Para determinar a resposta correta, vamos analisar as informações dadas sobre a transformação linear \( T \). Sabemos que \( T \) é uma transformação linear e que: 1. \( T(1, 2, 3) = (2, 3, 4) \) 2. \( T(1, 3, 4) = (2, 4, 5) \) Uma transformação linear deve respeitar a propriedade de aditividade e homogeneidade. Vamos verificar se as duas imagens dadas podem ser geradas por uma transformação linear. Se \( T \) é linear, então podemos expressar \( T \) em termos de uma matriz \( A \) tal que: \[ T(x, y, z) = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \] Vamos analisar as opções: (a) Existem infinitas transformações assim. Não podemos afirmar isso, pois temos duas imagens específicas e, se existisse uma transformação linear, ela seria única. (b) \( T(x, y, z) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) Precisamos verificar se essa matriz gera as imagens dadas. Ao aplicar a matriz a \( (1, 2, 3) \) e \( (1, 3, 4) \), não obteremos as imagens corretas. Portanto, essa opção não é válida. (c) \( T(x, y, z) = (x + 1, y + 1, z + 1) \) Essa transformação não é linear, pois não respeita a homogeneidade (não leva a origem para a origem). (d) NÃO existe tal transformação linear. Dado que as duas imagens não podem ser geradas por uma única transformação linear, essa opção parece ser a mais correta. Portanto, a resposta correta é: (d) NÃO existe tal transformação linear.