AntiDemidovich__Matemática_Superior_ (9)

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Ecuaciones diferenciales 
de órdenes superiores 
§1. Clasificación de las ecuaciones 
no lineales integrables 
1.1. Ecuación de la forma F (x, y{n)) == 0 
La ecuación diferencial de la forma F{x, y^) — 0 es integrable 
si la ecuación F(x, u) = 0 se puede resolver respecto a u = ip(x) 
o respecto a x = il>(u). En efecto, en el primer caso 
y{n) - <p{x), 
X 
y - J(x - dt + + (1) 
x0 
I* C2X -{-. ». -J" Cfj—l® Cfj, 
donde Cj (j = 1 ,n) son constantes arbitrarias. 
En el segundo caso, hacemos y = t. Entonces x = ip{t) 
y d(y{n~1]) = tdx = tip'{t) dt, de donde 
a^1)- J t${i) dt + Cj. 
Análogamente hallamos 3/tn / • y — <?(*) + C ^ , C 2 , 
... tCn)f donde g y w son funciones conocidas. Consiguiente-
mente/ la solución general tiene la forma paramétrica 
tf = i>{t), ( , 
y = g(t) + w{t, Clf C2,..., Cn). { } 
En algunos casos la ecuación F(x,y^n'^ = 0 tiene so-
luciones en forma paramétrica x ~ a(t), y^ = fi{t), es decir, 
F(a(t), ¡3{t)) = 0 para t 6 (¿o, t<). Entonces,, siguiendo el esquema 
anterior obtenemos la parametrización de la solución general, la 
cual tiene la forma (2). 
1.2. Ecuación de la forma F (y{n~x\ yin)) = 0 
Si la ecuación F{u, v) = 0 tiene soluciones en forma paramétrica 
n = a(í)7 v = /?(£), t £ (¿o/̂ i)/ entonces la ecuación diferencial 
F(y , y ) — 0 se puede integrar, pues en ese caso 
yt»-1> = a(t), y { n ) = m 
y = ¡3(t) dx, o bien a'(t) di ~ (3{t) dx, de donde 
La función y se obtiene a partir de la ecuación diferencial 
yip-1) _ utilizando el método del p. 1.1. 
1.3. Ecuación de la forma F (y{n~2), y(n)) = 0 
Supongamos que las funciones u — a(t) v ~ f3(t) satisfa-
cen la ecuación del p. 1.2. Entonces la ecuación diferencial 
í 1 (y ^ 3/ ) — 0 se puede integrar. En efecto, 
/-2) = a(t), y{n) = p(t). 
o, introduciendo la notación = z{x), 
z(x) = a(t), z"(x) = ¡3{t). 
De la primera ecuación, hallamos 
' / ^ a > 
Utilizando la segunda ecuación, obtenemos 
tt r tt t í3 ^ a x — x a — x p. (3) 
Haciendo x' = r/, la ecuación (3) adopta la forma 
ii i i o 3 a 7} - r¡ a = (3r¡ . (4) 
Ésta es una ecuación de Bernoulli. Supongamos que r¡=x'—(p{Cft) 
es su solución general. Entonces 
x t) dt + C2-
Para hallar la función y = y{t) integramos n — 2 veces la ecuación 
_ utilizando el método analizado anteriormente. Así 
obtenemos la solución general en forma paramétrica de la ecuación 
diferencia] inicial. 
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales y hallar las 
soluciones particulares en los casos en que se conozcan las 
condiciones iniciales: 
Solución. Integrando tres veces consecutivas ambos miembros 
de la ecuación, obtenemos 
x2 y = r (x + eos cc) dx 4- Ci = - + sen x + Cu 
x1 \ z3 
— + sen x + C\ ) dx + = — — eos x + C\x + C2, 
2 J 6 y = 
y = 
X' 
é 
24 
eos x + C\X -f C% j ¿2 + C3 
x 
- sen x + C\ — + C2x + C3. 
«4 Solución. Hallamos la solución general 
Hl X y =e x + C\, 
x1 
y" = ex -— + Cxx + C2, 
3 2 
y = ex - ~ + Cyy + C2X + C3, 
A ^ • 1 -» X X x 
24 6 2 
donde las constantes C¿ son arbitrarias. Para determinar sus 
valores utilizamos las condiciones iniciales. Tenemos: 
1 = 1 + 01, 1 = 1 + C 2 , 
de donde hallamos Ci = C2 
particular es 
1 = 1 + C3, 2 = 1 + 
C3 = O, C4 = 1. La solución 
x 
Solución. Gráficamente es muy fácil mostrar que la ecuación 
ct + sen a — 1 = O tiene una sola raíz real aj . Por consiguiente, 
ym = ai , de donde, integrando sucesivamente, obtenemos 
y" = oliX + Ci, 
y =axy + Ci£C + C2/ 
3 2 
X > , X „ y — «i— + Ci —- + C2x + C3. 6 2 
Para determinar las constantes de integración utilicemos las 
condiciones iniciales: 
2 = «i + C\, 
«i 2 = y + C} + C2, 
2 - — + __ + c2 + C3, 
ÍÜ̂NSiíi 15 'iiHf 
de donde hallamos Ci = 2 - a j , C2 
Oít , C3 — 1 — «i 
Por tanto, la solución particular es 
X X Qft 
y = m - r 4- (2 - a i ) — + - r ® + 1 
ai 
Solución. Resolviendo la ecuación respecto a y", obtenemos 
+ x . 
Dado que estas ecuaciones son de la forma y" ~ ip{x), entonces 
integrando dos veces podemos obtener sus soluciones generales. 
Sin embargo, las ecuaciones obtenidas también pueden integrarse 
mediante un cambio de variable, haciendo, por ejemplo, x — t2+t 
(en ese caso el radical desaparece). Entonces obtenemos 
y" ~ t3 + t2 e y" -¿3 - 212 - t. 
De la primera ecuación tenemos 
d{y) = (¿3 +12) dx = (;t3 4- t2)(2t +1) dt, 
de donde 
t 
- / (í3 + i2){lt + 1) dt + CÍ = + - í 4 + y + Cj, 
2 3 í3 
dy = 1 -i5 + -í4 + - + Ci I dx = 
= ( + ~ +Ci J P + l)dí. 
integrando una ves más, hallamos 
= 
3 ¿3 
4 ' 3 
J Q¿5 + ~t4 + - + Ci ) (2í + 1 ) dt + C2 = 
35 60 
¿6 + 17 i 
La segunda ecuación se integra de forma análoga. • 
M Solución. Esta ecuación es de la forma F{x, y{n)) = 0 con n ~ 2, 
y puede ser resuelta respecto a x. Tenemos: 
x = y -2y . 
Haciendo y" ~ t, obtenemos x = t3 - 2t. De esta manera, 
d{y') - tdx = t (3? - 2) dt, de donde 
y' = J(3tz - 21) dt = - t2 + Ci. 
Por consiguiente, 
dy = í-¿4 - £2 + Cj j d® = Q í 4 - í2 + Cij (312 ~ 2) dt, 
de donde 
/ ( + ) ( 3 í 2 - 2 ) d £ + C2 
Obtuvimos la solución general en forma paramétrica de la ecua-
ción inicial: 
x ~ t3 - 2t, 
-4 Solución. De un modo análogo al anterior, hacemos y" = t. 
Entonces 
x = £ + ln£/ d(y')~tdx~t f l + j J dt = (t + l)dt, 
de donde 
y' ^ J(¿ + i)dt=t-+t + C1, ; 
luego 
y + t + Ct ) [ 1 -h - } dt 4- C2 
7 + ; í 2 + (Cj + 1 )t + Ci ln 11\ + C2 6 4 
Por consiguiente, la solución general es 
x — t 4* ln t, 
í3 3 y = - + 4- (Ci 4- l)í -f Ci ln t 4- C2, 6 4 
Es evidente que ccq = 1 para t = 1; por tanto, 
2 \ 
= 2, 
í 
yo= i j + ¿ + 
*=i 
yo =s l t 4- g f + (Ci f 1 )t 4- Ci ln t 4- C2 = L 
«=i 
1 
De las últimas dos ecuaciones hallamos C\ — - , C 2 = 
La solución particular es 
x = t + ln 
17 
12 
y 
í3 3 , 3 1 17 
6 4 2 2 12 
Solución. Esta ecuación es de la forma F(y{n'l), y{n)) = 0 con 
n = 3 y -y) = d - — 0, Según lo expuesto en el p. 1.2, 
n . ttt -t y ~tr y = e , 
de donde d(y") = e~l dx, o bien dt — e~l dx. Integrando la 
última ecuación1, hallamos x = é 4- C\. Para obtener la función y 
utilizamos la ecuación y" —t. Tenemos que = tdx = té dt, 
de donde 
y' = j té dt + C2 = e(t - 1) + C2. 
Integrando una vez más, obtenemos 
dy — j (c*(í - 1) + Cz) dx + C 3 = 
= J (c*(í - 1) + C2) c* dí + C3, 
o bien ,2i e / 3\ 
2 / = Y V 2 / + c 2 « í + C 3 . 
Finalmente encontramos 
a; = e* + C1; 
,2í e 
2/ = 6 ~ + C2e' + C3. 
Solución. Esta ecuación es de la forma = 0; sin 
embargo, para integrarla recurriremos a un método diferente al 
del problema anterior. Haciendo y" = z(x) obtenemos la ecuación 
diferencial de primer orden z' — z = 0, cuya solución general es 
z = C\ ex. Por tanto, y" = C\ ex, de donde 
y = Cxe + C2x + C3. 
Solución. Al igual que en el ejemplo anterior hacemos y" = z(x), 
•2 ry 
de donde z + ¿ - 1 = 0. Separando las variables en la ecuación 
obtenida, dz 
. = = dx, 
e integrando el resultado, obtenemos 
z = ± sen(x + Ci), 
o bien 
y" = ± sen (a; + Cj). 
mimmmmmxmmmm 
Integrando la última ecuación dos veces más/ hallamos 
(:V - C2x - C3f = ser\2(x + Ci). 
Además, tenemos la solución evidente 
y ~ ±~ + CiX \ C5. • 
Nota. La solución de esta ecuación puede obtenerse en forma paramétrica si se 
utiliza la identidad sen2 t + cos2f - 1 =0. En efecto, haciendo en la ecuación dada 
y" — sen i, y"' = eos f, podemos escribir d(y") = eos t dx, o bien d(sen i) = eos t dx, 
de donde x = t + Ci (cosí ^ 0). Consiguientemente, d(y') — sen tdx — sent dt, 
por tanto 
y1 = J sen í dt + C2 ~ - eos t + C2. 
De aquí obtenemos que dy = (C2 ~ eos t) dx — {C% — eos t) di, por lo cual 
y= (C2 - eos t) dt + C3= C2t - sen t + C3, 
Además, existen soluciones de la ecuación y" = ±1 que no pertenecen a la 
solución general. 
•4 Solución. Hagamos yt! = tyEntonces de la ecuación dada 
obtenemos que 
y = r 3 - 3 r 2 , y' = o. 
De esta manera, a la ecuación analizada le corresponde e! sistema 
de ecuaciones 
y'mr3- 3 f * ( í # 0), 
y" = r 2 - 3 r 1 ( ¿ / o ) , 
y* = o. 
Como £%') = 2/" ¿te, a partir de las dos primeras ecuaciones del 
sistema hallamos 
d(t~3 - 3í"2) =( r 2 - 3C1) dx, 
de donde 
f (2t - 1 ) j t t f 1 ]t| \ 
De la primera ecuación del sistema, obtenemos 
dy = (-3Í"*5 + 6í"4) dt, 
de donde 
Además, como se infiere de la tercera ecuación del sistema, y 
también es solución de la ecuación dada. • 
<4 Solución. Haciendo en la ecuación dada y' — ± ch t, obtenemos 
y" = ±-sh2t, 
1 
de donde llegamos a <¿(± ch t) = ± - sh 21 dx, o bien 
dx = ± 
dt 
ch i 
t Integrando, hallamos x = ±2 arctg e + Ci. Teniendo en cuenta la 
expresión para dx, a partir de la ecuación y' = ± ch t obtenemos 
que y — í + C2. De esta manera, la forma paramétrica de la 
solución general es 
y = t + C2. 
I 
Solución. Si introducimos el parámetro t según la fórmula y* — tr 
la ecuación original adopta la forma 
„ _ i 
y l + 21ní* 
Dado que d(y') = y" dx, utilizando la parametrización de las 
derivadas y' e y", obtenemos la ecuación 
dx 
d t = - i i í ü - ( 1 ) 
r n , . _ " " 
superiores 
cuya integral es 
x = t(2 ln t - 1) + Éi. 
La función y se halla de la ecuación y' — t utilizando (1): 
dy = t dx = ¿(1 + 2 ln t) dt, y - t2 ln t 4- C2. 
La solución general de la ecuación es 
x = t(2\nt-í) + Cl, 
y -t2]nt + C2. • 
Solución. Sigamos el esquema empleado en el problema anterior. 
Tenemos: - í 
y = t, n y - í + r 
de donde, en virtud de que d(y') = y" dx, obtenemos 
(1 + t) dt — e dx. 
t 
Por consiguiente, 
x = te" + Cl. 
De la ecuación y' — t, hallamos 
y t d x + C2 
t t( 1 + t)e dt 4- C2 
= (t-t + l)e: + Q 
y obtenemos la solución general 
i x = te 4- Cu 
y=i (t2 -14 l)c* 4 C2. 
Solución. Ésta es una ecuación de la forma F(y { n 2\y^n)) = 0 
con n — 2. De acuerdo con el p. 1.3, tenemos 
y" = p(t), y = a(t), (1) 
donde a(í) = ln£, (5{t) = t. La ecuación (3), p. 1.3, adopta la 
forma t 
o bien 
_ — ' - 1 " __ / '3 
n 3/ 1X tít / ¿2 ¿ 
i] + t7¡ + ¿3?y3 = 0. 
Aquí, 7j — x'. Resolviendo la ecuación de Bernoulli obtenida (o su 
forma más simple {tr¡)' + {trjf = 0), obtenemos 
x = 7) = ± 
1 
ty/2tTC¡' 
de donde hallamos 
dt 
W2t + Ci 
+ Co — 
v̂ CT 
in 
v / g T + y a + Ci 
+ C2, si Q > 0; 
x ~ \ 
± 
v ^ c r 
arctg 
^ 
si Ci < 0; 
+ C2, si Cj = 0 
Agregando a estas ecuaciones la segunda ecuación de (1), obte-
nemos la solución general en forma paramétrica de la ecuación 
inicial. • 
Nota. La ecuación analizada permite otro método de resolución. En efecto, multi-
plicando ambos miembros de la ecuación por y', obtenemos y "y' = ey y', o bien 
t2\ t 
= (e7, 
y i 
de donde, integrando, hallamos y* = 2ev + C\f o bien 
dy 
==:•••• : = d x . ±V2ev + Ci 
11 i ^ t i ^ w iv 
Integrando una vez más, obtenemos la solución general en forma explícita: 
1 
ln 
i 
i i 
x = < ( 2 ± :—= arctg 
v ^ T 
[ — v2e~» 4- C 2/ 
+ C2, si Ci > 0; 
i . 1 - —e^ + C2, si Ci < 0; 
si Cí = 0. 
• i 111 • H i t W H ^ ^ ^ 
< Solución. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por y', 
obtenemos y y" y' = y!(y' ^ 0), o bien 
12 de donde, integrando, hallamos y = ln j f + Ceta O bien 
y - 2 + C l 
Separando las variables e integrando una vez más, obtenemos 
finalmente 
dy 
x-rCi — ¿ —, 
+ ln y2 
A Solución. Repitiendo los pasos anteriores, obtenemos 
y V V + ( i - y 4 ) y (í/VO), 
4\ 7 
o bien 
f2v f n 
9 N =\(v-2+v2y, 
J2 _ í„.2 de donde hallamos y — (y2 4- y 2) + C\, o bien 
2/ 
M • • • ! • • I I I •• I I M 
' = ± V C i 4- y2 4-
Separando las variables e integrando, resulta 
x + C2 - ± 
dy 
yfCx + y2 + y~2 
2 . ci 
y + — + V c í f + ^ + í 
< Solución. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por y", 
obtenemos 
tt ttt ti I r\ f tt 
de donde 
yy' + yy'^o {y ¿ 0), 
- a 
y también 
,,2 ,2 2 
y +y = cí. 
Sean y' = C\ sen t e y" = C\ eos t. A partir de la identidad 
d{y') ~ y" dx y en virtud de las últimas ecuaciones, tenemos que 
d(sen = eos t dx, o bien dx = dt, de donde 
x = t + C2. 
De la ecuación y' = C\ sen t, hallamos 
y ~C\ I sen t dx + C3 = 
sen t dt + C3 = — C\ eos i 4- C3. 
Finalmente, 
x = t 4- C 2 , 
y ~ A eos t + C3, 
o bien 
y = Ci eos (x 4- C2) 4- C3. 
- ̂ i^nmmmmm^mmt 
Solución. Haciendo y" = t, hallamos 
t2 
y = xt . 
y 4 
Dado que d(y') = y" dx, de estas dos expresiones se infiere que ¿2\ 
d [ xt — — 1 = t dx , o bien 
x - | j = 0. 
t 
Resolviendo la ecuación obtenemos que t = C\ y x — La 
función y correspondiente a la solución t — C\ se halla a partir 
de la ecuación 
í2 
y = xt . 
** 4 
c\ 
Obtenemos y = ícCj , de donde 
4 > 
s 2 1 2 
v = Cj C[x + C2. y 1 2 4 1 
De la misma manera, para la función y que corresponde a la 
solución x = tenemos 
2 
de donde 
r i b 
» = 7 < 
í2 i2 í2 
du = — dx = — d | - = — dt. 
y 4 4 V 2 / 8 
t 3 
Integrando esta ultima ecuación, hallamos que y = -—h C3, 
o bien 
y ~ j + c3. 
De esta manera, todas las soluciones de la ecuación inicial están 
dadas por las fórmulas 
y^^-xíx- y ] + C2 = Crx{x - Ct) + C2, 
x 
y 
M Solución. Haciendo en la ecuación dada y" ~t, resulta 
1 - sen t 
y = , . (t > o). (i) lnr 
Para obtener la función x hacemos uso de la ecuación (3), p. 1.3. 
Tenemos: 
donde 
1 — sen t fu ~ , . 
lní ' 
¡3 = t, r¡ — x*. 
La solución general de esta ecuación es 
/ a 
J l f a'fi dt + Q 
Por consiguiente, 
a' dt 
x = ± J ^ _ + C2. (2) 
^Ija'pdt + Ci 
De este modo, (1) y (2) representan la solución general en forma 
paramétrica de la ecuación diferencial dada. • 
§ 2. Ecuaciones que permiten 
reducción del orden 
2.1, Ecuación diferencial de la forma 
F ( a s , y ( k + 1 ) , . . . , y M ) = o 
En efecto, después del cambio obtenemos la ecuación 
F(x,z,¿,t..,z(n-k))= 0, 
cuyo orden es h veces menor que el orden inicial. 
2.2. Ecuación diferencial de la forma 
Tenemos: 
tr 
d 
y - dx 
ftt 
d 
y = dx 
_ dy' dy _. dp 
dy dx dy' 
dp\ dí dp\ dy __ 
dy) dy \ dy ) dx 
dy\dyJ \\dyj dy¿ 
etcétera, es decir, el orden de la ecuación diferencial se redujo en 
una unidad. 
2.3. Ecuación diferencial homogénea de la forma 
F (x, y, y', y " , y M ) = 0 
Si la ecuación F (x, y, y', y",..., y^n') = 0 es homogénea respec-
to a la función y sus derivadas, es decir, se cumple la identidad 
F{x, ty, ty', ty",..., ty{n)) = taF(x, y, y', y",..., y{n)), 
entonces el orden de la ecuación puede ser reducido en una 
unidad haciendo yf = yz(x), donde z = z(x) es la nueva función 
incógnita. En efecto, diferenciando sucesivamente la ecuación 
y' = yz(x), obtenemos 
y" ~ (yz(x))' = y z + yz = y(z2 + z'), 
y"' = (y(z2 + z'))' = y' (z2 + z') + y(2zz' + zn) = 
= y(z3+3zz' + z"), 
etcétera, y^ = yi> (z, z',..., , donde t¡) es una función 
conocida. Sustituyendo las expresiones de las derivadas en la 
ecuación diferencial F (x, y, y',..., t/'^) = 0 y utilizando la ho-
mogeneidad de la función F, obtenemos 
F(x, y, yz, y(z2 + z),..., yi¡>(z, z,..., ¿(íi_1))) = 
= yaF(x, 1, z, z2 + z, 2(n_1))) = 0. 
2.4. Ecuación diferencial homogénea generalizada 
de la forma F (x, y, y', y",..., y(n)J — 0 
La ecuación diferencial F(x, y, yy",..., y{n)) = 0 se denomi-
na ecuación diferencial homogénea generalizada si la función F 
satisface la identidad 
F(tx,tmy, íra-y, tm~2y",..., tm-"yw) = 
= t"F(x, y, y' j/"»), 
donde m es cierto número real. 
Si la ecuación F(x, y, y', = 0 es homogénea 
generalizada, entonces los cambios de variable x — é , y = emiz(t) 
conducen a una ecuación que no contiene explícitamente la 
variable t. Por consiguiente, el orden de esa ecuación puede 
reducirse. En efecto, tenemos 
, d[e Z) -t d ( mi \ -i+mí/ . f\ 
y-—1 = € Ve z) = e (mz + z), dx dt 
= e(m"2)í (<m - 1 )mz + (2m - 1 )z + z") 
etcétera, yln) = e{m~n)ti¡}(z, z',..., donde i> es una función 
conocida. Sustituyendo las expresiones de las derivadas en la 
ecuación analizada y utilizando el hecho de que es homogénea 
generalizada, obtenemos 
e^z, ém~l)t{mz + z'l 
e{m~2)t((m - 1 )mz + (2m - 1 )z + z),... 
= eatF (%, z, (mz + z), ((m - 1 )mz + (2 m - 1 )z' 4- z),... 
2.5. Ecuaciones reducibles a la forma 
Resolver las ecuaciones siguientes: 
Solución. En esta ecuación de segundo orden, la función in-
cógnita no aparece explícitamente. Por consiguiente, conformeal 
p. 2.1, si hacemos y* = z(x), obtenemos la ecuación diferencial de 
primer orden 
2 t 2 x z — z . 
Separando las variables e integrando, tenemos 
/ i - / 
dx 
+ C\, o bien z = 
x 
x' 1 — C\x 
Integrando una vez más, obtenemos finalmente 
x dx 
= y 
Cix 
+ C: 
1 1 
x - — ln |CjX - 1 + c2t si C\ 0, 
X' 
Ci C\ 
i 
- + c?, 
Ci oo; 
si Ci = 0; 
•2 / si C\ = oo 
Solución. Haciendo y" — z(x), reducimos el orden de la ecuación 
en dos unidades: 
i 
Separando las variables e integrando, obtenemos 
/
dz 
o bien 
1 
Nos queda 
Tenemos: 
integrar dos veces la ecuación y" — (C\ - a?) 
y = - ln \Út - a| + C2, 
y — {Cx - x) ln |Ci - ®| + C2x + C3. 
-i 
Nótese que al separar las variables se perdió la solución z = y = 0, 
o bien y — Cx -f D. 
Solución. De forma análoga a lo expuesto anteriormente, tene-
mos 
y" = z{x), xz'{x) = (1 - x)z(x). 
Separando las variables e integrando, hallamos 
dx, 
ln \z\ = ln \x\ - x + ln C\, 
de donde 
o bien 
z = C\xe , 
y" — C\xe~x. 
Integrando dos veces más la última ecuación, obtenemos 
y - Cie"'£{x + 2) + C2x + C3. • 
Solución. Como esta ecuación no contiene explícitamente la 
función y, entonces mediante el cambio de variable y' = z(x) el 
orden de la ecuación se reduce en una unidad. Tenemos: 
í i z xz — z ln —. 
x 
La ecuación obtenida es homogénea; por tanto, hacemos el 
cambio de variable z = xu(x), donde u es una nueva función 
desconocida. De esta manera obtenemos la ecuación (u + xv!) = 
u ln u, en la cual las variables se separan sin dificultad: 
du dx 
«{ln « — 1) x 
Integrando hallamos que ln |lnu - 1[ = ln |a:| -f ln Ci, de donde 
u = e1+ }X. Por consiguiente, debemos integrar la ecuación 
/ 1+CAX y — xe 1 
Tenemos: l+Cia; 1 
y x - + C2. 
e, 
Qi V Ci 
Además, al separar las variables perdimos la solución u 
ex 
o bien y — -r- + C, la cual, sin embargo, puede obtenerse 
a partir de la solución general haciendo tender C\ —• 0 y 
C2 = C + —2 • 
En efecto, haciendo uso de la fórmula de Maclaurin con 
resto en forma de Peano, podemos escribir 
1 -I- C\X + + c + 7a = 
e 2 „ = -x2 + C + para C\ —• 0. 
Solución. Haciendo el cambio de variable y' — z(x), obtenemos 
la ecuación diferencial de primer orden 
xzz + z2 + l - az'\/l+z2. 
Pongamos z = tg t (|¿| < 7f/2). Entonces 
, _ dz dz 1 1 
dx dt x' eos 2t 
y la última ecuación adopta la forma 
x eos t + x sen t = a, 
de donde hallamos 
x = Ci eos t + a sen t 
Teniendo en cuenta (1), a partir de la ecuación z = tgí = 
obtenemos 
(1) 
dy 
dx 
y- / tg tdx + C2 
= ~Ci ln tg 
(t ir 
tg t d(Ci eos t + a sen t) + C2 = 
+ Ci sen t - a eos í + C2. (2) 
De esta manera, las ecuaciones (1) y (2) representan la solución 
general en forma paramé trica de la. ecuación inicial. • 
Solución. El cambio de variable y" = z(x) reduce la ecuación 
dada a la ecuación lineal de primer orden 
x*z + 2x3z - 1 = 0, 
1 Ci 
cuya solución general e s z = — + — . Por consiguiente, 
íc3 a:2' 
de donde, integrando dos veces, hallamos 
y = ~ - Ci ln |®| + C2s + C3. 2a; 
Solución. Esta ecuación no contiene la variable x en forma 
explícita; por tanto, según el p. 2.2 hacemos yr — p(y). Entonces 
dp 
y = p — y la ecuación adopta la forma 
dy 
7 dp p* + 2ypfy 0. 
dp 
De aquí hallamos que p = 0 y p + 2 t / ~ = 0 . De la primera 
ecuación obtenemos y = C, y de la segunda, p — — , o bien 
y — — d e donde y 
Hi 
o bien 
IT J y , =dx (Ci¿ 0). 
Ci 
Integrando, hallamos 
3 \ C 
o bien 
2 / 3® 3 C 2 Y _9 
4Ci 
Finalmente, 
y3 = Ca(® + C2)2, y = C, 
donde Ci es una nueva constante arbitraria. • 
M Solución. Al igual que en el ejemplo anterior hacemos y' 
dp 
Entonces y" ~ y la ecuación original toma la forma 
= p(y). 
dy 
dp 2 3 
yv = P ~P dy 
La ecuación obtenida se descompone en las ecuaciones 
dp 2 
p = 0 ' % = p ~ p • 
inñiíí ¡aill̂ rflIá̂ SIlilí ñM̂í̂h ? [h ̂ • 
í T J J f l J J í M Í T Í 
H f X M K m W 
ra»¡wM wl (mw- t- , ' h i- . 
De la primera ecuación se obtiene 
y de la segunda, 
p = y = 
y 
Ci+y 
Integrando la última ecuación, hallamos 
x = C¡ ln \y\ + y + C2. 
Solución. Según el p, 2.2, después del cambio de variable 
y' = p(y) obtenemos 
dP i 2 0 -y 
dy 
Haciendo z — p resulta 
1 dz 
2 dy 
Esta última ecuación es lineal y su solución general es 
z~Cie~2y + 4e'y. 
Haciendo z — y , llegamos a la ecuación 
y'2 — C\e~ly -(- 4e~v, 
de donde 
y - ±VCiC"2» + 4 e ^ . ' 
•i 
Integrando obtenemos 
dy 
e~2 y + 4e-y = X + C2, 
o bien 
Por tanto, 
= X + C2. 
y = ln(Cí + (x-hC2)2), 
donde C\ vh muí nueva constante. • 
S - W . . V Í i s • Hb i " 1 • 
Solución. Esta ecuación no contiene x; por consiguiente, hacemos 
y' = p{y)- Entonces, 
(t ^ f,f , t2 t/\ y y = p(p +pp ) 
y 
p2p'2 - lp2{p2 + pp) + 1 = 0, 
de donde 
p'2 + 2pp" t = 0. 
pÁ 
Dado que la ecuación obtenida no contiene explícitamente el 
argumento y, hacemos el cambio de variable p' = u(p). Tenemos: 
tt du 2 / 1 p = u + lyuu = 0. 
dp p¿ 
El cambio de variable w = u proporciona 
^ , 1 w -f pw =—. 
P 
La solución general de esta última ecuación es 
Ci 1 
w — p p¿ 
Regresando a la variable p, obtenemos 
,2 Ci 1 
P = 
P F 
de donde 
P P 
Integrando la ecuación (1), hallamos 
V^P 
o bien 
2 
± ^ % / C i p - l (C,p + 2) = y + C2-
3 q 
dy 
Haciendo uso de la expresión dx = — y de la ecuación (1), 
obtenemos dp dx ~ ±—. , 
y / C ^ l 
de donde, integrando, hallamos 
x = y/C& - \ + C*. 
Por último, excluyendo el parámetro p de las expresiones para 
x e yr obtenemos 
\2{C\y ~x) = Cj(x - C3)3 - 12(C3 + CXC2), 
o bien _ 
12(C iy - x) = C¡(x + C2y + C3/ 
donde C2 y C3 son dos nuevas constantes arbitrarias. 
Nota. La ecuación dada no contiene explícitamente la variable y, por eso, po-
dríamos haber iniciado su resolución realizando el cambio de variable y' ~ z{x). 
Proponemos al lector cerciorarse de que esa vía también cond uce ai mismo resultado. 
Solución. Dado que el primer miembro de esta ecuación se 
puede escribir en la forma yy1)1, haciendo el cambio de variable 
yy1 = z(x) se obtiene la ecuación de variables separables 
z = Z 
v T T ? ' 
Integrando dicha ecuación, hallamos 
z = Cx (x + \fx2 + 1). 
De este modo, 
yy =Ci(x+V¿*TÍ), 
de donde 
2 
y [ = Ci (x2 + x\J x2 + 1 + ln (x + \/x2 + l ) J + C2. 
•4 Solución. Ya que la función 
y, y, y") = x2yy" - 2 x2y + xyy + y2, 
conforme a la identidad 
x2tyty"-2x2(ty'f+xtyty'+(ty)2 = t2(x2yy"-2x2yí2+xyy'+y1), 
es homogénea respecto a las variables y, y', y", entonces la ecua-
ción dada es homogénea. Por consiguiente, según el p. 2,3, 
su orden puede ser reducido mediante el cambio de variable 
y' — yz(x). En ese caso obtenemos la ecuación de Euler—Riccati 
x2z - x2z2 + xz +1 = 0. 
1 
No es difícil cerciorarse directamente de que z = — es una 
x 
solución particular. Entonces, mediante el cambio de variable 
1 1 z — — I — llegamos a la ecuación lineal 
x u 
xu + u + x = 0, 
x Ci 
de la cual se deduce que u = —— -i 
b |T 
obtenemos la ecuación 
Haciendo y' — yz, 
y_ 
y 
C\ -f x 
x(Cx - x2) 
donde C\ es una nueva constante. Integrando la última ecuación, 
resulta 
Czx 
Solución. Esta ecuación también es homogénea. Después del 
cambio de variable y' = yz(x) obtenemos la ecuación 
.2 
xz — z + 
xz 
V T - l c 2 
= 0, 
:• • "ífvítiííieaí; 
la cual se puede escribir en la forma 
x x 
Vi^x2' 
de donde 
- - - y / T ^ + Cv z 
o bien x 
integrando la ecuación 
a - v T ~ & 
y X 
y Ci-VT-®2"' 
hallamos finalmente 
ln \y\ y/l - x2 + Cj ln [0j - \/T a?' + C2 
Solución. Haciendo 2/' = yz(x)t se obtiene 
íc(222 + z) - 3z - 0. 
Resolviendo esta ecuación diferencial, hallamos z as 
2ar 
Luego, integrado ía ecuación 
¿é 
y ' 
Xa + C\ 
2x 
X* + Q ' 
encontramos 
Solución. Tomando en consideración la homogeneidad de la 
ecuación, hacemos y' — yzix), de donde obtenemos (xz)1 r 
{xz)2 — 0, o bien 
(xz)' 
(xz)'- = -1. 
Integrando, hallamos — = x + C\, de donde z = 
xz 
o bien 
x(x + Ci) 
y 1 
y xix + Cj) 
Integrando una vez más, llegamos al resultado 
l/Ci tJU 
y = cz x + 
Solución. Veamos si la ecuación dada eshomogénea gene-
ralizada. Con este objetivo, en la expresión F{x,y,y',y") — 
4x y y" - x2 + y sustituyamos las variables x, y, y', y" por 
txftmy/tm"lyt/tm~2y", respectivamente, y elijamos, si esto es 
posible, un valor de m tal que sé cumpla la identidad 
tim4x'W ¿V + t*m = ta{±x2y*y"- x2 + y*). 
Es evidente que esta identidad se cumple solamente si 4m = 2, 
es decir, para m = - (con esto a = 2). Por consiguiente, la 
ecuación dada es homogénea generalizada yf según el p. 2.4, para 
integrarla hacemos iniciaímente los cambios de variable x = é, 
y = e*'2w(¿). Obtenemos: 
( dy v 2 ) y = 
m 
e ^ í j + n1 dx ,t 
d (dy 
e"3í /2 í u" 
u 
4 dx \ dx 
Sustituyendo las expresiones de x e y en la ecuación original, 
tras una serie de transformaciones hallamos 
4 « V = 1. 
Esta última ecuación no contiene explícitamente la variable ¿, por 
lo que el cambio de variable = p(u) reduce su orden en una 
unidad: \ 
3 dp 
du 
Integrando esta última ecuación, hallamos 
4P2 + ~2 = C» u£ 
o bien 
V = ± \ / C i -
1 
4t¿ 2* 
Luego integramos la ecuación tí' =ik\ C\ -
1 
4«2 
/* zidtí 
±2 7 , = ¿ + C2, 
J \/4Cii¿2 - 1 
o bien 
l = i + C: 2/ 
de donde 
»z = Ci(í + C2) + 4Ci 
Finalmente, obtenemos la solución de la ecuación en la 
forma 
Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, comprobemos si 
la ecuación es homogénea generalizada. Para ello las siguientes 
ecuaciones respecto a ra deben ser compatibles: 
2m-2 = 2 (m - 1) = m + (ra - 2) = ra + (ra - 1) - 1 . 
De hecho, son equivalentes a la ecuación 2ra — 2 = ra — 1, cuya 
solución es ra — 1. Por tanto, la ecuación dada es verdadera-
mente homogénea generalizada. Haciendo x — é, y = e u{t), 
obtenemos 
y -it + ti, H -t, / . H\ y - e {u + u ), 
• F ¡ 
3u" 4- 3íí' - tí'2 = 0. 
El cambio de variable u' == z transforma la última ecuación en 
una ecuación de variables separables 3z = 2 — 3z, de cuya 
integración resulta 
ln 
z-3 
= t + Cv 
o bien 
z = = u. 
1 - Cíe* 
Integrando una vez más la última ecuación, hallamos 
d(e') 
u = f y c*(i — Cxé) 
3¿ - 3 ln |1 - Cie'f + C2, si Cx es finito; 
C2, si C] = oo. 
Así pues, la solución general de la ecuación inicial es 
x 
+ C2x, si Ci es finito; 3x ln 
\ C2x, 
\l-Cxx\ 
si C\ — oo. 
• • • • 
Nota. En los ejemplos 35 y 36 hallamos la solución general para x > 0. En caso 
que x < Ü, la solución se halla efectuando los cambios de variable x — ~etf 
y cmtu(t), y siguiendo el mismo algoritmo de resolución. 
fcr-.v.'v... 
<4 Solución. Al verificar si la ecuación es homogénea generalizada, 
obtenemos las ecuaciones compatibles 
4 + 2(m - 1) = 4 + m 4- (m - 2) = 3 + m + (m - 1) = O, 
las cuales son equivalentes a la ecuación 2m + 2 = 0. Por 
consiguiente, la ecuación inicial es homogénea generalizada. Re-
solvámosla para x < 0, suponiendo que x = —e* e y — «"'«(i). 
Tenemos: 
/ —21/ K « -3¿/o n I I y — e (ti - u), y = e (2tt - 3tt 4-« ), 
2 W - w — Ü2 H-1 = 0. 
Haciendo u' = p(u), obtenemos la ecuación 
dp 2 2 - v r + 1 = 0, 
au 
o bien 
d ( ¿ ) 2 2 1 u - p = u — 1. 
du 
Esta ecuación es lineal respecto a p , y su solución general es 
p2 ~ u2 -1 + C-[U. Entonces 
u == ±\¡u2 + 1 + C\U. 
• B 
Separando las variables e integrando, hallamos 
du 
J \íu 
o bien 
Vxt2 + Cití + 1 
Cj /— —-
± ln Iti + — + V » + Cii¿ + 1 = í + lnC2. 
Sustituyendo en la expresión obtenida u = —xy, t = l n ( - x ) 
y realizando algunas transformaciones algebraicas, llegamos al 
resultado 
2C2x2y = [c2x + ~ 1. (1) 
Nótese que cuando hicimos el cambio de variable uf — p(u) 
perdimos las soluciones u = ± 1. Por esta razón, a la integral (1) 
es necesario añadir las soluciones xy = ±1 . • 
Solución. Esta ecuación también es homogénea generalizada, ya 
que las ecuaciones 
. 1 + (m - 2) = 2 4 m + ( r a - 1 ) = m - l 
son compatibles y m = - 2 es su solución. Sin embargo, es 
más fácil hallar la solución de la ecuación dividiendo sus dos 
miembros por x2 (x ^ 0): 
xy ti 
X' 
y — = yy o bien 
y_ 
x 
t\ i y 
Por tanto, 
y = 
W Cl 
— + -R- 1 X. 
Integrando esta ecuación, hallamos que 
2 y x l „ 
a r c t g ~ 7 ü i = Y + 2 ' 
si Ci > 0; 
< ln y 1 
y + V—Ci 
X 
= — + c 2 / si Ci < 0; 
2 x2 
y 2 
si C\ = 0. 
Reducir el orden de las ecuaciones dadas, llevándolas a 
ecuaciones de primer orden: 
< Solución. Esta ecuación no contiene explícitamente la función y; 
por tal razón, al realizar el cambio de variable y' = z(x), llegamos 
a la ecuación de segundo orden 
a „ / z z — ZZ — I — 
\x 
Esta ecuación es homogénea respecto a las variables z, z', z". Por 
tanto, haciendo z' ~ zv(x), obtenemos la ecuación de primer 
orden 
/ 1 
v -\— = 0 x 
y 
z - o. • 
< Solución. Como la variable independiente no aparece explícita-
mente en la ecuación, haciendo y' = p{y), obtenemos la ecuación 
de segundo orden (v. p. 2.2) 
y2(pp" -p'2) 
Í K 1 : ¡ K - K Í K Í ^ O O i i ^ M - H I H l H i H - B H S H i i M S H i W i i 
Dividiendo ambos miembros de ia ecuación obtenida por p2y2 
(py ^ 0), hallamos 
de donde 
M =1 
?' i „ 
p y 
^ Solución. La ecuación dada es homogénea; por tanto, el cambio 
de variable y' = yz{x) la reduce a la ecuación de segundo orden 
(v, p. 2.3) 
x2(3zz' + Z") -2z- 3xz2. 
Debido a que las ecuaciones 2 + m + ( m ~ 1) = 2+(ra—2) ~ 
ra = 1 + 2ra son compatibles, la ecuación obtenida es homogénea 
generalizada. Por consiguiente, es conveniente hacer los cambios 
de variable x = é (x > 0), z — e_ítt(í), lo cual da como resultado 
la ecuación (v. p.2.4) 
u - 3uu — 3u 0. 
Como esta última ecuación no contiene explícitamente la varia-
ble t, haciendo v! = p(u) resulta la ecuación de primer orden 
dp 
du 
3ti - 3 = 0 
u - 0. 
Resolver las siguientes ecuaciones, transformándolas de tal 
modo que sus dos miembros sean derivadas totales: 
< Solución. Dividiendo ambos miembros de la ecuación por yy", 
obtenemos 
y'" , 
y 
+ 
y 
= o, 
o bien 
(ln|/|)' + 3(ln|s,|)'=0. 
Integrando, hallamos 
ln(|/||s/|3)=]n|C1|, 
y de aquí, 
* V - c i 
(renunciando al signo del módulo no se pierden soluciones, pues 
la variable C\ es arbitraria). Multiplicando ambos miembros de la 
tf 
última ecuación por —r se obtiene una ecuación cuyos miembros 
ir 
son derivadas totales: 
n t s-, V 
y y =Ci -r, 
r 
o bien 
T ) = - t ( v )• 
Integrando, obtenemos 
/ + ciy-2 = c2, 
' = ±yfc2 - Ciy-2. 
de donde 
. y 
Integrando una vez más, hallamos finalmente 
i 
± — V c 2 y 2 - Ci = ar + C3; 
por tanto 
t/2 = Cfeí® + C3)2 + Ci, 
donde Ci es una nueva constante. Cuando dividimos por y" se 
perdió la solución y" = 0, es decir, y — ax + ¡3. • 
M Solución. Dividiendo ambos miembros de la ecuación por y"y"', 
obtenemos 
V 
y u y /// 
o bien 
de donde hallamos 
(5ln \y"\ - 3 ln \y"\)' = 0, 
y =C\y , 
lo cual proporciona 
y w 
,1/3 WW' 
Integrando esta expresión, resulta 
x 3 
,1/3 = —Af) 
» , - 2 / 3 + c 
Despejando y", obtenemos 
2 x 3/2 _ 1 rpy 7* \ —3/2 / = ± ( j -C 2 - | j = ± ( C 1 + C2x) 
___ . 
donde C\ y C2 son nuevas constantes. Integrando dos veces esta 
última ecuación, hallamos 
4 ^ xl/2 
y = (Ci + C 2 í c ) ' " + C3a; + C4, 
Debemos, además, añadir la solución de la ecuación y'" = 0, la 
cual se perdió al efectuar la división: 
y — C \x2 + C2x + C3 . 
Solución. Tenemos: 
y" = {xy + x)', 
de donde se infiere que 
y = xy + x + Ci, 
o bien 
Ésta es una ecuación lineal de primer orden y su solución general 
es 
y +1 = S'2 fc¡ I e~x~'2 dx + C2). 
A 
Solución. Dividiendo los dos miembros de la ecuación por x , 
obtenemos 
de donde 
r \ ' / 2 \ ' 
x) \ 2 
/ 
x 2 
Separando las variables, resulta 
2 dy 
~ x dx. 
Integrando, tenemos 
y2 + 2 cx 
dy x2 
y2 + 2Ci ^ ~2 
+ C2, 
o bien 
< 
2 • y arctg 
x' 
Ci 
si Ca > 0; 
ln y 
y 4-
x' 
- Y + Sr/ Si Ci < 0; 
si Ci = 0. 
2 a2 ^ 
y 1 
Al separar las variables "perdimos" las soluciones y1 + 2C\ — 0 
(Ci < 0), o bien y == ±s/—2C\. Sin embargo, no es difícil 
demostrar que dichas soluciones se obtienen a partir de la solución 
general para Ci < 0 cuando pasamos al límite C 2 T o o - • 
En los problemas siguientes hallar las solucionesque satis-
facen las condiciones iniciales dadas; 
«4 Solución. Dado que esta ecuación es homogénea, haciendo 
y' = yz(x), obtenemos la ecuación 
= z\2x -1). 
•iVD. • M M & 
» jtófyíí 
Integrando, hallamos 
z — y_ y (i) C\ + x - x¿ 
De las condiciones iniciales se tiene que C\ — 6. Integrando la 
ecuación (1), resulta 
dx 
= ln |j/| ~ ln C2, {x + 2) (3 - x) 
de donde obtenemos y ~ C2 
2 + x 
3 - x 
. Tomando x = 2 e y — 2, 
determinamos C2 — VE. La solución buscada es 
5 ¡ 2 + X 
y = 
Solución. Esta ecuación es homogénea generalizada y m — 2, 
Por eso, hacemos los cambios de variable x = e f, y = e2iu(t), 
resultando la ecuación 
u H 6 W = 0. 
Multiplicando ambos miembros por u' e integrando, hallamos 
u'2 = 4«3 + Cx. (1) 
Como y = 1 para x = 1, de las fórmulas del cambio de variable 
obtenemos que u(0) = 1. En virtud de que yf = ef(tt' +2u) e 
y'{ 1) = 4, hallamos que ií'(0) + 2u(0) = 4, de donde i¿'(0) = 2, 
Haciendo en (1) t = 0 y utilizando los valores ií{0), u\0), 
determinamos C\ = 0. Ahora nos queda integrar la ecuación 
w'2 = 4tí3. 
Tenemos TI' - ±2u3fl, ±u~3/2 da ~ 2 dt, 
I - • 
o bien 
1 
= t + c2, 
u — 
(t + m 2* 
Para determinar la constante C2 empleamos la condición u(0) = 1, 
1 
de lo cual resulta que C2 = ±1. Por tanto, u = Sin 
embargo, en virtud de la condición ía'(O) = 2, tomamos solamente 
la solución u ~ - . 
(t - l)2 
Finalmente, podemos escribir 
_ x2 
^ ~ (ln x — l)2 
Solución. Haciendo y' = p(y), obtenemos la ecuación 
p eos y + p sen y = 1, i 
cuya solución general es 
p = sen y + C\ eos y, o bien y = sen y + C\ eos y. (1) 
La constante Ci se puede determinar empleando la condición 
ÍT 
y'{—1) = 2 para y = —. Hallamos que C\ = v3. A continuación 
6 
integramos la ecuación (1) y obtenemos 
dy 
eos I y 
7T 
6 
= x 4- C*2/ 
o bien 
- ln 
2 
y ir 
t g i f + ? = x C2. 
TC 
Sustituyendo en la última ecuación x = — 1, y = —, hallamos 
6 
que C2 = 1. La solución particular requerida se expresa mediante 
la fórmula 
1 / /y 7r 
x = - l + 5 l n tg ( f + -
Nota, Podemos eliminar el signo | • pues j/'(—1) — 2 > 0. 
Solución. Según la condición del problema, tenemos la ecuación 
k 
R = , donde R es el radio de curvatura de la curva, a es 
eos a 
el ángulo dado y fe, el coeficiente de proporcionalidad. Como 
"(i + yí2)m R ™ —- , a = arctg y, entonces la ecuación anterior 
\y I 
adopta la forma 
(l + y'2f2 = k\y"\(l + y'y\ 
/2\ 1/2 
O 
kyíf = 1 + y , y 
tt 
1 f y'2 
Integrando esta última ecuación, hallamos 
/1 1 
k> ( a r c tS y > = 
x 
arctg y" - ~~ + Cv 
o bien 
x 
y tg [ J + CJ ). 
Integrando una vez más, obtenemos 
y = - k ln 
x 
eos | - + Ci + C2. 
< Solución. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por y1 
e integrando la ecuación obtenida, resulta 
/ = 2 Q + 2 eos y. (1) 
Escojamos la solución particular de forma tal que y'(x) —» 0 
cuando x —* +oo. Dado que y(x) it cuando x —f -f oo, a partir 
de (1) se deduce que C\ Integrando ahora la ecuación 
y = 2(cos y + 1), 
resulta 
d y + C2. 
y/2(l + eos t/) 
Es evidente que la expresión 
y 
1 f dt _ / = a; + ln C2 ( 0 < 2/ < t t ) (2) 
o eos-
también es solución particular de la ecuación dada. Integrando el 
primer miembro de (2), hallamos 
ln ^tgÍ(7r+2/)J = ® + lnC2/ 
o, despejando y, 
y = arctg (•C2ex) - tt, (3) 
donde C2 > 0. Evidentemente, y{x) ir cuando a? —• +00. • 
Ñola. La solución (3) describe el proceso físico del ascenso de un péndulo 
mu temático hasta su posición más alta durante un intervalo de tiempo infinitamente 
lirmule (en este caso la variable te desempeña el papel del tiempo y la variable y 
(•I tlt'l ángulo de giro). 
4 Solución. Analicemos el equilibrio de un elemento arbitrario de 
la cuerda, de longitud AS (fig. 1). Proyectando sobre los ejes Ox, 
Oy las fuerzas que actúan sobre el elemento elegido, obtenemos 
las ecuaciones 
-T(x) eos a(x) + T(x + Ax) eos a{x + Ax) = 0, 
—T{x) sen a(x) -f T{x + Ax) sen a(x + Ax) - AP = 0, 
donde T(x) es el valor de la tensión de la cuerda en la sección x, 
a(x) es el ángulo entre la tangente a la cuerda y el eje Ox, y AP 
es el peso del elemento AS (o el valor de cierta carga distribuida). 
De ía primera ecuación se deduce que T(x) eos tt(x) = 
TQ = const, es decir, la componente horizontal de la tensión de la 
cuerda tiene siempre un valor constante. De la segunda ecuación, 
hallamos 
d(T(x) sen = dP(x), 
o bien 
TQ d(tg A(x)) = dP(x), T0 dy = dP{X). (1) 
• 
En el problema dado dP{x) = kdx, donde k es el coeficiente de 
proporcionalidad. Entonces, a partir de (1) se obtiene la ecuación 
TQ dy' = kdx, que al ser integrada dos veces nos conduce a la 
ecuación que describe la forma que adopta la cuerda 
y = + Cxx + C2. • 
iSVHí 
Solución. Utilizando la ecuación (1) del problema anterior y 
teniendo en cuenta la expresión 
dP(x) = pg dS, 
donde pg es el peso de la unidad de longitud de la cuerda 
y dS = y l í - i r dx, obtenemos la ecuación diferencial que 
describe la forma que adopta la cuerda 
T0y" = pgyfu-
o bien 
y 
n 
y/l +yf2 
2 2 99 a , a - — 
o 
Dado qué 
£ rr 
V i + F 
= (ln (y' + V 1 4- y'1) ) 
se obtiene 
de donde 
y + y/üV2 = 
Integrando una vez más, obtenemos 
v = h (e°2(I+c, )+e~aH'+c,))+c2, 
o bien 
y = ch ( a ^ + C j + C2. 
U 
§ 3. Ecuaciones diferenciales lineales 
con coeficientes constantes 
3.1. Ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden 
con coeficientes constantes. Ecuación 
característica. Solución general 
Toda ecuación diferencial de la forma 
donde a¿ ~ const (i = Ó, n) y / es una función conocida 
se denomina ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden con 
coeficientes constantes. Si f(x) = 0 la ecuación (1) se denomina 
homogénea. En caso contrario se denomina no homogénea. 
Si / es una función continua en un segmento, entonces la 
solución general de la ecuación (1) es igual a la suma dé la solución 
general de la ecuación homogénea asociada y una solución 
particular de la ecuación no homogénea (1). 
La ecuación algebraica 
se denomina ecuación característica correspondiente a la ecuación 
homogénea (1). Sean Ai, A 2 , . . . , An las raíces de la ecuación (2). 
A cada raíz simple A& le corresponde una solución particular de 
la ecuación homogénea (1) de la forma y& = c . Además, a 
cada raíz múltiple Ar de multiplicidad I (/ ̂ 2) le corresponden 
las soluciones yT — e^*, yr+1 = xeXr*, ..., yT+i-\ ~ xl~le*tX < 
La combinación lineal de las soluciones particulares es la solución 
general de la ecuación homogénea (1), es decir, 
3.2. Búsqueda de la solución particular 
de la ecuación diferencial lineal de n-ésimo 
orden con coeficientes constantes mediante 
el método de los coeficientes indeterminados 
Si el segundo miembro de la ecuación (1) tiene la forma 
f{x) = Pm(x)eix, donde Pm(x) es un polinomio de grado m, 
entonces la solución particular de la ecuación (j) es 
donde «s — 0 si el numero 7 no coincide con ninguna dé las raíces 
de la ecuación característica (2), y s es igual a la multiplicidad l 
de la raíz de la ecuación (2) si el número 7 coincide con dicha 
raíz. Qm{x) es un polinomio de gradó m. Para determinar los 
coeficientes del polinomio Qm(aes necesario sustituir (4) en (1) e 
igualar las expresiones que multiplican las funciones que poseen 
una misma forma. 
Si f(x) — f\(x)+f2\x)+. | .+fp(x), la solución particular de 
la ecuación (1) es igual a la suma de las soluciones particulares fi 
de las ecuaciones no homogéneas 
a0y(n) + aiy(fl"1) + ... + a>n-\y + 0„y = fi(x) (i - I^p). 
3.3. Método de variación de las constantes 
• i , 
Si / es una función continua en un segmento, entonces la so-
lución particular de la ecuación (1) se puede hallar aplicando el 
método de variación de la constantes que consiste en lo siguiente. 
Supongamos construida la solución general de la ecuación homo-
génea (1), es decir, tenemos la expresión (3). Entonces para hallar 
la solución particular de la ecuación no homogénea (1) realizamos 
los siguientes pasos: 
a) se supone que C* = Ck(x) son funciones diferenciables; 
b) la soluciónparticular se busca en la forma 
n 
y{x) = ( 5 ) 
1 
c) las funciones C'k(x) se determinan a partir del sistema 
de ecuaciones algebraicas 
¿ C Í ( ® ) y ? = — u , 1 = fylTl, (6) 
h=\ a ° 
donde ffn-u e s símbolo de Kronecker; 
d) una vez obtenidas las soluciones C'k(x) = <pk{x) del 
sistema (6), éstas se integran: 
Ck(x) = J <p{x) dx + ak/ (7) 
donde a* son constantes; 
e) se sustituye (7) en (5): 
y(x)=7 ,yk[ <Pk{%) dx + ak). (8) 
Observemos que la fórmula (8) determina además la solución 
general de la ecuación no homogénea (1). 
M 
3.4. Método de Cauchy para hallar la solución 
particular de la ecuación diferencial lineal 
no homogénea de n-ésimo orden 
con coeficientes constantes 
Supongamos que K(x, 5) es una solución de la ecuación homo-
génea (1) y que satisface las condiciones iniciales 
*)U= £',(*, s)\t= = ... = Kt 2)(x, s)\t=l = 0, 
En este caso, si la función / es continua en el segmento [a, i?] y 
€ iaf b]r x € lar entonces 
y{x) = j K{z, s)f(s) ds (10) 
lo 
es una solución particular de la ecuación no homogénea (1) y 
satisface las condiciones iniciales 
yM = y\x0) = . . . = y(B_1)(aío) = 0. 
La solución K(x, 5) se denomina función de influencia 
para el problema de Cauchy 
Hallar las soluciones generales de las ecuaciones homogéneas 
y las soluciones particulares en los casos en que se den las 
condiciones iniciales: 
Solución. Escribamos la ecuación característica: 
A2 + A - 2 = 0. 
Sus raíces son Ai = 1, A2 = - 2 . A la raíz Ai le corresponde la 
solución particular y\ — ex, mientras que a la raíz A2 la solución 
y t ~ e ~2x. La combinación lineal de estas soluciones es la solución 
general de la ecuación dada: 
y = Cíe" +C2e"2x. • 
-4 Solución. La ecuación característica A - 2A = 0 correspondiente 
a la ecuación diferencial dada tiene las raíces Ai = 0 y 2. 
Por eso, la solución general de la ecuación inicial se escribe en la 
forma 
y = Ci + C2e2x. 
Para hallar la solución particular que satisface las con-
diciones iniciales, derivamos la solución general, obteniendo 
yf = 2C2e . Posteriormente, en las expresiones de la solución 
general y de su derivada, sustituimos x,y e i/ por sus valores 
0,0,2 respectivos. Tenemos: 
C! + C2 = 0, 2C2 = 2, 
de donde C\ = - 1 , C2 = 1. La solución particular buscada es 
y = e2x - 1. • 
< Solución. De la ecuación característica A3 — 8 — 0 hallamos 
las raíces Ai — 2, A2 = - 1 + iV3, A3 = —1 — ¿v^í. Dado que 
la solución general es la combinación lineal de las soluciones 
particulares, tenemos 
y = Cie2x+(C2eiV3x + C3e-i^x)e~x. (1) 
Por cuanto los coeficientes de la ecuación dada son reales, la 
solución (1) puede representarse en forma real utilizando las 
fórmulas de Euler 
eos <p = - (é9 + e~%<p), 
1 sen<p = — (e%(p - e t<p). 
Haciendo el cambio de variable e±ív^® = eos V3x ± i sen V3x 
en (1), hallamos 
y = Cie2x + ((C2 + C3) eos V3x + i{C2 - C3) sen V5x) e~x. (2) 
Supongamos que C2 = C2-\-iC3/ = C2-iC^f donde C2l C3 son 
constantes reales arbitrarias. Entonces, a partir de (2) se obtiene 
y - Cie2ít + eos V3x + C3 sen V3x ) , 
donde C2/ C3 son constantes reales arbitrarias nuevas. De esta 
manera, hemos obtenido la representación real de la solución 
general. • 
Solución* Las raíces de la ecuación característica A4 + 4 = 0 se 
hallan utilizando la fórmula conocida, la cual aplicada a nuestro 
caso adopta la forma 
At = = V2e 
Í(7T+2fcTT) 
—tx\ —x 
€ (l> 
ljt ^ v - t — v ¿e * > /c = 0,3. 
De aquí se deduce que Ai = 1 + = 1 — i, A3 = — 1 + i, 
A4 — — 1 ~ i. Entonces la combinación lineal 
y = (C\eix + C2e~ix)ex + (C3eíaf + C4e~ix) 
es la solución general de la ecuación analizada. 
Como los coeficientes de la ecuación diferencial son reales, 
la solución (1) se puede representar en forma real mediante las 
fórmulas de Euler e±l9 — eos (p±i sen (p, haciendo Ci = Cj +iC2, 
C2 =JC\ - iC2, C3 = C3 + iC4, C4 = C3 - iCA, donde Cx, C2, 
C3/ C4 son constantes reales arbitrarias. Entonces obtenemos 
y — (C1 eos x + C2 sen a?) ex 4- (C3 eos x C4 sen a?) e~x, 
donde C\, C2, C3/ C4 son constantes reales arbitrarias nue-
vas. • 
Solución. Hallamos las raíces de la ecuación característica A H-
64 = 0 
xk = v^64 = 2e 6 f k = 0,5. 
Después de sustituir los valores correspondientes de k en la 
fórmula de  obtenemos Ai =: V3 + i, \2 = 2i, A3 = — v3 + i, 
mamKŝíríBiíR̂gMüjŜis 
A4 — -y/3 - i, A5 = -2i, Aé = V3 — i. Por consiguiente/ la 
solución general compleja se representa de la siguiente manera: 
y = Cxe2ix + C2e~lix + (C3eix + C4e~ix)e^x + 
Haciendo C2 + iC2t C2 ~ Clt C3 = C3 4- ¿C4> C4 = C3 , 
C5 = C5 + iC¿, C¿ = C5 y utilizando las fórmulas de Euler, 
obtenemos la solución general en forma real: 
y = C\ eos 2x + C2 sen 2x + (C3 eos x + C4 sen x)e- 4-
4- (C5 eos a; + sen x)e~ , 
donde Cj (¿ = 1,6) son constantes reales arbitrarias nuevas. • 
Solución. Hallamos las raíces de la ecuación característica A — 
2A + 1 = 0: A 
1 = A2 — 1. Dado que la multiplicidad de la 
raíz es igual a dos, entonces, conforme al p. 3.1, las soluciones 
particulares de la ecuación diferencial dada tienen la forma 
Vi - V2 = xex-
Por consiguiente, 
y = (Ci 4- C2x)ex 
es la solución general. • 
A 0 
M Solución. Resolviendo la ecuación característica A 4- 2A + 1 = 
ty n 
(A 4-1) = 0, obtenemos Aj = X2 — i, A3 = A4 — —i, Conforme 
al p. 3.1, escribimos las soluciones particulares: 
ta: ta: ~ta¡ — ix 
y\~z, yi — xe, y3 = e , yA = xe , 
y, luego, la solución general de la ecuación diferencial: 
y = Cxeix + C2é~ix + x{C3eix 4- C4e~ix). 
Si hacemos C\ — C\ + iC2, C2 — C\, C3 = C3 -f- ÍCA, C* — C3 , 
obtenemos la forma real de la solución general: 
y = Cj eos x + C2 sen x + x(C$ eos a: + C4 sen a:), 
donde C, (i = 1, 4) son constantes arbitrarias reales nuevas. • 
< Solución. La ecuación característica A4 + 8A3 + 24A2 + 32A +16 ~ 
(A + 2)4 = 0 tiene por raíz a A = - 2 de multiplicidad l — 4. 
Conforme al p. 3.1, a esta raíz le corresponden cuatro soluciones 
particulares 
~2x -2x 2 —2x 3 ~2x 
Vi = e , y2-xe , y3 = x e , y4 = x e . 
Por consiguiente, 
y = (Ci + C2x + C3Z2 + CiX3)e~2x 
es la solución general de la ecuación. • 
• 
< Solución. Escribiendo la ecuación característica A6-5A5+4A4 = 0 
y resolviéndola, hallamos que A] = A2 = A3 = A4 = 0, A5 = 1, 
A6 = 4. Por consiguiente, la solución general es 
J/ = C! + C2x 4- C3Z2 + C4X3 + C5ex 4- C6e4x. 
> " • 
Para determinar las constantes Q (¿ = 1,6) que corresponden a 
la solución particular buscada es necesario diferenciar cinco veces 
consecutivas la solución general y emplear las condiciones inicia-
les. Haciendo esto, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones 
respecto a las constantes señaladas: 
CJ + C 5 + Ce = 0, 
C 2 + C 5 + 4C6 = 0, 
2C3 + C 5 4 1 6 C 6 = 0, 
6C4 + C 5 + 64C6 = 0, 
C5 + 256C6 = 0, 
C 5 + 1024C6 = 2. 
2 1 85 21 
De aquí hallamos C5 = C6 = —, Ci = —, C2 = —, 
5 ^ 1 
C3 = —, C4 = —. Por tanto, 
16 12 
85 21 5 2 1 <» 2 „ 1 aj. 
y = 1 x + + - ~ex + —e * 128 32 16 12 3 384 
es la solución particular buscada. 
4 Solución. Las raíces de la ecuación característica A6+3A4 = 0 son 
\1 3= \2 = A3 = Á4 = 0, A5 = iv3, Ag = —i\/3. De acuerdo con 
el p.3.1, escribimos la solución general de la ecuación diferencial: 
y = Cx + C2x + C3x2 + C4X3 + C$ sen V3x + C6 eos y/3x. 
Al igual que en el ejemplo anterior, escribimos el sistema de 
ecuaciones respecto a las constantes C¿ (i — 1,6) y lo resolvemos. 
Obtenemos C\ = Ci = 0 (s = 2,6); por consiguiente, la solución 
particular es 
y = 1. • 
Hallar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones 
no homogéneas y las soluciones particulares en los casos 
donde se conozcan las condiciones iniciales: 
<4 Solución. Hallamos la solución general de la ecuación homogé-
nea y" — 2y' — 3y = 0 asociada a la ecuación no homogénea dada. 
Por cuanto las raíces de la ecuación característica A2 — 2A — 3 = 0 
son Ai = —1, A2 = 3, la solución general es 
y == C\e'x + C2e3x. 
Dado que el segundo miembro de la ecuación es f(x) — e4® 
y el número 7 — 4 no coincide con ninguna de las raícesde la 
ecuación característica, entonces,, en correspondencia con el p. 3.2, 
la solución particular de la ecuación no homogénea dada se busca 
en la forma 
y~Q<i(x)eix ~a0e4iC, (1) 
donde do es una constante desconocida. Para determinar (IQ 
sustituimos (1) en la ecuación diferencial original. Así obtenemos 
ía identidad 
,4x _ 4x 
1 . 1 
a partir de la cual hallamos «o — ~ - Por consiguiente, y — ~e 
: 5 5 
y la solución general de la ecuación no homogénea tiene la forma 
i B 
y = C,e" + C^* + ±e4< 
Sustituyendo en la solución general y en su derivada los 
valores 0, 1, 0 en lugar de a?, y, y', respectivamente, obtenemos 
un sistema de ecuaciones respecto a C\, C2: 
1 
Ci + Cz + - = 1, 
5 
• - • 
• 4 
~Ci + 3C2 + - = 0 . 5 
Resolviendo este sistema y sustituyendo los valores de C\, C2 en 
la solución general/ hallamos la solución particular buscada; 
< Solución. Hallamos sin dificultad la solución general de la 
ecuación homogénea asociada: 
y = C1ex+C2e~x. (1) 
Como el segundo miembro de la ecuación diferencial dada es 
igual a la suma de dos funciones f\ + f¿ de la forma Pm{x)nlxr 
entonces, conforme al p. 3.2, buscaremos la solución particular 
como la suma de las soluciones particulares de las ecuaciones no 
homogéneas 
= 2ex, y" — y ~ -ap. (2) 
Por cuanto 7 = 1 en la primera ecuación, mientras que en 
la segunda 7 = 0, utilizamos la fórmula (4) del p. 3.2 para hallar 
las soluciones particulares de estas ecuaciones: 
Vi = aQxex, 
_
 2
 (3) 
y2 ~ oqx + hx + b2/ 
donde a0/ b0, bx, b2 son constantes desconocidas. Para determi-
narlas, sustituimos (3) en (2) y obtenemos las identidades 
2a0ex = 2ex, 
2 2 2&o ~ bix - 02 = -x , 
a partir de las cuales, igualando los coeficientes de los términos 
semejantes, hallamos 
«0 = 1/ — 1/ — = 0, 
260 - 62 = 0 o 1)2 - 2. 
Por consiguiente, la solución particular de la ecuación no homo-
génea inicial es 
y = yi + 2/2 = xex + x2 + 2. 
Finalmente/utilizando la expresión (1), escribimos la solución 
general de la ecuación dada: 
y Cx e* + C2 e x + xe* + x2 + 2. • 
Solución. Escribamos primero la solución general de la ecuación 
homogénea asociada: 
y = C\ex + C2e2x. 
Representado el segundo miembro de la ecuación original en la 
forma 
1 . 1 * tx —t$ sen x = — e e , 
2 i 2% 
vemos que 71 = i, 72 — -¿ . Dado que 7 ^ A, entonces, conforme 
al p. 3.2, buscaremos la solución particular de la ecuación en la 
forma 
y = y\ + yi, 
: r; i S! iffiilf̂ î aafó 
donde yi = a0e , y2 = b0e , Sustituyendo la función y — 
V * 
a^é* + boe"iX en la ecuación inicial e igualando los coeficientes 
1 r 
de e" y e~", obtenemos 
_ 3 i 
°° ~ 20 ~ 20' 
fro = 5o = l + ¿ -
De esta manera, la solución particular tiene la forma 
y = aoelx + üQe~lx — (oq + fto) eos x + i(a o — oq) sen x = 
^Icosx + isenx, 
y la solución general, la forma 
* 2a ^ 1 
2/ = Ĉ e + C^e H eos # + — sen x. • 
* 10 10 
Nota. Sí los coeficientes del primer miembro de una ecuación son reales y el 
segundo miembro tiene la forma 
e7* (Pm{x) eos px + Qn{x) sen f3x), (1) 
entonces la solución particular de la ecuación no homogénea se puede buscar en la 
forma 
y = a* (<9jí V ) eos + (s) sen /te) e7*, (2) 
donde 5 — 0 si 7 + /5t no es raíz de la ecuación característica/ y s es igual a la 
multiplicidad de esta raíz en el caso contrario, p = max{m, n 
De esta manera, tenemos que en el ejemplo analizado 7 — 0, Pm{x) s 0, 
Qn(x) 5 1, p = 0, = 1, Ai ^ 7 + fii, A2 7 + fii. Por consiguiente, s = 0 y 
la solución particular tiene la forma — y = üq eos z + bQ sen x, donde a0,&o son 
los coeficientes por determinar. Sustituyendo y en la ecuación diferencial inicial, 
3 1 
hallamos úü = — y 60 = —. 
Solución* Para hallar la solución particular de la ecuación no 
homogénea dada recurriremos a la nota del ej, 65, En nuestro caso 
7 = 0,Pm(x) = 0, Qn{x) s 4 , 0 = 1, p = 0, A, = i = 7 + 
Por tanto, s = 1, y según la fórmula (2) del ejemplo anterior, la 
solución particular tiene la forma 
y = X{OQ eos x -f &o sen x). (3) 
Sustituyendo (3) en la ecuación diferencial inicial e igua-
lando los coeficientes de las funciones sen®, cosa;, hallamos 
que ao — - 2 y ¿ > o = 0 - Finalmente, tomando en consideración la 
solución general de la ecuación homogénea asociada, escribimos 
la solución general de la ecuación no homogénea: 
y = C\ sen x + C2 eos x — 2x eos x. • 
Para cada una de las ecuaciones dadas escribir la solución 
particular con coeficientes indeterminados: 
Solución. Las raíces de la ecuación característica son Aj = 1 + i, 
X2 = 1—i. Dado que el segundo miembro de la ecuación analizada 
es igual a la suma de dos funciones, buscamos la solución 
particular y como la suma de dos soluciones particulares y\ y y2 
de las ecuaciones respectivas: 
y" ~ 2y' + 2y = e9, 
" o t . n ^ y - 2y + 2y = x eos x. 
Para construir las soluciones particulares y\ e y2 utilizaremos la 
observación hecha en el ej. 65. En el caso de la primera ecuación 
de (1) tenemos que 7 = 1, /3 — 0, Pm(x) = 1, p — 0. Dado que 
7 + /3i Ai, 7 + /3í / A2, obtenemos 5 = 0. Por consiguiente, 
según la fórmula (2) de la observación 
y\ = C()ex. 
En el caso de la segunda ecuación de (1) 7 = 0, = 1, Pm(x) = x, 
Qn{x) = 0, p = 1. Como 7 + f3i / Ai, 7 + {3i / X2, tenemos 
que s = 0. De esta manera, conforme a la fórmula (2) de la 
observación del ej. 65 
yi = {̂ 0® + eos x + (60® + 61) sen x. 
Por tanto, la solución particular de la ecuación diferencial inicial 
debe buscarse en la forma 
Y — CQ€x + {a^x + ai ) eos x + (b0x 4- 61) sen x. 
A Solución. Ante todo, hallemos las raíces de la ecuación caracte-
rística A2+6A4lO = 0: Ai/2 = —3±¿. Recurriendo ala observación 
del ej.65, escribimos las soluciones particulares de las ecuaciones 
respectivas 
y" + 6 y + 10 y = -le eos x. 
Para la primera ecuación de (1) tenemos 7 = —3, ¡3 = 0, 
Pm(s) = 3x, p — 1. Dado que 7 + (3i / Aií2, entonces s = 0, 
Para la segunda ecuación de (1), 7 = 3, ¡3 — 1, Pm(íc) = - 2 , 
= 0, p = 0. Debido a que 7 + = 3 + i ^ A12, obtenemos 
s = 0. 
Para la primera ecuación de (1), la solución particular tiene 
la forma 
Vi - («o® + 
y para la segunda 
= (í?o eos x + &i sen . 
La suma de estas soluciones particulares es la solución particular 
buscada de la ecuación inicial 
y = (fl,0ar + a\)e + (60 eos x + &i sen :c)e . • 
1 
< Solución. Hallamos las raíces de la ecuación característica A1 — 
2A2+ 4A - 8 = 0: Xx ~ 2, X^ - ±2i. Al igual que en los 
ejemplos anteriores, establecemos que s = 0 para cada una de las 
ecuaciones 
y" — 2y" + 4y' ~ 8y = e sen2x, 
y'" - 2y" + 4y' -8y = 2x2. 
Además, para la primera de ellas 7 = 2, (3 = 2, Qn(x) = 1, 
Pm(x) = 0, p = 0, y para la segunda 7 = 0, ¡3 — 0, Pm{x) = 2x2, 
p — 2. Por consiguiente, 
= (a0sen2x + 60eos2x)e , y2 = C0x +C\X + C2, 
tf = yt + = («o sen 2x + 6q eos 2x)e + CQx2 4* Cxx + C2. • 
<4 Solución. Las raíces de la ecuación característica son — 2 ± i . 
Escribamos el segundo miembro de la ecuación dada en la forma 
2x 2 _ 1 2x 1 2x e sen # = - e e cos2a;. 
2 2 
Como en los ejemplos anteriores, obtenemos y\ = a0e , y2 — 
(60 eos 2® + b\ sen 2x)elx. De este modo, 
y = (a0 + bQ eos 2a; + í>i sen 2x)e . • 
Solución. Dado que sen x eos 2x = - sen 3x - - sen x y X\2 ~~ 
±2i, A34 = ±i, según la observación del ej. 65 tenemos y\ = 
a0 sen 3a? + o,\ eos 3x, y2 = x{bQ sen x -I- 6j eos x). Aquí, y\ es la 
\ 
solución particular de la ecuación y + 5y" + 4y = - sen 3a;, 
\ 
y Vi, la de la ecuación y -f 5y,f + Ay = — - sen x. En este último 
caso, s = 1 en virtud de que 7 + ¡3i = A3. Por consiguiente, 
^ = a0 sen 3x 4- % eos + x{bo sen x + &i eos as). • 
< Solución. Dado que 2X = e*1"2 y Aj = 1 ^ ln 2, A2 = 2 / ln 2, 
según el p. 3.2 
y = a0exkl2 = a02*. • 
Solución. Buscamos la solución particular y como la suma 
de tres soluciones particulares y\, y2f yz de las ecuaciones 
diferenciales respectivas, cuyos primeros miembros coinciden con 
el primer miembro de la ecuación diferencial dada, mientras 
que Jos segundos miembros son las funciones /i(x) = x2 eos 2x, 
f2(x) = xexsen 2a?, fo{x) = e2x sen x, respectivamente. Dado que 
A 1,2 == 0/ A3(4 as 2 ± i son las raíces la ecuación característica, 
entonces, conforme a la observación del ej.65, tenemos que 
y\ = (a 0 x + a\X 4 <12) eos2x 4 (b0x 4 &12: 4 b2) sen2a;, 
2/2 — (ÍQ)® 4 ca) sen 2x 4 (d^x 4 di) eos2x)ex, 
i/3 = ®(a0 sen x 4- ô eos x)é . 
Observemos que sólo en el último caso 7 4- ¡3i = A3, es decir, 
Resolver las siguientes ecuaciones aplicando el método de 
variación de las constantes: 
Solución. Hallemos la solución general de la ecuación homogé-
nea asociada 
y = C + C2xex. 
Luego, suponiendo C\ = Ci(a;), C2 = C2(x), escogemos las 
funciones Ci(x) y C2(x) de forma tal que la función 
y = Ct{x)ex 4 C2(x)xex (1) 
sea la solución de la ecuación no homogénea. Para que la 
elección de tales funciones sea eficiente, utilizamos el sistema de 
ecuaciones (6), p. 3,3: 
C[(x)ex + Cí(x)xex = 0, 
e x 
C[(x)ex 4- C2{x)ex(x 4 1) = —. x 
v 
1 
De aquí hallamos que C\{x) — -1, C2(x) = —. Integran-3j 
do las ecuaciones obtenidas, encontramos Ci(s) = -x + C\, 
C2{x) = ln |x| -i- C2, donde C\, C2 son dos constantes arbitrarias 
nuevas. Sustituyendo ias funciones halladas C\{x) y C2(x) en (1), 
finalmente resulta 
y = Cié* 4- C2xex - xex 4 xex ln |x|. • 
< Solución. Hallamos sin dificultad la solución general de la 
ecuación homogénea asociada: 
y = Cíe® + C2e~x. 
Conforme al p. 3.3, la solución general de la ecuación no ho-
mogénea tiene la forma y = Ci{x)ex + C2(x)e~x; las funciones 
arbitrarias C\ y C2 se determinan a partir del sistema de ecua-
ciones 
C[{x)ex + C2(x)e~x = 0, 
C[(x)ex - C'2{x)e~x = - -X Xa Resolviendo esta sistema algebraico, obtenemos 
c [ i x ) = \ ( - 4 + - ) 
2 \ xó x / 
1 / 1 2 \ 
Integrando esta última expresión, hallamos 
donde Ci, C2 son dos constantes arbitrarias nuevas. 
Integrando por partes dos veces, resulta 
2 \ x x¿} 
1 „ / 1 1 \ 
2 \ X xá / 
Sustituyendo las expresiones de C\(x) y C2(x) en la fórmula 
de la solución general de la ecuación no homogénea, obtenemos 
finalmente 
1 
y = C\ ex -f C2e 1 . • 
x 
i ' l Y j f c M J . . 1 ¡ } ' V 1 : * f '•'' f i. L i. L * • • , : _ 1 ¡ ' ' J y ' ' ' ' - . j ; ' • ' • " 
Ü ' - i ^ t i ¡ Ü : I ^ . í í - i * - ^ i i j i i - ^ W . v - . U / " . " í " ' • . / ' . - . n . - . ; . . ; ' . ' > • A , ^ 
superiores! 
- • { •• • •, • * ' , k I " * •• 
Resolver las ecuaciones siguientes empleando diferentes me 
todos: 
< Solución. La solución general de la ecuación homogénea es 
y = C\e"x + C2 xe — X 
1 1 
Como eos ix — -e£ -f - e 3 v la raíz A = - 1 de la ecuación 
2 2 3 
característica es de multiplicidad 2, conforme al p. 3.2 buscaremos 
la solución particular de la ecuación no homogénea en la forma 
zr ¡ e , i 2 —x y = ae -\-bx e . 
Sustituyendo y en la ecuación inicial, obtenemos una identidad 
1 1 
respecto a x , a partir de la cual se infiere que a = —, b — —. Por 
consiguiente, 
l x2 _ 
y = -eA H e a + Cíe s + C^ze x 
8 4 
es la solución general de ecuación original. • 
Solución. La ecuación característica A + 2i — 0 de la ecuación 
homogénea asociada tiene las raíces 
Xk = V^li = y/le 2 á r V Í c ' l AÍ = 0,1, 
es decir, 
Ao 
7T \ / TT 
v c o s l " 4 ] + í s e n r i 
r ( 3 3 A] = v2 eos -7T + ¿ sen -ir 
v 4 4 
— — 1 + i. 
Por consiguiente, la solución general de la ecuación homogénea 
está dada por la fórmula 
y = Cxe{l~i)¡s + C2e{~l+i)x 
a í i v í í í í 1 - ' • : ! i ' i t i - . 
Para obtener la solución particular utilizaremos el método de los 
coeficientes indeterminados. 
Como 8e® sen x = - e ( 1 + I > - según el p. 3.2 la 
i % 
solución particular se busca en la forma 
y = ae(1+i)K + bxe^i)x (1) 
(nótese que el factor x en el segundo sumando de (1) aparece 
como consecuencia de que la raíz Ao coincide con el número 
1 - «). Sustituyendo (1) en la ecuación inicial, se obtiene una 
identidad respecto a x, a partir de la cual determinamos a = - 1 , 
De esta manera, 
y = (Cx + (i - l)x)e{1~i)x + C2e{i"l)x - ecl+í)a; 
es la solución general de la ecuación no homogénea. • 
< Solución. La solución general de la ecuación homogénea es la 
función 
y = Cie",x + C2xe~ix. 
i i 
Dado que 8 ch ix = 4elx +4e~ lx , para hallar la solución particular 
de la ecuación no homogénea resulta cómodo utilizar el método 
de los coeficientes indeterminados. En virtud de que A = — t es 
una raíz de multiplicidad 2 de la ecuación característica, entonces, 
según el p. 3.2, la solución particular se busca en la forma 
y - aeix + bx2e~ix. 
Haciendo y en la ecuación dada e igualando los coeficientes 
• d 
de eiX y e~lx, obtenemos que a = - 1 , b = 2. Por consiguiente, 
y =(Ci + C2x + 2x2) e~ix - eix 
es la solución general de la ecuación inicial. • 
Solución. Resolviendo del modo usual la ecuación homogénea 
asociada, obtenemos y — C\ senwx C2 coso;®. Para obtener la 
solución particular de la ecuación no homogénea emplearemos el 
método de Cauchy. Según el p. 3.4 podemos escribir 
K{x, S) = C\(s) sen wx + C2{s) eos UJX, 
donde K(x, «s)| = 0, Kfx(xts) 1 (en este caso n = 2). Por 
consiguiente, 
C\{s) sen ws + C2(s) eos ws = 0, 
1 
Ci(s) eos (JJS - C2(s) senu?s = — (a> / 0). U) 
De las dos últimas ecuaciones hallamos 
eos it)8 senws 
Ci(s) = , C2{s) = u U) 
Entonces 
1 
K(x, s) = — sen w(x — 5). 
iú 
* - • 
1 
La función f{x) — es continua para x / - 1 . Por eso, 
I T 1 
podemos aplicar la fórmula (10), p. 3.4: 
X 
, \ 1 f sen U){x - s) 
y(x) = - ds, (1) 
w J s +1 
donde xo G [a,b], x € [a,b] y — 1 £ [a, 6]; a, b son números 
arbitrarios. Tomando en consideración la solución particular (1) 
escribimos la solución general: 
X 
1 f sen u>{x - s) 
y — C\ sen UÍX + C2 eos wx H— / ds. (2) 
u J s + 1 
®0 
Ahora, partiendo de la solución general vamos a construir 
la solución particular que satisface las condiciones iniciales dadas. 
Diferenciando (2) se obtiene 
X 
. f eos Uí(x - «) 
y (x) = w(Ci eos wx - C2 sen u)x) + ds. (3) 
J s +1 
¡F0 
Haciendo x — XQ = 1 en (2) y en (3) y teniendo en cuenta las 
condiciones iniciales, obtenemos 
2 = C\ sen u) + C2 eos w, 
- 3 = U>(Ci eos U) - C2 sen ÍV), 
3 3 
de donde C\ = 2 sen o; coso?, C2 = 2cosaM—senw. U) OJ 
Sustituyendo estas expresiones de C\ y C2 en (2) y tomando 
XQ = 1, finalmente hallamos 
X 
, 3 ' 1 f$enw{x-s) 
y = 2cos(v{x~l) senu/(® — 1) H— / as. 
u> Uf J s + 1 i 
Solución. Aplicando el método de variación de las constantes 
C\ y C2 que intervienen en la solución general de la ecuación 
homogénea asociada 
y = Cj sen x + C2 eos x, (1) 
obtenemos el sistema 
C[(x) sen x + C2(x) eos x = 0, 
C[ (x) eos x — C2(®) sen x = f(x), 
del cual se infiere que C[(x) = f (x)eosx, C2(x) = —f(x) sena?. 
Integrando, hallamos 
C\{x) = I f{x) eos x dx + C\, 
(2) 
C2(x) = — / f(x) sen x dx -f 
Supongamos que para todo x > XQ fijo tienen sentido las expre-
siones 
X - • X 
a(x) = I f(s) eos s ds, fi{x) = / f(s) sen s ds. 
«o ®0 
Entonces, como se infiere de (2) y (1), la solución general de la 
ecuación dada se puede representar en la forma 
X 
y = C\ sen x + C2 eos % + J f(s) sen(® - s) ds = 
Xq 
donde 
= Cj sen a: + C2 eos x + o(x) sen x H~ ¡3(x) eos x — 
= (Ci -f a(x)) sen x + (C2 + /?(#)) eos x = 
= A(x) eos (x - ¥>($)), 
A{x) = V í Q + a(x))2 + (C2 + /?(s))2, 
sen y>(ai) = 
Ci + a{x) 
eos <p(a;) = 
C2 + 8(x) A(x) ¿ 0. 
A(x) A{x) 
De aquí se deduce que, para que la solución y(x) esté 
acotada cuando x —• -foo, es suficiente exigir que la función A 
(amplitud) esté acotada cuando x —• +00, es decir, que las 
funciones a y /? estén acotadas cuando x —> -4-00. • 
-i • 
Construir las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas 
con coeficientes constantes (de menor orden posible) a partir 
de las soluciones particulares dadas: 
Solución. Diferenciando sucesivamente la función y\, obtenemos 
y\ mxex 4- 2xe2 = y y 4- 2xex; 
2/i' = y[ + 2e* + 2®e* = y[ + 2ea: + (y[ ~ y i) = 2^ - Vl + 2e*; 
Excluyendo de las dos últimas expresiones 2ex, finalmente 
tenemos 
y;" - + 31/5 ~yi=o. 
Nótese que es imposible obtener una ecuación diferencialde orden menor, pues la solución particular y\ = x2es corresponde 
a la raíz de multiplicidad l = 3 de la ecuación característica. • 
< Solución. La solución particular y\ corresponde a la raíz de la 
ecuación característica Ai = 1 de multiplicidad l, ~ 2, mientras 
que la solución particular y2 corresponde a la raíz A2 = — 1. 
Dado que conocemos las raíces no es difícil escribir la ecuación 
característica 
(A - 1)2(A + 1) = 0, 
o bien 
A 3 - A 2 - A + 1 = 0 . 
Es evidente que a esta ecuación característica le corresponde la 
ecuación diferencial 
tu it t . n y - y -y + y = 0. 
1 
Solución. Por cuanto x = xe0x, sen x — —-(etx — e , x ) , las 
2i 
soluciones dadas corresponden a las raíces de la ecuación carac-
terística AJ = 0 (raíz de multiplicidad 2), A2 = i y A3 — — i, 
respectivamente. Por tanto, 
A2(A - ¿)(A + I) = A2(A2 + L) = O, 
o bien 
A4 + A2 = 0 
es la ecuación característica de la ecuación diferencial 
iv 11 y + y" - 0. 
lae^a). + -Xe{1~2i)x 
2 2 
Solución. En vista de que xex eos 2x -
la solución particular dada corresponde a las dos raíces complejas 
conjugadas Ai)2 = 1 ± 2i de cierta ecuación característica. Ésta es 
(A — 1 — 2í)2(A — 1 + 2if == 0, 
o bien 
A4 - 4A3 + 14A2 - 20A + 25 = 0. 
Sólo nos queda escribir la ecuación diferencial requerida 
yiv - 4y" + Uy" - 20y' + 25 = 0, • 
< Solución. Hallemos primero las raíces de Ja ecuación caracterís-
2 a a2 
tica A + aA -f o -- 0, Tenemos Ai ? — — ± i/ o. Analicemos 
^ 2 y 4 
ahora todos los casos correspondientes a los diferentes valores 
de a y b. 
SÍ a = 4b, la solución general es 
y = {Cx + C2x)e~ax/2. (1) 
Si a2 ^ 4b, la solución general es 
y = + C f c ^ (2) 
De (1) se deduce que para todo valor de a (real o complejo), 
todas las soluciones y no pueden estar acotadas. En efecto, si 
Re a > 0 la función y no está acotada para x < 0, si Re a < 0 la 
función y no está acotada para x > 0, y si Re a = 0 es evidente 
que la función y no está acotada. 
Analicemos ahora las soluciones representadas mediante 
la fórmula (2). Sea Re  < 0 o Re A2 < 0. Entonces no todas 
las soluciones (2) están acotadas para x < 0. Sea ReAj > 0 
ó Re A? > 0. Entonces no todas las soluciones (2) están acotadas 
para x > 0. Finalmente, si Re Ai = ReA2 =» 0, es decir, si 
Ai = iyi, A2 = i j2 Í7i / 72)' entonces Va; F (-oo, +00) todas 
las soluciones están acotadas. En efecto, en este caso todas las 
soluciones se representan mediante una combinación lineal de las 
funciones acotadas sen 71 a;, eos 712, sen72a*, eos 722. 
. De este modo, para que todas las soluciones estén acotadas 
deben cumplirse las condiciones 
a l a 2 a l a 2 , 
- - + y — - b = nú - 2 " V 4" ~ b ~ 1 7 2 ^ 72^ 
a partir de ias cuales hallamos que 
a = -i( 7j + 72), b = — 7i72/ 
donde 71 y 72 son dos números reales arbitrarios diferentes. En 
particular, si a es un parámetro real, es decir, 71 = —72, entonces 
todas las soluciones estarán acotadas para b > 0 (a = 0). • 
Jf" ir* w 
Solución. Utilicemos las fórmulas (1) y (2) para todas las so-
luciones del ejemplo anterior. En el caso (1) todas soluciones 
tienden a cero cuando x —• +00 si Re a > 0. En el caso (2) todas 
las soluciones tienden a cero cuando x —+ +00 si se cumplen 
simultáneamente las desigualdades Re Ai < 0 y Re A2 < 0. 
En particular, si a y b son parámetros reales, entonces en el 
caso (1) para a > 0 (6 = o 2 / 4 > 0) todas las soluciones tienden 
a cero cuando x —> +00. Esas mismas condiciones (a > 0, b > 0) 
también son aplicables al caso (2). En efecto, si b < 0, entonces 
una de las raíces Ai ó A2 será positiva independientemente del 
valor de a, es decir, eX:X ó e*2X +00 cuando x —• +00. 
Si 6 = 0, entonces la ecuación tiene una solución y = C / 0 
que no tiende a cero. De esta manera, es necesario que b sea 
positivo. Sea b > 0 y a ^ 0. Entonces la parte real de una de las 
raíces (Ai ó A2) es, necesariamente, no negativa; por consiguiente, 
bien eAl®, bien e*2* no tiende a cero cuando x —» +00. Nos 
a2 
queda por analizar el caso en que a > 0 y í > > 0 . S i 0 < ¿ > ^ 
entonces ambas raíces Aj y A2 son negativas y y —> 0 cuando 
o2 
x —> +00. Si b > —, entonces las raíces Ai, A2 son complejas 
4 
conjugadas y tienen las partes reales negativas; por tanto, y -+ 0 
cuando x +00. • 
- W ^ • • ; V, :- ; • , H
 :
 i; ••:
 :
: 
fft^iv^íwrf-^'ti.^-^^^'-1 : -.i. 
. i r 
- •-..--.: iii 
Solución. Las soluciones tienen la forma (1) y (2) del ej. 85. Es 
evidente que la fórmula (1) no describe las soluciones oscilatorias 
que se anulan en un conjunto infinito de puntos x para cierto 
valor de a. 
Analicemos las soluciones (2). Si Xx y X2 son raíces reales, 
entonces, como ya sabemos, la suma de dos funciones exponen-
ciales puede anularse sólo en un número finito de puntos a:. Sea 
a , 
ib ——, es decir, 46 > a . 
Entonces 
y = [Ci eos j X + C2 sen J b - j x \ e ^ / 2 -
A eos b - % - v ] e~a**2 
Como vemos, en este caso todas las soluciones (para valores 
arbitrarios de A y <p) se anulan en un conjunto infinito de 
puntos {a;*;}, donde 
7T 
+ /C7T 4- <f 
_ 2 (fc 6 Z). 
a 
4 
i 
• 
1 3 
Solución. Necesitamos hallar tales valores de los parámetros a 
y b que para todos los valores de Ci y C2 (constantes arbitrarias 
de las soluciones (1) y (2) de la ecuación del ej.85) se cumpla la 
condición 
lim (y(x)e*) = 0. (1) 
X~'+OG 
Si a2 = 46, entonces conforme a (1) tenemos 
lim ((Cj + C2x)e{l~a/2)*) m 0. 
Z ->+OG 
Es evidente que esta expresión se cumple para las constantes 
arbitrarias C\ y C2 solamente bajo la condición R e f l - ^ J < 0 
ó Re a > 2. 
Cuando Ai ^ X2 la condición (1) adopta la forma 
lim + C2eiX2+1)x) = 0. x—>+co 
Para valores arbitrarios de Cx y C2f la expresión anterior es 
equivalente a las condiciones 
lim e(Al+1)x = 0 y lim e(A2+])x = 0. (2) 
ar—>+oo x—>+oo 
De aquí se deduce que esto último es posible solamente cuando se 
cumplen de manera simultánea las desigualdades Re (Ai -f 1) < 0 
y Re (A2 + 1) < 0. 
Si a y 6 son parámetros reales, entonces estas últimas 
desigualdades se pueden escribir de forma más explícita. 
a2 
Supongamos que b < —. Entonces Aj y A2 son raíces 
reales y si Ai < 0, entonces A2 < 0. Por consiguiente, obtenemos 
las condiciones 
a2 
& < - , - — 6 < 0, (3) 
para las cuales se cumplen las expresiones (2). Resolviendo 
conjuntamente las desigualdades (3), obtenemos la condición 
para que se cumpla la expresión (1): 
a2 
a >2, a - 1 < b < 
4 
a2 A a I a2 
Sea o > —. Entonces Ai2 = — ± t\ o , y las 
4 ' 2 V 4 3 
a 
expresiones (2) se cumplen si — - + 1 < 0 , o bien a > 2. 
De esta manera, si a y fe son parámetros reales, la expresión 
señalada en las condiciones del problema se cumple para a > 2 
y b > a - 1, es decir, cuando 2 < a < 6 + 1 . • 
a2 
Solución. Analicemos 3 casos. Supongamos que b = —, Enton-
ces la solución del problema tiene la forma 
* - ( ¿ a ) 
Es evidente que a debe ser positivo, de lo contrario y y no tenderá 
a cero cuando x —+ + oo. Por consiguiente, a = 2 Vb, 
Supongamos ahora que a > 2Vb. Entonces la solución del 
problema es 
m . (-X1e"' + A,e-B I) ¿ e " 0 ' / 2 , (2) 
Finalmente, si 0 < a < 2Vb, entonces 
y$ = ( -—senlü\x + cos^x^j e~ax>'2, Ui~\¡b——. (3) 
Nos queda comparar las soluciones (1), (2), (3) para valores 
suficientemente grandes de x > 0. Sea x —*• 4-00. Entonces 
tenemos las siguientes fórmulas asintóticas para las soluciones 
(1), (2) y (3), respectivamente: 
yi = y2 = 0(e^a>2>*), m = o(e-°"2). (4) 
En vista de que 
lim ——yr = lim xe~x(VE~af2) = o, para a < iVb, 
X - M o o e flI'¿ x~*+oo 
se cumple que %e~x —• 0 más rápido que e'ax;2. Además, en 
virtud de que 
lim = lim = 0 a > 2VÍ, 
obtenemos que también xe~x—% 0 más rápido que €íw"a/2)*% 
De esta manera, a partir de (4) se deduce que la solución (1) 
correspondiente a a = 2v/6 tiende a cero cuando x -+ -l-oo más 
rápido que las demás soluciones. • 
Solución. Señalemos que las notaciones x,x se utilizan en 
mecánica e, indican las derivadas de primer y segundo orden 
respecto al tiempo. 
r\ 
Dado quela ecuación característica A 4- A + 4 = 0 tiene 
las raíces Ai 2 = — - ± i — e n t r e las soluciones de la ecuación 
2 2 
homogénea no existe ninguna solución periódica, salvo la solución 
1 Vl5 
idéntica a cero. Como ico — ± i , buscaremos la solución 
2 2 
particular en la forma x = Ae . Tenemos: 
iut 
A = 
4 + iu) — u2' 
Separando las partes real e ima-
ginaria del factor A, obtenemos 
la expresión 
A — A\ + iAz, 
donde 
x 
4 + ico — w2 
i A 
O O) = 00 O) = 0 
Ai = 
4 - tf 
A, = -
(4-u2)2 + u>2' 
u> 
(4 - w2)2 + Lü2 ' 
1 
V(4 - w2)2 + w2 
0 < u) < +00. 
o) — 2 
Fig.2 
Hallemos los extremos de las funciones A\,A2 y \A\ de la 
1 r - . 1 
manera usual. Tenemos: ^imáx = ;r, P a m — v2; Ai m,-n = — 3 5 
. • . • • . .•_•.' .• -I UVf.W .4J.1rH. I H.-Y11.•.1 • I * 
/ ? A n r h + Vm para w2 = V6; A2 mín « -0,5, para w3 = W « 1,94; 
Ulmáx « 0,51, para a; = 
Calculando además A2(wi) « -0,23, j42(ü;2) « -0,22, 
1 
Aifo) « 0,1, lim Ai = lim ^ = 0, lim A2 = 0, oi->+0 4 W-++0 
lim A2 — 0, obtenemos los datos necesarios para esbozar el 
U)~•foo 
gráfico de la amplitud en el plano € (fig. 2). • 
Solución. Partiendo de la solución general 
« 
y CxeXlX + C2ex*x 
de la ecuación homogénea, y aplicando el método de variación de 
las constantes C\ y C2, obtenemos la siguiente expresión para la 
solución general de la ecuación no homogénea 
ex*x f y = Cxe lX + C2eXlX + - / f(x)e~x>x dx -
M — J 
•1 A-
f(x)e~x*x dx. (1) 
Por cuanto las integrales impropias 
X X 
Je Í f(s)e~ ds, J f(s)e~ 2$ ds 
-OO -00 
convergen absolutamente en virtud de la estimación 
X 
me -Al 8 
-oo 
ds < m ds, 
-00 
entonces podemos escribir la solución (1) de forma más compacta: 
X 
y = CieM* + C2ex*x + 
f{s) 
Al — A; 
Ai(s-s) _ A2(a;~s) ) ds = 
— OO 
+00 
C\ex*x + C2eXlX + 
Ai t a\2t 
/
e "1" — e 
f(x -t)— -—dt. 
Ai - A2 (2) 
o 
Dado que se cumple la desigualdad 
+00 
f f(x-t) 
eAxt „ eA2t 
Ai - A2 
+00 
dt 
o 
< m 
Ai i _ eA2t f e 1 -
J "aT-
m 
dt~~-
A2 Ai A2 
m 
T' 
o 
a partir de (2) se infiere que la solución particular de la ecuación 
dada, acotada para x (E (—oo, +00), es 
y 
+00 
= / / ( a - t ) 
eAií _ eA2f 
Ai - A2 
dt. (3) 
o 
Es evidente que C\eXlX + C2eXlX O cuando x —* +00; por tanto; 
a partir de (2) se deduce que todas las soluciones tienden a la 
solución particular (3) cuando x +00. Finalmente, cambiando 
en (3) x por x+T, donde T es el período de la función / , resulta 
+00 
/
gAií _ gA2í 
Ai — X2 
o 
+00 
= f / ( * - « ) 
o 
eXlt - eAzí 
Ai - A2 
dt = y(x). 
Por consiguiente, la función y también es T-periódica. • 
§4. Ecuaciones diferenciales lineales 
con coeficientes variables 
4.1. Ecuación diferencial lineal de n-ésimo 
orden con coeficientes variables. 
Funciones linealmente dependientes. 
Determinante de Wronski 
>* 
Se*'denomina ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden con 
coeficientes variables la ecuación de la forma 
donde ip, {i = 0,71) son funciones conocidas. Si y\{x) es 
una solución particular de la ecuación (1) para <p = 0, entonces, 
mediante los cambios de variable y = y\z(x), z'(x) = u(x), se 
puede reducir el orden de la ecuación (1) para 0. Las funciones 
y¡ (i = 1, n) se denominan fundones linealmente dependientes en el 
segmento [a, 6] si existen ciertas constantes ce, (i = 1, n), no todas 
iguales a cero, tales que en el intervalo [a, b] se cumple la identidad 
+ «23/2 +... + ctnyn = 0. (2) 
Si la identidad (2) se cumple sólo para ai = a 2 = . . . = 
an — 0, entonces las funciones señaladas se denominan funciones 
linealmente independientes en el segmento [a, &]. 
£1 determinante 
se denomina determinante de Wronski. 
4.2. Criterio de independencia lineal 
de las funciones 
Si las funciones y\, y2, .. - ,yn son (ra — 1) veces diferenciables y 
linealmente dependientes en el intervalo cerrado [a, 6], entonces 
W(x) = 0 en [a, b]. 
Si las funciones linealmente independientes y\, yi,..., yn 
son soluciones de la ecuación lineal homogénea 
y^J- Pi(x)yin-1} + ... + Pn{x)y = 0, (4) 
donde P¿ (j = 1, n) son funciones continuas en el segmento [a, b], 
entonces W{x) ^ 0 en [a, 6]. 
La solución general de la ecuación (4) para x <E [a, b] es la 
n 
combinación lineal y — N j C¿i/¿(a;) de las soluciones particulares 
t=i 
linealmente independientes y¿ de dicha ecuación. 
4.3. Sistema fundamental de soluciones 
Se denomina sistema fundamental de soluciones de una ecuación 
lineal homogénea de n-ésimo orden un conjunto de n soluciones 
particulares linealmente independientes. El sistema fundamen-
tal de soluciones determina completamente la ecuación lineal 
homogénea (4). Esta ecuación tiene la forma 
yi yi yn y 
y[ y'i y'n y' 
y i 
(n-l) a >-l) 
Vi 
Vi 
(n) (») 
Vz * * 
(n—1) yn 
(n) 
2/n 
y (n-l) 
y (B) 
= o. (5) 
4.4. Fórmula de Ostrogradski—Liouville 
Si en (3) y\fyi,... ,yn es el sistema fundamental de soluciones 
de la ecuación (4), entonces para el determinante de Wronski es 
justa la fórmula de Ostrogradski—Liouville 
donde xq E [a,b], x € [a, b]. 
4.5. Solución general de la ecuación 
diferencial lineal no homogénea 
con coeñcientes variables 
Si se conoce la solución general de la ecuación homogénea, 
entonces la solución general de la ecuación no homogénea cuyo 
••• v ! r 
••• ' i i 
t i l - r i ; . I I I h 
I 1 - 4 x ^ 1 -
• ' . i , - • • • 
segundo miembro es continuo en [a, 6] se puede hallar aplicando 
el método de variación de las constantes (v. sec.3). 
4.6. Ecuación de Euler. Ecuación de Chébishev 
La ecuación diferencial de la forma 
se denomina ecuación de Euler. Mediante el cambio de variable 
ax 4- b = ±e f , esta ecuación se reduce a una ecuación con 
coeficientes constantes. Para a — 1, 6 = 0 la ecuación de Euler 
toma la forma 
x Vn) + «,aB-yn-,) +.• + a^xy' + any = 0 
que también se denomina ecuación de Euler. 
La ecuación 
(l - x2)y" - xy -f n2y = 0 
se denomina ecuación de Chébishev. Efectuando el cambio de 
variable x — eos t se obtiene la ecuación 
dy ? 
4,7. Ecuaciones diferenciales de segundo orden 
Entre las ecuaciones de órdenes superiores de aplicación frecuente 
un lugar importante lo ocupa la ecuación diferencial lineal de 
segundo orden de la forma 
/ + Px{x)y 4- P2(x)y = 0, (7) 
donde Pi y P2 son funciones continuas en (a, b). Mediante el 
cambio de variable 
y = exp - \ f PM áx\z{x) 
esta ecuación se reduce a la forma canónica 
dzz 
dx2 4- J{x)z = 0, (8) 
donde 
J(x) = P2(x) - \P[{X) - L-P¿{X). 
Aquí se considera que P\ £ C (a, 6). La función J se denomina 
invariante de la ecuación (7). 
Toda ecuación de segundo orden 
PQ(x)y" + P\{x)y' + P2(x)y = 0 (9) 
con coeficientes continuos en {a, b) se puede reducir a la denomi-
nada forma autoconjugada 
d ( dy\ ' P ( x ) + q(x)y = 0 (10) dx \ dx 
mediante la multiplicación de sus términos por la función a, 
donde 
4.8. Relación entre la ecuación diferencial 
lineal de segundo orden y 
la ecuación de Euler—Riccati 
Si en (7) hacemos y1 — yz(x) obtenemos una ecuación de Euler— 
Riccati 
= -z2 - I\(x)z ~ P2{x). (12) 
Recíprocamente, la ecuación de Euler—Riccati 
y = P(x) + Q(x)y + R{x)y2 
se puede reducir a una ecuación diferencial lineal de segundo 
orden mediante el cambio de variable 
y = " d h - ( 1 3 ) 
4.9. Reducción de la ecuación diferencial lineal 
de segundo orden con coeficientes variables 
a una ecuación con coeficientes constantes 
A menudo la ecuación (7) puede reducirse a una ecuación con 
coeficientes constantes. Si tal reducción es posible, ésta se puede 
efectuar solamente mediante el cambio de variable 
t = * f y / m 
donde t es la nueva variable independiente. 
(14) 
4.10. Acerca del comportamiento asintótico 
de las soluciones de las ecuaciones 
diferenciales de segundo orden 
c 
Si se cumple |/(í)| ^ para ¿o ^ t < donde C > 0, 
a > 0, son constantes, entonces la ecuación diferencial 
y" + (1 + f(t))y = 0 
tiene dos soluciones linealmente independientes 
V\ (¿) = eos í + O ( ~ , , 
y2{t) = sen¿ + 0 i t« 
cuando í —> +oo, 
y la ecuación 
posee las solucionesVI <0 - *F 
y" - (i - /(¿))y = o 
l + O 
i 2/2 (Í) = e M 1 + o i 
cuando t —• -foo, 
11 Determinar si las funciones dadas son linealmente depen-
dientes: 
Solución. Conforme a la definición de dependencia lineal de 
las funciones (v. p. 4.1), deben existir tales números a y y a2f 
no iguales a cero simultáneamente, para los cuales se cumple la 
identidad respecto a x 
otx{x + 2) + a2(x - 2) = 0, « € ( - 0 0 , 4 - 0 0 ) , 
de donde (si la identidad se cumple) se deducen las igualdades 
ai + a2= 0, 2(a\ - a2) — 0, 
o bien a\ = ot2 = 0. Por consiguiente, las funciones y\ e y2 son 
linealmente independientes. • 
< Solución. Utilizando la definición de dependencia lineal, pode-
mos escribir 
ai(6x + 9) 4- «2(8® + 12) = 0, x <E ( -00, +00). 
De donde 6t*i + 8a2 = 0, 9a\ -I- 12a2 = 0. De hecho, obtuvimos 
una ecuación con dos incógnitas. Haciendo, por ejemplo, «i = —1, 
3 
hallamos a 2 = De esta manera, conforme a la definición, el 
sistema de funciones dado es linealmente dependiente. • 
<4 Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, escribimos la 
identidad respecto a a: £ (—00, +00): 
oíj (a?2 -ík + 3) + a2(2x2 + as) 4- a3(2a; - 4) = 0, 
de la cual se deduce que se deben cumplir las igualdades 
«i 4- 2a2 — 0, 
- « 1 4- a2 + 2a3 ~ 0, 
3ai - 4«3 — 0. 
No es difícil comprobar que la tercera ecuación de este sistema 
se deduce de las dos primeras. Suponiendo, por ejemplo, «i = 4 
obtenemos a2 = —2, a 3 = 3. Por definición, el sistema de 
funciones yi, y2r es linealmente dependiente en la recta 
numérica. 
Solución. Consideremos la identidad respecto a x 
a\x + a2ex + a2xex =0, x G (—oo, +00), 
Tomando x = 0, obtenemos «2 = 0 ; si x 0, obtenemos 
a-\X + a$xex = 0 ó «1 + ct$ex = 0. De aquí se deduce que 
_ a i 
e — = const si «3 ^ 0, Pero esto, evidentemente, es 
imposible. Si = 0, entonces a\ = 0. De esta manera, el sistema 
de funciones y%f y2, y3 para x € (~oo, 4oo) es linealmente 
independiente. • 
Solución, De la identidad para x 6 (0, +00) 
2 
ai ln x + a2 ln 3x 4- 7a3 = 0, 
la cual se puede representar en la forma 
] 
(2ai 4- a?) ln íc 4 c*2 ln 3 H- 7a3 = 0, 
se deduce que 2ai 4- a2 = 0, a2 ln 3 4 7a$ = 0. Haciendo, por 
ejemplo, a 3 = - ln 3, a partir de las últimas ecuaciones se obtiene 
que a2 — 7, Mi = - 3,5. Por tanto, el sistema de funciones dado 
es linealmente dependiente para x > 0. • 
Solución. Escribamos el determinante de Wronski para el sistema 
de funciones dado: 
sen x eos x 
eos x — sen x 
sen x — eos x 
sen 2x 
2 eos2x 
4 sen 2x 
= 3 sen 2x É̂ 0, 
De este modo, según el p.4.2, las funciones dadas son linealmente 
independientes (si fueran linealmente dependientes, se cumpliría 
la identidad W{x) = 0, x <E ( - 0 0 , + 0 0 ) ) . • 
r — ^ T í » L t H H i t o n m » ] . • • 
A Solución. Supongamos que para x ^ 0 se cumple la identidad 
OL\yJ~x + a2Vx + 1 + a^Vx + 2 = 0, 
donde c*i, a 2 , (I3 no son todos iguales a cero. Entonces, sus-
tituyendo sucesivamente x — 0, x = 1, íc = 2, obtenemos el 
sistema 
a 2 + a3V2 = 0, 
ai + y/ la 2 + V5a3 - 0, 
y/lc¿i + V3a2 + 2a3 = 0. 
Debido a que el determinante de este sistema homogéneo no es 
igual a cero, tenemos que cti = a 2 = c*3 = 0. La contradicción ob-
tenida demuestra que el sistema de funciones dado es linealmente 
independiente para x ^ 0. • 
< Solución. De la identidad 
a\x + ct2\x\ + «3(2® + 2|ic|) = 0, a; 6 { - 0 0 , + 0 0 ) 
se deduce que ol\ + 2a¡3 = 0, a 2 -+ 2a3 = 0. Haciendo en las 
ecuaciones obtenidas, por ejemplo, = - - obtenemos ai — 
a 2 = 1, lo cual significa que el sistema de funciones dado es 
linealmente dependiente. • 
-4 Solución. Supongamos que para x £ [a, 6] es justa la siguiente 
identidad: 
ai + «22/2(3?) + <*3y3(x) = 0, (1) 0 O 0 
donde + a2 + «3 / 0 . Sustituyendo en esta identidad sucesiva-
mente x = X\, x = Xi, y utilizando la igualdad 3/3(^1) = 2/3(^2)/ 
•"•i-
i 
Fig.3 
podemos escribir: 
Ofi + ot2y2{Xi) + = 0, 
«i + ot2y2{x2) + «31/3(^1) = 0. 
De aquí se deduce la igualdad 
Vito) ^ yi{xi); por tanto, a 2 = 
forma 
«2(2/2(^2) - J/2<a=i)) = 0. Pero 
0 y la identidad (1) adopta la 
ai + a3y3(a;) = 0. 
Si prestamos atención a la figura 3 vemos que la última identidad 
no se cumple para crj•+0$ ^ Ó. De hecho, hemos obtenido una con-
tradicción al suponer que las funciones y\,y2fy$ son linealmente 
dependientes. Por tanto, son linealmente independientes. • 
Solución. Los ejemplos examinados muestran que si el deter-
minante de Wronski es igual a cero para todas las x € (a, 6), 
entonces las funciones y\, y2t... ,yn pueden ser tanto linealmente 
dependientes como linealmente independientes, 
Sean y\{x) = x e y2{x) = 2x. Entonces W(x) = 0. No es 
difícil ver que las funciones y\ e y2 son linealmente dependientes. 
• •HMM IWHtlI I íiíSÉ» • 
Sea 
y\{¿) 
1)\ si O < x < 
si 1 < x < 2, 
3/2(2?) 
r O, si O < x ^ 1, 
\ ( x - l ) 4 , si l < x < 2 . 
Como y[{x) — 3/1 (x) = 0 para 1 < x < 2, tenemos que 
2/1 (tf) y2{x) W{x) = 
y[(x) y'iix) 
= 0 
para 
1 ^ x < 2. 
De la misma manera, W{x) ~ 0 para 0 < x ^ 1, ya que 
3/2(2) = yi{z) = 0 para 0 < x ^ 1. Por consiguiente, W(x) =. 0 
en (0,2). 
Supongamos ahora que para ciertos ai y a 2 0) 
se cumple la identidad 
alVl{x) + a2y2(x) = 0, x<E(0,2). (1) 
Sea 0 < x ^ 1. Entonces de (1) se deduce que a\y\{x) = 0, 
es decir, ot\ = 0. Así mismo, si 1 ^ x < 2, a partir de (1) 
obtenemos a2 = 0. Por tanto, las funciones y\ e y2 son linealmente 
independientes. • 
Solución. De la suposición 
aix 4- a 2 x 5 + a3|x|5 = 0, 
x G (-1,1) , a\ 4- a22 4- <x\ ¿ 0, 
obtenemos el sistema de identidades 
axx 4- a2x5 4- a3x =0, x ^ 0, 
c tí 
axx 4- a2x — o?3X = 0 , x ^ 0, 
o bien c^x + a2x + a$x5 = 0 y - a i x - a2x5 4- a 3 x 5 = 0, x ^ 0. 
Sumando estas últimas identidades resulta 2a3x5 = 0, de donde 
«3 = 0. Entonces de (1) se deduce que o^ -f a2x = 0 (x i=- 0), lo 
cual es imposible para ctf -f ai Por tanto, las funciones y\, 
Vi/ 3/3 son linealmente independientes en el intervalo ( -1 ,1 ) . 
Por otra parte, es un hecho conocido que la ecuación 
diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden con coeficientes 
continuos en el intervalo (a, b) (PQÍX) ~ l) tiene solamente n so-
luciones particulares linealmente independientes en (a,b), En el 
caso dado tenemos 
5 5 n ° i > ° f\ y - -y + " 2 y a o . 
X X" 
5 5 
Vemos que los coeficientes P\{x) = — y P2(<r;) ~ son 
X ~ x¿ 
discontinuos en el punto XQ = 0 , XQ € (—1,1)- Por tanto, no hay 
seguridad de que el número de soluciones particulares linealmente 
independientes coincida con el orden de la ecuación. Este ejemplo 
demuestra la necesidad de la condición de que los coeficientes 
de la ecuación (4), p. 4.2, sean continuos, pues esto garantiza que 
el número de soluciones particulares independientes sea igual al 
orden de la ecuación. • 
-4 Solución. Escojamos los números OL\ y a2 de forma tal que en 
el punto XQ donde las soluciones y\{x) e y2(x) alcanzan su valor 
máximo se cumpla la igualdad 
+ «2^2 (£0) ™ 0' (1) 
Como las soluciones particulares alcanzan el valor máximo en el 
punto XQ, entonces 
<*ií/i(xo) + «22/2(^0) = 0. (2) 
A partir de (1) y (2) se deduce que la solución 
y{x) w ajyiíar) + a2;t/2(x) (3) 
jísiííímv.?; 
satisface las condiciones* iniciales 2/(aio) = y'ixo) = 0. Como las 
funciones p y q son continuas, el problema de Cauchy 
r y" = -p(x)yf - q(x)y; 
l o) = y'{ ®o) = 0 
tiene una solución única. Es evidente que esta solución es y s 0 
en el intervalo (a, b). De (3) se deduce que 
otiyi(x) -f a2y2(x) = 0 en (a,b), 
o sea, conforme a la igualdad (1), donde a? + a^ ^ 0, las 
soluciones particulares y\ e j/2 son linealmente dependientes en 
el intervalo (a, &). • 
•4 Solución. Según las condiciones del problema, para las soluciones 
particulares y\, y2, y$, y\ en el punto XQ se cumple 
2/1 (aso) = 3/2(30) - y3{xo) = yi{xo); 
y[(x o) = y'2(x0) = y'3(x 0) = y[(x0). 
Entonces para las fimciones 
«1 = 2/1 - 2/2/ 
u2-y2- y?,, 
«3 = 2/3- 2/4/ 
las cuales son soluciones de la ecuación dada, se cumplen las 
condiciones iniciales 
t¿i(x0) =«2(^0) — = mÍ(̂ o) = «2(^0) = u3{xQ) = 0. (2) 
Para los números arbitrarios a.\ y a2 se puede escoger un número 
ü¡3 de manera tal que 
ai«?(®o) + cl2U{(XQ) + = 0. «i + «2 + «3 ^ 0. (3) 
En virtud de la existencia y unicidad de la solución del problema 
de Cauchy 
y" = -xy, y(x0) = y'(x0) = y"(x 0) = 0, 
Junde y(x) = a\Ui(x) + 021*2(2;) + a3ti3(a;), tenemos la identidad 
otjttiÉc) + ct2u2{x) + 031*3(2;) = 0, x £ X, ®0 £ X, (4) 
íonde X es cierto intervalo. Determinando a 3 a partir de (3) y 
instituyendo en (4), obtenemos 
<*i(«i - fiiH) + ot2{n2 - ¡hu3) = 0, (5) 
u'i ( .7;0) lió'(a: ()) ,, 
londe ¡3] ~ - - , ¡32 = ~ ¡ r — {u3(x0) / 0). Dado que los 
túmeros a\ y a 2 son arbitrarios, de (5) se deduce ux{x) - Piuiix) = 0, 
x £ X 
u2{x) - /32u3(x) = 0, 
le donde y\ = y3 + (A + A>)(í/3 - 2/4)/ 2/2 = 2/3 + ^2(3/3 - 2/4). Por 
:onsiguiente, al menos dos soluciones dependen linealmente de 
as dos restantes, las cuales pueden ser linealmente independien-
es. Si y4 = 72/3 (7 = const), entonces son tres las soluciones 
inealmente dependientes (t/i, y2, y4 se expresan linealmente me-
llante la función y3). Proponemos al lector analizar el caso en 
jue u'{(xo) = u"(x0) = u3(x0) = 0. • 
olución. Sean y\ e y2 dos soluciones diferentes de la ecuación 
ada. Entonces la función y ~ y\ - y2 también es solución de 
icha ecuación. Además, en el caso a) y(x0) = 0 mientras que en 
I caso b) y(x0) = y'(x0) = 0, donde x0 es la abscisa del punto 
e intersección (de tangencia) de los gráficos de las soluciones 
1 e y2. 
Si n = 1, en virtud de la unicidad de la solución del 
roblema de Cauchy para el caso a) tenemos solamente la solución 
i vial y{ x) = y\(x) - y2(x) = 0. Por consiguiente, no existen dos 
eluciones distintas. Esta conclusión es justa también para el 
iso b). 
Sea n = 2. Entonces en el caso a) tenemos el problema 
(y" + Pi(x)y'+ Pi(x)y 0; 
l y(xo) = 0, { ) 
en el cual el valor y'{xo) es arbitrario (en vista de que no está 
dado). Como consecuencia, los gráficos de las dos soluciones 
del problema (1) pueden cortarse para x = x0. Para n > 2 la 
situación es análoga. 
En el caso b) se obtiene el problema de Cauchy (n = 2) 
(y" + Pi(x)y'+ Pi(x)y = 0>, 
l y(x o) = y'(x0) = 0, 
el cual, debido a la continuidad de los coeficientes, posee una 
solución única que pasa por el punto (XQ, y(Xo)). 
Si n > 2, entonces el problema de Cauchy 
I y{n) + Pi{x)y{n~l) + . . . + Pn{x)y = 0; 
y(x o) = y'(x o) = 0 
se indetermina, ya que no están dados los valores y"{xo)f 
í/"(®o)/ • • • /y^n í\xo)- Por tanto, en este caso por el punto 
(«0/ yixo)) pasan dos o más curvas tangentes en él. • 
Construir la ecuación diferencial lineal homogénea de menor 
orden posible que tiene las soluciones particulares dadas: 
Solución. Es evidente que las funciones y\ e y2 son linealmente 
independientes. Por eso, según (5), p. 4.3, tenemos 
1 eos ai y 
0 — sen x y1 
0 — eos x y tt 
o bien y" sen x — y eos x = 0. 
= 0, 
Solución. Las funciones y2 e son combinaciones lineales de las 
funciones ex y e~x. Por consiguiente, en realidad tenemos dos 
otilar ̂ ^MM^M^I^MIMIMIM 
soluciones linealmente independientes ex y e , cuya ecuación 
diferencial más simple es y' - y = 0. • 
Resolver las siguientes ecuaciones: 
Solución, Conforme al p. 4.1, mediante los cambios de variable 
y = xz{x), z' = u reducimos el orden de la ecuación dada, 
obteniendo 
x (l + x2)u + 2 u = 0. 
La solución general de esta ecuación es u — C\ ( 1 + 
X' 
Integrando la ecuación z = C\ ( 1 + —r ) , finalmente hallamos 
x 
Ci 
z = C\X y C%, o bien 
x 
y -- C\x" + C2x - C\. 
Solución. Haciendo y = xz{x), z! = u(x), la ecuación homogé-
nea respectiva se reduce a la forma 
x' V + 2xu - (2-Yx2)u = 0. 
A la solución particular yi le corresponde la solución particular 
z i = 2/1 x 
x 
X 
. Dado que z[ = ulf hallamos que 
^ ( s ) = 
x 
= € x 
1 1 
X X' 
es una solución particular de la última ecuación. De acuerdo con el 
/ I 1 \ 
p.4.1, realizamos los cambios de variable u — e [ W{x), 
\x x1 J 
W'(x) = w{x). Entonces resulta la ecuación 
{x - l)cúf + 2oí - 1 + xJ =0, 
cuya solución general os 
x -2x 
X -2x 
{x - 1 f 
Resolviendo luego la ecuación 
.2 
{x - 1)¿ 
hallamos 
W{x) = Cí í M + e~lxdx + C2 = 
— C\ ' e 2x dx + 2 I dx — J x — 1 
C ^ + ^ r l + C , 
Entonces 
1 1 \ 1 / I I 
u(x) = C2e* ( --C^"* - + x x¿ J 2 \xxÁ 
z(x) = C2 I e* ( - — - t } da; -x xÁ 
C 
~2 l J e ~ * { l + h ) d x + c > 
ex - e~x 
— C2 b Ci b C3y X £ 
— CI 
donde Ci = — . Finalmente, y ~ C^e~x + C2ex + C3X es la 
•íl 
solución general de la ecuación homogénea. Para hallar la solución 
general de la ecuación no homogénea, aplicamos el método 
de variación de las constantes. Así, obtenemos el sistema de 
ecuaciones 
C[e~x + C2ex + C'3x = 0, 
-Cíe'* + C2ex + Cj = 0, 
C[e~x + C2ex = -2a;2 , 
a partir del cual hallamos C¡ = ex(a; — x ), C2 — -e"x(x2 + x), 
C3 = 2x. Integrando las últimas expresiones y sustituyendo las 
expresiones de C\, C2, C3 en la fórmula de la solución general 
de la ecuación homogénea, tras una serie de simplificaciones 
hallamos la solución general de la ecuación dada 
y = Cie~x + C2ez + C3X + X3. • 
Solución. Haciendo y — xz{x) y z'(x) = u(x), se obtiene la 
ecuación 
x2(2x - 1 )u" + 2x(5x - 3)u + 6(x - 1)« = 0. (1) 
Partiendo de las expresiones y2{x) = xz2(x) y z'2{x) = u2(x)f 
1 
hallamos la solución particular de la última ecuación: u2(x) = 
Aplicando una vez más el cambio señalado, obtenemos 
W(x) 
U ~ 7—, W {X) — LO\X), 
X 
Entonces (1) adopta la forma 
(1 - 2 z)u/ + 2w = 0. 
Integrando esta ecuación obtenemos oj = Ci( 1 — 2x) , o sea, 
W'{x) = Ci( 1 - 2ar). 
De esta última ecuación se deduce que W(a:) = Ci (ar -a : )+C 2 . 
Haciendo algunas transformaciones evidentes, obtenemos la ecua-
ción 
m = c , (-2 - - ) + % \x¿ X / xó 
a partir de la cual hallamos 
Sólo nos queda escribir la solución general de la ecuación inicial 
C2 y = Ci( 1 + cc ln Iíc|) 4- — + C3ar. • 
-4 Solución. Para hallar la segunda solución particular y2 utilizamos 
la fórmula de Ostrogradski—Liouville 
= Cle~fPlix)dx, donde Pi(x) = - (x¿0). (1) x 
Vi Vi 
y[ y'i 
Obtenemos la siguiente ecuación respecto a y2: 
t i 
yiV2 - y\Vi = 2' 2r 
cuya solución es 
/
dx sen x 
ñ T + c2Vi - -yiCi ctgX + C2 . (2) 
x¿y\ x 
Entonces, la solución general es y = otiyx{x) + a2y2{x) = 
sen x eos x ~ sen x 
— 0¿l 0¿lC\ h Ot2C2 = X X X 
sen x eos x 
= Cl + C2 , x^O, 
X X 
donde C\, C2 son constantes arbitrarias nuevas. Nótese que, 
prácticamente, la fórmula (2) describe la solución general. • 
«4 Solución. Intentemos hallar la solución particular de la ecuación 
dada en la forma y\ = epx, donde p = const. Sustituyendo la 
expresión de y\ en la ecuación dada y simplificando epx en ambos 
miembros, obtenemos la identidad 
p2{2x + 1) + 4px - 4 = 0, 
la cual se cumple solamente cuando se cumplen las igualdades 
2p2 + 4p — 0 y p2 - 4 = 0. 
De aquí hallamos que p = —2. Por tanto, la solución particular es 
2/i = e . Haciendo uso de la ecuación diferencial (1) del ejemplo 
. ::.!- xitwmmmmwiwmmim 
anterior, hallamos fácilmente la solución general de la ecuación 
diferencial 
y" + Px(x)y'+ P2(x)y = 0 
a partir de la solución particular conocida y\{x), obteniendo 
/ r e~JP\(x)dx 
y^y\{x)\C\ J —^^—dx + c2 
(fórmula de Abel). Utilizando esta fórmula, escribimos la solución 
general de la ecuación inicial: 
y = C\X 4- C2e -2x 
Solución. No es difícil ver que y\ — x es una solución particular 
de esta ecuación. Por eso, empleando la fórmula de Abel (v. ej. 112), 
obtenemos 
y = x(cx j dX + C2J = Cj (x ln |ag| + 1 ) + C2x. 
Solución. Debido a que los coeficientes de esta ecuación son 
polinomios, es razonable (aunque no obligatorio) buscar la so-
lución particular en forma de un polinomio. Sea y¡ = xn + • •. 
(no escribiremos los sumandos restantes hasta que no hallemos el 
valor de n), Hallarémos el número n, si esto es posible, partiendo 
de la condición de igualdad a cero del coeficiente de la mayor 
potencia de x del polinomio que se obtiene en elprimer miembro 
de la ecuación diferencial después de sustituir en la misma la 
solución particular y\. 
Tenemos: 
x (x2 + 6) (n(n - l)xn~2 + ...)-
- i(x2 + 3) (nxn~l + ...) + 6x(xn + ...) = 0, 
de donde obtenemos, de acuerdo con lo dicho anteriormente, la 
ecuación 
n(n - 1) - 4» + 6 = 0, 
la cual tiene las soluciones n\ — 2, ni = 3. 
Busquemos la solución particular en la forma y\ = ar + 
ax+b (si resulta que en esta forma la solución particular no existe, 
entonces probaremos hallarla entre los polinomios de tercer grado; 
si en ese caso tampoco tenemos éxito, entonces la ecuación dada 
no tiene soluciones en la clase de los polinomios). 
* • Sustituyendo la expresión de y\ en la ecuación e igualando 
los coeficientes de las potencias de x iguales, hallamos que 
a = 0 y b — 2. Por consiguiente, yx = x+ 2 es una solución 
particular. Las búsquedas análogas de la solución particular 
entre los polinomios de tercer grado dan otra solución particular 
y2 = x3, la cual es linealmente independiente de la primera. 
De esta manera, obtenemos la solución general de la 
ecuación dada: 
y = Ci (a;2 + 2) + C2x3. (1) 
Un detalle interesante de la ecuación inicial es que permite 
otra solución particular y3 = \x\3, linealmente independiente de 
y\ e y2 para —oo < x < -foo. 
Efectivamente, partiendo de la solución general (1) no se 
puede, por ejemplo, resolver el siguiente problema diferencial: 
x(x2 + 6)y" - 4(x2 + 3)y + 6xy = 0; 
tf(-l) = l, ?/(l) = 2, y'(~ l ) = . - 2 . 
Sin embargo, en realidad existe una solución única de este 
problema 
la cual es dos veces diferenciable con continuidad para todas las 
x 6 (~oo, +oo) y se puede obtener a partir de la solución general 
más amplia 
y = Q (a;2 + 2) + C2x3 + C3\xf, 
imponiendo a esta última las condiciones iniciales señaladas. • 
Nota. El ejemplo analizado demuestra que si el coeficiente Po{x) de la derivada 
de orden superior se anula para x ~ XQ, entonces la ecuación diferencial de 
rc-ésimo orden respectiva puede tener más de n soluciones particulares linealmente 
independientes. Esto último significa que algunos problemas diferenciales que a 
primera vista parecen irresolubles pueden perfectamente tener una solución única. 
" • í f í K - Í O Í Í W J t M Ü Í O Ú Í - ™ 
Solución. Expresemos las derivadas 
dy d y 
derivadas — , Tenemos: dt dt2 
dy dy dt 
dx' dx1 mediante las 
dip dy 
dx dt dx dx dt' 
d y d / dipix) dy 
dx2 dx V dx dt 
O d. ip{x) dy d(p(x) d 
+ ' ' dy_ 
dx2 dt dx dx \ dt 
d2tp{x) dy f d<p(x)\ d2y 
dx2 dt + dx / 'dt2 
Sustituyendo las expresiones de estas derivadas en la ecuación 
dada, obtenemos 
2 .2 
x d<p(x) \
¿ d¿y 
dx ) dt2 -f 
+ 2( 
Si escogemos la función <p de tal manera que se cumpla la 
condición 
2 jgfe) . Q 
dx ' dx2 
entonces alcanzaremos nuestro objetivo. La última ecuación se 
resuelve fácilmente, proporcionando 
<p(x) = ~ + C2. x 
Por tanto, podemos representar la ecuación diferencial original en 
la forma 
C\ ( - 1 - l ) ¿ I - 2f = 0, 
x- dt2 
o bien, si consideramos que x = = , en la forma 
<P~C2 t - C 2 
((t-C2)2-C¡)^-2y = 0. 
Para determinar las constantes arbitrarias es necesario 
imponer condiciones adicionales. • 
Solución. Supongamos que en el punto Xo(a,b) la solución 
y = y(x) alcanza un máximo igual a y{x0) > 0. Entonces, como 
ya sabemos, en virtud de la diferenciabilidad de esta solución se 
cumple obligatoriamente que y'(xo) = 0. Tomando en la ecuación 
x = XQ y observando esta última condición, hallamos 
y"{xo) = -p(x0)y'(xo) - q{x0)y{x0) = ~q(x0)y{x0) > 0. 
Por consiguiente, el punto Xq es un mínimo de la función y. 
La contradicción obtenida demuestra la afirmación inicial. • 
Fig.4 
<4 Solución. Es evidente que en el caso a) se cumplen las igualdades 
2/1 (»o) = 
2/í(«o) = 
Como el problema de Cauchy 
í y" = 
l y{xo) = 2/0/ 2/W = y'o 
tiene una solución única en virtud de la continuidad de la 
función q, entonces ^(x ) = 3/2(3;), lo cual contradice la figura 4.a. 
Por consiguiente, los gráficos de Las soluciones y\{x) e y2{x) no 
pueden tener la forma representada en la figura 4. a. 
Para el caso b), haciendo uso del gráfico podemos escribir 
y'¡{x) = -q{x)yi(x) < 0, 
V x e (a0, X\), 
y'¡{x) = -q(x)y2{x) > 0 
de donde se deduce que < 0 y a la vez q{x) > 0 para todo 
x 6 (XQ, x{). Esta contradicción implica que en este caso tampoco 
los gráficos de las soluciones y\{x) e y2(x) pueden tomar la forma 
representada. • 
«4 Solución. Introduciendo una nueva función i¿(ai) = —, obtene-
y 
mos la ecuación diferencial 
t 1 u (x) — -q(x) - u~(x)r 
a partir de la cual, como consecuencia de la condición q{x) > 0, 
2/' se deduce que u (x) < 0, es decir, la función u = — decrece en 
y 
todo intervalo donde y # 0, • 
Eeuncumtm diferenciales 
• . .• • • •: ••.•.:•"[•• j T - : •. í í • • : j ? ( \ \: \ -i J | J í | 
árieál^Sii^^indiime — •• : ••: ¡""i:./: jNívíiiili.V-̂ ĥífHifMî 
.• h J. J J _ i'u ± _ j . - • • 
• J e , . , - , , ' i ] • ; i , . i \ i f ' i , < l i - f i ; ] , ¡ 1 , V . \ < i f N í f j j f J I J l l 
Solución* Integrando dos veces la ecuación dada y utilizando 
las condiciones iniciales, obtenemos 
X 
y(x) = yfro) + y('J~-a)(x - ®o) + J(x - s)(-q(s))y(s) ds. 0 ) 
Dado que y(x0) es positiva y la función y es continua para 
x > XQ suficientemente pequeño, entonces el segundo miembro 
de la ecuación (1) es positivo. Demostremos que éste sigue siendo 
positivo al crecer x > XQ. Supongamos que para cierto Xj > xo 
la función y se iguala a cero (primer cero a la derecha del 
punto x0). Entonces a partir de (1) obtendremos la igualdad 
«i 
y(xi) = 0 = y{xQ)-\-y{xo){xl - x 0 ) + J (xi~s)(-q(s))y{s) da. (2) 
Xo 
Por cuanto y(s) > 0 para Xo < s < x\, entonces (x\ - s)(-g(s)) x 
y(s) > 0 Vs £ (xp,xi). De esta manera, la expresión en el 
segundo miembro de la igualdad (2) es estrictamente positiva. La 
contradicción obtenida demuestra que V x ^ x0 y(x) > 0. • 
B Resolver las siguientes ecuaciones: 
Solución. Dado que ésta es una ecuación de Euler, buscaremos la 
solución particular en la forma y — xr, donde r = const. Para r 
obtenemos la ecuación 
r(r - 1) + r = 0, 
de donde hallamos r\ = 0, r2 — 0. Consecuentemente, las 
soluciones particulares son y\ — x— 1, y2 = ln |x| y la solución 
general es 
y = Ci + C2 ln \x 
•Hí̂ lHî fflIi 
Solución, Ésta es una ecuación de Euler. Busquemos sus solu-
ciones particulares en la forma 
* = <« + l)r ( £ > - 1 ) . (1) 
Sustituyendo (1) en la ecuación inicial, resulta 
ri=r2~ 1, r3 ~ 4. 
Por tanto, las soluciones particulares son yx = x 41 , j/2 = (x 4-1) x 
ln(a:4l), y3 = (x + 1) y la solución general 
y = Ci(® + 1) 4- C2(x 4- 1) ln {x 4-1) -4 C3(x + l)4, • 
Solución. Hagamos el cambio de variable t = arctg x. Entonces 
dy _ dy 2t 
dx dt 
d2y _ d_(dy 
dx2 dx \ dt 
eos t = cos^t ídy 
dt \ dt 
eos t 
2,1 id2v = eos t eos t dt2 sen 2t 
tí 
dt 
y la ecuación dada toma la forma 
d2y 
dt2 4 y — 0. 
Resolviéndola, obtenemos 
y = C\ eos t -4 C2 sen t — 
Ci 
Ví + x2 
4 
C2x 
VTTx 
:•: •:• A' 2 jE 
: •:• . •: * mn : •:• .-:-:• :•: •!•.-: • •:•••:• í - « y •••:•.•:•.••:. 
•: :•••! ••:•: :•:: :•:•:•:-.•!• .•:• !•., 
•• > <• !•: •:• x 
•: :• •:•> •:•:• •: :¡. |! x •:• x • •:• í: 3 !•! •:• •!"•:• ?-: • iEííííi 
••:•:• v !•: •:•, 
Í - Í X Í K Í - H - K 
R » \*VK<r¡ úh ;í?É 
v SL5, "í 
< Solución. Hagamos el cambio de variable t — <p{x) y escojamos 
la función <p de forma tal que después del cambio de variable 
desaparezca el miembro que contiene la derivada de primor orden. 
msamBmm^m^. -
I í c u n c i ó m e 
Obtenemos: 
dy = ^tó'(íc) 
dx dt 
d d2y 
dx2 dx 
x 4 " • ( r J í , » . o 3 f\ / , ... n ^ y + [x ip + 2a; )y -f y = 0. 
= ( a ; ) — 
(1) 
a? 
Teniendo en cuenta la condición impuesta hallamos que x(p" -{•• 
2<p = O, de donde £ — = h Q . Entonces la ecuación (I) 
adopta la forma 
C¡y" + y = 0 
que se resuelve sin dificultad. Finalmente, podemos escribir 
1 1 y — A eos —I- B sen —. 
x x 
0 Representar en forma canónica las siguientes ecuaciones de 
segundo orden: 
Solución.Según el p. 4.7, realizamos el cambio de variable 
5a; dx \ z(x) 
y- exp 
x2 + l 
Como resultado obtenemos la ecuación 
z(x) = 
(X2 + I)5/4 ' 
d2z 
dx2 
+ J(x)z = 0, 
donde J(x) 
x2 + 6 
4(z2 +1 ) 2' 
Solución. Escojamos la función u de manera tal que después do 
realizar el cambio de variable y = u(x)z(x) la ecuación diferencial 
respecto a la función z no contenga la derivada z', Tenemos: 
«̂ «̂ ŝ WBffflMim 
1. 'í '] : 
0u( 1 -x2)z" + (2«'(l - x 2 ) ~2xu)z + 
+ ( (l - x2) u - 2xu + n(n + 1)í¿) z = 0. (1) 
2 / Hacemos (1 — x )u — xu ~ 0, de donde u . Sus-
\¿\l ~ x-
tituyendo esta expresión de u{x) en la ecuación diferencial (1), 
después de una serie de simplificaciones obtenemos el resultado 
final: 
n1 + n + 1 - (n2 + n)x2 ti , z + 2\Z (1 - X2) 
z = 0. 
Reducir las siguientes ecuaciones a la forma autoconjugada: 
Solución. Comparando los coeficientes de la ecuación dada con 
los coeficientes de la ecuación autoconjugada 
d f dy\ d2y , du 
~ [ p { x ) + q(x)y = p(x)— + p (a:)—- + q(x)y = 0, 
dx \ dx I dx¿ dx 
obtenemos las expresiones 
P'(X) 
p{x) 
2x + l 
X 
q(x) 2 
p{x) X 
De la primera hallamos p{x) = 
2e -2x 
,-2x 
X 
f mientras que de la segunda 
obtenemos q{x) =¡ . 
x 
Así, para x qt 0, la ecuación inicial se reduce a la forma 
autoconjugada 
d -2x dy —2x 
dx V x dx 
2e 
M Solución, De ni ¿i ñera a 11A loga al ejemplo anterior tenemos 
Vi*) 
p(x) 
4(x 2 + 3) q(x) 
x (x2 + 6)' p(x) x2 + 6' 
de donde 
p(x) = 
X2 (íX2 + 6 ) ' 
q(x) = 
x2 (x2 + 6) 2 • 
Por consiguiente, para x ^ 0 la ecuación dada se representa en ki 
forma autoconjugada 
d i 1 dy \ 6y 
dx + x2(x2 + 6) dx J x2(x2 + 6)
2 = 0. 
Solución. Conforme al cambio de variable (13), p. 4.8, podemos 
escribir 
y 
xu 
u (u ± 0). 
Entonces 
, — («' + xu")u + xv! 
y = 
u¿ 
y la ecuación dada adopta la forma 
xu" - 4u +xu = Q. 
Solución. Multipliquemos la primera ecuación por z y lá segunda 
por y y luego restémoslas miembro a miembro. Obtenemos: 
{zy - yz)' = -{Q - q)yz. 
** 5 
• J- • * mmm 
Integrando esta expresión desde xo hasta x G {XQ, XI) y consi-
derando las condiciones iniciales, hallamos 
zy-yz 
mt 
f (Q(s) - q(s))y{s)z(8) ds, 
s() 
o bien 
/ 1 
= I ( Q { s ) ~ q { s ) } y { s ) z ( s ) d s • 
xa 
Dado que y{s)z(s) > 0, Q(s) - > 0, entonces í — J < 0 para 
z 
x > XQ. Por consiguiente, la función — es decreciente. • 
y 
Solución, Tenemos: 
¿y ,, ¿y 
dx 
¿y 
dx1 
dt' 
d ( > / \dyS\ "Í \ d y _ l > 2 , \d y 
dry 
dx2 
Por consiguiente, 
y _ a, y . n{ ,dy , y 
m <p'\X) 
d 
= 0. 
1 
Entonces 
1 
'lp2{x) 
t = (p(x) 
dx \ <p'(x))' 
dx 
tp'Í>2 = l. 
d 
Eiseojamos ahora la función a de tal manera que, tras el 
cambio de variable y = a(t)u, la ecuación obtenida no contenga 
el miembro con la derivada de primer orden. Haciendo el cambio 
señalado, obtenemos 
2 
y ' y » . n f ' ¡ » 
— = a (t)u a{t)u , —- = a u + 2au -\-au , 
dt dt¿ 
au + (2a + ab)u + (a" a b± a)u = 0. (1) 
Por consiguiente, debemos hacer 2a' 4- ab = 0, de donde hallamos 
a = Ce~ÍJtm*. (2) 
Por cuanto dt 
forma 
dx d 
ifc2(x) 
entonces (2) toma la 
dx 
dx 
ij}2(x) 
u a = C exp i - i J ( i > 2 ( x ) ) 
= C^(íb) (f(x) > 0). 
Tomando C = 1 y calculando las derivadas requeridas, reducimos 
la ecuación (1) a la forma 
u + 
da;2 
± 1 ) u = 0, y — tpu. (3) 
En los problemas siguientes, utilizando la transformación de 
Liouville y las afirmaciones del p. 4.10, investigar el com-
portamiento asintótico de las soluciones de las ecuaciones 
cuando x —• +00 : 
mm Mm 
mwMtf 
ftfete^ííi 
Solución. Tomando en consideración la solución del ejemplo 
anterior, tenemos 
1 u(t) 
Í>(x) = - (x¿0), y 
x X 
iP^oW'diferendalés de órdenes superiores 
- 1 • 
• -• • i • 
* 
d2u ( 2 
u = 0, t ~ j 
dx 
ijp-{x) 
x dx 
x 3 
(C = 0), 
de donde x — v3t y la ecuación diferencial respecto a u(t) toma 
la forma 
+ n + J L u = o, = (i) 
d2u 
dt2 9t2 
u(t) 
u~ 0, y- — 
Conforme a la notación del p. 4.10, en el caso analizado f(t) 
por tanto, la ecuación (1) tiene las soluciones 
. 1 
ui(t) — eos i + O 
912' 
t 
(a = 1), t —> +00. 
w2(¿) = sen t + O f -
Por consiguiente, la solución general de la ecuación (1) es 
1 
u = C\ eos t + sen t + O ( - ), t + 0 0 . 
Pasando en esta solución de las variables t y 11 a lá variables 
x e y, podemos escribir 
.3 _ 3 i Í X~ X 
y=-- - Ci eos — + C2 sen -x \ 3 3 
+ 0 
1 
x 
x +00. 
Solución, Suponiendo y — a(x)yi(x), escogemos la función a de 
forma tal que en la ecuación respecto a yx no aparezca la derivada 
de primer orden y[. Obtenemos 
a(x) = i + (a?#0), 
30 CC ¡ 
Utilicemos ahora el ej. 130. Tenemos: 
tp(x) = m, (x > 0), y\—u 
3 \ f dx 
x, 
du 
+ 1 - I6x 
u = 0, t 
f2{x) 
dx 
y/E 
t2 
por consiguiente, x = — y 
Su f 3 \ y/tu(t) —- + í 1 u = 0, yx = —. 
dt2 \ 4 t2J y 2 
Conforme al p. 4.10, las soluciones de esta última ecuación son 
tíi(¿) = cosí + 0 , u2{t) — sent +O Q j , 
í —> +oo, 
y la solución general de la ecuación diferencial inicial es 
y(x) = ^ (Ci eos 2 ^ + C2 sen 2 v » ) 
x —> +oo. 
M Solución. Aplicando la transformación de Liouville, resulta 
(v. ej.130) 
1>{x) = (s4 + 1) ~l¡\ y = i>{x)u{t), 
\ (a;4 + 1 ) / J 
Por cuanto 
cuando x —* +oo, entonces x = 0(t1'3) cuando t —• +oo. Por 
consiguiente, 
Según el p. 4.10 podemos escribir 
u(t) = Ci eos £ + Q¡ sen t + o(j], £ +oo. 
superiores 
T - • «H-* « 
Piñal mente, regresando a las variables antiguas x e y, obtenemos 
! / j»' 
z/(x) = - ( Cj eos — + C2 sen 
a; 
+ o 
x 
x +00. 
Nota. Hemos utiÜ2ado que 
sen 
De manera análoga, 
eos 
x3 \ 
— + O -
3 \x 
+ 0 - = c 0 ST + o ( i K 
l Solución. Aplicando la transformación de Liouville, obtenemos 
la ecuación 
u"(t) - - (1 ^ 
4 V 5(1 + x2) j t t = 0 , y=( 1 + x
2)mu(t), 
donde 
t = 
tíx 
^>2(x) 
ííx 
VT+ x
2 = ln he + V T + x 2 J , 
2 ~ 0 ( e ) , t —* +oo. 
Haciendo r = reducimos la ecuación respecto a la 
función u a la forma 
du 
dr2 
- 1 -
5(1 + x 
u == O, 
donde 
a: = ü ( e 2 r ^ ) , t —* + o o . 
Conforme al p. 4.10, a partir de la fórmula anterior encontramos 
UI(T) = eT[ l + O 
,4r/V5 
, ií2(r) = e T( l + O 
, 4 T / v 5 
Regresando a las variables x e y y teniendo en cuenta la igualdad 
asintótica t = 0(ln x), x +00, resulta 
y = (1 + x2)1 /4 exp | ln x> + 
+ C2 exp í V 5 . 1 J ln® < ln a; > -f O [ p— 
2 J V a r 2 ~ ( ^ / 2 ) 
= + C2aí<1"v^)/2 + O 
Aquí recurrimos al hecho de que 
( 1 
(l + x2)l/*= 
2\l /4 1/2 + 0 
+ 0 0 , 
3 / 2 £ + O O . 
Nota* Los dos primeros miembros de la ecuación obtenida se pueden hallar sin 
dificultad a partir de la ecuación x2ytf — y — O, la cual es una aproximación grosera 
de la ecuación dada. 
M Solución, Teniendo en cuenta la transformación de Liouville, 
podemos escribir (v, ej. 130) 
donde 
dx f |Ina;| |ln®|lnx 
t ~ / —— = I dx — 
ip2{x) J x 2 
ln 2x 
es decir, t = — — para x ^ 1. 
Debido a que 
3 - ln 2íe 3 ~ 2¿ / 1 \ 
- w - v • * f *•**•* - r l T v i n a 
no podemos aplicar directamente los resultados del ej. 130, pero 
sí la transformación de Liouville a la ecuación (1). Obtenemos: 
/ f X1/4 
donde 
„ , 32£3 — 145,5¿2 + 9¿ - 4,5 
m m rfwut) = « ( 1 6 f t _ 2 ¿ + 3 ) 3 , 
U{t) = (¿)Ua (f j ), 
dt r / i 3 y / 2 
t l = - = J V - f t + w ) dt = 
L + 0 í i dt = 
m v ¿2 
i / i \ 
= t - — ln¿ + 0 f j j , t +oo. 
Como /(í) = O ^ ~ yj O ^ J , % —> +Í1* entonces, se-
gún el p. 4.10, la solución general de la última ecuación diferencial 
es 
ui(ti) m Ciuu(ti) + C2«22(íi)/ 
donde 
1 
'«12Ííl) — eos ¿ I + O 4 t\ —* +00. 
, 1 
%mm = sen ¿1 + O ( J , 
Teniendo en cuenta las expresiones 
1 _ ln 2 „ . 
h = + — + * -> +00, 
eos ¿1 = eos 7 (a:) eos C,— sen 7(3?) sen C, 
sen ¿1 = sen 7(2') eos C + eos j{x) sen C, 
rikH-r.H 1 - r ' r k v J - . -3 v . i -
y • ij: 
donde 
1 , 1 ln2 
j(x) = - ln x ln ln x, C — V O , w 2 8 16 
y también el hecho de que 
^ ln 2 í 1 
sen C = sen — + O 
eos C = 
16 
eos — - + O 
16 
ln2x / ' 
ln2x 
m) = 
i 
ln 2x 
para t\ —• +00, 
ln 2 ln2 
e incluyendo sen — - y eos — e n las expresiones para las 
constantesarbitrarias, finalmente obtenemos 
V 
x 
ln x 
l + O 
ln2x 
x 
x ( C\ eos 7(0;) + C2 sen 7(3:) + O 
1 
ln 2x 
x / / 1 
C\ eos 7(x) + C% sen 7(0;) + O 
ln x 
x 4-00. 
ln^a; 
<4 Solución. Aplicando la transformación citada se obtiene 
u(t) - (1 -
16 
x u(t) - O, y = 
1 
V2 
x 1/2 u(t), (1) 
t = 
dx 
ip2(x) 
= 2 ¡ x dx x 
• > • •• <m •;: n í •;; i>iwírMÉWH»y! 
3 3 i 
Dado que —aT4 = —1~ = O ( — ), entonces, conforme 
16 16 \ t2) 
al p. 4.10, para las soluciones particulares tenemos las expresiones 
Ui(t) = ¿ f 1 + 0 ( j 
u2(t) = e~l I 1 + O 
t —* 4-oo 
Apliquemos ahora la transformación de Liouville a la ecuación 
u(t) - (l - u{t) = 0. 
Tenemos: 
/ 3 \ 
1>i{t) = í 1 - ~r2J , tm = i>Át)ui{T), 
1/2 
í d t _ 
J W)~ 
3 2 , 1 12 dt = 
16 
1 - | r 2 + 0 ( ? , l d t 
La ecuación diferencial respecto a í í - i ( t ) tiene la forma 
-3 
< ( t ) - ( 1 + ^ - A [t Z - ~ ) Jtt,(r) - 0. (2) 
32 \32 
Como 
entonces, para las soluciones particulares de la ecuación (2), 
obtenemos 
r ( / I ttn(r) = e r 1 4 O r 3 
tii2(r) = ÉTt ( 1 + O 
1 
r 3 
Seguidamente escribimos las expresiones asintóticas para «(/), 
jr —T e , e 
«(<) = f1 + ¿ 2 + 0 ( p ) ) (Ci«u(r) + C2u12(r)), (3) 
= ^ ( 1 + ¿ + 2 0 ¡ h + o ( ¿ ' ( 4 ) 
Sustituyendo (4) y (5) en (3), hallamos 
x IC.e" I 1 + — T + — — + O I - r + 
2 3 9 / 1 
i 32a:2 2048x4 \x6 
^ -s2 ( 3 9 / 1 
+ C2C * ( 1 - — r + — r — + O 32xz 2048a?4 V x6 
.2/ 3 105 ( 1 1 h OI — 
32a: 2048a;4 \x 6 = Cie
x { 1 + + , + 0 ( — + 
+ C 2 e " l 2 ( 1 " ¿ + » + 0 ( ¿ 1 1 - ( 6 ) 
Finalmente, utilizando (6) y (1), obtenemos las siguientes 
representaciones asintóticas para las soluciones de la ecuación 
inicial: 
1 ( 3 105 / 1 Vi{x) = -^e* 1 + —-r + - + O 
Vlx \ 32a;2 2048x4 \ 
1
 '
 3 1 0 5 1 
X —» +oo. 
§ 5. Problemas de contorno 
5.1. Definición de problema de contorno 
Todo problema de la forma 
donde q y / son funciones conocidas continuas en el intervalo 
(seo, ¿El) y p G Cl(xo, X\)f pix) # 0, a, ¡3,7, ó, u0, son números 
dados, se denomina problema de contomo para la función y. 
A diferencia del problema de Cauchy, este problema no siempre 
tiene solución. 
Si — uj\~ 0, las condiciones de contomo del problema (1) 
se denominan homogéneas. 
5.2. Función de Green del problema de contorno 
f 
Sea G = G(x,s} una función de a% donde X£[XQ,XI\, se(xQ/XI), 
la cual satisface las siguiente condiciones: 
1) G(xf s) es continua; 
2) para x ^ s la función G{xt s) es solución de la ecuación 
diferencial 
d 
y satisface las condiciones de contorno homogéneas del 
problema (1); 
1 
3) su derivada para x ~ s experimenta un salto igual a —--, 
es decir, se cumple la igualdad 
1 
Gf - G' 
Si tal función existe, entonces la solución del problema de 
contorno (1) también existe y tiene la forma 
¡K®) = j G(x,s)f{s)ds; 
aro 
En caso de que las condiciones de contorno del proble-
rj n 
ma (1) sean no homogéneas, es decir, UJ0 + t¿ 0, debe introdu-
cirse una nueva función z según la fórmula y{x) — z(x) H- u(x), 
donde la función auxiliar u se escoge de forma tal que satisfaga 
las condiciones de contorno no homogéneas del problema (1) 
(a menudo ésta es Una función lineal). De esta manera obtenemos 
un problema de contorno del tipo (1) respecto a la función z con 
condiciones de contorno homogéneas. 
5.3. Problema de Sturm—Liouville 
El problema de la búsqueda de los valores de X para los cuales 
la ecuación 
d ( dy\ 
dx V^dx ) + ~ Xy' 
donde p € C [XQ, X{[, p(x) / 0, q € C\XQ, XI], tiene soluciones y 
diferentes de cero que satisfacen las condiciones de contorno 
ay'(x o) + py(x 0) = 0, 
iy{xx) + Gy{x i) = 0, 
donde a2 + ¡32 i=- 0, 72 + 61 ^ 0, se denomina problema de 
Sturm—Liouville. Los números X se denominan valores propios 
(autovalores) y las funciones y respectivas, funciones propias 
(autofunciones) del problema. 
5.4. Condición de equivalencia de un problema 
de contorno a una ecuación integral 
Si A = 0 no es una valor propio del problema de Sturm— 
Liouville y f € C (x$,x\) n L2 (¡Co/^i)/ entonces el problema 
de contorno para la ecuación 
d ( dy \ 
TxV{x)Tx) *q{x)y^Xy + f { x ) 
es equivalente a la ecuación integral 
X X 
y(x) — A j G(x, s)y(s) ds + I G{x, s)f{$) ds. (2) 
lo a;c 
Recordemos al lector que mediante el símbolo L2(XQ, ®i) 
se denota la clase de funciones de cuadrado integrable en el 
intervalo (XQ, X\). 
Resolver los siguientes problemas de contorno: 
< Solución. Escribamos la solución general de la ecuación dada: 
y = Ci 4- C2e\ 
Sustituyendo la solución general en las condiciones de contorno, 
obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones respecto a las 
constantes C\ y C2: 
Ci + C2 = - 1 , C2e - Ci - C2e = 2, 
de donde hallamos C\ — - 2 , C2 = 1. Por consiguiente, 
y~-2 + ex, 0 < x ^ 1. • 
^ Solución. Fácilmente hallamos que la solución general de la 
ecuación dada es 
y = Cxe~x + C2ex, (1) 
Como y(-foo) — lim y(x) — 0, partiendo de (1) se deduce que X—'+00 
C2 = 0, De la condición de contorno = 2 tenemos que 
Cj — - 2 . Finalmente, hallamos 
p 
y = -2e x, 0 ^ x < +oo. • 
M Solución. Mediante el método ya conocido hallamos 
y = C 1e í l + , > + C 2 e- ( 1 + , > = 
— Cíe®(eos x + i sen x) + C2e~x(cos x — i sen a?). 
Dado que lim y(x) = 0, obtenemos que C\ = 0. Seguidamente, 
ai—++00 
a partir de la condición y(0) — - 1 obtenemos C2 — - 1 . Por tanto, 
y = e~x(t'sen x - eos x), 0 ^ x < +oo, 
es la solución del problema planteado. • 
•4 Solución. Ésta es una ecuación de Euler. Busquemos sus solucio-
nes particulares en la forma y = x , donde A satisface la ecuación 
característica A2 - 3A + 2 = 0, a partir de la cual hallamos Aj = 1, 
A2 = 2. Por tanto, 
y = C\X + C2 x 
es la solución general de la ecuación dada. 
y{x) 
La primera condición de contorno significa que lim =0. *¡D ¡p 
Por tanto, C\ = 0 . A partir de la segunda condición de contorno 
se deduce que C2 = 3. De esta manera, 
y- 3a;2 (0 < ar < 1) 
es la solución del problema de contorno dado. • 
•4 Solución. Escribamos la solución general de la ecuación dada: 
y = 
r 1 r— 
—hCiev + C2e -v-ax si a 0, a 
x' 
+ d\X + d2, si a = 0. 
Tomando en consideración las condiciones de contorno, obtene-
mos 
a 
+ ~ = 0 ( a # 0 ) , (1) 
a 
di — — , ¿ 2 = 0 (a = 0), 
El sistema (1) es no homogéneo; por tanto, no tiene 
solución si, y sólo si, su determinante es igual a cero: 
1 1 
A = — 0, (2) 
y al menos uno de los determinantes 
1 
1 a 
ACi = 
— e 
a 
o A C2 = 
1 
yf—a 
a 
l 
a 
(3) 
es diferente de cero. A partir de (2) hallamos que 
a = / ¡ V , keZ. (4) 
Tomando en consideración (4), a partir de (3) se deduce que 
eos k-n ^ 1, es decir, el número A; no debe ser par y k ^ 0. De este 
y "7 
modo, si a = (2m +1) tt , m 6 Z, el sistema (1) no tiene solución. 
Para esa misma condición tampoco tiene solución el problema de 
contorno planteado. • 
Construir la función de Creen para cada uno de los problemas 
de contorno siguientes: 
/ t 
Solución. Conforme al p. 5.2, para la función de Creen G tenemos 
el problema 
G"xx - 0, G(0, s) =í. G(l, 5) = 0 (0 ^ x < 1; x # s), 
= 1. 
Integrando una vez la ecuación Gxx — 0, hallamos 
si 0 ^ x < s, 
si s < x ¿ 1, 
G Ux, s)={ (i) 
Aquí Ci ^ C2 debido a que, por definición, la derivada G'x es 
discontinua en x ~ s. Integrando G'x, obtenemos 
{ C\X + C3, si 0 ^ x < s, J J • ^ - 2) C2x -f C4, si s < x ^ X. w 
Como la función G es continua, debe cumplirse la condición 
Cis + C3 = C2s + C4. (3) 
A partir de las condiciones de contorno para la función G se 
deduce que 
C3 = 0, C2 + C4 = 0. (4) 
La condición de salto de la derivada G'x en x = s adopta la forma 
C2 - Ci = 1. (5) 
Resolviendo el sistema de ecuaciones (3)-(5) respecto a las cons-
tantes Q (¿ — 1,4), obtenemos 
Ci = s - 1, C2~s, C3 = 0, C4 = -s. 
Sustituyendo los valores de C¿ en (1) terminamos la construcción 
de la función de Green para el problema planteado: 
{(5 - \)xf si 0 ^ x ^ s, s(a? - 1), si s ^ x 1. • 
<4 Solución. Resolviendo la ecuación G"x + G = 0 para x i=. a, 
obtenemos 
{Ci sen x + C2 eos x, si0 < x < s, 1 ^ ^ C3 sen x + C4 eos x, si s < x ^ t t . 
Utilizando las condiciones de contorno para la función G, halla-
mos 
C2 = — C4, C\ = —C3. (1) 
Tomando en consideración tanto la condición de continuidad de 
G{x, 5) como el salto de la derivada G'x en x = s, obtenemos las 
expresiones 
Ci sen s + C2 eos s = C3 sen s + C4 eos s, 
C3 eos s — C4 sen s — C\ eos s -j- C2 sen s = 1. 
Partiendo de los sistemas de ecuaciones (1) y (2), hallamos 
C\ = - C 3 = - - eos s, C2 
„ l 
C4 = r sen $. 2 
De esta manera, 
G{x, s) 
( 1 
- sen(s - x), si 0 < x ^ s, 
1 
- sen(zr - s)f si s ^ x ^ 7r, 
1 
o bien G{x, s) = - sen \x - s\ para 0 < x ^ tt. • 
Solución. De la ecuación 
x3G" + 3x2G' +xG~ 0, x < 2, x ¿ s, 
hallamos 
G{x, s) = 
Ci ln x 
( - Cj 
x x 
C3 ln x 
— + C 4 x a; 
si 1 ^ x < sr 
si s < x < 2. 
(i) 
Sometiendo la función a las condiciones de contorno res-
pecto a a: y utilizando sus propiedades enumeradas en el 
p. 5.2, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones respec-
to a Q (¿ = 1,2,3,4): 
C\ = 0, C4 - o, C2 ln s = C3, 
ln 5 \ _ 
Resolviendo este sistema y sustituyendo las valores de C, en (1), 
resulta 
Ina: 
, si 1 < x ^ &, 
G{x,s) = ' xs 
ln 5 
xs 
si 8 < X <2. 
Solución. Dado que 
Gxx eos 2x — Gx sen 2x = (G?É eos 2x) t 
entonces, a partir de la ecuación 
/ I 2 \ t ^ (Ga; COS x)^ = 0 , 0 < X < —, X ^ 8, 
hallamos sin dificultad 
f C\ tg x 4- C2t si 0 ^ x < s, 
G{x, S) = < 7T 
C3 tg X + C 4 , si S < X ^ —. 
Utilizando las condiciones de contorno llegamos a las igualdades 
C2 = Ci, C3 + C 4 + ( 1 ) 
eos2— 
4 
Partiendo de las propiedades de la función de Creen, obtenemos 
C 1 t g s + C2 = C 3 t g s + C4/ 
C3 Ci 1 P) 
cos2s COS25 cos2s 
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2), hallamos 
Ci = C2 = ¡(tg s - 3), 
<h = ¡(tg « + 1), 
3 C4 = - - ( t g 3 + l). 
De esta manera, 
G{x, s) = 
1 
-(tg s - 3)(tg x + 1), si 0 < x < s , 
1 7r 
¡(tg s + l)(tg a: — 3), si s ^ x ^ ™ 
A Solución, En este caso, 
—3x f Cxe~x + C2e 
{ X f S ) ~ * C3e~x 4- CAe~3x 
si 0 < X < 5, 
si S < X < +oo. 
lim 
X — * + O Ü 
C3<rJ + C4e —3x Si c 3 = 0, 
si C3 * 0, 
A partir de las condiciones del problema, 
= í 
loo, 
se deduce que C3 = 0, Haciendo uso de la primera condición de 
contorno obtenemos que C\ + C2 — 0- Utilizando la continuidad 
de la función de Green y la condición del salto de su derivada 
para x = s, obtenemos, respectivamente, 
Cxe S + C2e -3 s C4e —3Í -3C4e~3s + Cxe -.y + 3C2e~3s = 1. 
1 es 
Por consiguiente, C\ = -C2 — C4 = — (l -
función de Green del problema analizado tiene la forma 
7s\ 
e ) y la 
G(x 
sí 0 ^ x ^ s, 
3x SI S < X < + 0 0 . 
Solución. Sea a / 0. En este caso la función de Green tiene la 
forma 
. C x e ^ ¿ x + C i e T ^ , si Ü< s < s, 
G{xt s) = < ,— 
A partir de las condiciones de contorno y de las propiedades 
l)-3), p. 5.2, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones respec-
to a Q (i - 1,2,3,4): 
Ci + C2 - O, + C^r^0, = O, 
C x e ^ a s + C z e * " ^ = C ^ e ^ + 
- C 4 e- y r " s - C i e ^ + C . e ' ^ ) = 1. 
El sistema de ecuaciones obtenido es no homogéneo; por 
tanto, para que tenga solución es necesario y suficiente que su 
determinante cumpla la condición 
1 1 0 0 
0 0 e 
e^8 —e 
eV=** —e -y—as 
7^0, 0 < s < I, 
o bien s h \ / - a ^ 0. Es evidente que si a < 0, la última 
condición se cumple. Si a > 0, entonces en virtud de la igualdad 
sh {i \/a) — i sen s /a el determinante del sistema es diferente d e 
cero para sen *Ja ^ 0. Por consiguiente, \fa + kir (k £ Z) , o bien 
a ¿ k2w2. 
Sea a = 0. Entonces 
f Cxx + C2, si 0 ^ x < s, 
G{x, s) = < ' . 
^ C^x + C4, si s < x ^ 1. 
Respecto a las constantes C¡ (i = 1,2,3,4), tenemos el sistema de 
ecuaciones 
C2 = o, C3 + C4 = 0, C1s = C3s + Ci/ C3 - Cx = 1, 
a partir del cual hallamos 
Ci = s — 1, C3 = s, C4 = - s . 
Por consiguiente, 
{ ($ - l)x, 0 ¿ x < 8, \ > / - ^ 
s{x - 1), S ^ X ^ 1. 
J 
De esta manera, si a ^ fc27r2 (fe G N) la función de Green del 
problema dado existe y es única, • 
Hallar la función de Green para los siguientes problemas de 
contorno: 
A Solución. Para la función de Green tenemos la ecuación diferen-
cial 
xG"x +<?i-(l-!-s)G= a, 0 < x < x ¿ s. 
Realizando el cambio de variable G ~ <p{x)U{x), donde <p{x) — ex, 
reducimos la ecuación a la forma 
xu + {2x + 1)«' = 0. 
Integrándola sucesivamente, obtenemos 
u 1 ~2x e u 
x 
-2x 
X 
dx + c2. 
Si introducimos la función 
$(x) 
i -21 
t 
dt, 
entonces la función u también se puede representar en la forma 
u s= Cj + C2. Por consiguiente, 
__ ( Cxex${x) + C2ez, si 0 < x < s, 
t Cse*${x) + C&*, si s < x ^ % ^ 
Escribamos ahora el sistema de ecuaciones respecto a C¡ (i = 
1 , 2 , 3 , 4 ) : 
CI = 0 
CA=Q 
C2e* = esC3${s) 
C3 $(s)e' - r . ' 1 s 
(ya que lim 3>(x) = +oo), 
(por cuanto 3>(1) = 0), 
(dado que la función G 
es continua), 
(el salto de la derivada G'x), 
Resolviendo este sistema y sustituyendo las expresiones 
de Ci en (1), finalmente resulta 
/ 1 
— € 
x-ts 
G(x, s) =s i 
-2i 
t 
-2t 
dt, si 0 < x ^ s, 
t 
dt, si s ^ x < 1. 
-4 Solución. Busquemos la función de Green G que satisface la 
ecuación diferencial 
-x2/2y < ? Í ) , - e " B / 2 G = 0/ 0 < a; < 1, x¿s, 
en la forma G = e ¡zu(x)f donde la función u es la solución 
general de la ecuación xu' +u" = 0 . Integrando esta ecuación 
sucesivamente, obtenemos 
X 
u=Clerxl¡1, u = ClJ e-{Zfzdt + C2. 
o 
Teniendo en cuenta que la derivada G'x es discontinua en 
x — s, obtenemos 
G{x, s) = i 
Cx jr e^/2 dt + C2exZ/2, si 0 ^ x < 
o 
C3ex2/1 f dt + C4e^2, si s<x^ 1. 
o 
Utilicemos ahora las condiciones de contorno y las propiedades 
conocidas de la función de Green. Así, obtenemos el siguiente 
sistema de ecuaciones algebraicas respecto a C¿ {i = 1,2,3,4): 
l 
0, C3 f e~f/2 dt + C4 = 0, 
o 
s 
Cí J e" í2 /2 dt ~ C3 í e~e/2 dt + C4, 
o o 
s 
c
3
 ( l + se'2'2 J e-"2 dt) + se'1/2C4 
0 S 
C, ( l + s e " 2 J e - ^ 2 dt = 
0 
Resolviendo este sistema, hallamos 
Ct y ¡i I 1>(s) ~ '0(1) 
m 
n s1 ¡2 C3 = € , 
m 
C4 = m = f e"f?72 
o 
dt. 
Sustituyendo en (1) las expresiones de C¿ halladas concluimos el 
proceso de construcción de la función de Green G, la cual adopta 
la forma 
/ 
Px 2 , 
i ( l ) 
J dt j e"<2/2 dt, 0 < x ^ 5, 
G(x, s) = < 1 o 
e 1 - f / 2 
m 
f e ^ d t íe^dt, s x ¿ 1, 
o l 
A Solución, Es evidente que la función G — x satisface la ecuación 
( ( x 2 - l ) G ' ) ' - 2 G = 0, X e (1,2), 
Por tanto, podemos buscar la solución general de la ecuación en 
la forma 
G = xu{x). 
En este caso la función u es solución de la ecuación 
(4x - 2) u 4- (x J - x) u" = 0, x ^ s, 
la cual al ser integrada nos da como resultado 
x -1 1 1 u = C| ( - + - ln 
x 2 x + 1 
+ C%, x 5. 
Por consiguiente, 
G(x, s) = < 
C1 1 + 
/ 
V 
X 
ln 
x - 1 
2 
ln 
x + 1 
X 
ln 
x - 1 
2 
ln 
x -f 1 
+ C2X, si 1 < X < 5, 
+ C4x, si s < x ^ 2. 
Partiendo de que G(x, a) está acotada cuando x —> 1, obtenemos 
que C] = 0. Determinando por el método conocido los valores 
restantes de Cl (i = 2,3,4), hallamos 
— s c3 ~s, C.i — ~~s, 
donde <p(s) = 1 + - ln 
De esta manera, 
3 + 1 
G{x, s) = < 
x\*>(5)+-(In3-l)), 
x 
5 [ y ? ( x ) + - ( l n 3 - l ) ] / 
si 1 ^ X ^ s, 
si s ^ x ¿ 2. 
<4 Solución. Proponemos al lector comprobar que la función de 
Green del problema dado tiene la forma 
x 
si 0 ^ x ^ s, 
<?(*,*)=<
 3
f 
— —-J, si 8 ^ X < +00. 
Conforme a la fórmula del p. 52, escribimos la solución del 
problema en la forma 
+00 
y{x)= í f(s)G{x,s) ds. 
o 
Realicemos ahora las estimaciones requeridas. Dado que 
; f i m i t o n m m 
•foo H-oo 
-y{x) = J f(s)(-G{x, s)) ds^m j {~G{xt s)) ds = 
o o 
x +00 
s ds í x \ m 
W + J ás) = 2 
0 X 
X 
y también y ^ 0, entonces para la solución y obtenemos la 
estimación 
m 
2 
Además, 
+00 
y '(*)« j f(s)G'x(x,s)ds+ f f(s)G'x(x, s) ds = 
Ü x 
f 2 s 
= j f(s)—.r d* 
0 
2/ 
X 
V) = / 
3a;3 
í 4-00 
+00 £ 
^ ^ f 2 3 j m 
o 
-¡-00 
3a;3 3s2 
ds í? —m 
3 ? 
m 
3a; 
o x 
De esta manera, la derivada y1 satisface las desigualdadesm , m 
< Solución. Ante todo, construyamos la función de Green para el 
siguiente problema de contorno 
-(1 + ex)y" - exy'= f(x), O < a; < 1, 
y(0) - 2 / ( 0 ) = O, j/(l) = 0. 
Según el p.5.2, la función buscada G satisface las condiciones 
- (1 + ex) GS, - exGrx = O, a; € (0,1), x ± s, (1) 
G{0, s) - 2G'X{0, s) = O, G'x(l, s) = O, 
- r*' 
2=5+0
 X 
G(s-0,S) = G{8 + 0,8), 
1 
X=8—0 1 + e s 
De la ecuación (X) obtenemos 
G(x 
Ci ln 
C* ln 
ex + X 
e® + X 
+ C 2/ SI 0 ^ X < 8, 
+ G 4/ SI s ^ a? ¿ 1. 
Utilizando las condiciones de contorno y las propiedades de la 
función de Green, calculamos los valores de G¡ (i = 1,2,3,4). 
Seguidamente, sustituyendo los valores obtenidos en la expresión 
de la función de Green, obtenemos su forma final 
fx-ln(ex +l) + l+\n2, si 0 ^ x ^ s, 
G ( X / S > ~ ( s _ i n ( e < + i) + i + ln2, si s ^ í c ^ X . 
de donde, conforme al p. 5.3, podemos escribir la ecuación integral 
requerida 
i 
Í ^ A i s y(s)G(x, s) ds. 
o 
Solución. Escribiendo la ecuación diferencial del problema en la 
forma 
(~Vxy) = Xy, 0 < x < X. 
determinamos la función de Green a partir de las condiciones 
(-V¿G'X)'X = 0, 0 < x < X, x¿sf 
lim (VxG'x) = 0 , G(X,5)=0, ¡c-H-0 
G(s - 0 ,s) = G(s + 0, s), G'x x—s+Q G' x^s-0 
i 
Ts' 
Obtenemos 
G(x, s) = 
Por consiguiente, 
2(1-
2(l - y/x ), 
si 0 ^ x ^ s, 
si S < X ¿ 1. 
I 
y(x) = A J G{x, s)y(s) ds. 
o 
Resolver los problemas siguientes con ayuda de la función 
de Greeni 
Solución. A partir de la ecuación 
xG'í XX G x 
1 + x (1 + x) 
obtenemos 
xG'x = r 
1 + x 1 
C r 
C3 
xG^ 
l + x 
si 
si 
= 0, x ¿ s, 
X < s, 
X > s, 
f Ci(x + ln x) + Ci, si 1 < x < s, 
G(x, s) — s 
l CÁX + ln x) + C4, si $ < x ^ e. 
Utilizando las condiciones de contorno dadas y las propiedades 
de la función de Green, hallamos 
Ci = s + lns, C2 — —s- Jns, C3 = s+lns —1, C4 = 0. 
Por consiguiente, 
{ is + ln s)(x + ln x - 1), si 1 < x < s, (x + ln x)(s + ln s - 1), si s < x < e. 
En correspondencia con la fórmula (2), p. 5.4, la solución del 
problema planteado tiene la forma 
e 
y{x) = f f(s)G{x, s) ds. 
1 
Solución. De la ecuación 
- (1 + eos X)G'XX 4- sen x - G'x ~ -((14- eos x)G'x) = 0 (x / s), 
integrando sucesivamente se obtiene 
Ci tg y + C2t si 0 ^ x < a, 
G(x, s) = < ¿x ^ 
C3tg-+C4, si s<x^~. 
Las condiciones de contorno y las propiedades de la función de 
Green nos conducen a las igualdades 
1 ( 8 
C\ — Co — ( 1 — tg "" 
2 \ 2 
C3 = - i ( l + t g f ) , C4 = i ( l + t g í | . 
De esta manera, 
r ^ ( l + t g | ) ( l - t g ~ 1, Si Q ^ X ^ a , 
G(x, s)= < 
1 / s\ / x\ 7T 
^ l l + t g H I l - t g - l , si . 
y la solución del problema inicial es 
t t / 2 
y(x) = J G(x, s)f(s) ds. • 
o 
Solución. Derivando la ecuación 3) y utilizando 1) y 2), obtene-
mos 
/ + 9{x)V + = 
y" + (~q(x) + q2(x))y + g(x)(Y(x) - g(x)y) = -f(x) + g(x)Y. 
De aquí hallamos la ecuación 
-V 0 ) 
Tomando x = a en 3), hallamos que yf{a) + g(a)y(a) ~ Y(á), 
o bien 
y'(a)~hy(a) = C,. (2) 
Haciendo x — b en 3), obtenemos 
y'{b) + g(b)y(b) = F(6). (3) 
Pero y(b) = C2 + 3/(&)(#(&) - por tanto, a partir de (3) se 
deduce que 
3r(fc) + #3(6) = C2. (4) 
De esta manera, partiendo de los tres problemas de Cauchy 
señalados obtuvimos el problema de contorno (1), (2), (4). 
Por otra parte, la ecuación diferencial del problema de 
contorno se puede representar en la forma 
(y' + 9(x)y)' - 9&){y + = -/(£)* (5) 
donde 
-g\x)+g2{x)^q(xl (6) 
Haciendo en (5) 
y'+g(x)y = Y (x), (7) 
se obtiene 
Y1 -g(x)Y = -f(x). (8) 
A continuación, sustituyendo x = a, x = b en (7) y 
utilizando las condiciones de contorno, podemos escribir 
Ci-(h + g{a))y(a) = 5», 
C2 - (H - - Y(b), 
Como vemos, (ruemos dos condiciones y tres incógnitas. 
Suponiendo 
g(a) = -h, (¥) 
obtenemos 
C2 - Y{b) Y {a) = Clt 2/(6) - ¿ i . (10) H ~ g(b) 
Por consiguiente, obtuvimos los tres problemas de Cauchy 
(6M10). • 
Nota* Para que las operaciones realizadas sean válidas/ es necesario que el problema 
de Cauchy (6), (9) tenga solución en el segmento [a, b]. 
Solución. La solución general de la ecuación dada es 
y = Ci sh A / A x + C2 ch VXx. (1) 
Utilizando las condiciones de contorno, hallamos C2 — 0, C\ ~ 
sh VXl = 0. 
Dado que estamos buscando los valores de A para los 
cuales existen soluciones diferentes de cero,, partiendo del último 
sistema de ecuaciones se deduce que sh V\l = 0 (A ¿ 0). De 
aquí, conforme a la identidad sh VXl = i sen v—Ai, resulta que 
feV 
V—Ál — kir, A*; = — (k € N). Tomando C\ — i en (1), 
l2 
hallamos las funciones propias yu = sen 
knx 
(k e N). 
Nota. En general, las funciones propias pueden ser multiplicadas por un factor nu-
mérico arbitrario. Sin embargo, en muchos casos es más cómodo escribir las funcio-
nes propias en la denominada forma normalizada, determinando de alguna manera 
el factor arbitrario. En nuestro caso el factor C< fue elegido a partir de la condición 
í 
y J iVkf dx = 1, 
donde y¡¡ es una función real. 
Ejercicios 
Hallar las soluciones de los siguientes problemas de Cauchy. 
1. y" = y + y'1) y(0) = 1, y'(0) = 0. 
2. |T - y / 1 - y"2; 3/(0) = 0, y'(0) == 0, y"(0) = 1. 
3. yIV - * - y s e n ( ™ r ) ; y(l) = 1, y'(D = i, y"{D = 2, y"'(i) = i. 
4. y"' - 6x-ly" + 16x~*y - Í6x~2y' + x~3(xy' - y r V y " - 4xy' + 4y)2; y(l) = 1, 
y'( 1) - 2, í/"(l) = 3. 
En las ecuaciones lineales siguientes realizar el cambio de variable indicado. 
5. t/ + y- 0; x = t2. 
6. + y" = 0; * = lnt 
7. 2y" - 3y' + ary = 0; y = xzv(x) + x. 
8. y'" - xy' + xy = 0; ® - í3, y = tv(t). 
Integrar las siguientes ecuaciones por el método de variación de las constantes. 
9. y" + 3y' + 2y = - i - ; y, = éf2a, y2 = e'*. e* + 1 
10. y" H- 2y' + y = 3e~Vx + 1; y! = e -*, y2 - ¡re"*. 
1 1 11. y + y = sen x; A1(2 = — (̂1 ± i), A3,4 = ~ - | { l ± i). 
12. y"' — Siy ~ eos 2x. 
Construir las soluciones generales de las ecuaciones homogéneas y no homogéneas 
utilizando la fórmula de Ostrogradski—Liouville. 
13. y"' + x2y" - 2xy' + 2y - 0. 
14. y'" + x2y" - 4xy' + 6y~x + l; yA = x1, y2 ~ z3 - 1. 
15. y" 4- y' íh x ~ 2y = sh x. 
I 
16. y'" - -x y" + xy - y ~ x + x-, yl~x,y2-x1. 
Construir las soluciones generales de las siguientes ecuaciones por el método de 
Euler. 
17. yv - 10y;" 4- 9y' = 0. 
18. yv + 8y'" + 16y' = 0. 
19. y I V - y = 0. 
20. yv - 6yJV 4- 9y"' = 0. 
Hallar las soluciones particulares de las siguientes ecuaciones aplicando el método 
de los coeficientes indeterminados. 
21. y" - y = 2éx - x2. 
22. y" - 3y' + 2y = x eos x. 
r\. y" + Axe*. 
f/" f y = x sen x. 
U mol ver las siguientes ecuaciones de Euler. 
VS. :rV' + ®y' + 4y = 10®. 
71». - 3¡cy' + 4y - llar2. 
;//. (2x - l)y" - 3(2x - l)y' + y = x. 
7H. (2X + 3)y"' + 3(2ar + 3) y' - 3y = x. 
( instruir las soluciones de los problemas de contorno siguientes. 
W. y" - y' = 0; y(0) = -1 , y'(l) - y(l) = 2, 0 < x < 1. 
y"+y=-*co8®; 2y(0)-y'(0)+y(l)+3y'(l) = - l , -~y(0)+4y'(0)-2y(l)+5y'(l)-^0, 
Ü < ® < 1. 
31. y" - 2y' + y = e'*; y(0) + y'(2) = 0, y'(Ü) + 3y(2) = 1, 0 < x < 2. 
32. ylv + y = x2; y'(0) + y'(ír) = 2, y"(0) - 3y(x) = 3, y"'(0) - 5yV) - 1, y(0) = 0, 
0 < X < 7T. 
Construir las soluciones de los siguientes problemas. 
33. y" - y = 1; y(0) — 0, jy\ < +oo para x —• +oo. 
34. y" - 2iy = 0; y(0) = y(+oo) = 0. 
35. x2y" - 6y = 0; y(l) = 2, |y(0)| < +oo. 
36. x2y" - 2xy' + 2y = 0; y(l) = 3, y = o(x) para x ^ O . 
37. (1 -x2)y"-2®y'+2y = 2x senx+(l+x2) eos x; x 6 [-1,1], lí/l < +oo, |y'| < +oo, 
y'( 0) = 1. 
Hallar los valores propios y las funciones propias de los siguientes problemas. 
38. y' + 2Axy = 0; y(0) - y(l) = 0. 
39. y' + 3Áx y = 0; 2y(0) + 3y(2) = 0. 
40. y' + 6Aa;5y = 0; y(0) + 6y(3) = 0. 
41. y" + 3Ay' + 2A2y = 0; y(0) = 0, y(l) = 0. 
42. y" 4- Ay = 0; y'(0) + 2y(0) - y(l) = 0, y'(l) + 3y(0) + 4y(l) = 0. 
43. y'" + Ay = 0; y(0) = 0, y'(l) = 0, y'(0) + 3y(l) = 0. 
44. y" + ® - y + Ay = 0; 0 < x < 1, y(l) = 0, \y\ < +oo, |y'| < +oo. 
45. (1 - x2)y" - 2xy' + Ay = 0; - 1 < x < 1, |y¡ < +oo, iy'| < +oo. 
46. x2y" + Ay ~ 0; 0 < x < 1, y(l) = 0, y(+0) = 0.Reducir las siguientes ecuaciones a la forma autoconjugada. 
47. x2y" + xy' - x3y + A¡cy =0. 
48. y" + {x + l)y' - x2y + Aa:3y = 0. 
49. (x3 + l)y" - (x + 2)y' - x*y + \{x + 5)y = 0. 
Construir las curvas singulares y las soluciones singulares de las ecuaciones 
siguientes. 
50. y'2 -y2^0. 
51. y'2 - 4y3 = 0. 
52. yy"3 + £ - l = 0. 
53. a: y'"3 - xf ~ 0. 
Resolver los problemas diferenciales siguientes. 
54. eos y" = 1; y(0) = 0, y'(0) = 1, y"(0) = 2tt. 
55. y"(y"2 - 1 ) = 0; y(0) = 0, y'(0) = 1, y"(0) - 0. 
56. (y" - 2)(y" - 3) = 0; y(0) = 0, y'(0) = 5, y"(0) = 3. 
Reducir el orden de las ecuaciones siguientes-
57. 6 y " 2 - 5 y " y I V = 0. 58. xyw + y"' — £x • 
59. y'"y'2 ~ y"3 ^ 0. 
60. xy"' - y"( 1 - x) = 0. 
61. yy" - y'2 -y' = 0. 
62. y y" + y'2 = 1. 
63. yV" - y"2 - y V = 0, 
64. y'"y2 - y'3 = 0. 
Integrar las siguientes ecuaciones. 
65. y ' " 4 + 3 ü ' " + 2 = 0. 
66. 3(x2yf")- + x2yr" - 4 = 0. 
67. y" ln x sen(y" ln x) + (y" ln at)2 - 2 = 0. 
68. {xy'" - \){xy'" - 5) = 0. 
69. xh - y"h - 1 = 0 , 
70. yfx - y'" - 1 = 0. 
71. f'2 - y"2 — 1 = 0. 
72. y" = ey>. 
73. ly'y" - y"2 + 1 = 0. 
74. e'J - y" = 0. 
75. y"4 - y4 - 1 = 0, 
2 76. y-xy- y . 
77. y — 2xy' - Iny'. 
1 
78. x ~ h ln y . 
y' 
79. x = y' s/í + y'2. 
Sistemas 
de ecuaciones 
d i f 6 r 6 n c i d . l 6 S 
§1. Sistemas lineales 
1.1. Sistemas no homogéneos de ecuaciones 
diferenciales lineales con coeficientes 
variables. Matriz fundamental. 
Determinante de Wronski 
Todo sistema de ecuaciones lineales de la forma 
se denomina sistema lineal no homogéneo con coeficientes variables 
(ijj (t). Vamos a considerar que los coeficientes y los términos 
independientes fl(t) son funciones continuas en el intervalo 
(a, b). 
El sistema de ecuaciones diferenciales 
se denomina homogéneo. Introduciendo los vectores 
X = (xi(t), x2{t),xn(t))f f = (/i (£), /2(í)/ • • • / /«{*))/ 
La matriz 
®21 (¿) «22® 
®ln@ \ 
donde Xij son las coordenadas de las soluciones linealmente inde-
pendientes (vectores) X\ •= {x\\, x2\,... fxn{), x2 = {x\2, x22, , 
xn2),..., xn~ {xXn, x2n' • • • / xnn) de la ecuación vectorial (2'), se 
denomina matriz fundamental de esta ecuación. A veces también 
se denomina matriz de Wronski. 
El determinante 
compuesto de las soluciones particulares del sistema (2), se 
denomina determinante de Wronski. Para que una matriz de la 
forma (3), donde Xij(t) son soluciones particulares del sistema 
de ecuaciones (2), sea una matriz fundamental, es necesario y 
suficiente que det X(t) = W{t) £ 0 para t G {a, b). En ese caso la 
solución general de la ecuación vectorial (2') se representa en la 
forma 
x{t) = X{t)C, (5) 
donde C es un vector constante arbitrario. La solución general 
de la ecuación (1/) es 
x{t) = X(t)C + x(t), (6) 
donde el vector x(t) es una solución particular de la ecuación (1'). 
y la matriz 
las ecuaciones (1) 
ii 
A = ÍFIIJ (Í))/ 
(2) adoptan la forma vectorial 
1.2. Método de variación del vector constante 
Si se conoce la matriz fundamental de la ecuación (2') podemos 
hallar la solución particular x{t) de la ecuación (1') utilizando el 
método de variación del vector constante C. Este vector satisface 
la ecuación 
X(t)C'{t) = f(t). (7) 
Dado que detX{¿) = W(t) ¿ 0, entonces 3 (X(í))"1 y Cf{t) = 
i 
X (t)f(t). Por consiguiente, 
C{t) = í X _ 1 ( í ) / ( í ) dt + C0, (8) 
donde CQ es un vector constante arbitrario. Sustituyendo (8) 
en (5), obtenemos 
x{t) = X(t)C0 + X(t) í X~\t)f(t) dt (9) 
Comparando (6) y (9), hallamos 
5(í) = JC(t) f X'l(t)f(t)dt. 
1.3. Matriciante 
La matriz fundamental Y de la ecuación (2') que satisface la 
condición inicial Y(to) — E, a < t0 < b, donde E es la matriz 
unidad, se denomina matriciante. Generalmente, el matriciante 
se halla a partir de la ecuación (2') empleando el método de 
aproximaciones sucesivas: 
t 
Xn+1(t) = E +IA(r)Xn(r) dr,, 
k 
Xq~0, n~ 0,1,2,..., 
í o , i € ( M ) , Y = lim Xn (í). 
n—>oo 
Caso de Lappo-Danílievski. Si se cumple la identidad 
t t 
A{t) J A{r) dr = j A(T) dr - A(t), t0, t G (a, b), 
ío ío 
entonces el matriciante se puede hallar mediante la fórmula 
t 
f A(T) dr 
Y\t) = e* , (1.0) 
donde eB se entiende como la matriz fila 
eB = E + B + l-B1 + ... + -•£" + ... . 
2! tt! 
Si se conoce el matriciante, la solución del problema inicial 
dx 
~ = A{t)x + /(í), a(í0) - «o, (ID 
at 
se halla mediante la fórmula de Cauchy 
t 
x(t) m Y(t)x o + I Y(t)Y~\r)f(T) dr. (12) 
1.4. Sistema lineal no homogéneo con coeficientes 
constantes. Método de Euler 
Si aij = const, el sistema (1) se denomina sistema lineal no 
homogéneo con coeficientes constantes. La solución general del 
sistema (2) se puede hallar utilizando el método de Euler, el cual 
consiste en lo siguiente. Buscamos una solución de la ecuación 
(2') en la forma 
x = BeXi 
donde B = 
í b A 
h 
es un vector constante, A es una constante. 
\ U 
Entonces, a partir de (2') obtenemos la ecuación F(X)B = 0, 
donde F(X) = A — A E . Dado que estamos buscando una solución 
no trivial, tenemos que 
det F(A) = 0. 
Ésta es la ecuación característica. Sean Ai, A2, . . . , An sus raíces 
simples. Entonces las soluciones respectivas son 
xi m BieAlí , x2 = B2eht, xn m BneKt. (13) 
Los vectores Bk, k — 1, n, son soluciones de las ecuaciones 
F(\k)Bk = 0. (14) 
La combinación lineal 
x ^ Y s CiBit™ (15) 
de los vectores (13), donde C¿ son constantes, es la solución 
general de la ecuación (2'). 
Si entre las raíces de la ecuación característica existe una 
raíz Ag de multiplicidad r ^ 2, entonces el vector solución 
correspondiente a dicha ecuación tiene la forma 
= + F{Xs)t + ÍF2(Afi)£2 +... 
donde As es un vector que satisface la ecuación 
Fr(As)A, = 0 . (17) 
En este caso, la combinación lineal de los vectores de la forma (13) 
y (16) es la solución general de la ecuación (2'). 
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales 
utilizando el método de eliminación: 
-4 Solución. Resolviendo la primera ecuación respecto a y y susti-
tuyendo en la segunda ecuación del sistema, obtenemos 
y - x - 2x, {x - 2x)' = 3x + 4(x - 2x), 
o bien 
£ - 6x + 5a; = 0. 
Las raíces de la ecuación característica A — 6A+5 = 0 son Ai = 1, 
A2 = 5. Por tanto, la solución general de la última ecuación es 
x - Cxé + C2e5í. 
Sustituyendo la expresión de x en la primera ecuación del sistema 
hallamos 
y = (Cíe' 4* C2e5t)' - 2(Cxé + C2e5t) = 
- - C i é + 3C2e5í. • 
< Solución. Sustituyendo en la segunda ecuación la expresión 
t / ~ ¿ 2 + 6í + l - á; obtenida de la primera ecuación del sistema, 
hallamos 
x + x = 3t2-t + 5. (1) 
Integrando la ecuación (1), obtenemos la solución general x — 
C\ sen t + C2 eos t + x(t), donde x(t) es una solución particular 
de la ecuación no homogénea. La forma más fácil de hallar 
esa solución particular es utilizar el método de los coeficientes 
indeterminados. Como resultado obtendremos 
x — Ci sen t + C2 eos t + 3í2 - t - 1. 
Sustituyendo la expresión de x en la primera ecuación del sistema, 
resulta 
y - C2 sen t - C\ eos t +1 2 4- 2. • 
< Solución. Diferenciando la primera igualdad y utilizando luego 
las tres ecuaciones del sistema dado, obtenemos 
x = x + y-\-z~?>x — y — z~ 
- 3x - (x + x) ~ 2x - x, 
o bien 
x + x - 2x = 0. 
Integrando la ecuación obtenida, encontramos que 
x = Cié-i- C2t~ . 
Restando miembro a miembro la segunda ecuación de la primera 
y tomando en consideración la expresión de x, llegamos a la 
ecuación y + 2y — 3C^é. Luego de resolverla, obtenemos 
y = C3e"2t + Cxé. 
Finalmente, sustituyendo las expresiones de ai e y en la primera 
ecuación del sistema, hallamos 
z ~ x -\ x - y = 
= (Cié + C2e~~2t)' + {Cxé + C2e~2t) - C3e~2i - Cxé -
= Cxé - {C2 + eje'21. • 
Torera iB i frfe1'. ̂ y^ig. t1--:^ y*.:" ••' 
1 • M - 1,• Jvtííííííjivil•.• •.•!• !•.•. >• •! !• . v 
A Solución. Diferenciando la tercera igualdad det sistema y utili-
zando todas las ecuaciones dadas, obtenemos 
z~x~y + 2z = 
= 2x - y + 2 + 2(x• - y + 2z) - {x + 2y - z) = 
= 3x — 5y + 6z. 
Diferenciandola expresión obtenida y sirviéndonos nuevamente 
de las ecuaciones del sistema llegamos a la ecuación 
z = 3x - 5y + 6¿ = 7x - 19y + 20z. 
Sólo nos queda excluir las variables x e y del sistema dr 
ecuaciones 
z — x - y + 2z, 
z =3x —5y + 6 z, 
z =7x - 19 y + 202. 
Como resultado obtenemos la siguiente ecuación respecto a la 
función z: 
z ™6z + 11¿ - 6z = 0. 
Además 
1 5 1 3 
x = --z + -z-2z, y = ~~z + -z. (1) 
Las raíces de la ecuación característica A — 6A + 11A — 6 = 0 son 
Ai = 1, X2 — 2, A3 = 3. Por tanto, la solución general es 
z = C^ + C2ezt + C3e3t. (2) 
Sustituyendo (2)' en (1), obtenemos 
x = C2e2t + C3e3í, y - C^ + C2ezt. 
Solución. Diferenciando la primera igualdad del sistema y em-
pleando las dos restantes, obtenemos la ecuación x = y — z, o bien 
x = x. La solución general de esta ecuación es 
x = Ci + C2é. 
üí-̂ a^aaí̂ iüTi 
Sustituyendo la expresión de x en la tercera ecuación e integrán-
dola, hallamos 
2 = (C3 + C2t)é - Cx. 
Utilizando la primera ecuación, obtenemos finalmente 
y = e f e + C2(t 4-1)) - C t. 
-4 Solución. De manera análoga al ej. 4, obtenemos 
x = 3x — y + z = 
= 3(3® - y + z) - (x + y + z) + (4® - y + 4z) = 
= 12x - 5y + 6z, 
x ~ 12® - 5y + 6¿ = 
= 12(3x ~y + z)-5(x + y + z)+ 6(4® - y + éz) ~ 
= 55a; - 23y + 3lz, 
Excluyendo las variables y, z del sistema 
x ~3x - y + z, 
x — 12® - 5y -f 6z, 
x = 55a; - 23y + 3lz, 
obtenemos la ecuación diferencial respecto a la función x 
x -$x + 17x - 10® = 0, 
y también 
y = x - 6® + 6x, 
z = x - 5® 4- 3®. 
La solución general de la ecuación (1) es 
x = Cxé + C1e7i + C3e5t. 
Utilizando la expresión (3), a partir de (2) hallamos 
y = C\é - 2C1eli + C3e5í, 
z = -Cíe* - 3C2e2í + 3 
(1) 
(2) 
(3) 
M Solución. Despejando x en la segunda ecuación del sistema 
y sustituyendo la expresión obtenida en la primera ecuación, 
hallamos 
(~y - yy = 3(~y - y) + 4y, ylv - 2y + y = 0. 
Resolviendo esta ecuación por el método conocido, obtenemos 
y = {C\ 4- C2t)é + (C3 + C4¿)e_í. 
Finalmente, partiendo de la segunda ecuación, hallamos 
x = ~y-y- 2(C4 - C3 - C4¿)e_í - 2(Ca + C2 + C2¿)e'. • 
«4 Solución. Diferenciando dos veces la primera igualdad y consi-
derando las tres ecuaciones del sistema, obtenemos 
xw= 3íb-y-z = 
= 3 (3 a; - y- z)~ {-x + 3 y - z) - {~x - y + 3z) — 
= llx ~ 5y - 5z = 
- lia; 4- 5(& - 3x), 
o bien 
xlv - 5x + 4x = 0. 
Resolvemos esta ecuación por el método conocido. Tenemos: 
x = Cxé + C2e~l + C3e2t + CAe~2t. (1) 
Restando miembro a miembro la segunda ecuación del sistema 
de la primera y utilizando la solución (1), podemos escribir 
y-iy = ~3C\é - 3C2e~t, 
de donde 
y = C5e2t + C6e~2t + Cxé + C2e~l. (2) 
Por último, sustituyendo las soluciones (1) y (2) en la primera 
ecuación del sistema, hallamos 
z = Cxé+ CiC* - (C3 + C5)e2t ~ (C4 + C5)e~2t. 
•4 Solución. Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones del 
sistema, obtenemos x + 2x + x — 2y, de donde hallamos 
1 
y - -{x + 2x + x). (1) 
Sustituyendo la expresión (1) de y en la segunda ecuación 
del sistema, obtenemos una ecuación diferencial respecto a la 
función x: 
x +2x ~x-2x~Q. 
Después de resolver esta ecuación, encontramos x = C\e~ + 
C2é + C3e~f'. Considerando esta última solución, a partir de (1) 
hallamos 
y = -C1e~2í + 2C2eí. • 
-4 Solución. Multiplicando la primera ecuación por 2 y sumándola 
miembro a miembro con la segunda, llegamos a la igualdad 
2y~x-y^0. (1) 
Diferenciando (1) y considerando la primera ecuación del sistema, 
hallamos x ~ 3y. Sustituyendo la expresión de x en (1), obte-
nemos la ecuación diferencial y + y = 0, de donde hallamos sin 
dificultad que 
y = Ce-1) 
por tanto, 
x = 3 Ce'*. • 
-4 Solución. Sumando miembro a miembro estas ecuaciones, obte-
nemos (2x - y)" = 2x - y, de donde hallamos 2x -y = C^e +Cae"f. 
Sustituyendo la expresión 
y = 2x ~ C\é - C2e~t (1) 
K 
en la primera ecuación del sistema, obtenemos la siguiente ecua-
ción diferencial respecto a la función x\ 
3Cief - C2e - Í = 0. 
La solución general de esta ecuación es 
x = C$e2t + C4e~2t + Cié - -C2e~K (2) 
3 
Sustituyendo finalmente (2) en (1), obtenemos 
y = 2C3e2t + 2C4e~2í + Cxé - -C2e~*. • 
Solución. Resolviendo el sistema de ecuaciones respecto a las 
derivadas de orden superior, obtenemos 
x — 2x + y ~ 2x — 2y, 
rt) y = -2x ^y + x + y. 
Diferenciando dos veces la primera igualdad del sistema (1) y 
utilizando las ecuaciones del mismo, podemos escribir 
* + • x = —y — — 3y, 
IV „ ( 2 ) x = -x ~2y - x — y. 
Después de resolver el sistema (2) respecto a y e y, y de sustituir 
sus expresiones en la primera ecuación del sistema (1), obtenemos 
la siguiente ecuación respecto a la función x: 
iv ™ i » • n x — x +x — x ~ 0, (3) 
Además, 
y (xlv - 5®). (4) 
Integrando la ecuación (3), obtenemos 
x = Ci + C2e + C3 eos t + C4 sen t. 
Por último, sustituyendo esta expresión de x en (4), resulta 
t y — -C\ - C2e + - ( - 4 C 3 + 3C4) eos t -
5 
- - ( 4 C 4 + 3C3)sen¿. • 5 
Üj Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el 
método de Euler: 
= 0, 
•4 Solución. Según el método de Euler las soluciones particulares 
del sistema se escriben de la siguiente forma: 
x = Mxt, y = Bext, A, B,X = const. (1) 
Sustituyendo (1) en el sistema dado, obtenemos el sistema alge-
braico 
AX = A - B, BX — B- áA, (2) 
a partir del cual, en virtud de que las soluciones buscadas no son 
triviales, se deduce que 
A - 1 1 
; 4 A - 1 
o bien (A — l)2 ~ 4 = 0. Las raíces Ai = 3, A2 ~ - 1 de la ecua-
ción característica son simples. Por consiguiente, las soluciones 
particulares respectivas tienen la forma 
xi = áte3*, x2 = A2c~\ t/i = BxeM, y2 ~ B2e"f\ 
Hallaremos la relación existente entre las constantes A^, Bf¡ me-
diante el sistema de ecuaciones (2). Tenemos que A^X\ •= A\-B\, 
X2A2 = A2 - B2 (señalemos que las segundas ecuaciones de (2) 
se deducen de las primeras); por tanto, B\ — — 2 A ¡ , B2 — 2A2. 
Debido al carácter arbitrario de A\ y A2 podemos, por ejemplo, 
tomar A\ = A2 = 1. Entonces B\ — -2, B2 = 2. De esta manera, 
la matriz fundamental adopta la forma 
_ ( e3t e~f 
m - V -2e3 í 2e-s 
Según (5), p. 1.1, la solución general en forma vectorial es 
= X(t)C = 
e3í 
3 í —2e 
Cie3f+ C2e 
-2Cj em -f 2C2e 
de donde se deduce que 
x = Cie3í + C2e~\ y = ~2Cxe3t + 2 C2e_í 
M Solución. Busquemos las soluciones en la forma 
x = Aex\ y = Bext, z = CeAí. (1) 
Sustituyendo (1) en el sistema dado, obtenemos 
A(\-1) + B-C = Q, 
- ¿ + B ( A - 1 ) + C = 0, (2) 
-2j4 + + CA = 0. 
Como estamos buscando soluciones diferentes de cero debemos 
escribir 
A - 1 1 
- 1 A - 1 1 = 0, 
- 2 1 A 
de donde obtenemos A — 2A2 - A + 2 = 0. Las raíces 
A2 = 2, A3 = - 1 de esta ecuación son simples; por ésta razón, las 
soluciones particulares adoptan la siguiente forma: 
X\ = A\é, x2 — A2¿*, x3 = A3e~l, 
yi = Bi e', y2 = B2e2íA y3 = B3e~lf 
z\ = C\é, z2 - C2e2i, z3 ~ C3e"f. 
Para establecer la relación existente entre las constantes A&, Bkr Cj¡. 
utilizamos el sistema (1). Tenemos: 
j4fc(Ajt - 1) + ¿J* - C¿ = 0, 
-Ak + Bk(\k-1) + Ck=0, k = 1,2,3. 
~2Ak + Bk + Ck\k = 0, 
Obtener las soluciones de este último sistema no presenta ninguna 
dificultad 
Bi=Ai=Cít A2 = C2/ B2 = 0, B3 = -3A3, C3 = ~5A3. 
Dado que una parte de las constantes halladas es arbitraria 
podemos suponer que C\ = 1, C2 = 1, A$ = 1. Entonces 
B\ = Ai — 1; A2 — 1; — —3, C3 = - 5 . De esta manera, 
la matriz fundamental del sistema diferencial analizado tiene la 
forma 
X(i) = e 
,t 
t 
€ 
0 
2t 
2t 
-3e 
—Se 
-t 
-t 
Cxé + C2e« + C3e-r \ 
^e* + C2e2t - 5C3e_í / 
La solución general es 
» \ /Ci 
y i = m I <k 
z) \c3 
de donde 
x — C\é 4- C2e2# + C3e_ í , 
2t 
y C\é — 3C3e , 
i - C ic í + tó—• 
Solución. Procediendo de forma análoga al ejemplo anterior 
obtenemos que Ai = 2, A2 — 3 + i, A3 = 3 - i; por tanto, las 
soluciones particulares tienen la forma 
xx — A\e 
y\ ~ B\e 
2t 
21 
zi = Cxe2t, 
x2 = ^2e(3+í)í 
V2 = B2e^\ 
Z2 = c2e(3+í)< 
- A$e 
y, = B3e<3-'" 
= C3e<3-*. 
Para determinar las constantes Ak, Bk,Ck/ k = 1/2,3 nos 
valemos del sistema de ecuaciones algebraicas 
Mb ~ 2) - = 0, 
~Ak + - 3) + Cfe = 0, k = 1,2,3. 
Ak - 2Bk 4- Ck(Afe - 3) = 0, 
Resolviendo el sistema respecto a Ak, Bk, Ck, obtenemos 
Ai = Ci = 1, B\ = 0; 
A2 = l = 1 + i, , C2 = 2~ i; 
¿3 = 1, C3 = 2 + i. 
De esta manera, podemos escribir la matriz fundamental en la 
forma 
( e2t e3í(cos£+¿sen£) e3í(cos£-isen£)\ 
0 (1 + ¿)e3í (eos í + i sen £) (1 -i)e3í(cos£-¿sen£) ] . 
e2t (2 - ¿)e3í (eos £+ i sen £) (2+i)e3t (eos £ - i sen t) J 
Consiguientemente, según (5), p. 1.1, tenemos 
x - C\e2t + C2e3í(cos £ + i sen£) + C3e3í(cos t - i sen £), 
y = C2(l H- ¿)e (eos £ + i sen £) + C3é(1 - i)(cos £ - i sen £), 
2 = C\e2t + C2(2 - i)e3í(cos £ + i sen£) + 
4- C3(2 + ¿)e3í(cos £ - ¿ sen £), 
donde Ci, C2, C3 son constantes arbitrarias (hablando en ge-
neral, son complejas). En particular, si tomamos C2 = C2 4- iC3, 
c 3 - C2 - ¿C3, donde C2, C3 son constantes reales, y considera-
mos que C\ es una constante real, entonces, a partir del sistema 
anterior, podemos obtener la solución general en forma real del 
sistema de ecuaciones diferenciales dado: 
x ~ Cxe2i + 2e3í(C2 eos £ - C*3 sen £), 
y = 2e3í ((C2 - C3) eos t-(C2 + C3) sen £), 
z = C i e 2 í + 2e3' ((2C2 4- C3) eos £ + (C2 - 2C3) sen t). • 
^ Solución. No es difícil hallar las raíces de la ecuación caracterís-
tica 
A - 2 1 - 2 
- 1 = 0. 
2 - 1 A + l 
Éstas son: Ai = 1, A2 — i, A3 = —i. Por eso, al igual que en los 
ejemplos anteriores, podemos escribir las soluciones particulares 
del sistema dado 
A2e", xx = Alé, x2 = 
yt = Bie\ y2 = B2e%t, 
-it 
X3 = A3e 
2/3 = B3e ü . (1) 
t it zx = Cíe , z2 = c2e , z3 = C3e -it 
• WA .•..••• .'_'."«.'.'j...• • J.4J. JULUJUUWULi* 
donde las constantes .4*/ Bk, Ckf k — 1,2,3 están relacionadas 
de la siguiente manera: 
Ak{Xk - 2) + Bk - 2Ck = 0, 
-Ak + BkXk - 2€j¡ = 0, fe = 1,2,3. 
24* - Bk + Cjfe(A¡fe + 1) = 0, 
Resolviendo estos sistemas de ecuaciones algebraicas, obtenemos 
que 
Ai = 0, Bi = 2Ci; 
1 
= C2 = -irAz+ %B2); 
En particular, 
Ci = 1, B , = 2 ; ^ = = C2 = i - 1; 
¿ 3 = = 2, C3 = - 1 - i. 
Por consiguiente, a partir de (1) se deduce que podemos construir 
la matriz fundamental de la siguiente manera: 
2e¿' 2e-ü \ 
2él 2e'u 
é (i- l)etí -(1 + 1)^*7 
Entonces la solución general del sistema dado es 
x = 2C2eu + 2C3e~H, 
y = 2 Cxé + 2C2e¿< + 2C3e~u, 
z = Cxé + C2(i - l)eil - C3( 1 4- ¿)e_ií. 
Suponiendo que C2 = C2 4- ¿C3, C3 — C2 - ?C3, donde C2, C3 
son constantes reales, podemos obtener la solución general en 
forma real: 
x = 4(C2 eos t — C3 sen ¿), 
2/ = 2 (7^ + 4{C2 eos ¿ - C3 sen £)/ 
2 = 0x6'-- 2(C2 + C3) eos í - 2(C2 - C3) sen 
Solución. Dado que entre las raíces de la ecuación característica 
existen raíces múltiples (Aj — 3, A2 = A3 = -1) , conforme a la 
fórmula (16), p. 1.4, el vector solución particular correspondiente 
a esa raíz se busca en la forma 
x2 = (E + F{X2)t) Aze~t f (1) 
donde 
E = F(X2) 
2 - A 2 
1 
3 
- 2 - A2 
- 3 
y el vector Á2 — satisface la ecuación 
- 4 4 - 8 \ / a x 
F\X2)A2 = 0, o bien | 4 - 4 8 1 a2 I = 0, 
12 - 1 2 2 4 / \ a 3 
lo cual corresponde a una sola ecuación escalar a\ — a2 4- 2 = £), 
o bien a\ — a2 — 2a$ {a2, a3 son constantes arbitrarias). De esta 
manera, tomando en consideración la igualdad F(X2)A2 = 0 y la 
expresión (1), obtenemos el vector solución 
a2 - 2a3 \ 
*2 
-t 
(2) a 2 
«3 / 
El vector solución correspondiente a la raíz Xx tiene la forma 
xi — Bi e , donde el vector constante B\ satisface la ecuación 
(v. fórmula (14), p.1.4) 
F{Xx)Bi = 0, 
o bien 
- 5 1 - 2 \ ( h 
1 - 5 2 I b2 | = 0 . 
3 - 3 2 / \63 
No es difícil obtener una de las soluciones de este sistema: 
bi = -1 , b2 = 1, 63 = 3. 
La combinación lineal de los vectores solución es la solución 
general x del sistema de ecuaciones diferenciales dado. Por tanto, 
x = C\\\ + C2\2 -
+ 
f c2(a2 - 2a3)e \ 
C2a2e~l 
\ C2a3e -t 
f -Cíe + C2(a2 — 2a3)e ^ 
C\eu + C2a2erl 
V 3CieM + C2a3e -t I 
Suponiendo que C2a2 — C2/ C2a3 = C3 y tomando en considera-
ción que x — (x, y, z), obtenemos finalmente 
x = ^Cie3* + (C2 — 2{?$)e~t, 
y ^ C 1 c 3 í + C2c" i / 
2 = 3Cxe3í + C3e_í . • 
Solución. La ecuación característica del sistema dado tiene sola-
mente una raíz A = — 1 de multiplicidad tres. Por eso, según la 
fórmula (16), p. 1.4, podemos escribir 
x = ( E + F(X)t + ~F2{X)t2 ) Ae\ 
donde 
F(X) = 
1 - 1 - 1 \ 
2 - 2 - 2 
i 1 1 / 
F\X) = 
El vector A satisface la ecuación F2(X)A — 0 (v, fórmula (17), 
p. 1.4) y en virtud de la identidad F2{A) ~ 0 dicho vector es 
arbitrario. De este modo, la solución general en forma vectorial 
W U U f c M f a K M B M H R ' i " ' 
es 
x = (x, y, z) = 
= {E + F(\)t)Aet = 
{l + t -t -t 
21 1-2í -2t 
\ -t t 1 + í 
de donde resulta 
x^é(Ci(l + t ) - ( C 2 + C3)0, 
y = eí(2C1£ + C2(l - 2t) - 2C3t), 
z = e í ( - C 1 í + C2t + C3(l + í)), 
o bien 
® = e í(C1 + ( C 1 - C 2 - C 3 ) ¿ ) , 
y = et(C2 + 2(C1-C2-C3)t), 
z = el (C3 + ( -Ci + C2 + C3)í). 
Solución. Se puede comprobar que A = 2 es una raíz de multi-
plicidad tres de la ecuación característica. Por tanto, conforme a 
la fórmula (16), p. 1.4, la solución general del sistema dado es 
x = (x, y, z) — (e + F(X)t + i F 2 ( X ) A Ae2', (1) 
C A 
donde A = { es un vector constante arbitrario y 
C3) 
2 - 1 0 
F{A) = ( 3 - 1 - 1 
1 0 - 1 
F2( A) = 1 2 - 2 
F\X) = 0. 
" I 1 \ (2) 
Sffcffñtnffaí;W ftc íf 1 ̂ W i b *1 ?• •J •" • 1 • • •: 
A partir de las expresiones (1) y (2) obtenemos la solución general 
en forma escalar 
2 í x = e[C\ + (2 Ci - C2)¿ + Í(C t - C2 4 C3)¿2 
y = e2í (C2 4- (3C, - C2 - C3)í 4 (Ci - C2 + C3)¿2), 
2í 
Solución. Buscaremos las soluciones generales en 1a forma 
x = AeM, y = BeAt. Sustituyendo estas expresiones en el sis-
tema dado, obtenemos 
A(A2 - 1 ) 4 - 2J5(A2 - 1 ) = 0, 
j4(A - 1) + J3(A 4-1) = 0. 
= 0, (2) 
De aquí, respetando las condiciones i 0 y B 0, se deduce 
que 
A2 — 1 2(A2 — 1) 
, A - 1 A + 1 
o bien (A2 - 1)(3 - A) = 0. Por tanto, At = 1, A2 = - 1 y A3 ~ 3 
son las raíces (simples) de la ecuación característica (2) y las 
soluciones particulares respectivas son 
X\ = A\é, x2 — A2e 
yi=Blei, y2 = B2e 
31 x$ = A3e , 
t 31 y3 = B3e . 
(3) 
Para hallar la relación existente entre las coeficientes Ak/ B¡¿, 
k = 1,2,3, sustituimos sucesivamente las raíces Xk, k — 1,2,3 en 
el sistema (1). Obtenemos 
^ ( A | - l ) 4 - 2 J ? f c ( A 2 f c - l ) = 0 , 
Ak(Xk - 1) 4 Bk(Xk + 1) = 0, 
de donde hallamos que B\ = 0 (A\ es arbitrario); A2 = 0 (B2 
es arbitrario); B$ = - 1 , j43 = 2 . Tomando en consideración estas 
condiciones y suponiendo, por ejemplo, que A\ — B2 =s 1, a partir 
wmmmmmmm-i-i •••• 
de las soluciones particulares (3) obtenemos la solución general 
del sistema de ecuaciones diferenciales dado 
x = Cixx + C2x2 4- C3x3 - Cxé 4- 2C3e3t, 
y = Cm + c2y2 + c3y3 = C2e~l - C3e3í. • 
- IIMI.II • • I M I I I I ' ' ' I I I ^ ^ M . I I ' I ! 
Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, suponiendo 
x = Ae , y = Bext, obtenemos 
A(A2 + 5A) 4- B(2A + 1 ) = 0, 
0 ) 
ji(3A 4- 5) + ¿?(A + 3) = 0, 
de donde, considerando la condición A ^ 0, B / 0, halla-
mos que Ai = A2 = 1, A3 = —1. Las soluciones particulares 
correspondientes a la raíz simple tienen la forma 
x3 = A3e~\ y3 = B3e~K 
La relación entre A3 y B3 la hallamos por el método conocido 
a partir del sistema (1): B3 = ~4A3. Suponiendo, por ejemplo, que 
A3 — —1 tenemos que B3 — 4. Por tanto, las soluciones particula-
res correspondientes a la raíz A3 = —1 son x3 = —e-í, y3 = 4e 
Debido a que la raíz A = 1 es de multiplicidad dos, 
debemos buscar las soluciones particulares respectivas en la 
forma 
x ~ (a 4- bt)e , 
t <2> y — (c 4- dt)e , 
donde a, bf c, d por ahora son constantes desconocidas. Para 
determinarlas sustituimos las expresiones (2) en el sistema de 
ecuaciones dado. Después de una serie de simplificaciones, igua-
lando los coeficientes de los términos semejantes, obtenemos el 
sistema de ecuaciones 
6a + 7b + 3c 4- 2d ~ 0, 2b + d ~ 0,8a + 66 4- 4c + d = 0, 
a partir del cual hallamos que d = -2b, c = -2a — b, donde a, b 
son constantes arbitrarias. De este modo, la solución general es 
x = (a 4- bt)el - C3eTl, 
y = ( - 2 a -b- 2bt)é 4- 4C3e_í. 
Mlfwenclale*. ; 
sel 
3=El Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el 
método de variación del vector constante: 
<4 Solución. Primero resolvemos el sistema de ecuaciones homogé-
neo asociado 
x = -4x — 2y, y = 6x + 3 y. 
1 
Sustituyendo la expresión y = —2x x en la segunda ecuación, 
M 
obtenemos x f x -- 0, de donde x — C\ + C7e~t. Por tanto, 
3 -
•y — —2C\ — -C*2€ . Para determinar la solución general del 
, sistema no homogéneo utilizamos el método de variación del 
vector constante. Consideremos C\ y C2 como ciertas funciones 
diferenciabas. Estas funciones se hallan a partir del sistema de 
ecuaciones que se obtiene al sustituir las expresiones de x e y en 
el sistema no homogéneo. De esta forma, tenemos 
Ci + C2e* = 6 — 1 
' 3 - _f 3 
_ 2 C l - - C 2 e 
2é 
é - 1 
, C\ — Ü. Integrando estas últimas de donde hallamos C2 = 
ecuaciones, obtenemos 
C\ = C]0, C2 = 2\n\et-í\+C2S, 
donde Cío, Qo son constantes arbitrarias. Finalmente, sustituyen-
do las expresiones de Ci y C2 en la solución general del sistema 
homogéneo, hallamos la solución general del sistema inicial 
x = 0 i + C2e_ í + 2e~t ln le* - t|, 
y = -2C] - ~-C2e i - 3e l ln |e6 - 1|, 
donde Ci y C2 son constantes arbitrarias nuevas. • 
-t 
M Solución. No es difícil hallar (por ejemplo, mediante el método de 
eliminación) la solución general del sistema homogéneo asociado 
x = Ci sen t+C2 eos t, y = {C\+C2) sen t + (C2 ~ Cx) eos t. (1) 
Conforme al método de variación del vector consta-nte, si con-
sideramos que C\ y C2 son ciertas funciones diferenciables y 
sustituimos las expresiones (1) en el sistema dado, obtenemos 
1 1 • . ^ * É ^ 
Ci eos t — C2 sen t = , C\ sen t •+- C2 eos i = , eos t eos t 
de donde hallamos C\ = 1 + tg£, Ó2 = 1 - tgí. Integrando estas 
ecuaciones, obtenemos 
C\=t-\n |cos ¿| + Cío, C2~t + ln [eos t\ + C: 20 
+ 
(2) 
Finalmente, sustituyendo (2) en (1), llegamos a la solución general 
del sistema analizado: 
x = ¿(sen i + eos t) + (eos t — sen t) ln 
+ Ci sen t + C2 eos i , 
y = 2t sen t -i- 2 eos t + kt | eos t\ + 
+ (Ci + C2) sen í + (C2 - Ci) eos t, 
donde Ci, C2 son constantes arbitrarias nuevas. 
I Resolver los sistemas siguientes; 
Solución. Realizando el cambio de argumento í según la fórmula 
r = ln |£|, t -fi 0, obtenemos un sistema no homogéneo con 
coeficientes constantes 
dx + 2(z + x+ 5y — e (1) dr dr 
A partir de la segunda ecuación del sistema anterior determinamos 
dy 
x — e 2 r 5y-
dr (2) 
, I I , 
- J - i - --- «• i 
Sustituyendo (2) en la primera ecuación de (1), obtenemos 
y + 7y + I2y = 4e2r x e r . (3) 
Las raíces de la ecuación característica A2 + 7 A + 12 & 0 son 
At = - 4 , A2 = - 3 ; por tanto, la solución general de la ecuación 
homogénea y+7y + Í2y = 0 es y = C:e~4r +C2e~3T. Mediante el 
método de los coeficientes indeterminados, buscamos la solución 
particular y de la (ecuación no ¡homogénea analizada en la forma 
y = AelT + Be\ 
Sustituyendo y en la ecuación no homogénea e igualando en la 
identidad obtenida los coeficientes de los términos semejantes, 
2 1 2 1 » 
hallamos que A — — y B = ± — . Por tanto, y — 
, 1 
± —e 
20 
15 ' 20 15 
y la solución general de (3) es 
y = Ci<f'4r 4 C2e"3r + -~elT 
15 
Sustituyendo la expresión anterior en (2), obtenemos 
x = -C] e~4r - 2C2e~3r + ?-e2T =f 
3 10 
Regresando al argumento t hallamos que 
20 
x fi ¿4 2C2 f W + Í5 ^ T o í ?¿0. 
= 4 
í4 l¿I3 
C? 2 1 2 + — f ± ~ 
15 20' 
Solución. De forma análoga al ejemplo anterior, realizamos el 
cambio de variable r = ln |¿|, t / 0: 
dx 
4 6x - y - 3z - 0, 
dr 
rfr 
+ 23a; - 6t/ - 9¿ = 0, (1) 
dz 
dr 
+ x -f y - 2z - 0. 
Resolvamos este sistema de ecuaciones con coeficientes constantes 
utilizando el método de Euler. Haciendo x — Ae, y — Be 
y z = CE obtenemos el siguiente sistema lineal respecto a las 
constantes 
A(6 + X)~B- 3C = 0, 
23A + B{X - 6) - 9C = 0, 
A + B + C(X - 2) = 0. 
De aquí, conforme a las condiciones A 0, B ^ 0, C ^ 0, 
obtenemos el determinante 
6 + A - 1 - 3 
23 A - ó - 9 = 0. 
1 1 A - 2 
No es difícil hallar las raíces de esta ecuación característica: 
Xi = 2, X2 ~ - 1 , A3 = 1. Por consiguiente, la solución general 
del sistema (1) tiene la forma 
x = Cie2r + 3C2eT - C3e~T, 
2T y ^ Cxe¿T + 2C2eT + C3e~r, 
z = Cíe27" + 2 C2eT + C3e" r . 1 
Regresando a la variable t, hallamos la solución general del 
sistema dado: 
x = Cit1 + C2\t\ + 3 r 
y = _C1¿2 + C2|£! + 
2 a 
z ^ 3Cxt2 + 2C2\t\ + 
1*1' 
C3 
11\' 
I Solución. Haciendo 
® = a(t)f(t), y = mm, (1) 
obtenemos 
af 4- otf = afip + / W , 4- P f = - a / t f 4- //%>. (2) 
Sea f' = f(p ^ 0. Entonces el sistema (2) toma la forma 
a' = ¡3' = —atp, (3) 
donde a y ¡3 son funciones desconocidas. Realizando el cambio 
de argumento según la fórmula 
m (4) 
transformamos el sistema (3) en el siguiente sistema con coefi-
cientes constantes: 
da dQ 
Tr=í}' £ = - a - (5> 
Resolvamos el sistema (5), regresemos a la variable t conforme a 
la fórmula (4) y elijamos / = CJV(*>teniendo en cuenta el 
sistema (1), obtenemos 
x = | - C i eos I j i>(t) dt) + 
4- C2 sen ( j mM])eSmdt 
y = [ C\ sen m d t + 
# C2 eos é{ñ dt 
fy(t)dt 
Nota, En los ejemplos 24— 26 utilizamos el cambio de argumento r — Jf(t) dt, el 
cual generalmente se aplica a los sistemas de ecuaciones de la forma 
dx 
Tt = S(t)Ax' 
donde A es una matriz constante. Este cambio transforma el sistema analizado en 
un sistema de ecuaciones con coeficientes constantes 
dx a_ 
Solución. Sobre una partícula cargada que se mueve en un 
campo electromagnético actúa la fuerza de Lorentz 
f = eE + e[r, H], 
donde r = (x, y, z) es el vector de posición de la partícula. Por 
tanto, conforme a la segunda ley de Newton, la ecuación de 
movimiento de la partícula tiene la forma 
mí - eE + e[r, H]. (1) 
Sea zOy el plano definido por los vectores E y H, donde el vec-
tor H está dirigido a lo largo del eje Oz. Entonces las proyecciones 
de la ecuación vectorial (1) sobre los ejes coordenados tienen la 
forma 
mx — eyH, my = eE sen a — exH, mz = eE eos a, (2) 
donde E ~ ¡E¡, S = |H[. El sistema de ecuaciones (2) (la tercera 
ecuación de este sistema se integra de forma independiente) se 
resuelve mediante el método de eliminación. Obtenemos 
E 
x = A sen wt + B eos o>£ 4- — t sen a + C, 
H 
y = A eos ivt - B sen wt + D, 
eE 2 eH z — — t eos a •+• F\t + F2, u> = , 2 m m 
(3) 
donde A, B, C, D, F\, F2 son constantes arbitrarias. Para determi-
narlas recurrimos a las condiciones iniciales 
x 
t=Q=y t~ o í=0 = o, 
x í=o í=0 : v0x, y t=Q= v0y/ z 
Por consiguiente, a partir de (3) obtenemos 
B + C = 0, A + D^Q, F2 
VQZ-
= 0, 
E 
Aiü + —: sen a = v0x, tí. 
-Bu) — VQy, Fx = vQz. 
(4) 
Sustituyendo en (3) los valores de las constantes hallados en (4), 
obtenemos finalmente 
\ ( E \ VQy Et Voy 
X—— I t;or — — sena ] sen urt — — cosufi + — sen ck H , 
U) \ H / jti UJ 
1 / E \ % (E \ X 
y—~~ VQx - — sena cosa>¿ + — sena>£ + — sen a — v0x —, w \ H / ío \H J (jj 
eE 2 
z ™ — ¿ " c o s a + v0zt. • 2m 
V-̂ -U-K-B-hí: nlw S-Fíí-1 
i-h e-R' + +i • T~T-.T~ th 1 +1---:-WX-M -C-K1 
mmm 
ii j--: :••' -X-i 
r if» SÍHíi .v! 
'toEDOpíIÍ! 
iK+i Wvl ÍJ¡¡ h 
1.". . • A ... .j v A; fí hfl-JSÍKfLf j 
¡•m-fl-K-fl-K' 
Solución. Dirijamos el eje Oz paralelamente a la velocidad inicial 
y el eje Oy verticalmente hacia abajo. Entonces las ecuaciones de 
movimiento de un electrón de masa m son 
eui ev,2 
rnx = eEx = — senwí, my = eEy — —— eos uit, mz = 0, 
d d 
Integrándolas, obtenemos 
eui 
x — ̂ sen wt + Á\t + A2, rndíuz 
y - _ J ^ L c o s u t + Bit + B2, ^ 
z = Cit + C2. 
Sea 3? Li i u — zL , = 0. De acuerdo con las condiciones i t=frt * t £=fo 0 
del problema, x ^ = 0, ¿ ^ = va, donde ¿0 es el 
Hífííííísfírsí STÍiVf.rfl ¥ i * * M * MJ. . ¡ • • : 
instante inicial. Utilizandoestas condiciones inicia fes, a partir 
de (1) hallamos 
etíi eui (1 \ 
Ai = — — eos ut0/ A2 — I — sen u?t0 — ¿0 eos wt{) ], mdw mdoü \ OJ J 
eu2 eu2 / 1 \ 
^ = seníi/tQ, B2 ~ { — cosaco + ¿o sen a>cu ), maui mdw \u j 
C\ = VQ, C2 — -v0t0. 
(2) 
Las fórmulas (1) y (2) determinan la trayectoria del movimiento 
de un electrón solitario dentro de un condensador. Al cabo del 
l 
tiempo ¿1 = — el electrón sale del condensador y se mueve do 
v0 
forma rectilínea hasta chocar con la pantalla. 
No es difícil hallar las coordenadas del punto de salidü 
del condensador así como las componentes de la velocidad del 
electrón en dicho punto. A partir de (1) obtenemos 
. eu 1 
= ^Uío+í^ s e n ^ + + + + M, 
eu2 
yi=y <ss(o+íi = - ^ 2 cos "Oo + + + ^ + 
«i = = + + 2/ 
e«i ( 3 ) 
x¡ — — cos w(í0 + ¿i) 4- Ai, mdu 
eui 
y\ ~ —r~ sen a;(¿0 + ¿1) + mdu 
¿1 = v0. 
Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas de la recta que 
describe el movimiento del electrón hasta su choque con lo 
pantalla tienen la forma 
x — xi 4- Xi(t - ¿o - t\), 
ío + í i ^ t. (4) 
y = yi +yi(í - ¿o - ¿1)/ 
2 1 En el instante t — t2 = ¿0 el electrón choca con la pantalla. 
VQ 
Por consiguiente, a partir de (4) se deducen las coordenadas del 
electrón en la pantalla 
l l 
x2 = x t + x i — , y2 = y i ± y i ~ . (5) 
fa vo 
Sustituyendo (2) en (3) y luego (3) en (5) obtenemos finalmente 
x2 = A cos Loto + B sen ust0, y2~C sen u;¿o -1- D cos u;¿0, (6) 
donde 
leu i 
A = 2 
B = 
VQITKIÍJJ mdu) 
eu\ eu-y 
C~~2 
mduP- mdu 
leu2 + 
D = 
V{) rn. (tu; mdw 
eu2 eu2 
eu\ 1 1 1 l 
—- sena; 1 cosa;— 
\Ü> VQ VQ VQ 
l l 
sen a»— 
í'Ü VQ 
1 1 1 l 
— sen a; f cos a;— 
VQ V0 VQ 
eu2 
Oí 
1 1 1 l 
— cosa; sena;— 
OÍ VQ VQ VQ mdu2 m,du> 
Considerando que cada electrón del haz tiene su propio instante 
inicial y que el parámetro ¿o varía continuamente, obtenemos que 
las fórmulas (6) son las ecuaciones paramétricas de la curva que 
describe el haz al encontrarse con la pantalla. No es difícil ver 
que esta curva es una elipse. • 
M Solución. La ecuación de movimiento de un oscilador armónico 
que no tiene carga eléctrica y no se encuentra en el campo 
magnético tiene la forma 
mr + fcr = 0, 
donde k > 0 y r es el vector de posición de la partícula de masa 
rn. Si el oscilador posee una carga eléctrica e y está situado en 
un campo magnético B = //oH, entonces sobre él actúa la fuerza 
de Lorentz f = e{io[r, Hj. De aquí, aplicando la segunda ley de 
Newton podemos construir la ecuación de movimiento 
mi + ki =s !¡Qe[i, HJ. (1) 
Dirigiendo el eje Oz paralelamente al campo magnético H podt 
mos escribir la ecuación vectorial (1) en forma escalar 
mx + kx — efjLQyH, my + ky — — epL^xH f mz + kz = 0. 
De la tercera ecuación, hallamos 
k 
z = C COS (u>0t -f <p), üJo = 
v m 
donde C y tp son constantes arbitrarias. Resolvamos el sistema 
compuesto de las dos primeras ecuaciones mediante el método 
de Euler Haciendo x = Aext, y = Bext, obtenemos la ecuación 
característica 
mA + & —efioHX 
efioXH mX -f k 
= 0, 
a partir de la cual obtenemos que (uq - w2)2 = u 2 u ) 2 n , donde 
u>2 = -X2, u>h = 6^ • Resolviendo esta última ecuación, 
m 
hallamos 
/ 1 2 , 2 , &H 
<*>i¿ = y h +M> ± - y , 
Aj = X2 — ~iu>i, 
A3 ™ ¿0̂ 2/ A4 = ~ÍU2' 
Por tanto, las soluciones particulares tienen la forma 
xk = Akeht, yk = BkeXkt, k = 1,2,3,4. 
Las relaciones existentes entre los coeficientes Ak y Bk quedan 
determinadas por las ecuaciones 
Ak (Ajb 4- Wq) = XkuHBk, (1) 
por consiguiente, 
A X k U } H P Ak = Bkf 
donde Bk son constantes arbitrarias. 
De esta Horma, la solución general del sistema es 
* = -«o - wf 
« r t * + t 2 
m -
+ l í ^ B ^ -
u>¡ / . 2 w2 
y = + B2e~iU}'t + B3e'ÍW2t + B*e 
z — C COS (u>ot -+- if). 
2 2 U)Q — Lüj 
«'«jí -t(J2t 
Solución. La energía cinética de la partícula es 
K - y(x2 + y2 + z2), o bien K = ~(r2ip2 + z2) 
si se toma en consideración que x = r cos <p(t), y = r sen <p(t). 
La energía potencial se determina por la fórmula U = mgz. Por 
consiguiente, la función de Lagrange L para la partícula es 
L = K - U 
771 
(r2<p2 + z2) - m.gz. ,2 (1) 
Para escribir las ecuaciones de movimiento de la partícula utili-
zaremos la ecuación de Lagrange 
ddLdL 
dt dqi dq¿ ' 
donde L es la función de Lagrange, qi son las coordenadas 
generalizadas, cuyo número es igual ai número de grados de 
libertad del sistema físico, y F.t son las fuerzas externas. En el 
caso dado F¡ = 0, q\ = tp y q2 — z. Por tanto, a partir de (1) 
obtenemos 
dL dL 2 — mr (p, 
dL 
dqi dtp 
dL OL 
dq2 dz 
— mz, 
d<p 
dL 
dz 
0, 
= ~mg 
Sistemas lineales l 
: • ' • • -i i-'"-1'! • • • :• •• •• •>• ir..' • ' í." i ••'• ;: í •• :v •{••'••" I; i-A, íjÍ; -.fc' •'."•''ft/ 
• i • n h n i i " • • ! • . . •: r • IVt 
Utilizando la igualdad (2), hallamos las dos ecuaciones diferen-
ciales siguientes: 
2... inr (p = 0, mz + mg — 0. 
Integrándolas, obtenemos 
tp-Cit + C^ gt + C4 + C 4, 
donde C¿ —const. Para determinar C¿ recurrimos a las condiciones 
iniciales 
x 
y 
í=0 
t-o 
t=0 
r sen <poip i-o 0; 
r eos ipotp | í = 0= rip ||=0= vq eos a; 
f=0 ~ s e n a -
De aquí hallamos sin dificultad que 
C2 = 0, Ct eos a, C4 = 0, C3 = vq sen a. 
Finalmente, sustituyendo los valores de C¡ en las expresiones 
de <p y z y utilizando las fórmulas x — r eos <p, y — r sen tp, 
obtenemos las ecuaciones de movimiento 
vQt \ x = r eos l — eos a J, 
»01 y — r sen 1 — eos ct \ 
gt + vqÍ sen a. 
• . í . 1 I T J| • "í. Vi 
" \ v ! 
mmm 
ÉIÉÍIÍI 
J. V.' -1 •' 
ffíVvI;ifJTt'íú.̂ fr.ív-1ó:: íi/>,v. ,1 ̂ .:•.J ••.'•: i¡>• L_. ¡-. 1 
•< Solución. Sean (p\, (p2 los ángulos de inclinación de los péndulos 
respecto a la vertical. Entonces Ja energía cinética del sistema de 
los dos péndulos (despreciamos la energía cinética del resorte) es 
fm / 2 2\ 
La energía potencial del sistema es igual a la suma de las energías 
potenciales de los tres cuerpos: los dos péndulos y el resorte. La 
energía potencial de los péndulos es 
Ui — mgl( 1 — cos^i) + rngl(l - cos <p2), 
mientras que la energía potencial del resorte es 
k 
U2 = ~a2(sen ifi - sen <p2) . 
JÍ» 
De esta forma, la función de Lagrange de todo el sistema es 
l 2 m 
K-U (<p\ + <pV) - mgl{2 - cos <pi - cos tp2) -
k 2 \2 - —a (sen <pi - sen <p2) . 
Empleando la ecuación de Lagrange, obtenemos 
ml2(pi + mgl sen <pi + fea2(sen (pi - sen ^2) eos <pi ~ 0, 
mi (p2 4- mgl sen <p2 - ka2{sen - sen (p2) cos (p2 = 0. 
Supongamos que los ángulos ipi, <p2 son pequeños, es decir, ipj, 
<P2, <PI<P2 se pueden despreciar. Entonces, a partir de (1) podemos 
obtener las denominadas ecuaciones linealizadas 
(pi + p<pi - rip2 = 0, 
(1) 
(f>2 + p<p2 - r<Pl = 
(2) 
V 
g ka_ 
l mi2' 
r ~ 
ka2 
mi2' 
Las soluciones particulares del sistema linealizado se buscan 
mediante el método de Euler haciendo <PI = AIEXT, <P2 = A2exK 
Entonces, a partir de (2) obtenemos la ecuación característica de 
las frecuencias 
A2 + V ~ r 
-7• A2 + p 
= 0. 
Resolviéndola hallamos que = donde 
U) 1 = 
g 2ka¿ 
l^mt' U>2 — 
Aquí w\ y w2 son las frecuencias de las oscilaciones pequeñas 
del sistema de péndulos. Construyamos ahora el sistema de 
soluciones particulares: 
V11 = ¿iieíwií 
¥>13 = W 2 ' 
tp2i - A2 
<p23 = A23é"2\ 
—i(i?\t tpn = 
Vi4 = Aue~iW2Í, 
fu = A24e~ttJzt 
Las relaciones existentes entre los coeficientes Aij,Bjj quedan 
determinadas por las igualdades 
Aij (p - - rA2j = 0, k = 1,2; 
A\j (p - u>|) - rA2j = 0, k = 3,4. 
Por consiguiente, A\j = —A2j, k = 1,2 y A^ = A2j, j = 3,4. 
De esta manera, la solución general del sistema (2) tiene la forma 
<Pl = CieiWlf + C2e~iuii + C$eiUlt + Q e " ^ , 
<p2 = -Cjé^ - C2e~iWlt + C3eiU2t + 
(3) 
Conforme a las condiciones iniciales, <p2 f_0= <p2 t-Q o, 1-0= ^ 
, 1 
V7i|í=o= Voí P o r tanto, C\ — C2 = C3 = C4 — -^o- Sustitu-
yendo en (3) los valores obtenidos para las constantes hallamos 
finalmente que 
<P 1 
<Po (eos 1 + COS ¥>0 (coS W2í - COStt/!¿). 
íc >;2í > SK; i'̂ íft&iHmMMXMm 
(1) 
Solución. Sean longitud del soporte en estado libre,x la 
abscisa del cuerpo de masa M, (xm, yrn) las coordenadas del 
cuerpo de masa m y <p el ángulo de inclinación de la masa m 
respecto a la vertical. Entonces la energía cinética del sistema es 
ra , 2 2 \ M 2 * = y + + 
y la energía potencial 
Id 2 
u — —{35 - XQ) + l m g ( 1 ~ COS (p). 
Por tanto, la función de Lagrange es 
m , -> 7, M ? 
L = K-U = -(*l+yl) 4- y ¿ 2 -
— — — íCq)2 - lmg(l - eos y?). 
Pero ícm = cc + / sen <p, ym = l cos y?. Por consiguiente, 
xm — rx + <pl cos ip, ym = ~(pl sen cp. (2) 
Sustituyendo (2) en (1), hallamos 
777 / 2 2 2 \ ^ 2 ^ 2 
L = —+2£(pl eos ip )-\ ± — ( x — x 0 ) - lmg(l - eos ip). 
. B a d i l 
Construyamos las ecuaciones de Lagrange: 
(M 4- m)x 4- mi (y? cos tp - (p sen ip) + k{x — x0) — 
m (xl cos ip 4- l <p) 4- mg/ sen y? = 0. 
Considerando que el ángulo l^j y la diferencia - a?ol 
pequeños, linealizamos el sistema (3): 
(M 4- m)x 4 ml<p + Aí(a? ~ a,*o) = 0, x 4- hp 4- g<p = 0. 
Busquemos las soluciones particulares de este sistema en la forma 
X = a?o + Ae™1, ip = BeluK Entonces, respecto a w obtendremos 
la ecuación característica de las frecuencias 
.2 . 7. :| 
= 0, 
-{M 4- m)ur 4- fc -mlw 
~{j)2 -lw2 + g 
o bien 
4 / f e + 2 Atf u - — 4- w 4- — = 0. 
\M l M ) MI 
Proponemos al lector resolver esta ecuación y analizarla. • 
•flUBHjeiSSt-H;: *'>:'. ',: ' 
A Solución. Por definición, tenemos 
eA = E + A ~ - k - . . . + ... . (1) 
A continuación calculamos 
2 ( COS 21 sen 21 \ 
- sen 21 eos 2t J 
(2) 
n _ . eos n¿ sen nt \ 
— sen nt eos nt J ' 
eA = 
Sustituyendo (2) en (1), obtenemos 
( \ + cos¿ + ~ cos2£ + . . , sen¿ + — sen2í + . . . \ 
A * ¿ • 
1 1 
\ ™sení sen2£ —... l+cos¿H—cos2í + . . . / 
\ 2! 2! / 
<3> 
Dado que emt = cosnt 4- i sennt, entonces eos ni = Reemí , 
sen nt == Im e%nt. Por tanto, 
1 / ... e2it it 
l + c o s ¿ + ™cos2f + . . . =Re + eü + — + . . . 1 =Re ee = 
= Re e cos í+ísení = ecosícos (sen t), 
sení + — sen2£ + . . . — Im ( é* + ™e2íí + . . . ] = 
2! V 2! 
= Im (e£lt - l) = 
= e sen(sen¿) 
Utilizando estas expresiones, a partir de (3) obtenemos finalmente 
A_f eos (sen í) sen(sení) Y cosf 
— sen(sen i) eos (sen t) J 
:»: ÍÍ ¡assí jísísinsíiaisatf» 
§2. Sistemas no lineales 
2.1. Sistemas normales de ecuaciones 
diferenciales. Método de eliminación 
El sistema de ecuaciones diferenciales de la forma 
donde /(> i = 1, n son funciones conocidas (segundo miembro del 
sistema) se denomina sistema normal de ecuaciones diferenciales. 
Existen dos métodos fundamentales de integración del sis-
tema (1). El primer método, denominado método de eliminación, 
se basa en la reducción del sistema (1) a una ecuación de n-ésimo 
orden o a una ecuación de m-ésimo (m < n) orden y un sistema 
de m ecuaciones independientes. Tal reducción se logra mediante 
la diferenciación de una de las ecuaciones del sistema (1) y el em-
pleo posterior de todas las ecuaciones del sistema. Por lo general 
hay que diferenciar n - 1 veces, pero existen casos en que es sufi-
ciente diferenciar m (m < n— 1) veces. Como resultado obtenemos 
cierto número k de identidades, a partir de las cuales, excluyendo 
k — 1 variables, obtenemos una ecuación diferencial respecto a 
una sola función desconocida. Si se logra integrar esa ecuación, 
entonces las demás funciones desconocidas se pueden hallar 
mediante diferenciaciones u operaciones algebraicas elementales. 
2.2. Selección de las combinaciones integrables 
El segundo método consiste en la selección de las llamadas 
combinaciones integrables. Se denomina combinación integrable 
toda ecuación diferencial que se obtenga a partir del sistema de 
ecuaciones (1) y que se integre en cuadraturas; por ejemplo, que 
tenga la forma 
xlf x2,..., = 0, (2) 
donde x¡ = xt(l) (i = 1, n) son las soluciones del sistema (1). La 
función (¿, X[(t), x2{t),.. . xn(¿)) — C, la cual es idénticamente 
igual a una constante al sustituir en ella las soluciones x.¿ ~ 
x¡(t) {i — 1 ,n) del sistema (I), se denomina primera integral del 
sistema (1). Si se tienen k primeras integrales independientes 
{t, Xu / • - , — Cu 
Xu x2,..., xn) — C2, ^ 
®k{t, Xu #2/ — r Xn) k ^ n 
entonces k funciones desconocidas del sistema (3) se pueden 
expresar mediante el resto. Sustituyendo esas funciones en el 
sistema (1) llegamos al problema de la integración de un sistema 
de ecuaciones con un número menor de incógnitas. En particular, 
si k = n, todas las funciones desconocidas se determinan a partir 
del sistema de integrales (3). La forma analítica para verificar la 
independencia de las integrales tiene la forma 
ff*"*» # 0, (4) 
donde X j^x^, . . * fXjh son cualesquiera fe funciones entre todas 
las desconocidas. 
Algunas veces la búsqueda de las combinaciones integra-
bles se facilita si se utiliza la denominada representación simétrica 
del sistema de ecuaciones (1): 
dx\ dx2 
ipl{t, Xu • • , xn) <p2{t, Xu x2,..., Xn) 
dxn dt 
ipn(t, Xu • . - / xn) <Po{t, Xu X2/ . - . , xn) 
donde 
, (5) 
Vi = <Po fú i = 1/ 
Nótese, finalmente, que todo lo dicho anteriormente res-
pecto a ios sistemas no lineales también se aplica a los sistemas 
lineales escritos en forma normal. 
^ Las integrales se denominan integrales independientes si entre las funcio-
nes <3>f, i = 1, k no existe ninguna ligadura de la forma $2/ • - - ^fc) — 
Integrar los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales: 
Solución. Primer método. Escribiendo el sistema en la forma 
dx dy dz ^ 
x - y x -f y z 
obtenemos 
dx dy dz 
H~x~y' Tt=x + y' dF = 2' (1) 
La tercera ecuación del sistema (1) se integra independientemente 
de las restantes y su solución general es z = C3e¿. A las dos 
primeras ecuaciones aplicamos el método de eliminación, de 
donde obtenemos 
dx 
y = x , x~2x + 2x=:0. (2) 
dt 
Integrando esta última ecuación, hallamos 
x — (Ci sen t + C2 cos t)é. 
Sustituyendo esta expresión de x en la primera ecuación de (2), 
obtenemos 
y = (C2 sen í - C\ cos t)é. 
Si queremos obtener una solución que no contenga el parámetro t, 
debemos excluirlo de las expresiones de x,y,z. Como resultado 
obtenemos 
í z i z x = C\ sen ln V C2 cos ln 
\ C-3 C3 / C3' 
z z 
y — \ C2 sen ln —-— Ci cos ln 
C3 C3 J C% 
De aquí, sumando miembro a miembro los cuadrados de estas 
expresiones, obtenemos una primera integral 
x2 + y2 -
= Cu (3) 
^ ^ ^ " ^ • « f f i i a i s s i a s 
mientras que si las dividimos miembro a miembro, después de 
una serie de transformaciones tendremos 
l = tg (ln ¿ - a ) , 
X 
Ci c 2 
sen a = —, eos a 
y/<% + <%' VC¡ + C¡' 
o bien 
ze«c*(v/*) = c2. (4) 
Evidentemente, las integrales (3) y (4) son independientes. 
Segundo método. Primero integramos la ecuación 
dx dy 
x - y x + y 
dr 
Al pasar a coordenadas polares obtenemos la ecuación — = r, 
dtp 
de donde se deduce que r — C\e9. Utilizando esta igualdad 
d y d z 
llevamos la ecuación = — a la forma 
x + y z 
dz 
— — d<p. 
z 
Integrando, hallamos 
z = C2e*. 
No es difícil comprobar que las integrales obtenidas se deducen 
de las integrales (3) y (4). • 
Solución. Recurriendo a las propiedades de las proporciones, 
obtenemos 
dx + dy + dz + du du 
(y — u) + (z — x) + (u — y) + {x — z) 
x dx 4- y dy + z dz + udu 
x(y — u) 4 - y{z — x) 4 - z(u — y) 4 - u(x — z) 
dx dz 
{y - u) 4- (u ~ y) 
X ~ z 
du 
X ~ z 
du 
x — z 
0 ) 
(2) 
(3) 
A partir de la relación (1), obtenemos 
d(x + y + z + u) — 0. 
De la ecuación (2), encontramos 
(4) 
2 2 2 2 x y z u 
d\ ~ + ™ + — -f — 
2 2 2 2 
0. (5) 
La relación (3) nos proporciona una combinación integrable más: 
d(x + z) = 0. (6) 
Integrando (4), (5) y (6), hallamos 
x + y + z + u~ Ci, 
x2 + y2 + z2 + u2 = C2, 
x + z = C3. 
Estas funciones son primeras integrales del sistema inicial. Dado 
que éstas son independientes y su número coincide con el número 
de ecuaciones del sistema inicial, hemos obtenido todas las 
integrales. • 
M Solución. A partir de la ecuación 
dificultad ln Ja?| = ln \y\ + ln C\, o bien 
x 
dx 
x 
dy 
y 
hallamos sin 
y 
= ch 
Ésta es una primera integral. Ahora, tomandoen consideración 
que x~C\y, resolvemos la ecuación 
dy dz 
V xy + z 
de donde obtenemos 
dy 
y 
dz 
Cxy2 + 2 
, o bien 
dz z 
= C,y. dy y 
* Í * * i<i / < < ' • 1 ' >' < >s <* \: . 5 W. .IT . . 
Integrando esta ecuación lineal no homogénea de primer orden, 
obtenemos 
z = C\V2 + Ciy, o bien z = xy + C2y. 
Por tanto/ tenemos dos primeras integrales 
x z 
— = C\, X ~ Cj. 
y y 
Dado que éstas son independientes y su número es igual al número 
de ecuaciones del sistema analizado podemos concluir que no 
existen otras integrales que no dependan de las obtenidas. • 
Solución. Sirviéndonos de las propiedades de las proporciones, 
tenemos 
dx z dy + y dz 
~ z ~—, o bien dx — d(zy)f zl - y¿ 
Ci. Obtenemos otra primera integral a partir 
dz 
z2 - y1 
de donde x — zy -
dy 
de la ecuación — 
Por consiguiente, 
y 
y dy + z dz = 0. 
y2 + z2 = C2. 
Solución. Utilizando la última igualdad del sistema, hallamos 
ydy + zdz = ™ d(y2 + z2) = Q, 
de donde se deduce que y2 + z2 = C\ es una primera integral 
Si hacemos y = C\ sen <p, z = C\ eos ipr entonces a partir de la 
primera igualdad del sistema dado obtenemos 
dx sen tp + eos <p 
= {fon 
x eos ip — sen tp 
sai i&fflM&mmBNmm 
Integrando esta ecuación, hallamos 
o bien 
ln — - ln |cos <p - sen (p\ -f ln C2, 
C 
x = 
c , c : 
cos (p - sen <p y 
. x(z - y) ~ C2. 
Solución. Conforme a las propiedades de las proporciones 
dx + dz dy 
— 2 = ~ •/ d(x~y + z) = 0, 
x(z - y) + y- - xz y{y - x) 
de donde hallamos una primera integral 
x - y + z = Ci. 
Sustituyendo la expresión 2 — C\ - x + y en la primera igualdad 
del sistema dado, obtenemos 
dx dy 
x(Ci - x) y(y - x)' 
o bien 
V + 
y y 
C\ - x x{C\ - t ) 
Ésta es una ecuación de Bernoulli. Su solución general es 
_ -LZ£¿ 
y ~ taW+<4" 
Utilizando la primera integral hallada, excluimos la constante C\ 
de la expresión anterior De esta manera, obtenemos otra primera 
integral 
z 
1 in\x\ = C2. • 
y 
< Solución. Utilizando las propiedades de las proporciones, obte-
nemos 
x dx + y dy dz 
xz(y2 - z2) - ^(a?2 + z2) ¿(a;2 + y2)' 
de donde 
d(x2 + y2 + ¿2) = 0. 
Integrado esta ecuación, hallamos una primera integral 
X2 + y2 + Z2 - cx. 
Utilizando esta expresión, podemos escribir la última ecuación 
del sistema dado en la forma 
dy dz 
+ ~rr rr = 0. 
y(Cx - y1) z(C\ - z2) 
Integrando, obtenemos otra primera integral 
ln , M = C 2 , 
VIC, - y l|Ci - *21 
o bien 
2 2 y z 
= Q 
{x2 + z2){x2 + y2) 
(la constante C\ fue excluida utilizando la primera integral hallada 
anteriormente). 
La integral obtenida se puede simplificar de la siguiente 
manera: 
2 2 2 /2 
xA + x2{C\ - x2) + z2y2 
. 2 2 C1C2 2 
= > y Z = -—~X 
9 1 - C 2 
>yz = C2x, 
donde C2 es una constante arbitraria nueva- • 
Nota. La última integral se obtiene directamente si logramos "notar" que 
xy dz + xz dy — yz dx dz 
xyz(x2 + y2) - xyz{x2 + z2) - xyz(y2 - z2) z{x2 + y1)' 
De aquí se deduce que d — = 0, o bien 
^ X f X 
yz 
^ Solución, Sustituyendo en la primera ecuación del sistema la 
dy 
expresión x — 2y~ que se obtiene a partir de la segunda 
u L 
ecuación, hallamos 
De aquí llegamos a que 
y2 = C\ e + C2e~l - — sen t. 
2 
Por tanto, 
s = ^(y2) = C\é -C2e 4 - ]- cosí. • 
-4 Solución. De ¿a segunda ecuación se deduce que % 2 ) dt x 
Dividiendo miembro a miembro esta ecuación por la primera 
ecuación del sistema, obtenemos una ecuación lineal respecto a la 
función t ^ y 2. 
d(y2) y2 
— = a. 
dx x 
La solución general es 
y — C\x - ax ln |íc|. 
Sustituyendo la expresión anterior en la primera ecuación del 
sistema, resulta 
dx 1 
dt x(C\ - a - a ln ¡at¡)' 
dt ~ x(C] - a — a ln |ar|) dx, 
" W H - 1 ••. . K • H-". • ' 
de donde 
t= / »(Ci a a ln |®|) dx + C2 — 
~(Ci - a)¡B: 
o £C 
a 
(2a;2 ln \x\ - x2) + C2 = 
= — (2Ci - a - 2a ln |®|) + C2. 
Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, tenemos 
.2 d(y2) y 
= 2a; + 1 -
dx x 2' 
de donde 
y2 = Cxé¡x + e1/íC f (2x + l)e'l/x dx = Cxejx + a2. 
a 
Sustituyendo la expresión de y en la primera ecuación 
sistema, hallamos 
dt = (2x3 - C^*) dx, 
de donde, integrando, resulta 
del 
t + C2 
x 
-Cif e1'* da?. 
^ Solución. Haciendo u — —, v = , llegamos al sistema 
dt dt 
x — tu + f(u, v), y = tv + v). 
Diferenciando respecto a t ambos miembros de las últimas igual-
dades y considerando que u = x y v = y, obtenemos 
üqu +v(t + qv) = 0. 
De aquí se llega a dos casos: o bien ú = v = 0, o bien 
' " fu fv _ n 
i i , i — u. <lu t + gv 
En el primero caso tenemos u — Q, v = C¿. Por consiguiente, 
x = C\t 4- f(C\, C2), 
y = C2t + q(CuC2) 
es una solución general del sistema analizado. En el segundo 
caso son posibles otras soluciones, Proponemos al lector intentar 
hallarlas. • 
Solución. Empleando el método de eliminación, obtenemos 
dz y + 2z ~ 1 2 
— = 2-1-1. 
dy y - 1 y - 1 
Por tanto, z — C\(y — 1) — y 4- 1. Sustituyendo esta expresión 
de z en la primera ecuación del sistema y separando las variables, 
hallamos 
dx dy 
V = - 1 ) - 1x1/ - 1 ) " 
Integrando, obtenemos 
ln - ln |Cifo - 1) - lí - ln ¡y - 1| + ln C2, 
o bien _ 
1 \ x + Ci 
a l => y = — ( 1 ) X 
y-lj " x + C2 
Sustituyendo (1) en la expresión de 2;, hallamos finalmente 
C2 ~ C\ 
Z - • 
(X + C2)2 
• • • • Ífi.v • i: íV • • • - i! j J , /• \i¡*l'tfíI{wt i S1 
2 z z " - Z ' 2 - 1 
Solución, Sustituimos en la primera ecuación del sistema dado 
la expresión y — zf - z obtenida a partir de la segunda ecuación. 
Tenemos: 
0. 
Esta ecuación no contiene la variable independiente de forma 
explícita, por lo que podemos reducir su orden haciendo z! rr pt 
dp 
Entonces zn = p — , y la ecuación toma la forma 
dz 
2 zp— -p2- 1 = 0, 
dz 
Separando las variables e integrando, obtenemos 
z dz 
P = ± - i , - 1 . Ci dx V Ci 
Integrando la segunda ecuación, después de una serie de trans-
formaciones simples llegamos a que 
Ci 4- + C2)2, 4CI 
por consiguiente, 
y — z — z — 
2Ci 
(® + C 2 ) - — ( ® + C 2 ) 2 - C i . 4Ci 
B Para los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales y las 
funciones indicadas, determinar si las expresiones tp — C 
son primeras integrales de dichos sistemas: 
< Solución. 
d_ 
di 
d Dado que (PI = C\, entonces —{<P\) = 0. Por tanto, 
dt 
(a; ln y — xy) = 0, o bien 
xy 2 
x ln y H 2xxy - x y = 0. 
y 
Sustituyendo en la identidad anterior las expresiones de x e y, 
obtenemos 
xy ln y + — (x2 + y2) - 3x2y2 - a;4 = 0. 
y 
Como vemos, la identidad obtenida no se cumple; por tanto, la 
igualdad ip\ — Ci no es una integral de la ecuación dada, 
d 
Comprobamos la segunda integral. Tenemos — = 0, dt 
o bien 
d (y2 \ lyyx2 - Ixxy2 2x 
De aquí, utilizando las ecuaciones del sistema dado, obtenemos 
xy(x + y ) ~ xy — x y = 0, x ^ 0. 
Esto último significa que la expresión <pi — Ci es una primera 
integral del sistema inicial. • 
•< Solución. Como tp = C, tenemos 
d{yz - ux) = 0, o bien y dz + z dy - u dx - x du = 0. (1) 
A partir de las ecuaciones del sistema hallamos 
y X U 
dx = — du, dy — — du, dz — — du. (2) 
z z z 
Sustituyendo (2) en {!), tenemos 
- I +z\ - \ - u\ - - -x \ du = 0. 
Es evidente que esta última identidad es cierta. Por esta razón, la 
expresión ip — C realmente es una primera integral del sistema 
analizado. • 
< Solución. Verifiquemos que las expresiones dadas son realmente 
integrales. Tenemos: 
® + (z ~ y) dx + (a? + z) dy - (x + y) dz d 
x + z / (x + z)' 
X 
Sustituyendo en la igualdad anterior las expresiones dx — dz, 
y dy — — dz, obtenemos 
z 
\x + zj (x + z)2 
z — y 
Análogamente establecemos que = C2 es una integral. 
x + y 
Comprobemos ahora su independencia. Por ejemplo, determine-
mos y = Ci(x + z) -xa partir de la primera ecuación del sistema, 
y sustituyamos esta expresión en la segunda ecuación. Obtenemos 
{x + z){ 1 - Cj - C&) = 0, 
o bien 
1 - Ci - CiC2 + 
x + y z — y 
Vemos que las funciones <pi = y <p2 = están x-\-z x + y 
relacionadas de la siguiente manera: 
1 - H>\ - V>i<p2 = 0, 
por consiguiente, las primeras integrales dadas no son indepen-
dientes. • 
Solución. Hagamosdx = ds cos <p, dy = ds sen <p. Entonces la 
segunda ecuación se transforma en una identidad, mientras que 
a partir de la primera se deduce 
s = x sen <p — y cos <p. (1) 
De aquí, diferenciando respecto a 9?, hallamos 
ds í ds (dx dy \ 
( — sen fp ——• eos <p = 0 \dip\ds ds J 
(2) 
dtp 
x cos <p + y sen <p 
Partiendo de (1) y (2), obtenemos 
ds 
x — s sen <p 4- cos <p, y = 
d(p 
ds 
dtp 
sen ip — & cos <p. (3) 
Sólo nos queda hallar $ — ${ip). Para esto es suficiente diferenciar 
la igualdad (2) respecto a y tomar en consideración las 
dx dy 
expresiones (1), (2) y las igualdades — = cos ip, —- = sen ip 
Efectuemos este procedimiento: 
d2s dx dy 
— - — — eos (p + -— sen <p — x sen (p + y cos (p = 
ds 
dtp1 d<p 
ds / dx 
d<p \ ds 
o bien 
d(p 
dy 
ds 
' — cos ip -1—— sen (p i — x sen tp + y cos ip 
ds 
dip 
r\ 
drs ds 
+ s = 0 . 
dip2 d(p 
Resolviendo esta ecuación y sustituyendo la expresión s 
sitp, C\f C2) en (3), hallamos 
x x(<p, Cu C2), y = y(<p, Cu C2j* 
< Solución. Haciendo 
dx — a cos tp dt, dy — a sen (p dt, 
a partir de la segunda ecuación del sistema obtenemos 
a 
dt — dip. 
b r 
Sustituyendo (2) en (1), hallamos 
„2 
dx = ± — cos ffyp/ «2/ & 
a 
± — sen y? 
í> 
Integrando estas expresiones, obtenemos 
2 2 a a 
x + C\ — ± — sen v?/ £ + C2 = T ~ eos 
& o 
a) 
(2) 
(3) 
Finalmente, integrando (2) y sustituyendo en (3), resulta 
(p = £ + C3, 
a 
a2 ( b 
x + Ci- ± — sen ±-t + C3 b \ a 
a2 ( b 
y + c2 = =F™ eos í ±-t + C3 1. • 
M Solución. Efectuando los cambios indicados, obtenemos 
dx £'r ~ 
X ~ dt~ 
y 
_ dy _ 
~ dt ~ 
, dz 
z ~Tt~ 
Tj'r — r'rf 
¿j- 2. 
C'r - T'C 
= x l í > l , < ) + í T ( í 1 < 
T T T / T \T r T 
y . í , ^ n + í r f í ^ . í 
r r r T r 
T T T T / T \T T T 
De aquí hallamos 
£ = + r X + {¡T, 
f¡ — —i) + TY + (I) 
c' = — < + + C21. 
. ñas de equaciones diferenciales , 
I - . - . . T -
Como las funciones X,Y , Z son lineales, entonces las funciones 
í n i 
(L V, o ~ r X r r r 
a, % 0 
r¡, o ~ rZ (í 1 í ) 
\ t ' T* T J 
también son lineales. Por tanto, si en (1) hacemos 
1 <\ " I t / r 
T \T T T / 
los segundos miembros del sistema (1) serán funciones lineales 
respecto a las variables 17, C/T- De este modo, el sistema de 
ecuaciones 
= TX, rf = tY, = t t , ? = - r Z 1 
es lineal y homogéneo. • 
(2) 
Resolver los siguientes sistemas utilizando el método de 
Hesse: 
< Solución. Dado que en este ejemplo X = y , Y = x , Z 
T ~ z, entonces 
_ £ 
/ 
T 
= C 
r 
x , 
Z 
i V 
í ) 1 = 2 f 
T r r ) T 
'1 1 í ) I = Í 
T' r f T T T 
Por consiguiente, el sistema (2) del ejemplo anterior adopta )a 
forma 
d i dr} d( dr 
dt = = V ' d i = ^ ' dt. = (l) 
A partir de las dos primeras ecuaciones de este sistema hallamos 
£ s= C\é + C2e't/ 7} Cié - C2c 
-L 
Tomando en consideración estas últimas expresiones, de la tercera 
ecuación de (1) obtenemos 
( = Cté ~ C2e-1 + C3. 
* S 
Integrando la última ecuación de (1), hallamos 
T = -Cié ~ C2e~1 ~ C3t + C4. 
Finalmente, regresando a las variables x,y,z, resulta 
é 4- kie~* 
x — 
-e: kie 1 — k2t 4-
t 
y 
kie -t 
é — kie * — k2t-\-k3 
é - kie 1 + k2 -t z = 
h = 
-e 
C2 
t Aie-' fe, = 
Ci' 
k2t 4- k3' 
fa = 
i 
Solución. Al igual que en el ejemplo anterior tenemos X 
Y — zt Z = y, T — x 4- y. Por consiguiente, 
= x, 
X í 2 í > t 
T r T 
= í r 
T 
í 1 í / / 
T T T 
z |í r r r 
T ( W 
T \ T T r 
< 
/ T 
í + 17 
Conforme al ej. 52 escribimos 
= = C C' =»?/ = 
A partir de la primera ecuación obtenemos 
V 
t 
í - C,e\ 
Del sistema compuesto de la segunda y tercera ecuaciones se 
deduce 
V = C2é + C3e~\ C = - C3e_í , 
:.-.•::• :•:•••: * •• ••• ••-•• •••:• x;:.\ t.H"T1.1 J.1.1.-1.1. J-J I '.U J. I_U -
mientras que de la cuarta ecuación hallamos 
r = -(Ci +C2)e í + C3e"< + C4. 
De esta manera, la solución general del sistema dado es 
C\é 
x = 
y 
z = 
- (C 1 + C2)eí + C3e- í + C4 / 
C2é + C3e"' 
- ( C 1 + C 2 ) e ' + C3e-Í + C4 / 
C2e' - C3e_í 
(Ct + C2)e' + Cge"4 + C4 -t 
< Solución. Según la definición de línea de corriente, v |j dr, 
dt = {dx, dy, dz). Por consiguiente, 
dx dy dz 
VX Vy VZ 
o bien, considerando las expresiones para vx, vy, vz, 
dx dy dz 
y(y2 - x2y) y(x2 + xy2 + 1) z{x2 + y2x + 1)' 
Como la expresión (yx2 - y2) dy + (x2 + xy2 + 1) dx es una dife-
rencial total, a partir de la primera ecuación fácilmente hallamos 
una primera integral 
2(x3 - y3) + 3x2y2 + 6® = Cj. 
y De la segunda ecuación se obtiene que - = C2. De este modo, 
las líneas de corriente constituyen las curvas de intersección de 
dos familias uniparamétricas de superficies en el espacio Oxyz: 
2(x3 - y3) + 3x2y2 + 6x~Clf y = C2z. 
Solución. Partimos de que la tangente a la línea de fuerza es 
colineal al vector E, es decir, E ]| dr, donde r es el vector de 
posición de la línea de fuerza. Por consiguiente, 
dx dy 
Ex Ey 
o bi en 
dx dy 
x y ' 
Integrando la segunda ecuación, obtenemos que y = C\X, De 
esta manera, las líneas de fuerza son semirrectas que parten dol 
origen de coordenadas (x2 + y2 i=. 0). • 
Solución. En todo punto de una línea de fuerza se debe cumplir 
la condición B || dt. Por consiguiente, 
dx dy 
Bx B y 
o bien 
dx 
y 
dy 
2x 
Integrando la segunda ecuación, obtenemos 2x + y = C2. Por 
tanto, las líneas de fuerza del campo magnético son elipses. • 
Ejercicios 
Hallar las soluciones generales de los sistemas de ecuaciones siguientes: 
dx dy 
2, x=x + y + zf y = x-y+2z, z — x^y-lz, 
3, x — x — 3yt y — 4tt + 5y, 
4, x + y + x + 3y + x - 2y = 0, x - 3t/ + 5x + Sy + 6x - 4y -
:.:• ; :••.• •'; " . N T . M :.H M L L L I * P É R I M T I I W M 
Hallar las soluciones generales de los sistemas siguientes utilizando el método d 
los coeficientes indeterminados: 
0 ° \ = 0, 
y — % ffge?; 
y eo\ 
Hallar las soluciones particulares de los siguientes sistemas: 
dy dz x 2jr 9. 3 ~- + Sy - 6z = x + sen x, -+6y-5z~ex + dx dX 
&2u dxz « 
XO. —r + y + z = x sen X/ — - - 6t/ - = x + a: : aar dx1 
Hallar las soluciones generales de los sistemas siguientes: 
Reducir las ecuaciones siguientes a sistemas con coeficientes constantes y halla 
las soluciones generales de las mismas: 
3 J } # + (? Jjjr-í. 
14. a; 2 XA / . 1 3 0 -5 ¡y ( —3 -1 
15. ar3 - 1 1 0 + a?2 - 2 3 0 y = 0. 
sen" x 16. (3x +1) ( 17 ~ } y " + (3a: + I) ^ ^ ^ 
/ 0 1 3 
17. (4¡c+5)3 | - 1 2 3 Jy"' + (4a:+5)2{ 0 - 4 5 jy"+(4z+5) j - 2 2 3 )y '=0 
- 2 3 1 / \—3 I i / \ 0 1 4 . 
ffiMÜSH» Sí 
Kosotver los problemas siguientes: 
»«• ¡tf - ¡fe = s , y'i + 16y, = X2, 0 < X < +00, lim (yli2(x)e~x/2) = O, j/,(0) - I, 
!te(0) = 0. 
19. x2y" + a;t/2 + = O, + +3i/2=0, 1 < x < +oo, ^(1) = O, y2(1) = I, 
~ 0{xx¡e), x —*• +oo. 
Integrar los siguientes sistemas no lineales: 
• j Üí 
20. y ' = - , Z' = . 
z y 
21 .y' = y2z, z' — yz2. 
, x 
22.yf = z, zf^-(y + z). 
y 
Obtener las primeras integrales de los sistemas siguientes: 
, f y2 
x x 
dx dy dz 24 — — — 
z2-y2 z y 
dx dy dz 
25. = 
26. 
x2 xy — 2 z1 xz 
dx dy dz 
2 y-z y 
Hallar las integrales generales de los siguientes sistemas: 
dx dy dz du 
27. — = = — = — . 
z u x y 
^ dx dy dz du 
x2 y3 z4 u5 + 
x2 xy — 2z2 xz 
Ecuaciones 
en derivadas parciales 
de primer orden 
§ 1. Ecuaciones lineales y cuasilineales 
11» Conceptos fundamentales 
Se denomina ecuación cuasilineaí en derivadas parciales de primer 
orden a toda ecuación del tipo 
E QZ 
Xi{xi, Xn, Z) —* = R{Xi ,X2,..., xn, z), (1) 
t=1 Ó X i 
donde X{, R son funciones conocidas y z — z{x\,x2í..., xn) es 
la función incógnita. Si R = 0 y las funciones Xi no dependen 
de z, la ecuación (1) se denomina ecuación lineal homogénea en 
derivadas parciales. 
1.2. Solución de la ecuación cuasilineal 
en derivadas parciales de primer orden 
Para resolver ía ecuación. (1) construimos el siguiente sistema de 
ecuaciones: 
dx i dx 2 dxn dz 
X\ X2 Xn R 
Integrando este sistema hallamos las n primeras integrales inde-
pendientes 
|,X2, ... ,Xn,z) = C\, 
ty2{xlfx2 ,...,xn,z) = C2, 
(3) 
f + + - t Xn/ z) — Cn-
La integral general de la ecuación (1)tiene la forma 
= (4) 
donde <í> es una función diferenciable arbitraria. Se considera 
que las funciones X¿ y R son diferenriables con continuidad y 
no se anulan simultáneamente en el dominio de las variables 
f X2/ » » - / Xfij Z• 
13. Problema de Cauchy 
En la práctica, a menudo se pide hallar la solución de la ecuación 
(1) bajo la condición inicial 
zlxjt̂ xw ~ 1/ • • • / ®Jt—1/ ' ' • / 
E1 esquema de resolución del problema de Cauchy es el siguiente. 
Fijemos en el sistema (3) la variable Xk. Obtenemos 
x2f..., X^i, XkQ, xk+\, ...,Xni(p) — C\, 
^2(^1/ • • • / 1/ • • • / xn, ip)~ C2, ^ 
^«(^1/^2/ • • • / a?fc-1/ZfcO/1/,xn,(p) = Cn. 
Eliminando en (5), de ser esto posible, las variables x^,x2,..., 
xk-v xk+ir • • - / xnr obtendremos la relación 
r(xk0f C i , c2,..., cn) = 0. j ó ) 
Sustituyendo C¿ en (6) por las expresiones de C¿ = i = 1, ra 
del sistema (3), hallamos 
T{xk0, = 0. (7) 
Algunas veces la condición inicial está dada en forma implícita: 
(pi(xux2,..., xn, z) — 0, ip2{xlt x2,...t xn, z) = 0. (8) 
En tal caso, excluyendo las variables X\, x2f..., xnt z, a partir de 
los sistemas (3) y (8) obtenemos la ecuación 
J(CV C2>..., C„) = 0. (9) 
Finalmente, sustituyendo en (9) los valores de las integrales de (3), 
resulta 
= (10) 
1*4. Ecuación de Pfaff 
Toda ecuación de la forma 
P(xf y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R{xf y, z) dz = 0 (11) 
se denomina ecuación de Pfaff. A ella se reduce el problema de la 
búsqueda de la familia de superficies u(x, y, js) = C ortogonales 
a las líneas vectoriales del campo F — (P(x, y, z), Q(x, y, z), 
R(xfy,z))f donde dx,dyfdz son las coordenadas de un vector 
perteneciente al plano tangente a las superficies buscadas. 
Si el campo F es potencial, es decir, 
du du du 
P — ——, Q ~ -—, R ~ -—, 
dx v dy dz 
entonces la superficie buscada U se halla con ayuda de la integral 
curvilínea 
u{x, y,z)~ J Pdx + Qdy + R dz. (12) 
Si el campo F no es potencial, en algunos casos se puede 
hallar un factor \i — fi(x, y, z) tal que el campo /¿F sea potencial. 
Por consiguiente, 
du du du 
= = Ty' Tz 
La igualdad (F, rot F) = 0 es la condición necesaria y suficiente 
de existencia de la familia de superficies ortogonales a las líneas 
vectoriales, Si esta condición se cumple, la ecuación (11) se 
puede integrar mediante un factor integrante o recurriendo al 
método siguiente. Consideramos que una de las variable de la 
ecuación (11) es constante e integramos el resto de la ecuación; 
la constante de integración obtenida se toma como una función 
incógnita dependiente de la variable anteriormente fijada y se 
escoge de manera tal que la integral satisfaga la ecuación (11). 
Si (F,rotF) = 0, se dice que la ecuación (11) se integra 
mediante una relación, En caso que (F, rotF) 0, la ecuación de 
Pfaff se integra mediante dos relaciones, es decir, no se buscan 
superficies ortogonales a las línea vectoriales del campo F, sino 
líneas que posean esa misma propiedad y que pertenezcan a la 
superficie dada u{xryfz) — 0. Excluyendo una de las variables 
de las ecuaciones (11) y u(x, y,z) — 0, obtenemos una ecuación 
diferencial ordinaria de primer orden-
E S B B B C f l M H t f t t K ( U H t a t K á f t f r 
Hallar la solución general (integral general) de las ecuaciones 
siguientes: 
Solución. Conforme a la fórmula (2), p. 1.1, construimos el 
sistema de ecuaciones 
dx _ dy _ dz_ 
x + 2y " ~y 0 
De la segunda ecuación obtenemos una primera integral z = C\. 
La primera ecuación y dx + (a + 2y) dy = 0 es una ecuación 
diferencial exacta. Por tanto, 
x y 
j y + J 2yi dyi = xy + y2 = C2. 
o o 
La integral general de la ecuación inicial tiene la forma (v. fórmu-
la (4), p. 1.1) 
xy + y2) = 0. 
Resolviendo esta última ecuación respecto a ¿ obtenemos ln 
solución general z = <p{xy + y2), donde <p es una función 
diferenciable arbitraria. • 
M Solución. Construimos el sistema de ecuaciones 
dx _ dy _ (I) 
x-z y-z 2z' 
(evidentemente, u = Cx es una primera integral) A partir del 
sistema (1) obtenemos dos combinaciones integrables: 
d{x + z) _dz_ d{y + z) _ dz 
x-vz " 2z' y + z 2z' 
U.v I • 
fii^É^^Éériváfifó parciales de primer.orden • í: - JP * / • 
. V •
 1 J
 - ":• • ;
 1
 * rl • • • 1 , ' ' 1 • • • 1
 H 
'••.ll.-ií-'lní. .. V I- ••••-... .-i J .
 1
 4".. • * • 
de donde hallamos dos primeras integrales independientes 
(a + *)2 „ (V + z ? n ~ C-2, — Vl-
z z 
De esta manera, la integral general tiene la forma 
( (x + z f (y + z f ) 
{ ' 5 1 J = 
De aquí se deduce la solución general 
/ (x + z)2 (y + zf 
u — ip 
\ z z 
(ip es una función diferencial arbitraria). • 
Solución. El sistema de ecuaciones es 
dx dy dz 
ex y- ye* 
De ta primera ecuación hallamos una primera integral 
1 e ' 
y 
de la segunda, tomando en cuenta la igualdad 
e * - 1 — 
1 - 3/Cj' 
resulta otra primera integral 
- x 
z ~ — Tf = C2-
€ x - y ¡ 
Así, la integral general de la ecuación dada tiene la Forma 
m i - e — X ln |w| - x 
y e 
y su solución general es 
ln \y\ ~ x 
—X y -1 
- z 0, 
1 
z = — — + - - e 
e x - y 1 \y 
dx dy dz 
Solución. Del sistema — r = = — - hallamos dos 
x¿ + y¿ 2 xy —z¿ 
2 
X X 
primeras integrales independientes y — C\ y —r r f 
y ñJC y 
1 
- = C2. Por consiguiente, la solución general tiene la forma z 
1 x í x2 — y2 
- = — z y¿ — x¿ \ y 
ÜÉ 
Solución. El sistema de ecuaciones 
dx 
xy 
dy dz 
~ = — propor-
x - 2z yz 
ciona dos integrales independientes — —C\ y 2x - y2 - 4z = C2. x 
Por tanto, la integral general de la ecuación dada es 
Solución. Hallemos las primeras integrales del sistema 
dx dy dz du 
* 
y -f z x + z x + y u 
A partir de aquí formamos tres combinaciones integrables: 
d(x ~ y) du d(x - z) du d(x + y + z) du 
y — x u ' z — x u / 2(x + y + z) u 
Integrándolas, obtenemos tres primeras integrales independientes: 
x + y + z 
u(x — y) — C\; u(x — z) — C2; — = CV 
u 
De este modo, la integral general de la ecuación dada tiene la 
forma 
^ ( , v / + y + 2 <P u{x - y), u{x - z), - | = 0. • 
V u-
<4 Solución. Al igual que el ejemplo anterior 
dx dy dz du 
u — x u - y -z x + y 
Basándonos en las propiedades de las proporciones obtenemos 
d(x - y) 
la combinación integrable 
dz 
— — t de donde resulta una x — y z 
primera integral 
combinación 
x — y 
= Cy. De forma análoga obtenemos la 
d(x 4-y 2u) dz 
o bien 
2 u — (x + y) + 2(x + y) 
d(x + y + 2u) dz 
2u + x + y z 
de donde, integrando,, hallamos la primera integral 
(x 4- y + 2 u)z = C2 . 
Sólo nos queda hallar una primera integral más. Para esto, 
utilizando la última integral, eliminamos la suma x -j y de la 
tercera ecuación del sistema. Así llegamos a la ecuación 
dz z du 
z 2uz ~ C2 
Integrando esta ecuación obtenemos la primera integral 
- 2 0 — + C3z2 3z 
u - x — y 
3z2 
= C3, 
y la integral general toma la forma 
x — y u — x $ t (x + y + 2u)z, r y = 0. 
« m n B L i u t V M d l i h i i c n : : : : : 
EB Hallar las soluciones de las ecuaciones siguientes, sujetas a 
las condiciones dadas: 
Solución. Conforme al p. 1.2, primero debemos hallar la solución 
dx dy 
general. De la ecuación — = hallamos la primera 
1 2ex - y 
integral yex — e2x = C. Por consiguiente, la solución general 
es z = ip (yex - e2x). Hallemos la función ip a partir de las 
condiciones iniciales. Tomando y — 1 = u, obtenemos que ip{u) ----
u + 1 . Por tanto, z = yex — e2x + 1 es la solución buscada. 
dx dy dz 
< Solucion. Del sistema de ecuaciones —- = — = — hallamos 
1 1 2 
dos primeras integrales independientes: x — y — C\ y 2x - z — Cj. 
Por tanto, la solución general tiene la forma u = (p(x — y, 2x — z). 
A partir de las condiciones iniciales tenemos yz = ip{ 1 - y, 2 - z). 
Tomando 1 — y = £ y 2-z = r), obtenemos la expresión 
para la función </?(£, rj) = (1 — £)(2 — jf) . De esta manera, u — 
(1 - x + y){2 - 2x + z) es la solución del problema. • 
< Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, tenemos 
dx dy dz 
x y xy' 
x 
De aquí obtenemos las primeras integrales — = Cj, xy - 2z = 
(x \ 
La solución general tiene la forma u ~ <p\ —,xy— 2z ]. 
\y / 
La función <p que satisface las condiciones iniciales se halla 
a partir de la ecuación 
x 
Tomando — 
V 
x2 + y1 = ipí~,xy 
xy = r/, obtenemos 
<P((, *!) = -+ tV-£ 
2z 
Por tanto, u = (x2 + y2) (l ). • 
xy 
Hallar la superficie que satisface la ecuación diferencial indi-
cada y que contiene la línea dada: 
Solución. Comencemos por hallar las primeras integrales del 
dx dy dz 
sistema 
x - 2 y 
que yx2 = Cx y ~ -
general tiene la forma 
- De aquí obtenemos sin dificultad 
xL -Yy1 
y — z — Por consiguiente, la solución 
x2 y2 
(i) 
Conforme a las condiciones iniciales, la función tp satisface la 
ecuación 
x2 1 í 1 
3 ss y - - + <p(xz), para <p[Q = - + 
( yx 1 
Por tanto, (p{yx ) — —- 4- A partir de (1) hallamos la solución 
requerida: 
xr 2 2 y , y® 
•! •: ;»•. i -.i i '•i.iirí:"ft-; mí l:1< í: íi í̂ íft i*r: ftU 
Solución. Hallemos las primeras integrales del sistema 
dx dy dz 
x y z2{x — 3 y) 
De la primera ecuación obtenemos directamente que xy = C\. 
Utilizando esta integral resolvemos la ecuación 
dx dz 
x zHx-CxX^Y 
o bien 
1 -
3Ci 
dx = 
dz 
X' •2' 
1 
De aquí encontramos una primera integral más: x+3y-\- - ~C2. z 
Ahora podríamos seguir los mismos pasos de los ejemplos ante-
riores, pero esta vez actuaremos conforme a las fórmulas (8), (9), 
(10), p. 1.3, eliminando las variables x, y, z de las expresiones 
1 
® = 1; + 1 = 0; xy — C\) x + 3y + - — C2. z 
Así obtendremos la relación entre C\ y C2 en la curva x — 1, 
yz +1 = 0. Tenemos: 1 + 2CX - C2 = 0. 
Finalmente, sustituyendo en esta igualdad las expresiones 
de C\ y C2f obtenemos la solución de la ecuación dada: 
1 
1 -f 2xy -x~3y = 0. 
z 
-4 Solución. Las primeras integrales independientes del sistema 
dx dy dz 
z ~xy 2 xz 
variables x, y, z de las expresiones 
íi 
son x — z = C\, zy = C2. Eliminando las 
x + y = 2, yz - 1, x2 - 2 = Ci, zy2 = C2, 
hallamos ia relación entre las integralés en la curva dada: 
'(2 - C2f - C21 - Cx fe 0. 
Sustituyendo aquí las expresiones de C\ y C2, obtenemos la 
ecuación de la superficie buscada: 
(2 - zy2)2 - z~ly'2 -x2 + z = 0. • 
4 Solución. No es difícil encontrar las dos primeras integrales 
independientes: x 4- y + £ 4- C\, y ~ z2 — C2 • Excluyendo las 
variables x, y, z de las relaciones 
x + y + z-Ch y2 - z2 = Clr 
y-2z-0, x + 2y - 2 = 0, 
obtenemos la relación entre C\ y C2 en la curva dada: C\ = 0. De 
esta manera, la superficie buscada es el plano x + y + z = 0. • 
dx dz 
4 Solución. De la ecuación —r = hallamos una primera 
xyá yóz 
x 
integral — = C\, Empleando este resultado, a partir de la 
dy dz 
segunda ecuación - ~ = -r— hallamos una primera integral 
xz y z 
más: y4 — x2z2 = C2. Eliminando las variables x, y, z del sistema 
k 
X A 0 0 
= clf y - x2z2 = C2r z 
r 
x + z3 = 0, y ~ z2 = 0, 
hallamos que C2 == 0. Por consiguiente, la integral (superficie) 
buscada es y4 - x2z2 = 0. En virtud de la condición inicial 
x = — z3, las variables x, z no pueden tener signos iguales. 
Por tanto, el factor y2 — xz ^ 0, lo que implica que podemos 
eliminarlo de la ecuación y4 - x2z2 = (y2 + xz) (y2 - xz) = 0 
podemos eliminarlo. Finalmente, 
xz = -y2. • 
^ Solución* Las primeras integrales se hallan sin dificultad 
y 
— — C\, xy — z = Ci-
x 
Por tanto, la solución general de la ecuación dada es 
z = xy + (p\ - (1) 
donde (p es una función diferenciable arbitraria. Para hallarla 
recurrimos a las condiciones iniciales. Obtenemos que <p{l) — 0. 
Por consiguiente, sí </?(!) = 0, la función (1) es la solución del 
problema dado. • 
miLiViH? 
mmm 
tóVl^ í í 
< Solución, Primeramente hallamos la solución general de la 
dxdy y 
primera ecuación. Tenemos: — = y de donde — = C\ es una x y x 
( V \ primera integral. Entonces la solución general es z = <p I ™ ). 
\xj 
j ' f f i W ^ M ! ' i í t l í i 1 "•• •'• • . 
— & & miíMitl Jr lHWi-Vííf lKii 'M,J i',-í . • . i de primer orden 
. . . . . ; . 
.-S-: J -
:
 >! A . . . " •• «I.
1
.' 
Sustituyendo esta expresión en (1), obtenemos una ecuación 
diferencial respecto a la función ip: 
y a{y\ i a(y 
— v ( - + —9 -x \ x / x¿ \x 
a' 
x2 + y2' 
de donde ip (£) = 
a 
( 1 + í 2 ) 2 sigue que 
|a| / 
i - K 2 V 
y i 
4 = — ). De aquí 
3E 
(p{4) = ±|a[ arctg Í + C. 
y Dado que £ == — f llegamos a la solución buscada 
2 = ±|a| arctg - + C, > 
x 
m Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 
Solución. Inicialmente, hallamos la solución general de la pri 
mera ecuación. Tenemos: 
dx dy x dz 
1 0 
Por consiguiente, 
y = cíf - — c2. x 
$ ( yt -- ] = 0, o bien z =• xip{y). 
Sustituyendo en la segunda ecuación inicial esla expresión de z 
obtenemos una ecuación diferencial respecto a la función (p: 
, 2 <p'{y) 
xtp (y) — -x<p(y), o bien 
y ' <p(y) 
Integrando la última ecuación, hallamos 
y 
(xy ¿ 0), 
<p{y) = Cy\ 
Por tanto, la función z — Cxy {xy ^ 0) es la solución del sistema 
de ecuaciones dado. • 
mm^mmsMim-:-
4 Solución. Demostremos que el sistema no tiene soluciones di fe-
renciables con continuidad. Suponiendo lo contrario, a partir de 
las ecuaciones dadas obtenemos 
d2z dz 
— 1 — — — \ — xz 
dy dx dy 
tfz dz 
—— = 2 + x — = z + x(y- z). 
ax oy ox 
De aquí, en virtud de la continuidad de las derivadas mixtas, se 
deduce la identidad 
1 ~ xz = z -h x(y - z), o bien z = 1 - xy. 
Por esto, la función z = 1 —xy debe ser la solución de ambas 
ecuaciones. Sin embargo, se puede comprobar que esto no es así. 
La contradicción obtenida demuestra nuestra afirmación. • 
M Solución. Hallemos la solución general de la primera ecuación. 
Tenemos: 
dx dy dz 
— — — — —, y ~ Ci, z — x — C-y. 
1 0 1 * 
Por consiguiente, la solución general de la primera ecuación dada 
tiene la forma u — <p(y, z — x). Exigiendo que la función (p 
satisfaga la segunda ecuación, obtenemos 
d<p d<p 
i 0, £ X. 
Oy d£ 
La solución general de esta ecuación tiene la forma <p — ip(y - £). 
De esta manera, u = ip(y — z + x). Sólo nos queda hallar la forma 
de la función ip a partir de las condiciones iniciales. Tenemos: 
z — i>(—z), ip(z) — z . 
De este modo, la función u 
problema propuesto. • 
(y ~ z + x) es la solución del 
SSKKSSnuiiŜ =s ilHi ̂ '̂ÍZ'ÍSp- ̂ ÛAŵj-Jiir= jarcíales de primer orden 
Solución. Sea F(x, y, z) — 0 la ecuación de la superficie buscada. 
Tomando en consideración las condiciones iniciales y que el 
vector N de la normal a la superficie se determina mediante la 
, dF &F dF , 
formula N = ( -—, , 1, obtenemos dx' dy' dz 
dF dF dF 
(2x - C ) — -r 2 y — + 2z — 
dx ay dz 0. 
Si eliminamos el parámetro C de la ecuación obtenida y de la 
ecuación de las superficies dadas, obtendremos una ecuación que 
determina las superficies ortogonales a todas las superficies de la 
familia; 
(x2 - y ñ 
dF dF dF 
b 2 xy 1- Ixz--— — 0. 
dx ' dy dz (1) 
De las ecuaciones 
dx dy 
x2 - y2 - z 2xy 
hallamos las primeras integrales 
dz 
2 xz 
l - C - M/ z 
ar + tf + 2 = Cz. 
Por consiguiente, la solución general de la ecuación (1) tiene la 
forma 
F = ip{^ f x? + y2 + z2y 
Pero F = 0 en la superficie. Por tanto, 
o, 
de donde se deduce que y = zip (ar f y2 -f z2). Para determinar la 
función ip nos valdremos de las condiciones iniciales. Obtenemos 
que x = t¡)(l -f 2xl), de donde tp{a) = ± , De este modo, 
y , o bien z2(x2 -]-y2 z2 — \)-2y2 = 0 
es la ecuación de la superficie buscada. • 
Solución. Sea F(x, y,z) ~ 0 la ecuación de dicha superfi-
cie. De acuerdo con las condiciones del ejercicio, los vectores 
dF dF 8F\ 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ i y (1 , -1 ,1 ) deben ser ortogonales; por consi-
ga: oy dz} 
dF dF dF 
guíente, + —— = 0. Las primeras integrales del sistema dx dy dz 
dx = -dy = dz son x + y = C\, y + z = C2. Eliminando las 
variables x, y, z de las expresiones 
x+y = Ci, y + z~C2, x + y + z = 0, x2 + xy + y2~ 1, 
obtenemos la ecuación que relaciona C\ y C2\ 
C2 + C\C2 + C2 = 1. 
Luego de sustituir aquí las expresiones de C\ y C2, obtenemos 
x2 + 3 (y2 + xy + yz) + xz + z2 = 1. 
Nota. Hubiéramos podido resolver el problema igual que en el ejemploanterior. 
Mas, como puede comprobar sin dificultad el lector, ese camino resulta técnicamente 
más largo que el que acabamos de usar. 
Solución. Si F{x,yfz) = 0 es la ecuación de la superficie 
buscada, entonces 
dF dF dF 
( X - x ) - + ( r - y ) - + ( Z - , ) - = 0 ( 1 ) 
es la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto 
(ai, y, z); X, Y, Z son las coordenadas de un punto arbitrario del 
plano. Haciendo Y ~ Z = 0 en (1), hallamos la abscisa X\ del 
punto de intersección del plano con el eje O ai: 
V , yFV +zF* IT? -L m xx = x + — (Fx 0). F (2) X 
SSeiMî Jboíijê -iSétwauJÍtó: -pttrciaijés de primer orden 
Según las condiciones de partida x — 2Xyf por tanto, a partir 
de (2) obtenemos la ecuación 
xFx 4- 2yF y •+ 2z F z = 0. 
Integrando esta ecuación hallamos la solución general: 
De este modo, las superficies buscadas tienen la forma 
m. 0. 
De este rnodo, 
Solución- Primero encontramos la superficie requerida a partir 
dz dz ? de las condiciones x~ y—- — z, z ¡f? x , y = x. La solución 
dx dy 
general tiene la forma z = — tp(xy). Por las condiciones del 
y 
problema, x3 = —y? (a:2), de donde (p(a) = aL 
X 
z — x y es la ecuación de la superficie buscada. 
Ahora, sustituyendo la expresión z ~ x y en la ecuación 
de las líneas asintóticas, obtenemos 
y dx 4* 2x dx dy — 0, o bien d(x2y) dx — 0. 
De aquí se deducen las soluciones a: = C\, x2y = Cj. Por tanto, 
la superficie estudiada tiene dos familias de líneas asintóticas: 
x ~ Cu 
x2yf z = x^y-f 
x2 y ~ C2. 
M Solución. Hallemos primero la superficie. Integrando la ecuación 
1 dz 1 dz _ 1 
x dx y dy z' 
obtenemos que z1 = x2+<p(x2 - y2). De las condiciones del proble-
ma hallamos que l+2y +<p[y ), de donde <p{a) = 1 - 2a. De esta 
forma, la ecuación de la superficie buscada es z = y/l — x2 f 2?/z\ 
Para hallar las líneas de curvatura de la superficie obtenida cal-
culamos las derivadas necesarias; luego, sustituyéndolas en la 
ecuación (1), obtenemos 
((x2 + z2) dx - 2xy dy) (3z2 + 4y2 - 4yz) dy = 0. 
De aquí hallamos dos familias de soluciones: 
y = Cv x2 = C2(l + 2y2). 
A partir de estas igualdades y de la ecuación de la superficie 
obtenemos z — C3x. Como se puede ver, las curvas 
y = C\, z = y/l - s2 + 2y2 
constituyen paralelos, mientras que las curvas 
2 = C3X, z = y/\ - x2 + 2y2 
son meridianos. • 
n O ^ 
Nota. Sería una imprecisión considerar que la superficie z ~ 1 x + 2y satisface 
dz Oz 
el problema planteado, ya que en el plano z = 0 las derivadas parciales — , — 
dx dy 
no están determinadas. 
• í « •.:• •.' •' \ ' ".YjW.
-
 •. .• vh w •jĴ -I.h L 
Integrar mediante una relación (si es posible) las siguientes 
ecuaciones de Pfaff: 
"xí dS 
Eííífffcíííí 
íiS
x
Sfí5í 
Wsm 
K l » ? ! ' ! 
í -y :•: •:•: 
Solución. Conforme al p. 1.4, F — (3yz, 2xz, xy). En virtud de 
que rot F = — ia? 4- 2\y — kz y (F, rot F) = 0, la ecuación dada se 
integra mediante una relación. Por consiguiente, existe un factor 
integrante p = p(x, y, z) tal que rot //.F = 0, es decir, el campo ;xF 
es potencial. Por tanto, para el factor p tenemos las ecuaciones 
d o (¡¿xy) ~ — (2xpz), 
dyn dz 
d d 
(2xzp) ~ —• (3yzp), dx • dy 
d d 
wym = t t (Syzpl 
o bien 
dx dz 
dp dp 
J|— M é Z — - P r | 
oy dz 
dfi dp 
2x— - 3y— = p, 
dx oy 
dp dp 
X— 3 z—— = 2 p. 
dx dz 
Integrando la primera ecuación, obtenemos la solución general: 
p = y<p(x, Q, £ - yz2. 
Sustituyendo en la segunda ecuación el valor hallado de p, 
obtenemos 
d(p d(p 
de donde encontramos (p — xéi¡}{x¿y2z~'); entonces p — yx¿ ${?}), 
7] — x y z*. Sólo nos queda hallar la función tp. Para esto nos 
valdremos de la tercera ecuación. Tenemos - 9 x y z tf'{ij) = 0, de 
donde tpirf) = C; por consiguiente, p — yxL (suponemos que C 
es igual a l ) . Multiplicando miembro a miembro la ecuación dada 
por yx2, obtenemos la ecuación 
3x2y2z dx + 2x3yz dy + x3y2 dz = 0, 
cuyo primer miembro es la diferencial total de cierta función 
ti = u(x,y, z). Para hallar u calculamos la integral curvilínea 
siguiente (v. fórmula (12), p. 1.4): 
u{x, y, z) = j 3x2y2z dx + 2x3yz dy + x3y2 dz — 
{â yo,2o) 
x y z 
= J 3xlyozodxx+ f lx3yiz0 dyx + j x3y2 dzs 
®o yo zo 
= yho (x3 - xl) + x3Zo(y2 - y2) + x3y2(z - z0). 
Por consiguiente, x3y2z = C es la integral de la ecuación 
dada. • 
4 Solución. Dado que (F, rot F) = z + x — y2 ^ 0 la ecuación 
inicial no puede ser integrada mediante una relación. Nos queda 
comprobar si la función z = y2 — xy es solución de la ecuación 
dada. Calculando dz — 2y dy — x dy — y dx y sustituyendo las 
expresiones de z y dz en la ecuación inicial obtenemos una 
n 
identidad. Por consiguiente, la superficie z = y — xy es la única 
ortogonal al campo F = (z + xy, -z — y2, y). • 
4 Solución. Aquí F = (2yz +3x,xz,xy). Como (F, rot F) = 0, pero 
rotF 0, entonces el campo F no es potencial; sin embargo, 
existe cierto factor fj, tal que rot ¿¿F — 0, es decir, el campo //F 
es potencial. De la ecuación rot /¿F = 0 se deducen las ecuaciones 
escalares 
df¿- dfi 
y-— 2 — =o , 
dy dz 
dfi dpi 
xy~~ (2yz + 3x)-—= ¿ty, 
dpi dfi 
xz~ (2yz + 3x)~~ - \iz. 
dx dy 
De la primera ecuación hallamos que (i -- £ — yz. 
Sustituyendo la expresión de /¿ en la segunda ecuación, obtenemos 
x~ (2^4- 3a?) 
dx <P, 
de donde 
<p = xip (xyz 4- x). 
Por tanto, 
fi = xtp (x yz 4- x). 
Finalmente, sustituyendo /x en la tercera ecuación, resulta i¡>' — 0, 
esto es, ip — C. Por coiisiguiente, (j, — x. Después de multiplicar 
la ecuación inicial por fi, obtenérnosla ecuación (2xyz+3x ) dx+ 
2z dy-Y x2y dz ss 0, cuya integral es x3 4- x2yz — C. La solución 
r< n 
X 
X 0 se obtiene para C — 0. • 
Solución. Como rotF = 0, donde F = (z2 - y2 + yz,xz — 
2xy, 1 xz 4- 2z 4- xy), el campo F es potencial. Por esto, el primer 
miembro de la ecuación dada es la diferencial total de ia función 
u{x .y,z)= J Fx dx + F,.dy + Fz dz -
(0,0,0) 
2 = z"{x 4- 1) 4- xyz — xy*. 
Por consiguiente, z2{x 4- 1) 4- xyz - xy2 
buscada. • 
C es la integral 
ritímiáiiíftíííBrtfiJBiííMiíifa^ij^iL^ 
Ec « aciones H i ^ l é M 11 
: • • .•: •
1
 L. ••-:.'• . : \
r
 / \ 
Solucion. Como rotF 0, el campo F no es potencial; sin 
embargo, en virtud de que (F,rotF) = 0, existe un factor ft ~ 
/¿(ce, y, z) tal que el campo /xF sí es potencial. Se puede verificar 
que ¡i = xyz. Integrando, obtenemos 
(íM/yZ) 
(//F, dr) = x y z (x2z - yz2 - «), 
(0,0,0) 
hallamos la integral de la ecuación dada: 
x 2y2z2(x2z - yz2 - x) = C. 
Solución. Como rotF i=- 0, pero (F,rotF) = 0, la ecuación 
dada se integra mediante una relación. Hallemos la integral do 
la ecuación empleando el método expuesto al final del p. 1.4. 
Considerando temporalmente que la variable z es una constante, 
integramos la ecuación 
3xy Zq dx + 3x' yz0 dy = 0, o bien d(xy) = 0. 
De aquí se deduce que xy — C. Luego, considerando que 
C = C{z), escogemos la función C de tal modo que la expresión 
xy = C(z) (1) 
C' dz - x dy 
sea la integral de la ecuación dada. Calculando dx ~ -
y 
y sustituyendo esta expresión y la expresión xy = C en la ecuación 
inicial, tras una serie de simplificaciones resulta la ecuación 
3 C'z + 2C = 0. 
2 
Integrando obtenemos C — CqZ 3 . De esta forma, partiendo de 
la igualdad (1) hallamos que x3y3z2 = Cq es la integral de la 
ecuación inicial. • 
•< Solución. Directamente se comprueba que rot F ^ 0; sin embar-
go, (F, rotF) = 0. Por tanto, la ecuación se integra mediante una 
relación. Considerando temporalmente la variable x como una 
constante, integramos la ecuación 
x0z dy + xq y dz = 0, o bien d(yz) = 0, 
obteniendo 
yz = C(x). (1) 
Escojamos la función C de manera que la integral yz — C(x) 
satisfaga la ecuación dada. A partir de la última expresión 
hallamos 
C' dx C dz 
dy ~ 
z z¿ 
H 
Sustituyendo en la ecuación analizada las expresiones de dy e y, 
tras una serie de transformaciones obtenemos la ecuación dife-
rencial 
1 ~ C ~ x2C2 - xC' ~ 0, o bien [xC)' ~ 1 + {xC)2r 
cuya integración proporciona 
arctg {xC) -x-\-Cx. (2) 
A partir de las igualdades (1)y (2) hallamos la integral de la 
ecuación inicial: 
arctg (xyz) — x = C\. • 
M Sol ución. Dado que 
(F, rot F) = 2 - 2x + y 
y la función z = 2x — y no es solución de la ecuación dada, 
dicha ecuación no puede ser integrada mediante una relación. 
Integremos mediante dos relaciones haciendo, por ejemplo, z — 
x -Y y. En este caso obtendremos la ecuación dx — dy = 0, de 
donde y = x + C\. Por consiguiente, la familia uniparamétrica 
de las rectas x = t, y = £ + C\, z = 2t -f C\ satisface la ecuación 
dada. • 
< Solución. El campo vectorial F — yy + 3z , x + y, 6xz) es po-
tencial. Por eso 
( w ) 0 
f y 2 u(x, y,z) = J (F, dr) = + — + 3xz . 
(0,0,0) 
Por consiguiente, y +2xy+6xz2 = C es la integral de la ecuación 
dada. • 
Hallar las superficies ortogonales a las líneas vectoriales del 
campo vectorial F: 
< Solución. Si dt = (dx, dy, dz) es un vector perteneciente al plano 
tangente a la superficie buscada, entonces, según las condiciones 
de partida, tenemos que (F, dt) = 0, o bien 
(2xy - 3yz) dx + (ar - 3xz) dy — 3xy dz — 0. 
Dado que rotF = 0, el campo F es potencial. Por consiguiente, 
u(x, y, z) = J (F, dr) — x2y ~ 3xyz, 
(0,0,0) 
Por consiguiente, x y — 3xyz = C son los superficies busca-
das. • 
4 Solución. Dado que (F, rot F) = z-x-áy y la función z = x+4vy 
no satisface la ecuación (F, dr) = 0, podemos concluir que 
no existe ninguna superficie suave ortogonal al campo vecto-
rial F. • 
;: Í h : ¡'"¡JííKS ífíí'l ̂ JHLMra 
Solución. Las líneas vectoriales en cada punto son tangentes al 
vector F. Por consiguiente, F || dr, donde dr es la diferencial 
del vector de posición de la línea. En este caso, la condición de 
tangencia tiene la forma 
dx dy dz 
— = (1) x y ~z 
Integrando la ecuación (1), obtenemos 
x 
- = Cu yz = C2. 
y 
X 
De este modo, la intersección de las familias de superficies - ~C\, 
y 
yz = C2 nos proporciona una familia de líneas vectoriales de dos 
parámetros. Como las superficies vectoriales se componen de 
líneas vectoriales, en todo punto de tales superficies se debe 
cumplir la condición (N, F) = 0, donde N es el vector normal a la 
superficie. Sea u{x, y, z) = 0 la ecuación de la superficie; entonces 
la condición señalada adopta la forma 
du du du 
x dx y dy z dz 
Sustituyendo los valores de las coordenadas del vector F, obtene-
mos 
du du du 
— b y z— — 0. 
dx 3 dy dz 
Empleando las integrales del sistema (1) resulta la integral general 
de la última ecuación: 
u\ \ ~ 
de donde 
1 x z = ~ip( -
y \y 
siendo ip una función arbitraria. Hemos hallado las superficies 
vectoriales. 
• I ícu^ciones A l 
• s •. i . I • • ' ' '
 %
 ¡ " • ^ ' ' . •• • átfll ™ •" ** , ... .. • • : , ^ r^• ̂ î 
Las superficies ortogonales a las líneas vectoriales halladas 
se buscan mediante la ecuación 
(F, dr) = 0, o bien x dx + y dy - z dz = 0. 
La integral de esta ecuación es 
x2-Yy2~z2 = C. • 
§ 2. Ecuaciones no lineales 
de primer orden 
2.1. Ecuaciones no lineales en derivadas 
parciales de primer orden. 
Método de Lagrange y Sharpi 
Toda ecuación de la forma 
F{x 1, x2, . . . , Xn, z, Pl, P2/ • • • / Pn) = 0/ ^ 
donde P i = — , i - * denomina ecuación no lineal en 
derivadas partíales de primer orden. 
La ecuación 
dz {T 
F{x,y,z,p,q) = 0, dy 
se puede integrar u t i l i z á n d o l o * 
consiste en lo siguiente. En dependencia de la forma concreta 
la ecuación (2), se escoge cierta ecuación 
u{x,y,z,p,q) = a, a = const, (3 
que cumpla dos condiciones fundamentales: 
1) que el sistema de ecuaciones (2), (3) se pueda resolví 
respecto a las variables p, qi 
2) que la ecuación de Pfaff 
dz = p{x, y, z, a) dx + q{x, y, z, a) dy 
se integre mediante una relación ${x,y,z,a,b)=Q, 6=com 
v.-. r-. w . r -.: ̂ . .A-. e j . =• i - ; •: ? 
adaá parciales de primer; orden 
En ese caso la integral 0 = 0 también será integral de la 
ecuación (2) (la integral $ = 0 se denomina completa). La función 
también satisface la ecuación 
dF du dFdu ( dF dF\du 
¡ p q — 
dp dx dq dy \ &P d<l 
dF\du /dF dF\du_ 
dp~ \dy ~Tq~dz )di¡ 
2.2* Búsqueda de una superficie integral 
que contiene una curva dada 
Si se conoce la integral completa yt z, a, fe) = 0 de la ecua-
ción (2), se puede resolver el problema de la búsqueda de una 
superficie integral que contenga una curva dada 
x = x{t), y = y{t), z ~ z(t). (5) 
Considerando b = b(a), determinamos la función b a partir del 
sistema de ecuaciones 
*(*(& y(t), z(t), a, b(a))=Q, 
d® , d$ , d$ , (6) 
—a'<i) + _ y ' ( f ) + _ Z ' ( Í ) = 0. 
dx ay dz 
Una vez hallada la función bf determinamos la superficie integral 
buscada eliminando el parámetro a del sistema de ecuaciones 
$(x, y, zf a,b(a)) = 0, ~<$>(x,yfzt a, b(a)) = 0. (7) 
2.3, Método de Cauchy 
El problema anterior se puede resolver de otra manera. Primero 
hallamos las funciones PQ = PQ(S),. q0 = q0(s) a partir de las 
ecuaciones 
F(x0(s)/ yQ(s), io(s), Pú{&), qo(s)) = 0, 
f i f V®) + qo($)yo($) - %(«) = o, 
donde XQ — xQ(s), ya — yo($), z0 = z0($) son las ecuaciones 
paramétricas de la curva dada. Luego integramos el sistema 
(considerando las funciones pfy anteriormente halladas) 
dx dy dz dp dq _ = = - L_ . - i = d t (9) 
Fp Fq pF}} + qFq Fx + pFz Fy + qFz 
bajo las condiciones iniciales (t = 0) 
x = x0(s), y~yQ{s), z~z0(s), p-pQ{s), q = qo(s). (10) 
De este modo, las funciones x = x(t, s), y = y{t, s), z = z(t,»), 
las cuales constituyen la solución del problema (9)-(l0), son las 
ecuaciones paramétricas de la superficie integral buscada. 
2.4. Generalización del método de Cauchy 
El método de Cauchy se generaliza a las ecuaciones del tipo 
(1) cuando se exige hallar una superficie integral n-dimensional 
z — z(xj, x2/..., xn) suya que contenga una superficie (n - 1)-
dimensional dada: 
x¿o = xi0{si, slf..., Sn—i), i = 1, n, 
Zo = Zo($l, #2, • ' / 
El esquema de resolución del problema (1), (11) es el siguiente. 
Primeramente determinamos las funciones PÍO(sI,S2,—, 
a partir de las ecuaciones 
F(x 10, 3520/ . • • / ZrtOr z0* PlO/ P20, • • w Pno) = 0, 
dzo ^ dxi0 . (12) 
Luego integramos el sistema de ecuaciones auxiliar 
dx i dx2 dxn dz 
+ + 
TP J? T? n 
*¥L *P2 PN RN 
¿^ ViFpi 
1=1 
dpi dp2 
' * * ~ ~ p ^ „ (13) 
+ PnFz 
con las condiciones iniciales 
®ilí=0 = a?»o(*i/ s2/ - • • / 5„-l), 
2|í=o = S2F..., sn_i), ¿ = 1, n. (14) 
Pi lí=0 = Pio(aU s2r - • • / sn-l)> 
m^mmmmmmim 
- • . I • I I • 
de primer orden 
Como resultado obtenemos las ecuaciones para métricas de la 
superficie integral buscada: 
\z = z{t, Si, 82, • . i , *n-i). (15) 
Hallar la Integral completa de cada una de las ecuaciones 
siguientes: 
Solución. Conforme al p.2.1, primero construimos y resolvemos 
la ecuación (4) (F = pq - x1 y2): 
du du du f du -y du 
q b v 1- 2pq !- 2xy h 2x y— = 0; 
Ldx oy lidz y dp y dq 
dx dy dz dp dq 
q p 2 pq 2 xy2 2 x2y 
Empleado la igualdad pq = x2y2, transformamos esta ecuación a 
la forma 
x dp = y dq = dz = 2p dx = 2q dy. 
De aquí obtenemos dos primeras integrales: 
7 = C\, -r — C2. (1) 
X ¿ y £ 
Dado que pq — x2y2, entonces C\Ci = 1. Por consiguiente, 
haciendo C\ — a, la integral (1) se puede presentar en la forma 
2 1 2 p = ax , q - -y*. a 
Sustituyendo las expresiones de p y q en la ecuación de Pfaff 
dz — p dx + q dy, obtenemos 
de donde 
2 2 dz = ax dx i- -y dy, 
a 
a , y 
Z - -S3 + + b = o, 
3 3a 
Así, hemos obtenido la integral completa de la ecuación dada. 
-I N 
Solución. Utilicemos el método de Lagrange y Sharpi. Calcu-
, dF dF dF dF dF , 
lando las derivadas — , — , — , ——, ——, donde F ~ 
dp dq dx dy dt 
z - px - qy - p3q3, y sustituyendo sus expresiones en la ecua-
ción (4), p. 2.1, resolvemos la ecuación 
(x + 3p2q3) ~ + (y + 3p3q2) ™ + (px + qy + 6p3q3) ~ = 0. 
A partir del sistema de ecuaciones 
dx dy dz dp dq 
x + 3p2q3 y + 3p3q2 px + qy + 6p3q3 0 0 
se obtienen las integrales: p = a, q = b. De la primera ecuación 
hallamos dz = pdx + q dy, o bien dz = a dx + b dy. Por consi-
guiente, z = ax+by + C^. Dado que z = px + qy+p q , entonces 
C3 = a b . Así, la integral completatiene la forma 
3 3 z = ax + by + a b * 
Solución. Calculando las derivadas necesarias de la función 
yy 
F = pq — 9z , construimos y resolvemos la ecuación (4): 
du du du du du 
q-—i-p——h 2pq——b 18pz-~—h 18 qz 
dx dy dz dp dq 
0; 
dx dy dz dp dq 
q p 2pq 18pz 18qz 
De la última ecuación obtenemos una primera integral 
A partir del sistema 
9 
l = C l pq = 9z2 
hallamos 
p = 3az, q —z 
a 
(hemos tomado C\ = a). Sustituyendo las expresiones de p y q 
en la ecuación de Pfaff, obtenemos 
dz = 3az dx -2 dy. 
a 
Integrando esta ecuación, hallamos la integral completa: 
3 
ln \z\ - 3ax y - b = 0. a 
Solución. En este caso F = p- sen q. Por tanto, la ecuación (4), 
p. 2.1, toma la forma 
du du du 
cos q——I- (p- q cos q)~ = 0. 
dx dy 
A partir del sistema de ecuaciones 
dx dy dz 
dz 
dp dq 
~ " ¥ 1 — eos q p - q eos q 0 
hallamos dos primeras integrales: p = C\, q = C2. Según la ecua-
ción inicial p = sen q; por consiguiente, C\ = senC2. Entonces, 
la ecuación de Pfaff correspondiente es 
dz — sen C2 dx 4- C2 dy, 
cuya integración proporciona la integral completa de la ecuación 
inicial: 
z = x sen a + ay + b (a = C2). • 
Solución. A partir del sistema de ecuaciones 
dx dy dz dp dq 
~ = Tq ~~ 2p 2 q 2 (p2 + q2) p 
correspondiente a la ecuación (4), p.2.1, 
q 
du du , 7 du du du 
= 0, 
V hallamos una primera integral: — ~ a. Resolviendo el sistema 
p2 + q2 = z, p = qa, 
obtenemos 
a<sfz yfz 
V = . /•- ? = ztvT+^2' * ±VT+a2' 
Sustituyendo las expresiones de p y q en al ecuación de Pfaff 
dz = p dx + q dy, hallamos 
dz adx-Y dy 
\fz ±Vl + a2' 
Integrando obtenemos ±2Vi + áryfz - ax- y —b — 0, o bien 
4(1 + a2)z ~{ax + y + bf = 0. 
Ésta es la integral completa de la ecuación dada. • 
< Solución. En este caso la ecuación (4), p. 2.1, tiene la forma 
du du du 
(2p + zq)~ + zp— + 2p(p + zq)— -
du du 
- pipq - 2z)— - q{pq - 2z)—• = t). 
Por tanto, debemos resolver el sistema de ecuaciones 
dx dy dz dp dq 
2p + zq zp 2p{p + zq) (2z - pq)p (2z - pq)q 
V 
De la ultima ecuación obtenemos una primera integral - ~ a. 
Partiendo del sistema 
p + zpq = z2, p = qa 
hallamos 
az 
p = ± g = rfc 
•
:
'¡:;'v!íhfj
 ;
;
:
r ' , *•• 'i: " í i r ' •' . •' ',.•"• 
¡Mi-cía l̂ s el é, primer ord en 
Sustituyendo las expresiones de p y q en la ecuación de Pfaff 
dz = p dx + q dy, ésta adopta la forma 
:dz 
y a,(a + z)— = ±(a dx -f dy) ~~ ±d(ax + y). 
z 
Integrando esta última ecuación, tras una serie de transformacio-
nes obtenemos la integral completa 
2 
2 y a i a + z) + a\r\ (ax + y + by — 0. 
K Solución. De las variables x,y pasamos a las variables u,v 
2 2 x y 
mediante el cambio de variable u = —, v — —. Entonces 
2 2 
dz dz du 
I = 
dx du dx 
dz dz dv 
dz 
= X— EE Xpi, 
du 
dy dv dy 
y la ecuación inicial toma la forma 
1 1 
PÍ M 
y 
dz 
dv 
yqi 
z\ (1) 
Busquemos la solución de esta ecuación en la forma z ~ z(w), 
donde w ~ au+v, a ~ const. Entonces, a partir de (1) obtenemos 
- ? 1 la ecuación (zz'y — 1 H — d e cuya integración resulta 
a 
% — ±2\ 1 + -~(au -f v) + b [b~ const). 
m 
De este modo, la integral completa de la ecuación inicial es 
- Ñ 1+ ) (ax
2
 +y
2
}
2
 = 0. 
I V
1 
• . V '... . í. .•. i/'j;.
1
::, i.:. • .•>* I: •'
:
 . - i- . y
J
 •. .'.-I -' h
1
 i/í+í 
Nota, Para integrar la ecuación F{p, qfz) = 0 es conveniente emplear el método 
siguiente. Buscamos la soluciónenla forma z = z(w), donde w = ax+y (a — const), 
Entonces 
dz tdw t dz p = 
dx = z 
= z a, q = — — 2 . dx dy 
Por consiguiente, 
F(p, q, z) = Fiza, zf, z) = 0, 
Integrando esta ecuación obtenemos su integral general §{zf w, af 6) = 0 (h — const), 
la cual es, a su vez, la integral completa de la ecuación original 
Solución* Primero realizamos el cambio de variables 1 II | att I * 
v = In|y|: 
V = 
Pi 
x 
íi 
y 
donde 
V\ = 
dz 
du Vi 
dz 
dv 
La ecuación inicial toma la forma 
Pi + = 
Dado que esta ecuación no contiene variables independientes 
en forma explícita, recurrimos al método indicado en el ejem-
plo anterior. Como resultado obtenemos la ecuación diferencial 
ordinaria 
z,2(a2 + 1 ) = z, z^O, 
la cual se resuelve efectuando los pasos siguientes: 
z = ± 
dz 
dz 
Tz 
v T M * ' 
dw 
* 
±VTT~a1' 
± í d w 
VTTa 
r / 
±w 
- = = + 6 ; 
v i 4- a 
2 w2 
1 + a2' 
w = au 4- v = a ln \x\ + ln 
Así pues, hemos obtenido la integral completa. • 
4 Solución. Escribimos la ecuación inicial en la forma 
xp - x = yq + y (x jt 0, y # 0). 
Haciendo xp — x = a, yg 4- y = a, donde a es una constante 
arbitraria, hallamos 
p = 1 + 
a a 
- 1 + 
y 
Sustituyendo las expresiones de p y q en la ecuación de Pfaff 
dz = p dx 4- q dy, e integrando esta última, obtenemos la integral 
completa 
z = x 4-«ln |z| - y + a ln |gf| + b = x - y + a ln \xy\ + 6. 
Nota. Si la ecuación tiene la forma 
*í(p, ar) = F2{q,y), 
entonces su integral completa se puede hallar utilizando el siguiente método. 
A partir del sistema 
a?) = a, F2{q,y) = a 
hallamos 
p~<pxia,x), q = (p2(a,y). 
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de Pfaff dz — pdx + q dy, obtenemos 
dz = y>\{a, x) dx 4 f2(a> y) dy. 
La integración de esta ecuación proporciona, precisamente, la integral completa 
ai) dx y)dy-b = 0. 
M Solución. Dado que la ecuación inicial se puede representar en 
la forma 
p2 ~ 2px + 1 = 2qy - q2, 
podemos emplear el método indicado en la nota anterior. De las 
ecuaciones 
p2 - 2px + 1 = a, 2 qy - q = a 
hallamos 
p — xáz y/ a — 1 + x2, 
q = y±y/y^, 
(W ^ Vi - a, \y\ ^ 
Por consiguiente, 
dz = (a; ± y /x 2 + a — 1 ) da; + (?/ ± y/y 2 — a ) dy, 
de donde se deduce que 
^ - f (x ± + « — 1) dx — J (y ± y/y2 ~ a) dy - b ~ 0 
es la integral completa. • 
Solución. Introduciendo una nueva función w = x-\~z y haciendo 
Pi = (*>'x, q\ — w'yr Ia ecuación dada adopta la forma 
ipi - l)2 + q\ + u) = 0. 
Dado que esta ecuación no contiene variables independientes on 
forma explícita, recurriremos el método utilizado en el ej. 44, 
Tenemos: 
u) — o?(tt), u = ax + y; 
por tanto, 
pi = u/'(u)a, qi = ta\u), 
ipi ~ l)2 + Q\ = w - (a/a - l)2 + a/' + UÍ = 0. 
Para resolver la última ecuación introducimos un nuevo argu-
mento,, haciendo ¡ J = t. Tenemos: 
7 du dt 2(ta - l)a u) ~ -t — (ta — 1) , du ~ — = di, 
t t t 
u-(2a- 1) ln \t\ ~ 2a2t b. 
De este modo, el sistema de ecuaciones 
z + x = ~t ~ (ta - l)2, ax^y = (2a-\) ln j¿| - 2a 2t + & 
determina la integral completa. • 
Nota. Proponemos al lector verificar que se puede eliminar el parámetro t y obtener 
la integral completa en ía forma y, z, a, &) = 0. 
En los problemas siguientes, hallar la superficie integral que 
contiene la curva dada: 
Solución. Primero hallamos la integral completa de la ecuación 
dada siguiendo el método indicado en la nota del ej. 44. Busque-
mos la solución en la forma z ~ z(w), u = ax + y. Entonces, 2 
p = zfa, q ~ z\ y z — Z* a + 1. Integrando la última ecuación 
obtenemos la integral completa de la ecuación inicial: 
$ = 4a(z - 1) - (ax + y + bf ~ 0, 
Para determinar la superficie que contiene la recta indicada 
procedemos conforme al p.22. Haciendo x = x, y ~ 2, z = 2x4-1 
y considerando b = b(a), escribimos el sistema de ecuaciones (6), 
p. 2*2, respecto a la función b — &(a): 
Sax "(ax + b + 2)2 = 0, 8a - 2a(ax + 2 + b) = 0. 
Luego sustituimos la solución b — 0 de este sistema en el sistema 
de ecuaciones (7), p,2*2. Así obtenemos 
4a(z - 1) - (ax + yf = 4z- 2x(ax + y) = 0, 
de donde/ eliminando el parámetro a y tras una serie de sim-
plificaciones, hallamos finalmente la ecuación de la superficie 
buscada: 
2 ^ x y + 1 > 
d i- - i 8 !• • II mt • •• •• mmmai • • ̂ \ t • • IP•• •!• P• • •! • • • • • •• • • • i i i i i • 51 IW 
frflMH.Ü^JÍ HífiMa.: 
<4 Solución* Suponiendo que la solución tiene la forma 2 = tp(&y)* 
obtenemos la siguiente ecuación respecto a la función ¡p: 
2<p — <p>2u -3u, u — xyr 
Una de las soluciones de esta ecuación es (p = auf donde a — - 1 , 
o bien a —3. Por consi guien te, 
«i = -» ! / / = 3 xy 
Conforme a las condiciones iniciales/ 
z= 3 xy. • 
A Solución* Dado que la función F = 4z - p2 - q2 no depende 
explícitamente de las variables x e yf buscaremos la solución de 
la ecuación en la forma z — <p(ax + 2/). En este caso, obtenemos 
la siguiente ecuación respecto a <p: 
4 tp = (a2 + V * , 
de cuya integración resulta 
__ ax + y , ^ / ax + y \ 
±V¡p = • , V + &, O bien # = z - ( . y + t> = 0. 
Vó^TT VVo^TT J 
En virtud de (5), (6), p. 2.2, tenemos las ecuaciones 
x = 0, y = y, z = y2, 
$ -3/2 ~ (vŝ +T + O'= 
De aquí, tras eliminar la variable y, obtenemos que b - 0. 
Utilizando ahora la ecuación (7), p. 2.2, y que & = 0, llegamos al 
sistema 
(ax + y)2 _ 2{ax + y){ay ~ s) 
Z + l (fl2 + l Y 
X 
De Ja segunda ecuación hallamos a ~ — y la sustituimos en 
y ' 
la primera ecuación. Como resultado obtenemos la superficie 
buscada: 2 2 z — x +y 4 
Nota. La igualdad ax + y = 0 no se considera, pues de lo contrario a partir de la 
primera ecuación se tendría z — 0. 
^ i — • ~ • 
Solución. Para hallar la integral completa utilizaremos el método 
de Lagrange y Sharpi. A partir del sistema de ecuaciones 
dx dy dz dp dq 
x-q y-p p{x-q)bq{y-p) -p -q 
correspondiente a la ecuación (4), p. 2.1, encontramos una primera 
integral 
p — qa. 
Resolviendo el sistema de ecuaciones p — qa, px + qy - pq — 0, 
hallamos 
y p m ax 4- y, q = x + —. 
a 
Sustituyendo las expresiones de p y q en la ecuación de Pfaff 
\dz = p dx + q dy e integrando esta última, obtenemos 
'l 
j z~\ (ax2 + ir) + ty + b• 
Ésta es la integral completa. Para hallar la superficie que contiene 
la curva dada utilizaremos el esquema expuesto en el p. 2.2. 
Escribamos la ecuación de la curva en la forma x ~ 0, y — y, 
z = y, y construyamos el sistema (6), p. 2.2: 
1 / 2 y2 \ y z ( ax H ) - xy - b(a) = 0, 1 — x =0. 
2 V a / « 
Haciendo ai = Q, y = y, z = y, y eliminando al parámetro y, 
hallamos que b(a) = -a. Sustituyendo esta expresión en el sistema 
de ecuaciones correspondiente al sistema (7), p. 22, obtenemos 
U 2 ^ y ¡ 
2 ( + a 
2 2 a x y* 
— xy = 0, -
y 2 2 2a2 
1 
" 2 = 0 . 
Finalmente, eliminando al parámetro a, hallamos 
¿ = y(x + %/x1 + 1). 
< Solución. Se puede comprobar que la integral completa de esta 
ecuación es 
$ = z-ax-by- 3a2 -f b2 ~ 0. 
/J J ̂ Al igual que en el ejemplo anterior tenemos: x = 0, y = y, z — y 
(ecuaciones paramétricas de la curva inicial), 
¿ - ax - yb - 3a2 + b2 = 0, 2y - b = 0, 
Haciendo x = 0, y — y, z = y2, y eliminando la variable y, 
hallamos que b — ±2a. Sustituyendo la expresión de b en el 
sistema (7), p. 2.2, obtenemos 
z - ax 2aj/ - 3a2 + 4a2 = 0 , -x=f2y i- 2a = 0. 
Luego de eliminar el parámetro a de este sistema, resulta 
x x 2 
Z = ' 2 ± V 
El Utilizando el método de Cauchy, hallar la superficie integral 
que contiene la curva dada: 
Solución. Apliquemos el método de Cauchy formulado en el 
p. 2.3. Según este método, primero construimos y resolvemos el 
sistema de ecuaciones (8), p.2.3: 
= s3 - po(s)q0(s) = 0, po(s) + 2sg0(s) - 3s2 — 0; 
y=ito 
Z=Z0 
••:,--¡>. i; f ̂ tmkivmiiMiwm 
.(I) (2) #<•) = q{(¡)(s) = s; $\s) = 2s2, q(2\s) = 
Luego, considerando los valores hallados PQ(&% construimos 
e integramos el sistema de ecuaciones (9), p. 2.3: 
dx dy dz dp dq 
-p -2pq -p -q 
= dt, (1) 
fl ) n 
con las condiciones iniciales x — s, y — s , z = s", p = s , q — s 
para t = 0; y también x — $, y = s2, z = s3 , p = 2s2, q = 2 para t — 0. Así pues, tendremos dos soluciones. 
A partir del sistema (1) hallamos sin dificultad 
p = Cje™1, , = x = / ( - « ) « + C3 = C2e"< + C3, 
- ( {-p) dt + C4 = Cfe + C4, 
2¿ 
Partiendo de las condiciones iniciales, determinamos las constan-
tes de integración 
Ci = C2 = s, C3 = 0, C4 = 0, c 5 
(para la primera solución); 
0. 
\ C\ — 2s , C2 — — -/ 
\ 2 
— " / G -é" a « o 
(para la segunda solución). 
Así pues, tenemos dos superficies integrales: 
-í 2 ~t x = se , y = s e 3 ~2t z = s e 
£ ( * ' + ! ) , 2 = A - 2 1 
Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, primero hallamos 
las funciones po y qo a partir del sistema de ecuaciones 
Po + 9o - 1 = -Po sen s + g0 eos s - - 0, 
(v. fórmula (8), p.2.3). Tenemos po = cosa, g0 = sena, donde 
7T 
a = s + (-l) f c — + kir, k G Z. Partiendo del sistema de ecuaciones 6 
(v. fórmula (9), p. 2.3) 
dx dy dz dp dq ^ 
2p ~ 2g = 2(p2 + g2) = ~~ ~ T ~ ' 
obtenemos las soluciones 
p = Ci, q = C2/ 
® = 2Cií + C3, y = 2 C2t + C4, 
z = 2{C\ + C22)¿ + C5. 
Para determinar las constantes de integración empleamos las 
condiciones iniciales: 
s 
x — cos s, y — sen s, z = p = cos a, g = sen a. 
para t — 0. Entonces a 
Ci = cos a, C2 = sen a, C3 = cos s, C4 = sen 5, C5 — - . 
Por consiguiente, las tres funciones s 
x = 2¿ cos a + cos 5, y = 2t sen a + sen s, 2 = 2t + 
describen la superficie integral buscada. • 
-4 Solución. A partir del sistema de ecuaciones (v. fórmula (8), 
p.2.3) 
s3 - Po - qoS - Poqo = 0, q0 - 3s2 = 0 
2s3 
hallamos po = ~ ^ + 3 iy Qo ~ 3s . Luego construimos y resol-
vemos el sistema de ecuaciones (v. fórmula (9), p. 2.3) dx dy dz dp dq 
= — dt : 
x + q y + p z + pq 0 0 
p-Cu q = C2, 
x = Czé ~C2> y- C j -Cx, z = C5e - CXC2. 
Partiendo de las condiciones iniciales 
!̂í=O = i , yh=o - s, 
= A = q\t±Q = 3s2, 
determinamos las constantes de integración 
2 2 C\ = ~ , , , , 02 = 3 5 , C3 = 1 + 3s , 
1 + 5$ 
s + 83 _ s3 - 3á5 
Q — , . „ -i/ C5 — l + 3 s 2 ' 3 l + 3 s 2 ' 
De esta manera, las ecuaciones paramétricas de la superficie son 
x = (1 + 3s1)et - 3s2, 
- t *3>e< ± 
V ~~ 1 + 3 s 2 
- ^ ~ V + 6s5 
* " 1 + 3? ' 
< Solución. Empleemos el método de Cauchy expuesto en el 
p. 2.4. Primero determinamos las funciones P10/P20/ P30 a partir 
del sistema de ecuaciones (v. fórmula (12)) 
¿o - pío - pío ~ P30 ~ 0, - 1 -pío - P20 = 0, 1 - PJ0 + P20 = 0. 
Tenemos: 
pío — 0, P20 - -1, pio = ±\fs2 - s7. 
Después integramos el sistema auxiliar de ecuaciones diferenciales 
(v. fórmula (13), p. 2.4) 
dx 1 ¿0:2 dx-j dz 
2p¡ ~ 2p¡ ~ 2p¡ ~ 2{p¡ + p\ + p\) ~ 
- _ d p z = - dt 
~Pl ~P2 -PS 
De las tres últimas ecuaciones de este sistema obtenemos 
Pi = C\é, p2 = C2e, p3 — C3e, 
mientras que de las tres primeras, teniendo en cuenta las expre-
siones de pk, k = 1,2,3, hallamos 
xi = 2C\e + C4/ x2 = 2C2e + C5, x3 = 2C3e + C(u 
* = (C?. + C f + Cf)¿ B + C7. 
Para determinar las constantes de integración utilizamos las 
condiciones iniciales (v. fórmula (14), p„ 2.4) 
®i|í=o = s\ + x2\tz=Q = si - s2, a f 3 | í = 0 = 0 / 
Pl \i-Q — 0/ P2Íf=0=-l/ 
P3|f=0 = ±Vs 2 - z|í=0 = 1 - + 
Como resultado hallamos 
Ci = 0 , C2 — - 1 , C3 = ±s/s2 - Si, C4 = «i + s2, 
C5 = si - s2 + 2, C6 — t2\/$2 ~ si, C7 — 0. 
Así pues, las ecuaciones paramétricas de la superficie buscada 
tienen la forma (v. fórmula (15), p. 2.4) 
®1 = «1 + s2, X2 — -2¿ + 2 + 5! — s2t 
x3 = ±2y/s2 - s\e 2Vs2 — si = ±2\/Í2 — si{el ~ l)/ 
z ~ (1 + s2- Si)e2t. • 
Solución. Como en el ejemplo anterior, aquí emplearemos el 
método de Cauchy (v. p. 2.4). Construimos y resolvemos el sistema 
de ecuaciones respecto a Pwf p2of P3Q-
1 + = Pío + S1P20 + {s\ + S2)p30 + Pi o + pío + P30/ 
2si ~ p20 - p30 = 0, p30 = 0. 
De aquí hallamos 
- 1 ± V 5 - 20s? 
P20 = 2si, pío = . 
j f ó f f l t t t t í ; i 1 i ? 1 1 p*•' <11 •; •j• 4i-" : ' - • '*]* •f' 1 i tíjaddn£$l:éh*'dérivadas parciales de primer orden 11 k(jH i ¿rí̂ oí iwfri hr'iiíJLi:; ̂ ̂ it \\ü7i wi „.;..- l o * _ • .í - . ~.. •:., * 
m r . : i n T 
Luego construimos y resolvemos el sistema de ecuaciones dife-
renciales 
dxi dx 2 dx3 _ 
X\ + 2pi x2 + 2 p2 x3 + 2p3 
dz 
P\X\ + PlX2 + P3ÍC3 + 
d p 2 
fe=i 
as dt. 
0 0 0 
De las tres últimas ecuaciones se deduce que pk — k — 1,2,3, 
mientras que de las tres primeras resulta 
X\ = - 2C\, x2 -1C2, t x3 = C6e - 2C3, 
z{C^C4 + C2C5 + C3C6)e + C7. 
Utilizando las condiciones iniciales 
lí=0 = h x2\t=o = H* z3íí=0 - Si + s2, z\t=o - 1 + s\, 
- 1 ± 
P3\t=0 = 0, p2|f=o = 2si, Pi U=o = 
- 2 0 s\ 
determinamos las constantes C¿, i = 1,7: 
\ 
\ 
\ 
1 
- l ± y / 5 - 20sf 
C2 = 2SI, C3 = 0, 
\ 
\ 
C4 = 1 + 2Ci — ± \/ 5 — 20íf,i V 
r
 T 
C5 = Si + 2C2 = 5ai, C6 = Si + s2 + 2C3 = «1 + s2, 
2 ^ ^ - 3 ± \/S — 20Sj 2 C7 = 1 + sx - C1C4 ~ C2C5 - C3C6 = i-
Así, las ecuaciones para métricas de Ja superficie buscada son 
Xi ss - 20sjeí + 1 =F yj 5 - 20sf = ± y 5 - 20s? (e* - 1 ) +1, 
a;2 = (5e( - 4)si, 
x3 ~ (á! + s2)e', 
z = \(V5~20sO + 
2 - 3 ± 
• N H B Ü ! » : 
M Solución. Actuemos igual que en los ejemplos 56-58, es decir: 
a) Resolvemos el sistema de ecuaciones 
Í>?0+Í>20+Í>30+Í>40-1 = 0, 
2¿i - P20 - P30 - Pío ~ o, 
2S2 - P30 -P4Ú~0, 
2s3 - P40 = 0. 
De aquí tenemos 
P40 = 2s3, P30 - 2(s2 - 83), 
P20 = 2(51 - S2), 
.. Pío = i ^ / 1 - 4(Sl ~ 52)2 - - 4(52 - 53)2-
b) Integramos el sistema auxiliar 
dx 1 dx2 dx 3 dx± dz 
2pi ~ 2p2 ~ 2p3 ~ 2p4 ~ 2(p? -fp^ + p^+p 2 ) ~ 
- _ dll. _ #2 _ dp3 _ dpA _ 
" o ~ o " o " o " • 
De la últimas cuatro ecuaciones se obtiene que pu = Cu, k = 1,4; 
mientras que de las cuatro primeras resulta 
4 
= 2C¿£ + Dk/ k - I~4, 2 = 2 ^ Cf í + 2>5 
jfe = l 
c) A partir de las condiciones iniciales 
®fe!í=0 — ®A0/ pk\t=0 — pk 0/ fe = 1,4, 2|í=0 = 
determinamos las constantes de integración D^: 
Ck = Pito, -Dfe = A = «0/ = 1/ 
d) Escribimos las ecuaciones paramétricas de la superficie 
buscada 
®i = ±2^/1 - 4(5! - s2Y - 4s2 - 4(s2 - s3)H + 1, 
x2 - 4(51 - s2)t + Si, X3 — 4(52 - s3)t + 5i + S2, 
Xi — 4 S3t + Si + 52 + s3r Z = 2t + 5? + s\ + «3 . • 
; i i >;SÍ ni«: ?f íiü \ « Í̂ -íí ujsiijfnueMi 
Ejercicios 
Hallar las soluciones generales de las ecuaciones siguientes: 
du _ du 
V Tz + (2E - *>Ty = 
^du du 
% 2\fx- y— = 0. 
dx dy 
du du du 
3. x b y--—Y xy — = 0, 
dx u dy * dz 
du du y 
4. y u-— = 
dx dy x 
^ du 2 du 5. x^u— -t y u~ -x+y. ox oy 
du du 
6* yu xu— — e , 
* dx dy 
Hallar las soluciones de los siguientes problemas de Cauchy: 
du du 
7. x y-— = 0, uL_i = 2x. 
dx 9dy v 
ydu du 7 8> v -—h xy— = x, íiL-o = y. 
dx dy 
du du 2 9. «— + y-— — u — xy, u\x=2 = l + y . ox oy 
Hallarlas soluciones de los siguientes problemas diferenciales: 
\du du 
10. {y - u)i— + {u- ¡c) — = x - y, u = y - -x< ox oy 
? du 2 du 2 7 11. (y + 2u)—— 2%~u— = x t x — ii, y — x\ 
du „ , 
12. (z - ti)— +(y- = 2uf x~y = 2,u + 2x = l. dx dy 
du du o 
13. tg x——b " V — ** w = ^ dx " aj/ 
• 
Respuestas 
Capítulo 1 
i . - Z G ^ - ' - i r 1 * 
i 
2. y = 1 - eos se. 
u u 
3. a? — exp i J(¿ - í2 + sent) 1dt\, + J 
0,5 0,5 
l¿4 Uj «2 
exp {/"2exp{-/ ( i 
0,5 0,5 0,5 
«4 
du, 
I¡>{UÍ) = exp V í ( 
«4 ~ «4 + sen un 
0,5 
«3 
g(u3) =s exp | J - t2 -f sen í^ dt >. 
0,5 
4.y = j(l + x2). 
9. y = (e"1 + e"2®) ln (1 + e*) + eje"* + c2e~2a;. 
10. y = e~x +1) 5 / 2 + ci + c2x j . 
4=(l+l> X{1 -i)x --L(1 -H> — (1—t)ac 1 
1 1 . y = qevz -^^e^z + c3e v2 -}~C4e v2 + - s e n x . 
12. y = C l e ^ + t > + + (c3 - e~2ix + ¿e 2 í * . 
\ 24 / 32 
13. y^czx + cix2 J e~x ^x~2 dx -f C3®2. 
14. y - cix2 + c2 ( x 3 - l ) f c$íp{x), 
tp(x) = x2f dx-\-(x3-l^íe Í (x3+2) 2dx, 
, x* 4- 2 (2a;3 - 2x2 - x)tp 4- x{\ - x3)ip' 
Ci= —a(x)dx + Cio, a{x) x2 w 1U/ w (4x3 + 2)<p'- <p" (a?4 + 2x) - 6x2tp' 
_ (a;3 4- 2) (xy?' - 2p) dx 
C'2 ~ 1 + 2) - x<p") 4 3x2 (xy>' - 2y?) + C20/ 
_ x(x + l)(x3 + 2) dx 
C:í " 1 (4x3 - 2) ^ ~ 6 x V - (x4 + 2x) ^ + C3Ü* 
17. y = ci + c2e31 + C3e'3a! + 046* 4- c5e~x. 
18. y = Ci 4- c2 eos 2x 4- C3 sen 2a; + c4x sen 2a: 4- c$x eos 2x. 
19. y = C\ex 4- c2e~x 4- C3 eos x + C4 sen x. 
20. y = Cj + c2x -f C3X2 + e3ir(c4 + c^x). 
21. xe* 4- x2 4- 2. 
22. (0,lx - 0,12) • eos x - (0,3x -I- 0,34) sen x. 
23. 2(x — l)ex> 
nM x x2 24. — sen x eos x. 
4 4 
25 . Ci sen(2 ln x) 4- c2 eos (2 ln x) 4- 2x. I 
28. C! +c2 eos (y/2 ln (2x + 3)) +c3 sen (y/2 ln (2x + 3)) + - + e ln (2x +3). 
29. y=--e*^% 
1 _x 1 / . _2\ / 1 1 \ 5e~2 —13 31. y — {c\x + c2)e + -e \ c, = ^ (5 - e 2 ) - + -
_ 5e~2 - 13 
°2 ~ 4 - 12e2 * 
32. y = x2 + eos x 4- c2 sen a:) 4 e ' eos a; + c4 sen ar), 
&m2 - am4 am3 - 6m¡ 
Cl = , c2 = , A - m27/¿3 ~ ™1™4/ 
tt?! = 10 - 5e_v5ír + e 7 ^ 4- 5e_ í r / l 2 , w2 = 10\/2 ch 4 = / 
v2 
m¿ — + 4sh ~ - 1, m4 = 2^1 - c h - ^ j , c3 = -cu 
3e*/V2 _ e~*/y/2 m 1 6 - a m 3 1 + 3TT2 
c — (bm2 - ami) ^—. 
V2A A y/2 
33. y = e~x- 1. 
4 - 12e2 
34. y = — e (̂cos x — i sen 
35. y = 2x3. 
e2x - 2ex 
37. y = cos x -f -Pi(a;). 
38. yk = Cfce~2fc3rta;2. 
3 1 / 3 
39. yjfc = cfcc"^* , Afc = - rln - + (2k + 1)tt 
41. y* = ck (e~Xí£ - e~2XkX), Xk = 2kiri. 
42. ^ « ( e ^ + r - 2 ^ * " 
\ 2 + wfe - eWt 
11 sh íük - 2u)ft ch u)¡. — 4uJfc = 0. 
4 3 ' y ~ 2 ^ C i e ' C2 = C3 ^ , Ci=C3 , 
1 = 1 
m z\ • V3 Y V 3 ta A = 2 ~ Z\e 1, Zi = fj, + W, Zi — ——¡i + % í —fJL - -
/o 
J S 3 5 = " 2 + T w + ^ ~ Í " T ^ ' ^ + 3 e ' 3 ) " ^ + 3 e"2 )"" 
Z\eZl {z3 + 3e23) + z3eZ3 (zx + 3eZl) + ̂ e21 (z2 + 3e*2) - z2eZ2 (zt +3e*') = 0. 
44. yk = cfcJo (avÓÍ), Jo ( v ^ ) =0, c* 0. 
45. y* = Pfe(z), Afe = + 1). 
46. y - C (x7 - x~7) v^/ * = y ^ - A, | Re < ~. 
47. (si/)' ~ x2y + = 
48. ( e ^ 2 ) + y ) ' + (\x3 - x2) y = 0. 
50. y = 0. 
51. y - 0. 
52. y = cía; + c2. 
53. y = c\x + c2aj -f c3. 
54. y = {KX + l)ar. 
55. y ~ x. 
56. y = x f ^ x + 5 
5 7 . y" = z, 6Z'2~5ZZ" = 0. 
58. y'" = xz' + z = ex. 
59. y' = z, z"z2 - z3 = 0. 
60. y" = z, ,xz! - z{\ - x) = 0. 
61. y~l -f- — •= = 0. 
y 
62. yy' =z zí z'^í. 
63. y '^ p, p = 0, / - = 0. 
64. = p « 4 {/?> + / V ~ / = 0. 
/ ¡É ;CIX2 — COX — <%\ V — CTX^ — CJX — C3 
65. 6 - , • + 48- - ^ + 2 = 0. 
\ ar / x^ 
6 6 . 3z2 + z — 4 — 0, z — (cix2 -f C2» + c$ — y) j J ln \x\ dxJ . 
(dx)2 \ 
67 . z sen z + z2 - 2 ~ 0, M ^ m - ^ Q j 
6 8 . (z - 1 )(z - 5) = 0, á » ( i - ci®2 - c2a: ~ c3J ( J J 
i 1 f senm t dt 69. x — ±vcost t y = —~ I —. —[-C2. 2 y veos t 
ln j x\(dx) 
-1 
2* 
70. x = chH, 
y ~ ci ch 8*-f c2 ch 4¿+c3+j(IÍ c h c h >tsht chHshtdt, 
71. x Ciy 1/ = sh t + C2¿ + C3. 
72. x = CjV e _ í , 2/ = e - í ( l -t) + c2. 
73. - ^ W ^ ^ g f w f c . 
74 . y = í, x = ± I {le1 + Ci)" l /2d¿ f C2. 
75. y = t, x = ± I (2 J (1+ t4)yidt + C^j dt + C2. 
7 6 . f M É f t - d 2 , » = J . 
77. xp2 - p + C, y = 2 + Cp"1 - lnp. 
78. x = Inp 4 - y = p — lnp + C\ , 
79. x = p VÍ2 + 2/ = o (2P2 ~ 1 ) VP2 '+1 + C. 
3 
Capítulo 2 
1. x = A ^ + A 2 e ~ ^ , y = _ 
2. x = ^cie2í - 2c2e_í, y = ^c\e2t 4- 3c2e - í - ^e - 3 ' , 
z = cxe2i 4- c2e^ + c3e~3í. 
4 1 4 
3. x = Y 1 A* e h t> y = 3 X ) A k i 1 - Afe = . 
4 . x = Y AkeXkt, y = - —~eAfcí, son las raíces de 
la ecuación 4A4 + 14A3 + 17A2 4- 17A - 8 = 0. 
1 
5. y = 
6 ( C l 7 l C 2 7 2 C3T3 C 4 7 A ( e , l X e , 2 X e , 3 X e , i X ) T * k ± 6 
* 1 Ci P2 c3 Cj / v t \l + 5 
Ajb = 
-2±Vni 
10 
0 0 A4 A5 
7 . y = ( Bi B3 £ 4 (1 x c " e_í ;c eiyñ* , 
0 0 c3 c4 c5 c6 
 + 1 x-2A¡S+4A£ + 7 
A k ~ - + f̂e " "Ajfc — ¡ 3 — « = 1 ,6 . 
^ _ 46 3 5 
y = — sen x 4- - eos x 4- - x -
35 5 4 
39 
-ex - 2e2x, 
16 ~ 4 
99 H « j 14 
e - e 
40 8 3 
_ 9 10 3 ^ ^ - j , z — - sen x H eos x 4- - x -
7 7 2 
10. y = x(a sen x 4- b eos x) 4- a eos x 4- ¡3 sen x 4- mx 4- nar 4- k, 
z = x(aj sen x + ¿>i eos x) + ai eos x + fc sen x 4- mix 4- 7iix2 4- fei. 
i 4 - » = ( 5 . £ t 
_ -AÍ4-4AJ4-3 Afc — — . — 
2A2 - Ak 4- 2 
2A 2 -A f c 4-2 -Aí+4A f c 4-3 , , 
0, X — € , —3Ajt — 4 —5A¿ 4- 4Afe + 5 fe 
{«¿giHi'IW 
18 
19 
y 
i — i 311197 
276 + 107 • 27 • 540 
: 2 Í \ 
]_et 
54 214-27 
916 2i e i 
15. y = 
» » * 
* » 
\ T T Aj ) , Ak = Ck—Bk = Ck * * *r 30 
a l = 
A , = 
A , = 
w i ' f " / 
A£ + Afc - 4 -Aj + 3A| - 2A* + 3 
Aft + Ajt A* ~ Aj + 2Afc + 3 
A3-5A2fc + l A| + Afc — 4 
-A¿ + 5 A j - 2 A2. + A* 
Aj — 1 —A'fc "I- 3Afc • 
Ajt' 
2Afe+3 
-A| + 5Aj¿-2 
2 
fe — — A2 + 2Afc + 3 
Al - 5A| + 1 -A| + 3A2fc - 2A* + 3 
-A3 + 5 A J - 2 A¿ — A¿ + 2Ajt 4- 3 
—3A;¿ — 3Afc + 1 — A¿ + 3A¿ — 
2 
A4X X yx = m + A3ehx + A4e lo 
Ajt 4-4 
—Afc - A*; 
2Ajb — 1 A3fe - 2A| + 3Afe + 1 
= 0. 
« y2 = 4i(A3eA**-A4e^)-x+¡, 
3.V O 
r~ ¿ 1 1 Í 
A34 = v 2 ( - l ± i), A3 = 77 + - , A4 = . 
64 2 2 64 
V l = - x~^6) 1 
7 3 - 7 4 
2/2 = ^ h k ^ 1 6 - - J — , -
73 - 74 Aíft 
k = 
1 , . V 3 5 
ÍÍ34 — — ± 2 / Ai 
6 6 A 
A = 
rou + m3i mi2m3i - mnm32 
A 3 ~ 7 , B { - 7 
6 6 A ' 1 A 
mn(m22 + m32) + m3\m22 - mi2(m2i+ m31) - m32m21/ 
4A2 - 5 f v v 4A3 - 5 , x±\ = l + ~ 4 ( l - ^ 2 ) , «112=1 + - 4 rnu — 1 + 
A2 
m21 = 1 - 2eXl 
A , 4A2 - 5 
m31 
eA* — 1 
A2 ? 
m32 = 
\ 4A3 — 5 
m22 = 1 - 2e J 
eAa — 1 
A3 
2 0 
2 
j/ = c2CCl!r , 2 = (C!C2) e -1 
2 1 . y = c2ec'x\ z^2clolxxt^x\ 
22. y = cxec'e\ z = y'. 
23. y3 — z3 ~ Ci, j (Cx + zzy1¡Záz - ln |x| = C2. 
24. y2 + z2 = Cu x — zy — C2. 
25. xz = C\, xy + z2 — C2. 
26. — = C\, x-2y + z = C2. z 
27. x2-z2 = Cu y2-u2 = C2. 
1 1 1 1 1 1 
29. xz = C\, xy-\-z2 — C2. 
Capítulo 3 
X 
1 . u = f (yex -e2x). 2 . u = f(ye^). 3 . u = f^-,xy-2z 
4. F (xe~u, y2 - 2x(u - 1)) = 0. 
j — y íî \ 
5. F ( ln |x - y\- - = 0 
xy 2 J 
x „ v \ \ \i/2 
u = ± I 2 ( ln |x - y\ + / ' 
6. .Fj x¿ + í/z, . arcsen , ^ + e"tt ) = 0. 
V x2 + y2 V x2 + y2 
7. u = f{xy), u = 2xy. 
8. F (x2 - y2, u - ln |y|) = 0 => u = ln |y| + / (x 2 - y2), 
2 2 , 1 M u = y — x + ln —. . 
y/y2 — x2 
u = (2xi/(2 - x) + x2 + 4y2) (2x) 1. 
10. 3(x + y + uf = x2 + j/2 + 
11. 2 (x3 — 4«3 — 3yw)2 -9(y + u2f. 
n r 
12. (¡c - 3/)(3ac + y + 4ti) = 4w. 13. , / - r sen x = sen 
Indice de materias 
A 
Abel, fórmula 96 
c 
Cauchy; función de influencia 50 
combinación integrable 176 
condición de contorno 116 
homogénea 116 
C h 
Chébishev, ecuación 80 
D 
determinante de Wronski 78, 140 
E 
ecuación característica 48, 142 
— cuasüineal en derivadas parciales de 
primér^orden 198 
— de Chébishev 80 
— de Euler 80 
— de Pfaff 200 I 
— diferencial homogénea generalizada 
21 
lineal de n-ésimo orden con coefi-
cientes constantes 47 
_ — variables 78 
de segundo orden 80 
— integrable mediante dos relaciones 200 
una relación 200 
— lineal homogénea en derivadas par-
ciales 198 
— íineaiizada 172 
— no lineal en derivadas parciales de 
primer orden 223 
efecto Zeeman 168 
Euler, ecuación 80 
—, método 142 
F 
forma autoconjugada 81 
— canónica 80 
— normalizada 135 
fórmula de Abel 96 
— de Ostrogradski—Liouville 79 
función de influencia 50 
— propia (autofunción) 117 
funciones linealmente dependientes 78 
— — independientes 78 
H 
Hesse, sistema 191 
! 
integral completa 224 
integrales independientes 177 
invariante 81 
L 
Lappo-Daralievski, caso 141 
Liouville, transformación 106 
Liouville—Ostrogradski, fórmula 79 
LiouvilJe™$íurm, problema 117 
M 
matriciante 141 
matriz de Wronski 140 
— fundamental 140 
método de aproximaciones sucesivas 141 
— de eliminación 176 
— de Euler 142 
— de Lagrange y Sharpi 223 
— de variación de las constantes 49 
del vector constante 141 
o 
Ostrogradski—Liouville, fórmula 79 
p 
primera integral 177 
problema de Cauchy 199 
— de contorno 116 
— de Sturm—Liouville 117 
R 
representación simétrica de un sistema 
de ecuaciones 177 
s 
sistema de Hesse 191 
— fundamental de soluciones 79 
— lineal no homogéneo con coeficientes 
constantes 142 
coeficientes variables 139 
— normal de ecuaciones diferenciales 
176 
Sturm—Liouville, problema 117 
T 
transformación de Liouville 106 
V 
valor propio (autovalor) 117 
w 
Wronski, determinante 78, 140 
—, matriz 140 
z 
Zeeman, efecto 168 
ihn 
1 9 - 3 á