02_Matematica

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Prefeitura de Parnamirim-RN 
Apoio Escolar 
 
 
I. Números e Operações: – Sistemas de numeração e conjuntos numéricos: números 
inteiros, racionais e irracionais, os números reais e os números complexos. Problemas 
envolvendo as operações e seus significados .......................................................................... 1 
Proporcionalidade .............................................................................................................. 37 
Porcentagem ..................................................................................................................... 58 
Juros .................................................................................................................................. 65 
Equações e inequações do 1º e do 2º graus. Equações polinomiais. Sistemas lineares .... 74 
Expressões algébricas: monômios, polinômios, produtos notáveis e fatoração ............... 117 
Funções: afim, quadrática, polinomiais, exponencial, logarítmica e trigonométricas ........ 125 
Sequências. Progressões aritméticas e geométricas ....................................................... 165 
Matrizes. Determinantes .................................................................................................. 177 
Análise combinatória ........................................................................................................ 214 
II. Espaço e Forma – Figuras geométricas planas e espaciais. Ângulos, curvas, posições 
relativas de retas, paralelismo e perpendicularismo. Deslocamento de figuras num plano. 
Simetrias, isometrias, homotéticas. Polígonos e sólidos geométricos: conceitos, características, 
propriedades. Triângulos. Quadriláteros, a circunferência, o círculo. Figuras semelhantes ou 
congruentes. Os poliedros: relação de Euler. Pirâmide, prismas, cone, cilindro e esfera ..... 224 
III. Grandezas e Medidas – Medidas de comprimento, de superfície, de massa e de volume. 
O sistema métrico decimal ................................................................................................... 317 
Sistema monetário brasileiro ............................................................................................ 321 
Perímetro e área de figuras planas. Teorema de Pitágoras. Relações métricas num 
triângulo.. ............................................................................................................................. 328 
Razões trigonométricas. Relações fundamentais ............................................................ 328 
Geometria Analítica: distância entre dois pontos, condição de alinhamento de três pontos. 
Equações da reta. Equação da circunferência...................................................................... 344 
IV. Tratamento da Informação – Estatística e Probabilidade: leitura e interpretação de tabelas 
e gráficos, média, moda e mediana, problemas de contagem e o princípio multiplicativo. 
Possibilidade ou chance de um evento. Raciocínio combinatório e o cálculo de probabilidade. 
Probabilidade condicional ..................................................................................................... 367 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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edital, para que você não estude assuntos desnecessários e nem perca tempo buscando 
conteúdos faltantes. Somando sua dedicação aos nossos cuidados, esperamos que você 
tenha uma ótima experiência de estudo e que consiga a tão almejada aprovação. 
 
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professores@maxieduca.com.br para que possa mandar suas dúvidas, sugestões ou 
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aproveitamento do Sistema de Atendimento ao Concurseiro (SAC) liste os seguintes itens: 
 
01. Apostila (concurso e cargo); 
02. Disciplina (matéria); 
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pois facilita e agiliza o processo de envio para o tutor responsável, lembrando que teremos até 
cinco dias úteis para respondê-lo (a). 
 
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SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
 
O sistema de numeração que normalmente utilizamos é o sistema de numeração decimal. 
Os símbolos matemáticos utilizados para representar um número no sistema decimal são chamados 
de algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ou algarismos indo-arábico (utilizados pelos hindus e árabes) que 
são utilizados para contagem. 
 
Leitura dos números decimais 
Cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as seguintes 
denominações: 
 
 
 
Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras: 
Décimos ...........................................: quando houver uma casa decimal; 
Centésimos.......................................: quando houver duas casas decimais; 
Milésimos.........................................: quando houver três casas decimais; 
Décimos de milésimos ........................: quando houver quatro casas decimais; 
Centésimos de milésimos ...................: quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente. 
 
Números com parte inteira 
Podemos ler os seguintes algarismos abaixo com maior facilidade. 
 
 
 
2.756 → Dois mil setecentos e cinquenta e seis. 
57.721.057 → Cinquenta e sete milhões, setecentos e vinte e um mil e cinquenta e sete. 
376.103.035 → Trezentos e setenta e seis milhões, cento e três mil e trinta e cinco. 
 
Questões 
 
01. (TRT 6ª Região - Auxiliar Judiciário - FCC) Se X é o menor número natural que tem cinco 
algarismos e Y é o maior número natural que tem quatro algarismos distintos, a diferença de X - Y é 
(A) divisível por 4. 
(B) múltiplo de 6. 
(C) maior que 150. 
(D) quadrado perfeito. 
(E) primo. 
 
02. (TRT 6ª Região - Auxiliar Judiciário - FCC) O número 0,0202 pode ser lido como: 
(A) duzentos e dois milésimos. 
(B) duzentos e dois décimos de milésimos. 
(C) duzentos e dois centésimos de milésimos. 
I. Números e Operações: – Sistemas de numeração e conjuntos numéricos: 
números inteiros, racionais e irracionais, os números reais e os números 
complexos. Problemas envolvendo as operações e seus significados 
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(D) duzentos e dois centésimos. 
(E) duzentos e dois décimos 
 
03. (TRT 6ª Região - Auxiliar Judiciário - FCC) Ao preencher corretamente um cheque no valor de 
R$ 2010,50, deve se escrever por extenso: 
(A) dois mil e cem reais e cinquenta centavos. 
(B) dois mil e dez reais e cinquenta centavos. 
(C) dois mil e dez reais e cinco centavos. 
(D) duzentos reais e dez reais e cinquenta centavos. 
(E) duzentos e um reais e cinco centavos. 
 
04. (Banco do Brasil - Escriturário - FCC) O esquema abaixo apresenta a subtração de dois números 
inteiros e maiores que 1 000, em que alguns algarismos foram substituídos por letras. 
 
Se a diferença indicada é a correta, os valores de A, B, C e D são tais que: 
(A) A < B < C < D. 
(B) B < A < D < C. 
(C) B < D < A < C. 
(D) D < A < C < B. 
(E) D < A < B < C. 
 
05. (Pref. Itaquitinga/PE - Assistente Administrativo -IDHTEC) O nosso sistema de numeração 
decimal é assim chamado, pois: 
(A) É formado por números com vírgula. 
(B) Não permite fugas para outros sistemas. 
(C) Possui apenas 9 algarismos para a formação dos números. 
(D) Possui 10 algarismos para a formação dos números e cada posição tem um significado. 
(E) Possui todas as frações possíveis. 
 
06. (SME/SP - Professor - FGV) Um professor, preocupado com a leitura de gráficos e tabelas em 
uma turma de 6º ano preparou uma atividade de leitura de tabelas para seus alunos. Aproveitou para 
fornecer conhecimentos sobre as somas envolvidas nos lucros de uma lanchonete. A atividade tinha o 
seguinte enunciado: 
Nos dias atuais, existem grandes redes de lanchonetes, algumas multinacionais, isto é, espalhadas 
em vários países do mundo. Essas redes são dirigidas a partir de seus países de origem, para onde é 
enviada uma parte do lucro de cada produto consumido. As cifras envolvidas são de valor muito alto, 
como mostra a tabela com dados de 2015. 
 
 
A partir das informações apresentadas, assinale a afirmativa correta. 
(A) São usados oito zeros para escrever o número que representa o total mundial do faturamento da 
empresa McPizza, em dólares, no ano de 2015. 
(B) A diferença, em dólares, entre o faturamento mundial da rede McPizza e o da empresa que faturou 
menos, em 2015, é de 13 bilhões de dólares. 
(C) A diferença entre o faturamento mundial da rede San Duiches e seu faturamento no Brasil, em 
2015, é de 5 675 000 000 ou 5 675 milhões ou 5, 675 bilhões. 
(D) Estando a cotação do dólar em 3,78 reais, o faturamento mundial da empresa Ram Burger, em 
2015, foi de 32,4 bilhões de reais. 
(E) Considerando a cotação do dólar do item acima, cada loja no Brasil da rede Mac Pizza faturou, em 
média, 550 mil reais em 2015. 
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Comentários 
 
01. Resposta: A 
Como X é o menor número natural de 5 algarismos temos que: 
X = 1 0 0 0 0 
E Y é o maior natural de 4 algarismos distintos: 
Y = 9 8 7 6 
Logo a diferença X - Y: 
10000 - 9876 = 124, que é divisível por 4. 
 
02. Resposta: B 
Como temos 4 casas decimais, lemos então com décimos de milésimos, 
Logo: duzentos e dois décimos de milésimos. 
 
03. Resposta: B 
Dois mil e dez reais e cinquenta centavos. 
 
04. Resposta: C 
Temos que: 
A 1 5 B – 2 C D 8 = 4 2 1 8 
A 1 5 B = 4 2 1 8 + 2 C D 3 
 
+ somando as unidades 8 + 3 = 11 → B = 1; 1 + 1 + D = 5 → D = 5 – 1 – 1 → D = 3 → 2 + C = 11 
→ C = 11 – 2 → C = 9 → 1 + 4 + 2 = A → A = 7 
1 < 3 < 7 < 9 
B < D < A < C 
 
05. Resposta: D 
Possui 10 algarismos para a formação dos números e cada posição tem um significado é verdadeiro 
→0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Unidade, dezena, centena, etc. 
 
06. Resposta: C 
C – 5,7 x 109 – 25 x 106 = 5.675.000.000 ou 5 675 milhões ou 5,675 bilhões - Correta 
 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANA 
 
É o sistema mais usado depois do decimal, utiliza-se para: 
- designação de séculos e datas; 
- indicação de capítulos e volumes de livros; 
- nos nomes de papas e imperadores; 
- mostradores de alguns relógios, etc. 
 
Utilizam-se sete letras maiúsculas(símbolos) para designa-los: 
 
 
 
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Regras para escrita dos números romanos 
01. Se a direita vem um símbolo de igual ou menor valor somamos ao valor dessa. 
Exemplos: 
VI = (5 + 1) = 6 
XXI = (10 + 10 + 1) = 21 
LXVII = (50 + 10 + 5 + 1 + 1) = 67 
 
02. Se a esquerda vem um símbolo de menor valor subtraímos do maior. 
Exemplos: 
IV = (5 - 1) = 4 
IX = (10 - 1) = 9 
XL = (50 - 10) = 40 
XC = (100 - 10) = 90 
CD = (500 - 100) = 400 
CM = (1000 - 100) = 900 
 
03. Não se pode repetir o mesmo símbolo por mais de três vezes seguidas. 
Exemplos: 
XIII = 13 
XIV = 14 
XXXIII = 33 
XXXIV = 34 
 
04. A letra "V", "L" e a "D" não podem se duplicar, pois as letras “X”,”C” e “M” representam um valor 
duplicado. 
Exemplos: 
XX = 20(10 + 10) 
CC = 200(100 + 100) 
MM = 2.000 (1000 + 1000) 
 
05. Se entre dois símbolos quaisquer, existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a 
ela. 
Exemplos: 
XIX = 19(X = 10 + IX = 9;19) 
LIV = 54(L = 50 + IV = 4;54) 
CXXIX = 129 (C = 100 + XX = 20 + IX = 9; 129) 
 
06. O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em 
cima dos mesmos. 
Exemplos: 
 
 
Tabela dos números Maiores que 2100 
 
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Questões 
 
01. (Marinha do Brasil - Marinheiro - EAM) Qual é a representação do número 745 em algarismos 
romanos? 
(A) CDXLV 
(B) DCCXLV 
(C) DCCXV 
(D) CDXV 
(E) DCCCXXV 
 
02. (Pref. Chapecó/SC - Engenheiro de Trânsito - IOBV) O valor do número romano MCM no sistema 
de numeração decimal, é: 
(A) 1.800 
(B) 1.100 
(C) 1.400 
(D) 1.900 
 
03. (SAAE de Aimorés/MG - Ajudante - MÁXIMA) Os números romanos XXII, XV, XXV, 
correspondem aos números decimais, respectivamente: 
(A) 12, 5, 13; 
(B) 22, 15, 25; 
(C) 12, 4, 15; 
(D) 12, 6, 15. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B 
Sabemos que precisamos decompor o número para formá-lo: 
500 – D 
200 – CC 
45 – XLV 
Juntando tudo temos 745 = DCCXLV. 
 
02. Resposta: D 
MCM: 
M será 1000 
Como o “C” vem antes do “M” então será subtração. 
CM = 1000 – 100 = 900 
Assim o número gerado será 1000 + 900 = 1900. 
 
03. Resposta: B 
XXII = 12; 
XV = 15; 
XXV = 25. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z 
 
Definimos o conjunto dos números inteiros1 como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0, 
1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela 
letra Z (Zahlen = número em alemão). 
 
 
 
1IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções 
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O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: 
 
Atenção: A nomenclatura utilizada abaixo pode interferir diretamente no contexto de uma questão, 
tome muito cuidado ao interpreta-los, pois são todos diferentes (Z+ , Z_ , Z*). 
 
- O conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} 
Z* = Z – {0} 
 
- O conjunto dos números inteiros não negativos: 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N 
 
- O conjunto dos números inteiros positivos: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} 
 
- O conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
- O conjunto dos números inteiros negativos: 
Z*- = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
 
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, 
na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. 
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. 
 
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma 
zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. 
Exemplo: O oposto do número 3 é -3, e o oposto de -3 é 3, pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de 
zero é o próprio zero. 
 
 
Operações entre Números Inteiros 
Adição de Números Inteiros 
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de 
ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. 
 
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) 
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) 
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) 
Perder8 + ganhar 5 = perder 3 (- 8) + (+ 5) = (- 3) 
 
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo 
nunca pode ser dispensado. 
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Subtração de Números Inteiros 
A subtração é empregada quando: 
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. 
 
A subtração é a operação inversa da adição. 
Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 
4 + 5 = 9 
4 – 5 = -1 
 
Considere as seguintes situações: 
 
1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a 
variação da temperatura? 
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 
 
2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura 
baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? 
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 
 
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). 
Temos: 
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 
 
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto 
do segundo. 
 
Fique Atento: todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., entre outros, precedidos de sinal 
negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto. 
Ex.: 
10 – (10+5) = 
10 – (+15) = 
10 – 15 = 
- 5 
 
Multiplicação de Números Inteiros 
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são 
repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma 
quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e 
esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem 
nenhum sinal entre as letras. 
 
Divisão de Números Inteiros 
 
- Divisão exata de números inteiros. 
 Veja o cálculo: 
(– 20) : (+ 5) = q  (+ 5) . q = (– 20)  q = (– 4) 
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Logo (– 20) : (+ 5) = - 4 
 
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro 
por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. 
Exemplo: (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado 
não é um número inteiro. 
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência 
do elemento neutro. 
- Não existe divisão por zero. 
- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer 
número inteiro por zero é igual a zero. 
Exemplo: 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 
 
Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão 
→ Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo. 
→ Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo. 
 
Potenciação de Números Inteiros 
A potência xn do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número x é 
denominado a base e o número n é o expoente. xn = x . x . x . x ... x, x é multiplicado por x, n vezes. 
 
 
Exemplos: 
33 = (3) x (3) x (3) = 27 
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 
(-7)² = (-7) x (-7) = 49 
(+9)² = (+9) x (+9) = 81 
 
- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 
 
- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (–8)2 = (–8) . (–8) = +64 
 
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. 
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 
 
- Propriedades da Potenciação: 
 
1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. 
(–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 
 
2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. 
(-13)8 : (-13)6 = (-13)8 – 6 = (-13)2 
 
3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. 
[(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 
 
4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. 
(-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 
 
5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. 
(+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 
 
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Radiciação de Números Inteiros 
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo b que elevado à potência n fornece o número x. O número n é o índice da raiz enquanto que 
o número x é o radicando (que fica sob o sinal do radical). 
 
√𝑥
𝑛
 = b 
bn = x 
 
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número x. 
 
Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números 
inteiros. 
 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas 
aparecimento de: 
9
 = ± 3, mas isto está errado. O certo é: 
9
 = +3 
 
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte 
em um número negativo. 
 
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro 
que elevado ao cubo seja igual ao número x. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos 
números não negativos. 
 
Exemplos: 
(a) 
3 8
 = 2, pois 2³ = 8 
(b) 
3 8−
 = –2, pois (–2)³ = -8 
(c) 
3 27
= 3, pois 3³ = 27 
(d) 
3 27−
 = –3, pois (–3)³ = -27 
 
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: 
(1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. 
(2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros 
Para todo a, b e c ∈ 𝑍 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a.(b.c) 
6) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b + c) = ab + ac 
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a.(b – c) = ab – ac 
 
Atenção: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, continua 
como resultado um número natural. 
 
Questões 
 
01. (Fundação Casa – Agente Educacional – VUNESP) Para zelar pelos jovens internados e orientá-
los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades educativas, 
bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” e “atitudes 
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10 
 
negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse suas 
atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude 
negativa. Se um jovem classificoucomo positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total de pontos 
atribuídos foi 
(A) 50. 
(B) 45. 
(C) 42. 
(D) 36. 
(E) 32. 
 
02. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior 
quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o 
troco recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
 
03. (BNDES – Técnico Administrativo – CESGRANRIO) Multiplicando-se o maior número inteiro 
menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado será 
(A) - 72 
(B) - 63 
(C) - 56 
(D) - 49 
(E) – 42 
 
04. (Polícia Militar/MG - Assistente Administrativo - FCC) Em um jogo de tabuleiro, Carla e Mateus 
obtiveram os seguintes resultados: 
 
Ao término dessas quatro partidas, 
(A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. 
(B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. 
(C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. 
(D) Carla e Mateus empataram. 
 
05. (Pref. de Palmas/TO – Técnico Administrativo Educacional – COPESE/UFT) Num determinado 
estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. Durante uma ronda dos agentes de 
trânsito, foi observado que o número total de rodas nesse estacionamento era de 124 (desconsiderando 
os estepes dos veículos). Sabendo que haviam 12 motos no estacionamento naquele momento, é 
CORRETO afirmar que estavam estacionados: 
(A) 19 carros 
(B) 25 carros 
(C) 38 carros 
(D) 50 carros 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
11 
 
06. (Casa da Moeda) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e 
Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números positivos indicam a 
quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em 
cada cidade. 
 
O número de passageiros que chegou a Belém foi: 
(A) 362 
(B) 280 
(C) 240 
(D) 190 
(E) 135 
 
07. (Pref.de Niterói/RJ) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Supondo que 
durantes o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC, a diferença de temperatura entre o dia 
e noite, em ºC será de: 
(A) 10 
(B) 35 
(C) 45 
(D) 50 
(E) 55 
 
08. (Pref.de Niterói/RJ) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que 
custa R$ 420,00. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35,00 por mês, o número de meses 
que ele levará para adquirir a televisão será: 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 15 
 
09. (Pref.de Niterói/RJ) Um estudante empilhou seus livros, obtendo uma única pilha 52cm de altura. 
Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem espessura 
de 3cm, o número de livros na pilha é: 
(A) 10 
(B) 15 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 22 
 
10. (FINEP – Assistente Administrativo – CESGRANRIO) Um menino estava parado no oitavo 
degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada tinha 25 
degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou novamente. 
A quantos degraus do topo da escada ele parou? 
(A) 8 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 15 
(E) 19 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
50-20=30 atitudes negativas 
20.4=80 
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12 
 
30.(-1)=-30 
80-30=50 
 
02. Resposta: D 
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento 
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do 
orçamento. 
Troco:2200 – 2174 = 26 reais 
 
03. Resposta: D 
Maior inteiro menor que 8 é o 7 
Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. 
Portanto: 7(- 7) = - 49 
 
04. Resposta: C 
Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos 
Mateus: - 280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos 
Diferença: 575 – 450 = 125 pontos 
 
05. Resposta: B 
Moto: 2 rodas 
Carro: 4 
12.2=24 
124-24=100 
100/4=25 carros 
 
06. Resposta: D 
240 - 194 + 158 - 108 + 94 = 190 
 
07. Resposta: E 
45 – (- 10) = 55 
 
08. Resposta: D 
420: 35 = 12 meses 
 
09. Resposta: D 
São 8 livros de 2 cm: 8.2 = 16 cm 
Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm, temos: 
52 - 16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 
36 : 3 = 12 livros de 3 cm 
O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. 
 
10. Resposta: E 
 8 + 13 = 21 
21– 15 = 6 
25 – 6 = 19 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q 
 
Um número racional2 é o que pode ser escrito na forma 
n
m
, onde m e n são números inteiros, sendo que 
n deve ser diferente de zero. Frequentemente utilizamos m/n para significar a divisão de m por n. 
 
2IEZZI, Gelson - Matemática- Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 1 – Conjuntos e Funções 
http://mat.ufrgs.br 
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13 
 
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números 
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum 
encontrarmos na literatura a notação: 
Q = {
n
m
: m e n em Z, n diferente de zero} 
 
 
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: 
 
Atenção: A nomenclatura utilizada abaixo pode interferir diretamente no contexto de uma 
questão, tome muito cuidado ao interpreta-los, pois são todos diferentes (Q+ , Q_ , Q*). 
 
- Q* = conjunto dos racionais não nulos; 
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos; 
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos; 
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos; 
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 
 
Representação Decimal das Frações 
Tomemos um número racional 
q
p , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, 
basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
1º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos: 
 
2º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-
se periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 
 
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma 
característica especial: 
 
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14 
 
 Aproveitando o exemplo acima temos 0,333... = 3. 1/101 + 3 . 1/102 + 3 . 1/103 + 3 . 1/104 ... 
 
Representação Fracionária dos Números Decimais 
Trata-se do problema inverso, estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos 
escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 
1º Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o 
denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do 
número decimal dado: 
 
 
2º Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento 
através de alguns exemplos: 
 
a) Seja a dízima 0, 333... 
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3) ➔ então vamos colocar um 9 no 
denominador e repetir no numerador o período. 
 
 
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3
. 
b) Seja a dízima 5, 1717... 
O período que se repete é o 17, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 5 é a 
parte inteira, logo ele vem na frente: 
 
5
17
99
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5.99 + 17) = 512, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
512
99
 
 
Assim, a geratriz de5,1717... é a fração 
99
512
. 
 
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração, basta utilizarmos o 
dígito 9 no denominador de acordo com a quantidade de dígitos que tiver o período da dízima. 
 
c) Seja a dízima 1, 23434... 
O número 234 é a junção do anteperíodo com o período. Neste caso dizemos que a dízima periódica 
é composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Temos então um anteperíodo 
(2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o anteperíodo (234-2), obtemos 232 no qual será o 
numerador. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 
99 (dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o anteperíodo, neste caso 
0 (um zero). 
 
 
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15 
 
1
232
990
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
1222
990
 
 
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611
, que será a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa 
zero. 
 
 
Exemplos: 
1) Módulo de – 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3
−
 = 
2
3
 
 
2) Módulo de + 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3
+
 = 
2
3
 
 
Números Opostos: Dizemos que –
2
3
 e 
2
3
 são números racionais opostos ou simétricos e cada um 
deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 
2
3
 e 
2
3
 ao ponto zero da reta são iguais. 
 
Inverso de um Número Racional 
 
(
𝒂
𝒃
)
−𝒏
, 𝒂 ≠ 𝟎 = (
𝒃
𝒂
)
𝒏
, 𝒃 ≠ 𝟎 
 
Representação geométrica dos Números Racionais 
 
 
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. 
 
Soma (Adição) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição 
entre os números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que a soma de frações, através de: 
 
 
Subtração de Números Racionais 
 A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto 
de q, isto é: p – q = p + (–q), onde p =
b
a
e q = 
d
c
. 
 
 
 
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16 
 
Multiplicação (Produto) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto 
de dois números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que o produto de frações, através de: 
 
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que 
vale em toda a Matemática: 
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o 
produto de dois números com sinais diferentes é negativo. 
 
 
 
Divisão (Quociente) de Números Racionais 
 A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo 
inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
.
𝒅
𝒄
 
 
Potenciação de Números Racionais 
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a 
base e o número n é o expoente. 
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) 
 
Exemplos: 
 
Propriedades da Potenciação: 
1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 
 
2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
 
 
3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra 
potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente 
anterior. 
 
 
 
 
 
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17 
 
4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 
 
5) Toda potência com expoente par é um número positivo. 
 
6) Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 
 
7) Divisão de potências de mesma base. Para reduzir uma divisão de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
 
8) Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, 
conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 
 
Radiciação de Números Racionais 
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz 
do número. 
Exemplos: 
1) 
9
1
 Representa o produto 
3
1
.
3
1
ou 2
3
1






.Logo,
3
1
é a raiz quadrada de 
9
1
. 
Indica-se 
9
1 = 
3
1
 
 
2) 0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 
3 216,0
= 0,6. 
 
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. 
Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada no conjunto dos números racionais. 
Por exemplo, o número 
9
100
−
 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 
3
10
−
 como 
3
10
+
, quando elevados 
ao quadrado, dão 
9
100
. 
Já um número racional positivo, só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um 
quadrado perfeito. 
E o número 
3
2
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado 
dê 
3
2
. 
 
 
 
 
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18 
 
Questões 
 
01. (Pref. Jundiaí/SP– Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Na escola onde estudo, ¼ 
dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como favorita e os 
demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm ciências como 
disciplina favorita? 
(A) 1/4 
(B) 3/10 
(C) 2/9 
(D) 4/5 
(E) 3/2 
 
02. (Fundação CASA – Agente de Apoio Operacional – VUNESP) De um total de 180 candidatos, 
2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3 estuda espanhol e o restante estuda alemão. O número de 
candidatos que estuda alemão é: 
(A) 6. 
(B) 7. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
03. (Fundação CASA – Agente de Apoio Operacional – VUNESP) Em um estado do Sudeste, um 
Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617,16 e uma gratificação de 
R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou faltar um dia e foi 
descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou 
(A) R$ 810,81. 
(B) R$ 821,31. 
(C) R$ 838,51. 
(D) R$ 841,91. 
(E) R$ 870,31. 
 
04. (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo: 
1,3333…+
3
2
1,5+
4
3
 
 
Obtém-se 
(A) ½. 
(B) 1. 
(C) 3/2. 
(D) 2. 
(E) 3. 
 
05. (SABESP – Aprendiz – FCC) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões 
marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os 
jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é 
sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar 
os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência 
(A) −4; −1; √16; √25;
14
3
 
(B) −1; −4; √16; 
14
3
; √25 
(C) −1; −4; 
14
3
; √16; √25 
(D) −4; −1; √16;
14
3
; √25 
(E)−4; −1; 
14
3
; √16; √25 
 
06. (SABESP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC) Somando-se certo número positivo x ao 
numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado, 
o número 5. Sendo assim, xé igual a 
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19 
 
(A) 52/25. 
(B) 13/6. 
(C) 7/3. 
(D) 5/2. 
(E) 47/23. 
 
07. (SABESP – Aprendiz – FCC) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: 
 − 1 real: ¼ das moedas 
− 50 centavos: 1/3 das moedas 
− 25 centavos: 2/5 das moedas 
− 10 centavos: as restantes 
 Mariana totalizou a quantia contida no cofre em 
(A) R$ 62,20. 
(B) R$ 52,20. 
(C) R$ 50,20. 
(D) R$ 56,20. 
(E) R$ 66,20. 
 
08. (PM/SE – Soldado 3ªclasse – FUNCAB) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 
pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as 
mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. 
Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? 
(A) 145 
(B) 185 
(C) 220 
(D) 260 
(E) 120 
 
09. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Quando perguntado sobre 
qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: 
“O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. 
Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: 
(A) 40 anos. 
(B) 35 anos. 
(C) 45 anos. 
(D) 30 anos. 
(E) 42 anos. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: B. 
Somando português e matemática: 
1
4
+
9
20
=
5 + 9
20
=
14
20
=
7
10
 
O que resta gosta de ciências: 
1 −
7
10
=
3
10
 
 
02. Alternativa: C. 
 
2
5
+
2
9
+
1
3
 
Mmc(3,5,9)=45 
 
 
18+10+15
45
=
43
45
 
O restante estuda alemão: 2/45 
 180 ∙
2
45
= 8 
 
 
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20 
 
03. Alternativa: D. 
 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617,16 + 185,15 = 802,31 
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8,5 ∙ 8 = 68 
 𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802,31 + 68,00 − 28,40 = 841,91 
Salário foi R$ 841,91. 
 
04. Alternativa: B. 
1,3333...= 12/9 = 4/3 
1,5 = 15/10 = 3/2 
4
3 +
3
2
3
2 +
4
3
=
17
6
17
6
= 1 
 
05. Alternativa: D. 
 √16 = 4 
 √25 = 5 
 
14
3
= 4,67 
A ordem crescente é: −4; −1; √16;
14
3
; √25 
 
06. Alternativa: B. 
Lá vem o tal do “x” né, mas analise o seguinte, temos a fração 
2
3
, aí ele disse o seguinte: Somando-se 
certo número positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração, 
logo devemos somar “x” no 2 e subtrair “x” de 3, ficando: 
2 + x
3 − x
 
Isso é igual a 5, assim teremos formada nossa equação com números racionais! 
2+x
3−x
= 5, para resolver devemos multiplicar em cruz (como não tem ninguém no denominador do 5, 
devemos colocar o 1). 
 
1.(2 + x) = 5.(3 – x) 
Aplicando a propriedade distributiva: 
2 + x = 15 – 5x 
Letra para um lado e número para o outro, não esquecendo que quando troca de lado inverte o número. 
x + 5x = 15 – 2 
6x = 13 
x = 
13
6
 
Portanto a alternativa correta é a “B”. 
 
07. Alternativa: A. 
1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙
1
4
= 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
1
3
∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
2
5
∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,20 
 
Mariana totalizou R$ 62,20. 
 
08. Alternativa: A. 
 800 ∙
3
4
= 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 
 
 600 ∙
1
5
= 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 
Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
21 
 
 800 ∙
1
4
= 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 ou 800-600=200 mulheres 
 
 200 ∙
1
8
= 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 
 
Total de pessoas detidas: 120+25=145 
 
09. Alternativa: C. 
 
9
5
∙
75
3
=
675
15
= 45 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS - I 
 
Os números racionais, são aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração a/b onde a e b são 
dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos 
da impossibilidade matemática da divisão por zero. 
Em algum momento em nossas vidas vimos também, que todo número racional pode ser escrito na 
forma de um número decimal periódico, também conhecido como dízima periódica. 
 
Vejam os exemplos de números racionais a seguir: 
3 / 4 = 0,75 = 0, 750000... 
- 2 / 3 = - 0, 666666... 
1 / 3 = 0, 333333... 
2 / 1 = 2 = 2, 0000... 
4 / 3 = 1, 333333... 
- 3 / 2 = - 1,5 = - 1, 50000... 
0 = 0, 000... 
 
Existe, entretanto, outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração a/b, 
conhecidos como números irracionais. 
 
Exemplo: 
O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica: 
x = 0,10100100010000100000... 
 
Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números 
reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são: 
e = 2,718281828459045..., 
Pi (𝜋) = 3,141592653589793238462643... 
 
Que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros 
de gravidade, previsão populacional, etc. 
 
Classificação dos Números Irracionais 
 
- Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo 
número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, 
multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por 
exemplo: 
 . 
A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não podem ser expressos através de 
radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffini. 
 
- Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias 
constantes matemáticas são transcendentes, como pi ( ) e o número de Euler ( ). Pode-se dizer que 
existem mais números transcendentes do que números algébricos (a comparação entre conjuntos 
infinitos pode ser feita na teoria dos conjuntos). 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
22 
 
A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feito usando-se números 
complexos. 
 
Identificação de Números Irracionais 
Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que: 
- Todas as dízimas periódicas são números racionais. 
- Todos os números inteiros são racionais. 
- Todas as frações ordinárias são números racionais. 
- Todas as dízimas não periódicas são números irracionais. 
- Todas as raízes inexatas são números irracionais. 
- A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. 
- A diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional. 
 
Exemplos: 
1) √3 - √3 = 0 e 0 é um número racional. 
- O quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional. 
 
2) √8 : √2 = √4 = 2 e 2 é um número racional. 
- O produto de dois números irracionais, pode ser um número racional. 
 
3) √5 . √5 = √25 = 5 e 5 é um número racional. 
 
- A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais, resulta num 
conjunto denominado conjunto R dos números reais. 
- A interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui 
elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio ( ∅ ). 
Simbolicamente, teremos: 
 
Q ∪ I = R 
Q ∩ I = ∅ 
 
Questões 
 
01. (TRF 2ª – Técnico Judiciário – FCC) Considere as seguintes afirmações: 
I. Para todo número inteiro x, tem-se 
4𝑥−1 + 4𝑥 + 4𝑥+1
4𝑥−2 + 4𝑥−1
= 16,8 
 
II. (8
1
3 + 0,4444…) :
11
135
= 30 
 
III. Efetuando-se (√6 + 2√5
4
) 𝑥(√6 − 2√5
4
) obtém-se um número maior que 5. 
 
Relativamente a essas afirmações, é certo que 
(A) I,II, e III são verdadeiras. 
(B) Apenas I e II são verdadeiras. 
(C) Apenas II e III são verdadeiras. 
(D) Apenas uma é verdadeira. 
(E) I,II e III são falsas.1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
23 
 
02. (DPE/RS – Analista Administração – FCC) A soma S é dada por: 
𝑆 = √2 + √8 + 2√2 + 2√8 + 3√2 + 3√8 + 4√2 + 4√8 + 5√2 + 5√8 
Dessa forma, S é igual a 
(A) √90 
(B) √405 
(C) √900 
(D) √4050 
(E) √9000 
 
03. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) O resultado do produto: (2√2 + 1) ∙ (√2 − 1) 
é: 
(A) √2 − 1 
(B) 2 
(C) 2√2 
(D) 3 − √2 
 
04. (CBTU – METROREC – Analista de Gestão – CONSULPLAN) Sejam os números irracionais: x 
= √3, y = √6, z = √12 e w = √24. Qual das expressões apresenta como resultado um número natural? 
(A) yw – xz. 
(B) xw + yz. 
(C) xy(w – z). 
(D) xz(y + w). 
 
05. (DETRAN/RJ- Assistente Técnico de identificação Civil - MAKIYAMA) Assinale a seguir o 
conjunto a que pertence o número √2: 
(A) Números inteiros. 
(B) Números racionais. 
(C) Números inteiros e naturais. 
(D) Números racionais e irracionais. 
(E) Números irracionais. 
 
06. (UFES – Técnico em Contabilidade – UFES) Sejam x e y números reais. É CORRETO afirmar: 
(A) Se x e y são números racionais e não inteiros, então y. x é um número racional e não inteiro. 
(B) Se x é um número irracional e y é um número racional, então y+ x é um número irracional. 
(C) Se x e y são números racionais e não inteiros, então y + x é um número racional e não inteiro. 
(D) Se x é um número irracional e y é um número racional, então y. x é um número irracional. 
(E) Se x e y são números irracionais, então y. x é um número irracional. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: B 
 
I 
4𝑥(4−1+1+4)
4𝑥(4−2+4−1)
 
 
 
1
4
+5
1
16
+
1
4
=
1+20
4
1+4
16
=
21
4
5
16
=
21
4
∙
16
5
=
21∙4
5
= 16,8 
 
II 
 8
1
3 = √8
3
= 2 
10x = 4,4444... 
- x = 0,4444..... 
9x = 4 
x = 4/9 
 
 (2 +
4
9
) :
11
135
=
18+4
9
∙
135
11
=
22
9
∙
135
11
=
2∙135
9
= 30 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
24 
 
III 
 √62 − 20
4
= √16
4
= 2 
Portanto, apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
 
02. Alternativa: D 
𝑆 = 15√2 + 15√8 
√8 = 2√2 
𝑆 = 15√2 + 30√2 = 45√2 
𝑆 = √452. 2 
𝑆 = √4050 
 
03. Alternativa: D 
(2√2 + 1) ∙ (√2 − 1) = 2(√2)
2
− 2√2 + √2 − 1 
= 4 − √2 − 1 = 3 − √2 
 
04. Alternativa: A 
Vamos testar as alternativas: 
A) √6 . √24 − √3 . √12 = √6 . 24 − √3 . 12 = √144 − √36 = 12 − 6 = 6 
 
05. Alternativa: E 
Como √2, não tem raiz exata, logo é um número Irracional 
 
06. Alternativa: B 
Esta questão pede as propriedades dos números irracionais: 
-A soma de um número racional r com um número irracional i é um número irracional r'. 
-O produto de um número racional r, não nulo, por um número irracional i é um número irracional r'. 
-Vejam que a D só estaria correta se cita-se "não nulo". 
-Na letra E não é aplicável a propriedade do fechamento para os irracionais. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R 
 
O conjunto dos números reais3 R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba 
não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. 
Assim temos: 
 
R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não será irracional, e vice-versa). 
 
Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo: 
 
 
O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: 
- Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} 
- Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} 
- Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} 
 
3IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
25 
 
- Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0} 
- Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0} 
 
Representação Geométrica dos números reais 
 
 
 
Ordenação dos números reais 
 
A representação dos números reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números reais 
positivos, são maiores que zero e os negativos, menores que zero. Expressamos a relação de ordem da 
seguinte maneira: 
Dados dois números Reais a e b, 
 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 
 
Exemplo: -15 ≤ 5 ↔ 5 - ( - 15) ≥ 0 
 5 + 15 ≥ 0 
 
Intervalos reais 
 
O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são 
determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b. 
 
Em termos gerais temos: 
- A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
 
> ;< ou ] ; [ 
 
- A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
≥ ; ≤ ou [ ; ] 
 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. 
 
 
 
Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores em 
sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou 
reais em débito, em haver e etc. Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado 
direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos. 
 
Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem o 
sinal. 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
26 
 
Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. 
 
Operações com números relativos 
 
1) Adição e subtração de números relativos 
a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. 
b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do 
maior numeral. 
Exemplos: 
3 + 5 = 8 
4 - 8 = - 4 
- 6 - 4 = - 10 
- 2 + 7 = 5 
 
2) Multiplicação e divisão de números relativos 
a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. 
b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. 
Exemplos: 
- 3 x 8 = - 24 
- 20 (-4) = + 5 
- 6 x (-7) = + 42 
28 2 = 14 
 
Questões 
 
01. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN) Mário 
começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. Considere que a cada partida ele 
conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na 
partida anterior. Se na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos algarismos da 
quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 7. 
(D) 8. 
(E) 10. 
 
02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere m um número 
real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III: 
I- (20 – m) é um número menor que 20. 
II- (20 m) é um número maior que 20. 
III- (20 m) é um número menor que 20. 
É correto afirmar que: 
(A) I, II e III são verdadeiras. 
(B) apenas I e II são verdadeiras. 
(C) I, II e III são falsas. 
(D) apenas II e III são falsas. 
 
03. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Na figura abaixo, o ponto 
que melhor representa a diferença 
3
4
−
1
2
 na reta dos números reais é: 
 
(A) P. 
(B) Q. 
(C) R. 
(D) S. 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
27 
 
04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá-
las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. 
Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a 
alternativa correspondente à quantidadede lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um 
máximo de 100 lâmpadas. 
(A) 36. 
(B) 57. 
(C) 78. 
(D) 92. 
 
05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) Para ir de sua casa à escola, 
Zeca percorre uma distância igual a 
3
4
 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto diferente. 
Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 
7
5
 de um quilômetro, 
então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a 
(A) 
2
3
 
 
(B) 
3
4
 
 
(C) 
1
2
 
 
(D) 
4
5
 
 
(E) 
3
5
 
 
06. (TJ/SP - Auxiliar de Saúde Judiciário - Auxiliar em Saúde Bucal – VUNESP) Para numerar as 
páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por exemplo, para 
numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 mL de tinta. O 
total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em mL, será 
(A) 1,111. 
(B) 2,003. 
(C) 2,893. 
(D) 1,003. 
(E) 2,561. 
 
07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
 
08. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS/2016) Numa divisão com números inteiros, o 
resto vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual ao dobro do divisor. 
Assim, é correto afirmar que o valor do dividendo é igual a: 
(A) 145. 
(B) 133. 
(C) 127. 
(D) 118. 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
28 
 
09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Quatro números inteiros serão sorteados. 
Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o 
número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 
15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os 
números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a 
(A) 87. 
(B) 59. 
(C) 28. 
(D) 65. 
(E) 63. 
 
10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP) O valor de uma aposta em certa loteria foi 
repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno, 
que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta 
foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional 
ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu 
(A) R$ 74.000,00. 
(B) R$ 93.000,00. 
(C) R$ 98.000,00. 
(D) R$ 102.000,00. 
(E) R$ 106.000,00. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: D. 
Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 
* 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 
2.x = 3791 + 15 
x = 3806 / 2 
x = 1903 
 
* 3ª partida: 1903 = 2.x – 15 
2.x = 1903 + 15 
x = 1918 / 2 
x = 959 
 
* 2ª partida: 959 = 2.x – 15 
2.x = 959 + 15 
x = 974 / 2 
x = 487 
* 1ª partida: 487 = 2.x – 15 
2.x = 487 + 15 
x = 502 / 2 
x = 251 
Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. 
 
02. Alternativa: C. 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 
 
03. Alternativa: A. 
3
4
−
1
2
= 
3 − 2
4
= 
1
4
= 0,25 
 
04. Alternativa: D. 
Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas. 
Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva 
nas três equações abaixo: 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
29 
 
De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total 
De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total 
De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total 
Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100: 
7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém) 
7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. 
 
05. Alternativa: E. 
Ida + volta = 7/5 . 1 
3
4
 . 𝑥 + 𝑥 =
7
5
 
 
5.3𝑥+ 20𝑥=7.4
20
 
 
15𝑥 + 20𝑥 = 28 
35𝑥 = 28 
 
𝑥 =
28
35
 (: 7/7) 
 
𝑥 =
4
5
 (volta) 
 
Ida: 
3
4
 .
4
5
= 
3
5
 
 
06. Alternativa: C. 
1 a 9 = 9 algarismos = 0,0019 = 0,009 ml 
De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 
99 – 10 + 1 = 90. 
OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 
90 números de 2 algarismos: 0,00290 = 0,18ml 
De 100 a 999 
999 – 100 + 1 = 900 números 
9000,003 = 2,7 ml 
1000 = 0,004ml 
Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893 
 
07. Alternativa: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
08. Alternativa: B. 
Tendo D = dividendo; d = divisor; Q = quociente e R = resto, podemos escrever essa divisão como: 
D = d.Q + R 
Sabemos que o R = 5 
O divisor é o R + 3 → d = R + 3 = 5 + 3 = 8 
E o quociente o dobro do divisor → Q = 2d = 2.8 = 16 
Montando temos: D = 8.16 + 5 = 128 + 5 = 133. 
 
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30 
 
09. Alternativa: B. 
* número 40: é par. 
40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 
* número 35: é ímpar. 
Seu maior divisor é 35. 
35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* número 66: é par. 
66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 
* número 27: é ímpar. 
Seu maior divisor é 27. 
27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* Por fim, vamos somar os resultados: 
37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 
 
10. Alternativa: B. 
Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim: 
* Breno: 
𝟏
𝟐
 .
𝟏
𝟑
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
𝟏
𝟔
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
x = 62000 . 6 
x = R$ 372000,00 
* Carlos: 
 
𝟏
𝟒
 . 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS – C 
 
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos 
deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no 
universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). 
No século XVIII, o matemático suíço Leonhard Euler passou a representar √−1 por i, convenção que 
utilizamos até os dias atuais. 
Assim: √−1 = i, que passamos a chamar de unidade imaginária. 
A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente 
conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números 
complexos, que representamos por C. 
 
Números Complexos (forma algébrica) 
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, 
ou seja: 
z = (x, y) 
onde x ∈ R e y ∈ R. 
 
Então, por definição, se z = (x, y) = (x, 0) + (0, y)(0, 1) onde i = (0,1), podemos escrever que: 
z = (x, y) = x + yi 
 
Exemplos 
(5, 3) = 5 + 3i 
(2, 1) = 2 + i 
(-1, 3) = - 1 + 3i 
 
Dessa forma, todo o números complexo z = (x, y) pode ser escrito na forma z = x + yi, conhecido como 
forma algébrica, onde temos: 
x = Re(z), parte real de z 
y = Im(z), parte imaginária de z 
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31 
 
Igualdade entre Números Complexos 
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte 
real e a parte imaginária. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos que: 
z1 = z2 <==> a = c e b = d 
 
Adição de Números Complexos 
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e 
imaginárias desses números. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos que: 
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i 
 
Subtração de Números Complexos 
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e 
imaginárias desses números. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos que: 
z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i 
 
Multiplicação de Números Complexos 
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicação de dois binômios, 
observando os valores das potência de i. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos que: 
 
z1.z2 = a.c + a.di + b.ci + b.di2 
Como i2 = - 1, temos: 
z1.z2= ac + adi + bci - bd 
Agrupando os membros: 
z1.z2= ac – bd + adi + bci → (ac – bd) + (ad + bc)i 
 
Nota: As propriedades da adição, subtração e multiplicação válidas para os Reais são válidas para os 
números complexos. 
 
Conjugado de um Número complexo 
Dado z = a + bi, define-se como conjugado de z (representa-se por 𝑧̅) ==> 𝑧̅ = a - bi 
 
Exemplo 
z = 3 - 5i ==> 𝑧̅ = 3 + 5i 
z = 7i ==> 𝑧̅ = - 7i 
z = 3 ==> 𝑧̅ = 3 
 
Propriedade: 
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre um número real. 
𝑧. 𝑧̅ ∈ 𝑅 
 
Divisão de Números Complexos 
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo 
conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que: 
 
 
Potências de i 
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então: 
i0 = 1 
i1 = i 
i2 = -1 
i3 = i2.i = -1.i = -i 
i4 = i2.i2=-1.-1= 1 
i5 = i4. 1=1.i= i 
i6 = i5. i =i.i=i2= -1 
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32 
 
i7 = i6. i =(-1).i= -i ...... 
 
Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-
se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão 
de n por 4. 
Exemplo: i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63= i3 = -i 
 
Módulo de um Número Complexo 
Dado z = a + bi, chama-se módulo de z, indicado por |z| ou 𝜌 , a distância entre a origem (O) do plano 
de Gauss e o afixo de z (P). 
| z |= 𝜌 =√ 𝑎2 + 𝑏2 
 
Interpretação Geométrica 
Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso 
para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira 
 
 
Em particular temos que: 
 
 
 
Forma polar dos Números Complexos 
Da interpretação geométrica, temos que: 
 
 
Que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo. 
 
Exemplo 
 
A multiplicação de dois números complexos na forma polar: 
A = |A| [cos(a) + i sen(a)] 
B = |B| [cos(b) + i sen(b)] 
 
É dada pela Fórmula de De Moivre: 
AB = |A||B| [cos(a + b) + i sen(a + b)] 
Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar 
os seus módulos e somar os seus argumentos. 
Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso 
A = cos(a) + i sen(a) 
B = cos(b) + i sen(b) 
 
 
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33 
 
Multiplicando A e B, obtemos 
AB = cos(a + b) + i sen(a + b) 
 
Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para 
todo número complexo z e também para todo número real z: 
eiz = cos(z) + i sen(z) 
 
Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra 
forma para representar números complexos unitários A e B, como: 
A = eia = cos(a) + i sen(a) 
B = eib = cos(b) + i sen(b) 
 
Onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim, ei(a+b) = cos(a + b) + isen(a + b) 
 
Por outro lado ei(a+b) = eia . eib = [cos(a) + isen(a)] [cos(b) + isen(b)] 
 
E desse modo ei(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) + i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)] 
 
Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, 
logo 
cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) 
sen(a + b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a) 
 
Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma 
cos(a + (-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b) 
sen(a + (-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a) 
 
Para obter 
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) 
sen(a - b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b) 
 
Operações na forma polar 
 
Sejam z1=𝜌1(cos 𝜃1+ i sen𝜃1) e z2=𝜌1(cos𝜃2+i sen𝜃2). Então, temos que: 
 
a) Multiplicação 
 
b) Divisão 
 
c) Potenciação 
 
d) Radiciação 
 
 
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1 
 
Observe que o item c) e d) acima representa a resolução pela Fórmula de Moivre. 
 
Exemplo 
Calcular a raiz quadrada do número complexo: 
 
 
 
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34 
 
A raiz quadrada de um complexo é dada pela segunda fórmula de Moivre, com n = 2: 
 
Para k = 0, teremos: 
 
 
Questões 
 
01. (IFF – Conhecimentos Gerais – CESPE – 2018) Se i é a unidade imaginária complexa, isto é, i é tal 
que i² = - 1, então o valor absoluto no número complexo é igual a 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
02. (PM/SP – Cabo – CETRO) Assinale a alternativa que apresenta o módulo do número complexo 
abaixo. 
 
𝑧 =
(1 + 2𝑖)2
𝑖
 
(A) 36. 
(B) 25. 
(C) 5. 
(D) 6. 
 
03. (TRF/2ªRegião – Técnico Judiciário – FCC) Considere a igualdade x + (4 + y). i = (6 − x) + 2yi, 
em que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. O módulo do número complexo z = x + yi, é 
um número 
(A) maior que 10. 
(B) quadrado perfeito. 
(C) irracional. 
(D) racional não inteiro. 
(E) primo. 
 
04. (CPTM – Almoxarife – MAKIYAMA) Assinale a alternativa correspondente à forma trigonométrica 
do número complexo z = 1 + i: 
(A) 𝒛 = √2(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
 
(B) 𝑧 = 2(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
 
(C) 𝑧 =
√2
2
(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
 
(D) 𝑧 =
1
2
(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
 
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35 
 
(E) 𝑧 =
√2
2
(cos
𝜋
3
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
) 
 
05. (CPTM – Almoxarife – MAKIYAMA) O valor do módulo do número complexo (i62 + i123) é: 
(A) Um número natural. 
(B) Um número irracional maior que 5. 
(C) Um número racional menor que 2. 
(D) Um número irracional maior que 3. 
(E) Um número irracional menor que 2. 
 
06. (Pref de Itaboraí - Professor) O inverso do número complexo 
1 + √5𝑖
2
 é: 
(𝐴) 
1 + √5𝑖
2
 
 
(𝐵) 
1 − √5𝑖
2
 
 
(C) 1 − √5𝑖 
 
(𝐷) 
1 + √5𝑖
3
 
 
(𝐸) 
1 − √5𝑖
3
 
 
07. (UFPA) A divisão 
1 + 2𝑖
1 − 𝑖
 dá como resultado 
(A) 
−1
2
−
3
2
𝑖 
 
(B) 
1
2
+
3
2
𝑖 
 
(C) 
−1
2
+
3
2
𝑖 
 
(D) 
1
2
−
3
2
𝑖 
 
08. (PUC/SP) Se f(z) = z2 - z + 1, então f (1 - i) é igual a: 
(A) i 
(B) - i + 1 
(C) - i 
(D) i -1 
(E) i + 1 
 
09. (UCMG) O complexo z, tal que 5z + 𝑧̅ = 12 +16i, é igual a: 
(A) - 2 + 2i 
(B) 2 - 3i 
(C) 1 + 2i 
(D) 2 + 4i 
(E) 3 + i 
 
10. (Viçosa/MG) A parte real de 
2 + 3𝑖
2 − 3𝑖
 é: 
(A) -2/13 
(B) -5/13 
(C) -1/13 
(D) -4/13 
 
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36 
 
11. (Mack – SP) O conjugado de 
2 − 𝑖
𝑖
 , vale: 
(A) 1 - 2i 
(B) 1 + 2i 
(C) 1 + 3i 
(D) -1 + 2i 
(E) 2 - i 
 
Comentários01. Resposta: C 
Vamos dividir o complexo dado, mas para isto devemos lembrar da propriedade de divisão de números 
complexos, onde diz que devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do 
denominador, ficando assim: 
7 + 𝑖
1 − 𝑖
 .
1 + 𝑖
1 + 𝑖
= 
(7 + 𝑖). (1 + 𝑖)
(1 − 𝑖). (1 + 𝑖)
= 
7 + 7𝑖 + 𝑖 + 𝑖² 
1 + 𝑖 − 𝑖 − 𝑖²
= 
7 + 8𝑖 − 1
1 + 1
= 
6 + 8𝑖
2
= 3 + 4𝑖 
Agora devemos calcular o valor absoluto, ou seja, o módulo do complexo, mas lembre-se |z| = √𝑎2 + 𝑏² 
Então no nosso caso teremos: 
√32 + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 
 
02. Resposta: C 
𝑧 =
1 + 4𝑖 − 4
𝑖
=
−3 + 4𝑖
𝑖
∙
𝑖
𝑖
= 3𝑖 + 4 
 
|𝑧| = √32 + 4² = 5 
 
03. Resposta: E 
x = 6 - x 
x = 3 
4 + y = 2y 
y = 4 
 
|𝑧| = √32 + 4² = 5 
 
04. Resposta: A 
 
𝜌 = √12 + 1² = √2 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
1
√2
=
√2
2
= 𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝜃 =
𝜋
4
 
𝑧 = √2(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
 
05. Resposta: E 
62/4=15 e resto 2 então i62=i2= -1 
123/4=30 e resto 3 então i123=i3=-i, como 𝑖 = √−1 
𝑖62 + 𝑖123 = −1 − √−1 
 
06. Resposta: E 
O inverso de z é 1/z : 
2
1 + √5𝑖
=
2
1 + √5𝑖
.
1 − √5𝑖
1 − √5𝑖
=
2 − 2√5𝑖
12 − (√5𝑖)2
=
2 − 2√5𝑖
1 − 5𝑖2
=
2 − 2√5𝑖
6
=
1 − √5𝑖
3
 
 
 
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37 
 
07. Resposta: C 
Temos que a = 1; b = 2; c = 1; d = - 1 
Através da fórmula já vista vamos efetuar a divisão: 
(
𝑎𝑐 + 𝑑𝑏
𝑐2 + 𝑑2
) + (
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑐2 + 𝑑2
) 𝑖 → (
1.1 + (−1). 2
12 + (−1)2
) + (
2.1 − (1. (−1))
12 + (−1)2
) 𝑖 → 
 
1 − 2
2
+
2 + 1
2
𝑖 →
−1
2
+
3
2
𝑖 
 
08. Resposta: C 
f(z) = z2 – z + 1 ➔ (1 - i)2 – (1 - i) + 1 ➔ 1 - 2i + i2 – 1 + i +1 ➔ i2 – i + 1; como i2 = - 1, então: - 1 – i + 
1 = - i 
 
09. Resposta: D 
A fórmula do número complexo é z = a + bi, e de seu conjugado será 𝑧̅ = a - bi 
Logo temos: 
5.(a + bi) + (a - bi) = 12 + 16i ➔ 5a + 5bi + a – bi = 12 + 16i ➔ 6a + 4bi = 12 + 16i, para um número 
complexo ser igual ao outro, vamos igualar a parte real com a parte real e a parte imaginária com a parte 
imaginária: 
6a = 12 ➔ a = 2; 4bi = 16i ➔ b = 4 
Montando o complexo: z = a + bi ➔ z = 2 + 4i 
 
10. Resposta: B 
(
𝑎𝑐 + 𝑑𝑏
𝑐2 + 𝑑2
) + (
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑐2 + 𝑑2
) 𝑖 
 
Como queremos a parte real, vamos utilizar a primeira parte da fórmula: 
(
2.2 + 3. (−3)
22 + (−3)2
) =
4 − 9
4 + 9
=
−5
13
 
 
11. Resposta: D 
Vamos multiplicar o denominador e numerador pelo conjugado do denominador – i. Lembre-se que i2 
= - 1 
 
2 − 𝑖
𝑖
.
−𝑖
−𝑖
→
−2𝑖 + 𝑖2
−𝑖2
→
−2𝑖 − 1
−(−1)
→ −2𝑖 − 1 
Temos que o conjugado de um número complexo é: a + bi ➔ a - bi, logo 
-1 – 2i ➔ -1 + 2i 
 
 
 
RAZÃO 
 
Razão4 é o quociente (divisão) entre dois números (quantidades, medidas, grandezas). 
 
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 𝑎: 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 
Onde: 
 
 
4IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://educacao.globo.com 
Proporcionalidade 
 
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38 
 
Você tem que ficar atento ao fato da frase que estiver o contexto, pois depende da ordem em que for 
expressa. 
 
Exemplos 
01. Em um vestibular para o curso de marketing, participaram 3600 candidatos para 150 vagas. A 
razão entre o número de vagas e o número de candidatos, nessa ordem, foi de 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑔𝑎𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
=
150
3600
=
1
24
 
 
Lemos a fração como: Um vinte e quatro avos ( pronuncia-se “ávos”). 
 
02. Em um processo seletivo diferenciado, os candidatos obtiveram os seguintes resultados: 
− Alana resolveu 11 testes e acertou 5 
− Beatriz resolveu 14 testes e acertou 6 
− Cristiane resolveu 15 testes e acertou 7 
− Daniel resolveu 17 testes e acertou 8 
− Edson resolveu 21 testes e acertou 9 
O candidato contratado, de melhor desempenho, (razão de acertos para número de testes), foi: 
 𝐴𝑙𝑎𝑛𝑎:
5
11
= 0,45 
 
 𝐵𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧:
6
14
= 0,42 
 
 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑎𝑛𝑒:
7
15
= 0,46 
 
 𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙:
8
17
= 0,47 
 
 𝐸𝑑𝑠𝑜𝑛:
9
21
= 0,42 
 
Daniel teve o melhor desempenho pois 0,47 foi o maior número. 
 
- Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, essas devem ser expressas na mesma 
unidade. 
 
Razões Especiais 
 
Escala 
Muitas vezes precisamos ilustrar distâncias muito grandes de forma reduzida, então utilizamos a 
escala, que é a razão da medida no mapa com a medida real (ambas na mesma unidade). 
 
𝐸 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
 
Velocidade Média 
É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. As unidades utilizadas são km/h, 
m/s, entre outras. 
𝑉 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
Densidade 
É a razão entre a massa de um corpo e o seu volume. As unidades utilizadas são g/cm³, kg/m³, entre 
outras. 
𝐷 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
 
 
 
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39 
 
PROPORÇÃO 
 
É uma igualdade entre duas razões. 
 
Dada as razões 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
 , à setença de igualdade 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 chama-se proporção5. 
Onde: 
 
Exemplo 
1 - O passageiro ao lado do motorista observa o painel do veículo e vai anotando, minuto a minuto, a 
distância percorrida. Sua anotação pode ser visualizada na tabela a seguir: 
 
Distância percorrida (em km) 2 4 6 8 ... 
Tempo gasto (em min) 1 2 3 4 ... 
 
Nota-se que a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é sempre igual a 2: 
 
2
1
= 2 ; 
4
2
= 2 ; 
6
3
= 2 ; 
8
4
= 2 
Então: 
 
2
1
=
4
2
= 
6
3
=
8
4
 
 
Dizemos que os números da sucessão (2,4,6, 8, ...) são diretamente proporcionais aos números da 
sucessão (1,2,3,3, 4, ...). 
 
Propriedades da Proporção 
 
1 - Propriedade Fundamental 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, a. d = b. c 
 
Exemplo 
Na proporção 
45
30
=
9
6
 ,(lê-se: “45 está para 30, assim como 9 está para 6.), aplicando a propriedade 
fundamental, temos: 45.6 = 30.9 = 270 
 
2 - A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a 
soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑐 + 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 3
2
=
6 + 9
6
→
5
2
=
15
6
= 30 𝑜𝑢 
2 + 3
3
=
6 + 9
9
→
5
3
=
15
9
= 45 
 
3 - A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim 
como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑏
𝑎
=
𝑐 − 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
 
 
5IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://educacao.globo.com 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
40 
 
Exemplo 
2
3
=
6
9
 → 
2 − 3
2
=
6 − 9
6
→
−1
2
=
−3
6
= −6 𝑜𝑢 
2 − 3
3
=
6 − 9
9
→
−1
3
=
−3
9
= −9 
 
4 - A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está 
para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=𝑐
𝑑
 
 
Exemplo 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 6
3 + 9
=
2
3
 →
8
12
=
2
3
= 24 𝑜𝑢 
2 + 6
3 + 9
=
6
9
 →
8
12
=
6
9
= 72 
 
5 - A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada 
antecedente está para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo 
6
9
=
2
3
 → 
6 − 2
9 − 3
=
6
9
 →
4
6
=
6
9
= 36 𝑜𝑢 
6 − 2
9 − 3
=
2
3
 →
4
6
=
2
3
= 12 
 
Problemas envolvendo razão e proporção 
01. Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a usuários internos e 
o número de atendimento total aos usuários (internos e externos), em um determinado dia, nessa ordem, 
foi de 3/5. Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total, 
o número de usuários atendidos foi: 
A) 84 
B) 100 
C) 217 
D) 280 
E) 350 
 
Resolução: 
Usuários internos: i 
Usuários externos: e 
Sabemos que neste dia foram atendidos 140 externos → e = 140 
𝑖
𝑖+𝑒
=
3
5
=
𝑖
𝑖+140
 , usando o produto dos meios pelos extremos temos 
 
5i = 3(i + 140) → 5i = 3i + 420 → 5i – 3i = 420 → 2i = 420 → i = 
420
2
 → i = 210 
i + e = 210 + 140 = 350 
Resposta “E” 
 
02. Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. A razão do número de 
candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: 
A) 2/3 
B) 3/5 
C) 5/10 
D) 2/7 
E) 6/7 
 
Resolução: 
 
 
Resposta “B” 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
41 
 
03. Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados, 
sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos 
chegaram no horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de alunos 
que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e número de alunos que chegaram no horário, nessa 
ordem, foi de: 
A) 2:3 
B) 1:3 
C) 1:6 
D) 3:4 
E) 2:5 
 
Resolução: 
Se 
2
5
 chegaram atrasados 
1 −
2
5
=
3
5
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
2
5
∙
1
4
=
1
10
 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30min𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜
=
1
10
3
5
 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
1
10
∙
5
3
=
1
6
 𝑜𝑢 1: 6 
 
Resposta “C” 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Cerquilho/SP – Professor de Ensino Fundamental I – Metro Capital Soluções/2018) 
Durante um campeonato de tiro ao alvo, José disparou 12 vezes. Sabendo que a razão do número de 
acertos para o total de disparos foi de 3/4 (três quartos), quantos disparos José acertou? 
(A) 7. 
(B) 10. 
(C) 4. 
(D) 7. 
(E) 9. 
 
02. (Colégio Pedro II – Professor – Colégio Pedro II/2018) O trabalho infantil é um dos mais graves 
problemas do país. 
 
De acordo com a Pesquisa Nacional de Amostra por Domicílio (PNAD 2015), mais de 2,7 milhões de 
crianças e adolescentes, de 5 a 17 anos, estão em situação de trabalho no Brasil – no mundo, são 152 
milhões que estão no trabalho precoce. 
 
Disponível em: http://www.chegadetrabalhoinfantil.org.br. Acesso em: 30 jul. 2018 
De acordo com os dados apresentados, a fração que representa o número de meninas em situação 
de trabalho infantil no Brasil é: 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
42 
 
(A) 2/3 
(B) 5/10 
(C) 9/27 
(D) 94/100 
 
03. (FUNCABES – Escriturário – PROMUN/2018) Em um concurso público em que participaram 3000 
candidatos, 1800 foram aprovados. A razão do número de candidatos aprovados para o total de 
candidatos participantes do concurso é: 
(A) 2/3 
(B) 3/5 
(C) 5/10 
(D) 2/7 
 
04. (MPE/SP – Oficial de Promotoria – VUNESP) Alfredo irá doar seus livros para três bibliotecas da 
universidade na qual estudou. Para a biblioteca de matemática, ele doará três quartos dos livros, para a 
biblioteca de física, um terço dos livros restantes, e para a biblioteca de química, 36 livros. O número de 
livros doados para a biblioteca de física será 
(A) 16. 
(B) 22. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E)18. 
 
05. (EBSERH/HUPA – Técnico em Informática – IDECAN) Entre as denominadas razões especiais 
encontram-se assuntos como densidade demográfica, velocidade média, entre outros. Supondo que a 
distância entre Rio de Janeiro e São Paulo seja de 430 km e que um ônibus, fretado para uma excursão, 
tenha feito este percurso em 5 horas e 30 minutos. Qual foi a velocidade média do ônibus durante este 
trajeto, aproximadamente, em km/h? 
(A) 71 km/h 
(B) 76 km/h 
(C) 78 km/h 
(D) 81 km/h 
(E) 86 km/h. 
 
06. (SEPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA) Em uma ação policial, foram apreendidos 1 
traficante e 150 kg de um produto parecido com maconha. Na análise laboratorial, o perito constatou que 
o produto apreendido não era maconha pura, isto é, era uma mistura da Cannabis sativa com outras 
ervas. Interrogado, o traficante revelou que, na produção de 5 kg desse produto, ele usava apenas 2 kg 
da Cannabis sativa; o restante era composto por várias “outras ervas”. Nesse caso, é correto afirmar que, 
para fabricar todo o produto apreendido, o traficante usou 
(A) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas. 
(B) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas. 
(C) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas. 
(D) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas. 
(E) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas. 
 
07. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de Educação Básica – GR Consultoria e Assessoria) Eu tenho 
duas réguas, uma que ao quebrar ficou com 24 cm de comprimento e a outra tem 30 cm, portanto, a 
régua menor é quantos por cento da régua maior? 
(A) 90% 
(B) 75% 
(C) 80% 
(D) 85% 
 
08. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Uma cidade A, com 120 km de vias, 
apresentava, pela manhã, 51 km de vias congestionadas. O número de quilômetros de vias 
congestionadas numa cidade B, que tem 280 km de vias e mantém a mesma proporção que na cidade A, 
é 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
43 
 
(A) 119 km. 
(B) 121 km. 
(C) 123 km. 
(D) 125 km. 
(E) 127 km. 
 
09. (FINEP – Assistente – CESGRANRIO) Maria tinha 450 ml de tinta vermelha e 750 ml de tinta 
branca. Para fazer tinta rosa, ela misturou certa quantidade de tinta branca com os 450 ml de tinta 
vermelha na proporção de duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta branca. 
Feita a mistura, quantos ml de tinta branca sobraram? 
(A) 75 
(B) 125 
(C) 175 
(D) 375 
(E) 675 
 
10. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – VUNESP) A medida do comprimento de um salão retangular 
está para a medida de sua largura assim como 4 está para 3. No piso desse salão, foram colocados 
somente ladrilhos quadrados inteiros, revestindo-o totalmente. Se cada fileira de ladrilhos, no sentido do 
comprimento do piso, recebeu 28 ladrilhos, então o número mínimo de ladrilhos necessários para revestir 
totalmente esse piso foi igual a 
(A) 588. 
(B) 350. 
(C) 454. 
(D) 476. 
(E) 382. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
A razão do número de acertos para o total é de 
3
4
 e o total de disparos foi 12, assim a proporção fica 
da seguinte forma: 
3
4
=
𝑥
12
 
4x = 3.12 
4x = 36 
x = 
36
4
 
x = 9 
 
02. Resposta: C 
Vamos resolver este pela forma mais simples, nos dados apresentados temos que 2 em cada 3 
crianças em situação de trabalho infantil são do sexo masculino, assim sobra apenas 1 em cada 3 para 
o sexo feminino, em fração seria 
1
3
, mas não temos esta resposta, porém temos 
9
27
 que nada maisé que 
1
3
 porém não está simplificado, assim 
1
3
=
9
27
. 
 
03. Resposta: B 
De acordo com a ordem que foi expressa devemos ter 1800 no numerador e 3000 será o denominador, 
ficando assim: 
1800
3000
, simplificando: 
18
30
=
3
5
 
 
04. Resposta: E 
X = total de livros 
Matemática = ¾ x, restou ¼ de x 
Física = 
1
3
.
1
4
 = 1/12 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
44 
 
Química = 36 livros 
Logo o número de livros é: 
3𝑥
4
 + 
1𝑥
12
 + 36 = x 
Fazendo o m.m.c. dos denominadores (4,12) = 12 
Logo: 
9𝑥 + 1𝑥 + 432 = 12𝑥
12
→ 10𝑥 + 432 = 12𝑥 → 12𝑥 − 10𝑥 = 432 → 2𝑥 = 432 → 𝑥 =
432
2
→ 𝑥 = 216 
 
Como a Biblioteca de Física ficou com 1/12x, logo teremos: 
1
12
. 216 =
216
12
= 18 
 
05. Resposta: C 
5h30min = 5,5h, transformando tudo em hora e suas frações. 
430
5,5
= 78,18 𝑘𝑚/ℎ 
 
06. Resposta: C 
O enunciado fornece que a cada 5kg do produto temos que 2kg da Cannabis sativa e os demais outras 
ervas. Podemos escrever em forma de razão 
2
5
, logo: 
2
5
. 150 = 60𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑛𝑛𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 150 − 60 = 90𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠 
 
07. Resposta: C 
Como é a razão do menor pelo maior temos: 24/30 = 0,80. 100 = 80% 
 
08. Resposta: A 
A razão da cidade A será: 
51
120
 
 
A da cidade B será: 
𝑐𝑜𝑛𝑔𝑒𝑠𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
280
 
 
Como seguem a mesma proporção teremos a seguinte proporção: 
51
120
= 
𝑥
280
 
 
120.x = 51. 280 → x = 14280 / 120 → x = 119 km 
 
09. Resposta: A 
Como temos duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta branca a fração ficará 
2
3
temos 
ainda que ela utilizou 450ml de tinta vermelha, então vamos encontrar o quanto ela utilizou de tinta branca 
e depois descobrir o quanto sobrou do total (750ml) 
2
3
= 
450
𝑥
 
2x = 450. 3 → x = 1350 / 2 → x = 675 ml de tinta branca foram utilizadas. 
Sobraram: 750 ml – 675 ml = 75 ml 
 
10. Resposta: A 
Chamando de C o comprimento e de L a largura, teremos a seguinte proporção 
𝐶
𝐿
= 
4
3
 
Como no comprimento foram utilizados 28 ladrilhos, teremos C = 28 e substituindo na proporção, ficará: 
28
𝐿
= 
4
3
 
 
4L = 28. 3 
L = 
84
4
 
L = 21 ladrilhos 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
45 
 
Como teremos 28 ladrilhos no comprimento e 21 na largura, a quantidade total será dada pela área 
dessa região retangular, ou seja, o produto do comprimento pela largura. 
Assim, o total de ladrilhos foi de 28. 21 = 588. 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser 
resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples6. 
Vejamos a tabela abaixo: 
 
 
 
Exemplos 
01. Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 
210 km? 
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. 
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. 
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies 
diferentes que se correspondem em uma mesma linha: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas 
distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, 
indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna 
“litros de álcool”: 
 
6MARIANO, Fabrício. Matemática Financeira para Concursos. 3ª Edição. Rio de Janeiro. Elsevier,2013. 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
46 
 
 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos: 
 
180
210
=
15
𝑥
→ 𝑐𝑜𝑚𝑜 180 𝑒 210 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 30, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
180: 30
210: 30
=
15
𝑥
 
 
1806
2107
=
15
𝑥
→ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠) → 6𝑥 = 7.15 
6𝑥 = 105 → 𝑥 =
105
6
= 𝟏𝟕, 𝟓 
 
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. 
 
02. Viajando de automóvel, à velocidade de 50 km/h, eu gastaria 7 h para fazer certo percurso. 
Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? 
 
Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as 
grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é 
indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna 
“tempo”: 
 
 
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos: 
7
𝑥
=
80
50
, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 →
7
𝑥
=
808
505
→ 7.5 = 8. 𝑥 → 𝑥 =
35
8
→ 𝑥 = 4,375 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Como 0,375hora corresponde a 22 minutos aproximadamente (0,375 x 60 minutos), então o percurso 
será feito em 4 horas e 22 minutos aproximadamente. 
 
03. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 
km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 300 km/h, que tempo teria gasto no 
percurso? 
 
Vamos representar pela letra x o tempo procurado. 
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (180 km/h e 300 km/h) com dois valores 
da grandeza tempo (20 s e x s). 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
47 
 
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três. 
 
 
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; 
logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 180 e 300 são inversamente 
proporcionais aos números 20 e x. 
Daí temos: 
180.20 = 300. 𝑥 → 300𝑥 = 3600 → 𝑥 =
3600
300
→ 𝑥 = 12 
 
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 300 km/h, teria gasto 12 segundos para 
realizar o percurso. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 3 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas. 
 
De acordo com essas informações, o número de casos registrados na cidade de Campinas, até 28 de 
abril de 2014, teve um aumento em relação ao número de casos registrados em 2007, aproximadamente, 
de 
(A) 70%. 
(B) 65%. 
(C) 60%. 
(D) 55%. 
(E) 50%. 
 
02. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo – VUNESP) Um título foi pago com 10% de desconto 
sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315,00, é correto afirmar que o valor total 
desse título era de 
(A) R$ 345,00. 
(B) R$ 346,50. 
(C) R$ 350,00. 
(D) R$ 358,50. 
(E) R$ 360,00. 
 
03. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Manoel vendeu seu carro por R$27.000,00(vinte 
e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do tal veículo, por 
quanto Manoel adquiriu o carro em questão? 
(A) R$24.300,00 
(B) R$29.700,00 
(C) R$30.000,00 
(D)R$33.000,00 
(E) R$36.000,00 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
48 
 
04. (Pref. Guarujá/SP – Professor de Matemática – CAIPIMES) Em um mapa, cuja escala era 
1:15.104, a menor distância entre dois pontos A e B, medida com a régua, era de 12 centímetros. Isso 
significaque essa distância, em termos reais, é de aproximadamente: 
(A) 180 quilômetros. 
(B) 1.800 metros. 
(C) 18 quilômetros. 
(D) 180 metros. 
 
05. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) A Bahia (...) é o maior produtor de cobre 
do Brasil. Por ano, saem do estado 280 mil toneladas, das quais 80 mil são exportadas. 
O Globo, Rio de Janeiro: ed. Globo, 12 mar. 2014, p. 24. 
 
Da quantidade total de cobre que sai anualmente do Estado da Bahia, são exportados, 
aproximadamente, 
(A) 29% 
(B) 36% 
(C) 40% 
(D) 56% 
(E) 80% 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um comerciante comprou uma caixa com 90 balas 
e irá vender cada uma delas por R$ 0,45. Sabendo que esse comerciante retirou 9 balas dessa caixa 
para consumo próprio, então, para receber o mesmo valor que teria com a venda das 90 balas, ele terá 
que vender cada bala restante na caixa por: 
(A) R$ 0,50. 
(B) R$ 0,55. 
(C) R$ 0,60. 
(D) R$ 0,65. 
(E) R$ 0,70. 
 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 25 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre a capacidade de retirada de água dos sistemas de abastecimento, 
em metros cúbicos por segundo (m3/s): 
 
De acordo com essas informações, o número de segundos necessários para que o sistema Rio Grande 
retire a mesma quantidade de água que o sistema Cantareira retira em um segundo é: 
(A) 5,4. 
(B) 5,8. 
(C) 6,3. 
(D) 6,6. 
(E) 6,9. 
 
08. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP) Certo material para laboratório foi adquirido 
com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Sabendo-se que o valor pago nesse material foi 
R$ 1.170,00, é possível afirmar corretamente que seu preço normal de venda é 
(A) R$ 1.285,00. 
(B) R$ 1.300,00. 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
49 
 
(C) R$ 1.315,00. 
(D) R$ 1.387,00. 
(E) R$ 1.400,00. 
 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) A mais antiga das funções do Instituto Médico Legal 
(IML) é a necropsia. Num determinado período, do total de atendimentos do IML, 30% foram necropsias. 
Do restante dos atendimentos, todos feitos a indivíduos vivos, 14% procediam de acidentes no trânsito, 
correspondendo a 588. Pode-se concluir que o total de necropsias feitas pelo IML, nesse período, foi 
(A) 2500. 
(B) 1600. 
(C) 2200. 
(D) 3200. 
(E) 1800. 
 
10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A expectativa de vida do Sr. Joel é de 75 
anos e, neste ano, ele completa 60 anos. Segundo esta expectativa, pode-se afirmar que a fração de vida 
que ele já viveu é 
(A) 
4
7
 
(B) 
5
6
 
(C) 
4
5
 
(D) 
3
4
 
(E) 
2
3
 
 
11. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Foram digitados 10 livros de 200 páginas 
cada um e armazenados em 0,0001 da capacidade de um microcomputador. Utilizando-se a capacidade 
total desse microcomputador, o número de livros com 200 páginas que é possível armazenar é 
(A) 100. 
(B) 1000. 
(C) 10000. 
(D) 100000. 
(E) 1000000. 
 
12. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG) Leia o fragmento a seguir 
A produção brasileira de arroz projetada para 2023 é de 13,32 milhões de toneladas, correspondendo 
a um aumento de 11% em relação à produção de 2013. 
Disponível em: <http://www.agricultura.gov.br/arq_editor/projecoes-ver saoatualizada.pdf>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). 
 
De acordo com as informações, em 2023, a produção de arroz excederá a produção de 2013, em 
milhões de toneladas, em: 
(A) 1,46 
(B) 1,37 
(C) 1,32 
(D) 1,22 
 
13. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Numa transportadora, 15 caminhões de 
mesma capacidade transportam toda a carga de um galpão em quatro horas. Se três deles quebrassem, 
em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo trabalho? 
(A) 3 h 12 min 
(B) 5 h 
(C) 5 h 30 min 
(D) 6 h 
(E) 6 h 15 min 
 
14. (Câm. de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma receita para fazer 35 bolachas 
utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-se as mesmas proporções da receita, a quantidade de açúcar 
necessária para fazer 224 bolachas é 
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50 
 
(A) 14,4 quilogramas. 
(B) 1,8 quilogramas. 
(C) 1,44 quilogramas. 
(D) 1,88 quilogramas. 
(E) 0,9 quilogramas. 
 
15. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Laerte comprou 18 litros de tinta látex que, de 
acordo com as instruções na lata, rende 200m² com uma demão de tinta. Se Laerte seguir corretamente 
as instruções da lata, e sem desperdício, depois de pintar 60 m² de parede com duas demãos de tinta 
látex, sobrarão na lata de tinta comprada por ele 
(A) 6,8L. 
(B) 6,6L. 
(C) 10,8L. 
(D) 7,8L. 
(E) 7,2L. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Utilizaremos uma regra de três simples diretamente proporcional: 
 ano % 
 11442 ------- 100 
 17136 ------- x 
 
11442.x = 17136. 100 x = 1713600 / 11442 = 149,8% (aproximado) 
149,8% – 100% = 49,8% 
Aproximando o valor, teremos 50% 
 
02. Resposta: C 
Se R$ 315,00 já está com o desconto de 10%, então R$ 315,00 equivale a 90% (100% - 10%). 
Utilizaremos uma regra de três simples diretamente proporcional: 
 $ % 
 315 ------- 90 
 x ------- 100 
 
90.x = 315. 100 x = 31500 / 90 = R$ 350,00 
 
03. Resposta: C 
Como ele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é 90% do valor total, regra de três simples 
diretamente proporcional. 
Valor % 
27000 ------ 90 
 X ------- 100 
 
27000
𝑥
 = 
909
10010
 → 
27000
𝑥
 = 
9
10
 → 9.x = 27000.10 → 9x = 270000 → x = 30000. 
 
04. Resposta: C 
1: 15.104 equivale a 1:150000, ou seja, para cada 1 cm do mapa, teremos 150.000 cm no tamanho 
real. Assim, faremos uma regra de três simples diretamente proporcional: 
mapa real 
 1 --------- 150000 
 12 --------- x 
1.x = 12. 150000 x = 1.800.000 cm = 18 km 
 
05. Resposta: A 
Faremos uma regra de três simples: 
cobre % 
280 --------- 100 
80 ---------- x 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
51 
 
280.x = 80. 100 x = 8000 / 280 x = 28,57% 
 
06. Resposta: A 
Vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
 1 ----------- 0,45 
 90 ---------- x 
1.x = 0,45. 90 
x = R$ 40,50 (total) 
* 90 – 9 = 81 balas 
Novamente, vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
81 ----------- 40,50 
1 ------------ y 
81.y = 1 . 40,50 
y = 40,50 / 81 
y = R$ 0,50 (cada bala) 
 
07. Resposta: D 
Utilizaremos uma regra de três simples INVERSA: 
m3 seg 
33 ------- 1 
5 ------- x 
5.x = 33 . 1 x = 33 / 5 = 6,6 seg 
 
08. Resposta: B 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
1170 ------- 90 
 x ------- 100 
90.x = 1170 . 100 x = 117000 / 90 = R$ 1.300,00 
 
09. Resposta: E 
O restante de atendimento é de 100% – 30% = 70% (restante) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
Restante: 
 atendimentos % 
 588 ------------ 14 
 x ------------ 100 
14.x = 588 . 100 x = 58800 / 14 = 4200 atendimentos (restante) 
Total: 
atendimentos % 
 4200 ------------ 70 
 x ------------ 30 
70.x = 4200 . 30 x = 126000 / 70 = 1800 atendimentos 
 
10. Resposta: C 
Considerando 75 anos o inteiro (1), utilizaremos uma regra de três simples: 
 idade fração 
 75 ------------ 1 
 60 ------------ x 
75.x = 60 . 1 x = 60 / 75 = 4 / 5 (simplificando por 15) 
 
11. Resposta: D 
Neste caso, a capacidade total é representada por 1 (inteiro). 
Assim, utilizaremos uma regra de três simples: 
 livros capacidade 
 10 ------------ 0,0001 
 x ------------ 1 
1592098E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
52 
 
0,0001.x = 10 . 1 x = 10 / 0,0001 = 100.000 livros 
 
12. Resposta: C 
Toneladas % 
13,32 ----------- 111 
 x ------------- 11 
111 . x = 13,32 . 11 
x = 146,52 / 111 
x = 1,32 
 
13. Resposta: B 
Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa, pois, quanto menos caminhões tivermos, mais 
horas demorará para transportar a carga: 
caminhões horas 
 15 ---------------- 4 
 (15 – 3) ------------- x 
12.x = 4 . 15 → x = 60 / 12 → x = 5 h 
 
14. Resposta: C 
Bolachas açúcar 
 35----------------225 
 224----------------x 
 𝑥 =
224.225
35
= 1440 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 = 1,44 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
 
15. Resposta: E 
18L----200m² 
x-------120 
x=10,8L 
Ou seja, pra 120m² (duas demãos de 60 m²) ele vai gastar 10,8 l, então sobraram: 
18-10,8=7,2L 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou 
inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta7. 
 
Exemplos 
01. Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras 
produziriam 300 dessas peças? 
Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna 
e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que 
aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado 
colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”: 
 
 
 
7MARIANO, Fabrício. Matemática Financeira para Concursos. 3ª Edição. Rio de Janeiro. Elsevier,2013. 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
53 
 
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (se aumentar o número de máquinas 
precisaremos de menos dias). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna (máquinas) 
uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”: 
 
 
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é 
x
4
, com o produto das outras 
razões, obtidas segundo a orientação das flechas 






300
160
.
8
6
: 
 
Simplificando as proporções obtemos: 
 
4
𝑥
=
2
5
→ 2𝑥 = 4.5 → 𝑥 =
4.5
2
→ 𝑥 = 10 
 
Resposta: Em 10 dias. 
 
02. Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 
4 meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser 
contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas “pessoas” e “tempo” são inversamente proporcionais (duplicando o número de 
pessoas, o tempo fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
“tempo” uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
As grandezas “pessoas” e “estrada” são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será 
indicado colocando-se na coluna “estrada” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
 
 
Como já haviam 210 pessoas trabalhando, logo 315 – 210 = 105 pessoas. 
Reposta: Devem ser contratados 105 pessoas. 
 
 
 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
54 
 
Questões 
 
01. (Câm. de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O trabalho de varrição de 6.000 m² de 
calçada é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. Mantendo-se as 
mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em um dia, trabalhando por dia, o 
tempo de 
(A) 8 horas e 15 minutos. 
(B) 9 horas. 
(C) 7 horas e 45 minutos. 
(D) 7 horas e 30 minutos. 
(E) 5 horas e 30 minutos. 
 
02. (Pref. Corbélia/PR – Contador – FAUEL) Uma equipe constituída por 20 operários, trabalhando 
8 horas por dia durante 60 dias, realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². Se essa equipe fosse 
constituída por 15 operários, trabalhando 10 horas por dia, durante 80 dias, faria o calçamento de uma 
área igual a: 
(A) 4500 m² 
(B) 5000 m² 
(C) 5200 m² 
(D) 6000 m² 
(E) 6200 m² 
 
03. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 
horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi 
afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes 
levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo 
ritmo de trabalho, será: 
(A) 29. 
(B) 30. 
(C) 33. 
(D) 28. 
(E) 31. 
 
04. (TRF/3ª Região – Técnico Judiciário – FCC) Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 80 
cópias em 1 minuto e 15 segundos. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras, de mesma 
capacidade que a primeira citada, possam imprimir 3360 cópias é de 
(A) 15 minutos. 
(B) 3 minutos e 45 segundos. 
(C) 7 minutos e 30 segundos. 
(D) 4 minutos e 50 segundos. 
(E) 7 minutos. 
 
05. (METRÔ/SP – Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – FCC) Para inaugurar no prazo a 
estação XYZ do Metrô, o prefeito da cidade obteve a informação de que os 128 operários, de mesma 
capacidade produtiva, contratados para os trabalhos finais, trabalhando 6 horas por dia, terminariam a 
obra em 42 dias. Como a obra tem que ser terminada em 24 dias, o prefeito autorizou a contratação de 
mais operários, e que todos os operários (já contratados e novas contratações) trabalhassem 8 horas por 
dia. O número de operários contratados, além dos 128 que já estavam trabalhando, para que a obra seja 
concluída em 24 dias, foi igual a 
(A) 40. 
(B) 16. 
(C) 80. 
(D) 20. 
(E) 32. 
 
06. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Para digitalizar 1.000 fichas de cadastro, 16 assistentes 
trabalharam durante dez dias, seis horas por dia. Dez assistentes, para digitalizar 2.000 fichas do mesmo 
modelo de cadastro, trabalhando oito horas por dia, executarão a tarefa em quantos dias? 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
55 
 
(A) 14 
(B) 16 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 24 
 
07. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) No Brasil, uma família de 4 pessoas 
produz, em média, 13 kg de lixo em 5 dias. Mantida a mesma proporção, em quantos dias uma família de 
5 pessoas produzirá 65 kg de lixo? 
(A) 10 
(B) 16 
(C) 20 
(D) 32 
(E) 40 
 
08. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST) Na safra passada, um fazendeiro usou 15 
trabalhadores para cortar sua plantação de cana de 210 hectares. Trabalhando 7 horas por dia, os 
trabalhadores concluíram o trabalho em 6 dias exatos. Este ano, o fazendeiro plantou 480 hectares de 
cana e dispõe de 20 trabalhadores dispostos a trabalhar 6 horas por dia. Em quantos dias o trabalho 
ficará concluído? 
Obs.: Admita que todos os trabalhadores tenham a mesma capacidade de trabalho. 
(A) 10 dias 
(B) 11 dias 
(C) 12 dias 
(D) 13 dias 
(E) 14 dias 
 
09. (BNB – Analista Bancário – FGV) Em uma agência bancária, dois caixas atendem em média seis 
clientes em 10 minutos. Considere que, nesta agência, todos os caixas trabalham com a mesma eficiência 
e que a média citada sempre é mantida. Assim, o tempo médio necessário para que cinco caixas atendam 
45 clientes é de: 
(A) 45 minutos; 
(B) 30 minutos; 
(C) 20 minutos; 
(D) 15 minutos; 
(E) 10 minutos. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Comparando- se cada grandeza com aquela onde está o x. 
m² varredores horas 
6000--------------18-------------- 5 
7500--------------15--------------- x 
Quanto mais a área, mais horas (diretamente proporcionais) 
Quanto menos trabalhadores, maishoras (inversamente proporcionais) 
5
𝑥
=
6000
7500
∙
15
18
 
 
6000 ∙ 15 ∙ 𝑥 = 5 ∙ 7500 ∙ 18 
90000𝑥 = 675000 
𝑥 = 7,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Como 0,5 h equivale a 30 minutos, logo o tempo será de 7 horas e 30 minutos. 
 
02. Resposta: D 
Operários horas dias área 
 20-----------------8-------------60-------4800 
 15----------------10------------80-------- x 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
56 
 
Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo: 
 
 
4800
𝑥
=
20
15
∙
8
10
∙
60
80
 
 20 ∙ 8 ∙ 60 ∙ 𝑥 = 4800 ∙ 15 ∙ 10 ∙ 80 
 9600𝑥 = 57600000 
 𝑥 = 6000𝑚² 
 
03. Resposta: B 
Temos 10 funcionários inicialmente, com os afastamentos esse número passou para 8. Se eles 
trabalham 8 horas por dia, passarão a trabalhar uma hora a mais perfazendo um total de 9 horas, nesta 
condições temos: 
Funcionários horas dias 
 10---------------8--------------27 
 8----------------9-------------- x 
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
 
 
27
𝑥
=
8
10
∙
9
8
 → x.8.9 = 27.10.8 → 72x = 2160 → x = 30 dias. 
 
04. Resposta: C 
Transformando o tempo para segundos: 1 min e 15 segundos = 75 segundos 
Quanto mais máquinas menor o tempo (flecha contrária) e quanto mais cópias, mais tempo (flecha 
mesma posição) 
Máquina cópias tempo 
 1----------------80-----------75 segundos 
 7--------------3360-----------x 
 
 
75
𝑥
=
7
1
∙
80
3360
 → x.7.80 = 75.1.3360 → 560x = 252000 → x = 450 segundos 
 
Transformando 
1minuto-----60segundos 
 x-------------450 
x = 7,5 minutos = 7 minutos e 30segundos. 
 
05. Resposta: A 
Vamos utilizar a Regra de Três Composta: 
Operários  horas dias 
 128 ----------- 6 -------------- 42 
 x ------------- 8 -------------- 24 
Quanto mais operários, menos horas trabalhadas (inversamente) 
Quanto mais funcionários, menos dias (inversamente) 
 
𝑥
128
=
6
8
∙
42
24
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
42
4
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
21
2
 
 
16𝑥 = 128 ∙ 21 
𝑥 = 8 ∙ 21 = 168 
168 – 128 = 40 funcionários a mais devem ser contratados. 
 
 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
57 
 
06. Resposta: E 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 16 -------------- 10 ------------ 6 
 2000 -------------- 10 -------------- x -------------- 8 
Quanto mais fichas, mais dias devem ser trabalhados (diretamente proporcionais). 
Quanto menos assistentes, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 
10
𝑥
=
1000
2000
 ∙ 
10
16
 .
8
6
 
 
10
𝑥
=
80000
192000
 
 
80. 𝑥 = 192.10 
 
𝑥 = 
1920
80
 
 
 𝑥 = 24 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
07. Resposta: C 
Faremos uma regra de três composta: 
Pessoas Kg dias 
 4 ------------ 13 ------------ 5 
 5 ------------ 65 ------------ x 
Mais pessoas irão levar menos dias para produzir a mesma quantidade de lixo (grandezas 
inversamente proporcionais). 
Mais quilos de lixo levam mais dias para serem produzidos (grandezas diretamente proporcionais). 
 
5
𝑥
= 
5
4
 .
13
65
 
 
5
𝑥
= 
65
260
 
 
65.x = 5 . 260 
x = 1300 / 65 
x = 20 dias 
 
08. Resposta: C 
Faremos uma regra de três composta: 
Trabalhadores Hectares h / dia dias 
 15 ------------------ 210 ---------------- 7 ----------------- 6 
 20 ------------------ 480 ---------------- 6 ----------------- x 
Mais trabalhadores irão levar menos dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente 
proporcionais). 
Mais hectares levam mais dias para se concluir o trabalho (grandezas diretamente proporcionais). 
Menos horas por dia de trabalho serão necessários mais dias para concluir o trabalho (grandezas 
inversamente proporcionais). 
6
𝑥
= 
20
15
 .
210
480
 .
6
7
 
 
6
𝑥
= 
25200
50400
 
 
25200.x = 6. 50400 → x = 302400 / 25200 → x = 12 dias 
 
09. Resposta: B 
 caixas clientes minutos 
 2 ----------------- 6 ----------- 10 
 5 ----------------- 45 ----------- x 
Quanto mais caixas, menos minutos levará para o atendimento (inversamente proporcionais). 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
58 
 
Quanto mais clientes, mais minutos para o atendimento (diretamente proporcionais). 
 
 
10
𝑥
=
5
2
∙
6
45
 
10
𝑥
=
30
90
 
 
 30. 𝑥 = 90.10 𝑥 = 
900
30
 
 
 𝑥 = 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
 
 
Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem8. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um 
"todo" se está referenciando. 
Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 
 
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
 
Exemplos: 
01. A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 
02/02/2013 e 02/02/2014. 
 
 
Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 
 
50
500
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 
 
50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 
 
Quem obteve melhor rentabilidade? 
 
Resolução: 
Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), 
para isso, vamos simplificar as frações acima: 
 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
=
10
100
,= 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
=
12,5
100
,= 12,5% 
 
Com isso podemos concluir que Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco 
B. 
 
 
 
 
8IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://www.porcentagem.org 
http://www.infoescola.com 
Porcentagem 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
59 
 
Uma outra maneira de expressar será apenas dividir o numerador pelo denominador, ou seja: 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
= 0,10 = 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
= 0,125 = 12,5% 
 
02. Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de 
rapazes na classe? 
Resolução: 
 
A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 
18
30
 . Devemos expressar essa razão na forma 
centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 
18
30
=
𝑥
100
⟹ 𝑥 = 60 
E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 
18
30
= 0,60(. 100%) = 60% 
 
Lucro e Prejuízo 
 
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. 
Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). 
 
Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). 
 
Podemos ainda escrever: 
C + L = V ou L = V - C 
P = C – V ou V = C - P 
 
A forma percentual é: 
 
 
Exemplos: 
01. Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: 
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; 
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. 
 
Resolução: 
Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 
 
𝑎)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
. 100% ≅ 33,33% 𝑏)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎
. 100% = 25% 
 
02. O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25%sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 
A) R$ 25,00 
B) R$ 70,50 
C) R$ 75,00 
D) R$ 80,00 
E) R$ 125,00 
 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
60 
 
Resolução: 
𝐿
𝐶
. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 
 
C + L = V → C + 0,25. C = V → 1,25. C = 100 → C = 80,00 
Resposta D 
 
Aumento e Desconto Percentuais 
 
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V . 
Logo: 
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
01. Aumentar um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V 
 
02. Aumentar um valor V de 200%, equivale a multiplicá-lo por 3, pois: 
(1 +
200
100
).V = (1+2).V = 3.V 
 
03. Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do 
retângulo é aumentada de: 
(A)35% 
(B)30% 
(C)3,5% 
(D)3,8% 
(E) 38% 
 
Resolução: 
Área inicial: a.b 
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. 
Logo, alternativa E. 
 
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V. 
Logo: 
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
01. Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 
 
02. Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: 
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 
 
03. O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual 
era o seu valor antes do desconto? 
 
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. 
V D = (1 −
𝑝
100
). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 
O valor antes do desconto é de R$ 125,00. 
 
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil 
para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no 
valor do produto. 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
61 
 
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: 
 
 
Aumentos e Descontos Sucessivos 
 
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou 
aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
01. Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? 
 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V → V. 1,1, como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 
Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único 
aumento de 21%. 
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 
 
02. Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 
 
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, 
observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o 
desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 
 100% - 64% = 36% 
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 
 
03. Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, 
um desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 
 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos: 
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo 
em uma única equação: 
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 
 
Questões 
 
01. (MPE/GO – Auxiliar Administrativo – MPE/GO/2018) João e Miguel são filhos de Pedro e 
recebem pensão alimentícia do pai no percentual de 20% sobre o seu salário, cada um. Considerando 
que os rendimentos de Pedro são de R$ 2.400,00 mensais, quantos reais sobram para Pedro no final do 
mês? 
(A) R$ 1.510,00 
(B) R$ 1.920,00 
(C) R$ 960,00 
(D) R$ 1.440,00 
(E) R$ 480,00 
 
02. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE/GO/2018) Joana foi trazer compras. Encontrou um vestido 
de 150 reais. Descobriu que se pagasse à vista teria um desconto de 35%. Depois de muito pensar, Joana 
pagou à vista o tal vestido. 
Quanto ela pagou? 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
62 
 
(A) 120,00 reais; 
(B) 112,50 reais 
(C) 127,50 reais. 
(D) 97,50 reais. 
(E) 95,00 reais. 
 
03. (SABESP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2018) O preço de um automóvel, à vista, 
é de R$ 36.000,00 e um certo financiamento permite que esse mesmo automóvel seja pago em 18 
parcelas mensais idênticas de R$ 2.200,00. Sendo assim, optando por financiar a compra do automóvel, 
o valor total a ser pago pelo automóvel, em relação ao preço à vista, aumentará em 
(A) 20%. 
(B) 12%. 
(C) 10%. 
(D) 15%. 
(E) 22%. 
 
04. (SANEAGO/GO – Agente de Saneamento – UFG/2018) As vendas de Natal em 2017 nos 
shopping centers cresceram 6% em relação a 2016, movimentando R$ 51,2 bilhões [O Estado de S. 
Paulo, 27/12/2017, p. B1]. De acordo com essas informações, o valor movimentado, em bilhões, pelos 
shopping centers com as compras de Natal em 2016 foi, aproximadamente, de 
(A) R$ 45,13 
(B) R$ 48,20 
(C) R$ 48,30 
(D) R$ 50,14 
 
05. (SEAD/AP – Assistente Administrativo – FCC/2018) Em uma empresa, o departamento de 
recursos humanos fez um levantamento a respeito do número de dependentes de cada funcionário e 
organizou os resultados na seguinte tabela: 
 
A porcentagem dos funcionários que têm exatamente um dependente é igual a 
(A) 60%. 
(B) 40%. 
(C) 50%. 
(D) 33%. 
(E) 66%. 
 
06. (LIQUIGÁS – Assistente Administrativo – CESGRANRIO/2018) Um comerciante comprou 
algumas geladeiras, ao preço unitário de R$ 1.550,00, e conseguiu vender apenas algumas delas. Em 
cada geladeira vendida, o comerciante obteve um lucro de 16% sobre o preço de compra, e o lucro total 
obtido com todas as geladeiras vendidas foi de R$ 26.040,00. 
Quantas geladeiras o comerciante vendeu? 
(A) 15 
(B) 45 
(C) 75 
(D) 105 
(E) 150 
 
07. (Câm. de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em 
determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de 
crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base 
nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos 
nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: 
(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. 
(B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. 
(C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. 
(D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 
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63 
 
08. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compra televisores por R$ 1.500,00 
e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 
35%. Qual o preço do televisor na liquidação? 
(A) R$ 1.300,00 
(B) R$ 1.315,00 
(C) R$ 1.330,00 
(D) R$ 1.345,00 
(E) R$ 1.365,00 
 
09. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, 
descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, 
os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de 
venda é superior ao de compra? 
(A) 67%. 
(B) 61%. 
(C) 65%. 
(D) 63%. 
(E) 69%. 
 
10. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a 
seguinte promoção: 
Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. 
Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de descontono valor da segunda 
embalagem. 
 
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro 
obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: 
(A) R$ 33,60 
(B) R$ 28,60 
(C) R$ 26,40 
(D) R$ 40,80 
(E) R$ 43,20 
 
11. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos 
gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A porcentagem que lhe sobrou do 
valor, que possuía é de: 
(A) 58% 
(B) 68% 
(C) 65% 
(D) 77,5% 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Para resolver esta questão devemos encontrar 20% do salário de Pedro, ou seja: 
2.400,00 x 20% = 2400 x 0,20 = 480,00 
que é o valor que ele paga de pensão, mas como são 2 filhos será 480 + 480 = 960,00, portanto o 
valor que ele recebe será de 2400 – 960 = 1440,00. 
 
02. Resposta: D 
Vamos calcular quanto representa 35% de 150 reais. 
150 x 0,35 = 52,50 (é o valor do desconto) 
Logo o valor do vestido à vista será de: 150,00 – 52,50 = 97,50. 
 
03. Resposta: C 
Primeiramente vamos encontrar o valor o automóvel financiado em 18 parcelas de 2.200: 
18 x 2.200 = 39.600. 
Agora basta fazermos uma regra de três simples onde o valor à vista de 36.000,00 será os 100% e do 
resultado o que aumentar além dos 100% será o valor da porcentagem de acréscimo. 
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64 
 
36000 ---- 100 
39600 ---- x 
36000x = 39600 . 100 
36000x = 3960000 
x = 
3960000
36000
= 110 
Assim o valor financiado passou a ser 110%, logo o aumento foi de 110 – 100 = 10% 
 
04. Resposta: C 
Primeiramente devemos saber que 51,2 bilhões já está com o aumento de 6% então ele representa 
106%, agora basta descobrir o valor ante do aumento, através de uma regra de três simples. 
 
51,2 ---- 106 
 x ---- 100 
106x = 51,2 . 100 
106x = 5120 
x = 
5120
106
 = 48,30 aproximadamente. 
 
05. Resposta: B 
Aqui devemos ficar atentos pois existe uma pegadinha, observe que o número de funcionários que têm 
um ou mais dependentes é de 15, e na outra coluna o número de funcionários que têm dois ou mais 
dependentes é de 5, assim estes 5 já estão inclusos nos 5, portanto o total de funcionários será 10 + 15 
= 25 e também temos que o número de funcionários que terão apenas 1 dependente será 15 – 5 = 10 
funcionários. 
Vamos agora encontrar a porcentagem dos funcionários que têm exatamente um dependente: 
10
25
= 0,40 = 40% 
 
06. Resposta: D 
O primeiro passo é saber quanto que o comerciante lucra por geladeira, com ele lucra 16%, basta 
encontrar 16% de 1550. 
0,16 x 1550 = 248 
Assim o valor que ele lucra por geladeira será 248, mas 26040 foi o valor total de lucro, portanto para 
saber quantas geladeiras ele vendeu devemos dividir o lucro total pelo lucro de uma geladeira. 
26040
248
= 105 
Vendeu 105 geladeiras no total. 
 
07. Resposta: B 
Vamos encontrar o valor pago pelo sofá e pelo tapete em cada uma das formas de pagamento: 
 
Cartão de crédito: 
10
100
 (750 + 380) = 0,10 . 1130 = 113 
1130 – 113 = R$ 1017,00 
Boleto: 
8
100
. (750 + 380) = 0,08 . 1130 = 90,4 
1130 – 90,4 = R$ 1039,60 
 
08. Resposta: E 
Vamos encontrar o preço que ele revende e depois dar o desconto sob esse preço de revenda. 
Preço de revenda: 1500 + 40% = 1500 + 1500 x 0,40 = 1500 + 600 = 2100 
Preço com desconto: 2100 – 35% =2100 – 0,35 x 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 
 
09. Resposta: A 
Preço de venda: V 
Preço de compra: C 
V – 0,16V = 1,4C 
0,84V = 1,4C 
 
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65 
 
𝑉
𝐶
=
1,4
0,84
= 1,67 
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 
 
10. Resposta: A 
Vamos encontrar o valor da primeira embalagem: 
2,40 . 12 = 28,80 
Agora como tem desconto de 25% na segunda embalagem, vamos encontrar seu valor (100% - 25% 
= 75%): 
28,80. 0,75 = 21,60 
O total que ele gastou foi de 
28,80 + 21,60 = 50,40 
Como ele revendeu cada lata por 3,50 ele terá recebido um total de: 
3,50 x 24 = 84,00 
O lucro então foi de: 
R$ 84,00 – R$ 50,40 = R$ 33,60 
 
11. Resposta: B 
De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, 
sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando: 
85% - 17% = 68%. 
 
 
 
JUROS SIMPLES9 
 
Em regime de juros simples (ou capitalização simples), o juro é determinado tomando como base 
de cálculo o capital da operação, e o total do juro é devido ao credor (aquele que empresta) no final da 
operação. As operações aqui são de curtíssimo prazo, exemplo: desconto simples de duplicata, entre 
outros. 
No juros simples o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
 
- Os juros são representados pela letra J. 
- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C (capital) 
ou P(principal) ou VP ou PV (valor presente) *. 
- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t ou n.* 
- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado 
pela letra i e utilizada para calcular juros. 
 
*Varia de acordo com a literatura estudada. 
 
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação. 
 
Exemplo 
1) Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 4. 000,00, pelo prazo de 5 meses, 
à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? 
 
 
9 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
Juros 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
66 
 
Resposta 
- Capital aplicado (C): R$ 4.000,00 
- Tempo de aplicação (t): 5 meses 
- Taxa (i): 3% ou 0,03 a.m. (= ao mês) 
 
Fazendo o cálculo, mês a mês: 
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,03 x R$ 4.000,00 = R$ 120,00 
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 120,00 = R$ 240,00 
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 240,00 + R$ 120,00 = R$ 360,00 
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 360,00 + R$ 120,00 = R$ 480,00 
- No final do 5º período (5 meses), os juros serão: R$ 480,00 + R$ 120,00 = R$ 600,00 
 
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 600,00 de juros. 
 
 
Fazendo o cálculo, período a período: 
- No final do 1º período, os juros serão: i.C 
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C 
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C 
-------------------------------------------------------------------------- 
- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C 
 
Portanto, temos: 
J = C . i . t 
 
1) O capital cresce linearmente com o tempo; 
2) O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.i 
3) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
4) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 
5) Chamamos de montante (M) ou FV (valor futuro) a soma do capital com os juros, ou seja: 
Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos 
calcular o 4º valor. 
 
M = C + J → M = C.(1+i.t) 
 
Exemplo 
A que taxa esteve empregado o capital de R$ 25.000,00 para render, em 3 anos, R$ 45.000,00 de 
juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.) 
 
C = R$ 25.000,00 
t = 3 anos 
j = R$ 45.000,00 
i = ? (ao ano) 
 j = 
100
.. tiC
 
45 000 = 
100
3..25000 i
 
45 000 = 750 . i 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
67 
 
i = 
750
000.45
 
i = 60 
Resposta: 60% ao ano. 
 
Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultantedos cálculos será diária; se o prazo for 
em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente. 
 
Questões 
 
01. (AL/RR – Economista – FUNRIO/2018) Paulo contraiu uma dívida do Banco X, no valor de R$ 
400,00 que foi quitada em dois trimestres, depois de contraída. 
A taxa linear mensal praticada pelo Banco X, que teve como resultado a cobrança de juros de R$ 
150,00, foi de 
(A) 8,70%. 
(B) 7,50%. 
(C) 6,25%. 
(D) 5,10%. 
 
02. (EBSERH – Técnico em Contabilidade – CESPE/2018) No que se refere a matemática financeira 
e finanças, julgue o item seguinte. 
Se R$ 10.000 forem aplicados pelo prazo de 45 dias à taxa de juros simples de 12% ao ano, o montante 
ao final do período será inferior a R$ 10.140. 
( )Certo ( )Errado 
 
03. (BANESTES – Assistente Securitário – FGV/2018) Caso certa dívida não seja paga na data do 
seu vencimento, sobre ela haverá a incidência de juros de 12% a.m.. Se essa dívida for quitada com 
menos de um mês de atraso, o regime utilizado será o de juros simples. 
Considerando-se o mês comercial (30 dias), se o valor dessa dívida era R$ 3.000,00 no vencimento, 
para quitá-la com 8 dias de atraso, será preciso desembolsar: 
(A) R$ 3.096,00; 
(B) R$ 3.144,00; 
(C) R$ 3.192,00; 
(D) R$ 3.200,00; 
(E) R$ 3.252,00. 
 
04. (BANPARÁ – Técnico Bancário – INAZ do Pará) Na capitalização de juros simples: 
(A) A capitalização de juros ocorre sobre o capital inicial 
(B) Os juros são pagos no vencimento, que é fixo. 
(C) Os juros são pagos durante o período de capitalização 
(D) Os juros são incorporados ao capital durante a capitalização 
(E) Todas as alternativas acima estão erradas 
 
05. (IESES) Uma aplicação de R$ 1.000.000,00 resultou em um montante de R$ 1.240.000,00 após 
12 meses. Dentro do regime de Juros Simples, a que taxa o capital foi aplicado? 
(A) 1,5% ao mês. 
(B) 4% ao trimestre. 
(C) 20% ao ano. 
(D) 2,5% ao bimestre. 
(E) 12% ao semestre. 
 
06. (EXATUS-PR) Mirtes aplicou um capital de R$ 670,00 à taxa de juros simples, por um período de 
16 meses. Após esse período, o montante retirado foi de R$ 766,48. A taxa de juros praticada nessa 
transação foi de: 
(A) 9% a.a. 
(B) 10,8% a.a. 
(C) 12,5% a.a. 
(D) 15% a.a. 
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68 
 
07. (UMA Concursos) Qual o valor do capital que aplicado por um ano e meio, a uma taxa de 1,3% 
ao mês, em regime de juros simples resulta em um montante de R$ 68.610,40 no final do período? 
(A) R$ 45.600,00 
(B) R$ 36.600,00 
(C) R$ 55.600,00 
(D) R$ 60.600,00 
 
08. (TRF- 3ª REGIÃO – Analista Judiciário – FCC) Em um contrato é estabelecido que uma pessoa 
deverá pagar o valor de R$ 5.000,00 daqui a 3 meses e o valor de R$ 10.665,50 daqui a 6 meses. Esta 
pessoa decide então aplicar em um banco, na data de hoje, um capital no valor de R$ 15.000,00, durante 
3 meses, sob o regime de capitalização simples a uma taxa de 10% ao ano. No final de 3 meses, ela 
resgatará todo o montante correspondente, pagará o primeiro valor de R$ 5.000,00 e aplicará o restante 
sob o regime de capitalização simples, também durante 3 meses, em outro banco. Se o valor do montante 
desta última aplicação no final do período é exatamente igual ao segundo valor de R$ 10.665,50, então 
a taxa anual fornecida por este outro banco é, em %, de 
(A) 10,8%. 
(B) 9,6%. 
(C) 11,2%. 
(D) 12,0%. 
(E) 11,7%. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
O capital será de: 400,00 
2 trimestres: 2.3 = 6 meses 
J = 150 reais. 
Utilizando a fórmula básica para juros compostos teremos: 
 
j = 
100
.. tiC
 
150 . 100 = 400 . i . 6 
 i = 
15000
2400
 = 6,25% ao mês 
 
02. Resposta: Errado 
Pela fórmula de juros simples teremos j = 
100
.. tiC
 
Mas antes devemos converter os dados para a mesma unidade de tempo. 
i = 12% ao ano = 1% ao mês 
t = 45 dias = 1,5 meses 
C = 10000 
Montante foi de 10140, logo o juros foi de 10140 – 10000 = 140 reais. 
Vamos lá! 
j = 
100
.. tiC
 
j = 
10000 . 1 . 1,5
100
 = 
15000
100
 = 150 reais, que é superior à 140 reais conforme dito no enunciado. 
 
03. Resposta: A 
Antes de resolvermos devemos fazer as devidas conversões, vamos lá! 
i = 12% ao mês = 12 : 30 = 0,4% ao dia 
 
j = 
100
.. tiC
 
j = 
3000 . 0,4 . 8
100
 = 
9600
100
 = 96 reais 
 
Assim deverá pagar 3000 + 96 = 3096 reais 
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69 
 
04. Resposta: A 
Na capitalização simples o juros sempre incide sobre o capital inicial, por isto a alternativa A está 
correta. 
 
05. Resposta: E 
C = 1.000.000,00 
M = 1.240.000,00 
t = 12 meses 
i = ? 
M = C.(1+it) → 1240000 = 1000000(1 + 12i) → 1 + 12i = 1240000 / 1000000 → 1 + 12i = 1,24 → 12i = 
1,24 – 1 → 12i = 0,24 → i = 0,24 / 12 → i = 0,02 → i = 0,02x100 → i = 2% a.m 
Como não encontramos esta resposta nas alternativas, vamos transformar, uma vez que sabemos a 
taxa mensal: 
Um bimestre tem 2 meses → 2 x 2 = 4% a.b. 
Um trimestre tem 3 meses → 2 x 3 = 6% a.t. 
Um semestre tem 6 meses → 2 x 6 = 12% a.s. 
Um ano tem 1 ano 12 meses → 2 x 12 = 24% a.a. 
 
06. Resposta: B 
Pelo enunciado temos: 
C = 670 
i = ? 
n = 16 meses 
M = 766,48 
Aplicando a fórmula temos: M = C.(1+in) → 766,48 = 670 (1+16i) → 1 + 16i = 766,48 / 670 →1 + 16i = 
1,144 → 16i = 1,144 – 1 → 16i = 0,144 → i = 0,144 / 16 → i = 0,009 x 100 → i = 0,9% a.m. 
Observe que as taxas das alternativas são dadas em ano, logo como 1 ano tem 12 meses: 0,9 x 12 = 
10,8% a.a. 
 
07. Resposta: C 
C = ? 
n = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses 
i = 1,3% a.m = 0,013 
M = 68610,40 
Aplicando a fórmula: M = C (1+in) → 68610,40 = C (1+0,013.18) → 68610,40 = C (1+0,234) → C = 
68610,40 = C.1,234 → C = 68610,40 / 1,234 → C = 55600,00. 
 
08. Resposta: C 
j= 15.000*0,10*0,25 (0,25 é 3 meses/12) 
j=15.000*0,025 
j=375,00 
Montante 15.000+375,00= 15.375,00 
Foi retirado 5.000,00, então fica o saldo para nova aplicação de 10.375,00 o valor a pagar da segunda 
parcela (10.665,50) é o mesmo valor do saldo da aplicação dos 10.375,00 em 03 meses. 
10.665,50-10.375,00= 290,50, esse foi o juros, então é só aplicar a fórmula dos juros simples. 
j=c.i.t 
290,5=10.375,00*i*0,025 
290,5=2.593,75*i 
i= 290,5/2.593,75 
i= 0,112 
i=0,112*100=11,2% 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas 
modalidades, a saber: 
 
 
 
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70 
 
Juros simples (capitalização simples) – a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. 
Juros compostos (capitalização composta) – a taxa de juros incide sobre o capital de cada 
período. Também conhecido como "juros sobre juros". 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as 
quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros 
compostos10 na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 
 
Exemplo 
Considere o capital inicial (C) $1500,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i 
= 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (capital + juros), mês a mês: 
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1500 x 1,1 = 1650 = 1500(1 + 0,1) 
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1650 x 1,1 = 1815 = 1500(1 + 0,1)2 
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1815 x 1,1 = 1996,5 = 1500(1 + 0,1)3 
..................................................................................................... 
Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos evidentemente: M = 1500(1 + 0,1)t 
De uma forma genérica, teremos para um capital C, aplicado a uma taxa de juros compostos (i) durante 
o período (t): 
M = C (1 + i)t 
 
Onde: 
M = montante,C = capital, 
i = taxa de juros e 
t = número de períodos que o capital C (capital inicial) foi aplicado. 
(1+i)t ou (1+i)n = fator de acumulação de capital 
 
Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (t), tem de 
ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! 
Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês 
durante 3x12=36 meses. 
 
Graficamente temos, que o crescimento do principal(capital) segundo juros simples é LINEAR, 
CONSTANTE enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, GEOMÉTRICO 
e, portanto tem um crescimento muito mais "rápido". 
 
 
- O montante no 1º tempo é igual tanto para o regime de juros simples como para juros 
compostos; 
- Antes do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros simples; 
- Depois do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros compostos. 
 
Juros Compostos e Logaritmos 
Para resolução de algumas questões que envolvam juros compostos, precisamos ter conhecimento de 
conceitos de logaritmos, principalmente aquelas as quais precisamos achar o tempo/prazo. É muito 
comum ver em provas o valor dado do logaritmo para que possamos achar a resolução da questão. 
 
 
10 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
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71 
 
Exemplo 
Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de 
quanto tempo este capital estará duplicado? 
 
Resolução 
Sabemos que M = C (1 + i)t. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos M = 2C. 
Substituindo, vem: 2C = C(1+0,02)t [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%] 
Simplificando, fica: 
2 = 1,02t , que é uma equação exponencial simples. 
Teremos então: t = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35 
 
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas 
calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular ou concurso, o examinador teria de 
informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que 
não é comum no Brasil. 
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é 
mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses. 
Resposta: 2 anos e 11 meses. 
 
- Em juros simples quando a taxa de juros(i) estiver em unidade diferente do tempo(t), pode-se 
colocar na mesma unidade de (i) ou (t). 
- Em juros compostos é preferível colocar o (t) na mesma unidade da taxa (i). 
 
Questões 
 
01. (UFLA – Administrador – UFLA/2018) A alternativa que apresenta o valor futuro correto de uma 
aplicação de R$ 100,00 à taxa de juros compostos de 10% ao ano pelo período de dois anos é: 
(A) R$ 121,00 
(B) R$ 112,00 
(C) R$ 120,00 
(D) R$ 110,00 
 
02. (BANPARÁ – Técnico Bancário – FADESP/2018) Na realização de um empréstimo de R$ 
8.000,00 por três meses, havia duas possibilidades de sistema a considerar: juros simples a 5%a.m ou 
juros compostos a 4%a.m. Comparando os montantes obtidos nesses dois sistemas, é correto afirmar 
que o de juros simples é, aproximadamente, 
(A) inferior ao de juros compostos em R$ 300,00. 
(B) inferior ao de juros compostos em R$ 200,00. 
(C) igual ao de juros compostos. 
(D) superior ao de juros compostos em R$ 200,00. 
(E) superior ao de juros compostos em R$ 300,00. 
 
03. (STM – Analista Judiciário – CESPE/2018) Uma pessoa atrasou em 15 dias o pagamento de uma 
dívida de R$ 20.000, cuja taxa de juros de mora é de 21% ao mês no regime de juros simples. 
Acerca dessa situação hipotética, e considerando o mês comercial de 30 dias, julgue o item 
subsequente. 
No regime de juros compostos, o valor dos juros de mora na situação apresentada será R$ 100 menor 
que no regime de juros simples. 
( )Certo ( )Errado 
 
04. (TRANSPETRO – Engenheiro Junior – CESGRANRIO/2018) Uma empresa captou R$ 100.000 
reais a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. 
Ao cabo de seis meses no futuro, essa dívida terá um valor em reais, no presente, de 
(A) R$ 103.030 
(B) R$ 104.060 
(C) R$ 105.101 
(D) R$ 106.000 
(E) R$ 106.152 
 
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72 
 
05. (EXÉRCITO BRASILEIRO) Determine o tempo necessário para que um capital aplicado a 20 % a. 
m. no regime de juros compostos dobre de valor. Considerando que log 2 = 0,3 e log 1,2 = 0,08. 
(A) 3,75 meses. 
(B) 3,5 meses. 
(C) 2,7 meses. 
(D) 3 meses. 
(E) 4 meses. 
 
06. (FCC) Saulo aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu 
objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava 
R$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos 
anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa? 
Dado: (Use a aproximação: log 3 = 0,48) 
(A) 15 
(B) 12 
(C) 10 
(D) 9 
(E) 6 
 
07. (CESGRANRIO) Um investimento de R$1.000,00 foi feito sob taxa de juros compostos de 3% ao 
mês. Após um período t, em meses, o montante foi de R$1.159,27. Qual o valor de t? (Dados: ln(1.000) 
= 6,91; ln(1.159,27) = 7,06; ln(1,03) = 0,03). 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
08. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE-GO/2017) Fábio aplicou R$ 1.000,00 em uma aplicação 
que rende juros compostos de 2% ao mês. Ao final de 3 meses qual será o montante da aplicação de 
Fábio, desprezando-se as casas decimais? 
(A) R$ 1.060 
(B) R$ 1.061 
(C) R$ 1.071 
(D) R$ 1.029 
(E) R$ 1.063 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
C = 100 
i = 10%a.a = 0,1 
t = 2 anos (taxa e tempo na mesma unidade, ok!) 
M = ? 
 
M = 100.(1 + 0,1)² 
M = 100.1,21 = 121 reais 
 
02. Resposta: D 
Nesta questão precisamos calcular o valor obtido no regime de juros simples e o valor obtido em juros 
compostos, para depois calcularmos. 
- Juros Simples 
M = ? 
J = ? 
C = 8000 
i = 5%a.m. = 0,05 
t = 3 meses 
J = 8000.0,05.3 = 1200 
M = 8000 + 1200 = 9200 
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73 
 
- Juros compostos 
 
M = ? 
C = 8000 
i = 4% a.m. = 0,04 
t = 3 meses 
M = 8000.(1 + 0,04)³ = 8000.1,04³ = 8998,12 
 
Fazendo a variação entre os valores teremos 9200 – 8998,12 = 201,09, que aproximadamente será 
200 reais, assim o sistema de juros simples será superior em 200 reais se compararmos com o regime 
de juros compostos. 
 
03. Resposta: Certo 
Neste exercício devemos saber no regime de juros simples e no regime de juros compostos para então 
podermos compará-los. 
 
- Juros Simples 
C = 20000 
i = 21%a.m. = 0,21 
t = 15 dias (observe que a taxa e o tempo estão em unidades diferentes, assim iremos converter o 
tempo na unidade da taxa) 
t = 15/30 = ½ mês 
 
J = 20000.0,21 . 
1
2
 = 2100 
 
- Juros Compostos 
C = 20000 
i = 21%a.m. = 0,21 
t = 15 dias (observe que a taxa e o tempo estão em unidades diferentes, assim iremos converter o 
tempo na unidade da taxa) 
t = 15/30 = ½ mês 
 
M = 20000.( 1 + 0,21)
1
2 
M = 20000.1,21
1
2 
Muita atenção neste momento, pois o expoente é uma fração e para isto você deve lembrar de algumas 
propriedades de potência, 𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
, portanto no nosso exercício temos 1,21
1
2 = √1,211
2
= √1,21
2
 = 1,1. 
 
Prosseguindo, 
M = 20000.1,21
1
2 
M = 20000.√1,21
2
 
M = 20000.1,1 = 22000 
 
Sendo de Juros = 22000 – 20000 = 2000 
Portanto em juros simples = 2100 
Juros compostos = 2000 
Em juros simples é 100 reais maior que em juros compostos 
 
04. Resposta: E 
Vamos captar as informações: 
M = ? 
C = 100000 
i = 1%a.m. = 0,01 
t = 6meses 
 
M = 100000.(1 + 0,01)6 
M = 100000.1,016M = 100000. 1,06152 = 106152 reais 
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74 
 
05. Resposta: A 
M=C(1+i)t 
2C=C(1+0,2)t 
2=1,2t 
Log2=log1,2t 
Log2=t.log1,2 → 0,3=0,08t → T=3,75 meses 
 
06. Resposta: B 
M = C. (1 + i)t 
C = 45.000 
i = 0,2 
-------------------- 
C = 135.000 
i= 0,08 
45.000 (1+ i)t = 135.000 (1 + i)t 
45.000 (1 + 0,2)t = 135.000 (1 + 0,08)t 
45.000 (1,2)t = 135.000 (1,08)t 
135.000/45.000 = (1,2/1,08)t 
3 = (10/9)t 
log3 = t.log (10/9) → 0,48 = (log10 - log9).t → 0,48 = (1 - 2log3).t 
0,48 = (1 - 2.0,48).t → 0,48 = (1 - 0,96).t → 0,48 = 0,04.t 
t = 0,48/0,04 → t = 12 
 
07. Resposta: E 
M = C (1 + i) t 
1159,27 = 1000 ( 1 + 0,03)t 
1159,27 = 1000.1,03t 
ln 1159,27 = ln (1000 . 1,03t) 
7,06 = ln1000 + ln 1,03t 
7,06 = 6,91 + t . ln 1,03 → 0,15 = t . 0,03 → t = 5 
 
08. Resposta: B 
Juros Compostos 
M = 1000 .(1,02)^3 
M = 1000 . 1,061208 
M = 1061,20 
 
 
 
OBS.: Caro(a) candidato(a), o assunto de Sistemas Lineares iremos abordar no tópico de 
matrizes e determinantes, pois é necessário conhecer estes assuntos antes de estudar sobre os 
sistemas lineares, iremos aqui estudar os sistemas de 1º e 2º grau. 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita 
ou variável (x, y, z,..). 
Observe a figura: 
 
Equações e inequações do 1º e do 2º graus. Equações polinomiais. Sistemas 
lineares 
 
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75 
 
A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, 
para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: 
x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. 
 
Exemplos 
2x + 8 = 0 
5x – 4 = 6x + 8 
3a – b – c = 0 
 
- Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x – 5 < 3 (Não é igualdade) 
5 ≠ 7 (Não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
Termo Geral da equação do 1º grau 
Onde a e b (a ≠ 0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples, 
subtraindo b dos dois lados obtemos: 
 
ax + b – b = 0 – b → ax = - b → x = - b/a 
 
Termos da equação do 1º grau 
 
Nesta equação cada membro possui dois termos: 
1º membro composto por 5x e -1. 
2º membro composto pelo termo x e +7. 
 
Resolução da equação do 1º grau 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as 
operações. Vejamos: 
Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números 
para o outro invertendo as operações. 
2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação → x = 150 
 
Outros exemplos 
1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a 
subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). 
 
Registro 
 
2) Resolução da equação: 1 – 3x + 
5
2
= x + 
2
1
, efetuando a mesma operação nos dois lados da 
igualdade(outro método de resolução). 
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76 
 
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa 
forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações, os cálculos necessários e isolamos 
o x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. 
 
Registro: 
 
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um 
padrão visual. 
 
- Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b 
aparece subtraindo no lado direito da igualdade. 
 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece 
dividindo no lado direito da igualdade. 
 
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os demais 
termos do outro lado; 
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) O gráfico mostra o número de gols marcados, por 
jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. 
 
 
 
Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos 
em que foram marcados 2 gols é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
02. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Certa quantia em dinheiro foi dividida igualmente 
entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do restante de 
cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos reais), qual foi a quantia 
dividida inicialmente? 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
77 
 
(A) R$900,00 
(B) R$1.800,00 
(C) R$2.700,00 
(D) R$5.400,00 
 
03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um grupo formado por 16 motoristas 
organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. 
Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. 
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: 
(A) R$ 570,00 
(B) R$ 980,50 
(C) R$ 1.350,00 
(D) R$ 1.480,00 
(E) R$ 1.520,00 
 
04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação 
e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, 
exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações 
vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessa linha de 
Metrô, da primeira à última estação, é de 
(A) 23 km e 750 m. 
(B) 21 km e 250 m. 
(C) 25 km. 
(D) 22 km e 500 m. 
(E) 26 km e 250 m. 
 
05. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
06. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Bia tem 10 anos a mais que Luana, 
que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
07. (DAE Americana/SP – Analista Administrativo – SHDIAS) Em uma praça, Graziela estava 
conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele respondeu da seguinte 
forma: 
- 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. 
Qual é a idade de Rodrigo? 
(A) Rodrigo tem 25 anos. 
(B) Rodrigo tem 30 anos. 
(C) Rodrigo tem 35 anos. 
(D) Rodrigo tem 40 anos. 
 
 
 
 
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78 
 
08. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Dois amigos foram a uma pizzaria. O 
mais velho comeu 
3
8
 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 
7
5
 da 
quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi comido, 
a fração da pizza que restou foi 
(𝐴)
3
5(𝐵)
7
8
 
 
(𝐶)
1
10
 
 
(𝐷)
3
10
 
 
(𝐸)
36
40
 
 
09. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Glauco foi à livraria e comprou 3 
exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais que o 
preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço 
unitário do livro K. 
 
Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum 
o valor, em reais, igual a 
(A) 33. 
(B) 132. 
(C) 54. 
(D) 44. 
(E) 11. 
 
10. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Hoje, a soma das idades de três irmãos 
é 65 anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, 
que por sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais 
velho será, em anos, igual a 
(A) 55. 
(B) 25. 
(C) 40. 
(D) 50. 
(E) 35. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: E 
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 
0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 → x = 7 
 
02. Alternativa: D 
Quantidade a ser recebida por cada um: x 
Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou 
R$300,00. 
𝑥
3
=
𝑥
3
2
+ 300 
 
𝑥
3
=
𝑥
6
+ 300 
 
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79 
 
𝑥
3
−
𝑥
6
= 300 
 
2𝑥 − 𝑥
6
= 300 
 
𝑥
6
= 300 
x = 1800 
Recebida: 1800.3=5400 
 
03. Alternativa: E 
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 
16 . x = Total 
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) 
Combinando as duas equações, temos: 
16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 
6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 
 
04. Alternativa: A 
 
 
Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. 
A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x 
Assim: 7.x = 8750 
x = 8750 / 7 
x = 1250 m 
Por fim, vamos calcular o comprimento total: 
17 – 2 = 15 espaços 
2.x + 2.x + 15.x = 
= 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = 
= 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 
 
05. Alternativa: B 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana 
como consta na fração acima (1/2x). 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
06. Alternativa: A 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 
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80 
 
07. Alternativa: B 
Idade de Rodrigo: x 
 
 
2
5
𝑥 + 3 =
1
2
𝑥 
 
2
5
𝑥 −
1
2
𝑥 = −3 
 
Mmc(2,5)=10 
 
 
4𝑥−5𝑥
10
= −3 
 
 4𝑥 − 5𝑥 = −30 
 𝑥 = 30 
 
08. Alternativa: C 
𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜:
3
8
𝑥 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶
7
5
∙
3
8
𝑥 =
21
40
𝑥 
 
3
8
𝑥 +
21
40
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 
 
𝑦 = 𝑥 −
3
8
𝑥 −
21
40
𝑥 
 
𝑦 =
40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥
40
=
4𝑥
40
=
1
10
𝑥 
 
Sobrou 1/10 da pizza. 
 
09. Alternativa: E 
Preço livro J: x 
Preço do livro K: x+15 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
 
Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 
 
3𝑥 + 4(𝑥 + 15) +
𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 
22𝑥 = 396 
𝑥 = 18 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
=
18 + 15
3
= 11 
 
O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 
 
10. Alternativa: C 
Irmão mais novo: x 
Irmão do meio: 2x 
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81 
 
Irmão mais velho:4x 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 
Irmão do meio: 2x + 10 
Irmão mais velho:4x + 10 
x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 
7x = 65 – 30 → 7x = 35 → x = 5 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 
Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 
Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 
Daqui a dez anos 
Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 
Irmão do meio: 20 + 10 = 30 
Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 
O irmão mais velho terá 40 anos. 
 
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Inequação11 é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade. 
Uma inequação do 1º grau pode ser expressa por: 
 
ax + b > 0 ; ax + b ≥ 0 ; ax + b < 0 ; ax + b ≤ 0 , onde a ∈ R* e b ∈ R. 
 
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se primeiro membro da inequação. A 
expressão à direita do sinal de desigualdade chama-se segundo membro da inequação. 
 
Propriedades 
- Aditiva: Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos um mesmo 
número aos seus dois membros. 
 
 
 
- Multiplicativa: Aqui teremos duas situações que devemos ficar atentos: 
1º) Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros 
por um mesmo número positivo. 
 
 
 
2º) Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um 
mesmo número negativo. 
 
 
O que é falso, pois -15 < -6. 
 
 
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82 
 
Resolução prática de inequações do 1º grau: resolver uma inequação é determinar o seu conjunto 
verdade a partir de um conjunto universo dado. A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo 
de maneira semelhante à resolução de equações, ou seja, transformando cada inequação em outra 
inequação equivalente mais simples, até se obter o conjunto verdade. 
 
Exemplo 
Resolver a inequação 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q. 
1º passo: vamos aplicar a propriedade distributiva 
4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5 → 4x – 8 ≤ 6x + 2 + 5 
 
2º passo: agrupamos os termos semelhantes da desigualdade e reduzimos os mesmos. 
4x – 6x ≤ 2 + 5 + 8 → -2x ≤ 15 
 
3º passo: multiplicamos por -1, e invertemos o sentido da desigualdade. 
-2x ≤ 15 → -2x ≥ 15 
 
4º passo: passamos o -2 para o outro lado da desigualdade dividindo 
𝑥 ≥ −
15
2
 
 
Logo: 
U = {x ϵ Q | x ≥ -15/2} 
 
Vejamos mais um exemplo: 
 
Resolver a inequação – 5x + 10 ≥ 0 em U = R 
-5x + 10 ≥ 0 → -5x ≥ -10, como o sinal do algarismo que acompanha x é negativo, multiplicamos por ( 
-1) ambos os lados da desigualdade → 5x ≤ 10 (ao multiplicarmos por -1 invertemos o sinal da 
desigualdade) → x ≤ 2. 
S = {x є R | x ≤ 2} 
 
Um outro modo de resolver o mesmo exemplo é através do estudo do sinal da função: 
y = -5x + 10, fazemos y = 0 (como se fossemos achar o zero da função) 
-5x + 10 = 0 → -5x = -10 → 5x = 10 → x = 2. 
Temos uma função do 1º grau decrescente, pois a < 0 (a = -5 < 0). 
 
 
 
Como queremos os valores maiores e iguais, pegamos os valores onde no gráfico temos o sinal de ( 
+ ) , ou seja os valores que na reta são menores e iguais a 2; x ≤ 2. 
 
- Inequações do 1º grau com duas variáveis 
 
Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. 
As inequações podem ser escritas das seguintes formas: 
ax + b > 0; 
ax + b < 0; 
ax + b ≥ 0; 
ax + b ≤ 0. 
Onde a, b são números reais com a ≠ 0. 
 
 
 
 
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83 
 
- Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis Método prático 
 
1) Substituímos a desigualdade por uma igualdade. 
2) Traçamos a reta no plano cartesiano. 
3) Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz 
ou não a desigualdade inicial. 
 
3.1) Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o pontoauxiliar. 
 
3.2) Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual 
pertence o ponto auxiliar. 
 
 
Exemplo 
Vamos representar graficamente a inequação 2x + y ≤ 4. 
 
 
Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 2x + y ≤ 4. 
Verificamos: 
2.0 + 0 ≤ 4 → 0 ≤ 4, a afirmativa é positiva, pois o ponto auxiliar satisfaz a inequação. A solução da 
inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). 
 
Questões 
 
01. (OBM) Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação 3 < √𝑥 < 7? 
(A) 13; 
(B) 26; 
(C) 38; 
(D) 39; 
(E) 40. 
 
02. (Assistente Administrativo) A pontuação numa prova de 25 questões é a seguinte: + 4 por 
questão respondida corretamente e –1 por questão respondida de forma errada. Para que um aluno 
receba nota correspondente a um número positivo, deverá acertar no mínimo: 
(A) 3 questões 
(B) 4 questões 
(C) 5 questões 
(D) 6 questões 
(E) 7 questões 
 
03. (Tec. Enfermagem) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 4x + 2 (x-1) > x – 12 é: 
(A) -2. 
(B) -3. 
(C) -1. 
(D) 4. 
(E) 5. 
 
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84 
 
04. (TRT 6ª Região – Auxiliar Técnico - FCC) Uma pessoa, brincando com uma calculadora, digitou 
o número 525. A seguir, foi subtraindo 6, sucessivamente, só parando quando obteve um número 
negativo. Quantas vezes ela apertou a tecla correspondente ao 6? 
(A) 88. 
(B) 87. 
(C) 54. 
(D) 53. 
(E) 42. 
 
05. (CFSD/PM) Baseado na figura abaixo, o menor valor inteiro par que o número x pode assumir para 
que o perímetro dessa figura seja maior que 80 unidades de comprimento é: 
 
 
(A) 06. 
(B) 08. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 14. 
 
06. (MACK) – Em N, o produto das soluções da inequação 2x – 3 ≤ 3 é: 
(A) maior que 8. 
(B) 6. 
(C) 2. 
(D) 1. 
(E) 0. 
 
07. (SEE/AC – Professor – FUNCAB) Determine os valores de que satisfazem a seguinte inequação: 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 
 
(A) x > 2 
(B) x ≤ - 5 
(C) x > - 5 
(D) x < 2 
(E) x ≤ 2 
 
08. (UEAP – Técnico em Planejamento – UFG) O dono de um restaurante dispõe de, no máximo, 
R$ 100,00 para uma compra de batata e feijão. Indicando por X e Y os valores gastos, 
respectivamente, na compra de batata e de feijão, a inequação que representa esta situação é: 
(A) X + Y > 100 
(B) X + Y ≤ 100 
(C) 
𝑋
𝑌
> 100 
(D) 
𝑋
𝑌
≤ 100 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: D 
Como só estamos trabalhando com valores positivos, podemos elevar ao quadrado todo mundo e ter 
9 < x < 49, sendo então que x será 10, 11, 12, 13, 14, ..., 48. 
Ou seja, poderá ser 39 valores diferentes. 
 
 
 
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85 
 
02. Alternativa: D 
Se a cada x questões certas ele ganha 4x pontos então quando erra (25 – x) questões ele perde (25 – 
x)(-1) pontos, a soma desses valores será positiva quando: 
4X + (25 -1 )(-1) > 0 → 4X – 25 + x > 0 → 5x > 25 → x > 5 
O aluno deverá acertar no mínimo 6 questões. 
 
03. Alternativa: C 
4x + 2 – 2 > x -12 
4x + 2x – x > -12 +2 
5x > -10 
x > -2 
Se enumerarmos nosso conjunto verdade teremos: V= {-1,0,1, 2,...}, logo nosso menor número inteiro 
é -1. 
 
04. Alternativa: A 
Vamos chamar de x o número de vezes que ele apertou a calculadora 
525 – 6x < 0 (pois o resultado é negativo) 
-6x < -525. (-1) → 6x > 525 → x > 87,5; logo a resposta seria 88(maior do que 87,5). 
 
05. Alternativa: B 
Perímetro soma de todos os lados de uma figura: 
6x – 8 + 2. (x+5) + 3x + 8 > 80 
6x – 8 + 2x + 10 + 3x + 8 > 80 
11x + 10 > 80 
11x > 80 -10 
x > 70/11 
x > 6,36 
Como tem que ser o menor número inteiro e par, logo teremos 8. 
 
06. Alternativa: E 
2x ≤ 3+3 
2x ≤ 6 
x ≤ 3 
Como ele pede o produto das soluções, teremos: 3.2.1.0,...= 0; pois todo número multiplicado por zero 
será ele mesmo. 
 
07. Alternativa: B 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 →
3𝑥
2
−
𝑥
2
≤ −3 − 2 →
2𝑥
2
≤ −5 → 𝑥 ≤ −5 
 
08. Alternativa: B 
Batata = X 
Feijão = Y 
O dono não pode gastar mais do que R$ 100,00(ele pode gastar todo o valor e menos do que o valor), 
logo: 
X + Y ≤ 100 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, 
expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. 
 
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86 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita12, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação. 
 
Equação completa e incompleta 
 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
Exemplos 
x2 - 5x + 6 = 0 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). 
- 3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = - 3, b = 2, c = - 15). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
 
Exemplos 
x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). 
x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 
4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 
 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-
las a essa forma. 
 
Exemplo 
Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
Exemplo 
Pelo princípio multiplicativo. 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita 
Primeiramente devemos saber duas importantes propriedades dos números Reais que é o nosso 
conjunto Universo. 
 
 
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IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. Matemática: ciência e aplicações. 9ª ed. Saraiva. São Paulo. 2017. 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
87 
 
 
 
1°) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
2º) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
ou 
x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita 
 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. 
Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau 
de maneira mais simples. 
 
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 
 
 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três 
casos a estudar. 
 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Exemplos 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
1592098 E-book geradoespecialmente para KARLA SILVA
 
88 
 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
 
2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 
Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. 
Aplicando na fórmula de Bháskara: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4
2.5
=
12 ± √144 − 80
10
=
12 ± √64
10
 
 
Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 
 
𝑥 =
12 ± 8
10
 → 𝑥′ = 
12 + 8
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥′′ =
12 − 8
10
=
4: 2
10: 2
=
2
5
 
 
S= {2/5, 2} 
 
Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de 
Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 
 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
 
x2 – Sx + P = 0 
Exemplos 
1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos: 
S = 2+7 = 9 
P = 2.7 = 14 
Com esses valores montamos a equação: x2 - 9x + 14 = 0 
 
2) Resolver a equação do 2º grau: x2 - 7x + 12 = 0 
Observe que S = 7 e P = 12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e 
multiplicados obtemos 12. 
S= 3 + 4 = 7 e P = 4.3 = 12, logo o conjunto solução é: S = {3,4} 
 
Questões 
 
01. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma 
equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 0. 
(E) 9. 
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89 
 
02. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 
1 e 3/2? 
(A) x²-3x+4=0 
(B) -3x²-5x+1=0 
(C) 3x²+5x+2=0 
(D) 2x²-5x+3=0 
 
03. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 2º grau 
dada por x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
 
04. (CGU – Administrativa – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas 
partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. 
Calcule o valor mais próximo de x de maneira que 
 x = (1-x) / x, usando 5=2,24. 
(A) 0,62 
(B) 0,38 
(C) 1,62 
(D) 0,5 
(E) 1/ 𝜋 
 
05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto 
das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: 
(A) 48 anos. 
(B) 46 anos. 
(C) 38 anos. 
(D) 36 anos. 
(E) 32 anos. 
 
06. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA) Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² 
– mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: 
(A) 15 
(B) 7 
(C) 10 
(D) 8 
(E) 5 
 
07. (CBTU – Analista de Gestão – CONSULPLAN) Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2 + 
bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que a + b = 5, então o 
discriminante dessa equação é igual a 
(A) 196. 
(B) 225. 
(C) 256. 
(D) 289. 
 
08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao 
formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha 
era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
 
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90 
 
09. (Pref. de São Paulo/SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são as 
raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 
1
𝑥2
 - 
1
𝑥1
 é: 
(A) 
1
27
. 
 
(B) 
1
13
. 
 
(C) 1. 
 
(D) 
1
182
. 
 
(E) 
1
14
. 
 
10. (Pref. de Mogeiro/PB - Professor – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² - 3kx + 1 
= 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: 
(A) k = 1/2. 
(B) k = 3/2. 
(C) k = 1/3. 
(D) k = 2/3. 
(E) k = -2. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 
 
02. Resposta: D 
Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: 
x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor 
numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 
 
𝑆 = 1 +
3
2
=
5
2
= 𝑏 
 
𝑃 = 1 ∙
3
2
=
3
2
= 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
𝑥2 −
5
2
𝑥 +
3
2
= 0 
 
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 
 
03. Resposta: B 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz: 22=4 
 
 
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91 
 
04. Resposta: A 
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
 
x² = 1-x 
x² + x -1 =0 
∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2
 
 
𝑥1 =
(−1 + 2,24)
2
= 0,62 
 
𝑥2 =
−1 − 2,24
2
= −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
05. Resposta: B 
Hoje: 
J = IR + 8 ( I ) 
J . IR = 153 ( II ) 
Substituir ( I ) em ( II ): 
(IR + 8). IR = 153 
IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 
𝛥 = 64 + 612 
𝛥 = 676 
 
𝑥 =
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
 
𝑥 =
−8±√676
2.1
= 
−8±26
2
 
 
𝑥1 = 
−8+26
2
=
18
2
= 9 
 
𝑥2 = 
−8−26
2
=
−34
2
= −17 (Não Convém) 
 
Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. 
Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 
 
06. Resposta: B 
Lembrando que a fórmula pode ser escrita como: x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das 
raízes é 6, a outra é 1. 
Então a soma é 6+1=7 
S=m=7 
 
07. Resposta: C 
O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Antes, precisamos calcular a, b e c. 
* Soma das raízes = – b / a 
 – b / a = 6 + (– 10) 
– b / a = – 4 . (– 1) 
b = 4 . a 
Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 
5.a = 5 e a = 1 
* b = 4 . 1 = 4 
Falta calcular o valor de c: 
* Produto das raízes = c / a 
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92 
 
c / 1 = 6 . (– 10) 
c = – 60 
Por fim, vamos calcular o discriminante: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 
 
08. Resposta: B 
Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: 
c = 2.p (I) 
p.c = 98 (II) 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
p.2p = 98 
2.p² = 98 
p² = 98 / 2 
p = √49 
p = 7 pilhas 
Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 
 
09. Resposta: D 
Primeiro temos que resolver a equação: 
a = 1, b = - 27 e c = 182 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (-27)2 – 4.1.182 
∆ = 729 – 728 
∆ = 1 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 = 
−(−27)±√1
2.1
 = 
27±1
2
 → x1 = 14 ou x2 = 13 
 
O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 
 
1
𝑥2
−
1
𝑥1
=
𝑥1 − 𝑥2
𝑥2. 𝑥1
=
14 − 13
14.13
=
1
182
 
 
10. Resposta: C 
Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 
−𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
. 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 
S = P 
−𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 
 
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chamamos de inequação do 2º toda desigualdade pode ser representada da seguinte forma: 
 
ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + bx + c ≤ 0 
 
A sua resolução depende do estudo do sinal da função y = ax2 + bx + c, para que possamos determinar 
os valores reais de x para que tenhamos, respectivamente: 
y > 0 , y < 0 , y ≥ 0 ou y ≤ 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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93 
 
E para o estudo do sinal, temos os gráficos abaixo: 
 
 
 
Para melhorentendimento vejamos alguns exemplos: 
 
1) Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0. 
Resolveremos como uma equação do 2º grau para obtermos suas raízes. 
 
Δ = b2 – 4.a.c → Δ = 102 – 4.3.7 = 100 – 84 = 16 
𝑥 =
−10 ± √16
2.3
→ 𝑥 =
−10 ± 4
6
→ {
𝑥′ =
−10 + 4
6
=
−6
6
= −1
𝑥′′ =
−10 − 6
6
= −
14
6
= −
7
3
 
 
Agora vamos montar graficamente o valor para que assim achemos os valores que satisfaçam a 
mesma. 
 
 
Como queremos valores menores que zero, vamos utilizar o intervalo onde os mesmos satisfaçam a 
inequação, logo a solução para equação é: 
S = {x ϵ R | -7/3 < x < -1} 
 
2) Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0. 
Novamente, devemos encontrar as raízes da equação. 
 
𝑥 =
−(−4) ± √16
2
→ 𝑥 =
4 ± 4
2
{
𝑥′ =
4 + 4
2
= 4
𝑥′′ =
4 − 4
2
= 0
 
Graficamente temos: 
 
 
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94 
 
Observe que ao montarmos o gráfico conseguimos visualizar o intervalo que corresponde a solução 
que procuramos, pois queremos valores ≥ 0. Logo: 
S = {x ϵ R | x ≤ 0 ou x ≥ 4} 
 
Questões 
 
01. (VUNESP) O conjunto solução da inequação 9x2 – 6x + 1 ≤ 0, no universo do números reais é: 
(A) ∅ 
(B) R 
(C) {
1
3
} 
(D) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥
1
3
} 
(E) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠
1
3
} 
 
02. (PUC-MG) O produto dos elementos do conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁|(𝑥 − 2). (7 − 𝑥) > 0} é: 
(A) 60 
(B) 90 
(C) 120 
(D) 180 
(E) 360 
 
03. Em R, o domínio mais amplo possível da função, dada por 𝑓(𝑥) =
1
√9−𝑥2
, é o intervalo: 
(A) [0; 9] 
(B) ]0; 3[ 
(C) ]- 3; 3[ 
(D) ]- 9; 9[ 
(E) ]- 9; 0[ 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Resolvendo por Bháskara: 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (−6)2 − 4.9.1 
∆= 36 − 36 = 0 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
𝑥 =
−(−6)±√0
2.9
 
𝑥 =
6±0
18
=
6
18
=
1
3
 (delta igual a zero, duas raízes iguais) 
 
Fazendo o gráfico, a > 0 parábola voltada para cima: 
 
 
S = {
1
3
} 
 
02. Resposta: E 
(x – 2).(7 – x) > 0 (aplicando a distributiva) 
7x – x2 – 14 + 2x > 0 
- x2 + 9x – 14 > 0 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
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95 
 
∆= 92 − 4. (−1). (−14) 
∆= 81 − 56 = 25 
𝑥 =
−9±√25
2.(−1)
 
𝑥 =
−9±5
−2
 ➔ 𝑥1 =
−9+5
−2
=
−4
−2
= 2 ou 𝑥2 =
−9−5
−2
=
−14
−2
= 7 
 
Fazendo o gráfico, a < 0 parábola voltada para baixo: 
 
 
a solução é 2 < x < 7, neste intervalo os números naturais são: 3, 4, 5 e 6. 
3.4.5.6 = 360 
 
03. Resposta: C 
Para que exista a raiz quadrada da função temos que ter 9 – x2 ≥ 0. Porém como o denominador da 
fração tem que ser diferente de zero temos que 9 – x2 > 0. 
- x2 + 9 >0 
As soluções desta equação do 2° grau são 3 e – 3. 
Fazendo o gráfico, a < 0, parábola voltada para baixo: 
 
A solução é – 3 < x < 3 ou ]- 3; 3[ 
 
POLINÔMIOS 
 
Para polinômios podemos encontrar várias definições diferentes como por exemplo: 
Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos. 
 - 3xy é monômio, mas também considerado polinômio, assim podemos dividir os polinômios em 
monômios (apenas um monômio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios). 
- 3x + 5 é um polinômio e uma expressão algébrica. 
 
Grau de um Polinômio 
 
Assim como nos monômios, os polinômios também possuem grau e é assim que eles são separados, 
ou seja, para identificar o seu grau, basta observar o grau do maior monômio, esse será o grau do 
polinômio. 
 
Exemplos 
5x2 – 9x – 8 o monômio de maior grau possui grau 2, logo é um polinômio do 2º grau. 
4x4 – 10x² – 5x¹ o monômio de maior grau possui grau 4, logo é um polinômio do 4º grau. 
 
Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição, subtração, divisão, multiplicação, 
potenciação e radiciação. 
 
Operações com Polinômios 
 
Adição 
O procedimento utilizado na adição de polinômios envolve técnicas de redução de termos 
semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. 
 
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96 
 
Exemplos: 
01. Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6. 
(x2 – 3x – 1) + (– 3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal. 
+ (– 3x2) = – 3x2 
+ (+ 8x) = + 8x 
+ (– 6) = – 6 
Assim, 
 
x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes. 
x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6 
– 2x2 + 5x – 7 
Portanto: (x2 – 3x – 1) + (– 3x2 + 8x – 6) = – 2x2 + 5x – 7 
 
02. Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos: 
(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 
4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes. 
4x2 – 10x + 6x – 5 + 12 
4x2 – 4x + 7 
Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7 
 
Subtração 
O procedimento utilizado na subtração de polinômios é análogo ao utilizado na adição, ou seja, envolve 
técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais 
diferentes. 
 
Exemplos: 
01. Subtraindo – 3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8. 
(5x2 – 9x – 8) – (– 3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 
– (– 3x2) = + 3x2 
– (+ 10x) = – 10x 
– (– 6) = + 6 
Assim, 
5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes. 
5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6 
8x2 – 19x – 2 
Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (– 3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2 
 
02. Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5 teremos: 
(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais. 
2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes. 
2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5 
0x³ – 6x² + x + 16 
– 6x² + x + 16 
Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16 
 
03. Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 
20. Calcule: 
a) A + B + C 
(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20) 
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20 
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20 
9x³ + 6x² – 8x + 45 
A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45 
 
b) A – B – C 
(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20) 
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20 
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20 
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30 
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97 
 
3x³ + 4x² – 8x – 15 
A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15 
 
Multiplicação 
A multiplicação com polinômios (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas: 
1) Multiplicação de monômio com polinômio. 
2) Multiplicação de número natural com polinômio. 
3) Multiplicação de polinômio com polinômio. 
 
As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades: 
- Propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m 
- Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e 
coeficiente com coeficiente. 
 
1) Multiplicação de monômio com polinômio 
 - Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1), teremos: 
3x.(5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva. 
3x.5x2 + 3x.3x + 3x.(-1) 
15x3 + 9x2 – 3x 
Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x 
 
- Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos: 
-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva. 
-2x2 . 5x – 2x2 . (-1) 
- 10x3 + 2x2 
Portanto: -2x2 (5x – 1) = - 10x3 + 2x2 
 
2) Multiplicação de número natural com polinômio 
- Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos: 
3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva. 
3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5 
6x2 + 3x + 15. 
Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2+ 3x + 15. 
 
3) Multiplicação de polinômio com polinômio 
 - Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2) 
(3x – 1) . (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva. 
3x . 5x2 + 3x . 2 – 1 . 5x2 – 1 . 2 
15x3 + 6x – 5x2 – 2 
Portanto: (3x – 1) . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2 
 
- Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos: 
(2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva. 
2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2) 
10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2 
10x3+ x2 + 3x – 2 
Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2 
 
Divisão 
Assim como ocorre na multiplicação, a divisão será separada em casos, vamos analisá-los. 
 
01. Divisão de monômio por monômio 
Ao resolvermos uma divisão onde o dividendo e o divisor são monômios devemos seguir a regra: 
dividimos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal, e não podemos esquecer a 
propriedade an : am = 
𝑎𝑛
𝑎𝑚
 = a n - m. 
 
Exemplos: 
6x3 ÷ 3x = 
6𝑥3
3x
, agora faremos 6:3 e x³:x, e obteremos 2x 
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98 
 
−10𝑥2𝑦4: 2𝑥𝑦2 =
−10
2
𝑥2
𝑥
𝑦4
𝑦2
= −5𝑥𝑦2 
 
02. Divisão de polinômio por monômio 
 
Exemplos: 
a) (10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2) 
 
O dividendo 10a3b3 + 8ab2 é formado por dois monômios. Dessa forma, o divisor 2ab2, que é um 
monômio, irá dividir cada um deles, veja: 
(10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2) 
 
10𝑎3𝑏3
2𝑎𝑏2
+
8𝑎𝑏2
2𝑎𝑏2
 
 
Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio em duas divisões de monômio por 
monômio. Portanto, para concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e parte literal 
por parte literal. 
10𝑎3𝑏3
2𝑎𝑏2⏟ 
5𝑎2𝑏 
+
8𝑎𝑏2
2𝑎𝑏2⏟ 
4
 
 
ou 
 
 
Portanto, (10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2) = 5a2b + 4 
 
b) (9x2y3 – 6x3y2 – xy) ÷ (3x2y) 
 
O dividendo 9x2y3 – 6x3y2 – xy é formado por três monômios. Dessa forma, o divisor 3x2y, que é um 
monômio irá dividir cada um deles, veja: 
9𝑥2𝑦3
3𝑥2𝑦
−
6𝑥3𝑦2
3𝑥2𝑦
−
𝑥𝑦
3𝑥2𝑦
 
 
Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio em três divisões de monômio por monômio. 
Portanto, para concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e parte literal por parte 
literal. 
9𝑥2𝑦3
3𝑥2𝑦
−
6𝑥3𝑦2
3𝑥2𝑦
−
𝑥𝑦
3𝑥2𝑦
⟶ 3𝑦2 − 2𝑥𝑦 −
1
3𝑥
 
 
Portanto, 
(9𝑥2𝑦3 − 6𝑥3𝑦2 − 𝑥𝑦): (3𝑥2𝑦) = 3𝑦2 − 2𝑥𝑦 −
1
3𝑥
 𝑜𝑢 3𝑦2 − 2𝑥𝑦 −
1𝑥−1
3
 
 
03. Divisão de Polinômio por polinômio 
Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. 
Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas 
condições abaixo: 
 
 
 
 
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99 
 
1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 
 
 
 
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0 
 
Nessa divisão: 
P(x) é o dividendo. 
D(x) é o divisor. 
Q(x) é o quociente. 
R(x) é o resto da divisão. 
 
Obs.: Quando temos R(x) = 0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) 
é divisor de P(x). 
 
Se D(x) é divisor de P(x)  R(x)=0 
 
Exemplo: 
Determinar o quociente de P(x) = x4 + x3 – 7x2 + 9x – 1 por D(x) = x2 + 3x – 2. 
Resolução: Aplicando o método da chave, temos: 
 
 
 
Verificamos que: 
 
 
O dispositivo de Briot-Ruffini 
 
Utiliza-se para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax + b). 
 
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2 por (x – 
2). 
Resolução: 
 
 
Para resolvermos este problema, vamos seguir o passo a passo abaixo: 
1) Vamos achar a raiz do divisor: x – 2 = 0 → x = 2; 
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100 
 
2) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da reta, 
como mostra a figura acima; 
3) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo; 
4) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º 
coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste; 
5) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto 
com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente; 
6) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à 
esquerda deste serão os coeficientes do quociente. 
Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1. 
Resposta: Q(x) = 3x2 + x + 3 e R(x) = 4. 
O teorema das divisões sucessivas é aplicado em várias divisões utilizando este método citado 
acima. 
 
Máximo Divisor Comum de um Polinômio 
Um máximo divisor comum de um grupo de dois ou mais polinômios não nulos, de coeficientes 
racionais, P1(x), P2(x), ... , Pm(x) é um polinômio de maior grau M(x) que divide todos os polinômios 
P1(x), P2(x), ... , Pm(x) . 
 
M(x) também deve só conter coeficientes racionais. 
 
Saiba: P(x) = 2x3 + x – 1 é um polinômio de coeficientes racionais porque todos os coeficientes das 
potências xn (n = 1, 2, 3, ...) e o termo independente são números racionais. O grau deste polinômio é 3. 
 
 
Saiba: 
P(x) = 140x5 + √2 x3 – x2 + 3 NÃO é um polinômio de coeficientes racionais porque há pelo menos um 
coeficiente das potências xn (n = 1, 2, 3, ...) ou do termo independente que não é um número racional. No 
caso, o coeficiente irracional (que é um número real não racional) é √2 da potência cúbica. Preste atenção: 
P(x) não deixa de ser um polinômio! Apenas não é um polinômio racional. 
 
Um polinômio D(x) divide um polinômio A(x) - não nulo - se existe um polinômio Q(x) tal que 
 
A(x) ≡ Q(x)D(x) 
 
Por exemplo, D(x) = x + 2 divide A(x) = x3 + 2x2 – 9x – 18 pois existe um Q(x) = x2 – 9 tal que A(x) ≡ 
Q(x)D(x). Veja: 
 
x3 + 2x2 – 9x – 18 ≡ (x + 2)(x2 – 9) 
 
Denotamos D(x) | A(x) e lemos: D(x) divide A(x) ou A(x) é divisível por D(x). Q(x) é o quociente. 
 
Procedimento 
Obtendo um mdc usando FATORAÇÃO: 
Obter a fatoração de P1, P2, etc... Isso quer dizer, decomponha P1, P2, etc... em fatores com menor 
grau possível onde os fatores ainda sejam polinômios racionais. 
1) Um mdc entre os polinômios é igual produto dos fatores comuns dos polinômios. 
2) Caso não existam fatores comuns, o maior divisor comum é 1, logo o mdc(P1, P2, ...) = 1 
 
Exemplos: 
1) Obter um mdc entre (x2 – 2x + 1) e (x2 – 1) 
x2– 2x + 1 = (x – 1)( x – 1) 
x2– 1 = (x – 1)(x + 1) 
Um mdc é (x – 1) já que é fator comum entre os polinômios x2– 2x + 1 e x2– 1. 
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101 
 
2) Obter um mdc entre (x2 – 2x + 1) e (5x2 – 5) 
x2– 2x + 1 = (x – 1)( x – 1) 
5x2– 5 = 5(x – 1)(x + 1) 
Um mdc é (x – 1) já que é fator comum entre os polinômios x2– 2x + 1 e 5x2– 5 . 
Entretanto, em se tratando de polinômios, temos sempre a EXISTÊNCIA de mdc (entre polinômios não 
nulos); e isso é garantido, uma vez que 1 divide qualquer polinômio. Mas não temos a unicidade de mdc 
para polinômios. 
Pela definição, para que um polinômio M(x) seja mdc entre A(x) e B(x) - não nulos - basta que M(x) 
divida A(x) e B(x). 
 
Perceba, por exemplo, que A(x) = x2 – 2x + 1 e B(x) = x2 – 1 são ambos divisíveis por x – 1, 
2x – 2, 3x – 3, – 4x + 4, ... enfim! A(x) e B(x) são divisíveis por qualquer polinômio da forma 
a(x – 1) onde a é um número real não nulo. 
 
 
Pelo Teorema de D'Alembert, (x – 1) | A(x) assim como (x – 1) | B(x), pois A(1) = B(1) = 0. 
 
Dica → O MDC entre polinômios não é único. 
Mas se P é um mdc entre os polinômios considerados, todo mdc entre eles pode ser escrito como a·P 
(a é uma constante não nula). 
Não se esqueça que para ser mdc é OBRIGATÓRIO que ele seja o produto deTODOS os divisores 
dos polinômios dados (desconsiderando as constantes multiplicativas). O grau do mdc é único. 
 
Teorema do Resto 
 
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b é igual ao valor numérico desse polinômio 
para , ou seja, . 
 
Exemplo 
Calcule o resto da divisão de P(x) = x² + 5x - 1 por B(x) = x + 1: 
Achamos a raiz do divisor: 
x + 1= 0 x = - 1 
Pelo teorema do resto, sabemos que o resto é igual a P(-1): 
P(-1) = (-1)² + 5.(-1) -1 P(- 1) = - 5 = r 
Portanto, o resto da divisão de x² + 5x - 1 por x + 1 é - 5. 
Note que P(x) é divisível por ax + b quando r = 0, ou seja, quando . Daí vem o 
enunciado do seguinte teorema: 
 
Teorema de D’Alembert 
 
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio 1 se e somente se . 
 
O caso mais importante da divisão de um polinômio P(x) é aquele em que o divisor é da forma (x 
- ). 
Note que é a raiz do divisor. Então o resto da divisão de P(x) por (x – ) é: 
r = P( ) 
 
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102 
 
Assim: 
P(x) é divisível por (x – ) quando r = 0, ou seja, quando P( ) = 0. 
 
Exemplo 
Determine o valor de p, para que o polinômio seja divisível por x – 2: 
Resolução 
Para que P(x) seja divisível por x – 2 devemos ter P(2) = 0, pois 2 é a raiz do divisor: 
 
Assim, para que seja divisível por x – 2 devemos ter p = 19. 
 
Questões 
 
01. (Guarda Civil/SP) O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² – 5x + 1 por x – 2 é: 
(A)1 
(B)2 
(C)10 
(D)11 
(E) 12 
 
02. (Guarda Civil/SP) Considere o polinômio 
P(x) = 4x4 + 3x3 – 2x2 + x + k 
Sabendo que P(1) = 2, então o valor de P(3) é: 
(A) 386. 
(B) 405. 
(C) 324. 
(D) 81. 
(E) 368. 
 
03. (UNESP) Se o polinômio P(x) = x3 + mx2 - 1 é divisível por x2 + x - 1, então m é igual a: 
(A)-3 
(B)-2 
(C)-1 
(D)1 
(E) 2 
 
04. (UFAL) Seja o polinômio do 3° grau p = ax³ + bx² + cx + d cujos coeficientes são todos positivos. 
O n° real k é solução da equação p(x) = p(- x) se, e somente se, k é igual a: 
(A) 0 
(B) 0 ou 1 
(C) - 1 ou 1 
(D) ± √c/a 
(E) 0 ou ± √-c/a 
 
05 . (UFSM) Considere os polinômios, de coeficientes reais: 
A(x)= x3 + ax2 + bx + c 
B(x)= bx3 + 2x2 + cx +2 
Teremos que A(k)=B(k), qualquer que seja o número real k, quando: 
(A) a=c=2 e b=1 
(B) b=c=1 e a=2 
(C) a=b=c=1 
 
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103 
 
(D) a=b=c=2 
(E) nunca 
 
06. (FUVEST) Um polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c, satisfaz as seguintes condições: 
P(1) = 0; P(–x) + P(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2)? 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
07. (MACK) 
 
Considerando as divisões de polinômios acima, podemos afirmar que o resto da divisão de P(x) por x2 
– 8x + 12 é: 
(A) 3x – 2 
(B) x + 1 
(C) 2x + 2 
(D) 2x + 1 
(E) x + 2 
 
08. (FGV) Sabe-se que o polinômio f = x4 – x3 – 3x2 + x + 2 é divisível por x2 – 1. Um outro divisor de f 
é o polinômio: 
(A) x2 – 4 
(B) x2 + 1 
(C) (x + 1)2 
(D) (x – 2)2 
(E) (x – 1)2 
 
09. (FGV) Um polinômio P (x) do 4o grau é divisível por (x – 3)3. Sendo P (0) = 27 e P (2) = –1, então 
o valor de P (5) é: 
(A) 48 
(B) 32 
(C) 27 
(D) 16 
(E) 12 
 
10. (MACK) Se P (x) = x3 – 8 x2 + kx – m é divisível por (x – 2) (x + 1) então 
𝑘
𝑚
 , (m≠ 0), vale: 
(A) 2/5 
(B) – 5/14 
(C) 7/2 
(D) 2/7 
(E) 1/2 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
 
 
 
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104 
 
02. Resposta: A 
P(1) = 4.1 + 3.1 – 2.1 + 1 + k =2 
P(1) = 4 + 3 – 2 + 1+ k = 2 
10 + k = 2 
k = 2 – 6 
k = – 4 
 Substituindo k, e fazendo P(3), teremos: 
 P(3) = 4x4 + 3x³ + 2x² + x – 4 
P(3) = 4.(3)4 + 3.(3)3 + 2.(3)2 + 3 -4 
P(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4 
P(3) = 324 + 81 – 18 + 3 – 4 
P(3) = 386 
 
03. Resposta: E 
 
 
Como é divisível, então o resto deverá ser igual a zero, logo teremos que: 
m – 2 = 0 
m = + 2 
 
04. Resposta: E 
p(x) = p(- x) 
ax³ + bx² + cx + d = - ax³ + bx² - cx + d 
2ax³ + 2cx = 0 
2(ax³ + cx) = 0 
ax³+cx=0 
Como k é solução da equação ax³ + cx = 0, teremos 
p(k) = ak³ + ck = 0 
ak³ + ck = 0 
k(ak² + c) = 0 
k = 0 ou 
ak² + c = 0 
k² = - c/a 
k = ± √−𝑐/𝑎 
 
05. Resposta: E 
A(x) = B(x) ➔ x3 + ax2 + bx + c = bx3 + 2x2 + cx + 2 ➔ x3 +ax2 + bx +c - bx3 - 2x2 – cx - 2 = 0➔ 
x3 (1 - b) + x2(a - 2) + x(b - c) + c – 2 = 0, daí tiramos: 
b = 1 ; a = 2 ; b = c ; c = 2 , b = 2 , então se b = 1 e b = 2 , b não pode ter dois valores, logo não existe 
resposta correta. 
 
06. Resposta: E 
P(x) = x3 + ax2 + bx + c 
P(1) = 13+ a12 + b1 + c ➔ a + b + c = - 1 
P(- x) + P(x) = - x3 + ax2 – bx + c + x3 + ax2 + bx + c ➔ 2ax2 + 2c = 0 ➔ ax2 + c = 0 ➔ a = 0 ; c = 0 
Substituindo em a + b + c = - 1, b = - 1 
P(2) = 23 - 1.2 = 8 - 2 = 6 
 
07. Resposta: E 
P(x) = Q(x) (x – 2) + 4; Q(x) = Q1 (x) (x – 6) + 1 
P(x) = (Q1 (x) (x – 6) + 1) (x – 2) + 4 
P(x) = Q1 (x) (x2 – 8x + 12) + x – 2 + 4 
P(x) = Q1 (x) (x2 – 8x + 12) + (x + 2) 
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105 
 
R(x) = x + 2 
 
08. Resposta: C 
 
09. Resposta: E 
P(x) = (x – 3)3 . Q(x) + R(x) 
P(0) = – 27 . Q(0) = 27 ⟹ Q(0) = – 1 
P(2) = – 1 . Q(2) = – 1 ⇒ Q(2) = 1 
P(5) = ? 
Q(x) = ax + b 
Q(0) = b = – 1 
Q(2) = 2a – 1 = 1 ➔ a = 1 ➔ Q(x) = x – 1 
P(5) = (5 – 3)3 . Q(5) ➔ P(5) = 8 . (5 – 1) = 32 
 
10. Resposta: B 
Resolução: 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 
2 cadernos e 3 livros e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra 
de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa. 
No dia seguinte, encontram um outro colega e falaram sobre suas compras, porém não se lembrava 
do preço unitário dos livros. Sabiam, apenas que todos os livros, como todos os cadernos, tinham o 
mesmo preço. 
Bom, diante deste problema, será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno 
com as informações que temos? 
 
Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um 
conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela 
que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. 
 
Exemplos de sistemas: 
 
 
{ Observe este símbolo. A matemática convencionou neste caso para indicar que duas ou mais 
equações formam um sistema. 
 
 
 
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106 
 
Resolução de Sistemas 
Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas x e y que faça verdadeira 
as equações que fazem parte do sistema. 
 
Exemplos: 
a) O par (4,3) pode ser a solução do sistema 
{
x – y = 2
x + y = 6
 
 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: 
{
x – y = 2
x + y = 6
 
 
x - y = 2 ; x + y = 6 
4 – 3 = 1 ; 4 + 3 = 7 
1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso) 
A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de equações acima. 
 
b) O par (5,3) pode ser a solução do sistema 
{
x – y = 2
x + y = 8
 
 
x – y = 2 
x + y = 8 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: 
x – y = 2 ; x + y = 8 
5 – 3 = 2 ; 5 + 3 = 8 
2 = 2 (verdadeiro) 8 = 8 (verdadeiro) 
A resposta então é verdadeira. O par (5, 3) é a solução do sistema de equações acima. 
 
Métodos para solução de sistemas do 1º grau 
 
Método de Substituição 
Este método de resolução para os sistemas de equações de 1º grau estabelece que “extrair” o valor 
de uma incógnita é substituir esse valor na outra equação. 
Observe: 
{
x –y = 2
x + y = 4
 
Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer 
o valor de acordo com a outra incógnita, desta forma: 
x – y = 2 
x = 2 + y 
Agora iremos substituir o “x” encontrado acima, na “x” da segunda equação do sistema: 
x + y = 4 
(2 + y) + y = 4 
2 + 2y = 4 
2y = 4 – 2 
2y = 2 
y = 1 
Temos que: x = 2 + y, então 
x = 2 + 1 
x = 3 
Assim, o par (3, 1) torna-se a solução verdadeira do sistema. 
 
Método da Adição 
Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das equações 
fornecidas. 
 
 
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107 
 
Observe: 
{
x – y = −2
3x + y = 5
 
Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas: 
 x - y = -2 
3x + y = 5 + 
4x = 3 
x = 3/4 
 
Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “y” se anula. Isto tem que ocorrer 
para que possamos achar o valor de “x”. 
Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para 
ficar somente uma incógnita? 
Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo. 
Ex.: 
{
3x + 2y = 4
2x + 3y = 1
 
Ao somarmos os termos acima, temos: 
5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”, fazemos o seguinte: 
» multiplica-se a 1ª equação por + 2 
» multiplica-se a 2ª equação por - 3 
 
Vamos calcular então: 
3x + 2y = 4 (x +2) 
2x + 3y = 1 (x -3) 
6x +4y = 8 
-6x - 9y = -3 + 
-5y = 5 
y = -1 
 
Substituindo: 
2x + 3y = 1 
2x + 3.(-1) = 1 
2x = 1 + 3 
x = 2 
 
Verificando: 
3x + 2y = 4 → 3.(2) + 2(-1) = 4 → 6 – 2 = 4 
2x + 3y = 1 → 2.(2) + 3(-1) = 1 → 4 – 3 = 1 
 
Gráfico de um sistema do 1º grau 
 
Dispondo de dois pontos, podemos representa-los graficamente em um plano cartesiano. A figura 
formada por esses pontos é uma reta. 
Exemplo: Dado x + y = 4, vamos traçar o gráfico desta equação. Vamos atribuir valores a x e a y para 
acharmos os pontos no gráfico. 
 
 
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108 
 
Unindo os pontos formamos uma reta, que contém todos os pontos da equação. A essa reta damos o 
nome de reta suporte. 
 
 
Mas, e aí, será que agora conseguiremos resolver aquele problema lá do início? 
 
João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros 
e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra de 2 livros e 1 caderno 
Vamos chamar de x o preço do caderno e de y o preço do livro. 
Assim temos 2x + 3y = 15,40 e 2x + 1y = 9,20. 
{
2x + 3y = 15,40 
2x + 1y = 9,20
 
Vamos resolver pelo método da substituição. 
Iremos isola y na segunda equação, ficando então com: 
y = 9,20 – 2x 
Agora vamos substituir na primeira equação: 
2x + 3y = 15,40 
2x + 3(9,20 - 2x) = 15,40 
2x + 27,60 - 6x = 15,40 
2x - 6x = 15,40 - 27,60 
- 4x = - 12,20 (-1) 
4x = 12,20 
x = 
12,20
4
 
x = 3,05 
 
Temos 
y = 9,20 – 2x 
y = 9,20 – 2.3,05 
y = 9,20 – 6,10 
y = 3,10 
 
Assim cada caderno custa R$3,05 e cada livro custa R$3,10. 
 
Questões 
 
01. (SABESP - Aprendiz - FCC) Em uma gincana entre as três equipes de uma escola (amarela, 
vermelha e branca), foram arrecadados 1 040 quilogramas de alimentos. A equipe amarela arrecadou 50 
quilogramas a mais que a equipe vermelha e esta arrecadou 30 quilogramas a menos que a equipe 
branca. A quantidade de alimentos arrecadada pela equipe vencedora foi, em quilogramas, igual a 
(A) 310 
(B) 320 
(C) 330 
(D) 350 
(E) 370 
 
02. (PM/SE - Soldado - FUNCAB) Os cidadãos que aderem voluntariamente à Campanha Nacional 
de Desarmamento recebem valores de indenização entre R$150,00 e R$450,00 de acordo com o tipo e 
calibre do armamento. Em uma determinada semana, a campanha arrecadou 30 armas e pagou 
indenizações somente de R$150,00 e R$450,00, num total de R$7.500,00. 
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109 
 
Determine o total de indenizações pagas no valor de R$150,00. 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 22 
(D) 24 
(E) 18 
 
03. (Pref. Lagoa da Confusão/TO - Orientador Social - IDECAN) A razão entre a idade de Cláudio 
e seu irmão Otávio é 3, e a soma de suas idades é 28. Então, a idade de Marcos que é igual a diferença 
entre a idade de Cláudio e a idade de Otávio é 
(A) 12. 
(B) 13. 
(C) 14. 
(D) 15. 
(E) 16. 
 
04. (Pref. de Nepomuceno/MG - Porteiro - CONSULPLAN) Numa adega encontram-se armazenadas 
garrafas de vinho seco e suave num total de 300 garrafas, sendo que o número de garrafas de vinho seco 
excede em 3 unidades o dobro do número de garrafas de vinho suave. Assim, a porcentagem de garrafas 
de vinho seco dessa adega é igual a 
(A) 60%. 
(B) 63%. 
(C) 65%. 
(D) 67%. 
(E) 70%. 
 
05. (PETROBRAS - Técnico de Administração e Controle Júnior - CESGRANRIO) Maria vende 
salgados e doces. Cada salgado custa R$2,00, e cada doce, R$1,50. Ontem ela faturou R$95,00 
vendendo doces e salgados, em um total de 55 unidades. 
Quantos doces Maria vendeu? 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 30 
(D) 35 
(E) 40 
 
06. (TRT 6ª Região - Analista Judiciário - FCC) Para fazer um trabalho, um professor vai dividir os 
seus 86 alunos em 15 grupos, alguns formados por cinco, outros formados por seis alunos. Dessa forma, 
sendo C o número de grupos formados por cinco e S o número de grupos formados por seis alunos, o 
produto C⋅S será igual a 
(A) 56. 
(B) 54. 
(C) 50. 
(D) 44. 
(E) 36. 
 
07. (Banco do Brasil - Escriturário - FCC) Dos 56 funcionários de uma agência bancária, alguns 
decidiram contribuir com uma lista beneficente. Contribuíram 2 a cada 3 mulheres, e 1 a cada 4 homens, 
totalizando 24 pessoas. 
 A razão do número de funcionárias mulheres para o número de funcionários homens dessa agência 
é de 
(A) 3 para 4. 
(B) 2 para 3. 
(C) 1 para 2. 
(D) 3 para 2. 
(E) 4 para 5. 
 
08. (SABESP - Analista de Gestão - FCC) Em um campeonato de futebol, as equipes recebem, em 
cada jogo, três pontos por vitória, um ponto em caso de empate e nenhum ponto se forem derrotadas. 
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110 
 
Após disputar 30 partidas, uma das equipes desse campeonato havia perdido apenas dois jogos e 
acumulado 58 pontos. O número de vitórias que essa equipe conquistou, nessas 30 partidas, é igual a 
(A) 12 
(B) 14 
(C) 16 
(D) 13 
(E) 15 
 
09. (TJ/SP - Escrevente Técnico Judiciário - VUNESP) Uma empresa comprou um determinado 
número de folhas de papel sulfite, embaladas em pacotes de mesma quantidade para facilitar a sua 
distribuição entre os diversos setores. 
Todo o material deverá ser entregue pelo fornecedor acondicionado em caixas, sem que haja sobras. 
Se o fornecedor colocar 25 pacotes por caixa, usará 16 caixas a mais do que se colocar 30 pacotes por 
caixa. O número total de pacotes comprados, nessa encomenda, foi 
(A) 2200. 
(B) 2000. 
(C) 1800. 
(D )2400. 
(E) 2500. 
 
10. (SEAP - Agente de Escolta e Vigilância Penitenciária - VUNESP) A razão entre o número de 
litros de óleo de milho e o número de litros de óleo de soja vendidos por uma mercearia, nessa ordem, foi 
de 5/7. Se o número total de litros de óleo vendidos (soja + milho) foi 288, então o número de litros de 
óleo de soja vendidos foi 
(A) 170. 
(B) 176. 
(C) 174. 
(D) 168. 
(E) 172. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Vamos chamar as cores de letras, usaremos x, y, z. 
Amarela: x 
Vermelha: y 
Branca: z 
x = y + 50 
y = z - 30 
z = y + 30 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1040
𝑥 = 𝑦 + 50
𝑧 = 𝑦 + 30
 
Substituindo a II e a III equação na I: 
 𝑦 + 50 + 𝑦 + 𝑦 + 30 = 1040 
 3𝑦 = 1040 − 80 
y = 320 
Substituindo na equação II 
x = 320 + 50 = 370 
z=320+30=350A equipe que mais arrecadou foi a amarela com 370kg 
 
02. Resposta: A 
Armas de R$150,00: x 
Armas de R$450,00: y 
 {
150𝑥 + 450𝑦 = 7500
𝑥 + 𝑦 = 30
 
x = 30 – y 
 
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111 
 
Substituindo na 1ª equação: 
 150(30 − 𝑦) + 450𝑦 = 7500 
 4500 − 150𝑦 + 450𝑦 = 7500 
 300𝑦 = 3000 
 𝑦 = 10 
 𝑥 = 30 − 10 = 20 
O total de indenizações foi de 20. 
 
03. Resposta: C 
Cláudio :x 
Otávio: y 
 
𝑥
𝑦
= 3 
 {
𝑥 = 3𝑦
𝑥 + 𝑦 = 28
 
 𝑥 + 𝑦 = 28 
3y + y = 28 
4y = 28 
y = 7 x = 21 
Marcos: x – y = 21 – 7 = 14 
 
04. Resposta: D. 
Vinho seco: x 
Vinho suave: y 
 {
𝑥 + 𝑦 = 300 (𝐼)
𝑥 = 2𝑦 + 3 (𝐼𝐼)
 
Substituindo II em I 
2y + 3 + y = 300 
3y = 297 
y = 99 
x = 201 
300------100% 
201-----x 
x = 67% 
 
05. Resposta: C 
Doces: x 
Salgados: y 
{
𝑥 + 𝑦 = 55 
1,5𝑥 + 2𝑦 = 95
 
Resolvendo pelo método da adição, vamos multiplicar todos os termos da 1ª equação por -1,5: 
{
−1,5𝑥 − 1,5𝑦 = −82,5
1,5𝑥 + 2𝑦 = 95
 
Assim temos: 
0,5𝑦 = 12,5 
𝑦 = 25 ∴ 𝑥 = 30 
 Ela vendeu 30 doces 
 
06. Resposta: D 
{
5𝐶 + 6𝑆 = 86
𝐶 + 𝑆 = 15
 
C = 15 – S 
Substituindo na primeira equação: 
5(15 – S) + 6S = 86 
75 – 5S + 6S = 86 
S = 11 
C = 15 – 11 = 4 
 𝐶 ∙ 𝑆 = 4 ∙ 11 = 44 
 
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112 
 
07. Resposta: A 
Mulheres: x 
Homens: y 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 56 (.−
2
3
)
2
3
𝑥 +
1
4
𝑦 = 24
 
 
{
−
2
3
𝑥 −
2
3
𝑦 = −
112
3
2
3
𝑥 +
1
4
𝑦 = 24
 
Somando as duas equações: 
 
−
2
3
𝑦 +
1
4
𝑦 = −
112
3
+ 24 
 
mmc(3,4) = 12 
 
−8𝑦 + 3𝑦 = −448 + 288 
-5y = - 160 
y = 32 
x = 24 
razão de mulheres pra homens: 
24
32
=
3
4
 
 
08. Resposta: E 
Vitórias: x 
Empate: y 
Derrotas: 2 
Pelo método da adição temos: 
 {
𝑥 + 𝑦 + 2 = 30. (−1)
3𝑥 + 𝑦 = 58
 
 {
−𝑥 − 𝑦 = −28
3𝑥 + 𝑦 = 58
 
 
2x = 30 
x = 15 
 
09. Resposta: D 
Total de pacotes: x 
Caixas: y 
 
𝑥
25
= 𝑦 + 16 
 
25𝑦 + 400 = 𝑥 
𝑥
30
= 𝑦 
𝑥 = 30𝑦 
 
{
25𝑦 − 𝑥 = −400
𝑥 = 30𝑦
 
Substituindo: 
25𝑦 − 30𝑦 = −400 
−5𝑦 = −400 
𝑦 = 80 
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113 
 
𝑥 = 30 ∙ 80 = 2400 
 
10. Resposta: D 
Óleo de milho: M 
Óleo de soja: S 
 
𝑀
𝑆
=
5
7
 7𝑀 = 5𝑆 
{
𝑀 + 𝑆 = 288 . (−7)
7𝑀 − 5𝑆 = 0
 
 
{
−7𝑀 − 7𝑆 = −2016 
7𝑀 − 5𝑆 = 0
 
 
−12𝑆 = −2016 
𝑆 = 168 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
Precisamos antes de resolvermos, interpretarmos minuciosamente cada questão e depois equacioná-
las de forma a transcrever o texto em linguagem matemática. 
Utilizamos o mesmo princípio da resolução dos sistemas de 1º grau, por adição, substituições, etc., 
porém devemos ficar atentos para o fato de ter que resolver uma equação do 2° grau. 
Uma sequência prática para acharmos sua solução é: 
- Estabelecer o sistema de equações que traduzam o problema para a linguagem matemática; 
- Resolver o sistema de equações; 
- Interpretar as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema. 
 
Exemplo 
Com uma corda de 10 m de comprimento, Pedro deseja cercar uma área retangular de 4 m². Quais as 
medidas dos lados desse retângulo? 
 
 
 
Temos: 
Comprimento: x 
Largura: y 
 
Deduzimos acima que seu perímetro é 10, assim: 
x + y + x + y = 10 
ou 2x + 2y = 10, dividindo tudo por 2 
x + y = 5 
E sua área é 4, como a área do retângulo é dada por largura x comprimento, temos: 
x.y = 4 
 
Montando o sistema temos: 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥. 𝑦 = 4
 → (isolando x na 1ª equação) x = 5 – y, → (substituindo na 2ª equação) (5 – y) . y = 4 
 
Resolvendo: 
5y – y2 = 4 
- y2 + 5y – 4 = 0.(.-1) 
y2 – 5y + 4 =0 (Temos então uma equação do 2ª grau, vamos resolver pela fórmula de bháskara) 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
114 
 
a = 1 ; b= -5 e c= 4 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑥 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4.1. (4)
2.1
→ 𝑥 =
5 ± √25 − 16
2
 
 
𝑥 =
5 ± √9
2
 ∴ 𝑥′ =
5 − 3
2
=
2
2
= 1 𝑒 𝑥" =
5 + 3
2
=
8
2
= 4 
 
Logo: 
Se x = 1 → y = 5 - 1 → y = 4 
Se x = 4 → y = 5 - 4 → y = 1 
 
Observando temos os valores 1 e 4, tanto para x como para y. Então as medidas dos lados são 1 e 4, 
podendo x ou y assumirem os mesmos. 
Fazendo a conferência temos: 
x + y = 5 ∴ x.y = 4 
4 + 1 = 5 4.1 = 4 
5 = 5 4 = 4 
Os pares ordenados (1,4) ou (4,1) satisfazem o sistema de equações. 
 
Questões 
 
01. (Pref. de São Paulo/SP - Guarda Civil Metropolitano - MS Concursos) A soma entre dois 
números positivos é 37. Se o produto entre eles é 330, então o valor da diferença entre o maior e o menor 
número é: 
(A) 7. 
(B) 23. 
(C) 61. 
(D) 17. 
(E) 49. 
 
02. (Câm. de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade - FUMARC) Marque, dentre as 
alternativas abaixo, a que identifica os pontos comuns aos gráficos de y = x2 + 2x e y = x + 2. 
(A) (-2, 1) e (-1,3). 
(B) (-2, 0) e (-1,3). 
(C) (2,0) e (1,3). 
(D) (-2,0) e (1,3). 
 
03. (CPTM - Médico do trabalho - Makiyama) Sabe-se que o produto da idade de Miguel pela idade 
de Lucas é 500. Miguel é 5 anos mais velho que Lucas. Qual a soma das idades de Miguel e Lucas? 
(A) 40. 
(B) 55. 
(C) 65. 
(D) 50. 
(E) 45. 
 
04. O produto de dois números inteiros e positivos é 10. O maior é igual ao dobro do menor mais 1.O 
valor desse número é: 
(A) 3 e 5 
(B) 5 e 2 
(C) 8 e 2 
(D) 2 e 3 
(E) 1 e 5 
 
05. (TJ/RS - Técnico Judiciário - FAURGS) Se a soma de dois números é igual a 10 e o seu produto 
é igual a 20, a soma de seus quadrados é igual a: 
(A) 30 
(B) 40 
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115 
 
(C) 50 
(D) 60 
(E) 80 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Como não sabemos quem são esses números, iremos atribuir letras a eles, um será x e o outro será 
x. 
Teremos o seguinte sistema: 
{
x + y = 37 (I)
x. y = 330 (II)
 
Vamos resolver pelo método da substituição: 
Isolando y na equação (I) temos x + y = 37 → y = 37 – x, substituindo na equação (II): 
x.(37 – x) = 330 (propriedade distributiva) 
37x – x2 = 330 
37x – x2 – 330 = 0 (multiplicando tudo por -1) 
x2 – 37x + 330 = 0 (vamos resolver pela fórmula de Bháskara) 
a = 1; b = - 37 e c = 330 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (- 37)2 – 4.1.330 
∆ = 1369 – 1320 
∆ = 49 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2.𝑎
 
𝑥 =
−(−37)±√49
2.1
 = 
37±7
2
 
 
𝑥 =
37+7
2
=
44
2
= 22 ou 𝑥 =
37−7
2
=
30
2
= 15 
 
Se x = 22 → y = 37 – 22 = 15 
Se x = 15 → y = 37 – 15 = 22 
Logo, os números serão 22 e 15, e a diferença entre eles será: 
22 – 15 = 7. 
 
02. Resposta: D 
Do enunciado y = x2 + 2x e y = x + 2, então vamos substituir y por x + 2 na equação y = x2 + 2x: 
x2 + 2x = x + 2 
x2 + 2x – x – 2 = 0 
x2 + x – 2 = 0 (resolvendo pela fórmula de Bháskara) 
a = 1, b = 1 e c = - 2 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 12 − 4.1. (−2) 
∆ = 1 + 8 = 9 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
 
𝑥 =
−1±√9
2.1
 
 
𝑥 =
−1±3
2
 
 
𝑥 =
−1+3
2
= 1 ou 𝑥 =
−1−3
2
= −2 
Se x = 1 → y = 1 + 2 = 3 (1, 3) 
Se x = - 2 → y = - 2 + 2 = 0 (-2, 0) 
 
 
 
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116 
 
03. Resposta: E 
Vamos substituir as idades de Miguel e Lucas pelas letras M e L, assim teremos o seguinte sistema: 
{
𝑀. 𝐿 = 500 (𝐼)
𝑀 = 𝐿 + 5 (𝐼𝐼)
 
 
Como M já está isolado em (II), vamos substituir em (I) 
substituindo II em I, temos: 
(L + 5).L = 500 
L2 + 5L – 500 = 0 (Vamos resolver pela fórmula de Bháskara) 
a = 1, b = 5 e c = - 500∆ = b2 – 4ac 
∆ = 52 – 4.1.(- 500) 
∆ = 25 + 2000 
∆ = 2025 
 
𝐿 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
 
𝐿 =
−5±√2025
2.1
=
−5±45
2
 
𝐿 =
−5+45
2
=
40
2
= 20 ou 𝐿 =
−5−45
2
=
−50
2
= −25 esta não convém pois L (idade) tem que ser positivo. 
Então L = 20 → M.20 = 500 → M = 500 : 20 = 25 
M + L = 25 + 20 = 45. 
 
04. Resposta: B 
Pelo enunciado temos o seguinte sistema: 
{
𝑥. 𝑦 = 10
𝑥 = 2𝑦 + 1
 
(2y + 1).y = 10 
2y2 + y - 10 = 0 (Resolvendo pela fórmula de Bháskara) 
a= 2 ; b = 1 e c = -10 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑦 =
−1± √(1)2 − 4.2. (−10)
2.2
→ 𝑦 = 
−1 ± √1 + 80
4
 
 
𝑦 =
−1 ± 9
4
 ∴ 𝑦1 =
−1− 9
4
=
−10
4
= −2,5 𝑒 𝑦2 =
−1+ 9
4
=
8
4
= 2 
 
Como são números positivos então descartamos o valor de y1 
Substituindo: 
Se y = 2, temos x = 2 . 2 + 1 → x = 5 
Os números são 5 e 2. 
 
05. Resposta: D. 
De acordo com o enunciado, vamos montar o sistema: 
{
𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥. 𝑦 = 20
 
Eu quero saber a soma de seus quadrados: x2 + y2 
Vamos elevar o x + y ao quadrado: 
(x + y)2 = (10)2 
x2 + 2xy + y2 = 100 
Como x . y=20 substituímos o valor: 
x2 + 2.20 + y2 = 100 
x2 + 40 + y2 = 100 
x2 + y2 = 100 – 40 
x2 + y2 = 60 
 
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117 
 
 
 
CÁLCULOS ALGÉBRICOS 
 
Cálculo algébrico é aquele onde não se trabalha a resolução de problemas e sim onde diferenciamos, 
um monômio, binômio, trinômio, polinômio, e suas referidas operações elementares (adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). 
 
Expressões Algébricas: São aquelas que contêm números e letras. 
Ex.: 2ax² + bx 
 
Variáveis: São as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de 
princípio não possuem um valor definido. 
 
Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por 
números e efetuamos suas operações. 
 
Ex.: Sendo x = 1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão: 
x² + y → 1² + 2 = 3; Portando o valor numérico da expressão é 3. 
 
Monômio: Os números e letras estão ligados apenas por produtos. 
Ex.: 4x 
 
Binômio: São as operações de adição e subtração entre dois monômios. 
Ex.: 4x + 5x 
 
Trinômio: São operações de adição e subtração entre três monômios. 
Ex.: 3x² + 3x + 4 
 
Polinômio: É a soma ou subtração de monômios. 
Ex.: 4x + 2y 
 
Termos semelhantes: São aqueles que possuem partes literais iguais (variáveis). 
Ex.: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z → são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal. 
 
Adição e Subtração de Expressões Algébricas 
 
Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos 
semelhantes. 
Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 
 2 x³ y² z - 3x³ y² z = -x³ y² z 
 
Convém lembrar-se dos jogos de sinais. 
 
Na expressão: 
 
 
Multiplicação e Divisão de Expressões Algébricas 
Devemos usar a propriedade distributiva. Exemplos: 
 
2) (a + b).(x + y) = ax + ay + bx + by 
3) x (x² + y) = x³ + xy 
 
 Obs.: Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. 
 
Expressões algébricas: monômios, polinômios, produtos notáveis e fatoração 
 
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118 
 
 Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes. Exemplos: 
1) 4x² ÷ 2x = 2x 
2) (6x³ - 8x) ÷ 2x = 3x² - 4 
3) = 
 
Resolução: 
 
 
Potenciação de monômios 
Na potenciação de monômios devemos novamente utilizar uma propriedade da potenciação: 
 
I- (a . b)m = am . bm 
II- (am)n = am . n 
 
Veja alguns exemplos: 
(-5x2b6)2 aplicando a propriedade 
 
(-5)2 . (x2)2 . (b6)2 = 25 . x4 . b12 = 25x4b12 
 
Radiciação de monômios 
Na radiciação de monômios retiramos a raiz do coeficiente numérico e também de cada um de seus 
fatores, em resumo isso equivale a dividirmos cada expoente dos fatores pelo índice da raiz. 
 
Exemplo 
A raiz de √9𝑥4𝑦6𝑧2 
√9𝑥4𝑦6𝑧2 → √9.√𝑥4. √𝑦6. √𝑧2 → 3. 𝑥4:2. 𝑦6:2. 𝑧2:2 → 3𝑥2𝑦3𝑧 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Terra de Areia/RS – Agente Administrativo – OBJETIVA) Assinalar a alternativa que 
apresenta o resultado do polinômio abaixo: 
2x(5x + 7y) + 9x(2y) 
(A) 10x + 14xy + 18yx 
(B) 6x² + 21xy 
(C) 10x² + 32xy 
(D) 10x² + 9y 
(E) 22x + 9y 
 
02. (Pref. de Cipotânea/MG – Auxiliar Administrativo – REIS&REIS) Subtraia os polinômios 
abaixo: 
(-12ab + 6a) – (-13ab + 5a) = 
(A) 2ab + a 
(B) a + b 
(C) ab + a 
(D) ab + 2a 
(E) -14ab 
 
03. (Pref. de Trindade/GO – Auxiliar Administrativo – FUNRIO) Um aluno dividiu o polinômio 
(x2 − 5x + 6) pelo binômio (x − 3) e obteve, corretamente, resto igual zero e quociente (ax + b). O 
valor de (a − b) é igual a: 
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119 
 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
 
04. Se A = x² - 2x + 3 e B = 3x² - 8x + 5, então o valor de 2A – 3B é: 
(A) -7x² + 20x -9 
(B) -7x² + 20x -15 
(C) -9x² + 10x -9 
(D) x² + 20x -9 
(E) 4x² - 10x + 8 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
2x (5x + 7y) + 9x(2y) 
10x² + 14xy + 18xy 
10x² + 32xy 
 
02. Resposta: C. 
(-12ab + 6a) – (-13ab + 5a) 
= -12ab + 6a +13ab - 5a 
= ab + a 
 
03. Resposta: D. 
 
O Polinômio "x² -5x +6" é dividido por "x - 3" gerando o resultado de "x - 2", o termo que acompanha 
o "x" será o "a" e o que está sozinho será o "b", então: 
Se o quociente é (ax+b), temos que o quociente da nossa questão é x-2, como a questão pede (a-b), 
que será a=1 e b= -2 --> (1 - (-2)) = 1+2 = 3 
 
04. Resposta: A. 
Se A = x² - 2x + 3 e B = 3x² - 8x + 5 
Então, 
2A = 2.( x² - 2x + 3) = 2x² - 4x + 6 
3B = 3.(3x² - 8x + 5) = 9x² - 24x + 15. 
Assim 2A – 3B = 
2x² - 4x + 6 – (9x² - 24x + 15) 
2x² - 4x + 6 –9x² + 24x – 15 = 
-7x² + 20x -9 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são efetuados pelas 
regras normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um 
conjunto de identidades de grande aplicação assim como iniciamos seu estudo nos casos de fatoração. 
Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer, apresentamos a seguir os 
produtos notáveis. 
 
Quadrado da Soma de Dois Termos 
 
Sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o 
primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. 
 
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120 
 
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
 
Quadrado da Diferença de Dois Termos 
Sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o 
primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. 
 
(a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - 2ab + b2 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
 
Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos 
Sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do 
segundo. 
 
(a + b).(a – b) = a2 – ab + ab - b2 
(a + b).(a – b) = a2 – b2 
 
Cubo da Soma de Dois Termos 
Sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o quadrado 
do primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo. 
 
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = (a + b) (a2 + 2ab + b2) 
(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
 
Cubo da Diferença de Dois Termos 
Sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o 
quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo 
do segundo termo. 
 
(a- b)3 = (a - b) (a2 - 2ab + b2) 
(a - b)3 = a3 + 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
 
Quadrado da soma de três termos 
Sendo a o primeiro termo e b o segundo termo, é igual ao quadrado do primeiro, mais o quadrado do 
segundo, mais o quadrado do terceiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais duas vezes o 
primeiro pelo terceiro, mais duas vezes o segundo pelo terceiro. 
 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 
 
Questões 
 
01. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria III – ZAMBINI) A forma fatorada da expressão 8y³ + 125 é: 
(A) (2y – 5) . (2y² + 25 – 10y) 
(B) (2y + 5) . (2y² + 25 – 10y) 
(C) (2y + 5) . (4y² – 25 + 10y) 
(D) (2y + 5) . (4y² + 25 – 10y) 
 
02. (CASAL – Assistente Administrativo – COPEVE) Se x e y são números reais, então a expressão 
(x - y)2 é igual a 
(A) x2 + y2 . 
(B) x2 - y2 . 
(C) x2 + y2 + 2xy. 
(D) x2 + y2 - 2xy. 
(E) x2 - y2 - 2xy. 
 
 
 
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121 
 
03. (Pref. de Canavieira/PI – Professor de Matemática – IMA) Assinale a alternativa que apresenta 
o valor de 12345² - 12344²: 
(A) 1 
(B) 100 
(C) 14679 
(D) 24689 
 
04. (SEE/MG – Professor de Matemática – FCC) Um aluno, ao efetuar o produto notável (a3-8)2, 
obteve como resultado o trinômio a9 - 16a3 + 64. Com base nessa resposta, está correto afirmar que esse 
aluno cometeu um erro no 
(A) sinal do 2° termo. 
(B) quadrado do primeiro termo. 
(C) quadrado do terceiro termo. 
(D) sinal do terceiro termo. 
 
05. (Cobra Tecnologia – Técnico Administrativo – Quadrix) Assinale a alternativa que contém o 
resultado da solução do produto notável a seguir. (5x-y)2 
(A) 25x2-10xy-y2 
(B) 25x2-5x2y2 +y2 
(C) 25x2-5x2y2 - y2 
(D) 25x2-10x2y2- y2 
(E) 25x2-10xy+y2 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Temos a soma de dois cubos. Que é dada por: 
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 
Observe que: 
8 = 2³ 
125 = 5³ 
Logo a = 2y e b = 5 
Aplicando a fórmula temos: 
(2y)³ + (5)³ = (2y + 5). ((2y)² - 2y.5 + 5²) → (2y + 5).(4y² - 10y + 25) 
Reordenando conforme as alternativas temos: 
(2y + 5).(4y² + 25 - 10y) 
 
02. Resposta: D 
Vamos desenvolver a expressão: 
(x – y)² = x² - 2xy + y² que é igual à x² + y² - 2xy 
 
03. Resposta: D 
Neste caso teremos que pensar na diferença entre dois quadrados. 
(a – b).(a + b) = a² - b² 
12345² - 12344² = (12345 + 12344).(12345 – 12344) = 24689.1 = 24689 
 
04. Resposta: B 
Para resolver basta lembrar do caso do quadrado da soma. 
(a³ - 8)² = (a³)² - 2.a³.8 +8² = a6 – 16a³ + 64 
Como ele escreveu a9 - 16a3 + 64 o que está errado foi no quadrado do primeiro termo. 
 
05. Resposta: E 
Basta desenvolver o quadrado da diferença. 
(5x-y)2 = (5x)² - 2.5x.y + y² = 25x² - 10xy + y² 
 
FATORAÇÃO 
 
Fatorar é transformar em produto, o que nos permite a simplificação de expressões algébricas na 
resolução de vários problemas cotidianos. 
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122 
 
Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto; fatorar uma 
expressão é obter outra expressão que: 
- Seja equivalente à expressão dada; 
- Esteja na forma de produto. 
Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração é um produto notável. 
Há diversas técnicas de fatoração, supondo a, b, x e y expressões não fatoráveis. 
 
Fator Comum 
 
Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, literal ou misto; em seguida colocamos em 
evidência esse fator comum, simplificamos a expressão deixando em parênteses a soma algébrica. 
Observe os exemplos abaixo: 
 
ax + ay = a (x + y) 
12x2y + 4 xy3 = 4xy (3x + y2) 
 
Agrupamento 
 
Devemos dispor os termos do polinômio de modo que formem dois ou mais grupos entre os quais haja 
um fator comum, em seguida, colocar o fator comum em evidência. Observe: 
 
ax + ay + bx + by = 
= a (x + y) +b (x + y) = 
= (a + b) (x + y) = 
 
Diferença de Dois Quadrados 
 
Utilizamos a fatoração pelo método de diferença de dois quadrados sempre que dispusermos da 
diferença entre dois monômios cujas partes literais tenham expoentes pares. A fatoração algébrica de tais 
expressões é obtida com os seguintes passos: 
- Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de cada monômio; 
- Dividimos por dois os expoentes das literais; 
- Escrevemos a expressão como produto da soma pela diferença dos novos monômios assim obtidos. 
Por exemplo, a expressão a2 – b2 seria fatorada da seguinte forma: 
√𝑎2 – √𝑏2 → (a + b).(a – b) 
 
Trinômio Quadrado Perfeito ou Quadrado Perfeito 
 
Uma expressão algébrica pode ser identificada como trinômio quadrado perfeito sempre que resultar 
do quadrado da soma ou diferença entre dois monômios. 
Por exemplo, o trinômio x4 + 4x2 + 4 é quadrado perfeito, uma vez que corresponde a (x2 + 2)2. 
Trinômios quadrados perfeitos são todas as expressões da forma a2 ± 2ab + b2, fatoráveis nas formas 
seguintes: 
 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 
 
Trinômio Quadrado da Forma ax2 + bx + c 
Supondo sejam x1 e x2 as raízes reais do trinômio do segundo grau, ax2 + bx + c (a ≠ 0), dizemos que: 
ax2 + bx + c = a (x – x1)(x – x2) 
Lembre-se de que as raízes de uma equação de segundo grau podem ser calculadas através da 
fórmula de Bháskara: ( 𝑥 = 
−𝑏 ± √∆
2𝑎
, onde ∆ = b2 – 4ac) 
 
Soma e Diferença de Cubos 
 
Se efetuarmos o produto do binômio a + b pelo trinômio a² – ab + b², obtemos o seguinte 
desenvolvimento: 
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123 
 
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 
Analogamente, se calcularmos o produto de a – b por a2 + ab + b2, obtemos a3 – b3. 
O que acabamos de desenvolver foram produtos notáveis que nos permitem concluir que, para 
fatorarmos uma soma ou diferença de cubos, basta-nos inverter o processo anteriormente demonstrado. 
Exemplos 
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) 
 
Cubo Perfeito 
Dado pela fatoração abaixo: 
(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3 
(a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3 
Não podemos confundir o cubo da soma (a + b)3, com a soma de cubos a3 + b3. 
Não podemos confundir o cubo da diferença (a - b)3, com a diferença entre cubos a3 - b3. 
 
Questões 
 
01. (ENEM) Calculando 934.2872 – 934.2862 temos como resultado: 
(A) 1 868 573 
(B) 1 975 441 
(C) 2 
(D) 1 
(E) 10242 
 
02. (PUC) Sendo x3 + 1 = (x + 1) (x2 + ax + b) para todo x real, os valores de a e b são, 
respectivamente: 
(A) -1 e -1 
(B) 0 e 0 
(C) 1 e 1 
(D) 1 e -1 
(E) -1 e 1 
 
03. (Faculdade Ibero-Americana) O valor de A real, para que se tenha 
𝐴. √3 = (2 + √3)3 − (2 − √3)3 é: 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 30 
(D) √30 
(E) √20 
 
04. (FUVEST) A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos 
pode ser: 
(A) 4 
(B) 5 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 8 
 
05. (FEI) A fração 
𝑎3−𝑏3
𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2
 , quando a= 93 e b= 92, é igual a: 
(A) 0 
(B) 185 
(C) 932 - 922 
(D) 1 
(E) 185/2 
 
 
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124 
 
 06. Dado que x = a + x-1, a expressão x2 + x-2 é igual a: 
(A) a2 + 2 
(B) 2a + 1 
(C) a2 + 1 
(D) 2a -1 
(E) a2 
 
07. (TRT 4ª Região - Analista Judiciário - FCC) Dos números que aparecem nas alternativas, o que 
mais se aproxima do valor da expressão (0,6192 – 0,5992)x0,75 é: 
(A) 0,0018. 
(B) 0,015. 
(C) 0,018. 
(D) 0,15. 
(E) 0,18 
 
08. (Pref. Mogeiro/PB - Professor - EXAMES) Simplificando a expressão, (a² b + ab²). 
1
𝑎3
 − 
1
𝑏3
1
𝑎2
− 
1
𝑏2
 
Obtemos: 
(A) a + b. 
(B) a² + b². 
(C) ab. 
(D) a² + ab + b². 
(E) b – a. 
 
09. (TRT 24ª Região - Técnico Judiciário - FCC) Indagado sobre o número de processos que havia 
arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostavamuito de Matemática, respondeu: 
O número de processos que arquivei é igual a 12,252 - 10,252. 
Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que: 
(A) X < 20. 
(B) 20 < X < 30. 
(C) 30 < X < 38. 
(D) 38 < X < 42. 
(E) X > 42. 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Temos 934 2872 = (934 286 +1)2 = 934 2862 + 2. 934 286 + 12 
Montando a expressão: 934 2862 + 2. 934 286 + 12 - 934 2862 → 
1 868 573 + 1 = 1 868 573 
 
02. Resposta: E 
Como a forma fatorada de x3 + 1 = (x + 1).(x2 – x + 1), pelo enunciando temos : 
(x + 1) (x2 + ax + b) = (x + 1).(x2 – x + 1); simplificando teremos 
x2 + ax + b = x2 – x + 1, comparando cada termo temos: 
x2 = x2; ax = -x, logo a = - 1; b = 1 
 
03. Resposta: C 
Vamos aplicar a fatoração: 
A. √3 = 23 + 3.22.√3 + 3.2. (√3 )2 + (√3) 3 –(23 - 3.22.√3 + 3.2. (√3 )2 -(√3) 3 
A. √3 = 8 + 12 √3 +18 + 3 √3 - 8 + 12 √3 -18 +3 √3 
A. √3 = 24√3 + 6√3 → A. √3 = 30 √3 → A= 30 
 
04. Resposta: C 
Cubo da soma (a + b)3 e soma dos cubos a3 + b3, a diferença é: 
a3 + 3a2b +3ab2 + b3 – (a3 + b3) → a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - a3 - b3→ 3a2b + 3ab2→ 3ab(a + b); 
Como temos dois números inteiros e fazendo a e b como 1: 
3.11.(1 + 1) → 3.2 = 6 
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05. Resposta: D 
Utilizando a soma e a diferença de cubos temos que: 
a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2) → 
(𝑎−𝑏).(𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2)
𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2
 → a - b, como a = 93 e b = 92; a – b = 93 – 92 = 1 
 
06. Resposta: A 
x = a + x-1 → a = x - x-1, elevando ambos os membros ao quadrado temos: 
a2 = (x - x-1)2 → a2 = x2 - 2.x.x-1 + x-2 → x2 + x-2 = a2 + 2 
 
07. Resposta: C 
Da fatoração temos a regra a2 – b2 = (a + b).(a – b) (diferença de dois quadrados), então se a = 0,619 
e b = 0,599, temos: 
(0,6192 – 0,5992)x0,75 → (0,619 + 0,599).(0,619 – 0,599)x0,75 → 1,218 x 0,02 x 0,75 → 0,01827 
 
08. Resposta: D 
 
 
09. Resposta: E 
Nesta questão utilizaremos a diferença de dois quadrados: 
 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏). 
x = 12,252 – 10,252 
x = (12,25 + 10,25)(12,25 – 10,25) 
x = 22,5.2 
x = 45 
 
 
 
RELAÇÃO 
 
Plano Cartesiano Ortogonal de Coordenadas 
 
Foi criado por René Descartes, ao qual consiste em dois eixos perpendiculares: 
1 - Horizontal denominado eixo das abscissas; e 
2 - Vertical denominado eixo das ordenadas. 
 
Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em um espaço. Além do mais, o plano 
cartesiano foi dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguintes propriedades em relação ao 
par ordenado (x, y) ou (a, b). 
 
Funções: afim, quadrática, polinomiais, exponencial, logarítmica e 
trigonométricas 
 
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126 
 
 
 
Par Ordenado 
 
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo 
conjunto, sem nos preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns casos, é conveniente 
distinguir a ordem destes elementos. 
Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto formado por dois elementos, onde o 
primeiro é a ou x e o segundo é b ou y. 
 
Exemplos: 
1) (a,b) = (2,5) → a = 2 e b = 5. 
2) (a + 1,6) = (5,2b) → a + 1 = 5 e 6 = 2b → a = 5 -1 e b = 6/2 → a = 4 e b = 3. 
 
Gráfico Cartesiano do Par Ordenado 
Todo par ordenado de números reais pode ser representado por um ponto no plano cartesiano. 
 
 
 
Temos que: 
- P é o ponto de coordenadas a e b; 
- o número a é chamado de abscissa de P; 
- o número b é chamado ordenada de P; 
- a origem do sistema é o ponto O (0,0). 
 
Vejamos a representação dos pontos abaixo: 
 
 
A (4,3) 
B (1,2) 
C (-2,4) 
D (-3,-4) 
E (3,-3) 
F (-4,0) 
G (0,-2) 
 
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127 
 
Produto Cartesiano 
 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis 
pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença 
ao 2º conjunto (B). 
 
𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁} 
 
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A 
x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. 
 
Exemplo 
Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A 
cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. 
 
Listagem dos Elementos 
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares 
ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: 
 
A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} 
 
Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): 
B x A = {(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}. 
 
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade 
comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem 
conjuntos iguais. 
 
Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados 
obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) . n(B). 
No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) . n (B) = 3 . 2 = 6 
 
Diagrama de Flechas 
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um 
dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento 
do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). 
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim 
representado no diagrama de flechas: 
 
 
 
Plano Cartesiano 
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num 
eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os 
elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas 
(horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no 
plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). 
 
 
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128 
 
Noção de Relação 
 
Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos: 
A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)} 
 
Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a 
seguinte lei de formação: x + y = 10, ou seja: 
R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10} 
Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos. 
 
Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação: 
R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x B. 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é: 
R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B 
 
Noção de Função 
 
Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A 
e y ϵ B. 
Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em B, mas se cada elemento dessa relação 
associar cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é uma função de A em B. 
Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. 
 
Analisemos através dos diagramas de Venn. 
 
 
 
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Analisemos agora através dos gráficos: 
 
 
 
Um jeito prático de descobrirmos se o gráfico apresentado é ou não função, é traçarmos retas paralelas ao 
eixo do y e se verificarmos se no eixo do x existem elementos com mais de uma correspondência, aí podemos 
dizer se é ou não uma função, conforme os exemplos acima.Elementos da Função 
Como já vimos nos conceitos acima, temos que, dado dois conjuntos não vazios A e B chamamos de 
função a relação que associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento y (ou b) de B, 
conhecida também como função de A em B. 
 
 
 
 
 
 
 
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130 
 
Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma função. 
 
Pelo diagrama de Venn: 
 
 
Representado no gráfico: 
 
 
- Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto partida, representado pela letra D. 
Logo, D(f) = A. 
- Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou conjunto chegada, representado pelas letras CD 
ou somente C. Logo, CD(f) = B ou C(f) = B. 
- A cada elemento y de B que está associado a um x de A, denominamos imagem de x. Logo, y = f(x). 
(Lê-se: y é igual a f de x). 
- Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A, dá-se o nome de conjunto 
imagem ou apenas imagem, representado por Im ou Im(f). Têm:-se que Im ⊂ B. 
 
A notação para representar função é dada por: 
 
 
Exemplo 
Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto imagem da função f:A→ R, definida por f(x) = 
x+3. 
Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei de associação e acharmos a imagem 
deste conjunto. 
F(-2) = -2 + 3 = 1 
F(-1) = -1 + 3 = 2 
F(0) = 0 + 3 = 3 
F(1) = 1 + 3 = 4 
F(2) = 2 + 3 = 5 
 
 
Domínio de uma Função Real de Variável Real 
Para definirmos uma função precisamos conhecer dois conjuntos (não vazios) A e B e a lei que associa 
cada elemento x de A um único elemento y de B. Para nosso caso vamos considerar A e B sendo 
subconjuntos de R e diremos que f é uma função real de variável real. 
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131 
 
O conjunto A, domínio da função f, será formado por todos os elementos do conjunto real de x, para 
os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R. 
 
Exemplos 
1) y = x2 + 3x 
Vamos substituir x por qualquer número real e obtermos para y um valor real. Logo D(f) = R. 
 
2) 𝑦 =
1
𝑥
 
Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual a zero, temos que D(f) = R* 
 
3) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙−𝟐
 
 
Como sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero, logo x – 2 ≠ 0 ➔ x ≠ 2. 
D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} 
 
Questão 
 
01. Dado o conjunto A= {0, 1, 2, 3, 4}, e seja a função f: A→ R, da função f(x) = 2x + 3. O conjunto 
imagem desta função será? 
(A) Im = {3, 5, 7, 9, 11} 
(B) Im = {0, 1, 2, 3, 4} 
(C) Im = {0, 5, 7, 9, 11} 
(D) Im = {5, 7, 9,11} 
(E) Im = {3, 4, 5, 6, 7} 
 
Comentário 
 
01. Resposta: A 
Basta substituirmos o x da função f(x) = 2x + 3 pelos elementos de A. 
Então: 
f(0) = 2.0 + 3 = 0 + 3 = 3 
f(1) = 2.1 + 3 = 2 + 3 = 5 
f(2) = 2.2 + 3 = 4 + 3 = 7 
f(3) = 2.3 + 3 = 6 + 3 = 9 
f(4) = 2.4 + 3 = 8 + 3 = 11 
Assim Im = {3, 5, 7, 9, 11} 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
Função do 1º grau ou função afim ou polinomial do 1º grau recebe ou é conhecida por um desses 
nomes, sendo por definição13: Toda função f: R → R, definida por: 
 
Com a ϵ R* e b ϵ R. 
 
O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o 
contradomínio, Im = R. 
Quando b = 0, chamamos de função linear. 
 
Gráfico de uma Função 
 
Dada a função y = 2x + 3 (a = 2 > 0). Vamos montar o gráfico dessa função. 
 
13BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
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132 
 
Para montarmos o gráfico vamos atribuir valores a x para acharmos y. 
 
x y (x,y) 
0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3) 
-2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1) 
-1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1) 
 
 Construção do gráfico no plano cartesiano: 
 
 
Observe que a reta de uma função afim é sempre uma 
reta. 
E como a > 0 ela é função crescente, que veremos 
mais à frente 
 
 
Vejamos outro exemplo: f(x) = –x + 1. Montando o gráfico temos: 
 
 
Observe que a < 0, logo é uma função decrescente 
 
Tipos de Função 
 
Função constante: é toda função definida f: R → R, para cada elemento de x, temos a mesma 
imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k. 
 
Observe os gráficos abaixo da função constante 
 
 
 
A representação gráfica de uma função do constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas ou 
sobre o eixo (igual ao eixo das abscissas). 
 
Função Identidade 
Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos 
que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta 
os quadrantes pares. 
A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares: 
 
 
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E no caso abaixo a reta é a bissetriz dos quadrantes pares. 
 
 
 
Função Injetora 
Quando para n elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no 
contradomínio. 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja 
interceptar o gráfico da função, uma única vez. 
 
 
Se traçarmos retas horizontais, paralelas ao eixo x, 
notaremos que o mesmo cortará a reta formada pela 
função em um único ponto (o que representa uma 
imagem distinta), logo concluímos que se trata de 
uma função injetora. 
 
Função Sobrejetora 
Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio. 
 
 
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Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal 
que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. 
 
 
Observe que todos os elementos do contradomínio 
tem um correspondente em x. Logo é sobrejetora. 
Im(f) = B 
 
 
Observe que nem todos os elementos do 
contradomínio tem um correspondente em x. Logo 
não é sobrejetora. 
Im(f) ≠ B 
 
Função Bijetora 
uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
 
Exemplo: 
A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora. 
 
 
 
Função Ímpar e Função Par 
Dizemos que uma função é par quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 𝑓(𝑥) =
𝑓(−𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Ou seja os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Par melhor 
compreensão observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є 
D(f). Ou seja os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo: 
 
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Função crescente e decrescente 
A função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a (coeficiente angular da reta), 
se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. A função é caracterizada por uma 
reta. 
 
 
Observe que medida que os valores de x aumentam, 
os valores de y ou f(x) também aumentam. 
 
 
Observe que medida que os valores de x aumentam, 
os valores de y ou f(x) diminuem. 
 
Através do gráfico da função notamos que: 
- Para função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo x (horizontal) é agudo (< 90º) e 
- Para função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). 
 
Zero ou Raiz da Função 
Chama-se zero ou raiz da função y = ax + b, o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x paraque y ou f(x) seja igual à zero. 
 
 
 
Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a valor de zero, então assim teremos 
uma equação do 1º grau, ax + b = 0. 
 
Exemplo: 
Determinar o zero da função: 
f(x) = x + 3 
Igualamos f(x) = 0 → 0 = x + 3 → x = -3 
 
Graficamente temos: 
 
 
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No plano cartesiano, o zero da função é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo 
x. 
Observe que a reta f(x) = x+3 intercepta o eixo x no ponto (-3,0), ou seja, no ponto de abscissa -3, 
que é o zero da função. Observamos que como a > 0, temos que a função é crescente. 
Partindo equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira de 
acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b. 
 
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 =
−𝒃
𝒂
 
Podemos expressar a fórmula acima graficamente: 
 
 
 
Estudo do sinal da Função 
Estudar o sinal da função y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: 
- A função se anule (y = 0); 
- A função seja positiva (y > 0); 
- A função seja negativa (y < 0). 
 
Vejamos abaixo o estudo do sinal: 
 
 
Exemplo: 
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). 
1) Qual o valor de x que anula a função? 
y = 0 
2x – 4 = 0 
2x = 4 
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137 
 
x =
2
4
 
x = 2 
A função se anula para x = 2. 
 
2) Quais valores de x tornam positiva a função? 
y > 0 
2x – 4 > 0 
2x > 4 
x >
2
4
 
x > 2 
A função é positiva para todo x real maior que 2. 
 
3) Quais valores de x tornam negativa a função? 
y < 0 
2x – 4 < 0 
2x < 4 
x <
2
4
 
x < 2 
A função é negativa para todo x real menor que 2. 
 
Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: 
 
- Para x = 2 temos y = 0; 
- Para x > 2 temos y > 0; 
- Para x < 2 temos y < 0. 
 
 
 
Questões 
 
01. (MPE/SP - Geógrafo - VUNESP) O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre a 
venda de uma quantidade, em centenas, de um produto em um hipermercado. 
 
Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e 
que se pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto, 
então a média diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de: 
(A) 8 900. 
(B) 8 950. 
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138 
 
(C) 9 000. 
(D) 9 050. 
(E) 9 150. 
 
02. (Pref. Jundiaí/SP - Eletricista - MAKIYAMA) Em determinado estacionamento cobra-se R$ 3,00 
por hora que o veículo permanece estacionado. Além disso, uma taxa fixa de R$ 2,50 é somada à tarifa 
final. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale a seguir 
a equação que descreve, em reais, o valor de T: 
(A) T = 3t 
(B) T = 3t + 2,50 
(C) T = 3t + 2.50t 
(D) T = 3t + 7,50 
(E) T = 7,50t + 3 
 
03. (PM/SP - Sargento CFS - CETRO) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então 
(A) x = 5. 
(B) x = 6. 
(C) x = -6. 
(D) x = -5. 
 
04. (BNDES - Técnico Administrativo - CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta o consumo médio 
de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação. 
 
 
Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. 
Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática 
de natação? 
(A) 50,0 
(B) 52,5 
(C) 55,0 
(D) 57,5 
(E) 60,0 
 
05. (PETROBRAS - Técnico Ambiental Júnior - CESGRANRIO) 
 
de domínio real, então, m − p é igual a 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 64 
(E) 7 
 
06. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) A função inversa de uma função f(x) do 1º 
grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz de f(x) é 
(A) 2. 
(B) 9. 
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(C) 12. 
(D) 15. 
 
07. (BRDE/RS - Técnico Administrativo) Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto 
é C(x) = 
𝑥
2
 + 10000, e o faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 
2
3
 𝑥. Para 
que a firma não tenha prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: 
(A) R$ 20.000,00 
(B) R$ 33.000,00 
(C) R$ 35.000,00 
(D) R$ 38.000,00 
(E) R$ 40.000,00 
 
08. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) Qual dos pares de pontos a seguir 
pertencem a uma função do 1º grau decrescente? 
(A) Q(3, 3) e R(5, 5). 
(B) N(0, –2) e P(2, 0). 
(C) S(–1, 1) e T(1, –1). 
(D) L(–2, –3) e M(2, 3). 
 
09. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) A reta que representa a função f(x) = ax + 
b intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e passa pelo ponto (–1, 3). A raiz dessa função é 
(A) –4. 
(B) –2. 
(C) 1. 
(D) 2. 
 
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT - Oficial Bombeiro Militar - UNEMAT) O planeta Terra já foi 
um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas seu núcleo 
ainda está incandescente. 
Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80 
metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius. 
Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina 
num ponto a 1200 metros da superfície? 
(A) 15º C 
(B) 38º C 
(C) 53º C 
(D) 30º C 
(E) 61º C 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Pelo enunciado temos que, a razão constante entre variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade 
(ΔQ) vendida: 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 𝑅 =
7000 − (−1000)
80 − 0
→ 𝑅 =
8000
80
→ 𝑅 = 100 
 
Como se pretende ter um lucro maior ou igual a R$ 90.500,00, logo o lucro final tem que ser pelo 
menos 90.500,00 
Então fazendo a variação do lucro para este valor temos: 
ΔL = 90500 – (-1000) = 90500 + 1000 = 91500 
Como é constante a razão entre a variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida, 
vamos usar o valor encontrado para acharmos a quantidade de peças que precisam ser produzidas: 
 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 100 =
91500
∆𝑄
→ 100∆𝑄 = 91500 → ∆𝑄 =
91500
100
→ ∆𝑄 = 915 
 
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140 
 
Como são em 10 dias, termos 915 x 10 = 9150 peças que deverão ser vendidas, em 10 dias, para que 
se obtenha como lucro pelo menos um lucro total não menor que R$ 90.500,00 
 
02. Resposta: B 
Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de 
tempo, e acrescentado 2,50 fixo 
T = 3t + 2,50 
 
03. Resposta: D 
35 = - 4x + 15 → - 4x = 20 → x = - 5 
 
04. Resposta: E 
A proporção de oxigênio/tempo: 
 
10,5
2
=
21,0
4
=
𝑥
10
 
 
4x = 210 
x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 
52,5litros----70kg 
x-------------80kg 
x = 60 litros 
 
05. Resposta: C 
Aplicando segundo as condições mencionadas: 
x = 1 
f(1) = 2.1 - p 
f(1) = m - 1 
x = 6 
f(6) = 6m - 1 
 𝑓(6) =
7.6+4
2
=
42+4
2
= 23 ; igualando as duas equações: 
23 = 6m - 1 
m = 4 
Como queremos m – p , temos: 
2 - p = m - 1 ; igualando as duas novamente. 
2 – p = 4 – 1 → p = - 1 → m – p = 4 - (- 1) = 5 
 
06. Resposta: D 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim: 
( T ) 5 = a.2 + b , ou seja, 2.a + b = 5 ( I ) 
( V ) 0 = a.3 + b , ou seja, 3.a + b = 0 , que fica b = – 3.a ( II ) 
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 
2.a + (– 3.a) = 5 → 2.a – 3.a = 5 → – a = 5 . (– 1) → a = – 5 
Para calcularo valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação. 
Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos: 
y = a.x + b 
0 = – 5.3 + b 
b = 15 
Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 . 
Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim: 
x = – 5.y + 15 
5.y = – x +15 
y = – x / 5 + 15/5 
y = – x / 5 + 3 (função inversa) 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = – x / 5 + 3 → x / 5 = 3 → x = 3 . 5 → x = 15 
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141 
 
07. Resposta: E 
C(x) = 
𝑥
2
 + 10000 
F(x) = 
2
3
 𝑥 
F(x) ≥ C(x) 
 
2
3
 𝑥 ≥ 
𝑥
2
 + 10000 
 
2
3
 𝑥 −
𝑥
2
 ≥ 10000 → 
4𝑥−3𝑥
6
 ≥ 10000 → 
4𝑥−3𝑥
6
 ≥ 10000→ x = 
10000
1
6
 → x ≥ 60000, como ele quer o menor 
valor. 
 
Substituindo no faturamento as 60000 unidades temos: 
F(x) = 
2
3
 60000 = 40.000 
 
Portanto o resultado final é de R$ 40.000,00. 
 
08. Resposta: C 
Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma 
posição “mais alta” do que o 2º ponto. 
Vamos analisar as alternativas: 
( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R, 
e, assim, a função é crescente. 
( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está 
em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente. 
( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais 
baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente. 
( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais 
alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente. 
 
09. Resposta: A 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1, 3) na equação. Assim: 
( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4 
( V ) 3 = a.( – 1) + b 
a = 4 – 3 = 1 
Portanto, a função fica: y = x + 4 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = x + 4 , ou seja, x = – 4 
 
10. Resposta: C 
Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim: 
A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes 
Assim: 15 . 2 = 30º C 
Assim: 23º C + 30º C = 53º C 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chama-se função do 2º grau14, função quadrática, função polinomial do 2º grau ou função trinômio do 
2º grau, toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma: 
 
 
 
14BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
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142 
 
Com a, b e c reais e a ≠ 0. 
 
Onde: 
a é o coeficiente de x2; 
b é o coeficiente de x; 
c é o termo independente. 
 
Exemplos 
y = x2 – 5x + 6, sendo a = 1, b = – 5 e c = 6 
y = x2 – 16, sendo a = 1, b = 0 e c = – 16 
f(x) = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0 
f(x) = 3x2 + 3x, sendo a = 3 , b = 3 e c = 0 
 
Representação Gráfica da Função 
O gráfico da função é constituído de uma curva aberta chamada de parábola. 
Vejamos a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal, ela é uma 
parábola cuja concavidade está voltada para baixo. 
 
 
 
Exemplo 
Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 + x. Atribuindo à variável x qualquer valor real, 
obteremos em correspondência os valores de y, vamos construir o gráfico da função: 
 
 
1) Como o valor de a > 0 a concavidade está voltada para cima; 
2) -1 e 0 são as raízes de f(x); 
3) c é o valor onde a curva corta o eixo y, neste caso no 0 (zero); 
4) O valor do mínimo pode ser observado nas extremidades (vértice) de cada parábola: -1/2 e -1/4. 
 
Concavidade da Parábola 
No caso das funções definida por um polinômio do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade 
voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). A concavidade é determinada pelo valor do a 
(maior que zero ou menor que zero). Esta é uma característica geral para a função definida por um 
polinômio do 2º grau. 
 
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143 
 
 
 
Vértice da Parábola 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou ponto de ordenada mínima, a esse ponto 
denominamos vértice. Dado por V (xv , yv). 
 
 
 
Eixo de Simetria 
É aquele que dado o domínio a imagem é a mesma. Isso faz com que possamos dizer que a parábola 
é simétrica a reta que passa por xv, paralela ao eixo y, na qual denominamos eixo de simetria. Vamos 
entender melhor o conceito analisando o exemplo: y = x2 + 2x – 3 (início do assunto). 
Atribuímos valores a x, achamos valores para y. Temos que: 
f (-3) = f (1) = 0 
f (-2) = f (0) = -3 
 
Conjunto Domínio e Imagem 
Toda função com Domínio nos Reais (R) que possui a > 0, sua concavidade está voltada para cima, e 
o seu conjunto imagem é dado por: 
 
Logo se a < 0, a concavidade estará voltada para baixo, o seu conjunto imagem é dado por: 
 
 
 
Coordenadas do Vértice da Parábola 
Como visto anteriormente a função apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta 
o gráfico num ponto chamado de vértice. 
As coordenadas do vértice são dadas por: 
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144 
 
 
 
Onde: 
x1 e x2 são as raízes da função. 
 
 
Valor Máximo e Valor Mínimo 
- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado 
ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função; 
- Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto 
de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. 
 
 
 
Exemplo 
Dado a função y = x2 – 2x – 3 vamos construir a tabela e o gráfico desta função, determinando também 
o valor máximo ou mínimo da mesma. 
 
 
Como a = 1 > 0, então a função possui um valor mínimo como pode ser observado pelo gráfico. O 
valor de mínimo ocorre para x = 1 e y = - 4. Logo o valor de mínimo é - 4 e a imagem da função é dada 
por: Im = { y ϵ R | y ≥ - 4}. 
 
Raízes ou Zeros da Função 
As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0, 
ou seja são valores que deixam a função nula. Com isso aplicamos o método de resolução da equação 
do 2º grau. 
ax2 + bx + c = 0 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
145 
 
A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bháskara”. 
 
a
b
x
.2
−
=
 , onde, = b2 – 4.a.c 
 
As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos 
um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. 
 
Forma fatorada das raízes: f (x) = a (x – x1) (x – x2). 
Esta fórmula é muito útil quando temos as raízes e precisamos montar a sentença matemática que 
expresse a função. 
 
Estudo da Variação do Sinal da Função 
Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função 
positiva, negativa ou nula. 
Abaixo podemos resumir todos os valores assumidos pela função dado a e Δ (delta). 
 
 
Observe que: 
 
Quando Δ > 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em dois pontos distintos, e temos duas raízes reais distintas. 
Quando Δ = 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em um ponto e temos duas raízes iguais. 
Quando Δ < 0, o gráfico não corta e não tangencia o eixo x em nenhum ponto e não temos raízes reais. 
 
Exemplos 
1) Considere a função quadrática representada pelo gráfico abaixo, vamos determinar a sentençamatemática que a define. 
 
 
Resolução: 
Como conhecemos as raízes x1 e x2 (x1= - 4 e x2 = 0), podemos utilizar a forma fatorada: 
f (x) = a.[ x – (- 4)].[x – 0] ou f (x) = a(x + 4).x . 
O vértice da parábola é (- 2,4), temos: 
4 = a.(- 2 + 4).(- 2) → a = - 1 
Logo, f(x) = - 1.(x + 4).x → (- x - 4x).x → - x2 - 4x 
 
2) Vamos determinar o valor de k para que o gráfico cartesiano de f(x) = -x2 + (k + 4). x – 5 ,passe pelo 
ponto (2;3). 
Resolução: 
Como x = 2 e f(x) = y = 3, temos: 
3 = - (2)2 + (k + 4).2 - 5 → 3 = - 4 + 2k + 8 - 5 → 2k + 8 - 9 = 3 → 2 k - 1 = 3 → 2k = 3 + 1 → 2k = 4 → 
k = 2. 
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146 
 
Questões 
 
01. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC) Duas cidades A e B estão separadas por uma 
distância d. Considere um ciclista que parte da cidade A em direção à cidade B. A distância d, em 
quilômetros, que o ciclista ainda precisa percorrer para chegar ao seu destino em função do tempo t, em 
horas, é dada pela função 𝑑(𝑡) =
100−𝑡2
𝑡+1
. Sendo assim, a velocidade média desenvolvida pelo ciclista em 
todo o percurso da cidade A até a cidade B é igual a 
(A) 10 Km/h 
(B) 20 Km/h 
(C) 90 Km/h 
(D) 100 Km/h 
 
02. (ESPCEX – Cadetes do Exército – Exército Brasileiro) Uma indústria produz mensalmente x 
lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)=3x²-12x e o custo mensal 
da produção é dado por C(x)=5x²-40x-40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor 
resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve 
vender para obter lucro máximo é igual a 
(A) 4 lotes. 
(B) 5 lotes. 
(C) 6 lotes. 
(D) 7 lotes. 
(E) 8 lotes. 
 
03. (IPEM – Técnico em Metrologia e Qualidade – VUNESP) A figura ilustra um arco decorativo de 
parábola AB sobre a porta da entrada de um salão: 
 
 
Considere um sistema de coordenadas cartesianas com centro em O, de modo que o eixo vertical (y) 
passe pelo ponto mais alto do arco (V), e o horizontal (x) passe pelos dois pontos de apoio desse arco 
sobre a porta (A e B). 
Sabendo-se que a função quadrática que descreve esse arco é f(x) = – x²+ c, e que V = (0; 0,81), pode-
se afirmar que a distância 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em metros, é igual a 
(A) 2,1. 
(B) 1,8. 
(C) 1,6. 
(D) 1,9. 
(E) 1,4. 
 
04. (Polícia Militar/MG – Soldado – Polícia Militar) A interseção entre os gráficos das funções y = - 
2x + 3 e y = x² + 5x – 6 se localiza: 
(A) no 1º e 2º quadrantes 
(B) no 1º quadrante 
(C) no 1º e 3º quadrantes 
(D) no 2º e 4º quadrantes 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Vamos calcular a distância total, fazendo t = 0: 
𝑑(0) =
100−02
0+1
= 100𝑘𝑚 
 
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147 
 
Agora, vamos substituir na função: 
0 =
100−𝑡2
𝑡+1
 
 
100 – t² = 0 
– t² = – 100 . (– 1) 
t² = 100 
𝑡 = √100 = 10𝑘𝑚/ℎ 
 
02. Resposta: D 
L(x) = 3x² - 12x-5x² + 40x + 40 
L(x) = - 2x² + 28x + 40 
 𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = −
𝑏
2𝑎
= −
28
−4
= 7 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 
 
03. Resposta: B 
C = 0,81, pois é exatamente a distância de V 
f(x) = - x² + 0,81 
0 = - x² + 0,81 
x² = 0,81 
x =  0,9 
A distância AB é 0,9 + 0,9 = 1,8 
 
04. Resposta: A 
- 2x + 3 = x² + 5x - 6 
x² + 7x - 9 = 0 
 = 49 + 36 = 85 
𝑥 =
−7 ± √85
2
 
𝑥1 =
−7 + 9,21
2
= 1,105 
𝑥2 =
−7 − 9,21
2
= −8,105 
Para x=1,105 
y = - 2 . 1,105 + 3 = 0,79 
Para x = - 8,105 
y = 19,21 
Então a interseção ocorre no 1º e no 2º quadrante. 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Definição 
 
A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é: 
 
Podemos concluir, que a função exponencial é definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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148 
 
Gráficos da Função Exponencial 
 
 
 
 Propriedades da Função Exponencial 
Se a, x e y são números reais quaisquer e k é um número racional, então: 
- ax . ay = ax + y 
- ax / ay = ax - y 
- (ax) y = ax.y 
- (a b)x = ax bx 
- (a / b)x = ax / bx 
- a-x = 1 / ax 
 
Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2,718...) 
- y = ex se, e somente se, x = ln(y) 
- ln(ex) = x 
- ex+y= ex.ey 
- ex-y = ex/ey 
- ex.k = (ex)k 
 
Constante de Euler 
Existe uma importantíssima constante matemática definida por 
e = exp(1) 
O número e é um número irracional e positivo, de acordo com a definição da função exponencial, temos 
que: 
ln(e) = 1 
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, um dos primeiros 
a estudar as propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é: 
e = 2,718281828459045235360287471352662497757 
Porém ninguém é obrigado a decorar este número, sabendo com duas casas após a vírgula já é mais 
que suficiente, ou seja, devemos saber que e = 2,72 aproximadamente. 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com 
expoente x, isto é: 
ex = exp(x) 
 
Construção do Gráfico de uma Função Exponencial 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função 𝑦 = 2𝑥 
Vamos atribuir valores a x, para que possamos traçar os pontos no gráfico. 
 
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149 
 
X Y 
-3 1
8
 
-2 1
4
 
-1 1
2
 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
 
 
 
Questões 
 
01. (UFOP – Assistente em Administração – UFOP/2018) Sobre a função f(x) = (1/3)-x, assinale a 
afirmativa correta. 
(A)f é crescente. 
(B) f não é injetora. 
(C) O domínio de f é o conjunto dos números reais negativos. 
(D) A imagem de f é o conjunto dos números reais. 
 
02. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST) As funções 
exponenciais são muito usadas para modelar o crescimento ou o decaimento populacional de uma 
determinada região em um determinado período de tempo. A função 𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 modela o 
comportamento de uma determinada cidade quanto ao seu crescimento populacional em um determinado 
período de tempo, em que P é a população em milhares de habitantes e t é o número de anos desde 
1980. 
 
Qual a taxa média de crescimento populacional anual dessa cidade? 
(A) 1,023% 
(B) 1,23% 
(C) 2,3% 
(D) 0,023% 
(E) 0,23% 
 
03. (Polícia Civil/SP – Desenhista Técnico-Pericial – VUNESP) Uma população P cresce em função 
do tempo t (em anos), segundo a sentença 𝑷 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 . 𝟓𝟎,𝟏 .𝒕. Hoje, no instante t = 0, a população é de 2 
000 indivíduos. A população será de 50 000 indivíduos daqui a 
(A) 20 anos. 
(B) 25 anos. 
(C) 50 anos. 
(D) 15 anos. 
(E) 10 anos. 
 
04. (IF/BA – Pedagogo – IF/BA) Em um período longo de seca, o valor médio de água presente em 
um reservatório pode ser estimado de acordo com a função: Q(t) = 4000 . 2 -0,5 . t, onde t é medido em 
meses e Q(t) em metros cúbicos. Para um valor de Q(t) = 500, pode-se dizer que o valor de t é: 
(A) 6 meses 
(B) 8 meses 
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150 
 
(C) 5 meses 
(D) 10 meses 
(E) 4 meses 
 
05. (CBTU - Assistente Operacional - FUMARC) Uma substância se decompõe segundo a lei Q(t) 
= K.2 – 0,5 t, sendo K uma constante, t é o tempo medido em minutos e Q(t) é a quantidade de 
substância medida em gramas no instante t. O gráfico a seguir representa os dados desse processo 
de decomposição. Baseando-se na lei e no gráfico de decomposição dessa substância, 
é CORRETO afirmar que o valor da constante K e o valor de a (indicado no gráfico) 
são, respectivamente, iguais a: 
 
 
(A) 2048 e 4 
(B) 1024 e 4 
(C) 2048 e 2 
(D) 1024 e 2 
(E) 1024 e 8 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Como o expoente é um número negativo (- x), basta invertemosa fração para deixa-lo positivo, ou 
seja: 
(1\3)-x = (3\1)x = 3x, e está função é fácil identificar que será crescente, pois se aumentarmos o valor 
de x, aumentamos o valor de f(x). 
 
02. Resposta: C 
𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 
Primeiramente, vamos calcular a população inicial, fazendo t = 0: 
𝑃(0) = 234 . (1,023)0 = 234 . 1 = 234 mil 
Agora, vamos calcular a população após 1 ano, fazendo t = 1: 
𝑃(1) = 234 . (1,023)1 = 234 . 1,023 = 239,382 
Por fim, vamos utilizar a Regra de Três Simples: 
População % 
 234 --------------- 100 
 239,382 ------------ x 
234.x = 239,382 . 100 
x = 23938,2 / 234 
x = 102,3% 
102,3% = 100% (população já existente) + 2,3% (crescimento) 
 
03. Resposta: A 
50000 = 2000 . 50,1 .𝑡 
50,1 .𝑡 = 
50000
2000
 
50,1 .𝑡 = 52 
Vamos simplificar as bases (5), sobrando somente os expoentes. Assim: 
0,1 . t = 2 
t = 2 / 0,1 
t = 20 anos 
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151 
 
04. Resposta: A 
500 = 4000 * 2-0.5t 
500/4000 = 2 -0.5t 
simplificando, 
1/8 = 2 -0.5t 
deixando o expoente positivo, invertemos a base: 
1/8 = 1/2 0.5t 
(½)3 = (½)0,5t 
0,5t = 3 
t = 3/0,5 = 6. 
 
05. Resposta: A 
Calcular o valor de K, ou seja, o valor inicial 
 Q(t) = K . 2-0,5t. Perceba que o K ocupa a posição referente à quantidade inicial, t=0. Q(t) = 2048 
Assim, temos para o ponto (0, 2048), temos tempo zero e quantidade final 2048. 
 
Calcular o valor de a, o seja, o tempo quando a quantidade final for 512. 
 Quantidade final = quantidade inicial x (crescimento)período 
512 = 2048 x (2)-0,5t 
512 = 2048 x (2)-0,5t 
 512/2048 = (2)-0,5t 
¼ = (2)-0,5t 
(1/2)2 = (1/2)0,5t 
0,5t = 2 
t = 2/0,5 = 4 
Assim temos 2048 e 4. 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Toda equação que contém a incógnita na base ou no logaritmando de um logaritmo é denominada 
equação logarítmica. Abaixo temos alguns exemplos de equações logarítmicas: 
log
2
𝑥 = 3 
log
𝑥
100 = 2 
7log
5
625𝑥 = 42 
3log
2𝑥
64 = 9 
log
−6−𝑥
2𝑥 = 1 
 
Perceba que nestas equações a incógnita encontra-se ou no logaritmando, ou na base de um 
logaritmo. Para solucionarmos equações logarítmicas recorremos a muitas das propriedades dos 
logaritmos. 
 
Função Logarítmica 
 
A função logaritmo natural mais simples é a função y = f0(x) = lnx. Cada ponto do gráfico é da forma 
(x, lnx) pois a ordenada é sempre igual ao logaritmo natural da abscissa. 
 
 
 
O domínio da função ln é R*+=]0,∞[ e a imagem é o conjunto R=]-∞,+∞[. 
O eixo vertical é uma assíntota ao gráfico da função. De fato, o gráfico se aproxima cada vez mais da 
reta x = 0. 
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152 
 
O que queremos será descobrir como é o gráfico de uma função logarítmica natural geral, quando 
comparado ao gráfico de y = ln x, a partir das transformações sofridas por esta função. 
Consideremos uma função logarítmica cuja expressão é dada por y = f1(x) = ln x + k, onde k é uma 
constante real. A pergunta natural a ser feita é, qual a ação da constante k no gráfico dessa nova função 
quando comparado ao gráfico da função inicial y = f0(x) = ln x? 
Ainda podemos pensar numa função logarítmica que seja dada pela expressão y = f2(x) = a.ln x onde a é 
uma constante real, a 0. 
Observe que se a = 0, a função obtida não será logarítmica, pois será a constante real nula. Uma 
questão que ainda se coloca é a consideração de funções logarítmicas do tipo y = f3(x) = ln(x + m), onde 
m é um número real não nulo. Se g(x) = 3.ln(x - 2) + 2/3, desenhe seu gráfico, fazendo os gráficos 
intermediários, todos num mesmo par de eixos. 
y = a.ln(x + m) + k 
 
Conclusão: Podemos, portanto, considerar funções logarítmicas do tipo y = f4(x) = a In (x + m) + k, 
onde o coeficiente a não é zero, examinando as transformações do gráfico da função mais simples y = f0 
(x) = In x, quando fazemos, em primeiro lugar, y = ln(x + m); em seguida, y = a.ln(x + m) e, finalmente, y 
= a.ln(x + m) + k. 
 
Analisemos o que aconteceu: 
- Em primeiro lugar, y = ln(x + m) sofreu uma translação horizontal de -m unidades, pois x = - m exerce 
o papel que x = 0 exercia em y = ln x; 
- A seguir, no gráfico de y = a.ln(x + m) ocorreu mudança de inclinação pois, em cada ponto, a ordenada 
é igual àquela do ponto de mesma abscissa em y = ln(x + m) multiplicada pelo coeficiente a; 
- Por fim, o gráfico de y = a.ln(x + m) + k sofreu uma translação vertical de k unidades, pois, para cada 
abscissa, as ordenadas dos pontos do gráfico de y = a.ln(x + m) + k ficaram acrescidas de k, quando 
comparadas às ordenadas dos pontos do gráfico de y = a.ln(x + m). 
 
O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois 
as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das 
funções esboçados no mesmo referencial cartesiano. 
 
Função logarítmica de base a, é toda função f : R*+ → R, definida por 𝑓(𝑥) = log
𝑎
𝑥 com: 
a ϵ R*+ e a ≠ 1. 
 
Podemos observar neste tipo de função que a variável independente x é um logaritmando, por isto a 
denominamos função logarítmica. Observe que a base a é um valor real constante, não é uma variável, 
mas sim um número real. 
A função logarítmica de R*+ → R é inversa da função exponencial de R*+ → R e vice-versa, pois: 
log
𝑏
𝑎 = 𝑥 ⟺ 𝑏𝑥 = 𝑎 
 
Representação da Função Logarítmica no Plano Cartesiano 
 
Podemos representar graficamente uma função logarítmica da mesma forma que fizemos com a 
função exponencial, ou seja, escolhendo alguns valores para x e montando uma tabela com os 
respectivos valores de f(x). Depois localizamos os pontos no plano cartesiano e traçamos a curva do 
gráfico. Vamos representar graficamente a função 𝑓(𝑥) = log 𝑥 e como estamos trabalhando com um 
logaritmo de base 10, para simplificar os cálculos vamos escolher para x alguns valores que são potências 
de 10: 
0,001, 0,01, 0,1, 1 e 10. 
 
Temos então seguinte a tabela: 
 
x y = log x 
0,001 y = log 0,001 = -3 
0,01 y = log 0,01 = -2 
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153 
 
0,1 y = log 0,1 = -1 
1 y = log 1 = 0 
10 y = log 10 = 1 
 
 
 
Acima temos o gráfico desta função logarítmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos da 
tabela e os interligamos através da curva da função: Veja que para valores de y < 0,01 os pontos estão 
quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca chegam a estar. Note também que neste tipo de 
função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem inferior no valor de y. Por exemplo, 
se passarmos de x = 100 para x = 1 000 000, a variação de y será apenas de 2 para 6. Isto porque: 
 
{
𝑓(100) = log 100 = 2
𝑓(1000000) = log 1000000 = 6
 
 
Função Crescente e Decrescente 
 
Assim como no caso das funções exponenciais, as funções logarítmicas também podem ser 
classificadas como função crescente ou função decrescente. Isto se dará em função da base a ser 
maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a definição da função logarítmica f:R*+ → R, definida 
por 𝑓(𝑥) = log
𝑎
𝑥 , temos que a > 0 e a ≠ 1. 
 
Função Logarítmica Crescente 
 
 
Se a > 1 temos uma função logarítmica crescente, qualquer que seja o valor real positivo de x. No 
gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. 
Graficamente vemos que a curva da função é crescente. Também podemos observar através do gráfico, 
que para dois valores de x (x1 e x2), que log𝑎 𝑥2 > log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 > 𝑥1, isto para x1, x2 e a números reais 
positivos, com a > 1. 
 
 
 
 
 
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154 
 
Função Logarítmica Decrescente 
 
 
 
Se 0 < a < 1 temosuma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função. Neste outro 
gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva 
da função é decrescente. No gráfico também observamos que para dois valores de x (x1 e x2), que 
log𝑎 𝑥2 < log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 > 𝑥1 , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com 0 < a < 1. É importante 
frisar que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre 
cruza o eixo das abscissas no ponto (1, 0), além de nunca cruzar o eixo das ordenadas e que o log𝑎 𝑥2 =
log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 = 𝑥1, isto para x1, x2 e a números reais positivos, com a ≠ 1. 
 
Questões 
 
01. (PETROBRAS - Geofísico Junior - CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo na base 10 
de x, então o valor de n tal que log n = 3 - log 2 é: 
(A) 2000 
(B) 1000 
(C) 500 
(D) 100 
(E) 10 
 
02. (MF – Assistente Técnico Administrativo – ESAF) Sabendo-se que log x representa o logaritmo 
de x na base 10, calcule o valor da expressão log 20 + log 5. 
(A) 5 
(B) 4 
(C) 1 
(D) 2 
(E) 3 
 
03. (SEE/AC – Professor – FUNCAB) Assinale a alternativa correta, considerando a função a seguir. 
 
(A) O domínio da função é o conjunto dos números reais. 
(B) O gráfico da função passa pelo ponto (0, 0). 
(C) O gráfico da função tem como assíntota vertical a reta x = 2. 
(D) Seu gráfico toca o eixo Y. 
(E) Seu gráfico toca o eixo X em dois pontos distintos. 
 
04. (PETROBRAS - Analista de Comercialização e Logística Júnior - CESGRANRIO) Ao resolver 
um exercício, um aluno encontrou as expressões 8p = 3 e 3q = 5. Quando perguntou ao professor se suas 
expressões estavam certas, o professor respondeu que sim e disse ainda que a resposta à pergunta era 
dada por 
 
 
Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, qual é a resposta correta, segundo o professor? 
(A)log 8 
(B)log 5 
(C)log 3 
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155 
 
(D)log 2 
(E)log 0,125 
 
05. (TRT 13ª Região - Analista Judiciário - FCC) Com base em um levantamento histórico e utilizando 
o método dos mínimos quadrados, uma empresa obteve a equação para estimar a 
probabilidade (p) de ser realizada a venda de determinado equipamento em função do tempo (t), em 
minutos, em que as propriedades do equipamento são divulgadas na mídia. Considerando que ln (0,60) 
= - 0,51, tem-se que se as propriedades do equipamento forem divulgadas por um tempo de 15 minutos 
na mídia, então a probabilidade do equipamento ser vendido é, em %, de 
Observação: ln é o logaritmo neperiano tal que ln(e) = 1. 
(A)62,50 
(B)80,25. 
(C) 72,00. 
(D)75,00. 
(E)64,25. 
 
06. (PETROBRAS - Conhecimentos Básicos - CESGRANRIO) Quanto maior for a profundidade de 
um lago, menor será a luminosidade em seu fundo, pois a luz que incide em sua superfície vai perdendo 
a intensidade em função da profundidade do mesmo. Considere que, em determinado lago, a intensidade 
y da luz a x cm de profundidade seja dada pela função y = i0 . ( 0,6 )x/88, onde i0 representa a intensidade 
da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse lago, a intensidade da luz corresponde a i0/3 
A profundidade desse lago, em cm, está entre. 
Dados 
log 2 = 0,30 
log 3 = 0,48 
 
(A)150 e 160 
(B)160 e 170 
(C)170 e 180 
(D)180 e 190 
(E)190 e 200 
 
07. (DNIT - Analista em Infraestrutura de Transportes - ESAF) Suponha que um técnico efetuou 
seis medições de uma variável V1, cujos dados são mostrados na tabela abaixo. Ao perceber que os 
valores cresciam de forma exponencial, o técnico aplicou uma transformação matemática (logaritmo na 
base 10) para ajustar os valores originais em um intervalo de valores menor. A referida transformação 
logarítmica vai gerar novos valores cujo intervalo varia de: 
 
 
(A) 0 a 1. 
(B)0 a 5. 
(C)0 a 10. 
(D)0 a 100. 
(E)1 a 6. 
 
08. (PETROBRAS - Técnico de Exploração de Petróleo Júnior - CESGRANRIO) Se y = log81 (1⁄27) 
e x ∈ IR+ são tais que xy = 8 , então x é igual a 
(A)1⁄16 
(B)1⁄2 
(C)log38 
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156 
 
(D) 2 
(E)16 
 
09. (PETROBRAS - Geofísico Junior - CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo na base 10 
de x, então o valor de n tal que log n = 3 - log 2 é 
(A)2000 
(B)1000 
(C)500 
(D)100 
(E)10 
 
10. (PETROBRAS - Todos os Cargos - CESGRANRIO) Em calculadoras científicas, a tecla log serve 
para calcular logaritmos de base 10. Por exemplo, se digitamos 100 e, em seguida, apertamos a tecla log, 
o resultado obtido é 2. A tabela a seguir apresenta alguns resultados, com aproximação de três casas 
decimais, obtidos por Pedro ao utilizar a tecla log de sua calculadora científica. 
 
Utilizando-se os valores anotados por Pedro na tabela acima, a solução da equação log6+x=log28 é 
(A)0,563 
(B)0,669 
(C)0,966 
(D)1,623 
(E)2,402 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
log n = 3 - log 2 
log n + log 2 = 3 . 1 
onde 1 = log 10 então: 
log (n . 2) = 3 . log 10 
log(n . 2) = log 103 
2n = 103 
2n = 1000 
n = 1000 / 2 
n = 500 
 
02. Resposta: D 
E = log20 + log5 
E = log(2 x 10) + log5 
E = log2 + log10 + log5 
E = log10 + log (2 x 5) 
E = log10 + log10 
E = 2 log10 
E = 2 
 
03. Resposta: C 
(x) = log2(x - 2) 
Verificamos a condição de existência, daí x – 2 > 0 
X > 2 
Logo a reta x = 2 é uma assíntota vertical. 
 
04. Resposta: B 
8p = 3 
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157 
 
23p = 3 
log23p = log3 
3p = (log3/log2) 
p = (log3/log2).1/3 
3q = 5 
q.log3 = log5 
q = log5/log3 
3.p.q = 3. (log3/log2).1/3 . log5/log3 = log5/log2 
3.p.q/(1 + 3.p.q) 
log5/log2/(1 + log5/log2) 
(log5/log2)/( log2/log2 + log5/log2) 
(log5/log2)/(log2 + log5)/log2) 
(log5/log2)/( log10)/log2) 
(log5/ log10)= 
log5 
 
05. Resposta: A 
 Como sabemos que ln (0,60) = -0,51 
então ln (1 / 0,60) = 0,51 
Substituindo t = 15 minutos em 0,06 + 0,03 . t, teremos 0,06 + 0,03*15 = 0,51 
logo 1 / 0,60 = p / (1 - p) 
1 - p = 0,60 . p 
p = 0,625 
 
06. Resposta: E 
onde y = i0 . 0,6 (x/88) 
então: 
i0/ 3 = i0.0,6 (x/88) 
(i / 3) . (1/ i) = 0,6 (x/88) 
1/3 = 0,6 (x/88) 
log 1/3 = log 0,6 (x/88) 
log 1 - log 3 = x/88 . log 6/10 
0 - 0,48 = x/88 . log 6/10 
88 . (- 0,48) = x . [ log 6 - log 10 ] 
6 = 3 . 2 ===> log 3 + log 2 
como log10 na base 10 = 1. 
- 42,24 = x . [ log 3 + log 2 - (1)] 
- 42,24 = x . [ 0,48 + 0,30 - 1 ] 
x = - 42,24 / - 0,22 
x = (42,24 / 0,22) = 192 
x = 192 cm 
 
07. Resposta: B 
A transformação logarítmica vai gerar novos valores, através dos seguintes cálculos: 
medida 1 = log 1 = 0 
medida 2 = log 10 = 1 
medida 3 = log 100 = 2 
medida 4 = log 1000 = 3 
medida 5 = log 10000 = 4 
medida 6 = log 100000 = 5 
logo os valores (1,10,100,1000,10000,100000) transformados em logaritmos reduziu o intervalo de 
valores para (0,1,2,3,4,5), ou seja, 0-5. 
 
08. Resposta: A 
y = log (81) (1/27) 
y = -3log(81)(3) 
y = -3. 1/4 
y = -3/4 
x(-3/4) = 8 
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158 
 
Elevando os dois termos à quarta potência: 
x-3 = 84 
1/x3 = 84 
Agora raiz cubica dos dois termos: 
1/x = 8 4/3 
Como 3√8=2 
1/x = 24 
1/x = 16 
x = 1/16 
 
09. Resposta: C 
De acordo com o enunciado: 
log n = 3 - log 2 
log n + log 2 = 3 . 1, 
onde 1 = log 10 
então: 
log (n . 2) = 3 . log 10 
log(n . 2) = log 10 3 
2n = 103 
2n = 1000 
n = 1000 / 2 
n = 500 
 
10. Resposta: B 
Log 6 = Log (2 . 3) 
De acordo com uma das propriedades: 
Log (A . B) = Log A + Log B 
Então, Log (2 . 3) = Log 2 + Log 3. 
Fatorando o número 28 temos que 
28=2x2x7 
Temos que: 
Log 28 = Log (2x2x7) 
ou seja, 
Log 28 = Log 2 + Log 2 + Log 7 
Portanto: 
Log 2 + Log 3 + x = Log 2 + Log 2 + Log 7 
Cortando o Log 2 dos dois lados temos: 
Log3 + x = Log 2 + Log 7 
Dados os valores da tabela, e substituindo-os, temos que: 
0,477 + x = 0,301 + 0,845 
x = 0,669 
 
FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo 
do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: 
x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais 
um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da 
figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π 
e que possuem a mesma imagem. Observe: 
 
 
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159 
 
9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta 
13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta 
17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta 
 
Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, 
onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ. 
Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, 
função cosseno e função tangente. 
 
Características da função seno 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = senx. O sinal da 
função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. 
Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da função f(x) = senx 
 
 
 
Características da função cosseno 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx. O sinal 
da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º 
quadrantes. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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160 
 
Gráfico da função f(x) = cosx 
 
 
 
Características da função tangente 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx. 
Para os ângulos de 90º, 270º e depois correspondentes a estes fora da primeira volta, a tangente deles 
não existe!!! 
Sinais da função tangente: 
- Valores positivos nos quadrantes ímpares. 
- Valores negativos nos quadrantes pares. 
- Crescente em cada valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da função tangente 
 
 
 
Função trigonométrica inversa 
As funções trigonométricas não são invertíveis em todo o seu domínio. Mas, para cada uma delas, 
podemos restringir o domínio de forma conveniente e definir uma função inversa. 
 
 
 
 
 
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161 
 
- A função inversa do seno, denotada por arcsen, é definida como: 
 
 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arsec 
 
 
 
- A função inversa do cosseno, denotada por arccos, é definida como: 
 
 
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162 
 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arccos 
 
 
- A função inversa da tangente, denotada por arctan, é definida como: 
 
 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arctan 
 
 
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163 
 
Referências 
 brasilescola.com 
 uff.br/webmat 
Questões 
 
01. (IFB – Professor de Matemática – IFB/2017) As funções senoides por serem periódicas são muito 
utilizadas nos cálculos de movimentos de marés, movimentos de pêndulos, sinais de ondas sonoras e 
luminosas, etc. A função representa o movimento de maré de uma localidade 
na região norte do Brasil. Em relação à função dada, assinale as afirmações dadas a seguir 
como VERDADEIRAS com (V) ou FALSAS com (F). 
( ) É uma função periódica e seu período é 2π. 
( ) Sua imagem é o intervalo [−1,1]. 
( ) O domínio é o conjunto dos números reais. 
( ) É uma função periódica e seu período é π. 
( ) Se anula em infinitos valores para x. 
Assinale a alternativa que contém a sequência CORRETA de cima para baixo. 
(A) F, V, V, V, F 
(B) F, F, V, V, V 
(C) V, F, F, V, V 
(D) F, V, F, V, V 
(E) V, F, V, F, V 
 
02. (IF/SC – Professor de Matemática – IF/SC) Dada a função f (x) = sen x - cos x, quantos zeros 
tem a função no intervalo 
(A) nenhum 
(B) um 
(C) dois 
(D) três 
(E) quatro 
 
03. Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x? 
(A) D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /2, pi /2]. 
(B) D = [-1/2, 1/2] e Im = [-pi /4, pi /4]. 
(C) D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /4, pi /4]. 
(D) D = [-1/2, 1/2] e Im = [-pi /6, pi /6]. 
 
 
04. Qual é o valor de y = tg(arcsen 2/3)? 
(A) (
√
3
5
3
) 
(B) (1/2) 
(C) (
√
1
2
5
) 
(D) 
2√5 
5
 
 
05. Qual é o valor da equação 2*sen(3x) + 1 = 0? 
(A) S = {x E R/x = π/3 + kπ/3 ou x = - π/3 + kπ/3, k E Z} 
(B) S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3, k E Z} 
(C) S = {x E R/x = 7π/8 + kπ/3 ou x = - π/8 + kπ/3, k E Z} 
(D) S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/6 ou x = - π/18 + 2kπ/6, k E Z} 
 
06. Qual é o conjunto solução da equação sen (5x) + sen (2x) = 0? 
(A) x = π/ 6 + 2kπ/ 3, k E Z. 
(B) x = π/ 6 + kπ/ 3, k E Z. 
(C) x = π/ 3 + kπ/ 3, k E Z. 
(D) x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z. 
 
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164 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
O período de uma função y = a+b*sen(cx+d) é simplesmente 2pi/c, assim o período da função em 
específico é pi. Logo a primeira afirmativa é FALSA. 
A imagem da função pode ser encontrada considerando que toda função seno está entre -1 e 1. Veja: 
-1 ≤ sen(2x+pi/2) ≤ 1 
 
-3 ≤ 3sen(2x+pi/2) ≤ 3 
 
-2 ≤ 1+3sen(2x+pi/2) ≤ 4 
 
Assim, Im(f(x)) = [-2, 4]. Ou seja, a segunda afirmação também é FALSA. Analisando as afirmações 
só nos resta a alternativa B como resposta. 
 
02. Resposta: D. 
 
Observe que para a função dar zero, temos que ter senx = cosx, assim temos o ângulo de 45° e seus 
correspondentes no 2°, 3° e 4° quadrantes, mas precisamos ficar atentos a alguns fatos: 
- A função é no intervalo de 0 à 3pi, ou seja, uma volta e meia no círculo; 
- os sinais de seno e cosseno variam de acordo com o quadrante: 
1ºQ: senx = + e cosx = + 
2°Q: senx = + e cosx = - (não serve pois o seno e cosseno devem ser iguais) 
3ºQ: senx = - e cosx = - 
4°Q: senx = - e cosx = + (não serve, pois o seno e cosseno devem ser iguais) 
 
Então as soluções estão no 1° e 3° quadrantes, mas o intervalo é de uma volta e meia, assim passa 
pelo primeiro quadrante 2 vezes e 1 vez pelo terceiro quadrante, portanto possui 3 soluções. 
 
03. Resposta: A. 
 
Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem: 
Para x: -1 < 4x < 1, ou seja, -1/4 < x < 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].Para y: Da definição 
vista acima, deveremos ter -pi /2 < y < pi /2. 
Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /2, pi /2]. 
 
04. Resposta: D. 
Seja w = arcsen 2/3. 
Podemos escrever senw = 2/3. Precisamos calcular o cosw. Vem: sen2w + cos2w = 1 (Relação 
Fundamental da Trigonometria). Substituindo o valor de senw vem: 
(2/3)2 + cos2w = 1 de onde conclui-se: cos2w = 1 – 4/9 = 5/9. 
Logo: 
cosw = ± √
5
9
=
√5 
3
. Mas como w = arcsen 2/3, sabemos que o arco w pode variar de –90º a +90º, 
intervalo no qual o coseno é positivo. Logo: cosw = +
√5 
3
. 
Temos então: y = tg(arcsen 2/3) = tgw = senw / cosw = 
2
3
√5 
3
=
6
3√5 
.
√5 
√5 
=
6√5 
3.5
=
2√5 
5
 
05. Resposta: B. 
Seja 2*sen(3x) + 1 = 0 
A solução é 3x = 7π/6 rad, pois sen 7π/6 = - 1/2. Assim, temos: sen 3x = sen 7π/6 
Então: 3x = 7π/6 + 2kπ ou 3x = - π/6 + 2kπ , k E R. 
 x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3 
Concluímos que o conjunto solução é: 
S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3, k E Z} 
 
06. Resposta: D. 
Observe que é possível transformar o 1º membro em um produto; alémdisso, o 2º membro é zero. 
Assim sendo, lembrando que sen p + sen q = 2*sen p + q / 2* cos p - q / 2, temos: 
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165 
 
2*sen 5x + 2x /2*cos 5x - 2x /2 = 0 ➔ sen 7x / 2*cos3x /2 = 0 ➔ sen 7x/ 2 = 0 ou cos 3x /2 = 0 
Para sen 7x/ 2 = sen 0, temos: 7x/ 2 = kπ, k E Z. Portanto: 7x = 2kπ ➔ x = 2kπ / 7, k E Z 
Para cos 3x/ 2 = cos π/2, temos: 3x / 2 = π/ 2 + kπ, k E Z. 
Então: 3x = π + 2kπ ➔ x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z. 
O conjunto solução é: S = {x E R/ x = π/3 + 2kπ/ 3 ou x = 2kπ/ 7, k E Z} 
Obs.: esse mesmo problema poderia ser resolvido assim: 
sen (5x) + sen (2x) = 0 ➔ sen (5x) = - sen (2x) 
como: - sen (2x) = sen (- 2x) desse modo temos: 
5x = - 2x + 2kπ ou 5x = π - (-2x) + 2kπ, k E Z, daí obtemos: 
x = 2kπ/ 7 ou x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z 
 
 
 
SEQUÊNCIAS 
 
Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de 
cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de 
aniversário dos alunos de uma determinada escola. 
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 
1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado 
termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos 
atenção ao estudo das sequências numéricas. 
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não 
apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final. 
 
Exemplos: 
- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma 
sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc. 
- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência 
infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc. 
- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos 
que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 
= 9. 
 
Igualdade de Sequências 
As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. 
Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões 
diferentes. 
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos 
termos, na mesma ordem. 
 
Exemplo 
 A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 
5; y = 8; z = 15; e t = 17. 
 
Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem 
os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente. 
 
Termo Geral 
Podemos apresentar uma sequência através de um determinado valor atribuído a cada termo an em 
função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta fórmula que determina o valor do 
termo an é chamada fórmula do termo geral da sucessão. 
 
Exemplos 
Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = n2 – 2n, com n ∈ N*. 
Sequências. Progressões aritméticas e geométricas 
 
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166 
 
Teremos: 
- se n = 1 ⇒ a1 = 12 – 2. 1 ⇒ a1 = 1 – 2 = - 1 
- se n = 2 ⇒ a2 = 22 – 2. 2 ⇒ a2 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3 = 32 – 2. 3 ⇒ a3 = 9 – 6 = 3 
- se n = 4 ⇒ a4 = 42 – 4. 2 ⇒ a4 =16 – 8 = 8 
- se n = 5 ⇒ a5 = 52 – 5. 2 ⇒ a5 = 25 – 10 = 15 
 
Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = 3n + 2, com n ∈ N*. 
 
- se n = 1 ⇒ a1 = 3.1 + 2 ⇒ a1 = 3 + 2 = 5 
- se n = 2 ⇒ a2 = 3.2 + 2 ⇒ a2 = 6 + 2 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3 = 3.3 + 2 ⇒ a3 = 9 + 2 = 11 
- se n = 4 ⇒ a4 = 3.4 + 2 ⇒ a4 = 12 + 2 = 14 
- se n = 5 ⇒ a5 = 3.5 + 2 ⇒ a5 = 15 + 2 = 17 
 
Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: 
 
an = 45 – 4n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 12 ⇒ a12 = 45 – 4.12 ⇒ a12 = 45 – 48 = - 3 
- se n = 23 ⇒ a23 = 45 – 4.23 ⇒ a23 = 45 – 92 = - 47 
 
Lei de Recorrências 
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma 
fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de 
apresentação de uma sucessão é chamada lei de recorrências. 
 
Exemplos 
Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: 
a1 = 3 e an+1 = 2an – 4, em que n ∈ N*. 
 
Teremos: o primeiro termo já foi dado. 
- a1 = 3 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = 2.a1 – 4 ⇒ a2 = 2.3 – 4 ⇒ a2 = 6 – 4 = 2 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = 2.a2 – 4 ⇒ a3 = 2.2 – 4 ⇒ a3 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = 2.a3 – 4 ⇒ a4 = 2.0 – 4 ⇒ a4 = 0 – 4 = - 4 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = 2.a4 – 4 ⇒ a5 = 2.(-4) – 4 ⇒ a5 = - 8 – 4 = - 12 
 
Determinar o termo a5 de uma sequência em que: 
a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n ∈ N*. 
 
- a1 = 12 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = a1 – 2 ⇒ a2 = 12 – 2 ⇒ a2=10 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = a2 – 2 ⇒ a3 = 10 – 2 ⇒ a3 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = a3 – 2 ⇒ a4 = 8 – 2 ⇒ a4 = 6 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = a4 – 2 ⇒ a5 = 6 – 2 ⇒ a5 = 4 
 
Observação 1 
Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto 
que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os 
termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências. 
 
Observação 2 
Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas 
nem pela lei das recorrências, nem pela fórmula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como 
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167 
 
esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma 
fórmula geral para seus termos. 
 
Observação 3 
Em todo exercício de sequência em que n ∈ N*, o primeiro valor adotado é n = 1. No entanto de no 
enunciado estiver n > 3, temos que o primeiro valor adotado é n = 4. Lembrando que n é sempre um 
número natural. 
A Matemática estuda dois tipos especiais de sequências, uma delas a Progressão Aritmética. 
 
Sequência de Fibonacci 
 
O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica: 
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, 
a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim 
por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo 
da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento 
de modelos explicativos de fenômenos naturais. 
Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida 
como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um 
retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo 
retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a 
figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam 
a sequência de Fibonacci. 
 
 
 
Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, 
encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da 
sequência de Fibonacci. 
 
 
 
O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do 
edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma 
sempre foi considerada satisfatória do ponto devista estético por suas proporções sendo chamada 
retângulo áureo ou retângulo de ouro. 
 
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168 
 
 
 
Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: 
𝑦
𝑎
=
𝑎
𝑏
 (1). 
 
Como: b = y – a (2). 
Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. 
Resolvendo a equação: 
 
𝑦 =
𝑎(1±√5
2
 em que (
1−√5
2
< 0) não convém. 
 
Logo: 
𝑦
𝑎
=
(1+√5
2
= 1,61803398875 
 
Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por: 
 
𝜃 =
1 + √5
2
 
 
Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo 
como o caso da fachada do Partenon. 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) 
 
Definição 
É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado 
com uma constante que é chamada de razão (r). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an, .... 
 
Cálculo da razão 
A razão de uma Progressão Aritmética é dada pela diferença de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = .......... = an – an – 1 
 
Exemplos: 
- (5, 9, 13, 17, 21, 25, ......) é uma P.A. onde a1 = 5 e razão r = 4 
- (2, 9, 16, 23, 30, …) é uma P.A. onde a1 = 2 e razão r = 7 
- (23, 21, 19, 17, 15, …) é uma P.A. onde a1 = 23 e razão r = - 2. 
 
Classificação 
Uma P.A. é classificada de acordo com a razão. 
 
1- Se r > 0 ⇒ a P.A. é crescente. 
2- Se r < 0 ⇒ a P.A. é decrescente. 
3- Se r = 0 ⇒ a P.A. é constante. 
 
Fórmula do Termo Geral 
Em toda P.A., cada termo é o anterior somado com a razão, então temos: 
1° termo: a1 
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169 
 
2° termo: a2 = a1 + r 
3° termo: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r 
4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r 
5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r 
6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
n° termo é: 
 
 
Fórmula da soma dos n primeiros termos 
 
 
 
Propriedades 
1- Numa P.A. a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 
 
Exemplos 
01. (1, 3, 5, 7, 9, 11, ......) 
 
 
02. (2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, ......) 
 
 
Como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (20) que é chamado de termo médio e é igual a metade da soma dos extremos. Porém, 
só existe termos médios se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.A. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média aritmética dos 
anterior com o posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) 
a2 =
a3
a1
. 
Exemplo 
 
 
P.G. – PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
Definição 
É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo anterior 
multiplicado por uma constante que é chamada de razão (q). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an,... 
 
Cálculo da razão 
A razão de uma Progressão Geométrica é dada pelo quociente de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
=
𝑎3
𝑎2
=
𝑎4
𝑎3
= ⋯……… = 
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
 
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170 
 
Exemplos 
- (3, 6, 12, 24, 48, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2 
- (-36, -18, -9, 
−9
2
, 
−9
4
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 36 e razão q = 
1
2
 
- (15, 5, 
5
3
, 
5
9
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 
1
3
 
- (- 2, - 6, -18, - 54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 2 e razão q = 3 
- (1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = - 3 
- (5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1 
- (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0 
- (0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q indeterminada 
 
Classificação 
Uma P.G. é classificada de acordo com o primeiro termo e a razão. 
 
1- Crescente: quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando 
a1 < 0 e 0 < q < 1. 
2- Decrescente: quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou 
quando a1 < 0 e q > 1. 
3- Alternante: quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0. 
4- Constante: quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é 
também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionária. 
5- Singular: quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0. 
 
Fórmula do Termo Geral 
Em toda P.G. cada termo é o anterior multiplicado pela razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1.q 
3° termo: a3 = a2.q = a1.q.q = a1q2 
4° termo: a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 
5° termo: a5 = a4.q = a1.q3.q = a1.q4 
 . . . . . 
 . . . . . 
 . . . . . 
 
n° termo é: 
 
 
 
Soma dos n primeiros termos (Soma Finita) 
 
 
 
Soma dos infinitos termos (ou Limite da soma) 
Vamos ver um exemplo: 
Seja a P.G. (2, 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, …) de a1 = 2 e q = 
1
2
 se colocarmos na forma decimal, temos 
(2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; ….) se efetuarmos a somas destes termos: 
2 + 1 = 3 
3 + 0,5 = 3,5 
3,5 + 0,25 = 3,75 
3,75 + 0,125 = 3,875 
3,875 + 0,0625 = 3,9375 
3,9375 + 0,03125 = 3,96875 
. 
. 
. 
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171 
 
Como podemos observar o número somado vai ficando cada vez menor e a soma tende a um certo 
limite. Então temos a seguinte fórmula: 
 
 
 
Utilizando no exemplo acima: 𝑆 =
2
1−
1
2
=
2
1
2
= 4, logo dizemos que esta P.G. tem um limite que tenda a 
4. 
 
Produto da soma de n termos 
 
 
Temos as seguintes regras para o produto, já que esta fórmula está em módulo: 
1- O produto de n números positivos é sempre positivo. 
2- No produto de n números negativos: 
 a) se n é par: o produto é positivo. 
 b) se n é ímpar: o produto é negativo. 
 
Propriedades 
1- Numa P.G., com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto 
destes extremos. 
 
Exemplos 
01. (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ...) 
 
 
02. (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …) 
 
Como podemos observar, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um termo no meio 
(8) que é chamado de termo médio e é igual a raiz quadrada do produto dos extremos. Porém, só 
existe termo médio se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.G. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média geométrica do 
termo anterior com o termo posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) <==> a2 = √a3. a1. 
Exemplo 
 
 
Questões 
 
01. (Câm. Municipal de Eldorado do Sul/RS – Técnico Legislativo – FUNDATEC/2018) Para 
organizar a rotina de trabalho, um técnico legislativo protocola os processos diariamente, de acordo com 
as demandas. Supondo que o número de processos aumenta diariamente em progressão aritmética e 
que no primeiro dia foram protocolados cinco processos e 33 no décimo quinto dia, quantos processos 
serão protocolados no trigésimo dia? 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
172 
 
(A) 20. 
(B) 35. 
(C) 48. 
(D) 63. 
(E) 66. 
 
02. (FUB – Assistente em Administração – CESPE/2018) A tabela seguinte mostra as quantidades 
de livros de uma biblioteca que foram emprestados em cada um dos seis primeiros meses de 2017. 
 
 
A partir dessa tabela, julgue o próximo item. 
 
Situação hipotética: Os livros emprestados no referido semestre foram devolvidos somente a partir de 
julho de 2017 e os números correspondentesàs quantidades de livros devolvidos a cada mês formavam 
uma progressão aritmética em que o primeiro termo era 90 e razão, 30. Assertiva: Nessa situação, mais 
de 200 livros foram devolvidos somente a partir de 2018. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
03. (SEFAZ/RS – Assistente Administrativo Fazendário – CESPE/2018) Sobre uma mesa há 9 
caixas vazias. Em uma dessas caixas, será colocado um grão de feijão; depois, em outra caixa, serão 
colocados três grãos de feijão. Prosseguindo-se sucessivamente, será escolhida uma caixa vazia, e nela 
colocada uma quantidade de grãos de feijão igual ao triplo da quantidade colocada na caixa anteriormente 
escolhida, até que não reste caixa vazia. 
Nessa situação, nas 9 caixas será colocada uma quantidade de grãos de feijão igual a 
(A)
39−1
2
 
(B) 39 − 1 
(C) 
310−1
2
 
(D) 310 − 1 
(E) 
38−3
2
 
 
04. (Pref. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO) Descubra o 99º termo da P.A. (45, 48, 51, ...) 
(A) 339 
(B) 337 
(C) 333 
(D) 331 
 
05. (Câm. de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma sequência inicia-se com o número 
0,3. A partir do 2º termo, a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07. Dessa 
maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é 
(A) –6,7. 
(B) 0,23. 
(C) –3,1. 
(D) –0,03. 
(E) –0,23. 
 
06. (EBSERH/UFSM/RS – Analista Administrativo – AOCP) Observe a sequência: 
1; 2; 4; 8;... 
 
Qual é a soma do sexto termo com o oitavo termo? 
(A) 192 
(B) 184 
(C) 160 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
173 
 
(D) 128 
(E) 64 
Se observar teremos uma PG de razão q = 2 e a1 = 1, portanto vamos encontrar o valor do a6 e do 
a8, podemos fazer por fórmula e sem fórmula, pois os números são pequenos. 
Fórmula do termo geral 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛−1 
Assim: 
 𝑎6 = 1.2
6−1 = 25 = 32 
 𝑎8 = 1. 2
8−1 = 27 = 128 
Se fosse sem fórmula basta ir multiplicando por 2 a soma e encontrar o sexto e oitavo termo: 1, 2, 4, 
8, 16, 32, 64, 128 
A soma fica: 32 + 128 = 160. 
 
07. (Pref. Nepomuceno/MG – Técnico em Segurança do Trabalho – CONSULPLAN) O primeiro e 
o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são, respectivamente, 4 e 100. A soma do 
segundo e quarto termos dessa sequência é igual a 
(A) 210. 
(B) 250. 
(C) 360. 
(D) 480. 
(E) 520. 
 
08. (TRF/ 3ª Região – Analista Judiciário – FCC) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se fosse 
possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na terceira, 64 grãos na 
quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser colocado na 64ª 
casa desse tabuleiro seria igual a 
(A) 264. 
(B) 2126. 
(C) 266. 
(D) 2128. 
(E) 2256. 
 
09. (Polícia Militar/SP – Aluno Oficial – VUNESP) Planejando uma operação de policiamento 
ostensivo, um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P, conforme mostrado 
na figura. 
 
 
 
Sabe-se que as medidas dos raios r, r1 e r2 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Se r + r1 
+ r2 = 52 cm, e r . r2 = 144 cm, então r + r2 é igual, em centímetros, a 
(A) 36. 
(B) 38. 
(C) 39. 
(D) 40. 
(E) 42. 
 
10. (EBSERH/UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Observe a sequência numérica a seguir: 
11; 15; 19; 23;... 
Qual é o sétimo termo desta sequência? 
(A) 27. 
(B) 31. 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
174 
 
(C) 35. 
(D) 37. 
(E) 39 
 
11. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) O setor de almoxarifado do Metrô necessita 
numerar peças de 1 até 100 com adesivos. Cada adesivo utilizado no processo tem um único algarismo 
de 0 a 9. Por exemplo, para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três adesivos (um 
algarismo 1 e dois algarismos 0). Sendo assim, o total de algarismos 9 que serão usados no processo 
completo de numeração das peças é igual a 
(A) 20. 
(B) 10. 
(C) 19. 
(D) 18. 
(E) 9. 
 
12. (MPE/AM – Agente de Apoio – FCC) Considere a sequência numérica formada pelos números 
inteiros positivos que são divisíveis por 4, cujos oito primeiros elementos são dados a seguir. (4, 8, 12, 
16, 20, 24, 28, 32,...) 
O último algarismo do 234º elemento dessa sequência é 
(A) 0 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 6 
(E) 8 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Sabemos pelo enunciado que se trata de uma PA, ele quer descobrir quantos processos serão 
protocolados no trigésimo dia, então será nosso a30, pela fórmula do termo geral temos que: 
a30 = a1 + (30-1)r 
a30 = a1 + 29r 
Precisamos descobrir a razão, portanto vamos analisar os outros dados. 
a1 = 5 
a15 = 33 
Utilizando o termo geral neste passo. 
a15 = a1 + 14r 
33 = 5 + 14r 
33 – 5 = 14r 
28 = 14r 
r = 
28
14
 
r = 2, agora podemos encontrar o que ele quer no exercício. 
a30 = a1 + 29r 
a30 = 5 + 29.2 
a30 = 5 + 58 = 63 
 
02. Resposta: Certo 
Como serão devolvidos em forma de PA a partir de julho, teremos o seguinte, nem precisamos de 
fórmula para resolver esta questão (Caso queira pode encontrar eles através do termo geral da PA). 
Julho: 90 
Agosto: 90 + 30 = 120 
Setembro: 120 + 30 = 150 
Outubro: 150 + 30 = 180 
Novembro: 180 + 30 = 210 
Dezembro: 210 + 30 = 240 
Total devolvido até dezembro: 90 + 120 + 150 + 180 + 210 + 240 = 990 livros devolvidos (Pode utilizar 
a fórmula da soma dos termos da PA se quiser) 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
175 
 
Vamos encontrar o total de livros que foram emprestados 
50 + 150 + 250 + 250 + 300 + 200 = 1200 livros emprestados. 
Assim 1200 – 990 = 210 livros ainda faltam para ser entregues no ano de 2018 o que é mais que 200. 
 
03. Resposta: A 
Para resolver esta questão devemos descobrir que se trata de um PG pela dica deixada “feijão igual 
ao triplo da quantidade colocada na caixa anteriormente escolhida” quando multiplica a razão será PG, 
se fosse somada a razão seria uma PA. 
Enfim, temos 9 caixas vazias e essa PG será assim, 1, 3, 9, 27, 81, ... até chegar na nova caixa, então 
é finita essa PG, como ele que saber a quantidade de grãos colocadas no total de caixas, teremos a soma 
desta PG Finita. 
𝑆𝑛 = 𝑎1.
𝑞𝑛−1
𝑞−1
, onde n = 9, q = 3 e 𝑎1 = 1 
𝑆9 = 1.
39 − 1
3 − 1
= 
39 − 1
2
 
 
04. Resposta: A 
O próprio enunciado já diz que é uma PA, então vamos utilizar a fórmula do termo geral da PA, mas 
primeiro vamos descobrir a razão. 
r = 48 – 45 = 3 
𝑎1 = 45 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339 
 
05. Resposta: D 
Como temos uma subtração será uma PA decrescente, 𝑎1 = 0,3; 𝑟 = −0,07 
Termo Geral da PA:𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
Vamos calcular o valor do a4 e do a7 e depois soma-los. 
𝑎4 = 0,3 + 3. (−0,07) 
𝑎4 = 0,3 − 0,21 = 0,09 
𝑎7 = 0,3 + 6. (−0,07) 
𝑎7 = 0,3 − 0,42 = −0,12 
 
𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0,09 + (−0,12) = 0,09 − 0,12 = −0,03 
 
06. Resposta: C 
Se observar teremos uma PG de razão q = 2 e a1 = 1, portanto vamos encontrar o valor do a6 e do 
a8, podemos fazer por fórmula e sem fórmula, pois os números são pequenos. 
Fórmula do termo geral 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛−1 
Assim: 
𝑎6 = 1.2
6−1 = 25 = 32 
𝑎8 = 1. 2
8−1 = 27 = 128 
Se fosse sem fórmula basta ir multiplicando por 2 a soma e encontrar o sexto e oitavo termo: 1, 2, 4, 
8, 16, 32, 64, 128 
A soma fica: 32 + 128 = 160. 
 
07. Resposta: E 
Vamos utilizar o primeiro e terceiro temos para descobrir a razão desta PG. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞
2 
100 = 4 ∙ 𝑞2 
𝑞2 = 25 
𝑞 = 5 
Agora vamos calcular o valor do segundo e do quarto termos e depois soma-los. 
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞
1 = 4 ∙ 5 = 20 
𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞
3 = 4 ∙ 53 = 4.125 = 500 
𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
176 
 
08. Resposta: B 
Pelos valores apresentados, éuma PG de razão 4 
a64 = ? 
a1 = 1 
q = 4 
n = 64 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
𝑎𝑛 = 1 ∙ 4
63 = (22)63 = 2126 
 
09. Resposta: D 
Se estão em Progressão Geométrica, então: 
𝑟1
𝑟
= 
𝑟2
𝑟1
 , ou seja, 𝑟1 . 𝑟1 = 𝑟 . 𝑟2. 
Assim: 𝑟1
2 = 144 
𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚 
Sabemos que r + r1 + r2 = 52. Assim: 
𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52 
𝑟 + 𝑟2 = 52 − 12 
𝑟 + 𝑟2 = 40 
 
10. Resposta: C 
Trata-se de uma Progressão Aritmética, cuja fórmula do termo geral é 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 
 𝑛 = 7; 𝑎1 = 11; 𝑟 = 15 − 11 = 4 
Assim, 𝑎7 = 11 + (7 − 1). 4 = 11 + 6.4 = 11 + 24 = 35 
 
11. Resposta: A 
Vamos resolver este exercício sem fórmula, utilizando apenas o raciocínio lógico, mas também é 
possível resolver com fórmula. 
Número que tem 9 de 1 até 100 são: 
09, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98 e 99, assim em 20 vezes aparece 
o algarismo 9. 
Por fórmula ficará assim: 
Pois começa no 9 e vai de 10 em 10 até chegar no 99. 
99 = 9 + (𝑛 − 1)10 
10𝑛 − 10 + 9 = 99 
𝑛 = 10 
Vamos tirar o 99 para ser contado a parte: 10-1=9 
Agora vamos encontrar do 90 até 99. 
99 = 90 + (𝑛 − 1). 1 
𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10 
São 19 números que possuem o algarismo 9, mas o 99 possui 2 
19+1=20 
 
12. Resposta: D 
Sabemos que a razão é 4 e que pela sequência teremos uma PA, assim: 
r = 4 
𝑎1 = 4 
E como ele que saber o último algarismo do 234° termo, devemos encontrar o 𝑎234 
Pela fórmula do termo geral: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎234 = 4 + 233 ∙ 4 = 936 
Portanto, o último algarismo é 6. 
 
 
 
 
 
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177 
 
 
 
OBS.: Caro(a) candidato(a), conforme foi explicado acima, iremos abordar neste tópico os 
sistemas lineares. 
 
MATRIZES 
 
Em jornais, revistas e na internet vemos frequentemente informações numéricas organizadas em 
tabelas, colunas e linhas. Exemplos: 
 
 
 
Em matemática essas tabelas são exemplos de matrizes15. O crescente uso dos computadores tem 
feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, 
Matemática, Física, dentre outras. 
 
Definição 
Seja m e n números naturais não nulos. Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela de m.n números reais 
dispostos em m linhas e n colunas. 
Exemplo: 
 
 
Um elemento qualquer dessa matriz será representado pelo símbolo: aij, no qual o índice i refere-se à 
linha, o índice j refere-se à coluna em que se encontram tais elementos. As linhas são enumeradas de 
cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita. 
 
 
 
15IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacoes-envolvendo-matrizes.html 
Matrizes. Determinantes 
 
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178 
 
Exemplo 
 
 
Representamos uma matriz colocando seus elementos (números) entre parêntese ou colchetes ou 
também (menos utilizado) duas barras verticais à esquerda e direita. 
 
Exemplos 
𝐴 = (5 −1
1
2
) é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 1 𝑥 3 
 
𝐵 = [
7 −2
3 4
] é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 𝑥 2 
 
𝐶 = ‖
√5 1/3 1
7 2 −5
−4 1/5 2
‖ é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 3 𝑥 3 
 
𝐷 = [
−1 5 8
−1 2 −3
] é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 𝑥 3 
 
Exemplo 
Escrever a matriz A = (aij)2 x 3, em que aij = i – j 
A matriz é do tipo 2 x 3 (duas linhas e três colunas), podemos representa-la por: 
 
 
Matrizes Especiais 
Algumas matrizes recebem nomes especiais. Vejamos: 
 
- Matriz Linha: é uma matriz formada por uma única linha. 
 
Exemplo 
𝐴 = [1 7 −5] ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 1𝑥3 
 
- Matriz coluna: é uma matriz formada por uma única coluna. 
 
Exemplo 
𝐵 = [
1
−5
7
] ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 3𝑥1 
 
 
 
 
 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
179 
 
- Matriz nula: é matriz que possui todos os elementos iguais a zero. 
 
Exemplo 
𝐶 = (
0 0
0 0
0 0
) ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎 3𝑥2 
 
- Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Podemos, 
neste caso, chamar de matriz quadrada de ordem n. 
 
Exemplo 
𝐷 = (
3 2
−4 1
) ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2𝑥2 𝑜𝑢 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 2. 
 
 
A diagonal principal de D é formada pelos elementos cujo índice é igual ao índice da coluna (a11 e a22). 
A outra diagonal recebe o nome de diagonal secundária de D. 
 
 
 
- Matriz identidade: é a matriz quadrada em que cada elemento da diagonal principal é igual a 1, e os 
demais têm o valor 0. Representamos a matriz identidade pela seguinte notação: In. 
 
Exemplos 
 
 
Também podemos definir uma matriz identidade da seguinte forma: 
 
𝐼𝑛 = [𝑎𝑖𝑗]𝑛 𝑥 𝑛, 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
𝑎𝑖𝑗 = 1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 
 
- Matriz transposta: é a matriz onde as linhas são ordenadamente iguais a colunas desta mesma 
matriz e vice e versa. Ou seja: 
Dada uma matriz A de ordem m x n, chama-se matriz transposta de A, indicada por At, a matriz cuja a 
ordem é n x m, sendo as suas linhas ordenadamente iguais às colunas da matriz A. 
 
Exemplo 
𝐴 = [
2 −1
7 10
] , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴𝑡 = [
2 7
− 10
] 
 
Observe que: 
- a 1ª linha da matriz A é igual à 1ª coluna da matriz At. 
- a 2ª linha da matriz A é igual a 2ª coluna da matriz At. 
 
 
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180 
 
Generalizando, temos: 
 
 
 - Matriz oposta: é a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos os seus elementos. 
Representamos por - A tal que A + (- A) = O, em que O é a matriz nula do tipo m x n. 
 
Exemplo 
 
 
- Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujo At = A; ou ainda aij = aji 
 
Exemplo 
 
 
 
 
- Matriz antissimétrica: é uma matriz quadrada cujo At = - A; ou ainda aij = - aij. 
 
Exemplo 
 
 
 
Classificação de Acordo com os Elementos da Matriz 
- Real: se todos os seus elementos são reais. 
 
Exemplo 
𝐴 = [
1 −5
3 2
] 
 
- Imaginária: se pelo menos um dos seus elementos é complexo. 
 
Exemplo 
𝐵 = [
1 −5
3 𝑖
] 
 
- Triangular superior: é uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são 
nulos. 
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181 
 
Exemplo 
 
- Triangular inferior: é uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são 
nulos. 
 
Exemplo 
 
 
Igualdade de Matrizes 
Dizemos que duas matrizes A e B, de mesma ordem, são iguais (A = B) se, e somente se, os seus 
elementos de mesma posição forem iguais, ou seja: 
A = [aij] m x n e B = [bij] p x q 
 
Sendo A = B, temos: 
m = p e n = q 
 
 
Operações com Matrizes 
- Adição: a soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é matriz também de mesma ordem, obtida 
com a adição dos elementos de mesma posição das matrizes A e B. 
 
 
Exemplo 
 
 
Propriedades: considerando as matrizes de mesma ordem, algumas propriedades são válidas: 
Comutativa: A + B = B + A 
Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
Elemento simétrico: A + (-A) = 0 
Elemento neutro: A + 0 = A 
 
 
 
 
 
 
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182 
 
- Subtração: a diferença entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é a matriz obtida pela adição 
da matriz A com a oposta da matriz B, ou seja: 
 
 
Exemplo 
 
 
- Multiplicação de um número real por uma matriz: o produto de um número real k por uma matriz 
A, é dado pela multiplicação de cada elemento da matriz A por esse número real k. 
 
 
Exemplo 
 
 
- Multiplicação de matrizes: para multiplicarmos duas matrizes A e B só é possível mediante a uma 
condição e uma técnicamais elaborada. Vejamos: 
 
Condição: o número de COLUNAS da A (primeira) têm que ser igual ao número de LINHAS de B 
(segunda). 
 
 
 
Logo a ordem da matriz resultante é a LINHA de A e a COLUNA DE B. 
 
Técnica: Multiplicamos o 1º elemento da LINHA 1 de A pelo 1º elemento da primeira COLUNA de B, 
depois o 2º elemento da LINHA 1 de A pelo 2º elemento da primeira COLUNA de B e somamos esse 
produto. Fazemos isso sucessivamente, até termos efetuado a multiplicação de todos os termos. 
Exemplo 
 
 
A matriz C é o resultado da multiplicação de A por B. 
 
Propriedades da multiplicação: admite-se as seguintes propriedades 
Associativa: (A.B). C = A.(B.C) 
Distributiva: (A + B). C = A. C + B. C e C. (A + B) = C. A + C. B 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
183 
 
Observação: a propriedade comutativa NÂO é válida na multiplicação de matrizes, pois geralmente 
A.B ≠ B.A 
 
Matriz Inversa 
Dizemos que uma matriz é inversa A–1 (toda matriz quadrada de ordem n), se e somente se, A.A-1 = In 
e A-1.A = In ou seja: 
𝑨. 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏. 𝑨 = 𝑰𝒏 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
𝐴 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑎𝑑𝑎. 
𝐴−1 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴. 
𝐼𝑛 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝐴.
 
 
Exemplos 
1) A matriz 𝐵 = [
8 −2
3 −1
] é inversa da matriz 𝐴 = [
1
2
−1
3
2
−4
] , pois: 
 
2) Vamos verificar se a matriz 𝐴 = (
2 5
1 3
) 𝑒 𝐵 = (
1 2
1 1
) , são inversas entre si: 
 
Portanto elas, não são inversas entre si. 
 
3) Dada a matriz 𝐴 = [
2 1
3 2
], determine a inversa, A-¹. 
Vamos então montar a matriz 𝐴−1 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐴. 𝐴−1 = 𝐼𝑛 
 
[
2 1
3 2
] . [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = [
1 0
0 1
] → [
2𝑎 + 𝑐 2𝑏 + 𝑑
3𝑎 + 2𝑐 3𝑏 + 2𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
 
Fazendo as igualdades temos: 
{
2𝑎 + 𝑐 = 1
3𝑎 + 2𝑐 = 0
 {
2𝑏 + 𝑑 = 0
3𝑏 + 2𝑑 = 1
 
 
Resolvendo os sistemas temos: a = 2; b = -1; c = -3 e d = 2 
Então a matriz inversa da matriz A é: 
𝐴−1 = [
2 −1
−3 2
] 
 
Equação Matricial 
 
No caso das equações com matrizes (equações matriciais), elas são equações cujas incógnitas são 
matrizes. 
Vejamos um exemplo: 
Encontre a matriz X da equação 2.A+B=X, sabendo que: 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
184 
 
Neste exemplo, a incógnita já estava isolada. 
Vejamos um exemplo em que a incógnita não está isolada na equação. Nestes casos devemos tomar 
cuidado ao operarmos as matrizes de um lado para o outro da igualdade. 
Exemplo: 
Resolva a equação a seguir: X+B=2A, utilizando as mesmas matrizes do exemplo anterior. 
Antes de substituirmos as matrizes, façamos o isolamento da incógnita, lembrando sempre das 
propriedades das operações das matrizes. 
 
Note que não passamos a matriz B para o outro lado da igualdade; na verdade operamos a matriz 
oposta de B (matriz -B) dos dois lados. 
Devemos tomar esse cuidado, pois quando nos depararmos com produto de matrizes, não poderemos 
passar a matriz para o outro lado dividindo; deveremos operar a matriz inversa dos dois lados. 
O diferencial das equações que conhecíamos para as equações com matrizes está nesse maior 
cuidado ao isolarmos a incógnita. 
Voltando à resolução da equação, temos que substituir os valores das matrizes A e B na equação. 
Sendo assim: 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. do Rio de Janeiro/RJ - Professor - Pref. do Rio de Janeiro) Considere as matrizes A 
e B, a seguir. 
 
O elemento que ocupa a terceira linha e a segunda coluna da matriz produto BA vale: 
(A) 9 
(B) 0 
(C) – 9 
(D) – 11 
 
02. (BRDE – Analista de Sistemas – FUNDATEC) Considere as seguintes matrizes: 𝐴 =
[
2 3
4 6
] , 𝐵 = [
2 3
4 5
6 6
] 𝑒 𝐶 = [
2 1 0
4 6 7
], a solução de C x B + A é: 
(A) Não tem solução, pois as matrizes são de ordem diferentes. 
 
(B) [
10 14
78 90
] 
 
(C) [
2 3
4 5
] 
 
(D) [
6 6
20 36
] 
 
(E) [
8 11
74 84
] 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
185 
 
03. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) A matriz abaixo registra as ocorrências policiais em uma 
das regiões da cidade durante uma semana. 
 
 
Sendo M=(aij)3x7 com cada elemento aij representando o número de ocorrência no turno i do dia j da 
semana. 
O número total de ocorrências no 2º turno do 2º dia, somando como 3º turno do 6º dia e com o 1º turno 
do 7º dia será: 
(A) 61 
(B) 59 
(C) 58 
(D) 60 
(E) 62 
 
04. (CPTM – ANALISTA DE COMUNICAÇÃO JÚNIOR – MAKIYAMA) Para que a soma de uma 
matriz 𝐴 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] e sua respectiva matriz transposta At em uma matriz identidade, são condições a serem 
cumpridas: 
(A) a=0 e d=0 
(B) c=1 e b=1 
(C) a=1/c e b=1/d 
(D) a²-b²=1 e c²-d²=1 
(E) b=-c e a=d=1/2 
 
05. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA) Assinale a alternativa que apresente o resultado da 
multiplicação das matrizes A e B abaixo: 
 
𝐴 = (
2 1
3 −1
) ∙ 𝐵 = (
0 4 −2
1 −3 5
) 
 
(A) (
−1 −5 1
1 15 11
) 
 
(B) (
1 5 1
−1 15 − 11
) 
 
(C) (
1 5 − 1
1 −15 11
) 
 
(D) (
1 5 1
1 15 11
) 
 
(E) (
−1 5 − 1
1 15 − 11
) 
 
06. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Considere a seguinte sentença envolvendo matrizes: 
 
(
6 𝑦
7 2
) + (
1 −3
8 5
) = (
7 7
15 7
) 
 
Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o valor de y que torna a sentença verdadeira. 
(A) 4. 
(B) 6. 
(C) 8. 
(D) 10. 
 
 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
186 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Como as matrizes são quadradas de mesma ordem, podemos então multiplica-las: 
𝐵. 𝐴 = [
5 −2 0
−1 2 4
−3 −2 1
] . [
1 2 −2
−1 3 0
2 1 3
] → 
 
[
5.1 + (−2). (−1) + 0.2 5.2 + (−2). 3 + 0.1 5. (−2) + (−2). 0 + 0.3
−1.1 + 2. (−1) + 4.2 −1.2 + 2.3 + 4.1 −1. (−2) + 2.0 + 4.3
−3.1 + (−2). (−1) + 1.2 −3.2 + (−2). 3 + 1.1 −3. (−2) + (−2). 0 + 1.3
] = [
7 4 −10
5 8 14
1 −11 9
] 
 
Logo o elemento que ocupa a terceira linha e a segunda coluna é o -11. 
 
02. Resposta: B 
Vamos ver se é possível multiplicar as matrizes. 
C(2x3) e B(3x2), como o número de colunas de C é igual ao número de colunas de B, logo é possível 
multiplicar, o resultado será uma matriz 2x2(linha de C e coluna de B): 
𝐶 𝑥𝐵 = [
2 1 0
4 6 7
] . [
2 3
4 5
6 6
] → [
2.2 + 1.4 + 0.6 2.3 + 1.5 + 0.6
4.2 + 6.4 + 7.6 4.3 + 6.5 + 7.6
] = [
8 11
74 84
] 
 
Agora vamos somar a matriz A(2x2) a matriz resultante da multiplicação que também tem a mesma 
ordem: 
[
8 11
74 84
] + 𝐴 = [
8 11
74 84
] + [
2 3
4 6
] → [
8 + 2 11 + 3
74 + 4 84 + 6
] = [
10 14
78 90
] 
 
03. Resposta: E 
Turno i –linha da matriz 
Turno j- coluna da matriz 
2º turno do 2º dia – a22=18 
3º turno do 6º dia-a36=25 
1º turno do 7º dia-a17=19 
Somando:18+25+19=62 
 
04. Resposta: E 
𝐴 + 𝐴𝑡 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] + [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] = [
2𝑎 𝑏 + 𝑐
𝑏 + 𝑐 2𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
2a =1 → a =1/2 → b + c = 0 → b = -c 
2d=1 
D=1/2 
 
05. Resposta: B 
 
𝐴 ∙ 𝐵 = (
2 ∙ 0 + 1 ∙ 1 2 ∙ 4 + 1 ∙ (−3 ) 2 ∙ (−2) + 1 ∙ 5
3 ∙ 0 + (−1) ∙ 1 3 ∙ 4 + (−1) ∙ (−3) 3 ∙ (−2) + (−1) ∙ 5
) 
 
 𝐴 ∙ 𝐵 = (
1 5 1
−1 15 − 11
 ) 
 
06. Resposta: D 
(
6 + 1 = 7 𝑦 − 3 = 7
7 + 8 = 15 2 + 5 = 7
) 
y=10 
 
DETERMINANTES 
 
Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por matemáticos dos séculos XVII e XVIII, como 
Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “Sistema 
linear”. 
1592098 E-book gerado especialmente paraKARLA SILVA
 
187 
 
Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que denominamos 
determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras 
verticais, como no exemplo abaixo: 
 
 
 
Determinante de uma Matriz de Ordem 1 
 
Seja a matriz quadrada de ordem 1: A = [a11] 
Chamamos determinante dessa matriz o número: 
det A = [ a11] = a11 
 
Exemplos 
- A = [-2] → det A = - 2 
- B = [5] → det B = 5 
- C = [0] → det C = 0 
 
Determinante de uma Matriz de ordem 2 
 
Seja a matriz quadrada de ordem 2: 
 
Chamamos de determinante dessa matriz o número: 
 
Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a diferença entre o 
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
Esquematicamente: 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
188 
 
Determinante de uma Matriz de Ordem 3 
 
Seja a matriz quadrada de ordem 3: 
 Chamamos de determinante dessa matriz: 
 
 
Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3, usamos a regra prática denominada 
Regra de Sarrus: 
 
- Repetimos a 1ª e a 2ª colunas à direita da matriz. 
 
 
 
- Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado dos 
produtos, temos: 
 
 
 
Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1ª e 2ª linhas, ao invés de 
repetirmos a 1ª e 2ª colunas. 
 
Propriedades 
Apresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a simplificar o cálculo dos determinantes: 
 
- Propriedade 1: O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At. 
 
Exemplo 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
189 
 
- Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos entre si 
a posição de duas filas paralelas, então temos: 
detB = - detA 
 
Exemplo 
 
B foi obtida trocando-se a 1ª pela 2ª linha de A. 
detA = ad - bc 
detB = bc - ad = - (ad - bc) = - detA 
 
Assim, 
detB = - detA 
 
Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui duas filas paralelas “iguais” tem 
determinante igual a zero. 
 
Justificativa: A matriz que obtemos de A, quando trocamos entre si as duas filas (linha ou coluna 
“iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a propriedade 2, escrevemos que detA = -detA. 
 
Assim: detA = 0 
 
- Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando multiplicamos 
uma de suas filas (linha ou coluna) por uma constante k, então detB = k.detA 
 
Consequência da Propriedade 3: Ao calcularmos um determinante, podemos “colocar em evidência” 
um “fator comum” de uma fila (linha ou coluna). 
 
Exemplo 
 
 
 
- Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz k. A é obtida multiplicando todos os elementos 
de A por k, então: 
 
det(k.A) = kn.detA 
 
Exemplo 
 
Assim: 
det(k.A) = k3.detA 
 
- Propriedade 4: Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos 
correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que os elementos de C são 
iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B, então temos: 
 
detC = detA + detB 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
190 
 
Exemplos: 
 
 
- Propriedades 5 (Teorema de Jacobi): O determinante não se altera, quando adicionamos uma fila 
qualquer com outra fila paralela multiplicada por um número. 
 
Exemplo: 
Considere o determinante detA= 
 
 Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos: 
 
 
 
Exemplo: 
Vamos calcular o determinante D abaixo. 
 
D = 8 + 0 + 0 – 60 – 0 – 0 = -52 
 
Em seguida, vamos multiplicar a 1ª coluna por 2, somar com a 3ª coluna e calcular: 
 
D1 = 48 + 0 + 0 – 100 – 0 – 0 = -52 
 
Observe que D1 = D, de acordo com a propriedade. 
 
Consequência da propriedade 5: Quando uma fila de um determinante é igual à soma de múltiplos 
de filas paralelas (combinação linear de filas paralelas), o determinante é igual a zero. 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
191 
 
Exemplo: 
Seja D= 
0514
1223
821
−
 
 
Observe que cada elemento da 3ª coluna é igual à 1ª coluna multiplicada por 2 somada com a 2ª 
coluna multiplicada por 3. 
 
8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 
12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6 
5 = 2(4) + 3(-1) = 8 - 3 
Portanto, pela consequência da propriedade 5, D = 0 
Use a regra de Sarrus e verifique. 
 
- Propriedade 6 (Teorema de Binet): Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então: 
det(A.B) = detA . detB 
 
Exemplo: 
 
Logo, det(AB) = detA. detB 
 
Consequência da propriedade 6: Sendo A uma matriz quadrada e n

N*, temos: 
det(Na) = (detA)n 
 
Sendo A uma matriz inversível, temos: 
detA-1=
Adet
1
 
 
Justificativa: Seja A matriz inversível. 
A-1 . A = I 
det(A-1. A) = det I 
detA-1 . detA = det I 
detA-1 = 
Adet
1
 
 
Uma vez que det I = 1, onde i é a matriz identidade. 
 
Determinantes – Teorema de Laplace 
 
- Menor complementar e Cofator: Dada uma matriz quadrada A = (aij)nxn (n 2), chamamos menor 
complementar do elemento aij e indicamos por Mij o determinante da matriz quadrada de ordem n-1, que 
se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A. 
 
Exemplo: 
Sendo A=










212
014
321
, temos: 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
192 
 
M11=
21
01 =2 
M12=
22
04 =8 
M13=
12
14 =2 
 
Chamamos cofator do elemento aij e indicamos com Aij o número (-1)i+j.Mij, em que Mij é o menor 
complementar de aij. 
 
Exemplo: 
 
Dada uma matriz A=(aij)nxm, com n 2, chamamos matriz cofator de A, a matriz cujos elementos são os 
cofatores dos elementos de A e indicamos a matriz cofator por cof A. A transposta da matriz cofator de A 
é chamada de matriz adjunta de A, que indicamos por adj A. 
 
Exemplo: 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
193 
 
 
 
Determinante de uma Matriz de Ordem n 
Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. 
 
Então: 
 
- Para n = 1 
A=[a11] 

det A=a11 
 
- Para n 
 2: 
 
 
ou seja: 
detA = a11.A11+a12.A12+…+a1n.A1n 
 
Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n 2 é a soma dos produtos dos elementos 
da primeira linha da matriz pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplos: 
Sendo A=






2221
1211
aa
aa , temos: 
detA = a11.A11 + a12.A12, onde: 
A11 = (-1)1+1.|a22| = a22 
A12 = (-1)1+2.|a21| = a21 
 
Assim: 
detA = a11.a22 + a12.(-a21) 
 
detA = a11.a22 - a21.a12 
 
 
 
 
 

1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
194 
 
Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição vista anteriormente. 
- Sendo 
 
 
 
Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha, mais o cálculo é facilitado. 
 
- Teorema de Laplace 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n 2, seu determinante é a soma dos produtos dos elementos 
de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplo: 
 
 
Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace, pois, neste caso, teremos que 
calcular apenas um cofator. 
 
 
 
Observações Importantes: No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n, recaímos em 
determinantes de matrizes de ordem n-1, e no cálculo destes, recaímos em determinantes de ordem n-2, 
e assim sucessivamente, até recairmos em determinantes de matrizes de ordem 3, quecalculamos com 
a regra de Sarrus, por exemplo. 
- O cálculo de um determinante fica mais simples, quando escolhemos uma fila com a maior quantidade 
de zeros. 
- A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante 
pelo teorema de Laplace. 
 
 

1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
195 
 
Exemplo: 
 
A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos dois casos, se aplicarmos o teorema de 
Laplace, calcularemos ainda três cofatores. 
Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero” em A31 = -2 e A41 = 3 multiplicando a 1ª linha por 2 e somando 
com a 3ª e multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha; fazendo isso, teremos: 
 
 
Agora, aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna: 
 
 
Aplicamos a regra de Sarrus, 
 
 
det A = (0 – 16 – 21) - ( - 14 + 12 + 0) 
detA = 0 – 16 – 21 + 14 – 12 – 0 = -49 + 14 
detA = -35 
 
- Aplicação do Teorema de Laplace 
 
Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; 
podemos verificar isso desenvolvendo o determinante de A através da: 
- 1ª coluna, se ela for triangular superior; 
- através da 1ª linha, se ela for triangular superior; 
- através da 1ª linha, se ela for triangular inferior. 
Assim: 
 
1ª. A é triangular superior 
 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
196 
 
2ª. A é triangular inferior 
 
 
 
- Determinante de Vandermonde e Regra de Chió 
Uma determinante de ordem n 2 é chamada determinante de Vandermonde ou determinante das 
potências se, e somente se, na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1; na 2ª, números 
quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus cubos e assim sucessivamente. 
 
Exemplos: 
Determinante de Vandermonde de ordem 3 
 
 
Determinante de Vandermonde de ordem 4 
 
 
Os elementos da 2ª linha são denominados elementos característicos. 
 
- Propriedade 
 
Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo-
se de cada um dos elementos característicos os elementos precedentes, independente da ordem do 
determinante. 
 
 
 
 
 
 
 

1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
197 
 
Exemplo: 
Calcule o determinante; 
 
 
Sabemos que detA = detAt, então: 
 
 
Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então: 
detA = (4 – 2).(7 – 2).(7 – 4)=2 . 5 . 3 = 30 
 
Questões 
 
01. (COBRA Tecnologia S-A (BB) - Analista Administrativo - ESPP) O valor de b para que o 
determinante da matriz [
𝑥
𝑏
2
2 𝑦
] seja igual a 8, em que x e y são as coordenadas da solução do sistema 
{
𝑥 + 2𝑦 = 7
2𝑥 + 𝑦 = 8
, é igual a: 
 
(A) 2. 
(B) –2. 
(C) 4. 
(D) –1. 
 
02. (PM/SP – Sargento Cfs – CETRO) É correto afirmar que o determinante |
1 𝑥
−2 4
|é igual a zero 
para x igual a 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) -2. 
(D) -1. 
 
03. (CGU – Administrativa – ESAF) Calcule o determinante da matriz: 
(
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos𝑥
) 
 
(A) 1 
(B) 0 
(C) cos 2x 
(D) sen 2x 
(E) sen x/2 
 
04. (Pref. Araraquara/SP – Agente da Administração dos Serviços de Saneamento – CETRO) 
Dada a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥3, onde 𝑎𝑖𝑗 = {
2, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
−1, 𝑠𝑒 𝑖 ≤ 𝑗
, assinale a alternativa que apresenta o valor do 
determinante de A é 
(A) -9. 
(B) -8. 
(C) 0. 
(D) 4. 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
198 
 
05. (Cobra Tecnologia – Técnico De Operações – Documentos/Qualidade - ESPP) O valor de b 
para que o determinante da matriz [
𝑥
𝑏
2
2 𝑦
] seja igual a 8, em que x e y são as coordenadas da solução do 
sistema {
𝑥 + 2𝑦 = 7
2𝑥 + 𝑦 = 8
 é igual a: 
(A) 2. 
(B) -2. 
(C) 4. 
(C) -1. 
 
06. (SEAP/PR – Professor de Matemática – PUC/PR) As planilhas eletrônicas facilitaram vários 
procedimentos em muitas áreas, sejam acadêmicas ou profissionais. Na matemática, para obter o 
determinante de uma matriz quadrada, com um simples comando, uma planilha fornece rapidamente esse 
valor. Em uma planilha eletrônica, temos os valores armazenados em suas células: 
 
 
Para obter o determinante de uma matriz utiliza-se o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:D4)” e essa 
planilha fornece o valor do determinante: 
 
Se em uma outra planilha forem armazenados os valores representados a seguir, 
 
 
ao acionar o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:C3)” o valor do determinante é: 
(A) 1512 
(B) 7 
(C) 4104 
(D) 2376 
(E) 8424 
 
07. (TRANSPETRO – Engenheiro Júnior – CESGRANRIO) Um sistema dinâmico, utilizado para 
controle de uma rede automatizada, forneceu dados processados ao longo do tempo e que permitiram a 
construção do quadro abaixo. 
 
1 3 2 0 
3 1 0 2 
2 3 0 1 
0 2 1 3 
 
A partir dos dados assinalados, mantendo-se a mesma disposição, construiu-se uma matriz M. O valor 
do determinante associado à matriz M é 
(A) 42 
(B) 44 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
199 
 
(C) 46 
(D) 48 
(E) 50 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B 
 
{
𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2)
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
{
−2𝑥 − 4𝑦 = −14
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
- 3y = - 6 
y = 2 
x = 7 - 2y 
x = 7 – 4 = 3 
 
|3
𝑏
2
2 2
| = 8 
6 – b = 8 
B = - 2 
 
02. Resposta: C 
D = 4 - (-2x) 
0 = 4 + 2x 
x = - 2 
 
03. Resposta: C 
det = cos²x - sen²x 
det = cos(2x) 
 
04. Resposta: A 
 𝐴 = (
−1 −1
2 −1
 
−1
−1
 
2 2 −1
) 
 
 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = |
−1 −1
2 −1
 
−1
−1
2 2 −1
| 
 
detA = - 1 – 4 + 2 - (2 + 2 + 2) = - 9 
 
05. Resposta: B 
 {
𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2)
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
 {
−2𝑥 − 4𝑦 = −14
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
Somando as equações: 
- 3y = - 6 
y = 2 
x = 7 – 4 = 3 
 
 𝐷𝑒𝑡 = |3
𝑏
2
2 2
| 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
200 
 
6 – b = 8 
b = - 2 
 
06. Resposta: A 
 
A.B=I 
 
(
1 0 1
2 1 0
0 1 1 
) ∙ (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖 
) = (
1 0 0
0 1 0
 0 0 1 
) 
 
(
𝑎 + 𝑔 𝑏 + ℎ 𝑐 + 𝑖
2𝑎 + 2𝑑 2𝑏 + 𝑒 2𝑐 + 𝑓
𝑑 + 𝑔 𝑒 + ℎ 𝑓 + 𝑖 
) = (
1 0 0
0 1 0
 0 0 1 
) 
 
Como queremos saber o elemento da segunda linha e terceira coluna(f): 
 
{
𝑐 + 𝑖 = 0
2𝑐 + 𝑓 = 0
𝑓 + 𝑖 = 1
 
 
Da primeira equação temos: 
c=-i 
substituindo na terceira: 
f-c=1 
 
{
2𝑐 + 𝑓 = 0(𝑥 − 1)
𝑓 − 𝑐 = 1
 
 
{
−2𝑐 − 𝑓 = 0
𝑓 − 𝑐 = 1
 
 
Somando as equações: 
-3c=1 
C=-1/3 
f=2/3 
 
07. Resposta: D 
 𝑀 = (
1 3 2
3 1 0
2 3 0
 
0
2
1
0 2 1 3
) 
 
 
 
Como é uma matriz 4x4 vamos achar o determinante através do teorema de Laplace. Para isso 
precisamos, calcular os cofatores. Dica: pela fileira que possua mais zero. O cofator é dado pela fórmula: 
𝐶𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗 ∙ 𝐷. Para o determinante é usado os números que sobraram tirando a linha e a coluna. 
 𝐶13 = (−1)
4 ∙ |
3 1 2
2 3 1
0 2 3 
| 
 
 𝐶13 = 27 + 8 − 6 − 6 = 23 
A13=2.23=46 
 
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201 
 
 𝐶43 = (−1)
7 |
1 3 0
3 1 2
 2 3 1 
| 
 
 𝐶43 = −(1 + 12 − 6 − 9) = 2 
A43=1.2=2 
D = 46 + 2 = 48 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
Um Sistema de Equações Lineares é um conjunto ou uma coleção de equações com as quais é 
possível resolver tudo de uma só vez. Sistemas Lineares são úteis para todos os campos da matemática 
aplicada, em particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas 
áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na economia,por exemplo, é muito comum 
a modelagem de situações por meio de sistemas lineares. 
 
Definição 
Toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3+...anxn = b, onde a1, a2, a3,.., an e b são números reais e x1, x2, 
x3,.., xn são as incógnitas. 
Os números reais a1, a2, a3..., an são chamados de coeficientes e b é o termo independente. 
 
Observamos também que todos os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1. 
 
Solução de uma equação linear 
Na equação 4x – y = 2, o par ordenado (3,10) é uma solução, pois ao substituirmos esses valores na 
equação obtemos uma igualdade. 
4 . 3 – 10 → 12 – 10 = 2 
 
Já o par (3,0) não é a solução, pois 4.3 – 0 = 2 → 12 ≠ 2 
 
Sistema Linear 
Um conjunto de m equações lineares na variáveis x1,x2, ..., xn é dito sistema linear de m equações e n 
variáveis. 
 
Dessa forma temos: 
𝑎) {
2𝑥 − 3𝑦 = 5
𝑥 + 𝑦 = 4
 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 2 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
𝑏) {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
−3𝑥 + 4𝑦 = 1
 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 3 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
𝑐){𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 0 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒 4 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
Matrizes associadas a um sistema 
Podemos associar a um sistema linear 2 matrizes (completas e incompletas) cujos elementos são os 
coeficientes das equações que formam o sistema. 
 
Exemplo: 
𝑎) {
4𝑥 + 3𝑦 = 1
2𝑥 − 5𝑦 = −2
 
 
Temos que: 
𝐴 = (
4 3
2 −5
) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑒 𝐵 = (
4 3
2 −5
 
1
−2
) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎. 
 
Solução de um sistema 
Dizemos que a1,a2,...,an é a solução de um sistema linear de n variáveis quando é solução de cada 
uma das equações do sistema. 
 
 
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202 
 
Exemplo: 
A tripla ordenada (-1,-2,3) é solução do sistema: 
{
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
1º equação → 3.(-1) – (-2) + 3 = -3 + 2 + 3 = 2 (V) 
2º equação → -1 -2.(-2) – 3 = -1 + 4 – 3 = 0 (V) 
3º equação → 2.(-1) + (-2) + 2.3 = -2 – 2 + 6 = 2 (V) 
 
Classificação de um sistema linear 
Um sistema linear é classificado de acordo com seu números de soluções. 
 
 
 
Exemplos: 
A) O par ordenado (1,3) é a única solução do sistema {
2𝑥 − 𝑦 = −1
7𝑥 − 3𝑦 = −2
 
Temos que o sistema é possível e determinado (SPD) 
 
B) O sistema {
3𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 3
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
 apresenta infinitas soluções, como por exemplo (0,1,2), (1,0,0),(2,-1,-
2). Dizemos que o sistema é possível e indeterminado (SPI) 
 
C) O sistema {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4
−4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
 não apresenta nenhuma solução, pois a primeira e a terceira 
equações não podem satisfeitas ao mesmo tempo. Dizemos que o sistema é impossível (SI). 
 
 
Sistemas escalonados 
Considerando um sistema linear S no qual, em cada equação, existe pelo menos um coeficiente não 
nulo. 
Dizemos que S está na forma escalonada (ou é escalonado) se o número de coeficientes nulos, antes 
do 1º coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação. 
 
Exemplos de sistemas escalonados: 
 
Observe que o 1º sistema temos uma redução de números de coeficientes nulos: da 1ª para a 2ª 
equação temos 1 e da 1ª para a 3ª temos 2; logo dizemos que ele é escalonado. 
 
 
 
 
 
 
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203 
 
- Resolução de um sistema na forma escalonado 
Temos dois tipos de sistemas escalonados. 
 
1º) Número de equações igual ao número de variáveis 
 
Vamos partir da última equação, onde obtemos o valor de z. Substituindo esse valor na segunda 
equação obtemos y. Por fim, substituímos y e z na primeira equação, obtendo x. 
Assim temos: 
-2z = 8 → z = -4 
y + z = -2 → y – 4 = -2 → y = 2 
3x + 7y + 5z = -3 → 3x + 7.2 + 5.(-4) = -3 →3x + 14 – 20 = -3 →3x = -3 + 6 →3x = 3 → x = 1 
 
Logo a solução para o sistema é (1,2,-4). 
O sistema tem uma única solução logo é SPD. 
 
2º) Número de equações menor que o número de variáveis. 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 5
𝑦 + 𝑧 = 2
 
 
Sabemos que não é possível determinar x,y e z de maneira única, pois há três variáveis e apenas duas 
“informações” sobre as mesmas. A solução se dará em função de uma de suas variáveis, que será 
chamada de variável livre do sistema. 
Vamos ao passo a passo: 
 
1º passo → a variável que não aparecer no início de nenhuma das equações do sistema será 
convencionada como variável livre, neste caso, a única variável livre é z. 
 
2º passo → transpomos a variável livre z para o 2º membro em cada equação e obtemos: 
 
{
𝑥 − 𝑦 = 5 − 3𝑧
𝑦 = 2 − 𝑧
 
 
3º passo → para obtermos x como função de z, substituímos y = 2 – z, na equação: 
x - (2 – z) = 5 – 3z → x = 7 – 4z 
 
Assim, toda tripla ordenada da forma (7 – 4z, 2 – z, z), sendo z ϵ R, é solução do sistema. Para cada 
valor real que atribuirmos a z, chegaremos a uma solução do sistema. 
 
Este tipo de sistema é dado por infinitas soluções, por isso chamamos de SPI. 
 
Sistemas equivalentes e escalonamento 
Dizemos que dois sistemas lineares, S1 e S2, são equivalentes quando a solução de S1 também é 
solução de S2. 
Dado um sistema linear qualquer, nosso objetivo é transforma-lo em outro equivalente, pois como 
vimos é fácil resolver um sistema de forma escalonada. Para isso, vamos aprender duas propriedades 
que nos permitirá construir sistemas equivalentes. 
 
 
 
 
 
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204 
 
1ª Propriedade: quando multiplicamos por k, k ϵ R*, os membros de 
uma equação qualquer de um sistema linear S, obtemos um novo 
sistema S’ equivalente a S. 
𝑆 {
𝑥 − 𝑦 = 4
2𝑥 + 3𝑦 = 3
 , 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 é (3, −1) 
 
Multiplicando-se a 1ª equação de S por 3, por exemplo, obtemos: 
𝑆′ {
3𝑥 − 3𝑦 = 12
6𝑥 + 9𝑦 = 9
 , 𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 (3, −1) 
 
2ª Propriedade: quando substituímos uma equação de um sistema 
linear S pela soma, membro a membro, dele com outra, obtemos um 
novo sistema S’, equivalente a S. 
𝑆 {
−𝑥 + 𝑦 = −2
2𝑥 − 3𝑦 = 1
 , 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 é (5,3) 
 
Substituindo a 2ª equação pela soma dela com a 1ª: 
𝑆′ {
−𝑥 + 𝑦 = −2 
2𝑥 − 3𝑦 = 1 
(2ª 𝑒𝑞.)+(1ª 𝑒𝑞.)
← 
−𝑥 + 𝑦 = −2 
2𝑥 − 3𝑦 = 1 
𝑥 − 2𝑦 = −1 
(+) 
 
O par (5,3) é também solução de S’, pois a segunda também é 
verificada: 
x – 2y = 5 – 2. 3 = 5 – 6 = -1 
 
 
 
Escalonamento de um sistema e o Método de Gauss-Jordan 
Para escalonarmos um sistema linear qualquer vamos seguir o passo a passo abaixo: 
 
1º passo: Escolhemos, para 1º equação, uma em que o coeficiente da 1ª incógnita seja não nulo. Se 
possível, fazemos a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1, pois os cálculos ficam, em 
geral, mais simples. 
2º passo: Anulamos o coeficiente da 1ª equação das demais equações, usando as propriedades 1 e 
2. 
3º passo: Desprezamos a 1ª equação e aplicamos os 2 primeiros passos com as equações restantes. 
4º passo: Desprezamos a 1ª e a 2ª equações e aplicamos os dois primeiros passos nas equações, 
até o sistema ficar escalonado. 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Escalone e resolva o sistema: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
−2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
 
 
Primeiramente precisamos anular os coeficientes de x na 2ª e na 3ª equação: 
 
 
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205 
 
Deixando de lado a 1ª equação, vamos repetir o processo para a 2ª e a 3ª equação. Convém, 
entretanto, dividir os coeficientes da 2ª equação por 3, a fim de facilitar o escalonamento: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
𝑦 − 𝑧 = −4
−4𝑦 + 5𝑧 = 19
 
 
Que é equivalente a: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
𝑦 − 𝑧 = −4
𝑧 = 3
 
Substituímos a 3ª equação pela soma 
dela com a 2ªequação, multiplicada por 4: 
 
4𝑦−4𝑧=−16
−4𝑦+5𝑧=19
𝑧 = 3
 
 
 
O sistema obtido está escalonado é do tipo SPD. 
A solução encontrada para o mesmo é (2,-1,3) 
 
Observação: Quando, durante o escalonamento, encontramos duas equações com coeficientes 
ordenadamente iguais ou proporcionais, podemos retirar uma delas do sistema. 
 
Exemplo: 
 
Escalone e resolva o sistema: 
{
3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
8𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
8𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑦 − 7𝑧 = −3
2𝑦 − 14𝑧 = −6
 
(-3) x (1ª eq.) + (2ª eq.): 
-3x + 3y – 6z = -3 
3x – 2y – z = 0 
 y – 7z = -3 
 
 
 
(-8) x (1eq.) + (3ª eq.) 
-8x + 8y – 16z = -8 
8x - 6y + 2z = 2 
 2y – 14z = -6 
 
 
Deixamos a 1ª equação de lado e repetimos o processo para a 2ª e 3ª equação: 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑦 − 7𝑧 = −3
0 = 0
 
(-2) x (2ª eq.) + (3ª eq.) 
-2y + 14z = 6 
2y – 14z = -6 
 0 = 0 
 
 
A 3ª equação pode ser retirada do sistema, pois, apesar de ser sempre verdadeira, não traz informação 
sobre os valores das variáveis. Assim, obtemos os sistema escalonado: 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1 (𝐼)
𝑦 − 7𝑧 = −3 (𝐼𝐼)
 , 𝑞𝑢𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
 
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206 
 
A variável livre do sistema é z, então temos: 
(I) y = 7z – 3 
(II) x – (7z – 3) + 2z = 1 → x = 5z – 2 
 
Assim, S = [(5z – 2, 7z – 3, z); z ϵ R] 
 
Sistemas homogêneos 
Observe as equações lineares seguintes: 
 
x – y + 2z = 0 4x – 2y + 5z = 0 -x1 – x2 – x3 = 0 
 
O coeficiente independente de cada uma delas é igual a zero, então denominamos de equações 
homogêneas. 
Note que a tripla ordenada (0,0,0) é uma possível solução dessas equações, na qual chamamos de 
solução nula, trivial ou imprópria. 
Ao conjunto de equações homogêneas denominamos de sistemas homogêneos. Este tipo de sistema 
é sempre possível, pois a solução nula satisfaz cada uma de suas equações. 
 
 
 
Exemplo: 
Escalonando o sistema {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0
5𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 0
, 𝑣𝑒𝑚: 
 
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 
𝑦 + 3𝑧 = 0 ← (−2)𝑥(1ª 𝑒𝑞. ) + (2ª 𝑒𝑞. )
 2𝑦 + 6𝑧 = 0 ← (−5)𝑥(1ª 𝑒𝑞. ) + (3ª 𝑒𝑞. )
 
 
Dividindo os coeficientes da 3ª equação por 2, notamos que ela ficará igual à 2ª equação e, portanto 
poderá ser retirada do sistema. 
 
Assim, o sistema se reduz à forma escalonada {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑦 + 3𝑧 = 0
 𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
Resolvendo-o teremos y = -3z e x = 4z. Se z = α, α ϵ R, segue a solução geral (4α,-3α, α). 
Vamos ver algumas de suas soluções: 
- α = 0 → (0,0,0): solução nula ou trivial. 
- α = 1 → (4,-3,1) 
- α = -2 → (-8,6,-2) 
 
As soluções onde α = 1 e – 2 são próprias ou diferentes da trivial. 
 
Regra de Cramer 
Consideramos o sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 . Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz incompleta 
desse sistema é 𝑀 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
), cujo determinante é indicado por D = ad – bc. 
 
Escalonando o sistema, obtemos: {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐). 𝑦 = (𝑎𝑓 − 𝑐𝑒)
 (∗) 
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207 
 
Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela coluna dos coeficientes independentes, 
obteremos (
𝑎 𝑒
𝑐 𝑓), cujo determinante é indicado por Dy = af – ce. 
Assim, em (*), na 2ª equação, obtemos D. y = Dy. Se D ≠ 0, segue que 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
. 
 
Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e considerando a matriz (
𝑒 𝑏
𝑓 𝑑
), cujo determinante 
é indicado por Dx = ed – bf, obtemos 𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
, D ≠ 0. 
 
Resumindo: 
 
Um sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 é possível e determinado quando 𝐷 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| ≠ 0, e a solução desse sistema 
é dada por: 
 
𝒙 =
𝑫𝒙
𝑫
 𝒆 𝒚 =
𝑫𝒚
𝑫
 
 
Estes resultados são conhecidos como Regra de Cramer e podem ser generalizados para um sistema 
n x n (n equações e n incógnitas). Esta regra é um importante recurso na resolução de sistemas lineares 
possíveis e determinados, especialmente quando o escalonamento se torna trabalhoso (por causa dos 
coeficientes das equações) ou quando o sistema é literal. 
 
Exemplo: 
Vamos aplicar a Regra de Cramer para resolver os sistema {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
4𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = −6
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −3
 
 
De início temos que |
1 1 1
4 −1 −5
2 1 2
| = −9 ≠ 0. Temos, dessa forma, SPD. 
 
𝐷𝑥 = |
0 1 1
−6 −1 −5
−3 1 2
| = 15 − 6 − 3 + 12 = 18; 𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
18
−9
= −2 
 
𝐷𝑦 = |
1 0 1
4 −6 −5
2 −3 2
| = −12 − 12 + 12 − 15 = −27; 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
−27
−9
= 3 
 
𝐷𝑧 = |
1 1 0
4 −1 −6
2 1 −3
| = 3 − 12 + 6 + 12 = 9; 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
=
9
−9
= −1 
 
Uma alternativa para encontrar o valor de z seria substituir x por -2 e y por 3 em qualquer uma das 
equações do sistema. 
Assim, S = {(-2,3-1)}. 
 
Discussão de um sistema 
 
Consideremos novamente o sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 , cuja forma escalonada é: 
 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)⏟ 
𝐷
. 𝑦 = (𝑎𝑓 − 𝑐𝑒)(∗) 
 
em que 𝐷 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| é o determinante da matriz incompleta do sistema. 
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208 
 
Como vimos, se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado e a solução pode ser obtida através da 
Regra de Cramer. 
Se D = 0, o 1º membro de (*) se anula. Dependendo do anulamento, ou não, do 2º membro de (*), 
temos SPI ou SI. 
Em geral, sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, temos: 
 
D ≠ 0 → SPD 
D = 0 → (SPI ou SI) 
 
Esses resultados são válidos para qualquer sistema linear de n equações e n incógnitas, n ≥ 2. Temos 
que discutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros significa dizer quais valores do(s) 
parâmetro(s) temos SPD, SPI ou SI. 
 Exemplo: 
 
Vamos discutir, em função de m, o sistema {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 +𝑚𝑧 = 2
 
 
Temos: 𝐷 = |
1 −2 3
3 1 1
2 3 𝑚
| = 𝑚 − 4 + 27 − 6 − 3 + 6𝑚 − 7𝑚 + 14 
 
- Se 7m + 14 ≠ 0, isto é, se m ≠ - 2, temos SPD. 
- Se 7m + 14 = 0, isto é, se m = -2, podemos ter SI ou SPI. Então vamos substituir m por -2 no sistema 
e resolvê-lo: 
 
{
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 2
⟺ {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 
7𝑦 − 8𝑧 = 2 ⟵ (−3)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (2ª 𝑒𝑞. )
7𝑦 − 8𝑧 = 2 ⟵ (−2)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (3ª 𝑒𝑞. )
 
 
ou ainda {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
7𝑦 − 8𝑧 = 2
, 𝑞𝑢𝑒 é 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
Assim: 
m ≠ - 2 → SPD 
m = -2 → SPI 
 
Observações: 
- Para um sistema homogêneo, a condição D = 0, é necessária para que tenhamos SPI, mas não é 
suficiente (pois existe a possibilidade de se ter SI). 
- Para um sistema homogêneo, a condição D = 0 é suficiente para que tenhamos SPI. 
 
Questões 
 
01. (MF – Analista de Finanças e Controle – ESAEF) Dado o sistema de equações lineares 
é correto afirmar que: 
(A) o sistema não possui solução. 
(B) o sistema possui uma única solução. 
(C) x= 1 e y = 2 é uma solução do sistema. 
(D) o sistema é homogêneo. 
(E) o sistema possui mais de uma solução. 
 
02. Determinar m real, para que o sistema seja possível e determinado: 



=+
=+
2
532
myx
yx
 
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209 
 
03. Resolver e classificar o sistema: 





−=−+
=+
=+−
422
73
53
zyx
yx
zyx
 
 
04. Determinar m real para que o sistema seja possívele determinado. 





+++
=+−
=++
03
522
52
mzyx
zyx
zyx
 
 
05. Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p? 
 
06. Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado 
(𝛼, 𝛽, 𝛾) é solução. 
 
07. Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 
2x - my = 10 
3x + 5y = 8, seja impossível. 
 
08. Se os sistemas: 
S1: {
x + y = 1
 x – 2y = −5
 e S2: {
ax – by = 5
 ay – bx = −1
 
São equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a: 
(A) 1 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 9 
(E) 10 
 
09. Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: 
{
x + 3y − 2z = 3
2x − y + z = 12
4x + 3y − 5z = 6
 
 
10. Resolver o sistema 



−=+
=−
25
72
yx
yx . 
 
11. (UNIOESTE – ANALISTA DE INFORMÁTICA – UNIOESTE) Considere o seguinte sistema de 
equações lineares 
 
(
𝑥 + 2𝑦 +
3
2 𝑧 =
3
2
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 3
) 
 
Assinale a alternativa correta. 
(A) O determinante da matriz dos coeficientes do sistema é um número estritamente positivo. 
(B) O sistema possui uma única solução (1, 1, -1). 
(C) O sistema possui infinitas soluções. 
(D) O posto da matriz ampliada associada ao sistema é igual a 3. 
(E) Os vetores linha (1, 2, 3/2) e (2, 4, 3) não são colineares. 
 
12. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Sabendo-se que 2a + 3b + 4c = 17 e que 4a + 
b - 2c = 9, o valor de a + b + c é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
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210 
 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
Calculemos inicialmente D, Dx e Dy: 
 
01212
63
42
=−==D
 
03636
69
46
=−==xD
 
01818
93
62
=−==yD
 
 
Como D = Dx = Dy = 0, o sistema é possível e indeterminado, logo possui mais de uma solução. 
 
02. Resposta: 







2
3
/mRm
. 
Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0, em que: 
 
32
1
32
−== m
m
D
 
Assim: 2m -3 ≠ 0 → m ≠ 
2
3
 
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos 
elementos do conjunto: 







2
3
/mRm
 
 
03. Resposta: S = {(1, 2, 4)}. 
Calculemos inicialmente D, Dx, Dy e Dz 
 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
211 
 
 Como D= -25 ≠ 0, o sistema é possível e determinado e: 
;1
25
25
=
−
−
==
D
D
x x
 
;2
25
50
=
−
−
==
D
D
y
y
4
25
100
=
−
==
D
D
z z
 
 
Assim: S = {(1, 2, 4)} e o sistema são possíveis e determinados. 
 
04. Resposta: 
 3/  mRm
. 
Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0. 
Assim: 
 
mm
m
D 423212
13
212
121
−−+++−=−= 
D = -5m + 15 
 
Assim: -5m + 15 ≠ 0 → m ≠ 3 
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos 
elementos do conjunto: 
 3/  mRm 
 
05. Resposta: 14. 
Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p, 6 . 2 – 7 . 5 + 2 . p = 5. 
Logo, 12 - 35 + 2p = 5. 
Daí vem imediatamente que 2p = 28 e, portanto, p = 14. 
 
06. Resposta: S = (1,3,15). 
Podemos escrever: 5α - 2β + γ = 14. Daí, tiramos: γ = 14 - 5α + 2β. Portanto, a solução genérica será 
o terno ordenado (α, β, 14 - 5α + 2β). 
Observe que se arbitrando os valores para α e β, a terceira variável ficará determinada em função 
desses valores. 
Por exemplo, fazendo-se α = 1, β = 3, teremos: 
γ = 14 - 5 α + 2 β = 14 – 5 . 1 + 2 . 3 = 15, 
ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. 
 
Verificamos, pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno 
ordenado (α, β, 14 - 5 α + 2 β) a solução genérica. 
 
07. Resposta: m = -10/3. 
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação: 
x = (10 + my) / 2 
 
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem: 
3[(10+my) / 2] + 5y = 8 
 
Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem: 
3(10+my) + 10y = 16 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
212 
 
30 + 3my + 10y = 16 
(3m + 10)y = -14 
y = -14 / (3m + 10) 
 
Ora, para que não exista o valor de y e, em consequência não exista o valor de x, deveremos ter o 
denominador igual a zero, já que, como sabemos, não existe divisão por zero. 
Portanto, 3m + 10 = 0, de onde se conclui m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não 
possua solução. 
 
08. Resposta: E. 
Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema: 
S1: x + y = 1 
 x - 2y = -5 
Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). 
Logo, 3y = 6 \ y = 2. 
 
Portanto, como x + y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1. 
O conjunto solução é, portanto S = {(-1, 2)}. 
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. 
Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1, vem: 
 
a(-1) - b(2) = 5 → - a - 2b = 5 
a(2) - b (-1) = -1 → 2 a + b = -1 
 
Multiplicando ambos os membros da primeira equação por 2, fica: 
-2 a - 4b = 10 
 
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação, fica: 
-3b = 9 \ b = - 3 
 
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra 
equação em azul), teremos: 
2 a + (-3) = -1 \ a = 1. 
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10. 
 
09. Resposta: S = {(5, 2, 4)}. 
Teremos: 
 
 
 
 
 
Portanto, pela regra de Cramer, teremos: 
x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5 
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2 
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213 
 
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4 
 
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = {(5, 2, 4)}. 
 
10. Resposta: 
( ) 13−= ,S
 
 
 
11. Resposta: C. 
 
𝐷 = |
1 2
2 1
 
3
2
1
2 4 3
| = 3 + 12 + 4 − 3 − 4 − 12 = 0 
 
O sistema pode ser SI (sistema impossível) ou SPI (sistema possível indeterminado) 
 
Para ser SI Dx = 0 e SPI Dx  0 
𝐷𝑥 = |
3
2
2
2 1
 
3
2
1
3 4 3
| =
9
2
+ 6 + 24 −
9
2
− 6 − 12 = 12 
Dx  0, portanto o sistema tem infinitas soluções. 
 
12. Reposta: D. 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 x(-2) 
(II) 4a + b – 2c = 9 
Multiplicamos a primeira equação por – 2 e somamos com a segunda, cancelando a variável a: 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 
(II) – 5b – 10c = - 25 : (- 5) 
Então: 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 
(II) b +2c = 5 
Um sistema com três variáveis e duas equações é possível e indeterminado (tem infinitas soluções), 
então fazendo a variável c = α (qualquer letra grega). 
Substituímos c em (II): 
b + 2α = 5 
b = 5 - 2α 
substituímos b e c em (I): 
2a + 3(5 - 2α) + 4α = 17 
2a + 15 - 6α + 4α = 17 
2a = 17 – 15 + 6α - 4α 
2a = 2 + 2α : (2) 
a = 1 + α 
Logo a solução do sistema é a = 1 + α. b = 5 - 2α e c = α, então: 
a + b + c = 1 + α + 5 - 2α + α = 6 
 
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214 
 
 
 
A Análise Combinatória16 é a parte da Matemática que desenvolve meios para trabalharmos com 
problemas de contagem, sendo eles: 
- Princípio Fundamental da Contagem (PFC); 
- Fatorial de um número natural; 
- Tipos de Agrupamentos Simples (Arranjo, permutação e combinação); 
- Tipos de Agrupamentos com Repetição (Arranjo, permutação e combinação). 
 
A Análise Combinatória é o suporte da Teoria das Probabilidades, e de vital importância para as 
ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia, a Estatística entre outras. 
 
Princípio Fundamental da Contagem-PFC (Princípio Multiplicativo) 
 
O princípio multiplicativo ou fundamental da contagem constitui a ferramentabásica para resolver 
problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos, através das possibilidades 
dadas. É uma das técnicas mais utilizadas para contagem, mas também dependendo da questão pode 
se tornar trabalhosa. 
 
Exemplos 
 
1) Imagine que, na cantina de sua escola, existem cinco opções de suco de frutas: pêssego, maçã, 
morango, caju e mamão. Você deseja escolher apenas um desses sucos, mas deverá decidir também se 
o suco será produzido com água ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos 
acompanhamentos, de quantas maneiras poderá pedir o suco? 
 
 
2) Para ir da sua casa (cidade A) até a casa do seu amigo Pedro (que mora na cidade C) João precisa 
pegar duas conduções: A1 ou A2 ou A3 que saem da sua cidade até a B e B1 ou B2 que o leva até o 
destino final C. Vamos montar o diagrama da árvore para avaliarmos todas as possibilidades: 
 
 
 
16IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
BOSQUILHA, Alessandra - Minimanual compacto de matemática: teoria e prática: ensino médio / Alessandra Bosquilha, Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia Cristina 
Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo: Rideel, 2003. 
Análise combinatória 
 
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215 
 
De forma resumida, e rápida podemos também montar através do princípio multiplicativo o número de 
possibilidades: 
 
3) De sua casa ao trabalho, Sílvia pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho à faculdade, ela 
pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega. 
De quantos modos distintos Sílvia pode, no mesmo dia, ir de casa ao trabalho e de lá para a faculdade? 
Vejamos, o trajeto é a junção de duas etapas: 
 
1º) Casa → Trabalho: ao qual temos 3 possibilidades 
2º) Trabalho → Faculdade: 4 possibilidades. 
Multiplicando todas as possibilidades (pelo PFC), teremos: 3 x 4 = 12. 
No total Sílvia tem 12 maneiras de fazer o trajeto casa – trabalho – faculdade. 
 
DEFINIÇÃO do PFC: Se um evento que chamaremos de E1 puder ocorrer de a maneiras e um outro 
evento que chamaremos de E2 puder ocorrer de b maneiras e E1 for independente de E2, assim a 
quantidade de maneiras distintas de os dois eventos ocorrerem simultaneamente será dado por axb, 
isto é, a quantidade de maneiras de a ocorrer, multiplicado pela quantidade de maneiras de b ocorrer. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Chapecó/SC – Engenheiro de Trânsito – IOBV) Em um restaurante os clientes têm a sua 
disposição, 6 tipos de carnes, 4 tipos de cereais, 4 tipos de sobremesas e 5 tipos de sucos. Se o cliente 
quiser pedir 1 tipo carne, 1 tipo de cereal, 1 tipo de sobremesa e 1 tipo de suco, então o número de opções 
diferentes com que ele poderia fazer o seu pedido, é: 
(A) 19 
(B) 480 
(C) 420 
(D) 90 
 
02. (Pref. Rio de Janeiro/RJ – Agente de Administração – Pref. Rio de Janeiro) Seja N a 
quantidade máxima de números inteiros de quatro algarismos distintos, maiores do que 4000, que podem 
ser escritos utilizando-se apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
O valor de N é: 
(A) 120 
(B) 240 
(C) 360 
(D) 480 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
A questão trata-se de princípio fundamental da contagem, logo vamos enumerar todas as 
possibilidades de fazermos o pedido: 
6 x 4 x 4 x 5 = 480 maneiras. 
 
02. Resposta: C. 
Pelo enunciado precisa ser um número maior que 4000, logo para o primeiro algarismo só podemos 
usar os números 4,5 e 6 (3 possibilidades). Como se trata de números distintos para o segundo algarismo 
poderemos usar os números (0,1,2,3 e também 4,5 e 6 dependo da primeira casa) logo teremos 7 – 1 = 
6 possibilidades. Para o terceiro algarismos teremos 5 possibilidades e para o último, o quarto algarismo, 
teremos 4 possibilidades, montando temos: 
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216 
 
 
 
Basta multiplicarmos todas as possibilidades: 3 x 6 x 5 x 4 = 360. 
Logo N é 360. 
 
Fatorial de um Número Natural 
 
É comum aparecerem produtos de fatores naturais sucessivos em problemas de análise combinatória, 
tais como: 3. 2 . 1 ou 5. 4 . 3 . 2 . 1, por isso surgiu a necessidade de simplificarmos este tipo de notação, 
facilitando os cálculos combinatórios. Assim, produtos em que os fatores chegam sucessivamente até a 
unidade são chamados fatoriais. 
Matematicamente: 
Dado um número natural n, sendo n є N e n ≥ 2, temos: 
 
 
Onde: 
n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n (lê-se: “n fatorial”) 
Por convenção temos que: 
 
 
Exemplos 
1) De quantas maneiras podemos organizar 8 alunos em uma fila. 
Observe que vamos utilizar a mesma quantidade de alunos na fila nas mais variadas posições: 
 
Temos que 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 
 
2) Dado 
9!
5!
 , qual o valor dessa fração? 
 
Observe que o denominador é menor que o numerador, então para que possamos resolver vamos 
levar o numerador até o valor do denominador e simplificarmos: 
 
 
Tipos de Agrupamento 
 
Os agrupamentos que não possuem elementos repetidos, são chamamos de agrupamentos 
simples. Dentre eles, temos aqueles onde a ordem é importante e os que a ordem não é importante. 
Vamos ver detalhadamente cada um deles. 
 
- Arranjo simples: agrupamentos simples de n elementos distintos tomados(agrupados) p a p. Aqui a 
ordem dos seus elementos é importante, é o que diferencia. 
 
Exemplos 
1) Dados o conjunto S formado pelos números S= {1,2,3,4,5,6} quantos números de 3 algarismos 
podemos formar com este conjunto? 
 
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217 
 
Observe que 123 é diferente de 321 e assim sucessivamente, logo é um Arranjo. 
 
Se fossemos montar todos os números levaríamos muito tempo, para facilitar os cálculos vamos utilizar 
a fórmula do arranjo. 
Pela definição temos: A n,p (Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p). 
Então: 
 
 
Utilizando a fórmula: 
Onde n = 6 e p = 3 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A6,3 =
6!
(6 − 3)!
=
6!
3!
=
6.5.4.3!
3!
= 120 
 
Então podemos formar com o conjunto S, 120 números com 3 algarismos. 
 
2) Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um 
coordenador pedagógico. Quantas as possibilidades de escolha? 
n = 18 (professores) 
p = 3 (cargos de diretor, vice-diretor e coordenador pedagógico) 
 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A18,3 =
18!
(18 − 3)!
=
18!
15!
=
18.17.16.15!
15!
= 4896 grupos 
 
- Permutação simples: sequência ordenada de n elementos distintos (arranjo), ao qual utilizamos 
todos os elementos disponíveis, diferenciando entre eles apenas a ordem. A permutação simples é um 
caso particular do arranjo simples. 
É muito comum vermos a utilização de permutações em anagramas (alterações da sequência das 
letras de uma palavra). 
 
Exemplos 
1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CALO? 
 
 
Utilizando a fórmula da permutação temos: 
n = 4 (letras) 
P4! = 4! = 4 . 3 . 2 . 1! = 24 . 1! (como sabemos 1! = 1) → 24 . 1 = 24 anagramas 
 
2) Utilizando a palavra acima, quantos são os anagramas que começam com a letra L? 
 
 
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218 
 
P3! = 3! = 3 . 2 . 1! = 6 anagramas que começam com a letra L. 
 
- Combinação simples: agrupamento de n elementos distintos, tomados p a p, sendo p ≤ n. O que 
diferencia a combinação do arranjo é que a ordem dos elementos não é importante. 
Vemos muito o conceito de combinação quando queremos montar uma comitiva, ou quando temos 
também de quantas maneiras podemos cumprimentar um grupo ou comitiva, entre outros. 
 
Exemplos 
1) Uma escola tem 7 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um 
congresso. Quantos gruposde 4 professores são possíveis? 
 
Observe que sendo 7 professores, se invertermos um deles de posição não alteramos o grupo formado, 
os grupos formados são equivalentes. Para o exemplo acima temos ainda as seguintes possibilidades 
que podemos considerar sendo como grupo equivalentes. 
P1, P2, P4, P3 – P2, P1, P3, P4 – P3, P1, P2, P4 – P2, P4, P3, P4 – P4, P3, P1, P2 ... 
 
Com isso percebemos que a ordem não é importante! 
 
Vamos então utilizar a fórmula para agilizar nossos cálculos: 
 
Aqui dividimos novamente por p, para desconsiderar todas as sequências repetidas (P1, P2, P3, P4 = 
P4, P2, P1, P3= P3, P2, P4, P1=...). 
Aplicando a fórmula: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C7,4 =
7!
(7 − 4)! 4!
=
7!
3! 4!
=
7.6.5.4!
3! 4!
=
210
3.2.1
=
210
6
= 35 grupos de professores 
 
2) Considerando dez pontos sobre uma circunferência, quantas cordas podem ser construídas com 
extremidades em dois desses pontos? 
 
 
Uma corda fica determinada quando escolhemos dois pontos entre 
os dez. 
Escolher (A,D) é o mesmo que escolher (D,A), então sabemos que 
se trata de uma combinação. 
Aqui temos então a combinação de 10 elementos tomados 2 a 2. 
C10,2 =
n!
(n − p)! p!
=
10!
(10 − 2)! 2!
=
10!
8! 2!
=
10.9.8!
8! 2!
=
90
2
= 
45 cordas 
 
 
Agrupamentos com Repetição 
 
Existem casos em que os elementos de um conjunto repetem-se para formar novos subconjuntos. 
Nestes casos, devemos usar fórmulas de agrupamentos com repetição. Assim, teremos: 
A) arranjo com repetição; 
B) permutação com repetição; 
C) combinação com repetição. 
 
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219 
 
Vejamos: 
a) Arranjo com repetição: ou arranjo completo, é um grupo de p elementos de um dado conjunto, 
com n elementos distintos, onde a mudança de ordem determina grupos diferentes, podendo porém ter 
elementos repetidos. 
Indicamos por AR n,p 
 
No arranjo com repetição, temos todos os elementos do conjunto à disposição a cada escolha, por 
isso, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 
 
 
 
Exemplo 
Quantas chapas de automóvel compostas de 2 letras nas duas primeiras posições, seguidas por 4 
algarismos nas demais posições (sendo 26 letras do nosso alfabeto e sendo os algarismos do sistema 
decimal) podem ser formadas? 
 
O número de pares de letras que poderá ser utilizado é: 
 
Pois podemos repetir eles. Aplicando a fórmula de Arranjo com repetição temos: 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟐𝟔, 𝟐 = 𝟐𝟔𝟐 = 𝟔𝟕𝟔 
 
Para a quantidade de números temos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – 10 algarismos): 
 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
 
Assim o número de chapas que podemos ter é dado pela multiplicação dos valores achados: 
676 . 10 000 = 6 760 000 possibilidades de placas. 
 
Observação: Caso não pudesse ser utilizada a placa com a sequência de zeros, ou seja, com 4 zeros 
teríamos: 
 
 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟔𝟕𝟔. 𝟏𝟎𝟒 − 𝟔𝟕𝟔. 𝟏 = 𝟔𝟕𝟔. (𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟏) 
 
b) Permutação com repetição: a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos 
os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, como o próprio nome indica, as repetições são 
permitidas e podemos estabelecer uma fórmula que relacione o número de elementos, n, e as vezes em 
que o mesmo elemento aparece. 
 
Com α + β + γ + ... ≤ n 
 
 
 
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220 
 
Exemplo 
Quantos são os anagramas da palavra ARARA? 
n = 5 
α = 3 (temos 3 vezes a letra A) 
β = 2 (temos 2 vezes a letra R) 
 
Equacionando temos: 
𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… ) =
𝒏!
𝜶!𝜷! 𝜸!
… → 𝒑𝟓(𝟑,𝟐) =
𝟓!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒. 𝟑!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒
𝟐. 𝟏
=
𝟐𝟎
𝟐
= 𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔 
 
B.1) Permutação circular: a permutação circular com repetição pode ser generalizada através da 
seguinte forma: 
 
Vejamos o exemplo como chegar na fórmula, para aplicação. 
- De quantas maneiras 5 meninas que brincam de roda podem formá-la? 
Fazendo um esquema, observamos que são posições iguais: 
 
 
O total de posições é 5! e cada 5 representa uma só permutação circular. Assim, o total de permutações 
circulares será dado por: 
𝑃𝑐5 =
5!
5
=
5.4!
5
= 4! = 4.3.2.1 = 24 
 
C) Combinação com repetição: dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se combinação 
com repetição, classe p (ou combinação completa p a p) dos n elementos desse conjunto, a todo grupo 
formado por p elementos, distintos ou não, em qualquer ordem. 
 
 
 
Exemplo 
Em uma combinação com repetição classe 2 do conjunto {a, b, c}, quantas combinações obtemos? 
Ilustrando temos: 
 
Utilizando a fórmula da combinação com repetição, verificamos o mesmo resultado sem necessidade 
de enumerar todas as possibilidades: 
n = 3 e p = 2 
𝑪𝑹𝒏,𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑 → 𝑪𝑹 𝟑 + 𝟐 − 𝟏, 𝟐 → 𝑪𝑹𝟒, 𝟐 =
𝟒!
𝟐! (𝟒 − 𝟐)!
=
𝟒!
𝟐! 𝟐!
=
𝟒. 𝟑. 𝟐!
𝟐! 𝟐!
=
𝟏𝟐
𝟐
= 𝟔 
 
Questões 
 
01. (CRQ 2ª Região/MG – Auxiliar Administrativo – FUNDEP) Com 12 fiscais, deve-se fazer um 
grupo de trabalho com 3 deles. Como esse grupo deverá ter um coordenador, que pode ser qualquer um 
deles, o número de maneiras distintas possíveis de se fazer esse grupo é: 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
221 
 
(A) 4 
(B) 660 
(C) 1 320 
(D) 3 960 
 
02. (PM/SP – Cabo – CETRO) Uma lei de certo país determinou que as placas das viaturas de polícia 
deveriam ter 3 algarismos seguidos de 4 letras do alfabeto grego (24 letras). Sendo assim, o número de 
placas diferentes será igual a 
(A) 175.760.000. 
(B) 183.617.280. 
(C) 331.776.000. 
(D) 358.800.000. 
 
03. (TJ/RS – Técnico Judiciário - FAURGS) O Tribunal de Justiça está utilizando um código de leitura 
de barras composto por 5 barras para identificar os pertences de uma determinada seção de trabalho. As 
barras podem ser pretas ou brancas. Se não pode haver código com todas as barras da mesma cor, o 
número de códigos diferentes que se pode obter é de 
(A) 10. 
(B) 30. 
(C) 50. 
(D) 150. 
(E) 250. 
 
04. (SEED/SP – Agente de Organização Escolar – VUNESP) Um restaurante possui pratos principais 
e individuais. Cinco dos pratos são com peixe, 4 com carne vermelha, 3 com frango, e 4 apenas com 
vegetais. Alberto, Bianca e Carolina pretendem fazer um pedido com três pratos principais individuais, um 
para cada. Alberto não come carne vermelha nem frango, Bianca só come vegetais, e Carolina só não 
come vegetais. O total de pedidos diferentes que podem ser feitos atendendo as restrições alimentares 
dos três é igual a 
(A) 384. 
(B) 392. 
(C) 396. 
(D) 416. 
(E)432. 
 
05. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Dentre os nove competidores de um campeonato 
municipal de esportes radicais, somente os quatro primeiros colocados participaram do campeonato 
estadual. Sendo assim, quantas combinações são possíveis de serem formadas com quatro desses nove 
competidores? 
(A) 126 
(B)120 
(C) 224 
(D) 212 
(E) 156 
 
06. (Pref. Lagoa da Confusão/TO – Orientador Social – IDECAN) Renato é mais velho que Jorge 
de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença entre suas 
idades. Se Jorge tem 20 anos, a idade de Renato é 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28. 
 
07. (Pref. Nepomuceno/MG – Técnico em Segurança do Trabalho – CONSULPLAN) Numa sala há 
3 ventiladores de teto e 4 lâmpadas, todos com interruptores independentes. De quantas maneiras é 
possível ventilar e iluminar essa sala mantendo, pelo menos, 2 ventiladores ligados e 3 lâmpadas acesas? 
(A) 12. 
(B) 18. 
1592098 E-book gerado especialmente para KARLA SILVA
 
222 
 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E) 36. 
 
08. (CREA/PR