APOSTILA - MATEMÁTICA COMPLETA

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MATEMÁTICA 
Prefeituras (Santos, São Vicente, Praia Grande e Cubatão) 
Prof. Me. Ricardo da Silva Sampaio 
 
ALICERCE CONCURSOS 
 
MATEMÁTICA 
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Página de Apresentação 
ALICERCE CONCURSOS 
APOSTILA DE MATEMÁTICA (Pré-Edital) – 
ALICERCE CONCURSOS – 
AUTOR: Prof. Me. Ricardo da Silva Sampaio
Apresentação 
 
 Prezados Alunos, esta apostila foi elaborada especialmente para abordar os prin-
cipais conteúdos cobrados na disciplina de Matemática nos concursos das Prefeituras 
municipais da região em especial Santos, São Vicente, Praia Grande e Cubatão. Nossa 
apostila conta com um material atualizado e vasto, que trabalha os pontos do edital 
anterior e que costuma se repetir, mas não exclui conteúdo, portanto, esse será o ponto 
de partida de vocês. 
 A apostila é composta por sete aulas, em todas elas serão trabalhados os conte-
údos em sua parte teórica com exemplos, exercícios com o objetivo de CONSOLIDAR 
A APRENDIZAGEM, bem como diversas QUESTÕES DE CONCURSOS anteriores, para 
enfim estarmos preparados para a conquista do tão esperado cargo público. 
 É importante termos a consciência que todo este trabalho é parte do processo e 
que disciplina e dedicação são necessários para sua conquista. Frank Lloyd Wright, 
famoso arquiteto e educador estadunidense afirma: “Eu sei o preço do sucesso: dedi-
cação, trabalho duro, e uma incessante devoção às coisas que você quer ver acontecer.” 
 Estou a inteira disposição para juntos realizar esta conquista, não nos deixe de 
consultar quando necessário, e o sucesso é consequência de todo trabalho. Então va-
mos que vamos PARTIU: Estudar MATEMÁTICA. 
 
 
Atenciosamente, 
Prof. Me. Ricardo da Silva Sampaio 
Equipe Alicerce Concursos. 
Cubatão, Agosto/2019 
 
 
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Página de Sumário 
ALICERCE CONCURSOS 
SUMÁRIO 
 
AULA 1 - DIVISIBILIDADE, MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) E MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) ..... 1 
Divisibilidade ...........................................................................................................1 
 Propriedade da Divisibilidade ...............................................................................1 
 Divisores de um número natural ...........................................................................1 
 Método prático par encontrar divisores de um número natural ..................................2 
 Critérios de Divisibilidade ....................................................................................2 
Números Primos .......................................................................................................3 
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ..................................................................................4 
Máximo Divisor Comum (MDC) ...................................................................................5 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO ..............................................................................8 
QUESTÕES DE CONCURSOS ......................................................................................8 
 
AULA 2 – CONJUNTOS NUMÉRICOS (PROPRIEDADES E OPERAÇÕES) ................................................... 12 
Números Naturais (N) ............................................................................................ 12 
 Adição em N .................................................................................................... 12 
 Subtração em N ............................................................................................... 12 
 Multiplicação em N ........................................................................................... 12 
 Divisão em N ................................................................................................... 13 
 Potenciação em N ............................................................................................. 13 
 Propriedades da Potência .......................................................................... 13 
 Radiciação em N .............................................................................................. 14 
 Propriedades da Radiciação ....................................................................... 14 
Números Inteiros (Z) ............................................................................................. 15 
 Adição e Subtração ........................................................................................... 16 
 Multiplicação e Divisão ...................................................................................... 16 
 Potenciação ..................................................................................................... 16 
 Radiciação ....................................................................................................... 16 
Números Racionais (Q) ........................................................................................... 17 
 Operações com Frações..................................................................................... 19 
 Adição e Subtração .................................................................................. 19 
 Multiplicação ........................................................................................... 20 
 Divisão .................................................................................................. 20 
 Potenciação ............................................................................................ 21 
 Operações com Decimais ................................................................................... 21 
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Página de Sumário 
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 Adição e Subtração .................................................................................. 21 
 Multiplicação ........................................................................................... 22 
 Divisão .................................................................................................. 22 
 Potenciação ............................................................................................ 22 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO ............................................................................ 23 
QUESTÕES DE CONCURSOS .................................................................................... 25 
 
AULA 3 – RAZÃO, PROPORÇÃO E REGRA DE TRÊS ................................................................................. 31 
Razão .................................................................................................................. 31 
 Razões Notáveis ............................................................................................... 31 
 Escala .................................................................................................... 31 
 Densidade Demográfica ............................................................................ 31 
 Densidade .............................................................................................. 32 
 Velocidade Média ..................................................................................... 32 
Proporção .............................................................................................................. 33 
 Números diretamente proporcionais .................................................................... 34 
 Números inversamente proporcionais .................................................................. 35 
Regra de Três ...................................................................................................... 35 
 Regra de Três Simples ......................................................................................35 
 Regra de Três Composta ................................................................................... 36 
 Porcentagem com Regra de Três ........................................................................ 37 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO ............................................................................ 38 
QUESTÕES DE CONCURSOS .................................................................................... 41 
 
AULA 4 – PORCENTAGEM E JUROS ......................................................................................................... 44 
Porcentagem ........................................................................................................ 44 
Acréscimos e Descontos .......................................................................................... 45 
Juros Simples ........................................................................................................ 46 
Juros Compostos .................................................................................................... 48 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO ............................................................................ 50 
QUESTÕES DE CONCURSOS .................................................................................... 54 
 
AULA 5 – ÁLGEBRA ................................................................................................................................ 59 
O que é álgebra? ................................................................................................... 59 
Equação de 1º Grau ................................................................................................ 60 
Operações com Polinômios ...................................................................................... 63 
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Produtos Notáveis .................................................................................................. 66 
 Quadrado da Soma de Dois Termos .................................................................... 67 
 Quadrado da Diferença de Dois Termos ............................................................... 67 
 Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos .................................................. 67 
 Cubo da Soma de Dois Termos ........................................................................... 67 
 Cubo da Diferença de Dois Termos ..................................................................... 67 
Fatoração .............................................................................................................. 68 
 Fator Comum em Evidência ............................................................................... 68 
 Agrupamento ................................................................................................... 68 
 Trinômio Quadrado Perfeito ............................................................................... 68 
 Diferenças de Dois Quadrados ............................................................................ 68 
 
Sistema de Equação de 1º Grau ............................................................................... 69 
 Método da Adição ............................................................................................. 69 
 Método da Substituição ..................................................................................... 70 
 
Inequação de 1º Grau ............................................................................................. 71 
Equação de 2º Grau ................................................................................................ 71 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO ............................................................................ 72 
QUESTÕES DE CONCURSOS .................................................................................... 76 
 
AULA 6 – GRANDEZAS E MEDIDAS ......................................................................................................... 79 
Unidades de Medidas ............................................................................................. 79 
 Medidas de Comprimento .................................................................................. 79 
 Medidas de Superfície ....................................................................................... 79 
 Medidas de Volume .......................................................................................... 79 
 Medidas de Massa ............................................................................................ 79 
 Medidas de Capacidade ..................................................................................... 80 
 Medidas de Tempo ........................................................................................... 80 
Sistema Monetário Brasileiro .................................................................................... 81 
Área e Perímetro .................................................................................................... 82 
Teorema de Pitágoras ............................................................................................. 85 
Volume de Prismas e Cilindros .................................................................................. 85 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO ............................................................................ 87 
QUESTÕES DE CONCURSOS .................................................................................... 91 
 
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Página de Sumário 
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AULA 7 – ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE ........................................................................................... 96 
Noções de Probabilidade ......................................................................................... 98 
Análise Combinatória .............................................................................................. 99 
 Princípio Multiplicativo ....................................................................................... 99 
 Permutação Simples ....................................................................................... 100 
 Permutação com Repetição ............................................................................. 100 
 Permutação Circular ....................................................................................... 100 
 Arranjo Simples ............................................................................................. 101 
 Arranjo com Repetição .................................................................................... 101 
 Combinação Simples ....................................................................................... 101 
 Combinação com Repetição ............................................................................. 101 
Funções .............................................................................................................. 102 
 Função Constante ........................................................................................... 104 
 Função de 1º Grau ou Afim .............................................................................. 104 
 Função de 2º Grau ou Quadrática ..................................................................... 104 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO .......................................................................... 105 
QUESTÕES DE CONCURSOS .................................................................................. 106 
SIMULADO IBAM .................................................................................................. 109 
SIMULADO FCC .................................................................................................... 112MATEMÁTICA 
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AULA 1 
DIVISIBILIDADE, MÍNIMO MÚLTIPLO 
COMUM (MMC) E MÁXIMO DIVISOR 
COMUM (MDC) 
 
Nesta primeira aula vamos tratar de al-
guns assuntos de suma importância para a se-
quência de nossos estudos. Em todas as aulas 
procuramos utilizar uma linguagem de fácil en-
tendimento sempre junto a parte teórica relaci-
onando a forma como o assunto pode ser co-
brado em sua prova. Iniciamos os nossos estu-
dos pelos critérios de divisibilidade, MMC e MDC. 
Divisibilidade 
 Quando realizamos a operação de divi-
são com dois números, o resultado nem sempre 
é um número natural (inteiro e positivo). 
Neste sentido podemos dizer que um nú-
mero é DIVISÍVEL por outro quando o QUOCI-
ENTE entre eles não resultar RESTO. 
Por exemplo, 15 é divisível por 3, pois ao 
realizar a operação 15:3 obtemos o resultado 5 
(Quociente) e Resto 0. Da mesma maneira 15 
não é divisível por 4, pois ao dividirmos 15:4 ob-
temos resultado 3 e resto 2. 
 
 
 
Propriedades da Divisibilidade 
1) Todo número é divisível por 1. 
O número 1 é divisor de todos os núme-
ros e o resultado da operação é o número 
que foi dividido, isso se dá por que o 1 é 
elemento neutro da multiplicação e da di-
visão. Assim: 15/1 = 15; (Obs: Utilizare-
mos / como sinal de divisão). 
 
2) Todo número é divisível por ele mesmo. 
A divisão de um número por ele mesmo 
tem por resultado 1, assim todo número 
é divisível por ele mesmo: Assim, 
13/13=1; 
3) Se o divisor for 0 ele é divisível por qual-
quer número, pois 0 dividido por qualquer 
número é 0. Assim, 0/35 = 0. 
 
4) Se um determinado número (a) for divi-
sível por um número (b) e um terceiro 
número (c) for divisível pelo número (a), 
ENTÃO o número (c) é divisível pelo nú-
mero (b). Exemplificando: 30 é divisível 
por 3, pois 30/3=10 e 90 é divisível por 
30, pois 90/30 = 3; então 90 é divisível 
por 3, pois 90/3=30. 
 
Exemplo: 40/2 e 80/40 então 80/2 
 
5) Se a, b, c e d são números Naturais, 
sendo que b e d são diferentes de 0. Se 
a/b e c/d. ENTÃO a.c/b.d; Exemplifi-
cando: 25/5 e 4/2 então 100/10. De 
acordo com esta propriedade se multipli-
carmos os divisores e multiplicarmos os 
dividendos, o resultado continua sendo 
divisores um do outro. 
 
Divisores de um número natural 
Os divisores de um número natural são todos os 
números que divididos por este número pos-
suem resto 0. 
Vamos exemplificar descobrindo quais são os di-
visores de 15 => D (15). 
A princípio podemos dizer que os números 1 e 
15 são divisores de 15, uma vez que: 
=> 1 é divisor de qualquer número; 
=> Todo número é divisor dele mesmo; 
Precisamos agora encontrar os demais divisores: 
3 é divisor pois 15/3 = 5; 
5 é divisor pois 15/5=3; 
IMPORTANTÍSSIMO 
NÃO EXISTE DIVISÃO POR 0 
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Assim encontramos todos os divisores de 15 são 
eles: 
D(15) = {1;3;5;15}; 
Vamos pensar agora quais são os divisores de 
42? 
Sabemos que 1 e 42 são divisores; 
42/2 = 21; 42/3 = 14; 
42/6 = 7; 42/7 = 6; 
42/14 = 3; 42/21 = 2; 
D(42)={1;2;3;6;7;14;21;42}; 
Método prático para encontrar os 
divisores de um número natural 
Para facilitar nossa vida existe um método prá-
tico para encontrar os divisores de um número, 
vamos explicar com o mesmo exemplo acima. 
Quais os divisores de 42 => D (42) 
1) Decompomos o 42 em fatores primos. 
 
 
2) Para descobrir quais são os divisores tra-
çamos uma nova linha vertical e passa-
mos a multiplicar cada número primo en-
contrado pelos números que forem sur-
gindo sempre iniciando por 1. 
 
 
 
3) Outro recurso que este método nos per-
mite é descobrir quantos divisores possui 
um número sem a necessidade de encon-
trá-los. Para isso observe os números pri-
mos encontrados 2.3.7, devemos pegar 
os expoentes de cada um deles, neste 
caso como eles só apareceram uma vez o 
expoente é 1, acrescentamos 1 em cada 
um dos expoentes obtemos 2 em cada 
um agora basta multiplicá-los 2.2.2=8. 
Assim 42 possui 8 divisores. 
 
Critérios de Divisibilidade 
Divisibilidade por 2 
 
Um número natural é divisível por 2 se este nú-
mero for par, ou seja, seu algarismo da uni-
dade for 0, 2, 4, 6 ou 8. 
 
Exemplos: 
a) 24 é divisível por 2 porque 24 é par; 
b) 235 não é divisível por 2 porque 235 é ímpar; 
 
Divisibilidade por 3 
 
Um número natural é divisível por 3 se a soma 
de seus algarismos também for. 
 
Exemplos: 
a) 258 é divisível por 3? 
Somamos os algarismos 2 + 5 + 8 = 15 
15 é divisível por 3 logo 258 também é. 
 
b) 1250 é divisível por 3? 
Somamos os algarismos 1+ 2 + 5 + 0 = 8 
8 não é divisível por 3 logo 1250 também não é. 
 
Divisibilidade por 4 
 
Um número natural é divisível por 4 se este nú-
mero for par e o dobro de seu algarismo da de-
zena somado com seu algarismo da unidade for 
divisível por 4. 
 
Exemplos: 
a) 3576 é divisível por 4? 
Multiplicando a dezena por 2 e somando a unidade ob-
temos 2.7+6=20, sendo 20 divisível por 4 então 3576 
também é. 
 
b) 19421 é divisível por 4? 
Não é divisível pois 19421 é ímpar. 
 
c) 19434 é divisível por 4? 
Vejamos, ao multiplicar a dezena por 2 e somando a 
unidade temos 3.2+4=10, uma vez que 10 não é divi-
sível por 4 então 19434 também não é. 
 
 
 
 
 
 
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Divisibilidade por 5 
 
Um número natural é divisível por 5 se seu al-
garismo da unidade for 0 ou 5. 
 
Exemplos: 
a) 480 é divisível por 5? 
Sim, pois termina em 0. 
 
b) 6315 é divisível por 5? 
Sim, pois termina com 5. 
 
c) 71 é divisível por 5? 
Não, pois não termina nem com 0 nem com 5. 
 
Divisibilidade por 6 
 
Um número natural é divisível por 6 se este nú-
mero for simultaneamente divisível por 2 e por 
3. 
 
Exemplos: 
a) 2514 é divisível por 6? 
2514 é divisível por 2 por ser par e por 3 uma vez que 
2+5+1+4=12 e 12 é divisível por 3, logo 2514 é divisí-
vel por 6. 
 
b) 743 é divisível por 6? 
743 não é divisível por 2 já que não é par logo não é 
divisível por 6. 
 
c) 128 é divisível por 6? 
128 é divisível por 2, pois é par, no entanto não é por 
3 uma vez que 1+2+8=11 e 11 não é divisível por 3, 
logo, 128 não é divisível por 6. 
 
Divisibilidade por 7 
 
Um número natural é divisível por 7 se o mó-
dulo da diferença entre o dobro do algarismo da 
unidade e o número formado após a exclusão da 
unidade for divisível por 7. Após a aplicação do 
critério, caso seja necessário, efetua-se nova-
mente o processo, assim como é exibido no 
exemplo. 
 
 
Exemplos: 
a) 532 é divisível por 7? 
Pegamos o algarismo da unidade 2 e multiplicamos por 
2, assim 2.2=4; 
O número que restou foi 53 agora subtraímos 53 de 4, 
assim 53-4=49; 
Como 49 é divisível por 7 então 532 também é. 
 
b) 3452 é divisível por 7? 
Fazendo o mesmo processo acima multiplicando o al-
garismo da unidade 2.2=4. Em seguida subtraindo 
345-4=341. Como 341 não um número obvio se é ou 
não divisível por 7 podemos repetir o processo com o 
número 341, logo 2.1=2 e 34-2=32. Como 32 não é 
divisível por 7 então 3452 também não é. 
 
 
 
 
Divisibilidade por 8 
 
Um número natural é divisível por 8 se este nú-
mero for par e a soma do quádruplo do seu 
algarismo da centena com o dobro do seu alga-
rismo da dezena com o seu algarismo da uni-
dade for divisível por 8. 
 
Exemplos: 
a) 3592 é divisível por 8? 
4.5+2.9+2=40 como 40 é divisível por 8 então 3592 
também é. 
 
b) 721 é divisível por 8? 
Não, pois 721 é ímpar. 
 
c) 28406 é divisível por 8? 
4.4+2.0+6=22, como 22 não é divisível por 8 então 
28406 também não é. 
 
Divisibilidade por 9 
 
Um númeronatural é divisível por 9 se a soma 
de seus algarismos também for. 
 
Exemplos: 
a) 567 é divisível por 9? 
5 + 6 + 7 = 18, já que 18 é divisível por 9 então 567 
também é. 
 
b) 2973 é divisível por 9? 
2 + 9 + 7 + 3 = 21, como 21 não é divisível por 9, en-
tão 2973 também não é. 
 
Divisibilidade por 10 
 
Um número natural é divisível por 10 se seu algarismo da 
unidade for 0. 
 
Exemplos: 
a) 370 é divisível por 10? 
Sim, pois 370 termina em 0; 
 
b) 4381 é divisível por 10? 
Não, pois 4381 não termina em 0. 
 
Números Primos 
 
Os números primos são aqueles que pos-
suem apenas dois divisores que seriam o 1 e 
ele mesmo. O número que possui mais de um 
divisor é chamado composto. 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar os demais números pri-
mos devemos sempre verificar se há divisores 
IMPORTANTÍSSIMO 
O ÚNICO NÚMERO PRIMO QUE É PAR É O 2. 
 
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além de 1 e dele mesmo. O número 1 não é con-
siderado primo. 
Números primos menores que 100: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Decomposição em fatores primos: 
Fatoração 
 
Todo número composto pode ser escrito 
como um produto de números primos. Este pro-
duto é chamado de FORMA FATORADA e pode-
mos obtê-lo através de um processo chamado 
decomposição em fatores primos, ou simples-
mente, fatoração. 
 
Para isso, traçamos uma linha vertical à 
direita do número e efetuamos sucessivas divi-
sões por números primos que sejam diviso-
res do mesmo até que se obtenha 
o quociente 1. 
 
 Vamos observar como fica a fatoração do 
número 30. 
Como 30 é par dividimos ele por 2 obtendo 15. 
15 é divisível por 3 pois 1+5=6 => 15/3=5 
5 é divisível por 5 pois termina com 5 => 5/5=1 
 
Visualmente fica: 
 
Assim 30 = 2.3.5 (Na forma fatorada) 
 
 Vamos ver mais alguns exemplos: 
 
Fatoração de 180 
 
 
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 
 
 Observe a seguinte questão da Banca 
Vunesp: 
 
Em uma padaria, o pão francês sai a cada 3 horas, o pão de 
queijo a cada 4 horas e o pão recheado a cada 6 horas. Se 
às 7h da manhã esses 3 tipos de pães saíram, então, eles 
voltarão a sair junto às: 
 
 É possível perceber na questão uma ideia 
de repetição, algo se repete de alguma forma e 
exercícios deste tipo podemos resolver utilizando 
o MMC. 
 
 Para entender o MMC devemos recordar 
o conceito de Múltiplo, que são os números obti-
dos a partir da multiplicação deste número pelos 
números naturais. Assim, os Múltiplos de 3 são: 
 
M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30...}; 
 
 Entendido este conceito o MMC busca 
algo em COMUM logo para existir tem que ser 
feito com dois ou mais números. Vejamos os 
Múltiplos de 5: 
 
M(5)={0,5,10,15,20,25,30...}; 
 
 Podemos a partir destes dois números 
encontrar múltiplos em comum, observando a 
listagem podemos ver que o 15 e o 30 aparecem 
nas duas, além de outros maiores, no entanto o 
MMC busca o MÍNIMO, assim: 
 
MMC (3,5)=15 
 
 
 
 
 
 
Vamos retomar o problema acima da pa-
daria, onde pão francês sai a cada 3 horas, pão 
de queijo a cada 4 e pão recheado a cada 6. Uma 
vez percebida a ideia de repetição vamos identi-
ficar os múltiplos destes números. 
M(3)={0,3,6,9,12,15...}; 
M(4)={0,4,8,12,15...}; 
M(6)={0,,6,12,18...}; 
 
 Excluindo o 0 podemos perceber que o 
menor número que aparece em comum entre os 
três números é 12. Logo, MMC (3,4,6) = 12. No 
IMPORTANTÍSSIMO 
O ZERO É MÚLTIPLO DE TODO NÚMERO E POR 
ISSO NÃO É CONSIDERADO NO CÁLCULO DO 
MMC. 
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exercício proposto os três pães teriam saído as 
7 horas e o problema questionam quando sairão 
juntos novamente, concluímos então que sairão 
após 12 horas, logo as 19 horas. 
 
 Para facilitar o cálculo do MMC vamos ex-
plicar um método prático, embora existam diver-
sos métodos para se obter o resultado optei di-
ante de nosso objetivo trabalhar apenas o mé-
todo mais prático o da FATORAÇÃO SIMULTÂ-
NEA. 
 Neste método fatoramos os números que 
desejamos saber o MMC simultaneamente e pas-
samos a dividir pelos números primos. Vejamos 
o MMC (3,4,6) por este método. 
 
 
 
 
 
Observações: 
✓ Sempre devemos iniciar do menor número primo 
em diante. 
✓ Caso um dos números não seja divisível pelo nú-
mero primo devemos repeti-lo, como ocorreu com 
o 3 na primeira linha. 
✓ O MMC sempre termina quando encontramos 1 no 
final. 
✓ O MMC é o produto dos números primos. 
 
Vamos ver mais alguns exemplos: 
MMC (3,5,7) 
Observe que os fatores 
primos coincidem com 
os números que quere-
mos calcular o MMC, 
logo para obter o MMC 
se todos os números 
forem primos, basta 
MULTIPLICÁ-LOS 
Qual é o MMC entre 12, 15 e 20? 
 
 
Máximo Divisor Comum (MDC) 
 
Vamos iniciar nosso estudo do MDC com 
uma situação que podemos encontrar em con-
cursos: 
Um comerciante possui em seu estoque 4 rolos de tecidos 
com estampas que já não mais atendem à preferência dos 
clientes, mas para não ficar no prejuízo, decidiu cortar os 
tecidos de todos os rolos em pedaços menores de mesma 
medida e ofertá-los com um generoso desconto no metro 
de 70%. Sabendo que as medidas dos tecidos contidos nos 
4 rolos são, respectivamente, 12m, 20m, 32m e 48m, qual 
será a metragem máxima de cada corte, de forma que 
não sobre nenhum tecido nos rolos? 
 
É possível perceber na questão algumas 
ideias como a de divisão em maior tamanho 
igual, perceba as palavras em negrito. Este tipo 
de questão podemos resolver utilizando o MDC. 
 
 Para entender o MDC retomemos a ideia 
de divisores vista acima. Lembrando que diviso-
res de um número são todos aqueles que divi-
dem o número não deixando resto. Assim, os Di-
visores de 12 são: 
 
D(12)={1,2,3,4,6,12}; 
 
 Entendido este conceito o MDC busca 
algo em COMUM logo para existir tem que ser 
feito com dois ou mais números. Vejamos os Di-
visores de 20: 
 
D(20)={1,2,4,5,10,20}; 
 
 Podemos a partir destes dois números 
encontrar divisores em comum, observando a 
listagem podemos ver que o 1,2 e 4 aparecem 
nas duas, no entanto o MDC busca o MÁXIMO, 
assim: MDC (12,20)=4 
 
 
 
IMPORTANTÍSSIMO 
O UM É DIVISOR DE TODO NÚMERO E POR ISSO 
NÃO É CONSIDERADO NO CÁLCULO DO MDC. 
 
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Vamos retomar o problema acima, o co-
merciante possui 4 rolos e as medidas dos rolos 
são: 12,20, 32 e 48. Uma vez percebida a ideia 
de dividir algo em partes iguais do maior tama-
nho possível vamos identificar os divisores des-
tes números. 
D(12)={1,2,3,4,6,12}; 
D(20)={1,2,4,5,10,20}; 
D(32)={1,2,4,8,16,32}; 
D(48)={1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}; 
 
Excluindo o 1 podemos perceber que o 
maior número que aparece em comum como di-
visor entre os quatro números é 4. Logo, MDC 
(12,20,32,48) = 4. No exercício proposto a me-
tragem procurada é de 4 metros. 
 
 Para facilitar o cálculo do MDMC vamos 
explicar um método prático, embora existam di-
versos métodos para se obter o resultado optei 
diante de nosso objetivo trabalhar apenas o mé-
todo mais prático o da FATORAÇÃO SIMULTÂ-
NEA. 
Observação: Enquanto no MMC o número primo 
encontrado deve dividir um dos números, no 
MDC o número primo deve dividir TODOS os nú-
meros. 
 
 Em nosso problema proposto devemos 
achar o MDC de 12, 20, 32, 48. 
 
 
 Observe que não há número que divisor 
de 3,5,8 e 12 ao mesmo tempo logo encerramos 
o MDC neste momento e multiplicamos os fato-
res encontrados. 
 
 Vejamos outro exemplo: Qual o MDC de 
30, 75 e 135? 
 
 Fazendo a fatoração simultânea temos... 
 
 
MDC (30, 75, 135) = 15 
 
 Caso ao realizar a fatoração não encon-
trarmos números primos para dividiro MDC será 
1 e os números analisados são primos entre si. 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1) Na rodoviária de certa cidade, o ônibus que 
vai para São Paulo sai a cada 24 minutos e o que 
vai para o Rio de Janeiro sai a cada 45 minutos. 
Sabendo que às 15 horas os horários de partida 
desses ônibus coincidiram, a próxima coincidên-
cia de horário de partida ocorrerá às: 
 
a) 21:00 horas. 
b) 21:30 horas. 
c) 22:00 horas. 
d) 22:30 horas 
 
Resolução: A primeira observação que devemos 
fazer é a ideia de repetição que o problema 
trás, lembrando que se a ideia é de REPETI-
ÇÃO o caminho é MMC. Fazendo o MMC de 24 
e 45 temos: 
 
 
 Após efetuar o cálculo do MMC obtemos 
360 minutos e devemos analisar a resposta cor-
reta. 360 minutos é igual a 6 horas. Sabendo que 
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saíram juntos as 15:00 após 6 horas sairão jun-
tos novamente as 21:00 Horas. 
Alternativa A. 
 
2) Três faixas retangulares, todas com 25 centí-
metros de largura, têm comprimentos A, B e C 
metros. Necessita-se recortar essas faixas em 
faixas retangulares menores, todas com 25 cen-
tímetros de largura e maior comprimento possí-
vel, sem desperdício. Sabendo-se que a soma 
dos comprimentos A, B e C é 6 metros, a soma 
dos comprimentos A e B é 3,6 metros e que o 
comprimento C excede o comprimento A em 80 
centímetros, o número total de faixas retangula-
res menores e o perímetro de cada uma delas, 
em metros, deverão ser, respectivamente, 
 
A) 15 e 1,1. 
B) 15 e 1,3. 
C) 15 e 1,5. 
D) 17 e 1,3. 
E) 17 e 1,5. 
 
Resolução: O Exercício nos remete ao MDC uma 
vez que aparece alguns termos como: maior, 
sem desperdício, recortar. Ocorre que neste pro-
blema em específico há um fator prejudicante, o 
fato de não fornecer diretamente o tamanho das 
faixas deixando informações para obtê-los. Va-
mos então raciocinar. 
 
 As três faixas juntas medem 6 metros, e 
as faixas A e B juntas medem 3,6, logo a 
faixa C é igual a 6-3,6=2,4. Faixa 
C=2,4. 
 A faixa C excede A em 80 cm então a 
faixa A é igual 2,4-0,8=1,6. Faixa 
A=1,6. 
 A faixa B então é igual a 6-2,4-1,6=2. 
Faixa B=2. 
 
Agora que sabemos o tamanho das faixas de-
vemos fazer o MDC (2,4;1,6;2); 
 
Para facilitar o trabalho vamos converter as 
medidas de metros para centímetro. 
 
2,4 m = 240 cm 
1,6 m = 160 cm 
2 m = 200 cm 
 
MDC (240, 160, 200) 
 
 
 
O MDC deu 40 cm logo as faixas serão cortadas 
neste tamanho, resultando em 6 pedaços da 
Faixa A, 4 pedaços da Faixa B e 5 pedaços da 
Faixa C resultando em 15 pedaços. Cada faixa 
possui 40 cm de comprimento e 25 cm de lar-
gura o perímetro então é igual a 40+40+25+25 
= 130 cm que convertido em metro é igual a 1,3 
metros. 
ALTERNATIVA B 
 
3) (Vunesp 2019) Para uma atividade de orien-
tação e prevenção em determinado 
bairro, n funcionários da Secretaria de Saúde de 
certo município deverão ser divididos em grupos, 
de modo que cada grupo tenha o mesmo número 
de funcionários. Constatou-se que cada grupo 
poderá ter 6, ou 10, ou 12 funcionários, e que, 
em qualquer uma das três composições, não res-
tará nenhum funcionário fora de um grupo. Nes-
sas condições, o menor valor possível para n é: 
a) 40. 
b) 46. 
c) 50. 
d) 52. 
e) 60. 
Resolução: Este exercício é relativamente fácil e 
podemos resolvê-lo por uma técnica muito utili-
zada em concurso que é tentativa e erro. O nú-
mero que procuramos tem que ser múltiplo de 
6, 10 e 12. Das alternativas só temos o 60 como 
opção. O termo “menor possível” nos leva a pen-
sar no MMC. MMC (6, 10, 12) = 60. 
 
ALTERNATIVA E 
 
 
 
 
 
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CONSOLIDANDO O APRENDIZADO 
 
1. Decomponha cada número dado em fatores 
primos: 
a) 12= 
b) 18= 
c) 24= 
d) 32= 
e) 40= 
f) 45= 
g) 48= 
h) 49= 
i) 54= 
j) 56= 
2. Determine: 
a) D(25)= 
b) D(28)= 
c) D(30)= 
d) D(32)= 
e) D(35)= 
f) D(36)= 
g) D(40)= 
h) D(44)= 
i) D(45)= 
j) D(48)= 
3. Calcule: 
a) mmc(3,4,6)= 
b) mmc(2,4,8)= 
c) mmc(3,6,9)= 
d) mmc(4,8,10)= 
e) mmc(6,12,15)= 
f) mmc(6,15,18)= 
g) mmc(8,12,20)= 
h) mmc(9,15,27)= 
i) mmc(12,16,24)= 
j) mmc(12,15,21)= 
4. Calcule: 
a) mdc(16,18,20)= 
b) mdc(15,20,30)= 
c) mdc(14,21,28)= 
d) mdc(14,28,35)= 
e) mdc(24,30,32)= 
f) mdc(35,45,50)= 
g) mdc(50,60,80)= 
h) mdc(56,64,72)= 
i) mdc(56,66,76)= 
j) mdc(100,108,120)= 
 
 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
1) (FCC – Analista de Gestão – 2018) Um novo 
filme será lançado em 3 cinemas de uma cidade 
do oeste paulista. Devido à popularidade mun-
dial do filme, os 3 cinemas irão exibir sessões 
continuamente pelos próximos dias, inclusive de 
madrugada e de manhã, assim como nos domin-
gos e feriados. 
 
O lançamento ocorre simultaneamente nos 3 ci-
nemas, às 23h de um sábado. A partir daí as 
próximas exibições seguem o seguinte padrão: 
• Cinema A: a partir do instante de lança-
mento, uma nova sessão a cada 4 horas; 
• Cinema B: a partir do instante de lança-
mento, uma nova sessão a cada 5 horas; 
• Cinema C: a partir do instante de lança-
mento, uma nova sessão a cada 12 horas. 
 
Dessa forma, pode-se concluir que a primeira 
vez em que os três cinemas irão iniciar uma 
sessão simultaneamente, sem contar o lança-
mento, se dará às: 
 
a) 23h de uma segunda-feira. 
b) 23h de uma terça-feira. 
c) 11h de uma terça-feira. 
d) 16h de um domingo. 
e) 11h de uma quarta-feira. 
 
2) (FCC – Supervisor do Metrô – 2010) Suponha 
que, a partir de outubro de 2009, como parte de 
um projeto cultural, diariamente às 18 horas, 
numa Estação do Metrô é apresentado um 
evento denominado Encontros Musicais da Velha 
Guarda e desde então, sistematicamente, dois 
amigos costumam assisti-lo: Joviano, a cada 15 
dias, e Juvenal, a cada 12 dias. Se em 
22/12/2009, ambos se encontraram em tal 
evento, a próxima data em que eles lá estiveram 
juntos foi 
 
a) 22/02/2010. 
b) 20/02/2010. 
c) 12/02/2010. 
d) 22/01/2010. 
e) 20/01/2010. 
 
3) (FCC – Analista Judiciário – 2013) Rafael pos-
sui uma coleção de 48 CDs e 31 DVDs, parte dos 
quais ele destinará para doação. Da coleção ele 
ficará com 20 CDs e 10 DVDs, destinando o resto 
para doação. A doação será feita em caixas con-
tendo sempre ao menos 1 CD e 1 DVD, não 
sendo necessário que o número de CDs de uma 
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caixa seja igual ao de DVDs que ela contenha. 
Além disso, todas as caixas para doação devem 
conter, entre si, o mesmo número de CDs e de 
DVDs. Nas condições descritas, o maior número 
possível de caixas para doação será igual a 
 
a) 9. b) 7. c) 3. d) 6. e) 11. 
 
4) (FCC – Analista Técnico – 2018) O número A 
é o menor inteiro positivo divisível, simultanea-
mente, por 12, 14 e 21. Já o número B é o maior 
inteiro positivo divisor, simultaneamente, de 
105, 135 e 180. Nessas condições, o valor da 
expressão (A/B)² é igual a 
 
a) 33,64. 
b) 29,16. 
c) 24,01. 
d) 31,36. 
e) 26,01. 
 
5) (FCC – Analista Técnico – 2018) Na linha 1 de 
um sistema de Metrô, os trens partem de 2,4 em 
2,4 minutos. Na linha 2 desse mesmo sistema, 
os trens partem de 1,8 em 1,8 minutos. Se dois 
trens partem, simultaneamente das linhas 1 e 2 
às 13 horas, o próximo horário desse dia em que 
partirão dois trens simultaneamente dessas 
duas linhas será às 13 horas, 
 
a) 10 minutos e 48 segundos. 
b) 7 minutos e 12 segundos. 
c) 6 minutos e 30 segundos. 
d) 7 minutos e 20 segundos. 
e) 6 minutos e 48 segundos. 
 
6) (FCC – Técnico Judiciário – 2015) Uma em-
presa é composta por quatro setores distintos, 
que têm, respectivamente, 300, 180, 120 e 112 
funcionários.Todos esses funcionários participa-
rão de um treinamento e receberam as seguin-
tes orientações para a preparação: 
 
• Devem ser formados grupos com a mesma 
quantidade de funcionários em cada um. 
• Cada grupo deve incluir apenas funcionários 
de um mesmo setor. 
• Os grupos, respeitando as condições anterio-
res, devem ser os maiores possíveis. 
 
Desse modo, a quantidade total de grupos for-
mados para o treinamento será 
a)178. 
b) 75. 
c) 114. 
d) 32. 
e) 253. 
 
7) (FCC – Analista Técnico – 2018) Lucas é ge-
rente do setor de compras de uma empresa. Ele 
usualmente recebe a visita de quatro represen-
tantes de vendas de diferentes fornecedores: Al-
berto, Bruno, Carlos e Daniel. Alberto visita Lu-
cas semana sim, semana não; Bruno o visita a 
cada 3 semanas; Carlos, a cada 4 semanas; e, 
finalmente, Daniel, a cada 5 semanas. Em 2016, 
na primeira semana do mês julho, Lucas recebeu 
os quatro representantes de venda. Supondo 
que cada mês tenha 4 semanas e que a rotina 
de visitas permaneça continuamente regular, o 
próximo encontro dos quatro representantes 
acontecerá novamente no: 
 
a) primeiro semestre de 2018. 
b) segundo semestre de 2016. 
c) primeiro semestre de 2017. 
d) segundo semestre de 2017. 
e) segundo semestre de 2018. 
8) (FCC – Oficial de manutenção – 2014) No se-
tor de arquivos de um escritório, existem 2.240 
pastas arquivadas. Retirando-se certo número 
de pastas, as que sobram podem ser perfeita-
mente divididas entre 7 departamentos do escri-
tório, ou entre 6 setores do escritório, o que é 
uma situação desejada. Nas condições dadas, o 
menor número de pastas que devem ser retira-
das para que se atinja a situação desejada é 
igual a 
 
a) 31. 
b) 17. 
c) 23. 
d) 14. 
e) 9. 
 
9) (FCC – Analista Técnico – 2013) Alguns fun-
cionários da Defensoria Pública de São Paulo 
participaram de um seminário sobre Ações na 
Área Cível, pelo qual pagaram o total de R$ 
715,00, no ato de suas inscrições. Se X reais era 
o valor unitário da inscrição e X é um número 
inteiro compreendido entre 40 e 60, quantos 
funcionários da Defensoria participaram de tal 
seminário? 
 
a) 11. 
b) 13. 
c) 37. 
d) 55. 
e) 59. 
 
10) (FCC – Escriturário – 2010) Suponha que 60 
funcionários do Banco do Brasil - 60% dos quais 
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lotados em certa Agência de Florianópolis e, os 
demais, em determinada Agência de Chapecó - 
serão divididos em grupos, a fim de participar de 
um curso sobre Desenvolvimento Pessoal. Con-
siderando que todos os grupos deverão conter a 
mesma quantidade de funcionários e que todos 
os funcionários de cada grupo deverão pertencer 
à mesma Agência, então a menor quantidade de 
grupos que poderão ser formados é um número 
 
a) menor que 4. 
b) primo. 
c) divisível por 3. 
d) par. 
e) maior que 8. 
 
11) (FCC – Técnico Judiciário – 2010) Sistemati-
camente, dois funcionários de uma empresa 
cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o 
outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, do-
mingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 
2010 ambos cumpriram horas-extras, uma outra 
provável coincidência de horários das suas horas 
extras ocorrerá em 
 
a) 9 de dezembro de 2010. 
b) 15 de dezembro de 2010. 
c) 14 de janeiro de 2011. 
d) 12 de fevereiro de 2011. 
e) 12 de março de 2011. 
 
12) (FCC – Analista de Planejamento – Prefeitura 
– Recife - 2019) Sejam 3 cidades (X, Y e Z) lo-
calizadas em uma determinada região. A cada 
25 minutos sai um ônibus de X para Y e a cada 
15 minutos sai um ônibus de X para Z. Sabe-se 
que às 8 horas e 30 minutos saiu um ônibus de 
X para Y e um ônibus de X para Z. O primeiro 
horário após o meio-dia em que vai sair um ôni-
bus de X para Y e um ônibus de X para Z será às 
 
a) 12 horas e 30 minutos. 
b) 13 horas. 
c) 12 horas e 45 minutos. 
d) 12 horas e 15 minutos. 
e) 13 horas e 15 minutos. 
 
 
13) (FCC – Técnico Judiciário – 2004) Dispõe-se 
de dois lotes de boletins informativos distintos: 
um, com 336 unidades, e outro, com 432 uni-
dades. Um técnico judiciário foi incumbido de 
empacotar todos os boletins dos lotes, obede-
cendo as seguintes instruções: 
 
• Todos os pacotes devem conter a mesma 
quantidade de boletins; 
• Cada pacote deve ter um único tipo de bole-
tim. 
 
Nessas condições, o menor número de pacotes 
que ele poderá obter é 
 
a) 12. b) 16. c) 18. d) 24. e) 32. 
 
14) (FCC – Técnico Judiciário – 2003) Um auxi-
liar de enfermagem pretende usar a menor 
quantidade possível de gavetas para acomodar 
120 frascos de um tipo de medicamento, 150 
frascos de outro tipo e 225 frascos de um ter-
ceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade 
de frascos em todas as gavetas, e medicamentos 
de um único tipo em cada uma delas, quantas 
gavetas deverá usar? 
 
a) 33. b) 48. c) 75. d) 99. e) 165. 
 
15) (FCC – Analista judiciário – 2010) Quatro 
faculdades de Direito participam de um convê-
nio Empresa-Escola para estágios de seus alu-
nos em grandes escritórios de advocacia. Em 
certo dia, as quatro enviaram alunos a um es-
critório, candidatando-se a uma vaga. Lá che-
gando, eles foram divididos em grupos, de 
forma que: 
 
• Cada grupo tinha alunos de uma única facul-
dade; 
• Todos os grupos tinham a mesma quanti-
dade de alunos; 
• A quantidade de alunos em cada grupo era a 
maior possível; 
• O número de alunos enviados pelas faculda-
des foi 12, 18, 24 e 36. 
 
Se para cada grupo foi elaborada uma prova 
distinta, então 
a) cada grupo tinha exatamente 4 alunos. 
b) foi aplicado um total de 15 provas. 
c) foi aplicado um total de 16 provas. 
d) foram formados exatamente 12 grupos. 
e) para alunos de uma das faculdades foi apli-
cado um total de 8 provas. 
 
 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO 
RESPOSTAS 
 
1. 
a) 12= 22. 3 
b) 18= 2 . 32 
c) 24= 23. 3 
d) 32= 25 
e) 40= 23. 5 
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f) 45= 32. 5 
g) 48= 24. 3 
h) 49= 72 
i) 54= 2. 33 
j) 56= 23. 7 
 
2. 
a) D(25)={1,5,25} 
b) D(28)={1,2,4,7,14,28} 
c) D(30)={1,2,3,5,6,10,15,30} 
d) D(32)={1,2,4,8,16,32} 
e) D(35)={1,5,7,35} 
f) D(36)={1,2,3,4,6,9,12,18,36} 
g) D(40)={1,2,4,5,8,10,20,40} 
h) D(44)={1,2,4,11,22,44} 
i) D(45)={1,3,5,9,15,45} 
j) D(48)={1,2,3,4,6,8,12,16,24,48} 
 
3. 
a) 12 
b) 8 
c) 18 
d) 40 
e) 60 
f) 90 
g) 120 
h) 135 
i) 48 
j) 420 
 
4. 
a) 2 
b) 5 
c) 7 
d) 7 
e) 2 
f) 5 
g) 10 
h) 8 
i) 2 
j) 4 
 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
GABARITO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 2 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
(PROPRIEDADES E OPERAÇÕES) 
 
Nesta aula vamos tratar das operações 
aritméticas dentro de cada um dos conjuntos nu-
méricos, bem como abordar algumas proprieda-
des relevantes. 
Números Naturais (N) 
Os números naturais são representados 
pela letra N e são formados por todos os núme-
ros inteiros positivos. 
N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...} 
Quando a representação de um conjunto vem 
acompanhado de um asterisco, isso indica a ex-
clusão do 0 do conjunto. 
N*={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...} 
 Vamos tratar das seguintes operações 
dentro dos conjuntos numéricos destacando 
suas particularidades, em cada operação seus 
termos recebem nomes específicos o que é de 
suma importância saber para aqueles que estão 
se preparando para concursos. 
Adição em N: 
 
Para efetuar a adição em N temos sempre 
que se atentar em colocar unidade em cima de 
unidade, dezena em cima de dezena e assim res-
pectivamente. A operação inversa da Adição é a 
Subtração.Dentre as propriedades destaco a ELE-
MENTO NEUTRO. O elemento neutro da adição 
é o 0. Por esta propriedade somando um número 
a 0 o resultado é o número somado. 
 Outra propriedade que convém comentar 
é a COMUTATIVA. Esta propriedade afirma 
que: “A ORDEM DAS PARCELAS NÃO ALTERA 
A SOMA”. Assim, por ela podemos dizer que 
84+17 tem o mesmo resultado de 17+84. 
Subtração em N: 
 
 Na subtração devemos ter a mesma pre-
ocupação que na adição, colocando unidade em 
cima da unidade e assim por diante. Sua opera-
ção inversa é a Adição. 
 Na subtração as propriedades citadas 
para adição não são válidas. 
 
Multiplicação em N: 
 
 A multiplicação surgiu a partir da soma de 
parcelas iguais. Possui ELEMENTO NEUTRO 1, 
uma vez que todo número multiplicado por 1 tem 
por resultado ele mesmo. Também respeita a 
propriedade COMUTATIVA, uma vez que “A OR-
DEM DOS FATORES NÃO ALTERA O PRODUTO”. A 
operação inversa é a Divisão. 
 Para a Multiplicação ainda é importante 
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destacar a propriedade DISTRIBUTIVA, onde: 
“O PRODUTO DE UM NÚMERO POR UMA SOMA É 
IGUAL A SOMA DO PRODUTO DESTE NÚMERO 
POR CADA UMA DAS PARCELAS”, assim: 2.(3+5) 
= 2.3 + 2.5 
Divisão em N: 
 
Tem como operação inversa a multiplica-
ção, não respeita as propriedades ELEMENTO 
NEUTRO e COMUTATIVA. No entanto a propri-
edade DISTRIBUTIVA é válida. 
 
 
 
 
Potenciação em N: 
 
 A potenciação surgiu a partir da multipli-
cação de fatores iguais. Para realizar a operação 
devemos multiplicar a base por ela mesma. O 
expoente indica quantas vezes a base aparecerá 
na operação, logo 22=2.2=4. 
Para a potencias algumas regras são impor-
tantes: 
 Todo número elevado a 0 é igual a 1; 
 Todo número elevado a 1 é igual a ele 
mesmo; 
A operação inversa da Potenciação é a Radi-
ciação. 
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 
I – Produto de Potência da mesma base. 
Ao multiplicarmos base iguais – Repetimos a 
Base e somamos os expoentes. 
an.am=an+m 
Exemplo: 23.24=27 
II – Quociente de Potência da mesma 
base. 
Ao dividirmos base iguais – Repetimos a Base e 
subtraímos os expoentes. 
an:am=an-m 
Exemplo: 25:23=22 
III – Potência de Potência. 
Quando encontramos uma potência elevada a 
outra potência – Repetimos a base e multiplica-
mos os expoentes. 
(an)m=an.m 
Exemplo: (25)3=215 
IV – Potência de um produto. 
Quando encontramos a multiplicação de base 
diferentes e expoentes iguais. Multiplicamos a 
base e repetimos o expoente. 
am.bm=(a.b)m 
Exemplo: 25.35=65 
V – Potência de um quociente. 
Quando encontramos a divisão de base diferen-
tes e expoentes iguais. Dividimos a base e re-
petimos o expoente. 
am:bm=(a:b)m 
Exemplo: 124:24=64 
 
IMPORTANTÍSSIMO 
NÃO EXISTE DIVISÃO POR 0 
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Radiciação em N: 
 
 A Radiciação é a operação inversa da Po-
tenciação. Para realizar a operação devemos fa-
torar o radicando, retirando do radical todos os 
valores iguais ao índice, veremos exemplos mais 
a frente. 
Para a radiciação algumas regras são impor-
tantes: 
 Quando o índice não aparece ele é igual 
a 2; 
 A raiz de 1 é sempre 1; 
Qual é a Raiz Quadrada de 64? 
Fatorando temos: 
 
A operação inversa da Potenciação é a Radi-
ciação. 
PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO 
I – Índice e expoentes iguais 
Se o radical possuir índice igual ao expo-
ente do radicando, a raiz será 
igual à base do radicando. 
 
Exemplos: 
 
II – Equivalência de Radicais 
A raiz não sofre alteração se multiplicar-
mos ou dividirmos o índice do radical e o expo-
ente do radicando por um mesmo valor. 
 
Exemplos: 
 
III – Produto de Radicais 
O produto de radicais de mesmo índice é 
igual ao produto de radicandos. 
 
Exemplos: 
 
IV – Quociente de Radicais 
O quociente de radicais de mesmo índice é igual 
ao quociente dos radicandos. 
 
 
Exemplos: 
 
V – Raiz de Radicais 
Quando temos a raiz da raiz de um número po-
demos multiplicar os índices repetindo o radi-
cando. 
 
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Exemplos: 
 
VI – Potência de Raiz 
Quando temos uma raiz elevada a um expoente, 
este expoente multiplica o expoente do radi-
cando 
 
 
Exemplos: 
 
OBSERVAÇÃO: Todo radical pode ser es-
crito na forma de potência com expoente 
fracionário 
 
 
Exemplo: 
 
 A observação acima também considerada 
uma propriedade é muito importante e pode so-
lucionar problemas do tipo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Inteiros (Z) 
 
Conjunto formado pela expansão do con-
junto dos números naturais, compreendendo 
também as quantidades inteiras negativas, cria-
das para representar perdas ou faltas. Represen-
tado pelo símbolo Z, que vem do alemão Zahlen, 
cujo significado é número. 
 
 
 
Podemos destacar vários subconjuntos de Z, 
são eles: 
 
Inteiros não nulos 
 
 
Inteiros não negativos 
 
 
Inteiros não positivos 
 
 
Inteiros negativos 
 
 
 
Inteiros positivos 
 
 
 
 
O OPOSTO ou SIMÉTRICO de um nú-
mero inteiro é o valor que, somado ao número 
dado, resulta em zero. De maneira prática, para 
encontrar o oposto de um número inteiro não 
nulo, 
invertemos o seu sinal. 
 
Exemplos: 
a. O oposto de +9 é -9; 
b. O oposto de -15 é +15; 
 
O MÓDULO ou VALOR ABSOLUTO de 
um número é a distância, em unidades, deste 
número em relação ao zero. Também de ma-
neira prática podemos dizer que aquilo que está 
dentro do módulo sempre terá seu resultado po-
sitivo. 
 
Exemplo: 
a. O valor absoluto de 12 é 12, ou seja, |12| = 
12; 
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b. O valor absoluto de 0 é 0, ou seja, |0| = 0; 
c. O valor absoluto de -8 é 8, ou seja, |−8| = 8; 
 Retomemos agora as operações, agora no 
campo dos números inteiros: 
Adição e Subtração: 
 Para somar ou subtrais números inteiros 
vamos respeitar duas regrinhas ao observar os 
sinais dos números. 
 
 Se os sinais forem IGUAIS você deve 
SOMAR os números e REPETIR o sinal. 
 
Exemplos: 
 +5+3 = +8 
 -7-4 = -11 
 Se os sinais forem DIFERENTES você 
deve SUBTRAIR o número maior do me-
nor e INSERIR o sinal do número maior. 
Exemplos: 
 -7+3 = -4 
 +6-8 = -2 
OBSERVAÇÃO: Para facilitar o cálculo pense o 
sinal positivo como algo que TEM/GANHA e o 
negativo como algo que DEVE/PERDE. Se devo 
7 e tenho 3 então devo 4. (-7+3=-4). 
 Observe a tabela a seguir que pode nos 
auxiliar neste entendimento. 
 
Multiplicação e Divisão: 
 Para multiplicar ou dividir com inteiros 
basta realizar a operação de multiplicação ou di-
visão e após isso decidir o sinal seguinte a se-
guinte regra: 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
a. (+15).(-4) = -60 
b. (-20).(-12) = +240 
c. (+36).(+4) +144 
d. (-482).(+3) = -1446 
e. (+25).(-5) = -125 
f. (-292):(-4) = +73 
g. (+400):(-25) = -16 
h. (+1331):(-121) = -11 
i. (-90):(-18) = +5 
j. (+37):(-37) = -1 
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Potenciação: 
No estudo da potenciação em Z, vamos 
nos restringir ao estudo da base negativa, uma 
vez que o expoente negativo nos remete ao con-
junto dos Racionais (Q) ainda não estudado. 
 
Com a base negativa encontramos duas 
situações: 
 
Base negativa expoente par: Neste caso o re-
sultado será sempre POSITIVO, isso ocorre por 
causa do jogo de sinais. Observe: 
 
(-3)2 = -3.(-3) = 9 
(-2)4 = -2.(-2).(-2).(-2) = 16 
 
Base negativa expoenteímpar: Neste caso o 
resultado será sempre NEGATIVO, isso ocorre 
também por causa do jogo de sinais. Observe: 
 
(-3)3 = -3.(-3).(-3) = -27 
(-2)5 = -2.(-2).(-2).(-2).(-2) = -32 
 
ATENÇÃO 
 
(-2)2 É DIFERENTE DE -22 
CASO O SINAL NEGATIVO ESTEJA FORA DO 
PARENTESES ELE NÃO PARTICIPA DA OPE-
RAÇÃO, LOGO: 
 
(-2)2 = 4 
 
E 
 
-22 = -4 
 
 Se a base for POSITIVA o resultado será 
positivo independente do expoente. 
 
Radiciação: 
 A radiciação como já foi comentado é 
operação inversa da potência, vimos que quando 
temos base negativa expoente par o resultado é 
sempre positivo, logo NÃO EXISTE raiz de nú-
mero negativos dentro dos INTEIROS caso o ín-
dice seja PAR. 
 No entanto se o índice for ÍMPAR então 
existirá. 
= -2 por que -23 = -8 
Números Racionais (Q) 
 
Um número racional é todo o número que 
pode ser representado por uma razão (ou fra-
ção) entre dois números inteiros. O conjunto dos 
números racionais, representado por Q de quo-
ciente sua definição se dá por: 
 
 
 
Há duas formas de se escrever um número ra-
cional: 
 
Forma fracionária: 
 
 
 
Forma decimal: 
 
 
 
 
 Antes de verificarmos como converter 
uma forma em outra é importante saber o con-
ceito de FRAÇÃO EQUIVALENTE. 
Frações Equivalentes: São frações que pos-
suem o mesmo valor. Para encontrar uma fração 
equivalente basta multiplicar ou dividir o nume-
rador e o denominador da fração pelo mesmo 
número. 
Exemplos: 
 
 Para simplificar uma fração basta realizar 
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o processo inverso dividindo o numerador e o de-
nominador pelo mesmo número até ficar no 
modo IRREDUTÍVEL. 
 Vamos agora aprender como efetuar as 
transformações da forma: 
Da forma fracionária para a forma decimal: 
 Basta dividir o numerador pelo denominador 
Exemplos: 
 
DECIMAL FINITO 
 
 
DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES 
DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA 
Da forma fracionária para a Número Misto: 
 O Número Misto é formado por uma parte in-
teira e uma fração própria. Toda fração imprópria 
pode ser convertido em número misto, para isso de-
vemos realizar a divisão do numerador pelo denomi-
nador, deixando resto. 
Observe os exemplos: 
 
 
 
De Número Misto para Fração Imprópria: 
 Para converter o número misto em fração, re-
petimos o denominador e para encontrar o numerador 
multiplicamos o denominador pela parte inteira e so-
mamos com o numerador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da forma decimal para a forma fracionária: 
 Se o número for um decimal finito como 0,8, 
o numerador será o número visto sem a vírgula no 
caso 8, e o denominador vai depender de quantas ca-
sas decimais o número tem, neste caso possui uma 
então o denominador será 10. 
 
0,8 = 
8
10
 
Dividindo ambos por 2 temos: 
 
8:2
10:2
 = 
4
5
 (FORMA SIMPLIFICADA) 
Exemplos: 
 
Se o número tiver uma casa decimal o denomi-
nador será 10, se duas será 100 e assim suces-
sivamente. 
 A conversão das dízimas periódicas se-
guem a seguinte regra: 
 
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Dízima Simples: 
2,3333.... 
 O numerador será a parte inteira até o 
número que se repete (neste caso 23) 
menos a parte inteira (neste caso 2). En-
tão o numerador será 23-2=21 
 Para determinar o denominador vemos 
quantos números se repetem (neste caso 
só um) e acrescentamos 9 de acordo com 
a quantidade de números que se repetem 
(neste caso um 9). 
21
9
 simplificando por 3 fica 
7
3
 
Exemplos: 
 
Dízima Composta: 
1,27777.... 
 O numerador será a parte inteira até o 
número que se repete (neste caso 127) 
menos a parte inteira até a que não se 
repete (neste caso 12). Então o numera-
dor será 127-12=115. 
 Para determinar o denominador vemos 
quantos números se repetem (neste caso 
só um) e acrescentamos 9 de acordo com 
a quantidade de números que se repetem 
(neste caso um 9). Vemos também quan-
tos não se repetem após a vírgula e 
acrescentamos 0 de acordo com a quan-
tidade de números que não se repetem 
após a vírgula (neste caso um). 
115
90
 simplificando por 5 fica 
23
18
 
 
Exemplos: 
 
 Vamos agora trabalhar as operações com 
os racionais primeiramente no modo de fração. 
Operações com Frações 
Adição e Subtração: 
 No caso destas operações temos dois ca-
sos: 
 Denominadores Iguais: Repetimos o de-
nominador e realizamos a operação com 
os numeradores. 
Exemplos: 
 
 Denominadores Diferentes: Devemos 
achar frações equivalentes com denomi-
nadores iguais, utilizaremos para isso o 
MMC. 
Vamos realizar a seguinte operação: 
 
1º Método: MMC 
➢ Encontre o MMC (8,6) 
 
 
 
 
 
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➢ Reescreva as frações com o novo deno-
minador. 
 
 
 
➢ O numerador é encontrado dividindo o 
novo denominador pelo anterior e multi-
plicando pelo numerador. 
 
 
Outro exemplo: 
 
Multiplicação: 
 Para efetuar a multiplicação com frações 
devemos multiplicar numerador por numerador 
e denominador por denominador, caso estejam 
envolvidos números negativos não devemos es-
quecer as regras de sinais. 
 
 O resultado sempre que possível deve ser 
simplificado. 
 Vamos observar algumas situações: 
a) 
 
 
Multiplicamos a fração pelo número natural e ob-
temos: 
 
 
 
 
 
Divisão: 
 Para dividir frações devemos MULTIPLI-
CAR. É isso mesmo, devemos multiplicar a pri-
meira fração pelo INVERSO da outra. 
Inverso de uma fração: Basta inverter o nu-
merador pelo denominador, assim o inverso: 
 
 Vamos observar exemplos de como efe-
tuar a divisão: 
I) 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTÍSSIMO 
A EXPRESSÃO CALCULAR ALGO DE ALGO NOR-
MALMENTE NOS REMETE A MULTIPLICAÇÃO. 
 
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II) 
 
 Temos também outro modo de realizar a 
divisão que é efetuar a “MULTIPLICAÇÃO EM 
X” 
Exemplo: 
 
Simplificando: 
 
IMPORTANTE SALIENTAR QUE: 
 
 
Potenciação: 
 Dentro da Potenciação nos resta analisar 
o que ocorre quando o expoente é negativo, 
neste caso: 
 
 
 Para realizar a potência, basta elevar o 
numerador e o denominador. 
Operações com Decimais 
Adição e Subtração: 
Quando pensamos em decimais a forma de rea-
lizar as operações de adição e subtração se as-
semelha à dos outros conjuntos já vistos, deve-
mos, no entanto se atentar SEMPRE em manter 
as virgulas uma abaixo da outra e caso sobrem 
espaços vazios devemos completar com 0. 
 
 
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Multiplicação: 
Quando multiplicamos números decimais, 
provisoriamente desconsideramos a vírgula dos 
fatores e efetuamos o cálculo. No final, recolo-
camos as vírgulas nos fatores e contamos quan-
tas casas decimais existem neles. 
 
Essa quantidade total de casas decimais é colo-
cada no produto. 
 
Dica: O cálculo da multiplicação ocupará menos 
linhas colocando o número que possui uma 
quantidade menor de algarismos embaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Divisão: 
Quando dividimos dois números decimais, efe-
tuamos os seguintes procedimentos: 
 Igualamos a quantidade de casas deci-
mais do dividendo e do divisor; 
 Eliminamos as vírgulas; 
 Efetuamos a divisão através do algo-
ritmo. 
 
Exemplos: 
 
 
 
Radiciação: 
Para efetuar radiciação de decimais, 
transformamos o decimal em fração e, em se-
guida, calculamos o radical. 
 
 
 
 
 
 
 
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CONSOLIDANDO O APRENDIZADO 
 
1-Elimine os parênteses e, em seguida, calcule 
as seguintes somas envolvendo números intei-
ros: 
 
a) (+1) + (+2) = 
b) (−2) + (−3) = 
c) (+2) + (+7) = 
d) (−7) + (−3) = 
e) (+9) + (+6) = 
f) (+10) + (+7) = 
g) (+15) + (+7) = 
h) (−16) + (−9) = 
i) (−7) + (−6) = 
j) (+12) + (+15) = 
 
2-Elimine os parênteses e, em seguida, calcule 
as seguintes diferenças: 
 
a) (+2) − (+5) = 
b) (−1) − (−4) = 
c) (+9) − (+4) = 
d) (−5) − (−3) = 
e) (+6) − (−4) = 
f) (−1) − (+4) = 
g) (+1) − (+3) = 
h) (−4) − (+7) = 
i) (+5) − (+2) = 
j) (−5) − (+8) = 
 
3- Calcule os produtos a seguir: 
 
a) (+5) . (+4) = 
b) (−8) . (−6) = 
c) (+9) . (−7) = 
d) (−8) . (+4) = 
e) (+9) . (+6) = 
f) (−4) . (−8) = 
g) (+9) . (−10) = 
h) (−15) . (+3) = 
i) (+8) . (−7) = 
j) (−6) . (−10) = 
 
4- Calcule os quocientes a seguir: 
a) (+10) ∶ (+5) = 
b) (−8) ∶ (−4) = 
c) (+15) ∶ (−5) = 
d) (−12) ∶ (+3) = 
e) (−20) ∶ (+4) = 
f) (+12) ∶ (+6) = 
g) (−15) ∶ (−3) = 
h) (+18) ∶ (−3) = 
i) (+10) ∶ (−2) = 
j) (+40) ∶ (−4) = 
5- Calcule as Potências 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6- Simplifique as Frações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7- Calcule as adições e subtrações: 
 
 
 
 
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8- Calcule as multiplicações e divisões: 
 
 
 
9 - Efetue as adições e subtrações abaixo: 
 
a) 4,879 + 13,14 = 
b) 0,875 + 2,59 = 
c) 7,37 + 25,8 = 
d) 36,09 + 1,716 = 
e) 28 + 5,15 + 3,7 = 
f) 45,2 − 7,874 = 
g) 3,426 − 0,98 = 
h) 215 − 8,6 = 
i) 7,3 − 85,49 = 
 
10- Calcule os produtos e os quocientes a se-
guir: 
 
a) (−2,8) . (−3,7) = 
b) (−1,5) . (+0,36) . (+2,7) = 
c) (+1,2) . (+6) . (+0,65) = 
d) (−0,8) . (−0,45) . (−0,5). = 
e) (−5) . (+2,24) = 
f) (−9,25) ∶ (−3,7) = 
g) (+0,822) ∶ (+0,6) = 
h) (+2) ∶ (−0,5) = 
i) (−2,1) ∶ (−2,8). = 
j) (+7,31) ∶ (−1,7) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO 
RESPOSTAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 - 
a) 18,019 
b) 3,465 
c) 33,17 
d) 37,806 
e) 36,85 
f) 37,326 
g) 2,446 
h) 206,4 
i) -78,19 
 
10- 
a) 10,36 
b) -1,458 
c) 4,68 
d) -0,18 
e) -11,2 
f) 2,5 
g) 1,37 
h) -4 
i) 0,75 
j) -4,3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
(IF-SP – Auxiliar de Biblioteca – 2012) Com 
base nos números inteiros, a que propriedades 
se referem, respectivamente, as afirmações 
abaixo: 
 
I. a + (b + c) = (a + b) + c 
II. a + (-a) = 0 
III. b .1 = b 
IV. a .(b + c) = (a . b) + (a . c) 
V. a . b = b . a 
 
a) I – Associativa da adição; II – Elemento neu-
tro da multiplicação; III – Elemento neutro da 
adição; IV – Distributiva; V – Comutativa da 
adição. 
b) I – Comutativa da adição; II – Elemento 
neutro da adição; III – Elemento neutro da 
multiplicação; IV – Distributiva; V – Associa-
tiva. 
c) I – Associativa da adição; II – Elemento neu-
tro da multiplicação; III – Elemento neutro da 
multiplicação; IV – Associativa da multiplica-
ção; V – Distributiva. 
d) I – Associativa da adição; II – Elemento neu-
tro da adição; III – Elemento neutro da multi-
plicação; IV – Distributiva; V – Comutativa da 
multiplicação. 
e) I – Associativa da multiplicação; II – Ele-
mento neutro da adição; III – Elemento neutro 
da multiplicação; IV – Distributiva; V – Associa-
tiva da multiplicação. 
 
2) (IBFC – Auxiliar de Perícia – 2017). Sabe-se 
que x e y são números inteiros. Nessas condi-
ções e considerando as operações elementares, 
a única alternativa incorreta é: 
 
a) O produto entre x e y pode resultar num nú-
mero negativo; 
b) Se x é maior que y, então a divisão entre 
eles, nessa ordem, pode resultar num número 
negativo; 
c) O resultado sempre é negativo quando se 
multiplicam x e y, sendo x maior que zero e y 
negativo. 
d) Sendo x menor que y, a subtração entre 
eles, nessa ordem, resulta num número menor 
que zero. 
e) Se x e y forem negativos e y maior que x, 
então a 
soma entre eles resulta num número positivo. 
 
 
 
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3) (IBFC – Auxiliar de Perícia – 2017) No dia an-
terior ao pagamento do seu salário, a conta cor-
rente de Teodoro apresentava o saldo negativo 
de R$ 2.800,00. Com o salário creditado em sua 
conta, o saldo passou a ser positivo e ficou em 
R$ 450,00. Assinale a alternativa que indica o 
salário que Teodoro recebeu. 
 
a) R$ 3.250,00; 
b) R$ 3.350,00; 
c) R$ 2.350,00; 
d) R$ 2.950,00; 
e) R$ 1.900,00; 
 
4) (MS CONCURSOS – Agente de Segurança 
Penitenciária – 2017- Adaptada) Dentre as al-
ternativas, qual faz a afirmação verdadeira? 
 
a) A subtração de dois inteiros sempre resultará 
em um número inteiro. 
b) A subtração de dois números naturais sem-
pre resultará em um número natural. 
c) A divisão entre dois números naturais sem-
pre resultará em um número natural. 
d) A divisão entre dois números inteiros sempre 
resultará em um número inteiro. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
5) (Exatus-PR – Fiscal de tributos – 2010 - Adap-
tada) - Determine dois números inteiros negati-
vos que sejam consecutivos e cuja soma dos 
quadrados seja 365. 
 
a) -11 e -12 
b) -13 e -14 
c) -15 e -16 
d) -17 e -18 
e) Nenhuma das alternativas anteriores 
 
6) (FCC – Analista Judiciário – 2018) A nota de 
uma prova varia de 0 a 10 e é proporcional ao 
número de acertos obtidos em suas 30 questões, 
as quais admitem apenas duas possibilidades: 
acerto ou erro. Ana, Bruno e Carol repararam 
que tiraram notas expressas por números intei-
ros e que, somando as notas de Ana e Bruno, 
era obtida a nota de Carol. Se Carol acertou me-
tade da prova, então o número de questões que 
Ana acertou pode ser 
 
a) 5. 
b) 9. 
c) 1. 
d) 18. 
e) 10. 
 
 
7) (FCC – Analista de Gestão - Sistemas – 2018) 
Em certo momento da vida, uma pessoa ganhou 
um prêmio na loteria e decidiu doar uma parte 
do prêmio para cada um de seus filhos, de idades 
iguais a 15 anos, 30 anos e 35 anos. O critério 
adotado foi doar, para cada filho, uma fração do 
prêmio igual ao inverso de sua idade, ou seja, 
doar 1/15 do prêmio para o filho de 15 anos, 
1/30 para o de 30 e 1/35 para o de 35. Assim, 
após as três doações, supondo que nenhuma ou-
tra parte do prêmio tenha sido utilizada, a pes-
soa ainda manteve uma fração do prêmio igual 
a 
 
a) 9/70. 
b) 28/70. 
c) 61/70. 
d) 181/210. 
e) 1/80. 
 
8) (FCC – Assistente Administrativo – 2019) A 
rodovia que liga a cidade A à cidade B possui 
duas saídas: uma para a cidade C e mais a frente 
uma para a cidade D. A saída para a cidade C 
está situada a 1/5 de toda rodovia medido a par-
tir do ponto de partida na cidade A. Viajando 
mais 27 km pela rodovia em sentido da cidade 
B, encontramos a segunda saída que é a que vai 
para a cidade D. O trecho da segunda saída até 
o final da rodovia corresponde a 13/20 de toda 
a rodovia. Logo a fração que corresponde ao tre-
cho entre a primeira e a segunda saída e o per-
curso total da rodovia, em quilômetros, é: 
 
a) 7/20 e 180. 
b) 3/20 e 200. 
c) 14/25 e 99. 
d) 3/20 e 180. 
e) 14/25 e 200. 
 
9) (FCC – Analista Técnico – 2018) Em um país, 
todos os postos de gasolina são de uma dentre 
três bandeiras: K, L ou M. Sabe-se que 5/11 dos 
postos são da bandeira K e que o número de 
postos da bandeira L é o triplo do número de 
postos da bandeira M. Em relação ao total de 
postos,aqueles que são da bandeira L represen-
tam 
 
a) 3/11. 
b) 3/22. 
c) 9/22. 
d) 4/33. 
e) 8/33 
 
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10) (FCC – Técnico Legislativo – 2018) Um fotó-
grafo comprou 84 pacotes de folhas de papel fo-
tográfico. Desse total, 3/4 dos pacotes eram de 
papel brilhante, 1/6 de papel com textura couro 
e o restante de papel com textura linho. Cada 
pacote de papel brilhante custou R$ 5,00, cada 
pacote de papel com textura couro custou R$ 
12,50 e o valor total da compra foi de R$ 
1.211,00. O custo de cada pacote de papel com 
textura linho, em reais, foi de 
 
a) 11,50. 
b) 13,00. 
c) 12,50. 
d) 12,00. 
e) 13,50. 
 
11) (FCC – Analista Judiciário – 2018) Nair e Ma-
riana receberam, no total, 198 processos para 
arquivar. Desse total, a maior parte foi entregue 
para Mariana. Depois da entrega, Mariana disse 
corretamente à Nair: “− Se eu lhe der um quarto 
dos processos que me deram para arquivar, você 
ficará com metade dos processos que vão sobrar 
para eu arquivar”. Nair respondeu para Mariana: 
“− Então eu proponho que você me dê um 
quarto dos processos que deram a você para ar-
quivar”. Mariana aceita a proposta de Nair, o que 
implica dizer que Nair terá que arquivar x pro-
cessos a mais do que teria que arquivar com a 
distribuição original de processos entre elas. 
Nas condições descritas, x é igual a 
 
a) 44. 
b) 64. 
c) 66. 
d) 32. 
e) 72. 
 
12) (FCC – Técnico em Gestão – 2018) Suponha 
que uma pessoa precise comprar 3/7 de um saco 
de farinha de 10 kg. Para fazer isso, ela calcula 
o valor decimal da fração 3/7 e o arredonda, 
multiplicando-o por 10, para determinar a 
massa, em kg, que deverá ser comprada. Se a 
pessoa arredondar o valor decimal de 3/7 na pri-
meira casa decimal, ela comprará menos farinha 
do que se fizer o arredondamento na segunda 
casa decimal (a pessoa adotou a seguinte regra 
de arredondamento: ao arredondar em uma de-
terminada casa, ela observa o algarismo imedi-
atamente à direita. Se ele for 5 ou mais, ela ar-
redonda para cima; se for 4 ou menos, para 
baixo). Portanto, a quantidade de farinha que ela 
comprará a mais, se arredondar na segunda 
casa decimal, é de 
 
a) 0,5 kg. 
b) 0,4 kg. 
c) 0,3 kg. 
d) 0,2 kg. 
e) 0,1 kg. 
 
13) (FCC – Técnico Judiciário – 2018) Josué 
sempre fez um levantamento de gastos, do mês 
anterior, em quatro categorias: moradia, ali-
mentação, transporte e educação. Sempre em 
referência ao total das entradas do mês anterior, 
os gastos foram: 3 /10 para moradia, 1/9 para 
alimentação, 1/6 para transporte, x para educa-
ção. Os gastos com educação corresponderam a 
3/19 do que havia sobrado após os gastos nas 
outras três categorias. Desse modo, é correto 
afirmar que a fração do total das entradas do 
mês anterior que sobrou para Josué após os gas-
tos nessas quatro categorias foi 
 
a) 13/45. 
b) 8/45. 
c) 16/45. 
d) 4/45. 
e) 20/45. 
 
14) (FCC – Técnico em Gestão – 2014) Dentre 
os 696 participantes de um congresso de sanea-
mento básico ¾ deles são engenheiros. Sabe-se 
que 1/6 desses engenheiros também são quími-
cos. Do grupo de todos os participantes 1/12 não 
são nem engenheiros nem químicos. Os demais 
participantes do congresso são todos químicos. 
O número total de químicos que participam 
desse congresso é igual a 
 
a) 522. 
b) 435. 
c) 116. 
d) 203. 
e) 174. 
 
15) (MS Concursos – Oficial Administrativo – 
2018) Um menino ganhou sua mesada de 
R$120,00, guardou 1/6 na poupança, do res-
tante usou 2/5 para comprar figurinhas e gastou 
o que sobrou numa excursão da escola. Quanto 
gastou nessa excursão? 
 
a) 32 
b) 40 
c) 52 
d) 60 
e) 68 
 
 
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16) (FEPESE – Escrivão de Polícia Civil - 2017) 
Uma empresa aluga containers para guarda de 
bens. Se o custo de alugar 1/4 de um container 
é R$ 1.400,00 mensais, quanto custa alugar 4/5 
deste container? 
 
a) Mais do que R$ 4550,00. 
b) Mais do que R$ 4500,00 e menos que R$ 4550,00. 
c) Mais do que R$ 4450,00 e menos que R$ 4500,00. 
d) Mais do que R$ 4400,00 e menos que R$ 4450,00. 
e) Menos que R$ 4400,00. 
 
17) (VUNESP – Técnico Legislativo - 2018) Três 
quartos do total de uma verba foi utilizada para 
o pagamento de um serviço A, e um quinto do 
que não foi utilizado para o pagamento desse 
serviço foi utilizado para o pagamento de um 
serviço B. Se, da verba total, após somente es-
ses pagamentos, sobraram apenas R$ 200,00, 
então é verdade que o valor utilizado para o ser-
viço A, quando comparado ao valor utilizado 
para o serviço B, corresponde a um número de 
vezes igual a 
 
a) 13 
b) 14 
c) 15 
d) 16 
e) 17 
 
18) (FCC – Analista de Gestão - Sistemas – 
2018) Em certo momento da vida, uma pessoa 
ganhou um prêmio na loteria e decidiu doar uma 
parte do prêmio para cada um de seus filhos, de 
idades iguais a 15 anos, 30 anos e 35 anos. O 
critério adotado foi doar, para cada filho, uma 
fração do prêmio igual ao inverso de sua idade, 
ou seja, doar 1/15 do prêmio para o filho de 15 
anos, 1/30 para o de 30 e 1/35 para o de 35. 
Assim, após as três doações, supondo que ne-
nhuma outra parte do prêmio tenha sido utili-
zada, a pessoa ainda manteve uma fração do 
prêmio igual a 
 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
19) (VUNESP – Professor I - 2018) Anita fez uma 
prova de matemática, cuja duração máxima de-
terminada era de duas horas. Sabe-se que na 
primeira hora, ela resolveu 3/ 5 do número total 
de questões da prova, e que na segunda hora, 
ela resolveu 3/ 5 das questões restantes. Se 
para Anita restaram 4 questões não resolvidas, 
então o número total de questões que ela resol-
veu na primeira hora de prova foi igual a 
 
a) 10 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
e) 20 
 
20) (VUNESP – Oficial de Atendimento e Admi-
nistração- 2018) Uma empresa comprou um lote 
de envelopes e destinou 3/8 deles ao setor A. 
Dos envelopes restantes, 4/5 foram destinados 
ao setor B, e ainda restaram 75 envelopes. O 
número total de envelopes do lote era 
 
a) 760 
b) 720 
c) 700 
d) 640 
e) 600 
 
21) (FCC – Técnico Judiciário – Área Administra-
tiva - 2018) Exatamente 1/4 das vagas de uma 
faculdade são destinadas aos cursos de huma-
nas, e exatamente 1/8 das vagas destinadas aos 
cursos de humanas são do período noturno. Sa-
bendo-se que o total de vagas dessa faculdade é 
um número inteiro positivo entre 420 e 470, en-
tão o número de vagas dessa faculdade destina-
das aos cursos de humanas é igual 
 
a) 108 
b) 124 
c) 112 
d) 120 
e) 104 
 
22) (VUNESP – Analista de Gestão Municipal - 
Contabilidade - 2018) Saí de casa com determi-
nada quantia no bolso. Gastei, na farmácia, 2/5 
da quantia que tinha. Em seguida, encontrei um 
compadre que me pagou uma dívida antiga que 
correspondia exatamente à terça parte do que 
eu tinha no bolso. Continuei meu caminho e gas-
tei a metade do que tinha em alimentos que doei 
para uma casa de apoio a necessitados. Depois 
disso, restavam-me 420 reais. O valor que o 
compadre me pagou é, em reais, igual a 
 
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a) 105 
b) 210 
c) 315 
d) 420 
e) 525 
 
23) (VUNESP – Oficial de Atendimento e Admi-
nistração - 2018) Para a realização de um plená-
rio, foram disponibilizadas para a plateia 96 ca-
deiras dispostas em fileiras, de modo que o nú-
mero de cadeiras de uma fileira corresponde a 
2/ 3 do número de fileiras. O número de cadeiras 
de uma fileira é 
 
a) 14 
b) 12 
c) 10 
d) 8 
e) 6 
 
24) (VUNESP – Diretor Contábil Legislativo - 
2018) Inicialmente, cada um dos quatro amigos 
participantesde um jantar deveria pagar a 
quarta parte do valor total da conta. Entretanto, 
um deles pôde pagar somente a metade da fra-
ção que lhe caberia inicialmente e, desse modo, 
os outros três assumiram a diferença, dividida 
em partes iguais. Nessas condições, cada um 
dos três amigos que assumiram a maior contri-
buição pagou uma quantia que corresponde, 
do valor total da conta, a 
 
 
 
25) (CS-UFG – Técnico de Tecnologia de Infor-
mação – 2018) Um feirante vende pamonhas na 
feira e tem um custo inicial de R$ 250,00, além 
de um custo médio para produzir cada pamonha 
de R$ 3,20. Em um dia de feira, o seu custo total 
foi de R$ 973,20. Nessas condições, nesse dia, 
ele produziu quantas pamonhas? 
 
 
a) 180 
b) 196 
c) 218 
d) 226 
e) 244 
 
26) (IBFC – Auxiliar de Perícia - 2017) Uma de-
terminada empresa vendeu 7500 produtos no 
primeiro semestre de 2016, sendo que a tabela 
a seguir indica a representação decimal percen-
tual em relação ao total, mês a mês 
 
 
Com base nesses dados, o número total de pro-
dutos vendidos nos meses de maio e junho foi 
de 
a) 1125. 
b) 1275. 
c) 2350. 
d) 3190. 
e) 3375. 
 
27) (FCC – Agente de Saneamento Ambiental - 
2018) Uma padaria exibe a seguinte tabela de 
preços: 
 
 
José compra, nessa padaria, 7 pães franceses, 
500 gramas de presunto, 500 gramas de queijo 
tipo prato e 3 litros de leite integral. Para pagar, 
usa uma nota de R$ 50,00. Como troco, José 
deve receber 
 
a) R$ 37,05 
b) R$ 25,15 
c) R$ 12,95 
d) R$ 14,10 
e) R$ 19,35 
 
 
 
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28) (CS-UFG – Técnico de Tecnologia de Infor-
mação–2018) Um garoto foi ao cinema no shop-
ping com seu colega, levando uma certa quantia 
em dinheiro. Ele gastou R$ 18,50 com o ingresso 
do cinema e R$ 22,50 com um lanche. Após ter-
minar o filme, enquanto passeava no shopping, 
interessou-se por um boné personalizado que 
custava R$ 61,00 e, para comprá-lo, seu amigo 
lhe emprestou R$ 36,00. De acordo com esses 
dados, o valor que o garoto levou para o shop-
ping foi de 
 
a) R$ 66,00 
b) R$ 72,00 
c) R$ 82,00 
d) R$ 86,00 
 
29) (FCC – Analista processual - 2017) Sabendo 
que o número decimal F é 0,8666..., que o nú-
mero decimal G é 0,7111... e que o número de-
cimal H é 0,4222..., então, o triplo da soma des-
ses três números decimais, F, G e H, é igual a 
 
a) 6,111... 
b) 6 
c) 5,98 
d) 5,888... 
e) 3 
 
30) (Instituto de Seleção – Assistente Administrativo- 
2017) Certo dia, Antônio estava efetuando alguns cál-
culos para contabilizar a média de projetos executa-
dos semanalmente por cada servidor de sua reparti-
ção, utilizando para a tarefa uma calculadora comum. 
Em determinado momento, ao realizar divisões entre 
certos números, Antônio se deparou com duas dízimas 
periódicas em seus cálculos. Nomeou a primeira como 
“A” e a segunda como “B”, onde: 
A = 0,4444 … B = 0,8888 … 
Necessitando realizar a soma das dízimas A e B para 
prosseguir em seus cálculos, Antônio decidiu trans-
formá-las em frações, pois assim poderia efetuar a 
soma com mais facilidade e também obter um resul-
tado mais exato para seus cálculos. Qual das frações 
abaixo representa o resultado correto para a soma en-
tre A e B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31) (IBFC – Técnico em Análises Clínicas – 2016 
- Adaptada) O salário de Marcos é R$ 2574,00 
(Dois mil, quinhentos e setenta e quatro reais). 
Desse valor, ele gastou 1/8 com vestimenta; 2/5 
do salário com aluguel e 5/11 do salário com 
mercado. Nessas condições, o valor que ainda 
lhe restou do salário foi: 
 
a) R$ 52,65 
b) R$ 67,35 
c) R$ 110,45 
d) R$ 168,25 
e) R$ 252,55 
 
32) (COPESE – UFPI – Agente comunitário de sa-
úde – 2016) Seis amigos saem para jantar e ao 
fim do programa cada um contribui com R$ 7,50. 
Contudo, eles percebem que a soma dos valores 
que eles deram é somente 3/4 do valor total do 
jantar. O valor a mais que cada um deles deve 
pagar a fim de ter o valor total do jantar é: 
 
a) R$ 1,50 
b) R$ 2,00 
c) R$ 2,50 
d) R$ 3,00 
e) R$ 3,50 
 
33) (AOCP – Técnico profissionalizante A - 2016) 
O dono de uma loja de camisas recebe 2/7 de 
lucro sobre cada camisa que é vendida por R$ 
46,20. Para que esse dono de loja receba um lu-
cro de R$ 330,00, quantas dessas camisas ele 
precisaria vender? 
 
a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 
 
34) (FCC – Analista Judiciário - 2010) Simplifi-
cando a expressão abaixo obtém-se 
 
 
 
a) 1,2 
b) 1,25 
c) 1,5 
d) 1,75 
e) 1,8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 3 
RAZÃO, PROPORÇÃO E REGRA DE 
TRÊS 
 
 Para entendermos o conceito de razão e 
proporção precisamos entender o conceito de 
GRANDEZA, que pode ser definido como tudo o 
que conseguimos medir ou contar. 
RAZÃO 
 RAZÃO por sua vez é a relação entre 
duas grandezas, que pode ser da mesma natu-
reza ou de natureza diferente. 
 
RAZÕES NOTÁVEIS 
Algumas razões ganharam destaque pelo seu 
uso, veremos algumas destas: 
Escala: 
 
Exemplo: 
 
(Vunesp – Técnico Judiciário - 2006) Na maquete 
de uma praça pública construída na escala 1:75, 
o edifício da prefeitura, de 13,5 m de altura, está 
representado com uma altura de 
 
a) 16 cm. 
b) 18 cm. 
c) 20 cm. 
d) 22 cm. 
e) 24 cm. 
 A escala 1:75 indica que para cada centí-
metro no desenho teremos 75 centímetros na 
medida real. 
 Uma dica importante ao resolver exercí-
cios de escala é observar: 
 Se queremos converter do desenho para 
a medida real devemos MULTIPLICAR. 
 Se queremos converter da medida real 
para a medida do desenho devemos DIVIDIR. 
No exercício proposto é dado a altura real 
13,5 m, logo devemos dividir o valor pela escala. 
Como nossas respostas estão em centímetros 
podemos converter a medida para centímetro. 
 13,5 m =1350 cm 
 Vamos agora dividir 1350 por 75 
 
 
 
 
 
Temos então como resposta 18 cm 
ALTERNATIVA B 
 
Densidade Demografica: 
 
 
Exemplo: 
 
(FUMARC – Professor – 2018 – Adaptada) Densidade demo-
gráfica é a medida expressa pela razão entre a população e 
a superfície de um território, em km². A tabela a seguir mos-
tra a população e a área dos estados da região Sudeste e do 
Distrito Federal, segundo estimativas do IBGE para 2017. 
 
Dentre esses, qual o estado que possui maior densidade 
demográfica? 
 
a) SP. 
b) RJ. 
c) MG. 
d) ES. 
e) DF. 
 
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 Para resolver este exercício precisamos 
mais uma vez fazer a conversão de medidas, 
uma vez que a escala é dada em Km2 no entanto 
a tabela dá a área em m2 
Vamos então converter cada uma das áreas: 
 
DF-5 779 997 000 m² = 5 779, 997 km² 
ES-46 086 907 000 m² = 46 086, 907 km² 
MG-586 520 732 000 m² = 586 520, 732 km² 
RJ-43 781 588 000 m² = 43 781, 588 km² 
SP - 248 219 627 000 m² = 248 219, 627 km² 
 
Agora devemos dividir os habitantes de cada 
Estado por sua área 
 
 
 
 
Alternativa E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Densidade de um corpo 
 
 
Exemplos: 
 
(FUNDEP – Motorista - 2014) Densidade é uma medida muito 
utilizada na indústria alimentícia e é dada pela razão entre a 
massa e o volume. O leite tem densidade de 1,3 gramas/mi-
lilitro, dessa forma 2 litros de leite pesam: 
 
a) 0,77kg. 
b) 1,3kg. 
c) 2,6kg. 
d) 3,3kg. 
 
 Você deve ter percebido que os proble-
mas relacionados a razão normalmente envolve 
a conversão de medida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No caso em tela é dado a densidade em 
gramas/mililitros e foi dado o volume do leite 
em litro. 
 
2 L = 2000 ml 
 
 Observando a densidade podemos con-
cluir que para temos 1,3 gramas paracada mi-
lilitro. 
 
 Multiplicando 1,3 por 2000 temos então: 
 
 1,3.2000 = 2600 g 
 
Novamente temos uma situação de con-
versão de medida já que a resposta está em 
Quilograma (Kg). 
 
2600 g = 2,6 Kg 
 
ALTERNATIVA C 
 
Velocidade Média 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTÍSSIMO 
NA MATEMÁTICA NÃO DEVEMOS TRABALHAR 
COM UNIDADES DIFERENTES. 
 
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(Vunesp – Assistente Administrativo - 2017) O tempo de 
uma viagem foi de 2 horas e 20 minutos, com o veículo tra-
fegando a uma velocidade média de 72 km/h. Na volta, o 
mesmo trajeto foi percorrido em 3 horas e 30 minutos. A 
diferença entre a velocidade média do veículo na ida e a 
velocidade média do veículo na volta é igual a 
 
a) 24 km/h. 
b) 32 km/h. 
c) 36 km/h. 
d) 48 km/h. 
e) 54 km/h. 
 
 Para resolver este problema voltamos a nos deparar 
com a conversão de medida agora de tempo. Sabemos que 
se a velocidade é 72 Km/h então são 72 Km em 1 hora. O 
tempo utilizado na primeira viagem foram de 2 horas e 20 
minutos, convertendo em horas 2 horas mais 1/3 de hora. 
 
 
 
 
 
 Agora já sabemos a distância e devemos 
descobrir a nova velocidade. Convertemos agora 
os minutos em hora. 
 
 
 
 E realizamos a razão: 
 
 
 
 O exercício exige a diferença entre as ve-
locidades assim 72-48 = 24 Km/h. 
 
ALTERNATIVA A 
 
PROPORÇÃO 
 
Proporção: Se caracteriza pela igualdade entre 
razões. 
 
 
 
 
 
Lê-se: a está para b, assim como c está para 
d. 
 
Podemos escrever a razão acima como: 
a : b = c : d 
 
Onde: 
a e d são os extremos; 
b e c são os meios; 
 
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL: O PRODUTO 
DOS EXTREMOS É IGUAL AO PRODUTO DOS 
MEIOS. 
 
 
 
 Algumas propriedades podem nos auxi-
liar na resolução de alguns problemas. 
 
1ª Propriedade: 
 
 
 
 Vamos aplicá-la em um exemplo: 
 
(Vunesp – Contador - 2017) Em uma escola de 
dança, há 3 homens para cada 2 mulheres, num 
total de 210 alunos. No mês de março, o número 
de homens aumentou em X, o número de mu-
lheres diminuiu também em X, e a razão entre 
os números de homens e mulheres matriculados 
passou a ser igual a 2, o que permite concluir 
que X é igual a 
 
a) 9. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 14. 
e) 15. 
 
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 No exercício proposto temos duas infor-
mações importantes: 
 
 A razão entre homens e mulheres é de 3 
para 2; 
 Soma de homens e mulheres é 210. 
 
 
 
 
 Aplicando a propriedade fundamental te-
mos que: 
 
5M = 210.2 
5M = 420 
M = 420/5 
M = 84 
 
 Com 84 mulheres temos 126 homens. 
Com estas informações devemos agora somar 
um certo valor ao número de homens e o mesmo 
valor subtrair do número de mulheres. 
 
 
2ª Propriedade: 
 
 
 
 
(Vunesp – Técnico Legislativo - 2016) Em uma 
tomada de preços para a compra de certo pro-
duto, observa-se que a razão entre o maior e o 
menor preço encontrados é de 12 para 7, e que 
a diferença entre eles é igual a R$ 80,00. Nessas 
condições, é correto afirmar que, nessa tomada 
de preços, o maior preço encontrado foi 
 
a) R$ 182,00. 
b) R$ 188,00. 
c) R$ 192,00. 
d) R$ 200,00. 
e) R$ 204,00. 
 
 Vamos considerar que o maior preço 
chamaremos de x e o menor preço de y, então: 
 
 
 
3ª Propriedade: 
 
 
 
4ª Propriedade: 
 
 
 
 Exemplos relacionados a estas proprieda-
des serão abordados mais a frente. 
 
Números Diretamente Proporcionais 
 
Duas sucessões numéricas são direta-
mente proporcionais quando existe uma corres-
pondência biunívoca entre seus elementos onde 
as razões entre eles são, respectivamente, 
iguais a uma constante de proporcionalidade. 
 
Exemplo: 
 
Divida 48 em partes diretamente proporcionais 
a 3 e 5. 
 
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Números Inversamente Proporcionais 
 
Duas sucessões numéricas são inversa-
mente proporcionais quando existe uma corres-
pondência biunívoca entre seus elementos onde 
os produtos entre eles são, respectivamente, 
iguais a uma constante de proporcionalidade. 
Note que podemos escrever tal produto como ra-
zão de um pelo inverso do outro. 
 
Divida 85 em partes inversamente proporcio-
nais a 10 e 7. 
 
 
 
Observação: Para realizar a divisão de 85 pela 
fração 17/70 basta multiplicar 85 por 70 e divi-
dir por 17. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS 
 
Veremos agora um método prático para 
resolver problemas que envolvam grandezas (di-
retamente ou inversamente) proporcionais: a 
regra de três. Nas grandezas ditas DIRETA-
MENTE PROPORCIONAIS o comportamento 
de uma grandeza acompanha o da outra, en-
quanto nas grandezas INVERSAMENTE PRO-
PORCIONAIS, o comportamento de uma gran-
deza é inverso da outra. 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Para a resolução de uma regra de três de-
vemos seguir alguns passos: 
 
 Identificar as grandezas; 
 Montar a regra de três; 
 Verificar se é Diretamente Proporcional 
(DP) ou Inversamente Proporcional (IP); 
 Montar a equação; 
 Resolver a equação; 
 
Veremos alguns exemplos: 
 
(VUNESP – Psicólogo – 2018) É sabido que 5 
operários transportaram 4 m³ de areia em exa-
tas duas horas de trabalho. A quantidade de 
areia, em m³, que outros 13 operários, cada um 
com a mesma capacidade de cada um dos 5 ope-
rários anteriores, transportarão a mais que os 
operários anteriores, no mesmo tempo de ser-
viço, é igual a 
 
a) 8,2. 
b) 7,1. 
c) 6,4. 
d) 5,8. 
e) 5,3. 
 
Note que, no enunciado, é solicitado o volume 
transportado a mais, ou seja, por 13 – 5 = 8 
operários. 
 
 
 Podemos observar que se aumentarmos 
o número de operários o volume de areia tam-
bém aumentará, logo as grandezas são DIRE-
TAMENTE PROPORCIONAIS. 
 
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 Em virtude disso utilizamos a propriedade 
fundamental da proporção multiplicando em “x” 
 
5x = 4.8 
5x = 32 
x= 32/5 
x=6,4 
 
ALTERNATIVA C 
 
(VUNESP – Técnico de comunicação e processa-
mento de dados – 2017) Com a quantidade de 
mantimentos que está estocada, um cozinheiro 
consegue fazer 56 refeições para cada uma das 
27 pessoas que estão em um abrigo. Se o nú-
mero de pessoas aumentar para 42 pessoas, e a 
quantidade de mantimentos se mantiver igual, o 
número de refeições que esse cozinheiro conse-
guirá preparar para cada uma dessas pessoas 
será igual a 
 
a) 52. 
b) 48. 
c) 42. 
d) 38. 
e) 36. 
 
 Seguindo os passos dados percebemos 
que as grandezas envolvidas são a quantidade 
de refeições e a quantidade de pessoas, assim 
podemos montar a regra de três: 
 
 
 Observe que se a quantidade de pessoas 
aumentar a quantidade de refeições que o cozi-
nheiro conseguirá fazer será menor, assim con-
cluímos que a regra é INVERSAMENTE PRO-
PORCIONAL. 
 Quando nos deparamos com a regra in-
versamente proporcional ao invés de multiplicar-
mos em “x”, multiplicaremos o número de cima 
pelo número de cima e o de baixo pelo de baixo, 
assim: 
 
42x = 56.27 
42x = 1512 
x = 1512/42 
x = 36 
 
ALTERNATIVA E 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
Utilizamos a regra de três composta para 
resolver problemas envolvendo mais de duas 
grandezas proporcionais. Nela, a análise de pro-
porcionalidade entre a grandeza que queremos 
descobrir e as demais grandezas deve ser feita 
individualmente, como mostram os exemplos 
abaixo: 
 
Exemplo: 
 
(VUNESP – Psicólogo – 2018) Para limpar uma 
sala de cinema, 3 funcionários de igual capaci-
dade trabalharam por 2h30. Para limpar quatro 
salas iguais à primeira, 8 funcionários irão tra-
balhar por 
 
a)3h15. 
b) 3h30. 
c) 3h45. 
d) 4h. 
e) 4h15. 
 
 Os primeiros passos são semelhantes 
a regra de três simples, devemos identificar 
as grandezas e montar a regra de três, 
neste caso serão mais de duas grandezas: 
FUNCIONÁRIOS, QUANTIDADE DE SALAS E 
TEMPO. 
 
 
 
 Devemos agora fazer uma análise da 
grandeza que queremos descobrir com as 
demais grandezas. 
 
Tempo x Sala: 
 
Mantendo a quantidade de funcionários 
constante, quanto MAIS sala devem ser 
limpas MAIS tempo levará, neste caso as 
grandezas são DIRETAMENTE PROPOR-
CIONAL. 
 
Tempo x Funcionários: 
 
Mantendo a quantidade de salas constante, 
quanto MAIS funcionários tiver MENOS 
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tempo levará, neste caso as grandezas são 
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. 
 
 
 
 Montamos agora a equação, man-
tendo a grandeza DP inalterada e INVER-
TENDO a grandeza IP. 
 
 
 
ALTERNATIVA C 
 
(VUNESP – Assistente Legislativo – 2018) Em 
uma indústria, 15 máquinas iguais, de mesmo 
rendimento, produzem 22500 unidades de certa 
peça em 5 horas de funcionamento simultâneo e 
ininterrupto. Desse modo, para produzir 12000 
unidades dessa mesma peça em 10 horas de 
funcionamento simultâneo e ininterrupto, será 
necessário utilizar uma quantidade, das mesmas 
máquinas, igual a 
 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
e) 8. 
 
 Identificando as grandezas e montando a 
regra: 
 
 
 
Máquinas x Peças: Se preciso produzir ME-
NOS peças preciso de MENOS máquinas. 
(Diretamente Proporcional). 
 
Máquina x Tempo: Em MAIS tempo eu 
preciso de MENOS máquinas para produzir 
a mesma quantidade de peças. (Inversa-
mente Proporcional) 
 
 
 
 
PORCENTAGEM COM REGRA DE TRÊS 
 
 Podemos resolver problemas envol-
vendo porcentagem com a regra de três, 
vamos ver alguns exemplos: 
 
Exemplo 1 
 
Um computador custa, à vista, R$ 1.376,00. 
Caso seja financiado, seu preço sofre um au-
mento de 12%. Qual é o valor, em reais, desse 
aumento? 
 
 As grandezas neste caso é o valor a vista 
e a porcentagem de aumento com isso podemos 
montar a regra considerando o valor a vista 
como 100%. 
 
 
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Exemplo 2 
 
Uma mercadoria que custa R$ 180,00 sofre um 
desconto de R$ 48,60. Qual foi o percentual do 
desconto? 
 
 
 
OBSERVAÇÃO 
 
AS REGRAS DE TRÊS QUE ENVOLVAM 
PORCENTAGEM NORMALMENTE SÃO 
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. 
 
 
 
 
 
 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO 
 
 
1. Aplique a propriedade fundamental das proporções 
e calcule o valor desconhecido: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Utilize as propriedades das proporções para resol-
ver os problemas a seguir: 
 
a) Qual é a razão equivalente a 4: 11, sendo a soma 
de seus termos igual a 120? 
b) Qual é a razão equivalente a 7: 4, sendo a diferença 
de seus termos igual a 54? 
c) O álcool e a gasolina estão misturados na razão de 1 para 
3, ou seja, 1: 3. Num tanque de 56 litros dum carro, 
qual é a quantidade de álcool e de gasolina? 
d) Uma razão equivalente é igual a 𝟓 para 8 e a soma de 
seus termos 247. Qual é o valor dessa razão? 
e) No colégio, a diferença do número de alunas e de alunos 
é 45. Sendo a razão entre eles igual a 𝟐 para 5, qual é o 
total de estudantes no colégio? 
 
3. Resolva os problemas envolvendo divisão 
proporcional: 
 
a) Divida 70 em partes diretamente proporcio-
nais a 4 e 6; 
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b) Divida 108 em partes diretamente proporcio-
nais a 6 e 3; 
c) Divida 54 em partes diretamente proporcio-
nais a 5 e 4; 
d) Divida 210 em partes diretamente proporcio-
nais a 8 e 6; 
e) Divida 176 em partes diretamente proporcio-
nais a 6 e 5; 
f) Divida 105 em partes inversamente proporci-
onais a 3 e 4; 
g) Divida 63 em partes inversamente proporci-
onais a 5 e 4; 
h) Divida 253 em partes inversamente propor-
cionais a 8 e 3; 
i) Divida 143 em partes inversamente proporci-
onais a 5 e 6; 
j) Divida 110 em partes inversamente proporci-
onais a 4 e 6; 
 
4. Verifique se as grandezas são diretamente 
(D) ou inversamente (I) proporcionais: 
 
a) Número de costureiros e número de camisas; 
b) Metros de tecido e seu preço; 
c) Dúzias de maçãs e seu preço; 
d) Número de pedreiros e metros de muro construí-
dos; 
e) Número de páginas e número de linhas por página 
de um mesmo livro; 
f) Vazão de uma torneira e tempo gasto para encher 
um tanque; 
g) Número de pacotes e quantidade de balas; 
h) Número de máquinas e quantidade de peças 
produzidas; 
i) Número de pedreiros e tempo de construção; 
j) Velocidade de um avião e tempo gasto na viagem; 
k) Número de operários e profundidade de um poço; 
l) Quantidade de farinhas e número de pães; 
m) Quilos de banana e seu preço; 
n) Quantidade de pães e seu preço; 
o) Tempo de viagem e espaço percorrido; 
p) Número de animais e quantidade de ração; 
q) Distância percorrida e preço no taxímetro de um 
táxi; 
r) Número de galinhas e quantidade de ovos a serem 
botados; 
s) Quantidade de tratores e dias para terminar uma 
obra; 
t) Área de um terreno e mudas a serem plantadas; 
u) Consumo de combustível e distância percorrida 
pelo veículo; 
 
5. Responda: 
a) Uma equipe realiza um certo trabalho em 10 
dias. Em quantos dias uma equipe que tem o 
dobro de eficiência irá realizar o mesmo traba-
lho? 
 
b) Uma equipe realiza um serviço em 16 dias. 
Em 
quantos dias uma outra equipe que é 4 vezes 
mais eficiente fará o mesmo serviço? 
 
c) As grandezas A e B são diretamente propor-
cionais. Se a grandeza A diminui, o que ocorre 
com a grandeza B? 
 
7. Resolva as regras de três simples: 
a) Uma costureira fez 2 vestidos com 6m de te-
cido. Quantos vestidos a costureira faria com 
15m de tecido? 
 
b) Na construção de uma casa com 100m², são 
gastos 20000 tijolos. Qual é a quantidade de ti-
jolos empregados numa casa de 150 m²? 
 
c) Nove homens fazem um serviço trabalhando 
12 dias. Quantos homens seriam necessários 
para efetuar o mesmo serviço em 9 dias? 
 
d) Um livro de 160 páginas tem em cada pá-
gina 45 linhas. Quantas páginas teria o livro se 
houvesse 60 linhas em cada página? 
 
e) No calçamento de 100m de rua foram utiliza-
das 8 toneladas de pedras. Com mais 2 tonela-
das de pedras, quantos metros de rua teriam se-
riam calçados no total? 
 
f) Um carro demora 6 horas numa viagem, ro-
dando a uma velocidade de 60 km/h. Em quanto 
tempo o carro percorreria a mesma estrada, à 
velocidade de 72 km/h? 
 
8. Resolva as regras de três compostas: 
 
a) Dez máquinas produzem 1600 aparelhos em 
6 horas de funcionamento. Quantos aparelhos 
serão produzidos por 15 máquinas, em 8 horas 
de funcionamento? 
 
b) Quarenta pessoas se alimentam com 20kg 
de arroz, durante 30 dias. Quantos quilos de 
arroz seriam necessários para alimentar o do-
bro de pessoas, durante 45 dias? 
 
c) Dezoito operários fazem 42 metros de muro 
em 12 dias, trabalhando 5 horas por dia. Quan-
tas horas por dia devem trabalhar 24 operários, 
durante 15 dias, para construir 84 metros do 
mesmo muro, sendo que trabalham com o do-
bro de eficiência da outra equipe? 
 
d) Uma cerâmica produz 24000 telhas durante 
25 dias, funcionando 10 horas por dia. Quantas 
telhas irá produzir durante 50 dias, trabalhando 
12 horas por dia? 
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e) Dez costureiras fazem 40 calças em 20 dias. 
Quantas calças seriam feitas por 15 costureiras, 
de eficiência igual à metade que as outrascos-
tureiras, durante 18 dias? 
 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO 
RESPOSTAS 
1. 
a) a = 7. 
b) b = 14. 
c) c = 26. 
d) d = 108. 
e) e = 144. 
f) f = 33. 
g) g = 256. 
h) h = 168. 
i) i = 56. 
j) j = 39. 
 
2. 
 
 
3. 
a) 28 e 42. 
b) 72 e 36. 
c) 30 e 24. 
d) 120 e 90. 
e) 96 e 80. 
f) 60 e 45. 
g) 28 e 35. 
h) 69 e 184. 
i) 78 e 65. 
j) 66 e 44. 
 
4. 
a) D b) D c) D d) D 
 
e) I f) I g) D h) D 
 
i) I j) I k) D l) D 
 
m) D n) D o) D p) D 
 
q) D r) D s) I t) D 
 
u) D 
 
 
 
5. 
a) 5 dias. 
b) 4 dias. 
c) Diminui proporcionalmente. 
 
6. 
a) 5. 
b) 30000. 
c) 12. 
d) 120. 
e) 125m. 
f) 5h. 
 
7. 
a) 3200. 
b) 60. 
c) 3. 
d) 57600 telhas. 
e) 27 calças. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÕES DE CONCURSO 
 
1) (FCC – Agente de segurança – 2010) A área 
de um círculo é igual ao produto do número π 
pelo quadrado da medida do seu raio. Se a razão 
entre os raios de dois círculos concêntricos é 4, 
então a área do menor é quantos por cento da 
área do maior? 
 
a) 25%. 
b) 12,5%. 
c) 6,25%. 
d) 4%. 
e) 3,25%. 
 
2) (FCC – Oficial administrativo – 2016) Uma 
empresa premiou seus funcionários com um bô-
nus de final de ano, de tal modo que os valores 
destinados a cada setor deveriam ser distribuí-
dos em partes proporcionais aos anos de traba-
lho de seus funcionários na empresa. No setor 
de contabilidade, para o qual foi destinado um 
bônus de R$ 51.000,00, trabalham quatro funci-
onários: Luiz Alberto, há cinco anos; Celso, há 
sete anos; Jonas, há dois anos; e Henrique, há 
três anos. 
 
a) 11, 23, 8 e 9. 
b) 13, 24, 6 e 8. 
c) 12, 23, 7 e 9. 
d) 11, 25, 7 e 8. 
e) 15, 21, 6 e 9. 
 
3) (FCC – Técnico Legislativo – 2018) Miguel, 
Otávio e Pedro foram convocados para realizar 
um trabalho emergencial. Para recompensá-los 
posteriormente, decide-se dividir uma quantia 
em reais entre os 3 em partes diretamente pro-
porcionais ao tempo dedicado de cada um para 
realizar o trabalho e inversamente proporcionais 
às respectivas idades. Sabe-se que Miguel dedi-
cou 4 horas para o trabalho e sua idade é igual 
a 30 anos, Otávio dedicou 8 horas e sua idade é 
igual a 40 anos e Pedro dedicou 15 horas e sua 
idade é igual a 60 anos. Se a menor parte cor-
respondente a esta divisão foi de R$ 4.800,00, 
então a maior parte foi igual a 
 
a) R$ 9.000,00. 
b) R$ 6.000,00. 
c) R$ 12.000,00. 
d) R$ 8.400,00. 
e) R$ 7.200,00. 
 
4) (FCC – Analista Judiciário – 2018) André, 
Bruno, Carla e Daniela eram sócios em um ne-
gócio, sendo a participação de cada um, respec-
tivamente, 10%, 20%, 20% e 50%. Bruno fale-
ceu e, por não ter herdeiros naturais, estipulara, 
em testamento, que sua parte no negócio deve-
ria ser distribuída entre seus sócios, de modo 
que as razões entre as participações dos três 
permanecessem inalteradas. Assim, após a par-
tilha, a nova participação de André no negócio 
deve ser igual a 
 
a) 20%. 
b) 8%. 
c) 12,5%. 
d) 15%. 
e) 10,5%. 
 
5) (FCC – Analista Judiciário – 2018) Há dois 
anos, em uma empresa, a razão entre o número 
de funcionárias mulheres e o número de funcio-
nários homens era 7/12. Hoje, sem que tenha 
aumentado ou diminuído o número total de fun-
cionários (homens e mulheres) essa mesma ra-
zão é 9/10. A diferença do número de funcioná-
rias mulheres de hoje e de dois anos atrás cor-
responde, em relação ao total de funcionários 
(homens e mulheres) da empresa, a um valor 
 
a) menor que 5%. 
b) entre 5% e 8%. 
c) entre 8% e 10%. 
d) entre 10% e 12%. 
e) maior que 12%. 
 
6) (FCC – Técnico em Gestão - Informática - 
2018) A figura a seguir exibe uma tubulação de 
água que se divide em outras três de diâmetros 
menores, sendo que as setas indicam o sentido 
do fluxo de água em cada tubulação. 
 
Sabe-se que o fluxo de água primário se divide 
de forma proporcional às áreas das seções trans-
versais das tubulações de diâmetros menores e 
que a soma dos fluxos nessas tubulações é igual 
ao fluxo primário. Se o fluxo de água primário 
for de 300 litros por minuto e as áreas das se-
ções transversais das tubulações menores forem 
de 5 cm², 6 cm² e 9 cm², respectivamente, en-
tão o fluxo de água na tubulação de menor área 
da seção transversal será de 
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a) 15 litros por minuto. 
b) 90 litros por minuto. 
c) 75 litros por minuto. 
d) 50 litros por minuto. 
e) 135 litros por minuto. 
 
7) (FCC – Administrador – 2010) Certa quantia 
foi dividida entre 3 pessoas em partes inversa-
mente proporcionais às suas idades, ou seja, 20, 
25 e 32 anos. Se a pessoa mais nova recebeu R$ 
200.000,00, então a mais velha recebeu 
 
a) R$ 180.000,00. 
b) R$ 160.000,00. 
c) R$ 128.000,00. 
d) R$ 125.000,00. 
e) R$ 120.000,00. 
 
8) (FCC – Técnico Judiciário – 2008) Certa noite, 
dois técnicos em segurança vistoriaram as 130 
salas do edifício de uma Unidade de um Tribunal, 
dividindo essa tarefa em partes inversamente 
proporcionais às suas respectivas idades: 31 e 
34 anos. O número de salas vistoriadas pelo 
mais jovem foi 
 
a) 68. 
b) 66. 
c) 64. 
d) 62. 
e) 60. 
 
9) (FCC – Analista Técnico – 2018) Um navio de 
carga, com toda sua capacidade ocupada, pode 
transportar 1 800 caixas do tipo A ou 1 350 cai-
xas do tipo B. Se o navio for carregado com 800 
caixas do tipo A, então ele ainda poderá trans-
portar um número de caixas do tipo B, no má-
ximo, igual a 
 
a) 750. 
b) 700. 
c) 675. 
d) 725. 
e) 650. 
 
10) (FCC – Advogado – 2016) Alberto gasta para 
realizar metade de um serviço o mesmo tempo 
que Bernardo gasta para realizar 5/6 do mesmo 
serviço. Se Alberto e Bernardo realizam, juntos, 
o serviço em 15 dias, então Alberto realizaria, 
sozinho, o serviço completo em 
 
a) 20 dias. 
b) 24 dias. 
c) 42 dias. 
d) 36 dias. 
e) 40 dias. 
 
11) (FCC – Técnico Judiciário – 2011) Quinze fis-
cais iam vistoriar todos os estabelecimentos co-
merciais da zona sul da cidade em 25 dias, tra-
balhando 8 horas por dia cada um e todos com 
mesma produtividade. Depois de 5 dias comple-
tos desse serviço, a superintendência regional 
solicitou, em regime de urgência e com paga-
mento de hora extra, que os 15 funcionários pas-
sassem a trabalhar 10 horas por dia para finali-
zar a vistoria em menos dias do que os 25. Con-
siderando que a solicitação foi atendida e que os 
funcionários continuaram o trabalho com mesma 
produtividade, a vistoria completa dos estabele-
cimentos comerciais da zona sul ocorreu em um 
total de 
 
a) 20 dias. 
b) 17 dias. 
c) 19 dias. 
d) 21 dias. 
e) 18 dias. 
 
12) (FCC – Analista Judiciário – 2018) Para pre-
parar um certo número de caixas, 15 funcioná-
rios de uma empresa trabalharam durante 8 ho-
ras, cada um preparando 7 caixas a cada 20 mi-
nutos. Já cansados, três dos funcionários foram 
embora e os que ficaram trabalharam por mais 
6 horas, mais lentos, cada um deles preparando 
7 caixas a cada 40 minutos. Ao todo, nessas 14 
horas os funcionários conseguiram preparar um 
número de caixas 
 
a) entre 3150 e 3200. 
b) entre 3200 e 3250. 
c) entre 3250 e 3300. 
d) entre 3300 e 3350. 
e) entre 3350 e 3400. 
 
13) (FCC – Analista Judiciário – 2018) Em um 
julgamento sobre danos ambientais, a acusação 
apresentou o dado de que os 5 fornos de uma 
olaria consumiam 50 toneladas de carbono tra-
balhando 10 horas diárias por 15 dias. A defesa 
propõe reduzir as atividades da olaria para 3 for-
nos trabalhando 9 horas diárias por 18 dias. 
Comparando o consumo de carbono da situaçãoapresentada pela acusação (15 dias, 5 fornos, 10 
horas diárias) com a situação proposta pela de-
fesa (18 dias, 3 fornos, 9 horas diárias), houve 
uma redução do consumo de carbono, em tone-
ladas, de 
 
a) 12,4. 
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b) 17,6. 
c) 32,4. 
d) 28,6. 
e) 20,4. 
 
14) (FCC – Controlador de Sistemas de Sanea-
mento – 2017) Um reservatório com volume 
igual a 240 m³ está sendo abastecido de forma 
ininterrupta a uma velocidade de 150 L/s. O 
tempo aproximado para abastecer 2/3 deste re-
servatório é, em h, 
 
a) 3,0. 
b) 0,3. 
c) 30. 
d) 0,5. 
e) 1,5. 
 
15) (FCC – Técnico Judiciário – 2018) Em uma 
obra de construção civil, 12 operários com a 
mesma velocidade de trabalho, azulejaram x m² 
de paredes em 2 horas e 45 minutos. No dia se-
guinte, 3 dentre os 12 operários do dia anterior, 
azulejarão x /3 m² de paredes em um tempo 
igual a 
 
a) 4h10min. 
b) 2h55min. 
c) 3h15min. 
d) 4h30min. 
e) 3h40min. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 4 
PORCENTAGEM E JUROS 
 
PORCENTAGEM 
 
 A porcentagem é uma razão que se ba-
seia na equivalência com razões com denomina-
dor 100. Quando afirmamos que 30% das pes-
soas gostam de cinema, afirmamos que a cada 
100 pessoas 30 gostam de cinema. Podemos re-
presentar a porcentagem na forma fracionária 
30% = 30/100, bem como podemos representar 
na forma decimal, assim 30%=0,3. 
 Para calcular a porcentagem de determi-
nado número basta multiplicar pela fração ou 
pelo decimal. 
Observe também que, para transformar uma 
taxa percentual em decimal, basta deslocar a 
vírgula duas casas decimais para a esquerda. 
Exemplos 
a) 34% = 0,34 
b) 92% = 0,92 
c) 85% = 0,85 
d) 7% = 0,07 
e) 3% = 0,03 
f) 150% = 1,5 
g) 270% = 2,7 
h) 0,8% = 0,008 
i) 0,1% = 0,001 
j) 100% = 1 
 
 Na aula anterior vimos que uma das for-
mas de resolver problemas envolvendo porcen-
tagem é a utilização de regra de três, no entanto 
nesta aula abordaremos outras formas de reso-
lução. 
Problemas resolvidos 
Problema 1 
Um computador custa, à vista, R$ 1.376,00. 
Caso seja financiado, seu preço sofre um au-
mento de 12%. Qual é o valor, em reais, desse 
aumento? 
 
Resolução: Precisamos calcular quanto é 12% 
DE 1376, podemos então multiplicar pelo deci-
mal 12%=0,12 ou seja, 0,12 . 1376 = 165,12 
Logo, o aumento foi de R$ 165,12. 
 
Problema 2: 
 
Um funcionário que recebe um salário bruto de 
R$ 3.000,00 tem descontado sobre esse valor 
11% para pagamento da previdência (INSS) e 
15% para pagamento do imposto de renda. 
Sendo assim, e desconsiderando outros eventu-
ais descontos, quanto esse funcionário irá rece-
ber? 
 
Resolução: 
Observe que os descontos são de 11% para o 
INSS e 15% para o IR, , totalizando um percen-
tual de encargos igual a 26%. 
 
Vamos calcular 26% de R$ 3000, lembrando que 
podemos multiplicar o valor pela fração corres-
pondente: 26% = 
26
100
, assim: 
 
 
 
Para saber quanto o funcionário irá receber 
basta subtrair: 3000-780 = 2220 
 
Logo, o salário do funcionário foi de R$ 2220,00. 
 
Problema 3: 
 
Uma mercadoria que custa R$ 180,00 sofre um 
desconto de R$ 48,60. Qual foi o percentual do 
desconto? 
 
Resolução: Observe que precisamos saber o 
quantos porcento 48,6 representa de 180. Para 
resolver esta questão podemos dividir a parte 
pelo todo, assim 48,6:180 = 0,27. Para desco-
brir a porcentagem devemos multiplicar por 100 
deslocando a vírgula duas casas para direita. 
 
Assim, R$ 48,60 representa 27% de R$ 180,00. 
 
Problema 4: 
 
Um morador pagou R$ 1725,00 de condomínio, 
pois efetuou seu pagamento com atraso. Sa-
bendo que a mensalidade sem a multa era de R$ 
1.500,00, responda: 
 
a) Qual foi o valor, em reais da multa? 
b) Qual foi a taxa percentual da multa? 
 
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a) Para descobrir o valor da multa é só efetuar a 
diferença do valor pago e do valor da mensali-
dade sem a multa, ou seja, 1725 – 1500 = 225. 
Logo, a multa foi de R$ 225,00. 
b) Agora precisamos descobrir quanto por 
cento de 1500, o valor 225 representa. Realiza-
mos então a divisão PARTE POR TODO. Divi-
dindo 225 por 1500 temos 0,15 que representa 
15%. 
 
Portanto, a taxa percentual de multa foi de 
15%. 
 
Problema 5: 
Um produto era anunciado com o preço de venda 
R$ 3.565,00. Se a margem de lucro do vendedor 
era de 15% qual era o preço de custo deste pro-
duto? 
 
Resolução: Representando a quantia inicial de 
x, temos: 15% de x + 100% de x = 3565. 
 
115% de x = 3565 
1,15x = 3565 
x = 𝟑𝟓𝟔𝟓/𝟏,𝟏𝟓 
x = 𝟑𝟏𝟎𝟎 
 
Logo, o preço de custo é de R$ 3.100,00. 
ACRÉSCIMOS E DESCONTOS 
 
 Vamos observar um exemplo que trata de 
acréscimos: 
 
Exemplo 1: 
Um homem paga por um plano de saúde, para 
ele e sua esposa, uma mensalidade de R$ 
365,00 cada; para cada um dos seus 3 filhos, o 
valor é R$ 232,00. Como, no próximo mês, ele 
completará 59 anos, apenas sua mensalidade 
sofrerá um acréscimo de 12%. Então, a partir do 
próximo mês, qual será o valor da sua mensali-
dade? 
 
 Vamos calcular a porcentagem de au-
mento na mensalidade do homem. 
 
365.12% = 365.0,12 = 43,8 
 
 Agora para obter a nova mensalidade de-
vemos somar 43,8 com 365 resultando em 
408,80. 
 
OBSERVAÇÃO: Quando o resultado que de-
sejamos inclui o próprio número envolvido 
no cálculo como no caso em tela, ocorrendo 
então um acréscimo de 12%, ao final temos 
100% + 12% = 112% 
 
 Poderíamos obter o valor da nova mensa-
lidade diretamente multiplicando 365 por 1,12. 
 
 
 O valor a mensalidade do Homem passa 
a ser de R$ 408,80. 
 
Exemplo 2 
Suponha que, em 2014, o pão custava x reais. 
Em 2015, por conta do aumento no preço na ma-
téria-prima, o preço teve um acréscimo de 20% 
sobre o preço de 2014. Em 2016, por um motivo 
semelhante, o preço do pão teve um acréscimo 
de 25% sobre o preço de 2015. Para 2017, há 
uma previsão de aumento de 10% em relação 
ao preço de 2016. Caso tal previsão se confirme, 
o preço do pão em 2017 será quanto por cento 
mais alto do que em 2014? 
 
Neste caso não temos o valor do pão, mas 
podemos obter a resposta através da ideia 
de acréscimos sucessivos. 
 
2015 – 20% de um valor x então o valor do pão 
é igual a 1,2x. 
 
2016 – 25% que representa 1,25 e para obter o 
acréscimo acumulado basta multiplicar 1,25 por 
1,2x resultando em 1,5x. 
 
2017 – 10% que representa 1,1 e ao multiplicar 
por 1,5x obtemos 1,65x. CONCLUINDO QUE 
HOUVE UM ACRÉSCIMO FINAL DE 65%. 
 
 A mesma ideia pode ser aplicada ao DES-
CONTO, vejamos: 
 
Exemplo 3 
Um produto custava R$92,00, sofreu um des-
conto de 20% e, portanto, passou a custar: 
 
Em vez de descobrirmos quanto vale 20% de 
92,00 e após subtrair o resultado de 92,00, po-
demos pensar que se houve um DESCONTO de 
20% estamos querendo obter 100%-20% o que 
resulta em 80%. Assim, chegamos ao resultado 
multiplicando 92 por 0,8. 
 
92.08 = 73,60 
 
O produto passou a custar R$ 73,60. 
 
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Exemplo 4: 
 
No mês de julho, no “Liquida Campina”, o 
preço de uma saia numa determinada loja 
sofreu um desconto de 8%. Sabendo que no 
mês de junho esta loja já havia dado um 
desconto de 5% no preço da saia, qual foi o 
desconto percentual total dado pelaloja? 
 
Neste exercício não temos o valor da 
saia, logo temos que usar a ideia de 
descontos sucessivos. 
 
Junho – Desconto de 5% logo o produto teve um 
decréscimo de 95%=0,95. 
 
Julho – Desconto de 8% logo o produto teve um 
decréscimo de 92% = 0,92. 
 
Então o decréscimo total é de: 
 
0,95.0,92.x= 0,874x 
 
O preço após os descontos é de 87,4% do valor 
da saia, logo o desconto foi de 12,8%. 
 
Exemplo 5: 
Com as festas no fim de ano, determinados pro-
dutos sofreram dois aumentos consecutivos em 
seus preços, de 20% e 30% respectivamente. 
Com o término das festividades e a economia em 
recessão, não sobrou outra alternativa a não ser, 
oferecer 40% de desconto àqueles produtos que 
sofreram tais aumentos. Assim, podemos dizer 
que o preço final desses produtos em relação ao 
preço inicial, está: 
 
a) Maior; 
b) Igual; 
c) Menor; 
 
 Observe que neste exemplo devemos 
usar tanto o conceito de acréscimo como o de 
descontos sucessivos. Os dois aumentos conse-
cutivos são de: 
 
20% = 1,2 e 30% = 1,3 
 
Então após os acréscimos temos 1,2.1,3=1,56 
do valor do produto. 
 
Agora devemos aplicar o desconto de 40% que 
representa 100%-40% = 60% = 0,6. 
 
0,6.1,56x = 0,936x 
0,936x representa que o valor final foi 93,6% do 
valor inicial logo o valor final foi MENOR. 
 
JUROS SIMPLES 
 
 Para entender Juros vamos entender al-
guns conceitos: 
 
CAPITAL: Valor emprestado ou Investido por 
uma pessoa, podemos indicar pela letra C de 
Capital ou P de Principal. 
 
JUROS: Aquele que fizer uso do dinheiro deve 
pagar por isso, esta remuneração é o que cha-
mamos de JUROS. 
 
TAXA DE JUROS: Expressa em percentual indica 
a quantidade a ser paga como Juros em função 
do tempo. 
 
MONTANTE: É a soma do capital oferecido com 
os juros obtidos na operação. 
 
 Vemos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1 
Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado durante 
3 meses à taxa de 5% a.t. (ao trimestre). Cal-
cule os juros e o montante recebidos após 3 me-
ses. 
 
 Os juros simples se caracteriza pela capi-
talização mensal sempre em cima do valor Prin-
cipal. 
 
J = C.i.n 
 
Onde: 
 
J = Juros. 
C = Capital 
i – Taxa de Juros 
n – Tempo 
 
No exercício proposto temos: 
 
C=R$ 12000 
n= 3 meses 
i=5% = 0,05 at 
J= ? 
M= ? 
 
Aplicando os valores na fórmula: 
 
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J = 12000.0,05.1 
J = 600 
 
M = C+J 
M=12000+600 
R$ 12600 
 
Observação: Como a taxa é trimestral deve-
mos considerar o tempo como 1. 
 
Exemplo2: 
 
Uma empresa recebeu um empréstimo bancário 
de R$ 60.000,00 por 1 ano, pagando um mon-
tante de R$ 84.000,00. Qual foi a taxa anual de 
juros? 
 
Neste exercício temos: 
 
M = R$ 84000,00 
n = 1 ano 
C – R$ 60000,00 
I = ? 
 
Primeiro precisamos encontrar o Juros: 
 
J = M-C 
J = 84000-60000 
J=24000 
 
Agora podemos calcular a taxa: 
 
J=C.i.n 
24000 = 60000.i.1 
24000 = 60000i 
i = 24000/60000 
i=0,4 = 40% aa. 
 
A taxa é anual porque o tempo for-
necido é de 1 ano. 
 
 Também Podemos calcular o Montante 
utilizando a seguinte forma: 
 
M = C.(1+i.n) 
 
Exemplo 3: 
Um capital de R$ 5.000,00 é aplicado a juros 
simples durante 4 anos à taxa de 20% a.a. Cal-
cule os juros gerados em cada período, os juros 
pagos no final do período e o montante após o 
período de aplicação. 
 
 Vamos analisar: 
 
C - R$ 5000,00 
n= 4 anos 
i = 20% aa = 0,2 
 
Juros gerados em cada período: Em juros 
simples os juros gerados são sempre constante, 
assim: 
 
J = C.i 
J = 5000.0,2 
J=1000 
 
Juros gerados ao final do período: Como a 
taxa é anual e o período é de 4 anos devemos 
multiplicar por 4. 
 
J = C.i 
J = 5000.0,2.4 
J=4000 
 
Montante após o período: 
 
M = C + J 
M = 5000+400 
M=9000 
 
Calculando o Montante por outra fórmula: 
 
M = C.(1+i.n) 
M = 5000.(1+0,2.4) 
M = 5000.(1,8) 
M=9000 
 
Exercícios 
 
1) Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado du-
rante 5 meses à taxa de 3% a.b. (ao bimestre). 
Calcule os juros e o montante recebido. 
 
2) Osvaldo aplicou R$ 15.000,00 durante 2 
anos num fundo que rendeu 8% a.s. (ao se-
mestre). Qual o montante recebido? 
 
3) Olavo aplicou R$ 25.000,00 numa caderneta 
de poupança pelo prazo de 1 ano e meio. Sa-
bendo-se que a taxa era de 2,25% a.t. (ao tri-
mestre), qual o valor do montante? 
 
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4) Sueli aplicou R$ 4.800,00 num fundo de in-
vestimento e recebeu, 3 meses depois, R$ 
504,00 de juros. Qual a taxa anual de juros da 
aplicação? 
5) Uma empresa tomou um empréstimo de R$ 
7.500,00 por 1 mês à taxa de 0,2% a.d. (ao 
dia). Qual o valor do montante pago? 
6) Roberto aplicou R$ 12.000,00 num fundo de 
investimento e recebeu, 1 ano depois, um mon-
tante de R$ 14.448,00. Qual a taxa mensal de 
juros recebida? 
 
 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
 No regime de capitalização composto, os 
juros são calculados em cima do novo montante 
período a período. 
 
 Observe o exemplo: 
 
Uma aplicação de R$10.000, no regime de ju-
ros compostos, é feita por 3 meses a juros de 
10% ao mês. Qual o valor que será resgatado 
ao final do período? 
 
VAMOS ANALISAR MÊS A MÊS PRIMEIRO 
EM COMO SERIA EM JUROS SIMPLES 
 
C = R$ 10.000 
N = 3 meses 
I – 10% am = 0,1 
 
1º Mês 
 
10000.0,1 = 1000 (Juros do 1º Mês) 
 
2º Mês 
 
10000.0,1 = 1000 (Juros do 2º Mês) 
 
3º Mês 
 
10000.0,1 = 1000 (Juros do 3º Mês) 
 
J = R$ 3000,00 e M= 13.000,00 
 
 
 
 
AGORA EM JUROS COMPOSTOS 
 
1º Mês 
10000.0,1 = 1000 (Juros do 1º Mês) 
Montante após o 1º mês = 11000 
 
2º Mês 
11000.0,1 = 1100 (Juros do 2º Mês) 
Montante após o 2º mês = 12100 
 
3º Mês 
12100.0,1 = 1210 (Juros do 3º Mês) 
 
J = R$ 3310,00 e M= 13.310,00 
 
Observe que os Juros do 2º mês foram calcula-
dos em cima do novo montante, assim funciona 
o regime de capitalização composta. O chamado 
JUROS SOBRE JUROS. 
 
FÓRMULA PARA CALCULAR: 
 
M = C (1+i)n 
 
Onde, 
M: montante 
C: capital 
i: taxa fixa 
n: tempo 
 
Observação: Algumas literaturas trazem 
como representação de tempo a letra t. 
 
SE LIGA NO BIZU 
 
Regra geral as operações com Juros com-
postos são maiores que juros simples, no 
entanto se o período de tempo for menor 
que 1 o Juros compostos são menores. 
 
Exemplo: 
C = 100 i = 1% = 10% am n=15 dias (0,5 de mês) 
 
Juros Simples 
 
 M = C.(1+i.n) 
 M = 100.(1+0,1.0,5) 
 M = 100.(1+0,05) 
 M = 100.1,05 
 M= 105 
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Juros Compostos 
 
 M = C.(1+i)n 
 M = 100. (1+0,1)0,5 
 M = 100. (1,1)0,5 
 M = 100.1,049 
 M = 104,90 
 
Observe que a operação com Juros Compostos, 
o Montante foi menor que em Juros Simples. 
 
Pensando graficamente os Juros Simples geram 
uma RETA (Função Afim) e o Composto está re-
lacionado a Função Exponencial. 
 
 
(FUNCAB-2010) Em relação a juros simples e 
juros compostos, é correto afirmar: 
a) a curva de crescimento dos juros simples é 
uma reta. Logo, se o período (n) for menor que 
1, os juros compostos são menores que os juros 
simples no mesmo período de tempo (n). 
 
b) a representação gráfica dos juros compostos 
é uma função exponencial. Portanto, se o perí-
odo (n) for menor do que 1, os juros compostos 
serão maiores que os juros simples, no mesmo 
período de tempo (n). 
 
c) a curva de crescimento dos juros simples é 
uma reta. Logo, se o período (n) for igual a 1, os 
juros compostos serão menores que os juros 
simples, no mesmo período de tempo (n). 
 
d) a representação gráfica dos juros compostos 
é uma função exponencial. Portanto, se o perí-
odo (n) for igual a 1, os juroscompostos serão 
maiores que os juros simples, no mesmo período 
de tempo (n). 
 
e) a curva de crescimento dos juros simples é 
uma reta. Logo, se o período (n) for maior que 
1, os juros compostos serão menores que os ju-
ros simples, em um mesmo período de tempo (n). 
 Pensando no que foi explicado. Qual seria 
a alternativa correta? 
 
 Vamos ver alguns exemplos de Juros 
Compostos: 
 
Exemplo 1 
Se um capital de R$500 é aplicado durante 4 me-
ses no sistema de juros compostos sob uma taxa 
mensal fixa que produz um montante de R$800, 
qual será o valor da taxa mensal de juros? 
 
 Neste exemplo temos: 
 
M = R$ 800,00 
C = R$ 500,00 
N = 4 meses 
J = M-C = 800-500= R$ 300,00 
i = ? 
 
 M = C.(1+i)n 
 800 = 500. (1+i)4 
 800/500 = (1+i)4 
 1,6 = (1+i)4 
 √1,6
4
 = 1+i 
 1,125 = 1+i 
 1,125-1=i 
 i = 0,125 
 
Multiplicando por 100 a taxa é de 12,5% am 
 
Exemplo 2 
 
(ibam-2015) - Julia fez um empréstimo em um 
banco e concordou pagar uma taxa de 14% ao 
ano, correspondente a juros compostos. Sa-
bendo que Julia, após exatos três anos, quitou 
seu empréstimo pagando o valor de R$ 
143.709,768, concluímos que o valor, em R$, do 
empréstimo feito por Julia foi de: 
 
a) 80.000 
b) 85.000 
c) 90.000 
d) 97.000 
Aplicando a fórmula temos: 
 
M = R$ 143.709,768 
C = ? 
N = 3 anos 
i = 14% aa = 0,14 
 
 
 M = C.(1+i)n 
 R$ 143.709,768 = C.(1+0,14)3 
 R$ 143.709,768 = C.(1,14)3 
 R$ 143.709,768 = C.1,481544 
 R$ 143.709,768/1,481544 = C 
 C = 97000 
 
ALTERNATIVA D 
 
 
 
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1. Complete a tabela com as representa-
ções fracionárias, decimais e taxas percentuais: 
 
 
2. Calcule: 
 
a) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟑𝟎 
b) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟏𝟕𝟎 
c) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟒𝟓𝟎𝟎 
d) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟖𝟐𝟓𝟎 
e) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟑𝟔𝟒𝟕 
f) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟗𝟏𝟓 
g) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟖 
h) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟑𝟓 
i) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟎, 𝟔 
j) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟒𝟐, 𝟕 
k) 𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝟑𝟎 
l) 𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝟒𝟖𝟎 
m) 𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝟗𝟓𝟎𝟎 
n) 𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝟕𝟑𝟐𝟖 
o) 𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝟔𝟓𝟐𝟑 
p) 𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝟖𝟏𝟒 
q) 𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝟒 
r) 𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝟐𝟖 
s) 𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝟎, 𝟑 
t) 𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝟕𝟗, 𝟒 
u) 𝟑𝟎% 𝒅𝒆 𝟐𝟎 
v) 𝟎% 𝒅𝒆 𝟒𝟏𝟓 
w) 𝟑𝟎% 𝒅𝒆 𝟔𝟖𝟎𝟎 
x) 𝟑𝟎% 𝒅𝒆 𝟕𝟒𝟐𝟖 
y) 𝟑𝟎% 𝒅𝒆 𝟏𝟑𝟗𝟓 
z) 𝟑𝟎% 𝒅𝒆 𝟒𝟒𝟒 
aa) 𝟑𝟎% 𝒅𝒆 𝟓 
bb) 𝟑𝟎% 𝒅𝒆 𝟑𝟖 
cc) 𝟑𝟎% 𝒅𝒆 𝟎, 𝟑 
dd) 𝟑𝟎% 𝒅𝒆 𝟏𝟒, 𝟕 
ee) 𝟒𝟓% 𝒅𝒆 𝟏𝟓𝟎 
ff) 𝟒𝟐% 𝒅𝒆 𝟔𝟎 
gg) 𝟓𝟕% 𝒅𝒆 𝟐𝟗𝟎 
hh) 𝟐𝟓% 𝒅𝒆 𝟏𝟔𝟖 
ii) 𝟕𝟖% 𝒅𝒆 𝟓𝟎 
jj) 𝟗𝟓% 𝒅𝒆 𝟒𝟎𝟎 
kk) 𝟔𝟒% 𝒅𝒆 𝟗𝟎𝟎 
ll) 𝟑𝟓% 𝒅𝒆 𝟑𝟎𝟎 
mm) 𝟏𝟓% 𝒅𝒆 𝟕𝟎𝟎 
nn) 𝟑𝟓% 𝒅𝒆 𝟖𝟎𝟎 
oo) 𝟖𝟔% 𝒅𝒆 𝟔𝟎𝟎 
pp) 𝟒𝟎% 𝒅𝒆 𝟐𝟑𝟎 
qq) 𝟐% 𝒅𝒆 𝟑𝟓𝟎 
rr) 𝟓% 𝒅𝒆 𝟏𝟎𝟎𝟎 
ss) 𝟒% 𝒅𝒆 𝟑𝟓𝟎 
tt) 𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝟔𝟒𝟎 
uu) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟐𝟎𝟎 
vv) 𝟑𝟎% 𝒅𝒆 𝟕𝟖𝟐 
ww) 𝟏𝟓% 𝒅𝒆 𝟒𝟎𝟎 
xx) 𝟐𝟓% 𝒅𝒆 𝟑𝟎𝟎𝟎 
yy) 𝟏𝟖% 𝒅𝒆 2𝟎 
zz) 𝟏𝟑% 𝒅𝒆 𝟏𝟎𝟎 
 
3. Determine quanto %: 
 
a) 𝟏𝟎 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟒𝟎; 
b) 𝟓 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟐𝟎𝟎; 
c) 𝟑𝟔 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟏𝟖𝟎; 
d) 𝟔𝟑 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟕𝟎; 
e) 𝟏𝟖 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟔𝟎; 
f) 𝟏𝟒𝟎 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟐𝟖𝟎; 
g) 𝟐𝟏 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟔𝟎𝟎; 
h) 𝟖𝟖 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟏𝟏𝟎; 
i) 𝟑𝟓 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟓𝟎; 
j) 𝟏𝟑𝟗 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟐𝟕𝟖; 
k) 𝟒𝟓 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟐𝟎𝟎; 
l) 𝟑𝟎,𝟒 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟑𝟐; 
m) 𝟑𝟗,𝟐 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟕𝟎; 
n) 𝟗𝟐,𝟒 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟐𝟐𝟎; 
o) 𝟏𝟎𝟓 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟐𝟓𝟎; 
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p) 𝟏𝟕 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟓𝟎; 
q) 𝟐𝟓𝟓 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟑𝟎𝟎; 
r) 𝟑 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟐𝟎𝟎; 
s) 𝟓𝟒 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟔𝟎𝟎; 
t) 𝟑𝟐 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝟏𝟔; 
 
4. Calcule o valor de x, sabendo que: 
 
a) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟔; 
b) 𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟒; 
c) 𝟑𝟎% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟐𝟕; 
d) 𝟓𝟎% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟓𝟖𝟎; 
e) 𝟔𝟎% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟏𝟑𝟐; 
f) 𝟖𝟎% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟏𝟓𝟐𝟒; 
g) 𝟏𝟓% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟗; 
h) 𝟕𝟎% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟏𝟔𝟏; 
i) 𝟒𝟓% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟏𝟖𝟎; 
j) 𝟑𝟔% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟏𝟒𝟒𝟎; 
k) 𝟐𝟓% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟏𝟐; 
l) 𝟕𝟎% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟑𝟓𝟎; 
m) 𝟔𝟓% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟐𝟑,𝟒; 
n) 𝟖𝟎% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟐𝟎𝟎0; 
o) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟕0; 
p) 𝟐𝟎% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟑𝟎; 
q) 𝟑𝟎% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟗𝟖𝟕; 
r) 𝟏𝟓% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟔𝟎; 
s) 𝟐𝟓% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟒𝟎; 
t) 𝟕𝟓% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟖𝟐𝟔,𝟓; 
u) 𝟏𝟐% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟗𝟔; 
v) 𝟓% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟏,𝟐; 
w) 𝟐% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟎,𝟔; 
x) 𝟗% 𝒅𝒆 𝒙 𝒗𝒂𝒍𝒆 𝟐𝟓,𝟐; 
 
5. Escreva o fator de acréscimo ou desconto re-
ferente a cada situação: 
 
a) 10% de aumento; 
b) 47% de aumento; 
c) 5% de desconto; 
d) 21% de desconto; 
e) 18% de aumento; 
f) 12% de desconto; 
g) 25% de aumento; 
h) 10% de desconto; 
i) 8% de desconto; 
j) 40% de aumento; 
 
6. Calcule os JUROS decorrentes de cada em-
préstimo a seguir, sendo o regime de capitali-
zação simples: 
 
 
7. Determine o valor do CAPITAL que rendeu os 
juros indicados em cada aplicação abaixo, sendo 
o regime de capitalização simples: 
 
 
 
8. Calcule a TAXA ANUAL de cada operação 
abaixo, sendo o regime de capitalização sim-
ples: 
 
 
 
9. Determine o TEMPO, em anos, decorridos em 
cada situação a seguir, sendo o regime de capi-
talização simples: 
 
 
10. Calcule o MONTANTE produzido por cada ca-
pital, com as taxas e períodos indicados abaixo: 
 
 
 
 
11. Qual o montante de uma aplicação de 
$50.000 a juros compostos, pelo prazo de 6 me-
ses à taxa de 2% a.m.? 
 
12. Um capital de $7.000 foi aplicado a juros 
compostos, durante um ano e meio, à taxa de 
2,5% a.m.. Calcule os juros auferidos no perí-
odo. 
 
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13. Uma pessoa aplica hoje $4.000 e aplicará 
$12.000 daqui a 3 meses num fundo que rende 
juros compostos à taxa de 2,6% a.m.. Qual seu 
montante daqui a 6 meses? 
 
14. Qual o capital que, aplicado a juros compos-
tos, durante 9 anos, à taxa de 10% a.a. produz 
um montante de $175.000? 
 
15. Um capital de $3.000 foi aplicado a juros 
compostos, durante 10 meses, gerando um 
montante de $3.500. Qual a taxa mensal? 
 
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Respostas 
 
1. 
 
 
2. 
a) 3 
b) 𝟏𝟕 
c) 𝟒𝟓𝟎 
d) 𝟖𝟐𝟓 
e) 𝟑𝟔𝟒,𝟕 
f) 𝟗𝟏,𝟓 
g) 𝟎, 𝟖 
h) 𝟑,𝟓 
i) 𝟎, 𝟎𝟔 
j) 𝟒,𝟐𝟕 
k) 𝟔 
l) 𝟗𝟔 
m) 𝟏𝟗𝟎𝟎 
n) 𝟏𝟒𝟔𝟓,𝟔 
o) 𝟏𝟑𝟎𝟒,𝟔 
p) 𝟏𝟔𝟐,𝟖 
q) 𝟎,𝟖 
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r) 𝟓,𝟔 
s) 𝟎,𝟎𝟔 
t) 𝟏𝟓𝟖,𝟖 
u) 𝟔 
v) 𝟏𝟐𝟒,𝟓 
w) 𝟐𝟎𝟒𝟎 
x) 𝟐𝟐𝟐𝟖,𝟒 
y) 𝟒𝟏𝟖,𝟓 
z) 𝟏𝟑𝟑,𝟐 
aa) 𝟏,𝟓 
bb) 𝟏𝟏,𝟒 
cc) 𝟎,𝟎𝟗 
dd) 𝟒,𝟒𝟏 
ee) 𝟔𝟕,𝟓 
ff) 𝟐𝟓, 𝟐 
gg) 𝟏𝟔𝟓, 𝟑 
hh) 𝟒𝟐 
ii) 𝟑𝟗 
jj) 𝟑𝟖𝟎 
kk) 𝟓𝟕𝟔 
ll) 𝟏𝟎𝟓 
mm) 𝟏𝟎𝟓 
nn) 𝟐𝟖𝟎 
oo) 𝟓𝟏𝟔 
pp) 𝟗𝟐 
qq) 𝟕 
rr) 0 
ss) 𝟏𝟒 
tt) 𝟏𝟐𝟖 
uu) 𝟐𝟎 
vv) 𝟐𝟑𝟒 
ww) 𝟔𝟎 
xx) 𝟕𝟓𝟎 
yy) 𝟑,𝟔 
zz) 𝟏𝟑 
 
3. 
a) 𝟐𝟓% 
b) 𝟐,𝟓% 
c) 𝟐𝟎% 
d) 𝟗𝟎% 
e) 𝟑𝟎% 
f) 𝟓𝟎% 
g) 𝟑,𝟓% 
h) 𝟖𝟎% 
i) 𝟕𝟎% 
j) 𝟓𝟎% 
k) 𝟐,𝟐𝟓% 
l) 𝟗𝟓% 
m) 𝟓𝟔% 
n) 𝟒𝟐% 
o) 𝟒𝟐% 
p) 𝟑𝟒% 
q) 𝟖𝟓% 
r) 𝟏, 𝟓% 
s) 𝟗% 
t) 𝟐𝟎𝟎% 
 
4. 
a) 𝟔𝟎 
b) 𝟐𝟎 
c) 𝟗𝟎 
d) 𝟏𝟏𝟔𝟎 
e) 𝟐𝟐𝟎 
f) 𝟏𝟗𝟎𝟓 
g) 𝟔𝟎 
h) 𝟐𝟑𝟎 
i) 𝟒𝟎𝟎 
j) 𝟒𝟎𝟎𝟎 
k) 𝟒𝟖 
l) 𝟓𝟎𝟎 
m) 𝟑𝟔 
n) 𝟐𝟓𝟎𝟎 
o) 𝟕𝟎𝟎 
p) 𝟏𝟓𝟎 
q) 𝟑𝟐𝟗𝟎 
r) 𝟒𝟎𝟎 
s) 𝟏𝟔𝟎 
t) 𝟏𝟏𝟎𝟐 
u) 𝟖𝟎𝟎 
v) 𝟐𝟒 
w) 𝟑𝟎 
x) 𝟐𝟖𝟎 
 
5. 
a) 𝟏, 𝟏b) 𝟏,𝟒𝟕 
c) 𝟎,𝟗𝟓 
d) 𝟎,𝟕𝟗 
e) 𝟏,𝟏𝟖 
f) 𝟎,𝟖𝟖 
g) 𝟏,𝟐𝟓 
h) 𝟎,𝟗 
i) 𝟎,𝟗𝟐 
j) 𝟏, 𝟒 
 
 
6. 
a) R$ 8.000,00 
b) R$ 15.750,00 
c) R$ 120.000,00 
d) R$ 15.300,00 
e) R$ 210.000,00 
f) R$ 21.600,00 
g) R$ 24.000,00 
h) R$ 19.530,00 
 
7. 
a) R$ 700,00 b) R$ 4.800,00 
c) R$ 8.000,00 d) R$ 10.000,00 
e) R$ 400,00 f) R$ 15.000,00 
g) R$ 1.562,50 h) R$ 200,00 
 
8. 
a) 20% b) 3% c) 50% 
d) 80% e) 50% f) 20% 
g) 60% h) 50% 
 
9. 
a) 5 anos b) 2 anos c) 2 anos 
d) 3 anos e) 6 anos f) 2 anos 
g) 5 anos h) 5 anos 
 
10. 
a) R$ 6.400,00 
b) R$ 23.800,00 
c) R$ 760,00 
d) R$ 34.400,00 
e) R$ 7.112,00 
f) R$ 9.660,00 
g) R$ 124.000,00 
h) R$ 6.700,00 
 
11. 56.038,12 
12.. 3.917,61 
13. 17.626,54 
14. 74.217,08 
15. 1,55% a.m. 
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QUESTÕES DE CONCURSO 
 
1) (FCC – Assistente Técnico Fazendário – SE-
MEF – Manaus - 2019) Fernando pagou R$ 
100,00 de conta de água e R$ 120,00 de conta 
de luz referentes ao consumo no mês de janeiro. 
Se a conta de água sofreu redução mensal de 
15% nos meses de fevereiro e março subse-
quentes, e a conta de luz sofreu aumento mensal 
de 10% nesses dois meses, para pagar as contas 
de água e de luz referentes ao consumo no mês 
de março, Fernando gastou, no total, 
 
a) R$ 2,55 a menos do que gastou nas contas 
referentes ao consumo do mês de janeiro. 
 
b) R$ 4,00 a mais do que gastou nas contas re-
ferentes ao consumo do mês de janeiro. 
 
c) R$ 1,75 a mais do que gastou nas contas re-
ferentes ao consumo do mês de janeiro. 
 
d) R$ 6,00 a menos do que gastou nas contas 
referentes ao consumo do mês de janeiro. 
 
e) R$ 0,65 a mais do que gastou nas contas re-
ferentes ao consumo do mês de janeiro. 
 
2) (FCC – Técnico Legislativo – 2011) Em uma 
empresa, 16% dos funcionários são estrangeiros 
e os outros são brasileiros. Dentre os brasileiros, 
2/3 nasceram no Distrito Federal, 1/12 veio de 
São Paulo e o restante é originário de estados da 
região Nordeste do Brasil. Em elação ao total de 
funcionários da empresa, aqueles que vieram de 
estados nordestinos representam 
 
a) 20%. 
b) 21%. 
c) 24%. 
d) 25%. 
e) 28%. 
 
3) (FCC – Técnico Judiciário – 2018) O salário de 
Arthur equivale a 3/7 do salário de Bárbara. Para 
que o salário de ambos fosse igual, o salário de 
Arthur teria que aumentar em 130% e, depois 
disso, ainda ser acrescido de R$ 60,00. Nas con-
dições descritas, a soma dos atuais salários de 
Arthur e Bárbara, em reais, é igual a 
a) R$ 6.000,00. 
b) R$ 5.400,00. 
c) R$ 6.200,00. 
d) R$ 6.400,00. 
e) R$ 5.900,00. 
4) (FCC – Técnico em Gestão – 2018) Uma pes-
soa decide dividir todo seu patrimônio entre seus 
3 filhos ainda em vida. Analisando a situação 
atual de cada um, conclui que a filha mais velha 
deve receber 1/5 de seu patrimônio, ao passo 
que o filho do meio deve receber R$ 500.000,00 
e o filho mais novo, 30% do total do patrimônio. 
No ato da transferência, cada filho deve pagar 
ao governo um imposto de 2% do valor recebido. 
Dessa forma, a filha mais velha deverá pagar um 
imposto relativo ao valor por ela recebido de 
 
a) R$ 5.000,00. 
b) R$ 12.000,00. 
c) R$ 18.000,00. 
d) R$ 4.000,00. 
e) R$ 2.500,00. 
 
5) (FCC – Analista Ministerial – 2018) Um co-
merciante compra um produto por um preço de 
custo c e aplica-lhe um acréscimo correspon-
dente ao lucro que deseja para obter o preço de 
venda v. De quanto por cento deve ser o acrés-
cimo sobre c para que, mesmo aplicando um 
desconto de 25% sobre o preço v, o comerciante 
ainda tenha 20% de lucro? 
 
a) 40%. 
b) 25%. 
c) 50%. 
d) 60%. 
e) 20%. 
 
6) (FCC – Analista Judiciário – 2018) Quando se 
diz que um imposto com alíquota de 20% incide 
sobre um produto cujo preço inicial é R$ 100,00, 
é usual concluir que, com o acréscimo desse im-
posto, o preço final do produto seria de R$ 
120,00. Isso é chamado de cálculo “por fora”. 
Porém, há impostos em que se utiliza o chamado 
“cálculo por dentro”. Nesses casos, se uma alí-
quota de 20% incide sobre um produto cujo 
preço inicial é R$ 100,00, então o preço final é 
de R$ 125,00, pois 20% do valor final deve ser 
relativo ao imposto. Com um imposto de alíquota 
18% sobre um produto cujo valor inicial é de R$ 
1.640,00, a diferença entre os preços finais cal-
culados por dentro e por fora é de 
 
a) R$ 128,40. 
b) R$ 32,40. 
c) R$ 360,00. 
d) R$ 64,80. 
e) R$ 640,00. 
 
 
 
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7) (FCC – Técnico em Informática – 2015) Um 
desconto de 8% no preço fixo de um plano de 
assinatura de uma revista aumentou em 15% a 
quantidade de assinantes da revista. Nas condi-
ções descritas, o faturamento da revista com 
esse desconto no plano de assinatura aumentou 
em 
 
a) 5,8%. 
b) 6,2%. 
c) 6,4%. 
d) 5,4%. 
e) 6,8%. 
 
8) (FCC – Analista de Gestão Financeira e Con-
tábil – 2016) Uma pessoa deseja investir em um 
imobilizado para a sua loja e o fornecedor lhe 
ofereceu as seguintes condições: 
a. Preço à vista = R$1.800,00; 
b. Preço a prazo = entrada de R$300,00 e R$ 
1.650,00 em 60 dias. 
 
A taxa de juros simples mensal cobrada pelo for-
necedor, na venda a prazo foi de 
 
a) 5,50% a.m. 
b) 4,88% a.m. 
c) 4,17% a.m. 
d) 5,00% a.m. 
e) 8,33% a.m. 
 
9) (FCC – Técnico ministerial – 2018) Um em-
préstimo foi feito à taxa de juros de 12% ao ano. 
Se o valor emprestado foi de R$ 50.000,00 para 
pagamento em 30 anos, em valores de hoje, o 
total de juros pagos por esse empréstimo, ao fi-
nal dos 30 anos, corresponde ao valor empres-
tado multiplicado por: 
 
a) 3,6. 
b) 2,8. 
c) 3,2. 
d) 2,5. 
e) 4,2. 
 
10) (FCC – Auditor Fiscal – 2007) Uma pessoa 
necessita efetuar dois pagamentos, um de R$ 
2.000,00 daqui a 6 meses e outro de R$ 
2.382,88 daqui a 8 meses. Para tanto, vai aplicar 
hoje a juros simples o capital C à taxa de 3% ao 
mês, de forma que: 
=> Daqui a 6 meses possa retirar todo o mon-
tante, efetuar o pagamento de R$ 2.000,00 e, 
nessa data, aplicar o restante a juros simples, à 
mesma taxa, pelo resto do prazo; 
=> Daqui a 8 meses possa retirar todo o mon-
tante da segunda aplicação e efetuar o segundo 
pagamento, ficando com saldo nulo e sem so-
bras. Nessas condições, o valor de C é igual a 
 
a) R$ 5.000,00. 
b) R$ 12.000,00. 
c) R$ 18.000,00. 
d) R$ 4.000,00. 
e) R$ 2.500,00. 
 
11) (FCC – Contador – 2010) Um banco remu-
nera as aplicações de seus clientes a uma taxa 
de juros simples de 18% ao ano. Uma pessoa 
aplicou um capital neste banco, em uma deter-
minada data, e verificou que no final do período 
de aplicação o total de juros correspondia a 21% 
do valor do capital aplicado 
 
a) 14 meses. 
b) 15 meses. 
c) 16 meses. 
D) 18 meses. 
e) 20 meses. 
 
12) (FCC – Oficial de Defensoria pública – 2010) 
Um fogão é vendido com entrada de R$ 100,00 
e uma parcela de R$ 322,00 após um mês da 
compra. Se a loja cobra juros de 15% ao mês, 
ela pode vender o fogão à vista (sem os juros da 
prestação por 
 
a) R$ 340,00. 
b) R$ 350,00. 
c) R$ 360,00. 
d) R$ 380,00. 
e) R$ 390,00. 
 
13) (UEM – Técnico Administrativo – 2018) José 
tomou emprestado R$ 1.000,00 a serem pagos 
em 6 meses a juros simples de 5% ao mês. Qual 
é o montante a ser pago por José? 
 
a) R$ 1.000,00 
b) R$ 1.200,00 
c) R$ 1.050,00 
d) R$ 1.300,00 
e) R$ 1.600,00 
 
14) (VUNESP – Técnico Legislativo – 2018) An-
tônia fez uma aplicação a juros simples, por um 
período de um ano e meio, e a razão entre o 
montante dessa aplicação e o capital aplicado foi 
23/20. Sabendo que o valor dos juros dessa apli-
cação foi de R$ 750,00, o valor do capital apli-
cado e a taxa de juros simples anual equivalente 
a essa aplicação foram, correta e respectiva-
mente,MATEMÁTICA 
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a) R$ 5.000,00 e 10% 
b) R$ 5.000,00 e 12% 
c) R$ 5.500,00 e 12,5% 
d) R$ 6.000,00 e 10% 
e) R$ 6.000,00 e 12% 
 
15) (MS CONCURSOS – Analista Administrativo 
- 2018) Uma aplicação bancária oferece uma 
taxa de 8% ao bimestre no regime de capitali-
zação simples. Por quanto tempo é necessário 
fazer uma aplicação para triplicar o capital apli-
cado? 
 
a) 12 meses 
b) 25 meses 
c) 50 meses 
d) 100 meses 
e) 200 meses 
 
16) (VUNESP – Oficial de Atendimento e Admi-
nistração – 2018) Um capital A, aplicado a juros 
simples com taxa de 9% ao ano, rende em 6 me-
ses, os mesmos juros simples que um capital B 
aplicado a taxa de 0,8% ao mês, durante 9 me-
ses. Sabendo-se que o capital A é R$ 900,00 su-
perior ao capital B, então o valor do capital A é 
 
a) R$ 2.500,00 
b) R$ 2.400,00 
c) R$ 2.200,00 
d) R$ 1.800,00 
e) R$ 1.500,00 
 
17) (MPE-GO – Oficial de Promotoria – 2017) Em 
um investimento no qual foi aplicado o valor de 
R$ 5.000,00, em um ano foi resgatado o valor 
total de R$ 9.200,00. Considerando estes apon-
tamentos e que o rendimento se deu a juros sim-
ples, é verdadeiro afirmar que a taxa mensal foi 
de: 
 
a) 1,5% 
b) 2% 
c) 5,5% 
d) 6% 
e) 7% 
 
18) (MPE-GO – Secretário Auxiliar - 2017) Um 
determinado produto pode ser vendido de duas 
formas: uma é à vista, por R$ 300,00 e a outra 
é com dois pagamentos iguais de R$ 160,00 
cada um, sendo o primeiro no ato da compra e o 
segundo, um mês após essa compra. Todos os 
consumidores que optarem pelo pagamento par-
celado, irão pagar juros simples, cuja taxa men-
sal é aproximadamente igual a: 
 
a) 6,7% 
b) 7,1% 
c) 9,9% 
d) 12,5% 
e) 14,3% 
 
19) (IESES – Analista de Projetos Organizacio-
nais – 2017) O capital de R$ 2.300,00 foi finan-
ciado gerando o montante de R$ 3.220,00 no re-
gime dos juros simples. Sabendo-se que a taxa 
de juros empregada foi de 60% ao ano, per-
gunta-se qual foi o prazo do financiamento? 
 
a) 9 meses 
b) 10 meses 
c) 6 meses 
d) 8 meses 
 
20) (VUNESP – Assistente Administrativo – 
2017) Carlos fez um empréstimo de R$ 
2.800,00, à taxa de juros simples de 1,3% ao 
mês, que deve ser pago após 3 meses, junta-
mente com os juros. O valor que Carlos deverá 
pagar é igual a 
 
a) R$ 2.839,40 
b) R$ 2.889,30 
c) R$ 2.909,20 
d) R$ 2.953,20 
e) R$ 3.112,40 
 
21) (VUNESP – Auxiliar de Apoio Administrativo 
– 2017) Um empréstimo de determinado valor C 
foi efetuado a uma taxa de juro simples de 18% 
ao ano, por um prazo de 8 meses. Sabendo-se 
que o montante relacionado a esse empréstimo 
foi de R$ 11.200,00, o valor C emprestado foi de 
 
a) R$ 9.000,00 
b) R$ 9.250,00 
c) R$ 9.500,00 
d) R$ 9.750,00 
e) R$ 10.000,00 
 
22) (CESPE – Auditor de contas públicas – 2018) 
Se um lojista aumentar o preço original de um 
produto em 10% e depois der um desconto de 
20% sobre o preço reajustado, então, relativa-
mente ao preço original, o preço final do produto 
será 
 
a) 12% inferior 
b) 18% inferior 
c) 8% superior 
d) 15% superior 
e) 10% inferior 
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23) (CS – UFG – Técnico em enfermagem- 2017) 
O gráfico a seguir mostra os maiores produtores 
de coco do mundo em 2011 
 
Nessas condições, a produção da Indonésia cor-
responde aproximadamente a quantos por cento 
da produção mundial? 
 
a) 19,5%. 
b) 25,2%. 
c) 32,1%. 
d) 41,2%. 
 
24) (IESES – Bioquímico Farmacêutico - 2017) 
Um produto era anunciado com o preço de R$ 
1500,00 e sofreu dois reajustes consecutivos de 
5% e outro de 6%. Qual é o novo preço deste 
produto? 
 
a) R$ 1.665,00 
b) R$ 1.663,25 
c) R$ 1.672,47 
d) R$ 1.669,50 
 
25) (IF-CE – Tecnólogo - Gestão Financeira– 
2016) Anderson vendeu um rádio e um relógio 
por R$ 150,00 cada. Com relação aos valores 
que estes objetos lhe custaram, Anderson teve 
um prejuízo de 25% na venda do rádio e um lu-
cro de 25% na venda do relógio. Nessas condi-
ções, é correto afirmar-se que, relativamente ao 
custo dos objetos, no resultado total dessa tran-
sação, Anderson 
 
a) Não teve lucro nem prejuízo. 
b) Teve um prejuízo de R$ 20,00. 
c) Teve um lucro de R$ 20,00. 
d) Teve um prejuízo de R$ 25,00. 
e) Teve um lucro de R$ 25,00. 
 
 
 
 
26) (IF – CE – Tecnólogo – Gestão Financeira– 
2016) Dentre os candidatos inscritos num con-
curso, 40% são homens e 60% são mulheres. 
Destes, já têm emprego 30% dos homens e 10% 
das mulheres. Sabendo-se que o número de can-
didatos empregados é 90, o número de mulheres 
desempregadas, que se inscreveram no con-
curso, é 
 
a) 315 
b) 135 
c) 180 
d) 225 
e) 270 
 
27) (Instituto de Seleção – Assistente Adminis-
trativo (PE e AL) - 2017) Um determinado pro-
duto teve seu preço reajustado duas vezes. Na 
primeira vez, o reajuste foi de 35% e, na se-
gunda vez, de 20%. Sabendo-se que o preço do 
produto, depois do segundo reajuste, era de R$ 
567,00, o preço do produto, antes do primeiro 
reajuste, era de 
 
a) R$ 380,00 
b) R$ 350,00 
c) R$ 400,00 
d) R$ 420,00 
e) R$ 450,00 
 
28) (BIO – RIO – Analista de Contabilidade– 
2016) Um pintor tinha um prazo de 3 dias para 
pintar um muro. No primeiro dia ele pintou 30% 
da área total a ser pintada; no segundo, ele pin-
tou 40% do que faltava. Assim, restou a ser pin-
tada no terceiro dia a seguinte porcentagem da 
área total do muro: 
 
a) 30% 
b) 36% 
c) 42% 
d) 46% 
e) 50% 
 
29) (AOCP – Engenheiro de Segurança do traba-
lho - 2016) Em uma sala de aula, 55% dos alu-
nos vão prestar vestibular para a área de exatas 
e desses alunos 36% para o curso de matemá-
tica. Qual é a porcentagem de alunos dessa sala 
de aula que vão prestar vestibular para matemá-
tica? 
a) 1,98% 
b) 19,8% 
c) 20% 
d) 21,7% 
e) 22,9% 
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30) (AOCP – Médico Pediatra - 2016) Carla rece-
beu de seu emprego o salário de R$ 2500,00. 
Desse valor, ela separou três quartos de quatro 
quintos para pagar as despesas de sua casa. 
Qual é o valor do aluguel de Carla, sabendo que 
ele corresponde a 65% do valor que ela 
separou? 
 
a) R$ 1500,00 
b) R$ 1350,00 
c) R$ 1135,00 
d) R$ 995,00 
e) R$ 975,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 5 
ÁLGEBRA 
 
O que é álgebra? 
 Vamos iniciar o estudo da álgebra que é 
o ramo da Matemática que generaliza a aritmé-
tica. Na álgebra letras são utilizadas para repre-
sentar números, podendo representar números 
desconhecidos quanto um número qualquer per-
tencente a um conjunto numérico. 
 Se x é um número par, por exemplo, en-
tão x pode ser 2, 4, 6, 8, 10.... Dessa maneira, 
x é um número qualquer pertencente ao con-
junto dos números pares e fica evidente o tipo 
de número que x é: um múltiplo de 2. 
 No estudo algébrico existe uma diferenci-
ação entre uma EXPRESSÃO MATEMÁTICA e uma 
SENTENÇA MATEMÁTICA. 
 Entende-se por Expressão uma sequência 
de números separados por operações. 
Exemplos: 
2 + 5 
12-(3.4+6):2 
 Se tais expressões exprimem um sentido 
completo passamos a falar de uma sentença. 
2 + 5 = 7 
12-(3.4+6):2 = 3 
 Quando nas expressões ou sentenças 
aparecem letras representando um determinado 
número passamos a tratar de expressões e sen-
tenças algébricas.Uma habilidade importante que devemos 
adquirir é a transposição da linguagem materna 
para a linguagem matemática e linguagem algé-
brica. 
Veremos alguns exemplos: 
Dois mais cinco ➔ 2+5 
O dobro de 4 ➔ 2.4 
O triplo de 8 ➔ 3.8 
Metade de 14 ➔ 14/2 
A diferença de 23 e 13 ➔ 23-13 
O produto entre 4 e 8 ➔ 4.8 
O quociente entre 35 e 7 ➔ 35/7 
 Até aqui tratamos de algumas transfor-
mações matemáticas passamos a ver a transfor-
mação para a linguagem algébrica. 
Como representar: 
Um número qualquer ➔ x 
O dobro de um número ➔ 2y 
Metade de um número ➔ z/2 
A soma de dois números diferentes ➔ x+y 
 Com isso conseguimos GENERALIZAR, 
uma vez que um número qualquer chamamos de 
x, esta letra pode representar qualquer número 
dependendo do contexto trabalhado. 
 Todos os exemplos tratados na transfor-
mação da linguagem materna para a matemá-
tica foram expressões uma vez que por si só não 
possuem um sentido, diferente do que seria uma 
sentença, que em regra pode assumir o valor de 
Verdadeiro ou Falso. 
 As sentenças podem ser Abertas ou Fe-
chadas. 
Sentenças Abertas: Possuem variáveis ou incóg-
nitas e não ser definidas como Verdadeiras e Fal-
sas de pronto, uma vez que dependem do valor 
assumido pela incógnita. 
Exemplo: 
x=10-x (É uma sentença aberta, só podemos de-
finir seu valor lógico se tivermos o valor de x) 
Sentenças Fechadas: Não possuem variáveis ou 
incógnitas e podem ser definidas como Verdadei-
ras e Falsas. 
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 7-5=2 (Sentença Fechada de valor lógico VER-
DADEIRO) 
IGUALDADE 
 
 É uma sentença que possui um sinal de 
igual (=). Cada uma das seguintes sentenças 
abertas representa uma igualdade: 
 
a) x + 2 = 6 
b) y² - 12 = 37 
c) z - 1 = 9 
 
 Numa igualdade há duas expressões: 
uma à esquerda e outra à direita do sinal de igual 
(=). A expressão à esquerda do sinal de igual-
dade (=) constitui o 1º membro e a expressão 
à direita do sinal de igualdade (=) constitui o 2º 
membro. 
 
 
Propriedades da Igualdade 
I. Reflexiva 
Para qualquer que seja a, tem-se que a=a. 
Exemplos: 
10=10 7=7 x=x 
II. Simétrica 
Para quaisquer que seja a e b, se a=b então 
b=a; 
Exemplos: 
7=6+1 então 6+1=7 
2+3=4+1 então 4+1=2+3 
III. Transitiva 
Para quaisquer a, b e c, tem-se que se a=b e 
b=c então a=c; 
 
Exemplos: 
 
2+3=1+4 ➔ 1+4 = 5+0 então 2+3 = 5+0 
 
 
IV. Aditiva 
 
Para quaisquer a, b e c, tem-se que se a=b en-
tão a+c=b+c. 
 
Exemplos: 
 
3=3 ➔ 3+5=3+5 
 
4=3+1 ➔ 4+2=3+1+2 
 
V. Multiplicativa 
 
Para quaisquer a, b e c, tem-se que se a=b en-
tão a.c=b.c. 
 
Exemplos: 
 
3=3 ➔ 3.4=3.4 
 
4=3+1 ➔ 4.5=(3+1).5 
 
Para quaisquer a, b e c, tem-se que se a=b en-
tão a/c=b/c. 
 
Exemplos: 
 
8=8 ➔ 8/4=8/4 ➔ 2=2 
 
4=3+1 ➔ 4/2=(3+1)/2 ➔ 2=2 
 
EQUAÇÃO DE 1º GRAU 
 Equação é uma sentença aberta expressa 
por uma igualdade, assim para que se configure 
como equação, devemos observar: 
 É uma sentença aberta? 
 Tem uma igualdade? 
 
 Como vimos anteriormente, toda equa-
ção é composta por duas expressões, 1º mem-
bro e 2º membro. E esses membros são com-
postos por termos, que são os números (termos 
independentes) ou as multiplicações de letras 
por números (termos algébricos ou monômios). 
 Devemos observar em determinada 
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equação qual o conjunto universo dela. Entende-
se por Conjunto Universo, o conjunto de núme-
ros que determinada equação pode assumir, 
neste temos: 
 
Naturais (N) – Formado pelos inteiros positivos. 
Ex. N={0,1,2,3,4,5...}. 
 
Inteiros (Z) – Formado pelos Naturais e os Ne-
gativos. Ex. Z={...-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5...} 
 
Racionais (Q) – Que podem assumir a forma de 
fração a/b, com b≠0. Exemplos. 1/2; 4/5. 
 
Irracionais (Ir) – Que não podem assumir a 
forma de fração. Exemplos. Dízimas não periódi-
cas, Raízes não exatas e o 𝜋 (pi). 
 
Reais (R)- Formado pela União de todos os con-
juntos citados anteriormente. 
 
 Devemos nos atentar que um conjunto 
engloba outro não sendo excludente, com exce-
ção os conjuntos dos Racionais e Irracionais. As-
sim podemos observar o seguinte diagrama. 
 
 
 Considerando o Conjunto N e a seguinte 
equação x-7=3. Neste caso o conjunto Universo 
são os Naturais logo x somente pode assumir o 
valor de números inteiros positivos, no caso es-
pecífico temos como Solução 10, uma vez que 
10-7=3 tornando a sentença Verdadeira. 
 
 Dentro deste mesmo conjunto Universo 
pense na equação x+4=1. Observe que a solu-
ção desta equação seria -3. No entanto este nú-
mero não está no conjunto dos números Natu-
rais logo dizemos que a equação não possui so-
lução em N. 
 
Temos então: 
 
CONJUNTO UNIVERSO: TODOS OS VALORES 
QUE A VARIÁVEL PODE ASSUMIR. 
 
CONJUNTO SOLUÇÃO OU VERDADE SÃO OS 
VALORES QUE A VARIÁVEL ASSUME QUE 
TORNAM A SENTENÇA VERDADEIRA. 
 
OBSERVAÇÃO: 
✓ O conjunto verdade é subconjunto do 
conjunto Universo. 
✓ Não sendo o conjunto Universo citado de-
vemos considerar como conjunto Uni-
verso o conjunto dos Reais (R). 
✓ O Elemento do conjunto verdade é cha-
mado de RAIZ DA EQUAÇÃO. 
 
 A forma geral de uma equação de 1º 
Grau é: 
 ax+b=0, onde 
 
a e b são números reais e a≠ 0 
 
 Para resolver uma equação de 1º grau 
devemos isolar a incógnita. Para isso veremos 
duas formas de realizar. 
 
Dada a seguinte equação: 3x-6=0. Qual é sua 
raiz? 
 
1ª Forma: 
 
 Nesta primeira forma iremos aplicar as 
propriedades, uma vez que precisamos isolar o 
x, precisamos inicialmente retirar o -6 do pri-
meiro membro, para isso vamos adicionar 6 nos 
dois membros. 
 
3x-6=0 
3x-6+6=0+6 
3x=6 
 
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 Agora precisamos retirar o 3, assim o x 
ficará isolado para isso dividiremos os dois ter-
mos por 3 
 
3x=-6 
3x/3=6/3 
x=2 
 
A raiz da equação 3x-6=0 é 2 
 
2ª Forma: 
 Na segunda forma usamos a ideia de que 
para isolar o x iremos passar os demais números 
para o outro lado da igualdade, e quando isso 
ocorre o número tem sua operação invertida. 
 
 Primeiro vamos passar o -6 e com ele 
está subtraindo ele passa para o outro lado so-
mando 
3x-6=0 
3x=0+6 
3x=-6 
 
 Agora vamos passar o 3 para o outro lado, 
como ele está multiplicando ele passa para o ou-
tro lado dividindo. 
 
3x=-6 
x=6/3 
x=2 
 
A raiz da equação 3x-6=0 é 2 
 
 
 Veremos mais alguns exemplos, que op-
tarei responder pela 2ª forma, mas que pode ser 
solucionado pela 1ª forma sem qualquer pro-
blema. 
 
Exemplo 1 
x – 28 = 97 
x=97+28 
x=125 
 
 
Exemplo 2 
x + 46 = 85 
x=85-46 
x=39 
Exemplo 3 
14x = 378 
x=378/14 
x=27 
Exemplo 4 
 
 x/7=152 
 x=7.152 
 x=1064 
Exemplo 5 
-11x = 198 
x=198/-11 
x=-18 
Exemplo 6 
7x + 42 = 4x + 57 
7x-4x=57-42 
3x = 15 
x=15/3 
x=5 
Observe que no último exemplo foi necessário 
realizar uma soma algébrica, veremos como re-
alizar as operações algébricas, pois muitas vezes 
necessitamos deste recurso na resolução de 
equações. 
 
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 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 
 Cada termo do polinômio é formado por 
duas partes. 
Parte Numérica ➔ 2 x  Parte Literal 
 Quando temos aparecendo apenas a 
parte literal a parte numérica é 1. 
 y 
 No caso acima a parte literal é y e a parte 
numérica é 1. 
 Quando temos aparecendo apenas a 
parte numérica, não existe parte literal. 
 Os polinômiossão formados por termos, 
caso tenha mais de três termos ele é chamado 
de polinômio mesmo, mas quando possui menos 
termos recebem nomes específicos: 
Um Termo => Monômio. Ex. 3x ou y 
Dois Termos => Binômio. Ex. 3x+2 ou 2x-3y 
Três Termos => Trinômio. Ex. x2+3x-5 
Adição e Subtração: 
 Para somar ou subtrair polinômios deve-
mos somar ou subtrair a parte numérica e repe-
tir a parte literal. 
3x+2x=5x 
8y-9y = -y 
x+y = ? => Neste caso as partes literais são di-
ferentes logo não podemos efetuar a operação e 
o resultado permanece x+y. 
Observação: 
x é diferente de x2 
ab é diferente de a 
Multiplicação e Divisão: 
 Para multiplicar e dividir devemos realizar 
a operação tanto com a parte numérica como 
com a parte literal. Para realizar a multiplicação 
ou a divisão com a parte literal devemos nos so-
correr com as propriedades das potências: 
Multiplicação de Potência da mesma base: 
 Repete a base e soma-se os expoentes: 
Exemplo: x3.x5 = x8 
 
Divisão de Potência da mesma base: 
 Repete a base e subtrai-se os expoentes: 
Exemplo: x4:x2 = x2 
 
Potência de Potência: 
 Repete a base e multiplica-se os expoen-
tes: 
Exemplo: (x3)5 = x15 
 Vamos retomar agora a multiplicação e a 
divisão: 
2x2.5x = 10x3 
15x5:5x3 = 3x2 
Propriedade Distributiva da Multiplicação: 
 Quando temos um monômio multipli-
cando a soma de monômios devemos realizar a 
distribuição da seguinte forma: 
3. (5x + 19) 
3.5x + 3.19 
15x+57 
 Vamos retomar as equações aplicando 
os conhecimentos adquiridos: 
 
 Primeiro vamos transformar todas as 
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frações em frações equivalentes do mesmo de-
nominador, usando o MMC. 
MMC (4,1,5,2) = 20 
 
Exercícios resolvidos 
Exercício 1. 
(FGV – Analista em Tecnologia da Informação – 
Desenvolvimento de Sistemas –2018) Marcela e 
Júlia fizeram depósitos mensais em suas respec-
tivas poupanças durante o ano de 2017. Cada 
uma fez 12 depósitos iguais. Marcela depositou 
R$ 120,00 mensais a menos do que Júlia. As 
duas depositaram ao todo R$ 9120,00. 
 
Conclui-se que: 
a) Marcela depositou R$ 300,00; 
b) Marcela depositou R$ 340,00; 
c) Marcela depositou R$ 360,00; 
d) Júlia depositou R$ 420,00; 
e) Júlia depositou R$ 440,00; 
Resolução: 
Vamos definir como: 
m – depósitos de Marcela 
j – depósitos de Júlia 
 
12m+12j=9120 
m=j-120 
 
Conseguimos a partir das informações equacio-
nar em função dos depósitos. 
Como m=j-120, podemos substituir na primeira 
equação a variável m. 
12.(j-120)+12j=9120 
Aplicando a Distributiva. 
12.(j-120)+12j=9120 
 12j-1440+12j=9120 
 24j=9120+1440 
 24j = 10560 
 j=10560/24 
 j=440 
Concluímos que Julia depositou R$ 440,00 e 
Marcela R$ 320,00. 
 
ALTERNATIVA E 
 Exercício 2. 
 
(FGV – Analista em Tecnologia da Informação – 
2018) Roberto e Gerson jantaram juntos em um 
restaurante. Na hora de pagar a conta, cada um 
pagou o correspondente ao próprio consumo. 
Entretanto, Roberto deu 5% de gorjeta e Gerson 
deu 12% de gorjeta, sobre as respectivas des-
pesas. Ficaram surpresos ao constatar que, com 
a gorjeta incluída, eles pagaram exatamente o 
mesmo valor: R$ 168,00 cada um. A soma das 
gorjetas dadas por eles é: 
 
a) R$ 26,00; 
b) R$ 24,00; 
c) R$ 22,00; 
d) R$ 20,00; 
e) R$ 18,00. 
Resolução: 
Gerson => g+0,12g = 1,12g 
Roberto => r+0,05r = 1,05r 
 
1,12g=168 
g=168/1,12 
g=150 ➔ 150.0,12=18,00 
 
1,05r=168 
r=168/1,05 
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r=160 ➔ 160.0,05 = 8,00 
 
O total de Gorjeta pago foi de R$ 26,00 
ALTERNATIVA A 
 
Exercício 3. 
 
(FGV – Analista em Tecnologia da Informação – 
Desenvolvimento de Sistemas –2018) Daqui a 
8 anos, Lúcia terá o triplo da idade que tinha há 
10 anos. A soma das idades que Lúcia tinha há 
4 anos com a idade que ela terá daqui a 4 anos 
é: 
 
a) 34 
b) 36 
c) 38 
d) 40 
e) 42 
Resolução: 
x – Idade de Lúcia Hoje 
Daqui a 8 anos, Lúcia terá o triplo da idade que 
tinha há 10 anos 
x+8=3.(x-10) 
Resolvendo para saber a idade de Lúcia 
 
x+8=3x-30 
x-3x=-30-8 
-2x=-38 
(-1) 2x=38 
x=38/2 
x=19 
Idade que tinha há 4 anos 
19-4 = 15 
Idade que terá daqui a 4 anos 
19+4 = 23 
 
Soma das idades = 15+23=38 
ALTERNATIVA C 
 
 
 
Exercício 4 
(FCC – Técnico Judiciário – Área Administrativa 
– 2018) Amanda, Manuela, Patrícia, Olívia e Da-
niela fizeram uma mesma prova, cuja nota mais 
alta, dentre elas, foi 18. Amanda obteve a me-
tade da nota conquistada por Manuela. Patrícia 
tirou nota equivalente à média aritmética das 
notas de Daniela e Manuela. Olívia obteve a 
mesma nota que Daniela, e o triplo da nota de 
Amanda. A segunda maior nota dentre as cinco 
pessoas foi igual a 
 
a) 15 e obtida por Patrícia. 
b) 16,5 e obtida por Patrícia. 
c) 12 e obtida por Manuela. 
d) 16,5 e obtida por Manuela. 
e) 15 e obtida por Olívia e Daniela. 
 
Resolução: 
Vamos chamar de x a nota de Amanda. 
 
Amanda obteve a metade da nota conquistada 
por Manuela. Então a nota de Manuela é o dobro 
da de Amanda. 
 
Nota de Manuela – 2x 
 
Olívia obteve a mesma nota que Daniela, e o tri-
plo da nota de Amanda. 
 
Nota de Olivia e Daniela – 3x 
Patrícia tirou nota equivalente à média aritmé-
tica das notas de Daniela e Manuela. 
 
Nota de Patrícia = (3x+2x)/2 = 5x/2 = 2,5x 
A maior nota é 18 logo é a nota de Olivia e Da-
niela. 
3x = 18 
x=18/3 
x=6 
 
Nota de Olivia – 18 
Nota de Daniela – 18 
Nota da Patrícia - 15 
Nota da Manuela – 12 
Nota da Amanda – 6 
A segunda maior nota foi obtida por Patrícia 
ALTERNATIVA A 
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Exercício 5 
Um garoto economizou sua mesada durante al-
guns meses para comprar alguns itens em uma 
feira de jogos. Durante a feira, se ele comprasse 
três cartuchos de um jogo e duas miniaturas de 
seu herói favorito faltariam R$ 31,00 para pagar 
a compra. Por outro lado, se ele comprasse dois 
cartuchos do jogo e três miniaturas sobrariam 
R$ 16,00. Considerando que o valor de um car-
tucho e de uma miniatura totaliza R$ 283,00, o 
valor que ele economizou para comprar esses 
itens na feira foi de 
 
a) R$ 900,00 
b) R$ 849,00 
c) R$ 700,00 
d) R$ 669,00 
Resolução: 
Vamos chamar de: 
c: preço do cartucho; 
m: preço da miniatura; 
 
 “...se ele comprasse três cartuchos de um jogo 
e duas miniaturas de seu herói favorito falta-
riam R$ 31,00 para pagar a compra”. 
Mesada = 3c + 2m - 31 (I) 
 
“...se ele comprasse dois cartuchos do jogo e 
três miniaturas sobrariam R$ 16,00”. 
Mesada = 2c + 3m + 16 (II) 
 
Observe que o valor da mesada é único, ou 
seja, 
3c + 2m – 31 = 2c + 3m + 16 
3c – 2c + 2m – 3m = 16 + 31 
c – m = 47 
c = m + 47 (III) 
 “Considerando que o valor de um cartucho e 
de uma miniatura totaliza R$ 283,00”. 
c + m = 283 (IV) 
Substituindo (III) em (IV), 
c + m = 283 
(m + 47) + m = 283 
2m + 47 = 283 
2m = 283 – 47 
2m = 236 
m = 118 
E, portanto, 
c = m + 47 (III) 
c = 118 + 47 
c = 165 
Logo, sua mesada é: 
2c + 3m + 16 
2.(165) + 3.(118) + 16 
330 + 354 + 16 
700. 
Alternativa C. 
 
FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS 
 Fatoração é um processo utilizado na ma-
temática que consiste em representar um nú-
mero ou uma expressão como produto de fato-
res. 
 Produtos Notáveis são alguns casos espe-
cíficos que a partir do produto de fatores muito 
utilizados ganharam notoriedade. Veremos al-
guns casos de Produtos Notáveis. 
Quadrado da Soma de Dois Termos 
(x+y)2 
 Este é o primeiro produto notável, se for-
mos desenvolver o produto teremos: 
(x+y).(x+y) 
x²+xy+xy+y² 
x²+2xy+y²(x+y)2 = x2+2xy+y2 
QUADRADO DO PRIMEIRO TERMO (x2) 
MAIS DUAS VEZES O PRIMEIRO TERMO 
PELO SEGUNDO TERMO (+2xy) MAIS QUA-
DRADO DO SEGUNDO TERMO (y2). 
Exemplos: 
(2 + a)2 
 22 + 2 . 2 . a + a2 
 4 + 4 . a + a2 
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(3x + y)2 = 
= (3 x)2 + 2 . 3x . y + y2 = 
= 9x2 +6 . x . y + y2 
Quadrado da Diferença de Dois Termos 
(x-y)2 
(x-y).(x-y) 
x²-xy-xy+y² 
x²-2xy+y² 
(x-y)2 = x2-2xy+y2 
QUADRADO DO PRIMEIRO TERMO (x2) ME-
NOS DUAS VEZES O PRIMEIRO TERMO 
PELO SEGUNDO TERMO (-2xy) MAIS QUA-
DRADO DO SEGUNDO TERMO (y2). 
Exemplos: 
(a – 5c)2 = 
= a2 – 2 . a . 5c + (5c)2 = 
= a2 – 10 . a . c + 25c2 
 
(p – 2s) = 
= p2 – 2 . p . 2s + (2s)2 = 
= p2 – 4 . p . s + 4s2 
Produto da Soma pela Diferença de Dois 
Termos 
(x+y).(x-y) 
(x+y).(x-y) 
x²+xy-xy+y² 
x²-y² 
QUADRADO DO PRIMEIRO TERMO (x2) 
MENOS QUADRADO DO SEGUNDO 
TERMO (-y2). 
Exemplos: 
(2 – c) . (2 + c) = 
= 22 – c2 = 
= 4 – c2 
 
(3x2 – 1) . (3x2 + 1) = 
= (3x2)2 – 12 = 
= 9x4 - 1 
Menos utilizados porem importantes saber te-
mos: 
Cubo da Soma de Dois Termos 
 
Cubo da Diferença de Dois Termos 
 
 Vamos ver alguns exercícios: 
Exercício 1 
(NUCEPE-2019) - Sabendo que x -y = 3 e xy = 40 , 
qual é o valor de x2 + y2? 
 
a) – 3. 
b) 9. 
c) 81. 
d) 89. 
e) 161. 
Resolução: 
Para resolver este exercício devemos observar 
que se elevarmos um termo de uma equação ao 
quadrado devemos elevar o outro também. 
x-y=3 então (x-y)2 =32 
Observe que temos um produto notável: Qua-
drado da diferença de dois termos assim 
x2-2.x.y+y2=9 
O exercício afirma que x.y=40 
x2-2.40+y2=9 
x2-80+y2=9 
x2+y2=9+80 
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x2+y2=89 
ALTERNATIVA D 
Exercício 2 
Se x e y são números reais, então a expressão (x - 
y)2 é igual a 
 
a) x 2 + y2 . 
b) x 2 - y2 
c) x 2 + y2 + 2xy. 
d) x 2 + y2 - 2xy. 
e) x 2 - y2 - 2xy 
 
Resolução: 
Aplicação direta do produto notável quadrado 
da diferença de dois termos. 
ALTERNATIVA D 
 Veremos os casos mais comuns de fato-
ração. 
Fator Comum em Evidência 
 Utilizado quando existir um fator que se 
repete em todos os termos do polinômio, po-
dendo ser número e letras, sendo este colocado 
na frente dos parênteses. Dentro dos parênte-
ses ficará o resultado da divisão de cada termo 
do polinômio pelo fator comum. 
Exemplo 1: 
Qual é a forma fatorada do polinômio 12x + 6y - 9z? 
Precisamos pensar o que temos em comum en-
tre os números e podemos perceber que todos 
são múltiplos de 3, assim colocamos 3 em evi-
dência. 
3.(4x+2y-3z) 
Exemplo 2: 
Fatore 2a2b + 3a3c - a4. 
Neste caso não temos nada em comum com a 
parte numérica, mas podemos perceber que na 
parte literal temos a letra “a”, ela portanto fi-
cará em evidência, devemos pegar o de menor 
expoente. 
a2 . (2b+3ac-a2) 
Precisamos pensar o que temos em comum en-
tre os números e podemos perceber que todos 
são múltiplos de 3, assim colocamos 3 em evi-
dência. 
Agrupamento 
 Existem polinômios que não encontramos 
termos em comum, podemos usar neste caso a 
fatoração por agrupamento, procurando no poli-
nômio termos que podem ser agrupados. 
Observe este exemplo: 
mx + 3nx + my + 3ny 
 Não existe nada em comum nos quatro 
termos para que possamos colocar em evidên-
cia, no entanto podemos perceber que no pri-
meiro e terceiro termo temos x e no segundo e 
quarto termo temos y. Assim temos: 
x.(m+3n) + y.(m+3n) 
 Percebemos agora que ainda apareceu 
outro termo que podemos colocar em evidência 
que é o m+3n. Assim, 
(m+3n) + (x+y) 
Veremos outro exemplo: 
ab + 3b + 7a + 21 
b.(a+3)+7.(a+3) 
(a+3)+(b+7) 
Existem outros casos de fatoração alguns deri-
vados dos produtos notáveis. 
Trinômio Quadrado Perfeito 
(Quadrado da soma de dois termos) 
 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
 
(Quadrado da diferença de dois termos) 
 
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 
Como fatorar: 
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 Primero fazemos a raiz quadrada dos 
termos ao quadrado. 
 Multiplicamos por 2. 
 Comparamos com o termo restante, 
sendo estes iguais é um trinômio per-
feito. 
Exemplo: 
x2 + 6x + 9 
√x2 = x e √9 = 3 
Multiplicando por 2 temos: 2.3.x = 6x 
Então: 
x2 + 6x + 9 => (x+3)2 
Diferença de Dois Quadrados 
a2 - b2 = (a + b) . (a - b) 
Como fatorar: 
 Primero fazemos a raiz quadrada dos 
termos ao quadrado. 
 Escrevemos o produto da soma pela di-
ferença. 
 
Exemplos 
 
9x2 - 25 
√9x2 = 3x e √25 = 5 
9x2 - 25 = (3x + 5) . (3x - 5). 
 
SISTEMA DE EQUAÇÃO DE 1º GRAU 
 Vamos estudar o sistema de equação a 
partir de problemas específicos. 
Exemplo 1 
(NC-UFPR -2019) - Um estacionamento, no cen-
tro da cidade, só permite a entrada de carros e 
motos. Em um determinado horário do dia, há 
47 veículos no estacionamento. Nesse momento, 
havia o total de 199 pneus nos veículos estacio-
nados. Considerando que todo carro possui um 
estepe (sobressalente) quantos carros e motos, 
respectivamente, havia no estacionamento. 
a) 35 e 12. 
b) 40 e 7. 
c) 17 e 30. 
d) 52 e 5. 
e) 29 e 18. 
 A primeira situação que devemos obser-
var é a tentativa de equacionar o exercício com 
base nas informações fornecidas, e sempre im-
portante encontrar a quantidade de equações 
semelhante a quantidade de incógnitas. 
 No exemplo, vamos considerar: 
c-carros e m-motos 
Há 47 veículos no estacionamento, então pode-
mos equacionar. 
c+m=47 
Há 199 pneus, levando em consideração que a 
moto possui 2 pneus e o carro 4 pneus (observe 
que o problema pede pra considerar 5 pneus), 
equacionamos. 
5c+2m=199 
Agora vamos aprender a resolver o sistema de 
equação, e para isso vamos fazer por dois mé-
todos. ADIÇÃO E SUBSTITUIÇÃO. 
 
Método da Adição 
Pelo método da Adição devemos observar um 
número que multiplicando uma das equações 
consigamos eliminar uma das incógnitas. 
 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/bancas/nc-ufpr
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Com isso já sabemos o número de carros 35, al-
ternativa A. Para encontrar o de motos basta, 
substituir o número de carros em uma das equa-
ções. 
c+m=47 
35+m=47 
m=47-35 
m=12 
ALTERNATIVA A. 
Método da Substituição 
 Vamos fazer o mesmo exercícios pelo 
método da Substituição. Com já havíamos 
equacionado. 
 
 Por este método devemos isolar uma 
das incógnitas em uma das equações: 
c+m=47 
c=47-m 
Agora substituímos na segunda equação: 
5c+2m=199 
5.(47-m)+2m=199 
235-5m+2m=199 
-5m+2m=199-235 
-3m=-36 (-1) 
3m=36 
m=36/3 
m=12 
 
Agora com o valor de m substituímos na equa-
ção que isolamos 
 
c=47-m 
c=47-12 
c=35 
 
ALTERNATIVA A 
 
Exemplo 2 
(CETREDE-2017) - Em uma apresentação de te-
atro, havia adultos e crianças cujo total eram 55 
pessoas. Cada adulto pagou R$ 40,00 e cada cri-
ança, R$ 25,00. Ao todo, foram arrecadados 
R$ 1.750,00. A razão entre o número de adultos 
e o de crianças dessa apresentação foi 
a) 5/6. 
b) 3/8. 
c) 2/3. 
d) 4/7. 
e) 3/4. 
Equacionando: 
a-adultos 
c-crianças 
 
 
Escolhemos um dos métodos...Vamos optar por 
Substituição. 
a=55-c 
40a+25c=1750 
40.(55-c)+25c=1750 
2200-40c+25c=1750 
-40c+25c=1750-2200 
-15c=-450 (-1) 
15c=450 
c=450/15 
c=30 
 
a=55-30 
a=25 
 
 Observe que o exercício pede a razão 
entre o número de adultos e crianças. 
25/30 ➔ 5/6 
ALTERNATIVA A 
 
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INEQUAÇÃODE 1º GRAU 
 A inequação contrapõe a ideia de equa-
ção, enquanto a equação propõe uma situação 
de igualdade a INEQUAÇÃO propõe uma situa-
ção de desigualdade. Elas podem ser resolvidas 
da mesma forma que a equação de 1º Grau. 
Exemplos: 
3x – 6 > 21 
3x>21+6 
3x>27 
x>27/3 
x>9 
 
 
3𝑥
2
 - 
1
5
 ≤ 
4
2
 
 
 
MMC (2,5)=10 
15𝑥
10
 - 
2
10
 ≤ 
20
10
 
15x – 2 ≤ 20 
15x ≤ 20+2 
15x ≤ 22 
x ≤ 
22
15
 
 
EQUAÇÃO DE 2º GRAU 
 
Toda equação de 2º Grau tem a seguinte forma: 
 
 
ax² + bx + c = 0 
 
Lembrando que “a” não pode ser 0; 
 
Se uma equação possui os três coeficientes ela 
se diz completa, se faltar os coeficientes “b” ou 
“c” se dizem incompletas. 
 
Exemplo: 
 
10x2-6x+4=0 (COMPLETA) 
a=10 b=-6 c=4 
 
5x2+4=0 (INCOMPLETA) 
a=5 b=0 c=4 
 
7x2+14x=0 (INCOMPLETA) 
a=7 b=14 c=0 
 A resolução de uma equação de 2º Grau 
são as raízes da equação, valores que tornam a 
equação verdadeira. 
 A fórmula de Báskara é um dos meios de 
resolução de uma equação de 2º grau. 
 
Vamos resolver a seguinte equação: 
x2-8x+12=0 
a=1 b=-8 c=12 
Chama-se ∆ (𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎) a discriminante da equação 
e ela indica quantas raízes a equação possui. 
∆ = b2 – 4ac 
∆ = (-8)2 – 4.1.12 
∆ = 64 – 48 
∆ = 16 
A equação possui duas raízes... 
 
• Se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), 
a equação terá duas raízes reais e distin-
tas. 
• Se o valor de Δ for igual a zero (Δ = 0), a 
equação apresentará uma raiz real. 
• Se o valor de Δ for menor que zero (Δ<0), 
a equação não possui raízes reais. 
Primeira Raiz 
 
Segunda Raiz 
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S={2,6} 
 Também é possível encontrar as raízes da 
equação através da SOMA e do PRODUTO das 
Raízes. 
Onde: 
Sendo as raízes x1 e x2 
 
Em nosso exemplo: 
 
x2-8x+12=0 
a=1 b=-8 c=12 
____ + _____ = 8 
____ . _____ = 12 
Então: 
2 +6 = 8 
2. 6= 12 
S={2,6} 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO 
 
1. Resolva as equações: 
 
a) 𝒙 + 𝟔 = 𝟏 
b) 𝒙 − 𝟑 = 𝟎 
c) 𝒙 + 𝟐 = 𝟖 
d) 𝒙 + 𝟕 = 𝟎 
e) 𝒙 + 𝟓 = 𝟓 
f) 𝒙 + 𝟖 = 𝟏𝟔 
g) 𝒎 + 𝟖 = 𝟖 
h) 𝒎 − 𝟑 = 𝟑 
i) 𝒙 − 𝟓 = 𝟐 
j) 𝒙 − 𝟏𝟕 = 𝟑 
k) 𝒛 − 𝟑𝟓 = −𝟑𝟓 
l) 𝒎 + 𝟏 = 𝟒 
m) 𝒙 + 
1
2
= 𝟐 
n) 𝒙 − 
1
3
 = 𝟏 
o) 𝒙 +
1
4
 = 𝟐 
p) 𝒙 + 
3
4
= 𝟑 
q) 𝒙 + 
1
7
= 𝟏 
r) 𝒚 + 𝟐 = 
1
3
 
s) 𝒙 + 
2
5
= 𝟏 
t) 𝒙 − 
1
7
= 𝟐 
u) 𝒙 − 
1
8
= 𝟑 
v) 𝒙 + 𝟏 = 
1
9
 
w) 𝒙 + 
2
3
= 
1
4
 
x) 𝒚 – 
1
5
= 
2
3
 
y) 𝒚 + 𝟐 = 
3
7
 
z) 𝒚 − 𝟏 = 
5
2
 
2. Qual a solução das equações abaixo. 
a) 𝟕𝒙 = 𝟐𝟏 
b) 𝟓𝒙 = −𝟓 
c) 𝟒𝒙 = 𝟏 
d) 𝟔𝒙 = 𝟑 
e) −𝟐𝒙 = 𝟏𝟎 
f) −𝟑𝒙 = 𝟖 
g) −𝟗𝒙 = 𝟎 
h) 𝟒𝒙 = 𝟏𝟎 
i) 𝟓𝒙 = 𝟔 
j) 𝟒𝒙 = −𝟖 
k) 𝟓𝒙 = −𝟓 
l) 𝟑𝒙 = −𝟗𝟎 
m) 𝑥
2
 = −𝟏 
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n) 
𝑥
3
 = −𝟒 
o) 
𝑥
−2
 = 𝟓 
p) 
𝑥
−3
= 𝟏 
q) 
𝑚
4
 = 𝟔 
r) 
𝑚
5
 = −𝟕 
s) 
𝑥
2
= 𝟗 
t) 
𝑥
−1
= 𝟑 
u) 
𝑥
6
= −𝟐 
v) 
𝑦
4
= −𝟐 
w) 
𝑥
5
= 𝟐 
x) 
𝑥
4
= −𝟏 
y) 
𝑥
4
 = 3
2
 
z) 
𝑥
3
=−5
3
 
 
3. Resolva cada equação e determine seu con-
junto solução: 
 
a) 𝟐𝒚 + 𝒚 + 𝟖 = 𝒚 – 𝟑 
b) 𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟑𝒙 + 𝟏𝟒 
c) 𝟏 − 𝟐𝒙 + 𝟔𝒙 = 𝟖𝒙 + 𝒙 + 𝟒 
d) 𝟕𝒙 + 𝒙 + 𝟗 = 𝟓𝒙 + 𝟏𝟒 + 𝒙 
e) 𝟏𝟎𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟔 + 𝒙 = 𝟕𝒙 + 𝟏 
f) 𝟔𝒙 + 𝟒 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟕𝒙 + 𝟑 
g) 𝟖𝒚 + 𝟑𝒚 + 𝟓 = 𝟐𝒚 + 𝟏𝟒 
h) 𝟖𝒎 + 𝟑𝒎 − 𝟐 = 𝟕𝒎 + 𝟕 
i) 𝟔𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝒙 = 𝟏 + 𝟑𝒙 
j) 𝒂 + 𝟕𝒂 − 𝟐𝒂 + 𝟗 = 𝒂 + 𝟓 
k) 𝟐𝒚 + 𝟏𝟑 + 𝒚 − 𝟗 = 𝟓𝒚 + 𝟐 
l) 𝟕𝒎 + 𝟐𝒎 − 𝟖 = 𝟑𝒎 + 𝟔 
m) 𝟓𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟑𝒙 + 𝟕 
n) 𝟗𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟒 = 𝟖𝒙 + 𝟒 
o) −𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟓 + 𝟐𝒙 = 𝟏 – 𝒙 
p) 𝟖𝒚 − 𝟓𝒚 + 𝟗 = 𝟑𝒚 + 𝒚 – 𝟏 
 
4. Determine o conjunto solução das equações 
envolvendo propriedade distributiva: 
 
a) 𝟕 + 𝟐(𝒙 − 𝟏) = 𝒙 
b) 𝟔 + 𝟑(𝒙 − 𝟏) = 𝟐𝒙 
c) −𝟑(𝒙 − 𝟏) = 𝟎 
d) 𝟏𝟎 − (𝒙 + 𝟐) = 𝟔 
e) −𝟖 − (𝟐 + 𝒙) = 𝟕 
f) 𝟗 − (𝟏 − 𝒙) = 𝟎 
g) −𝟔 + 𝟒(𝒙 − 𝟏) = 𝟐 
h) 𝟕𝒙 − (𝒙 + 𝟐) = 𝟒 
i) 𝟓𝒙 − (𝒙 + 𝟓) = 𝟓 
j) −𝟏 + 𝟐(𝟏 − 𝒙) = 𝒙 
k) 𝟗 − 𝟐(𝒙 + 𝟏) = 𝒙 
l) 𝟖𝒙 − (𝟏 − 𝒙) = −𝟏 
m) 𝟏𝟒 − 𝟑(𝒙 + 𝟏) = 𝟐𝒙 
n) 𝟕 − 𝟕(𝒙 − 𝟏) = 𝟐𝒙 
o) 𝟓 − (𝒙 + 𝟏) = 𝟐𝒙 
 
5. Resolva as equações envolvendo frações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Resolva os sistemas de equação: 
 
 
 
7. Resolva os sistemas de equação lineares: 
 
 
 
 
 
 
 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO 
Respostas 
 
1. a. -5 b. 3 c. 6 
d. -7 e. 0 f. 8 
g. 0 h. 6 i. 7 
j. 20 k. 0 l. 3 
m. 3/2 n. 4/3 o. 7/4 
p. 9/4 q. 6/7 r. -5/3 
s. 3/5 t. 15/7 u. 25/8 
v. -8/9 w. -5/12 x. 13/15 
y. -11/7 z. 7/2 
 
2. a. 3 b. -1 c. 1/4 
d. 1/2 e. -5 f. -8/3 
g. 0 h. 5/2 i. 6/5 
j. -2 k. -1 l. -30 
m. -2 n. -12 o. -10 
p. -3 q. 24 r. -35 
s. 18 t. -3 u. -12 
v. -8 w. -10 x. -4 
y. 6 z. -5 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÕES DE CONCURSO 
 
1) (FCC – Advogado – 2016) O setor administra-
tivo de uma empresa possui seis funcionários, 
todos com salários diferentes entre si. Conside-
rando apenas o maior e o menor dos seis salá-
rios, a média é igual a R$ 2.500,00, e conside-
rando apenas os quatro outros salários, a média 
é igual a R$ 2.200,00. Se apenas um dos seis 
salários for reajustado em R$ 138,00, a nova 
média salarial dos seis funcionários, comparada 
à média anterior do grupo, aumentará em 
 
a) 0,6%. 
b) 1,3%. 
c) 0,7%. 
d) 1,0%. 
e) 0,9%. 
 
2) (FCC – Professor – 2018) Uma cidade pode 
ser pequena ou grande, dependendo do número 
de habitantes. Os habitantes das cidades gran-
des produzem, em média, 1 kg de lixo por dia, e 
os das cidades pequenas produzem 0,5 kg de 
lixo por dia. Observe os dados na tabela abaixo. 
 
Uma cidade de 50 mil habitantes e duas de 25 
mil habitantes cada produzem por dia, em mé-
dia, um total de lixo equivalente a 
 
a) 625 kg. 
b) 750 kg. 
c) 62,5 toneladas. 
d) 75 toneladas 
e) 100 toneladas. 
 
3) (FCC – Auditor Fiscal de tributos – 2018) Um 
levantamento foi realizado com 40 instituições 
financeiras, localizadas em uma região, com re-
lação às taxas mensais de juros aplicadas para 
financiamento de veículos. Verificou-se que 
cinco instituições aplicam a taxa de 0,80% ao 
mês, duas aplicam a taxa de 1,20% ao mês, oito 
aplicam a taxa de 1,25% ao mês, x aplicam a 
taxa de 1,12% ao mês e y aplicam a taxa de 
0,96% ao mês. Se a média aritmética destas ta-
xas foi igual a 1,05%, então a soma da mediana 
e a moda correspondentes foi de 
 
a) 2,00%. 
b) 2,24%. 
c) 2,08%. 
d) 2,16%. 
e) 1,92%. 
 
4) (FCC – Auxiliar de Fiscalização Agropecuária 
– 2018) Juliano percorreu o trajeto de uma cor-
rida em 27 minutos e 28 segundos. Rogério per-
correu o mesmo trajeto em 25 minutos e 53 se-
gundos e Paulo percorreu esse trajeto em 28 mi-
nutos e 36 segundos. O tempo médio dos três 
rapazes para percorrerem esse trajeto foi de 
 
a) 27 minutos e 32 segundos. 
b)28 minutos e 04 segundos. 
c) 28 minutos e 22 segundos. 
d) 26 minutos e 58 segundos. 
e) 27 minutos e 19 segundos. 
 
5) (FCC – Técnico da Receita Federal – 2016) 
Atenção: Para responder à questão, considere as 
informações abaixo. Três funcionários do Serviço 
de Atendimento ao Cliente de uma loja foram 
avaliados pelos clientes que atribuíram uma nota 
(1; 2; 3; 4; 5) para o atendimento recebido. A 
tabela mostra as notas recebidas por esses fun-
cionários em um determinado dia. 
 
Considerando a avaliação média individual de 
cada funcionário nesse dia, a diferença entre as 
médias mais próximas é igual a 
 
a) 0,32. 
b) 0,21. 
c) 0,35. 
d) 0,18. 
e) 0,24. 
 
6) (FCC – Analista de Sistemas - 2015) Um pro-
fessor avalia seus alunos por meio de 5 provas. 
A nota final é obtida por meio de média aritmé-
tica ponderada. A prova I tem peso 1, a prova II 
tem peso 2, a prova III tem peso 3, a prova IV 
tem peso 4 e a prova V tem peso 5. As notas de 
Carlos nas provas são, respectivamente, 7, 8, 7, 
5 e 4. As notas de Bruno são, respectivamente, 
2, 1, 2, 7 e 8. A diferença, em décimos, entre a 
média de Carlos e Bruno é 
 
a) 4. 
b) 2. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 1. 
 
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7) (FCC – Professor – 2012 - Adaptada) A distri-
buição de salários de uma empresa é dada na 
tabela abaixo: 
 
Baseando-se na tabela acima, está correto afir-
mar que a porcentagem de funcionários que ga-
nham abaixo do salário médio dessa empresa é 
 
a) 30%. 
b) 40%. 
c) 50%. 
d) 60%. 
e) 70%. 
 
8) (FCC – Professor – 2012) Um aluno, para ser 
aprovado em uma determinada disciplina, pre-
cisa alcançar media maior ou igual a 6,0. Se ele 
obteve notas 4,5 e 5,5 nas provas parciais (com 
peso 1 cada uma), a nota mínima que precisará 
obter na prova final (que tem peso 2) para ser 
aprovado é 
 
a) 8,0. 
b) 7,5. 
c) 7,0. 
d 6,5. 
e) 6,0. 
 
9) (VUNESP – Assistente Técnico Administrativo 
– 2011) Joana fez uma pesquisa e registrou, em 
minutos, o tempo que seus colegas gastam no 
percurso de casa ao trabalho, obtendo os se-
guintes resultados: 
 
O tempo médio gasto pelos colegas de Joana 
nesse percurso é de: 
 
a) 40 minutos. 
b) 35 minutos. 
c) 30 minutos. 
d) 25 minutos. 
e) 20 minutos. 
 
10) (FCC – Agente Administrativo – 2010) A mé-
dia das idades dos cinco jogadores de um time 
de basquete é 23,2 anos. Se o pivô dessa 
equipe, que possui 27 anos, for substituído por 
um jogador de 20 anos e os demais jogadores 
forem mantidos, então a média de idade dessa 
equipe, em anos, passará a ser 
 
a) 20,6. 
b) 21,2. 
c) 21,8. 
d) 22,4. 
e) 23,0. 
 
11) (VUNESP – Escriturário – 2019 - Adaptada) 
Uma pessoa foi a uma papelaria e comprou al-
gumas pastas de R$ 3,50, cada uma, e alguns 
lápis iguais de R$ 1,20, cada um. Sabendo que 
o total da compra foi de R$ 35,50 e que foram 
comprados 20 materiais, então a quantidade lá-
pis comprada foi de 
 
a) 3. 
b) 5. 
c) 10. 
d) 12. 
e) 15. 
 
12) (VUNESP – Enfermeiro Judiciário – 2019) 
Considere três números naturais, representados 
por x, y e z, respectivamente. Sabe-se que a di-
visão de x por 5 resulta no quociente y e resto 
3, e que a divisão de y por 5 resulta no quociente 
z e resto 1, e que a divisão de z por 5 resulta no 
quociente 3 e resto 4. O resultado de x – y é 
 
a) 391. b) 413. c) 402. d) 425. e) 387. 
 
13) (VUNESP – Analista de Suporte e Regulação 
– 2018) Certa quantidade x de litros de um pro-
duto, quando dividido em recipientes do tipo A, 
enche y recipientes, sobrando 6,4 litros. Quando 
essa quantidade é dividida em recipientes do 
tipo B, com capacidade de 12 litros cada um, en-
che um número de recipientes que é uma uni-
dade a menos que y, e ainda sobram 10 litros. 
Em recipientes do tipo C, cada um com 11 litros, 
a mesma quantidade x enche um número de re-
cipientes que é uma unidade a mais que y, so-
brando 8 litros. Dessa forma, é correto afirmar 
que a capacidade de cada vasilhame do tipo A, 
em litros, é igual a 
 
a) 11,9. 
b) 11,5. 
c) 11,8. 
d) 11,7. 
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e) 11,6. 
 
14) (VUNESP – Escrevente Técnico Judiciário – 
2018) No posto Alfa, o custo, para o consumidor, 
de um litro de gasolina é R$ 3,90, e o de um litro 
de etanol é R$ 2,70. Se o custo de um litro de 
uma mistura de quantidades determinadas des-
ses dois combustíveis é igual a R$ 3,06, então o 
número de litros de gasolina necessários para 
compor 40 litros dessa mistura é igual a 
a) 12. 
b) 24. 
c) 28. 
d) 20. 
e) 16. 
 
15) (VUNESP – Analista de Suporte e Regulação 
– 2018) Gertrudes, que é doceira, recebeu três 
encomendas para festas. Sabe-se que, em cada 
uma das encomendas, foram usadas quantida-
des diferentes de ovos, iguais a x, ye z, tais que 
x + y = 40, x + z = 30 e y + z = 38. Desse 
modo, é correto afirmar que, para a produção 
dessas três encomendas, Gertrudes usou uma 
quantidade de ovos igual a 
 
a) 3,5. 
b) 4. 
c) 4,5. 
d) 5. 
e) 5,5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 6 
Grandezas e Medidas 
Unidades de Medidas 
 Vamos tratar nesta aula acerca das prin-
cipais unidades de medidas e como realizar as 
devidas conversões para seus múltiplos e sub-
múltiplos. 
 
 Nosso sistema de medida é chamado de 
sistema métrico decimal e surgiu da necessidade 
de padronização das medidas. 
 
Medidas de Comprimento 
 
 A unidade de medida de comprimento é o 
METRO (m). 
 
 Seus múltiplos são: 
 
➢ Decâmetro (dam) = 10 m 
➢ Hectômetro (hm) = 100 m 
➢ Quilômetro (km) = 1000 m 
 
 Seus Submúltiplos são: 
 
➢ Decímetro (dm) = 0,1 m 
➢ Centímetro (cm) = 0,01 m 
➢ Milímetro (mm) = 0,001 m 
 
 Existem algumas outras medidas de com-
primento que não fazem parte do sistema mé-
trico decimal, tais como: 
 
 
 Para transformar de uma medida em ou-
tra podemos utilizar a seguinte tabela. 
 
 
 
 
 
Medidas de Superfície 
 
 Superfície é uma grandeza com duas di-
mensões e área é a medida desta grandeza, cuja 
unidade de medida é o metro quadrado (m2). 
 
 Tabela de Conversão: 
 
 
Medidas de Volume 
 
 Volume é uma grandeza com três dimen-
sões (altura, comprimento e altura). A unidade 
de medida de volume é o metro cúbico (m3). 
 
 Tabela de Conversão: 
 
 
 
 
Medidas de Massa 
 
 Massa é quantidade de matéria que um 
corpo possui. A unidade de medida de massa é 
o grama (g). 
 
Seus múltiplos são: 
 
➢ Decagrama (dag) = 10 g 
➢ Hectograma (hg) = 100 g 
➢ Quilograma (kg) = 1000 g 
 
 Seus Submúltiplos são: 
 
➢ Decigrama (dg) = 0,1 g 
➢ Centigrama (cg) = 0,01 g 
➢ Miligrama (mg) = 0,001 g 
 
 
 
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 É comum ouvimos as expressões peso 
bruto e peso líquido, mas do que se trata? Peso 
Bruto é o peso do produto com a embalagem en-
quanto o peso líquido é sem a embalagem. 
 
Medidas de Capacidade 
 
 Capacidade é o volume interno de um de-
terminado recipiente e como se trata de um lí-
quido este assume o formato do recipiente. A 
unidade de medida de capacidade é o Litro (l). 
 
Seus múltiplos são: 
 
➢ Decalitro (dal) = 10 l 
➢ Hectolitro (hl) = 100 l 
➢ Quilolitro (kl) = 1000 l 
 
 Seus Submúltiplos são: 
 
➢ Decilitro (dl) = 0,1 l 
➢ Centilitro (cl) = 0,01 l 
➢ Mililitro (ml) = 0,001 l 
 
 
 
 
Algumas relações importantes: 
 
 Entre capacidade e volume: 
 
1 l = 1 dm3 
1 ml = 1 cm3 
1kl = 1 m3 Unidades especiais de massa: 
 
 
 Massa, Volume e Capacidade 
 
 1 kg = 1 dm3 = 1 l 
 1 m3 = 1000 l = 1 t 
 1 cm3 = 1 ml = 1 g 
 
 
 
 
 
 
Medidas de Tempo 
 
 A unidade de medida de tempo é o se-
gundo (s). 
 
Seus múltiplos são: 
 
➢ minuto (min)........ 1 min = 60 s 
➢ hora (h)............... 1 h = 60 min = 
3600 s 
➢ dia (d)................. 1 d = 24 h = 1440 
min = 86400 s 
 
Seus submúltiplos são: 
 
➢ décimo de segundo 
➢ centésimo de segundo 
➢ milésimo de segundo 
 
 Quando pensamos em medidas de tempo 
devemos lembrar que o sistema se difere um 
pouco das outras unidades de medida, pois 1 mi-
nuto é igual a 60 segundos e não 100. Assim de-
vemos ter muita atenção, pois quando falamos 
em 2,40 hora , não estamos falando de 2 horas 
e 40 minutos. 
 
2,40 h é igual a 2 horas mais 0,40 de hora.... 
 
Multiplicando 0,40 por 60 temos 24 minutos.... 
 
Assim, 2,40 h é igual a 2 horas e 24 minu-
tos!!! 
 
 Outras medidas importantes: 
 
➢ ano................................... 365 dias 
➢ ano bissexto..................... 366 dias 
➢ ano comercial................... 360 dias 
➢ mês.................................. 28, 29, 30 ou 
31 dias 
➢ mês comercial.................. 30 dias 
➢ semana............................ 7 dias 
➢ quinzena.......................... 15 dias 
➢ bimestre.......................... 2 meses 
➢ trimestre.......................... 3 meses 
➢ quadrimestre.................... 4 meses 
➢ semestre.......................... 6 meses 
➢ biênio............................... 2 anos 
➢ lustro ou quinquênio......... 5 anos 
➢ década............................. 10 anos 
➢ século.............................. 100 anos 
➢ milênio............................. 1000 anos 
 
 
 
 
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Sistema Monetário Brasileiro 
 
 Nosso sistema monetário é centesimal, 
assim 1 real é igual a 100 centavos. 
 
1 centavo = R$ 0,01 
5 centavos = R$ 0,05 
10 centavos = R$ 0,10 
25 centavos = R$ 0,25 
50 centavos = R$ 0,50 
 
 Convém lembrar que temos ainda fisica-
mente cédulas de: 
 
R$ 2,00 (dois reais) 
R$ 5,00 (cinco reais) 
R$ 10,00 (dez reais) 
R$ 20,00 (vinte reais) 
R$ 50,00 (cinquenta reais) 
R$ 100,00 (cem reais) 
 
Exercícios Resolvidos 
 
(Vunesp-2019) - Um reservatório, com 280 mil 
litros de água, está sendo esvaziado na razão de 
420 litros de água por minuto. O tempo total ne-
cessário para que esse reservatório seja total-
mente esvaziado é de 
a) 11 horas, 15 minutos e 20 segundos. 
b) 11 horas, 07 minutos e 06 segundos. 
c) 11 horas, 06 minutos e 40 segundos. 
d) 11 horas, 05 minutos e 15 segundos. 
e) 10 horas, 57 minutos e 33 segundos. 
Resolução: 
Primeiro devemos dividir a quantidade de água 
do reservatório pela vazão por minuto, no en-
tanto assim: 
280000/420 = 666,67 minutos 
Temos então 666 + 0,67 de minutos 
Dividindo 666 por 60 encontramos em horas. 
666/60 = 11,1 temos então 11 horas e 0,1 de 
hora. 
0,1 devemos multiplicar por 60 encontrando 6 
minutos. 
Resta encontrar os segundos 0,67.60 = 40 s. 
 Então: 11 horas 6 minutos e 40 segundos 
ALTERNATIVA C 
 
(CETREDE-2017) - Henrique fez uma corrida de 
444 m. Depois, com a bicicleta, percorreu mais 
5.156 m. No final, ele percorreu 
a) 56 km 
b) 5,6 km 
c) 56 m 
d) 560 m 
e) 5,6 m 
Resolução: 
 Este exercício embora seja fácil temos 
que tomar muito cuidado para não cometer um 
erro banal na conversão de medidas. 
 Somando 444 com 5156 temos 5600 m, 
o que não temos como opção. 
Usando a tabelinha temos que: 
5600 m = 560 dam = 56 hm = 5,6 km 
ALTERNATIVA B 
 
(FGV-2018) - Uma jarra contém 2 litros de suco 
de laranja. Após serem servidos 4 copos com 
270 mililitros de suco cada um, resta, de suco, 
na jarra: 
 
a) 1,08 litro 
b) 0,98 litro 
c) 0,92 litro 
d) 0,86 litro 
e) 0,84 litro 
 
Resolução: 
Outro exercício simples, mas que a conversão de 
medida é importante, multiplicando 4 por 270 é 
igual a 1080 ml. Devemos então converter para 
litro 1080 ml = 108 cl = 10,8 dl = 1,08 l. 
 
ALTERNATIVA A 
 
(Planexcon-2018) - No Brasil a arroba é utilizada 
para pesagem de bovinos e suínos e equivale a: 
a) 10 kg. 
b) 15 kg 
c) 20 kg. 
d) 25 kg. 
e) 50 kg. 
1 ARROBA = 15 KG – ALTERNATIVA B 
 
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(Vunesp-2018-Oficial Administrativo I) - Uma 
pessoa comprou 2,6 kg de aveia e 1,8 kg de linhaça 
e quer dividir totalmente esses dois produtos em pa-
cotinhos menores, cada um deles com a mesma 
massa e com a maior quantidade possível. Sabendo-
se que os dois produtos não podem ser misturados, 
o número de pacotinhos necessários será 
 
a) 22 
b) 19 
c) 16 
d) 13 
e) 9 
 
Resolução: 
Neste exercício aliamos a conversão de medida 
com a utilização de MDC (Lembre-se da nossa 
primeira aula). Não é conveniente fazer o MDC 
com números decimais, assim vamos converter 
os valores em gramas e após fazer o MDC. 
 
1,8 kg = 18 hg = 180 dag = 1800 g 
2,6 kg = 26 hg = 260 dag = 2600 g 
 
Serão então 9 pacotes de linhaça e 13 de aveia no 
total de 22 pacotes. 
 
ALTERNATIVA A 
 
(Vunesp-2018-Técnico Legislativo) - Um terreno 
tem 0,50 quilômetro quadrado de área. Em metros 
quadrados, a área desse terreno corresponde a: 
a) 5000000 
b) 500000 
c) 50000 
d) 5000 
e) 500 
Resolução: Neste caso basta converter lem-
brando que por se tratar de metro quadrado de 
uma unidade para outra “andamos” duas casas 
decimais. Assim: 
0,5 km2= 50 hm2 = 5000 dam2 = 500000 m2 
ALTERNATIVA B 
(Vunesp-2018-Professor de Educação Básica I) 
A professora Márcia queria ensinar para seus alunos 
a relação existente entre litros e centímetros cúbicos. 
Para tanto, ela despejou o correspondente a um litro 
de água em um vasilhame, com formato interno de 
paralelepípedo reto retangular, cuja capacidade era 
também de um litro, e as dimensões da base eram 
10 e 20 centímetros. A altura interna, em centímetros, 
desse vasilhame era 
a) 12,5. 
b) 10. 
c) 7,5. 
d) 5. 
e) 2,5. 
Resolução: 
Para a resolução deste problema devemos lem-
brar de um dado importante 
1 l = 1 dm3 
 
Como a relação está em decímetro cúbico, deve-
mos optar por trabalhar nesta unidade ou em 
centímetros cúbicos. 
1 dm3 = 1000 cm3 
Devemos então encontrar o número que multi-
plicado pelas dimensões da base dê 1000 cm3 
10.20.x= 1000 
200x=1000 
x=1000/200 
x=5 
ALTERNATIVA D 
 
Área e Perímetro 
 Perímetro de uma figura é a soma das 
medidas de todos os lados desta figura. Para cal-
cular o perímetro de qualquer figura basta efe-
tuar a soma. 
 Área é a parte da superfície da figura para 
cada figura temos uma fórmula para o cálculo da 
área. 
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 Duas informações importantes no que diz 
respeito a isso, são duas fórmulas muito utiliza-
das que são: 
Diagonal do Quadrado: 
 
Altura do Triângulo Equilátero: 
 
Exercícios Resolvidos 
 
 (VUNESP - 2019 - Prefeitura de Valinhos - SP - Professor I) 
De uma folha retangular, de perímetro igual a 89 
cm, recorta-se um quadrado de área 361 cm², 
obtendo um retângulo de largura x, como mos-
tra a figura. 
 
A largura x do retângulo, sombreado na figura, é de: 
a) 6,5 cm. 
b) 7,8 cm. 
c) 8,5 cm. 
d) 8,7 cm. 
e) 9,2 cm. 
Resolução: Para a resolução de problemas que 
envolvem geometria é muito importante a parte 
visual. Na figura após o recorte a parte de cima 
fica um quadrado de área 361. 
√361 = 19 
Sabendo que os lados têm 19 somando os lados 
temos que 19+19+19+19 = 76. 
 
O perímetro do retângulo é 89 assim 89-76=13. 
Para descobrir o valor de x devemos dividir 13 
por 2. Então: 13/2 =6,5. 
 
ALTERNATIVA A 
 
 (VUNESP - 2019 - Prefeitura de Valinhos - SP - Professor I) 
A área do trapézio da figura é 126 cm². 
 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2019-prefeitura-de-valinhos-sp-professor-i
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O perímetro desse trapézio é: 
a) 42 cm. 
b) 46 cm 
c) 51 cm. 
d) 53 cm. 
e) 62 cm. 
Resolução: Problema que exige além do conhe-
cimento da área do trapézio, interpretação e o 
conhecimento do teorema de Pitágoras que 
abordaremos neste exercício. 
Primeiro devemos lembrar que a área do trapé-
zio se encontra com a fórmula: 
 
Então temos: 
A = [(13+8).h]/2 
126.2 = 21h 
252 = 21h 
h=252/21 
h=12 
 
Com isso podemos dividir nossa figura em duas: um 
quadrado e um triângulo. 
 
Para descobrir o lado que falta aplicamos o teo-
rema de Pitágoras que diz: “O QUADRADO DA 
HIPOTENUSA É IGUAL A SOMA DO QUADRADO 
DOS CATETOS” 
HIPOTENUSA: Lado Oposto ao ângulo RETO (90 
GRAUS). 
 
Temos: 
x2 =52 + 122 
x2 = 25 + 144 
x2 = 169 
x=√169 
x=13 
 
Por fim devemos achar o perímetro: 
13+13+12+8 = 46 cm 
ALTERNATIVA B 
 
 
(VUNESP - 2019 - Prefeitura de Arujá - SP - Escriturário - 
Oficial Administrativo) 
A figura mostra uma sala e um banheiro (B), cu-
jas medidas indicadas estão em metros. 
 
Sabe-se que a área da sala é igual a 7 vezes a 
área do banheiro. Então, a medida do lado da 
sala, indicada na figura pela letra L, é 
a) 6,5 m. 
b) 6,0 m. 
c) 5,5 m. 
d) 5,0 m. 
e) 4,5 m. 
Resolução: 
A área do Banheiro é a área de um retângulo: base x altura, 
logo 2.3=6. 
Como a área da sala é sete vezes maior a área da sala é de 
6.7=42. 
Para saber o tamanho de L devemos saber a área da sala é 
do banheiro juntos: 42+6 = 48. 
Agora temos outro retângulo de base 8 e altura L com área 
48. 
8.L=48 ➔ L = 48/8 ➔ L = 6 
ALTERNATIVA B 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2019-prefeitura-de-aruja-sp-escriturario-oficial-administrativo
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Teorema de Pitágoras 
 O teorema de Pitágoras como já foi co-
mentado é utilizado em um triângulo especial 
que é o TRIÂNGULO RETÂNGULO (Possui um 
ângulo RETO-90 Graus). 
 O lado oposto ao ângulo RETO é chamado 
de HIPOTENUSA e os demais chamados de CA-
TETOS. 
 O Teorema diz: 
“O QUADRADO DA HIPOTENUSA É IGUAL A 
SOMA DOS QUADRADOS DOS CATETOS” 
 
a² = b²+c² 
 
(VUNESP – Auditor Fiscal Tributário – 2019) 
Uma gleba destinada a reflorestamento tem a 
forma de um triângulo retângulo ABC, conforme 
mostra a figura. Se a área dessa gleba é 0,96 
km² , então a medida do lado AC, indicada por x 
na figura, é igual a 
a) 2,2 km 
b) 2,1 km 
c) 2 km 
d) 1,9 km 
e) 1,8 km 
 
 
Resolução: 
Insisto que o trabalho com os números deci-
mais se torna mais complicado, motivo pelo 
qual talvez seja mais conveniente a conversão 
de medida para um número inteiro. 
0,96 km2 = 96 hm2 
1,6 km = 16 hm 
Aplicando a fórmula da área do Triângulo temos 
que: 
(Base.Altura)/2 = Área, então 
(16.Altura)/2 = 96 
16.Altura = 96.2 
16.Altura = 192 
Altura = 192/16 
Altura = 12 hm 
 
Agora que temos os dois catetos 12 e 16 pode-
mos aplicar o teorema de Pitágoras. 
Hipotenusa2 = 122 + 162 
Hipotenusa2 = 144 + 256 
Hipotenusa2 = 400 
Hipotenusa = √𝟒𝟎𝟎 
Hipotenusa = 20 hm 
 
Voltamos a converter: 
 
20 hm = 2 km 
 
ALTERNATIVA C 
 
Volume de Prismas e Cilindros 
 Volume de um sólido é o espaço ocupado 
por ele ou sua capacidade. A unidade de medida 
varia de acordo com as medidas de comprimento 
do sólido analisado. Assim, se um sólido possui 
suas dimensões expressas em cm, seu volume 
será dado em cm³, se estiverem expressas em 
m, seu volume será dado em m³. 
 
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Prisma - São poliedros (todas faces planas) que 
possuem duas faces opostas, paralelas e idênti-
cas chamadas bases, e suas faces laterais são 
paralelogramos. 
 
 Para calcular o volume de um prisma en-
contramos a área da base e multiplicamos pela 
altura. 
 
 
Vamos ver alguns exemplos, onde devemos 
calcular o volume. 
 
Exemplo 1: 
Calcule o volume de um prisma cuja base é um 
triângulo equilátero de lado 5 cm e sua altura é 
4 cm. 
 
 
 
Lembre-se que a base é um triângulo equilátero 
e para calcular a área da base precisamos da al-
tura. Já vimos anteriormente que a altura do tri-
ângulo equilátero pode ser calculada pela fór-
mula: 
 
 
Assim, a altura neste caso é: 
 
h = 
5√3
2
 
 
Agora podemos calcular a área do triângulo: 
 
Área = (Base x Altura) / 2 
 
 
Área = 5.(5√3)/2)/2 
Área = (25√3)/4 
 
 Por fim para achar o volume devemos 
multiplicar pela altura do prisma, no caso 4. 
 
Volume = 4.(25√3)/4 
Volume = 25√𝟑 
 
Exemplo 2: 
 
Um tambor cilíndrico tem uma base com 40 cm 
de diâmetro e uma altura de 50 cm. Qual é a sua 
capacidade, em litros? 
 
 
 
 Para calcular o volume do cilindro acima 
devemos achar a área da base que se trata de 
um círculo. 
 
 A área do círculo é calculada pela fór-
mula 𝜋𝑟² tendo o raio = 20 a área do círculo é 
igual a 400𝜋. 
 
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 Agora devemos multiplicar a área pela 
altura assim 400𝜋 x 50 é igual a 20000𝝅 cm³. 
 
 Como o exercício pede em litros deve-
mos lembrar que 1 litro é igual a 1 dm³. 
 
20000𝝅 cm³ = 20𝝅 dm³ = 20𝝅 litros. 
 
Considerando 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒, 20 x 3,14 é aproxi-
madamente 62,8 litros. 
 
 
 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO 
 
1. Determine a medida do lado (𝒍), o perímetro 
(𝑷) e a área (𝑨) dos quadrados a seguir, de 
acordo com as informações descritas na tabela: 
 
 
 
5. Determine a medida da base (𝒃), da al-
tura (𝒉), o perímetro (𝑷) e a área (𝑨) dos re-
tângulos a seguir, de acordo com as informa-
ções descritas na tabela: 
 
 
 
3. Determine a medida da base (𝒃), da altura (𝒉) 
e a área (𝑨) dos triângulos a seguir, de acordo 
com as informações descritas na tabela: 
 
 
 
 
 
 
4. Determine o valor da incógnita em cada caso 
e, em seguida, calcule a área do triângulo retân-
gulo. Observação: Teorema de Pitágoras. 
 
 
 
5. Determine a medida da base maior (𝑩), da 
base menor (b), da altura (𝒉) e a área (𝑨) dos 
trapézios a seguir, de acordo com as informa-
ções descritas na tabela: 
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6. Determine a medida do diâmetro (𝑫), do raio 
(𝒓), e a área (𝑨), em função de 𝝅, dos círculos a 
seguir, de acordo com as informações descritas 
na tabela: 
 
 
7. Calcule o Volume dos cubos: 
 
 
 
8. Calcule o volume dos paralelepípedos: 
 
 
 
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9. Calcule o volume dos prismas: 
 
 
 
10. Calcule o volume dos cilindros: 
 
 
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Respostas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÕES DE CONCURSO 
 
1) (COPESE – UFJF – Técnico de Tecnologia de 
Informação – 2017) Na figura abaixo está es-
quematizada a planta baixa de uma pequena clí-
nica, composta por três consultórios, uma sala 
de espera e um banheiro, tendo sido despreza-
das a espessura das paredes. A clínica tem o for-
mato retangular e sua área total mede 96 m² e 
paredes adjacentes se interceptam perpendicu-
larmente. O consultório 1 tem o formato de um 
quadrado com área de 16 m² e o banheiro tem 
o formato de um retângulo com área de 6 m² 
sendo que um de seus lados mede 2 m. Os pon-
tos M e N, de onde partem as paredes divisórias 
dos consultórios, são os pontos médios das pa-
redes AB e BC, respectivamente. 
 
 
A medida da área do consultório 3, em metros 
quadrados, é: 
 
a) 22 
b) 24 
c) 25 
d) 26 
e) 30 
 
2) (VUNESP – GCM – 2018) O comprimento de 
um terreno retangular tem 15 metros a mais do 
que sua largura. Sabendo que o perímetro desse 
terreno tem 110 metros, então a medida de seu 
comprimento, em metros, é 
 
a) 20. 
b) 25. 
c) 30. 
d) 35. 
e) 40. 
 
3) (CESGRANRIO – Assistente Administrativo – 
2018) Num quadrado ABCD, de lado 3 cm, pro-
longa-se AB, na direção de A para B, até um 
ponto P, tal que BP = 3 AB. Em seguida, pro-
longa-se o lado BC, de B para C, até o ponto Q, 
tal que CQ = 3 BC. Do mesmo modo, prolongam-
se os lados CD e DA, respectivamente, até os 
pontos R e S, conforme a Figura a seguir. 
 
 
O perímetro, em cm, do quadrilátero PQRS será 
igual a 
 
a) 12 
b) 30 
c) 36 
d) 48 
e) 60 
 
4) (VUNESP – Técnico Legislativo – 2018) A fi-
gura representa a planta de um sítio que foi di-
vidido em duas partes, por meio de uma cerca 
medindo 1,3 quilômetros. 
 
 
 
Da parte em formato de triângulo retângulo, 
sabe-se que um dos lados mede 700 metros 
mais que o outro. Logo, a área dessa parte do 
sítio, em metros quadrados, é igual a 
 
a) 5.000 
b) 30.000 
c) 50.000 
d) 300.000 
e) 500.000 
 
5) (CS – UFG – Assistente em Administração – 
2018) Na figura a seguir, ABCD e AMPN são qua-
drados e BD e MN são arcos de círculos de centro 
A. 
 
Sabendo que a área do quadrado ABCD é igual a 
400 cm², a área da região sombreada na figura, 
em cm², é igual a 
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a) 100 𝝅 
b) 75 𝝅 
c) 50 𝝅 
d) 25 𝝅 
 
6) (FCC – Tecnólogo – 2018 – Adaptada) Os seis 
vértices de um hexágono estão representados 
em coordenadas cartesianas, conforme a figura. 
 
 
 
Sabendo que estas coordenadas estão apresen-
tadas em m, a área desse hexágono, em m², 
deverá ser igual a 
 
a) 29,6 
b) 59,2 
c) 46,6 
d) 23,3 
e) 52,9 
 
7) (VUNESP – Administrador de banco de dados 
– 2013) O retângulo da figura tem lados de me-
didas 6 cm e 4 cm. A semicircunferência tem 
como diâmetro um lado de 6 cm do retângulo. O 
triângulo é isósceles e tem vértices nas extremi-
dades de um dos lados do retângulo e sobre a 
circunferência, conforme a figura. 
 
A área da região sombreada, em cm², vale 
 
a) 21 – 4,5 𝝅 
b) 5 + 1,5 𝝅 
c) 22 – 5,5 𝝅 
d) 6 + 0,5 𝝅 
 
8) (INAZ do Pará – Advogado – 2018 - Adap-
tada) - Supondo-se que este é um projeto da 
praça retangular, medindo 15m de comprimento 
e 10m de largura que um prefeito de uma cidade 
no interior quer construir. A praça terá um jar-
dim cercado na forma de um losango, dois qui-
osques na forma de quadrados, um palco na 
forma de um trapézio e o restante do espaço 
será para a circulação das pessoas. Além das 
medidas exibidas na figura, sabe-se que o es-
paço entre o jardim no centro da praça e os qui-
osques ao lado é de 0,5m. 
 
Quantos m² sobrarão para os visitantes circula-
rem pela praça? 
a) 88 
b) 63 
c) 58 
d) 72 
e) 81 
 
9) (FAURGS – Técnico Judiciário – 2017) Na fi-
gura abaixo, ABCD é um quadrado de lado 10; 
E, F, G e H são pontos médios dos lados do qua-
drado ABCD e são os centros de quatro círculos 
tangentes entre si. 
 
A área da região sombreada, da figura acima 
apresentada, é 
 
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a) 100 – 5𝜋 
b) 100 – 10𝜋 
c) 100 – 15𝜋 
d) 100 – 20𝜋 
e) 100 – 25𝜋 
 
10) (FGV – Analista Econômico Financeiro – 
2018) O piso de uma sala é representado pelo 
polígono da figura abaixo, onde dois lados con-
secutivos são sempre perpendiculares. As medi-
das indicadas na figura estão em metros 
 
 
A área dessa sala, em metros quadrados, é: 
 
a) 24 
b) 26 
c) 28 
d) 30 
e) 32 
 
11) (NC-UFPR – Técnico Administrativo – 2015) 
De uma folha quadrada de 40 cm de lado, fo-
ram retirados 4 quadrados de 10 cm de lado, 
conforme a figura abaixo. 
 
O volume da caixa fabricada dessa forma é de: 
 
a) 50 cm³ 
b) 400 cm³ 
c) 1200 cm³ 
d) 4000 cm³ 
e) 6000 cm³ 
 
12) (Quadrix – Assistente Administrativo – 
2018) Um recipiente possui altura de 30 cm e 
sua base é um quadrado de 5 cm de lado. Con-
siderando esse caso hipotético, assinale a alter-
nativa que apresenta o volume desse recipiente. 
 
a) 0,75 L. 
b) 1,5 L. 
c) 15 L. 
d) 150 L. 
e) 750 L. 
 
13) (VUNESP – GCM – 2018) Um recipiente que 
tem a forma de um prisma reto, cujas medidas 
internas estão indicadas na figura, está total-
mente cheio de água. Sabendo que 1 ml = 1 
cm³, então, se forem retirados 3 litros dessa 
água, a água restante dentro do recipiente atin-
girá uma altura de 
 
 
 
a) 36 cm 
b) 35 cm 
c) 34 cm 
d) 33 cm 
e) 32 cm 
 
14) (COPEVE – UFAL – Técnico em Enfermagem 
– 2018) Um cilindro de altura 1m é perfurado 
por uma barra de comprimento 3m. Sabendo-se 
que a seção da barra é um quadrado de lado 0,5 
m e que o raio do cilindro tem essa mesma me-
dida, qual o volume (aproximado) que sobra no 
cilindro após a retirada da barra? Use 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒. 
 
a) 2,89 m³ 
b) 2,39 m³ 
c) 1,32 m³ 
d) 0,535 m³ 
e) 0,035 m³ 
 
15) (VUNESP – Escrevente Técnico Judiciário – 
2018) - Um estabelecimento comercial possui 
quatro reservatórios de água, sendo três deles 
de formato cúbico, cujas respectivas arestas têm 
medidas distintas, em metros, e um com a forma 
de um paralelepípedo reto retângulo, conforme 
ilustrado a seguir. 
 
Sabe-se que, quando totalmente cheios, a média 
aritmética dos volumes de água dos quatro re-
servatórios é igual a 1,53 m³, e que a média arit-
mética dos volumes de água dos reservatórios 
cúbicos, somente, é igual a 1,08 m³. Desse 
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modo, é correto afirmar que a medida da altura 
do reservatório com a forma de bloco retangular, 
indicada por h na figura, é igual a 
 
a) 1,4 m 
b) 1,5 m 
c) 1,35 m 
d) 1,45 m 
e) 1,55 m 
 
16) (VUNESP – Diretor Contábil Legislativo – 
2018) - Em um reservatório com a forma de pa-
ralelepípedo reto retângulo, com 2,5 m de com-
primento e 2 m de largura, inicialmente vazio, 
foram despejados 4 m³ de água, e o nível da 
água nesse reservatório atingiu uma altura de x 
metros, conforme mostra a figura. 
 
 
Sabe-se que para enchê-lo completamente, sem 
transbordar, é necessário adicionar mais 3,5 m³ 
de água. Nessas condições, é correto afirmar 
que a medida da altura desse reservatório, indi-
cada por h na figura, é, em metros, igual a 
 
a) 1,25 
b) 1,5 
c) 1,75 
d) 2,0 
e) 2,5 
 
17) (FUMARC – Desenvolvedor Sistemas de In-
formação – 2018) A figura a seguir representa 
o projeto de uma peça de madeira cilíndrica va-
zada. Pretende-se fabricar esse modelo com o 
maior diâmetro medindo 20 cm, o menor diâ-
metro medindo 10 cm, uma altura de 6 cm e 
considerando 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒. 
 
 
 
Nessas condições, é CORRETO afirmarque o 
volume de madeira suficiente para se fabricar 
essa peça, em cm³ é igual a: 
 
a) 1211 
b) 1413 
c) 1471 
d) 1884 
 
18) (FGV – Analista Econômico Financeiro – Ges-
tão Contábil) Certos tambores para coleta de re-
síduos não recicláveis são cilindros com 40 cm 
de diâmetro e 60 cm de altura. O volume de um 
desses recipientes, em litros, é de, aproximada-
mente: 
 
a) 75 
b) 90 
c) 120 
d) 150 
e) 180 
 
19) (CS – UFG – Assistente em Administração – 
2016) Uma empresa de produtos alimentícios 
utiliza um tanque cilíndrico de 1,2 m de altura e 
área da base de 4 m² para realizar a lavagem de 
seus produtos. Foi colocada água no tanque até 
a metade de sua capacidade. Em seguida, foram 
colocados os produtos que seriam lavados, que 
ficaram totalmente submersos. Nesse instante, 
verificou-se que a altura do nível da água no tan-
que subiu para 1 m. Nessas condições, o volume 
dos produtos que foram colocados no tanque, 
em m³, é: 
 
a) 1,6 
b) 2,4 
c) 3,6 
d) 4,8 
 
20) (UFSM – Assistente em Administração – 
2015) A Universidade Federal de Santa Maria 
(UFSM) é referência em assistência estudantil. 
Os restaurantes universitários oferecem diaria-
mente refeições balanceadas a baixo custo para 
estudantes e servidores da UFSM. Os almoços 
são compostos por prato principal, suco e sobre-
mesa. Suponha que em um dia tenham sido ser-
vidos 6000 almoços e que o copo, no qual o suco 
é servido, tenha formato de um cilindro circular 
reto com dimensões, em centímetros, dadas 
pela figura: Se o suco for servido até 1cm abaixo 
da borda, e 10% dos frequentadores não toma-
rem suco, quantos litros de suco teriam sido dis-
tribuídos neste dia? Use 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒. 
 
a) 1373,436 
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b) 1526,040 
 
c) 1695,600 
 
d) 5493,744 
 
e) 6104,160 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 7 
Estatística e Probabilidade 
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA 
 
 Vamos tratar das mais importantes me-
didas de tendência central: Média Aritmética. 
 
 Para obtermos a média aritmética sim-
ples devemos somar todos os fatores e após di-
vidir pela quantidade de fatores somados. 
 
 Trata-se de um conceito simples e de fá-
cil entendimento. 
 
Exemplo: Qual é a média entre 1,2,3,4. 
 
Para calcular a média somamos: 1+2+3+4=10 
e dividimos por 4. Assim 10/4 é 2,5. 
 
 Vamos ver alguns exercícios: 
 
(FCC - AJ TRT2) - A média aritmética dos salários dos 
200 funcionários de uma empresa é igual a R$ 
1.500,00. Caso haja a demissão de todos os funcioná-
rios que ganham, cada um, R$ 2.000,00 e admissão de 
10 funcionários ganhando, cada um, R$ 1.200,00, a 
média aritmética fica com o valor de R$ 1.325,00. Isto 
significa que o número de funcionários da empresa 
passa a ser de 
a) 135 
b) 140 
c) 150 
d) 160 
e) 170 
 
Para realizar este exercício será necessário ob-
servar o enunciado e tirar algumas conclusões. 
 
Vamos chamar de x o número de funcionários 
demitidos. 
 
Então o valor que devemos tirar do montante 
salarial é igual a: 2000x. 
 
A quantidade de funcionários após as demis-
sões e admissões é de: 210 – x 
 
O montante salarial antes da média é de: 
1500.200= 300.000. 
 
Então: 
Agora devemos somar o montante anterior com 
o valor pago para as admissões que no caso é 
de 10.1200 = 12000. Assim temos 300.000 + 
12.000 = 312.000. E subtrair a quantidade de 
demissões obtendo: 
 
312.000 – 2000x. 
 
Podemos assim equacionar: 
 
312000−2000𝑥
210−𝑥
 = 1325 
 
Assim: 
 
312000 – 2000x = 1325.(210-x) 
312000 – 2000x = 278250-1325x 
312000 – 278250 = -1325x+2000x 
33750 = 675x 
 
x = 33750/675 
x= 50 
 
Com 50 demitidos e 10 contratados temos que 
a quantidade de funcionários da empresa é de 
160. 
 
ALTERNATIVA D 
 
 Já a média ponderada é utilizada 
quando desejamos considerar o peso (importân-
cia) de cada dado da série em análise. Eventual-
mente desejamos considerar diferentes impor-
tâncias para valores dados. 
 
Exemplo: 
 
Em uma determinada escola, a média anual é 
calculada considerando o peso das notas que 
está relacionada ao bimestre em questão, isto é, 
1º bimestre tem peso 1, 2º bimestre tem peso 
2, e assim sucessivamente, determine a média 
anual de um aluno dessa escola, na disciplina de 
Matemática, sabendo que suas notas bimestrais 
nessa disciplina foram iguais a 7,0; 6,0; 8,0 e 
7,5, na ordem dos bimestres. 
 
 Observe que cada bimestre tem seu peso 
então para calcular a média ponderada devemos 
multiplicar cada nota por seu peso, em seguida 
dividir pela soma dos pesos. 
 
Soma dos pesos: 1+2+3+4 = 10 
 
1º B – 7x1=7 
2ºB – 6x2=12 
3ºB – 8x3=24 
4º B – 7,5x4=30 
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Total – 30+24+12+7 = 74 
 
Media Ponderada: 74/10 = 7,4 
 
FIP - 2009 - Câmara Municipal de São José dos Campos - SP 
- Programador 
 
A média semestral de um curso é dada pela mé-
dia ponderada de três provas com peso igual a 1 
na primeira prova, peso 2 na segunda prova e 
peso 3 na terceira. Qual a média de um aluno 
que tirou 8,0 na primeira, 6,5 na segunda e 9,0 
na terceira? 
 
a) 7,0 
b) 8,0 
c) 7,8 
d) 8,4 
e) 7,2 
Problema semelhante ao anterior: 
 
P1 – 8x1 = 8 
P2 – 6,5XX=13 
P3 – 9X3=27 
 
SOMA DOS PESOS: 1+2+3=6 
 
SOMA DAS NOTAS: 8+13+27=48 
 
MÉDIA PONDERADA = 48/6=8 
 
ALTERNATIVA B 
 
 Embora a média seja uma das medidas 
de tendência central mais utilizada, não convém 
descartar o entendimento de outras duas que 
pode ser alvo de sua prova: MODA E MEDIANA. 
 
MODA: É o número que mais se repete em uma 
sequência de números. 
 
Ex. Qual a Moda: 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6. 
 
Neste caso a MODA é 6, pois é o número que 
mais se repete. 
 
Uma sequência de número pode não ter moda, 
chamada de AMODAL. Ex. 1, 2, 3, 4. 
 
Uma sequência de número pode não ter mais de 
uma moda, chamada de BIMODAL. Ex. 1, 1, 2, 
2, 3, 4. 
 
 MEDIANA: A mediana é o ponto central de uma 
sequência de valores, caso a quantidade de nú-
meros desta sequência seja IMPAR a mediana é 
exatamente o ponto central, no entanto caso a 
sequência tenha quantidade PAR a mediana é a 
média dos dois valores centrais. 
 
Obs. Para calcular a mediana devemos colocar 
os valores em ordem crescente. 
 
Exemplos: 
 
Qual a Mediana: 
 
a) 1, 3, 5, 8, 15, 16, 16 
 
Neste caso a mediana é 8, porque está bem no 
centro. QUANTIDADE IMPAR DE NÚMEROS. 
 
b) 1, 2, ,2, 4, 6, 7, 8, 9 
 
Neste caso para calcular a mediana devemos fa-
zer a média de 4 e 6 pois estão no centro, assim 
a mediana é (4+6)/2 = 5. QUANTIDADE PAR DE 
NÚMEROS. 
 
(PROAM - 2019 - Prefeitura de Macedônia - SP - Fiscal Muni-
cipal de Tributos) 
 
Na estatística, “o ponto central em uma série de 
valores dispostos por ordem de magnitude” é 
denominado(a): 
 
a) Moda 
b) Média 
c) Mediana 
d) Modal 
 
Vimos que o ponto central de uma série me or-
dem crescente é a MEDIANA. Alternativa C. 
 
 (FCC - 2019 - SEFAZ-BA - Auditor Fiscal - Administração, 
Finanças e Controle Interno - Prova I) 
 
Os números de autos de infração lavrados pelos 
agentes de um setor de um órgão público, du-
rante 10 meses, foram registrados mensalmente 
conforme a tabela abaixo. 
 
 
Verifica-se que, nesse período, o valor da soma 
da média aritmética (número de autos por mês) 
com a mediana é igual ao valor da moda multi-
plicado por 
a) 2,42 
b) 2, 32 
c) 2, 12 
d) 2, 52 
e) 2, 22 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fip-2009-camara-municipal-de-sao-jose-dos-campos-sp-programador
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fip-2009-camara-municipal-de-sao-jose-dos-campos-sp-programador
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/proam-2019-prefeitura-de-macedonia-sp-fiscal-municipal-de-tributos
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/proam-2019-prefeitura-de-macedonia-sp-fiscal-municipal-de-tributos
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fcc-2019-sefaz-ba-auditor-fiscal-administracao-financas-e-controle-interno-prova-i
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fcc-2019-sefaz-ba-auditor-fiscal-administracao-financas-e-controle-interno-prova-i
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Para resolver este exercício precisaremos da Mé-
dia, Mediana e da Moda, vamos então calcular 
cada uma delas: 
 
 Média: 
 
(7+5+4+6+6+5+5+7+6+5)/10 
56/10 = 5,6 
 
Moda: A Moda é 5 pois é o número que mais se 
repete. 
 
Mediana: 
 
Colocando em ordem: 
4+5+5+5+5+6+6+6+7+7 
 
Fazendo a média dos valores centrais: 
(5+6)/2 = 5,5 
 
Somando a média com a mediana: 
5,6+5,5 = 11,1 
 
O número que procuramos é a moda multipli-
cada por quanto é igual a 11,1 
 
5x=11,1 ➔ x = 11,1/5 ➔ x= 2,22 
 
ALTERNATIVA E 
 
(CETAP - 2019 - Prefeitura de Ananindeua - PA - Técnico Mu-
nicipal - Administração Básica) 
 
Maria, José e João têm a mesma idade. Somando 
suas idades com as de Carla (14), Tereza (15) e 
Joaquim (16), encontramos 81. Qual é a moda 
nesse rol de idade? 
 
a) 16 
b) 14 
c) 13 
d) 12 
 
Como Maria, Jose é João tem a mesma idade po-
demos chamá-la de x. 
 
3x+14+15+16= 81 
3x+45=81 
3x=81-45 
3x=36 
x=36/3 
x=12 
 
ALTERNATIVA D 
 
 
 
 
NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
Probabilidade é um ramo da Matemática em que 
se calcula as chances de determinado evento 
ocorrer. 
 
 Vamos ver alguns conceitos importantes: 
 
Experimento aleatório 
 
É qualquer situação em que o resultado não seja 
conhecido, tal como jogar uma moeda, onde é 
impossível saber qual das faces da moeda ficará 
voltada para cima, exceto no caso em que a mo-
eda seja viciada (modificada para ter um resul-
tado mais frequentemente). 
 
Exemplo: 
Suponha que uma sacola de supermercado con-
tenha uvas e jaboticabas. Retirar uma fruta de 
dentro da sacola sem olhar também é um expe-
rimento aleatório. 
 
Espaço Amostral 
 
O espaço amostral é o conjunto formado por to-
dos as possibilidades possíveis de um determi-
nado experimento. 
 
Dessa maneira, o resultado de um experimento 
aleatório, mesmo que não seja previsível, sem-
pre pode ser encontrado dentro do espaço amos-
tral referente a ele. Como por exemplo: O es-
paço amostral referente ao lançamento de um 
dado é o conjunto Ω, tal que: 
 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Evento 
 
Os eventos são subconjuntos de um es-
paço amostral. Pode conter desde zero a todos 
os resultados possíveis de um experimento, ou 
seja, o evento pode ser um conjunto vazio ou o 
próprio espaço amostral. No primeiro caso, ele 
é chamado de evento impossível. No segundo, é 
chamado de evento certo. 
 
Para o cálculo da Probabilidade devemos dividir 
os resultados favoráveis pela quantidade de 
eventos possíveis. 
 
 
 
 
 
 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/cetap-2019-prefeitura-de-ananindeua-pa-tecnico-municipal-administracao-basica
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/cetap-2019-prefeitura-de-ananindeua-pa-tecnico-municipal-administracao-basica
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/historia-probabilidade.htm
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Exemplo: 
 
No lançamento de um dado qual a probabilidade 
de cair um número par 
 
Possibilidade Favorável neste caso é cair um nú-
mero par como o dado possui 3 números pares, 
2, 4, e 6 ➔ Temos 3 possibilidades Favoráveis. 
 
Os eventos possíveis neste caso são 6, uma vez 
que o dado tem seis possibilidades ➔ 
{1,2,3,4,5,6}. 
 
Assim a probabilidade é: 3/6 simplificando 1/2. 
Assim há 50% de probabilidade. 
 
Exercícios Resolvidos 
1. No lançamento de dois dados, qual é o nú-
mero total de possibilidades de resultados e qual 
é a probabilidade de obtermos soma igual a 8? 
 
a) 36 e 5% 
b) 36 e 14% 
c) 6 e 5% 
d) 5 e 6% 
e) 36 e 6% 
 
Resolução: A questão pede o total de possibili-
dades e a probabilidade. No primeiro questiona-
mento trata-se do nosso Espaço Amostral. 
 
Para descobrir o espaço amostral devemos lem-
brar que em um dado temos 6 possibilidades, 
assim em dois dados temos 6² = 36. 
 
Para descobrir a probabilidade devemos dividir 
as possibilidades favoráveis pelo espaço amos-
tral. Assim, precisamos levantar quais são as 
possibilidades favoráveis: 
 
Soma igual a 8: 2+4, 3+5, 4+4, 4+2, 5+3 
 
Temos então 5 de 36 possibilidades, dividindo 
5/36 temos 0,138 arredondando temos 0,14 = 
14% 
 
ALTERNATIVA B 
 
2. Qual é a probabilidade de, no lançamento de 
4 moedas, obtermos cara em todos os resulta-
dos? 
a) 2% 
b) 2,2% 
c) 6,2% 
d) 4% 
f) 4,2% 
Resolução: Se temos 4 moedas com duas possi-
bilidades cada uma, nosso espaço amostral é de 
24 = 16. 
 
Possibilidade de Cair Cara em todas as faces é 
apenas 1. 
 
Então temos 1/16 = 0,0625 = 6,25% 
 
ALTERNATIVA C 
 
3. Duas moedas e dois dados, todos diferentes 
entre si, foram lançados simultaneamente. Qual 
é o número de possibilidades de resultados para 
esse experimento? 
a) 146 
b) 142 
c) 133 
d) 144 
e) 155 
 
Resolução: Verificamos o espaço amostral de 
cada elemento: 
 
Moeda: Duas possibilidades em Duas Moedas: 
2² = 4. 
 
Dado: Seis possibilidades em dois dados: 6² = 
36. 
 
Multiplicamos as possibilidades: 4.36= 144 
 
ALTERNATIVA D 
 
ANALISE COMBINATÓRIA 
 
 Vamos fazer nosso estudo de analise 
combinatória em cima de questões analisando 
características e formas de resolver. Para sua re-
solução podemos utilizar diversos recursos e fór-
mulas como PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBI-
NAÇÕES, todas elas COM ou SEM REPETIÇÃO. 
Antes, no entanto vamos aprender alguns prin-
cípios. 
 
Princípio Multiplicativo: 
 
Exemplo 1: Princípio Multiplicativo 
Em uma lanchonete é servido lanches com dois 
tipos de pães francês e forma, são três tipos de 
recheio Queijo, Presunto e Peito de Peru e dois 
molhos catchup e barbacue. Quantos lanches di-
ferentes é possível escolher sabendo que só 
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pode escolher um tipo de pão, um recheio e um 
molho? 
 
Resolução: 
Podemos utilizar neste caso o princípio multipli-
cativo. Então temos 2.3.2 = 12. Formando 12 
tipos de lanches. 
 
Exemplo 2: Princípio Multiplicativo 
 
Utilizando os números 1, 2, 3 quantos números 
distintos de três algarismos podemos formar? 
 
Resolução: 
Podemos utilizar neste caso o princípio multipli-
cativo. Na primeira posição temos 3 possibilida-
des, assim como na segunda e na terceira. Então 
temos 3.3.3 = 27. Formando 27 números dis-
tintos. 
 
ATENÇÃO: UTILIZAMOS ESTE PRINCÍPIO 
QUANDO OS EVENTOS SÃO LIGADOS PELO 
CONECTIVO “e”. (No exemplo 1 tivemos que 
escolher um pão e um recheio e um molho). 
 
 
Exemplo 3: Permutação Simples 
 
Os resultados do último sorteio da Mega Sena 
foram os números 04, 10, 26, 37, 47 e 57. De 
quantas maneiras distintas pode ter ocorrido 
essa sequência de resultados? 
 
Resolução: 
A primeira indagação a ser feita é: TODOS OS 
ELEMENTOS SERÃO UTILIZANDOS EM TO-
DAS AS POSIÇÕES? 
 
 Caso a resposta desta pergunta seja PO-
POSITIVA devemosutilizar PERMUTAÇÃO. 
 
A segunda indagação a ser feita: EXISTEM ELE-
MENTOS REPETIDOS? 
 
Caso a resposta desta pergunta seja NEGATIVA 
devemos utilizar PERMUTAÇÃO SEM REPETI-
ÇÃO. 
 
Pn = n! 
 
n! ➔ Fatorial é uma operação onde devemos 
multiplicar o n por todos os seus antecessores 
terminando em 1. 
 
Exemplo: 3! = 3.2.1 = 6 
 
No exemplo trabalhado temos 6 números, logo 
a resposta uma vez identificado a PERMUTAÇÃO 
SEM REPETIÇÃO é 6! 
 
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720. 
 
Exemplo 4: Permutação com Repetição 
 
Determine o número de anagramas que podem 
ser formados com as letras do nome ALEMANHA. 
 
Resolução: 
TODOS OS ELEMENTOS SERÃO UTILIZANDOS 
EM TODAS AS POSIÇÕES? ➔ SIM ➔ PERMU-
TAÇÃO. 
 
EXISTEM ELEMENTOS REPETIDOS? ➔ SIM ➔ 
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO. (Observe 
que na palavra ALEMANHA a letra A repete 3 
vezes). 
 
 
 
 
 
 A palavra tem 8 letras assim n=8 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Permutação Circular 
 
De quantas maneiras 6 crianças podem sentar-
se em um carrossel de 6 lugares? 
 
Resolução: 
TODOS OS ELEMENTOS SERÃO UTILIZANDOS 
EM TODAS AS POSIÇÕES? ➔ SIM ➔ PERMU-
TAÇÃO. 
 
EXISTEM ELEMENTOS REPETIDOS? ➔ NÃO ➔ 
PERMUTAÇÃO SEM REPETIÇÃO. 
 
Caso Especial: Estão em Círculo 
 
PCn = (n-1)! 
 
São 6 crianças então: 
 
 PC6 = (6-1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
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Exemplo 6: Arranjo Simples 
 
 No arranjo, assim como na combinação 
e diferente da permutação apenas alguns ele-
mentos são utilizados, temos menos posições 
do que elementos. 
 
TODOS OS ELEMENTOS SERÃO UTILIZAN-
DOS EM TODAS AS POSIÇÕES? NÃO 
 
Então será utilizado ARRANJO OU COMBINA-
ÇÃO... 
 
A ORDEM É IMPORTANTE, EXEMPLO 12 É 
DIFERENTE DE 21? ENTÃO UTILIZAREMOS 
ARRANJO 
 
 
 
De quantas maneiras podemos organizar 5 pes-
soas (Manoel, Erick, Ricardo, Stela e Rubens) 
em 3 cadeiras? 
 
Observe que apenas 3 dos 5 elementos podem 
ser utilizados e que a ordem importa uma vez 
que a organização Manoel, Erick, Ricardo é dife-
rente da organização Ricardo, Manoel Erick. As-
sim utilizaremos o Arranjo Simples. 
 
 
 
5.4.3 = 60 
 
Exemplo 7: Arranjo Simples 
 
Em uma empresa, quinze funcionários se candi-
dataram para as vagas de diretor e vice-diretor 
financeiro. Eles serão escolhidos através do voto 
individual dos membros do conselho da empresa. 
Vamos determinar de quantas maneiras distintas 
essa escolha pode ser feita. 
 
 
 
Exemplo 8: Arranjo com Repetição 
 
 No Arranjo com repetição os elementos 
podem aparecer repetidos. 
 
 
 
Quantos números de 3 algarismos podemos 
formar com os algarismos 1,2,3,4? 
 
Observe que devemos fazer o Arranjo dos 4 nú-
meros de 3 em 3 e que pode haver repetição, 
logo o número 333 por exemplo faz parte da 
contagem. 
 
 
A(4,3) = 4³ = 4.4.4 = 64. 
 
Exemplo 9: Combinação Simples 
 
 Na combinação a situação se assemelha 
com a do arranjo com a diferença de que na 
combinação a ordem dos elementos não faz di-
ferença. 
 
 
 
 Uma determinada empresa precisa fazer 
um grupo de trabalho com seus 5 funcionários: 
Cauã, Lucas, Nicolas, Raul e Gabriel. De quantas 
maneiras podemos agrupar os funcionários em 
grupos de 3 pessoas? 
 
 Observe que um grupo formado por 
Cauã, Nicolas e Gabriel é igual ao grupo formado 
por Nicolas, Gabriel e Cauã, assim a ordem dos 
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elementos não importa, motivo pelo qual utiliza-
remos a combinação simples. 
 
 
 
Exemplo 10: Combinação com Repetição 
 
 Neste caso além da ordem não fazer di-
ferença serão permitidos a repetição de ele-
mentos. 
 
 
 
 Uma Adega vende três tipos de bebida: 
Suco, Refrigerante e Cerveja. A pessoa deseja 
comprar 5 bebidas. De quantas maneiras pode-
mos agrupar as bebidas, considerando a possi-
bilidade de repetição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES 
 
 A ideia de função está presente quando 
relacionamos duas grandezas variáveis. Como 
por exemplo: 
 
➔ O preço a pagar e os litros de gasolina adqui-
ridos; 
➔ Distância em relação ao Tempo; 
 
Exemplo: 
 
 Uma empresa de aluguel de carros calcula 
o aluguel com um preço fixo de R$ 50,00 além de 
0,75 centavos por quilometro rodado, formando a 
seguinte fórmula: 
 
 P = 50,00 + 0,75.n, 
 
onde P é o preço, em reais, a ser cobrado e n o nú-
mero de quilômetros rodados. Esta fórmula nos per-
mite responder algumas questões, como por exem-
plo: 
 
a) Quanto pagarei se o veículo rodar 45 quilômetros? 
b) Se paguei a quantia de R$ 125,00, quantas quilôme-
tros o veículo rodou? 
 
 Toda função tem uma variável depen-
dente e uma independente. 
 Cada valor dado a variável dependente 
está associado a um único valor da vari-
ável independente; 
 
 Para que seja considerado uma função 
em uma relação entre dois conjuntos A e B, cada 
elemento de A, cada elemento de A deverá estar 
relacionado a um único elemento de B. Toda fun-
ção tem o Domínio e a Imagem. O domínio da 
função é o ponto de partida e a imagem são os 
valores associados a este ponto de partida. 
 
Pensando no conjunto A= {1,2} e o Conjunto 
B={3,4,5} 
 
 
Para a função f(x)=x+1. 
 
Para f:A => B temos: 
 
Domínio é o conjunto A; 
Contradomínio é o conjunto B; 
Como f(1) = 2 e f(2) = 3 
Então a Imagem e {2,3} 
 
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As funções podem ser: 
 
INJETORA: Nesta função cada elemento de A 
tem um e somente um correspondente em B. 
 
SOBREJETORA: Nesta função qualquer ele-
mento de B for imagem de algum elemento do 
conjunto A. Neste caso dizemos que a imagem é 
igual ao contradomínio. 
 
BIJETORA: A função é Bijetora quando ao 
mesmo tempo for Injetora e Sobrejetora. 
 
INVERSA: Nesta função qualquer elemento de 
B for imagem de algum elemento do conjunto A. 
Neste caso dizemos que a imagem é igual ao 
contradomínio. 
 
 Vamos observar algumas questões e te-
cer comentários importantes sobre o que pode 
ser cobrado em sua prova sobre o assunto. 
 
Exemplo 1: 
 
(CONSULPLAN - Ad Adm (Sertaneja)/Pref Sertaneja/2010) 
Sobre a função f(x), cujo gráfico está represen-
tado a seguir, é correto afirmar que: 
 
 
 
a) f(x) é decrescente para 0 < x < 2 
b) f(1) > f(−1) 
c) f(x) < 0 para x = −1 
d) f(1) < f(−2) 
 
Resolução: Esta questão pode ser resolvida apenas ob-
servando o gráfico e eliminando as alternativas erra-
das. 
 
a) f(x) é decrescente para 0 < x < 2 
Observe que entre 0 e 2 a função tem uma parte de-
crescente e uma parte crescente. Alternativa Incor-
reta. 
 
b) f(1) > f(−1) 
f(1) = -2 e f(-1)=2, assim -2>2 é falso. Alternativa In-
correta. 
 
c) f(x) < 0 para x = −1 
f(-1) = 2, logo 2<0 é falso. Alternativa Incorreta. 
 
d) f(1) < f(−2) 
f(1) = -2 e f(-2)=0, logo -2<0 é verdadeiro. ALTERNA-
TIVA CORRETA. 
 
Exemplo 2: 
(VUNESP - Ass GM (Pref SJC)/Pref SJC/2012) 
O gráfico a seguir mostra a variação de uma 
grandeza, representada no eixo y, em fun-
ção de outra grandeza, representada no eixo 
x. 
 
 
A situação que pode ser representada por esse tipo 
de variação é 
a) o preço a ser pago por uma certa quantidade de bi-
lhetes de metrô (eixo y), em função do número de bi-
lhetes comprados (eixo x). 
b) a quantidade de árvores derrubadas (eixo Y), em 
função da quantidade de papel utilizado (eixo x). 
c) o saldo de uma dívida de cartão de crédito (eixo y), 
em função do tempo em que o cartão deixou de ser 
pago (eixo x). 
d) o valor do saldo de uma caderneta de poupança 
(eixo y), em função do tempo em que o dinheiro ficou 
aplicado (eixo x). 
e) a quantidade de café colhido (eixo y), em função do 
tempo de uma safra (eixo x). 
 
Resolução: Das opções oferecidasprecisamos interpre-
tar, a função apresentada cresce até dado momento e 
depois decresce até o 0. As alternativas a até d, são di-
retamente proporcionais assim enquanto uma gran-
deza aumenta a outra também aumenta, o que nos 
deixa como opção a ALTERNATIVA E. 
 
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 Veremos as principais funções: 
 
FUNÇÃO CONSTANTE: 
 
Função expressa por f(x)=k, onde k é um nú-
mero real. 
 
 
 
FUNÇÃO DE 1º GRAU OU AFIM 
 
Função expressa por f(x)=ax+b, onde a, b  IR, 
com a  0. 
 
 
 
FUNÇÃO DE 2º GRAU OU QUADRATICA 
 
Função expressa por f(x)=ax²+bx+c, onde a, b, 
c  IR, com a  0. 
 
 
 
As raízes são encontradas ao resolver a equação de 
segundo grau. 
 
Quando tratamos em função de 2º grau ainda temos 
como encontrar a coordenada do vértice. 
 
 
 
EXEMPLOS 
1. 
 
 
 
Resolução: 
a = 2 b=-3 c=5 
 
Então: 
∆ = (-3)² - 4.2.5 
∆ = 9 – 40 
∆ = -31 
 
 
 
xv = 3/4 e Yv = -31/8 
 
ALTERNATIVA D 
 
2. 
 
A função f : [ - 2,4 ] → R , definida por f ( x ) = - x² + 2x 
+ 3, possui seu gráfico apresentado a seguir. 
 
 
 
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 1 
 
 
 
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Resolução: 
Observando o gráfico percebemos que o valor 
máximo é o y do vértice. 
 
a = -1 b=2 c=3 
 
Então: 
∆ = 2² - 4.-1.3 
∆ = 4 + 12 
∆ = 16 
 
Yv = -(16/-4) => 4 
 
ALTENATIVA C 
3. 
 (VUNESP - 2018 - Prefeitura de Ribeirão Preto - SP - Téc-
nico em Processamento de Dados) 
 
O gráfico a seguir mostra a relação entre a quan-
tidade V (em m3 ) de água em uma caixa e o 
tempo t (em h) em que uma torneira permane-
ceu aberta, esvaziando essa caixa. 
 
 
A relação entre V e t pode ser expressa por: 
a) V = 12 – 6t 
b) V = 12 – 2t 
c) V = 12 + 6t 
d) V = 6 + 12t 
e) V = 6 – 2t 
 
Resolução: Observe que no tempo 6 a veloci-
dade é 0. Substituindo t por 6 nas alternativas 
temos apenas a alternativa b que dá 0. 
 
 
 
 
 
 
 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO 
 
1. Quantas senhas com 4 algarismos diferentes 
podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8,e 9? 
 
2. Um técnico de um time de voleibol possui a 
sua disposição 15 jogadores que podem jogar 
em qualquer posição. De quantas maneira ele 
poderá escalar seu time? 
 
3. De quantas maneiras diferentes, uma pessoa 
pode se vestir tendo 6 camisas e 4 calças ? 
 
4. De quantas maneiras diferentes 6 amigos po-
dem sentar em um banco para tirar uma foto? 
 
5. Em uma competição de xadrez existem 8 jo-
gadores. De quantas formas diferentes poderá 
ser formado o pódio (primeiro, segundo e ter-
ceiro lugares)? 
 
6. Uma lanchonete tem uma promoção de 
combo com preço reduzido em que o cliente 
pode escolher 4 tipos diferentes de sanduíches, 
3 tipos de bebida e 2 tipos de sobremesa. Quan-
tos combos diferentes os clientes podem montar? 
 
7. Quantas comissões de 4 elementos podemos 
formar com 20 alunos de uma turma? 
 
8. De quantas maneiras seis crianças podem se 
organizar para brincar de roda? 
 
9. De quantas maneiras oito pessoas podem se 
organizar em uma roda para fazer uma oração? 
 
10. Quantos são os anagramas da palavra MO-
RANGO? 
 
11. Dada a função f:{−3,2,0,5–
√}→Rf:{−3,2,0,5}→ℜ, definida pela fór-
mula f(x)=2x2+1f(x)=2x2+1. Determine a sua 
imagem: 
 
12. Dado o esquema abaixo, representando 
uma função de “A” em “B”, determine: 
 
 
 
 
 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2018-prefeitura-de-ribeirao-preto-sp-tecnico-em-processamento-de-dados
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a) O Domínio: 
b) A imagem 
c) f(5) 
d) f(12) 
 
 
CONSOLIDANDO O APRENDIZADO 
Respostas 
 
1. 3024 senhas 
2. 5005 maneiras 
3. 24 
4. 720 
5. 336 
6. 24 
7. 4845 
8. 120 
9. 5040 
10. 2520 
11. Im={19,9,1,11} 
 
12. D={5,12,23} 
Im={7,14,25} 
f(5)=7 
f(12)=14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES DE CONCURSO 
 
1. (FGV - 2019 - Prefeitura de Salvador - BA - Analista - 
Engenharia Civil) - Dentre todos os números natu-
rais de 3 algarismos, a quantidade desses nú-
meros que possui pelo menos um algarismo 5 é 
 
a) 90. 
b) 184. 
c) 225. 
d) 240. 
e) 252. 
 
2. (FGV - 2018 - Prefeitura de Niterói - RJ - Auxiliar Admi-
nistrativo) - Uma urna D contém 6 bolas numera-
das de 3 a 8 e uma urna U contém 7 bolas nu-
meradas de 2 a 8. Um número de dois algaris-
mos será formado retirando uma bola da urna 
D e uma bola da urna U, cujos números serão, 
respectivamente, o algarismo das dezenas e o 
algarismo das unidades. A quantidade de nú-
meros pares que poderão ser formados dessa 
maneira é: 
a) 42 
b) 36 
c) 24 
d) 20 
e) 16 
 
 3. (FGV - 2018 - AL-RO - Analista Legislativo - 
Matemática) - Helena entra em uma sorveteria 
que oferece sorvetes de 8 sabores diferentes. 
Helena deseja escolher uma casquinha com duas 
bolas de sorvete não necessariamente de sabo-
res diferentes. A ordem em que as bolas forem 
colocadas na casquinha não fará a escolha de 
Helena ser diferente. O número de maneiras de 
Helena escolher sua casquinha é 
 
a) 64. 
b) 56. 
c) 36. 
d) 28. 
e) 16. 
 
4. (FGV - 2018 - AL-RO - Analista Legislativo - 
Matemática) - Assinale a opção que indica o nú-
mero de permutações das letras da palavra SUS-
SURRO. 
 
a) 1680. 
b) 1560. 
c) 1440. 
d) 1320. 
e) 1260. 
 
 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2019-prefeitura-de-salvador-ba-analista-engenharia-civil
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2019-prefeitura-de-salvador-ba-analista-engenharia-civil
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2018-prefeitura-de-niteroi-rj-auxiliar-administrativo
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2018-prefeitura-de-niteroi-rj-auxiliar-administrativo
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2018-al-ro-analista-legislativo-matematica
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2018-al-ro-analista-legislativo-matematica
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2018-al-ro-analista-legislativo-matematica
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2018-al-ro-analista-legislativo-matematica
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5. (FGV - 2018 - AL-RO - Analista Legislativo - Administra-
ção) - O presidente e o vice-presidente de uma 
comissão serão escolhidos entre os 10 deputa-
dos do Partido X e os 6 deputados do Partido Y. 
Os Partidos acordaram que os dois cargos não 
poderão ser ocupados por deputados de um 
mesmo Partido. O número de maneiras diferen-
tes de se escolher o presidente e o vice-presi-
dente dessa comissão, é: 
a) 16. 
b) 32. 
c) 60. 
d) 64. 
e) 120. 
 
6. ( FGV - 2018 - MPE-AL - Técnico do Ministério Público - 
Tecnologia da Informação) - Marta tem 20 bolas nu-
meradas de 1 a 20. Ela pinta de vermelho todas 
as bolas cujo número é múltiplo de 4, isto é, 4, 
8, 12 etc. A seguir, ela pinta de azul as bolas 
cujos números são antecessores de números das 
bolas que foram pintadas de vermelho. Por úl-
timo, ela pinta de verde as bolas cujos números 
são sucessores de números das bolas que foram 
pintadas de vermelho. Nenhuma outra bola foi 
pintada. O número de bolas não pintadas é 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
e) 8. 
 
7. ( FGV - 2018 - MPE-AL - Técnico do Ministério Público - 
Tecnologia da Informação)- Em uma reunião há 9 pes-
soas, das quais 6 se conhecem mutuamente e as 
outras 3 não conhecem nenhuma das outras 
pessoas presentes à reunião. As pessoas que se 
conhecem, se cumprimentam com um abraço e, 
as pessoas que não se conhecem, se cumpri-
mentam com um aperto de mão. Todas as pes-
soas presentes à reunião se cumprimentaram 
mutuamente. Assinale a opção que indica o nú-
mero de apertos de mãos que foram dados. 
a) 21 
b) 20. 
c) 18. 
d) 15. 
e) 12. 
 
 
 
8. (FCC - 2019 - TRF - 4ª REGIÃO - Analista Judiciário - 
Área Judiciária) - Alberto, Breno e Carlos têm, ao 
todo, 40 figurinhas. Alberto e Breno têm a 
mesma quantidade de figurinhas e Carlos tem a 
metade da quantidade de figurinhas de Breno. A 
quantidade de figurinhas que Alberto e Carlos 
têm juntos é 
 
a) 16 
b) 8 
c) 24 
d) 32 
e) 20 
 
 9. (FCC - 2019 - TRF - 4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área 
Judiciária) - Em um jogo de pôquer, independente-
mente do valor das fichas, uma ficha preta equi-
vale a 5 fichas verdes, uma verde equivale a 
duas azuis, uma azul equivale a 2 vermelhas e 
uma vermelha a 5 brancas. Dessa forma, 8 fi-
chas verdes são equivalentes a 
 
a) 1 preta, 5 azuis e 2 vermelhas. 
b) 1 preta, 5 azuis e 5 brancas. 
c) 1 preta, 5 azuis e 15 brancas. 
d) 10 azuis, 10 vermelhas e 5 brancas. 
e) 10 azuis, 15 vermelhas e 10 brancas. 
 
10. (FCC - 2019 - SEFAZ-BA - Auditor Fiscal - Administração 
Tributária - Prova II). - A oferta para determinado produto 
foi modelada pela função y = 90 - 1,2x, em que y repre-
senta o preço unitário para uma oferta de x unidades 
do produto. A demanda para o mesmo produto foi mo-
delada pela função y = 1,4x + 12, em que x representa 
o número de unidades procuradas quando o preço do 
produto é y. Nessas condições, as coordenadas para o 
ponto de equilíbrio de mercado, isto é, o ponto em que 
a oferta é igual à demanda, são: 
 
a) (50, 30). 
b) (40, 42). 
c) (30, 54). 
d) (20, 66). 
e) (10, 78). 
 
11. (FCC - 2019 - SEFAZ-BA - Auditor Fiscal - Administração 
Tributária - Prova II). - Após licitação, notebooks fo-
ram adquiridos por secretaria municipal, no valor 
unitário de 12 mil reais. Suponha que o preço do 
equipamento (y) seja uma função y = mx + n, 
sendo x o número de anos de utilização do equi-
pamento, com m e n parâmetros reais. Conside-
rando que na época inicial (x = 0) tem-se que y 
= 12 mil reais e que para x = 7 o valor de y é 
igual a 800 reais, o valor do equipamento para x 
= 4 é igual a, em reais, 
 
 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2018-al-ro-analista-legislativo-administracao
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2018-al-ro-analista-legislativo-administracao
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2018-mpe-al-tecnico-do-ministerio-publico-tecnologia-da-informacao
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2018-mpe-al-tecnico-do-ministerio-publico-tecnologia-da-informacao
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2018-mpe-al-tecnico-do-ministerio-publico-tecnologia-da-informacao
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2018-mpe-al-tecnico-do-ministerio-publico-tecnologia-da-informacao
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fcc-2019-trf-4-regiao-analista-judiciario-area-judiciaria
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fcc-2019-trf-4-regiao-analista-judiciario-area-judiciaria
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fcc-2019-trf-4-regiao-analista-judiciario-area-judiciaria
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fcc-2019-trf-4-regiao-analista-judiciario-area-judiciaria
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fcc-2019-sefaz-ba-auditor-fiscal-administracao-tributaria-prova-ii
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fcc-2019-sefaz-ba-auditor-fiscal-administracao-tributaria-prova-ii
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fcc-2019-sefaz-ba-auditor-fiscal-administracao-tributaria-prova-ii
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fcc-2019-sefaz-ba-auditor-fiscal-administracao-tributaria-prova-ii
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a) 4200. 
b) 4600. 
c) 5200. 
d) 5600. 
e) 7200. 
12. (FGV - 2019 - Prefeitura de Salvador - BA - Professor - 
Matemática) 
O gráfico da função real ݂ ƒ é uma reta. Sabe-se que 
ƒ(6) = 10 e que ݂ ƒ(22) = 18. 
Então, ƒ(88) é igual a 
a) 29. 
b) 40. 
c) 51. 
d) 62. 
e) 76. 
13. (FGV - 2019 - Prefeitura de Salvador - BA - Professor - 
Matemática) - Uma colônia de bactérias, inicial-
mente com 10 bactérias, dobra de tamanho a 
cada hora. A função que expressa o número N(t) 
de bactérias dessa colônia, t horas após o ins-
tante inicial é 
 
a) N(t) =10t . 
b) N(t) =20t . 
c) N(t) =10 + 2t . 
d) N(t) = 10 ⋅ 2t 
e) N(t) = 10 ⋅ t2 
 
14. (FGV - 2019 - Prefeitura de Salvador - BA - Agente de 
Trânsito e Transporte) 
 
As amigas Flávia, Gilda e Hilda, saíram para fa-
zer um lanche. A primeira tinha 35 reais, a se-
gunda 45 reais e a terceira, 64 reais. Como Hilda 
tinha mais dinheiro, ela deu a cada uma das ami-
gas alguma quantia de forma que ficassem, as 
três, com quantias iguais. É correto concluir que 
a) Flávia ganhou mais 10 reais do que Gilda. 
b) Hilda ficou com menos 14 reais. 
c) Flávia ganhou 12 reais. 
d) Hilda perdeu a terça parte do que tinha. 
e) Gilda ganhou 4 reais. 
 
 
15. (FGV - 2019 - Prefeitura de Salvador - BA - Agente de 
Trânsito e Transporte) 
 
Em uma obra há várias tábuas, todas iguais. 
Cada tábua pesa 6 kg mais 1/6 de tábua. O 
peso de 20 tábuas é 
 
a)120 kg. b) 132 kg. c) 140 kg. d) 144 kg. e) 150 kg. 
 
 
 
GABARITO 
 
1. E 
2. C 
3. C 
4. A 
5. E 
6. C 
7. A 
8. C 
9. A 
10. C 
11. D 
12. C 
13. D 
14. A 
15. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2019-prefeitura-de-salvador-ba-professor-matematica
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2019-prefeitura-de-salvador-ba-professor-matematica
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2019-prefeitura-de-salvador-ba-professor-matematica
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2019-prefeitura-de-salvador-ba-professor-matematica
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2019-prefeitura-de-salvador-ba-agente-de-transito-e-transporte
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2019-prefeitura-de-salvador-ba-agente-de-transito-e-transporte
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2019-prefeitura-de-salvador-ba-agente-de-transito-e-transporte
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2019-prefeitura-de-salvador-ba-agente-de-transito-e-transporte
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1) (IBAM – Oficial de Administração – 
Santos 2016) - Numa pesquisa sobre preferência 
em relação a dois comediantes (A e B), foram 
consultadas 3000 pessoas, sendo que, o resul-
tado demonstrou que 1350 pessoas gostam do 
comediante “A”, 1420 gostam do comediante “B” 
e 510 gostam dos comediantes “A” e “B”. Quan-
tas pessoas não gostam dos comediantes? 
a) 640 
b) 840 
c) 740 
d) 940 
 
2) (IBAM – Agente Administrativo – Praia 
Grande 2012) 
Todos os dias um restaurante prepara suco de 
laranja da seguinte forma: 15 dúzias de laranjas 
são espremidas e sobre esse total se adiciona 𝟐⁄𝟓 
de água para completar o suco a ser servido. 
Considerando que 3 laranjas espremidas equiva-
lem a 250 ml, quantos litros de suco são prepa-
rados diariamente? 
a) 16 litros. 
b) 18 litros. 
c) 21 litros. 
d) 24 litros. 
 
3) (IBAM – AgenteAdministrativo – Praia 
Grande 2012) 
O tapete ilustrado na figura abaixo mede 4,2m 
x 2,2m. Qual é a área de cada um dos losangos 
representados? 
 
 
a) 0,77 m²; 
b) 0,84 m²; 
c) 0,88 m²; 
d) 1,32 m²; 
 
4) (IBAM – Agente Administrativo – Praia 
Grande 2012) 
Uma pessoa gastou 32% de uma certa quantia 
no mercado e 10% do que restou na banca de 
jornal, sobrando R$ 290,70. Qual era a quantia 
inicial? 
a) R$ 440,40; 
b) R$ 450,00; 
c) R$ 475,00; 
d) R$ 501,20; 
 
5) (IBAM – Agente Administrativo – Praia 
Grande 2012) 
Dois sócios repartiram o lucro de um investi-
mento, no valor de R$ 7200,00, de forma pro-
porcional ao valor que cada um investiu inicial-
mente. Sabendo que o sócio A investiu R$ 
2200,00 a mais que o sócio B e seu lucro foi de 
R$ 1200,00 a mais que o sócio B, qual foi o in-
vestimento inicial do sócio A? 
a) R$ 6700,00; 
b) R$ 7700,00; 
c) R$ 8900,00; 
d) R$ 9900,00; 
 
6) (IBAM – Agente Administrativo – Praia 
Grande 2012) 
O capital de R$ 1400,00 rende mensalmente R$ 
56,00. Qual é a taxa anual de juros pelo sis-
tema de juros simples? 
a) 25% 
b) 29% 
c) 40% 
d) 48% 
 
7) (IBAM – Agente Administrativo – Praia 
Grande 2012) 
A soma de dois números inteiros é 70. Sabendo 
que a ração entre eles é 𝟑 ⁄𝟕, qual é o menor 
deles? 
a) 21; 
b) 24; 
c) 27; 
d) 30; 
 
8) (IBAM – Auxiliar de laboratório – Administra-
tivo II – Cândido de Abreu – PR – 2017) 
Um mecânico colocou (x + 6) parafusos na caixa 
A e (x – 10) parafusos na caixa B. Considere que 
o total de parafuso colocados nessas duas caixas 
é igual a 96. A quantidade de parafusos foi colo-
cada na caixa B: 
a) 55 
b) 50 
c) 45 
d) 40 
 
9) (IBAM – Auxiliar Legislativo – Administrativo 
II – Cubatão – 2010 – Adaptada). 
A tabela abaixo retrata as informações nutricio-
nais contidas em uma embalagem de salgadi-
nho. Com base nestas informações, podemos 
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concluir que em 1 kg deste salgadinho, teremos 
quantos gramas de sódio? 
 
 
a) 4,35g 
b) 5,08g 
c) 6,22g 
d) 7,36g 
 
10) (IBAM – Auxiliar Legislativo – Administra-
tivo II – Cubatão – 2010– Adaptada). 
A tabela abaixo registra os gols marcados e so-
fridos pelos times de futebol de um colégio, após 
o encerramento de um campeonato interno. 
 
 
Quais são os times que apresentam um saldo 
de gols (diferença entre o número de gols mar-
cados e sofridos) simétrico? 
 
a) Galera do Bem e Fui. 
b) Força Jovem e Sai de Baixo. 
c) Fui e Sei Não. 
d) Galera do Bem e Timeco. 
 
11) (IBAM – Agente Administrativo – Praia 
Grande 2012) 
Três candidatos A, B e C concorriam à presidên-
cia de um clube. Para escolher o vencedor cada 
eleitor presente votou em dois candidatos de sua 
preferência. O resultado foi o seguinte: 
 
➔ 76 votos para os candidatos A e B; 
➔ 74 votos para os candidatos B e C; 
➔ 50 votos para os candidatos A e C; 
 
Podemos dizer que: 
a) O candidato B venceu com 150 votos. 
b) Os candidatos B e C empataram em 2º 
lugar. 
c) Havia 150 eleitores presentes. 
d) O candidato A venceu com 136 votos. 
 
12) (IBAM – Agente de trânsito – Mauá – 
2009) 
O perímetro de um terreno retangular de 286 
metros de comprimento é igual ao de um qua-
drado com 162 metros de lado. Qual é a lar-
gura desse terreno? 
a) 38m 
b) 56m 
c) 76m 
d) 181m 
 
13) (IBAM – Agente Administrativo – Santo 
André – 2010) 
Um estudante universitário gasta 28% de seu 
salário para pagar a mensalidade de seu curso. 
Se a mensalidade do curso for reajustada em 
20% e o seu salário em 3%, que porcentagem 
do salário, aproximadamente, passará a ser uti-
lizada para pagar a faculdade após os reajustes? 
a) 30,0% 
b) 31,3% 
c) 32,6% 
d) 33,6% 
 
14) (IBAM – Agente Administrativo – Santo 
André – 2010) 
Um pai distribui certa quantia entre seus três fi-
lhos, de modo que o primeiro filho recebe 1/5 do 
total que o pai possuía, o segundo filho recebe o 
dobro do valor recebido pelo primeiro e o ter-
ceiro filho recebe metade do valor recebido pelo 
segundo acrescido de R$ 200,00. Sabendo que 
após a partilha ainda restou ao pai o valor de R$ 
120,00, qual o valor recebido pelo terceiro filho? 
a) R$ 320,00 
b) R$ 520,00 
c) R$ 640,00 
d) R$ 960,00 
 
 
 
 
 
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15) (IBAM – Agente Administrativo – Santo 
André – 2010) 
 
Pedro trabalha a uma distância de 1,64km de 
sua casa. Dessa distância 5/8 ele faz de ônibus 
e o restante, a pé. Quantos metros ele precisa 
andar para chegar ao trabalho? 
 
a) 0,328 metros 
b) 20,5 metros 
c) 102,5 metros 
d) 615 metros 
 
16) (IBFC – Auxiliar de Perícia – 2017) 
 
Um paralelepípedo retângulo tem as seguintes 
dimensões: 5m de comprimento, 6m de largura 
e 8m de altura. Nessas condições, a medida da 
área total e o volume deste paralelepípedo são, 
respectivamente: 
a) 60m² e 138m³. 
b) 236m² e 240m³. 
c) 236m² e 260m³. 
d) 240m² e 260m³. 
e) 280m² e 240m³. 
17) (VUNESP – Ajudante Administrativo – 
Sumaré – 2017) 
 
Um terreno está representado na figura pelo 
polígono ABCDEF e tem suas medidas em me-
tros. O perímetro desse terreno, em metros, é 
 
a) 2200 
b) 2800 
c) 3000 
d) 3100 
e) 3200 
 
18) (Nosso Rumo – Artífice – 2017) 
 
Uma máquina faz 344 brinquedos por hora. 
Sendo assim, assinale a alternativa que apre-
senta quantos brinquedos a máquina faz em 2 
horas e 45 minutos. 
a) 946 brinquedos 
b) 860 brinquedos 
c) 920 brinquedos 
d) 850 brinquedos 
 
19) (FGV – Auxiliar de Desenvolvimento 
Infantil – 2017) 
 
Em uma pequena fábrica de roupas, 5 costurei-
ras, com a mesma eficiência, produzem o 
mesmo número de peças todos os dias. Sabe-se 
que essas costureiras, trabalhando durante 6 
dias, produzem 480 camisetas. Assinale a opção 
que indica o número de camisetas que 4 dessas 
costureiras, trabalhando durante 10 dias, produ-
zirão. 
 
a) 520 
b) 560 
c) 600 
d) 640 
e) 680 
 
20) (FGV – Auxiliar de Desenvolvimento 
Infantil – 2017) 
 
Duas (2) secretárias trabalhando por três (3) 
dias, oito (8) horas por dia, conferem dez (10) 
processos. Se fossem três (3) secretárias, com 
a mesma jornada de trabalho das anteriores, 
em quantos dias elas poderiam conferir vinte e 
cinco (25) processos? 
a) 5 dias 
b) 7 dias 
c) 9 dias 
d) 10 dias 
e) 12 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SIMULADO FCC 
 
1) (FCC – Assistente Técnico de Tecnologia da 
Informação da SEMEF – Manaus - 2019). 
 
Uma loja vende camisetas em dois tamanhos, P 
e G, e em três cores, azul, verde e branco. Em 
um determinado mês, a loja vendeu 35 camise-
tas, sendo 17 de tamanho P. Sabendo, ainda, 
que, das camisetas vendidas, 10 eram verdes de 
tamanho G, 7 eram brancas de tamanho P, 18 
não eram verdes e a quantidade de camisetas 
azuis vendidas era igual à metade das camisetas 
brancas vendidas, é correto concluir que o nú-
mero de camisetas azuis de tamanho G vendidas 
naquele mês foi 
 
a) 3. 
b) 18. 
c) 12. 
d) 5. 
e) 7. 
 
2) (FCC – Técnico em Web Design – SEMEF - 
2019) - Os irmãos Antônio, Bento e Celso eram 
proprietários de um terreno, de modo que Antô-
nio tinha a posse de metade do terreno e Bento 
tinha a posse de 1/3 do terreno, cabendo a Celso 
o restante do terreno. Celso vendeu sua parte 
aos irmãos, metade para cada um. Após a 
venda, a razão dada pela parte do terreno que 
cabe a Bento sobre a parte que cabe a Antônio é 
de: 
 
a) 5/7 
b) 2/3 
c) 4/5 
d) 7/9 
e) 3/4 
 
3) (FCC – Técnico em Web Design – SEMEF – 
2019 - Adaptada) - Um atleta leva 2 minutose 
6 segundos para dar uma volta mais 3/4 de volta 
em uma pista de corrida. Mantendo a mesma ve-
locidade média, o tempo que o atleta leva para 
percorrer 2/3 de uma volta na pista é de 
 
a) 43 segundos 
b) 48 segundos 
c) 112 segundos 
d) 200 segundos 
e) 331 segundos 
 
 
 
 
4) (FCC – Técnico em Web Design – SEMEF 
– 2019) - Um carro, cujo tanque de combustível 
tem capacidade de 50 L, percorre 430 km com o 
tanque cheio de etanol e 600 km com o tanque 
cheio de gasolina. Suponha que, para esse carro, 
o rendimento de qualquer mistura de combustí-
veis no tanque seja proporcional às quantidades 
relativas de etanol e de gasolina. Sabendo que o 
tanque tem 3/8 de sua capacidade ocupada com 
etanol, se o tanque for completado com gaso-
lina, o consumo médio com essa mistura ficará, 
em quilômetros por litro, entre 
 
a) 9,6 e 10,0. 
b) 10,1 e 10,5. 
c) 10,6 e 11,0. 
d) 9,1 e 9,5. 
e) 8,6 e 9,0. 
 
5) (FCC – Técnico em Web Design – SEMEF 
– 2019) 
 
 
 
a) Z < X < Y. 
b) Z < Y < X. 
c) Y < Z < X. 
d) X < Y < Z. 
e) Y < X < Z. 
 
6) (FCC – Auditor Fiscal – SEFAZ – BA - 2019) - 
Um grupo de trabalho formado por 20 funcioná-
rios foi incumbido de realizar uma tarefa no 
prazo de 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. 
Como no final do 18° dia apenas 3/7 da tarefa 
haviam sido concluídos, decidiu-se aumentar o 
número de funcionários do grupo a partir do 
19° dia, trabalhando 8 horas por dia. Sabe-se 
que todos os funcionários trabalharam com de-
sempenho igual, e que as demais condições se 
mantiveram constantes. Considerando que toda 
a tarefa foi concluída no final do prazo estabe-
lecido, tem-se que o número de funcionários 
que foram incorporados ao grupo a partir do 
19° dia foi 
 
a) 6. 
b) 12. 
c) 4. 
d) 10. 
e) 8. 
 
 
 
 
 
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7) (FCC – Assistente Técnico Fazendário – SE-
MEF – Manaus - 2019) - Para a festa de aniver-
sário de seu filho, Simone seguiu as instruções 
no rótulo de uma garrafa de suco de uva con-
centrado e misturou seu conteúdo com água na 
proporção de 2/3 de água e 1/3 de suco concen-
trado, em volume, obtendo, assim, 900 mL de 
refresco de uva. Ao notar que o número de cri-
anças na festa seria maior do que o que previra, 
Simone diluiu um pouco mais o refresco, mistu-
rando mais água, de forma que, depois da dilui-
ção, a parte do volume que correspondia a água 
ficou sendo 3/4. O volume de refresco obtido 
após a diluição foi de 
 
a) 2,1L. 
b) 1,5L. 
c) 1,8L. 
d) 1,2L. 
e) 2,4L. 
 
8) (FCC – Assistente Técnico Fazendário – SE-
MEF – Manaus - 2019) - Paulo deseja pintar um 
muro de 440 metros quadrados de área total e 
foi informado que são necessários 30 L de tinta 
para pintar uma área de 120 metros quadrados. 
A tinta é vendida apenas em latas de 18 L ao 
preço de R$ 280,00 a lata. O mínimo que Paulo 
necessita gastar para adquirir uma quantidade 
suficiente de tinta para pintar o muro é 
 
a) R$ 1.680,00. 
b) R$ 1.960,00. 
c) R$ 2.680,00. 
d) R$ 1.820,00. 
e) R$ 1.120,00. 
 
9) (FCC – Assistente Técnico Fazendário – SE-
MEF – Manaus - 2019) - Rodrigues recebeu uma 
quantia em dinheiro em uma determinada data. 
A metade dessa quantia ele aplicou sob o regime 
de capitalização simples, a uma taxa de 9,6% ao 
ano, durante 6 meses. A outra metade ele apli-
cou sob o regime de capitalização composta, a 
uma taxa de 2% ao trimestre, durante 1 semes-
tre. Se o montante correspondente à aplicação 
sob regime de capitalização simples apresentou 
um valor igual a R$ 13.100,00, então, a soma 
dos valores dos juros das duas aplicações foi de 
 
a) R$ 1.000,00. 
b) R$ 990,00. 
c) R$ 1.105,00. 
d) R$ 1.200,00. 
e) R$ 1.120,00. 
 
 
10) (FCC – Assistente Técnico Fazendário – SE-
MEF – Manaus - 2019) - Adriana, Bianca, Carla 
e Daniela almoçaram juntas em um restau-
rante. Adriana pagou 1/3 do total da conta, Bi-
anca pagou 1/4 do total da conta e Carla pagou 
1/5 do total da conta. Se restaram R$ 39,00 
para Daniela totalizar a conta, então o valor to-
tal da conta foi de 
 
a) R$ 180,00. 
b) R$ 120,00. 
c) R$ 156,00. 
d) R$ 221,00. 
e) R$ 245,00. 
 
11) (FCC – Assistente Técnico Fazendário – 
SEMEF – Manaus - 2019) - Fernando pagou R$ 
100,00 de conta de água e R$ 120,00 de conta 
de luz referentes ao consumo no mês de janeiro. 
Se a conta de água sofreu redução mensal de 
15% nos meses de fevereiro e março subse-
quentes, e a conta de luz sofreu aumento mensal 
de 10% nesses dois meses, para pagar as contas 
de água e de luz referentes ao consumo no mês 
de março, Fernando gastou, no total, 
 
a) R$ 2,55 a menos do que gastou nas contas 
referentes ao consumo do mês de janeiro. 
b) R$ 4,00 a mais do que gastou nas contas 
referentes ao consumo do mês de janeiro. 
c) R$ 1,75 a mais do que gastou nas contas 
referentes ao consumo do mês de janeiro. 
d) R$ 6,00 a menos do que gastou nas contas 
referentes ao consumo do mês de janeiro. 
e) R$ 0,65 a mais do que gastou nas contas 
referentes ao consumo do mês de janeiro. 
 
12) (FCC – Assistente Técnico Fazendário – 
SEMEF – Manaus - 2019) - Uma loja vende cha-
veiros em formato quadrado ou redondo, nas co-
res azul ou amarelo. Em um determinado mês, 
essa loja vendeu 27 chaveiros redondos. Sa-
bendo que o total de chaveiros azuis vendidos 
nesse mês foi de 17, dos quais 15 são quadra-
dos, e que 1/6 dos chaveiros amarelos vendidos 
são quadrados, é correto concluir que o total de 
chaveiros vendidos pela loja nesse mês foi de 
 
a) 51. 
b) 48. 
c) 50. 
d) 49. 
e) 47. 
 
13) (FCC – Assistente Técnico Fazendário – SE-
MEF – Manaus - 2019) - Em uma determinada 
data, Henrique recebeu, por serviços prestados 
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a uma empresa, o valor de R$ 20.000,00. Gas-
tou 37,5% dessa quantia e o restante aplicou a 
juros simples, a uma taxa de 18% ao ano. Se no 
final do período de aplicação ele resgatou o mon-
tante correspondente de R$ 14.000,00, significa 
que o período dessa aplicação foi de 
 
a) 1 trimestre. 
b) 10 meses. 
c) 1 semestre. 
d) 8 meses. 
e) 1 ano e 2 meses. 
 
14) (FCC – Assistente Técnico Fazendário – SE-
MEF – Manaus - 2019) - Uma loja de produtos 
eletrodomésticos anuncia duas condições para 
a compra de determinado produto: 
 
- Compra com pagamento à vista no valor de 
R$ 1.900,00; 
- Compra a prazo, sendo uma entrada no valor 
de R$ 500,00 e o pagamento de uma parcela 
adicional no valor de R$ 1.484,00 após 2 meses 
da data da compra. 
 
Se a empresa utiliza o regime de capitalização 
simples, a taxa de juros simples, em percentual 
ao mês, que cobra na venda a prazo é 
 
a) 1,06%. 
b) 3,00%. 
c) 2,21%. 
d) 0,53%. 
e) 6,00%. 
 
15) (FCC – Analista de Gestão Pública – Prefei-
tura – Recife - 2019) - Com o objetivo de anali-
sar a distribuição dos salários dos empregados 
de uma empresa, verificou-se que 10 emprega-
dos ganham, cada um, R$ 15.000,00; 20 ga-
nham, cada um, R$ 2.500,00; 25 ganham, cada 
um, R$ 12.000,00; 60 ganham, cada um, R$ 
5.000,00 e os restantes ganham, cada um, R$ 
8.000,00. Sabendo-se que a mediana dos salá-
rios apresentou um valor igual a R$ 6.500,00, 
obtém-se que o valor da média aritmética su-
pera o da moda em 
 
a) R$ 3.000,00. 
b) R$ 2.250,00. 
c) R$ 2.500,00. 
d) R$ 2.750,00. 
e) R$ 3.250,00. 
 
 
 
 
16) (FCC – Analista de Gestão Pública – Prefei-
tura – Recife - 2019)- Em um órgão público, 12 
funcionários que trabalham com desempenhos 
iguais e constantes são escalados para realizar 
uma tarefa. Sabe-se que eles começaram a tra-
balhar às 9 horas e, às 10 horas e 20 minutos, 
verificou-se que 60% da tarefa já havia sido re-
alizada e que 2 funcionários haviam deixado a 
equipe. Com a retiradadesses 2 funcionários e 
não tendo ocorrido interrupção no trabalho, a 
tarefa será finalizada às 11 horas e 
 
a) 24 minutos. 
b) 15 minutos. 
c) 30 minutos. 
d) 40 minutos. 
e) 36 minutos. 
 
17) (FCC – Analista de Gestão Pública – Prefei-
tura – Recife - 2019) - De uma caixa com uma 
certa quantidade de laranjas, decide-se repartir 
uma parte das laranjas a algumas crianças em 
uma sala, de tal maneira que cada uma receba 
a mesma quantidade de laranjas. Se cada cri-
ança receber 10 laranjas, sobrarão 5 laranjas 
na caixa e, se cada criança receber 8 laranjas, 
sobrarão 19 laranjas na caixa. Se cada criança 
receber 7 laranjas, o número de laranjas que 
sobrarão na caixa será de 
 
a) 29. 
b) 25. 
c) 27. 
d) 26. 
e) 24. 
 
18) (FCC – Analista de Planejamento – 
Prefeitura – Recife - 2019) - Sejam 3 cidades 
(X, Y e Z) localizadas em uma determinada re-
gião. A cada 25 minutos sai um ônibus de X 
para Y e a cada 15 minutos sai um ônibus de X 
para Z. Sabe-se que às 8 horas e 30 minutos 
saiu um ônibus de X para Y e um ônibus de X 
para Z. O primeiro horário após o meio-dia em 
que vai sair um ônibus de X para Y e um ônibus 
de X para Z será às 
 
a) 12 horas e 30 minutos. 
b) 13 horas. 
c) 12 horas e 45 minutos. 
d) 12 horas e 15 minutos. 
e) 13 horas e 15 minutos. 
 
 
 
 
 
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19) (FCC – Escriturário – BANRISUL - 2019) - 
Em uma mercearia, vende-se queijo ao preço de 
R$ 70,00 por 1,5 kg. Gastando exatamente R$ 
203,00, o número de porções de 75 g de queijo 
que se pode adquirir nessa mercearia é 
 
a) 60. 
b) 62. 
c) 58. 
d) 61. 
e) 59. 
 
20) (FCC – Escriturário – BANRISUL - 2019) - 
Uma papelaria vende cadernos de dois tama-
nhos: pequenos e grandes. Esses cadernos po-
dem ser verdes ou vermelhos. No estoque da pa-
pelaria, há 155 cadernos, dos quais 82 são ver-
melhos e 85 são pequenos. Sabendo que 33 dos 
cadernos em estoque são pequenos e verme-
lhos, a porcentagem dos cadernos grandes que 
são verdes é 
 
a) 25%. 
b) 30%. 
c) 15%. 
d) 20%. 
e) 35%.