7 - EDO - AyZConsultPPT

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Cap 7.- Ecuaciones 
diferenciales ordinarias
7.- EDO’s
Desde los primeros capítulos del curso se trabajo con la formulación de la velocidad de un
paracaidista en caída. Esta formulación partió de la siguiente ecuación (basada en la segunda ley de
Newton):
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑔 −
𝑐
𝑚
𝑣
Este tipo de ecuaciones se conocen como ecuaciones diferenciales. Muchas veces también es
llamada ecuación de razón, ya que expresa la razón de cambio de una variable como una función
de variables y parámetros.
Las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel importante en la ingeniería, debido a que
muchos fenómenos físicos se formulan matemáticamente mejor en términos de su razón de
cambio.
En la ecuación anterior descrita, la variable que se está derivando (𝑣) se conoce como
variable dependiente. En cambio, la cantidad con respecto a la que se deriva 𝑣 se le llama
variable independiente (𝑡).
Cuando la función tiene una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial
ordinaria (EDO), en contraste, a las ecuaciones con 2 o más variables independientes, se les
denomina ecuaciones diferenciales parciales (EDP).
Existe otra clasificación, que es de acuerdo a el orden de la misma. Por ejemplo, la ecuación de la
diapositiva anterior se denomina EDO de primer orden, ya que la derivada mayor es una primera
derivada. Una EDO de segundo orden presentará una segunda derivada como la derivada mayor.
𝒎
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
+ 𝒄
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+ 𝒌𝒙 = 𝟎 𝒚 =
𝒅𝒙
𝒅𝒕
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
𝒎
𝒅𝒚
𝒕
+ 𝒄𝒚 + 𝒌𝒙 = 𝟎
La solución a una ecuación diferencial ordinaria es una función en
términos de la variable independiente y de parámetros constantes,
que satisfacen la ecuación diferencial original. Por ejemplo:
𝑦 = −0.5𝑥4 + 4𝑥3 − 10𝑥2 + 8.5𝑥 + 1
Si derivamos respecto de 𝑥 , obtenemos la siguiente ecuación
diferencial:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20𝑥 + 8.5
Como hemos visto, se puede llegar a determinar la ecuación diferencial al partir de la
ecuación original. Pero nuestro objetivo es obtener la ecuación original partiendo de una
ecuación diferencial.
En este caso, la solución se determina de manera analítica al integrar la ecuación:
𝑦 = න −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20𝑥 + 8.5 𝑑𝑥
𝑦 = −0.5𝑥4 + 4𝑥3 − 10𝑥2 + 8.5𝑥 + 𝐶
Es por eso que, para poder dar una solución completa, la ecuación diferencial debería estar
acompañada de condiciones auxiliares. Para esto, las EDO de primer orden requieren de un
tipo de condiciones auxiliares denominadas valor inicial.
Por ejemplo, en la ecuación diferencial antes evaluada se acompaña de la condición inicial
𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟏. Estos valores se sustituyen en la EDO:
1 = −0.5 0 4 + 4 0 3 − 10 0 2 + 8.5 0 + 𝐶
Por consiguiente, la solución única que satisface tanto la ecuación diferencial como la condición
inicial que se a determinado, se obtiene al sustituir 𝑪 = 𝟏 en la solución encontrada.
𝑦 = −0.5𝑥4 + 4𝑥3 − 10𝑥2 + 8.5𝑥 + 1
Las condiciones iniciales tiene significados tangibles en los problemas físicos estudiados. Por
ejemplo, en el problema del paracaidista en caída, la condición inicial fue tomada del hecho físico
de que en el 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 = 𝟎 𝒔 la velocidad vertical es cero.
Si el paracaidista hubiese estado en movimiento al inicio del estudio del fenómeno físico, la
solución debería modificarse tomando en cuenta las condiciones iniciales.
Cabe resaltar que cuando tratamos ecuaciones diferenciales de 𝒏-ésimo orden, necesitamos la
misma cantidad de condiciones iniciales para poder obtener una solución única.
7.1.- Método de Euler
El presente capítulo utiliza el valor de la derivada en un punto para poder calcular el siguiente,
usando la ecuación:
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝜙ℎ
De acuerdo a esta ecuación, la pendiente estimada 𝝓 se usa para extrapolar un nuevo valor 𝒚𝒊+𝟏 a
partir del valor anterior 𝒚𝒊, en una distancia 𝒉. Esta solución se ejecuta paso a paso para calcular un
valor posterior y, por lo tanto, para trazar una trayectoria de la posible solución.
Usando la estimación directa que ofrece la primera
derivada sobre la pendiente en 𝑥𝑖 dada por la
ecuación:
𝜙 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
donde 𝒇(𝒙𝒊, 𝒚𝒊) es la ecuación diferencial evaluada
en 𝒙𝒊 y 𝒚𝒊. La estimación resulta de sustituir el valor
de la pendiente en la ecuación 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝜙ℎ:
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)ℎ
Esta fórmula se conoce como el método de Euler (o
Euler – Cauchy o punto pendiente). En resumen, se
predice un nuevo valor de 𝒚 usando la pendiente
(igual a la primera derivada de la ecuación original)
para extrapolar linealmente sobre el tamaño del
paso 𝒉.
Con el método de Euler, integrar numéricamente la siguiente ecuación desde 𝑥 = 0 hasta
𝑥 = 4 con un tamaño de paso de 0.5. La condición inicial es 𝑥 = 0, 𝑦(𝑥 = 0) = 1
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −𝟐𝒙𝟑 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝟖. 𝟓
𝑦 0.5 = 𝑦 0 + 𝑓 0,1 ∗ 0.5
𝑦 0.5 = 5.25
𝑓 0,1 = −2 0 3 + 12 0 2 − 20 0 + 8.5
𝑓 0,1 = 8.5
𝑦 1 = 𝑦 0.5 + 𝑓 0.5,5.25 ∗ 0.5
𝑦 1 = 5.875
𝑓 0.5,5.25 = −2 0.5 3 + 12 0.5 2 − 20 0.5 + 8.5
𝑓 0.5,5.25 = 8.5
𝒚𝒊+𝟏 = 𝒚𝒊 + 𝒇(𝒙𝒊, 𝒚𝒊)𝒉
𝑦 0 = 1
7.2.- Método de Heun
El error del Método de Euler radica en que estimamos que la derivada en un punto es constante a
lo largo del intervalo 𝒉. Uno de los métodos que tratan de mejorar la estimación de la pendiente es
el método de Heun (predictor – corrector).
Este método usa 2 valores de la derivada (una en el punto inicial y otra en el final) para poder
estimar la derivada en el intervalo de evaluación. Las dos derivadas se promedian para dar origen a
una mejor aproximación.
𝒚′𝒊 = 𝒇(𝒙𝒊, 𝒚𝒊) 𝑦𝑖+1
0 = 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ℎ
𝑦′𝑖+1 = 𝑓(𝑥𝑖+1, 𝑦𝑖+1
0 )
ത𝑦′ =
𝑦′𝑖 + 𝑦′𝑖+1
2
=
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 + 𝑓(𝑥𝑖+1, 𝑦𝑖+1
0 )
2
𝒚𝒊+𝟏 = 𝒚𝒊 + ഥ𝒚
′𝒉
Con el método de Heun, integrar numéricamente la siguiente ecuación desde 𝑥 = 0 hasta
𝑥 = 4 con un tamaño de paso de 1. La condición inicial es 𝑥 = 0, 𝑦(0) = 2
𝒚′ = 𝟒𝒆𝟎.𝟖𝒙 − 𝟎. 𝟓𝒚
𝑦′0 = 4𝑒
0 − 0.5 2 = 3 𝑦1
0 = 𝑦0 + 𝑦
′
0
ℎ = 2 + 3 1 = 5
𝒚′𝒊 = 𝒇(𝒙𝒊, 𝒚𝒊)
𝑦𝑖+1
0 = 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ℎ
𝑦′𝑖+1 = 𝑓(𝑥𝑖+1, 𝑦𝑖+1
0 )
ത𝑦′ =
𝑦′𝑖 + 𝑦′𝑖+1
2
=
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 + 𝑓(𝑥𝑖+1, 𝑦𝑖+1
0 )
2
𝒚𝒊+𝟏 = 𝒚𝒊 + ഥ𝒚
′𝒉
𝑦′1 = 𝑓 𝑥1, 𝑦1
0 = 4𝑒0.8(1) − 0.5 5 = 6.402
ത𝑦′ =
3 + 6.402
2
= 4.701082
𝑦1 = 𝑦0 + ഥ𝑦′ ℎ = 2 + 4.07 1 = 6.7
7.3.- Método del Punto Medio
El método del punto medio, también conocido como método del
polígono mejorado, usa la extrapolación del método de Euler pero
hacia un punto medio del intervalo, es decir, ℎ/2.
𝑦𝑖+1/2 = 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 × Τℎ 2
Después, este valor predicho se usa para calcular una pendiente en
el punto medio, que representa una mejor aproximación de la
pendiente promedio en todo el intervalo. Dicha pendiente se usa
después para extrapolar el punto 𝑦𝑖+1.
𝑦′𝑖+1/2 = 𝑓(𝑥𝑖+ℎ/2, 𝑦𝑖+ℎ/2)
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦′𝑖+1/2 × ℎ
7.4.- Métodos de Runge - Kutta
Existen muchas variantes de los métodos de Runge Kutta, pero todas tienen la forma generalizada
de la siguiente ecuación:
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝜙 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , ℎ ℎ
Donde 𝜙 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , ℎ se le conoce como la función incremento, la cual puede interpretarse como una
pendiente representativa en el intervalo evaluado. La función incremento se describe en forma
general como:
𝜙 = 𝑎1𝑘1 + 𝑎2𝑘2 +⋯+𝑎𝑛 𝑘𝑛
en donde a son constantes y 𝑘 son evaluaciones de ciertos puntos definidos en la ecuación
diferencial.
7.4.1.- Runge-Kutta de segundo orden (Ralston)
𝒚𝒊+𝟏 = 𝒚𝒊 +
𝟏
𝟑
𝒌𝟏 +
𝟐
𝟑
𝒌𝟐 𝒉
Donde:
𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
𝑘2 = 𝑓 𝑥𝑖 +
3
4
ℎ , 𝑦𝑖 +
3
4
𝑘1ℎ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20𝑥 + 8.5
Con el método de Runge – Kutta 2° orden, integrar numéricamente la siguiente ecuación desde
𝒙 = 𝟎 hasta 𝒙 = 𝟒 con un tamaño de paso de 0.5. La condición inicial es 𝒙(𝟎) = 𝟎, 𝒚(𝟎) = 𝟏
𝒚𝒊+𝟏 = 𝒚𝒊 +
𝟏
𝟑
𝒌𝟏 +
𝟐
𝟑
𝒌𝟐 𝒉 𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) 𝑘2 = 𝑓 𝑥𝑖 +
3
4
ℎ , 𝑦𝑖 +
3
4
𝑘1ℎ
2.- 𝑘1 = −2 0
3 + 12 0 2 − 20 0 + 8.5 = 8.5
𝑘2 = −2 0.375
3 + 12 0.375 2 − 200.375 + 8.5 = 2.58203
𝑦2 = 1 +
1
3
× 8.5 +
2
3
× 2.58203 × 0.5 = 3.27734
𝑥2 = 𝑥1 + ℎ = 0 + 0.5 = 0.5
7.4.2.- Runge-Kutta de tercer orden
Para 𝑛 = 3 es posible efectuar un desarrollo similar al del método de segundo orden:
𝒚𝒊+𝟏 = 𝒚𝒊 +
𝟏
𝟔
𝒌𝟏 + 𝟒𝒌𝟐 + 𝒌𝟑 𝒉
Donde:
𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
𝑘2 = 𝑓 𝑥𝑖 +
1
2
ℎ , 𝑦𝑖 +
1
2
𝑘1ℎ
𝑘3 = 𝑓 𝑥𝑖 + ℎ , 𝑦𝑖 − 𝑘1ℎ + 2𝑘2ℎ
7.4.3.- Runge-Kutta de cuarto orden
El más popular de los métodos RK es el de cuarto orden:
𝒚𝒊+𝟏 = 𝒚𝒊 +
𝟏
𝟔
𝒌𝟏 + 𝟐𝒌𝟐 + 𝟐𝒌𝟑 + 𝒌𝟒 𝒉
Donde:
𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
𝑘2 = 𝑓 𝑥𝑖 +
1
2
ℎ , 𝑦𝑖 +
1
2
𝑘1ℎ
𝑘3 = 𝑓 𝑥𝑖 +
1
2
ℎ , 𝑦𝑖 +
1
2
𝑘2ℎ
𝑘4 = 𝑓 𝑥𝑖 + ℎ , 𝑦𝑖 + 𝑘3ℎ
7.4.4.- Runge-Kutta de quinto orden (Butcher)
𝒚𝒊+𝟏 = 𝒚𝒊 +
𝟏
𝟗𝟎
𝟕𝒌𝟏 + 𝟑𝟐𝒌𝟑 + 𝟏𝟐𝒌𝟒 + 𝟑𝟐𝒌𝟓 + 𝟕𝒌𝟔 𝒉
Donde:
𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)
𝑘2 = 𝑓 𝑥𝑖 +
1
4
ℎ , 𝑦𝑖 +
1
4
𝑘1ℎ
𝑘3 = 𝑓 𝑥𝑖 +
1
4
ℎ , 𝑦𝑖 +
1
8
𝑘1ℎ +
1
8
𝑘2ℎ
𝑘4 = 𝑓 𝑥𝑖 +
1
2
ℎ , 𝑦𝑖 −
1
2
𝑘2ℎ + 𝑘3ℎ
𝑘5 = 𝑓 𝑥𝑖 +
3
4
ℎ , 𝑦𝑖 +
3
16
𝑘1ℎ +
9
16
𝑘4ℎ
𝑘6 = 𝑓 𝑥𝑖 + ℎ , 𝑦𝑖 −
3
7
𝑘1ℎ +
2
7
𝑘2ℎ +
12
7
𝑘3ℎ −
12
7
𝑘4ℎ +
8
7
𝑘5ℎ
𝒚′ = 𝟒𝒆𝟎.𝟖𝒙 − 𝟎. 𝟓𝒚
𝑦 =
4
1.3
𝑒0.8𝑥 − 𝑒−0.5𝑥 + 2𝑒−0.5𝑥𝑦 = −0.5𝑥4 + 4𝑥3 − 10𝑥2 + 8.5𝑥 + 1
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −𝟐𝒙𝟑 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝟖. 𝟓
7.5.- Sistemas de EDO’s
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales utilizando RK de 4° orden, suponiendo
que en 𝑥 = 0, 𝑦1 = 4, 𝑦2 = 6. Integrar hasta 𝑥 = 2 con un paso de ℎ = 0.5.
𝑑𝑦1
𝑑𝑥
= −0.5𝑦1
𝑑𝑦2
𝑑𝑥
= 4 − 0.3𝑦2 − 0.1𝑦1
𝒚𝟏(𝒊+𝟏) = 𝒚𝟏𝒊 +
𝟏
𝟔
𝒌𝟏−𝟏 + 𝟐𝒌𝟐−𝟏 + 𝟐𝒌𝟑−𝟏 + 𝒌𝟒−𝟏 𝒉
𝑘1−1 = 𝑓1(𝑥𝑖 , 𝑦1𝑖 , 𝑦2𝑖)
𝑘2−1 = 𝑓1 𝑥𝑖 +
1
2
ℎ , 𝑦1𝑖 +
1
2
𝑘1−1ℎ, 𝑦2𝑖 +
1
2
𝑘1−2ℎ
𝑘3−1 = 𝑓1 𝑥𝑖 +
1
2
ℎ , 𝑦1𝑖 +
1
2
𝑘2−1ℎ, 𝑦2𝑖 +
1
2
𝑘2−2ℎ
𝑘4−1 = 𝑓1 𝑥𝑖 + ℎ , 𝑦1𝑖 + 𝑘3−1ℎ, 𝑦2𝑖 + 𝑘3−2ℎ
𝑘1−2 = 𝑓2(𝑥𝑖 , 𝑦1𝑖 , 𝑦2𝑖)
𝑘2−2 = 𝑓2 𝑥𝑖 +
1
2
ℎ , 𝑦1𝑖 +
1
2
𝑘1−1ℎ, 𝑦2𝑖 +
1
2
𝑘1−2ℎ
𝑘3−2 = 𝑓2 𝑥𝑖 +
1
2
ℎ , 𝑦1𝑖 +
1
2
𝑘2−1ℎ, 𝑦2𝑖 +
1
2
𝑘2−2ℎ
𝑘4−2 = 𝑓2 𝑥𝑖 + ℎ , 𝑦1𝑖 + 𝑘3−1ℎ, 𝑦2𝑖 + 𝑘3−2ℎ
𝒚𝟐(𝒊+𝟏) = 𝒚𝟐𝒊 +
𝟏
𝟔
𝒌𝟏−𝟐 + 𝟐𝒌𝟐−𝟐 + 𝟐𝒌𝟑−𝟐 + 𝒌𝟒−𝟐 𝒉
𝒙 𝒚𝟏 𝒚𝟐
0 4 6
0.5 3.115234 6.857670
1 2.426171 7.632106
1.5 1.889523 8.326886
2 1.471577 8.946865