – 2017) 
Sobre as variáveis serem discretas ou contínuas, analise as afrmativas abaixo, dê valores Verdadeiro (V) ou 
Falso (F). 
( ) A contagem do número de alunos dentro de uma sala de aula só pode ser uma variável discreta, pois é um 
número inteiro racional e positivo. 
( ) A contagem da quilometragem de um corredor em uma pista circular é uma variável contínua, pois este valor 
pode assumir qualquer valor dentro do intervalo real, no caso múltiplos de π (pi). 
( ) O caso do termômetro analógico (de mercúrio), a variável representada nele é uma variável discreta, pois 
aceita todos os valores intermediários entre duas temperaturas a e b. 
Assinale a alternativa que traga, de cima para baixo, a sequência correta. 
a) V, V, F 
b) V, V, V 
c) V, F, V 
d) F, F, V 
e) F, V, F 
RESOLUÇÃO: 
Vamos julgar as afirmativas: 
( ) A contagem do número de alunos dentro de uma sala de aula só pode ser uma variável discreta, pois é um número 
inteiro racional e positivo. 
CORRETO, a variável “número de alunos” só assume valores naturais. 
 
( ) A contagem da quilometragem de um corredor em uma pista circular é uma variável contínua, pois este valor 
pode assumir qualquer valor dentro do intervalo real, no caso múltiplos de π (pi). 
CORRETO, pois a medida de distância percorrida pode assumir qualquer valor real (positivo). Entre 1km e 2km, 
por exemplo, existem INFINITOS valores de distância. 
 
( ) O caso do termômetro analógico (de mercúrio), a variável representada nele é uma variável discreta, pois aceita 
todos os valores intermediários entre duas temperaturas a e b. 
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ERRADO. A variável é contínua, justamente por aceitar todos os valores intermediários entre duas 
temperaturas a e b. 
Resposta: A 
 
55. IBFC – SEDUC/MT – 2017) 
Sobre população e amostras, assinale a alternativa que completa correta e respectivamente as lacunas do 
texto. 
“A ________________ pode ser definida como um subconjunto, uma parte selecionada da totalidade de 
observações abrangidas pela _______________ através da qual se faz um juízo ou inferências sobre a 
característica da população.” (Toledo, G. L., 1985). Já a _______________ congrega todas as observações que 
sejamrelevantes para o estudo da uma ou mais característica dos indivíduos. 
Assinale a alternativa que traga, de cima para baixo, a sequência correta. 
a) População, população, população 
b) Amostra, amostra, amostra 
c) População, amostra, população 
d) Amostra, população, população 
e) Amostra, amostra, população 
RESOLUÇÃO: 
Um subconjunto é uma AMOSTRA. Ela é obtida da totalidade de uma POPULAÇÃO. Esta POPULAÇÃO é 
composta por todos os elementos que sejam relevantes para o estudo de uma ou mais características. 
Ficamos com AMOSTRA, POPULAÇÃO, POPULAÇÃO. 
Resposta: D 
 
56.IBFC – SEDUC/MT – 2017 - adaptada) 
Para o bom funcionamento de uma universidade particular, a parte administrativa possui em seu quadro 43 
funcionários, contando entre estagiários, secretários, coordenadores e diretores. A distribuição salarial dos 
colaboradores é bastante variada e encontra-se demonstrada no gráfico a seguir, onde no eixo das 
coordenadas está representado o número de pessoas (frequência) que recebe a faixa salarial observada no eixo 
das abcissas. Nesse sentido, observe o gráfico: 
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I. A maior frequência de salários está na faixa entre R$1.201,00 e R$2.000,00. 
II. A maioria das pessoas recebe entre R$ 1.000,00 e R$2.000,00. 
III. A distribuição da curva de frequência é simétrica. 
IV. A média salarial é maior que a mediana da distribuição da curva. 
Assinale a alternativa correta: 
a) I, II, III apenas 
b) I, II, IV apenas 
c) II, III, IV apenas 
d) I, III, IV apenas 
e) I, II, III, IV apenas 
RESOLUÇÃO: 
Vamos julgar as afirmativas: 
I. A maior frequência de salários está na faixa entre R$1.201,00 e R$2.000,00. 
CORRETO, nesta faixa temos 13 funcionários. 
 
II. A maioria das pessoas recebe entre R$ 1.000,00 e R$2.000,00. 
Entre 1.000 e 2.000 temos 9 + 13 = 22 pessoas. Isto é mais que a metade de 43, logo a afirmativa é CORRETA. 
 
III. A distribuição da curva de frequência é simétrica. 
ERRADO. Não temos um eixo de simetria na distribuição. Ela é assimétrica positivamente, pois há uma 
concentração de frequências nos salários mais baixos (à esquerda) e uma cauda se estendendo para a direita, 
sentido positivo do eixo. 
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IV. A média salarial é maior que a mediana da distribuição da curva. 
CORRETO. Em uma distribuição assimétrica positiva, a média é o maior valor. 
Resposta: B 
 
57. IBFC – EBSERH – 2017) 
A tabela a seguir nos mostra a amostragem de medidas de um experimento. Escolha a alternativa que 
represente a Média, a Mediana e a Moda dos valores. 
 
 a) 86,75; 85 e 85,5 
 b) 86,75; 86,5 e 85 
 c) 86,75; 85,5 e 85 
 d) 85,5; 86,75 e 85 
 e) 85,5; 86,5 e 85 
RESOLUÇÃO: 
Média = 
soma das medidas
nº de medidas
= 
82 + 84 + 85 + 85 + 86 + 88 + 91 + 93
8
 
Média = 
694
8
= 86,75 
Mediana é a medida que divide as medidas ordenadas do menor para o maior valor, de modo que metade das 
medidas seja menor que ela e a outra metade seja maior. Notamos que na tabela as medidas já estão ordenadas 
do menor para o maior valor e que temos 8 medidas. Como 8 é um número par, a mediana é igual à média das 
medidas 4 (
8
2
) e 5 (
8
2
+ 1), pela tabela temos que medida 4 = 85 e medida 5 = 86, portanto: 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 
85 + 86
2
= 85,5 
Moda é a medida que mais aparece no conjunto de dados. Assim, ao observar as medidas dos conjuntos 
notamos que 85 é a moda, pois ela aparece 2 vezes, enquanto as demais medidas aparecem uma vez. 
Por fim, sendo a média = 86,75, a mediana = 85,5 e a moda = 85, podemos concluir que a alternativa C é o 
gabarito da questão. 
Resposta: C 
 
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58.IBFC – EBSERH – 2017) 
Os dados a seguir referem-se à questão. 
Um levantamento amostral sobre o número de filhos de 50 funcionários foi realizado em uma empresa 
localizada em um município. Esse levantamento gerou a tabela a seguir: 
 
A mediana do número de filhos dos funcionários da amostra é, aproximadamente: 
 a) 2,00 
 b) 1,00 
 c) 3,00 
 d) 2,50 
 e) 1,50 
RESOLUÇÃO: 
Temos um total de 50 observações, e por ser 50 um número par a mediana é representada pela média entre o 
número de filhos do funcionário que ocupa a posição 25 (50/2) e o número de filhos do funcionário que ocupa a 
posição 26 (50/2 +1), sendo os funcionários ordenados pela ordem crescente do número de filhos. Notamos que 
a tabela já está ordenada, assim temos que a posição 25 é ocupada por um funcionário com 1 filho (pois os 20 
primeiros funcionários têm 0 filhos e o 21º funcionário até o 25º têm 1 filho) e que a posição 26 é ocupada por 
um funcionário com 2 filhos (pois os 20 primeiros funcionários têm 0 filhos, o 21º funcionário até o 25º têm 1 
filho, e o 26º funcionário até o 33º têm 2 filhos). 
Por fim, temos que: 
Mediana =
1 + 2
2
=
3
2
= 1,5 
Portanto, a alternativa E é o gabarito da questão. 
Resposta: E 
 
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59.IBFC – EBSERH – 2017) 
 
A Mediana da tabela está corretamente descrita na alternativa: 
a) Vinte e nove 
b) Trinta e dois 
c) Trinta e três 
d) Vinte e oito 
e) Trinta 
RESOLUÇÃO: 
O primeiro passo para encontrar a mediana é ordenar os dados do menor para o maior valor. Ao ordená-los, o 
valor que ocupar a 4ª posição (
7+1
2
) será a mediana, de forma que metade dos dados será menor que ela e a 
outra metade será maior. 
Ao ordenar os dados em ordem crescente, obtemos: 
8 – 11 – 20 – 32 – 33 – 40 – 45 
Assim, o número 32 é a mediana, pois ele ocupa a 4ª posição, e logo a alternativa B é o gabarito da questão. 
Resposta: B 
 
60.IBFC – INEP – 2016) 
Gráfico composto por retângulos justapostos em que a base de cada um deles corresponde ao intervalo de 
classe e a sua altura à respectiva frequência: 
 a) Polígono de frequência 
 b) Polígono de frequência acumulada 
 c) Setor circular 
 d) Histograma 
 e) Pictogramas 
RESOLUÇÃO: 
O enunciado se refere ao histograma, gráfico utilizado para observar o comportamento da distribuição das 
frequências. Portanto, o gabarito é alternativa D. 
Resposta: D 
 
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61.IBFC – INEP – 2016) 
Sobre o gráfico abaixo, é possível afirmar que a frequência relativa da 2ª classe é: 
 
 a) 0,12 
 b) 0,20 
 c) 0,30 
 d) 0,40 
 e) 0,50 
RESOLUÇÃO: 
Ao observar o gráfico do polígono de frequência acumulada, temos que o total de observações é 50 e que para 
a segunda classe (40 a 50), temos 10 – 4 = 6 observações. 
Assim, temos que a frequência relativa (fr) da segunda classe é dada por: 
fr =
nº de observações da 2ª classe
nº total de observações
 
fr =
6
50
= 0,12 
Logo, a alternativa A é o gabarito da questão. 
 
Resposta: A 
 
 
 
 
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62.IBFC – INEP – 2012) 
Considere as seguintes notas obtidas por determinado aluno em suas oito disciplinas 
DISCIPLINA Nota 
A......................................2,5 
B......................................3,5 
C.....................................4,5 
D.....................................5,5 
E.....................................6,0 
F.....................................7,0 
G....................................8,0H.....................................9,0 
 
A nota média, a nota mediana e a nota modal são respectivamente: 
 
 a) 5,75; não existe; 2,5 
 b) 4,6; não existe; 9,0 
 c) 5,75; 5,75; não existe 
 d) 4,6; 6,0; não existe 
 e) 4,5; 4,5; 4,5 
RESOLUÇÃO: 
Nota média =
2,5 + 3,5 + 4,5 + 5,5 + 6 + 7 + 8 + 9
8
=
46
8
= 5,75 
Para o cálculo da nota mediana, verificamos que as notas já estão ordenadas da menor para a maior nota, e 
como há 8 notas e 8 é um número par, temos que a mediana é a média das notas ordenadas que ocupam as 
posições 4 (
8
2
) e 5 (
8
2
+ 1). Logo, temos que: 
Nota mediana =
Nota disciplina D + Nota disciplina E
2
=
5,5 + 6
2
 
Nota mediana =
11,5
2
= 5,75 
A nota modal seria a nota mais frequente do conjunto de dados, entretanto cada uma das notas aparece apenas 
uma vez, ou seja, não há nota modal porque nenhuma delas aparece com uma frequência maior que as outras, 
todas as notas tem a mesma frequência. Portanto, temos que a alternativa C é o gabarito da questão. 
Resposta: C 
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63.IBFC – INEP – 2012) 
Os “pesos" de vinte atletas estão distribuídos de acordo com a tabela abaixo: 
“PESOS"(kg) fi 
55-65 10 
65-75 4 
75-85 4 
85-95 2 
 Total = 20 
Considerando a distribuição acima, assinale a alternativa que apresenta respectivamente os valores da média 
e da moda bruta: 
 a) 75kg e 65kg 
 b) 69kg e 55kg 
 c) 80kg e 55kg 
 d) 69kg e 60kg 
 e) 75kg e 60kg 
RESOLUÇÃO: 
Ao observar os dados, vemos que os pesos estão organizados em classes. Logo, o primeiro passo para calcular 
a média de pesos é calcular o peso médio de cada uma dessas classes. Assim, temos: 
Peso médio55−65 =
55 + 65
2
=
120
2
= 60 kg 
Peso médio65−75 =
65 + 75
2
=
140
2
= 70 kg 
Peso médio75−85 =
75 + 85
2
=
160
2
= 80 kg 
Peso médio85−95 =
85 + 95
2
=
180
2
= 90 kg 
O próximo passo é utilizar os pesos médios obtidos para o cálculo da média dos pesos. Assim, temos: 
Média =
(10 ∙ 60) + (4 ∙ 70) + (4 ∙ 80) + (2 ∙ 90)
10 + 4 + 4 + 2
 
Média =
600 + 280 + 320 + 180
20
=
1380
20
= 69 kg 
A moda bruta é o peso médio da classe de maior frequência, temos que a maior frequência é 10 e corresponde 
à frequência da classe 55-65. Já calculamos que o peso médio dessa classe é 60 kg, e, portanto, a moda bruta é 
60 kg e a alternativa D é o gabarito da questão. 
Resposta: D 
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ATENÇÃO: Utilize a tabela a seguir para resolver as próximas 3 questões. 
 
 
64.IBFC – EBSERH – 2013) 
O número de casos, o número de classes e a amplitude da tabela são, respectivamente: 
a) 500; 7 e 70. 
b) 500; 7 e 10. 
c) 7; 500 e 70. 
d) 7; 500 e 10. 
e) 7; 500 e 200. 
RESOLUÇÃO: 
O número de casos é o total de casos da tabela (a soma das frequências de todas as classes), informação contida 
na última linha da tabela = 500 casos. 
Ao observar a tabela, vemos que há 7 classes de amplitude 10 cada uma, já a amplitude da tabela é igual à 
diferença entre o maior valor da última classe (70) e o menor valor da primeira classe (0). Assim, temos que: 
amplitude da tabela = 70 – 0 = 70. 
Uma outra forma de calcular a amplitude da tabela seria somando a amplitude de todas as classes. Como todas 
tem amplitude 10, teremos amplitude da tabela = 7 x 10 = 70. 
Por fim, concluímos que a alternativa A é o gabarito da questão. 
Resposta: A 
 
 
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65.IBFC – EBSERH – 2013) 
A média, a mediana e a moda dessa distribuição equivalem, respectivamente a: 
a) 38; 45; 45. 
b) 38; 41; 44. 
c) 40, 45; 45. 
d) 40; 45; 44. 
e) 40; 41; 44. 
RESOLUÇÃO: 
Como o número de crianças nascidas mortas nos hospitais está organizado em classes, o primeiro passo para 
calcular a média de crianças nascidas mortas é calcular o ponto médio de cada uma dessas classes. Assim, 
temos: 
Ponto médio0−10 =
0 + 10
2
=
10
2
= 5 
Ponto médio10−20 =
10 + 20
2
=
30
2
= 15 
Ponto médio20−30 =
20 + 30
2
=
50
2
= 25 
Ponto médio30−40 =
30 + 40
2
=
70
2
= 35 
Ponto médio40−50 =
40 + 50
2
=
90
2
= 45 
Ponto médio50−60 =
50 + 60
2
=
110
2
= 55 
Ponto médio60−70 =
60 + 70
2
=
130
2
= 65 
O próximo passo é utilizar os pontos médios obtidos para cada classe para o cálculo da média das crianças 
nascidas mortas. Assim, temos: 
Média =
(30 ∙ 5) + (50 ∙ 15) + (60 ∙ 25) + (90 ∙ 35) + (200 ∙ 45) + (20 ∙ 55) + (55 ∙ 65)
500
 
Média =
150 + 750 + 1500 + 3150 + 9000 + 1100 + 3250
500
=
18900
500
= 37,8 
Média ≅ 38 
Ao observar a tabela, vemos que a classe de maior frequência é 40 – 50, portanto é a classe que contém a moda. 
Como os números de crianças nascidas mortas estão agrupados em classes, a moda pode ser calculada com 
maior precisão através da seguinte fórmula: 
Moda = I + (
f1−f0
2 ∙ f1−f0−f2
) ∙ h 
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Onde: 
I : limite inferior da classe que contém o valor modal = 40 
f1 : frequência da classe que contém o valor modal = 200 
f0 : frequência da classe que precede a classe modal = 90 
f2 : frequência da classe que sucede a classe modal = 20 
h : tamanho do intervalo de classe = 50 – 40 = 10 
Assim, substituindo os valores na fórmula acima temos: 
Moda = 40 + (
200 − 90
2 ∙ 200 − 90 − 20
) ∙ 10 
Moda = 40 + (
110
290
) ∙ 10 
Moda = 40 + 3,8 = 43,8 ≅ 44 
Temos que a mediana também pertence à classe 40 – 50, pois as classes já estão em ordem crescente e antes 
dessa classe estão os primeiros 230 casos e nessa classe os 200 casos seguintes (posição 231 a 430), e a mediana 
é a observação que ocupa aproximadamente a posição 250. Como os dados estão agrupados, a mediana pode 
ser calculada com maior precisão através da fórmula: 
Mediana = I + (
𝑛
2
− f0
f1
) ∙ h 
Onde: 
I : limite inferior da classe que contém a mediana = 40 
f1 : frequência da classe que contém a mediana = 200 
f0 : frequência acumulada da classe anterior = 30+50+60+90 = 230 
n : total de casos = 500 
h : tamanho do intervalo de classe = 50 – 40 = 10 
Logo, substituindo os valores na fórmula acima temos: 
Mediana = 40 + (
500
2
− 230
200
) ∙ 10 
Mediana = 40 + (
20
200
) ∙ 10 = 40 + 1 = 41 
Portanto, o gabarito da questão é alternativa B. 
Resposta: B 
 
 
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66.IBFC – EBSERH – 2013) 
Caso passasse a integrar a amostra mais um hospital e com número de crianças mortas igual 1000, o novo valor 
da mediana seria de: 
a) 45. 
b) 1.041. 
o) 525. 
d) 520. 
e) 41. 
RESOLUÇÃO: 
Ao supor que a proporção de crianças do novo hospital por classe será a mesma da amostra anterior (sem o 
novo hospital), ou seja, que elas se distribuirão pelas classes da mesma maneira que as 500 crianças iniciais, 
teríamos que o valor da mediana se manteria igual ao da amostra anterior, ou seja, a mediana continuaria sendo 
41 (calculada na questão anterior). E, portanto, a alternativa E é o gabarito da questão. 
Resposta: E 
 
67.IBFC – EBSERH – 2013) 
 
A moda e a mediana dos salários são aproximadamente e respectivamente: 
a) 2.800; 2.800. 
b) 2.800; 3.000. 
c) 2.836; 2.800. 
d) 2.836; 3.000. 
RESOLUÇÃO: 
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Ao observar a tabela, vemos que a classe de maior frequência é 2400 – 3200, portanto é a classe que contém a 
moda. Como os salários estão agrupados em classes, a moda pode ser calculada pela seguinte fórmula: 
Moda = I + (
f1−f0
2 ∙ f1−f0−f2
) ∙ h 
Onde: 
I : limite inferior da classe que contém o valor modal = 2400 
f1 : frequência da classe que contém o valor modal = 20 
f0 : frequência da classe que precede a classe modal = 2 
f2 : frequência da classe que sucede a classe modal = 5 
h : tamanho do intervalo de classe = 3200 – 2400 = 800 
Assim, substituindo os valores na fórmula acima temos: 
Moda = 2400 + (
20 − 2
2 ∙ 20 − 2 − 5
) ∙ 800 
Moda = 2400 + (
18
33
) ∙ 800 
Moda = 2400 + 436,36 ≅ 2836 
Temos que a mediana também pertence à classe 2400 – 3200, e como os dados estão agrupados, a mediana 
pode ser calculada com mais precisão através da fórmula: 
Mediana = I + (
𝑛
2
− f0
f1
) ∙ h 
Onde: 
I : limite inferior da classe que contém a mediana = 2400 
f1 : frequência da classe que contém a mediana = 20 
f0 : frequência acumulada da classe anterior = 5 + 3 + 2 = 10 
n : total de casos = 50 
h : tamanho do intervalo de classe = 3200 – 2400 = 800 
Logo, substituindo os valores na fórmula acima temos: 
Mediana = 2400 + (
50
2
− 10
20
) ∙ 800 
Mediana = 2400 + (
15
20
) ∙ 800 = 2400 + 600 = 3000 
Portanto, a alternativa D é o gabarito da questão. 
 
Resposta: D 
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68.IBFC – EBSERH – 2013) 
 
Se o limite superior da última faixa fosse de R$ 8.000, o novo da média aritmética simples, moda e mediana 
seria de: 
a) 2.971; 2.800; 2.800. 
b) 3.392; 2.800; 2.800. 
c) 3.392; 2.836; 3.000. 
d) 2.971; 2.836; 3.000. 
RESOLUÇÃO: 
A moda e a mediana não se alterariam com a inclusão do limite superior na última faixa, para calcular a média 
o primeiro passo é calcular o ponto médio de cada um dos intervalos. Assim, temos: 
Ponto médio0−800 =
0 + 800
2
=
800
2
= 400 
Ponto médio800−1600 =
800 + 1600
2
=
2400
2
= 1200 
Ponto médio1600−2400 =
1600 + 2400
2
=
4000
2
= 2000 
Ponto médio2400−3200 =
2400 + 3200
2
=
5600
2
= 2800 
Ponto médio3200−4000 =
3200 + 4000
2
=
7200
2
= 3600 
Ponto médio4000−4800 =
4000 + 4800
2
=
8800
2
= 4400 
Ponto médio4800−8000 =
4800 + 8000
2
=
12800
2
= 6400 
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O próximo passo é utilizar os pontos médios obtidos para cada classe para o cálculo da média dos salários. 
Logo, obtemos: 
Média =
(5 ∙ 400) + (3 ∙ 1200) + (2 ∙ 2000) + (20 ∙ 2800) + (5 ∙ 3600) + (5 ∙ 4400) + (10 ∙ 6400)
50
 
 
Média =
2000 + 3600 + 4000 + 56000 + 18000 + 22000 + 64000
50
=
169600
50
= 3392 
Portanto, temos que a alternativa C é o gabarito da questão. 
Resposta: C 
 
69.IBFC – EBSERH – 2015) 
Um candidato a uma vaga de emprego obteve as notas indicadas no quadro, referentes a cinco testes que 
respondeu. 
 
A nota média e a nota mediana desse candidato nos cinco testes foram, respectivamente: 
a) 6,2 e 6,0 
b) 6,02 e 3,2 
c) 6,02 e 6,0 
d) 6,0 e 6,2 
e) 3,2 e 6,02 
RESOLUÇÃO: 
Nota média =
8,5 + 4,8 + 3,2 + 7,6 + 6,0
5
=
30,1
5
= 6,02 
Como há 5 notas e 5 é um número ímpar, a nota mediana é a nota que ocupa a posição 3 (
5+1
2
) das notas 
ordenadas em ordem crescente. Assim, para obtermos a mediana é necessário primeiro ordenar as notas e ao 
ordená-las, obtemos: 
 
 
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1 2 3 4 5 
3,2 4,8 6,0 7,6 8,5 
 
Vemos que a nota 6,0 ocupa a posição 3 das notas ordenadas e, portanto, temos que nota mediana = 6,0 e que 
a alternativa C é o gabarito da questão. 
 
Resposta: C 
 
70.IBFC – EBSERH – 2015) 
O histograma indica o tempo, em segundos, para a confecção de peças numa linha de produção. 
 
Com as informações do histograma, o tempo médio, em segundos, na confecção de peças, é igual a: 
a) 5,6 
b) 3,4 
C) 4,2 
d) 5,3 
e) 4,4 
RESOLUÇÃO: 
Como se trata de um histograma, os tempos estão agrupados em classes (no caso 4 classes) e para calcular o 
tempo médio na confecção de peças devemos calcular a soma dos pontos médios de cada classe multiplicados 
pelas respectivas frequências e dividir o resultado pela frequência total. Ao observar o histograma, vemos que 
ele já nos mostra os pontos médios de cada classe, portanto não será necessário calculá-los e podemos obter o 
tempo médio através do seguinte cálculo: 
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Tempo médio =
(1 ∙ 1) + (3 ∙ 3) + (4 ∙ 5) + (2 ∙ 7)
1 + 3 + 4 + 2
 
Tempo médio =
1 + 9 + 20 + 14
10
=
44
10
= 4,4 
Portanto, a alternativa E é o gabarito da questão. 
Resposta: E 
 
71. FCC – TRT/SP – 2018) 
Os preços médios anuais de venda desde 2010 de um certo produto no mercado permitiram montar a tabela 
abaixo, em que foram considerados como índices os preços relativos em porcentagens, adotando o preço 
médio anual de venda do produto no ano de 2012 como básico. 
 
O preço médio anual de venda deste produto em 2011 foi de R$ 135,00. Isto significa que o módulo da diferença 
entre os preços médios anuais de venda correspondentes aos anos de 2010 e 2017 foi de 
 a) R$ 109,00 
 b) R$ 81,00 
 c) R$ 54,00 
 d) R$ 69,00 
 e) R$ 89,00 
RESOLUÇÃO: 
Conforme o enunciado informa, na tabela temos os preços relativos em percentuais, logo o preço de 2011, igual 
a 135 reais conforme informa o enunciado, corresponde a 90% (valor da tabela) do preço básico P. Portanto, 
temos que: 
90% de P = 0,9 x P = 135 
P = 135/0,9 = 150 reais 
Entre os preços dos anos de 2010 e 2017 há uma diferença percentual de: 
120 % - 80 % = 46 % = 0,46. 
Já calculamos que P = 150, logo temos que essa variação percentual corresponde a: 
0,46 x P = 0,46 x 150 = 69 reais. 
Portanto, a alternativa D é o gabarito da questão. 
Resposta: D 
 
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72. FCC – SEFAZ/GO – 2018) 
Os matemáticos definem diferentes tipos de médias entre dois números positivos e, para cada aplicação, 
escolhem qual o tipo mais adequado a ser utilizado. A média harmônica H entre os números positivos a e b, por 
exemplo, é definida como o inverso da média aritmética dos inversos desses números, ou seja, 
 
 A média aritmética dos números 5 e 20 supera a média harmônica desses mesmos números em 
(A) 4 unidades. 
(B) 4,25 unidades. 
(C) 4,5 unidades. 
(D) 4,75 unidades. 
(E) 5 unidades. 
RESOLUÇÃO: 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 =
5 + 20
2
= 12,5 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝐻𝑎𝑟𝑚ô𝑛𝑖𝑐𝑎 =
1
1
5
+
1
20
2
=
2
4
20
+
1
20
=
2
5
20
= 2 .
20
5
= 8 
 
A diferença é de 12,5 – 8 = 4,5 unidades. 
Resposta: C 
 
73. VUNESP – CÂMARA DE DOIS CÓRREGOS – 2018) 
Em uma empresa na qual são comercializados produtos natalinos, a média aritmética das receitas mensais do 
4º trimestre de 2016 foi igual ao triplo da média aritmética das receitas mensais do trimestre imediatamente 
anterior. Se a receita total do segundo semestre de 2016 foi igual a 9 milhões de reais, então a receita total do 
3º trimestre desse mesmo ano foi, em milhões de reais, igual a 
(A) 2,0. 
(B) 2,25. 
(C) 2,75. 
(D) 3,0. 
(E) 3,25. 
RESOLUÇÃO: 
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Se a média do 4º trimestre foi o triplo da média do 3º trimestre, também podemosdizer que a receita total do 
4º trimestre (R4) foi o triplo da receita total do 3º trimestre (R3). Isto porque em ambos os casos nós temos o 
mesmo período de três meses. Isto é, 
R4 = 3 x R3 
 
Como a receita total do segundo semestre é de 9 milhões, temos: 
R3 + R4 = 9 
R3 + 3.R3 = 9 
4.R3 = 9 
R3 = 9/4 
R3 = 2,25 milhões 
Resposta: B 
 
74.VUNESP – CÂMARA DE DOIS CÓRREGOS – 2018) 
A tabela mostra o número de processos que cada um dos funcionários de uma firma de advocacia arquivou no 
decorrer de alguns meses. 
 
Considerando-se o número total de processos arquivados, cada funcionário arquivou, em média, 1,5 processo. 
O número de funcionários que arquivaram, cada um deles, 2 processos foi 
(A) 2. 
(B) 3. 
(C) 4. 
(D) 5. 
(E) 6. 
RESOLUÇÃO: 
Como a média é igual a 1,5 processo, podemos escrever que: 
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𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
𝑆𝑜𝑚𝑎
𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
 
1,5 =
2𝑥0 + 5𝑥1+ ? 𝑥2 + 1𝑥5
2 + 5+? +1
 
1,5 =
10 + 2?
8+?
 
1,5 x (8 + ?) = 10 + 2? 
12 + 1,5? = 10 + 2? 
12 – 10 = 2? – 1,5? 
2 = 0,5? 
? = 4 
 
Portanto, 4 funcionários arquivaram 2 processos. 
Resposta: C 
 
75. VUNESP – PREF. GARÇA – 2018) 
Na escola em que a professora Lígia trabalha, a nota final é calculada por meio da média ponderada das notas 
que o aluno tirou nos quatro bimestres, sendo que o primeiro e o segundo bimestres têm peso 1, cada um, o 
terceiro bimestre tem peso 3, e o quarto bimestre tem peso 5. Se A, B, C e D correspondem às notas que cada 
aluno tirou no primeiro, segundo, terceiro e quarto bimestres, respectivamente, então a professora Lígia pode 
calcular a nota final de cada aluno fazendo a seguinte operação: 
 
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RESOLUÇÃO: 
Para calcular a média ponderada, deve-se multiplicar cada nota pelo seu respectivo peso, somar tudo isso, e 
dividir pela soma dos pesos. Ou seja, 
𝑁𝑜𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 =
1. 𝐴 + 1. 𝐵 + 3. 𝐶 + 5. 𝐷
1 + 1 + 3 + 5
=
𝐴 + 𝐵 + 3𝐶 + 5𝐷
10
 
Resposta: E 
 
76.VUNESP – Pref. de Mogi das Cruzes – 2018) 
Determinado departamento de uma empresa realizou, em um mesmo mês, três reuniões. A tabela a seguir 
mostra o tempo de duração de cada uma delas. 
 
Considerando-se o tempo total das três reuniões, cada reunião durou, em média, 1 hora e 45 minutos. O tempo 
de duração da 3a reunião foi 
(A) 2 horas e 15 minutos. 
(B) 2 horas e 10 minutos. 
(C) 2 horas e 05 minutos. 
(D) 1 hora e 55 minutos. 
(E) 1 hora e 50 minutos. 
RESOLUÇÃO: 
Levando os tempos das reuniões para minutos, temos: 
1ª reunião = 80 minutos 
2ª reunião = 100 minutos 
 
A média de tempo foi de 1h45, ou seja, 105 minutos. Sendo T o tempo da terceira reunião, temos: 
 
 
 
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315 = 180 + T 
 
135 minutos = T 
120 + 15 = T 
2 horas + 15 minutos = T 
Resposta: A 
 
77. VUNESP – Pref. de São José dos Campos – 2018) 
A média aritmética diária de vendas realizadas em seis dias por um estabelecimento comercial foi de R$ 
6.700,00. Na tabela, constam os valores das vendas de alguns desses dias: 
 
Com base nas informações, é correto afirmar que a média aritmética diária dos três últimos dias de vendas é 
maior que a média aritmética diária dos seis dias em, aproximadamente, 
(A) R$ 65,00. 
(B) R$ 67,00. 
(C) R$ 69,00. 
(D) R$ 71,00. 
(E) R$ 73,00. 
RESOLUÇÃO: 
O valor total de vendas pode ser obtido assim: 
Soma total = Média total x Quantidade 
Soma total = 6.700 x 6 
Soma total = 40.200 reais 
 
As vendas nos 3 primeiros dias somam 4800 + 6900 + 8200 = 19.900 reais. Portanto, as vendas nos 3 dias 
seguintes somam: 
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x + y + z = 40.200 – 19.900 = 20.300 reais 
A média destes 3 últimos dias é: 
 
 
Esta média é 66,67 reais maior do que a média da semana (6700). Aproximadamente 67 reais. 
Resposta: B 
 
78.VUNESP - TJ/SP - 2018) 
Um estabelecimento comercial possui quatro reservatórios de água, sendo três deles de formato cúbico, cujas 
respectivas arestas têm medidas distintas, em metros, e um com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, 
conforme ilustrado a seguir. 
 
Sabe-se que, quando totalmente cheios, a média aritmética dos volumes de água dos quatro reservatórios é 
igual a 1,53 m3 , e que a média aritmética dos volumes de água dos reservatórios cúbicos, somente, é igual a 
1,08 m3 . Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura do reservatório com a forma de bloco 
retangular, indicada por h na figura, é igual a 
(A) 1,45 m. 
(B) 1,35 m. 
(C) 1,55 m. 
(D) 1,50 m. 
(E) 1,40 m. 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que Soma = Média x quantidade. Assim, a soma dos volumes dos reservatórios cúbicos é dada pela 
média de seus volumes (1,08) multiplicada pela quantidade (3), isto é, 
Soma dos reservatórios cúbicos = 1,08 x 3 = 3,24m3E 
 
A soma dos 4 reservatórios juntos é dada pela multiplicação da média (1,53) pela quantidade (4), isto é, 
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Soma de todos os reservatórios = 1,53 x 4 = 6,12m3 
 
Logo, o volume do reservatório da figura é a diferença entre a soma dos cubos e a soma total, isto é, 
Volume da figura = 6,12 – 3,24 = 2,88m3 
 
Este volume é dado pela multiplicação de suas dimensões: 
2,88 = 1,6 x 1,2 x h 
1,5m = h 
Resposta: D 
 
79.VUNESP – CÂMARA SJC– 2018) 
Em um concurso, a nota final de cada candidato é calculada pela média aritmética ponderada das notas das 
três fases de avaliação previstas, com pesos 2, 3 e 5, para as primeira, segunda e terceira fases, 
respectivamente. Para ser classificado no concurso, o candidato tem que atingir nota final maior ou igual a 6. 
Sendo assim, um candidato que tirou notas 5 e 6 nas primeira e segunda fases, respectivamente, para ser 
classificado no concurso, precisa tirar, na terceira fase, uma nota mínima igual a 
(A) 6,2. 
(B) 6,4. 
(C) 6,6. 
(D) 6,8. 
(E) 7,0. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam “a”, “b” e “c” as notas tiradas na primeira, segunda e terceira fase respectivamente. Com os pesos, a nota 
final média deve ser maior ou igual a 6. Logo: 
2a+3b+5c
2+3+5
 ≥ 6 
2a+3b+5c
10
 ≥ 6 
2a + 3b + 5c ≥ 6 x 10 
2a + 3b + 5c ≥ 60 
Se um candidato tirar a = 5 e b = 6, a nota “c” deverá ser: 
2 x 5 + 3 x 6 + 5c ≥ 60 
10 + 18 + 5c ≥ 60 
5c ≥ 60 – 28 
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5c ≥ 32 
c ≥ 6,4 
Resposta: B 
 
80.VUNESP – PM/SP – 2018) 
O gráfico apresenta o número de pontos obtidos pelos grupos A, B, C e D, que participaram de uma atividade 
recreativa. 
 
Sabendo que o número de pontos obtidos pelo grupo A foi 30% maior que o número de pontos obtidos pelo 
grupo C, então, na média, o número de pontos obtidos por um grupo foi 
(A) 70. 
(B) 50. 
(C) 60. 
(D) 55. 
(E) 65. 
RESOLUÇÃO: 
O número de pontos obtidos por A foi 52 e esse valor é 30% maios que o número de pontos obtidos por C 
(chamado de x). Logo: 
52 = 1,3x 
x = 52/1,3 = 40 pontos 
A média é dada pela soma dos pontos dos 4 grupos, dividida por 4. Temos: 
Média = 
52+85+40+63
4
 
Média = 
240
4
 
Média = 60 
Resposta: C 
 
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81.CESPE – ABIN – 2018) 
 
Com base nos dadosda tabela anterior, extraídos do Relatório das Notas Estatísticas do Censo Escolar de 2017, 
do INEP, julgue os itens a seguir. 
( ) A média do quantitativo de docentes do ensino médio entre os anos de 2013 e 2017 foi superior à média do 
quantitativo de docentes da educação infantil para o mesmo período. 
RESOLUÇÃO: 
A média é obtida dividindo-se a soma dos valores (que está presente na última linha) pela quantidade de valores 
(no caso, 5 anos que estão representados na tabela). Ao fazer esta divisão, repare que o resultado será maior 
para a coluna da educação infantil, afinal, a soma é superior (2.597.672 vs. 2.582.566). Assim, a média da 
educação infantil é superior. Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
82.CESPE – SEDUC/AL – 2018) 
Acerca de probabilidade e estatística, julgue os próximos itens. 
() Situação hipotética: A média aritmética dos pesos dos 60 alunos de uma sala de aulas é igual a 51,8 kg. Nessa 
sala, a média aritmética do peso dos meninos é de 62 kg e das meninas, 45 kg. Assertiva: Nesse caso, essa sala 
de aulas tem 24 meninos e 36 meninas. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos chamar de “P” a soma dos pesos dos 60 alunos. Como a média é 51,8 kg, temos: 
Média = 
Soma dos pesos
nº de alunos
 
51,8 = 
P
60
 
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P = 60 x 51,8 
P = 3108 kg 
Sabemos que a média do peso dos meninos foi 62 kg. Sendo “n” o número de meninos e “m” a soma de seus 
pesos, temos: 
62 = 
m
n
 
m = 62n 
O número de meninas será “60 – n” e a soma de seus pesos “3108 – m”. Como a média é 45 kg, fica: 
45 = 
3108 − m
60−n
 
3108 - m = (60 – n). 45 
3108 - m =2700 – 45n 
3108 – 2700 = m – 45n 
408 = m – 45n 
Substituindo m = 62n na equação: 
408 = 62n – 45n 
17n = 408 
n = 24 meninos 
Como são 60 alunos, existem 36 meninas. Item CORRETO. 
Resposta: C 
 
83.CESGRANRIO - PETROBRÁS - 2018) 
Em uma avaliação na qual é atribuído grau de zero a dez, um hotel obteve média 8 em quarenta e nove 
avaliações. O avaliador seguinte atribuiu ao hotel nota zero. Para que a média de notas do hotel passe a ser 
maior que 8, será necessário, no mínimo, a avaliação de mais quantos hóspedes? 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
RESOLUÇÃO: 
Até a 49ª nota a média era 8. Para que a média de notas volte a superar 8, precisamos que a média das "n" notas 
dadas a partir da 49ª seja maior do que 8. Vamos imaginar que, além da nota 0, os demais hóspedes deram 
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nota 10. Ou seja, tivemos 1 cliente dando nota 0 e (n-1) clientes dando nota 10. Como a média deve ser 8, 
podemos dizer que: 
média = soma / quantidade 
8 = (1.0 + (n-1).10)/n 
8n = 0 + 10n - 10 
10 = 10n - 8n 
10 = 2n 
n = 5 
Resposta: E 
 
84.CESGRANRIO – BASA – 2018) 
Sabe-se que 30% dos clientes de um banco são do sexo masculino e os 70% restantes são do sexo feminino. 
Entre os clientes do sexo masculino, a média do tempo de vínculo com o banco é igual a 4 anos e, entre os 
clientes do sexo feminino, é igual a 6 anos. Considerando-se todos os clientes, de ambos os sexos, qual é a 
média do tempo de vínculo de cada um com o banco? 
(A) 6 anos 
(B) 5,7 anos 
(C) 5 anos 
(D) 5,3 anos 
(E) 5,4 anos 
RESOLUÇÃO: 
Podemos calcular a média rapidamente assim: 
Média = 30%.4 + 70%.6 
Média = 0,30x4 + 0,70x6 
Média = 1,2 + 4,2 
Média = 5,4 anos 
Resposta: E 
 
85.CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2018) 
Uma empresa cria uma campanha que consiste no sorteio de cupons premiados. O sorteio será realizado em 
duas etapas. Primeiramente, o cliente lança uma moeda honesta: 
se o resultado for “cara”, o cliente seleciona, aleatoriamente, um cupom da urna 1; 
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se o resultado for “coroa”, o cliente seleciona, aleatoriamente, um cupom da urna 2. 
Sabe-se que 30% dos cupons da urna 1 são premiados, e que 40% de todos os cupons são premiados. Antes de 
começar o sorteio, a proporção de cupons premiados na urna 2 é de 
(A) 50% 
(B) 25% 
(C) 5% 
(D) 10% 
(E) 15% 
RESOLUÇÃO: 
Assumindo que ambas as urnas tem o mesmo número de cupons (o que NÃO foi dito pelo enunciado), podemos 
dizer que a média do percentual de cupons premiados é: 
Média = (urna1 + urna2)/2 
40% = (30% + urna2)/2 
80% = 30% + urna2 
Urna2 = 50% 
Resposta: A 
 
86.IAUPE – CBM/PE – 2018) 
Cada um dos 30 bombeiros de uma sala obteve, na avaliação da seleção, nota 5 ou nota 10. A média aritmética 
dessas notas foi 6. 
É CORRETO afirmar que o número de bombeiros que obtiveram as notas 5 e 10, respectivamente, é 
A) 12 e 18. 
B) 18 e 12. 
C) 15 e 15. 
D) 6 e 24. 
E) 24 e 6. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos chamar de “x” o número de notas 5 e de “y” o número de notas 10. Como foram 30 bombeiros no total, 
temos 30 notas: 
x + y = 30 
x = 30 - y 
A soma das 30 notas é dada por: 
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Soma = 5x + 10y 
Foi dada a média dessas notas. Aplicando a fórmula, temos: 
Média = Soma/nº elementos 
6 = (5x + 10y)/30 
6.30 = 5x + 10y 
180 = 5x + 10y 
180 = 5(30 – y) + 10y 
180 = 150 – 5y + 10y 
30 = 5y 
y = 6 
x = 30 – 6 
x = 24 
Portanto, o número de bombeiros que obtiveram as notas 5 e 10, respectivamente, é 24 e 6. 
Resposta: E 
 
87.FCC – SABESP – 2017) 
A média aritmética de três números a, b e c é 20. A média aritmética de a e b é 16. O valor de c é igual a 
a) 24. 
b) 26. 
c) 30. 
d) 28. 
e) 32. 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que a média dos 3 números é 20. Logo: 
Soma dos números = Média x Quantidade 
a + b + c = 20 x 3 
a + b + c = 60 
Da mesma forma, a média de a e b é 16. Logo: 
a + b =16 x 2 
a + b = 32 
Substituindo o valor dessa soma na primeira equação, temos: 
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32 + c = 60 
c = 28 
Resposta: D 
 
88.IBFC – EBSERH – 2017) 
Os dados a seguir referem-se à questão. 
Um levantamento amostral sobre o número de filhos de 50 funcionários foi realizado em uma empresa 
localizada em um município. Esse levantamento gerou a tabela a seguir: 
 
A média aritmética do número de filhos dos funcionários da amostra é, aproximadamente: 
 a) 3,00 
 b) 1,94 
 c) 2,50 
 d) 1,62 
 e) 3,33 
RESOLUÇÃO: 
O valor da média aritmética do número de filhos dos funcionários da amostra é a soma de cada número de 
filhos multiplicado pelo respectivo número de funcionários com essa quantidade de filhos, dividida pelo número 
total de funcionários. 
Assim, temos: 
Média aritmética =
20 ∙ 0 + 5 ∙ 1 + 8 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 5 ∙ 4 + 10 ∙ 5
50
 
Média aritmética =
0 + 5 + 16 + 6 + 20 + 50
50
=
97
50
= 1,94 
Portanto, a alternativa B é o gabarito da questão. 
Resposta: B 
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89.IBFC – SEDUC/MT – 2017) 
Com a ajuda de um globo para sorteio de bingo, foram sorteados de forma aleatória, os seguintes números – 
02, 45, 13, 54, 22, 23, 09. Analisando os números, um estudante concluiu que a média aritmética destes números 
é 24, a mediana é 22 e distribuição é amodal. Sobre os valores e conclusões deste estudante, analise as 
afirmativas a seguir assinale a alternativa correta. 
I. A média aritmética é a soma de todos os valores presentes na distribuição. 
II. A mediana é o valor central que divide a distribuição dos valores ordenados em dois, sendo os que estão à 
esquerda são menores e os queestão à direita são maiores que o elemento central. 
III. A moda é a frequência de aparecimento de um número em uma distribuição, como no bingo as bolas não 
retornam para a esfera, não há repetições. 
IV. A média aritmética está errada pois deveria ter o mesmo valor da mediana. 
Assinale a alternativa que contenha somente as afirmações corretas: 
a) I apenas 
b) II e IV apenas 
c) II, III, IV apenas 
d) II e III apenas 
e) III apenas 
RESOLUÇÃO: 
Vamos julgar as afirmativas: 
I. A média aritmética é a soma de todos os valores presentes na distribuição. 
ERRADO. A média é a soma dos valores dividida pela quantidade de valores na distribuição. 
 
II. A mediana é o valor central que divide a distribuição dos valores ordenados em dois, sendo os que estão à 
esquerda são menores e os que estão à direita são maiores que o elemento central. 
CORRETO. A mediana divide os dados na metade, em ordem crescente. 
 
III. A moda é a frequência de aparecimento de um número em uma distribuição, como no bingo as bolas não 
retornam para a esfera, não há repetições. 
CORRETO. A moda é o número que teve mais repetições (frequências). Como no bingo cada número sai apenas 
uma vez, a distribuição é amodal, isto é, sem moda. 
IV. A média aritmética está errada pois deveria ter o mesmo valor da mediana. 
Vamos calcular a média: 
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Média = (2 + 45 + 13 + 54 + 22 + 23 + 9)/7 = 24 
A média está correta, logo a afirmativa está ERRADA. 
Resposta: D 
 
90.VUNESP – MP/SP – 2016) 
A média de salários dos 13 funcionários de uma empresa é de R$ 1.998,00. Dois novos funcionários foram 
contratados, um com o salário 10% maior que o do outro, e a média salarial dos 15 funcionários passou a ser R$ 
2.013,00. O menor salário, dentre esses dois novos funcionários, é igual a 
(A) R$ 2.008,00. 
(B) R$ 2.010,00. 
(C) R$ 2.004,00. 
(D) R$ 2.002,00. 
(E) R$ 2.006,00. 
RESOLUÇÃO: 
Se a média de 13 funcionários é 1998, então: 
Soma = Média x Quantidade = 1998 x 13 = 25974 reais 
 
Sendo S o menor salário dos contratados, de modo que o outro contratado tem salário 10% maior, ou seja, de 
1,10xS. A média dos 15 passou para 2013, portanto a soma passou para: 
Soma = Média x Quantidade = 2013 x 15 = 30195 reais 
 
A diferença das duas somas é exatamente o salário dos dois contratados, ou seja, 
30195 – 25974 = S + 1,10S 
4221 = 2,10S 
S = 4221 / 2,10 = 42210 / 21 = 2010 reais 
Resposta: B 
 
91.FCC - ARSETE – 2016) 
Uma carteira aplica 25% na ação A, 40% na ação B e o restante na ação C. Os retornos das ações A, B e C são, 
respectivamente, 10%, 12% e 20%. O retorno médio da carteira será 
a) 14,5%. 
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b) 14,8%. 
c) 14,6%. 
d) 14,0%. 
e) 14,3%. 
RESOLUÇÃO: 
Aqui, devemos fazer a média ponderada das ações A (25%), B (40%) e C (35%) pelos seus retornos (10%, 12% e 
20%, respectivamente). Fica: 
Retorno médio = 
0,1 x 25+0,12 x 40+0,2 x 35 
100
 = 
2,5+4,8+7 
100
 = 
14,3 
100
 = 14,3 % 
Resposta: E 
 
92.IADES – PCDF – 2016) 
A média das idades dos 45 empregados de uma corporação é de 32 anos. Para os próximos meses, estão 
previstas as aposentadorias de cinco empregados cuja média de idades é de 62 anos. Considerando essa 
situação hipotética, é correto afirmar que, após a efetivação de todas as aposentadorias, a média das idades da 
corporação passará a ser a seguinte: 
(A) 25,11 anos 
(B) 26 anos 
(C) 28,25 anos 
(D) 30,75 anos 
(E) 36 anos 
RESOLUÇÃO: 
Lembrando que Média = Soma / quantidade, também podemos escrever que: 
Soma = média x quantidade 
 
Assim, a soma das idades dos 45 empregados que tem média 32 anos é: 
Soma = 32 x 45 = 1440 
 
A soma das idades dos 5 empregados com média 62 anos é: 
Soma = 62 x 5 = 310 
 
Assim, retirando esses 5 empregados, a soma das idades restantes é 1440 – 310 = 1130. E a quantidade restante 
de empregados é de 45 – 5 = 40. A nova média é: 
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Média = 1130 / 40 = 28,25 anos 
Resposta: C 
 
93.FGV – PREF PAULÍNIA – 2016) 
Você recebeu um relatório do desempenho dos alunos de duas turmas de uma mesma série do seu colégio, 
conforme a tabela a seguir: 
 
Supondo que as informações relativas às turmas A e B isoladamente estão corretas, deduz-se que a média 
relativa ao total de alunos das duas turmas está 
a) correta também. 
b) errada, pois o valor correto é 75,5. 
c) errada, pois o valor correto é 75,2. 
d) errada, pois o valor correto é 74,5. 
e) errada, pois o valor correto é 74,3. 
RESOLUÇÃO: 
Aqui podemos utilizar a média ponderada para calcular a nota final: 
Média = (20 x 80 + 30 x 72)/(20 + 30) 
Média = 3760/50 
Multiplicamos por 2 o numerador e o denominador para facilitar o cálculo: 
Média = 7520/100 
Média = 75,20 
Resposta: C 
 
94.FGV – TJ/RO – 2015) 
A média do número de páginas de cinco processos que estão sobre a mesa de Tânia é 90. Um desses processos, 
com 130 páginas, foi analisado e retirado da mesa de Tânia. A média do número de páginas dos quatro 
processos que restaram é: 
(A) 70; 
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(B) 75; 
(C) 80; 
(D) 85; 
(E) 90. 
RESOLUÇÃO: 
Lembrando que: 
Média = soma / quantidade 
Temos inicialmente a média de 90 páginas, e a quantidade de 5 processos. Assim: 
90 = soma / 5 
soma = 90 x 5 
soma = 450 páginas 
Ao tirar um processo de 130 páginas, ficamos com a quantidade de 4 processos, e o total de páginas de 450 – 
130 = 320. Assim, a média passa a ser: 
Média = soma / quantidade 
Média = 320 / 4 
Média = 80 páginas 
Resposta: C 
 
95.FGV – TJ/RO – 2015) 
Humberto é digitador e trabalha todos os dias no fim do expediente de um cartório o tempo necessário para 
realizar a digitação dos trabalhos do dia. Durante uma semana, ele anotou quanto tempo trabalhou em cada 
dia no serviço de digitação e o resultado está no quadro abaixo: 
 
Nessa semana, o tempo médio de trabalho por dia de Humberto foi de: 
(A) 4:32; 
(B) 4:36; 
(C) 4:42; 
(D) 4:48; 
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(E) 4:54. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos transformar os temos em minutos, lembrando que 1 hora corresponde a 60 minutos. Assim, 
2:20 = 2x60 + 20 = 120 + 20 = 140 minutos 
3:00 = 3x60 = 180 minutos 
5:30 = 5x60 + 30 = 300 + 30 = 330 minutos 
6:10 = 6x60 + 10 = 360 + 10 = 370 minutos 
5:40 = 5x60 + 40 = 300 + 40 = 340 minutos 
Somando os temos trabalhados, temos: 
140 + 180 + 330 + 370 + 340 = 1360 minutos 
Como foram 5 dias de trabalho, a média é: 
Média = 1360 / 5 = 272 minutos por dia 
Veja que 272 minutos é o mesmo que 240 + 32 minutos. Note ainda que 240 minutos correspondem a 4x60 
minutos, ou 4 horas. Assim, 272 minutos são 4 horas e 32 minutos. 
Resposta: A 
 
96.FGV – Prefeitura de Niterói – 2015) 
A média das idades dos cinco jogadores mais velhos de um time de futebol é 34 anos. A média das idades dos 
seis jogadores mais velhos desse mesmo time é 33 anos. A idade, em anos, do sexto jogador mais velho desse 
time é: 
(A) 33; 
(B) 32; 
(C) 30; 
(D) 28; 
(E) 26. 
RESOLUÇÃO: 
Se a média dos 5 mais velhos é 34 anos, podemos escrever que: 
Média = soma / quantidade 
34 = Soma / 5 
Soma = 34 x 5 = 34 x 10 / 2 = 340 / 2 = 170 anos 
Já a média dos 6 mais velhos é de 33 anos: 
Média = Soma / quantidade 
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33 = Soma / 6 
Soma = 33 x 6 = 198 anos 
A diferença entre a soma dos 6 mais velhos e dos 5 mais velhos é justamente a idade do 6º mais velho, que é de 
198 – 170 = 28 anos. 
Resposta: D 
 
97.FGV – DPE/MT – 2015) 
Em um canil há 42 cães adultos, dos quais metade são fêmeas. Um terço das fêmeas teve filhotes e, em média, 
cada uma destas fêmeas teve cinco filhotes. O número total de cães, adultos e filhotes, nesse canil é 
(A) 70. 
(B) 77. 
(C) 84. 
(D) 91. 
(E) 98. 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que metade dos 42 cães adultos são fêmeas, portanto podemos dizer que temos 21 fêmeas adultas. 
Um terço dessas fêmeas, ou 21x(1/3) = 7 fêmeas, possuem 5 filhotes em média cada uma, totalizando 7x5 = 35 
filhotes. O total de cães nesse canil é igual a 42 + 35 = 77. 
Resposta: B 
 
98.FGV – DPE/RO – 2015) 
Em um curso de treinamento dos funcionários de uma empresa, as notas dos alunos de uma turma na prova 
final estão no gráfico a seguir: 
 
A média dos alunos dessa turma foi: 
(A) 6,5; 
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(B) 6,7; 
(C) 6,9; 
(D) 7,0; 
(E) 7,3 
RESOLUÇÃO: 
No gráfico temos 4 pessoas com nota 5, 11 pessoas com nota 6, 14 pessoas com nota 7, 7 pessoas com nota 8 e 
4 pessoas com nota 9. Ao todo o número de alunos é 4 + 11 + 14 + 7 + 4 = 40. A soma das notas é obtida 
multiplicando cada nota pelo número de alunos que tirou aquele resultado: 
Soma das notas = 4×5 + 11×6 + 14×7 + 7×8 + 4×9 = 276 
Logo, a média é: 
Média = Soma / quantidade 
Média = 276 / 40 
Média = 6,9 
Resposta: C 
 
99.FGV – TJRJ – 2014) 
A tabela a seguir mostra, em ordem crescente, os números de processos pendentes de julgamento, em 30 de 
setembro de 2014, nas oito Câmaras Criminais do Estado do Rio de Janeiro (não identificadas na tabela). 
 
Seja M a média do número de processos pendentes de julgamento em 30 de setembro de 2014. O número de 
Câmeras Criminais com número de processos pendentes de julgamento maiores do que M é: 
(A) 2; 
(B) 3; 
(C) 4; 
(D) 5; 
(E) 6. 
RESOLUÇÃO: 
O número médio de processos por câmara é dado pela divisão entre a Soma do número de processos pela 
quantidade de câmaras (que são 8). Somando os processos, temos: 
Soma = 366 + 421 + 569 + 1030 + 1088 + 1139 + 1640 + 1853 
Soma = 8106 
 
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A média é: 
Média = Soma / quantidade 
Média = 8106 / 8 
Média = 1.013,25 
 
Portanto, vemos que 5 câmaras têm números de processos pendentes maiores que a média. 
Resposta: D 
 
100.VUNESP - PM/SP - 2015) 
Quatro amigos, Marcos (M), Jorge (J), Pedro (P) e Caio (C) foram a um churrasco e cada um deles levou uma 
determinada quantidade de latinhas de cerveja, conforme mostra o gráfico. 
 
Considerando-se o número total de latinhas de cerveja levadas pelos quatro amigos, na média, o número de 
latinhas por pessoa foi 9. O número de latinhas de cerveja levadas por Jorge foi 
a) 10. 
b) 11. 
c) 9. 
d) 8. 
e) 12. 
RESOLUÇÃO: 
A média de latinhas por pessoa é dada pela divisão entre a soma das latinhas (x + 2x + 10 + 8) e a quantidade de 
pessoas (4), ou seja: 
 
 
Ou seja, 
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Jorge levou 2x latinhas, ou seja, 2.6 = 12 latinhas. 
Resposta: E 
 
Fim de aula. Até o próximo encontro! 
Saudações, 
Prof. Arthur Lima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de questões 
1. CESPE – ABIN – 2018) 
Em fevereiro de 2018, o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP) começou 
a segunda etapa do Censo Escolar 2017, o módulo “Situação do Aluno”. Nessa etapa, serão coletadas 
informações sobre rendimento e movimento escolar dos alunos ao final do ano letivo de 2017. Para isso, será 
importante que as escolas utilizem seus registros administrativos e acadêmicos, como ficha de matrícula, diário 
de classe, histórico escolar. 
A partir do texto antecedente, julgue o item que se segue, relativo a estatísticas educacionais. 
( ) O texto se refere a um estudo censitário de diferentes variáveis da realidade educacional do país. 
 
2. CESPE – DEPEN – 2015) 
O diretor de um sistema penitenciário, com o propósito de estimar o percentual de detentos que possuem 
filhos, entregou a um analista um cadastro com os nomes de 500 detentos da instituição para que esse 
profissional realizasse entrevistas com os indivíduos selecionados. A partir dessa situação hipotética e dos 
múltiplos aspectos a ela relacionados, julgue os itens seguintes, referentes a técnicas de amostragem. 
( ) A diferença entre um censo e uma amostra consiste no fato de esta última exigir a realização de um número 
maior de entrevistas. 
 
3. CESPE – TJSE – 2014) 
Para verificar se a escolaridade dos servidores de determinado tribunal estaria relacionada à eficiência no 
atendimento ao público, um analista pesquisou alguns servidores, dispondo as informações obtidas na tabela 
a seguir. 
 
Com base nessas informações e considerando que a escolaridade de cada servidor entrevistado, apresentada 
na tabela, corresponda à maior escolaridade que possui, julgue os itens seguintes. 
( ) Foram pesquisados mais de 200 servidores. 
 
 
 
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4. FCC – ICMS/SC – 2018) 
A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências dos salários, em número de salários mínimos (SM), 
dos funcionários de um órgão público: 
 
Sabe-se que: 
b − a = 5%, 
�̅� é a média salarial, obtida por meio dessa tabela, calculada como se todos os valores de cada faixa salarial 
coincidissem com o ponto médio da referida faixa, 
md é a mediana salarial, calculada por meio dessa tabela pelo método da interpolação linear. 
Nessas condições, �̅� + md, em anos, é igual a 
(A) 9,85 
(B) 11,35 
(C) 11,05 
(D) 10,95 
(E) 11,65 
 
5. FCC – TRT/SP – 2018) 
Considerando na tabela abaixo a distribuição de frequências absolutas, referente aos salários dos n 
empregados de uma empresa, em R$ 1.000,00, observa-se que além do total dos empregados (n) não é 
fornecida também a frequência correspondente ao intervalo da 4ª classe (f4). 
 
O valor da média aritmética destes salários, obtido considerando que todos os valores incluídos num certo 
intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo, é igual a R$ 6.200,00. O valor da 
mediana em R$, obtido pelo método da interpolação linear, é igual a 
 a) 400,0f4 
 b) 412,5f4 
 c) 387,5f4 
 d) 350,0f4 
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 e) 375,0f4 
 
 
6. CESPE – SEDF – 2017) 
Um estudo estatístico será realizado para avaliar a condição socioambiental de estudantes do 5.º ano do ensino 
fundamental das escolas da rede pública do DF. A partir de uma lista que contempla todas as turmas do 5.º ano 
do ensino fundamental das escolas da rede pública do DF, serão selecionadas aleatoriamente 50 turmas. Em 
seguida, os entrevistadores aplicarão questionários para todos os estudantes matriculados nessas 50 turmas. 
Com base nessas informações, julgue o seguinte item. 
( ) A escola é considerada a unidade amostral desse estudo estatístico. 
 
7. FUNRIO – INSS – 2014) 
Em uma pesquisa desatisfação, clientes de uma concessionária de veículos avaliam o atendimento atribuindo 
notas de 0 a 10 (qualquer número real na faixa de 0 a 10). A tabela abaixo apresenta os resultados da pesquisa. 
 
Utilizando o método da interpolação linear, o valor aproximado da mediana é 
A) 3,8. 
B) 4,6. 
C) 5,8. 
D) 6,2. 
E) 7,0. 
 
8. FUNRIO – INSS – 2014) 
O gráfico de setores da figura a seguir apresenta as notas obtidas pelos candidatos de um concurso público. 
Conforme a legenda desse gráfico, as notas obtidas pelos candidatos variam de 2 até 8, sendo que, por 
exemplo, 10% dos candidatos obtiveram nota 2. 
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Sejam Mo e Md a moda e a mediana respectivamente, o valor de Mo + 2Md é 
A) 4. 
B) 5. 
C) 9. 
D) 13. 
E) 14. 
 
9. FUNRIO – INSS – 2014) 
Os resultados de uma pesquisa são apresentados parcialmente na seguinte tabela. 
 
Sabendo-se que 2 é moda, o menor valor da média é 
A) 0,5 
B) 0,7 
C) 0,9 
D) 1,2 
E) 1,5 
 
10.FUNRIO – SESAU/RO – 2017) 
Uma variável aleatória discreta X tem valores possíveis 0, 1, 2 e 3 com probabilidades respectivamente iguais a 
0,2, 0,4, 0,3 e 0,1. A média de X é igual a: 
(A) 1,0. 
(B) 1,3. 
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(C) 1,5. 
(D) 1,8. 
(E) 1,9. 
 
11. FUNRIO – SESAU/RO – 2017) 
Considere a seguinte amostra de idades: 
18, 15, 24, 20, 22, 21, 19, 30, 20 
A mediana dessa amostra é igual a: 
(A) 19. 
(B) 19,5. 
(C) 20. 
(D) 20,5. 
(E) 22. 
 
12.IAUPE – PM/PE – 2018) 
A diferença entre os limites reais superior e inferior de uma determinada classe é denominada 
A) Amplitude. 
B) Ponto médio. 
C) Frequência. 
D) Distribuição. 
E) Frequência acumulada. 
 
13. IAUPE – PM/PE – 2018) 
Carlos, Teresa e Valéria têm a mesma idade. A soma dessas idades com as de Lilia (13 anos), Sônia (18 anos) e 
Ricardo (20 anos) é 96 anos. É CORRETO afirmar que a moda dessas seis idades é igual a 
A) 13 anos. 
B) 15 anos. 
C) 16 anos. 
D) 11,5 anos. 
E) 12 anos 
 
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A tabela seguinte mostra a distribuição dos salários de uma corporação. 
 
14.IAUPE – PM/PE – 2018) 
Assinale a alternativa que corresponde à classe mediana. 
A) 3 Ⱶ 6 
B) 6 Ⱶ 9 
C) 9 Ⱶ 12 
D) 12 Ⱶ 15 
E) 15 Ⱶ 18 
15. IAUPE – PM/PE – 2018) 
O salário modal vale, em mil, 
A) R$ 9 
B) R$ 9,5 
C) R$ 10 
D) R$ 10,5 
E) R$ 12 
16.IAUPE – PM/PE – 2018) 
O número de militares que não recebem menos de R$ 12.000,00 é 
A) 12. 
B) 18. 
C) 50. 
D) 60. 
E) 65. 
17. IAUPE – CBM/PE – 2018) 
Numa pesquisa, depois de feita uma coleta de dados e organizados esses dados em ordem crescente ou 
decrescente, essa lista recebe o nome de 
A) dados brutos. 
B) rol. 
C) classe. 
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D) limite. 
E) frequência. 
 
18.IAUPE – CBM/PE – 2018) 
Os salários de cinco bombeiros de uma corporação são: R$ 500,00, R$ 900,00, R$ 800,00, R$ 700,00 e R$ 300,00. 
É CORRETO afirmar que a mediana dos salários é 
A) R$ 700,00 
B) R$ 300,00 
C) R$ 900,00 
D) R$ 640,00 
E) R$ 600,00 
 
19.IAUPE – CBM/PE – 2018) 
Em uma corporação, o sargento mediu a altura de 50 soldados e construiu a seguinte distribuição de 
frequências: 
 
É CORRETO afirmar que a Moda das alturas é igual a 
A) 166. 
B) 170. 
C) 174. 
D) 190. 
 
 
 
 
 
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20.FUNDATEC – BRDE – 2015) 
Assinale a alternativa que representa a nomenclatura dos três gráficos abaixo, respectivamente. 
 
 
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a) Gráfico de Setores – Gráfico de Barras – Gráfico de Linha. 
 b) Gráfico de Pareto – Gráfico de Pizza – Gráfico de Tendência. 
 c) Gráfico de Barras – Gráfico de Setores – Gráfico de Linha. 
 d) Gráfico de Linhas – Gráfico de Pizza – Gráfico de Barras. 
 e) Gráfico de Tendência – Gráfico de Setores – Gráfico de Linha. 
 
21.PUC/PR – DPE/PR – 2012) 
 
Conforme a Tabela acima. Assinale CORRETAMENTE o gráfico que representa as informações da frota de 
veículos segundo a IPARDES 
a) 
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b) 
c) 
d) 
e) 
 
22.PUC/PR – DPE/PR – 2012) 
Em determinada semana, certa região foi dividida em 500 setores disjuntos para o estudo da distribuição 
espacial da incidência de certo tipo de crime. Cada setor possui a forma de um quadrado de aproximadamente 
5 km² de área. Acredita-se que a ocorrência de crime seja aleatória. A tabela abaixo apresenta o percentual de 
setores em que foi registrada a incidência X (número de ocorrências observadas no setor) do crime investigado. 
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Com base nos dados da tabela julgue cada uma das sentenças abaixo marque a CORRETA. 
 a) A média de X é superior a 2 crimes por setor. 
 b) A moda de X é igual a 2. 
 c) A mediana de X é maior que 3. 
 d) Não mais que 35% dos setores tiveram mais de um crime. 
 e) De acordo com os dados apresentados, é correto concluir que, na semana considerada, em 60% dos setores, 
o crime ocorreu mais de duas vezes em cada setor. 
 
23. CESPE – TCE/PA – 2016) 
A tabela apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que representa o número diário de 
denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição pública. A partir das informações dessa tabela, 
julgue o item seguinte. 
 
( ) A variável X é do tipo qualitativo nominal. 
 
24.FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) 
Uma pizzaria tem no seu cardápio 3 grupos de sabores de pizzas: 
Pizzas Tradicionais 
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Pizzas Especiais 
Pizzas Gourmet 
Ao todo, há 15 pizzas Tradicionais, cada uma no valor de R$ 35,00, 10 pizzas Especiais, cada uma no valor de 
R$ 40,00, e 5 pizzas Gourmet, cada uma no valor de R$ 46,00. 
Levando em conta todas as pizzas vendidas por essa pizzaria, podemos afirmar que a média, a mediana e a 
moda dos valores são, respectivamente: 
a. ( ) R$ 35,00 • R$ 38,50 • R$ 37,50 
b. ( ) R$ 37,50 • R$ 35,00 • R$ 38,50 
c. ( ) R$ 37,50 • R$ 38,50 • R$ 35,00 
d. ( ) R$ 38,50 • R$ 35,00 • R$ 37,50 
e. ( ) R$ 38,50 • R$ 37,50 • R$ 35,00 
 
25. FGV – MPE/BA – 2017) 
O exame de um conjunto de dados mostra que a distribuição de frequências do número por classe de renda de 
envolvidos em um tipo bem específico de investigação, conduzida pelo Ministério Público, é fortemente 
assimétrica à esquerda. 
 
Com base nessa informação, é correto afirmar que: 
 a) a maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais ricos da população; 
 b) a maior frequência de envolvidos está numa classe de indivíduos de mais baixa renda; 
 c) a renda média dos envolvidos é menor do que ou igual à da maioria dos envolvidos; 
 d) a maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais pobres da população; 
 e) a renda média dos envolvidos é maior do que ou igual à da maioria da população. 
 
26.FGV – MPE/BA – 2017)Um criminoso está avaliando se vale a pena ou não recorrer ao instituto da colaboração premiada. Caso não 
recorra, a sua probabilidade de ser condenado é igual a p, com 12 anos de reclusão. Se resolver delatar, pode 
pegar 6 anos de prisão, com probabilidade de 0,4, ou 10 anos, com a probabilidade complementar. 
 
Supondo que a decisão será tomada com base na esperança matemática da pena, o criminoso deve: 
 a) não delatar se o valor de p for inferior a 0,75; 
 b) delatar se o valor de p for superior a 0,55; 
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 c) não delatar caso o valor de p seja superior a 0,80; 
 d) mostrar-se indiferente caso o valor de p seja 0,70; 
 e) delatar caso o valor de p seja inferior a 0,60. 
 
27. CESPE – TELEBRAS – 2015) 
Uma empresa coletou e armazenou em um banco de dados diversas informações sobre seus clientes, entre as 
quais estavam o valor da última fatura vencida e o pagamento ou não dessa fatura. Analisando essas 
informações, a empresa concluiu que 15% de seus clientes estavam inadimplentes. A empresa recolheu ainda 
dados como a unidade da Federação (UF) e o CEP da localidade em que estão os clientes. Do conjunto de todos 
os clientes, uma amostra aleatória simples constituída por 2.175 indivíduos prestou também informações sobre 
sua renda domiciliar mensal, o que gerou o histograma apresentado. 
Com base nessas informações e no histograma, julgue o item a seguir. 
 
( ) O CEP da localidade dos clientes e o valor da última fatura vencida são variáveis quantitativas 
 
28.FCC – TRT/11 – 2017) 
Analisando a distribuição dos salários dos empregados de uma empresa em número de salários mínimos (SM), 
obteve-se o histograma de frequências absolutas abaixo com os intervalos de classe fechados à esquerda e 
abertos à direita. Considere que: 
 
I. Me é a média aritmética dos salários, calculada levando em conta que todos os valores incluídos num certo 
intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. 
II. Md é a mediana dos salários, calculada por meio do método da interpolação linear. 
III. Mo é a moda dos salários, calculada com a utilização da fórmula de King*. 
 
 em que L é o limite inferior da classe modal (classe em que se verifica, no caso, a maior 
frequência), f* é a frequência da classe anterior à classe modal, f** é a frequência da classe posterior à classe 
modal e h é a amplitude do intervalo de classe correspondente. 
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O valor de (Me + Md + Mo) é, em SM, igual a 
 a) 18,6 
 b) 19,7 
 c) 19,2 
 d) 18,7 
 e) 18,5 
 
29.CESPE – TELEBRAS – 2015) 
Roberto comprou, por R$ 2.800,00, rodas de liga leve para seu carro, e, ao estacionar no shopping, ficou 
indeciso sobre onde deixar o carro, pois, caso o coloque no estacionamento público, correrá o risco de lhe 
roubarem as rodas, ao passo que, caso o coloque no estacionamento privado, terá de pagar R$ 70,00, com a 
garantia de que eventuais prejuízos serão ressarcidos pela empresa administradora. 
Considerando que p seja a probabilidade de as rodas serem roubadas no estacionamento público, que X seja a 
variável aleatória que representa o prejuízo, em reais, ao deixar o carro no estacionamento público, e que Y seja 
a variável aleatória que representa o valor, em reais, desembolsado por Roberto ao deixar o carro no 
estacionamento pago, julgue o item subsequente. 
( ) A variável aleatória Y é contínua. 
 
30.CESPE – SEFAZ/AL – 2002) 
Julgue a afirmativa. 
( ) Em uma distribuição de frequências para um conjunto de n indivíduos, pode-se calcular as frequências 
relativas, dividindo-se cada frequência absoluta pela amplitude da classe ou intervalo. 
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31. CESPE – TCE/PA – 2016) 
A tabela apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que representa o número diário de 
denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição pública. A partir das informações dessa tabela, 
julgue o item seguinte. 
 
( ) A amplitude total da amostra é igual ou superior a 5. 
32. CESPE – FUNPRESP – 2016) 
O gráfico ilustra cinco possibilidades de fundos de investimento com suas respectivas rentabilidades. 
Considerando que as probabilidades de investimento para os fundos A, B, C e D sejam, respectivamente, P(A) 
= 0,182; P(B) = 0,454; P(C) = 0,091; e P(D) = 0,182, julgue o item subsequente. 
 
( ) O gráfico apresentado é um histograma. 
 
33. CESPE – ABIN – 2018) 
Em fevereiro de 2018, o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP) começou 
a segunda etapa do Censo Escolar 2017, o módulo “Situação do Aluno”. Nessa etapa, serão coletadas 
informações sobre rendimento e movimento escolar dos alunos ao final do ano letivo de 2017. Para isso, será 
importante que as escolas utilizem seus registros administrativos e acadêmicos, como ficha de matrícula, diário 
de classe, histórico escolar. 
Internet:<www.inep.gov.br/noticias> (com adaptações). 
A partir do texto antecedente, julgue os itens que se seguem, relativo a estatísticas educacionais. 
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( ) A população considerada na referida fase do estudo realizado pelo INEP é constituída pelos estabelecimentos 
escolares. 
( ) A moda a ser obtida no estudo indicará o resultado de maior frequência para cada uma das informações a 
serem coletadas. 
 
34.CESGRANRIO - PETROBRÁS - 2018) 
Para não comprometer o sigilo das informações, um periódico técnico-científico divulgou os dados básicos que 
utilizou em um modelo estatístico, na seguinte distribuição de frequência por classes: 
Faixas de X Frequência relativa 
-3 |-- -1 0,25 
-1|-- 1 0,40 
1 |-- 3 0,25 
3 |-- 5 0,10 
A melhor estimativa para a mediana da distribuição de X é: 
(A) -0,75 
(B) 0 
(C) 0,25 
(D) 0,50 
(E) 1 
 
35. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2018) 
A Tabela a seguir mostra a distribuição de pontos obtidos por um cliente em um programa de fidelidade 
oferecido por uma empresa. 
 
A mediana da pontuação desse cliente é o valor mínimo para que ele pertença à classe de clientes “especiais”. 
Qual a redução máxima que o valor da maior pontuação desse cliente pode sofrer sem que ele perca a 
classificação de cliente “especial”, se todas as demais pontuações forem mantidas? 
(A) cinco unidades. 
(B) quatro unidades 
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(C) uma unidade 
(D) duas unidades 
(E) três unidades 
 
36.CETRO – ISS/SP – 2014) 
Munícipes de uma cidade atribuíram as seguintes notas para o atendimento de setores da prefeitura: 
Saúde: 5,4 
Habitação: 1,2 
Segurança: 4,5 
Educação: 7,5 
Saneamento Básico: 6,2 
Esportes e Cultura: 8,7 
 Considerando as notas oferecidas, a média e a mediana foram, respectivamente, 
(A) 6,7 e 6,9. 
(B) 6,2 e 5,9. 
(C) 6,1 e 5,7. 
(D) 5,6 e 5,8. 
(E) 5,4 e 6,2. 
 
37. CETRO – ISS/SP – 2014) 
Foram obtidos os seguintes dados para a idade dos filhos de uma amostra aleatória de 50 pessoas: 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 
9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 
13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Dessa amostra, conclui-se que a distribuição 
(A) tem assimetria negativa. 
(B) indica subpopulações com assimetria negativa. 
(C) é simétrica. 
(D) tem assimetria positiva. 
(E) é parteassimétrica positiva e parte simétrica. 
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38.CETRO – ISS/SP – 2014) 
O setor de saúde de determinado município elencou os adolescentes atendidos por um programa segundo suas 
alturas, como descrito no gráfico abaixo. 
 
A amplitude do intervalo de classes determinado para a construção do gráfico é de 
(A) 1,90m. 
(B) 0,50m. 
(C) 0,30m. 
(D) 0,10m. 
(E) 0,05m. 
 
39.IADES – HEMOCENTRO – 2017) 
Determinado corredor elaborou um programa de treinamento para certa maratona, conforme O quadro 
apresentado. 
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Com base nesses dados, assinale a alternativa que indica, respectivamente, os valores (em km) da média, da 
mediana e da moda da série de treinamento. 
(A) 8, 12 e 8. 
(B) 12, 5 e 42. 
(C) 16, 5 e 28. 
(D) 16, 8 e 12. 
(E) 16, 12 e 5. 
40.CESGRANRIO – CHESF – 2012) 
O gráfico a seguir apresenta o número de acidentes sofridos pelos empregados de uma empresa nos últimos 
12 meses e a frequência relativa. 
 
A mediana menos a média do número de acidentes é 
 a) 1,4 
 b) 0,4 
 c) 0 
 d) - 0,4 
 e) - 1,4 
 
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41.CESGRANRIO – IBGE – 2016) 
Suponha que, em uma pesquisa on-line sobre as idades dos habitantes de um condomínio, um respondente de 
30 anos digite erroneamente sua idade como sendo 300 anos. Considere que esse erro passe despercebido e 
que não haja outros erros na base de dados. Nessas condições, a única conclusão que NÃO pode ser formulada 
é: 
 a) A média de idades calculada a partir dos dados da base será maior do que a média de idades reais dos 
respondentes. 
 b) A mediana de idades calculada a partir dos dados da base será maior do que a mediana de idades reais dos 
respondentes 
 c) A amplitude de idades calculada a partir dos dados da base será maior do que a amplitude de idades reais 
dos respondentes. 
 d) O valor máximo das idades calculado a partir dos dados da base será maior do que a idade real do 
respondente mais velho. 
 e) A diferença entre as duas maiores idades dos dados da base será maior do que a diferença das idades reais 
dos dois respondentes mais velhos. 
 
42.CESGRANRIO – IBGE – 2016) 
Uma pesquisa em determinado município coletou, dentre outros dados, o número de filhos em cada família. 
Algumas estatísticas são apresentadas na Tabela abaixo. 
 
Segundo essas estatísticas, 
 a) metade das famílias tem mais do que 2 filhos. 
 b) o mais comum é que famílias tenham 2 filhos. 
 c) mais da metade das famílias não têm filhos. 
 d) uma família padrão tem em média 3 filhos. 
 e) de todas as famílias entrevistadas, nenhuma tem 6 filhos 
 
43.CESGRANRIO - BASA/AM – 2015) 
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Em uma instituição financeira 55% dos clientes não possuem seguro, 20% possuem 1 seguro, e o restante, 2 
seguros. A média e a mediana do número de seguros que cada cliente possui são, respectivamente: 
(F) 7/30 e 1/2 
(G) 1 e 1 
(H) 7/10 e 0 
(I) 0 e 0 
(J) 1/3 e 1/2 
 
44.CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) 
Uma variável aleatória X de interesse assume apenas os valores 1, 2 e k. Sabendo-se que P(X = 1) = 1/3 , P (X = 
2) = 1/4 e que a média da variável aleatória é 5, o valor de k é dado por 
 a) 10. 
 b) 12 
 c) 15 
 d) 25/6 
 e) 5/6 
 
45.FGV – IBGE – 2017) 
Em certo município foi feita uma pesquisa para determinar, em cada residência, quantas crianças havia até 10 
anos de idade. O resultado está na tabela a seguir: 
 
Em relação ao total de residências pesquisadas, as que possuem somente uma ou duas crianças representam: 
(A) 55,0%; 
(B) 57,5%; 
(C) 60,0%; 
(D) 62,5%; 
(E) 64,0%. 
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46.FGV – ALBA – 2014) 
Observe a tabela de frequências a seguir, que se refere aos saldos em conta, num determinado dia, de duzentas 
contas‐correntes: 
 
A frequência relativa acumulada de saldos em R$ 900,00 é igual a 
a) 22%. 
b) 36%. 
c) 54%. 
d) 90%. 
e) 97%. 
 
47.FGV – CGE/MA – 2014) 
No setor A de uma empresa foi feita uma auditoria para descobrir quantas vezes cada pessoa fazia ligações 
pessoais do seu celular no período de trabalho de 14 às 17 horas de um único dia. O resultado está no gráfico a 
seguir. 
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O número de pessoas que trabalham no setor A dessa empresa é 
(A) 15 
(B) 22 
(C) 27 
(D) 29 
(E) 42 
 
48.FGV – AL/BA – 2014) 
Os dados a seguir são uma amostra de 11 salários mensais (aproximados) em reais: 
2.080 1.830 2.480 3.010 1.450 1.650 2.500 1.740 3.600 1.900 2.840 
A mediana desses salários, em reais, é 
a) 1.990. 
b) 2.080. 
c) 1.650. 
d) 2.000. 
e) 2.220. 
 
49.FGV – CGE/MA – 2014) 
Sobre uma amostra com uma quantidade ímpar de valores, todos diferentes de uma variável aleatória, sabe-
se que a média é maior que a mediana. 
Com relação aos valores dessa amostra é necessariamente verdade que. 
a) há mais valores acima da média do que abaixo da média. 
 b) há mais valores abaixo da média do que acima da média 
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 c) há mais valores acima da média do que abaixo da mediana. 
d) há mais valores acima da mediana do que abaixo da média. 
e) a quantidade de valores acima da média é igual à quantidade de valores abaixo da média. 
 
50.FGV – Analista IBGE – 2016) 
Após a extração de uma amostra, as observações obtidas são tabuladas, gerando a seguinte distribuição de 
frequências: 
 
Considerando que E(X) = Média de X, Mo(X) = Moda de X e Me(X) = Mediana de X, é correto afirmar que: 
a) E(X) = 7 e Mo(X) = 10 
b) Me(X) = 5 e E(X) = 6,3 
c) Mo(X) = 9 e Me(X) = 9 
d) Me(X) = 9 e E(X) = 6,3 
e) Mo(X) = 9 e E(X) = 7 
 
51. FEPESE – UFFS – 2012) 
Um artesão produz N peças por dia. Suponha que 
N tenha a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
Suponha que o artesão produza uma peça defeituosa com probabilidade 0,1. 
Seja X o número de peças defeituosas produzidas pelo artesão. Determine a alternativa que corresponde ao 
valor de E(X|N). 
a.0,885 
b.0,845 
c.0,825 
d. ( ) 0,785 
e.0,745 
 
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52. FEPESE – UFFS – 2012) 
Considere o histograma abaixo: 
 
Para a distribuição acima, qual a alternativa que melhor a representa? (considere me=média, mo=moda e 
md=mediana) 
a.me > md > mo 
b.md > mo > me 
c.md > me > mo 
d.mo > me > md 
e.mo > md > me 
 
53. IBFC – SEDUC/MT – 2017) 
Com a ajuda de um globo para sorteio de bingo, foram sorteados de forma aleatória, os seguintes números – 
02, 45, 13, 54, 22, 23, 09. Analisando os números, um estudante concluiu que a média aritmética destes números 
é 24, a mediana é 22 e distribuição é amodal. Sobre os valores e conclusões deste estudante, analise as 
afirmativas a seguir assinale a alternativa correta. 
I.A média aritmética é a soma de todos os valores presentes na distribuição. 
II. A mediana é o valor central que divide a distribuição dos valores ordenados em dois, sendo os queestão à 
esquerda são menores e os que estão à direita são maiores que o elemento central. 
III. A moda é a frequência de aparecimento de um número em uma distribuição, como no bingo as bolas não 
retornam para a esfera, não há repetições. 
IV. A média aritmética está errada pois deveria ter o mesmo valor da mediana. 
Assinale a alternativa que contenha somente as afirmações corretas: 
a) I apenas 
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b) II e IV apenas 
c) II, III, IV apenas 
d) II e III apenas 
e) III apenas 
54.IBFC – SEDUC/MT – 2017) 
Sobre as variáveis serem discretas ou contínuas, analise as afrmativas abaixo, dê valores Verdadeiro (V) ou 
Falso (F). 
( ) A contagem do número de alunos dentro de uma sala de aula só pode ser uma variável discreta, pois é um 
número inteiro racional e positivo. 
( ) A contagem da quilometragem de um corredor em uma pista circular é uma variável contínua, pois este valor 
pode assumir qualquer valor dentro do intervalo real, no caso múltiplos de π (pi). 
( ) O caso do termômetro analógico (de mercúrio), a variável representada nele é uma variável discreta, pois 
aceita todos os valores intermediários entre duas temperaturas a e b. 
Assinale a alternativa que traga, de cima para baixo, a sequência correta. 
a) V, V, F 
b) V, V, V 
c) V, F, V 
d) F, F, V 
e) F, V, F 
 
55. IBFC – SEDUC/MT – 2017) 
Sobre população e amostras, assinale a alternativa que completa correta e respectivamente as lacunas do 
texto. 
“A ________________ pode ser definida como um subconjunto, uma parte selecionada da totalidade de 
observações abrangidas pela _______________ através da qual se faz um juízo ou inferências sobre a 
característica da população.” (Toledo, G. L., 1985). Já a _______________ congrega todas as observações que 
sejam relevantes para o estudo da uma ou mais característica dos indivíduos. 
Assinale a alternativa que traga, de cima para baixo, a sequência correta. 
a) População, população, população 
b) Amostra, amostra, amostra 
c) População, amostra, população 
d) Amostra, população, população 
e) Amostra, amostra, população 
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56.IBFC – SEDUC/MT – 2017 - adaptada) 
Para o bom funcionamento de uma universidade particular, a parte administrativa possui em seu quadro 43 
funcionários, contando entre estagiários, secretários, coordenadores e diretores. A distribuição salarial dos 
colaboradores é bastante variada e encontra-se demonstrada no gráfico a seguir, onde no eixo das 
coordenadas está representado o número de pessoas (frequência) que recebe a faixa salarial observada no eixo 
das abcissas. Nesse sentido, observe o gráfico: 
 
I. A maior frequência de salários está na faixa entre R$1.201,00 e R$2.000,00. 
II. A maioria das pessoas recebe entre R$ 1.000,00 e R$2.000,00. 
III. A distribuição da curva de frequência é simétrica. 
IV. A média salarial é maior que a mediana da distribuição da curva. 
Assinale a alternativa correta: 
a) I, II, III apenas 
b) I, II, IV apenas 
c) II, III, IV apenas 
d) I, III, IV apenas 
e) I, II, III, IV apenas 
 
57. IBFC – EBSERH – 2017) 
A tabela a seguir nos mostra a amostragem de medidas de um experimento. Escolha a alternativa que 
represente a Média, a Mediana e a Moda dos valores. 
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 a) 86,75; 85 e 85,5 
 b) 86,75; 86,5 e 85 
 c) 86,75; 85,5 e 85 
 d) 85,5; 86,75 e 85 
 e) 85,5; 86,5 e 85 
 
58.IBFC – EBSERH – 2017) 
Os dados a seguir referem-se à questão. 
Um levantamento amostral sobre o número de filhos de 50 funcionários foi realizado em uma empresa 
localizada em um município. Esse levantamento gerou a tabela a seguir: 
 
A mediana do número de filhos dos funcionários da amostra é, aproximadamente: 
 a) 2,00 
 b) 1,00 
 c) 3,00 
 d) 2,50 
 e) 1,50 
 
59.IBFC – EBSERH – 2017) 
 
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A Mediana da tabela está corretamente descrita na alternativa: 
a) Vinte e nove 
b) Trinta e dois 
c) Trinta e três 
d) Vinte e oito 
e) Trinta 
 
60.IBFC – INEP – 2016) 
Gráfico composto por retângulos justapostos em que a base de cada um deles corresponde ao intervalo de 
classe e a sua altura à respectiva frequência: 
 a) Polígono de frequência 
 b) Polígono de frequência acumulada 
 c) Setor circular 
 d) Histograma 
 e) Pictogramas 
 
61.IBFC – INEP – 2016) 
Sobre o gráfico abaixo, é possível afirmar que a frequência relativa da 2ª classe é: 
 
 a) 0,12 
 b) 0,20 
 c) 0,30 
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 d) 0,40 
 e) 0,50 
 
62.IBFC – INEP – 2012) 
Considere as seguintes notas obtidas por determinado aluno em suas oito disciplinas 
DISCIPLINA Nota 
A......................................2,5 
B......................................3,5 
C.....................................4,5 
D.....................................5,5 
E.....................................6,0 
F.....................................7,0 
G....................................8,0 
H.....................................9,0 
 
A nota média, a nota mediana e a nota modal são respectivamente: 
 
 a) 5,75; não existe; 2,5 
 b) 4,6; não existe; 9,0 
 c) 5,75; 5,75; não existe 
 d) 4,6; 6,0; não existe 
 e) 4,5; 4,5; 4,5 
63.IBFC – INEP – 2012) 
Os “pesos" de vinte atletas estão distribuídos de acordo com a tabela abaixo: 
“PESOS"(kg) fi 
55-65 10 
65-75 4 
75-85 4 
85-95 2 
 Total = 20 
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Considerando a distribuição acima, assinale a alternativa que apresenta respectivamente os valores da média 
e da moda bruta: 
 a) 75kg e 65kg 
 b) 69kg e 55kg 
 c) 80kg e 55kg 
 d) 69kg e 60kg 
 e) 75kg e 60kg 
 
ATENÇÃO: Utilize a tabela a seguir para resolver as próximas 3 questões. 
 
 
64.IBFC – EBSERH – 2013) 
O número de casos, o número de classes e a amplitude da tabela são, respectivamente: 
a) 500; 7 e 70. 
b) 500; 7 e 10. 
c) 7; 500 e 70. 
d) 7; 500 e 10. 
e) 7; 500 e 200. 
 
65.IBFC – EBSERH – 2013) 
A média, a mediana e a moda dessa distribuição equivalem, respectivamente a: 
a) 38; 45; 45. 
b) 38; 41; 44. 
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c) 40, 45; 45. 
d) 40; 45; 44. 
e) 40; 41; 44. 
 
66.IBFC – EBSERH – 2013) 
Caso passasse a integrar a amostra mais um hospital e com número de crianças mortas igual 1000, o novo valor 
da mediana seria de: 
a) 45. 
b) 1.041. 
o) 525. 
d) 520. 
e) 41. 
 
67.IBFC – EBSERH – 2013) 
 
A moda e a mediana dos salários são aproximadamente e respectivamente: 
a) 2.800; 2.800. 
b) 2.800; 3.000. 
c) 2.836; 2.800. 
d) 2.836; 3.000. 
 
68.IBFC – EBSERH – 2013) 
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Se o limite superior da última faixa fosse de R$ 8.000, o novo da média aritmética simples, moda e mediana 
seria de: 
a) 2.971; 2.800; 2.800. 
b)3.392; 2.800; 2.800. 
c) 3.392; 2.836; 3.000. 
d) 2.971; 2.836; 3.000. 
 
69.IBFC – EBSERH – 2015) 
Um candidato a uma vaga de emprego obteve as notas indicadas no quadro, referentes a cinco testes que 
respondeu. 
 
A nota média e a nota mediana desse candidato nos cinco testes foram, respectivamente: 
a) 6,2 e 6,0 
b) 6,02 e 3,2 
c) 6,02 e 6,0 
d) 6,0 e 6,2 
e) 3,2 e 6,02 
 
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70.IBFC – EBSERH – 2015) 
O histograma indica o tempo, em segundos, para a confecção de peças numa linha de produção. 
 
Com as informações do histograma, o tempo médio, em segundos, na confecção de peças, é igual a: 
a) 5,6 
b) 3,4 
C) 4,2 
d) 5,3 
e) 4,4 
71. FCC – TRT/SP – 2018) 
Os preços médios anuais de venda desde 2010 de um certo produto no mercado permitiram montar a tabela 
abaixo, em que foram considerados como índices os preços relativos em porcentagens, adotando o preço 
médio anual de venda do produto no ano de 2012 como básico. 
 
O preço médio anual de venda deste produto em 2011 foi de R$ 135,00. Isto significa que o módulo da diferença 
entre os preços médios anuais de venda correspondentes aos anos de 2010 e 2017 foi de 
 a) R$ 109,00 
 b) R$ 81,00 
 c) R$ 54,00 
 d) R$ 69,00 
 e) R$ 89,00 
 
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72. FCC – SEFAZ/GO – 2018) 
Os matemáticos definem diferentes tipos de médias entre dois números positivos e, para cada aplicação, 
escolhem qual o tipo mais adequado a ser utilizado. A média harmônica H entre os números positivos a e b, por 
exemplo, é definida como o inverso da média aritmética dos inversos desses números, ou seja, 
 
 A média aritmética dos números 5 e 20 supera a média harmônica desses mesmos números em 
(A) 4 unidades. 
(B) 4,25 unidades. 
(C) 4,5 unidades. 
(D) 4,75 unidades. 
(E) 5 unidades. 
73. VUNESP – CÂMARA DE DOIS CÓRREGOS – 2018) 
Em uma empresa na qual são comercializados produtos natalinos, a média aritmética das receitas mensais do 
4º trimestre de 2016 foi igual ao triplo da média aritmética das receitas mensais do trimestre imediatamente 
anterior. Se a receita total do segundo semestre de 2016 foi igual a 9 milhões de reais, então a receita total do 
3º trimestre desse mesmo ano foi, em milhões de reais, igual a 
(A) 2,0. 
(B) 2,25. 
(C) 2,75. 
(D) 3,0. 
(E) 3,25. 
74.VUNESP – CÂMARA DE DOIS CÓRREGOS – 2018) 
A tabela mostra o número de processos que cada um dos funcionários de uma firma de advocacia arquivou no 
decorrer de alguns meses. 
 
Considerando-se o número total de processos arquivados, cada funcionário arquivou, em média, 1,5 processo. 
O número de funcionários que arquivaram, cada um deles, 2 processos foi 
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(A) 2. 
(B) 3. 
(C) 4. 
(D) 5. 
(E) 6. 
 
75. VUNESP – PREF. GARÇA – 2018) 
Na escola em que a professora Lígia trabalha, a nota final é calculada por meio da média ponderada das notas 
que o aluno tirou nos quatro bimestres, sendo que o primeiro e o segundo bimestres têm peso 1, cada um, o 
terceiro bimestre tem peso 3, e o quarto bimestre tem peso 5. Se A, B, C e D correspondem às notas que cada 
aluno tirou no primeiro, segundo, terceiro e quarto bimestres, respectivamente, então a professora Lígia pode 
calcular a nota final de cada aluno fazendo a seguinte operação: 
 
 
76.VUNESP – Pref. de Mogi das Cruzes – 2018) 
Determinado departamento de uma empresa realizou, em um mesmo mês, três reuniões. A tabela a seguir 
mostra o tempo de duração de cada uma delas. 
 
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Considerando-se o tempo total das três reuniões, cada reunião durou, em média, 1 hora e 45 minutos. O tempo 
de duração da 3a reunião foi 
(A) 2 horas e 15 minutos. 
(B) 2 horas e 10 minutos. 
(C) 2 horas e 05 minutos. 
(D) 1 hora e 55 minutos. 
(E) 1 hora e 50 minutos. 
77. VUNESP – Pref. de São José dos Campos – 2018) 
A média aritmética diária de vendas realizadas em seis dias por um estabelecimento comercial foi de R$ 
6.700,00. Na tabela, constam os valores das vendas de alguns desses dias: 
 
Com base nas informações, é correto afirmar que a média aritmética diária dos três últimos dias de vendas é 
maior que a média aritmética diária dos seis dias em, aproximadamente, 
(A) R$ 65,00. 
(B) R$ 67,00. 
(C) R$ 69,00. 
(D) R$ 71,00. 
(E) R$ 73,00. 
78.VUNESP - TJ/SP - 2018) 
Um estabelecimento comercial possui quatro reservatórios de água, sendo três deles de formato cúbico, cujas 
respectivas arestas têm medidas distintas, em metros, e um com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, 
conforme ilustrado a seguir. 
 
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Sabe-se que, quando totalmente cheios, a média aritmética dos volumes de água dos quatro reservatórios é 
igual a 1,53 m3 , e que a média aritmética dos volumes de água dos reservatórios cúbicos, somente, é igual a 
1,08 m3 . Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura do reservatório com a forma de bloco 
retangular, indicada por h na figura, é igual a 
(A) 1,45 m. 
(B) 1,35 m. 
(C) 1,55 m. 
(D) 1,50 m. 
(E) 1,40 m. 
 
79.VUNESP – CÂMARA SJC– 2018) 
Em um concurso, a nota final de cada candidato é calculada pela média aritmética ponderada das notas das 
três fases de avaliação previstas, com pesos 2, 3 e 5, para as primeira, segunda e terceira fases, 
respectivamente. Para ser classificado no concurso, o candidato tem que atingir nota final maior ou igual a 6. 
Sendo assim, um candidato que tirou notas 5 e 6 nas primeira e segunda fases, respectivamente, para ser 
classificado no concurso, precisa tirar, na terceira fase, uma nota mínima igual a 
(A) 6,2. 
(B) 6,4. 
(C) 6,6. 
(D) 6,8. 
(E) 7,0. 
 
80.VUNESP – PM/SP – 2018) 
O gráfico apresenta o número de pontos obtidos pelos grupos A, B, C e D, que participaram de uma atividade 
recreativa. 
 
Sabendo que o número de pontos obtidos pelo grupo A foi 30% maior que o número de pontos obtidos pelo 
grupo C, então, na média, o número de pontos obtidos por um grupo foi 
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(A) 70. 
(B) 50. 
(C) 60. 
(D) 55. 
(E) 65. 
 
81.CESPE – ABIN – 2018) 
 
Com base nos dados da tabela anterior, extraídos do Relatório das Notas Estatísticas do Censo Escolar de 2017, 
do INEP, julgue os itens a seguir. 
( ) A média do quantitativo de docentes do ensino médio entre os anos de 2013 e 2017 foi superior à média do 
quantitativo de docentes da educação infantil para o mesmo período. 
 
82.CESPE – SEDUC/AL – 2018) 
Acerca de probabilidade e estatística, julgue os próximos itens. 
() Situação hipotética: A média aritmética dos pesos dos 60 alunos de uma sala de aulas é igual a 51,8 kg. Nessa 
sala, a média aritmética do peso dos meninos é de 62 kg e das meninas, 45 kg. Assertiva: Nesse caso, essa sala 
de aulas tem 24 meninos e 36 meninas. 
 
 
 
 
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83.CESGRANRIO - PETROBRÁS - 2018) 
Em uma avaliação na qual é atribuído grau de zero a dez, um hotel obteve média 8 em quarenta e nove 
avaliações. O avaliador seguinte atribuiu ao hotel nota zero. Para que amédia de notas do hotel passe a ser 
maior que 8, será necessário, no mínimo, a avaliação de mais quantos hóspedes? 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
84.CESGRANRIO – BASA – 2018) 
Sabe-se que 30% dos clientes de um banco são do sexo masculino e os 70% restantes são do sexo feminino. 
Entre os clientes do sexo masculino, a média do tempo de vínculo com o banco é igual a 4 anos e, entre os 
clientes do sexo feminino, é igual a 6 anos. Considerando-se todos os clientes, de ambos os sexos, qual é a 
média do tempo de vínculo de cada um com o banco? 
(A) 6 anos 
(B) 5,7 anos 
(C) 5 anos 
(D) 5,3 anos 
(E) 5,4 anos 
85.CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2018) 
Uma empresa cria uma campanha que consiste no sorteio de cupons premiados. O sorteio será realizado em 
duas etapas. Primeiramente, o cliente lança uma moeda honesta: 
se o resultado for “cara”, o cliente seleciona, aleatoriamente, um cupom da urna 1; 
se o resultado for “coroa”, o cliente seleciona, aleatoriamente, um cupom da urna 2. 
Sabe-se que 30% dos cupons da urna 1 são premiados, e que 40% de todos os cupons são premiados. Antes de 
começar o sorteio, a proporção de cupons premiados na urna 2 é de 
(A) 50% 
(B) 25% 
(C) 5% 
(D) 10% 
(E) 15% 
 
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86.IAUPE – CBM/PE – 2018) 
Cada um dos 30 bombeiros de uma sala obteve, na avaliação da seleção, nota 5 ou nota 10. A média aritmética 
dessas notas foi 6. 
É CORRETO afirmar que o número de bombeiros que obtiveram as notas 5 e 10, respectivamente, é 
A) 12 e 18. 
B) 18 e 12. 
C) 15 e 15. 
D) 6 e 24. 
E) 24 e 6. 
 
87.FCC – SABESP – 2017) 
A média aritmética de três números a, b e c é 20. A média aritmética de a e b é 16. O valor de c é igual a 
a) 24. 
b) 26. 
c) 30. 
d) 28. 
e) 32. 
 
88.IBFC – EBSERH – 2017) 
Os dados a seguir referem-se à questão. 
Um levantamento amostral sobre o número de filhos de 50 funcionários foi realizado em uma empresa 
localizada em um município. Esse levantamento gerou a tabela a seguir: 
 
A média aritmética do número de filhos dos funcionários da amostra é, aproximadamente: 
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 a) 3,00 
 b) 1,94 
 c) 2,50 
 d) 1,62 
 e) 3,33 
 
89.IBFC – SEDUC/MT – 2017) 
Com a ajuda de um globo para sorteio de bingo, foram sorteados de forma aleatória, os seguintes números – 
02, 45, 13, 54, 22, 23, 09. Analisando os números, um estudante concluiu que a média aritmética destes números 
é 24, a mediana é 22 e distribuição é amodal. Sobre os valores e conclusões deste estudante, analise as 
afirmativas a seguir assinale a alternativa correta. 
I. A média aritmética é a soma de todos os valores presentes na distribuição. 
II. A mediana é o valor central que divide a distribuição dos valores ordenados em dois, sendo os que estão à 
esquerda são menores e os que estão à direita são maiores que o elemento central. 
III. A moda é a frequência de aparecimento de um número em uma distribuição, como no bingo as bolas não 
retornam para a esfera, não há repetições. 
IV. A média aritmética está errada pois deveria ter o mesmo valor da mediana. 
Assinale a alternativa que contenha somente as afirmações corretas: 
a) I apenas 
b) II e IV apenas 
c) II, III, IV apenas 
d) II e III apenas 
e) III apenas 
 
90.VUNESP – MP/SP – 2016) 
A média de salários dos 13 funcionários de uma empresa é de R$ 1.998,00. Dois novos funcionários foram 
contratados, um com o salário 10% maior que o do outro, e a média salarial dos 15 funcionários passou a ser R$ 
2.013,00. O menor salário, dentre esses dois novos funcionários, é igual a 
(A) R$ 2.008,00. 
(B) R$ 2.010,00. 
(C) R$ 2.004,00. 
(D) R$ 2.002,00. 
(E) R$ 2.006,00. 
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91.FCC - ARSETE – 2016) 
Uma carteira aplica 25% na ação A, 40% na ação B e o restante na ação C. Os retornos das ações A, B e C são, 
respectivamente, 10%, 12% e 20%. O retorno médio da carteira será 
a) 14,5%. 
b) 14,8%. 
c) 14,6%. 
d) 14,0%. 
e) 14,3%. 
 
92.IADES – PCDF – 2016) 
A média das idades dos 45 empregados de uma corporação é de 32 anos. Para os próximos meses, estão 
previstas as aposentadorias de cinco empregados cuja média de idades é de 62 anos. Considerando essa 
situação hipotética, é correto afirmar que, após a efetivação de todas as aposentadorias, a média das idades da 
corporação passará a ser a seguinte: 
(A) 25,11 anos 
(B) 26 anos 
(C) 28,25 anos 
(D) 30,75 anos 
(E) 36 anos 
 
93.FGV – PREF PAULÍNIA – 2016) 
Você recebeu um relatório do desempenho dos alunos de duas turmas de uma mesma série do seu colégio, 
conforme a tabela a seguir: 
 
Supondo que as informações relativas às turmas A e B isoladamente estão corretas, deduz-se que a média 
relativa ao total de alunos das duas turmas está 
a) correta também. 
b) errada, pois o valor correto é 75,5. 
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c) errada, pois o valor correto é 75,2. 
d) errada, pois o valor correto é 74,5. 
e) errada, pois o valor correto é 74,3. 
 
94.FGV – TJ/RO – 2015) 
A média do número de páginas de cinco processos que estão sobre a mesa de Tânia é 90. Um desses processos, 
com 130 páginas, foi analisado e retirado da mesa de Tânia. A média do número de páginas dos quatro 
processos que restaram é: 
(A) 70; 
(B) 75; 
(C) 80; 
(D) 85; 
(E) 90. 
 
95.FGV – TJ/RO – 2015) 
Humberto é digitador e trabalha todos os dias no fim do expediente de um cartório o tempo necessário para 
realizar a digitação dos trabalhos do dia. Durante uma semana, ele anotou quanto tempo trabalhou em cada 
dia no serviço de digitação e o resultado está no quadro abaixo: 
 
Nessa semana, o tempo médio de trabalho por dia de Humberto foi de: 
(A) 4:32; 
(B) 4:36; 
(C) 4:42; 
(D) 4:48; 
(E) 4:54. 
 
 
 
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96.FGV – Prefeitura de Niterói – 2015) 
A média das idades dos cinco jogadores mais velhos de um time de futebol é 34 anos. A média das idades dos 
seis jogadores mais velhos desse mesmo time é 33 anos. A idade, em anos, do sexto jogador mais velho desse 
time é: 
(A) 33; 
(B) 32; 
(C) 30; 
(D) 28; 
(E) 26. 
 
97.FGV – DPE/MT – 2015) 
Em um canil há 42 cães adultos, dos quais metade são fêmeas. Um terço das fêmeas teve filhotes e, em média, 
cada uma destas fêmeas teve cinco filhotes. O número total de cães, adultos e filhotes, nesse canil é 
(A) 70. 
(B) 77. 
(C) 84. 
(D) 91. 
(E) 98. 
 
98.FGV – DPE/RO – 2015) 
Em um curso de treinamento dos funcionários de uma empresa, as notas dos alunos de uma turma na prova 
final estão no gráfico a seguir: 
 
A média dos alunos dessa turma foi: 
(A) 6,5; 
(B) 6,7; 
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(C) 6,9; 
(D) 7,0; 
(E) 7,3 
99.FGV – TJRJ – 2014) 
A tabela a seguir mostra, em ordem crescente, os números de processos pendentes de julgamento, em 30 de 
setembro de 2014, nas oito Câmaras Criminais do Estado do Rio de Janeiro (não identificadas na tabela). 
 
Seja M a média do número de processos pendentes de julgamento em 30 de setembro de 2014. O número de 
Câmeras Criminais com número de processos pendentes de julgamento maiores do que M é: 
(A) 2; 
(B) 3; 
(C) 4; 
(D) 5; 
(E) 6. 
100.VUNESP - PM/SP- 2015) 
Quatro amigos, Marcos (M), Jorge (J), Pedro (P) e Caio (C) foram a um churrasco e cada um deles levou uma 
determinada quantidade de latinhas de cerveja, conforme mostra o gráfico. 
 
Considerando-se o número total de latinhas de cerveja levadas pelos quatro amigos, na média, o número de 
latinhas por pessoa foi 9. O número de latinhas de cerveja levadas por Jorge foi 
a) 10. 
b) 11. 
c) 9. 
d) 8. 
e) 12. 
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Gabarito 
1. C 
2. E 
3. E 
4. B 
5. B 
6. E 
7. B 
8. D 
9. D 
10. B 
11. C 
12. A 
13. B 
14. C 
15. D 
16. B 
17. B 
18. A 
19. B 
20. C 
21. B 
22. B 
23. E 
24. E 
25. C 
26. D 
27. E 
28. C 
29. E 
30. E 
31. E 
32. E 
33. EC 
34. C 
35. A 
36. D 
37. D 
38. E 
39. E 
40. D 
41. B 
42. E 
43. C 
44. A 
45. D 
46. D 
47. D 
48. B 
49. B 
50. E 
51. D 
52. E 
53. D 
54. A 
55. D 
56. B 
57. C 
58. E 
59. B 
60. D 
61. A 
62. C 
63. D 
64. A 
65. B 
66. E 
67. D 
68. C 
69. C 
70. E 
71. D 
72. C 
73. B 
74. C 
75. E 
76. A 
77. B 
78. D 
79. B 
80. C 
81. E 
82. C 
83. E 
84. E 
85. A 
86. E 
87. D 
88. B 
89. D 
90. B 
91. E 
92. C 
93. C 
94. C 
95. A 
96. D 
97. B 
98. C 
99. D 
100.E 
 
 
 
 
 
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Resumo direcionado 
 Veja a seguir um resumão que eu preparei com tudo o que vimos de mais importante nesta aula. Espero que 
você já tenha feito o seu resumo também, e utilize o meu para verificar se ficou faltando colocar algo 😊 . 
 
Conceitos básicos 
- População: são todas as entidades sob estudo 
- Censo: análise de todos os indivíduos que compõem aquela população 
- Amostra: subconjunto daquela população 
- Variável: um determinado atributo os integrantes da população. Pode ser ou quantitativa. As variáveis 
quantitativas podem ser ou discretas. Chamamos uma variável de Variável Aleatória quando ela pode assumir, de 
maneira aleatória, qualquer dos seus valores possíveis. 
- Observação: valor da variável para um determinado membro da população. 
- Histograma é um gráfico de barras que representa, no seu eixo horizontal, as classes de valores que uma 
variável pode assumir, e em seu eixo vertical os valores das frequências de cada classe. 
- Ogiva: gráfico de freqüências acumuladas, onde ligamos os pontos extremos (limites superiores) das 
classes de valores. Chamamos a figura formada no gráfico de polígono de freqüências. 
- Assimetria à direita (assimetria positiva): temos um pico, e os dados se estendem para a direita (sentido 
positivo). 
- Assimetria à esquerda (negativa): os dados se estendem para a esquerda (sentido negativo). 
 
Medidas de posição 
Média: soma de todos os valores da variável observada, dividida pelo total de observações. Fórmula para 
dados em rol (listados): 
Média = Soma / quantidade 
ou 
 
Para dados em tabela de frequências: 
 
1
n
i
Xi
Média
n
==

1
1
( )
n
i
n
i
Xi Fi
Média
Fi
=
=

=


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Para dados agrupados em classes (usar ponto médio): 
 
Principais propriedades da média: 
- somando-se ou subtraindo-se um valor constante em todas as observações, a média desse novo conjunto 
será somada ou subtraída do mesmo valor 
- multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores observados por um valor constante, a média desse novo 
conjunto será multiplicada ou dividida pelo mesmo valor. 
- a soma das diferenças entre cada observação e a média é igual a zero. 
- o valor da média é calculado utilizando todos os valores da amostra. Portanto, qualquer alteração nesses 
valores poderá alterar a média (ela é afetada pelos valores extremos). 
 
média ponderada: é uma média onde cada um dos valores observados tem um peso diferente, ou uma 
ponderação diferente. O cálculo é muito similar àquele que vimos ao trabalhar com tabelas, usando a fórmula 
abaixo, onde cada “peso” substitui um valor de frequência (Fi): 
1
1
( )
n
i
n
i
Xi Fi
Média
Fi
=
=

=


 
 
Mediana: é a observação “do meio” quando os dados são organizados do menor para o maior. É o termo da 
posição (n+1)/2, se n for ímpar. E é a média aritmética dos termos ao redor de (n+1)/2, se n for par. 
 
Cálculo da mediana através do método da interpolação linear: 
1º passo: calcular a divisão n/2, onde n é o número total de frequências, obtendo a posição da mediana. 
2º passo: identificar a classe onde se encontra a mediana 
3º passo: montar a proporção entre as frequências acumuladas e os limites da classe da mediana. Ex.: 
 
Frequência: 26 40 45 
 |-----------------------------|----------------| 
Valores: 1,60 X 1,70 
 |-----------------------------|----------------| 
1
1
( )
n
i
n
i
PMi Fi
Média
Fi
=
=

=


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4º passo: calcular a mediana (X): 
𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠
𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠
=
𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
 
 
- A mediana é única para um conjunto de dados, e não é afetada pela inclusão ou exclusão de algum valor 
extremo (máximo ou mínimo) na amostra. 
 
Moda: valor da observação com maior número de frequências. Uma amostra pode ter 1, 2 ou mais modas 
(ser unimodal, bimodal etc.). Quando os dados estiverem agrupados em classes, seguir os passos: 
1. Descobrir qual é a classe modal (CM): aquela com maior número de frequências. 
2. Identificar a classe posterior (post) e a classe anterior (ant). 
3. Aplicar uma das duas fórmulas abaixo, dependendo do método de cálculo da moda indicado pelo 
exercício: 
 
Moda de King: 
 
Moda de Czuber: 
 
 
- O valor da moda não é afetado pelos valores extremos (mínimos e máximos) da amostragem. 
 
Simetria 
Simetria Média, Mediana e Moda 
Simétrica Média = Mediana = Moda* 
Assimétrica positiva (à direita) Média > Mediana > Moda 
Assimétrica negativa (à esquerda) Média < Mediana < Moda 
 
Valor esperado: soma dos produtos entre cada valor que a variável pode assumir e a probabilidade de cada 
valor ser obtido: 
( ) ( )E X x p x=  
fpost
Moda li c
fant fpost
  
= +   
+  
2 ( )
fcm fant
Moda li c
fcm fant fpost
  −
= +   
− +  
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Utilizamos ainda os nomes “Esperança de X” ou “Expectância de X” como sinônimos do “Valor esperado de 
X”. E utilizamos o símbolo E(X). Em regra, o valor esperado também é a média aritmética. 
 
Propriedades do valor esperado: 
a) E(k) = k → a esperança de uma função constante é igual à própria constante. 
 
b) E(aX + b) = aE(X) + b 
 
c) E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)