Equações Reta, Parábola e Círculo

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Geometria Analítica: 
 
Equação geral da reta 
Toda reta do plano possui uma equação da forma: 
ax + by + c = 0 
na qual a, b, c são constantes e a e b não simultaneamente nulos. 
Exemplos: 
a) – 5x + 3y – 1 = 0 
b) 9x – 4y – 13 = 0 
 
Equação reduzida da reta 
É toda equação de reta onde a variável y fica isolada. Na equação da reta na 
forma reduzida podemos identificar o coeficiente angular do lado da variável x e 
o coeficiente linear (termo independente da equação). 
Exemplos: 
a) y = 8x – 10 
Coeficiente angular = 8 
Coeficiente linear = – 10 
b) y = – 4x + 12 
Coeficiente angular = – 4 
Coeficiente linear = 12 
 
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR E DA EQUAÇÃO DA RETA 
Para calcular o coeficiente angular (não possuindo o valor da inclinação ) e 
achar a equação da reta, utiliza-se uma única fórmula: 
 
 
Importante: A partir da fórmula acima, podemos determinar o coeficiente 
angular e a equação da reta da seguinte forma: 
 
 
Coeficiente angular Equação da reta 
2 valores para o y. O valor do m. 
2 valores para o n. 1 valor para o n. 
1 valor para o x. 
Aplicação 
Determine a equação da reta que passa pelos A (4, 12) e B (0, 4) 
Solução: 
1.º passo (cálculo do m – 2 valores para o y e 2 para o x): 
 
2.º passo (equação da reta – o valor do m, 1 valor de y e um valor de x):, 
 
Equação da Parábola: 
 
Elementos de uma parábola: 
 
Dada uma reta d e um ponto F, definimos parábola como o lugar geométrico 
dos pontos equidistantes do ponto F e da reta d. 
 
A parábola conta com os seguintes elementos: 
A reta d é chamada de diretriz da parábola e o ponto F é o ponto focal, 
ou foco da parábola. Além destes dois elementos ainda temos o ponto V, 
vértice da parábola e a reta que passa pelos pontos V e F que é chamada de eixo de 
simetria. 
 
 
 
 
 
Equação da parábola com vértice na origem 
 
Antes de fornecermos a equação geral da parábola, vamos analisar a equação 
de quatro casos particulares onde o vértice das parábolas se encontram na 
origem dos eixos no plano cartesiano.: 
 
(I) Primeiro caso: V(0;0), Diretriz y = -c e foco F(0;c) 
 
 
 
Como d(P,F)=d(P,P’) temos que 
 
 
 
 
 
 
(II) Segundo caso: V(0;0) Diretriz y=c e foco F(0;-c) 
 
 
 
Como d(P,F)=d(P,P’) temos que 
 
 
 
(III) Terceiro caso: V(0;0) Diretriz x=-c e foco F(c;0) 
 
 
 
 
 
Como d(P,F)=d(P,P’) temos que 
 
 
 
 
(IV) Quarto caso: V(0,0) Diretriz x=c e foco F(-c;0) 
 
 
 
 
 
 
Como d(P,F)=d(P,P’) temos que 
 
 
 
 
Assim, para parábolas com vértice na origem, V(0,0), temos as equações x² = 
4cy, x² = -4cy, y² = 4cx e y² = -4cx. Note que para as duas primeiras equações 
a diretriz é paralela ao eixo Ox e para as demais, a diretriz é paralela ao eixo 
Oy. Quanto ao sinal, percebemos que quando c>0 a concavidade está voltada 
para o lado positivo do eixo e quando c<0 a concavidade está voltada para o 
lado negativo do eixo. Ressaltamos ainda que 4c que aparece em todas as 
equações é igual a duas vezes a distância do foco ao vértice ou do vértice à 
diretriz, assim, podemos substituí-los por 2a onde a = d(F,d) assim, as 
equações podem ser escritas da seguinte forma: 
 
 
 
 
Equação geral da parábola 
 
 
 
Para a equação geral, alguns autores apenas acrescentam as coordenadas do 
vértice às equações encontradas acima, da seguinte forma: 
 
 
 
 
E, apenas justificam o processo com alguns exemplos particulares para 
confirmar a veracidade da afirmação. Aqui, demos preferência à demonstração 
da equação geral, para que fique bem claro de onde saiu cada elemento da 
equação e assim, ter a confirmação bem embasada de sua veracidade. 
 
Demonstração: 
 
Dada a parábola de foco F(xf,yv), vértice V(xv,yv), diretriz d: x=xd e o ponto 
P(x,y) pertencente à parábola, podemos localizar o ponto P’(xd,y), como no 
gráfico a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Temos que d(P,F)=d(P,P'), logo, 
 
 
 
 
 
 
Desta forma encontramos a equação da parábola com diretriz d: x=xd . Para a 
demonstração de uma parábola com diretriz d: y = yd o processo é análogo. 
 
Equação do Círculo: 
 
1. Equação reduzida 
 
Seja uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r; temos o ponto P 
(x, y) pertencente à circunferência se, e somente se: 
 
 
d (Q, P) = r ou 
Então, uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r tem equação (x 
– a)2+ (y – b)2 = r2 (equação reduzida da circunferência). 
Observação – Se o centro da circunferência estiver na origem, então a = b = 0, 
e sua equação será: 
x2 + y2 = r2 
2. Equação geral ou normal 
Desenvolvendo a equação reduzida (x – a)2 + (y – b)2 = r2, vamos obter: 
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0 
Portanto, x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 é a equação geral da 
circunferência. 
Observação – A equação normal da circunferência também pode ser 
apresentada na forma x2 + y2 + Ax – By + C = 0, onde 
A = -2a, B = -2b e C = a2 + b2 – r2 
Aplicação: 
Determine as equações da circunferência de centro (1, 5) e raio 2. 
Solução: 
Sendo a = 1, b = 5 e r = 2, então, temos: 
Sendo a = 2, b = 4 e r = 3, então, temos: 
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 1)2 + (y – 5)2 = 22 
(x – 1)2 + (y – 5)2 = 4 (equação reduzida) 
(x – 1)2 + (y – 5)2 = 4 
x2 – 2x + 1 + y2 – 10y + 25 – 4 = 0 
x2 + y2 – 2x – 10y + 22 = 0 (equação geral)