201987_155658_Aula+1+-+Razão+e+Proporção (1)

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Curso: Administração Data: 07/08/2019 
Disciplina: Matemática Financeira 
Professor: Roger Müller Saraiva de Sousa 
Aula: Razão e proporção. 
 
 Razão 
Em nossa vida diária, estamos sempre fazendo comparações, e quando 
fazemos comparações, estamos relacionando dois números. Na linguagem 
matemática, todas essas comparações são expressas por um quociente chamado 
razão. A palavra razão vem do latim “ratio”, e significa divisão. Temos, então: 
Uma razão é uma divisão entre dois números. 
São exemplos de razões: 
5
10
, 
100
10000
, 
1
4
,
2
5
,
3
8
 ou 5:10, 100:10000, 1:4, 2:5, 3:8. 
Praticando: 
Comparação Razão 
De cada 100 habitantes 20 são analfabetos; 
Quatro dias de chuva para cada oitenta dias de sol; 
De cada 50 alunos, 2 gostam de matemática. 
 
Usa-se uma razão quando queremos comparar unidades, entre si. Numa 
razão, os termos (números) têm um nome próprio, tendo em conta o lugar onde se 
escrevem. Por exemplo: 
Na razão 
3
5
 ou 3:5 o número 3 chama-se antecedente ou numerador e o 
número 5 chama-se consequente ou denominador. 
Observação!: Se as grandezas são da mesma espécie (comprimento e 
largura, ou área e área), suas medidas devem ser expressas na mesma unidade e 
nesse caso, a razão é um número puro. 
Ex.: Se temos que determinar a razão entre as áreas das superfícies das 
quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 
180 m2 e a de basquete possui uma área de 240 m2, vamos escrever: 
Razão entre as áreas da quadra de vôlei e de basquete = 
180𝑚2
240𝑚2
 = 
3
4
 
 
 
Caso as grandezas não sejam da mesma espécie (quilômetros percorridos e 
o tempo transcorrido), a razão é um número cuja unidade depende das unidades 
das grandezas a partir das quais se determina a razão. 
Ex.: Para irmos de Balsas a Uruçuí, percorremos 240 km aproximadamente. 
Se fizermos este percurso em 3 horas, a razão entre a distância percorrida e o 
tempo gasto em percorrê-la é igual à divisão entre as medidas das duas grandezas. 
Não podemos esquecer a unidade resultante desta divisão = 
 
240 𝑘𝑚
3ℎ
 = 80 km/h. 
 
 Proporção 
Uma PROPORÇÃO é uma igualdade entre duas razões. Uma propriedade 
fundamental das proporções é a seguinte: em toda proporção, o produto dos meios 
é igual ao produto dos extremos. 
Ex.: Em uma pesquisa curta, foi obtido o seguinte resultado: de 30 alunos 
entrevistados na Faculdade Pitágoras, 10 gostam de Matemática, portanto também 
poderíamos supor que, se forem entrevistados 120 alunos da mesma faculdade, 40 
deverão gostar de Matemática. Na verdade, ao falar de 40 alunos dos 120 alunos 
estamos afirmando que 10 estão representando em 30 o mesmo que 40 em 120. 
Escrevemos então  
10
30
 = 
40
120
. 
Numa proporção, os números (termos) que lá aparecem têm um determinado 
nome de acordo com o lugar onde se encontram escritos. Assim sendo, meios e 
extremos. 
 
 Divisão proporcional 
 Divisão em partes diretamente proporcionais 
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números 
dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais 
aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número. 
Ex.: João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um problema 
hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como João 
trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles deverão dividir com 
justiça os R$ 990,00 que serão pagos por essa tarefa? 
 
 
Ex.:Três sócios, André, Beatriz e Camilo resolvem abrir uma pizzaria. O 
primeiro investiu 30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 
ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for 
distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional 
ao valor investido, determine quanto cada um recebeu. 
 
 Divisão em partes inversamente proporcionais 
Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números 
dados é encontrar parcelas desse número que sejam diretamente proporcionais aos 
inversos desses números dados. 
Ex.: João e Pedro vão trabalhar por um mesmo período de tempo para 
fabricar e vender por R$ 1.600,00 um certo artigo. Se João chegou atrasado por 3 
dias e Pedro 5 dias, como efetuar essa divisão com justiça? 
 
 Grandezas proporcionais 
A proporcionalidade entre grandezas pode ser direta ou inversa. 
Esquematicamente, se duas grandezas são diretamente proporcionais podemos 
representá-las como: 
x ↑ y ↑ ou x ↓ y ↓ 
Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando, 
aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou 
diminui nessa mesma razão. 
Ex.: Quando vais ao mercado comprar uma mercadoria, se uma embalagem custa 
um real, duas embalagens, sem nenhuma negociação comercial, custará dois reais 
e daí sucessivamente. Quando isso ocorre dizemos que essas grandezas são 
diretamente proporcionais. Logo, duas grandezas são diretamente proporcionais se: 
para x = 0, y = 0; para x ≠ 0 e y ≠ 0, o quociente entre dois valores quaisquer 
correspondentes é um número constante (k). 
Portanto, duas grandezas são diretamente proporcionais, quando ao 
aumentar uma, a outra também aumenta na mesma proporção. 
Se duas grandezas forem inversamente proporcionais podemos representá-
las como: 
x ↑ y ↓ ou x ↓ y ↑ 
 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou 
diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na 
mesma razão. 
Duas grandezas são inversamente proporcionais, quando ao aumentar uma, 
a outra diminui na mesma proporção, e vice-versa. 
 
Exercícios: 
 Calcule: 
a) 
5
5x
=
10
53 x
 
b) x:y = 3:4 e x + y = 21 
 Um comerciante vende um produto por R$ 15.000,00 e sabe-se que a razão 
do lucro para o preço de venda é 2/3. Calcule o custo deste produto. 
 Em uma padaria, a razão entre o número de pessoas que tomam café puro e 
o número de pessoas que tomam café com leite, de manhã, é 2/3. Se durante 
uma semana, 180 pessoas tomarem café de manhã nessa padaria, e 
supondo que essa razão permaneça a mesma, pode-se concluir que o 
número de pessoas que tomarão café puro será: 
(A) 72. (B) 86. (C) 94. (D) 105. (E) 112. 
 
 Em um encontro de trabalhadores da área de transporte, a razão entre o 
número de motoristas e o número de fiscais que compareceram foi de 7 para 
3. Se nesse encontro compareceram 24 fiscais, o número total de 
trabalhadores (motoristas e fiscais) que participaram foi: 
(A) 177. (B) 80. (C) 56. (D) 46. (E) 8 
 
 Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil 
reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de 
funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for 
distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja diretamente 
proporcional ao valor investido, determine quanto cada um recebeu. 
 João e Pedro vão trabalhar por um mesmo período de tempo para fabricar e 
vender por R$ 1.600,00 um certo artigo. Se João chegou atrasado por 3 dias 
e Pedro 5 dias, como efetuar essa divisão com justiça? 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. A razão da idade de Luiz para a idade de Pedro é hoje 3/7 e a soma de suas 
idades é 50 anos. Calcule as idades de Luiz e Pedro, hoje. 
 
2. Em uma padaria, a razão entre o número de pessoas que tomam café puro e o 
número de pessoas que tomam café com leite, de manhã, é 2/3. Se durante 
uma semana, 180 pessoas tomarem café de manhã nessa padaria, e supondo 
que essa razão permaneça a mesma, pode-se concluir que o número de 
pessoas que tomarão café puro será: 
(A) 72. (B) 86. (C) 94. (D) 105. (E) 112. 
 
3. Calcule: 
a) 
4
3x
=
7
9x
 
b) 
3
3x
=
6
20
 
c) x/2 = y/3 e x + y = 40 
d) x/y = 5/4 e x+y = 18 
4. O custo de uma mercadoria é R$ 4.500,00 e a razão do lucro para o custoé ¾. 
Calcule o preço de venda desta mercadoria. 
5. João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um problema 
hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como João 
trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles deverão dividir 
com justiça os R$ 990,00 que serão pagos por essa tarefa? 
6. (FCC-2010) Um pai deixou para seus filhos uma herança no valor de 5.500,00 
para ser dividida entre eles na razão direta do número de dependentes de cada 
um. Sabendo-se que o primeiro herdeiro tem 2 dependentes, o segundo 3 e o 
terceiro 5, coube na partilha ao primeiro herdeiro a quantia de: 
a) 1.000,00 b) 1.100,00 c) 1.200,00 d) 1.300,00 e) 1.650,00 
7. (BB) Numa loja de automóveis, os vendedores recebem comissões 
proporcionais ao número de carros que vendem. Se, em uma semana, o 
gerente pagou um total de 8.280,00 a quatro funcionários que venderam 3, 6, 7 
e 9 carros, respectivamente, quanto ganhou o que menos carros vendeu? 
a) 993,60 b) 808,00 c) 679,00 d) 587,10 e) 891,00 
8. (PETROBRAS) Dividindo-se 3.800,00 em partes inversamente proporcionais a 
1, 3 e 4, a menor parte corresponderá a: 
a) 475,00 b) 520,00 c) 600,00 d) 620,00 e) 650,00