3 - Corpo Negro

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INÍCIO DO SÉCULO XX 
 Pilares 
 Mecânica (Newton) 
 Eletromagnetismo (Maxwell) 
 
 Físicos reescrevem a estória bíblica da criação na forma 
 
 No início Ele criou os céus e a terra - 
 
 e Ele disse, “Faça-se a luz” - 
 
 
 
 Terceiro suporte 
 Termodinâmica (Carnot, Mayer, Helmholtz, Clausius, Lord Kelvin) e 
Mecânica Estatística (Maxwell, Clausius, Boltzmann, Gibbs) 
𝐹 = 𝐺
𝑚𝑚′
𝑟2
= 𝑚𝑎 
 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑄
𝜀0
 
 𝐵 ∙ 𝑑𝐴 = 0 
 𝐸 ∙ 𝑑𝑠 = −
𝑑ΦB
𝑑𝑡
 
 𝐵 ∙ 𝑑𝑠 = 𝜇0𝐼 + 𝜀0𝜇0
𝑑ΦE
𝑑𝑡
 
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO 
 Cálculo da intensidade de radiação emitida por uma cavidade 
aquecida, em um determinado comprimento de onda 
 Solução: Planck (1900) 
 
 Baseia-se na termodinâmica e 
na mecânica estatística 
 
 Início da Mecânica Quântica 
1. Radiação Térmica 
Radiação emitida por um corpo devido à sua temperatura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Corpo emite e absorve para o meio, continuamente 
 
 Corpo mais quente que o meio: taxa de emissão > taxa de absorção 
 Corpo mais frio que o meio: taxa de emissão < taxa de absorção 
 Equilíbrio térmico: taxa de emissão = taxa de absorção 
 
 Matéria em estado consensado (sólido, líquido) emite um espectro 
contínuo de radiação 
 
 Espectro é praticamente independente do material 
 Espectro é dependente da temperatura do material 
 Temperatura usual: corpo é visível pela luz que reflete 
 Temperatura muito alta: corpo tem luminosidade própria 
 Maior parte da radiação emitida está na região do infra-vermelho (fora do visível) 
 
 Primeiras medidas precisas do espectro de radiação 
 
 Lummer, Pringsheim (1899) 
 Espectrômetro de prisma (lentes especiais transparentes em altos λ); bolômetro 
 
 Radiância espectral 
 
 = energia emitida em radiação com comprimento de onda entre λ e 
 λ +dλ , por unidade de tempo e por unidade de área, de uma 
 superfície à temperatura T 
 
 
 = ( ) 
 
 = potência irradiada entre λ e λ +dλ , por unidade de m2 , por um 
 corpo à temperatura T 
 
 Radiância 
 
 = potência irradiada por unidade de m2 , por um corpo à temperatura T 
 = área total sob a curva 
 
 = 
𝐸𝑇 𝜆, 𝜆 + 𝑑𝜆 
𝑡.𝑎
 
𝑅𝑇 𝜆 𝑑𝜆 
𝜆.𝜈 = 𝑐 
𝑅𝑇 
 𝑅𝑇 𝜆 𝑑𝜆
∞
0
 
 Espectro de radiação 
 
 Função de distribuição da radiância espectral em função do comprimento 
de onda λ da radiação emitida 
 versus λ 
 
𝜆 (μm) 
𝑅
𝑇
 𝜆
 
 (
u
n
id
a
d
e
s
 a
rb
itr
á
ri
a
s
) 
𝑅𝑇 𝜆 
𝑅𝑇 𝜆 
 Características da função de distribuição observada 
 
 Baixas T : pouca potência irradiada em altos λ 
 radiância nula para λ → 0 ou λ → ∞. 
 radiância cresce rapidamente com λ, fica máxima em λmax e depois 
 decai lenta mas continuamente 
 T mais altas: λmax diminui linearmente com o aumento de T 
 potência irradiada cresce com T de forma mais rápida que a linear 
 
 Lei de Stefan (1879) 
 
 Potência irradiada obedece à equação 
 Equação empírica, baseada nas observações experimentais 
 𝜎 = 5,67. 10-8 W.m-2.K-4 (constante de Stefan-Boltzmann) 
 
 Lei do Deslocamento de Wien (1894) 
 
 Comprimento de onda máximo obedece à equação 
 cW = 2,898. 10
-3 m.K-1 (constante de Wien) 
 
𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑊
1
𝑇
 
𝑅𝑇 = 𝜎𝑇
4 
 Lei exponencial de Wien (1896) 
 
 Função de densidade espectral deve ter a forma 
 
 F (λ,T): - relação entre F e a distribuição de velocidades de Maxwell; 
 - impondo validade da Lei do Deslocamento: 
 
 ⤇ 𝐹 𝜆,𝑇 = 𝛼𝑒𝛽 𝜆𝑇 
 
 Experimentalmente confirmada 
por Paschen (1899) para 
baixos λ (1-4 m) 
 Discrepância para medidas 
posteriores (1900) em mais 
altos λ (4-60 m) 
𝜌 𝜆 =
𝐹 𝜆,𝑇 
𝜆3
 
𝜌 𝜆 = 𝛼
𝑒𝛽 𝜆𝑇 
𝜆3
 
 Características 
 Emite espectros térmicos de caráter universal 
 Superfícies absorvem toda a radiação térmica que incide sobre ela 
 Não reflete luz (é negro) 
 
 Exemplo especial de Corpo Negro 
 
 Cavidade ligada ao exterior por um pequeno orifício 
 Radiação térmica vinda do exterior incide sobre o orifício e é refletida repetidas 
vezes pelas paredes interiores, sendo eventualmente absorvida pelas paredes 
 Área do orifício é muito pequena: essencialmente toda a radiação que incide 
sobre o orifício será absorvida pelo corpo (reflexão para fora é desprezível) 
 
 
 orifício absorve toda orifício tem as 
 a radiação térmica ⤇ propriedades de 
 incidente sobre ele um corpo negro 
 
2. Corpo Negro 
Aquecendo-se uniformemente as paredes da cavidade até a temperatura T: 
 
Paredes irão emitir radiação térmica que vai encher a cavidade 
 
 A pequena fração de radiação térmica que incidir sobre o orifício irá atravessá-lo 
 
 Orifício irá atuar como um emissor de radiação térmica 
 
Como o orifício tem as propriedades de um corpo negro, irá emitir uma radiação com 
espectro de corpo negro 
 
Mas o orifício nos dá uma amostra da radiação dentro da cavidade 
 
 
Radiação dentro da cavidade tem um espectro de corpo negro à temperatura T 
 
 Densidade de energia (cavidade) 
 
 = energia contida em radiação com frequência entre ν e ν +dν , por 
 unidade de volume da cavidade à temperatura T 
 
 = 
 
 Fluxo de energia (buraco) 
 
 = energia emitida em radiação com frequência entre ν e ν +dν , por 
 unidade de área do buraco à temperatura T, por unidade de tempo 
 
 = 
 
 
T aumenta ⤇ aumenta ⤇ aumenta 
 
Cavidade Buraco 
(calculado) (medido) 
𝜌𝑇 𝜈 𝑑𝜈 
𝑅𝑇 𝜈 𝑑𝜈 
𝜌𝑇 𝜈 𝑑𝜈 
𝐸𝑇 𝜈, 𝜈 + 𝑑𝜈 
𝑉
 
𝐸𝑇 𝜈, 𝜈 + 𝑑𝜈 
𝑡.𝑎
 
𝑅𝑇 𝜈 𝑑𝜈 
𝜌𝑇 𝜈 ∝ 𝑅𝑇 𝜈 
3. Encontrando a função de distribuição 
 Supondo uma cavidade com paredes metálicas (temperatura T ) 
 
 
Agitação térmica 
 
movimento dos elétrons 
 
paredes emitem radiação eletromagnética na faixa térmica dos 
comprimentos de onda 
 
 
 Objetivo 
 Estudar o comportamento das ondas eletromagnéticas no interior da cavidade 
 Obter a função de distribuição espectral da cavidade e do buraco 
 
 Estratégia 
 
 Mostrar que dentro da cavidade a radiação deve existir na forma de ondas 
estacionárias com nós sobre as superfícies metálicas (eletromagnetismo clássico) 
 Fazer uma contagem do número de ondas com frequências entre ν e ν 
+dν (argumentos geométricos) 
 
 TRUQUE: - partir de uma cavidade “unidimensional” 
 - generalizar para uma cavidade cúbica 
 - generalizar para uma cavidade qualquer 
 
 Calcular a energia média dessas ondas quando o sistema está em 
equilíbrio térmico 
 
 CLÁSSICA versus QUÂNTICA!!!!! 
 
 Obter a densidade de energia multiplicando o número de ondas estacionárias, na 
unidade de frequência, por sua energia média 
𝜌𝑇 𝜈 𝑅𝑇 𝜈 
𝑁 𝜈 𝑑𝜈 
𝑈 𝜈,𝑇 
 ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 Toda radiação que incidir sobre x = 0 e x = a (paredes) será totalmente refletida, e 
portanto terá a forma de ondas estadionárias 
 Prova: - onda eletromagnética é uma vibração transversal, com perpendicular à 
 direção de propagação 
 - direção de propagação é perpendicular à parede 
 - direção de é paralela à parede 
 - na parede não deve haver 
 
 
Radiação dentro da cavidade existe na forma de ondas estacionárias, 
com nós sobre as superfícies 
 
> x
a
 
0
 
 
> x
a
 
0
 
 
𝐸 
𝐸 
𝐸 
 Cavidade unidimensional 
 
 
 
 
 Campo elétrico para a onda estacionária unidimensional 
 
 
 
 Impondo as condições de contorno obtemos 
 
 
 
 
 
𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝐸0 sin 𝑘𝑥 sin 𝜔𝑡 = 𝐸0 sin 
2𝜋
𝜆
𝑥 sin 2𝜋𝜈𝑡 𝜆𝜈 = 𝑐 =
𝜔
𝑘
 
x = 0 , x = a ⤇ condições de contorno 𝐸 = 0 
𝜆𝑛 =
2𝑎
𝑛
 ou 𝜈𝑛 =
𝑐𝑛2𝑎
 𝑛 ∈ ℕ, ∀𝑡 
n=3 n=2
n=1
> x
a0
 
 Cavidade cúbica 
 
 3 componentes ortogonais – linearmente independentes 
 6 superfícies 
 
 
 
 
 
 Componentes do campo elétrico nas 3 dimensões 
 
x = 0 , x = a ⤇ 
y = 0 , y = a ⤇ condições de contorno 
z = 0 , z = a ⤇ 
𝐸 = 0 
𝐸 = 0 
𝐸 = 0 
𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝐸0𝑥 sin 
2𝜋
𝜆𝑥
𝑥 sin 2𝜋𝜈𝑥𝑡 
𝐸 𝑦, 𝑡 = 𝐸0𝑦 sin 
2𝜋
𝜆𝑦
𝑦 sin 2𝜋𝜈𝑦𝑡 
𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸0𝑧 sin 
2𝜋
𝜆𝑧
𝑧 sin 2𝜋𝜈𝑧𝑡 
 Impondo as condições de contorno obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A radiação irá se propagar na direção definida pelos 3 ângulos: 
 
  com relação à direção de x 
  com relação à direção de y 
  com relação à direção de z 
 
 Como relacionar com  , e com  ? 
 Como contar as ondas? 
𝜆𝑥 ,𝑛 =
2𝑎
𝑛𝑥
 ou 𝜈𝑥 ,𝑛 =
𝑐𝑛𝑥
2𝑎
 𝑛𝑥 ∈ ℕ, ∀𝑡 
𝜆𝑦 ,𝑛 =
2𝑎
𝑛𝑦
 ou 𝜈𝑦 ,𝑛 =
𝑐𝑛𝑦
2𝑎
 𝑛𝑦 ∈ ℕ, ∀𝑡 
𝜆𝑧 ,𝑛 =
2𝑎
𝑛𝑧
 ou 𝜈𝑧 ,𝑛 =
𝑐𝑛𝑧
2𝑎
 𝑛𝑧 ∈ ℕ, ∀𝑡 
 
𝜆𝑥,𝑛 , 𝜆𝑦,𝑛 , 𝜆𝑧,𝑛 𝜈𝑥 ,𝑛 , 𝜈𝑦 ,𝑛 , 𝜈𝑧,𝑛 
 RELACIONANDO AS COMPONENTES de  e  
 
 Em uma dimensão: temos nós distanciados por 
 
 
 
 
 
 
 
 Condições de contorno ⤇ 
 
 
 1D ⤇ 
𝜆𝑛 =
2𝑎
𝑛
 ou 𝜈𝑛 =
𝑐𝑛
2𝑎
 
𝜆
2 
𝑛 =
2𝑎
𝜆
=
2𝑎𝜈
𝑐
 
 Em duas dimensões: temos superfícies nodais distanciadas por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Condições de contorno ⤇ 
 
 
 2D ⤇ 
𝜆
2 
cos𝛼 =
𝜆
2
𝜆𝑥
2
 ⇒ 
𝜆
cos𝛼
= 𝜆𝑥 =
2𝑎
𝑛𝑥
 
cos𝛽 =
𝜆
2
𝜆𝑦
2
 ⇒ 
𝜆
cos𝛽
= 𝜆𝑦 =
2𝑎
𝑛𝑦
 
cos 𝛾 =
𝜆
2
𝜆𝑧
2
 ⇒ 
𝜆
cos 𝛾
= 𝜆𝑧 =
2𝑎
𝑛𝑧
 
𝑛𝑥 =
2𝑎
𝜆
cos𝛼 𝑛𝑦 =
2𝑎
𝜆
cos𝛽 
 𝑛𝑥
2 + 𝑛𝑦
2 =
2𝑎
𝜆
=
2𝑎𝜈
𝑐
 
 Em três dimensões : temos planos nodais distanciados por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Condições de contorno ⤇ 
 
 
 3D ⤇ 
 
cos𝛼 =
𝜆
2
𝜆𝑥
2
 ⇒ 
𝜆
cos𝛼
= 𝜆𝑥 =
2𝑎
𝑛𝑥
 
cos𝛽 =
𝜆
2
𝜆𝑦
2
 ⇒ 
𝜆
cos𝛽
= 𝜆𝑦 =
2𝑎
𝑛𝑦
 
cos 𝛾 =
𝜆
2
𝜆𝑧
2
 ⇒ 
𝜆
cos 𝛾
= 𝜆𝑧 =
2𝑎
𝑛𝑧
 
𝜆
2 
𝑛𝑥 =
2𝑎
𝜆
cos𝛼 𝑛𝑦 =
2𝑎
𝜆
cos𝛽 𝑛𝑧 =
2𝑎
𝜆
cos𝛾 
 𝑛𝑥
2 + 𝑛𝑦
2 + 𝑛𝑧
2 =
2𝑎
𝜆
=
2𝑎𝜈
𝑐
 
 CONTANDO ONDAS (diagramas para n) 
 
 Em uma dimensão 
 
 
 
 
 
 
 - número de pontos ni com frequência νi : ⤇ 
 
 
 - número de pontos entre n e n +dn : 
 
 
 - número de pontos com frequência entre ν e ν +dν : 
 
 ⤇ 
𝑛𝑖 =
2𝑎
𝑐
𝜈𝑖 𝑑𝑛 =
2𝑎
𝑐
𝑑𝜈 
𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 
4𝑎
𝑐
 𝑑𝜈 
𝑁 𝑛 𝑑𝑛 = 𝑑𝑙 = 𝑑𝑛 
𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 2.𝑁 𝑛 𝑑𝑛 = 2.𝑁 𝜈 
𝑑𝑛
𝑑𝜈
𝑑𝜈 = 2 
2𝑎
𝑐
 𝑑𝜈 
2 estados de polarização da luz 
 Em duas dimensões 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- número de pontos ni com frequência νi : ⤇ 
 
- ao contrário do caso unidimensional, o número de pontos ni com frequência νi irá 
depender da frequência 
 
𝑛𝑖 = 𝑛𝑥
2 + 𝑛𝑦
2 =
2𝑎
𝑐
𝜈𝑖 𝑑𝑛 =
2𝑎
𝑐
𝑑𝜈 
 
- área dAanel do anel de diâmetro dn: 
 
- somente o primeiro quadrante contribui com pontos ( ): 
 
 
 
 
- número de pontos entre n e n +dn : 
 
 
- número de pontos com frequência entre ν e ν +dν : 
 
 
 ⤇ 
 
𝑑𝐴𝑎𝑛𝑒𝑙 = 2𝜋𝑛𝑑𝑛 
𝑛 ∈ ℕ 
𝑁 𝜈 𝑑𝜈 =
4𝜋𝐴
𝑐2
𝜈𝑑𝜈 
𝑑𝐴 =
𝑑𝐴𝑎𝑛𝑒𝑙
4
=
2𝜋
4
𝑛𝑑𝑛 
𝑁 𝑛 𝑑𝑛 = 𝑑𝐴 =
𝜋
2
 
2𝑎
𝑐
 𝜈𝑑𝑛 
𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 2.𝑁 𝑛 𝑑𝑛 = 2.𝑁 𝜈 
𝑑𝑛
𝑑𝜈
𝑑𝜈 = 2
𝜋
2
 
2𝑎
𝑐
 
2
𝜈𝑑𝜈 
2 estados de polarização da luz 
 Em três dimensões 
 
- número de pontos ni com frequência νi : ⤇ 
 
 
- volume dVcasca da casca esférica de diâmetro dn: 
 
- somente o primeiro octante contribui com pontos ( ): 
 
 
 
- número de pontos entre n e n +dn : 
 
 
 
- número de pontos com frequência entre ν e ν +dν : 
 
 ⤇ 
 
 
𝑛𝑖 = 𝑛𝑥
2 + 𝑛𝑦
2 + 𝑛𝑧
2 =
2𝑎
𝑐
𝜈𝑖 𝑑𝑛 =
2𝑎
𝑐
𝑑𝜈 
𝑑𝑉𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎 = 4𝜋𝑛
2𝑑𝑛 
𝑛 ∈ ℕ 
𝑑𝑉 =
𝑑𝑉𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎
8
=
4𝜋
8
𝑛2𝑑𝑛 =
4𝜋
8
 
2𝑎
𝑐
 
2
𝜈2
2𝑎
𝑐
𝑑𝜈 =
𝜋
2
 
2𝑎
𝑐
 
3
𝜈2𝑑𝜈 
𝑁 𝜈 𝑑𝜈 =
8𝜋𝑉
𝑐3
𝜈2𝑑𝜈 
𝑁 𝑛 𝑑𝑛 = 𝑑𝑉 =
𝜋
2
 
2𝑎
𝑐
 
2
𝜈2𝑑𝑛 
𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 2.𝑁 𝑛 𝑑𝑛 = 2.𝑁 𝜈 
𝑑𝑛
𝑑𝜈
𝑑𝜈 = 2
𝜋
2
 
2𝑎
𝑐
 
3
𝜈2𝑑𝜈 
2 estados de polarização da luz 
 Número de ondas: resumo 
 
 Cavidade “unidimensional”: 
 
 
 Cavidade bidimensional: 
 
 
 Cavidade tridimensional: 
 
 
 
Próximo passo: calcular a energia média dessas ondas quando o sistema 
está em equilíbrio térmico 
 
CLÁSSICA versus QUÂNTICA!!!!! 
 
Finalmente: calcular a densidade de energia espectral 
 
𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 
4𝑎
𝑐
 𝑑𝜈 
𝑁 𝜈 𝑑𝜈 =
4𝜋𝐴
𝑐2
𝜈𝑑𝜈 
𝑁 𝜈 𝑑𝜈 =
8𝜋𝑉
𝑐3
𝜈2𝑑𝜈 
𝑈 𝜈,𝑇 
 Tentativas de resolver o problema 
 
 Cavidade oca é preenchida por radiação preta, independentemente da composição 
da cavidade 
 Modelo simples para a substância da cavidade: cargas positivas e negativas 
acopladas por forças elásticas entre si = osciladores com uma  própria 
 Radiação dos osciladores e sua interação com o campo de radiação deve seguir 
as leis da eletrodinâmica 
 
 
 
 Leis da eletrodinâmica ⤇ equações para o número de ondas 
 Osciladores ⤇ energias médias 
 
𝑈 𝜈,𝑇 
𝑁 𝜈 
 Primeira tentativa: Max Planck (1897-1899) 
 
 - leis da termodinâmica macroscópica 
 (relação entre entropia S e energia interna U) 
 
 
 - partindo do princípio que a Lei de Wien é válida, 
 a entropia de um oscilador deve ter a forma 
 (a, b = constantes, e = base do ln) 
 
 - a energia média do oscilador será portanto 
 
 
 - função densidade de energia espectral: 
 
 
 
 
 
 Lei de Wien-Planck 
 
 Lei de Wien 
 
𝜕𝑆
𝜕𝑈
=
1
𝑇
 
𝑆 =
𝑈
𝑎𝜈
ln 
𝑈
𝑒𝑏𝜈
 
𝑈 𝜈,𝑇 = 𝑏𝜈𝑒𝑎𝜈 𝑇 
𝜌 𝜈 =
𝑁 𝜈 
𝑉
𝑈 𝜈,𝑇 =
8𝜋𝜈2
𝑐3
𝑏𝜈𝑒𝑎𝜈 𝑇 =
8𝜋𝜈2
𝑐3
𝑏𝜈𝑒−𝛽𝜈 𝑇 
𝜌 𝜈 = 𝛼𝜈3𝑒−𝛽𝜈 𝑇 
𝜌 𝜈 =
8𝜋𝑏
𝑐3
𝜈3𝑒−𝛽𝜈 𝑇 
 Segunda tentativa: Rayleigh e Jeans (1900) 
 
 - lei da equipartição de energia: 
 energia média de um oscilador vale 
 (por grau de liberdade) 
 
 
 - para sistemas harmônicos teremos 
 
 
 - nos 3 casos (1D, 2D, 3D) o grau de 
 liberdade é 1 (amplitude do campo elétrico) 
 e a energia média será 
 
 
 - função densidade de energia espectral: 
 
 
 
 
 
 Lei de Rayleigh-Jeans 
 
 
𝜀𝑐 =
1
2
𝐾𝑇 
𝜌 𝜈 =
8𝜋𝐾𝑇
𝑐3
𝜈2 
𝑈 𝜈,𝑇 = 2𝜀𝑐 
𝑈 𝜈,𝑇 = 𝐾𝑇 
𝜌 𝜈 =
𝑁 𝜈 
𝑉
𝑈 𝜈,𝑇 =
8𝜋𝜈2
𝑐3
𝐾𝑇 
 Comparando Wien-Planck, Rayleigh-Jeans e experimental 
 
 - Rayleigh-Jeans: boa para baixas frequências 
 péssima para altas frequências 
 (catástrofe do ultra-violeta) 
 
 - Wien-Planck: boa para altas frequências 
 ruim para baixas frequências 
 
 
 
 
𝜌 𝜈 =
8𝜋𝐾𝑇
𝑐3
𝜈2 R-J 
W-P 𝜌 𝜈 =
8𝜋𝑏
𝑐3
𝜈3𝑒−𝑎𝜈 𝑇 
 Terceira tentativa: Planck (1900) 
 
 - interpolação, considerada por muitos a mais importante da história da física; 
 marca o início da evolução da teoria quântica 
 
 - percebeu que as expressões para a entropia nos dois casos (R-J e W-P) 
 levavam a equações semelhantes para sua segunda derivada 
 
 Rayleigh-Jeans (R-J) Wien-Planck (W-P) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - Utilizando chega à equação para a energia do oscilador: 
 
 
 - função densidade de energia espectral: 
 
𝜕𝑆
𝜕𝑈
=
1
𝑇
 
𝜕2𝑆
𝜕𝑈2
=
𝑐𝑡𝑒
𝑈2
 
𝜕2𝑆
𝜕𝑈2
=
𝑐𝑡𝑒
𝑈
 
𝜕2𝑆
𝜕𝑈2
=
𝑎
𝑈 𝑈 + 𝑏 
 
interpolação 
𝑈 =
𝑏′
𝑒1 𝑎 ′𝑇 − 1
 
𝜌 𝜈 =
𝑁 𝜈 
𝑉
𝑈 𝜈,𝑇 =
8𝜋𝜈2
𝑐3
𝑏′
𝑒1 𝑎 ′𝑇 − 1
=
8𝜋𝑏′
𝑐3
𝜈2
𝑒1 𝑎′𝑇 − 1
 
 - Combinando com as duas equações nos seuslimites de validade: 
 
 
 baixas frequências: Rayleigh-Jeans (R-J) 
 
 
 
 
 devemos ter 
 
 
 
 
 altas frequências: Wien-Planck (W-P) 
 
 
 
 
 devemos ter 
 
 
 
 
 - Solução: Lei de Planck 
 
 
 
 
 
𝑏′
𝑒1 𝑎 ′𝑇 − 1
→ 𝐾𝑇 
8𝜋
𝑐3
𝑏′
𝑒1 𝑎 ′𝑇 − 1
𝜈2 →
8𝜋
𝑐3
𝐾𝑇𝜈2 
𝜌 𝜈 =
8𝜋
𝑐3
𝜈2
𝐴𝜈
𝑒𝐵𝜈 𝑇 − 1
 
8𝜋
𝑐3
𝑏′
𝑒1 𝑎 ′𝑇 − 1
𝜈2 →
8𝜋
𝑐3
𝑏𝜈
𝑒𝛽𝜈 𝑇 
𝜈2 
𝑏′
𝑒1 𝑎 ′𝑇 − 1
→
𝑏𝜈
𝑒𝛽𝜈 𝑇 
 
 Descrição para a radiação de corpo negro – situação em 19.10.1900 
 
 Rayleigh-Jeans Planck Wien-Planck 
 
fundamentação existente ausente insatisfatória 
teórica 
 
validade baixas  todas  altas  
 (altos ) (todos ) (baixos ) 
 
 Descrição completa em 14.12.1900 
 
 Planck apresenta uma teoria completa para a radiação de corpo negro 
 Coloca a Lei de Planck em base sólida (fundamentação teórica) 
 Persiste no uso da entropia, porém parte para a termodinâmica estatística 
 Consequência: energia total deve ser distribuída por uma quantidade finita de 
osciladores 
 Osciladores só podem armazenar um múltiplo de um quantum de energia 
 Introduz a constante de Planck h 
 Início da Mecânica Quântica 
 
 - função densidade de energia espectral: 
 
 
 Lei de Planck 
 
𝜌 𝜈 =
8𝜋
𝑐3
𝜈2
ℎ𝜈
𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇 − 1
 
 Cálculo da energia média – classicamente 
 
 Probabilidade de encontrar um ente com uma energia entre ε e ε +dε em um 
sistema em equilíbrio térmico à temperatura T : 
 
 Distribuição de Boltzmann 
 (K = cte. de Boltzmann = 1,38 .10-23 J/K) 
 
 A função P(ε) tem a forma: 
 
𝑃 𝜀 =
𝑒−𝜀 𝐾𝑇 
𝐾𝑇
 
𝑃 𝜀 =
𝑒−𝜀 𝐾𝑇 
𝐾𝑇
 
𝑃 0 =
1
𝐾𝑇
 
𝑃 𝐾𝑇 =
𝑒−1
𝐾𝑇
 
𝑃 ∞ = 0 
 𝑃 𝜀 𝑑𝜀
∞
0
= 1 
 Supondo que a energia seja uma variável contínua, a função εP(ε) terá a forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Novamente, supondo um contínuo de energias (integração), podemos calcular a 
energia média do sistema: 
 
 ⤇ área sob a curva 
 
 Resolvendo a integral por partes, obtemos a energia média: 
 
 Lei de equipartição de energia 
𝜀𝑃 0 = 0 
𝜀𝑃 𝐾𝑇 =
1
𝑒
 
𝜀𝑃 ∞ = 0 
𝜀𝑃 𝜀 =
𝜀𝑒−𝜀 𝐾𝑇 
𝐾𝑇
 
𝜀 =
 𝜀𝑃 𝜀 𝑑𝜀
∞
0
 𝑃 𝜀 𝑑𝜀
∞
0
= 𝜀
𝑒−𝜀 𝐾𝑇 
𝐾𝑇
𝑑𝜀
∞
0
 
𝜀 = 𝐾𝑇 
 Cálculo da energia média – quanticamente 
 
 Supondo que a energia seja uma variável discreta, a função εP(ε) terá a forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Novamente, supondo um discreto de energias (somatória), podemos calcular a 
energia média do sistema. 
 
 ⤇ área sob a curva 
 
 
 
𝜀 =
 𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 ∆𝜀
∞
𝑛=0
 𝑃 𝜀𝑛 
∞
𝑛=0 ∆𝜀
= 
𝜀𝑛𝑒
−𝜀𝑛 𝐾𝑇 
𝐾𝑇
∆𝜀
∞
𝑛=0
 
 Teremos duas possibilidades: 
 
 
 
 ⤇ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⤇ 
 
∆𝜀 < 𝐾𝑇 ∆𝜀 → 0 𝜀 ∆𝜀→0 = 𝐾𝑇 
∆𝜀 > 𝐾𝑇 ∆𝜀 → ∞ 𝜀 ∆𝜀→∞ = 0 
 Resumindo: considerar a energia como tendo valores discretos leva a 
 
 
 
 que é um comportamento semelhante ao encontrado experimentalmente para a 
radiação de corpo negro 
 
 
 Para que os sistemas sejam equivalentes, devemos achar a relação entre Dε e  
 Supondo a forma mais simples: 
 
 
 
 Caso essa forma for correta, a equação final obtida para a densidade de radiação 
espectral deverá representar bem os dados experimentais 
 Para encontrar a equação final, devemos calcular a soma 
 
 usando 
 
 
 
𝜀 ∆𝜀→0 = 𝐾𝑇 𝜀 ∆𝜀→∞ = 0 
𝜀 𝜈→0 = 𝐾𝑇 𝜀 𝜈→∞ = 0 
∆𝜀 = ℎ𝜈 
𝜀 =
 𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 ∆𝜀
∞
𝑛=0
 𝑃 𝜀𝑛 
∞
𝑛=0 ∆𝜀
 ∆𝜀 = ℎ𝜈 
 (i) energias são discretas, com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (ii) substituindo 
 
∆𝜀 = ℎ𝜈 
𝜀 = 0,ℎ𝜈, 2ℎ𝜈, 3ℎ𝜈, 4ℎ𝜈,… 
𝜀𝑛 = 𝑛ℎ𝜈 𝑛 ∈ ℕ 
𝑃 𝜀𝑛 = 
𝑒−𝜀 𝐾𝑇 
𝐾𝑇
=
𝑒−𝑛ℎ𝜈 𝐾𝑇 
𝐾𝑇
 𝑛 ∈ ℕ 
𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 = 𝜀𝑛
𝑒−𝜀 𝐾𝑇 
𝐾𝑇
= 𝑛ℎ𝜈
𝑒−𝑛ℎ𝜈 𝐾𝑇 
𝐾𝑇
 𝑛 ∈ ℕ 
ℎ𝜈
𝐾𝑇
= 𝛼 
𝜀𝑛 = 𝑛𝛼𝐾𝑇 
𝑃 𝜀𝑛 = 
𝑒−𝑛𝛼
𝐾𝑇
 
𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 = 𝑛𝛼𝑒
−𝑛𝛼 
 (iii) substituindo na soma 
 
 
 
 
 (iv) truque 
 
𝑑
𝑑𝛼
 ln 𝑓 𝛼 =
1
𝑓 𝛼 
𝑑
𝑑𝛼
 𝑓 𝛼 𝑓 𝛼 = 𝑒−𝑛𝛼
∞
𝑛=0
 
𝑑
𝑑𝛼
 ln 𝑒−𝑛𝛼
∞
𝑛=0
 =
1
 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0
𝑑
𝑑𝛼
 𝑒−𝑛𝛼
∞
𝑛=0
 
 =
1
 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0
 
𝑑
𝑑𝛼
𝑒−𝑛𝛼
∞
𝑛=0
 
 =
1
 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0
 −𝑛𝑒−𝑛𝛼
∞
𝑛=0
 
 = −
 𝑛𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0
 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0
 
𝜀 =
 𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 ∆𝜀
∞
𝑛=0
 𝑃 𝜀𝑛 ∆𝜀
∞
𝑛=0
= 𝐾𝑇𝛼
 𝑛𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0
 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0
 
 (v) substituindo novamente na soma 
 
 
 
 
 (vi) truque para resolver a soma: substituir (Série de Maclaurin) 
 
𝜀 = 𝐾𝑇𝛼
 𝑛𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0
 𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0
= −𝐾𝑇𝛼
𝑑
𝑑𝛼
 ln 𝑒−𝑛𝛼
∞
𝑛=0
 
𝑒−𝛼 = 𝑋 
 𝑒−𝑛𝛼
∞
𝑛=0
= 𝑋𝑛
∞
𝑛=0
= 1 + 𝑋 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ = 1 −𝑋 −1 
 = 1 − 𝑒−𝛼 −1 
ln 1 − 𝑒−𝛼 −1 = − ln 1 − 𝑒−𝛼 
𝑑
𝑑𝛼
ln 𝑒−𝑛𝛼
∞
𝑛=0
= −
𝑑
𝑑𝛼
ln 1 − 𝑒−𝛼 
 = −
1
 1 − 𝑒−𝛼 
𝑑
𝑑𝛼
 1 − 𝑒−𝛼 
 = −
1
 1 − 𝑒−𝛼 
𝑒−𝛼 ×
𝑒𝛼
𝑒𝛼
 
 = −
1
 𝑒𝛼 − 1 
 
 (vii) substituindo novamente na soma 
 
 
 
 
 (viii) retornando teremos a equação final 
 
 
 
 
 Portanto, a energia média do sistema, supondo um discreto de energias, será 
 
 com 
 
 
 Por analogia, a energia média do oscilador (corpo negro) será 
 
𝜀 = −𝐾𝑇𝛼
𝑑
𝑑𝛼
 ln 𝑒−𝑛𝛼
∞
𝑛=0
 = 𝐾𝑇
𝛼
 𝑒𝛼 − 1 
 
𝛼 =
ℎ𝜈
𝐾𝑇
 
𝜀 =
ℎ𝜈
 𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇 − 1 
 
𝜀 =
ℎ𝜈
 𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇 − 1 
 ∆𝜀 = ℎ𝜈 
𝑈 𝜈, 𝑇 = 𝜀 =
ℎ𝜈
 𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇 − 1 
 
 Observando os limites dessa equação 
 
 
 
 (i) para 
 
 (expansão em série de Taylor) 
 
 
 
 (ii) para 
 
 
 
 
 
 
Equação encontrada para a energia média satisfaz os requisitos nos limites 
 
𝜀 = 𝐾𝑇
𝛼
 𝑒𝛼 − 1 
 
∆𝜀 = ℎ𝜈 ≪ 𝐾𝑇 ⟹ 𝛼 =
ℎ𝜈
𝐾𝑇
≪ 1 → 0 
 𝜀𝛼 𝛼→0 = 1 +𝛼𝜀
𝛼 +⋯ 
𝜀 𝛼→0 = 𝐾𝑇
𝛼
 1 +𝛼𝜀𝛼 − 1 
=
𝐾𝑇
𝜀𝛼
= 𝐾𝑇 
∆𝜀 = ℎ𝜈 ≫ 𝐾𝑇 ⟹ 𝛼 =
ℎ𝜈
𝐾𝑇
≫ 1 →∞ 
 𝜀𝛼 𝛼→∞ ≫ 1 
 𝜀𝛼 𝛼→∞ ≫𝛼 
𝜀 𝛼→∞ = 𝐾𝑇
𝛼
𝜀𝛼
= 0 
 Densidade de energia espectral – quanticamente 
 
 Max Planck (1900) 
 
 - distribuição de Boltzmann 
 
 - energia possui apenas valores discretos 
 
 - a energia média do oscilador será portanto 
 
 - função densidade de energia espectral: 
 
 
 
 
 
 Lei de Planck 
 h = cte. de Planck = 6,63 .10-34 J.s 
 
 
Planck não alterou a distribuição de Boltzmann, e sim apenas tratou a energia das 
ondas eletromagnéticas como uma grandeza discreta, ao invés de contínua 
𝑃 𝜀 =
𝑒−𝜀 𝐾𝑇 
𝐾𝑇
 
∆𝜀 = ℎ𝜈 
𝑈 𝜈, 𝑇 =
ℎ𝜈
 𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇 − 1 
 
𝜌 𝜈 =
𝑁 𝜈 
𝑉
𝑈 𝜈,𝑇 =
8𝜋𝜈2
𝑐3
ℎ𝜈
𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇 − 1
=
8𝜋ℎ
𝑐3
𝜈3
𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇 − 1
 
𝜌 𝜈 =
8𝜋ℎ
𝑐3
𝜈3
𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇 − 1
 
 Confirmando a lei de Stefan 
 
 Equação empírica (Stefan, 1879) 
 
 Obtendo a equação a partir da lei de Planck 
 
 
 
 
 
 
 
 usando teremos 
 
 
 
 
 
 
Lei de Planck confirma a lei de Stefan 
 
𝑅𝑇 = 𝜎𝑇
4 
𝑅𝑇 =
𝑐
4
𝜌𝑇 =
𝑐
4
 𝜌 𝜈 𝑑𝜈
∞
0
 
 =
𝑐
4
8𝜋ℎ
𝑐3
 
𝜈3
𝑒ℎ𝜈 𝐾𝑇 − 1
𝑑𝜈
∞
0
 𝑞 = ℎ𝜈 𝐾𝑇 
 =
2𝜋ℎ
𝑐2
 
𝐾𝑇
ℎ
 
4
 
𝑞3
𝑒𝑞 − 1
𝑑𝑞
∞
0
 
 
𝑞3
𝑒𝑞 − 1
𝑑𝑞
∞
0
=
𝜋4
15
 
𝑅𝑇 =
2𝜋5𝐾4
15𝑐2ℎ3
𝑇4 𝜎 =
2𝜋5𝐾4
15𝑐2ℎ3
= 5,67. 10−8 W m2K4 
 Confirmando a lei do deslocamento de Wien 
 
 Equação empírica (Wien, 1894) 
 
 Obtendo a equação a partir da lei de Planck 
 
 
 
 
 
 usando 
 
 chega-seà equação que tem solução S numérica única, e portanto 
 
 
 
 
 
 
 
Lei de Planck confirma a lei do deslocamento de Wien 
 
𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑊
1
𝑇
 
𝑑
𝑑𝜈
𝜌 𝜈 = 0 ; 
𝑑2
𝑑𝜈2
𝜌 𝜈 < 0 ⟹ ponto de máximo 
𝑥 =
ℎ𝜈𝑚𝑎𝑥
𝐾𝑇
 
𝑥
3
+ 𝑒−𝑥 = 1 
3 𝑒ℎ𝜈𝑚𝑎𝑥 𝐾𝑇 −1 − 𝜈𝑚𝑎𝑥
ℎ
𝐾𝑇
𝑒ℎ𝜈𝑚𝑎𝑥 𝐾𝑇 = 0 
𝑥 = 𝑆 =
ℎ𝜈𝑚𝑎𝑥
𝐾𝑇
 ⟹ 𝜈𝑚𝑎𝑥 = 𝑆
𝐾
ℎ
𝑇 
 𝜆𝑚𝑎𝑥 = 
𝑐
𝑆
ℎ
𝐾
 
1
𝑇
 ⟹ 𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑊
1
𝑇
 
4. Postulado de Planck 
 Quantização da energia em sistemas harmônicos simples 
 
 Qualquer ente físico, com um grau de liberdade cuja “coordenada” é uma função 
senoidal do tempo (executa oscilações harmônicas simples) pode possuir 
apenas energias totais ε que satisfaçam à relação 
 
 
 onde  é a frequência de oscilação, e h uma constante universal (cte. de Planck) 
 
 “Coordenada” (sentido geral): qualquer quantidade que descreve a condição 
instantânea do ente 
𝜀𝑛 = 𝑛ℎ𝜈 𝑛 ∈ ℕ 
𝑃 𝜀𝑛 = 
𝑒−𝜀 𝐾𝑇 
𝐾𝑇
=
𝑒−𝑛ℎ𝜈 𝐾𝑇 
𝐾𝑇
 𝑛 ∈ ℕ 
𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 = 𝜀𝑛
𝑒−𝜀 𝐾𝑇 
𝐾𝑇
= 𝑛ℎ𝜈
𝑒−𝑛ℎ𝜈 𝐾𝑇 
𝐾𝑇
 𝑛 ∈ ℕ 
 Exemplo: pêndulo (elemento macroscópico) 
 
 Características: massa m = 0,01 kg 
 comprimento l = 0,1 m 
 qmax = 0,1 rad 
 
 Calculando a frequência: 
 
 
 Calculando a altura máxima: 
 
 
 Calculando a energia: 
 
 
 Energia é quantizada: 
 
 
 precisão necessária para verificar se a energia é quantizada: 
 impossível verificar 
ℎ𝑚𝑎𝑥 = 𝑙 − 𝑙 cos𝜃𝑚𝑎𝑥 = 5 . 10
−4 m 
𝐸 = 𝑚𝑔ℎ𝑚𝑎𝑥 = 5 . 10
−5 J 
Δ𝐸 = ℎ𝜈 = 10−33 J 
Δ𝐸
E
= 2. 10−29 J 
𝜈 = 2𝜋𝜔 = 2𝜋 
𝑔
𝑙
= 10 Hz