Para determinar se \( W = \{(x, y, z) \in R^3 | x + y + z = 0\} \) é um subespaço vetorial de \( R^3 \), precisamos verificar as propriedades que definem um subespaço: 1. Contém o vetor nulo: O vetor nulo em \( R^3 \) é \( (0, 0, 0) \). Para verificar se ele está em \( W \), substituímos na equação: \( 0 + 0 + 0 = 0 \). Portanto, o vetor nulo está em \( W \). 2. Fechamento sob adição: Se \( \mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1) \) e \( \mathbf{v} = (x_2, y_2, z_2) \) estão em \( W \), então \( x_1 + y_1 + z_1 = 0 \) e \( x_2 + y_2 + z_2 = 0 \). A soma \( \mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) \) deve satisfazer \( (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) = 0 \). Isso é verdade, então \( W \) é fechado sob adição. 3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Para um vetor \( \mathbf{u} = (x, y, z) \) em \( W \) e um escalar \( c \), temos \( c\mathbf{u} = (cx, cy, cz) \). Precisamos verificar se \( cx + cy + cz = 0 \). Como \( x + y + z = 0 \), multiplicando por \( c \) também resulta em \( 0 \). Portanto, \( W \) é fechado sob multiplicação por escalar. Dado que \( W \) contém o vetor nulo, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que \( W \) é um subespaço vetorial de \( R^3 \). Agora, analisando as alternativas: A) Sim, pois W é descrito como um subconjunto pertencente a \( R^3 \). - Incorreta, pois apenas ser um subconjunto não garante que seja um subespaço. B) Não, pois W não contém o que chamamos de vetor nulo. - Incorreta, pois já verificamos que contém o vetor nulo. C) Não, pois a soma de dois vetores em W não pode estar nele próprio. - Incorreta, pois já verificamos que a soma de dois vetores em \( W \) está em \( W \). D) Sim, pois W é descrito como um subconjunto de \( R^2 \). - Incorreta, pois \( W \) é um subconjunto de \( R^3 \). E) Sim, pois satisfaz as propriedades de soma e multiplicação por escalar. - Correta, pois é exatamente isso que caracteriza um subespaço vetorial. Portanto, a alternativa correta é: E) Sim, pois satisfaz as propriedades de soma e multiplicação por escalar.