AP3-GP-2017-2-Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP3 – Gabarito
Questa˜o 1 [2 pts]: Na figura abaixo, O e´ o centro da circunfereˆncia. Sabendo-se que a reta que
passa por E e F e´ tangente a esta circunfereˆncia e que a medida dos aˆngulos a, b e c e´ dada,
respectivamente, por 49◦, 18◦ e 34◦, determine as medidas dos aˆngulos x, y e z.
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Considere a figura com os dados do enunciado:
No triaˆngulo AEG, 34◦ + 49◦ + x = 180◦ ⇒
x = 180◦ − 83◦ = 97◦.
Note os seguintes aˆngulos inscritos:
m(DÂE) =
m(
_
ED)
2
⇒ 34◦ = m(
_
ED)
2
⇒
m(
_
ED) = 2 ∙ 34◦ = 68◦.
De maneira ana´loga 49◦ =
m(
_
AB)
2
⇒ m(
_
AB) = 98◦ e 18◦ =
m(
_
BD)
2
⇒ m(
_
BD) = 36◦.
Logo m(
_
AE) = 360◦ −m(
_
AB)−m(
_
BD)−m(
_
DE) = 360◦ − 98◦ − 36◦ − 68◦ = 158◦.
No aˆngulo inscrito, temos y = m(AB̂E) =
m(
_
AE)
2
=
158◦
2
= 79◦.
Dos aˆngulos exceˆntricos externos, z =
m(
_
AE)−m(
_
DB)
2
=
158◦ − 36◦
2
=
122◦
2
= 61◦.
Geometria Plana – Gabarito AP3 2
Questa˜o 2 [2 pts]: Num triaˆngulo ABC, AM e´ sua mediana, a medida de BC e´ 4 cm, a medida
do aˆngulo AĈB e´ 30◦ e a projec¸a˜o ortogonal do lado AB sobre BC mede 2, 5 cm.
a) Mostre que a medida de AC e´
√
3 cm.
b) Mostre que o triaˆngulo AMC e´ retaˆngulo em A.
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Temos do enunciado que m(BC) = 4 cm, m(AĈB) = 30◦ e m(BH) = 2, 5 cm.
a) Temos que HC = BC − BH = 4− 2, 5 = 1, 5 cm. No triaˆngulo retaˆngulo AHC
cos 30◦ =
HC
AC
⇒
√
3
2
=
1, 5
AC
⇒ AC = 2 ∙ 1, 5√
3
=
3√
3
∙
√
3√
3
⇒ AC =
√
3 cm.
b) Temos no triaˆngulo AMC, AC =
√
3, MC = 2 e m(AĈM) = 30◦.
Como na˜o sabemos se o triaˆngulo AMC e´ retaˆngulo, para encontrar
a medida de de AM , vamos usar a lei dos cossenos.
AM
2
= AC
2
+ MC
2 − 2 ∙ AC ∙MC ∙ cos 30◦
⇒ AM 2 = (√3)2 + 22 − 2√3 ∙ 2 ∙
√
3
2
⇒ AM 2 = 3 + 4− 6 = 1 ⇒ AM = 1 cm.
Mas MC
2
= AM
2
+ AC
2 ⇒ 22 = 12 + (√3)2 = 1 + 3 = 4, logo ΔAMC e´ retaˆngulo.
Questa˜o 3 [2 pts]: Na figura a seguir esta˜o representados o triaˆngulo retaˆngulo ABC e os retaˆngulos
I, II e III de alturas h1, h2 e h3, respectivamente proporcionais a`s bases BC, AC e AB. Se AC = 4
metros e AB = 3 metros.
a) No triaˆngulo ABC, calcule a medida da
altura relativa a` hipotenusa.
b) Determine a raza˜o
4h2 + 3h3
2h1
.
Justifique suas respostas.
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Geometria Plana – Gabarito AP3 3
Soluc¸a˜o:
a)Seja AH a altura relativa hipotenusa de ΔABC,
Como o triaˆngulo e´ retaˆngulo a altura e´ :
AH =
AB ∙ AC
BC
.
Pelo Teorema de Pita´goras:
BC
2
= AB
2
+ AC
2 ⇒ BC2 = 32 + 42 = 25 ⇒ BC = √25 = 5.
Logo a altura AH =
3 ∙ 4
5
=
12
5
.
b) Do enunciado temos a seguinte proporcionalidade:
h1
BC
=
h2
AC
=
h3
AB
⇒ h1
5
=
h2
4
=
h3
3
Enta˜o h2 =
4h1
5
e h3 =
3h1
5
. Logo a raza˜o:
4h2 + 3h3
2h1
=
4
(
4h1
5
)
+ 3
(
3h1
5
)
2h1
=
16h1
5
+
9h1
5
2h1
=
25h1
5
∙ 1
2h1
=
5
2
.
Questa˜o 4 [2 pts]: Considere na imagem ao lado:
• os quadrados ACFG e ABHI , cujas a´reas
medem, respectivamente, S1 e S2.
• o triaˆngulo retaˆngulo ABC.
• o trape´zio retaˆngulo BCDE construido
sobre a hipotenusa BC, que conte´m o ponto X.
Sabendo que CD = CX e BE = BX , determine
a a´rea do trape´zio BCDE em func¸a˜o de S1 e S2.
Justifique suas respostas.
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Geometria Plana – Gabarito AP3 4
Soluc¸a˜o:
Considere os dados da questa˜o, e denote:
CX = a e BX = b.
Enta˜o CD = CX = a e BE = BX = b.
Vamos calcular a a´rea do trape´zio BCDE:
AT =
(BE + CD)CB
2
=
(BX + CX)(b + a)
2
=
(b + a)(b + a)
2
=
(a + b)2
2
Temos que AC
2
+ AB
2
= BC
2 ⇒ S1 + S2 = (a + b)2.
Logo AT =
S1 + S2
2
.
Questa˜o 5 [2 pts]: No retaˆngulo ABCD, os pontos F e G pertencem ao lado AB e sa˜o tais
que AF = FG = GB. O ponto me´dio do lado CD e´ o ponto E. A diagonal AC intercepta os
segmentos EF e EG, respectivamente nos pontos H e J .
a) Calcule
EH
EF
.
b) Calcule
EJ
EG
.
Soluc¸a˜o:
a) AĤF = EĤC(aˆngulos opostos pelo ve´rtice) e
FÂH = EĈH(AF//EC, aˆngulos alternos internos), enta˜o
ΔAFH ∼ ΔCEH ⇒ HF
EH
=
AF
EC
=
AB
3
AB
2
=
2
3
EH =
3HF
2
, logo
EH
EF
=
EH
EH + HF
=
3HF
2
3HF
2
+ HF
=
3HF
2
3HF + 2HF
2
=
3
5
b) AĴG = EĴC(aˆngulos opostos pelo ve´rtice) e JÂG = JĈE(AG//EC, aˆngulos alternos inter-
nos), enta˜o
ΔAGJ ∼ ΔCEJ ⇒ JG
EJ
=
AG
EC
=
2AB
3
AB
2
=
4
3
⇒ EJ = 3JG
4
Logo
EJ
EG
=
EJ
EJ + JG
=
3JG
4
3JG
4
+ JG
=
3JG
4
3JG + 4JG
4
=
3
7
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