Prévia do material em texto

Estudo dirigido 8ºAno C – Total de aulas 12 aulas 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (AULA1) 
 
A análise combinatória é utilizada para resolver problemas de contagem. 
Utilizando os processos combinatórios é possível determinar o número de combinações, 
arranjos e permutações possíveis. Para cada uma destas aplicações, alguns critérios 
devem ser respeitados. Iremos agora conduzir você a entender o Diagrama da Árvore. 
Quando conseguir assimilar esta estrutura será fácil entender o Princípio Fundamental da 
Contagem, que define - se como sendo: 
O produto de duas ou mais etapas independentes. Em notação matemática isso 
seria o mesmo que considerarmos, que determinada atividade pode ser realizada em duas 
etapas, ou seja, de m e n maneiras distintas, o total de possibilidades será dado pelo 
produto de m por n (m x n). Iremos agora resolver um problema utilizando o Diagrama 
da Árvore para que possamos entender o Princípio Fundamental da Contagem: 
Problema: Jeniffer irá participar da promoção de uma loja de roupas que está dando um 
vale compras no valor de R$ 1000,00 reais. Ganhará o desafio o primeiro participante que 
conseguir fazer o maior número de combinações com o kit de roupa cedido pela loja. No 
kit temos: seis camisetas, quatro saias e dois pares de sapato do tipo salto alto. De quantas 
maneiras distintas Jeniffer poderá combinar todo o vestuário que esta no quite de roupa? 
Peças que compõem o kit de roupa 
 
https://www.infoescola.com/matematica/analise-combinatoria/
Utilizando o Diagrama da Árvore vamos descobrir a quantidade de combinações 
possíveis. 
 
 
 
Ao realizar a contagem iremos constatar a quantidade referente à 48 
combinações possíveis. 
A outra forma que temos para resolver este problema é utilizando o Princípio 
Fundamental da Contagem. 
Total de camisetas X Total de Saias X Total Sapatos = Total de combinações possíveis 
6 x 4 x 2 = 48 
Observe que ao utilizarmos o Princípio Fundamental da Contagem, também foi 
possível determinar o número de combinações do Kit roupa, este número corresponde ao 
que foi encontrado quando utilizamos o Diagrama da árvore. 
Para entendermos o princípio fundamental da contagem vamos analisar a seguinte 
situação: João possui 4 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e 2 pares de sapatos. De quantas 
maneiras diferentes ele pode se vestir? 
Observe os esquemas a seguir: 
 
 
 
Cada esquema representa todas as possíveis combinações envolvendo os objetos 
do vestuário de João. Uma maneira mais simplificada e eficaz de resolver tal situação 
consiste em determinar a multiplicação entre a quantidade de elementos de cada conjunto. 
Observe: 
4 * 3 * 2 * 2 = 48 combinações. 
De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um evento é composto 
por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número de combinações será 
determinado pelo produto entre as possibilidades de cada conjunto. 
Observe outro exemplo: 
Numa lanchonete há 8 tipos de sanduíche, 5 tipos de sucos e 6 tipos de sorvetes. Quantas 
são as possíveis combinações de um lanche nessa lanchonete? 
Utilizando o princípio fundamental da contagem temos: 
8 * 5 * 6 = 240 maneiras de realizar um lanche. 
Treine: 
1-Ana foi a uma loja e comprou três blusas (rosa, branca, azul) e duas saias (preta e verde). 
Com as peças de roupas compradas, Ana fez todas as combinações possíveis e as registrou 
de duas maneiras diferentes, conforme mostrado a seguir. Quantas combinações de 
roupas Ana conseguiu formar? Será que existe uma outra maneira diferente das que foram 
apresentadas, para saber a quantidade de combinações? 
2-Mariana é manicure e maquiadora. Uma cliente foi até seu salão e levou consigo 5 cores 
de esmalte e 6 cores de batom para decidir, com Mariana, qual a melhor combinação entre 
os esmaltes e as cores de batom. De quantas diferentes Mariana pode maneiras combinar 
as cores para atender sua cliente? 
3-Jorge está saindo de férias e decidiu visitar um amigo que mora no alto das montanhas. 
Ao traçar o percurso de sua viagem, viu que seria possível escolher três estradas (1, 2 e 
3) distintas para chegar até a casa do amigo. De quantos modos diferentes Jorge poderá 
fazer sua viagem de ida e volta? 
4- Marcos é representante de sala e na sua escola haverá um campeonato interclasses. Ele 
se reuniu com sua turma para decidirem as cores das listras da bandeira a ser colocada 
nas camisetas que serão utilizadas por eles durante os jogos. Ficou decidido pela turma 
que as cores das listras da bandeira seriam amarela, verde, branca e vermelha, não 
necessariamente nessa ordem. Então Marcos fez o desenho apenas para ilustrar uma 
possível opção. Sabendo que a bandeira terá 4 listras pintadas de cores diferentes, de 
quantas maneiras essa turma poderá colorir a bandeira? 
5-Em uma sala de aula existem 12 alunas, onde uma delas chama-se Carla, e 8 alunos, 
onde um deles atende pelo nome de Luiz. Deseja-se formar comissões de 5 alunas e 4 
alunos. Determine o número de comissões, onde simultaneamente participam Carla e 
Luiz. 
 
6-Um time de futebol é composto de 11 jogadores, sendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meio 
campistas e 2 atacantes. Considerando-se que o técnico dispõe de 3 goleiros, 8 zagueiros, 
10 meio campistas e 6 atacantes, determine o número de maneiras possíveis que esse time 
pode ser formado. 
7-Um pesquisador científico precisa escolher três cobaias, num grupo de oito cobaias. 
Determine o número de maneiras que ele pode realizar a escolha. 
8-No jogo de basquetebol, cada time entra em quadra com cinco jogadores. 
Considerando-se que um time para disputar um campeonato necessita de pelo menos 12 
jogadores, e que desses, 2 são titulares absolutos, determine o número de equipes que o 
técnico poderá formar com o restante dos jogadores, sendo que eles atuam em qualquer 
posição. 
Fatorial (AULA2) 
O fatorial é uma ferramenta matemática utilizada na análise combinatória, na 
determinação do produto dos antecessores de um número maior que 1. Por exemplo: 
 
1! = 1 
2! = 2 * 1 = 2 
3! = 3 * 2 *1 = 6 
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 
6! = 6 * 5 *4 * 3 * 2 * 1 = 720 
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5 040 
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40 320 
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800 
 
E assim sucessivamente. 
Um exemplo de utilização de fatorial está presente no cálculo de anagramas de 
uma palavra. Lembrando que anagrama é a quantidade de novas palavras formadas com 
ou sem sentido, utilizando as letras de outra palavra. Por exemplo, vamos determinar os 
anagramas da palavra AMOR. 
A palavra AMOR é formada por quatro letras, portanto: 
 
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 palavras 
Treine 
1-Calcule o valor de: 6! 
2-Calcule o valor de 10! 
3-Calcule o valor de: 5!+3! 
4-Qual o valor de: 6!−4!6!−4! ? 
5-Qual o valor de: 4!⋅3!⋅5!4!⋅3!⋅5! ? 
6-Calcule: 5!/3! 
Porcentagem (AULA3) 
 
A porcentagem no dia-a-dia 185 Quem nunca precisou calcular um desconto 
oferecido por um vendedor? E aquela conta do mês passado esquecida na gaveta? Sabe 
calcular o valor da multa? Como você pode ver, a porcentagem faz parte do nosso 
cotidiano. Ela está presente nos descontos concedidos em compras, nos juros das 
prestações, nos dados estatísticos veiculados nos meios de comunicação etc. No universo 
da agropecuária, isso não é muito diferente. Lançamos mão da porcentagem, por exemplo, 
para calcular a quantidade de ração para os animais ou quando precisamos estimar a 
quantidade de um composto que deve ser adicionada a um adubo químico. 
 
 
 
É muito comum encontrarmos em livros didáticos definições sobre porcentagem 
capazes de gerar confusão na cabeça de qualquer pessoa. Esse não é nosso objetivo! Na 
tentativa de minimizar as possíveis dificuldades, procuramos desenvolver uma aula 
valorizando os conhecimentos que você já possui. Sendo assim, pense nailustração 
anterior e tente desenvolver em sua mente uma explicação para ela. Não conseguiu? 
Calma! Ao final desta aula você conseguirá 
Um pouco de história A porcentagem passou a ser utilizada no final do século XV 
em questões comerciais, como o cálculo de juros, prejuízo e impostos. A idéia, porém, 
teve origem muito antes. Quando o imperador romano César Augusto estabeleceu um 
imposto sobre todas as mercadorias, a taxa era 1/100. Outras taxas romanas eram de 1/20 
sobre cada escravo libertado e 1/25 sobre cada escravo vendido. Sem reconhecer 
porcentagens como tal, os romanos usavam frações facilmente redutíveis a centésimos 
(DAVIS, 1995, p. 64-65). 
Trabalhando com a porcentagem Vamos começar esta aula com um exemplo. 
Atualmente, muitas empresas adotam a prática de premiar os melhores funcionários do 
mês. Imagine que o seu futuro emprego será em alguma dessas empresas que valorizam 
seus colaboradores e por isso distribui um bônus de 30% (lê-se trinta por cento) a mais 
no salário dos seus melhores funcionários. Essa é uma boa situação para iniciarmos o 
estudo de porcentagem, não acha? Como tenho certeza de que você não perderá a 
oportunidade de ser o melhor funcionário da empresa, vamos analisar o que significa um 
aumento de 30% no seu salário. 
Receber esse prêmio de 30% a mais no seu salário significa dizer que para cada 
187 R$ 100,00 do seu salário você receberá R$ 30,00 a mais. Poderíamos, ainda, dizer 
que esse prêmio está numa razão de 30 por 100 ou simplesmente 30 100 , que é igual a 
0,30. Como você pôde observar no exemplo anterior, a taxa que representa o bônus 
oferecido pela empresa foi expressa de três formas diferentes: 
 Na forma percentual, 30% (trinta por cento – como o próprio nome já diz). 
Na forma fracionária – 30% correspondem a 30 100 . 
Na forma decimal – 30% equivalem a 0,30 
Supondo que você foi contratado com um salário inicial de R$ 1.000,00, como 
você pode calcular o bônus que irá receber no próximo mês? Vejamos o seguinte: Para 
cada R$ 100,00 do seu salário você receberá R$ 30,00 a mais, certo? Como R$ 1.000,00 
é igual a R$ 100,00 multiplicado por 10, basta, agora, multiplicar R$30,00 por 10. Assim, 
30% de R$ 1.000,00 (lê-se trinta por cento de R$ 1.000,00) são iguais a R$ 300,00. 
Portanto, você receberá um prêmio de R$ 300,00 por ter sido o melhor funcionário do 
mês. Está confuso? Calma! Observe com mais atenção a explicação a seguir: 
 
 
 
O esquema representa uma adição com 10 parcelas de R$ 100,00, que totalizam 
R$ 1.000,00. Também está indicado que para cada R$ 100 do salário você receberá R$ 
30,00 a mais. Multiplicando R$ 30,00 por 10, resultará em R$ 300,00, que é o valor do 
seu prêmio, ou seja: R$ 30,00 x 10 = R$ 300,00. Lembra-se da regra de três? Para o 
cálculo de porcentagem, você pode usar e abusar dessa regra. 
Usando a regra de três no cálculo de porcentagem No exemplo anterior, podemos 
calcular 30% de R$ 1.000,00 da seguinte maneira. Veja: 
 
 
Você já percebeu que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, % ↓ e 
R$↑. Montando a proporção e resolvendo a equação, temos: 100 /1000 = 30/ x ⇒ 100 . x 
= 1000 . 30 Com isso, x = 30000/ 100 ⇒ x = 300 Logo, você poderá receber um bônus 
de R$ 300,00. 
Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma fração de denominador 100 
189 (fração centesimal – 1/100) a um determinado valor, ou seja, multiplicamos a fração 
centesimal por esse valor. Assim, 30%... 30 x 1/100 = 30/100. Fração centesimal. Agora 
que você já está envolvido com a porcentagem, pratique um pouco e veja como esse 
conceito está presente em diversas situações do nosso dia-a-dia. 
 
Exemplos 
 
Perceba que quando escrevemos a porcentagem 100% é o mesmo que considerar 
um inteiro, ou seja, quando consideramos 100% de algo, estamos levando em conta 
o total daquilo. No caso de 210%, estamos considerando mais que um inteiro, isto é, 
consideramos 2,1 vezes o total. 
Para fazer o caminho de volta, ou seja, dado uma fração ou um número decimal 
para ser escrito na forma percentual, basta multiplicar o número em questão por 100. 
Veja: 
 
 
Calcule 50% de 600. 
Sabemos que 50% = 0,5, assim, basta fazer a substituição e multiplicar os valores. Veja: 
0,5 . 600 = 300 
Podendo também substituir os 50% na forma fracionária, ficando: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-numeros-inteiros.htm
 
Logo, 50% de 600 = 300. Veja que 50% representam a metade do total que é 600. 
 
Treine 
1-Há alguns anos, aproximadamente 18% da população brasileira eram de analfabetos. 
Isso quer dizer que, em cada 100 habitantes do Brasil, 18 não sabiam ler nem escrever. A 
população analfabeta se distribui de forma desigual em nosso país. Em São Paulo, ela 
representava cerca de 10%; no Piauí, em torno de 40% da população do estado. Usando 
essas informações, escreva no espaço indicado a quantidade de pessoas analfabetas que 
representam a taxa percentual indicada: 
 a. Em São Paulo, de cada 100 pessoas, ................................. são analfabetas. 
 b. No Piauí, de cada 100 pessoas,................................. são analfabetas. Após a solução 
dos itens anteriores, pense um pouco mais e tente resolver a questão a seguir: 
 c. Para cada 1.000 habitantes de São Paulo, ................................. são analfabetos 
2-Determine a área a ser desmatada de uma região de 200 km² de floresta Amazônica, 
considerando que os órgãos de defesa do meio ambiente permitiram derrubar somente 5% 
da região citada. 
3-No intuito de reduzir o consumo de energia elétrica mensal das residências de um 
determinado país, o governo baixou uma medida provisória decretando que todos 
reduzam o consumo de energia em até 15%. Essa medida foi criada para que não haja 
riscos de ocorrerem apagões, em razão da escassez de chuvas que deixaram os 
reservatórios das hidrelétricas abaixo do nível de segurança. Salvo que a água é utilizada 
na movimentação das turbinas geradoras de energia elétrica. De acordo com a medida 
provisória, uma residência com consumo médio de 652 quilowatts–hora mensais, terá que 
reduzir o consumo em quantos quilowatts–hora mensal? 
4-Em uma escola há 800 alunos matriculados, dos quais 60% praticam esportes. Desses 
60% temos que: 70% praticam futebol, 20% praticam vôlei e 10% fazem natação. 
Determine o número de alunos que praticam futebol, vôlei e natação. 
5-(Enem) – A taxa anual de desmatamento na Amazônia é calculada com dados de 
satélite, pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), de 1º de agosto de um ano 
a 31 de julho do ano seguinte. No mês de julho de 2009, foi registrado que o 
desmatamento acumulado nos últimos 12 meses havia sido 64% maior do que no ano 
anterior, quando o INPE registrou 4.974 km² de floresta desmatada. Nesses mesmos 12 
meses acumulados, somente o estado de Mato Grosso foi responsável por, 
aproximadamente, 56% da área total desmatada na Amazônia. 
De acordo com os dados, determine a área desmatada sob a responsabilidade do estado 
do Mato Grosso, em julho de 2008. 
6-Calcule o valor das porcentagens abaixo: 
a) 25% de 200 
b) 15% de 150 
c) 50% de 1200 
d) 38% de 389 
e) 12% de 275 
f) 11,5% de 250 
g) 75% de 345 
h) 124% de 450 
 
7-Se 35% dos 40 alunos da 5ª série de um colégio são homens, quantas mulheres existem 
na 5ª série? 
8-Aline foi comprar uma blusa que custava R$ 32,90, e conseguiu um desconto de 12%. 
Quanto Aline pagou pela blusa? 
9-Nilson decidiu compra um sítio e vai dar como entrada 25% do preço total, que 
corresponde a R$ 28.000,00. Qual é o preço do sítio? 
10-Ricardo comprou um terreno e, por ter pagado à vista, ganhou 15% de desconto, 
fazendo uma economia de R$ 2.250,00. Determine o preço do terreno. 
11-Paulo recebeu a noticia de que o aluguel da casa onde mora vai passar de R$ 654,00 
para R$ 715,60. Qual será o aumento percentual do aluguel? 
12-Na cidade de Coimbra, 6% dos habitantes são analfabetos. Oshabitantes que sabem 
ler são 150.400 pessoas. Quantos indivíduos moram nesta cidade? 
13-Nádia teve um reajuste salarial de 41%, passando a ganhar R$ 4.089,00. Qual era o 
salário de Nádia antes do reajuste? 
14-Em certo trimestre, as cadernetas de poupança renderam 2,1% de correção monetária. 
Paulo deixou R$ 1000,00 depositados durante os três meses. Quanto Paulo resgatou? 
15-Em um colégio 38% dos alunos são meninos e as meninas são 155. Quantos alunos 
têm esse colégio? 
16-(Enem) Uma pessoa investiu certa quantia em dinheiro na bolsa de valores. No 
primeiro mês, ela perdeu 30% do que investiu e, no segundo mês, teve um lucro de 40% 
sobre o saldo que havia ficado após o prejuízo. Após esses dois meses, essa pessoa teve 
com esse investimento, em relação ao capital inicial aplicado, 
a)um prejuízo de 2%. 
b)um lucro de 2%. 
c)um prejuízo de 4%. 
d)o mesmo valor de capital aplicado.