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Resolução de triângulos Lei dos cossenos Exerćıcios
MA093 – Matemática básica 2
Lei dos cossenos
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Setembro de 2018
Resolução de triângulos Lei dos cossenos Exerćıcios
Tópicos importantes
O objetivo dessa aula é investigar
1 A lei dos cossenos.
2 Resolução de triângulos: os casos LAL e LLL.
Resolução de triângulos Lei dos cossenos Exerćıcios
Resolução de triângulos
Caso Medidas fornecidas Condições Aplicar
LAA Â + B̂ < 180◦
Lei dos
senos
ALA Â + Ĉ < 180◦
Lei dos
senos
LLA a > b
Lei dos
senos
LAL
Lei dos
cossenos
LLL
a < b + c
b < a + c
c < a + b
Lei dos
cossenos
Resolução de triângulos Lei dos cossenos Exerćıcios
Um problema simples
Medida de uma praça
Uma pracinha triangular está situada entre três ruas, como mostra
a figura. Determine o comprimento do lado desconhecido.
Resolução de triângulos Lei dos cossenos Exerćıcios
Representação matemática do problema (caso LAL)
Temos um triângulo escaleno.
Conhecemos dois lados e o ângulo entre eles (caso LAL).
Queremos determinar o terceiro lado.
Resolução de triângulos Lei dos cossenos Exerćıcios
A lei dos cossenos
Teorema
Dado um triângulo ABC
qualquer, temos
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(Â)
b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B̂)
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(Ĉ )
Essa lei é usada na resolução de triângulos, nos casos LAL e LLL.
Resolução de triângulos Lei dos cossenos Exerćıcios
Ideia da demonstração da lei dos cossenos
Conhecemos b, c e Â
e queremos determinar a.
xC = b cos(Â)
yC = b sen(Â)
Aplicando o teorema de
Pitágoras, obtemos
a2 = (xB − xC )2 + y2C = [c − b cos(Â)]2 + [b sen(Â)]2
a2 = c2 − 2cbcos(Â) + b2cos2(Â) + b2sen2(Â)
a2 = c2 − 2cbcos(Â) + b2[cos2(Â) + sen2(Â)] = c2 − 2cbcos(Â) + b2
Resolução de triângulos Lei dos cossenos Exerćıcios
Voltando ao problema da praça
b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B̂)
b2 = 1002 + 802 − 2 · 100 · 80 · cos(55◦)
b2 ≈ 10000 + 6400− 16000 · 0, 57358 ≈ 7222, 7
b ≈
√
7222, 7 ≈ 84, 99 m
Resolução de triângulos Lei dos cossenos Exerćıcios
Caso LLL
Problema
Determine os ângulos do
triângulo da figura.
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(Â)
42 = 82 + 102 − 2 · 8 · 10 cos(Â)
16 = 64 + 100− 160 cos(Â)
160cos(Â) = 148
cos(Â) = 148/160 = 0, 925
 = arccos(0, 925) ≈ 22, 33◦
b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B̂)
82 = 42 + 102 − 2 · 4 · 10 cos(B̂)
64 = 16 + 100− 80 cos(B̂)
80cos(B̂) = 52
cos(B̂) = 52/80 = 0, 65
B̂ = arccos(0, 65) ≈ 49, 46◦
Ĉ = 180◦ − Â− B̂ ≈ 180◦ − 22, 33◦ − 49, 46◦ = 108, 21◦
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Exerćıcio 1
Problema
Determine o lado desconhecido do triângulo abaixo
7,46 m
Resolução de triângulos Lei dos cossenos Exerćıcios
Exerćıcio 2
Problema
Determine os ângulos do triângulo abaixo
34, 048◦, 44, 415◦, 101, 537◦
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Exerćıcio 3
Problema
Um banhista se afoga em um ponto D, a 20 m de uma praia.
Calcule as distâncias d1 e d2 que os salva-vidas situados nos
pontos A e B precisam nadar para alcançar o banhista.
d1 = 10
√
13 m, d2 = 20
√
2 m.
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Exerćıcio 4
Problema
Determine a área da região amarela da figura.
8, 333 m2
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Exerćıcio 5
Problema
Um topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem
como os ângulos especificados na tabela abaixo. Calcule as
distâncias entre A e B, e entre B e D.
Visada Ângulo
AĈB π/6
BĈD π/3
AB̂C π/6
AB = 5
√
3 m, BD = 5
√
7 m
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Exerćıcio 6
Problema
A figura abaixo mostra uma estrada que passa pelos pontos A, B C
e D. Calcule a distância x entre A e C, bem como o ângulo α
mostrado na figura.
6,65 km, 37,88◦
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