Prova de GAAL com gabarito (sistemas lineares e matrizes de coeficientes)

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Universidade Federal de Santa Catarina � Campus Blumenau
Curso(s): Engenharia Têxtil
Professora: Daniela Amazonas
Geo. Analítica e Álg. Linear � 2019.1 � Prova P1 � 08/04/2019
Aluno(a) GABARITO
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6∑INSTRUÇÕESRESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVA OU QUE NÃO INCLUAM OS CÁLCULOS NECESSÁRIOS NÃO
SERÃO CONSIDERADAS.
A PROVA DEVE SER FEITA EM CANETA AZUL OU PRETA.
Questão 1. (0,6pts) Represente gra�camente a solução de um sistema linear com duas equa-
ções e duas incógnitas para os seguintes casos:
a) o sistema possui uma única solução;
b) o sistema possui in�nitas soluções;
c) o sistema não possui solução.
Questão 2. (1,4pts) Determine os valores de a com os quais o sistema abaixo tem exatamente
uma solução. {
x1 + 2x2 = 1
2x1 + (a
2 − 5)x2 = a− 1
Questão 3. (2,0pts) Sejam
A =
 1 32 4
−1 0
 B = [2 −2 0
1 5 4
]
C =
 6 1 3−1 1 2
4 1 3

Calcule tr[(AB)T + C].
Questão 4. (2,0pts) Resolva o sistema invertendo a matriz de coe�cientes
x1 − 2x2 + x3 = 1
2x1 − 3x2 = 3
x2 − x3 = 4
Questão 5. (2,0pts) Somente uma das matrizes abaixo admite inversa, encontre-a e use a
adjunta para determinar a inversa.
A =
 2 5 5−1 −1 0
2 4 3
 B =
 2 0 30 3 2
−2 0 −3
 C =
 2 −1 10 0 0
10 4 6

Questão 6. (2,0pts) Encontre a solução do seguinte sistema
x1 − 2x2 + x3 = 1
2x1 − 5x2 + x3 = −2
3x1 − 7x2 + 2x3 = −1
Geo. Analítica e Álg. Linear � 2019.1 � Prova P1 � 08/04/2019 2/4
RESOLUÇÃO
Q1) Uma representação grá�ca é
(0,6 pontos) X
======================================================================
Q2) A matriz ampliada do sistema é [
1 2 1
2 (a2 − 5) (a− 1)
]
Fazendo L2 = L2 − 2L1, obtemos[
1 2 1
0 (a2 − 9) (a− 3)
]
(0,7 pontos) X
Logo o sistema admite uma única solução para a 6= ±3. (0,7 pontos) X
======================================================================
Q3)
AB =
 5 13 128 16 16
−2 2 0
 (0,5 pontos) X ⇒ (AB)T =
 5 8 −213 16 2
12 16 0
 (0,5 pontos) X
(AB)T+C =
11 9 112 17 4
16 17 3
 (0,5 pontos) X ⇒ tr[(AB)T+C] = 11+17+3 = 31 (0,5 pontos) X
======================================================================
Q4) Começamos calculando a inversa da matriz dos coe�cientes. Assim,1 −2 1 | 1 0 02 −3 0 | 0 1 0
0 1 −1 | 0 0 1
 L2 = −2L1 + L2
Geo. Analítica e Álg. Linear � 2019.1 � Prova P1 � 08/04/2019 3/41 −2 1 | 1 0 00 1 −2 | −2 1 0
0 1 −1 | 0 0 1
 L1 = 2L2 + L1 e L3 = −L2 + L3
1 0 −3 | −3 2 00 1 −2 | −2 1 0
0 0 1 | 2 −1 1
 L1 = 3L3 + L1 e L2 = 2L3 + L2
1 0 0 | 3 −1 30 1 0 | 2 −1 2
0 0 1 | 2 −1 1
 (1,0 pontos) X
Agora podemos resolver os sistema usando a equação x = A−1b. Logo
x =
3 −1 32 −1 2
2 −1 1

13
4
 =
127
3

Assim, a solução do sistema é x1 = 12, x2 = 7 e x3 = 3. (1,0 pontos) X
======================================================================
Q5) Usando o fato de que uma matriz quadrada admite inverse se, e somente se, seu determi-
nante for diferente de zero, temos que somente a matriz A tem inversa, pois det(B) = 0,
det(C) = 0 e det(A) 6= 0. Para calcular a matriz adjunta de A precisamos achar a matriz
de cofatores. Assim, calculando cada um dos cofatores temos
∆11 = −3
∆12 = 3
∆13 = −2
∆21 = 5
∆22 = −4
∆23 = 2
∆31 = 5
∆32 = −5
∆33 = 3
Logo, a matriz de cofatores é Ā =
−3 3 −25 −4 2
5 −5 3
 (0,5 pontos) X, gerando a seguinte
adjunta
adj(A) =
−3 5 53 −4 −5
−2 2 3
 (0,5 pontos) X
Utilizando os cofatores já encontrados, podemos calcular o determinante de A como
det(A) = a11∆11 + a12∆12 + a13∆13 = (2)(−3) + (5)(3) + (5)(−2) = −1 (0,5 pontos) X
A matriz inversa então é
A−1 =
1
−1
−3 5 53 −4 −5
−2 2 3
 =
 3 −5 −5−3 4 5
2 −2 −3
 (0,5 pontos) X
======================================================================
Geo. Analítica e Álg. Linear � 2019.1 � Prova P1 � 08/04/2019 4/4
Q6) A matriz ampliada é1 −2 1 12 −5 1 −2
3 −7 2 −1
 L2 = L2 − 2L1 e L3 = L3 − 3L1
1 −2 1 10 −1 −1 −4
0 −1 −1 −4
 L2 = (−1)L2
1 −2 1 10 1 1 4
0 −1 −1 −4
 L1 = L1 + 2L2 e L3 = L3 + L2
1 0 3 90 1 1 4
0 0 0 0
 (1,0 pontos) X
Logo o sistema é indeterminado, possui in�nitas soluções, tem 1 grau de liberdade e sua
solução pode ser representada da forma x3 = λ, x2 = 4−λ e x1 = 9− 3λ (1,0 pontos) X