Tijolinho - Problemas e exercícios de matemática 1962 - Manoel Jairo Bezerra

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K < Y J -
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P R O B L E M A S E E X E R C Í C I O S O E
PARA OS EXAMES DE ADMISSÃO
A 3 E S C O L A S N O R M A I S ,
MILITARES E ARTIGO 91
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P R O B L E M A S
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EXERCÍCIOS
D E
MATEMÁTICA
- 2 -
M a n o e l J a l r o B e z e r r a
- 3 -
Problemas e Exercícios de Itetenatlca
Obras do Professor Jalro Bezerra
Questões ae Exames ae AdmlssSo Ceagotafla)
(toso de Hetemítloa - le tao Colegial (esgotada;
Oarso de tlatemátlca - 2» jno Colegial (esgotada)
Carso da «atamética - ,e Ano Colegial (esgotada)
CuTeo da Matanatica para os Cursos
Clássico a Científico (6a ediçSo)
aaÇomaa;jrle_EaitÔra Neclo,,.-,
- X -
M/aHOEL JAIRO bezerra - Licenciado em Matemática pela Paculda-
' d e N a c i o n a l d e F i l o s o fi a
Professor da Escola de Estado-Maior (3a Aeronáutica
cbc-Professor di' curse (?e Técnica de Ensino do Exerci-
Bx-Proxessor do Colégio NavrJ.
Professor no Colég io Pedro I I
Professor no Instituto de Educação do Estado da Gua
n a b a r a
Pro fessor no Cc legí .c Met ropo l i tano
Wdétiaa Espacial de Matama'tica
Apcatiu da Uidática Especial de
Matemática (em colaboração)
■̂"üddtSea d. c A D E s („
E C)
PROBLEMAS E EXERCÍCIOS PB )5ATEMÁTICA
P a r a o s c a n d i d a t o s a s
E S C O L A S N O R M A I S
COl^IO NA7AL
B.P.C. AERONÁUTICA
B.P.C, BXáWIlTO
B3C0LA UE MARINHA I-EBCAlíTB
- k -
l í a n o e l J a i r o B e z o r m
Í n d i c e
páginas
IntroduçãoN o t a 
6̂
■^S iSIRA Pf lPTT?
Questões selecionadas .» P assuntos j para resolver
^ L G E B B ft
NÚoeros relativos,
E x p r e s s õ e s ^
P í o d u t o s n o t á v e i s , , ^
^ w a ç ã o - a2h
E q u a 5 a o a o l 0 j j . a u . . ! 3 0Sistemas de equaqSes'do'i"!
«quaçoes o sistemas de in'̂ '̂ "'":-^luulo dos radloals. do 10 grau... 51
••••
g . ° e r a u . . í á7á
sSrer-«-..::;;;;;P r o b i f t d o ? o o , , 8 0^oblonaa do iq °S ; : : ; ; â í
"
ÊUloa
ĴsorSrtor'
né̂ -r.*"^l^qSas oéírlo'^ • •. • • ■ 122
^ ' ' « I - n m e n t o d a M 1 3 2
'■"«ísrSnoia '••••
1U8
- 5 -
Problemas e Sxercfeios de Matemática
S S G U l / Ü A P A R T E
Questões de concurso, sem resolução, porem com as respectivas
r e s p o s t a s .
Instituto de Educação - I96O - I,E,
Escola Normal Carmela Dutra - I960 - E.II.C.D.
Escola Normal Heitor Lira - I960 - E.N.H.L.
Escola Normal Sarah Kubitschek - i960 - S.N.S.K.
Escola Normal Aaevedo do Amaral - I960 - E.N.A.A.
E s c o l a s N o r m a i s - 1 9 6 1
C o l é g i o N a v a l - 1 9 6 I - C . N .
E.P.C. Aeronáutica - 1961 - S.P.C.Aer.
E.P.C. 'Exerc i to - 1961 - E .P.C.E.
Escola de Marinha MercaXiie - I96I - E.M.M.
Pc ig l i i as
167
169
1 7 1
1 7 3
1 7 5
1 7 8
1 8 0
' I 8 5
187
19ij.
- 6 -
I t e n o e l J a l r o B e z e r r a
I K T R O D P C l o
êate livro de problemas e exeroíolos contém oÔrca de E.OOO a-
xerclcloa, com as respectivas respostas.
E s c o -
E s c o *
ua -™u/rorié;ro :̂rT:fc\":
ias Preparatérlae de Cadete, ào tóLt ° "
Exercito e da Aeronáutica.
a aesas 0,0"::! luHS/'T " ^
estejam na série glnaal̂ ̂ Q̂ entando cureos de preparação, oub-eter e'saee exales dlr ""
AcíeduZ' 'provas de ataissão"!̂ !!̂ !̂ ' ̂ ̂ P̂ -̂ PentaçSo das éltl">»'
2om essas provas, e avaliar <!' ̂ °®saffi esses alunos se
s e u c o n j u n t o . d i f i c u l d a d e d e s s a s q u e s t S e s ®
Esperamos que n?eo valiosa aos Profe3sSres"ls!lí̂ "'° Preetando nma colabo''®'- . aos mestres oue preparai» Pb«ara,ão para osaas
exllcLf •■ ■"*' Paste r ''''''fP -̂Sres dos C..rsc3
-3sad„s°:m';:;,;'̂ r̂Pte, motivar̂ :'p estar esses exames. alunos, na sua- maiori-' ^
Aut or,
I' O T A; A
Sr ° -O" a oardo do
P R I M E I R A P A R T E
QUESTÕES SELECIONADAS POR
A S S U N T O S P A R A R E S O L V E R
^—Í-ÍLLÜT O■—i--iLLjL T o; dato Tavarl""""'™' " ̂ tlclent.' ' « d p r o f e s s o r
trabalho.
° Autor.
H®"
- $ -
FrobleiL-as e Exerelolos àe ?>.tsaátiga
C i To t u e ;
-5"! Á L C L a P. A
':'Ú':BPÚS HCI.AT.t.: crv
í d r o I I - 2 a S e r i e G i -
- F. Parcial - 1953).
4. , f . , ' . )0
(- 2)5 _ (_ 3).: _ 3jn ^
.(- P-)^ - í- 1)-^ + 3)2 - (2)-^
í 1)° I (0,01)^ X (0,25)^- - 2a Se;
n a s i n l - p . P a r c i a l -
r i e G i -
1 9 5 3 ) .
\ 2 y
, - l : 5 / 2 (C.N. - 1952).
- C- 1)^° - C- 1)17 + 250Í5
- 1 - - ^ 0 , 3 3 . . . ^ N
(- 2)2 - ( j)".ar'.
. 0
( - 2 ) '
(I.E. - I95Z1).
Ache a fração ordljiarla equivalente a
( f j " f " ( ü ) " 1 9 5 5 ) .
e reduza a niinero decimal, aproximado a de'clmos. .
C a l c u l e o v a l o r d e ;
' 1 / 28^ . (i)' 0,017
lX-3/2
0,1
E f e t u a r
2 \ - 5
5
^ I ? - • )
(C.N. - 195ii).
(S.N.C.D, - 1951).
- 1 0 -
Manoel Jalro Bezerra
1 3 .
l i i .
1 5 .
1 6 .
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
2h.
2 5 .
26.
2 7 .
28.
CalcUítr̂ o quoclente do menor dos niseros - 20 o +8
Csl̂e o quoclente do menor dos nieros.- 18 e . 9 por (- 3)8. _ ^,5^, ,
oewe o quoclente do menor, em valor absoluto, dos n̂sros
e - 2, pelo dobro de (- o l)"!
ToL: TeTat ^ ^ - 8 pelo valor a.
p-o s i ^e tncoa.7 e o cubo de - 13^
Calcule o quociente da soma fln 'Io stoetrlco da diferença entri ® ® ^
Calcule o quociente Aa ^ ® " 5 ,
s w i r i o o d a ~
CO de (."aflí?" (- 2)-l pela metade do sUneVl-
«Pal a diferença entre oC a soma d?sses dois nm,eros7̂°"*° rnineros staetrle"»
a diferença entre o
q i i o c i e n t e d e d o i o ' P ^ o ^ u t o d e d M « i ' « ools numerog qí-A ® ntuneros inversos ®Paáas os mWree, =^"rloos7
TT , . ,e sWtrlco da dlf °
a"p::::ãr:°.:.-» ̂ o de menor
'̂ volZlr̂ ' 8)-l perna oit"''" ' ' ''Í>=8tar o menor ntinero1^0 positivo?
.̂ r̂ -̂ -̂PaPbtrairiJíVlPOP quanto devo W P-a obter (S\° ,
^lllpllear U\-l^ ^
quanto devo ai /Îvidij. (̂ 1^3/2
a diferença ^ . VV° Produto (, 25 o rssuitad ^' <-1> (. 1, <. ,,3. e>, (
■ 1) (+ 2) (. 2) 7
o b t e r 2 5
(1
,1/2?
P-̂ -a Obter flTS
- U -
Problemas e Exercícios de Matemática
29. Qual o produto do resultado da (- 5)^^^ : (+ 5)^"^ pelo Inverso
do simétrico resultado de (- 5)^® : (- 5)^5 7
Calcular o slmátrico do nxearo pele qual se deve matlplicar o
l \ - 1 " ' 2
I p a r a s e o b t e r o p r o d u t o -
3 0 .
i n v e r s o d o s i m o t r i c c d o
- 1 .
3 2 .
33 a
3 k ,
3 5 .
Quantos anos viveu Alexandre, C Grande, nascido em - 356 e
m o r t o e m - 3 2 3 ?
Escreva, eom números relativos, um acontecimento ocorrido 128
anos A.C,, sendo as origens, respectivamente, o Inicio da era
cristã e o ano do descobrimento do Brasil,
Um termômetro marcava 6°, pela manha, mas, a tarde, a tempera
tura baixou para - 3°. Qual a variação de temperatura?
üm produto de 16 números relativos e' igual a (- l8Çü). Qual o
produto dos I6 números relativos sime'tricos, respectivamente,
dos fa to res do p r ime i ro p roduto?
Qual a soma ^ produto do sete números relativos com o produto
de sete outros números relativos simétricos, respectivamente,
d o s p r i m e i r o s ?
R E s P 0 S T A S :
1 . - 1 1 3 . - 5 2 5 . 2 / 3
2 . - 2 0 l i l . - 2 2 6 , 1
3 . - 0 , 2 5 1 5 . " 0 , 0 2 5 2 7 . U
i i . 0,00005 1 6 . 1 6 2 8 . k
5 . 1 1 , 5 1 7 . - 2
2 9 . 1
6 . 7 1 8 . 0
3 0 . - 4
7 . - 2 1 9 . - 2
•
8 , - 3 1 3 1 . 5 32 0 , - 1
9 . 1 2 1 . - 1 3 2 .
- 128 e - 1628
1 0 . 6,3 2 2 . 2 3 3 .
1 1 . 9 2 3 . 7 - \ 2 3 U , - l e s i t
1.2 c J u 1 , 5 3 5 . c
- 1 2 -
Manoel Jalro Bey.a-ryn
1 .
2 .
3 .
u .
5 .
6 .
7 .
8 .
9 .
IQ.
U .
gXHlES36ES Al.fâ TiPTnftt,
Valor Htjaérico - Claa«iíri«
^ssiflcaçao - Operações
Achar o valor mnaérico áa:
- + ̂ + «O
p a r a a . - ü , ^ = . 3 ,
(Col, Pedro II - Pa «
a - 3 t J i n a s i a l - P . P a r c i a l - 1 9 5 3 ) *
2 + l , P ° r a a ^ 3 e b = i
( B . P . C , d o A r - ■
a b 5 - ( - 1 9 5 1 )( M par. a = 2-1 , ̂ ̂
S© a « « g
=
Calculo o valn-r.
"T°°
p a r a a & « 1^ e b e(I.E. - 1951J
O ̂ alor nWrico -da ernr -
- 3a25 - b5
V 5 ) para a = ,
^ - 1956, ' " !> = 1 e- a5b - aO . 2k
2 a s ^ o- (a..b)-̂ ^^3,a2 ® ̂ =
-1872-2 ^ 2 ^°^5oio^ ^ ^ r
2 , - 1953) ^a V ^ ^ 3 [ z = - 3b " ! " b ) .
^ 2 ) ^ ^ = - 2■r a'^b'I 1
■ ? a 2 ) 2
a = . 2
- 1 3-
Froblfemas e Bxerĉ clos de Matar̂ n'ti r-a
12. O valor numérico da ©xpressão
.para a = a, b = - 3 e . = . 2, 3' dado pela
íraçao irredutível
(I.E. - 1959)
T i í .
l i ; .
Calcular o valor numérico do
b = - 1
ba ^ - ab
1 5 .
1 6 .
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
a- - C- b)-3
ÍS.N.C.D. - 1951)
Calcular o valor numérico do polinõmio
P (x,y) = - + 3x - 5xy + I 3y2
(EbP.C, Exercito - Janeiro, 1955)
Classificar as expressões:
x^ + 2x^ - 3x - 1
p a r a a = - 2
p s r a x = - l e y = - ±
2
- 5x + i
2x - x"^ + 1
X + - + X
- 1
■dl .
e b = 3
* - I —— N 2 . X + 2
x^ + + 3xy
x^ + x^ + xy'
3x^ ■+ + 5xy^ - y3
Classificar a expressão
X 4
- 5x- 4- 2T: ^. ;.i.
O pojitiÕ-ilo, e-\ .>
(C,N. - 1959)
.-•-r 4 4. 3^ , n. 1 c do 2C grau
- l i t - ■
_IÍ5íÍ®®l__Jairô B029rr a
25. O polinSmio, em x, jA + 3̂ 3 + ̂ 2 ̂ + S
IQ. . . .
26. 0 polinomlo, ea x q «, ,2 + ^ ^ ,
B . . . . * 3 ^ + 3 x y + r c
e cooplfi'i 'O s6
-Is hoaogeneos®
■sflT + y*-*'
28, Calcular m e ^
seja do 28 grau. ° P°lln5mioj em x, + px'
Calcular m e p~ 5 aeja do 28 ° PoUnômio, em x,
;2 + X
m x '
tS-
+ + P *
30' Calcular m q ̂^ ^ ^ - CP - 2)7 ° em X e y,
° ® ■!« =0flticiante3 *' oo®P^®^°'
' 2 - S 3 = r a v a u „ « ® W a d e .
0̂ 1. ̂au, ordenado. «
Escreva-0 pQj, . ^e^als a ^[27- "•"■'«••-».».. u. „.... - •'
OS têptt ' (E.N.CD, - 195U),
5 a . 3 , r d e :^ - b . f - ,
"■ ( I . . .
2a2 .. ^ A^'^^^tes ^
b " b m , 2 ® * P r e 3 s S < 5 .
, a
f - T T ? ^
- 1 5 -
.Problemas e ExerciCcloa de Mflti=m.a-Hr.B
5 8 ,
5 9 .
I lO,
h i .
Reduza os termos semelhantes de:
5x2 - |E - ijy _ 53̂ + ̂ -1
Sâ b + 3ab2 - itâ b - 5Skf + - 2â
2 2
Reduza os termos semelhantes e calcule o valor numérico de:
x3 + + 2X:^2 - 7? . (3^2y ^3 .. 7y3)
x=-l e y-2. CCol. Pedro II - 2» Se'rie Glnaslal - p.
P a r c i a l - 1 9 5 Í i ) .
Da soma de 7a + 5b - 9c e IJb - 12e subtrair o poimarnio
5a - 7b - 3c. (Gol. Pedro II - 2a Se'rle Glnaslal - P.Par-
c l a l - 1 9 5 U ) .
U2. Sendo P = - 3a^ + 5ab - litb^
Q = - 9aE - ab + 6b^
R « 6aE + 5ab - 8b2
Calcule - P + (- Q . R)
h3» Qual a diferença entre:
2*2 - 5x + 3 e 2x2 _ + 2 ?
Uii. Qual 0 monomio que d e v o s C T n a r a 2x^ - 3*2
t e r u m t r l n o a l o d o 2 9 g r a u ?
E f e t u a r :
i i 5 . i^ .x2.x Ü9. x^ : x3
h 6 . x-«.x5 5 0 . x2 : x-^
k l . 2x*°.3xy 5 1 . X : 3^
i t8. xV2.xV2 5 2 . - 8x^/^-2 ,
( I . E , - 1 9 5 1 ) ,
3 x + X - 1 p a r a o b -
E f e t u a r :
a^/?. b-ÍJ b-3^. fl-5.b-2.a-7.c-V55 3
5 k , fl ^
55. C produto xV.x2 e' do 6Q grau sg m
' v - 1. b . c o-^. a"V6^ ^2^ ^3/2
(E.N.C.D. - 19Í.8)
5 6 . o p r o d u t o ( i . 2 y - 5 ) ( 3 : ^ ) ( _ 3 ^
d e m ?
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- 1 9
- 1 8 -
Manoal Jalro Bezerra
Problemas e-Exarcfclcs de Matemática
9 8 .
9 9 .
1 0 0 .
1 0 1 .
1 0 2 .
103.
lOii,
1 0 5 .
106.
1 0 7 .
106.
1 0 9 .
11 0 .
Calcular 2s-3 x-2 (2-7-1)
X = - a - 2 e 7 = 10 + 5a - 5a
Calcule o valor da oipressão Aa'
A ' = a + l j B « l - a - a 2
,2 -
calcular o valor numérico rara 2 - i «
pô 3mio<meseaevesomara5x-l!/'̂ "' - ̂ = 2,* iíy - ez. ccoi. Padro 11 - 2a 1' / V '
1 9 5 U ) , G l n a a i a l - P . P a r c i a l
Se o valor numérico da expressão 5̂2 - 2̂ 'w. e negativos, 3.rí o valor afÍ ̂
1 '^ 3 a 3 a
Calcular o valor d© a paraaajQ o mesmo que o valor ̂ 2̂ ° nWrlco de + a + 1
Q«al o valor de m para ni„> 1
menor valor maaárico ? ̂ ®*PJ'es3ao m + ai2 ̂ tenha o
O produto do ^Tm .
^íxlmo te ° ^ Polinôaio do s t*t e r m o s . 5 t e r m o s t e m , n oo produto do u:n polinSâ^ a© s
termos tem, no mínimo outro polWo de
t e r m o s i r t >
- u a n t c " ^ t e r - A '
« p o t ê n c i . d e a o r ?
u m
A f t"■«Io raclon.1 ,
y = . 2
U . i . , " ®
p o l i "
que*
R E S P . O S T A S
1 . - 2 , 5 6 . l i i
6 (y + 1) + 7 p a r a 2 . 0 7 . - h
T - 6 8 . i l i
- (Ba - c) + B s e n d o i i . + h 9 . - 1
- 1 . C l . E
. - 1 9 5 2 ) . 5 . 5 1 0 . 1 2
n . 1 5 0
1 2 . X
1 6
1 3 .
l U .
_7
1 2
12
1 2
1 5 .
1 6 .
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
2U.
2 7 .
3 0 .
3 3 .
3 Ü .
3 7 .
3 8 .
Racional inte i ra do 3® grau, nao homogênea completa, reduzida
e o r d e n a d a .
Racional fracionária.
R a c i o n a l f r a c i o n á r i a .
I r r a c i o n a l .
Racional inteira do 2Q grau, não homogênea, Incorapleta, reduzi
d a e o r d e n a d a .
Racional inteira do 2® grau, homogênea completa, reduzida e não
b r d e n a d a .
Racional inteira do 3® grau, homogênea incompleta, reduzida e
não ordenada.
Racional inteira do 3® grau, homogênea completa, reduzida e 0£
d a n a d a .
R a c i o n a l f r a c l o n a r l a
m « O 2 5 . m j í O 2 6 . m = 1
• m = O 28. m - o e p ?< O 29. m - O e p qual
q u e r
i D = l ® P ^ 2 3 1 . ^ * X * 1
x^ + x^y + + 3cy' + y/i.
® 3 5 . 2 x ^ - x y ^
32. >JT*x + •nJT
3 6 . o
!ua - - ab"^
-. 2x^ - 2xa"^ - iiy
- 2 0 -
!tenoei Jalro Bazerr&
3 9 . 2ab2 - a2b UO. 5 2
i i 2 . I8a2 + ab ii3. X + 1
h 3 . x® i i6 . x -3
pr CO x2 ÍJ9. x3
5 1 .
5 U . al/2b2/3^
5 2 .
5 5 .
- 2xy2;
a a 1
. - 1
5 7 .
5 9 .
6 i .
63.
1 - 6z^
a.5 . 6^3 . 5^-^
i' - ac2 . 6i + 2T
- TiA + - 3^2 ^
cz f 93J + 2
6 5 . .2x5.
67. ' bc3 .
6 9 . ^ - x
7 1 . X - 1
7 3 . 2 x
7 6 , x6
7 9 . 1— X
9
82. 1■ " - X
2 7
8 5 . 1
88.
9 0 . - h
9 3 . X2\3
9 6 . 1
9 9 . • 1
7 U . 0
7 7 . ^
l a .
b k .
U7o
5 0 ,
5 3 .
5 6 .
5^.
6 0 ,
62.
6U.
6 6 .
6 8 .
7 0 ,
7 2 .
7 5 ,
7 8 .
81 ,
2a +.25b w i8c
- 2::^
- 2
3i:c^^
+ X - 6
6x2 + 7x - 20
^ -x^ +x2 + X-2
b - 2a2
3*2 - 3Ç.
X - i;
'̂ '*"X̂ + x2 + x+ l
x^
bc-^
ilx2nrt-2
83. at™
8íi. Bx̂ .
86,
3a + 5
* * 2x , 6
87. x5 . x3
91. 0
■ 89.
2 x + 1 5
9ii. Não
9 2 . 0
9 7 . 1
9 5 .
í l b
lOo, 9 8 . 0- 2 6
101. - ' 3
- 2 1 -
Problemas e Exercidos de Matemat^r.a
1 0 2 ,
1 0 5 .
1 0 5 .
- 1 5
15
. 13^1-9111/1
k ^
1 0 3 . - 1
1 0 6 , 2
l o i i . 0
1 0 7 .
1 0 9 . x ^
110, Basta substituir e efetuar.
- o -
FRODDTOS NOTÁVEIS
1 .
2 .
3 .
i i .
5 .
6 .
7 .
8 .
9 .
1 0 .
1 1 .
1 2 .
1 3 .
2 6 .
2 7 .
2 8 .
2 9 .
E f e t u a r :
+5 ) Cx + 2 )
(x - 5) Cx - U)
Cx + 8) (x - 3)
Cx + 1) Cx.. - 1)
C2x + 3) C2x - 3)
(sxV _ i) (53,5y2 + 1
Ca + 3) C3 - a)
C- X - a) C- X + 2)
Ca + b + 1) Ca + b - 1)
(x + 3y + 2z) (x - 3y + 22)
Ca + b - c) Ca - b + c)
Cx + 5) Cx + 5)
Cx^ + 3)2
0 p r o d u t o d e 2a2 + Í p o r
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
22. Cx^ + 2)5
23. Cx° + 2y^)5
2ü. C3a2 - 2b)5
25. (0,5x2y-3- - 2Ky2)3
b
lii. C2x5y® + 3x^)2
15. Cab^ - D-Cab^ - i).
16. (Íx-V-2x^2
(0,33...X5 - 3y
(a + b) (a^ - ab + b^)
(x + 1) Cx^ - X + 1)
(x - y) Cx^ + xy + y2)
(x^ - 2) <x^ +
/ - 2
2x2
Desenvolva e simplifique:
(0,333...x^ + 6x-V)̂
Desenvolver (a^b^ + c^d^)^
Efetue: . 5(352 - ijb) - (a - b)2
CSeleção 3® Serie - Ginásio E, Guanabara - I961),
(I.E. - 1956).
IB.N.C.D. - 195ii).
(E.N.C.D. - 19/18).
I
- a a -
Hanoel Jalrp Bezerra
3 0 .
3 1 .
3 2 .
3 3 .
C a l c r u l a r :
Ü3cy - U - y)2 - 7)2] - (I + 7) U . y, ̂ ̂ 2 . y2
(a + 2b)^ - (a - a>)2 - gfa + ;,v^ /
, ,, p J, . 2b) (a - 2b) - 2(a - (a-^b)-- U (6ab - a^ - 6b2)
- a ] - " i o , ! V ' ' -
31 * . ( * ■̂ ̂ ̂ ̂ 7̂ )2 - (x2 ̂ y2)2 .
y^)
3 5 .
3 6 .
3 9 .
U 2 .
Oc^ +
^ t o . . 7 e „ o , , , , , , , , , - X , 5 3 ) .
k \ ^ o b t o r f « ^ ^ ^ 5 oAcrescente a direita do cada hi -
o ^
x ' + 2 r
- By
57- iix^ + ^
1 * 0 . - l i *
+ y2m
1*3.
UU.
1*5.
1*6.
U7.
1*8.
Acrescentando ^ ex«r - , + y2^® ®*Pres3ao jl*,^ . i
° 9 U a d r a d o d e x ^ y . i ' 5 ° , b t e W
ÍSeleção 3a ^
CosapUte as Igualfla^çg. "^^anabara - 196I)'
(_
- - x y +
- ) 3 6 — -
2^)3 .
- - _ ) ' « 8 ^ - -
& ) 3 , " — 6 * 2
- 5Í« ,
- 2 3 -
Problemas e SxercjCclos de Matecmt-i«-.«
:>■•
4 .
y t
l o .
1 8 .
2 0 ,
2 2 .
2 3 .
21*.
2 5 .
2 6 .
2 7 .
2 8 .
2 9 .
3 1 .
51*.
3 6 .
3 9 .
■<■ 7x <• 10
- 9 r 2 0
^ 5 x - 2 i i
- 1
iiz^ - 9
a s s P Q S T A S
6. 25zV - "T
o _
0. 3^ - k
9r. (a + b)^ - 1
i p c ^ y ^ 4 1 5 . a ^ b l l -
10. Cx -i- 2e)2 « 9^2
1 1 . - ( b - c ) ^
1 2 . + a o x + 2 5
13. x^ + 6x5 + g
Zeb^ + 1
a5 +
x5 - y5
17. i . a.-'T^a . ç,.
19. Z^ + 1
2-1. x^ - 8
x^ + 6z^ ->• i2r^ + 8
4. + -LSz'V'^ + 8y9
27a^ - 5ija^ + íôa^b^ - 86^
^ zS"5 " f - 8z5y6
4.'' ♦ I a V *3 9
I X® + lixŜ + 36ẑ^
a2llb̂ 5 ̂ 3sl6̂ 10̂ é̂ ̂ 3â ,Md̂ + ĉ d̂®
- 20b ^ 2ab - b2 30. Sxy
3 2 . 0
+ xSA -1. x2yli
1
I6z~2y2
3 3 . 0
35. - 15a^ - 15a - 35
3 7 . 1 2 x 7 ^ X
1 * 0 , i i a . 2 i c V
- 2 5
- 2 i : ~
l íanoel Jalro Bezerra
Problemas .é Ebcercj^clos ge Matemática
Ü2,
U3. (x^ - i
2
iUl. (x^ - x"5)2
it5. (a^ •- 2b)^
Ü6. (1 - 2j^)3
k l . - 1 ) 3
^8. (3 - 2x)3
- 0 -
I .
3 .
5 .
6 .
7 .
8 .
9 .
1 0 .
I I .
1 2 .
1 3 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
24.
LJ-T O R A C g n
Escreva 30b a forma de um nrndnt̂ ̂ .
2 ^ produto de-dois fatores:* * y
2 i
2 + J i z -
15a\5 ̂ loâb̂c - ÔOâb̂ĉ
a^ + a
4. x5 - 5^
+ 1) + b(x + 1)
+ (a t b)
- 6 4
4a^ - 49b^
1 .al4
- 25b^2
(a + b)2 _ ̂ 2
Patorar:
=̂ ■̂101'.+ £5
+ 525
+ 8ft, ̂ 25
litt» j2a
" 31iy + 269
- (a + 1)2
^^.-(b.c)2
"• ^ 3)^ - (3, . ,,2
IV. a3 .
18. x3 « Q
19- 8,3 ̂ y3
20. a3m + j
x2 + .. ^ 5x - ,6
3 0 . y Ĥ - 5 x . 6
5 1 ■r?- --2K - 15 ?a. z^ - 6z^ + I2z - 8
5 2 r + z - 6 3 9 , a z + f c z + a y + b y
3 3 . 2z^ - 5s + 1 iiO. z' + z^ + x + 1
■54. 6x^ - 5z + 1 41.' z + y - az - ay
5 5 . lOx^ - Tz - 12 4 2 . 2 c b - 3 a c - 2 y b + 3 c y
36. 4 - 5 a + 43. a' — b""' + a + b
3 7 - x3 + 3x^ + 5x + 1 4 4 » + 2 3 b - t - + a + b
E a c r e v o r t o d o s o s f a t o r e s da decomposição de:
4 5 . I6z^° - 43^^ 5 7 , + z y - 1 2
4 6 . - b^ 58. Cz - y)^ + 2(y - x) -
4 7 . 59. z^ + 2s'' - 3
CO-:J 25 (z - y)^ - ii(z + y)^ 6 0 . + 1 ■
4 9 . C2m + 1)̂ + (m + H)̂ 61. 4â ■+ Bâ b̂ + 9b̂
5 0 . 62.. - 45c^ + 100
5 1 . + 2ab + b^ - 63. 4a^ - a - + 4a^
5 2 . - 2 b c - + b ^ 64. z' - z^ - X + 1
5 3 . - 1 + Esb •*• b^ 6 5 . - X - 1
5 4 . UB^C^ - a'' + 6 6 . » - 5 a + 2
5 5 . 1 + - 2 a ^ 67. 2^^-3x^-27
56. ^10 ^ ^5 .20 68. 2z^ + 5x - 3
6 9 . ■4a^ - + 2a - 1
QÜESTÕSS DS COÍÍGURSO
( R e v i s ã o ?
7 0 . Fat 01 ar iZsPíP - éaV + ieOa®b" - 9a'̂ b^
CE.N.c.i»^ - 1948),
- 2 6 -
M a n o e l J a l r o B e z a r Ta
' Z 1 -
P r o b l e m a s e E x e r c i d o s d e M a t e m a t i c a
7 1 .
7 2 .
7 5 .
7íi.
7 5 .
7 6 .
7 7 .
7 6 ,
7 9 ,
8 o ;
8 1 .
8 2 .
83 .
e u .
8 5 .
8 6 .
87.
Fatorar 8z(x - y) - 3(3: _ y) ^ ^
8lx^ - (P.Parclal - 0. Pedi-o II
Tr̂sfor„a a 3âantâe:̂.easão n™ p.oíutc ae latSro,melro grau: í - 25^2y " '
Decomponha em três fatSres 167}̂ , ̂
Escrever todos os fetSres do Mr.SMo.
256-/8 - z8
Fatorar: y5 ^ ^^3
9ŷ - ii2y + ij,9
Decomponha o trlnmto ̂ 2 7
blnonios do primeiro grau. " Dl-e^ulo d.
^ - X - 5 6 ( I , S ,
5 » 4 . ^ ^ • 8 a r c i a j . - n p ,F a t o r a n d o - s e ^ " * " ^ ^ ^ r o H
obcem-seDecompor: (x + y _ ,v2 **'de dois fatSres. " J' - 1) - g
® + 5y -t xy 7 55, '̂ •" '̂̂ "Polltanr
" ^ t o r a r a b . " ^ - P o d r o n
- b c
- 1952) .
- 19Ó0).
d o p r i -
- 7 - " • . .
ú - r . - . : ; .
í2^?.C.Ar.
(P. Parcial - n r a,
1-ec l i ' o I I
- b - ,a . blna„,„3 o poi,,
^ e m P
- -̂ b-3 do pri,,,
""Ponha em fatSrê a-
- 1) . Primeiro g:
P a t o r a r 2 ^
P̂cduto gQ ratSres a
t l . E ,
s expre:
(I.E.
'■ 19^0),
- I 9 6 0 ) ,
f a t o r e s
- 1953 ) -
- 1 9 6 c ) .
- 1 9 5 6 ) .
p r o d u t o
- I 9 6 0 ) .
- I 9 6 0 ) .
- 19 í t8 ) .
l o r r j i o :
- 1951 ) -
- 195S) .
- 1955)-
- 1955 ) -
- 1951 ) -
5são :
- l ' - ) '
90. Fatorar har + 9b^ - 25 - IHab (E.N.C.D. - 1951).
91. Fatorar os pollnomloss + 6a - 7 0 - 2x^ + « 8x + 8
(E.P.Co Exercito - Janeiro, 1953 - 30 Ano).
9?. Fatorar Ue.^ -• lia:-: - I5x^
(E.N.C.Bo 3*^ Serie Ginaslal - P,Mensal - Agosto 19551
93. Fatorar - ;5x^ •• T:~ + 27x - I8
(E.N.C.Dc 3 t Eer le Ginas la l - F.Mensal - Agosto 1953) .
R E S P O S T A S
1 ,
3 .
5 .
9 .
1 1 .
1 3 .
1 5 .
1 7 .
1 9 .
2 1 .
2 3 .
2 5 .
2 7 .
2 9 .
3 1 .
3 3 .
x ( x + y )
2 ( 1 + 2 x )
5â b̂ C3ab + 2c - ISâ ĉ )
(x +1) (a + b)
(x +8) (x - 8)
(1 + a"^) (1-- a'7)
(a -f b + c) (a + b - c)
(a + b - c) (a - b + c)
(a - 1) (a^ + a -f- 1)
C2x + y) (Ipĉ - 23cy + y2j
(x + 5)^
C8x +5)^
Cy - 17)^
(x + 3) (x + 2)
(x + 6) (x - 1)
Cx - 5) Cx + 3)
(2x - 1) u - 1)
2 .
l i ,
£ s .
3 .
1 0 ,
1 2 .
l í l .
1 6 .
1 8 .
2 0 .
2 2 .
2 l i .
2 6 .
2 8 ,
5 0 .
3 2 .
3h>
a ( a + 1 )
x^(l - $x)
1 0 . 1 8 .8 ^ ( 1 + + a - " ^ ' a - ^ ^ )
(a ■+• b) (a -i- b -H 1)
C2a + 7b°) (2a - Tb®)
(a^ + 5b^) ía^ - 5b^)
(x + a + 1) (x - a - 1)
(ípc - 1) (7 - 2x)
(x - 2) (x^ + 2x + li)
Ca"' + 1) (a^ - a® + 1)
Cx + 23)̂
(7 + x®)2
(1 - 5xy)^
Cx - 3) Cx - 2)
( x - 6 ) C x + 1 )
Cx + 3) (x - 2)
(2x - 1 ) (3x - 1 )
I 1
- 2 8 -
Kanoel Jalro Bezerra
35. (23: - 3) (57: ■(. k)
57. (x + 1)3
39. (a + b) (31 + y)
ÍI + y) (1 - a).
U3<. (a + b) (a - b + 1)
36. (a - 4) <Q _ X)
38. (x - 2)3
ilO. (x + 1) (x2 + X)
(2b - 3c) (a - y)
. < a + b ) ( a + b + 1 )te. 1,(2^3» ♦ y2^, (2^3=: . , _2, ,
I J i J , ' ^ ) ( a + b ) ( a — b )k-r.
CTx - 3y) (5c - 7y) .
50 f X _p 9(a+ i> (n i2 + n + i )5 0 .
51. (a + b + c) (a + b - c) cp ,
53. (a.b.xXa.b-x) ' ^
55. (a5.x)2
57. (̂ + U) (ry . ̂ ̂ + 5) (x̂ ..
5 9 .
« 0 .
. 2 , , , ( ^ 2
6 ? Í 2 3 b , 2 a b )^2- (c - 5c - 10) ̂ ç2 . .
. 5 c - 1 0 )63. a(Ua - 1) (̂ 2 ̂
(z « 1)2 ,IJ (x + 1)
(a - 1)2 ,3 x + Q ) ^ + 2 )69. (a + 1) /p 68. (g jc^ - 1 ) ( 2 a 2 ^ i M x + 3 )
5̂ V(4b2 . p , ̂ ̂ - 1)6 +"6(^3 ^ p -s
7 1 . ^ " 3 a 2 b 3" y) (8z . 3j
65. (x + 1)2 _
- 3) (atZ ^
1 )
7 3 . y ( i
. __ Profalgmas o Bateroíoiop do
'5-Í Cltíŷ '- + 3̂ ) (l̂ + jb2) (2y + 3) (2y - 3}
76, (y ™ x) (y^ + zy + sr) _ ^^2
■'^c (x - 10) (x + 5)
80. 3(1 - 7)2
32. (z •> 5) (a + y)
84. (2 - b) (1 - e)
86. ■(1 - y) (z - y « 1)
79. (I - 8) (2 + 7)
8i. <2 + y - 7) (i + y)
83. (b - c) (a + b)
35. Cx + 1)2 (x _ 1)
S7o (a + b) (a - b - 1)
89. (x + y - z) (x - 7 + a)88. (x - y ■>• a) (x - 7 - a)
90o (2a - 3b + 55 (2a - 3b - 5)
91. (a + 7) (a " 1) e (2 - 1) (-3 » ^2 - 8)
92. Sugestão: Pasar (Zs)̂ - Zx(Za) ■■ l̂ x̂ , Resp: (2a .51)(3.+
93. Sugestão: Faser por gmpananto fle 3 o 2 ternos, dispondo assln:
s'' - 7x2 - 18 - 3x̂ + 27i
Reapt (I - 1) (I + 5) (I - 2) (x - 3)
H . D . C . a M . M . C .
1. 0 n.d.c. de 5ty^, 151.' e ITx'y^ e'
2. Calcxaar o m.d.c. entre ab - 2a - 3b + é e ab - 2a
3. Calcular o m.d.o. entre a+2ja^-4 © ax+ 2x
4«. Determinar o n.d.c. das expressões
- 1 e + a x - 3 „
(C.N. - 1953).5. Patorar: - ab^ + b^j e - 2a2b + ab2
a seguir, dizer qual o m.d.c. desses pollnomlos. ̂
6. Calcular o m.d„c. dos polinomios: z^ + jdc + i © + i
(E.p.c. Exercito - Janeiro - I953).
7. Achar o m.d.c. entre; (x̂ ' + 2x2 . 3̂ ,) ̂ (̂ 3 5̂ 2 ̂
(C.N, « 1959)
- 3 0 -
Manoel Jairo
- 3 1 -
Problemas 'e Exercícios de totenatica
9 .
1 0 .
1 1 .
1 2 .
D e t e r m i n a r o a . â . c . + ^ 2U A X + 2 x - X © 2 X ^ - - 2 X + 1
(E.P.C, Exe'rcito - 1952 ~ 50 Ano).
o ^
Calcular o m.e r-c.G. aos polinoBjiosj
+ 2 x -
P.edusa a fração J ̂ ̂ expressão mais simples e, a se-
GUir, calcule o valor nume'rleo para a = | CS.Aeronãutica-19à8J
S i m p l i fi c a r :
^ - X, . 2
2 x - 2 2x^ - X - 1 1 1 .
- 6x + 92ab + a^ 1- b^ - c^
I C ,
2xer=l to - X953 - 50 Ano). =2
r s
1 .
U.
7 .
1 0 .
1 2 .
X
X - 1
Í(x + 3)
- 1=)̂ (a + b)
~ 0 -
Si§_L2_Llj_s
2, b - 2
3 ' a + 2
a - b
6. X + 1<2=̂ - 1) (X + 1) 5_ it8xVz3
2(x. i)e(^ ^^(=.^1) (X-^ • 1M2x + 1) D '
2íáSSS_AL2̂CAS
3. 5!ÍX -̂6x2
x - ' -
5 .
a + 5
9 x
5 b
1 2 .
1 5 .
l / i .
1 6 ,
+ X - 6
- 2x^ - 9x -> 18
- 2:.;^ - X + 2
- 1
hx̂ " T.̂ + 2X - 1
2 x 5 + X
a^ + a^b + ab- + b5
(E.Aerona'utica - 19/;5).
( 1 . 2 , - 1 9 5 9 ) .
(C. I í . - 1958) .
1 5 . x ^ - 2 > : - f 1
í-5 _ x->-
la^ - b^ -. 0^ - gbc) (a + b - c)
(a + b + c) Ca^ + - 2ac - b^)
N
E f e t u a r :
1 7 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
x^ - 9
X - 1 5 . - 3 x
1 5 .
3 x 2
(c . iJ . - 195c) .
a + b + a i : + b > :
x ' - - 5 : :
(x + v')^ _ X t- y
^ - y ' Cx y)2
^ ■ 3 a 2
x2 -y2 • -
E x + b - :
( E . N . C . D - 1 9 / 1 8 ) .
- 1
x2 -
Í X 3 y
X'' - X - 6
( I . E . - 1 9 5 1 ) .
X + xy + y2 x5 - 3x2
(E.K.C.D.- I9ii8)*
- 7 x + 1
. 2
x - ^ - o x
2
- x y
x"^ - 9 , x5 + 3x^
X - 6x + 9 x5 - 6/i x5 + Zix^ + I6x
- 5 2 ~
M a n o e l J a l r o B a z a r c n
2 , . -21/U J - SolíiçQo - llovombro, 195® J
2U. Bfetue a simplifique:
itÁ . - «.V .
B f e t u a r i
™ (im + 5b) (lia + b)
»■ iíídir^ •
(6 - 2) (a 4 1)
2 7 . - D a - 2 f t 2 . ,^ - = — í - í â _ ~ _ 2 )^ < a - 1 ) ( a -
2 )
28, _t2a - ?bW xh
(a - b") - a Xa ~ b)h
- 5 5 -
Problemas e Exercícios de Matemática
UO. i-í-̂ - ̂ - 1 _ 2 (x^ 4 1) ■«- 5x1 - 2 2 - x i 2 . i ^
l a .
I í 2 .
3x _ x^ - 3ax
a - X x ^ - ( I . B . - 1 9 5 l i ) .
(C.N. - 1953)x ^ - 1 X 2 - 2 X 4 1
1*3" Sfetue e slmnllfique: Í^-Í-£ 4 ^ — .li + 2^ * (E.N.C.D. - 19SD
a 4 i a - 1 a ^ - l
Ulv. Efetue as operações abaixo indicadas dando o resultado na sua
expressão mais simples
— i 1 ( I . E . - 1 9 5 1 )
z 4 1 X - 1 ^2 _ 1
, „ y 2 ^ ç y - y ^U5. Some as frações —^••••— • -—■■ + —» »—
y^ - 5y + 6 2y^ - 6y 4
s i m p l i fi c a n d o - a s p r e v i a m e n t e .
( I . E . - 1 9 5 3 )
l i6 . S impl ificar e e fe tuar :
X 4 1z^ - X
1 - 2x 4 *2 az^ - a
(E.P.C, do Ar - 1952).
3 22 z ^ X - X y4 7 . E f e t u a r : 2 J L - Z Z _
7 X 4 y x 4 y
I o „ ^ a a 2 a '4 8 , E f e t u a r : 4 4 ■ 4
a - b a 4 b 4 b '
4a2b2
(Especialistas de Aaronáutlea - 1945)
49« Efetuar^ dando a resposta em sua expressão mais simples:
a b c
C a - b ) ( a - c ) ( b - c ) ( b - a ) ( c - a ) ( c - b )
(C.N. - 1959)
50. Reduza à expressão mais simples
b3
( a - b ) ( a - c ) ( b - e ) ( b - a ) ( c - a ) ( c - b )
(E.N.C.D. - 1951)
2 7 7 ^ - 1 4 4 y 4 35 1 . E f e t u a r : - — - 4 ;
7 + 3 5 - 1 6
- 3 ü -
Manoe l Ja l ro
5 2 .
5 3 .
5h.
55'.
5 6 .
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
6i i .
6 5 .
6 6 .
Calcular: —^ " ha •>■ 2 - a^ ^ + Ub + li T7Z
2x5 - Pt^^ 2 x 2 . y - 1
2 5 c y ^ + y
i a2 - 9 , ,2 .
r 5 - ^ 1^4 12a +
a + 2a - 8
^ + §ÍÍ̂ , -2x2 - ̂ 3^
^ + 1 ijx +
3 X
X
1 - 3x
+ jL - 5x +6 x5 ,2
.iSx. 2Zi
1 +
X + 2
2 a \
6x^
a ?
a2 . iy
f 1
2x + 1|
- 1
y^-ii y + 2j-
- 2 ^
- 2 - a
y + 2
2 + a 6 - 3 a
='-i> rrg •■-M-
a 2 ' 5a + 5ta-a2 , ^
a2 . 1 a + 1 "■ a
Cí-2 - y2 ^ ^■ xV
(R.Aeronáutica - 19^8)*
(I.E. - 1955)'
(E.N.C.D. - 1955J'
( I .E. - 1952) '
+ * 7XC - yã • fe-1 . y-1̂
(x'2 ^ _-2.^y -2 ) - l y2 . 2
- 3 5 -
Problemas e Exercícios âe Matemática
6 7 .
6 8 .
7 1 .
X . +
y " X
1 • » x y
1 - S Z . - x 2
(È.P.C. - Exercito - 1953» 3® Ano)
1 + x y
9x t 20 ^ 5J2
x^ - 25
x^ - hx - 5
(E. Aeronáutica - 19ÍJ.8)
69. Efetue as operações indicadas na expressão seguinte dando c re
s u l t a d o s o b e f o r m a m a i s s i m p l e s t
1 -
a - 1
g: + 1
( I . E . - 1 9 5 1 )
a + 1 a - 1
70. Efetuar as operações indicadas na expressão seguinte, dando o
r e s u l t a d o s o b a f o r m a m a i s s i m p l e s ;
a b ^ a
a b ^ 2
a ^ a b b ^
(| + 1) (a - 1)
( E . N . C . D . - 1 9 5 5 )
( I . E . - 1 9 5 7 )
1 +
a^ + 3a - 5
7 2 .
2 - a
a - f b a - b
a - b a + b ^ 1
a - b ^ a + b + b '
a + b a - b
( B . E s p e c i a l i s t a s A e r. - 1 9 5 9 )
73. Reduzir à expressão mais simplest
a - b 1 +
1 +
a + b
a ^ - b ^
a^ + b^
1 -
a - b .
a + b
1 -
a ^ - b ^
a2 + b2
(C.N. - 1959)
- 3 6 -
Manoel Jairn p.^-rrn
7U» Bfetxiar;
75,
î T(M ' (fTIf (5 -1)
Sr ' e iS o Pe3.Ua.o na for̂ a .als sis-
( I - ) v * y + I , a y - a r t a x - a^ ' 2 . p- 3x2 ■^ ac
76,
7 7 .
78.
Calcular © vain.» »i 'numérico de a"3 ." 27
p a r a a = ' ^ ^ 2 a - ? „
2n - i ~~2 + — ~ 8m •>■ 22° - m m C2n - 1)
Calcular (t2 ^ 1Í : ll , ^2) „^ J X = — 5 _
( X . I , q - 1
5 ' J . ; p a r a :X = ifeL+ c2 . „2
(I,E. - 197^^
2 b c y -
p + c5 fx ^°Mb + 0 - a)
1 .
t .
7 .
10,
13.
1 6 .
19.
i - : 2
X - 1
X . 1 )
- 3
a - b
X - 2
1
^ ' y2
3 . ^ ^
X - 3
6 . X + 7
11. 2 + b
9 . X
3 - X
1 7 .
2 0 .
12 .
1 5 .
1 8 .
2 y
^ 1_
X 3
_ 1
X + 2
- 3 7 -
Problemas e Exercícios de Matematlea
2 1 .
2 h .
2 7 .
3 0 .
3 3 -
36.
3 9 .
Ü 2 .
U5.
h 8 ,
5 2 .
5 5 .
5 8 .
X + 2
1
x2 + y2
a H - 1
a - 2
1
X
2 2 . -
X
2 5 .
2 0 .
2a - Zib
b - a
2 a - 3 b
3 1 . 2
23. xl^y35/6
29. I
1 - 2
1
a + 1
X + 2
3h*
3 7 .
X - 1
a^
a - 2
x^ + 1
U O . 0
2 a + 2 x
-
S L - t - á
2y - l i
a2 - b2
+ X - 1
iSi5.
4 6 .
4 9 . 0
a - 1
a x - 1
a x - a
5 0 . a + b + c '
3 2 .
5 5 .
38 .
4 1 .
4 4 .
x^^ 1
x^- 1
2a^ - 3ab
a - b
1
a + 3
4x^
a 2 - x 2
2
1 - X
4 7 . 0
5 1 . 2
b + 2
2
1
y - 2
5 3 . 1
5 6 . 0
5 4 . 1
1
5 7 . -
a
6 1 . ±
5 9 .
6 2 .
3 a
2 + a
1
y - X
6 0 . l O a b
3 a - 3 b
6 4 .
6 7 .
7 0 .
7̂ 6 5 . 1
X + 4
6 8 .
7 1 .
X + 1
2 - a
6 3 . - -
7
66. 2x - x^
6 9 . 1 - a
7 2 * . 2 a b
7 3 . -
a -
7 6 . O
- 3 8 -
Manoel Jalro Bezerra
7 i i , 1
77. q
♦♦♦O»**
7 5 .
t t -
7 8 . z
1 .
2 .
3 .
U .
5 .
6 .
7 .
Resolva as equações;
5x - 7 + 3 X = lox - 2
2 x - ^ \ ~ X + 2
5 ~ ~ T -
3 ^ 5 2 x - 9 _
^ 3 6
1 X - 1 ,
Pedro II »
2 J l 3 ^ X +
2 - 16
P. Parcial - 1953)
(C.K. - 1953)
(I.E. - 1951)
(e.p.c.e. - 195/i)
o valor de «
2 0
1 0 .
1 1 .
. Calcule o Valor de
y Ha
Psdro
Îdação y + y ̂
(E.P.C.AT - 1951'
Resol
I l -3a
V£ er. Serie
^®lao?r
Q l n
fórtQuia. c = Ka -
^^•P.C.Ar - 1951)
- 3 9 -
^ >
P r o b l e m a s e E x e r c i d o s d e M e t e m a t i c a
1 2 .
1 3 .
l U .
1 5 .
A c h a r , o v a l o r d e x :
2 x - Í i , 1 2 0 - X * Z
~ ~ r " - ^ 6 = — H —
(E. Espec ia l i s tas de Aeronáut ica - 19 i i5 )
y . - 3 i x ~ = - 3
2 x = 2 x - 3 < x -
: ! X - 1 2 ( 5 - x ) = 5 _ 2x -i- 7(üx - 5) ^ 3^^ ~ 1 3 6 0
(E. Especialistas de Aeronáutica - 19ii5)
hax + 1 = ax + X -i- 3a
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
a x - 2 x = x - a + 3
2x - a „ a = a _ n Y
^ a - 2 - a x
X ■*• a 3(2a - x) _
3 " h ~
1 + - = 1 - §
a b
b x - a b - a x _ 2 a x - b
6 " a 3
S e a ^ O e a ^ - b , a s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o
2 2
. apos as simplificações, e
( a + b )
T
r
A solução da equação
a x - b - b x - a , ( a ^ b ) e
( I . E .
( C . N .
( I . E .
1 9 5 i i )
1 9 5 k )
1 9 5 1 )
- P. Parcial - 1953)
2 5 .
R e s o l v e r a s e q u a ç õ e s ;
X - 1 ^ X ■*• 1 _ 2
1 + a 3 + a
y 1 + XJi-2. =
m r a + 1
( s . N . c . r . - 1 9 5 8 )
( I . E . - 1 9 5 6 )
( I . E . - 1 9 5 3 )
(s.r.G.r^. - 1953)
- U o -
_jíftPOQl_JaJjo Bczorra
2 6 - 1 = Í J L £ X - a
a 2 - b 2a . - D
. 5J_| + a - ^ ^ X » b I _ aa - b t - a a + b " T T h
Resolver e dUeutlr
X • * ^ .
(E.N.C.D. - 1955)
(I,E. - 1955)
28. 5 + 1 , Z. « 2 . 5x - ii
« 1 2
2 9 .
30. 2^ *J _ , + I - 2
3 1 . 1 + S-Zj ? - V
u
32. 5i - 2U . |5 _ ̂ (E.N.C.D, - 1951)
X -
L
0
33. ax + X = 1
3U. 2x _ a s 0
'5- - 2J , ^ ^
Î etenninap ̂
3 8 . , .3 8 a s « q u a ç o e a :
39, ax » ^
® (x + 1) .
» - - 7 x - 2 - 7 a
( » 2 ^ q u e .^ il) X a ^2 ^ ^
" Tfe ♦ T;»
Problemas e gxercj.clos de t-íatenatica
i i i j .
^6<
Ú 7 .
h 8 .
4 9 .
5 0 .
5 1 .
Da-ierudHia- nek para quo a equação 5k(x - 1) = 6 - 2irx seja
i n d e t e r n i n a d a v
Achax m para que a equação ax + 1 = 2x - ai zeiioR una so solu
ç ã o .
Determinar a c b, para que a equação ax - 2s = b seja detonaiu a d a .
Detenmiar a para que a equação 2x - a = 3a - l tenha uma so
solução.
Qual o valor do a quo torna Indeteraiiiad-. a equação
a x + 2 = a - 2 x ?
Qual o valor de a que torna impossível a oqiiação:
= 2 a + 2 a y
Quantas raízes tem a equação
(a^ - l)x = a •»■ 1, quando a = - 1 ?
Quantas raízes tem a equação
( m - l ) x = + 1 , q u a n d o m = 1 ?
(C.N. - 1957)
(C.M. - 1957)
5 2 .
5 3 .
?U.
5 5 .
5 6 .
Deterraiae os valores de n para que a equação abaixo tenha so
l u ç ã o
2nK + 7 = Üx ( I . E . - 1 9 5 1 )
A igualdade (m + 3)x = 3p + 1 e una identidade quando n......
® p . . . . . . ( I . E . - 1 9 5 9 )
Determine £ a fim de que a equação (a - l)x = b seja determina
(^.N. - 1958)
Para que a equação (2m - l)x -- 3p - x - 2. não tenha solução
d e v e m o s t e r m . . . . . . e p . . . . . , ^(1.^.. - 1957)
Para que i equação 2:í - 3 = ax + 1 seja impossível, devemos
t e r a = / r .('•■. -.o.-v. - 30^0)
- k z ~
j ^ o & l J a l r o
57. Determine os valores de p e □
C5p - l)x + q - 3 = 0 P ® que a flquncao(I. Educação - aa p J f̂ - 3Í1 Serie Ginasit.:! £5/11/53)
58. CalcuJ.e o valor de V
^ a . . ^ P ° - i v e l a . . a ç S o .
(E.p.c. - ExercitT - 1955)
a. 3.„,Se3
61* Sabendo que a e b - ' ''P̂ lãao . Portugal - 19̂ 2)
q u a ç a o : r ^ u a e r o s i m p a r e e
- X V ' e d i s c u t a a e 'b =b^^-a
as aquaçc-ea:
62. 3x - (^ 9x ~ ft
6 3 .
6U,
6 5 . ^
X - 1 —:r-.2E.> 20
(Col, PeâjQ ^
M a r c i a l - G l n a s l a l - ? *
(E.P.C, do At - 1952)
(̂ "' Aeronáutica - I9ii8'
Problenas e Exercícios do líatoniátlcí
í o ,
x + 5 v - ^ - o
7 1 : . > = 0
r 3 ,
7 ' U
7 5 .
7 6 .
7 7 .
7 8 .
7 9 .
80.'
8 1 .
8 2 .
9 X + 3 5 - X
X " I [L:< _ X •:• 1
l + x ~ l - x 2 " x - l
^ U l ^ + = 0
l + x x - 1 l - x * ^
1 7 T . '— ± i - — — = - U = 0
x - 1 x - 2 x - 3
( C . I I . - 1 9 5 7 )
( C . N . - 1 9 5 8 )
Quando se multiplicam os membros de uma equaçao por um numero ne
g a t l v o s u a s r a í z e s
( E . Í I . 3 . K . - 1 9 5 9 )
Escreva, sem resolver, uma raiz da equaçao
(2x - 1)^ "t (3x + 2) = {2a - 1)^ + (3a + 2) ( C . K . - 1 9 5 9 ) .
Determinar m para que ^ ^ = 2x + 3m tenha uma raiz
n u x a .
Determinai" ra para que a unidade scjo. raiz da equaçao:
2mx - 3x - 2(x + 3m) - 1
Quais são ?s valores do parâmetro b que tornam nula a solução da
equação
b x - = O 7 (Exame Aptidão - Portugal - 19h2)
Que relação deve existir entro ^ e b a fira de que a equação
3x ■♦■ 2a - = a + 20 admita a raiz x = 2
(O.K. - 1959).
Determinar k para que as equações 2x + 6 = k — lOx e
X + 3 = 7 - 5x sejam equivalentes.
Determinar m e k para que a equação
x^ + 2iocy - * (2m + l)x seja homogênea.
- l U i -
83. Betermlaar m e k nai..e l£ para que seja do le ̂ au «
« ^ - i h + a = „ ^ ^
B h . s e n j o „ „ ^
rllloar quo a 8qua,S„ (b2 . condição , 1<d<1, vs
Çpes n&gativas. ' ® + 1 apsnas a^ljEite f-mu-
R E .S P Q
1 , 1
2 . 2
k . 2 1 1
7 5 . k
7 . 2
8 . .. 3
1 0 . - m p 7
® + 1 11 .
13. 1
k - Ç
1 6 .
111.
1
1 7 .
T
1
1 9 . 2 a
2 0 . 0
2 2 . âLi^
2 5 .
^ + b
2 b i .
23. - 1
2 8 . lopossfvgj
2 6 . a
3 1 . 2 9 . lodot,
3. :: i
1 1
9 . 3
1 2
15, a
18.
a + i*
2 1 .
. 2b - 5a
2^. a. a
2 7 .
3 3 .
3 k .
35.
3 6 .
3 7 .
t̂eî laada, ̂
— . a ; X a « 1
a g ^
D e t e t - . ' * e 1 .
a = 1 ;
P r o b l e m a s
- k 5 -
e Exercícios do Maternities
3 8 . a = -L 3 9 . m = 1 k o . n = 2
/ i l . K a o i i a v a l o r d e m i t 2 . m = - 2 k 3 . n = k
kh. a = 3 , k = - 2 k 3 . a = . 2 k 6 . a =?t 2
k j r
q u e r
a q u a l q u e r k Q . i f e n l j u m k 9 . a = 2
5 0 . O m a I n l l n i d a d e 5 1 . M e n l i u m a 5 2 . a 2
5 3 . »"-3, P = - 5 5 k . 1 5 5 . m = 0,
5 6 , a = 2 5 7 .
1p = 5» q ^ 3 5 8 . k = 2
p 9 . D e t e r m i n a d a : p 9 ^ 0 6 0 ,
Indeterminada: p = q = 0
Impossível: q p = 0
6 1 .
63.
66.
6 9 .
7 1 .
7 3 .
7 6 .
7 9 .
0 2 .
S e c i p r e d e t e r m i n a d a e x = b 6 2 ,
^ 6 k . - U 6 5 .
J 6 7 . 0
Impossível ~ " 2 ) Impossível Oc = 3)
I n d e t e r n l n a d a m e n o s p a r a 7 2 ,
X = i 3 Cquando é impos
s í v e l )
1
IT
t ^ - a : d e t e r
m i n a d a
b = a = 0: inde
t e r m i n a d a
b = - a 9 f c 0 : i n
p o s s í v e l "■
2
1 3
T
68. Impossível
I n d e t e r m i n a d a m e
n o s p a r a x = + 1
X = a
b = . . 1
7 k .
7 7 .
0 0 .
impossível
8
° ' 5 r
b = 3a - U6
u ~ J - q u r. l f m e r
7 5 .
7 8 .
8 1 .
83 .
ííão se alteram
- 1
I k
u = o/ic - •».
yiàl^-íf.S DB FQLTAÇ03S ]iO 10 aiUU
R e s o l v e r :
1 . r a x -
[ l a +
- 3 y = 0
5 y = 2 2
®ir
s
c
r
\
C
^
e
~
i
r
.
oo•ouoC1<
f-(QO1.0
<p
«
II
M<OíXÍH
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■1 ,ú!. - 1"59)
í l6.
.i2=c + 3y = nI iix + 6y s n ̂
^«terminar os * ^^P^ssível.^ paxanjetros a e h ,
- by . ^ .^0 r.odo quo o slateroa
[3x + 5y s 1
=l=to« l"»' - 3y = a - Janeiro, 1953. 1»
p a r a „ , = P - 3 i J r .
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Í.8. valore, ̂ e . ̂ ̂
C a l „ „ . = 1 °
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( C . l l . I95IÍ
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+ 26y > Q
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055)
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r C " - 1 1 ° ^ i o t a n " 1 " ^
5 J - » e
í & + 3 q u e o s j ( ! 3 . : : . C . D . '
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f o Slole^ " "----ao.^ 9y = 31
„'°(E."---aaao.
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® ®aloí5o 1„ <®-P.C. _ ., , -.
"-'oPolto"" '■ '̂ Utar JvnuGiro, 1955
- i i 9 -
Probleicas e Exercícios de Kabenática
Determine m de modo que o sistema abaixo nSo admita solução.
5 i l . f m C x + y ) = 5 - y
[n (y - X + 1) = 12 - 20x + 2y) (I.E. - 1953)
Determinaro valor de k para que o sistema seja indeterminado:
5 5 . f 3 x = k y ^ ^
|l.y . icc - 1 ÍC.H. - 1952)
Dotorminar Ic e p para que o sistema
5 6 . í k x - 6 y = 5 k - 3 p
O' - ii)x + 2y = Ük + 3 seja indeterminado
(E.P.C. - E5:órcito - 1955)
Determinai- m, píira que o sistema
ÍEDC - 6y = 5m - 3->f« + Cm - 7)y = 29 - 7m tenha una Inílnldade de so
luções,
Determlnor k, no slstena abaixo, de nodo que as equaçSes sejar.
CO incompatíveis
[(Sk - 13)x + 57 = lOk + 8jyx - 2y = 12k + lil ~
Determinar K no sistema
ÍKx - 27 = K + 2
59. U + f5 - K)y - 2K + 2
d e m o d o q u e : . / .
10) as equações seja incompatíveis
20) o sistema seja Indeterminado,
(E.N.C.D. - 19U6).
•60. «í-
Qual o valor a atribuir- ao parâBBtro para <pre os elster«.s
roc + 2ns7 = 1 e
UK + 3By = 2
X = a
y = - a sejam equivalentes ?
(C.N. - 195it).
6 1 ,
6?.r
D a d o o s i s t e m a
loc - 6y = k - 1
W + 3y =
ãotoralnsr k para que os valor ts to
Deterndnar v.i no yister.a
fru- - 6y + 3 = 5it.
.7 (y - m) - 29 - -
-i. -ir.i. v.-ilcrc-j de se « 7 so jar. iqual-<
c ~ i ' c i - j i - .
w«i .« - 3 9, /9)
-
.i;ar£c_l
Para que ̂alor de i, ̂ slster.;a
6 3 . ^ - 5 y = 3I ̂ 2)x Mii - m)y . 1 ,
6 . a s e c u - ^ ^n.4. ^ ®°-"aooes: a-i>.D e t e r m i n a r = ^ + 5 y . k^ ® fM?ão ae b e'c ^ ^ y ® 0 = 3X iiy*
i i 9 . E l = 1
- ^ i -
Probleiaas e Exercícios dc llatecática
_ I
51. n = - ^, p = 5
5 3 . I t = 6
56. k = 5 e P = 20 57. m = 3
59. ;: = 6 e i: = - 1; não há valores
5 0 . p = - o , n
52. n = i;, 5 0 p = 10
5/i, n = - 1,5 55. i^ão há valor de k
58. k = - ^
60. - -è
a. 1: = ^
6 U , à = 3 6 2 c
6Z. ^ 6 3 .
. Indctorninndo IMEOUACSES E STSTEKAS BE THEyA(;8ES DO 1° oun
Resolva as desicnaldadesJ
1. ^ - x> 2
2 . 2 - < k
3
3. ^-9<Y+tl
h .
5 .
6. X - |> H. 7
7. ^ -^" ->7-Sr
8 .
9 .
1 0 .
1 1 .
3x + 7 ̂ 5X 1 ̂ 21 + y.
y -
9 ^ 1 6
5 y - 2
2
< - f
(E.P.C. do Ar - 1952).
( I . E . - 1 9 5 2 ) .
(E.P.C.E. - 1953).
( C . N . - 1 9 5 3 ) .
( C . N . - 1 9 5 5 ) .
(C.N. - 1952).
(E. Aeronáutica - 19ii5).
(E, Aeronáutica - 19i{8),
( I . E . - 1 9 5 3 ) .
< 2x + 1
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5, b =
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Problemas e Exercícios de Mater.ntica
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3 1 .
3 2 ,
R e s o l v e r a I n c q u a c a o :
2 - -2L_ <; 1 l—
1 - x x - 1
( E . r . C . I i - ' . . - 1 9 5 3 )
. , 2 r Kb: + l6 ^ 1 0
_ 1
Quando se nultlpllc&ri •. ■." Tr.embro3 dc una .ir.equaqao por un nuncro
n e g a t i v o , a i n e n u a ç ã o ( E , : ! , S , } . . - 1 9 5 9 )
33» Qual o valor inteiro de x quo satlsfaa a Ineouaqao
5 a .
3 5 .
3 6 ,
3< ?■ 1.1 •>X - 3
Qual a soma dos uois menores niumeros pares cue satisfazem à Ine
q u a ç a o ^ " 1 / ?
X + 3
Qual o menor iiúnero Inteiro que colocado no lugar de m torna
p o s i t i v a a r a i z ( í e 2 x - 2 = r i i x + n i ?
Calcular m de modo que seja negativa a raiz aa equação
Cm^ + i)x - 2r.i + 5 = O (Exame Aptidão - Portugal - 19Jtl)
R e s o l v e r o s s i s t e m a s :
5 7 .
3 8 .
3 9 .
3x - (i. V, 2x + 5
~ ~ Z 3
X
2
X - ^ X + ü.
5 ^ 1 0
X +
Imc - 5̂ 3x -«■ 1
7x * Z ^ 2S
5 ^ 2
^ < 5
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(Gol.Pedro II - Serie Ginaslal - P.Par
dal - 195M
Uo.
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2(2X - 3) > 5X -
X - 1 X - 2 < 12 " 3
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Parcial - 195/1)
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Prohloros e Exercícios do l.'ateri£ti.ca
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y - 3 ^ 2 y + 5
\ : : : V ,
( E . P. C . - E ? : e r c i t o - 1 9 5 5 )- r ~ ^ - 2 - " ^
3 y - 1 . . . U y - Z— T o — < 5 ^
5 5 .
5 k .
5 5 .
Calcular o produto dos dois cenores núneros inteiros que satis
fazem ao s is tena í x> 3 (x D
I 2x> X - /■,!
Calcule os números inteiros que satisfaçam sinultâneamente as
desigualdades a- _ 5 e ac >2 - 5(5 - X)
Quais os valores inteiros de x que verificam simultaneamente
a s d e s i g u a l d a d e s
X - 1 X - i - 1
5 6 .
5 8 .
2 5
J í e s o l v e r ;
3 x > 1 - 2 x
X - 2 < 2 x + 1
5 x > 2 X
X > 2 (X -
3 ^ > 1y - 5
37 - h 7y - ^
X X + 1 / 2 x r - i< 1 e Z j —
5 7 .
5 ♦
X + 1
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X + 2
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^ > "'11
X < O
x < . l , 7
5
x > 5
2 , x > 6 3 . x < 2 8
5 . X < 2 6 . Impossível
8 . 9 .
1 0
^ > T
1 1 . X > 3 1 2 . x > f
i h . I n l d e n t l d a d o 1 5 . Impossível
1 7 . x < 3 1 8 .
- 2
2 0 . 0
2 1 . - 1 9
2 5 . x < - 1 Z l í . -<è
2 5 . x > - |
2B.
3
^ < 1 ou X > 2
3 1 . X > 1
54. - 2
57. ^ 1 , 5
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Problenas e Exercícios de Matenatlca
17. RediiElr ao mesno índice e V?
2 7
2 C
2 9
5 0
(Col . Pedro I I - 2# Ser ie Glnas la l
p Parcial - 1954)
21 . n /5
23. 2^
o u Vb
3V2
Colocar en ordor i crescente:
18. \J5, ^ 0 \/3
19. ^0, ^ e \fS
"ostre qual e o naior:
20. ^ ou- t/i"
22. 2\B ou 3 s/i"
2 i i . S i n p l l f i q u e a e x p r e s s ã o :
X Vxj? + y \l̂
E f e t u a r : E d u c a ç ã o - l ® P - « P a r c i a l - 4 ®
25. V28 - \/75 + 2 \/27 - n/7 VÍ2 Se'rie Glnaslal - 1951).
"■ - ' • ' - * •■ - ' «■>
(E.P.C. do Ar - 1951)
n/ÕÕ + \/lB5 + v'̂ + - 1ÍL \/̂
Vléx^y - vSy^ - - 57)
. 3a Vi"- 0 \P"+ I W?
4- 5a^
31. 2\/J + 3 S/ÍT" -
32. 2 \/F-^ 2vi+\^-
( C . N . - 1 9 5 2 )
( I . E . - 1 9 5 1 )
(C.N. - Í955)
33. V125ÕÕÕ + ̂ A/H + ̂ ̂ ~ 24̂ 2
34. ̂ \/Í43 +\/f +N/Í "
\/V3' : 3I/H
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(Col, Fedrc I
c l a l - l o = - i ) .
pedpo II _
3 9 .
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Prnhlenas e Exercícios de M£tenat_içg.
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52. (\/^+ 'n/B) (\/T - n/5)
5ij. \/3 + N/2~- ^3 - \^
56. v'F. Ve " n/3 . a
xyil + 2\(5 são iguais.
! T T Ê . ^Pi-ove a igiialdacle: V3 - V5 - ^
59. Ver ifiquo a ident idade
6 o
6 1
6 2 .
o 3 .
o i l .
6 5 .
v e r i j l ql i o a —
v i " . v rwT. - y r r v fT^ . vs - ^
. Pot q..,anto davo multiplicar o resultado de
^ V'ir r 3 \/̂ t '.AS - 9 VT/ã? P̂ta obter a unidade ?
. ̂ ouprossão mais slnplea de produto dos radicais:
l / f ^ C B . . . C . P. - 1 . 8 ,
d5 sob a rorma mais simples o resultado da expressão:
^ r - U i 3 ^ ( I . E . - 1 9 5 7 )
v G I . n / 2
Ú dada a expressão \/£~. n/b" .
[;2 , ^ . \/2
„ _ j , \ / 2 ^ s e n d o m e n n m i i eEscreva essa expressão sob ® j (E.ll.C.D. - 1953)
ros inteiros, positivos e primos entra
^ + ÍUS , l/srô - ( V5)' (I.E. - 1951,R e d u z a V o
, 14 ...ire na expressão seguinte, dando'o peETetue as operações indicâ ••
sultado sob a forma mais simple...
7 ^ .
( I . E . V 1 9 5 5 ,
V 5
i 3
6 6 . Ca lou lar a expressão: „ ^ )2 _ .
6 + 2N/5)̂ - (3n/3 - 2n/5) (e.P.C. - Exército ,r 1953)
67. Completar: ^ ^ ^ITI = ^
- 6 G - - 6 1 -
• Efetuar: a"*yj
l '
é u.-. r.̂ero
"ucoro ...
v'̂ = --,7
e) ■ a - \/3)2
®-'-=--E.e7;u;-:-;/ I \ I 1 9 5 3 ; )
Í a\" \ 5 ^ n r .
VaV
nr. r~~
• V a
9̂. Efetuar a<,
-̂ raoSes tnaieaà,, ■
\ /Get? > 7;\ / 1 ' , . \ / « O +* / — —1 ^ r *\ /5L +aTT^ír
f * ã "*■ * + i \/T
'""'"onaten»,. . - 19514)2VS'. - . r-
2■'I- «®=°lvaosi3 ' ̂ =1̂
> \l6
(E«!Í,G.D, - 19/Í9)
Resolva. \/|̂
■^8. r''
"ViJ eo"•• ^ 'lonoM,
'•l^dor
Peâro II . p
Parcial - 195^^)
Ar _ 1956)"■ W
^̂ Glonai.
fc.n. _
7 9 ,
B i .
B3.
8 h ,
B 6 .
8 9 .
9 0 .
9 1 .
9 2 ,
9 i i .
95,^
I95ÜÍ
Problemas e Exercícios de K.atematloa
R a c i o n a l i z a r o d e n o m i n a d o r d e ;
C E . I Í . C . D . - 1 9 B 8 ) e o . a , E , - 1 9 5 1 )
Ê (E.P.C. do Ar - 1951) 82. - CE.P.C^EXo -1952)
k - \ f Z S I - -
1 ( E . P . C . - E x e r c i t o - 1 9 5 3 )
3 3 C E . n . C . D . - 1 9 5 1 ) 8 5 . « - E . - 1 9 5 1 )
3 ^ - Z - J z ^
fE.P.O.Bx. - 1955) 87. «.P.C.ac. - 195®
3 - \ H ■ X V P
1 2 ( N / S + ' v / ? ) ( E . P o C . S x . - 1 9 5 5 )
s j ^ - \ I 3
a ( C . N , - 1 9 5 8 )
\/a + 1 - \/a - i
- ^ - racionallzendo o seu denominador, tor'A expressão —j~ ^ »
i...... (E.N.C.D. - 1958).na-se Igual a
- 1 1
Haalonallzando-aa o denoadnador da fraçao ^
e e f e t u a n d o - s e o p r o d u t o
, ^ ( I . E . - 1 9 5 6 ). \l3 obtém-se
c? + \/3) (3 - V?)
Reduza a expressão mais siinple® ^ ^
( C . N . - 1 9 5 9 )
/T 7*U^ racionalizando o quociente^
2 - ^ s/3 - ^ (C.N. - 1959)
Racionalizo os denominadores e simpimí̂e::
5 , V 5 \ / r ( E . N . C . D . - 1 9 5 4 )
n /S^- \ / ^ ' ^
3 4 .
^ 'í
-1- •a-a-H-a)
, t. ̂ 0TÜ) JBAOjy ■ "Ss-j; ^ e T«n3T f f ^
/t
" OTK S
(8561 - *H'0)
(5S6I - o^TOJf*a - *o'd'a)
(£S6T - oi}.TOjexa - 'D'd'a)
(ÍÔ6T - -xa'D-d'a)
>
I
(6561 - •a'o'i-ra)
^ - • - ,/,0T - -V -.o-a-a)
it0- - .,)9f\7 . , .
T - =
T -g^ ^ ® T'2^_P
Í = -Ti
-9A
sapcpT^nSf SB JreoTJT>i®A "IST
.ILzS- iA
^-£A )' [Z/TTiTrpj 'W~^ ^ T5 ni-ic ODBlTnSS*! O opuBp BT^sja *0?T
;-[0AjssoQ saidiüTS sTBib biujoj b qos opb̂-l
B A q A ^ ^/k _ ^ ^h. 5 ■ A®/^ "5" " ^
J:—'9 5 ' / ' :aBnqaja *6X1
(8561 - 'a'O'il'a)
/ \ /iA '- S^—LÉÍL) ixenqaja "gn 2 + o£ j çj^ i í/\ 2 )
/ ^ ranbTJTidaTS 'ill
I - 2A /pi.A '
(5561 - 'a'DAi'a)
- 21
8I>^ ■ 1-1 /
isaxdafs sTXiui gjj:oj b qos opBqqns
9j O opimp 'aqUTîaos OBSSaJCdxa cu sbP̂otP̂T saoàBíado sb anqaja -ypi;
^ + rrmA
^•"377^15^ T: (556T ~ •a*o'ii*3)
: saxdiaps spaa ■enjoj a qos opaqins
BZ O opuBp 'aquTiiSss obssd̂icIxs bu sbpbotP'JT soo6cj:ado sb enqaja "iix
BOxqBuaqB;! ap soxojojaxa © SBaarqojy
- 59 -
evnraos o
J,561 - »«,„ ZZZ'' = ^2 + q + pA ^ ^
—~A\ -SOT " -A ■ -901 .
ST̂',oTP^^ ■"P 5nos ° ^AL!A
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ST = =9 P -96
SZZBZBZ Q-IXErTf̂ĝ
- 29 "
n
i l .
7
1 0
13
16
17
1 8
2 0
23
2 6
29
3 2
35
38
i i l
kh
Íi5
íiS
5 1
%
57
59
- 6 k -
5 -
9 . ( o . X ) . ^
15. x /3
V V b C , c . V 2
'̂ ■î N/36
6
V?
®̂U Q1
a o
° f a t
Pal3 2, ^ ^
5 8 • Basta elevar
"-ladrado.
6 0 .
6 3 -
6 6 ,
\ Í T
3
2 i i \ j l 5
6 8 .
7 1 »
7U.
7 7 »
8 0 .
8 3 .
8 5 .
8 8 .
9 0 .
9 2 .
9 U .
9 6 .
9 8 .
1 0 0 ,
1 0 2 .
l o u .
- 6 5 -
Problemas e Exercícios de Matenatlca
51, 1 62, aiiNÍã - 2V5 - 6
6ü. 5 NÍH ^5. 13 NÍ^
Ó7. a) 9
b) Imaginário
o ) I r r a c i o n a l
d ) 2 m n
e ) = .
69. abe 70. X = 7 e y = - SVz
72. Impossível 73- x - líi
7 6 .7 5 . V?
7 8 .
X = ̂ e y = 2.\[2.
3\r2i 3^; 2^
íyiõã
12\r^ + 15.
2 3
\Í5 ■*■ \IZ
3
7 + IÍN/3
48 + 12\/Í5
3 -
2 + n/T
7 \/? - à\/5
2
5\Í2" + 2V3 - "̂ 30
2 n/^ + 3\Í^ ~ "
s / r - T 7 f
^ t 0 5 .+ ! y 5 + N / 5 - ^ ^ - - -
3 + \/5 105. VíTB +
2
79. \~1
b
8 1 . 4 - t - ^ ^
7
84. 6N/3 +
86. 7 + 3\Í3 37. 6N/3 - 13
2
89, N/a + i + s/ã"-̂
91. 2V3-H! ^
95. (£-̂ \/3)(T-1in/3)
95. \/^+ V5
97. 3 ̂ y2 + 2 x'5 f 73S
99. \lz - \J3
X - 2
^ - \/5;5
109. 2 +
- 6 Í .
■̂ !£22Lí2i«BezeP«
11 5 . - 2n/3
11 8 . 1
U
121.
123.
125.
Basta
Basta
Basta
'®clonaXlsar,
' ^ lona l iz a p .
^̂ cionaUz;
I2ii.
Basta
Basta
a p .
nacionalizar,
'^cionalizar.
®̂̂ °lVBr:
1. 5x23X s 0
'^ . *«2
1 * 0
ígíÇÍO DO 20 ̂
l/ix2
5 . 3 , 2 3 . - I S c '^1 = 0
= 267:
• / i » 2
8 . v 2 Q f e r a i . 1 7 * I
' • ; . . . . * " - " " >
^3. ̂ 2, '
2plof ^ p1 6 . ^ - q 2 ^ ^ ® s c o i a N a v a l »16.
X TT
^^ncito - 1955)
- 6 7 -
Problemas e Eierciolos de Matemática
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 2 .
2 h .
2 5 .
2 6 .
2 7 .
6x"^ - 17x"^ + 12 fa 0 ( E s c o l a d o A o p o n a u t i o a )
X "
i l -
k - X
X 3
X - 2 X
+ 1
X • >■ 1 X - 1
- 1 " Cx - 2) (X - 1)
(E.P.C. - Exército - 1953)
2 1 .
í i xX ~ 1 ^ 2 ^
Determine o valor dã maior
a
X - 2 X - 1
X + a ^ X •!• b _
= 5
= ~ 2' X - a X - b
(E.P.C. - Exército - 1953)
raiz da equação 3x̂ + ipc - 2 = 0
( E . P . C . d o A r - 1 9 5 1 )
Calcule o valor da raiz de maior valor absoluto na equação
2x^ + 33: - 2 = O
r r r v ^ - 1 = O d S B O d o Q U O B U U iCalcular m na equaçao mx - íx w j .
dade seja sua raiz»
.sabendo <iue - | é raiz da aí.açSo 5«2 - 5x - 1 = O, calcule
O v a l o r d o m .
,;ap o produto dos primeiros uenbros das equaçSes:2 8 . S e n e f e t u a r
Cx - 2 ) Cx + 2) = O e (2x + 1) (3x-5) = 0 calcule suas raí
z s s .
2 9 ,
3 0 .
3 : .
3 2 .
íerifique se - 2 o raiz de 2x - 5x l8 O a - 2
S e n r e s o l v e r a e q u a ç a o
é uma do suas raízes.
ox^ - 6ax + - il = O diga se —
n>i« selam nulas as raízes da equação:Determinar m e p de modo que sejam
, P \ ^ ^ X * 2 ( E . P . C . - E x e r p l t o - 1 9 5 3 )mfx^ —x+l+mj + P*-* *-
. «c«,mir o parâmetro k para que a equação abai-Que valores pode assumir
xo t enha uma das ra í zes nu las ^
(E.P.C. - Exerc i to - 1953)
x^ - 6x + 1:^ - 5k - Ü .- O
I
= o
3 3 . D e t e r m i n a r f c g g '
" 1 ^ ° ' ^ ' ' ' ° ° - 3 f a - H K ) =
"»• Calcule B e p " SelaçHo 10 oientíl loo - 1951»)
^ - 1 . = o 1 0 . .
''• ̂ "ovaloeae ̂
te„i« ,eo a e,ua,âo fa . , 3^, . ^ . O
Achar n
»^ter„ipe, „. to ^ 1). . . . . = Oy , „ , ^ ^ t o . 1 ) , , P , , , O-"• °®terminar «„
» para eu
- ( o ^ 1 > ® q i i a ç a o a b a l > : o t e n h a r o .
+ o . 5^ 2 s o
■ D* + B . 2 .
'®- "Maruiue, „ ~ ° ^-P-C, .
^ o,ue,5„ ^-"0-jul.c.''• '' CWeular » ' »to - i) = ^ ^
'o íeo , " ^ - ,
. r'" ^ ° ^ = O ao® ^ a Í B / — e c r u a « s _ »
tí
1953'
t © n i ^ °
Diodo"^'IWiuiar 'oola e'l
-̂aíaea:e,:;-.̂ o a.;-
ü o n . / „ ® ^ e u a i g 1 ) - O d o m o d o q u ®
^ . "=«• Podrê j;^ - -í- aa el''-"T "
. e : i r : i 9 5 "
' " • A c p e r ' ^ = 0 3 i a e
' « í 4 : , u c e ^ - P = "°"=. ®9Uaç5e ^^^2 ®-P.O. de . 1551)
^ ® ^ l e f t " ^ ^
^ h ü l o j . ^ = O n ã o p o s a i a
à : + , â e ^" ° .aal 9P0 a. , ,
^ ̂ -Aeuale: " "
= O t«
= o
- 6 9 -
Problemas e Bcercfclos de Katenátlca
U60 Qual o maior número Inteiro que toma as raízes da equaçao
K^-3x + ni-l=0 reais -e desiguais 7
ii7. Dada a equação -Jx + 1=0, determinar x + x'̂ e x , ŷ\
c e m r e s o l v e r a e q u a ç a o . (E.P.C. do Ar - 1952)
b) iix̂ + 3n/2 X - IZn/Í" = O
m. Sen resolver as equaçães abaixo, determinar a soma e o produt
d a s r a í z e s :
a) 2k^ + 6x - 1 = o
c) x2 - ox - X ̂ a = o d) to - 2)»̂^ ̂ <" + 2)x - n̂*h = C
U9. Determine os valoresde k pâa os quais a equaç"
C9k - 12)x2 - C2k + 7)x + k + 5 = o
10) tem raízes slme'trlcasj (e.p.C. - Exercito - 1955)
2o) ten una so raiz nula.
tr^ - «"ix^ + (m - 2)x - /a = O de
50, Determinar m e p na equaç ^
modo que suas raízes sejam slr..etricas,
« 2 ,w + 2h + U = O tem raízes diferentes de'5 1 , A e q u a ç a o x + ( 2 n - D * - 1 9 5 9 )
zero e simotrices quando n.»...»***
5 2 , C a l c u l e a s o n a d o s
x^ - ac + 6 « O
quadrados das raízes da equaçao
(I, Educação - 2" P. Parcial- 1955)
^2 2x - 5 ^ calcule a soma dos in-
r2 + 6x - 1 = 0.
53. Sem resolver a equaçao 3Sx
versos de suas raízes.
5h, Calcule a soma dos cubos das raízê d 3X
~ v2 2(a - t)x (a - b)̂ = O calcule a
55. Sem reso lver a equaçao x de suas ra ízes ,
media aritr-iética e a media geoiie
2 i|y + 1 = O achar a soma dos nua-
56. Sem resolver a equação &
drados do suas raízes.
" fh + 3)x2 _ 2(h + l)x h - 10 =0 dc57. Calcular h na equaçao (h ̂ P
m o d o q u e a s o m a d o a i n v e r s o - ^ ^
(E. Aeronáutica - 19u2)
probl'""'»" T^arc^clos de Hatenátles
I9íi5l
en'
a e^ç5„ . . 5j ^
a a . '' ® "■» íos i™ '!
■*—--M„,.. . . ,
i i
^ s t o rnU í i a i . K M i l i t a r - Adn l ssHc •
' a í = e 8 x ' + K x +* ®*Í3ta I, 56-0, de r.odo (^-o
- ^♦ 1 - ® d e l a ç ã o :
^ ® t e r n i n a r ^ ( E . P , . C , A r -
"'^^vereo^ ' - nix . .6l . ® l^adradoc- ^ ^ ~ O) do modo tjue• A c h f t y - d e s u a a > . . / i : ?
í ^ e í r a d * « Í U o a a - á 'd e 3 u j ^ 3 ® 1 ^ i a ç a o + _ _ ^ ( I 0 '
IP^al a 5 ^ ^ = O teniis fl
'Calcular m ̂ ® = O do raodo quõ ® L)
^ que ^s / H - P, Parcial -^ ® o n d i A Í - i ^ a l s . . » - ,
I95T'
6 3* ^^cuiay - (Gol, p«/ " " ^ ^
a ::r° .aa as " " "•
e a : . .^ ® ^ l â r ^ ( E . p J - 3 «
que a " ~ S.Glnnalal ■
a-, ^^"*+0 Sa= raízes ae
^Wal a 10,
+ 6
195''
« a ,
d e . , ^ d a ^ ^ ^ 1 a
^ ®qUacS ^
a) aç2 ^
5 = 0
O c a l C
f í -
O
2 x 2 , d i
d ) 5 x 2 = 0 ° à c s u f l S
=t̂ + x^ ® O 3x2 + t-
. ) X 2 . - 2 . ,
6 7 * + 1 ^ ^ ^ ~ 3 -® ® í i f ç " • O í " ) ^ 3 ^ 2
M 3e ^ aqua,
t » ) « ^ 2 ^ 3 f i + P D . ^ - / t =q u a i . o 2 a x ," ^ l i l a l a a l „ = O d i
r i a , ^ ^ ^ 1 . ^ " i e a ;íai, ' ®°^que ,
"o-que, '
'̂ •''•C. Hbccrolto -
.í'
= O
o
■,l'
6 9 ,
7 0 .
i W 7 1 .
7 2 .
7 3 .
io^ 7U.
7 5 .
7 6 .
7 3 .
7 9 .
6.V.
83.
8/1,
85,
Reconheça os sinais da seguinte etpiaçaoí
as:^ + a^x + a^ + b2 = O CE.P-C. - Exe'rclto - 1955)
CiLlcular n na etíuação hk̂ - jx + 1 = O de ziodo <iue suas r4
20.^ se jan pos i t ivas»
Calcular o menor valor inteiro de n para o qual as raízes da
equação ek'~ •*• 3^ -1 = 0 sao positivas»
Calcular a de modo que as raises da equagao + 3^ + n = O
sejam reais, iguais e negativas.
Calcular o valor. inteiro de m para o qual a equaçao
2x2 + 3x + m = O tgn raízes reais, desiguais e negativas.
Calcular o maior valor inteiro de m para o qual as raízes de
iik2 - 3J, + 1 = o, sojam reais, desiguais e de sinais contrários.
Calcular m de modo quo a equação Ca - + 2x - 1 = O tê a
raízes de sinais contrários sendo a maior, em valor absoluto,
n e g a t i v a , .
^ /i- i/lx.,1)» raízes da equaçãoDetermine os sinais de e Xg {| t_i 2
? o i , ^ h - > O e c < 0 ( C . í l . - 1 9 5 8 )eu x: *2 + tix + c = O ondo b > O
Fornax as equações cujas raízes sao:
2 0 - 5 " • ■ - ° ' 5 " ° ' ' '
(Col. Pedro II - Art, 91)
- 2 / 3 6 9 / 1 6
2 n o o 8 0 . í t
3 ■ ' ' \ / ^ O p P + \ f 3 e 2 —
z ' ( C o l . P e d r o I I - P - P a r c i a l - 1 9 5 3 )
„ /«iiH naior raiz á nula e cujo va-Escreva a equaç.̂ ^o do 2" grau j ̂
lor absoluto da menor raiz e (3 ^
..,^as raízes são os valores absolu-Coinpor a equaçao do 2" ^ 2y = 3
t o s d e X e / n o s i s t e m a ^ ^
/ :5 + \ /2e3-\ /2 ten comoA e q - . a ç ã o d o 2 ^ g r a u d e r a i z e s p ^
dlscrininante, D = ..»••
" 7 2 -
Slatabelecer a ̂ o 2d er„,
1 9 a taoior e 2 + ^ Produto da auas raisfl ' '
yaíeí'
Î'raar a equação do 2o9 rals equação ^ para aona da suaa
n̂versoa daa rafzeg S ̂ ~ 37,325 - 5-̂ q pQ̂ a soa® ̂
' ^ c h e 0 3 i , „ T . ^ C I S . A e r . -' f ' v a l o r e e d e a , a ^
" 3ai + n , Q Q ̂dado se:)a rala ccnum da;
n r . - , . . + i l a r >
+ 8
^ - - 53= + U « 0.
6n = 0 '̂tloT
Cĉ Tj* ̂ ^̂ âlontea no campo r.eal• f v _ , . x
3quo?®
3=^ - 6x + m
t , 2 - ^ " - ^ ^ a i o n t e g
^ = 0 e
^ a i c u i e ■ , « " * Z s - 2■ ^ 9 a n e n o r r a i . , ^ 3 x
29 suhft.^.^, ^^2 da em,«_r
eS
" ^ a J - c u i e T - ^ " ' ^ ^ + 2 = 5 . q t f 'n e n o r r a i . » j f r ^ r . -
^ 2 = 0 .abando <
^^terranoí ' aSo °^^^erenw3 iiina -}
^ 9 t a r ; . u n i „ ' » d a a o d o c p i o « 5 ^
7 x + Q ^ * 9 0 Q q i J J
' ' « " M . n a r t í < ^ í i » 8 s o j a »
2 9 S R r . / , . " l i e m j f t - i ., ■ ° - "38,̂
. t C ' - - ° « e9Ü0 ucia . ^'9rao^ 9 3 r a i ^
^^Ptl,íí ^^293 801., ^ la, >,
, ° "■ a a° ̂ Iplõ". "««p a, "Sroaoaij
=3Uuu, «3 4,3 „ - " r^rtugual'"oPle^ta 4. ^3 8,^. "0 - 8^ .
^ t a i , , > 2
1 B
(V
6 '
«
*
+ 5
ta i i^
<
- 7 3 -
Problemas a Eicerĉ dos de Hatem t̂lca
99. Calcular o menor valor de m na aquaçSo ncĉ - (3m - l)x -md̂O
de aodo que a razão entre suas raízes soja VU.
a ..a ,»aÍKea da eouacão abaixo «xlstao e100. Calcular n de modo que as raízes u» "h •*
s o j a n i n v e r s a s .
^2 + 53c + 2m-3 = 0
101 - Determina,- m, do nodo 4.,. una 438 raÍM. ia equaçS»
Cm " - ax + 3 = O 39̂ ^ ° inverso da outra.
102. os n.ímeros a .e b são raízes da equação em x:
? / s a e b s a b e n d o - s e q u e o q u i n t u p l elOr̂ + 3x + loab ; gin̂ trico do dobro do inverso de b.
do inverso do a e igual ao (C.N. 1958-1® Concurso)
_ 2 ^ o, cujas raízes sao x' e x , for-Dada a equaçao 2x - ^ ^
me outra equaç̂ cujas raízes sao ̂ ̂ ,,
- 2 iPx + 25 = O, Íomar outra equaç̂ cûuo «1Dada a equaçao % - lüJ- aritmética e a media geome-
zes sojam, respectlvamen e, a
trica das raízes da equação dada.
2 £ - O determinar a equaçãodoao ^Dada a equaçao * - ^ ^ 4 4.„^tlea e geosétrlea das raízes
cujas raízes são ss nádiaa ar (c.H, 1959-1® Concorao)
da equação ãada«
- ̂ o«Í 0^ = o, forM outro equa^do 2« gr̂Dada a equaçao X^ - «« 9 nédia aritmética e a me-
oujaa raítea aaja., """"fuada.
aiu goonátrloa daa raí»« ^ (e.P.C. - Erarelto - 1955)
2 12% + c = O ® d i fe -
Deteraino c no equaçao üx -
rença das raízo® seja nove.
C o m p l e t a r : q u ea) A equação incoLç̂leta do 2® grau qu
J °̂ea da e,p.aç5o do 2= 6«u fÔr mia, a £b) Quando a soma das _ ^
quaçSo é do tipo ••••; ■ ,. ^ raízes de ax bx+e=0
n G s e n d o x »o ) S u p o n d o ç q
quando X' • X" <0 f ""d'-p'-C. - teorcíto - 1953)
1 0 3 .
lOí l ,
1 0 5 .
1 0 6 .
1 0 7 .
1 0 8 .
I
•109.
1 ,
h .
7 .
1 0 ,
1 5 .
1 6 ,
1 9 .
2 0 .
2 3 .
2 6 .
2 9 ,
3 1 .
3 3 .
36.
39.
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5 5 .
58.
6 1 ,
6i t .
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67.
68.
6 9 .
7 2 .
7 5 .
7 7 .
7 9 .
8 2 ,
8 5 .
8 8 .
9 1 .
9U.
9 7 .
100,
1 0 3 .
1 0 5 ,
107,
6 e í x
í 3
5
5 3 . - o,ít 5ü ,
- 1 0
56. 3 5 7 .
_ 2á
5
5 9 . - 1 5
6 0 . í 5
6 2 . 1 1 63. f '
65. 6
a ) F o e l t l v e s ; b ) r t e o l u t o p o s i t i v a ; e ) d e
n a l s o e n t r a r i o s s e n d o a n e g a t i v a ; f )
sinais contrários sondo a nal
positivas; g) negativas; h) positiva^. ^
-SI.® d^O* b) a maior raiz e positiva, po£a) Não; porque o produto -g <. , negativo; a maior raiz,
que un minoro positivo e maior do ̂ ̂ ̂ g,em valor absoluto, e' negativa porque a sona <
de sinais contrários sendo a maiorSea >0, negativas; se a <0,
em valor absoluto negativa.
0< m <2-̂ 7 0 .
7 3 .
71 . Ç
> O e *2 ^
IQjc^ + X - 2 = O
x^ _ 2mjc = O 80
X^ - Í4X + 1 = O
8
, 7?
83. 7 .̂ + l8x = o
86. - to. + ^ °
O U 6f
è
1 2
h
2»5
ijx^ _ 3x + 2 = O
x^ - 5x ^ 5 = O
- 7 2
8 9 .
.92-
9 5 .
98.
1 0 1 .
I
* 3
9
7Ü, D > 2
76. x̂ + 3x - 10 = O
78. U8x̂ + 5x - 18 ■= O
81. *2 , 3x + í = O
8ü. 6i^ - 9x + 2 = O
O 9 7 . +
90, O ou 5
93. 1^
96.
99. é
V _ 1e b = ç1 0 2 . a =
lOUa x̂ - 12K -f 35 = O
108. „?-t»=0,a.-o = 0;.-̂ >0
109
- 7 6 -
. Itanoel Jalro Dezerrp
<0; + _ 21-0. £ c■J ® - 3; reals e alnetricas se ~a
+ 17x - e2 .
P a t o r a r j
2*̂ - 7x + 3
SlBpUflcaxj
3 o
* + 3x + 2
5 . t ^ i ^ S n i o s :
Í . 2
7. + 2s: + ig .
'*■
* - fo ^ 9
1- lCt>: + 8
~ + S i : - 1 2
""olver a.
"• -&^ + S:-7<o
1 3 .
"■ (■'-.);^; J"-'»...
c;̂ 0^5' Resolver a Inom,^..- - 5:c + 9
^^~3X.9
+■ lOK - 25
« ■ Ha-lva. a lno:,,a,ào=
* + 3 -
20, 2 . _ Z
i r ^ < i
( 3 , p , n .•-. Ar, - 195Y)
21. Qual rs "■ '̂- ""ii; •■»... "•'■'■"■■ - '»3)-OU minî 7? - - . u n j . 0 y - ^ 2
" ^ u a l Q y - z ' ^^ 0 aaacijjjç^ ^ .
P C s ) s a v . " + H i i 9
~r" ' '-■' ̂ f̂ ndo qû ̂ 2
= 0 ,
25.
2 Í ,
- 7 7 -
Probleias e Exercfcloa
, , ^ ( c . : i . - 1 9 5 9 )^enna raisoa reals o dist intan.
Puy> - 2 n.-- + 1 '= 0 adnite raízesi - a r a q u e v a l o r e s d o p a c q u n ç a o : v - P - _ 1 9 5 3 )
^®als e dc3.l.3uais.
Qoteri
( h
n . - . . i t a i i e a n e n t e à s d u a s 1 -03 valores do x que satisfâ en si-tul
^ ® 1 * i a ç S o s r . . 2 - ^ . . V ( C . N . - 1 9 5 9 )
" u i j a . i . f ^ a a i s , A .
-Unar 0. valores do 1:^-1 P»ra °
- Dx^ - 2 0. - l)x . 31: - 3
* a . . « B 1 -
q u e
- 5?: + 6 > 0
x^ - 9x + lit < 0
RES P OST^
C2,,
'• ia
1) fa - 3) . l^x) (3:- -
.1 :5
2
^ Ĝ tlvo pai-a I < X <1
9 , n o n i t i v o
l l . - " ^ G G a t t v o
13 ' ^^IquQv
/ ^ ^ i
< - •̂ ' o u ; : > i i
< 1
i
1 3 <x
^ " t X > 3
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6. Po=l«vo - 3 ̂
C . ^ 3
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•Trtrat'.vo P*-
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ĵ 2, inpaŝ "̂"̂
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■ISi&t - -a-O-M.g) ° ° ^ ♦ 2*8 - JC nsoTPM
ZTBJ Bum B BT^ 2 OBSwibe v ZTBJ Bum B BT^ OBSBnbB V
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1 .
3 .
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- 8 0 .
í̂S22eUairo.̂ ^
2 - = 1
k . T r -* ' • V r a 2
^ = 3 - v r r i 1 + 1 = X ( I ,
^^*®»"Í95SR ft /—= 5 - * V S 7 „ - g
V^+ X ^ 10
( E ^ N » C , D o
k 3 «
= O
~195̂
- 6 1 -
SISTEMAS 53
1 .
R e a c l v c r i
^ X -i. y = 5
1^ = 6
35^ ~ r. 8
X V y « ii
R o s c l v o i ' o s s i a t e n a s
2 .
li<
s2 -r / = ffi
1 + 7 = 7
2̂ + y2 = 11
•í j « y « 1
L (E.P.C.ir - 1958).
redutível. .o 2^^ ,.2 s 10
7 .
9 .
U ,
! •
3 .
5 .
7 . ,
9 ,
U .
- y^ c 16x 2
~ + a y = 3 1
9x2 + 2y^ = 17
IXK.̂ - 5y2 K - 8
+ 7^ = ^
x 2 . y 2 7
X =ii§
y
(E, Militar - 1937)'
2K + y = 7
+ SJy ^ h
6 . ] .
8 .
I C .
í7 ~ ^
X „ i = 2
S 7
1 ■. i- - 16
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+ y + X7 ®
2 e 3; 3 6 2
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x » = l i a y ^ = ^ 2 •
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■5 . A s w o a l a é I ' 'ŝldadea de JoĝpSoT "'̂ <"'̂ 3 anos a «ad» 'J
J f q q p f v ^ ê á 0
SotertQ teia pi ' I'ladea ten agora -i)
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g ® 2 0 3 Q J . ' - © o 3 o g u n d o 1 5 »■ ' =°oa aas 1,1^ ™° da idada do
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Bual°' T r̂'̂ "' »PaaT C3̂ S1Í50,00. ̂^ 3 ' '^as =na d«e o aSbro do ao<. O'- a-a°r»». 0» ol ' ao ,uo d A
& Í Q _ ^ ^ t e u l ^ t o i a ç ^ a l ' .
^ t i 4 ( ^ h á ã » á C o n t i d a n a . 1 *•-^C • si?? -.«,. "•• S-"- "'li'
' ®^cui ® Cr8O,50.
"^^onámoro de <
. fn.V. -
.22.
13.
l i t .
15,
16,
17,
18.
19.
20.
Problefflftg " Brarcfelos de Mateiaatloa
len-so gaimnas e caseiros, « todo 21 cabaças o 50 pía. Qoaa
tos animais ha de cada pedro II - Artigo 91 - I9ít9)
' 4í-rt há viaturas de it 2S
Rsoolver o seguinte í)roblena: líun depo- i -«das. Quantas viajas 6 de 6 rodas, ao t̂odo ilO via^̂ ® ̂ ̂ 1-
âŝ ^̂ de oada - XalPo. 1955. 1» Ano)_ ' ; , h o r a s , t t o a d e l a s , a ò a l n h a ,l̂ as torneiras enoheo un tanque ea Ü outra, sozinha, en
anche-lo-in em 7 horas. Em quantos (c.N. - lí^2)choria o tanquè ? ^ ^ ^ horas.B»
Üma tomolra enche um tanque ea 12 o tanque ?tmantas horas e minutos as duas Juntos ̂ ̂
^ols operários fazem, juntos, um dias o outro
sozinho faa esse trabalho em 20 dias. En qu
também só, o mesmo trabalho ? gentidí, -de
iJois ó^elos partem, no mesmo ̂ ue tâm. velooî
2olfl looals A o B, distantes de 6l03, pg^gunta-se 'V^̂ °
respectivamente iguais a ̂ gípançar o outro 7tompo leiçará o que partiu de A para ggntldos opostos, de
Ooi3 trens partem, no mesmo „gptlTamente
2ua3 cidades A e B, com entre as duas c
6oian/n e 50km/h, sabendo-se que a a se encontrarão ?
e 530km, pergunta-se a qvie dlstan ^ p^^
navio parte de um pSrto^com aesmo pôrto,
h°Pa); auao horao e nela de 12 ""'A'
© no masno sentido e com a ^ nrimei^® '
IPantas horas o seEun<3° aloonçara parte do A pa"
®P«= cidades .A a B dlstan de ZOÔ - ̂ „ «as ̂
® un tren ooti a velooldada do 5 ^ valooí
'^P'aa, parte de B para A um | o encon»» ,»°P hora. A que dlstSncla da A dar-aa- (a.K. ̂
t P a n a 7 a r t a P « ® ®"h teeuanto do reta AB nade 1 Ssl̂ ̂ *°»tronor
°©C1 a velocidade de 10 metros P .̂ gípcldade
E 5 ? . r S * ; . * . . : - » ' •« - « d e B p a r a A o u t r o*^^to. Calcule a distancio de
- B k -
- — p g a e r r a
23. Uh míaoro e' cotiposto de tvSe ,
'isno daa unidades e o dobm cuja coeü é 18
a sona do das unidades e ° centenas e o das dezenas' ^ a l o . . ' n o r o .
^ s o n a d e d e l s a l a p . . . - ^ 9 5 2 )
0 a l g a
0
■ « " t e n a s . ç „ a l o r o ' n o r o ?A s o o a d e d o l e K . i r .
algarleno. aia, ^e un nua^j.^ . o e,-,i ' ^
- - t e '
d o u n
^ i o i u e r o e s c r i t o c o n r . s o d g e o s h p^•- ""olva 0 se6,al^te ^ =le®lsno= 7
2 6 . o t o t n < > l E u a l a 3 á / U 7 a . n u T S
no! f '='>tlào - te&eito - 1955)
p S ^ õ r r n i " ^ 2nuEero dlviaid„ ^®"^ltsnte ^ ^o^^^-T'-'^o-ne, ao° " - - 0 d e ^ 0
aiferenea " jola ai° ^ 9- Oolcul®= - « - " - - 0 d e d •
■ . u e ? : s r ° ' — -t e i j ' r ^ n u c s m f ] _ _ " • t r a o r d e m  - r / - ' i r t < ?OS dezenac .i. > ® 36«Calonla-l'^®
' . , - . . - i n
- u e T r S r ^ ' « -C =--tlv„ L;::;'>®3e„ee do^0 nunoro dr. ® igual ao
_ou vaso há âoze n*. ^'^"iades desse neci
1 - 1 t r ° ' ' ^ z . v r - '- ).cp.. ^ ^-11= r-- m.oe::r:L:Ljp:.
' - 1 9 5 9 ^
2 9 . . ^ o g u a o
horas
• —•-.. ,.,4,...
« • e í i « ^
».. *■""••«17
eh-
' ?■•)..,»«■ .,"'•"•
'.Ví ~t.s »-77,!-..., .„. """■ *•" '•*"*"'••....i «r:r- rr:.:r .-'•■•• "P s
I o b a i v o/ - U A c h a r a
r e l oo V
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P r o b l e m a s e
- 8 5 -
EiercíclosJeKatema^
ti t; .q P O S T A _3
P r < O B L E r . « l e J a^ ^ ^ p ^ o ã a t o ^
ĉtevtiino dois nunoros ouja sona ̂ p̂.c. - diferença15). SoluçSo alcebrica. ^ | e ^
uiíneros Ini.olros estão ^^.33 o - 1955). . a . a ^ c e l o 6 e 5 ^ ^ ^
m u i i c r o s » _ i o C 0 5 - ^ 1 0 5 1 )C l- a i
Q u a l
U i u j .
o
k .
5 .
6 .
7 .
'Qüs quadrados oEcedo (F;.?*^» " j ,to é ^ ^
o - T H í i L i c r o s » i 2 o , i v 5 l )
nai,,r -ie dois nuiioros cui terinii"^
..... 1875. ! . i9h8)
soma do .duls
n u n e r o -
CE]Q do
s ã o
l875.
; -00 0 o (B.ÍI.C.P' -í T ú n s r o s c j - - '
A
QUai;
d o i s í T Ú n e r o s c i . . o ^ ^ j ^ q q .
.0 dolo nú..o.-o. e ^ a
s a o o s n i t m o r o s ? á 2 e ° a o l s
'̂'1 o menor dos dois minei'ô^ c" -ezen»* °.e g unidadê.
^ diferença do dois mnioros e ̂ âdo -pgitivos é kl»®^os, Qo âle eccced© a r " ^ ^tivos. ■ '
l dos quadrados de dois3̂̂ os, sabendo-so cju
n u n e r o s , d o o i
á 7 a f f i . H . C . D . - l ? .A r v ! ' ' " " T ^ -
2« Ó 7 "ttaoPOE i l,
0 pmúto' ^ '«1= qaateada ao
daa El!a!f' ̂ 1S»1=00E da „„ . ««". " 1955)«Wvo da 3d Pbteraooa u„ focando a p.^• Deteradnar m, _• ° raSasro a ° ®®®po qua axcsdoopri
aêatâraJr fi' ««»la»„a, ̂ aqIPvaraa. "«s 53 Woclaote T®'15. isual ao rxi^ í»; a <mo o produto
"• «car̂ aT'
: £ - • : - : • - I S " - - - S -
Í" ® !-*"• Í ^.T™"' •'•»■"
tSa a • ° d ■«« a
® ^ t a 3 s Q A e s o a v a d G i r a' ^ ^ ^ a n a " ^ ^ 5 * =
■L ' ' v l a ^ t a l ' ' '1 , . ° ' Õ : t a r i l • ' ' ' ' ' '
<a"::::-á «naida a""'"'" ??"
? - 1 9 3 6 )" ^ r o d a , ® ° . ' ^ ^ t o r i ^ U n a a o n uP o g , ^ 2 . c a d a ^ a o . . . .
c a d r . . . * ^ 3 9 1 i . k - *
©
1959*)
S 0
?
®oaa, oada
' o n u n e r o
>P^3»Achar■" 1 9 5 9 )
- 8 7 -
Problamaa a rmr^-^'^^"'' Matsaatloa
20.
2 1 .
2 a .
23 .
2ii.
25d
26.
27.
blodoxat. d, « a.800.00 devdu dÜ
P a p a i s q u e c o u t r i b u l e m e m p a r t . » d . » -
alatlram, a quota de cada un dos cFutr _ 1958).Si 120,00, Quantos eraa os repasas ?
é 0 número que, dlalnuído de duas unldad ,
^03? absoluto dc sua terça parte 7
+ftTca parte « ig^l^ e o nimero cujo valor absoluto do sua® 7 menos o dobro desse laesno numero 7 ^
, Qual o numero2or OQ equação e resolver o seguinte absoluto de seu dfi
ó 3ainpi.o igual à direrença entre o
e 1 5 u n i d a d e s 7
1 g o numeroem equaqSo e resolver o seguint" '"'"̂ '̂̂ntre o seu trlplo e
® tguul ao valor absoluto da diferê ?
^ Iffildades 7
1 , Qual e oem eciuação e resolver o segulPt» ̂uninuído de 15 '« 1̂ ao valor absoluto de seu dSbro . 1955)
, o valor absoluto
n * 4 n t e p r o b l e m ® ' « a r t eQffi equação e resolver o segu ognos ®
parte de um minero é (S.N.C.P. '
njeamo número# Qual e esse n^ gerta
^ Betlro®"®® gguidatonol oor-tirUa 100 litros 6® '̂ p̂or ««"/' f substituí
'•-f'tldad. da vJi>ho, oue íol subst̂ taubo» sIrcn̂ -se lgt«l quantidade ̂ ̂ ̂ .tiraaod de ̂ ,58).
P<yi; agua. Quantos .litros f puro*
'̂latura íirial contem 6h litro® àe
«O—
l .
k .
75 a : r
R ? SJL2S T A_£
a - s
5. i^''*
6 .
.íí̂ 22L£al£o ẑ6rra
♦0*
7 . 6
1 0 , 5 6 i ;
8 , 4 e 5
9 . 7 e
1 3 . 2 6
11 . 4 0 3
1 2 . i j e
16.
14, / j8
16 h 1 5 , 1 0 ! i
19. ^ i»8,00
1 7 . J>Wh
1 8 . 18 d
2 2 , 3
2 0 , 1 0
2 1 . 3
2 5 , 15 ou 5 2 3 . 15 0 «. 5 a i t . 6 0
26. 2 ou « g
27 i . 2 0
- 8 9 -
e Esercíclos Katematlc» —
2) r, V OMETRIJ:
ÂNGULOS
angulo mede 65°. Calcule seu coDplenento eo graus ® ̂
Ângulo DQda -- ««u suplemento em gr
<ios.
3 « A
®rigmo mede 5LU® 2h* • Calculo
*^03,
U. » .
^ g u l o m e d e 9 ' C a l c u l e »
Plemento e replemento.
g r a u s , o c c
^ g ^ g u l o e
l .
a .
3 .
calcule seu complenento em gr.u. .
130 colete .eu supleuanto e. ̂ au. .
„ ,eu replemento em grnne. grs
h
■ h
^ e u i ,
l a l
® c = 5 x .
o X S 30®
— 6 U J . 0 m e ú G U U ^ 9 ' 3 b " * o a x t i t A J - ^ r
'lamento e replemento. ^ peplemeu^o
^ -̂ar, em graus, o complemento, o supl^ e u l o 3 8 " . s u p l e m e n t o s• »o.o ,5,9a sr. ==.X0Ular eeu =»ple»ente.
^ P l e m e n t o . o c o m p l e -
"> o eupieoGnto e o replemento dess ^ ^ ^ 2,,
-SUIG , 3,0 ,5, ,o„. caloular ee -sulo
= 5 x . â n g u l o A * 2 *
30® 18 • iiO". Calcule o sií̂l®® ̂ ̂ ̂âzes menor
o complemento de um Ângulo cuja
^ 1 . . ^ " ^ 5 ° 5 » 2 0 " ? u s .
e ̂ = 0.5 gradoe. ̂ al o suplenen o
lê. ^ ^^^0, ,,Gnor do que A •? , a
d o i s â n g u l o s e 9 , a
3^ '^^^PlGmântos, em grados '( ' zq 6 gr* ^
. .o Ânfrulcs ® '
1 . s u p l e m e n t o s d e d o - ^ t e t l o r e s* L . ^ ontre esses ângulos ? lados ® ^âsses
I f e i ' c i » . A ^ - í j ^ e n t e S i o n i e ^ o 'Otti T. omga entre dois ângulos - possui
reta, é 2o°.5. Quantoe nlnutoe
? 8 l O 3 - i i " '
U O p o s t o s p e l o v e r t i c o s o j g t a S
V . ^ desses ângulos ? o, Como sa
9Ue opostos pelo vertlce some®m̂am esses ângulos ?
^5.
0̂1.
9 0
17.
18,
19.
20,
a .
22.
2 3 .
2 í l .
2 5 .
2 6 ,
yj 27.
28.
2 9 .
J í a n o e l
J
■ i o st«is q.ic a s^ra° °alQr dêsaes Sngulos. -'--.rnador.
to. ^ ° que ausentado de 20» ' í - -e i^al. ao seu cffr^p-O^*
o ^ .
O a n ^ Q _ , . . . d e ! i O " .
suplemento ? seu ccnplemento é a
Por um ponto p de it-,=
Calcarolts -3== laao > r, -«. «pressas aj, ĝaas, 33̂? ionnaâs sa-jEndo-se 1"»- -eaua, « E ŝus a ̂ ' «nsaautivos.
duas horas ? ^o angulo agudo m,
O u a " » p o n t e i r^^1 a medida
í r â i r , „ e a s p c t e i r » ^
de seü
oua®
gliSS
: o sS i o t '
S p m a - ' '
» » " 0 r a a 5 o s S .° '̂ r̂o âo oi 1 ̂ ̂ Buios?̂ ° «xceaen os ̂
seu su.,1 *®Pleaento de
^ cr '"T""«nsuio cuios ê.
ÒO
COD?̂®
sao igü̂ g an ̂ ®̂ Plemento m° «ESI. -«-ootaao ao sC
3Ppiaoento ao 57°°''° ̂ °»taao ao r̂ -"-
Sng03,„ ̂ ̂ ° '''' "̂ ^Plooooto 7"" «ceoo^otao. - - =^0 «Jaoont,
&0
Jipp
ûo
- - s u x o s a 6 ^ " = " ^ 0 7
°-C!s ir °d e u a „ o e r t ® I g U a i s a ^^ ponto o "
e e. .7:1
l;a fig^ ̂P o t e , » ^ - - * ^ ^ I c u T n . , ' ' ' ^ l o u l e . o a a l o r
7--.0;. ̂ ̂ ̂ 0. ,,7-oa rpotaf- ̂
^ - - a a o s
V ° ® > P a r a c a d a U 2 i a
êuTa 1
3 0 .
31.
3 2 .
33.
3ii.
35,
36.
3V.
58.
59.
íiO.
S e b -
S e
^ ^ 1 ^
rroblenaf « acorcí̂ -tQs da Hatenátíoâ
a - 20°, Achar o nonor dos ângulos.
® ~f !> ■ Achar b. maioJ^ cpal
8e o dobro do menor e o ccmpleDento da 1a ^dlda do menor ? = í^ .+ U2. Achar h
Ss expressos on graus, a = 5i - ̂ 0 e b auülementares
ôve qv.Q aa blssetrlzes de 2 ̂-gulos adjacen oí o r m a m u m S n g u l o r e t o , >■
que as bls?-=tr:.zí̂ s de 2 ̂ .gulos opos
■h n â n g u l o t . : ' 3 Í o i v o l t a . • - - - « õ n r ®
-As bis-
m a n
As ■
t a s
As bi3
- ?' angulo ;,:oio. volts. ^ guplementeres sao rS
'IssetrlzQS de deis ângulos adjacente- o „ „ = k. " 1959)'+ i T ^ a u s . f E . S . o ' 'es que formam ângulos nedlr.dc — nentares formam
Msootrizo., do dois ?nedlo= adjaoenres =®P ̂ ĵ g. . 1957)-^ ângxao dc f'raus. ^ículares são --^
Sngulos do lodo« rospoctivanenta parP®" (j.E. - 195 •
E îses dP
ôve que o ângi;lo formadc polas^^oentes 4 Igual à senl-somc desses <> mtarloi"
n . - e d u a s e a s « " ivórtice O do AOB traça»--® ^ .
'-Ti _ ÍT:!; n POB
^ o l o
e
d l f
-- - -= -- .-7éSÀ,
®. Prova qoa, se àSí = B$=, °
crença entre os ângulos
B R a P oJJJ^
^̂GULOS
1 .
5 .
K
5.
6.
7.
9 .
U .
: 0 e
2 7 0 2 .
[ ° 30 gr
Í50 315° 50'50. 2i;„ , 135O 50. 2h' i 22-.
59' 22-. j 179O 591 22" i 559
c r, U k ^ c B g r o ^ z W i
70
89
64
. íji i ' ' 5
171° 52'
9 0 sfc
35IU
69'-'
g r j
5 2 »
3 1 ' ,
190j6 gr; 390(6 gr o
- O "10:1° XÊ« 30»3 173° ̂ .̂ 0 5' 2»"
"̂̂■'.■97::
' 2 0 - '
S r
l ^ e
l A r Ô
l - í . ' ■1 2 -
L
1 3 , .5U® 3£i 2̂ «
l i i .
17 .
2 0 ,
1 6 . P®rp0ndlcmaa.eg k7Q5' 1 5 . 319° 28' 2 8 "
1 9 . Íl5° 20n UiliP
1 8 . hh°50'
2 2 . 60® 72°
9 61
25. 36® 23. 750
2 1 . 59°, 60°
28. 56® 26. 60®
2ho l l \ } ' ° 0 36°
31. 1^° 30» 2 9 . 120®
2 7 . 30°
36. 90® 3 2 . 30®
3 0 . 8 0 °
3 7 . k 5 ° '
3 3 . 130°
38. Iguais ou supl®
, j n e n t a r e s .
>>««
' : •■ i s " "
® ^ ^ 0 8 o b f , , ^ ° r n i a d o s ^ ^ *'• Üa ,io . ® ® ^°í2il gp^r ^ paralelas cores'
^ o v a x o . a o . Í 0 '
" *■ * 7 ' p a r a l e l a s ,
*^^3 parai doig " * sraua © minutos,^
Ç 3 6 c a n 4 . ® l ® t e Y . A i
Paj-aiç, ° 3(5®. ^ ®*^6rno3 formados
^ . . ^ ° a e n o r d o s s o s ^
^ o s . e 3 6 C ^ ° " ,
P a r a i e , ^ A f o r m a d o s°®^'®apo^. ^ .. ^ ° aenor dossos ^
v!^s ^®PC ^ t^
M e q * ^ T i « l o i s a n g ^ ' '
""*■ ■ "S;*""- •.iit'"""" ""i.
D fl V o V ^
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Problemas e teercie-'^" Matematloa
6 .
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Sg
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10.
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13.
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14.
Calcular o
© O 4
S e
S e
Se,
U ü a
a
d o i s
ânrulo foraado pela. bleaetrlze. doa Sngulo» £
C - f = 6 0 ° . C a l c u l a r h .
& ® 5 h . C a l c n i J ^ c .
soma doa ângulos agudos node IZU t âhar _ ̂
i3 üngulos colaterais externos diferem̂ ̂
> axpreaaos era graua, d=2i+10®°
C-r ^ e g ® 3*«^reoEoa eia grau9, a = 5- ^ - foroum ângolos
retas r a 3 cortados por uma ^ © 53 - 20.
alternos Internos, expressos oa graus, F
■^̂ Icular m, para que r o 1 ̂ ejam para
retaa paralelas cortadas por una poTS^03 colaterais internos quo podem ser repr ̂ ,551).® ̂ + 10°. Calcule o manor  ŝ es angul
r e t a r i n t e r c e p t a u n a r e t a ; 5 / ? ?
quo diferem do um ângulo ^^^„tares « '
forma com x ângulos agudos comp *„galos ̂ 7 *
A " • , c a l c u l e o s e ^ B 1 9 5 I ) .r e t a s r e s s ã o p o r a l o l e f l - ( ! •
®®̂ endo qû 2x 7 7 + z ••= ZÍlO°.
fi g u r a 5
RJ_S_PJ-
jSgPLOS - PAHALELA3
o l/i» hS"^ de 330 © íi do 1^
^35.96^
7 0 ®
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3- 22
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7 . 60°
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16. J0°,■joP.
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o angulo do
^^£1 - íjUANGüy.q- — 6 ^ u Q o v e r t i / « a A
- a e . 0 3 ^ 5 -
" " - S U l o s Í 3 . . '
35°
^ J o i r r " "
°- I'arcf""" -̂ -=«133 .eae
í . . r Z Z l l T^ tnSnpüo rets. , ''° trli,gui„.
5- ^nZi2 '° '™"°' «8° 12' 30". C
' • 8 l 3 s s t P U , 3 a e a o l s a . r ' '
■ f° t"ânpa„ r,t- '"^aalo 7 '^° °°'^'"°- '
j 'taneulo, 33' ? tríS„gu3^3 3 - '̂ 'mioTT" '̂ '°®''®°''
^^lo. Qüai o * ®«eulo externo d ^Eulo açudo.«■ to".; ^a eaaa « i^al a Saa»
^ ni-? -«.3 .. .
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* l i u a t r í * ® a l o r e v n » ^
T _ o ^ ^ ® " 8 u l o e s c f l T e x c e d e o m e n o r
' *=h, o, A 8 • Oaloui3j, 03 - aifersnça/fl
a ■> » « o t r l í « " S U l o s d o I r l a n '
' ^ ^ « l i g u l o I a ' ® < í e C , q u e o I n p u l o
^ ® i ^ d o ^ , ^ ® ° s c e i e a « * a n g r u l o
vonuó ó 1■ ' ° ° b a o e o , 8 "
^salo 30°;?"*^®"!= ABC • «"al o valor à"
;' ,toa. • *=>>0 o oaio3 Bm o
V3,. °° ®^laa ao tri"®'* ^ 5 u i o a ^ ^ U g u l o 3 8 u m ^ s -
lona, .,__
<je
ângul®
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■ , 3 , . ® ^ l o a d : B H
'* '«lattva 4 w,
í̂atonuaa, for®®
K
17.
18.
19.
20.
2$,
2 i .
Problcruis e Exercícios de HateEatlca._.
a M3setri: de um dos ̂nrjulos agudos on angulo de 126®*
05 ân^nilos amdoa dc tvirjn^^lo-
- . . , T t n ® Q u a l o a n g u -^nor anj7a2.o ■)•- ini triângulo retangulo ne 0 Sngulo re-
obtuso traçada do «rtice do angoi
^ 0 2 2 P ^ ^ ^ ^^ - ^ - p o t o n ' u c r i
^x-iên.^alo i
O
I o
t o
Nua
t a
^ 0 2 2 P ^ ^ ^ ^— i - P t o n u r r , . - ^ ^ ^' ̂ î̂ .rulo isòscolor o ̂ .guU externo desigual e ̂
parte dn 3<xr.s dc<: dois outrcs ̂ .gulos externos, «ua.
^ E U l c i n t e r n o d e s i g u a l ? _ f o i * »
triângulo ret̂ .gulo isosceles, calcular o■ssetrixes externas de dois ângulos ̂ û aeros con
P-edidas dos ângulos de -on triângulo s5o 1,^0.
*̂ 1'03, calcular o ângulo oposto a ba®®* ̂ "ngulos ® ̂ ''Z
ABC a diferença entre dois traçai®®
° ®ngul€- fomado pela blssotri- 6
^ t e r c e i r a â r , m , : o . e a a l -
Nuq
fts bi
As
tUíj
.rc ângulo»
^̂ lânguio
— h i s S S ' ' * . f t «
-■et&eulo, o Sngulo for^do ^ o
iJq ' ^^^qadas do vértice do angulo re o, ^a n g u l o i n t e r n o ? t r a ç a d a ® * *
tier* retângulo, a aediana e a al̂ calcul® f̂ t̂eSS.angulo reto forman usi ângulo ' j-elatl'® ®
® b n o s r t f t w . r - S r t í A m e d i a i » »
26.
v . t r i â n g u l o . ( S u g e s - a o - ^ * t 1 S
j , ^ m e t a d e d e s t a ) . - « a a c ® " *f » . * C f a r ® ® b i s ® ®^ blssetrlz externa ̂
8e 30°. calnol̂ r̂ "! \stfift. ft ângulo de AK con AS ® 2 lar o s®^'
V 2 ) .
cun
ííux
I o
;^stâ
é
t r
Í O í
. 1 2 " ., «o 20' ^ ««•!« ®
iC, o ângulc A »ede iiP ̂ uls®®■a f i o p e l a b i s s e t r i z i n t e r n a d e ^ ^ 5 * -'langtji," O A S C .C . p e l a b i s s e t r i z i n t e m » - b l ® ® ^
«I tu f® ^ Cal '
t r i * * - , r c T r S ^ ° t a » b ^ *tj-ij ®^?iilc retângulo, o angulo ' ^ede
Oui- ~®Ça.das do vertice do angul® ^ü-bD^ ^p ° i ° ^ Í . Í » -
^ d o a n g u l o r e t o . - j j o " , C f ^ t r ® ®^ b í i 4 . , ; > o ® 1 5 4 d a i ®
°*>tx̂ ;;̂ ®Stao, t<= Sngulo Md® ̂ taro»̂^ o < > p e l a s b i s s e t r l ^ ® ®
• 9 7 "
■ \
« I
^ t r i â n g u l o , 0 â n * ~ —
nieâe°í̂ o° ̂ lasetrlses Internas do'
2 6 » c g ^ I c u l a r o m s i o r â n g u l o d o t r i "* + X B IRftO
« T l T i / s » . -
®n«uio.
a e . s e . , " °* + X B IRftO
2 9 . 3 . . , 3 ^« I = S ■ (figura h).
9 uwcule T (.,, * ( fi g u r a i ; )
Wgural, '-u ____̂ \■ -"Sn:c'
~"C„T •■'ii.t Z' ° ""'"euloc. « elta,.®': que Í . 3. .3 2 . ' ' u , a 3 a s a o v e V L ° ^
^ 0 t r i 2 o ® A » o I g T J a l
f o t
fl O
3 2 . P r ' ' ' ' ^ ' ^ « ' j a d a s a . ° ^
^ P o t e n u a a . o a "
q u Q ' ^ ° â n g u l o f l ê S
do Í ^"^Iquer . , ^ ^ ^ -^-diana, relativa^«
a n a e . . i - ( ^ a f » » « 5 a B c r t
3 i t . i , ^ ^ 1 8 0 ® . P n i
, " t & n g u i ^ , , '■■ ' ' ' ® t r i 2 _ „ ^ - ^ - « x q u e r e i g u a x -
- g u i „ s s . s e
»' oet.t„ tn5as,, ^ ® Igual à metade 2»
de 3^
, - * « « 3 , • ' ^ ' o v a r
^ ® ® o h , f o S „ ■ '■ ' » t p a e -
»enor qq» a, tr,- ° "AC é , ®
5 6 . t . â . ® ^ g U l o ^ ^ a m e t a d e
,..."• »:::■ ° -í:-; "" ™
o ®ta8 (V ssp' °» se o fi,Iqube-a/lAoute."̂ ' 0, ; ° «bro »gui„ rfrABC-> >t„ i,7 tat.;;»̂ urn 5,̂ °
'"qqqqiee 'q Oy t.̂ q̂ OA , ̂ ®«lq da 60O ,quo Oc ! ® OB ̂« • ^ u 2 k , C o n s i d e r
l > \ _ . A
P . O
t r i
q«de ^q 2e am t, , o"̂ 0 da,: Â gut,
Q O B ^
3k. p "" Consldere®'^^
que o triâneti"
° mode laé'' 3<^''
®̂ euio Ç
^̂ •P.C.Ar - 1958''
Probleaag e Egerclf̂ los do Hatematlc^
59»
Ü0,
i a .
ha.
ií3o
Jiiu
^5.
h7.
'h&.
^9.
So.
- < r T O D i e n a f l e j s ; K e r u j . i . x t . < o > . » > • — —
0 angulo obtuso fonaado pelas blssetrises dos ̂ ̂ - 19585
dm triângulo rotângulo med© .....•••••
iuai 0 ângulo forBado pclas blssotrizas dos angu _ 1957)*
triângulo rotongulo 7 " lo qua forma
Nuei tz-iângulo rotângulo tscscelos,
as biggetr^ zeB tr.ternue do dole -insules des . 1951).
/ . «2® a sua b l ssa -^ do2 angules de um triângulo isosceles sen ̂ ângulô ^
triz jjitema fcnna com a bissetris Interna ̂ ĝ u.c.D. - ̂ 5̂
sngu-lo obtuse do ?^8us. ^ ^ ^ qua'druplo do ou
triângulo acutângulo isosceles «2̂ ângulo etroo Qoal o inenor ângulo do triângulo 7 ̂ ̂ ̂ gâsceles a0 ângiao das b:l350trlZB5 da base do urn Wi ̂ Q̂)T
no triplo do ângulo do .o'rtio©. (C.«. - 19595
8 ' a ^ s ? , i d p o t a n u s a
triSr,sulo retSugulo n nedlu-ne oe """® 3 3 a h l p o t e n u i . t i u m o n g v l o ' ^ n o ) * '
1c. triânj:.;.!» retinftulo. . . juthu. 1953
( B . P. I l . ^ ^ u c c l . o B j i g u l o s
xac retSu^lo ABC a' no- . Calcule os dois ^gulos • .
u m e d i a n s A M r e l a t i v a
triângulo isoacclon ti» " ' g flois angulo internoi torqa parte r: ruii'q""
<=®1to1o o menrr forM«® r ^ j. . ' igual « »^ a b i s s o t r l s d u â n g ^ ® ^ % e « =
"lA' trlâr.gua„ l̂ íucoles ABO u «te"-»' ̂ .d. - l'̂ "'
da goma dos outros dois^ ' ofltrl"
^alcuiej OS ângulos lutamos das ,,nO.
Num
® do 3.30
Qom
^ u m^ e i l o ,
. d a g o m r . d o s o u t r o d 2 ° " f " f ° *
"«XCUloj;. OS ângulos lutamos dea» o Os ^'
t r i â n g u l o o â n g u l o A - 1 ^ 5 9 ) .o lado oposto BC dois angtu ^ ^bSi»V^
B Q c d o t r i â n g u l o v a i © ® ' *■ ^ ^ ^
f̂ do aado o triâugulu ABC, ̂ 1̂ ,̂ ««̂ e®®-aQ sobre AB, os comprl®®" caic^®^ (C-^*
®®®-so 03 pontos E 0 P ® *
- 0 -
;!
- 9 8 -
• 9
1 .
а .
б .
9 .
U .
l i i ;
17.
2 0 .
.23.
26.
28.
29,
38.
ÍIO.
Í15.
48.
O,S^.0_3_^52' üi"
90°, 68° 12, l'1200 ^ ° U°i.7. 30» 3
r . ; . I
90°, aao ,,, ̂ !• ̂ 7°
87°. >íoo ... ^7 58' iiO"07°. 59° e 3iiO
8 o °
120°
2 0 °
U0° Q 5QO
100° 7- /i5"
® + y = i8oo
6 0 °
53° 30.,- 5,0,
135°° ou /.50
l l g o
60° ° 3 0 °
5 . 7 3 b -
lü . '5 -^, . . J . V . o ,
1 : 1' ^ ^3, ao15. 36° Q 51̂0
67° 30.
21. 2^0
21° üo. s
27. I5o0
3 + V —y - a + X .
30. /,5o
e 75O
112° 30.
k3. 200 °° «7° 30.
16 „ . i?o'
1 9 ' °
2 2
2 5
1,0 o 36'?<■' ; 5/4
63° "^7' 54
59. 135-^
^°°. -300 , ''S. 520 ^
'''■ 8°°ei,oo
44. 36°
47. 22° 30'
50* 55° o 35'
'==-2S= !l'OULCa .
™ '̂ °°=e<.„o. ''°° ".guloa Io. --=====
2 * Q u a l ' Q , ^
3. A 3 ° ^°1^8Dno conve ^^gulos externos
' - i o s â n ^ , ° « d a »° 23 i i oO _ ^03 lw+ . . •®°®a dno ^
él80^
° ° ° a e o n o . ® « m o g - - = = 8 , = =
3. A ^°1^8Dno conve ^^gulos ext-
5. » 1060°. ^°°° ^ ° '•o.n.lar .e n^ ® o t i a ( í q ® ^ Í E . p . C . A T -
s :•■ .«s;-:«"... •• .5;
••■«....T-.Cir.v,... »-''" ■I s o r i o ' a u m e n t a d a
a 1800 gradf^'
6,
7 .
- . ProbleLo^ fa SxercfcJ"- v&tenatíca
í -Ingul-ií tntemos de ur poliEca--® poLÍgo-
®iigulos externo; de íj^íI o nrcoro dJ lados
n o ?
°̂1 ° Po:.̂gonc conve..o =v...a sona dos Snguloa lotarnos exceda a
ao= âr.guio. oxtcr....s ia ux Sncdlo de r-.ela volto
f ° ™l»aoo de led... d, pclúco -.vexo no dual o ̂_̂°=°° Intornog excede da ■'--' a sona doo âiisnl°3 _ 195U).
°̂1 ! ° P0ligc.-.c. ccn...exc e= ene o ̂ocu". doe ̂°''>'l°=ĵ;7"l952)̂^ & 0 B £ ( i o o r n ; ' , u i c s e x t e r n o s 7 ^
^°lígcno rngular ci'ic ângulo interne cede 1 - 1957)*
7°lí-" -̂° "ís!se^ -̂ 1952'-
-°lo 1 ,'a..vao intavno da u. polígono resnlex̂ ê̂ .̂loaoô ■
O . , - . . - P T t e r l o r ® e d e
10.
Uo
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
150 ,
' iuai
e x T ^ e r x - -
. a - , , - ^ ^ e ( C . N . - 1 ' ^ ^ ' "
° ° polígono regular oulc ̂pil° °=='°7'° f̂'juterno «.°9°
15̂ *°° l°.â03 tem o polígono regular cujo
' ai ao âng«l°
° ° polígono regular cujo ^«"1°
' ® ^ r i o ? ^ o d o -
' ^ t o s«ÍU;
b r ,
A
I 9
i ' - ' - t - j - g o n o r e g u l a r c u j o —
' 7 e o d o -" guio intam® ®' l-ados tem o polígono regular cujo
^ ° x t e n i o ? _ ^ p o l Í 6 C " °
Q O U Ve y, . ' . ,
lados tem o polígono i-«sb—' ° ° " o P n o 7 , „ „ p o l Í 8 ° ° °
m « e x t e r n o d sentre o ângulo interno ® ° poXlg°^° 1957).°"="̂ oxo o' de 60°. Quantos laa°= "'•7\̂ 1 a
/ .. .-etrül^y ^ IQ51)«
(C.
°^uvexo e ' de 60° , Quantos la^os — ' ^
^ . . « o i í g o n o
^60^ ângulos internos ãevm P j^^o. um ®I1
*̂ 1 - ®̂ °̂ "lnar o valor do angul® ̂ êot&AO ae
>, ° l^°lÍBono regular cujo anguld' Jesa«io 5,° ° isuul ao seu ân^o Ifternu ̂ das
de um polígono o P®^^^°"̂ 'ig53)*
2 . „ . , a u & "
O
« n .^euio
. t a e r — -
Interno de um poiígô ® raŜ "
1
» •
1 0 0 .
23.
2/i.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
3ii.
3 5 .
3 6 .
37.
■ ^ ^ - o n n
e r t e m o . c a l c n i p ^ ^ ^
v|!!!® ^«^=5 Internos , fE,P.c.Ex9vclto - 1955)'
Poligow!" ™ ^SUlo e=cL^/°^^f^" ^Izer quantoc lado& tea '
®ntos laáog tem o t,oi-f • í̂ -PíC.ExGrclt.j - 1953'-
-ÍO ingnxo externo o Vl^
■ Îvamante ̂ ®gTÜ.ar cujos onf̂ o
Qual o 1 en '5:cterno e interno^ respec
g o n o ° ^ 3 e o e ^ o l á x - 2 5 ?^ ^3. ^^-3303 emTua" de t.. çolí^
Trea fln ^^^Psc fc l vamontG^ 6x " ^
n-ídem roDpô *'̂
03 Sn , ° 'Pn lã on" ° ' 'PS= = 5 = " '" tágoeo e ° ( I-E. - "51'-
S » 3 e n „ . s  . ® » E , ^ e B ,' P«nln^ '° Í̂8Pnel ,Wt
^ ® » g u l f j 3 f f i e â i - t
■ ^ « - - a u o a Ê S e
Q U a n t n ^ ^ l o g i ^ . d c s
« W c n e i , " ^ l o n A o A » B ( P,
" ^ ^ l o s â r , ^ " * ^ 1 0 0 ^ ' I n t e r p o D .
T' ° «'"^'Pnos , fl-E. - 195r)'
. !̂ ° °«nnno í/̂ ^̂ lnte. , "''«Sono «' ICSo'
^1.:> as «n - .. "Bsníe,
c o n v e j t o
® ifiede 157® 5O''
'''snPa» «s no ' "°"íeono ,«̂son.,, PoU,„„̂° ""«sono oonv,
B )
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Quantos Lnaaa toz
I C l -
FTo"blQsias o Tlserc^clcs do Matonatlea
poliec.no ocnveKo .-,̂ 0 ni-c ôe Indoa e Iguel ao ío Bi.«a
39, L. r-.-líi.r.c a--ilo aJTwro do diagontis e o dôtr
n u i D O i ^
Qvna,'
— í > * a O S . . '' ^ • r í r i l c i d o 3 3 "
- -ieoi.o .1. q-.-t. c ..L̂ oro dlagooale e o .r P' 1 - O l i
M<..
Q u c i i ' . . .
n ' " ^ " - - - ' • . . C"■̂ = ■''-a;;on,., .
ÍPU é o -:c-;
' Q u a - ' ^
o VU.O
•• 1 o — do uÓMro
. . , r n - t ' - . / r , - 6 °
d o
,06^133.'
5̂.
ii6,
Ub,
5o.
r - , . - ■ ^--rulo i r -0 i ! .c üt- 1.0^-L---^ ' ^" - i í i ^ a r v . i - , . - ú ^ p i c . o n - « ^
' ' S e - . , , W r o r ^ °'-•- .*a ; i .^ • • . .N _ ç. ;^c ■"■ i fU^-^ dlaear.ni..j o o t.i-lr.io do '̂ '̂ '̂ "■gotloG-í̂ ' * l955)*
^nanr.U tjn c \.oV.rr-'v ' í̂ l̂ ulai ̂ (c.N. " ̂ 959)"aiic^ao intorr.o e c "mü^lo ertoiTio o 3^ ^
regular oonve::^ eu quí. o '^'[
1 G 8 0 ^ n i í r r . e r o d e d l a e o « a l « * * '
Q U í i a i . ^ - *i i . - e r r r í T a U O B S l ^ *j-ados tsza o ̂ oJÀsoac ccuvê :® da ̂ ̂ lacao»̂ "' ^ro ae ladOB do políê^ <3^ d-B. '
SS" •«. s.«, .„.™ -A" "lí.."^»"'-. ^ e g c i , a Í H 7 , „ 1 , 1 * ^ ' ^
^ í i n - t J i 4 a t r i ^ ® ^ « M i r oa e . _ ' ^ ^ ^ e o ü í r . « / . - . . « . - • A & S 11 » ^ ^ . O
4 . l a d o síSff» i3ol ' . iStó
. e ^ae r = . ^ .o as o ^
s n - r a l c d « g r a d o s » ^■'lst.tr,t.e. rolígono. ^ ^lígo»» ^
".ol-e lados eor,ae.«ti.dâ _̂̂ aj.tíí
i . • M ü ã n ^ o l o f i e i i O ° « + í t o s ,
3 , - - ^í- •"Ojí n'';." •'Oy - a •*^-
- 1 0 2 -
Haaoel Jalro Bezerra
5U.
55.
56.
5 7 .
58.
excede a metade do núo «úmero de diaícnala distintas
Ache a soma dos âneuirN^^? polígono do l6 unidades.
augulos Internos oonsem+r̂ ^̂ ̂ onnado pelas bissetrices de dois
^lagonais^dlstlntas -ede 30°. calcular o n^ero ^e
^ ™ PolWo regula.03 ângu los A e f o rmado pe las b i sse t r i
tirar de um ̂ "1'?.' o numero de dlagonai®
a g u a o 3 . = P " V e ^ = p o a e t l - «
WPlqPM poií_
s : : r °d03 outroo ângulos internos
a n -
A
SQ
1 .
k .
■ 8,
U .
3Ji.
17.
20.
2 5 .
26.
28.
30.
3 3 .
3 6 .
3 9 .
kz .
"^0° . 360=
°®tóeono
8
1 0
°®tcgono
6
°<̂ tÓEono
- 0 «
^^4-Lo.s_^
ãodeca'gono5> eneagono g
9- quadriu'tero '
12. UiO
15. 15-
18. 6
2 1 . 8
2^. 6
^10°, UQO , 0 130®
Uoo • "='.132= 30.U o c
OliOO
2 7
7
®̂*ágdho.
3 . 1 5
7 7. pentGgoJ^"
10. icoságono
1 3 . 2 k
1^. quadrado
19,'
2 2 . 1 0
25. octógono
6 550
170
. lOii
1*°' ®̂''áeono^3. IQQO
29o 110°
52. Polígono de
l a d o s
^5. 20
pentágono
Pentadecágono
1 2 6 0 °
hO
m m
- 1 0 3 -
I^oblenac p E?:ercícicr !o Xatcriátlca
li5. l i i i 6 , 3 5 i i 7 . 9
51. 6 1 : 9 , - ^ 0 5 0 » 2 0
\
00 5 ~ . l i J l O
0
1.
2.
5.
k
5.
^5U1
,- qUADIÍILÁTSROSĈlg
Í45° _ '^'^^utivos de Um rnr,'.l"lccramc modem, respectiva—
í . ® 1 3 5 ° - .
c u i a r
®^gui Calcular 03 ovtros angules.° ^ a l o r m o d e r n , j u n t o s , 6 7 ° . C a l
°^tros .nnípjlos.d e t i g ^
Dq. ^ei-Uoc '■■•.üdc- 3^° i, t p^ti^ o vnlcr de um^3 dog .. ^ °^bu<
^at̂ : !̂ eui03
^euio
i s o s
d e
^ e
d©
Souí! *• ^ losango são complementares. Qual o valor
h i t i d o
^í\íOi ^ ® seua í losúuago mede 136° 2S'. Ounl a medida de
X a r ' ' ^ ° i d o , ^ 7 ' " ■
'^^Eulos externos mede 100° 20' 10". Achar o
^°^ seus ângulos internos e a metade do
5 , d e s e u s a n g u l e s .
7.
Intern ângulos externos mede 100 1 os^ Og ^ "íodirão respectivr.nento... (I.E. - 1956).
^^os iv... ^ dos ângulos externos mede 100° 10'. Aíí'> t r , I h t í
, 59-'" ••
H
» o menor ângulo e' 3/7 do maior. Ache os
^ aoma de dois de seus ângulos internos e 190̂ ^
Wo ^°a. °^niado peias blssetrizcs internas dos dois
^ c:Qô ^̂°® consecutivos medem, respeĉ ivamen
doi= J' Calcular o ângulo formado pelaso^-ros angules Internos.
í Q ^
,od SOB oxnSoBTÍ̂ "P saoTi»A sop ssToireriBp̂ *0,,
"r» OT i OTPSusTA, _ tjw nnnfls _ "•p>-
- f^b'4Li.a9«Éi 1\ - »* - ~ ^
a " - - " . ^"«^"5 s ro 8 = W apaas 'apoue„^
[̂Z -êaamsAMoadsoA 'N a H ma a-opx,a,,o, a:,p«3̂ ["l I IZi as-msia-'» a a V aa "av a aiaTB«a pop ? Sp̂ô
f "1"aâ. a™ as-a6a« .apouaaâP.p ̂•aw a o_ "''* ? °
âoiao -a a V ao.uod soa a as-aun a 'ov = a, o,p,̂ ̂ BB-aSooTOSd -0 a V as-aun a w a maxnoppusĵ̂^̂îmoo ̂ «o
"^Sas, -0 os.uao ap sp=ua.a^ATo-P.as app ̂ »P
.^„ oiosua o aiuoxao 'N a „ .a sappe^^^ ^ a
OP, âaSuap aapaodap atm as-a6app «gg ̂ ̂ Toas ap '0 0»°°"̂ ™ sepuaSuap sanp as-naSajp . " ®íanô
lapouasajuoodpo-pmas am ap oppamapp op g a v sapap̂^ °n«a, —^ «a*\ eoi trpi <;Tr»T-r>hc» "♦*% o*»,
W apapĵ _ 5i oo; ap ospuao o 0 opuas SO = HO aub adpsoK -sg a
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„ sapuaSoap as-ma5a« pOgi > S¥ ooaa sip ao „ _ %S a a V Bono'•tPia
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0O6 opom e ' ^ ®^9ÍIBÍ, ^ ®®»<l B*. SP a "P aan.,^ P^pB, ^ ^ •»»
PPaai!f«P ap 7 ^ «" •'■•^■" ;sgr<«• ••212^
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» OTt^SoB
ra3T.:,-̂irtíE-Eq aaxod̂!!̂!!̂ ®P WiATaw!.̂ 'it
r-»p aUs?r ■ -n
..a. 3. S03..,I„,BP,
<,pa?= "-ni'--' "'■ P atnoTBa . - "" "Ptio, , ^
-BP 0-n»"> ^ ^-a:: ™ "T -St o., . .0, ,.i .p sosnqqo Bon̂BB
a a 0 ÍP SBpoÔBjq •erosB " ° ̂®P»TBO .,̂
BpBO.a>0 o-,.:.-ir. n ŝrnoxvo -̂ooa = g , , =̂»ssj, sŝsd osessnspBBp BB, ..
^'"oaos oj-raTírr--
- a o 6 •
^ S S £ « l _ £ a l r o _ B e j e r r a _
a ai3ti,,i° T 46 lado 5 =., 8 m e 9 »•«atacto. 403 vertl=03 do trl5ogulo aos pontos «•• ®« ia poata H for 3 '̂ •''•C.Exerolto - Janeiro - 1953''
ponto qualqaoj, d» traçam-ag duas toneentea •t'P°^
^ ponto H for a ^^•^•^•Exerclto - Janeiro - 195?^
S W° do traçam-ae duas tangentea •»
de conta das prini-i- Sabondo-'-o q\2P, o oaa^P^
retSn„ _ ' . !^ '<)
" C e n t o s . * ^ i f fl e t p o d o '®® OS ijidog da
« <®. 8 ton o«a todo trli ^^"waooode '
^3/ >^»Pt,no3e, ^ 40S cototos .'
40 oWo inoorito
10 <*•
p ^
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K*
D « n m o i r c u l c I n o c r i t o n o « * :
®*trai ^ ®*^orior
V* • ̂ tan^ant ̂ ̂ oçoiu-sq maa secante di*'
-̂80 \ blssefel Pooto dê Pontes B e C (B outre '1 n n o - e o D a C
" » a , « 3 * o n c o n t r a a c o r d a C P « *"*• doi,\ ^drii^V
®*lcuu o °5?oato. ; • ^ i i -cuaaci- i to / sOÍ.IJ^ per/not.. dgu^j^ sciixo a un circu-^.o» ®
ProT. ° s^èr' 4oU =4^=>'"»-"o ' s
! °®- °° '^'apo'zlo modeWa. « 0» oiro3i '°»=»le., „„
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I d . T V ^ - O e i n^ 8 C l r . ^ l O c ,
D e i R f t 7 ^ ^
c e n t r ^ ^ ® l a a « 8° ^4 "'«'too 3- « r = 3
S ® O . t a i a ° ®
4„a®: 444a ™.o delas®®de 5 cm, caicÛ®
^ 8 c m
^ = it cm
^ ^ 5 cm
• 2 cm
' ® 3 cm
^ ="8 em
® 3 cm
17.
Iroblcmai. c Srercici"" y^tenatiaa_—,
/ , . ^ - e O S c e n t r o s a o s p o a -Perímatro do quadrilátero obtido un̂ d^03 de Intorsecção das duas circunferências < miais ^
aaasolroonf " r»,«,ctlva»nte i.u^ _
10
33CÇ5O das duas 4lP=4mferaB=laâ̂^̂̂^̂̂^
'erências socantes ten ralos re ĝ ĵendo que e a*"
o 3 cm. Qual a distância dos cen r '
pelo ' -.^^-o-tT-o oossÍTBl de cem: ,
o 3 cm. Qual a distância '̂®®/®"̂ °̂̂ n̂tínietro3.
lô pelo menor niriero inteiro poss ve - ^.-^o oue una ed . t t i e s a o t a i s 4 '3 d^cunferonelas de raios 8 ca e -antros satendo que
74''4°=- a „utra, caldulo a distancia 4" ^pressa pelo maior niímero possível de ̂ -entes 01*®^̂ °'"• 74 4l̂ aunfer5ncias da ralos diferantas ae é° •
c t u n g e n t o o c o m u n s e x t e r i o r e s m a i o r .^ ̂ aio da menor mede h cm, calcule o nactlvanent® ̂
.ixímero possível do ce ̂ .̂ n̂tes
74 =lPaunfar5ncias da ralos diferantos ̂ ̂ ae
_ Aa tuugentoo comuns ex ter io res maior.
j ̂ ̂ ato da inenor medo li era, calcul® gpectlvanente ̂îrcunferânclas concântrlcas tan r̂ ®̂ r ̂enoreŝ^e 8 era. Oelcular o raio dê g,rcnnf®̂
dnrt 'Piores circunforênclos, tangend a d n a , d i f e r e n'■ * ü i i n ' e d e r e i ® ® _♦ - c o ® ' ®
tea^ de centros O o «jaÇU"®® ® ̂ r^resp®®* '̂*
o>f' ''^nngontos exteriormente em • g • *
r ̂ 4» - clrcunfer̂ ci" no P4 Calcule o ângulo BAC. ^^aS ^ «anor»®
â ''̂ ''̂ Jferencla do ralo 5 cm e *̂ ĉale oo j. ^^'^^^utricaa e envolve a menor ^ aols.
^ ° da maior e 7 cm.
4e três aírouioa taoganW'̂ ôg sandoB o C. Ache os ralos doonas ^ ^ p^j,
^ C m 9 B C s 1 2 c m . . e
t í t
20.
21
22,
23.
211.
25.
26.
A C s t 1 , - s o i l ® ° *c n i 9 B C = 1 2 c m . , 0 c O ® « t e . ^ ,
ABO, AB = 8 7̂ 1̂33 a*̂4rj_̂„3 a o' «âo
c j w ° 3 d o c e n t r o s B c C t a n g e ^ ^ ^ 3 ^
^®^®ricla de centro A á ^ rai®® ^
15 doa centros de duas quadrl
dul ̂ ®®P®®tivamente, á 2° ̂ ̂ or coÛ ®°*° ̂ ̂ js-qUe . ® circunferências. Cal ^3 .vameut®'
V a T i u
tâv. ^^irculoa têm raios 7 c® .„.i« otS-Wos têm ̂ 3 T
= ® ^ t r o s e 1 5 c m . g o
®®bo3 sabendo que ®
F
- 1 0 8 -
■SSSSlJalroBezerr,
27.
Plgura 5
fiPtta 5, p„ ^ .
We'® dlSmotroi AB • ,'
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b m .
^ ^ * i w v v / i n o p r v0 aagai^
Í i ' t n - " " " " " » ®SB aa fi ^*^0 icp - , ® 3®cantea MA « CB,
50. 3, • '^® ® t ° 30°, calc:ular
» I r 5 A C a B M .-aa, r,"' ° a B,t„®» o«4 01 ° '°"'® » °»° ^°° ® ° 'iS
Bc ~• =̂ aai.,."''®«°do a -espactlvâ ante,
" 0 A i o4) o£̂° ABD
° S^° PaUa 0
B for,«d° "^lAA aaoa! AC a BP" ® S a ^ ® ®
6 S '
ysi"
tcfS-
0
o
1Í9-
'■® corû
® a "tangente trfl5
0̂.
- 1 0 9 -
Probleniafl e Bxerc:fc^"'' do Hattiafltloa
1 )
32.
33.
3ii.
35.
36.
37.
38.
39.
r,t« CD coo a tangente traçai*o angulo fornado pela aecante eu
p o r B , ^° CQopreendldo entre os lados de oa angulo ̂
^ olrcunferênola. Determinar o ângulo.
n » * . • » 4 . . . A e t n n a c o r d a eangulo inscrito é formado por ^ ^ ^ gorda
• Calcular o valor do arco subtendido P. t o e f o r m a d o p o r u « -' calcular o valor do arco subtendido P
^̂ oular o ângiao inscrito formado por ecmlláter® io®'^̂ t̂lvamento, o lado do hêa'gono e do trianffalo íu
o e BC é °
PÍroulo, a corda AB e o lado do W"'"
hn ° triângulo equllátero inscrito, a círculo e'r ABC, sabendo-se que o centro _ ,956).e s t e t r i â n g u l o . ^ - o v u l a r i n s c ^ ^ *
8^® PiPcunferSncla, .IB e o lado do oa
Xnf ° lado do pentágono regular inscrd o t r i â n g u l o A B C . n e x á s ® " ®
Mr do uma drcunferâncin e o lâ gendo O o
^ circunferâncln o P um de seus ̂ ^̂ ^̂ ânte, o
« â n g u l o i n s c r i t o m e t a d e d o ^ g c r i
que subtende um arco o angu-
to. ° lados do ângiilo inseri o. ^^hen^o'
- V
*^1 a
3o ^dlor do ângulo Af ass" " i U e ■ *• - ' A - u o a n g u x o n , - c a j O e
•^•gulo central B - P°
fl g u r a
.u^lado
B ^ g u r a 6
, i a rreĝ ^ BâS - «
Í Í Q . , 1 o d e c a ê ^ ^ l ^ ^ i g ü J o ®a° centro O, AB é^o ••'I'i^Si'-a e AT e' uma tangente a cir ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ■ ̂ j.E-
"" P medem respectivamente
• i l O
- b e - = e
ACSB 3̂0
/ \AOD a 120®
• t e s L / a l r o
^2*
-'5^ "''i
' t } - O s , ' ' ° ® ■> ° d ^ b r o d o ° d « ° 'ladoa da iQ)
'i'ânte ° ®' ®»''«od̂e ̂ '-"'®rcoptaa sSbra a drcunfaré»-Cú" ̂ 0 tnCl!̂ ==■ AB O CB, .SO ro.P̂ -tarpo E. ^l lataro o do cctoEono roS»'* * • " " I d i - Ü O m . g u l d ! f
0
Plgura 7
areoa AB^ ̂ t̂erno E int«
'^^^aaente Sabendo-sg rcgptaju sobra a clrt
W u " - / ^ a s A B o C D , s a "
o d o o c t o s o i
b B a a " " 1 ° ^ c l o m
co^ ® "" foro, 'er..^. . ®®®5feondi.i^_ ^oraam um ?
1955'*
arcos
d s
* * • " " 1 ° :
C " : : ^ ™ f o r j -
4 5 . ^ "® S e c a n t s * C a l c u l e o n m a e r o
" = ^ X : : f o r o < ^ - ^ - -4o «ntro a, /° ™Eulo do 50°. 0 a"'""'
«oantea a " enT^^" 80°. Caloulaf °
coBipj^^ a^culo fg ® aecantes.° nienor. Por. Sngulo dg 25O g 03 arcosi^
Calculg o nozaero da
(I.E. - 1952''
'''• "an, .
acliaa-^ g .fo U. " '«saio a 3,̂0 A''̂ ' J" a BD 3; ® '̂aSo'dJ' ̂ ""0 o aroo BO, Col'
ôn;:̂ a;;fa, „r̂ ° abb aujoa prol„„ga.entod? 80 triĝ5"a aa acrdaa AP ̂a ^ e p a i a . e
9̂.
50.
_^oblasuis Ü Ibcoroiiilos Jo Hatenátloa
•ixprlsa o anculo B ao função de
A o C .
(C.FJ. - 1955).
1 y''̂ Figura
a 20® o íiT.^iilo H sabondo-00 que o Lingulo Ae o * - - -a^g-ilo S 6 l-aal a TC^. (B.N.C.D. ~ 195D.
^^'^dnferencin o o lado do octógono rogularini
A 6 3 traçar-ao tangentes ã clxcunfe-
* ^ ® ' Ç a o ^ - - — " f f o
F i g u r a 1 0
^ S n i l o^ «-aw. qur as duas tangentes fomnn nfi sua
5i;0^ ':^^^rerencla, nos ponto» A e B, formain um
0 ^ ® ftvi»».-- ^ PCillto TiOT'1"iin/»nn+f< nn T
\
Srr^= a® Ç - -^^«Aoncia, nos ponto» ji « d» is.'*"— —
^ ^tbrm ^ Pchto portanconto ao menor dos arcos AB.
AOB.
Q 4 * 4;-
C , ABC inscr i to ^ "5^ c :G: 'on lo nede hO • Ca i* " p e l a s t a n g e n t e » a o c í r c u l o , t r a ç a d a s p o r B
^ ( I . E . - 1 9 5 2 ) - 'Igqr, U ,
Cai
b) a x u m i n" R s a b e n d o - s e q u e o a r c o
A ^ A
compreendidof * ^ a o T, . , & s a b e n d o - s e q u e o a r c o c o n i t f c
»«a° 65° .
r ®^° 1 «abendo-se cs arcos eompree^-
? da . ^ dSTla lados medem, respeoff'fdAiente, —
°̂ °«Werêaela.
• 1 1 2 -
-Hanoel Jairp sei^fl-r^a
sabenâo-ae °®°Preendido3 pelos lados do ãngul® -d ) C a l c u l a r ^ < ^ = 6 8 ° .
SOS em gpĝ ^ ̂ sabendo-se que a, b e c,sao respectivamente,
_ 2 ^ > I " 1 0 e55. Sabe-se que a e c - ^
°°̂ o Inscrito num cfrĉ î " opostcs de um quadril®*̂° angulo A. ^ O ângulo c mede 72° Ü6'.
• ^ bases de um traná i (S.P.C.Ar - '
íQapectlvamen̂''i ̂ semicírculo subtendem axĉ
u v i r f T - • '
5 8 ' ^ a n c l a ,• ; 1 , 5 , . - - " ' •
°3 Wuloa int ^ ^ o clrcruní®'^ "
Inovar que ^^apezlo de maior
n;̂ V ̂ ̂ - sâo ' (C.N. - ̂ 959'̂ -. 0 . - q u a d m á t e r o e ^R U e c o _ . " ^ ' ^ S ' ^ l o s o p o s t o s
•®^ro sS, ; ""^8 paralei.
i - t r : . . — s . e ^
- I t s : - > « = < = .
" " p e l a s d i a g o n a l » '
O s Ü ^ P e t s '
Po>-tonaem a ™s B»"̂
^ 4B ^ AC dividida
■um
- 1 1 3 -
Pi^blemas e Eiercídlos do Hatenatlco
5, 9qo
6.
fi S S F O S T A S
5. Ü1 C--1
F , ^ 0 c ~
k . h5^
7e 2 n, 3 - □ 6n
1 ? 5 ^ 1 3 , í o c n ;
9. 3"'̂ °c ca
^^»nepes t "■ ''''
3 , c a n . e . . a x l e r l o r c i , U . -
20^ ^®Q,, sec£u>tco '. ir.r..<™..i6.
19,
2a,
\
c a
- c a
c a
6
Ca
L>̂ »-o» J
2 9 , 1 1 5 ° o 8 5 °
^7 f 1^ C; ,
A - . - c : / ,
2 0 „ ■ • ^- C m o o r . - - ^ q o
^ 23. 3 cm, 5 cm o 9 c-,
c m
2 5 . 1 2 0 °^7. 72^. ,^0. .QO. ^po. gQO. ^
0 °30P. ^^ 2 , - 6 0 o ^ ^ ? - 13o I ' ■'^ i 33°; 1500. 3qo ^ g3
C ■ : ? • * r s . r s
Í5 ' U5^
h > 6 0 ®
6 0 o ® 7 5 °
k\ ^ 30<^
lôço
• > ^ 7 2 ^
í t Ç 5 0 í
5 ; ^ 2 ( r.' k60 ~A)
IA.
3 3 . a i i °
36. 30°, 36° o XUi'
3 B . 6 0 °
Ul. 350
^U 5 iO
'17. i,5°
50. 3qO
53« 100°
55b j
3ú . 90 °
o
3 9 . 1 0 °
hz , 100°
U5. 180°
US. 75° cru 15°
51- 155°
5U. 32° 30»; 96°; 78°'
. — o
39cI í i4lo
5 8 ° e 5 5
I>olg de la° 15' e dois de 138° U5'
b l / i l© ■
58. 85° e 95°
"̂ bt
X a p . s e m e i h a h ç a^ ''°®ií5o 4e
onto p q.^Q divide o segmento AB = Ü5cin
- 2 2 k -
ilgpoel Jalro Bezerra
do secçSo 2^
^terain=j ^
Qanto ;3 ^ in Ponto p que divido Internauient*
aecção Igual a | .- » ^ ^ e m a n e n t o n 5 - 3
^Ividir segmento AB = /iO cci na rasoo 5 •* ® * ^ ® í ' i ^ a f f i 6 n t e « 2
a r ' segmento de 60 cm na rasao ^ '
"® panto p 'i"® foi dividido o seE"®®*"
AP = 15 cm a FB = il5 ="•
AB = ,0 c. colculai oratno 2 . ,ue p aivlde AB, externomant®.
v e t o
•tao I _ ®ndo.oe ,,,, „ ^ ^.ternPBant"
t t n , , ^ « t t o a B a n t , ?
, AB = igç, ° =®®ento .AB = 12 «n na raW®
' ^ ° í i Í O Q O h o r m ô n l c a i a e i i t ©
jct"
P»
ito
f l í "
3'
'í e p ^ = 18o * ° AB = 12 cm na raz»^''
o «^«do harmSnloanento P®1°^°» Ponto -« sabando-no ?u° » '
^6aoa ^ ® P
^ AH =̂®ento''°jĵ°"̂Ĵ®aos harmônicos em iol̂f ".m!
^ e n t o a u * A r a z ã o h a r m ô n i c a e
^^*dão-8ç I* a-
? haraSnlcos em rela?®" ® "
»a n M o V °°' ' ico^ ' '^ Bh te p. conjugados
® B, s , ^ «sta divididona SeBeudo-sa que AG = it °®' '
T \
a ft ® hajp,8 ° PCo li ,?• anl "• Cl A n
V- AE. '?' <= ® D,
■ ' / l í Í ^ '
f r , ® 1 - 9 '•^•C,Exercito - JulB^' ^''
A . t e .
- fi t e ' e D , c o n
e ® ^ n d o A B . .
(E.Aereaiánti®®
jugs'
15.
16.
17.
18.
11 5
Problo-iefi o Exercícios
o 5' en dois seencntossecrr.cnt.v íiB está dividido por u=i P®" ' conjugado ha^2
6 m e la n. Proloncn-sc o pon- »
^ ' = o d e . : : , C a l c u l e FA . . ^ p o l o s
° seEKonto AB = 13 cn está dividido sabendo-se
'■^ ^ F. Cíilcular o nenor dos ii soC-í^f-os
"ec:r,onto total DP = h5 cn. ^ pontes tq u o
^ coirmc-iiíj!
e p
d o - , ;
Duas
I a ;
» O ' . i j . c u j . a r o n e i i o - — - -
e . : : r . o n t o t o t a l D P = ^ 5 c n . p o n t o s lu. .-.B = 6 cn rei dividido '---;;̂ :ft:.5ni=a.
caiculpj oc quatro coGnentos a
q u o M P = 6 c m . - d e t r c s p a r a l « ^
u n f e ^ I n - à u a stran:/.rsais oSo interceptadas pc- errais P®!®®
ocmontos doterP̂ nados sôbre e 8 cn. ̂
paralelas medem, ̂ ®=P®°"̂ T2-rTiaralelos deteP̂ '̂
c c o m p r i m e n t o a s
19
20
Cs-socmontos doterminados soo^« 5 cn e ^^Imoiras paralelas medem, g^aleias deter ^
o oonprljnento que as duas ultir̂ LS P
e Segunda transversal? sabendo-se , ^® primeira segmento igual o 15 transvers^ ^
^ f®lx:o da quatro paralelas d®*̂ uma=®8nentca de 2, 3 e il centínatrcs e „,3 a®í̂
segmentos cuja soma mede 5̂
^terminados sobre a tronsversal s ^
^ quatro uaralelas ^utra transv®^® ^ ^2.do 2 cm, 5 cm e 5 cm e a'
cu ja soma dos quadrados de vars^ l '
^ =-l®«l=h 03 trêa scgnentoa deaaa sal̂ d ̂ ̂ ,
^ feicco do quatro paralelas âuj® ®®^cntos de 3 cm. ü cm a 5 cm a ̂ edid-̂ ' transv®>
"•̂ EP̂ ^̂ ntos cuja soma dos produtos scí?°®"'
cm^. caiciAx-
sS dois lados niedem.̂ respĉ^ ̂ ̂re o primeiro, a 8 cm do ver^ ^ par
^ Fcnto D. Calcular os segmentos ̂ de
^ a um dos lados de ào ® ^ede^».^az5o 3/5, Calcular os ladoS, 'I- ^
por e3sa paralela sSbre esses ^ ,.ao ^
^^umonto, 2/; om e í;0 cm. ^^ triângulo de lados 5 ® Sngul®
a blssetrla Interna do maior
^ Oposto a ease angulo#
2U.
- 1 1 6 .
t r i â n g u l o A B C . a ^nma ponto D situado I ^ encontra o lad.partir de b', Calcuie mianf - «omprlaiento dêsse lado '
2g ® ® lado AC conto'm o lado AB.3 lados de mn triângulo (E»N.C.D, - 1955)'
Calcular os "eement ̂ ®®P®°tlvamento, 20 cm, 22 cm 0° laao ualor. que a Mssetrld intorL divide
^ tri^in,! /^■^•^•Exercito - 1952'- 50 Ano).lados de un + .* Exercito - 1952'- 50
< i ° s s e e , . . I m 6 , ndo. em que a b isaet rL i ! t ^ ' '
interna divide o maior
S e
n e
l a -2 8 0 i n t e r n a d i v i d e o m a i o r 1"s lados âç,
Calcular o medem 7, 9
^issetrlz rt ®®|fflônto determ^n ^ ^ respectivamente
« . K . . o 1 . ^ 0 o p o s t o p e «
d̂os BC° !! ®®S=:entos bw ̂ determina sobre o IS
lados e' l ao euEuio^n ^ ^ Determinar osNum tri-^ ® 27 cm. C, sabendo-se que a soma^tr 12 - de par.' ^ - julho, 195?)'
i » u m e r o . j « ^ ' ^ i s e t r o ^^^suentoo Oalli!^ dos lados sto,^o° lado, por pff la aPPo^í inaçSo de 0,03,
t r i ã n e i n ' " i n t e r n a s s o b r a
a n . . . ^ ^ - B C d e ,
31. NUffi tT«i"
./̂languio ABC dp . -^ ^Issetrlz exi-. ^ Cffl. 7B c j j ^ ^ a r n a . > ' c mdivide CVV+ * --açada do «'
^Icao. . ' ®^^ente o i ®^^ice A nv^ • *.o lado Bc. oposto ao maior
* A c h a r n o >
s a r m e n t o s d e s s a
loo _ —
í p B C . A ,
s e ^ e ,
^ ^ I cu ie dc os l adoa
3 3 .
3Í4.
^ ^ = 4 » o A C =
E m u m ^ ^ c • ® ^ ®
e x í ! ! l í ^ â e £ 0 . . _
7 ca e Qy cm, respectlvaffion'''®#
^ cpósto ao maior lâdc
■ — - . a l
ç a *
e n -S i a u m t r l ^ " ^ae 20 „ ^ te.p o „ .
^ U « , B = e a â e A a b :
1 1 * ^
' *^alGUJa-!> na T fl(
1955).
b i s *
"■ - 9 « do tn- ' do íne-."
= U o. -̂ enlo BDC, f* \ >*« v*i /I ̂
laâoS
3 a b a n c l o - * s t
- 1 1 7 -
Problemas e de.i;atenâtlca_
3 5 .
36.
E. trl5n^lo ;dBC, D e E sSo
setricQs interna o externa tiradas do /ert-- .
^ E B
^ " ÊC *
p-se as bissetrizes in-Do vórtice A, de um triSnfrulc -'^C, jc era dois
^erna e exterv^, ouo ir.torceptan o supor. ^
C ' s i ^ P T i d O ^ ' S " HP o r . t o s D e l r c s p e c t i v í n e n t e . d a t e r a i n a d o s ' p e l ^ s
^ e que DE - 5 n, calcular os segrâ û
- a ^ A
p o n t o s D e
1 2
b i
•37.
58.
' 9 .
^0.
^1.
^2.
— V j u ç ^ J ' í y * *
s o t r i z e s t r a ç a d a s d e A . „ i ^ d o B C e ®
* 1 ' T ? " ^ d i v i d e o A . 1 " ^
íiissstriz interna /iD de un ^ar a distância dospPU
sosnontoa de 12 cn e fie 2/i ^ ^ externa AE cora o
^^3 do interrccçco das blssetriaes
s u p o r t o ' « — / - r í f i ^ é a n i
O 1
C a i e
ir \ : r
i í C
. . _ _ _ ^ .
d e B C , ' r ^ - e ^ r o , c e d e 3 6 ® .
o uC no um triâng-olo ABC, fie a distancia
■aar os dois outros lados cora o ^upcrta de
. 4 n í : a r r a e
- D v u ;
D J d o
1 0 .
t r
1®
• • u ' J * J n e u m t r i a n g ^ o - L u ^ a u e a
'■liar os ciois outros lados saben cora o super
rsecQoes ias bissetrizes interna
I s u a l a i i , y d r u d o c a i c r â n g u l o a -
^ triângiao retângulo a propcrd-is a r
^ ' I v l d a o l a d o o p o s t o e c „
= . l c „ l e o S n ^ X c ^ »
" pé ar bissetrls interna ■
n f l d o A C ^ í R ' - i m i a l a « ' . 'ae uu-a uaralola QO la®® ,
o ,
a ç a
t f U i " » '
- e i e ^ i
3 _ a r a z a ®
Í 3 U 0
■^ir.
2 _' P r. j p o r c i o n a i s a — ^ ® > / f ^ p o r B t r a -
V ^ i n t e r n a c a l -
t r l â n g u l o A . B C o ^uma pai-alela ao lado --<3 ^ ^ t., v
lr,Oos m o .'.C, ' c = í ' !«f
ABC ' ' -o inscrite no tr-^ trlâníTulo isosceles ABC, ^ m
- » "■ - h o m . O a l = u l « ' b V . -
por-p°-."!::̂ tpon.oE,s.' triângulo ABC, ÍB = T ^.^opta » 1" :-c.
Paralelo ao lado BC, B^e 1"=Pao que AE = Íí OB 8 ® 1,' 8=1 ° ^ yi-lmel-
lados da u» trlingulb meda» l.̂ _̂̂ ĵ ,,,ic soo»'-"tear os lados de ® ; /,^cUí "
s a b e n d c - s a q u e a '
(E.C.Dutra - seria d-
u i r ,
* 3 0
" U l o
íím
^■^0. ad
SUlo.
íium
- U 8 -
-̂ 5̂aBL£2Í£ô erra
«m outro de lados respectlvan̂ Pêíaetro 9,5 n semelhante a
O perinetro de u« a íi dm, 60 cm e 0,9 d ?
Q t i f i i f \ / ^ ^ i s i n ^ u l o A " í i c
3ÕUS lados nnde/j2cnJ>^ 56 em , aemeli^.ts cujo ledo l^omologo ae
'̂- trlInjuĵ Q ret'
'Tt' ="%'̂ P°to™3a o i-tei o Vai™^° a 60 cm e rstrogulo
'^- As b "^íoteunsa iâsso ™^° e=tt°rno Ipaal e 12S •4 - « m W s l c , - t r i S r. ^ 0 V
'̂ °̂ > ̂ "'- CAl<naar̂ aI "==P°="™ar.t<. O m "
k s ^ A s , ® i a d o s n - r , t r i â n g u l o s f o r r a a -
-ít;:: s ^-0 msC; r:---
-Xt::-:- "XL:ÍE*C. ButraX Î Isdcs nSo segmento dessa paral:£
o lado J os do trapo'slo,
^^^oional . , to b»», . ' * Parc ia l - 2 i t / l l /^^^® PATalaÛc bâ °' Pontraa°°.̂°̂= ̂CTantor 3F e CF,V̂2' ^,k, Oal^ 4a,;laa-o P, fea,a-se -.M «^r.
t - 'Apas ic a . " ' ' ° ® = Pe.5 neK-
ía/® '• =^lWT =^«4 26 „ '-"«ar - 1937)
''>«^3 01, »Abe„aa:J®^=r4Wo entra ^
® a Qg -^13 3ao ejp^
' ' • ^ 3 r r - " » » ^ . . c a i c u i a r
• P A M P O S d e q u a n t o 3 ®
ei;- .4o ,a,. ^ »=ontrar a tangent®5 oobr, a ba =» e f'"'° l"3ont„""i tnàagai ''a <» °ÍL'® ''''íôngmo looses
« Pose e- , ^'"•'' 4o qnaarecle
ŜUal a
O ^
o I g u a l a 6 IB*
5 6 .
5 7 .
58.
- 1 1 9 -
_ rroLlemns e BxercícloLÍ£3ÍS5^
Q'tiais as dlaiensoes do retangulo Inseri ̂ 330 ? (A "base do
alt-̂a dSssa retangulo 0 a quinta parte de suaretangulo pertence à base do triângulo p„--.-ito um re-
n+irra TO 3 «Sta inscrxum triííngulo de base l̂H n e altura ̂ do retan-
tanguio cuja base e o dobro da alvur ̂ ̂ î gulo.
ÊUlo, sabendo que ela esta sobre a ba ̂ ĵvamente, iguais a
triângulo tem seus lados em a*^q" gemelbante tem
- 1 , 6 - . e 7 -
Perimstro» Calcular a ra-ao
P. _ AC £ 10 o o
Ü n
2 x
d o perímetroo Calcular a razão d® = 12 m. Traça-us. trlSnçulo ABC, AB = 8 =, ̂ 'Top̂ -
paralela a base BC. Cale ' ^ idíCB seJ®®
Io que o triângulo A>Tí e o r
lia figura abaltío ton-so:
6o.
«1.
63.
flr « 15 ®
® " ' le A. toes-ee AB =
= 6 O ® ̂ 1- do engulo A». ^ s plssetri- ^,g. . 1951^d o u F 8 F b *
03 3®Í7-'̂ ""' „,çan-3e as nS"
M g u r a 1 2 0 B C = ^ • - A - - « « c a o d e s .
triâng-alo isóscoles ^ ^. . . . . . . . n . E i o s ' ' b a — -
, p a r a l a l u , ^ t r e
segmento clèesa paralela ccnP ___ j tal 5«
F i g u r a 1 2 g b C = i n t e r s e ç ã o d e s .
^ triâng-alo isóscoles ^ pelo o conpri®®^-"*
lianas relativas aos lados Calc'^ iguais,
medianas traça-se uwa gyeendi"^® «ueAC^ZCB."io segmento dossa paralela interno ã i® paralela
m um segmento e C ™ a e's'."4 A, C o B traçam-se t, r ̂ a®J'- ̂ g, = Jü
®, cujas InterseçSes oco a ' i -5 "■ = de 5 ^ "'"«ente. calcule cc' sabendo ̂ !̂ycenf®Pff "f"
''«Ae cirounferSnclas tangentes aa - tanEeafW' 4m, respeetlTamente. Leaos ®' ° '"Laias o®'̂ " '
®̂t>Onao-se quo um dos seus e ̂ ĵ ouní®'' ldP°'®LItà
.„„neiaa entre as 4®= ___ ponte ® , 3 reta
- w « a i a o - s e q u e u t j a o s - - - u « -P^ts oompreondlda entre as ^ju pon ^ E
° ■'triângulo ABC s retângulo cm ̂ catet
*?a<;a-.30 inaa perpendicular ̂ pC = ̂ ircupf®'®'
g. e® G. Sendo EG - l̂ ^ ® ° encontr® ̂ ° que«° triângulo ABC a bissetrle aB sabe
Escrita ao triângulo s®
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J-°Sggl Jairo
8 cm e 6 cm,
8̂. 6 m CDE = dg.dF).
56 cm.
^7. 3,6 n
^9» 6 cm
- - - S 1
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f — i'igura 13
1 .
2 .
3 .
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5 .
6 .
7 .
8 .
9 .
1 0 .
11 .
12.
1 3 .
U i .
1 5 .
1 6 .
17.
18.
hipóteses aa segul i j
Se b a 7 «3 Co e 0 *■ /i
Se a = n, - ^ 0^, oalcuiar a i.1 3 c m e ^ . » h , m e n ,
S e m a g ^ a l c u i a j . c > .® ^ n = 16 ^ ^ h, m e n.
® = . 1 0 . v n ' ° ® ^ c u l a r a k° ® e n = , , h , c e h .
h a I P ^ c a l c u l a r K« n 9 J , , • ^ c > h e n .
= a . = « e a , c h
Sa , = 25 '' ° = 32 <=„, • =. h e n.a h a I P h , c e n^ = 30 cm e h - J b, c d
'®^ = h5cm e / a, c\ ' -
a A?—-a.. ■ ^ -
a:;;;,—-X.;;;; -S e a a i n ^ o n . r . = t 1 h , m e n .
3e a = 25 " ° ° a' >>■ ='•>,. 3 n.
c m f t V c m .
^ = 50 an. a 2 ^9 ". c ,"'' ''"° ^
3e h a 2 . » ~ 16' calcular v ' ' ® ^•* h c m f t V b - , Q .S a h = 2 ^ = = 7 c m ^ e n .
Soh-il ™ ® °-li = i ' °®^aW-ar a,' i,' = 1= - m = - a . ' ' " ' ^ ""
c a i ' ' m e n .
' * h , c , m a
d a s
n «
- 1 2 3 -
P E::ercicl°a dçjawé^
19.
2 0 .
2 1 .
2 2 .
23.
2il.
25.
39 h = 36 cme b - m = 18 cm, calciaar a» h,
3e a - , = u o .a - c = Z », " ^•
. w c", caloiXar a, i
3 7 c m a = -39 a + h =
Se a + b , . y.i.?;"»-'.—+ c = 2 i i c r a e a * " ^ ^ a * >S 6 a + b + c = 2 l i c r a " e a + h " ^ g d e
„ l a t l v a ?Nuiii triângulo retângulo, a madlana
3»5 m. Calcular a hlpotonusa. trlâne«lo cujos <3
^ • • A ^ O X i g U X U A O 7
3,5 m. Calcular a hlpotonusa. ^ trlanpil® cujosig
Calcular a modiana relativa a I^P°
tetos madam 6 m e 8 m, ,edam XB a 2^
l5a-3Q "um triângulo retangulo cuj
^toso Pede-se calcular:
a a l t u i -
86.
87.
K x m U A M r i i g U X W X V v w — - < . i
^ ^ o s . P e d e - s e c a l c u l a r : ^ « ó r t i c e
a altui-a relativa à hlpotenusaj j^eólanas ao _
a distância do,ponto de encon r ^issetrls
angulo reto} a g nipotenusa P ,. /ci ioa segmentos determinados so |.̂ ssão - 2°/
Interna do anguD-o reto. (g. Naval ^eterml^®
fttrl2 do Snfiulo re atriângulo retângulo, a a 5 ® ^•^ o lado oposto segmentos P̂ °- ̂ t̂etos»
h-lpot«nusa mede 15 a, calcular ^go'scel®®' ^Ji,
"®3tra q̂ e em tcdo triângulo reta .Upotenunr ó igual a um f ̂//ĵpotenusa ̂
t) cada cateto é IsuaX a metad
. -o ret5«^^°
Calcule o perínotro de um trl jgósc®^®
Q U C , I t m m o i ^ e 2 C ® * . ' . . t f l l l o ®
32.
•33.
triângulo ro ■".angulo ""̂ ^̂ êndo hipots
d l a n a r e l a t i v a a o m a i o r 1 ® ° » j g u a l s »
® ® t r o 3 . ^ J 0 3 a g i d o s
triângulo retângulo cujos ̂ t̂ío-
h u s a m e d e i t , 5 m . d ®
*̂alcuiar a diagonal de um auadr
- l a J i -
Calculou o paring^
35. Achar a altera da ha t 'Seasonal laeàe 2 sna-o paralelo, aSJacantrn!" -''5° a o
3«. Calcular o períaetro de ua t
37 11.,^°°'''' Isoscelee cuja baso nal3^- ^3 retaa paralelaa a, e U5°.
a b l s s e t r l s d e d e 3 c m n p . f .
1 7 d c l x : r " p - t : ; : : : :® 5 CO fios iQdft, reto digta .
= m r a l o i a f ® l o . c a l c u i , , l '
7 2 a .
e o l a d o
, i o r a â
- ^* n u m t r ^ í n ^ ,
® tetros, possou an an^alo ds :
=at°tcB uodlr» a ,,jlV3.
^ P o p a l a i 2 2 .
ar.T.OÍl
. t í 3 - a â
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d o
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7021
ds 5^°'- « a t r o a . r t o a n f f u i o a s
í f " ° d e ~ - a « -' « M o - s e ^ f ^ a l a l o g r e . . . , 2 ' •'"'• Calcular a alt ° ^«*a coo a'̂ Jneulo do J0°, sa
=al«Uar o 7^ c °° °°"'"'2 v'3 a. '*''̂ "'•0 de ut, ̂ Wlatcro do 6 n/j a do laá"
à s , c s * ^ 1 0 a* ^ ^ tEi íag^ ^ ^^ latoro cuja a l tura
ÃB.
2 a u a t a i í a ^ , ^ ^ ^ i a t o r o c u j a a l t u r a r. e d e
=«l=ular̂ .'''̂ o ABC „ae , ̂ Mpotcauoe do triŜ = -.Sbro do .enor^ - ' ® » " e o d o b r o d o m e n o r
fi " fi a ^ o
^ ^ " seu : «« doe le, ^"^-tlvoaeato.• R u a ^ a n p i j i , , ■ '■a d o g r , » ^
20 <7 Iso-eoeie 120°. ĉ ? "̂ ŝlslos leual
^̂ ce°d̂ ;̂»°°=r ueXVc? Isdoe rZ'""
Iso-eoIZ""̂" ÍoZ Cu ''"°l°l°s lEualnü V?
C : e \ : - : : ; \ rà?. Ku, tr . "̂ ''"'̂ »"°s. Ac "̂ ° ̂ °""S =«? "' le""! '
, -ci:.-^o e :t::-0 8 , O o ® 3 i ® a d e f l
reto. ̂ afios 35̂ ^̂ ̂ le u: e aUw. Calcul®
P̂otenusa pela bis--̂ ^
( I . E . - 1 9 - : ^
rohlenac o ar.ercíclos de ̂ t̂euá^
il9.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
6D,
1̂.
_ r-robleraai? o S^erciclos qo •
C s l c u l . 3 B h l u o t e n u s a d e " "
tstoB rede 5"= o a altura relativa a Sipstsnuaa 3 . 1,52,
Sabendo que dois lados de un trl&sd" isasc^8 a, calculo a altura relativa a base. _;;vT.e a hipote
Rum triângulo retângulo, as projeções , calcular o segiíi®^
niedon, rospoctlvamente, 6,4 " ® ^gulo reto.' quo uno o aoio da blpoteniisa ao rer ^
G 3 fl t i r O j•1^6 al tura escada do 1? ®
C a d a o g t a a 5 n d o s s e o u r o ? d i a g o n a i s m e -
/ +ro de ur losango
K e t r o s t e n o p e r i m e t r o
. - . _ _ ^ í . 4 « o M e n t e . , J o r a l o
t o
A
^ a i i t c
^^cui ,
I o
• 6 a a l t m '
• u j o a
- - - n e T i r o s ' c e n o p e i - j ^ c - -
14 cg o ae cn, reapeotlvasente. ̂ ̂ ̂ ralo
^ lasango de perímetro 20 a ^ losango
-̂̂ -1 « 2,i:. ,n. coloüo, o. Betros,a3
=°luulur a altura de uu 1°=®f2. p!c?'- 3 a blPfi
igual a 4,0
^ triângulo retângulo, tem-se a ̂ (,3, 91 - 5/lO/51>igû a 10 cm. Pedeo-se cŝ pedro U ' ̂ ̂ das diâ
de UB '8̂ *̂ 1 e 64 CD.^̂tângulo a p-̂.rpondicul̂ trâ ̂ t̂os d® ̂ p. _ 1955)
1'̂ Û divide essa diagonal em dois (s.rl.Calcu]„ . .... do retangulo. trlaDfl° _
A 2 hiüoten^® . ExercitoL>a relativa a biP .(S.P.C. que
catatoa neden; 5^8 h lpot®""®®
■ar o perjjnetro de ud trian qgteto sobr
mode 1- n ca projeção do - 195
. 6 P . r e t o s 8
CCoX. Podro n - Extern, - p sco
™ quadrilátero cujoB csic^fjo, ^® = é 8C = ; licito03
7" do um retangulo luedeia 3 ^iago^ constro^^de um reilngulo aemelliante cuj ^ tri^"'! '
00 lados de um f
^gulos Goulláteros. ^ ^ «icul® ° ^ç. - 1953'
f aos lados do quedredC ^ ^ m, ÍI-®'que lado do quadrado â̂CP ̂ed'̂ado EPGH.
^^cul ,
^eto
>
s
- 1 2 6 -
—
«um trape'zio rotSnguio « v
e o m a i o r l a t S o ^ r e s p e c t i v aão trapesio ? Paralelo mede 5 m, Quai o perímetro
=, cuja altura 083;̂ ̂ ^̂ peelo isosceles cuja base maior «tase menor. ^3os Udos não paralelos são iguaW
^ trape'zio iso'soeio«
^̂ a'̂ ba ■=<«ihecidor''"̂ °̂'' 22 m, a altura 8 m ̂^ base menor. ^ o triplo da base menor. Cal-
Os lados de vm ' .
" « s e m e n o r . o t r i p l o d a b a s e m e n o r . C a l
°» l^flca d.
O : : r " ° r
"®nte. Calcule â b âe ̂ cm e os lados nao Pâ
Um tran' ®®lor, ^ <^93 bases respectiva^"td, r::t a,
t'»Pédlo "^^PenaC^" ' ° ■".circoû^̂ ^̂ ' 'Calcular a altura.-"- í^:."':""". ."sr ■ - A-...«-
Z Z : " r* ^ c P e r ^ a í ^ , ^ c l r c - u l o ,=..>,„.!^®tro de n. ... . f^-P-C.Wrclto -
i de
d e
das bâ
A c l ^
1955)'
clrcuuf®'
o p e r í ^ I ^ ' ^ ^
'sabendo-se ̂ trape'̂ i ̂ -̂̂ -C.Wrcltu
d?r; ^ - =Í.<^io - ^
^ » o i v c u i o , . ^
® tem 25 m "^aâem 15 ®®tros,
°''«"=ded, " « «4 " « a distância dO»
" ^ P ^ « e n d i d o ■» ^ - 1 9 5 ^ ^ '
P o n t « a a d i s t â n c i a d a ^
<=°ntacto t®Eanta con»».
1 2 7 -
..s c Excrcíclo.ldaiatç5átlç̂
* _ • _ ^
77.
P r o b l e m a s e~ - 1 . ' 2 l i m e o r a l o d o c í r c u -
O perímetro de uni triângulo os lados do triangu
Io inscrito nesse triângulo e 2 m*
-ucuníer®"®^®*Do trlânEulo iso'scsles esta' 1̂ =""° °̂ enta.......... s... 5 -.».»• r.%rí;.
•^essa circunferência. (Aproxls julbo - 7-953
t r o ) . f v . - P . C . S x e r c l t o - i g ó s c e X e s d e
Um
79.
80.
81.
8a.
83.
8U.
ç j n 0 U V I U , - - Q B C J J U v -
üessa circunferência. (AproKl̂ e ̂ /̂ ^̂ julho - 1953 " '
^ te rminar o rad-o do c í rcu lo ius ^ . - les3 o debssee'3,é» de altura. ac triSnê " ̂ 555)
Determinar o raio do círculo circ _ ja. (E.P* •
cujos lados são: AD = - 1° ° ^^°+nto, es-
âs tangentes a um círculo ̂ ^̂ 5 pontos de cô ̂ 9 cm da
bre o menor arco, determinado P̂ ̂ tanS
t u s i t u a d o u m p o n t o d i s t a n t e ^
°i^tra. calcule o ralo do círculo. g 3/ü'_ ^
^ um triângulo re
da altura relativa
85.
86.
87.
; 0 d i S t a i P U - j j p p g■alo do círculo. ^ e"OP um triângulo retângulo a pp®"" o„.se P®̂^̂ao, cujo P®'̂'
altura relativa a WPot"r!',rretSd̂ °
c a t e t o s . C a l c i a a r a s d i j a e r ^ ^ ® ® - a^®tro e' kZ cm. ^ o ^^g^lnados
Em nm triângulo retângulo um segmentos»
^ a z ã o e n t r e o m a i o r 0 « ^ a l t u r ®
tura sâbre a hipotenusa ? ^ ^gior do 9 dos ^
um-triângulo isosceles» 5 m. ^ segu^uto® ^^ diferença entre ambas e oposto ■ ^djac^^te
-^.os ign..3 determina sobre o seg^^n« ^ ,,,7).■r- ' , , 5 sendo o inai°^ (S.«®! i g u a l a r » ® ® ^ a l t u r » ®
Calcnilar o valor da base ̂ scflto ,
. ' - - « 1 6 9 . - O - f i l -
S u l o s
b a z ã o
base.
Pr,
®^S6. Calcular o valor ^ circu"®'
Ei-ove que era todo trapezl® î osc -jjguio '
Eeomg'trica entre as bases- ^ ^ uo
Pro-
6«ometr ica entre as oa»»-^ teu
Prove que num trapezlo ts°® g pases- ̂ guio / gg - b.e' igual à seml-dlferença ^ ^ e ^
P v v • ' i s â s c e l e s » , g e u P ®^ o v e q u e n u m t r a p e z l o « - p ( B ^ - « u e p r S
^aaes são respectivamente P^̂ ^̂ f̂eronÇa,® ® ̂ itma
v i C S . M - t - d i ' ' ' - a a e c - " - ®ados dois niinoros o ® ̂ ^̂ gnte ® ®.gnusa íê""®
^Jos catetossao respe ^ j^ipo
Porclonal desses números e
bica dos hiineros dados-
(JO
i o
' « l a u v r r t i ^ T - °
X L ^ r :
a hiu!! ^o tr iângulo menos
" A p o t e n u a g ^ ^ »■ = > i r , - n o s o
oí^-mio i! « Igitói
Provar,
o^lto, ®®'^'~Periia0tro mais o ralo
> ÍUQ mjj, . A^ ''̂ 0̂ Iso-ssei,
h a 2b^ ^ aeg i i l n t© re laçao*
®ntpe o ^ I' JiJg
t a l o p ° b
92. Tw ~ o ®^CU1Q , ■"' altujQ h T. 1^ ^ « o n a t r a P r e l a t i v a a â s s e l a d o . « '
S s r r ^
«ÔSSS3 o=^terlormente e a «adl^
(E.K.C.D. - 1951''
;• '--A.,.3
3* Ml c, ^°° °25 «a. ic ^ -^«OQ ca ,^ 6 ca, g CO Q ^»5£ co
5- 20 d CO , ,
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^1 il8 ^ ®"5 7,2 _ ^'2 00^ CO. > - »2 00
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Problemas e E^erc
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ícloe ̂ dajfetemst̂
16 cn15 cmj 20 cn} 12 cm; 9 cn ®
9 em; 12 cmj 7j2 cn; 5,U c® ®
30 cn; IxO cm} Zil.cm; I8 cm e 52 cm
5 cm; 3 cm; í; cm; 1»® cn ® 5»
5 cn; 3 cn; U cm; 1,8 cm e 5,2 cn
25 cm; 15 cm; 20 cm; 9 cn ®
- Í 1 8 c m7 5 c n ; í i 5 c n ; 6 0 c m ; 2 7 c m - © 2 0 « a
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D s t s P T n l ^ a T » ^ n s l n r p ' '
'■^=M=tlvai.entIl âigulos, dos triângulos cujo»
. 5 d
i;?"» 1.5»' 12 » e 9 m
Calcular a projegio de t -
"apectlvanente. - o, nos triângulos cujos laa°»
a~9in, bs7n
- 8 n . ^ ° = ' . » ,' ® e c - c
^ = 7 m . 5 B
f f l e « - iCalcular o lado as "
5=9B, == 2 1'triângulo ,
CWaularoBa ' ' '''"Jeçâo dê T °a Q ^ menor lado c ^ S, ^ metros.
a s o b r a b a a b o r . d o q u e o s l ^ d
"^trií^: " ' e que a projeção
l ° ̂ gulo poí» o t e r c e i r o 6 o O . 7 , 5 m e '
ângulo ext °' ®®bendo ̂ ̂ ax com aproximação
a ^ 3 a e e „ t e . ^ o a 6 0 ° = 0 , 5 .^ ^ ^ 0 0 . o s . ã m c u l o s , ^ ^ ^
^̂ lãnguio do 1 ̂ ° ̂ ®̂ SQlro ®edem respectlvamê ®̂'^ altura r!! a .
""® triãnguiç, °^®rior i' ^ = 26 m
="-1- HiL": 3ão,
lado
laáoS
ã e
0
d e
® c = 2Zj. m?
d i ê
--33 HlC t-a aa-o/Vr-
nTd̂ "'' 3<». auxíj'"" ''"ttoo ̂ ' 25 m e c = 2"
Caloui ̂ 3 1,-̂ ,ue'r'' ° 331CU10 dasse T"' 33» aurfir̂ '̂ ""30. relativa â hlP°̂ '̂
® d e i ' o r i n ,
l°>'̂ Ĵ s\'"̂ l3na ° 130-̂ —' ® ".«lana relatlía Jvariri " »3d:rír3 do =-̂ 3 per̂ tro e j6 »•30» 1 ». 13 » '1=3 do »a,,,
lado a, ' "^3 doa erV-'' H »•^ -rai::. j:: ̂ ̂ aw, - -
te® V ^erigulo equilate**®
v a l o r .
- 1 3 1 -
e Exercíclos.^lJl5te5^
1 7 .
18.
1 9 .
2 0 .
2 1 .
25 ,
25,
2it.
25 .
26.
8® e c=6m, calcularHum triangiao de lados a = 10 o, *.. « b.
a blsaefcriz interna traçada do vórtice opo _ rela
, 'Msno a blssetrlz interna relâ
Calcular, com aproximação de iim e ',iog lados medem 12m,10in
tiva ao maior ângulo de um triângulo,° ^ , do ® triângulo iso'soolos,
Calcular as duas bissetrizes externacuja base mede 20 m e o perímetro ̂ ̂ Qual a medidaCs lados de ura triângulo medem ̂ ângulo ?
da bissetriz externa relativa ao - . c 6 m. Calcular
b = 8 m e c
t r i â n g u l o d e l a d o s3 triângulo de lados a - 10 m» segmentos de 6m e >
ceviana que divide o lado maior em ̂ ̂
sendo o menor segmento contlgno a calcular a ceviana ej
triângulo de lados 2 m, ^ p^ra 2» sendo
terna que divide o maior lado na rôr segmento contíguo ao lado meno ̂ ̂ ̂ calculai AB sabaî
um triângulo AEC, AG = 8 °
^0 que o ângulo AGB mede 12® • v m-
Em um
l a i '
• o ângulo AOB mede 120 • ̂ 7 o e BC = 3 ®'
""* ^ triângiao iVBC, AB - ® -^tiva-
o ângulo ABC. ^ a AC medem resp^
triângulo retângulo "Aponto da do ângulo■^«nte, 1, . e 3 m. Sendo ̂ ^ ,0 D so® 2 m , c a l c u l a r a d l s t a n c a - 1 2 c m .2 m , c a l c u l a r a d i s r a i t . . - - . « 1 2 c m .
um triângulo ABC de lados ̂ ̂ ̂ ĝuir̂ ̂ ̂ ̂
Sobre o lado a marca-se um P ' p ^ j- - 1957>'- . ^ r . - s e B B i ' » / í - . P . C . A Tt o t ,
^O-SQ
. lado a marca-®' i® ® P»
ao ponto A. Fazendo-se
que £ = i , calcular 5 •a ? '
a a l t u r a d e u m
®®demj respectivamente, 8 cm^ 12 cm.
r a z e n d o - s e ( E . P . ^ . ^
a c u l a r 5 • a o s
onde .5°^' »aloP 3
psr«lelcer3»°'; e a
1» nv
, ^tusângulo^ 2 m
itânguio, A C U " ^ - .• „ cpotâP̂ "'
6 .
- 1 3 2 -
JíE22L£alro^zerra
7 c 8,2 m
B .
1 0 . 7 m
3,5 m
l i i . 12 m
U . 2h n
1 8 . 5,1 m
1 5 , 9 m
E l . 1 2
5 - " °
1 9 . 10 V3 m
2 2 . VÍÍ2 m
2 i i . 6 0 °
2 7 . 5»3 cm
2 5 . 2,68 m
9» 6,9 n
1 2 . 2 0 m
17. 3 \/5 çj
2 0 . \yiõ5 D
2 3 . 2 \ / 3 7 m
26. i \J6Õ6 n
e x t r e m i fl q u e d e t e n t-■5™:: ?-«»•» ri; • «"■"̂ sssa corda. '̂ ^ametro ̂ ^aça-ae uma corda, cuja
3o Hua c í rc ia iQ a Calcu lar o conpr ia®'^**
r e s p e c t i » c c r â a s a o
L r . • ^ d o ™ a t e . ,
p o n t a p ^ a ° t s e g m e n t o s d a o u t r a ,cantes p ^ ^ ^ ua
TTr ' ^ tm^am-ae duas se-^ c m , p . ® ^ ^ c v u i f o T s " p o n t o p „ i . - t «
e'j,n « . . . ^ ® Q » - - ' = n c i = „ ,
sabendo- que
r=f/' £ f;»^ c m , p - T ® ^ ^ c v ü í f a T s " p o n t o p „ i . _ t .
t e r s e p . - ' ^ e r a ^ c i a Q M « d e s p o n t e s d e i r - t e £
• - S r : - - n :
°®troa n tam ^ e a externa h cnu
â e u m c o m p r i m ^ n -
^ ® 3 m, âe 6 m, cuja pri^
o r a i o .
- 1 5 5 -
Problonag e Snercfclos de M.atenatlca_
9,
10.
11.
12.
13.
líi.
15.
16.
17.
is.
l9.
50.
51.
, «pmentos que uma oi:O ralo do um círculo medo 17 o; correspondente.
do 15 n deteruir.a âbre o dlane ̂
Pelas extremidades do un dlnnetro traçan-se ̂ ̂ j.ggpectivrjnea
^eçSes sSbre Sssc mesmo dleretro «den ^ outra.
Sabendo que a primeira corda mede j ^
^ flecha de uma corda do um círculo de
a c o r d a . 3 , C a l c u l a r a
círculo de 20 m de dicmotro, uma cord
^ l ® c h a d e s s a c o r d a . . C a l c u l a r o
Uma
a c o r d a .
^ círculo dc 2U 2 oe uxuiu»-'-j
^l®cha dessa corda. _ 1 m. Calcular o
n P t i n f l e c h a A • "
corda de um círculo nedo IC o a
' s l o . c a l c u l a r c
círculo, ac zZj E ds ralo, corda"=°Ma do arco duplo. g o. =al<«l''=' °
''̂ tíroulo de 10 n de ralo, vnia cordac h a . 1 » 1 . , . • u m a u ® "c o r d a d o a r c o d u p l o . a o c a n t a
>«» ponto exterior a ue círculo partan ̂® ® ^ aua parte externa 3 «■ , .o'
'*= 12 m, calcular sua parte exter. ̂ ̂ frculo, ĵ jt̂ rna.
® t® ponto situado a 10 B do oxterna a iS""
Cat*^' uma secante cuja-=^lar ossa secante. círculo, ^'.^gentc.
ponto situado a ?.0 n do a ncdlda da^ _
^̂ "■ t̂ro, traça-se uma tangente. Oal ̂ êreVla a ,, „
^ P t̂âncta de UB ponto Interior a °=^tuia,. o ralo da clrounferSncla aaba ^
= ® t . t r o . 2 5 o d o o ® " ' '
a potência de ub ponto dlrtarta ca
1'erânola, cujo dlânotro nade 3 ̂ pj.oicngâ pontoC
ten UB dlSmstro AB IB"®̂ ° j a P"*®"" cxtcrio-<10 un aegnentc BC Igual a 1 taPBant̂ ^
ofreuios de dlSnetros 27 " ̂ ^̂ ĵcntca aít .eptros »Oalcnlar o coBprlBcntc das tauE aos'''® f daŝ tâ "̂'®",'̂ ! dos "̂ '""icul®'C a l c T i i a r o c o ? a p r l a i « n t o 3 V < > - 5 e f i
circunferências aSc oxtarlcr-̂ ;̂ „̂tc,
j 5 El e OS raios medeni, resp co3^'".a tangente^^;;^^^^^^ .
v n * à i i ' x .
®®e!nex
- I 3 h -
— - u - a a e r r s
Î as circunferências de
âo-se que a distância doŝ o °+^ ̂ ̂ anteriores. Sabefi■^Qve prolongar a distanci ̂ ̂ calcular de quantose
exterior conum. ^ centros para encontrar a tanE®!^^®
âa circunfGrêaolas sa -rí-
Een te 18 n e ^ k ra los nedem respec t i va
«aprlnento das tangentes ^-'ntros e' 25 m. Calcular c
círculo, uaa corda " corruns,
Sn' í ̂ üaàíados fl ̂ ̂ î ietro segundo ur. angulo ãco raio do cCo " é ig.:al a 50
círculo de 10 n
''5°.'cScS°; ai&etrc fo£
C a l c n ® ° E p r i c G r t - " d e t e r m i n a d o sf o p o , í „ , t r o a , 8 n .^ S t f ™ c í . ™ l o 8 .^ ^ a p e - ^ o e l t á ® ° '
. « . o
■^M-olos. ° ?ue 6 base Den^r Calcular a altura í®
FTovar que ^ a um dos lados nao Pâ
âe cors!!®""''"' '̂ Ŝaaas ,
Euals. ®Eum de duas ci« qualquer do vToIpSí
círculos '"^^^íerências secantos, sao i"
tangente, ^^Sentes -rf
::r°^ ^^«oontSc'" ^ ® é a^a a»
^ - ® t i v a > a e n t e . ^ B T ê s s e s p r o l o n S ® -. ^ d o s c r r o u l o s e m C ®
de'ral ''' '%
r ' ° ' • ^ l ^ e t r od e h ç o + n n S ^ ® r t a p j j j n2 e c o m o d i è ^ 2 r 2 « o r d a A B e m® P o n t ^ ° » s e
a e » « u a a o c e n t r o a o p o n ^ "
Eedo p ^ ® ^ cm, «- °°rtaBi.
'íírcmò o'cur̂ '̂ ûuite. ̂ °®"™tos de uma corda ou"u Uin dl* «° o tr Ueemantoa da outr»« «lí̂ , r'°- Ouicuír'"=« corda®;''-̂ - ̂
fl-E. -^a «01a sa" - perpondl-
l^rctal 9Ua ala deternil"®s. Gin - 23/11/55)*
- : - 5 -
P r o b l e n a a e 2 ^ : e r c í '
^ j A â U I 3
35.
36.
37.
38.
39.
I . ^ ^
'•(Jâ
nua círculo do raio 11 " ua dl̂ etro aWl" „be os
=«S=entos de 6 a e 12 n, «"activa=enl«-̂ ^̂ ^̂ _ „ 1)û utos en qua o diSnatro fica dividido P ̂ = 30 m « « ̂"U" oíroulo da raio 25 c, U A.Calcular a «E
Bc perpendicular ao di^stro que '«cito - cor
S C - " ^ ! s c o r d a s ^ 3 « -'•to círculo de centro O e raio ̂ ̂ ̂ 3 0 CM -
tam-se no ponto M. Svatondo-se que s^ercito ■' ^ deve-
B ! ' - : d i s t a n c i a f q u eB raio de ura círculo mod® 2,5 «• ̂ dêsso z3/V.̂ ^^
ttaç;i. luca tansento à cirour.fe«nol_ _ 23/̂ ^
ueja igual a 6 m 7 (I-S- ' ^ rarincla do ®- l95lt'
ponto Situado a 3n «̂ ^̂ ^̂ ralo. ̂ '̂ 'onto'''«-sa uma tannente do 9 o. fol^" , por u» ' pri»"®'"
, r n c í r c u l o d e r a l o i f u a l a odo seu centro tra,a-se ®a (B-̂ '̂̂ asao P"-
t a n g e n t e ? * - i t p a J * * ® ® r a l c u l ® ^
a + = v , / 1 , . a u m a s « c a n - _ . , / i 9 5 l )
• » « u r a c i r c u l o d e r a i o - ^ u " n c r e n t ® * - ^ r A T - "
<=^ ao seu centro traça-se uma tang®" P®-
i , f , t a n g e n t e ? *■» p a f t o ® r a l c u l ® ^• tangente a u;« oíroulo a ur-a 8 »°"°"(c.N. -'
a tangente mede U metros a ro3®9®*'
«eterna da secante. ,g 5 m. ^^jda - 195?)
^0 Circulo abaixo o diâmetro ^^ aSbre o diâmetro: AD = 1»^ ra.
Pigura i l l
^3.
K
círculo de raio 25
perpendicular a® ^•
B c . pA.
^ a
a . t i a r -n COÍ^ . cal® lOÇ?)
Ms-s® «eosnt®
jírcpl"' *'g^err.P 1958'fora de w =1 _^^„to „ soBP'̂ (I-®' 3,
cir®«"'''1sss P°"'°de °so e»"' t - 1959)n 8 <3® isâllâl^ íl»^*■'«'«ao um ponto esta' °enW ^ePt®® "'®1° 5 dm, o segmento da tone ^ „eg» cen-
tangSncia mede „ o pP^.V®''"'
N u m ' c o r t a m -
Mura
d a
d a
^ ponto p, roxa "-=' ,^«0011*''^ *
circ^o^Q o uma secaute. B ® j,gicul®U d m ' • - -■ - - B A .e o interno e iguai a
d a
círculo duas cordas ®®/° do P°,nt®
corda e 56 m'" ® jjlstância
- 1 3 6 ,
J j ^ o e l J a l i - n
e 1 3 Q . C a l c u l a r o r a l o c í í \
Nuna Circunferência um ' C .̂P.c. do .Ar. - 195
I'etenniaar o diametrp, de 60 era teu una flecha de 10 co*^etro da circunferência.
AB igual a 30 ' - Exoi'cito - Julho, 1953'
ralo. Calcular a cordaV°̂ ^̂ ̂ r̂cunferencia de 25 a<rue suMen.. . a.=, do arco J». ,
Pela extreaidadô a - Exercito - Janeiro, 1953^
fu; 'jiT'" ^ -v^rO d . o A H , C a l c u l e A B , s a h o n d o - s■ C c , i l a v a l - 1 9 5 ^ '
íírciilo de raio -i
^-•1 ...1 r, peri"
195U)
que ab = oa; - —-B AO é AH
u a p o n t o a h h 4 . (
X ' ^ ^ ™ ™ ctrllnswc Apj.''̂ sentas Ãf e ÃT.. Calcule
^" tangentes tiradas fl (E.II.C.D. -
t o s o l r c u n r o r &
™ - 8 ^ ^ 1 ? : -
Cai^ 1 • e igual a. " V3 m, o raio da clrcun-®
'tn:rr= -̂ue«re „;•:;•••••• (E.N.C... -==SB6nto aá ®«49a,re ° ' O' âe dois círculos
=9e»«ito 00- """M" acs ^ ® 5 n o 9"^°
Nim cfp 1 ^ 9®. ofrciaoa, que não encontra
t ° 9 raio a9n"£w°-°"̂ -̂S9 AB ao „ «metros AB e CD sa»'"-95o ao^r: 9 ssg^ ní: l^al u B. S^'° ^irculH" por P u pala «
9 Cm
9 cin
6 n
8 n
^ VTSm
± 1
2 . Io cm
5 . ^ cm 3 . 1 2 c m
8 ,
11 . f" 9 25 „U m
6 .
9 .
1 2 c m
1 2 n
U i . 3I2 m 1 2 .
1 5 .
13 m
2 m
e 2^"^
a 5^^
- 1 3 7 -
Problemas f Exercf̂ "̂-*̂ Hateaatlca_
17» ló n
2 0 . 9
23- 27 2
26. 7 n e 1 n
1 8 . 1 5 C l
a . 18 n
2i l . 20 o
27. 2/ÍÍ6 a
* n direto das relações
29, Emprego dir' o f r n
32. 9 cm
35. hB B
38. 12 n
ill. U D
iiii. 12 dm
U7. 5 ̂yíõ U
50. 8 m
B E o 5-M=8===®
U.íXajJ=gJ====--̂ ^̂ ^̂ ,,,„aaral."̂ ĉular o lado do ipiadrado Inscrito ̂ perímetro ?
o apõtema de um quadrado de ̂ perímet^ apóteina de um quaá?ado mede 6,5 a* ̂ quadrado de
o raio do círculo circunscrito a
raio do círculo inscrito e
o ^lado do triângulo equiie-®^
, . — . _ o ' e O
Qual o
tpo 7
Quai Q
^ U i o
1 . 1 , c í r c u l o
y mede 2 V3 metros ? ' . ^ isiscri^"
^91 o ^^^2nsul0 „ede 6^8 » círculo
Q comprimento de sua clrcun jnscr i' o p,,Wro dc trl&guxç as l̂ f ^,„,iítsrc
5 ̂ ^uunscrito a um quadi-ado de 2 triangul
° raio do círculo clrcuns=rf«
V3 lu de perímetro ?
d e
^ 5
- 1 3 8 ,
1 0 .
u ,
1 2 .
1 3 .
■-í̂ 52£el̂ alroBezê
^ 111. l â
' 1 5 .
c u d
3 à
i n s
d o
16.
1 7 .
1 8 .
19.
2 0 .
2 1 .
<̂ irculo, estão ir.scrltn« ,0 perímetro do triâriínn ' ̂ -̂ ■ '̂̂ aão e un tiiansulo eoullate
quadrado. « 12 n/6 m. Calcular o perJüaotro <^0
o ralo do círculo i
^ ® de lado ? em um trlSngijio oqullátcro àe
Uffl círculo Inscrito ̂ n.
e q u i u ' t e r o . a a u m t r i S sdo triângulo equil^o^ ^ Calcular o
quadrado está cir
; - ?S:: °^ trapezio esta' ir,
"Itos no oírcuio"̂ "® 'í̂ udrado e
, L s . T z i b a ! i r r ' ° " °' ^"traüeííi ° '^^^cuio. ° ^®do do triângulo
€ s ^ f l ^
^' 'Íua^adfrd'" ^ ° ^
:::v°
lns=re"e-°3,̂ ''° « », In"--3. nn oínoní 1 ™ =í"-loi nes=e
. =írcnlo. , ^al , ^ --se triLgulo ibj
" 1 0 c í r c u l o e s t ; d o s d o i ®
r-:.ti;rc-......:r--'"'"'
■""^nfrcuir'"'"'' ^ >« triS "" °- • • - C ; „
-* m, '3ual o perí^®"
c u j o
. t u r s
6 "
22.
2 3 .
■2il.
25.
h '
^^'26,
- 1 3 9 -
r-„.-,„.c-. o 3xercíolcs.Jajaíg
t̂
U A ^ A
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
3íi.
55.
) l o a a 3 o • g g e r c i c i o s u ^
..ito a un hêcágono regular deÇual o ralo do círculo circunscrito2 V5m de apótema ? ^
C a l c u l a r c r a l o d o c i c u n s c r l t o a e s s e
bendo-se que o lado do triângulo eq
mesmo cí rcu lo node En. . ^^30 centro es-
Âaltura cc un trapo'slo inscrito ®̂^̂prQsinaçSo de 0,0no interior do trapezlo, nedo, ^ cal
0̂3. bases do trapcalo soo os ̂ Que ° trape-
^̂ âgono regular inscritos no ícasno
^■ilar c raio do círculo. írculo de 20 n ^^,^ge"*
^ Weono regular esta formado^o. Calcular o perJiietro o ^ecutivos do .^ognum-os doi. sentidos, os lados nao cc esta'̂ f̂ ^
hoxacono regular, do 2 ^ re£ula^ ao prim®^° ^-^^ulo. Qual o lado de um ^e do ^5 «•
círculo cujo perímetro e a ^ regul^ ^° ̂Uio do círculo inscrito em um ne:ca -̂.̂agono ̂o raio do círculo circunscritj um cír ,
Calcular o lado do decágono regulai" círculo de^aio i ( + 1) uotrosc ^ uíscri^o em
Calcular o apotena do docágono re
de .4o.
° lado do un deoágono rsedl^ , reSal?
■í^l o ralo do oírculo ? g uB aacae" _ ^
o . a i o d o o í r - l ° a8̂ om da perímetro. (Sugestoa
v,rfágoii° teí̂ ̂ apot®""®^^tua ^círculo circunscrito a cal*^ ^Ix-
®sta inscrito um decagono r® /-cuio ® que o
.'ira«ít»-áero.̂ f;::4or."da trlSní-ulo equllatero es ® ̂ ,̂̂ ,,10 „jar " ̂ cal"
esta' toeorlto rsn <»«o. « ^ cal ^ sl-
^do ao menor trlSngulo meda ^ cfre-l"' , dl° lado da un quadrado ej inae
''''lar o lado do quadrado clx̂ ̂ .̂peotl'"'®
ôig hexágonos regulâ ®̂
- T >l i i O -
0 p e r í m e t r o ^ â o I n s c r i t o e 1 2 V 5
° d e U E q u a d r '
o l a ^ o c í r c u l o m s d o 2 V ê m . C a l
c u l o . e q u i l a t o r c c i r c u n s c r i t o a o . e s. o c í r -
37. üa círr.,n. . . ^
J2.\j3^*
cípouio esta In
^^ îangulo eouiietero^ n rogular e circunscrito &lado âo hexágoRo. ' triângulo nade 3 V? m. Achar
■= P..&etro f=""0 e. .ede 2 -
Se JJ. °^=iraunscrlto ao boe=o círculo 7
° a u n c í r c u l o m e i e
üo. o, °- --uuítor, insorlcc no noE»o" lado de ua
t e . o a u n c í r c u l o n c d e l i *
^ ouio. " ° So t'̂ languio 0̂ "!̂ °̂ ® aír™lo modo h\/?f3' Um quadrfi-a ^ ®l^cTjnscrito ao nasfflo
eí^..., ° ® ^ h<=-r/...
, s - ü s . ° ° ô r r % " ° ^ ™ ^ ' ^ í3' Um quadrs^ ^ ^l^cTjnscrito ao nasfflocfe
' ° '•̂ '̂ ieono 003̂ ,̂°̂ °̂ sSrounscrltos a un IMS®"'■ '^°lculor o ral "'" ° ^°So do quadrs-
; o q ^ a i à u r o® ^ luadrado do 10 \/2 m S®
°̂l=̂ss=ol63 toa
^ ÍB. ® = AC =!. ^. ^ outros lados
tico (3 ^ , ■ = 30 e BC = 1,732 "»•
• s : ^ ; , ' " . . . f c „ . , . , ! , -
■ '■« O O j i f t ° ® l 3 , p - , ^ t i l o j , l - j *made 2 • ^ l^ão e iguai ^ s^ma doS^ ® o ?T1 sabondü-s®
ACB aede ^5°
h9.
50,
51.
52.
53,
5ii,
55,
56.
5?.
5e.
59.
®0.
- l i a -
vohlcaag e ::x9rcíê "̂ àe Kateiiatiea.
A
C l C a- - , - ls ao UU bcxa 'souoCal<"ji,::P ;;:; :..odidr.s Czc disgchtiis ao «-*
/ n J o \ / ^ • * r f i i o *c u n s c r i t o a u a c i r c u l o q c í - v - . 'tlrcunscriL-c ri la círculo <3c 2 V3 = ̂ co3iprls»nto
i % - 1 ^ « í r . à © l ô d o »ncxGgcno regular convexo te^ ? ^<lo SUL Denor dlGscn.ül ? quadrado Inscrito
í-igando-ee o:, uontos i::edi03 ccnsecütivas e ̂ ^drado. Cai
oa ua cí,-culc. ác 2 i:. do raloj encontra
®^ar o lado do n-'-vc caadrado. erito nns círculo
■^^-icular o períuctro do ur doca'sono . 1955- 3°d o r a l o . L i o 5 u . = » !
f ê- u. ..o.í,ono rociar lusô tto »e;Pt&
^ O ledo e o apotena do la^os do ifi iüio)- - - u i v c c s o r t e c s p o n t o s ,
»- 0Í.UU10 do e ::::l.
0 U ' 1 t r + V , n p - ' C d a »- - l a t . . r o r . T ' C , D o p o n t o U ? /
a P i , , C a l c u l a r B F - . t r l â » ^ " ^ i -
o . e t 5 o I n s c r i t o s n : : ^ â o
^^nclígoro ro^ j,» 22-c r iT. r> - i -=«- , . ^Q hoxagono o ^ purso ' • ' * ' í - f i aU"
(E. iUlit«-
-■I'cuo de rolo lEual a U=>a,,̂ lí«ro AliC. Calcul.-̂ o rsd / ,̂ ,30
c l t ™ o s p u n t o s
"«o cfr
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^í^culo de 2 V3 . da rsio
LfiinoLSl
^nc cerf 1 - circunscrita ^
5ii
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o p o r i i í i e c x o■°s TQc-dios o-cs lados do hcxago • ̂ ̂ laôoB '
' centro de ini círculo
^tura h = 15 ms traçn-ss ^'sio -^3» ^Calcula:, c per&etro ao
^ ^ a ^ H o e n t r e o s ^
®^tro cárcimscrito à r.esna cir
_ A . . l a õ o s i - / - ^ j j o r âcUst^cia er-.tre doi- ^g^íO. _ r-t
■ ^ o n v a x o d e 1 2 \ í ^ ^
- _ - n o d o
C^^ar
^ l a r
i O f ' - . / ^ e o 2 0 . > ; Í
' -na dP Ü̂ njroio ®"
srogeodo o fo'r®ul® 2̂ :̂ ' -■ ^ i e m p r e g a n d o a ^
n ladoss as expressoe
- I i i 2 -
-íjSnoel Jalro Bazsira
7 1 .
7 2 .
7 3 .
i'L
d 2 «
63.
6Zt.
- ^5 .
66.
67.
68.
69.
7 0 .
— — ■p c ^ a r r a
^ - ^ ^ - 5 - . 0 . o i o . 0 c
G o n o Q d o d e c á g o n o h Q . i : a g o n o , o c t o
I^0VSJ7 CRIS O f1
bro do lado do hc-r' ' "Ĵ âdo circunscrito a ua círculo q o âo
?ova. ,.ao o LI rré a netads do lado do trŜ T ̂ tiullctero Inscrito on un círculo
c - r c u l o , ~ Q T u i l a t e r o c i r c u n s c r i t o a e s s e
îO'ar que 03 lados do hesáporn
sulo eqaliátero, ia«eri* ' circunscrito o do trisi^-
raaão 3/2, ^ssnía círcr.ao, guai-díun entre si ^
hs>:a'sono regula:, _^ c roíao. Prove ouq q Per&ietro esta inscrito
<ío-se, nos dois sentidos os se ohtêm prolongas
^eáuza as'eípressSes dos ' hexagono q igual a p/S-
^^0 e he.̂ ^eono regulsr " l̂ãnguio oquilatero, íjua-
^^onlo de ral 'o r respect ivcs.
dtt: ~^tero.te ^1''° ..o o po•̂ 03 do quedrodo é iguQi ̂ tnlndo-se os pontos medloS
^ ̂ luadrado ten
^urrír^ l^^adrudo da suas diagonais
tá nôLitSor̂ t̂'' ' ̂ T̂̂cndlar̂'̂° inscrito en un oÍT-
lados do trlâri -1 ® <TUe Ês V ®^centro do círculo
se círculo ^ ° '̂í l̂atero e dn >, ®^c»rDspectivaTiiente, o5
O Z a . o " e ^ X 3 . ™ . n e ,
° apítenia do w' inscrito
dirá.,.,^^_^^ ^Êotio raguiaj. círculo mede BciuoA diagonal dn ^ito qq mesmo círculo
nea. k n. Ao-nar o
®SSE0 oíi-ouXo.f r > _ 3 ^ 9 5 8 )
O s/Z Cd.
° ̂ -Wro ao ,0,,
do mesmo c
( I . S
i í r c u l c
1 9 5
0
S )
. . I Z . 3 -
--^ r-.oA-,o..no n E^orcídos aoJIate^
"e 5 net ros .C E^pítemc do um quadrado inscrito (c.i:. - 1951)-
Calcular o Ic.do do tri^gulo ecuila^-ero "-s
7 ç < + r t f l u u n c i r c u j - v ^O epótons. do um hozágcno regular equl la t rn .^
astros. Calcui.íj? os lados e cs cpctenas
quadrado j
.aE os laaos a os aro;»"
Ir.sorltoa no aosr.o ĉ rcUJ. p̂ Q ĝxérolto - í"
. í
76.
77.
7B,
79,
K
K
S3.
5̂.
7̂.
t ^ - a u a . - t i U Q j a r . s c r j . c o l ; « v * — ' — • - p . c . j s x e * ^ *
A p -ün liexágono ragoî» ■'"" oíravio est.io Inscnltos un ° ° períoetro ao
«l̂ eonal do çvaOTndo reõo li n. GalculJ . 1918)-
' • • ' c n l a x , ^ « n a o W a m f e
o apí t^Ea do n . ta i ín^ lo à «=-'?ncls Esdc S CE, o perÍEOtro do c.PAdra.o . 1.59)
= i - o n n r o r S n c A n = " • . l a d o d o d o = f °
- x9̂ .̂
I t o
tPiSnsuio
-o S CE, O pcrÍEOtro do oua
■o P n r o r S n c A n = - ^ - g o l a d o d o
í^oulo toE 20 CE de raio. Achar o ----o, convo.0 inscrito no referido ^ c-^_
d o d e c a g c n o ( c . l -
tJm cír
ÇuaX
• • • W U J . O u £ . n 2 U c m a e í j - a - - - / r c u i o .■or convoo:o inscrito no referi ô ^ ito n®
® ccmprim.cnto do lado do * gode^ago
raie igual a ( V?' O potroa
, oircanrcríncia de raio 5 n, 8® " ̂ - (E.n.C.=-" O r ç . r « , - li :
c u i o
■'Uma
^e.do ^
C U l ,
O
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uircrsncia de rr.io ^ '• ^j^gtros.CÚ
■ conve^o ne le inser i O ' ^ , 1955^ '
^ PE .paaorado inscrito
c o m p r i m e n t o d a c i r c \ u . i c U / g ^ l o .° 80 n. iEian îo ecuiiátero
t̂ alculnr o comprimento da
- d o
íumU-
d-e ]
Ûm
t i o ,
. A B /c í r c u l o d e r c i c 1 2 m ò e
■"-■^metrc que pr.ssa por avi^°
„ a distai^
, 120°^oede
e . c d i
^̂ 3̂ cuio
■c q u e p r . 5 f . A w - r e g ^ l ^ \ , r i t O. . . i < . - - ■ * t
^olonle a altui-a do trlahS"! a a l t u i -a do t r l ahS" - " ^ 5 ®
ito nd»ac tEi..nlo O9.uó;rô 8noot ̂
O apotema do quadiadP .z v/5' cO ® - esS® iq55)'
L do PE t r iSnguao ° ( j .E, '1 ® ^5°. Dâ o diâmetro do clrc op5a-5® ''
^lo tie um tricJiíTdio6o\ Bâ o diâmetro do circ
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95- (r N/5 + 1)
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tell 0 c ®®®===="="®5B!í|:e8|ijçjí
0 âiãmetro âe ̂ '̂'̂ f̂orencla cujo ralo nocc
=™t£,otros , ° °° ""mferênola oujo comprimento mode
Muiaa circnnfer*
if e aedlda peio cciapriracn-co 0 e ralo fi, a ra-™ " ° • ( B . I ' . S . r . - 1 9 5 9 )
'-etros de ocmprw iJiscrito era tuaa circunforencia
o l a d o d 'laprl-aento da circunforr̂ î ^̂ ^̂ inscrito em mi círculo cujo
daC
20 CBf ' 10 dm, numa estrada ds 125^^ '' urn uovbTÎ I Eetormlnar o n̂ ero de voltos
do de nir" ^ ^00 nctros. (C.ti. - Í951Í
S e n d o °
ontra P4 ° °^®P^iaento a -ircunferencis mode
^®rá ̂ î̂ ênola cujo l̂ '̂̂ îerencia, o coraprinEnto
Caicujg ° ° 9uâç..Tipio do rale da primei^'"^30 rLo de
C^l<=nar ^^eo60O, clrcmí-eréVi-
"̂̂ --̂ 3300 30̂ om urn círculo fo
in 1Ç0 ®i^cunfgj.A CEoP,C,E, - 195-=o 1/,/■ ^ o comprimento ^ "»
.cic ̂ 0° «.de ,.33
0 t a l Q J ' ^ i r c u n f e r a n c l a d e
C a i i s , . , ® ^ q u a r t . . . . . . . ( I » E
c r
TÍ
d o
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o ^ ^ ^ r c u n f e r a n c l a
en . . ^ de ^lco:;^^^-os ^ --pnraento 1^ ,
b) 60°, c) 90°
d c
ii;)
d e
195 '̂
50gd )
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. .■ r c t j l o s d e _
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19.
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t ^ I'TUAl, r.ur; circula
^ETolo cnntr.M,
S e *
' L a t e m a t l £ ^
do raio H, o conprlincnto
r t . . 1 0 ' ^CTCiu, BO do
° angulo do m aotcr cin-ular
1,^,, ,
, ,0 ̂ 0 seu eroo ten P"r»
d o
u l a r r o l o Í 2
círculo rodo >• /- p. - 1556>
B a c ' "
UatjJ" nngulo macritc cm -aiaa clrcunforor.c
tej,^ ' ^^Iculo OG.SG anruin r^ "■ ^= ' r C 0 3 d o - • ■ • * - • " . « =
4n 1 centi"-ifl de raio ■»■. r s i ' b -
Og
cir
t o
, A 4 1 ^ ^
.... ...crvJce »e AC
..' ■ -p ros.nectlv!i«=""-0 ^ Í
20.
s o a n r u " > n
c o m p r l m o n t o
^ '^ -procndldcs ent ro
rule a, t2m pirn
tô 3"'̂ '=®°nte. Calcule, -r. „° o e s a c s o c a n t o e . d e 1 ° ^
Wrcunfc.],g.̂ ĵ̂ ..̂ cc-ic'ntrlc-is fcr̂ ê " ̂ _4_ento5 ''"'̂ 1955)C-lcule a dllorcnce or.tre os =c«P-'- (-..-.C.C. ' '
"̂'■=̂10 de £ r.
'°-S0 quo
d o
qiiQ
Psit,
a
t o
^ s e c a n t e s n ® V *
OS nuoeios ^ -Ç
. ^ e - ' o r
^ r a u s i
r a 1 0, . r o a C O _
- P . -irorontio or-.- - p^aicles-
d e 2 n d e r r . l o r e r a n e ° p o s t r ®
"Uo una das cordas e o J-f'-l"- ̂ „csnio qua""^"'
Wgonp ror^aar inscrito^ "exiH^sarrnto,
liUa;
la^i
CUlu-
"pa
£ r . d e r r . l o T c r a n
l&do t in ia das cordas e o .^esno ' a■ one regular Inscrito. 'loxi-^rC
- cntro ossas cordas ̂ -556 cir̂ "-̂
coaprir.onto da circuni*eronc-
:^«ao de role K fcrar.® Ua quadrado do Indo ̂ ̂ (.gdo ® 5
graus do arco que rotif
CI.E, - 1953).
indo t
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fenoel Jalro Bezerra
2 2 , 3 6 °
1 - PflRALELOGRflMnQ
L:?—1 A_A_ S
d emWo! 10 o ae diagonal o 28 o
2^0 ">2 â-5 iea, sabendo-
C a l a a a r a s d l n a n - " " " '■ ' S *
estão rJllZ 2 ^5 -ea, sa estas
a i e a d e ' '
a iea do ! ° í - í"--
n 1 R U a d r a d o d e í j v / 5 ®Oscular a írea do on«. . ^ âe diagonal.
os t ro . q i ^adrado Inscr i to em u^ / . ^ iS" em na circulo de 2 ci õe dia
Oalcuiar a ^- ís bLVe 27''° ® isc'soc-les
Calcular a area a P^^loetro,- ^ » í e l a d o . ° ^
« 77^ '■'^'^««0 Inscrit
(iual a i ° ° PKÍmetrÕ ™ Iso'soeles i'
^ a l a i e a d a l " ' " ' ^
loa lnrt..v ^onbolde r, » ^ o e 10 m ?
10 m TT ^ Paral ^ ^ ° ^
^ ^03 seus anffui ' a medem, respectivaraeS
D O I Í ; T „ J . _
0̂3 mede 6o°, ̂ ®^®leloeraiao, sabendo q̂ °
- O n a s t n i f * . . .
D o i s l a d ^ • ^ ' ^ ^ l e l o g r a i a o , s a b e n d o q « °12 =»' 177""°' Pa.alai
• 3 o p a r a l e l o g r a m o ® r e s p e c t i v a n e n
Calcular a n% . * ^1» Edu^ Calcule a arca
^n/ÍÕ9 m e dli/'-.' ̂ ^®leloEv..>.„ ~ Parcial - 1953)^n/ÍÕ9 m J7ou\ T Parcial - 1953)® ̂ °"secutivos ̂ laeonal maior mede
« e 10 n.
- a i i 9 -
Problemas e eWçIos^^
/ 4-T.n sabendo que15. Calcular a ̂ ea do losango de 20 n de períms ,
sua diagonal menor mede 6 m. / e que possui ua
1^* íual a area de um losango de 8 a P°^
^ g u l o d e 1 2 0 ° ? ^ 0 3 q u e ' S ^ ^ '
As diagonais de um losango formam com um̂ ̂ gO m,
•^am a raaão Sendo a maior dlagona (e,N.C.D«
perímetro e a área do losango. acrescentai um1̂* As diagonais de um losango modem l̂̂ ® j.̂élia que a superf cl
raesmo comprimento a cada uma ̂ prla?î °;aitar - 19^^^^<30 novo losa:̂o formado seja dupla da (e. HiU
11 - T R I Â I : g u L 0 5 ^ a s e m e d e S m ®
Calcular a área de um triângulo iso® ^o per ímet ro l8 ra . i2 m e ® 1®* ! °®
As bases de uiu trapezio m©'!®® ̂formado prolougâ'̂® .
Oülar a área do menor triângulo ^.-nusa °®'3®
p a r a l e l o s . . ^ o ,
Calculai a área de um triângulo^ e o perímetro 2h is* 4iátero de ^ ® círculo
a á . e a . 3 t > n ^
Calcular a área do triângulo eq«il̂ ̂ ̂ ̂ fpculo
2 m d e r a i o . ' t e t o
^ a l o u l e a i r e a d o t r l r á g u l o j p = 5 ®2 V 5 . d e . a d o . f ^
^ ponto da base BC de ® 0C ^ ^
^ = a B. A área do triang^>l° ̂ ̂ ,a„ajg °trlãngnlo APB, tánB"!" »°f triSnf^"-25/1 '̂"
h i p o t e n u a a d e u r a ^ j , l i ^
latetoa e' Igual a 63 ' orole»»^*, ' jSste «J-'<1. Educação - E» P- ^ l l - 1'^°'
triângulo ret&gulo os 1» dete^® (c.P. • ̂
^6and„.,, oue o per&etro a ',.i.perí»=-2 6 . a i r e « ® í « ' ' " i r >o comprimento de uma =1 ̂ aa
®^lor de um retángulo ÍU®
- 1 5 0 -
Hanoel Jaljo Bezerra
AS Laii 1 V''"" °
ciilar a area do quadrilátero f ® 10 m e a altura 6a» Ca^
âos adjacentes do trape'zio. os melos dos la-
Calcular a área do tri*raio duma clrcunferenciâ°L̂ °̂ cateto menor corrosponde ao
catetomalor e'igual â dlaeon ^^5,6 m e cujo
15 m e 20 .. ^ -otángulo que tem para la-
Calcular a «ea de um t Aeronáutica - 19^8)
circunferência, satendc-se'q'llê ul''''''̂ ^ circunscrito a -ama' c o n p r i m e n t o i g u ^ i „ c i r c u n f e r ê n c i a , d e
-rea 2k Calcular o menor""!.̂ ̂ ̂ 3 n e a sua
lla triângulo retánguio tem ̂ 2 ° ̂ l̂ângulo.
lZ,ti L^ c i r c u n s c r i t o a e s s etriângulos gâo aeaeihant̂ (S-N.C.D. - 195?)
- r - -
-area. ^^^resso peio , ° Perinetro do segundo
que representa a sua
ríinetr^^\'^® ^^i^gulo são CE„ÍT,C.D. - 1955)r imetro i8 Qg^ros o. i ' «et roa < .
u m t r i â n g u l o a b c - ^ a o o s .
Isosceles arti í,' ^®^^gulo ea . ^
« =■ a A B ' = ^
l o J I B M , a d C o n B e ' ~ 6 m Q q u e o p o B
l a d o
= • S r - e u i o B e 6 0 ° ,
tnS„^„ AO^fançSe Be e.. " "2a. Deduzir a exprê "̂ -̂ ®uguxo de iinO
Ü m a n g u l o e r t e r r , á r e « ® h i p o t e n u s a m e^ ^ -P0ten:r::,f ^ ret^l^ - -- ^.5o Ba Mpetenual ^ ^
^Qa 5(Jq triângulo- ̂ AFÍZTr̂
''oal a ápea rt«
de ua i-T.^ «
êtSngulo ouja ba '30 media mede 12 m ®
- 1 5 1
. acerofclos,iaü;ÍS£^
I .
i a .
il2.
Íi3.
ílii.
^5.
Íi6.
Íi7.
ii8.
k%
50,
51,
^ c ^
cujo sonor dos lados não paralelcs s l&ua ^ zk n
- diferença dasEm ur. trapázic do é n dc ^ g área.
delas o o triplo da outra, caxi^ _ á l8 o »
> . >,^.03 scden 7 a e ^ a»A area do trapozio A3CD, cujas « .* - .-
Achar a área do triângulo BCD.
/ ^ S C G ° - ^ 'A aroa do trap^'^sio A3CD, cujas ^ k \L L
Achar a área do triângulo BCD. H ̂ ̂ g ĵg 0,68 m >
Celcular a base maior do um trape-̂ do Ar - 1952)
a altura C,80 m e a buso mer;cr » gtlvanente, IC m
Eum trapázio retãngulo as bases 0®̂=̂ 5 n. Calcular a
^ ° o c maior dos lados nao P^r® '
, ' e l e s i"alcular a área de ur. trapási® '{^etvo pO
P - t l v e . e n t e . : i . n o 6 . e ° „ I
C°l=ular a aVaa de trapezi"
í'®^ctivcmonto, 12 n e 8 n, sa c / i-ro íiltd ®P®slo medo h5°. , | 12 Oi ° P®^
' " w t r a p á : i l o l e o ' s c e l e s a a
3n.-ulce do trapealo e ^35 ,
âlcular a a'rea de un trapeji" Ín5id°s a f̂ oo . u a i d o s l a d o s i g u o l s i 5 ^
trapo'aio iso'soeles o ^se "(j.B. - "51'
e n i e a 3 0 n ^ . 5 " =
f i D l ® i n t e r -
15
met: e a á r e a 3 0 n ^ . C a l c u x ^ - - ^ 5 d ^
,g 8 Oi ® AQ iijter-
^ trape'zio iso'sccles a
°^^°lnento da base ^ ^ - 22 centip é Z " ' a j a V . a l e l ° =
'ccelô® laàos , X9ii9)a írea de ra trape'zi" "o ^ ^ujos (S-S."-;' 5^-
euja altura é 8 =entí»°« a' "
I g U a i s à b a s e m e n o r . ^ 2 . e , i n i n d '
53.
IgUais à base menor. 2 e d®® ^ uriiP^° l d*
trape'aio a área e' ie«°l ̂eeô"̂" 'f 9»= diatA_''®=̂ î/50)
^titilnar o comprlnento de u™ ^ base 2 ^
paralelos, que e' é U sen.l=^"®
c u e a a l t u r a d o " "
"titular a irea do um trape'̂ l"
- 1 5 2 -
Manoel Jairo Bezerra
alo, cujas baseŝ são, respectlvanente, o lado do triângulo £
a ero © o do hexagono regular inscritos no mesmo círculo.
, ( E . P . C . S . - 1 9 5 Ü )
^ menori° círculo de 10 m de ralo,' tem sua ba-
cr":
metro é 2h n ̂ irapezio isosceles circunscrito cujo perí-
Calcm ' ^
cujas bases mofl ̂ ™ ̂ ^̂ pezio Isosceles circunscrito num círculo»medem, respectivamente, Sm e l8 m.
A b a s e « ^ C E . r i . C . D . - 1 9 5 5 ^ijaSô iDcQor d© vnn t '
netros e os ladoo circunscrito a um círculo, mede 12
a área, Paralelos 5 metros e 8,5 metros. Calcular
cular a sua írea sabê '''̂ spezio retangulo e a base menor, ̂ al-
® consecutivos, ° lados são números inteiros
9̂® a cir cunfer *
leuals a 18 m g ralos, respectivamente»25 a. Calcular a área àl ! '̂ ®̂l̂ cia entre os seus centrosas circunferências e os ve'rtlces sao os centros
com uma de suas t«n . contacto dessas circunferen-,
»t.ap.-:nrr° comprimento do seemâ? ̂ ̂ 20 m, respectivamente. Cal-
e» auas Pa.tes àa bases, que divida o
»ases ae » tvapá,.
^ ». respectivamente, cal-Partes Proporoiaralâ °/= 'Í"» °
- POLÍGOh-nR
■«. ealculJ°g'"'°'̂ *̂™«Pte, Sena!™̂ " dimensões Iguais »
cule a ° 'r=>pétle de - 1= Exame Admissão)a o a s e m e r t » ^ ^ « e m f t c » , . . .cule ® t^apázlo d© - H= Exame Admiss®®)18 em. ̂ -ape'zio Tabend''"̂ ' ̂
9U© a base do triângulo
(I.E. - 1955)
Um
65.
66,
67.
68.
69.
70.
71.
75.
75,
7U.
..eblemas a ̂ .eTcíjâŜ SíJÍSÍ̂~ ^ e x t e r i o r m ® ^ ' "
Um quadrado ten de diagonal l6 equllâtê o. Calcular
t e a o q u a d r a d o , c o n s t r o i - s e u m . . . 1 9 5 3 )
área da figura total assim -go - 2®
ĉírculo ae 2 mdaralô'* Qual a área do quadrado ̂ j,
'• O perímetro de um trlânpil® c *jguio, ̂ trlâuÊ^°»
cada do círculo, inscrito nesse ̂ ^ente a desse
^ar a base do rotângulo de ar ^ ^ de ^ 1953* 5° ^
aabendo-se que a altnira do ^ ralo ?
uB círcul° de 5 ">Q âl a área do quadrado, imscr jjiscrlto e® ̂ cír"®^®*
U Perínotro do um iicxagono inscrito círcul®»
^ V3 m. Calcular a área do 9^® inscrito e
U a l c u l a r a á r e a d o t r l â n e ^ o c í r c u l ®
2 m d e r a i o . i n s c r i t o c ®
C a l c u l a r a á r e a d o h e x a g o n o c í r c u l o o2 n de ralo, Vato» „ mesoo círcul®
o apótema de um tri^i^W ®
3 m. Calcular a área do ̂ gcrito eo no
^ área de um hexágono ^ - ^gX-
•^^Icxilar a área do trlanS^il «ede 2 ® * ' 12
^ área de um quadrado '^circUJ^®'*
^ ^ a r a ^ e a d o h e x á g o n o '
^ á r e a d o i l h h o x á g o n o c í r O * ^ ° '
^-tros quadrados. Calcular -rito ^rc^uiscrito■ r̂íto ao mesmo círculo. millát®^®*
° perímetro de um triângulo teísgono
"'-de 2íi V3 m. Calcular a ^ ^ '̂ ^^o ?
mesmo círculo.A área de um hexágono -«̂ado
2T v/3 m2. Qual a área do <Ŝ
Aohar o perinatro de um ''̂ í'̂ °llsdrad''=-_̂ .c.o- " ̂
círculo, sabendo-se que a ̂ ̂ etros
iiesrao círculo, á igual a
75.
76.
77.
_..3noel Jairo Ba^erra
círculo âe dlânetro 1^ ,latere e um Weono regului^ ^ un trl^ngiao oqui
3 ca. Calcule a área rtn v, '* '•Po^ema do triângulo o Igual a
( y « e x a g o n o »V.Í» iducaçao - 2a p c
a área do h ' ' Glnasial - 1953)
1 metro de raio. tegular circunscrito a um círculo do
"H: oi^izzz^zii::: ^ -• ^
^ - ^ e a d c u u d o d c c a - . o n o '
C a l c u l a r a r o g u i a r i n * - c r i i - r . / ^ 2=> ctea do decagono en um círculo o h3 m^.
Dedualr aa ouprcssSes d ' " ' t.esmo circulo.
oqulla-terI,'!r̂ °..'""̂ -̂ ''°. de Wgono rog-ulartalc do círculo c i rcuns-Ocducir as crpresEÕes das '
12 ^Wla-tcro, - "-^-e'ecno regular
_ r e s p G c t l r o s a y o t o -Expriair a área •
Calcular « - i^cldea com 5 dos ^ertl
a ̂ ea do hê '
c í r c u l o , ^ ^ ^ ® e u i a r , c i r c u n s c r i t o a
c m i . i n s c r i t o n o r c o s a i opojĵ ono roguiay a
ti. Insc^^^ P®iígono aabondo-so
Em Um po i igQj j i ^ nesse po l ígono mede
ríSgÍf °°-V-le a - -3 -guloa 1- Siroi^
«°e oblfgooj nedc! a um r="1̂ ̂ «ea do c=tò*̂''""lt"ento,'̂'̂- ̂«ee malor o oa IS
a iea do ^aeojit. „ , =itculo.
3o do h^sfltr "^^Sulo ecnvii ' ^ícailn^ - ^ a g o n o r e g u l a r a / 5 m . C a l -
ao oL ®laasiao círculo.
Aeronátlca - 19Í18)
i n
- 1 5 5 -
û omomn-, .-. SxercícleiiUaíS^
ao apótema do heiágonoO lado de um trî gulo equllátero e 1̂ a áreadotri
Inscrito num círcxilc do raio ignal a _ julbOi 1953* 3°
angulo oquilátero. (S.P*C. - ^ ^0 jj2 de ^a.
t fn ensuEono recu la r t on 26 n no i ígono»91.
92.
93.
9ÍV.
95.
96.
9?.
98.
99.
lOô
área do t^i
inscr i to num circule do raiu . . .6— ^ lyyj . 3°
angulo oquilátero. (S.P*C. - Sxa 79 de ^a.
aneagono regular ton 26 n de polígono» ^
•nilar o perínetro do círculo» inscr . _ >1 oetros de epo-
de lado aÜm icoságono regular ten a nie
tana. Qual a sua área ? regalar inaorito de
A s a n d o a f á m r a l a d o l a d o d o e x p r e s s ã o 1 9 5 ^ )<̂ 03 em função do de n lados, dê ^ j,. (I.E.toEono regular inscrito n'on c£r ^ ^ ^
I W u e 0 3 m e i o s P = 3 d " « d c ^ - 1 9 5 U )
"^árticas, Sabondo que o Ia o -Q^nado. cateto
^ea do quadrilátero PQEE tângal® °° m eco ^
a Ulpotenusa ae -im ^
f 3 m quo e' equivalente 3 ^ ^ ^ ^ lado ^
^enio de 155° formado por ^ aoisai®
quadrado ABCD une-se o ASi 3? ® ^ do 9^° o vertice C ao meio E do sabendo
Calcule a área do quadrilátero .to em n® 9°®"
e igual Q £0 n .̂ „uilsterOi ̂ °^*agulo ooinci
'^ulcular ' — +:T-lángnÍ° s ^^t-ices do
j »
d o
i o q u a d r i l a W ^ ^ ^ q o a -
„ a í c e a í c ™
de lado a, devendo nm - aa d»
c o m ™ d o a v & t l c e s d o 0 ^ < a a t e »
Ptolonga-sa a djagonal AC, ® trlaBA "̂
-«"to 0. ,3. calcular a et
quadrado 16 m2. ^ " «»
■rapázio isoscoles esta 1^0 ® ®o perímetro do tmpea ® ^ o ^ «ntrer a
■ 1 3 5 ° , c a l c u l a r a , c c ' a n -
î angulo equilatero ̂ ̂
-u::.S:ci: er rcaiuu- ̂ ̂ -ncpor-ü:
H P -
quadrado e' ãecompoato ̂ piodradO"̂ ̂ g ain Paralela a xima dlagona ®
îiaei-K« pentágono e do
t r a
que (
®CdQ
í̂ um
B c
U V l
^ircunf,
d o
ujna re-
08 P®"
- V : . í -
jSanoel J;,lro
• 'J <
102,
103.
I C i i .
105.
1C6.
107.
103,
109.
110 .
111 .
112.
113.
i m .
l a a o e Í 1 5 n i ^ . C a l c u l e , e n n e t í - o s , o
Ce.ií.c.d, - 1958)
^ " Ü-lGÜRAa CTRfTTTT.App»
^al a 3ua ̂ Comprimento de sua circunferência 25,12 a-
Num triângulo ret*
a Mpotenuaa mede ̂ mede 8 dm q cua nrojeçac so-
determinar a íírea do círculo cix
^̂ potancia de um ■ ' * - ̂ -xerclto - Julho, 1955. 1°
janela dessa ponto ^ círc\ilo, e' íiOO m^.A di^
Calcule a írea d ( ® ^5 m. Calcular a êrea do círculo.
Ig'oal a 50 m< inscrito um <,uadrado de
^^•^ar a ̂ ea dolado mede 12 e.(̂ °1 f-̂ scrito no trî guio cquilatero,
^ polígono regular i-b« . * * ~ ̂ ercito - Janeiro, 1955» 1°
P®̂ t̂ro, Calcular a írea de írea e 8 metrosda
^^oimferência ^i^oulo inscrito. (c.lT. - 1951)alcular a areg do círculô ̂ 0* aode 1,57 dm.
T^drado esta' inacrit ' (E.N.C.D. - 1955)
C a l c u l i ^ q u a d r a d o sa 1^ '̂ ^ '̂̂ ado, inscrii-
Cal ^<^mo em um c^culo de ê^ea i-
d e ° P ® r í a e t r o d e u t n W i l " a r - 1 9 3 9 )
cent?"̂ ̂ tranA ̂ ^̂ ^̂ 1 - k& sÍrle Gln. - 1955)
-tr r ^ í™ ° ^ r e s p e c t l v s -
"«a trape-zio rai-» Pela 01!°''"'° trapéalo nüo per---tanmo «Cl,,
® O maiorangule, B
r. ' - yV l f 'ma s r - Kxe.,MHea âe Hategátlea.
^ fcase maior mede 2;. n e a altura da porçSo
ralo íD trã̂ a-se uma circunferência. circunferência tiaçada.
trapQzio não pertencente ao circ o de 60°, P®£9°ale a íraa do círoulo, insulte nu» "̂tor =
^encante a um círculo de 3 ̂ frculo de ralo B-
o» uator clToular de 6C° pertence a ® = „„ aetor.
, e» fu„,ãc de R, a ír.a do círculo,l l 7 a t E 3 C U ' '• tJa circular dc U0° pertence
2 A a a i i p e n ia a r e a d o s o t o T . . e 8 , ^ ® ®
g ô t ^
comprimento do arco de / , ae 2 D
Ita '7 1-S n dfi rsiO ? . ^ - lID cí^®^
^ 9 .
l20.
^ e o comprimento do arco ® / i de 2 D
^ o d e 7 , 1 2 n d e r a i o ? u Q °
u ' oircuns^^setor circular de 60° es a »ístante de
Talo. Calcular a área do setor ®4.„„eente e B
P o r
Cie,
I'm
1̂ 2.
^5,
^5,
'tor circular de 60° esta c »ístante delio. Calcular a área do setor. /tangente e B
^ p o n t o P , e x t e r i o r a , 1 o^ da circimforêncla desse ° ^ distai^^^ do cír
d e c a n t e , c a s s a n d o p e l o ^ r a
da iangente á 8 m.Sngulo e' de U5°. , e / endld® !
círculos se tsnsencla» = "/Ítcrinr, , «/H/̂0.5 m. colcular a iea da í=-'^' 2 rcs"
O a C J® 3 c í r c u l o s . . - ç c j e d o ® « 1 , 1 ? ) .
^alcs de dois círculos
l e t i v a m e n t e . C a l c u l a r a a r a ® ^ a j o r ®
a c i r c u l o t ^ ^ ? g u ®
''fruulo uue a 3d».lta »a^ . „ess
quadrado, cujo lado mede -j^guio ,'®S3e círculo inscreve-se um ^al
lnaereve-se um círculo. ® iVctilos*A diagonal do quadrndoj dol^ ® c,p. '^ apo'tema e a árer. do trlâ ,̂,aa
A area da coroa circular,
= /l5?
« u o t e m a e a a r o < - — i i m i t a " * * * 'A área da coroa circular,
a área de u»a coroa 8 »• '°í̂ nulo maior tangente ac neno
- 1
gente ao menor, igual a k círculo maior, tan-
í ^ ç ã o d e k , C a l c u l a r a ^ e a d a c o r o a e m*"■ sr- ■ '••—■—»....... ,
128. tta aeg„ento olraüar de ,0° fE.P.O.E. - 195W
ralo. Calcular siia toea. ° a um círculo de 12 m de
Cm círculo tem 36 T «2 '
circular desse círculo culâ ^̂ " Calcular a área do segmento
1 3 0 . a ^ t a i r , l u e o I t a i t a m e d e é v / 3 m .
para corda o lado do quadrado segmento circular que tem131. O dlSmat.., de elrZr^ "o demento.
<21 o^P^eendlda entre T ° "1° úe ontra. A■ , 3 , r ^ « " - 1 o ° = o . p t l -
. J^Jffla«GntGs de um círculo ^ (E.n.c.d, - 195^1)
cornnr ̂ angulo de 60°̂ r ̂ ̂ âqadas do um ponto es-̂P-aendida entre o ĉ ĉoVasT"̂ ̂a as tangentes.
Dois círculos ralos î a " ̂ ercito « Janeiro, 19523
—•r-.:íT-"íS,: ?-•»•."■«»...«...' - • • • • » • " ' " •
Com centro em ̂ e p«? "̂ ^̂ ^̂ crlto a um cHV -,
Calcular a a% ^ ^aça-se um de 5 m de ralo.
1 5 5 . C o m ^ ^ g u t a B c n ^ c i r c u n f e r ê n c i aCom cen t ro em o t r« fo rmada ,
loiale a lz\ doie e&cu, '
«™. j»ntrr'̂ *° a ̂ = 60° e suae ̂ las£
"̂"nala, qua toter̂ °̂ ® ̂ a mo° a Z'» '■ í ^ T " ° " " t . r . : ' : ?
aunferânclaa.̂tâ ™' "Wadrado »w-entre a i-eê -̂ "®° 'oaa'ceâdIa nosa'cea e a IT '"Ua-a. CJual a
quadrado ?
:.-olen,as a ãtercf.l°.üUS^S^
138. . : ^ oJ > a n c í r c u l o . 1 0 r a i o t r a ç a - s e ^ u n a
^ G 3 traqau-SG deis cutrcs e aão pertence acs c
P r̂?íciQ quo portoncG .0 círculo f-
^uios ÜQ centros A c 3.
^ - 3 E L / . Ç Í 0 E í m E S r ^ Í I ^ . i E u a i s
1 5 9 , 4 - t r l ê c g u l í ^ d e b a s e
^■ostre qioo a razSo das áreas essas bases.° l^al a nauHo dos altv.aa .elati.
'■■oatre .uc ,-. nanSo da. teas de ° ^dentes a es
^ -«o =* ICUal a natSo das -ases =-e=P ̂'« teiíuirulo, dois Wdos -edea terceire
^-aqa-so ,: -issetrls rei. - elssetri-
J, ° =Pea dos trlSuiTUlos dcteruird'"»® f ̂ nesoe ̂
^''«teca^oaj Jieissdo.Aa érit.ao^ é 1" "aprlsicntcs BB = .'d'. de "1®^ ^ a '^v/?
Ug ° •■^riivgulo Ò3F .-..ibondo qee ^ ^íreas da dois trlâigul^^ ^ a rasão «>Ug ° •'^riivEulo ÒSF .-..Ibondo qee ^ ^íreas da dois trlâigul̂ ^ ̂ a rasão «>
wat-ados, respectiv®®""
: v s
wat-ados, respectiv®®""^ a c ( S o " o e r . t r e
- áteae do dois ta-l^u^-- ^
'^'«-adoa e 3 ^ dee&a«cs^«>- ^ -■' flturaa dos dois trlWile= ■ ^ a prluel" ^
;».... „ ,.U„.... ; ITJ: '■ ;fí;_ o 0Q]Qe::^.nt9 ^a^jendo quo - raicvl^ °
/ . \ - - r a r a 2 . , « n ^ . ^ _
no^ do um polígono neao -/_ e =o,ae:annte sabendo oue . colcnl-"^ " °^6. ;." ■ -- 5 P-a 2. ^3 e2 ^ ,_
do us, ponUdono S 5 -ee. Daternl̂ '̂̂ ^_
lll7 '"^^Bono regular ouio per a"®" aPA^P® . ylses P®■ de UU polígono node ° ^
° fio polígono senellont® oPJ ^.ca d®
l i f f l 2 C ® 1 ° „ e a i "• A ' 1 2 0 0 S • « n e l ^ ^
^ p o l í g o n o m e d o d e s ^
s e m e l h a n t e s a b e n d o ^ e & ^ . l a d o
IJiS. ® ° sugundo G de 5 F®'^® ^ r- - "'l'de um pentígono regulaF e ̂ .ĵ e e d-'°EFno p perímetro de >
- 1 6 0 -
í-íaRoel Jairo Bezerra
o perinetro de na polígono x e' ?o « « ^ /
celiiante a x e ^0 n r' i ° o o de nm polígono y, so
y e 7 2 ^ ® d e x s a b e n d o q u e a d e
2 0 a , o a - ® = 5 ® o t l v a J i e n t o , 8 n o
^aae ...o. a oa
A s b a s e s d e m a t r a n e - l o » + * • ~
Sabendo-se que a área do raiiao da 5 para 3-triângulos que se obtSu prolômeo ô °̂' '
3 lados nao paralelos.
s ã o d a d o s d o i s t - r ^ í n i ( I » E . - 1 9 5 Ü )
prtaei^e e s- =™«U^ntes T „ 5,, 3 ^
ÎSUal ao segnento áureo do ̂ rri" "■''Determinar a razão entre s e gi ito triângulo T.
Os catetos de ira triân^n a ' (E.N.c.D. - 1953)
e . q u e^ a area do tranezio obti*^ Paralela 1 hlpotenusa,° ^ I g u a l a 5 , 7 5 b I
; ° «, 3. ®0, „ede teo, „ ^ g ^traçe-se be panaleXe a 2'. c T""' ® =2"
^ cule a area do t rapezio D,1CE.t r i â n g u l o j f f i c t e a i p - 1 9 5 2 )
„ * ° coamn a esso„ ^ ®iulval9nte ao triângulo
traçIÍ̂ Ê ° l̂ao BC = ̂ „ "p' P°lígonos equivalentes.
entro ai com ° «^Ivldid^ ° segmento DE de modo
Um retanguio toa 5 „ ,
. rea de mu re+5- • . Uase a p _
A 3 d i e s . c u j a ° C a l c u l a r a â^ Wagonals de dois aet- " nede 10»^ -aa do uenor â X ==»alha„tea „ s
A base 9 ^ m . Calcular « ' 5 m e 35 n.t â Í ^ L a a „ ' - t o r .-o --"̂ te ao pa,„t:-a ̂ ĉ "̂ - - outro ra-
area e 16/9 do prlraei-
- 1 6 1 -
Problema* e Exercícios de Hatena
s - d e c u t r o ,
1 .
k,
7 .
10.
13,
16.
19.
22.
25.
28.
51.
5ít.
37.
íto,
^3.
^9.
52.
5S.
58.
K S 7 O f. t
a2 2 . 6i i m 6 .
25 m2 5. • -6 0 '̂
" > 9 .
^9,86 ^2 8 . 0,9'^
' J 1 2 -
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Manoel Jairo Bezerra
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89. 8V3m2
92. 10 ab o2
96. 11 ffi2
99. 50V2n£
^02. 50,1^2
78,50 o2
1256 am2
^^1. 6,28 m
101,50 n2
^7. 3iii ^,2
120. 8 ir E,2
^7,10 n.2
1 , 5 a 3
63. 9 cm
6 6 . 6 dm
125. 50,2/;
6 9 . 3 \/3 m^ 123, 1 , 6 8
7 2 . U m̂ 131. 6,8 dir.
7 5 . 128 N/3 m^ 134. 21,50
7 8 . 5k\/3 cm^ 137, T T- p
8 1 . 20 \/lo 2V5 m^ 2' 1 4 2 .
7 m^
a/l . 2h2V3
145. 800 m2
3 148. 192
87. 1 2 ^51. 1 6
9 0 . f Vscm̂ 153. .3 +N/32
94. l m 2 156. 6 \/2 m
9 7 . C2V3 - 3)a2 159. 588 a2
1 0 0 , 9N/3 I6l. 9
1 0 3 . 78,50 dm^
1 0 6 , 1 2 ¥
109. 2 ^ 2
11 2 . 620 cm^
115. K
118. 8 m
121. 0,0403
11,70 n,2m
158. 250
lüT. 90
X50.
15/;.
o
1 5 7 . 5
160. 52-̂ ,65. 25"''
•«s"
♦o*
PROVAS DE CONCURSO
resolver
1 6 7 -
Problomas e Eiiei-cícios do Hatosatlea
IIISTITOIO DE EDUCAÇÃO
( I 9 6 0 )
I ) Q u e ' s t lo n a r l o ;
Complete as afirmações seguintes com as palavras, expressões,
^^eros ou sinais convenientes ao seu sentidos
Transpor ura termo de ura membro para outro era uraa equação eqüivale
a s o m a r o á o s m e m b r o s d e s s a e q u a
ção.
benomina-30 solução de um SiSteraa do equações
3) Uma equação e irracional quando poss''!!
Üm angulo agudo e outro obtuso, de lados respectivamer.-ce pai'ale-
los, são sempre
5) Quando a bissetriz de ura dos anguloj externos de vra triângulo e pa
^alela ao lado oposto ao vertice desse angulo, o -uriângulo õ
6) O segmento capaz de um ângulo reto é
7) Colocando 2ax era evidência, obtera-ses
+ 2 a x =
B) líultiplicando-se * b)^ por
• o b t e r a - s e s a + b
9 ) Reso lvendo o s is temas
X + y = Íi
x y = 1 -
o b t e m - s e x = e y s
A oquí-.oão yr̂ J 5x̂ - a + E = O admite duas raízes nulas quando
a
O î Lriero que :.,./!.-lrae a ̂ ea de ura triângulo (era m )̂ e igual ao que
âa a medida da lase (cm m) quando a altura mede __ra
O polígono regular, cuHo angulo interno e o quádruplo do ângulo ea
t e r n o , t e m d i a g o n a i s ( d i s t i n t a s ) .
^ 3 ) A ' * ' ^ * 'a rea do hexagono regx í la r, cu jo apo tema e exp resso e ra cen t l rae -
"^^os pelo número •> c igual a
dois quadi-ados cujas diagonais diferem de 5 a area do me-
e s =i cm^ quando a razão das areas e
— — — — — 1 6
- 1 6 8 -
— ; — M a n o e l J a l r o B e z a y r f t
I j - ) P rob lemafl ;
Ifi) Problem; ife açude receb® á^nia do
UEa lavoura. "Jn dos mananciais --ò-inh ° abasteceo açude (quando nSo ocnsumo'do Ti f
aias. O outro manarxlal, nas mesmas
menos. O consum. de á,n:a da rererî ̂ 1
capacidade do açude por dia. Calcule: '''''' ® ãf
a) o temo que levariam os dois mananciais luni
Cher totalmente o açude, nSo v-av-nd.
lavouraj --avendo consumo de a c u a p e l a
b) o tempo que, também Juntos,
ra encher totalmente o açude ha ̂ nananclals pa-
l a v o u r a . = ™ a u n o d e á g u a p e l a
^8.̂ « = .0 e altu., , , 8..
t o . a - s e
d l ^ a « , ^ 3^ ^ C a l c u l e a
mo pouto M à
ni) SuestEo teórlea.
Ssereva e, en aecuida, deduza a fórarul. '
equaçEo ax2 + ta + c = o uo caso eeral f " a reaolução da
-'£00 dlfarentea de
- o -
P E S P o R T A S
I) aOESTXOIQtRTO
!• O simétrico desse tlrmo.
Z. Ao eonjuuto dê aloree que atribuídos „ . .
a a e q u a ç õ e s e m i d e n t i d a d e s . " ^ o g n i t a s t
3. Possui inco'gnita sob radical ou elevada
- 1 6 9 -
■transformam
^ ê ^Poente fraclon̂ lo.
PT.nhi»n,as e Exercídos de Hatemá̂
h.
5 .
6.
7 .
9 .
U .
13.
1 .
3 ,
^p lementa res .
laóscoloa ou (Equllátero) * í n p i i l o r e t o »o 3einJ.círculo no qual ostn Inscrito as
_ c - • V ^ / A + b
2ax(2x2 . 1
X =
2
6 V 3
a )
b )
V e r
2 ai: -I- 1)
2 ±x/3 y = z%\f3 IO' ^
12. 55
Ití. Oj50
II) PK03LEM>/^S
1Q>75 dias
7 5 d i a s
livro da Í1.B Serie.
„ - . . o — • *
2 . 3 o
3 .
4 .
5.
a s m u
(I960)
Í L - P a r t e ■ , 5 ^
âanuo-se o oubo de ~ 2 «o _ ̂-Z/3 para » = ̂° Valor numérico da expressão f̂a) guando
PolinÔmio, dois termos saoA 0.^,. - '3:- X . - 1 ^ ^4 U m ç . . O =
dfl frsçs fs * ^^^cionraisando o denominador ̂ ̂ condl'-So
^ l l l l c a n d o , • "
ão aA + px^ + 4 " ais o-
í a 4 > ^
l i a
7 .
- t e O " ^ , . .oquaçõo t t q = ° ' ^ ,a l= de en
qyg Qgga equação tenha ̂ í;TÍpn£̂ l°° qq-itro do .círoulo =WcuJi9«J'°,̂gulo.
<^°atro d„., .. _ , aêase "
I I
T 1
1 7 0 -
J l a n o e l J a i r o B e z e r r a
8« Un quadrilátero o uri trapézio quando.
9. Para que a - 2, a - a - 9 sejan ao medidas dos lados de
un triângulo, o nenor -/alor inteiro de a é
10. Se AM é uma das medianas do triSnculo ABC e Geo ponto de
A G .encontro das medianas desse triânirulo a razao ̂ é iguEa a
A M11. Se A, E, C e D sSo vertices consecntlvcs do um polígono regular
convê ô a diagonal AC faz oom o lado AE um ângulo do 18°, a so-na dos ângulos internos desse poligono é
lí. fSim círculo a soma dos perímetros dos triângulos ocunáteros tos
onto o circunscrito e' 87 1/3 cm. o ralo dâssc círculo modo...:
. . . . . . c m , • • • •
13. . sendo AJ3 o lado do dcdecágono regular oonvei:o Inscrito em um cír
oulo o I o ponto de encontro das tangentes a circunferSncla dâ7
^ t e r á p e r m o d j
t u t o i " ^ c í r .
P a r t e
12, Questão: Iftna caixa escolar aasta -ar gasta ̂ gas contribulçSes que reĉ
be mensalmente fornecendo 0 5.000,00 de material a 50
b r e s n a o c o n t r i b u i n t e s . a l u n o s p o -
A c a i x a e m a n t i d a p o r - c
de cada um dos demais alunos e de e: 50 00 de ÇJ 20,00sores, -navendo um professor para cada ̂ p̂̂d̂lo '1
c o l a . d o 3 0 a l u n o s d a . i r -
Ouantos são os alunos contribuintes da
22. çueŝ : líun trapãzio retSngulo a soma das bases ̂ R
dos nao paralelos sao iguais ãs metades de ca7 ® « os ia-
respectivamonte. Calcule a base maior ^ bases
3 2 P a r t e
Demonstre que quando duas cordas
• r
so cortam no Interior
« o ^
- 1 7 1 -
Problemas e Exercícios de Matenatlca
âe um círculo o produto de dois sesníentos de uma das cordas e igual ao
produto doa dois sopraer.tos da outra corda.
- o -
R K S P 0 5 T A S
1 2 P a r t e
1 . 1 7 2 - T T
3» Tem a nssma parte literal Ü» d
5 - \ J x ^ + X - X 6 . p < C
1 ' M e d i a t r i z e s s ò i n e n t e 2 l a d o s p a r a l e l o s .
9 , 1 3 1 0 . r
1 1 . i U i o °
1 3 . 1 5 0 °
g a P a r t e
1 . 1 1 5 0 ^
3 0 P a r t e
V e r l i v r o d e s e r i e .
E S C O L A I I O R M A I - L I B A
( 1 9 6 0 )
I P P a r t e
Complete as segiiintes lacunas:
1. Dois números relatives sao simétricos quando
2 . R a d i c a i s s e i n e l h a n t e s s ã o a q u e l e s q u e *
3. Equaqão irracional o aquela que.
'-L. Mediana do um triângulo o
3 . D i a g o n a l d e u m p o l í g o n o . . • • •
Policono regular e' aquele que
^ j i - t O > r I I ')
- 1 T 2 -
M a n o e l J a l r o B e z e r r a
7* O valor rciunerico da expressão 3x^y^ ~ + 2
x s l e y = _ 2 é p a r a
8. A fração irredutível equivalente a + X - 1 2
2 7 - 3 x
7y + 3x = 27
9i A solução do sistema
10» Racionalizauiio-se o denominador da fraçao
Zx- ^ ii8
X =
y = . . . . .
e ,
~ . o b t ; i r , i - s M . . e
2 - \/>i11. Num triângulo ABC o lado AE é Igual ao lado AG, A ..Jvura C" for
ma com a biasetriz interna BH um Sngulo de 150°. üs ânfu-o .̂' h.
t r i â n g u l o / i B C , s ã o A s g _ u o
C = ~ «
12. Num triângulo retangulo, um cateto mede 5 cm a n - «br. a Mpotaauaa ™de 1,8 c„. o outPc JuZ IZ. ..7.
13. O dlŜtro aa ua.̂aíroulo nada 20 am. ft.a,a-aa ama oordl'dl'ifiTn
perpendicular a esse diâmetro num ponto P \ ai a.-
P ao cen t ro do c í r cu lo â ou
lil, O apo'tema de um quadrado circunscrito a um círculo mede P
cm. O perímetro do triângulo equilátero inscrito np r
e u l o m e d e c m .
2 » P a r t e
Resolva os seguintes problemas:
.. Dois isímero.. positivos são tais que o maior
parte do menor e igual aos ̂ do menor. Calculeaabando-.a qua a dllarança entro aeuo quadradoa á l;̂^ a™""'
2. A base BC de um triângulo ABC mede 10 cm s b .
Traqa-ae a paralela l baae que deconpSo o trlSnrule en ̂tea eqalvalentea. Calcula a dlatânola deaaa .JZZlZXZZo'
3 t t P a r t e
Doduza a fórmula que parmUe calcular c arótena d. ur
guiar de n l.adDS inscrito nun círculo do rai.o It. ' ro
- 1 7 ? -
Problemas e Eiercíclos de Meteaátics
R E S P O S T A S
I Q P o r t e
1 . Tem o mesmo módulo e sinais contrários.
2 . Tem 0 mesmo índice e o me.srao radicando.
3 . Tem Incógnita sob radical ou elevada a expoente f r a c i o n á r i o
U. 0 segmento que uno xim vórtice ao ponto médio do l a d o o p o s t o
5 . 0 s e g m e n t o q u e u n o dois vertices não consecutivos.
6 . é equilâtero o equiongulo.
X -
7 . - 3 0 3 x - 1 2
9 . X = 2 10. 7 + íi N/3
y = 3
u . 20°, 80° 0 80° 1 2 . h
1 3 . 6 l U . 7 2
2 f t P a r t e
6 e h
5 B P a r t e
V e r l i v r o d o Í i - Q s e r i e .
2. 3 n/2
ESCOUl NORMAL SAR.^ KDBITSCHBÍ:
l e P o r t e
1. Mediana ds un triângulo
2. Equação ülgábrloa racional Irnoionaria a
3. Para que o radical duplo da rírmla que resolvo a oquaqão
ax'l + ta'+ 0 = O possa oor trausíoraado na scna de 2 radicais
s i m p l e s , a c o n d i ç ã o o *
A r c o s s e m e l h a n t e s s a o . . . . . • » • « •
3. A oquação £«'+0 = 0 tosi raises no campo real quando,...
" I l k
Manoe l Jad ro Beze r r s
Circ ' j r.centro é
Os arcos conpreenfiidos pelos lados ãe :j:-. £ i.^alo cxcôntrie?
rior mecien 62° 50» L?" e 20° ÜO» IS"-. esse anij-.-lo
A scza das areas de un hexagono regular c de m:'critos no nesno círculo, é ̂ n/5 o rcio do círc>;:.o 4
O ralor numérico da ezcpressão
2 ^ ^ ~ 5 2^ - :>a'^D pare a = -l e b = -2 °
1 0 ,
1 1 .
1 2 .
1 3 .
l i ; .
Para qne a cmiS'̂ eo tenha v-nu raiz nula p deve
- Cp - 1) X + (2p + 1) = o
Na equação abaixo a naior raiz em valor absoluto '
+ X - 56 = O
O lado de um rrî gulo ecuilãtero circunscrita e.v,ede de 2 n,̂
cm o lado do triângulo eouilãtero inscrito no mesmo c-Cr-̂ ulo r
r a i o d o c i r c u l o c e d e . . ' " "
A diferença _c-ntre os cjuadradoe dae bases de nn tranézic é 3
e a altara e a seni-diferença das bases. A área disse trepásio
.Reduzindo os termos semelhantes da oxpressSo
- 1 . ^ 5 b
b "
^ " K-1 " T obtGE-.se...
2 a P a r t e
Deis n-ícv.lo3 'oc con a vslocidade de > ..,,4.̂
outro coc v-locldade irual a 5 re^-r-y^ -orando e cdo ponto P e sO'TiUndo a nesna"direoSr̂f?nŜ"f'
sal do cesso (luear) ponto, outro.veí-uin' oenois,
a velocidade igual a 5 metros no-r ^ direção coir.
eundos, o terceiro veículo e-^arã quantos se
p r i m e i r o s ? ^ d i s t â n c i a d o , , 0 . s
Calcule en cm , a área de un tri?r,«. t
sa mede 6 cm c um Ho, âuroÍT^ T ° aiootor..-iguio^ -gurlos cede 60 ,
5 Q F ? i r t e
P e m o n s t r e ;
A coca dos nuadrado.s d- o. t ,' e i n . : c l a o
- 1 7 3 -
~ P r o b l e m a s g E a c e r e í c i o s d e M a t e m a t i c a
dobro do qua^ado da mediana, relativa ao 30 liado, mais o dobro dc
Quadrado da metade do 5° lado.
- o -
R E S ? O d T A S
I fi P a r t e
O segmento de reta quo ui;e iit. vertlea ao meio do lado oposto.
Aquela tjue possui íncoGr*ltc no dencninador ou elevada dc expoen
t e n e g a t i v o ,
7 cb * ^ e — s o j a ( q u a d r a d o ,
â
Aqueles que têm o mesmo numero de graus.
5. |>o
o ponto de Intersec^ao das nediatrizes dos lados do triangulon
7 . 2 0 ° 5 I 1 ' 5 7 "
9 . k
1 1 . - 8
8 . 2 , 7 c m
iO. -I
13. 2 cm^
2 S P a r t e
I o 2 0 s e g u n d o s
5 a P a r t e
" ' 'or l lTT'o do / j6 ser ie.
1 2 . 2 c m
l i . - a . 2 a b
2. 7,79 cn^
ESCOLA TT0RI1AL AZEVEDO AMARAL
( 1 9 6 0 )
I - gues t ionár lo ;
CcEpiete ar aflrmaçõe.^ seguintes com as palavras, expressões,
uujiieros ou sJnals nue uiais convenham ao seu sentido:
O postulado de EucnJ.des allrraa que:....,
O teoreca úa 'rale.9 (lei linear) dis qnoi
- 1 7 6 -
M a n o e l J a l r o B e a o r r a
Entre os casos de semelhança de triângulos retângulos, podemos
enunciar os dois seguintes:
a )
A eçuaçSo ̂ ta e = = o terá raízes slmâtrloas cp̂ ando,
terá ancas as raízes nulas quando
ISnà equaçao do i;fi grau e chanada biquadrada quando
AS relaçâes entre os lados e os ângulos do triângulo são
lecidas pela síntese de Clairaut, da seguinte forma:
7. Na equação x - 8x + 7 = O, para que uma das raízes sela
o triplo da outra e necessário que c seja igual a.
8. Os valores inteiros e positivos de
mente as inequações abaixo são:,,,,
> 2 G - = t )
X que satisfazem slimiltffl^
9 .
1 0 ,
1 1 ,
1 5 ,
1 3 .
- 3fe - 5) > 5x - 9
O poligono regular cujo angulo externo
g o n a d s ,
vã le 20° tem d la-
0 angulo formado pelas bissetrizes de i
-̂ secutivos de um pentágono equiângulo tem,.,.!̂ intomos
Se o ai-co do círculo de 72° tem la 50
desse círculo medo
d n .
c o n
g r a u s .
âic de comprimento o raio
1 9 .
A area do triângulo retângulo isáscoles cu<e .i..
h l r o t e n u s a t e m 6 n e d e £ ^ t u r a r e l a t i v a a
. . m ,
tUm losango um dos ângulos vale 60° e - rU..
àm, ft área desso losango e de,.. iTionor nc.-c 1£
As áreas do dois círculos cstSo entro si nome I.
do círculo menor mede Z,k om, o raio do oírAulo "T
. . . . . . . c m . - « 4 . 0 n . i i o r L i e l i r p . , . ,
I I - T - ^ f o b l e m a a :
Trab=3i-.o.ido .Ton edlííoio, dois operários ToÍc r
taa-am juntos , soalho de ua apou-tamentc er. 6 hc.'
SC. porem, cue çuando instam tr.ahalho idêntico "4';ph'''""''?'
levava mais oteco horas cue Pedro. Em „u,antas h-f ■
p a z d e f a z e r e s s e t r a b a l h o s è z i n h o ? * ° ^
- 1 7 7 -
* * " Prob lemas e Exerc íc ios de Matemat lca
2 fi - as cordas que se cortam num círculo medem, respectivamonte,
® e 13 m. Calcule os h segmentos dessas cordas, sabondo-sa
i'ie os dois segmentos da primeira corda estão entre si na ra~ão
9 para 1.
- Q u e s t ã o t e ó r i c a
i-aiôdn̂ / formula que dá a área do dodecágono regular em funçãocírculo circunscrito,
- 0 -
1 - Q u e s t i o n á r l n -
1 . ^er livro de 5® série.
2 . Ver livro de 3Q sério.
3 .
k .
Ver livro de 30 série.
c / a < 0 0 b = o = o
5 . Quando todos seus termos sSc do
G r a u 5
O » consultar livro de íia aârle.
7 . 5
9 . 8 ,1 3 5 1» 2
1 1 , H0
H 0 7 2
13. 12ií,56
3 6
111. 5 , 6
*■ f r o b l e m a n
3.0 horas
Suestao tooriea
=°nTOUar livro do lis sárle,
22. 18 m Q 2 m,
9 m 4̂ rn
- 1 7 8
I l a n o e l J a i r o B e z e r r a
C0T.CL'il3Q SBLBg;.0 PAPjI P?.I:3±íiE DO CmsQ nORI-I;\L
( 5 - 2 - 1 9 6 1 )
O b s e r v a ç õ e s ;
1) Esta prova compõe-se de quatorze (lü) questões de lacunas, dois
(2) problemas e uma (1) questão teórica.
2) As questSes estSo dispostas es, cinco (5) fSlhas ■nlmeoETaíadas dl
ferentes, havendo ainda folhas om branco para rascunlio.3) As respostas de todas as questSes, cono tas.blo. o deselvolvinen-to dos probles.̂ e da questão teórica, serão consideradas inloa-
Etnja no caso de tereg sido ooloçedaa aa lugar indicado
U) Se tiver de enpregar valores aproxteados de números irracionais
tome-os com apenas duas ordens decimais. c-onals,
5) Ilo íulgamento dos problemas e da questSo teúrica serú levado en
c o n t a o e n c a m i n h a m e n t o . - t e v a a o e a
P r i m e i r a P a r t e
Preencha cada uma das lacunas das afirmaçScs senünt.- n ido ̂ o peçt̂ t̂ a pŝ £ núm!ro ZZlnU "Sí
parâr̂eunho, as iohhas em branco. Cada
s a o
5 .
6 .
7 .
1 ! ° ! : ! " ^ - P - n t e r r a o l o n á l . l o ú
AS blssetrizes de dois ângulos adjacentes suplementares são
ííum círculo estão inscritos um he:íó/;ono re'̂ n=.̂ . 1 ̂
quilatoro. A razão entre os apótemas do hĴ ' ̂ triângulo o
ó e.:pressa pelo número ^e^agono e do triângulo
O v a l e r n u m é r i c o d e , , 2• > ^ y » p a r a |
A equação do 20 grau cujas raízes sSo 3 + \/5 e ̂ ̂ '
S i m p l l fi c c n d o - c e o r a d i c a l ' ' ^ " V p e _
, , ^ " 2 a b + , o b t é m - s eA menor oa.s raízes da equação ̂ ̂
- 1 7 9 -
P r o b l e m a s e E x e r c i d o s d e M a t e n a t i c a
9 ,
1 0 .
-endo 0,25 c produto das raízes dc equação
o vclor do p é
Dado o sistema
l\yr - 5x - p = o ,
í
5X + y = ii
11 .
12.
l i i .
,l2x -!• 2y = 15 + n::o vnlor do k que torna caso sistema impossível ó
De cada vórtice dc um Icosagono portem diai-oiial"
os ângulos agudos do um triângulo retSngulo medem 5C'̂ o
O ! u e n o i * G n ' h i i i h n ^ . '
^ V . é . x * 3 U Í . - J® se o menor cateto tem 6 dm, a hipotenusa tom ̂ n.
círculo estão inscritos ura quadrado e un heicógoro -o,-u-r —o perímetro do quadrado ó dm, o do henígono e' __"im
Segunda Port» _ Primeiro Problema
Valor: até 20 nontos
S e g u n d o
=>̂ 1 20 ponton
Otóor /Im^aSnetr^ Inscrito ur,
hoxúgono re^lai-" i„s=rSr„": TI"
- -^aaos, n úroa aônco =-cule, ; r
C a l c u -
b a s e
- d c . s
lei^elra^Par^ ĵAesuão ?eó-Pî_n
Valor; até 20 pontos
j . ^ p o n t o s
l̂ai- ino ̂ í'°virrula que permite calcular n t- =í-lo ae rnio H.; ̂nnao
= 0 =
^̂ ^̂ lliantes
P O S T A 3
2o Irracional
3 » P e r p e n d i c i i l a r e s
6 , - 6 x + k - O
9 . 1
1 2 . 1 2
S e g u n d a P a r t e
1 . 9 Q 6
T e r c e i r a P a r t e
Ver l ivro da i^a aer ie.
- 1 8 0 -
M a n o e l J a l r o B e z e r r a
í i - N/3
7 o \ J & h
6
6
1 0 ,
1 3.
3 . i M
B . - i
U . 1 7
l i i . h
2 . 3 \ / F
_N_A V A 1
COHCDIISO DE ADmsSffn -
1. Hio gssMã a proTO. Escreva o seu nome Clegívell » a .
a p e n a s n o t a l ã o . g i v e i ) e d e m a i s d a d o s
2. 3é comece a responder ao questionário, quando >,
isso, Pare de escrever, ao ser dada ordL de
• z - 4 - „ r t 4 > , 4 a . • t e r m i n a ç ã o d a p r o v a .3. E proibido ter em seu poder livro<ipapeis. Não ̂ cerá fcrnccldc out̂ plpsírlíirí!': °
nario. Faça os rascunhos que iulear noL ' . P^®senpe questio
p á g i n a . 3 s a r _ o g a o v e r s o d e c a d a
it. iniciada a prcva, cs riscals nSo pedem pnastan m.,
reclmento. i proibido sair do lugar fal nenhum escla
c o l e g a , p e d i r m a t e r i a l e m p r e s t a d o o u ®
e permitido dirigir-se aos fiscal<» „ outras provas. SÓ
ocorrência grave que Impossibilite a ! aoença súbita ou
_ _ A . - , ■ ^ l ^ z a ç a o d a p r o v a .5. Se voce infringir, qualquer dispositivo h
advertido,e, se reincidir, será mandado ̂ struçSes será
caso de tentativa de dar ou receber auxí̂ r
de uso de meios ilícitos ou fraudulent «u
imediata, com anulação da prova, ̂ s í̂da da sala será
- 1 8 1 -
Problemas e Exercícios de Matemática
6 .
7 .
9 .
1 0 .
Nao use tinta. Escreva con letra legível. Evite borrõos, marcas
ou riscos que dificultem a correção da prova ou pareçEun sinais
identificadores, os quais podem tomar nula a prova.
Esta prova, cuja duração será de 5 horas, corapõo-s© de 8 ques
tões d© geometria, 8 questões de aritmética o 9 de álgebra.
A prova será julgada tendo em vista unicamente os resultados das
questões, porem, não serão levados em conta os quo não tiverem
o s c á l c u l o s c o r r e s p o n d e n t e s .
Cada item da 9® questão de iflgebra vale J/h das demais questões.
P^a^não ser considerado DEFICIENTE o candidato deve obter umnumero de 25^ de aproveitamento em cada um dos três assuntos da
prova (aritmética, álgebra e geometria).
Os resultados em que aparecerem números irracionais ( Tf , \/z
\/3*j etc) devem ficar expressos em função destes numeres. Por
exemplos não substituir 3 IT por 3x3, 14= 9,ii2,
, MANTENHA A CALMA E CONFIE EM VOCÊ!
O Fiscal deve ler, em voz alta, não so as instnições acima
^ também, folha por fSlha, todo o questionário da prova, a fLde que os candidatos possam verificar qualouer fpTha .5
serviço de tapressão ou paglrm,Sc. oriundo do
- A R I T K ^ J J g ^
1. TM arrozal de 2,5 ha produz 5 litros por Volood « ,
e aaoo de 50 kg a pesando o litro de arroz 'o ° "°00 >0°
v a l o r d a p r o d u ç ã o . ' ' P ® O e - s e o
2. Dispor em ordem de grandeza crescente os números:
áU°>5 , 10^3 e I
3. A divisão do número inteiro a pelo número inteiro b dÚ
:: Te"":: / ̂o visor b de 5, o quociento e o resto não se alte "
nam. Determinar o quociente q.
ôis números têm máximo divisor coETun igual a PO •
comum ieual a JiPn r«,=4 - ^ 20 e ninimo multi= o l u ç 5 e s ) . ^ í t S d a s a i
1 8 2 -
M a n o e l J a i r o B e z e r r a
5. Certa naquina, que funciona 5 horas por dia, durante 6 dias,
produz 3.000 unidades. Quantas horas e minutos deverá funcionar
por dia, para produzir 30.000 unidades em hO dias ?
6. uma pessoa, querendo distribuir certa quantia entre mendlEOS,ve
rificou que poderia dar a cada um gj 13,00 0 ainda lhe restariam
(?3 5,00. como dois pobres recusassem as suas partes, cada um dos
outros recebeu© 19,00, sobrando © 1,00. Quantos eram os mendi
g o s ?
7. Determinar os denominadores das fraçSes ordinárias irredutíveis,
que transformadas em decimais, geram dízimas'periódicas compos
tas, en que a parte não perio'dica e o período tenham cada um, um
ú n i c o a l g a r i s m o .
.Tip de una obra, faria» todo o trabalhoLif o i trabalho, Pedro adoeceu eT c T T f ° o a d a U I , .
G B O M E T R T fl
quilatero inscrito no mesmo círculo ? iangulo e
2» IftD losango do qual um dos ângulos vale 60° e.<5+-'
círculo de 9 m de ralo. cTlculZ a Í j. 'Circunscrito aendida entre o losango e o círculo, ̂ superfície compre
. 3 . H a fi g u r a i
ABC e DBC são triângulos Isosceles.
O an^lo BAG e o quádruplo do âiiguio
ACD. Calcular o ângulo BAc, -sabendo-se
que a soma dos ângulos da base do tri
ângulo DBC vale 60°.
il. O ponto de contacto com a hipotenusa d« /
triângulo retângulo, detem-ina sôbre a inscrito num
c k cm. Qual a área do triângulo segmentos de 5 cm
5 . No triângulo ao lodo, tem-se:
AC = E cm , AB = 8 cm
AN e' a blssetriz externa e CIT = 2
Calcular cs segmentos determinado:
A , —
c m .
7 .
- 1 8 3 -
Problemas e ̂ -ereiciosjajtetenatioa
pela blssetriz interna sobre o laâo B'-».
Ila figura:
= 35° 51' kV
DE = 60° 2 0 ' 1 5 "
'Calcular o ângulo x. . cada ^êles
°̂is círculos, de mesmo ralo 5 ca, são gortoa-se em N ®
passa pelo centro do outro, fisses c rcu ̂ Calcular o per
® interceptam a linha dos centros en
i r o M O « o o 'q u a d r i l á t e r o H F W Q . b a s e s A B e *
^ s um trapázlo isosceles com eLiiatero e do
são iguais aos lados do trlaníP̂ o calcular/
inscritos num círculo de ralo j,ao P
triângulo que se obtém, prolonean^®sse trape'zic ate' se encontrarem.
ABCD
l .
2 .
3 ,
"todos os valores de x,
o pro'WW'
2 x - 8 ) ( - • + x )
De ®olver:
1
+ i = 3
y 5
ii.
- = i -
y ^ 1 6
pelo ai**
.gquerda»' o b t e ® »
cofflOÇ®' 7ue se
m íiiearlsíao®' -ÍSBJOS)numero inteiro de 6 alg fr ipl®
1 . o n ô v c n ^ e r o , é »
o a lgar ismo 1 ^ . . ivo-
Calcular o nxímero pri®
- 1 8 4 -
Manosl Jalro Bezerra
Decompor em fatSres do li graut + y3^z . ^
DlvlaiT! x« - xit - 2x3 + jZ + at . 1 ̂ 2 _
Transformar oa radicals duplos da expressSo
e s imp l i fica r o re -
5 .
6 .
•7.
Vx + 2 V5nrf - Vx - 2 v5nrf
s u l t a d o .
Resolver a equação:
2LzJ: ^ 1 /X - 5 _ 14 - ax\ _ X - 9
4 8 \ Ü 5 / T " "
9 . a) A equação 3 + = 8 e' uxa equação
b ) 0 s i s t e m a ax + by = c
a'x + b'y = c ' e determinado quando.
c) 0 blnOTio y = - ^ + ;>T I3 ;>x + ^ e positivo para
d) Efetuando o.produto (x + a) (x + b) U + oW, ̂zlndo OS termos semelhantes em relação a 1
d u t o q u a n t o s t e r m o s ? c o n t e r á o p r o -
- K ) -
R E 3 P O s T A S
& 2.000.000,00
a r i t m é t i c a
(i)- V 4 <10^ <640*5
3 .
5 .
7 .
1 .
3 .
5 .
7 .
3
7h 30m
6 ; 1 5 j 1 B | 4 5 e 9 0
4. ZD e 420j 60 e 140
7 ,
8 . i e a 4
1 5 1 5
GEOMETRIA
25 ( N/3 + N/2)
8 0 °
5*6 em e 1,4 cm
20 n/^ cm
2. 216 >^3 - 8l TT
4. 20 cm^
6. 131° 53* 59't
8, 15 n2
- 1 8 5 -
Pr„.lemas e ExercíclS;jE3ÍS5̂
álgebra
1 .
3 .
5 .
7 .
9 .
X = 2 X = 4
I Q7 = 4 7 = 2
xyz (x + y + 2) (x + 7 -
2
a )
.2<x <0 e 1<% <"
142857
x^-2x + l
i r r a c i o n a l
hb )
a * b '
x = l7
II çtslos (crd̂-do em rs.
lação B
(1961)
- «' 47 e o produto
o -vo P"-»-
O multiplicando d ^^ador qnal ^ ^
- s e 5 u n i d a d e s ^ a l -
Somando 16 unidades ao ^ fraÇ
fi m d e ^
s o m a r a o n u m e r a d o r ^ g e e l -
cessa'rl"̂ pâ^
Quantos mileslBoa aso ^jjO 37
0̂ 0XC0S®°
Calcular a tiuin'fca pá^lca c®®
I iirrc® deP°^ ® 3.600,00 vendl^^ ^ p ^
se conclui que com. Mori®®"*" 4.oittpo dur®' .
aĵ jSüSatão: Uma vela tem ? jcesa, "''q̂ rr̂ sP'°> quando acesa. permanecendo ̂ segundos
Admitindo o ^ gra^s» calcul'
E q u a d o r a o p o l o , _ h 5 o l n u t o ® '
t o
- a x s e c o n c i u i q u o - - • « n r i o ® "
aĵ jSüSatão: Uma vela tem ? qceaa, "''q̂ rr̂ sP̂ a°> quando acesa. permanecendo ̂ segund®®
Admitindo o ^ gra^s» calcul®^
detn̂ ̂ Equador ao polo, q̂ ®® nieridî ° 1̂ 5 olnutos-^ í^.320 lon medidos no mesmo ^ em
,m avião a jato par-'̂ q.
avião em los/b
- l B 6
I-íanosl Jaíro Bezerra
Xlgsbra
da express-ao ^ uj. -
I 6 9 i i 9 o
9a- Ouestgo; Subtraindo
quadrado de«
_ _ _ _ _ _
iÜ-testão: se (x2 ^ X 1)2 - {2,3 ^ ,2 ^
Questa-o= Sabenlo-sa que = . , , , , 2-
13a ou»stãn. n vy a - b doterainar y.
;.■::::.1: •■■— ... ..Í.. „
2àtSmHo: Resolver o eistemu: /f = f = §
Ixyz = K
. 0 1 0 _ .
GEO! . iE ia iJ -16a juestSo; oe ladoe AB, Ac e Rn e
T-,2.| = e. SedeuLee\:: resReetlva-n = 3̂ , dar o valor do opoato a Bc
17fl Tuestao; wum triângulo c«v
Tomando-se AD = 9 =m sSbre AB, quorate devef " ̂ = 32 cm.d -™.dolado AO, para qu, br aeja parllelI rBc
■ R^estaoi Os pontos Reg situados '^kti-c P sa-0 extremos de um dlâtetro da mesma oi de eenterceiro ponto da relerlda clrcunfereCrtaí >-d valor de 26° 37'. Determinar o Sngulô r °
19̂ guestãoi Ordenados os lados de um trts' ,
primeiro excede o segundo de 3 cm e o verlfica-se que o
Sabendo que o perímetro dSsse triângulo ° d® 2 cm.perímetro do qî drado equivalente ao trlânĝ oV"' °
20a Questão: Achar os valor de ® ̂ gulos do triângulo BED,
187
Problemas o Exercícios de Matematlca
ôa figura ao lado, sabendo-se quet
ACB = diâmetro
"BE = 32®
^ = i^O®
R E S P O S T A S
ARITHériCA
!• P + 235
3. 7 100
5» ® 5 000,00
7. 38° 521 i^Qn
2 c 6
Ü. 17° U' 51"
6. 3h 20 minutos
8c 1 2tí0 km/h e 350 m/s
9 . ^
9 1
11" - (x^ + 1)
1 3 . 2 8 4
l i ; . X =
1 5
Algebra
1 0 .
1 2 c
ü + 2 ^
♦ 2 a b +
,3 /a = \/^
V A CB C ' V A C
(x +3) (x - 3) (3x + 1) (3x - 1)
16. 90°
18. 126° 461
20. 106®, 360 ^
GEOMETRIA
1 7 . 1 2 c m
1 9 . k
E3COU_PREPARAT(5RIA DE CADETES un VYifT>nf̂^
(1961)
ARITMÉTICA
-Ŝ ŜSíIo. (Valor 5,0 pontos)
- 1 8 8
M a n o e l J a i r o B e z e r r a
A sona do mlnuendo, do subtraendo e do resto de uma subtração ©
210, Sabendo-se que o resto excede o subtraendo de 27 unidades, calcu
l a r o m l n u e n d o e o s u b t r a e n d o ,
2S Questão; (Valor 10,0 pontos)
A razão de dois números e' U/3 e o produto 588. Determinar os dois
n ú m e r o s .
36 Questão: (Valor 5,0 pontos)
^ Coloque -o menor algarismo possível ã direita de 25 7lU, para que
o n x u a e r o a s s i m o b t i d o s e j a :
a) dlvisivel por U sem que o seja por 8;
b) dlvisivel por 3 sem que o seja por 9j
c ) d l v i s i v e l p o r l l j
d) divisível por 5 sem que o seja por 10; e,
©) dlvisivel por 2 e por 3.
Ua Questão; (Valor 5,0 pontos)
S e n d o A = e B = 2 ^ . 3 2 . 5 . 11
a ) o n i r a e r o A t e m d i v i s o r e s
b) o numero B tem.. divisores ímpares
c) o m.m.c, (A,3) a
d) o m.d.c. (A,B) =
e) o maior divisor primo comum a A e B é
56 'Tuestão! (Valor 10,0 pontos)
Sem efetuar a divisão do numerador pelo denominador das fracães
a b a i x o , c o m p l e t a r o q u a d r o :
Fração
B s p e c i e d o n u m e r o d e c i m a l
e m q u e s e t r a n s f o r m a J u s t i fi c a t i v a
6
125
6
9
1 5
1 8
6a Questão; (Valor 10,0 pontos)
E f e t u e e . s i m p l i fi q u e :
- £ n / 3 L
5 2
P r o b l e m a s e
« 1 8 9 -
ExercíçiosdeJaW^
úo no
n o
11 Q u e s t ã o : ( Va l o r 1 0 , 0 p o n t o s ) g a e ' p o c a ,
Numa turma foram reprovados 17Í havia na turma 1
23Í. Passaram 58̂ , Um desistiu. Quantos alunos
§L^H£stão: (Valor 15,0 pontos) quoclente por 15
Üm numero é exatamente divisí̂®! pô peterminar o numero.
excede o quociente por 20 de 2X yjxdã̂ àes.
(Valor 15,0 pontos) cap i ta l empregS
Om negociante no primeiro ano. incro do
seu negúcio; no segundo ̂ ®̂ ^̂ °par.do balanço capital ®S
' terceiro ano perdeu® 5 25U, • ' petermln
^®nte os três anos teve o lucro de ® '
P^^eado.
iSlaHSJiio: (Talor 15,0 Pon̂ os) 5 que dlviae °P«
Determinar a mais alta potenci
a u t o :
9̂9,100
P
g afirmações^^-SliÊstão: .(Valor 20,0 pontos) em °
i 0 c u n ® ' f l i h o r
ah ̂ ®encher convenientemente as „̂ eros ®
Jdcrevendo as palavras ou os
O valor numérico da o*P'
, - , 8 0 " ' ^
2 e o ® ^p a r a a s l © ^ ' ^ ^ 2 - 5 * ^ ®
/ A a ©quaça® » .•••'**Se uma das raízes d® o ® *'
® ® ° d e
P a r a a = 3 , o
— r t / . • • • * *
a ) -
b )
■ c)
d )
a
5x + ay = T
IOk + 6y = 5
Para que os radical®
e prec iso que ®
5/? sei»»' \ / a
- 1 9 0 -
Manoel Jairo Bezerra
. ga__Questão: (Valor 10,0 pontos)
Determinar m, de modo que as raízes da equação
- Zíz + (5Tn - 1) = o sejam reais e desleais.
?a Questão; (Valor 15,0 pontos)
A soma de dois algarismos de um número e 9ao. .e. o ,.oo.en.e J.!".
i|_g_qu9atão; (Valor 10,0 pontos)
ili'titiiari í ^ ^ - 1 _ 1 4 1
questão: (valor 15,0 pontos)
= (2è) (2 - è)
6a (gestão: (vaior 15,0 pontos)
Escrever os segundos membros das equações do <=1.̂ -
bendo que ele admite a solução- sistema abaixo, sa
X = (a + b)2
y = - 2 a b +
y
a + b a - b
X - y X + y
(. 2ab " a2 + b2 "
78 Questão; (Yaior 15,0 pontos)
Resolver a equação:
\/x + 5 - n/x - ? _ 1
\ / x + 3 + n / x - 5
g e o m e t r i a
Ifl Questão: (Valor 10,0 pontos)
d e n t e s :
completo os períoOos atalxo, preenchendo os retSngulos
c o r r e s p o n
a) As dimensões de um retârgulo são /j, cm e ̂ f̂
quadrado equivalente ao retãngulo e' igual 7
. 1 9 1 -
o,o.tem„s o E.ercíçi2ijia!asa2^
=rrito a um triângulo retSngulo cujosb ) o r a i o d o c í r c u l o e '
oatctos medcn Jc^bUos, , bO = 9 cm, a rccãc
c) no ®;j|„gnlcc ÍÍE c ABC c'
entro as areas dos tri^e
e }
„„ réffliw é ig"»l
j \ í i J . L u r a í l e
nri|yuio uii-f
tema do trlârigul° 0t *
g" quoatão! (ifalor l-O," ̂ . ̂ ,,6 se pror«uctcr sStro o,,
estão ctuco o», . t-mcttras ada uma doias o sÈbre suas recípíO pareçam certaS.
P̂ esentadas a seguir» aquela® 9U
A LT g í ü i i ^ ^ i ^
- ' verdadeira
C - a proposiça ̂
E - a proposiça ̂ p̂̂ adeira
a )
t )
c )
■i)
e )
i -
R E
= U8
a b .
Rg - a recíproc ^ -ativamente
^ols po l ígonos s .emel^an .» gegmontp per -
7.''̂ E BC RE
T o d o s o s p o n t o s í a t s t a n t s a d o c e n
tencem à mediatrlz do segm ̂ quidî ^ ̂ ̂ RE
Em um c í r cu lo , co rdas ^ ^ r c RE'* * * , ^ i nsc r i * * '® * . i gua i s ,
T o d o r e t ^ g u l o é ^ ^ ^
+Ãffl OS treI>ois triângulos que
s ã o i g u a i s . . . " ) ^ d a A B e a
i n O p o n t o s ^ g c o r d a ^ c o r d asstão: (Valor 10» ? traÇa®"® calcular
:;:;írculodeB9--::;ue.='-'perpcndicsaar 00 . cuia bose tem
J?u.estão;
N u mom perpcndlcoaar ao ^
10,0 P"""'' uc P-»_ Q u e s t ã o ! ( V a l o r j p s c r
• / j n f l u a d r a
Celcular a area do
1 9 2 -
M a n o e l J a l r o B e z e r r a
12 n e cu^a area tem ii8 sabendo que um lado do quadrado tem porsu
p o r t e e s t a b a s e ,
5a Questão; (Valor 10,0 pontos)
ABGD e um q̂ drilátero inscrito no qual a diagonal AC forma com
os lados AB e ângulos de h5° e com a diagonal BD um ângulo de 70®.
Calcular os ângulos do quadrilátero,
6b Questão: (Valor 10,0 pontos)
calcular a area do círculo inscrito num setor circular de área i
gual a 4,71 m e de raio 3 m.
7B Questão; (Valor 10,0 pontos)
Na figura ao lado, as tangentes
PA e PB formam o ângulo APB = 5i|®;
a corda AC e paralela â tangente FB.
Calc\aar os ângulos do triângulo ABC.
8a Questão: (Valor 10,0 pontos)
regular á igual a 10,38 m ,̂ " Calcular o apótema do hexagono,
ga.Questãoj (Valor 10,0 pontos)
/ M trapezio retangulo de bases AB e CD, está circunscrito « "un"
zlo ̂ 2 m. Sabendo que AB = 2 CD, calcular a área do trape-
lOa Questão, (Valor 10,b pontos) ^
Na flgm-a ao lado, os diâmetros
AB e CD sãô perpendiculares e iguais
a /i mj AE e a tangente ao círculo em
A. Calcular a área do triânguJ.o mis-
t l l ineo AGE.
» » 0 * »
r e s p o s t a s
ABITM^TICA
2 . 2 0 e 2 1
c ) 7 ; d ) 5 ; e ) 2
b ) 1 2
1. 100 o 39
5. a) O;
a ) 8 o
1^) 2;
- 1 9 7 -
U , o )
5 .
6 .
8 .
1 0 .
2 .
i l .
5 .
6 ,
1 .
25 . 5^ . 5 . 7 .
— 2 e ) 3 f2 ^ . 3 5 ^ D Í z i m a p e r l o -
Bcclmal exata, sá contán no do fator primo 3 o
dica Simples, sá contem no denominador,
f a t o r p r i m o 2 .
7 . 50
9, ej 2Ü 000,002 + n/3
1 2 6 o
521̂
1 » a ) 1
c) Impossível
a < 1
m ® 6
_, , í (VíT? - ^
. , 5 + n / Õ 7 5 - * 6
3 .
5 .
7 .
^ {sã
2 a 8 O
a ) 8 c m
b) 2,5 cm
O i
9
d ) 1 3 5 °
e) 1 ,12 a
kO cm cu 30
90°, 90°, 80° 0
 = 6 = 63° ! ®
100'
a) £ ^
b) O 5£
c ) £
d) £ ^
e) Ê S£
3,3X1
1,73®
10.
9 • 18 iq2
2»86 o''
- 1 9 h -
Manoel Jalro Bezerra
liEÍiê=iLL^Íri^^^c^|ra_Dojio D^j^mp
E^ame ie ssão - I961
PROVA DE ARim-ETICA
I) Certo-Srrado
..».íss, rixi - •■— - ••••
2. Todo nmero que divide a soaa
c e l a s , p a r c e l a s , d i v i d e a s p a r -
3. Ua número e divlsivel nor A '
L ~ o p e O ^ s . o i =
oa aisses nií̂ eros! a = Inverso da me'dia aritme'ti-
5. 1,5 = ■5/52 ■
_ 6. Para x = a, o prodnto 11^ .
fi-agSes LdLilas! Pr̂ Prleflades gerais das
_ 8. Todo n̂nero tapare a diferença de dois çuadrados perfeitos.
— 9. O quociente da divisão de ^ ■ 1
1 0 . A r a z ã o i n t e i r a d e 6 ! i ^
k "
11) ^?ultinla Escolha
"PPP julgar eSrrr-' ̂ correspondente à resposta que
p-upú en :r::sL~ :n~d::"̂ -
o c a p i t a l p r t a i t l v o Csao conhecidos o montante M, a taxa 1 e o tempo t, e':
a) M : (100 + it)
^) M s (100 - it)
c) lOOM : (100 + itj
d) lOOM : (100 - lt I
e) (100 + M) : (]00 - if)
- 1 9 5 -
■ «/cios de Matepatlca
P r o b l e m a s « ^ e r e i c ^ o s —
1 5 .
a )
c )
-v,+o re 9.9 quando se desloca a
12. O nilmerc decimal qae cam - •
la de duas ordens para a d ® ^ q ^99
o 0 0 - c )a ) 1 ; ^ )
, .ue e'quadrado perfeito!1 .̂ Indique o num.ero abaixo q h _ 52
26 . 3? . 5»*
e) U' o 9' . 5^ ̂ quadrados a estão
Voõos os niineros ̂ Ol̂ t seo ®° úmero de.
preendidos entre > t) 2 • 5'̂ ^ ^
a) E o 500 - 1 d) 2 - 50^)
c ) a . 5 0 1 - 1 ^
e ) 2 . 5 0 1 n a p r o p o r ç ã o ^ - 1 0- flue devemos faz®-
As tránsformaçoes ^ lO _ 5 , são!'
ra achar a proporção h '
a) Transpor e inver
h ) T r a n s p o r e e x t r e m e
í : : : : : : .
raclcnallaante do
/ ?í f * V ?
d )
• — . 1 6 , o
/a ) n /2
c) n/2JJ:̂
n/Í
alz quadrada17., Extraindo a raiz
centraremos *
f
;rro inferior a ^VE com err
o
b ) ^
8^
d ) 2 l
c )
n
6
1 5
- 1 9 6 -
l l a n o e l J a i r o B e z e r r a
18, Em de dia, há:
S k '
a ) b )
d )
I d 1 m i n . 7 s e g ,
I d I h 3 0 m i n . 7 s e g .
I d 7 1 i 1 m i n . 3 0 s e g .
e) Id Ih 7 min. 30 seg.
e ) I d I h 3 0 m i n .
19. O resto verdadeiro da divisão de 3 6OO .por 500 é:
a ) 1 0 b ) 1
c ) 1 0 0 d ) z e r o
e ) 7 .
20. O quoclente da divisão de 1 a por 10 m e:
a ) 1 m b ) 0 , 1 m
c ) 1 d a m d ) 1 0 d a m
e ) 1 0 0 d a m .
I I I ) P r o b l e m a s
Instruções: Resolva, por aritmética, utilizando os espa
ços em branco, os problemas abaixo:
A diferOTça entre dois números e 7 e o produto deles e 260.
Achar os dois números.
Dados três números, a soma dos dois primeiros e 58, a dos últi
mos e 41 e a do primeiro com o terceiro e 53. Quais são esses nú
m e r o s ? " "
2 1 .
2 2 .
23.
2 4 .
2 5 .
2 6 ,
2 7 .
Dividir 118 em tres partes tais que a primeira esteja para'a se
gunda, assim como 3 está para 4 e a segunda esteja para a tercei,
ra, assim como 5 está para 6.
Os números 756, ^ « 3^ tem 9 como m.d.o. Quais os valores
d e X e y ,
Achar um numero de dois algarismos cuja soma e 12 e tal que In-
vertendo-se a ordem dos algarismos, o número fica diminuído de
5 4 u n i d a d e s .
Efetuar. 0^21 = 0,007
0 , 1 6 6 6 . . . : 2 / 3 . 3 / 2
Certo trabalho podo ser feito em 35 dias por uma turma de 9 ope
rários trabalhando 4 horas por dia. Depois de 5 dias \aii operá
rio deixa de trabalhar e os restantes passam a trabalhar 6 horas
por dia. Ko fim de quanto tempo o trabalho fica terminado ?
- 1 9 7 -
V f y_ _ £ e a . b . c = 9.
5 " íi 6
^ a b „ c
28. calcular a, b a c, sabendo-se que:̂ ̂ ̂ ' g
29. Racionalizar o denominador da fraçao
s f 3 ,
3 Vã + ^
^ « forma mais simples,e dar ao resultado a f salgada que pesa
30. u. ruclpiente contá., até ,3 é^ua P-a, cada 11-
1 . 0 , O s p o r l i t r o .
tro da mistura assim
a capacidade em litros
I) „ .spaço eo tranco à e=-
luerda da questão caSO s ̂ ̂ ̂ tem rals
—. 1. A equaçSo J-TÍ ' - 1 ̂ . 1 ̂ ̂ ûita
2 . S l m p l l fi c a n a o . ^ ^
A X ^
.-..-3. O maior valor
á
— ^ l I g u a l d a d e
. - • ^
8 equeÇ®®5. Não liá solução "^trico?
n u m ® ^ c f l U 5 I ® ® , . i r r a c i o n a l6. o produto de » . 5 pelo ^igeWlo
substitui cada u» 1 - ̂ a
7. AsKpressSo ^ „áo t-tadic-dos.
8 . o t r i u S ^ c
9 . K s d i o a i a , 3
- . -So muda
9. Radicais sem® ^ '̂aa 3®
10. ü̂ iucuaçé̂ -̂ r̂otala'̂ "" • .̂ aposta ,us"""" ' EsOoJiS tr»
« ) ' ^ a a a a 1 »
. InsttUjõas'
« 1 9 8 -
} ^ i i 0 9 l J e i r o B e z e r r a
voce Julgar estar mais certa, uá iiuha ao lado do niinero I'orerent© a
questão. Escolha e assinale apenas una letra. Mais de uma resposta
plicara em se considerar a questão errada,
11. Se uma das raízes de uma equaĵ ão do 20 grau, de coeficientes
rac iona i s , e 5+2 V? a ou t ra se rã :
a ) 5 - 2 N / 7 b ) - 5 - E \ / 7
c ) 2 + 5 d ) 2 - 5 v / 7
e) 10 - VT
1 2 # E f e t u a n d o :
a )
c) - \/a^
e )
t e m o s
2 z
b )
d )
1 3 .
b ) + c x = O
d) ax^ + bx + c = O
Supondo a-b?40 e c«0, a equação do 20 grau que tem
s o m e n t e u m a r a i z n u l a e :
a) ax^ + bx = 1
c) ax^ s; O
e) ax^ + cx + b = O
lit. Dividindo-se x^ + por x + a encontra-se:
a ) x ^ + b ) x ^
c) x^ - ax +
e) x^ - 1
+ a x + a '
d ) x^ + l
1 5 . A equação do 2C grau cujas raízes são 5 e -6
2 _ pb ) + X - 50 = O
d) x^ - 2x + 30 = O
e) -2
a) x*^ - X - 30 - O
c) x2 + X + 50 s o
X- + ac - 30 a O
1 6 .
- 1 9 9 -
são :2 + 123I1563: - «tôa = o
17. As r:iízes da equação.
a) Bcals, daslsuals e positivas-
b) Reals, desiguais e ^ ^101- absoluto.
o) Reais, desipials sendo pos
4« «endo negativa a at,d) aeais, desiguais s
o) Imagin^ias. _ g^ente proporcionais quan-
, y s a o i n v c - t- 1 8 . D u a s v a r i á v e i s x
^ Q . — = / ' f t n s t a n t e
a) X + y = ooustante
c) ~ = constante
y
g )
> - « V = constante
b ) * '
a, W = aodstante
X y
19. O valor que torna
a ) - 9
ízes da aquaça'020. Paa-a que as raí
e simétricas, deve
/ o
^ - /nc - 5o trlnomlo ^ .
b ) - ^
V +1 = 0 sejam reaisax^ + ^
a ) a < 0 a
o) a <0 ® ^ ^
e) a <0 = " '
2 1 .
2 2 .
e ) a < s v -
c abaisío*
I I I ) P r o b l e ^ e s p s ç o s i n t e i r o s ,
B e s o i v a c o e i i c ^ ein5Í2i2S22- 2» grau, ^ ®
qual a iorma da „à,eroS rs® =
cujas raízes sao ^ ^ ""^^nvendo-se. seusde soma Igual a ̂ „tre^ ̂ talJ!"̂ ;/„̂ ero prlmltl'"'
qual o número =o°P ^jismos ^_-u.4,Nnntos doS ĵygrsa» ®
, assume a
le anula
0 valor numérico da expressão - x^ — l para x = - 1, e: a l g a r i s m o s
a ) 0 b ) - 1
23. Resolver o
c ) - 2 d ) 1
a ) 2
2Í4.
X V ^ C X X
m o - l i p u v a
2 0 0 -
I l a n o e l J a i r o B e z e r r a
seja Impossível
25« Achar os va lo res âe m e n para que o s i s tema
n x - 1 5 y = 2 - 2 x
mx + 5y = 3n
26, üm capitalista coloca os ~ de seu dinheiro & U.% Q o resto a 5/S
e recelie g} 2 9il0,00 de juros aniiais. Qual é a quantia total e
quais são as quantias parciais 7
27« Transformar a expressão
V2n -1 + 2 N/n̂ ^̂ n
na soma de dois radicais simples*
28. Dividir Ca5 - pop (a - 3)
29- Determinar K na equação + kx + 36 = O de môdo que entre as
raízes x' e x" exista a relação*
X ' X " 1 2
30» Resolver a Ineqiiação;
x2 +
3
* * *
PROVA DE GEOMETRIA
I ) C e r t o - E r r a d o
Instruções* Coloque um Ç ou B no espaço ao lado caso
julgue respectivamente certas ou erradas as afirmativas abaixo*
1. A potência do ura ponto equldistante de todos os pontos da cir
cunferencia de um círculo é nula,
2. Se a projeção de um lado de um triângulo sobre o outro é nula,
o triângulo e obtusangulo*
' ^oão^quadrilátero que tem dois lados opostos iguais e parale
los e um paralelogramo.
h» O perpetro de um hexágono regular inscrito num círculo de
diâmetro d é 6d.
5. Hum triângulo isosceles a biasetrlz do angulo oposto i base e'
m e d i a n a e a l t u r a .
- 2 0 1 -
, „ ^ Riercícios de Hatemstica,Problemas e Bxere:^«*
6 *
7 .
P rob lemas e
4. OS lados exteriores em linha retaDois Sngulor adjacentes cem
sSo c^pler^entarcs. p„pendl=«larsa b o
O único paralelogramolosango. p„duto das diagonais é Ignal ao prodH
O. Em todo quadrilátero
t o dos l ados opos tos . ^ m . dos
__ 9. En todo trlân^-golos internos nao adjace^^^ ^
__ 10. A dlstSncla " Jtlvcs dlSnatros.
â diferença dos resp
■ " ■ " " v s - r x : .
questão. Escolha e assln errada. r traçamos duas
Plicara em se consider piano de um
4.« S. tomado no P
• « . —■ . .
a )o) AB.BS = 3S.̂"
e) AS.BS'M-»®
12. :io trapezlo ao 1
„ AS.CS=BS.rS
o
o n d e ;\D = 2
t.3í = é
E C -
o ninetc l-e " b ) 2d) ^
a ) 1
c ) 3
O 5
, ,es desiguai3. sãc re-a e m i - r e t a s ;1 aos desigu®"»' ide, ^ f lão semi- retas;
® ^ ^ l e d o i ®- r . : i s r . r "
a ) u o t r i â n g u l o p i t a
o) inoldontoa
e) Opoataa
Ul. IndlQUO abaixo o
Eor i oo .
a )5 »
Tm
Sn
2 0 k -
Manoel Jairo Beaerm
R e s p o s t a s
1
ARITMÉTICA
1 .
1 .
e 2 . e 3 . 0
a . e 5 . a 6 . a
7 . a 8 . c 9 . c
1 0 . 0 ' l l . c 1 2 . 0
1 3 . e l a . d 1 5 . a
1 6 . e 1 7 . a 1 8 . e
1 9 . c 2 0 . c 2 1 . 20 e 13
2 2 . 35 , 2 3 e 1 8 2 3 , 30, ao e as 2 a . X = 0 a 7 * 2
2 5 . 9 3 2 6 , 8 0 2 7 . 2 2 d a 3 h
2 8 . 3
2 ' 2 e 3 2 9 .
\ f 2 '
2 3 0 . 3 2 l i t r o s .
A L G E B R A
1 .
1
c 2 . c 3 . c
a . c 5 . e 6 . a' 7 .
e o
eo . 9 . a
1 0 . e 1 1 . a 1 2 . b
1 3 . d l a . c 1 5 . b
1 6 . 0 1 7 . d 1 8 . d
1 9 . d 2 0 . e 2 1 . 10*2 + 29X + 10 = 0
2 2 . 2 2 0 2 3 . X = a 0 7 = 1 2 a . x^ + 2x - 3
2 5 . m = 1 p' 1 ^ " ' i - -
2 6 , 13 70 000,00} is 56 000, 0 0 e i s l i t 0 0 0 ., 0 0 .
2 7 . s / n + 1 + V T T 2 6 . + 3a^ + 9a^ + 27a + 81
2 9 , - 1 5 3 0 . X >3 s X <•
■D p o M e a ^
- 2 0 5 -
Ej:erc4losJleĴ S®2áM£2-
7 . 0
1 0 . a
1 3 . d
1 6 , b
1 9 . G
2 2 . 1 c m
2 5 . 2 a c m
2 8 . 1 1 2 ° 3 0 '
8 . a
1 1 . a
l a . d
1 7 . d
2 0 . a
2 5 . 31a cm̂
2 6 . a,73 cm'
2 9 . a m
♦♦♦♦♦
♦ 0 * •
♦
9 . c
1 2 . d
1 5 . d
l 8 . < 3
21. 5,5 cm
ZU. 7,5 cm
27. 2a cm
3 0 . 100'-
GSO! . f fiTR lA
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