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Números complexos 
Introdução 
Ao resolvermos a equação x2 – 4x + 5 =0, encontramos 
2 1x = ± − , que não são soluções reais. Euler, em 
1777, chamou 1− de i (unidade imaginária), e Gauss, 
em 1800, associou a cada símbolo a + bi o par ordenado 
(a, b). Esse par recebe o nome de número complexo e 
é representado por um ponto no plano. 
 
O número complexo (0, 1) é chamado unidade imaginária 
e será indicado por i, ou seja, (0, 1) = i. 
 
 
 
 
 
Representação algébrica 
Todo número complexo z = (a, b), com a e b reais, 
pode ser escrito na forma z = a + bi, chamada de 
forma algébrica. 
O número real a é chamado de parte real de z e é 
indicado por Re (z). O número real b é chamado de parte 
imaginária de z e é indicado por Im (z). 
A unidade imaginária i satisfaz a equação i2 = – 1 
Se a parte imaginária de z é igual a zero, então z é um 
número real. 
z é real ⇔ Im (z) = 0 
Se a parte real de z é igual a zero e a parte imaginária é 
não nula, então z é um número imaginário puro. 
z é imaginário puro ⇔ Re (z) = 0 e Im (z) ≠ 0 
Igualdade e operações de números complexos 
Sejam os números complexos 1z a bi= + e 
2z c di= + 
Igualdade 
1 2 z z a bi c di a ceb d= ⇔ + = + ⇔ = = 
Adição 
1 2 ( ) ( )z z a c b d i+ = + + + 
 
Subtração 
 ( ) ( )1 2z z a c b d i− = − + − 
 
Multiplicação 
A multiplicação é tratada como produto de binômios 
 ( ) ( ) 21 2. .z z a bi c di ac adi bci bdi= + + = + + + 
 ( ) ( )1 2.z z ac bd ad bc i= − + + 
Conjugado 
1z a bi= − 
Observações: 
a) não confundir o conjugado com oposto 1z a bi− = − − 
b) ( ) ( ) ( )22 2 21 1. .z z a bi a bi a bi a b= + − = − = + , 
pois 2 1i = − . 
Divisão 
A divisão 
21 1
22 2
.z z z
z z z
= ,com z2 ≠ 0. 
 
Exemplos 
Dados os complexos 2 5z i= + e 3w i= − temos: 
 5 4z w i+ = + 
 1 6z w i− = − + 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2. 2 5 . 3 2.3 2. 5 .3 5
6 2 15 5 6 5 5 2
11 13
z w i i i i i
i i i
i
= + − = + − + − =
= − + + = + + − =
= +
 
 3w i= + 
 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 5 3
. .
3 3
6 5 15 2 1 17
3 9 1
i iz z w
w w w i i
i i
i
+ +
= = =
− +
− + + +
= =
− +
 
 
1 17
10 10
z i
w
= + 
 
Encontre o número complexo z a bi= + tal que 
2 9w i= − + seja igual ao oposto do conjugado do 
complexo z . 
 
 
Queremos que w z= − e como z a bi= − , então 
temos: 
 2 9 2 9 2 9i a bi a eb z i− + = − + ⇒ = = ⇒ = + 
 
 
 
Representação Geométrica 
O conjunto de todos os números complexos 
representados no plano recebe o nome de Plano 
Complexo, também chamado de Plano de Argand-
Gauss. 
Neste plano, como já vimos no início, o eixo das 
abscissas recebe o nome de Eixo Real e o eixo das 
ordenadas, de Eixo Imaginário, visto que sobre estes 
eixos são representadas, respectivamente, as partes 
reais e imaginárias de cada número complexo. 
Podemos interpretar, geometricamente, um número 
complexo z a bi= + como o vetor (a,b) de origem em 
(0,0) e extremidade final no ponto (a,b) do plano 
cartesiano. 
 
 
Acesse o link e mova a extremidade do vetor que 
representa o complexo ( ) ( ),0 0,z a b i= + para 
percorrer o plano complexo: https://goo.gl/uVHWVD 
 
Como é possível encontrar, graficamente, a soma de dois 
complexos? 
Como são identificados como vetores, o método gráfico 
para encontrar a soma de dois números complexos é o 
que chamamos no estudo de vetores de "Lei do 
Paralelogramo", muito utilizado na Física. 
Veja na figura a seguir está representada graficamente a 
adição dos complexos 
1 0.z i= + e 1 2
2
w i= − ⇒ 5 2
2
z w i+ = − 
https://goo.gl/uVHWVD
 
 
Então para interpretar geometricamente a soma e a 
diferença de dois números complexos, usamos a 
interpretação da Lei do Paralelogramo. 
 
A soma dos vetores está representada no vetor sobre a 
diagonal maior e a diferença dos vetores representada 
pelo vetor sobre a diagonal menor do paralelogramo 
(como na figura anterior). 
Explore graficamente a adição de vetores no link: 
https://goo.gl/59oNiY 
http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/complexo2.html
 
Módulo de um Vetor 
Olhando a representação de um número complexo 
z a bi= + como um vetor com ponto inicial em (0,0) e 
final (a,b), o módulo de z é o módulo do vetor, ou seja, 
distância entre os pontos inicial e fina do vetor. Assim, o 
módulo de z é o número real: 
 2 2z a b= + 
 
 
Representação Trigonométrica (ou polar) 
Vamos agora nos reportar à forma trigonométrica de 
vetores, já que existe a identificação de vetor com 
número complexo. 
 
 
 
Argumento 
Chama-se argumento de um número complexo z = x + 
yi, não nulo, o ângulo θ tal que 
cos xθ
ρ
= e 
ysenθ
ρ
= onde ρ = lzl. 
Notamos que: 
1º) a condição z ≠ 0 garante ρ≠ 0 
2º) existe ao menos um ângulo θ satisfazendo a 
definição pois: 
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2cos 1
x y x y x ysen
x y
θ θ
ρ ρ ρ
    + +
+ = + = =    +   
 
3º) fixado o complexo z ≠ 0, estão fixados cosθ e senθ 
mas o ânguloθ pode assumir infinitos valores, 
congruentes dois a dois (congruência módulo 2π). 
Assim, o complexo z ≠ 0 tem argumento 
0 2 ,θ θ κπ κ= + ∈Ζ 
Onde θ 0, chamado argumento principal de z, é tal que 
0 0 0cos , 0 2
ysen eθ θ θ π
ρ
= ≤ < . Frequentemente 
trabalhamos com θ 0 chamando-o simplesmente 
argumento de z. 
 
 
Exemplos: 
1º) 

0
3cos
23 2
1 6
2
x
z i
ysen
θ
θ πρ θ κπ
θ
ρ

= == + ⇒ ⇒ +
 = =

 
2º) 

0
cos 0
32 2
21
x
z i ysen
θ
θ
πρ θ κπ
θ
ρ
 = == − ⇒ ⇒ +
 = = −

 
3º) 
0
cos 1
5 2
0
x
z ysen θ
θ
ρ θ π κπ
θ
ρ
 = = −= − ⇒ ⇒ +
 = =

 
4º) 

0
2cos
521 2
42
2
x
z i
ysen θ
θ
πρ θ κπ
θ
ρ

= = −= − − ⇒ ⇒ +
 = = −

 
 
 
 
Plano de Argand-Gauss 
As noções de módulo e argumento tornam-se mais 
concretas quando representamos os números complexos 
z = x + yi = (x,y) pelos pontos do plano cartesiano xOy, 
com a convenção de marcarmos sobre os eixos Ox e Oy, 
respectivamente, a parte real e a parte imaginária de z. 
Assim, a cada número complexo z = (x, y) corresponde 
um único ponto P do plano xOy. 
Nomenclatura: 
xOy = plano de Argand-Gauss 
Ox = eixo real 
Oy = eixo imaginário 
P = afixo de z 
Notemos que a distância entre P e O é o módulo de z: 
 2 2OP x y ρ= + = 
E o ângulo formado por OP

com o eixo real é 0θ tal que 
0 0cos
x ye senθ θ
ρ ρ
= = portanto 0θ é o argumento 
principal de z. 
 
Dado um número complexo z = x + yi, não nulo, 
podemos escrever . .x yz x yi iρ
ρ ρ
 
= + = + 
 
. 
Portanto temos: 
( )cosz i senρ θ θ= ⋅ + ⋅ 
Chamada forma trigonométrica (ou polar) de z. 
Observação: o argumento principal é o ângulo na 
primeira volta que coincide com o vetor identificado com 
o número complexo z = x + yi. 
Assim, todos os argumentos de z são da forma 
0 2kθ θ π= + 
Veja o exemplo: 
Então para encontrar a forma polar do complexo 
3z i= + procedemos assim: 
 ( )2 23 1 3 1 4 2zρ = = + = + = = 
Se 0θ é a determinação principal, temos: 
0
3
2
cosθ = e 0
1
2
senθ = . Portanto, 0 6
πθ = e a 
forma polar é 2
6 6
z cos isenπ π = + 
 
 
 
Exemplos: 
3z i= + 
1º) 
2 3 32 2 cos3
2 22
z i z i sen
ρ π π
πθ
=  = − ⇒ ⇒ = ⋅ + ⋅  =  
 
2º) 
{ ( )55 5 cosz z i senρ π πθ π== − ⇒ ⇒ = ⋅ + ⋅=
 
3º) 
2 5 51 2 cos5 4 4
4
z i z i sen
ρ π π
πθ
 =  = − − ⇒ ⇒ = ⋅ + ⋅  =  
 
A forma trigonométrica é mais prática que a forma 
algébrica para as operações de multiplicação, 
potenciação e radiciação no conjunto dos complexos 
conforme veremos a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Potenciação 
Vamos verificar as potências do imaginário puro i : 
1i i= , 
( ) ( )2 3 2 4 2 2 5 41, . ; . 1 . 1 1; .i i i i i i i i i i i i= − = = − = = − − = = =
 
Então: 5 1i i i= = , 6 2 1i i= = − , 7 3i i i= = − e 
8 4 1i i= = e assim, sucessivamente, se repetem de 4 
em 4. 
Agora é com você: 2017 ?i = 
Veja no link o significado dessas potências: 
https://goo.gl/911LAZ 
 
 
http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/complexo3.htmlPara multiplicar dois números complexos na forma polar 
temos o seguinte resultado: 
 
Teorema 
O módulo do produto de dois complexos é igual ao 
produto dos módulos dos fatores e seu argumento é 
congruente à soma dos argumentos dos fatores. 
Demonstração: 
Dados dois complexos ( )1 1 1 2z cos isenρ θ θ= + e 
( )2 2 2 2z cos isenρ θ θ= + . Seja 1 2.z z z= . 
 
( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2. . . .z z z cos isen cos isenρ ρ θ θ θ θ= = + +
 
 
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 1. . . . .z cos cos sen sen i sen cos sen cosρ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ = − + + 
 
Pela forma de soma de arcos para o seno e o cosseno: 
 ( ) ( )1 2 1 2 1 2.z cos isenρ ρ θ θ θ θ = + + +  
Logo, 1 2 1 2. .z z zρ ρ= = e o argumento principal de 
z é 0 1 2θ θ θ= + . 
 
Na verdade os argumentos de z são 
( )1 2 2 , k k inteiroθ θ θ π= + + 
 
 
 
Exemplo: 
Se 1 2 6 6
z cos isenπ π = + 
 
 e 
2
3 35
4 4
z cos isenπ π = + 
 
, então 
 
1 2
3 3. 2.5
6 4 6 4
11 1110
12 12
z z z cos isen
cos isen
π π π π
π π
    = = + + + =        
 = + 
 
 
Podemos então deduzir que: 
 
( ) ( )1 2 1 1 1 2 1 2. . cosn n n nz z z isenρ ρ ρ θ θ θ θ θ θ … = … + +…+ + + +… 
 
 
Como a potenciação é a multiplicação de fatores iguais, 
podemos deduzir que, dado um complexo 
( )z cos isenρ θ θ= + , então: 
 ( ) ( )( )cosn nz n isen nρ θ θ= + 
Esta fórmula é conhecida como Primeira Fórmula de 
Moivre. 
 
Exemplo: 
Se 2
6 6
z cos isenπ π = + ⇒ 
 
 
5 5 5 52 cos 5. 5 32
6 6 6 6
z isen cos isenπ π π π          ⇒ = + = +                    
 
 
Radiciação 
Para resolver a radiciação de números complexos temos 
o seguinte: 
Teorema (Segunda Fórmula de Moivre) 
Dado o complexo ( )z cos isenρ θ θ= + e n um 
número natural, 2n ≥ , estão existem n raízes enésimas 
de z que são da forma: 
 
2 2. .nkz cos k isen kn n n n
θ π θ πρ     = + + +        
, 
com n ekρ +∈ ∈  
Vale ressaltar que todos os complexos kz são tais que 
( )nn k kz z z z= ⇔ = . 
Então para termos 
( ) ( ).nr cosn isenn cos isenϕ ϕ ρ θ θ+ = + é 
necessário que: 
i) n nr rρ ρ= ⇒ = 
ii) 
{ ( )22 . , 0,1,2, 1cosn cos n k k k nsenn sen n nθ πϕ θ ϕ θ π ϕϕ θ= ⇒ = + ⇒ = + = … −= 
Teremos n raízes complexas de um número complexo 
(Teorema Fundamental da Álgebra) 
Vejamos um exemplo: 
Calcular as raízes quartas de ( )8 8 3z i= − + 
Vamos passar z para a forma trigonométrica: 
 
( ) ( ) ( )228 8 3 64 1 3 64.4 8.2 16ρ = − + = + = = = 
 
8 1
16 2
cosθ −= = − e 8 3 3 2
16 2 3
sen πθ θ= = ⇒ = 
(argumento principal) 
Então, aplicando a fórmula de Moivre, as raízes quartas 
de z são: 
 
4
2 2
2 23 316 . . , 0,1,2,3
4 4 4 4k
z cos k isen k k
π π
π π
    
    
= + + + =    
    
    
 
 
2 . . , 0,1,2,3
6 2 6 2k
z cos k isen k kπ π π π    = + + + =        
 
Para 00 2 6 6
k z cos isenπ π = ⇒ = +  
 
Para 
1
4 41 2 2
6 2 6 2 6 6
k z cos isen cos isenπ π π π π π      = ⇒ = + + + = +            
 
 
Para 
2
7 72 2 2
6 6 6 6
k z cos isen cos isenπ π π ππ π      = ⇒ = + + + = +            
 
Para 
3
3 3 10 103 2 2
6 2 6 2 6 6
k z cos isen cos isenπ π π π π π      = ⇒ = + + + = +            
 
Propositalmente não simplifiquei os valores dos 
argumentos para explicitar que obtivemos par as raízes 
os seguintes argumentos, nessa ordem, 
1 ,4 ,7 1 0
6 6 6 6
eπ π π π . O argumento seguinte seria 
13 2
6 6
π ππ= + , o que seria mais uma volta completa 
recaindo sobre a primeira raiz. 
Ou seja, as raízes quartas complexas de z são 
complexos de módulo 2 e que formam ângulos com o 
eixo OX, respectivamente nesta ordem: 30°, 120°, 210° 
e 300°. Vejam que não faria sentido o vetor seguinte 
Explicitando as 4 raízes quartas na forma algébrica 
temos: 
0
3 12 2 3
6 6 2 2
z cos isen i iπ π
  = + = + = +     
 
 
 
( )1 2 2 1 32 2 1 33 3 2 2z cos isen i i
π π   = + = − + = − +  
   
 
 
2
7 7 3 12 2 3
6 6 2 2
z cos isen i iπ π
  = + = − − = − −  
   
 
( )3 10 10 1 32 2 1 36 6 2 2z cos isen i i
π π   = + = − = −  
   
 
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