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Autor: Prof. Alexandre Las Casas 
Colaboradoras: Profa. Fernanda Torello de Mello
 Profa. Ana Carolina Bueno Borges 
Matemática e Bioestatística
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Professor conteudista: Alexandre Las Casas
Possui graduação em Engenharia Química pela Universidade Guarulhos (1998) e mestrado em Tecnologia 
Nuclear/Engenharia Nuclear/Aplicações pelo Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares da Universidade de São 
Paulo (USP) – 2004. Atualmente, é professor-diretor adjunto de Engenharia Ambiental na Universidade Guarulhos e 
professor adjunto na Universidade Paulista (UNIP). Tem experiência na área de Ciência da Computação, com ênfase 
em Administração em Banco de Dados e Tecnologia da Informação (TI), atuando principalmente com os seguintes 
temas: Educação, Ensino, Estatística, Tratamento de águas residuárias, Tecnologias avançadas de processos químicos, 
Adsorção por carvão ativado, Processos nucleares e Gerenciamento de projetos.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
L341m Las Casas, Alexandre.
Matemática e bioestatística. / Alexandre Las Casas. – São Paulo: 
Editora Sol, 2014.
164 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XIX, n. 2-086/14, ISSN 1517-9230.
1. Matemática. 2. Bioestatística. 3. Probabilidades. I. Título.
CDU 51:57.087
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Lucas Ricardi
 Andréia Andrade
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Sumário
Matemática e Bioestatística
APRESENTAçãO ......................................................................................................................................................9
INTRODUçãO ...........................................................................................................................................................9
Unidade I
1 PRIORIDADES NAS OPERAçÕES ................................................................................................................ 11
1.1 Arredondamento .................................................................................................................................. 12
1.2 Potenciação ............................................................................................................................................ 17
1.2.1 Expoente inteiro negativo .................................................................................................................. 19
1.2.2 Potências de 10 ........................................................................................................................................ 20
1.2.3 Notação científica .................................................................................................................................. 21
1.2.4 Expoente negativo .................................................................................................................................. 23
1.2.5 Propriedades ............................................................................................................................................. 25
2 EQUAçÕES DO PRIMEIRO GRAU .............................................................................................................. 32
2.1 Equações do primeiro grau com uma incógnita ..................................................................... 33
2.1.1 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ......................................... 34
2.1.2 Produtos nulos ......................................................................................................................................... 35
2.1.3 Quocientes nulos .................................................................................................................................... 35
2.1.4 Raiz ou solução de uma equação .................................................................................................... 35
2.1.5 Conjunto verdade ou conjunto solução ........................................................................................ 35
2.2 Sistemas de equações ......................................................................................................................... 38
2.2.1 Sistemas de equações do primeiro grau ....................................................................................... 38
2.2.2 Dois métodos para a resolução de um sistema .......................................................................... 39
2.3 Equações do primeiro grau com duas incógnitas ................................................................... 41
3 EQUAçÕES DO SEGUNDO GRAU ............................................................................................................. 44
3.1 Equação e álgebra ................................................................................................................................ 44
3.2 Sistemas de equações do segundo grau ..................................................................................... 46
4 RAZãO E PROPORçãO .................................................................................................................................. 47
4.1 Razão de concentração – diluição ................................................................................................ 49
4.2 Proporção ................................................................................................................................................ 50
4.3 Porcentagem .......................................................................................................................................... 51
4.4 Regra de três .......................................................................................................................................... 53
4.4.1 Um pouco de razão ................................................................................................................................ 55
4.4.2 Um pouco de porcentagem ................................................................................................................ 57
4.5 Tabelas ...................................................................................................................................................... 71
4.5.1 Notas de Matemática ............................................................................................................................71
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4.5.2 Número de hosts ..................................................................................................................................... 73
4.5.3 Tabela com dupla entrada (esporte e gênero) ............................................................................ 74
Unidade II
5 ESTATÍSTICA ....................................................................................................................................................... 83
5.1 Definição .................................................................................................................................................. 83
5.2 Conceitos usados em Estatística .................................................................................................... 84
5.2.1 População e amostra ............................................................................................................................. 84
5.2.2 Estatística Indutiva e Estatística Descritiva ................................................................................. 84
5.2.3 Variáveis ...................................................................................................................................................... 84
5.2.4 Mensuração ............................................................................................................................................... 85
5.3 Para que usamos Estatística? .......................................................................................................... 86
5.3.1 Fases do trabalho estatístico .............................................................................................................. 86
5.4 Tabulação dos dados ........................................................................................................................... 92
5.4.1 Conceitos .................................................................................................................................................... 92
6 MEDIDAS E REPRESENTAçÕES GRÁFICAS ............................................................................................ 94
6.1 Medidas de tendência central ......................................................................................................... 94
6.1.1 Proporção ................................................................................................................................................... 96
6.1.2 Medidas de posição – separatrizes .................................................................................................. 98
6.2 Medidas de dispersão ou variabilidade .....................................................................................100
6.2.1 Variância ...................................................................................................................................................100
6.2.2 Desvio padrão .........................................................................................................................................100
6.2.3 Coeficiente de variação ......................................................................................................................101
6.3 Construção de gráficos ....................................................................................................................103
6.3.1 Gráfico de colunas................................................................................................................................105
6.3.2 Gráfico de linhas ...................................................................................................................................106
6.3.3 Gráficos comparativos ........................................................................................................................107
6.3.4 Gráfico de setores .................................................................................................................................108
6.3.5 Representação gráfica de distribuições de frequência..........................................................108
6.4 Diagramas de blocos .........................................................................................................................112
6.4.1 Diagramas circulares (pizza) ............................................................................................................. 115
7 NOçÕES DE PROBABILIDADES .................................................................................................................124
7.1 Conceitos básicos ...............................................................................................................................124
7.2 Probabilidade condicional...............................................................................................................125
7.3 Distribuição Normal ..........................................................................................................................127
7.3.1 Características da curva normal .................................................................................................... 128
7.3.2 A distribuição normal como modelo ........................................................................................... 130
7.3.3 Teorema do limite central ................................................................................................................ 130
8 TESTE DE HIPÓTESE E CORRELAçãO ......................................................................................................136
8.1 Nível de significância ........................................................................................................................138
8.2 Região de rejeição ..............................................................................................................................138
8.3 Teste do qui-quadrado (x2) .............................................................................................................140
8.4 Frequência esperada ..........................................................................................................................141
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8.5 Graus de liberdade .............................................................................................................................141
8.6 Qui-quadrado crítico ........................................................................................................................141
8.6.1 Regra da decisão ...................................................................................................................................141
8.6.2 Pré-requisitos para uso do qui-quadrado ................................................................................. 142
8.7 Correlação linear simples ................................................................................................................148
8.7.1 Coeficiente de correlação linear .................................................................................................... 148
8.7.2 Interpretação dos resultados .......................................................................................................... 148
8.7.3 Coeficiente de correlação linear de Pearson............................................................................. 149
8.7.4 Regressão linear simples ....................................................................................................................151
8.7.5 Equações de regressão ....................................................................................................................... 152
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APresentAção
A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos.
Aristóteles
A preocupação em escrever este livro-texto, Matemática e Bioestatística, foi fazer que você se 
familiarizasse mais com os conteúdos abordados, e não simplesmente “passasse” por eles.
Nesse sentido, foram propostas atividades que buscam incentivá-lo a refletir, a criar e até mesmo a 
buscar a Matemática e a Bioestatística em jornais, revistas etc. 
Nosso objetivo é desafiar o aluno a criar o hábito da leitura e a buscar soluções para um determinado 
problema, e este livro-texto visa reforçar, aprofundar ou até complementar o assunto estudado.
A apresentação de forma rigorosa, porém com linguagem simples e de fácil entendimento, norteou 
este trabalho. Com isso, uma pessoa que pretenda estudar esses assuntos de forma autodidadata não 
terá grandes dificuldades em assimilar os conceitos básicos.
Introdução
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja,
que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.
Lobachevsky
O mundo é regido pelas leis naturais e dentro de um universo de relações sociais que nos possibilitam 
a contextualização na Matemática. Constantemente, vários assuntos fazem parte de noticiários, entre 
eles, pesquisas de mercado, taxa de crescimento econômico, grupos sanguíneos, carbono 14 – relógio 
radioativo. Mas qual a relação desses assuntos com a Matemática e o que eles significam?
Como se verá a seguir, tratamos de assuntos envolvendo alguns desses temas, com leituras agradáveis, 
tratando dessa forma de conhecimentos práticos e contextualizados. 
Em nossa disciplina, veremos conceitos básicos a respeito dos assuntos trabalhados, mas tratamos 
também de conhecimentos mais amplos e abstratos. Tudo isso é feito para que possamos compreender 
as ciências quando houver a necessidade de codificar, ordenar, quantificar e interpretar fenômenos e 
informações estatísticas.
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MateMática e Bioestatística
Unidade I
1 PrIorIdAdes nAs oPerAçÕes
Você verá como é importante para o nosso estudo a ordem das operações em cálculos fundamentais. 
Entre as quatro operações fundamentais (+, -, ., ÷) a multiplicação e a divisão têm prioridade sobre a 
adição e a subtração. Elas devem ser efetuadas antes.
Exemplo:
3 + 4.2 - 8 ÷ 2 = 3 + 8 – 4 = 7
Tome cuidado quando as expressões tiverem separações por meio de sinais especiais (parênteses, 
colchetes ou chaves). Efetuamos primeiro, se possível, as operações indicadas dentro dessas separações.
Exemplo:
(5 + 3).2 ÷ (6 – 2.2) = 8.2 ÷ (6 – 4) = 16 ÷ 2 = 8
Exemplo de Aplicação
1) Encontre um valor para cada expressão a seguir:
a) 12 + 14 ÷ 7 – 5.3
b) 3 + 2.(5-3.2) + 4
c) 4.3 – 6.5 + 30 ÷ 3
d) 2 – 3.[5.2 – 3.4 + 2.(3.3 – 9)]
2) Efetue:
a) 3
2
2
5
+
b) 5
1
3
−
c) 1
2
2
5
10
8
1
3
15
2
+ ⋅



 + ⋅
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Unidade I
d) 2
3
4
9
÷
e) 4.0,25 – 0,3
f) 
5
3
25
9
1
15
+
3) Encontre um valor para cada expressão a seguir:
a) –(-3) +(-5).(-2)
b) – ( -3 + 5.2) – (12 ÷ 4)
c) 2 13
+
d) 3
4
8
9
27
8
⋅ ⋅
e) 2
3
8
27
÷
 Lembrete
1 - Nas expressões numéricas em que não há parênteses, as multiplicações 
e as divisões devem sempre ser feitas antes das adições e subtrações.
2 – Nas expressões com parênteses, colchetes e chaves, primeiro devem 
ser efetuados os cálculos que estão entre parênteses, depois, os que estão 
entre colchetes e, finalmente, os que estão entre chaves.
1.1 Arredondamento
A norma NBR 5891 da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) estabelece as regras fixas 
de arredondamento na numeração decimal, em uso na atualidade. Essas regras estão de acordo com a 
Resolução 886/66 do IBGE.
É importante perceber a relevância dos critérios de arredondamento, reconhecer o símbolo somatório 
nas operações e saber operar e arredondar os resultados, não importando a quantidade de casas decimais 
a ser trabalhada após a vírgula.
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MateMática e Bioestatística
Somatório
Para indicarmos a soma dos xi valores da variável x, isto é, x1+x2+x3+...+xn, usamos o símbolo Σ 
(sigma), em matemática denominado somatório.
Assim, a soma x1+x2+x3+...+xn pode ser representada por Σxi.
Exemplo: dados x1=2, x2=7, x3=9 e x4=6, temos: Σxi = 2+7+9+6 = 24.
Arredondamento
Sabemos que muitas vezes é necessário ou conveniente suprimir unidades inferiores às de 
determinada ordem. Essa técnica é denominada de arredondamento de dados.
Em nosso curso, adotaremos o seguinte critério para arredondamento de dados:
•	 Quando	 o	 primeiro	 algarismo	 a	 ser	 abandonado	 for	 0,	 1,	 2,	 3	 ou	 4,	 fica	 inalterado	 o	 último	
algarismo a permanecer. Exemplo: 53,24 para a 53,2.
•	 Quando	o	primeiro	algarismo	a	ser	abandonado	for	5,	6,	7,	8	ou	9,	aumenta-se	de	uma	unidade	o	
algarismo a permanecer. Exemplos: 42,87 passa a 42,9; 25,05 passa a 25,1.
Outros exemplos:
•	 O	número	p = 3,141592654..., arredondado com duas casas decimais, fica 3,14. Se arredondado 
com seis casas decimais, fica 3,141593.
•	 O	 número	 de	 Euler	 e = 2,718281828..., arredondado com três casas decimais, fica 2,718. Se 
arredondado com quatro casas decimais, fica 2,7183.
 observação
Arredondar não significa, necessariamente, deixar o número sem as 
casas decimais. Arredonda-se com o número de casas decimais que for 
necessário.
Não devemos fazer arredondamentos sucessivos.
Arredondar para fazer estimativas
Você verá agora que conhecer o valor exato de uma contagem nem sempre é tão importante. Em 
relação à população brasileira, por exemplo, se dissermos que ela é de 169.799.170 ou de 170 milhões, 
não estaremos mudando a ideia da quantidade de habitantes que queremos passar.
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Unidade I
Nesse caso, dizemos que o número 169.799.170 foi arredondado para 170 milhões.
É importante saber arredondar números, pois, em muitas situações do dia a dia, isso nos ajuda a 
fazer uma estimativa do resultado que se quer.
Arredondar um número significa trocá-lo por outro mais próximo de uma ordem escolhida. Por 
exemplo, ao comprar três produtos que custam 41, 28 e 19 reais, podemos arredondar esses números 
para 40, 30 e 20. Assim, sabemos mais facilmente que o total a pagar é um valor próximo de 90 reais.
A fim de arredondar um número para uma determinada ordem, deve-se observar o primeiro algarismo 
que está à direita do algarismo da ordem escolhida: se for 0, 1, 2, 3 ou 4, mantém-se a ordem; se for 5, 
6, 7, 8 ou 9, soma-se 1 ao algarismo da ordem escolhida.
Veja alguns exemplos de arredondamentos.
Arredondar para a dezena mais próxima:
36 40
75 80
183 180
→
→
→
Arredondar para a centena mais próxima:
236 200
657 700
5418 5400
→
→
→
Arredondar para o milhar mais próximo:
5982 6000
24157 24000
37539 38000
→
→
→
Exemplo de aplicação
1) Sendo: x: 2, 3, 7, 8 e 0, determine:
a) Σxi
2
b) (Σxi)
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MateMática e Bioestatística
2) Dado
x 1 3 2
y 0 9 1
calcule:
a) Σxy
b) Σy/x
c) Σ(x - y)2
d) Σ3x
e) ΣxΣy
f) 
( )2
2
x y+∑
g) Σy(x-1) 
h) Σyx2 
i) Σ5
3) Arredonde os números a seguir na 3ª casa decimal:
a) 0,0042 
b) 0,222222 
c) 0,0067 
d) 0,66666 
e) 2,709861 
f) 0,333333
g) 732,131313 
h) 0,00087
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4) Arredonde os números a seguir na 2ª casa decimal:
a) 0,88888
b) 12,035
c) 6,054
d) 13,194
e) 10,4031
f) 0,005
g) 13,14159
h) 2,718
5) Em um posto de saúde, a enfermeira pediu a uma auxiliar que contasse quantas vacinas contra 
a gripe ainda havia nas três caixas. A auxiliar contou as vacinas de cada caixa e anotou em um papel: 
(617 + 1578 + 736).
Para ter uma ideia do total de vacinas, a enfermeira fez um cálculo mental, arredondando as parcelas. 
Veja como ela fez isso:
Usando arredondamento, ela conseguiu: 600 + 1600 + 700 = 2900 vacinas aproximadamente, o que 
está correto, por aproximação.
6) Em uma loja, Lucio comprou objetos nos valores a seguir: 19, 38 e 64. Quando perguntou ao 
vendedor quanto deveria pagar, foi informado de que seriam 151 reais. Lucio pensou e aproximou os 
valores para fazer um cálculo rápido e descobriu que o total era: 20 + 40 + 60; portanto, aproximadamente 
120 reais.
a) O que Lúcio fez para perceber o engano do vendedor?
Estimou o total arredondando os números e fazendo um cálculo mental.
b) Qual foi o valor da compra dele?
O valor foi de 121 reais.
c) Quando você precisa comprar algumas coisas, costuma fazer uma estimativa do valor total antes 
de pagar? Conhece alguém que costuma fazer? Você acha esse procedimento importante? Por quê?
Resposta pessoal.
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MateMática e Bioestatística
 Lembrete
1 - Arredondar não significa, necessariamente, deixar o número sem 
as casas decimais. Arredonda-se com o número de casas decimais que for 
necessário.
2 - Não devemos fazer arredondamentos sucessivos.
 saiba mais
O site a seguir pode ser de grande interesse:
<www.somatematica.com.br>
1.2 Potenciação
Neste tópico, mostraremos a importância de possuir habilidades em cálculo mental e reconhecer 
a potenciação em situações contextualizadas, além de compreender os conceitos e saber como as 
fórmulas se originaram.
Você já deve ter ouvido que a potenciação nada mais é do que a representação de um produto 
de fatores iguais. Por exemplo: 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 54. O número 5 é chamado de base da potência 
e o número 4, de expoente. Uma estratégia interessante para construir com significado a ideia 
de potência é por meio de problemas de contagem que envolvam processos multiplicativos de 
fatores iguais. 
Por exemplo: as unidades de memória dos computadores são amplamente conhecidas hoje em 
dia. O uso de termos como megabytes ou gigabytes para se referir à capacidade de memória de 
dispositivos eletrônicos tornou-se tão comum quanto o uso de quilograma para se referir à massa 
de determinado produto. Fala-se com naturalidade em pen drives de 8 gigabytes, CD-ROMs de 
700 megabytes, DVDs de 4,7 gigabytes, entre outras coisas. Essas especificações fazem parte do 
cotidiano no mundo da informática. Contudo, o significado do termo byte e de seus múltiplos 
ainda é alvo de muitas confusões.
Na Ciência da Computação, o byte é a unidade básica de armazenamento de memória no computador. 
Um byte é constituído por 8 bits. O bit (binary digit, ou dígito binário) é a menor unidade lógica de 
armazenamento de informação em um computador. O valor de um bit é determinado pelo estado de 
um dispositivo eletrônico interno do computador, chamado capacitor, que armazena energia em um 
campo elétrico. Ele pode ser usado para representar informação de forma binária em um computador, 
assumindo somente dois valores: 0, quando o capacitor está desligado (descarregado), e 1, quando está 
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Unidade I
ligado (ou carregado). Por essa razão, as informações em um computador estão codificadas em uma 
base de numeração binária, e não decimal.
Se cada bit só pode assumir dois valores, o número total de informações que podem ser armazenadas 
com 3 bits é dado por 2 . 2 . 2 = 23. Portanto, com 4 bits é possível armazenar 24 ou 16 informações. 
Com 5 bits, 25 ou 32, e assim por diante. Generalizando, com n bits, é possível armazenar 2n informações.
Sendo a um número real e n um número natural, chama-se potência de expoente inteiro o número 
an ou a-n assim definido:
Se n ≥ 2, então
an = a.a.a. ... .a.a (n fatores iguais a a).
Exemplos:
a) 23 = 2.2.2 = 8
b) 34 = 3.3.3.3 = 81
c) 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
5


 =



 ⋅



 ⋅



 ⋅



 ⋅




. . . . . = 132
d) (-0,4)3 = (-0,4). (-0,4). (-0,4) = - 0,064
Se n = 1, então 
a1 = a
Exemplos:
a) 21 = 2
b) 
2
3
2
3
1


 =
c) ( )5 51 =
d) (-0,7)1 = - 0,7
Se n = 0, então 
a0 = 1
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MateMática e Bioestatística
Exemplos:
a) 50 = 1
b) (-2)0 = 1
c) ( , - )5 3 3 10 =
d) p0 = 1
1.2.1 Expoente inteiro negativo 
Se a ≠ 0, então toda potência de expoente inteiro negativo e base não nula é igual ao inverso da 
potência que se obtém conservando a base e trocando o sinal do expoente.
a
a a
n
n
n
−
=



 =
1 1 , quaisquer que sejam o número real a, não nulo e o inteiro n.
Exemplos:
a) 2
1
2
1
2
1
8
3
3
3
−
=



 = =
b) 
2
5
5
2
5
2
5
2
25
4
2 2


 =



 = ⋅ =
−
c) −( ) = −

 = −



 = − = −−
−
0 2
2
10
10
2
5 1253
3 3
3, ( )
Exemplo de Aplicação
1) Calcule os seguintes números, resolvendo as potências:
a) 33 =
b) (0,2)4 =
c) (0,3)2 =
d) (-5)2 = 
e) (-5)3 =
f) 3-2 =
g) 70 =
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Unidade I
h) (- 13)0 =
i) (3/4)-3 =
j) (0,25)-2 =
k) -(-0,5)-2 =
2) Coloque na forma de potência:
a) 32 =
b) 81 =
c) 100000 =
d) 0,01 =
e) 0,00001 =
1.2.2 Potências de 10
Expoente positivo
Para escrever grandes números e operar com eles, recorremos às potências de base 10 com expoentes 
positivos. Observe:
cem = 1 00 10
2
2
zeros

=
mil = 1 000 10
3
3
zeros

=
10 mil = 
10000 10
4
4
zeros

=
100 mil = 100000 10
5
5
zeros

=
1 milhão = 
1000000 10
6
6
zeros
��� �� =
1 bilhão = 1000000000 10
9
9
zeros
� �� �� =
1 trilhão = 
1000000000000 10
12
12
zeros
� ��� ��� =
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MateMática e Bioestatística
1 quatrilhão = 
1 000000000000000 10
15
15
zeros
� ���� ����
� ���� ����
=
1 quintilhão = 1000000000000000000 10
18
18
zeros
� ����� ����� =
1 sextilhão = 1021
1 setilhão = 1024
1 octilhão = 10271 nonilhão = 1030
1 decilhão = 1033
1.2.3 Notação científica
O objetivo principal da notação científica é o aprofundamento da notação numérica na forma 
de potências. Vamos formalizar o conceito de notação científica e apresentar a noção de ordem de 
grandeza. Esses dois conceitos são de fundamental importância não só para os estudos da Matemática, 
mas, também, para as ciências Física, Biologia e Química.
O principal argumento para justificar o uso de uma notação na forma de potências de dez é que ela 
facilita a compreensão, a comparação e a operação com números muito grandes ou muito pequenos. As 
informações numéricas escritas na forma decimal nem sempre são inteligíveis. Por exemplo: o raio do 
átomo de hidrogênio mede aproximadamente 0,000000005 cm; uma célula é formada por cerca de 2 
000 000 000 000 de átomos. Dificilmente somos capazes de assimilar informações como essas. Usando 
a notação exponencial, é possível ter uma ideia da ordem de grandeza desses números:
•	 raio	do	átomo	de	hidrogênio:	5	.	10-9 cm;
•	 número	de	átomos	em	uma	célula:	2	.	1012.
 observação
Na notação científica, o coeficiente deve ser um número compreendido 
entre 1 e 10, podendo ser igual a 1 mas menor que 10.
Exemplo: o número de habitantes da Terra em outubro de 1999 era de 6 . 109.
Essa forma de escrever o número é denominada notação científica. Ela 
tem um coeficiente (6) e um expoente (9).
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Unidade I
Exemplos:
1) Passar os números escritos em notação científica para a forma decimal:
a) 9 . 10
5
5 zeros
 = 9 00000
b) 3,4 . 10 340000000
8
8 zeros

=
A vírgula avança 8 casas.
c) 5,142 . 10 5142000000000
12
12 zeros

=
2) Passar os números escritos na forma decimal para notação científica:
a) 
20000000
7 zeros
��� �� = 2 . 107
b) 
160000000
8↓
� � �� ��
casas
 = 16,
coeficiente
 . 10
8
↓

 parte inteira 8 zeros
 do coeficiente
c) 
825000000000
11↓
�� ��� ���
casas
 = 8,25 . 1011
 parte inteira 
 do coeficiente
d) 
7435000
6 casas
��� �� = 7,435 . 106
e) 22 100 000 000 = 2,21 . 1010
Exemplo de Aplicação
1) Passar para a forma decimal:
a) 3.107 = 30 000 000
b) 1,2 . 106 = 1 200 000
c) 4,15 . 109 = 4 150 000 000
d) 2,22 . 1010 = 22 200 000 000
2) Escreva em notação científica:
a) 700 000 = 7 . 105
23
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MateMática e Bioestatística
b) 1 800 000 000 = 1,8 . 109
c) 35 000 000 = 3,5 . 107
d) 295 000 000 000 = 2,95 . 1011
3) Responda às seguintes questões:
a) A igualdade 160 000 000 = 16. 107 é correta? 
Sim, podemos escrever 16 . 107.
b)E 16 . 107 é a notação científica de 160 000 000?
Não, a notação científica é 1,6 . 108.
1.2.4 Expoente negativo
Também recorremos às potências de 10 e à notação científica para escrever e operar com números 
de valores absolutos muito pequenos. Para isso, usamos expoentes negativos. Observe:
1 décimo = 0 1
1
,
zero
 = 10-1
1 centésimo = 0 0 1
2
,
zeros
 = 10-2
1 milésimo = 0 00 1
3
,
zeros
 = 10-3
1 décimo de milésimo = 0 0001
4
,
zeros
 = 10-4
1 milionésimo = 
0 000001
6
,
zeros
��� �� = 10-6
1 bilionésimo = 0 000000001
9
,
zeros
� �� �� = 10-9
1 trilionésimo = 
0 000000000001
12
,
zeros
� ��� ��� = 10-12
Por exemplo, em notação científica, o número cinco bilionésimos se escreve: 5 . 10-9. E, na forma 
decimal: 0,000000005.
Veja a conversão de uma forma para a outra.
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Unidade I
Exemplos:
1) Passar os números escritos em notação científica para a forma decimal:
a) 2,6 . 10
4−
 = 0,00026
 a vírgula recua 4 casas 
b)5,25 . 10
11−
 = 0,0000000000525
A vírgula recua 11 casas.
2) Passar os números escritos na forma decimal para a notação científica:
0 000333
4
,
casas
 = 3,33 . 10-4
Exemplo de Aplicação
1) Escreva na forma decimal:
a) 1,3 . 10-3 = 0,0013
b) 4,25 . 10-5 = 0,0000425
c) 1,11 . 10-4 = 0,000111
d) 8 . 10-6 = 0,000008
2) Passe para a notação científica:
a) 0,000012 = 1,2 . 10-5
b) 0,000007 = 7 . 10-6
c) 0,01111 = 1,111 . 10-2
d) 0,00222 = 2,22 . 10-3
3) A velocidade da luz no vácuo é de 300 000 km por segundo. Se uma hora tem 3 600 segundos, 
que distância percorre a luz em cinco horas?
Resolução:
Em cinco horas há 5 . 3 600 segundos = 18 000 segundos.
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MateMática e Bioestatística
Se em cada segundo a luz percorre 300 000 km, em 18 000 segundos ela percorre 300 000 . 18 000, 
o que dá 5 400 000 000 km. 
Como é um número muito grande, escrevemos em notação científica: 5,4 . 109.
 saiba mais
Recomendamos a leitura dos seguintes periódicos: 
•	 Boletim	do	Grupo	de	Estudos	e	Pesquisas	em	Educação	MatemáticA	
(Gepem). Rio de Janeiro: UFRRJ, 2008-2014.
•	 Ciência	Hoje.	 São	 Paulo:	 Sociedade	Brasileira	 para	 o	 Progresso	 da	
Ciência (SBPC), 1999-2014.
1.2.5 Propriedades
Sendo a e b números reais não nulos e m e n números inteiros, valem para as potências as seguintes 
propriedades:
•	 Multiplicação de potências de mesma base
Um produto de potências de mesma base é igual à potência que se obtém conservando a base e 
somando os expoentes.
a a an m n m. = +
Exemplos:
a) 25 . 23 = 25+3 = 28 = 256
b) 4 –2 .4 4 = 4 –2 + 4 = 4 2 = 16
c) 5 –3 . 55 . 5 –2 = 5 –3 + 5 + ( -2 ) = 50 = 1
•	 Divisão de potências de mesma base 
Um quociente de potências de mesma base é igual à potência que se obtém conservando a base e 
subtraindo os expoentes.
am
an
am n= − a ≠ 0
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Unidade I
Exemplos:
a) 
2
2
2 2 4
5
3
5 3 2
= = =
−
b) 
2
2
2 2 2
1
2
3
2
3 2 3 2 1
−
−
− − − − + −
= = = =
( )
•	 Multiplicação de potências de mesmo expoente
Um produto de potências de mesmo expoente é igual à potência que se obtém multiplicando as 
bases e conservando o expoente.
an n nb ab. ( . )=
Exemplos:
a) 23. 53 = (2.5)3 = 103 = 1000
b) (0,5)4. 24 = (0,5.2)4 = 14 = 1
c) 1
2
4
1
2
4 2
7
7
7
7

 ⋅ = ⋅



 =
•	 Divisão de potências de mesmo expoente
Um quociente de potências de mesmo expoente é igual à potência que se obtém dividindo as bases 
e conservando o expoente.
a
b
a
b
m
m
m
=



 b ≠ 0
Exemplos:
a) 
9
3
9
3
3 81
4
4
4
4
=



 = =
b) 
4
1
2
4
1
2
4
2
1
8 512
3
3
3
3
3
 
=






=



 = =.
•	 Potência de potência
Uma potência elevada a um dado expoente é igual à potência que se obtém conservando a base e 
multiplicando os expoentes.
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MateMática e Bioestatística
( ) .a am n m n=
Exemplos:
a) (23)2 = 23. 2 = 26
b) (54)3 = 512
Exemplo de Aplicação
1)Aplique as propriedades das potências e escreva numa só potência e com expoente positivo.
a) 34.35 =
b) 2 –3 .2 –2 =
c) 3
4
2 3
4
3( ) ( )−. =
d) 2
3
24
=
e) 3
2
3 1
−
−
=
f) 122 . 0,52 =
g) 20
3
53
=
h) (315)3 =
i) (24)5.(2-3)6 =
2) Na Grécia Antiga, o maior número que tinha um nome era 10000: ele se chamava miríade. 
Arquimedes, um matemático grego, intrigado com a quantidade de grãos de areia existentes na face 
da Terra, pensou num método de expressar números muito grandes, começando por uma “miríade de 
miríades”.
a) Escreva uma miríade na forma de potência de 10. 
Resposta: 104.
b) Quanto é uma miríade de miríades?
Resposta: (104)2=104 . 2 = 108.
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Unidade I
3) O volume de bactérias num recipiente dobra a cada hora que passa. Se num dado instante o 
volume é de 1 cm3, indique os resultados na forma de potência de base 2.
a) Qual será o volume após 10 horas?
Resposta: 210 cm3.
b) Qual era o volume 4 horas antes?
Resposta: 2-4.
4) Calcule as potências:
a) 73
b) (-3)2
c) 
3
2
2



d) 
−




2
5
2
e) (-1,1)2
f) 103
g) (-4)3
h) 
4
7
2



i) −


1
6
3
j) (3,14)1
k) 15
l) (-1)6
m) 
16
713
1



n) −


3
10
4
o) (-1,71)0
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MateMática e Bioestatística
p) 09
q) (-10)0
r) 
1
5
3



s) 
−




71
15
1
t) (0,2)4
Respostas:
a) 343
b) 9
c) 9/4
d) 4/25
e) 1,21
f) 1000
g) -64
h) 16/49
i) -1/216
j) 3,14
k) 1
l) 1
m) 16/713
n) 81/10000
o) 1
p) 0
30
Re
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a
Unidade I
q) 1
r) 1/125
s) - 71/15
t) 0,0016
5) Calcule as potências:
a) 10-2
b) (-2)-2
c) 
3
4
3



−
d) −


−2
3
2
e) (0,1)-2
f) 4-2
g) (-3)-2
h) 
1
5
3



−
i) −


−1
4
3
j) (0,5)-1
k) 6-3
l) (-1)-4
m) 
6
7
2



−
n) 
−




−3
7
2
o) (1,5)-1
p) 1-5
31
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 d
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a
MateMática e Bioestatística
q) (-2)-5
r) 
10
9
1



−
s) −


−13
10
1
t) (0,25)-2
Respostas:
a) 1/100
b) 1/4 
c) 64/27
d) 9/4
e) 100
f) 1/16
g) 1/9
h) 125
i) -64
j) 2
k) 1/216
l) 1
m) 49/36
n) 49/9
o) 2/3
p) 1
q) -1/32
r) 9/10
32
Re
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a
Unidade I
s) -10/13
t) 16
5) Em virtude do desgaste, o valor de um carro vai diminuindo com o tempo. A cada ano que passa, 
o valor fica multiplicado por 0,8. Se hoje o carro vale R$ 20 000,00, quanto valerá daqui a três anos?
Resolução:
(0,8)3 . 20 000,00 
(0,8)3 = (0,8).(0,8).(0,8) = 0,512
0,512 . 20 000,00 = 10240
Resposta: R$ 10 240,00.
2 eQuAçÕes do PrIMeIro GrAu
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra 
equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer “igual”. Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3 (não é igualdade)
5 ≠ -2 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
A equação geral do primeiro grau:
ax+b = 0
onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0. Resolve-se de maneira simples: subtraindo b 
dos dois lados, obtemos:
ax = -b
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MateMática e Bioestatística
dividindo agora por a (dos dois lados), temos:
x
b
a
= −
É importante que você domine a técnica resolutiva de equações do primeiro grau, reconheça que 
as equações constituem uma ferramenta importante para a resolução de problemas e saiba utilizar de 
maneira apropriada o recurso algébrico das equações para encontrar a resposta apropriada.
2.1 equações do primeiro grau com uma incógnita
Você deve olhar para as equações como uma pergunta, cuja resposta pode-se descobrir por meio 
de um raciocínio aritmético. Não é necessário nenhum tipo de registro formal. É muito comum que 
alguns alunos queiram o registro formal, outros façam “de cabeça” e outros tenham um tipo de notação 
própria. O mais importante é que você descubra a resposta sem o uso de uma técnica específica. O uso do 
raciocínio lógico e do pensamento aritmético é de fundamental importância na Matemática. Contudo, 
em muitas situações, o uso apenas do raciocínio aritmético nem sempre é um caminho fácil. Por exemplo, 
quando a incógnita aparece em ambos os lados da equação, o uso exclusivo do raciocínio aritmético é 
insuficiente para uma resolução rápida e precisa. Nesse caso, adotamos técnicas de resolução.
Podemos fazer uma comparação entre o equilíbrio na balança de dois pratos e a igualdade na 
equação. O uso da balança como analogia para explicar o funcionamento das equações se baseia na 
aproximação de dois conceitos: o equilíbrio na balança e a igualdade na equação. E como funciona uma 
balança de dois pratos?
É simples: em um prato, coloca-se o produto a ser pesado, por exemplo, uma fruta. No outro, 
colocam-se peças de diferentes tamanhos com pesos padronizados. Quando os pratos atingem o mesmo 
nível, determina-se o peso da fruta, comparando-o com o peso das peças padronizadas, cujo valor já é 
conhecido.
Se compararmos, por exemplo, o peso de 3 cenouras ao peso de 2 bananas e uma peça de 200 
gramas, vamos representar simbolicamente o peso de uma cenoura por C e o da banana por B. Se houver 
equilíbrio na balança, podemos escrever simbolicamente que 3C = 2B + 200 g. 
O uso das letras e o sinal de igualdade são elementos que caracterizam uma equação. Dessa forma, 
é possível fazer essa aproximação entre o equilíbrio de pesos em uma balança e a igualdade numérica 
na equação. O pressuposto é que as letras representam números que tornam a igualdade verdadeira.
O uso da balança é eficaz para introduzirmos o conceito de equação, mas vale lembrar que tem 
suas limitações, uma vez que a balança não pode representar adequadamente uma série de situações 
numéricas: os valores negativos, as operações com raízes e potências, a multiplicação por números 
negativos etc. 
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Unidade I
O exemplo citado foi simplesmente para entender o conceito sobre equações.
Chamamos de equação do primeiro grau, na incógnita x, a toda igualdade redutível à forma 
ax + b = 0, sendo a e b números reais dados (são dados, logo não são incógnitas) e a ≠ 0.
Chamamos de equação a toda igualdade que envolve pelo menos uma incógnita. São exemplos de 
equações:
2x + 3 = 0
x2 – 5x = 10 
2x = 5 
x2 + y2 = 9 
x + y + z = 8
 observação
1 – Usamos, na definição de equação do primeiro grau, a incógnita x, 
mas ela é válida para qualquer outra incógnita (y, z, t, w...).
2 – O sinal de igualdade determina dois ladospara a equação. Cada um 
deles será denominado “membro”.
 saiba mais
Indicamos a leitura da: 
Revista do Professor de Matemática (RPM). São Paulo: Sociedade 
Brasileira de Matemática; CNPQ; USP, [s.d.]. 
2.1.1 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição
Se a, b e c são números reais, então:
a.(b + c) = a.b + a.c
Exemplos:
a) 2 1 2 2 1 2 2.( ) . .x x x+ = + = +
b) − − = − + − − = − +3 4 2 3 4 3 2 12 6.( ) . ( ).( )x x x
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MateMática e Bioestatística
2.1.2 Produtos nulos
“Um produto entre números reais é nulo se, e somente se, um dos seus fatores for nulo.”
Simbolicamente: A.B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0
2.1.3 Quocientes nulos
“Um quociente entre dois números reais A e B (B ≠ 0) é nulo se, e somente se, seu dividendo A for nulo.”
Simbolicamente: 
A
B
= 0 ⇔ A = 0 e B ≠ 0
 observação
Estudaremos, a princípio, somente as equações com uma única 
incógnita real.
2.1.4 Raiz ou solução de uma equação
É o valor real pelo qual substituímos a incógnita e que torna a igualdade numericamente verdadeira.
Exemplos:
O número 5 é raiz da equação 2x – 1 = 9, pois substituindo x por 5 a igualdade 2.5 – 1 = 9 é 
verdadeira. No entanto, substituindo-se x pelo número 3, a igualdade 2.3 – 1 = 9 é falsa. O número 3 
não é uma raiz da equação.
2.1.5 Conjunto verdade ou conjunto solução
É o conjunto formado por todas as raízes da equação e somente por elas. Indicamos esse conjunto 
pela letra V ou S.
Exemplos:
O número 4 é a única raiz da equação 3x – 5 = 7 (verifique). O conjunto solução ou verdade é:
S = {4}
Os números 2 e 3 são as raízes da equação x2 – 5x + 6 = 0. O conjunto solução ou verdade é:
S = {2 ; 3}
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Unidade I
 Lembrete
1 – Resolver uma equação é determinar o seu conjunto solução.
2 – A parte da Matemática que envolve letras, cálculos com letras, 
fórmulas etc. é denominada álgebra.
 observação
O uso das letras começou com matemáticos árabes há 1.200 anos. Um 
dos motivos para que isso ocorresse foi que, naquela época, repartir uma 
herança podia ser um grande problema, por causa da utilização de regras 
complicadas.
Exemplo de Aplicação
1) Aplique a propriedade distributiva:
a) –2.(x + 2) =
b) 4.(3x – 2) =
c) 
5
3
3 6⋅ −( )x =
d) 2
2
1.( )
x
− = 
2) Verifique se o número –2 é raiz da equação:
x2 –2x = 8.
3) Resolva, em R, as seguintes equações:
a) 4x – 5 = 0
b) –3x + 6 = 0
c) 2.(2x+1) = 3
4) Resolva, em R, as equações quociente:
a) x
x
+
−
=
3
2
0
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MateMática e Bioestatística
b) 
2 3
2
0
x
x
−
−
=
5) Verifique, entre os números 2, 
3
4
1
2
e , quais são raízes da equação 8x 2 – 10x + 3 = 0.
6) Resolva, em R, as equações:
a) –3x + 7 = 2x
b) 21.(x – 7) + 12 = 4.(5x – 30)
c) 2.(x – 2) – 3.(2 – 3x) = 13x – 18
d) x.(x + 3) – 2x.(x + 5) = -x 2 + 6x + 8
e) 2
3 ⋅
(3x + 6) - 5
4 ⋅
(-4x – 8) = 20
7) Resolva, em R, as seguintes equações:
a) x
x x
−
+
=
−1
2
2 1
3
b) 5(x+1) - 
x − 2
2
= 24
8) Resolva, em R, a equação a seguir:
2 3
3
3 1
2
2
( ) ( )x x+
−
−
= −
9) Resolva, em R, as seguintes equações:
a) 4x –2 = - 5x + 7
b) 4x + 9 = - 3x – 5 
c) 
x x−
=
+9
2
2 3
4
d) 
x x
x
x
8 6
5
8 2
+ − = −
e) x x x−
−
−
=
+
−
1
3
5 4
12
1 3
4
5
24
( )
f) x x−
−
+
=
2
3
1
4
3
4
g) x x−
−
−
=
1
2
3
3
6
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Unidade I
h) x x x
−
+
−
=
1
5
2 1
3
i) 
x x x
3
3 5
4
3
2
+
−
=
+( )
j) 
x
x x
x+
+ = −
−
+
3
2
3 4
6
3
1
k) x.(x-1) = x 2 – x + 3
l) 7.(3x - 
1
7
) = 21x – 1
10) Determine o valor de a, a ∈ R, de modo que –4 seja raiz da equação (a – 5).x + 7 = 12.
 Lembrete
A solução de uma equação do primeiro grau com duas incógnitas são 
pares ordenados.
2.2 sistemas de equações
Quando tratamos as equações do 1° grau com duas variáveis, vimos que equações do tipo 
x + y = 20 admitem infinitas soluções, pois, se não houver restrições como as desse exemplo, 
podemos atribuir qualquer valor a x, e para tornar a equação verdadeira, basta que calculemos y 
como sendo 20 - x.
A equação x - y = 6, pelos mesmos motivos, não havendo restrições, também admite infinitas 
soluções.
Como as equações x + y = 20 e x - y = 6 admitem infinitas soluções, podemos nos perguntar:
Será que, entre essas soluções, existem aquelas que são comuns às duas equações, isto é, que 
resolvam ao mesmo tempo tanto a primeira quanto a segunda equação?
Assim, os objetivos deste tópico são resolver sistemas de equações pelo método da adição ou da 
substituição, analisar e discutir as possíveis soluções de um sistema e interpretar graficamente a solução 
de um sistema.
2.2.1 Sistemas de equações do primeiro grau
A um conjunto de equações do primeiro grau, que devem ser satisfeitas simultaneamente, damos o 
nome de sistema do primeiro grau ou sistema linear.
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MateMática e Bioestatística
Resolveremos, inicialmente, somente os sistemas do primeiro grau compostos por duas equações e 
duas incógnitas.
2 3 7
5
2 7
3 9
5
7
x y
x y
x y
x y
x y
y
+ =
− =

− = −
+ =

+ =
=

Resolver um sistema do primeiro grau com duas equações e duas incógnitas é procurar um valor 
para cada uma dessas duas incógnitas, de modo que esse par de valores, que representará uma solução 
do sistema, satisfaça as duas equações ao mesmo tempo. 
Indicamos o par ordenado por (x, y), e a ordem interna no par, geralmente, é a ordem alfabética.
O conjunto solução é formado por todos os pares que satisfazem o sistema.
2.2.2 Dois métodos para a resolução de um sistema
•	 Método da substituição: nesse método, isolamos uma das incógnitas, numa das equações, e 
substituímos o valor na outra equação.
Exemplo:
x y
x y
+ =
− =

3 7
3 1
Isolando-se x na primeira equação, obtemos: x = 7-3y. Substituindo-se o valor de x na segunda 
equação, encontraremos: 3.(7 – 3y) – y = 1. 
Resolvendo-se essa equação, obtemos:
21 – 9y – y = 1
21 – 1 = 9y + y
20 = 10y
y = 2
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Unidade I
Para determinarmos o valor de x, basta substituirmos em x = 7 – 3y o valor y = 2. Temos, então: 
x = 7 – 3 . 2 = 7 – 6 = 1.
Resposta: S = {(1;2)}
•	 Método da adição: nesse método, escolhemos a mesma incógnita nas duas equações e 
multiplicamos por números reais, convenientemente escolhidos, cada uma das equações a que 
pertencem, de modo que, ao adicioná-las, a eliminemos.
Exemplo:
x y
x y
+ =
− =

3 7
3 1
Para eliminarmos a incógnita x, por exemplo, multiplicaremos a primeira equação por – 3 e a segunda 
por 1. Obtemos:
− − = −
− =

3 9 21
3 1
x y
x y
Adicionando-se membro a membro essas duas equações, obtemos:- 9y – y = - 21 + 1
Assim: -10y = -20 e, então, y = 2. 
Para obtermos o valor de x, basta retornarmos a qualquer das equações que contenham essa 
incógnita.
S = {(1;2)}
Exemplo de Aplicação 
1) Resolver o sistema pelo método da substituição:
a
x y
x y
b
p q
p q
)
)
2 5 6
4
2 3 8
4 7
− = −
+ =

+ =
− + =

41
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MateMática e Bioestatística
2) Resolver o sistema pelo método da adição:
a
x y
x y
b
x y
x y
)
)
.( )
( )
2 7
3 2 21
1 3 2
2 3 5 17
− =
+ =

+ = +
+ = +

2.3 equações do primeiro grau com duas incógnitas
Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y
Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, podendo ser transformada numa equação 
equivalente mais simples. Assim:
2x + 3y = 5 + 6
2x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c. 
Denominamos equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação que pode ser reproduzida 
à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente.
Na equação ax + by = c, denominamos:
x + y: variáveis ou incógnita; 
a: coeficiente de x;
b: coeficiente de y;
c: termo independente.
Exemplos:
x + y = 30 
2x + 3y = 15
x - 4y = 10 -3x - 7y = -48 
2x- 3y = 0
x - y = 8
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Unidade I
Nosso objetivo neste tópico é fazer que você domine a técnica resolutiva de equações do primeiro 
grau com duas incógnitas, reconheça que as equações constituam uma ferramenta importante para a 
resolução de problemas e saiba utilizar de maneira apropriada o recurso algébrico das equações para 
encontrar a resposta apropriada.
Veja a equação a seguir:
x + y = 10; x – y = 3; x = 5y + 5; 3y = x + 2
Equações como essa são equações do primeiro grau com duas incógnitas, pois podem ser escritas na 
forma: ax + by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0.
É chamada do primeiro grau porque o expoente das incógnitas é 1 (um): x = x1 e y = y1.
Exemplos:
x + y = 10 → a = 1, b = 1 e c = 10
x – y = 3 → a = 1, b = -1 e c = 3
x = 5y + 5 → x – 5y = 5 → a = 1, b = -5 e c = 5
3y = x + 2 → -x + 3y = 2 → a = -1, b = 3 e c = 2
 observação
A solução de uma equação do primeiro grau com duas incógnitas são 
pares ordenados.
 Lembrete
As equações são um recurso muito importante para resolver diversos 
tipos de problema. No entanto, quem aprende equações nunca deve 
esquecer outros meios de resolução de problemas, como fazer tentativas, 
raciocinar com aritmética, observar padrões etc.
Exemplo:
A equação x + y = 10 tem como soluções os pares ordenados (1,9); (2,8); 
3
2
17
2
,

 ; (-1, 11); (4, 6) etc.
43
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MateMática e Bioestatística
Exemplo de Aplicação
1) Escreva em cada item cinco pares ordenados que sejam soluções da equação correspondente:
x– y = 2
Por exemplo: (10, 8); (6, 4); (4, 2); (2, 0); (1, -1); 2
1
2
1
2
,

 etc.
2x + y = 12
Por exemplo: (1, 10); (2, 8); (3, 6); (6, 0); (0, 12); (-1, 14) etc.
Como determinar as soluções da equação do primeiro grau com duas incógnitas: para encontrar 
os pares ordenados que são soluções de equações do primeiro grau com duas incógnitas, atribuímos 
qualquer valor a uma das incógnitas e encontramos o valor da outra. Veja o exemplo, no qual vamos 
determinar três pares ordenados que sejam soluções da equação 3x + 2y = 10:
Primeira solução Segunda solução Terceira solução
Fazendo x = 0: Fazendo y = 0: Fazendo x = 3:
3 . 0 + 2y = 10 3x + 2. 0 = 10 3 . 3 + 2y = 10
 2y = 10 3x + 0 = 10 9 + 2y = 10
2y = 10 3x = 10 2y = 10 - 9
y = 
10
2
x = 10/3 2y = 1
y = 5 O par ordenado y = 1/2
Logo, o par ordenado (10/3, 0) é outra solução Outra solução de
(0, 5) é uma solução de de 3x + 2y = 10. 3x + 2y = 10: o par
3x + 2y = 10. ordenado (3, ½).
2) Determine três soluções para as equações:
a) 7x – 4y = 14
b) x – y = 2
c) x + y = 12
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Unidade I
d) x + y = 20
e) x – y = 10
3 eQuAçÕes do seGundo GrAu 
Denomina-se equação do 2° grau qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma 
ax2 + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a ≠ 0. Ainda, a, b e c são 
coeficientes da equação. Observe que o maior índice da incógnita na equação é igual a dois, e é isso que 
a define como uma equação do segundo grau.
Nosso objetivo neste tópico é fazer que você compreenda a linguagem algébrica na 
representação de situações que envolvem equações do segundo grau e as resolva em problemas 
contextualizados, além de recuperar estratégias aprendidas e usar formas mais adequadas de 
resolução.
3.1 equação e álgebra
A parte da Matemática que estuda equações e cálculos em que letras representam números é 
chamada álgebra. Os primeiros vestígios de cálculos efetuados com letras foram identificados com o 
matemático grego Diofanto de Alexandria (cerca de 250 d.C.). Porém, somente séculos depois, com o 
matemático francês François Viéte (1540–1603), a álgebra adquiriu uma forma própria, com a introdução 
da primeira notação algébrica sistematizada.
Equações completas do 2º grau
A equação tem a forma:
ax2 + bx + c = 0, 
com a, b e c ∈ R e a ≠ 0
Para a resolução de uma equação completa do 2º grau, aplicaremos a fórmula de Bhaskara. 
x
b b ac
a
=
− ± −2 4
2
Onde: b ac delta2 4− = =∆ ∆,
Exemplos:
Resolver as equações do 2º grau:
45
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MateMática e Bioestatística
a) x2 – 5x + 6 = 0
b) 3 (3x – 2) = (x + 4) (x – 4)
c) 2 1
3
3 2
2
2 2
6
x x x−
−
−
=
−
d) x( x + 5 ) = 2x + 28 
Exemplo de Aplicação
Resolver as equações do 2º grau a seguir:
1) 5x2 + 4 = 2 (x + 2) 
2) (x – 3)2 – (2x + 5)2 = - 16 
3) 4x2 = - 32x 
4) 9x2 – 36 = 0
5) (2x + 3)(2x – 3) = 135 
6) 3x2 – 75 = 0
7) x2 – x – 6 = 0 
8) (2x – 1) 2 = - 8(2x + 1)
9) (x+ 4) (x – 1) = 5x + 20 
10) x(x – 1) – 5 (x – 2) = 2
11) (x + 2) 2 - 2 5
3
3
x −
=
12) 
2
6 2
3 5x
x
x− = −( )
13) x x x x
−
−
−
= +
1
2
3
3
1
3
( )
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Unidade I
 Lembrete
Todos devemos desenvolver duas competências básicas: uma envolve 
leitura, interpretação, compreensão, além da capacidade de se expressar; a 
outra é resolver problemas. Nos problemas que envolvem o uso de equações 
ou sistemas de equações, é possível desenvolver as duas competências.
3.2 sistemas de equações do segundo grau
Resolver um sistema significa encontrar um par de números que satisfaça as duas equações 
simultaneamente. Vimos anteriormente em sistemas de equações do primeiro grau dois métodos de 
resolução: método da substituição de variável e método da adição. No sistema de equação do segundo 
grau, podemos usar os mesmos métodos já estudados.
A diferença entre um sistema de equação do segundo grau e um do primeiro é que é chamado de 
sistema de equação do segundo grau aquele que tem equação do segundo grau.
Exemplo: 
Resolvero sistema de equações:
xy
x y
=
+ =

40
13
Neste caso, não se consegue eliminar uma das incógnitas somando as equações. Usaremos, então, o 
método da substituição, apresentado anteriormente.
Começamos isolando y na equação (I):
( )
( )
I xy y
x
II x y
= → =
+ =



40
40
13
O valor de y é substituído na equação (II):
( )II x
x
x x
x x
+ =
+ =
− + =
40
13
40 13
13 40 0
2
2
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MateMática e Bioestatística
Resolvemos a equação obtida, que é de segundo grau:
x
x
x ou x
Obtidos os valores de x pr
=
± − −
=
±
= =
13 13 4 1 40
2 1
13 9
2
8 5
2( ) . .
.
, oocuramos os valores de y
Se x ent o y e y
Se x ent o y
.
,
,
= + = =
= + =
8 8 13 5
5 5
ã
ã 113 8ey =
Exemplo de Aplicação
1) Resolva os sistemas de equações do segundo grau:
a
x y
xy
b
x y
x y
c
x y
xy
d
x y
)
)
)
)
+ =
=

+ =
+ =

+ =
=

+
2
4 3
2 3 11
3
1
9 2
2 2
2
==
− =



27
232x y
4 rAZão e ProPorção
Razão é uma forma de realizar a comparação de duas grandezas; no entanto, para isso é necessário 
que as duas estejam na mesma unidade de medida. Proporção nada mais é que a igualdade entre duas 
razões. Porcentagem ou razão centesimal são razões cujo termo consequente é igual a 100, e a regra de 
três é um método de resolução de problemas que envolve grandezas proporcionais.
Nossos objetivos aqui são:
•	 interpretar	o	conceito	de	razão;
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Unidade I
•	 representar	matematicamente	a	razão	de	dois	números;
•	 resolver	problemas	envolvendo	razões;
•	 identificar	proporções	como	sendo	a	igualdade	de	duas	razões;
•	 ler	e	representar	uma	proporção;
•	 aplicar	a	propriedade	fundamental	das	proporções	na	resolução	de	problemas.
Antes de falarmos em razão e proporção, falaremos um pouco sobre estimativas. Você é bom para 
“adivinhar” tamanhos? Distâncias? Tempos? Da sua casa até a farmácia mais próxima, qual a distância? 
Cinquenta metros? Cem metros? Quinhentos metros?
O que é uma estimativa? De acordo com Marion Smoothey (1998), estimativa é palpite inteligente. É 
uma opinião pessoal bem razoável sobre alguma quantidade, uma aproximação. No popular, é o famoso 
“mais ou menos”. Em muitas situações do cotidiano, e mesmo em situações profissionais, se faz prático 
e necessário o exercício de estimar. Quando ouvimos que em certa manifestação esteve presente um 
determinado número de pessoas, não significa que foram contados os manifestantes. Nesse caso, é feita 
uma estimativa, ou seja, uma aproximação, levando-se em conta provavelmente a área ocupada pelos 
manifestantes no local, quantas pessoas podem, por exemplo, estar em um metro quadrado, e assim 
estimar qual seria o número de manifestantes na área total do local. Na verdade, estimar seria trabalhar 
com o coeficiente de proporcionalidade. 
A proporção é um recurso muito comum para calcularmos estimativas. 
Exemplo: 
Se três tartarugas ocupam uma determinada área e a área que queremos analisar possui cinquenta 
vezes a da amostra que estamos estudando, podemos supor – ou estimar – que temos 3 . 50, ou seja, 
150 tartarugas na área total. O que estabelecemos foi uma proporção entre o número de tartarugas na 
amostra e o número de tartarugas em toda a área que queremos estudar.
Outro exemplo: 
Se em quatro semanas sua família consome 8 quilos de arroz, quantos quilos consumirá em quinze 
semanas?
Podemos fazer a proporção: 8/4 = 2/1 = 2. Dessa forma, podemos considerar que se a proporção é 
a mesma, teremos (2/1) . 15 = 30 kg, ou seja, 8 está para 4 assim como x está para 15. Portanto, o valor 
de x é igual a 30 kg.
8/4 (razão) x/15 (razão) = (igualdade)
8/4 = x/15 (proporção)
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MateMática e Bioestatística
Podemos então dizer que a quantidade de arroz é proporcional ao número de semanas.
A palavra “razão” vem da palavra latina “ratio”, que quer dizer “rateio”, cujo significado é “divisão”. 
A igualdade entre duas razões recebe o nome de “proporção”. De acordo Souza (s.d.) e pela propriedade 
fundamental das proporções, temos:
“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. 
É o mesmo que divisão: quociente entre duas grandezas.
Exemplo: 
1
5
 significa 1 parte num total de 5 partes. É o mesmo que 1 dividido por 5, resultando 0,2 
(dois décimos).
E o que é grandeza?
Grandeza é tudo o que pode ser medido ou contado: comprimento, área, temperatura, massa, tempo, 
velocidade, quantias em dinheiro...
Muitas grandezas relacionam-se de forma especial. Observando a variação de uma delas, podemos 
prever a variação da outra.
4.1 razão de concentração – diluição
As concentrações de soluções muito diluídas são normalmente expressas em razão (divisão) de 
concentração. Então, quando uma razão de concentração 1:100 é empregada para designar uma 
concentração, pode-se interpretar:
•	 para sólidos em líquidos: 1 g de componente em 100 ml de solução ou preparação líquida;
•	 para líquidos em líquidos: 1 ml de componente em 100 ml de solução ou preparação líquida;
•	 para sólidos em sólidos: 1 g de componente em 100 g de mistura.
Se uma mistura com determinada porcentagem ou razão de concentração é diluída em duas vezes 
a sua quantidade original, seu ingrediente ativo estará contido em duas vezes mais partes do total e, 
portanto, sua concentração será reduzida à metade. Assim, se 50 ml de uma solução contendo 10 g de 
ativo com uma concentração de 20% ou 20/100 ou 1/5 ou 1:5 forem diluídos a 100 ml, duplicamos o 
volume inicial, mas reduzimos pela metade (10% ou 10/100 ou 1/10 ou 1:10) a concentração original 
de ativo.
Exemplo:
T3 diluição 1:100
50
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Unidade I
1:100 quer dizer que, a cada 100 partes dessa mistura, 1 dessas partes é T3 (hormônio tiroidiano) e 
99 são de solvente (excipiente).
Exemplo de Aplicação 
1) Represente a razão entre os números 3 e 4 de três formas diferentes.
Resposta: ¾, 3:4, 0,75
2) Num tanque de combustível há 5 litros de álcool e 30 litros de gasolina. Determine as razões das 
medidas:
a) Do álcool para a gasolina: 5/30 = 1/6
b) Da gasolina para a mistura: 30/35 = 6/7
c) Do álcool para a mistura: 5/35 = 1/7
4.2 Proporção
Sabendo que proporção é uma igualdade entre duas razões, temos:
Propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
a
b
c
d
b c a d= ⇔ =. .
Exemplo:
Tabela 1 
Peso de um produto químico (kg) Preço (em reais)
1 1,20
1,5 1,80
2 2,40
2,5 3,00
3 3,60
Há proporcionalidade direta entre o preço e o peso do produto químico?
Sim: 
1,20/1 = 1,80/1,5 = 2,40/2 = 3,00/2,5 = 3,60/3 = 1,20
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MateMática e Bioestatística
 Lembrete
Grandeza: algo que pode ser medido. Comprimento, temperatura, 
tempo, massa e área são exemplos de grandeza.
 saiba mais
Recomendamos a leitura do seguinte periódico: 
Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Rio Grandedo Sul: SBEM, [s.d].
4.3 Porcentagem
O estudo das porcentagens faz referência às frações centesimais, isto é, àquelas que possuem 
denominador com valor numérico igual a 100. As expressões 10%, 12%, 25%, 50%, 78% etc. são 
utilizadas em inúmeras situações cotidianas.
Nossos objetivos neste tópico são: 
•	 reconhecer	uma	razão	centesimal	como	uma	taxa	de	porcentagem;
•	 representar	na	forma	percentual	uma	razão	qualquer	e	fazer	a	leitura;
•	 resolver	problemas	envolvendo	o	cálculo	de	porcentagens;
•	 reconhecer	uma	razão	centesimal	como	uma	taxa	de	porcentagem;
•	 representar	na	forma	percentual	uma	razão	qualquer	e	fazer	a	leitura;
•	 resolver	problemas	envolvendo	o	cálculo	de	porcentagens.
A expressão “por cento” vem do latim “per centum” e quer dizer “por um cento”. 
Assim, quando escutamos uma afirmação como “Grande liquidação: 20 por cento de desconto em 
todos os artigos”, significa que teremos 20 reais de desconto para cada 100 reais do preço do artigo que 
compramos. 
Estabelecemos, então, a razão 20/100 e podemos afirmar que toda razão a/b na qual b = 100 chama-
se taxa de porcentagem.
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Unidade I
A expressão “por cento” aparece nas principais obras da aritmética de autores italianos do século XV. 
O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra “cento”, utilizada nas operações mercantis.
Se usarmos porcentagem, estamos na verdade estabelecendo proporções. O que estamos fazendo é 
apenas fixando a comparação por cem. Por exemplo, se dissermos que 75% (setenta e cinco por cento) 
das pessoas têm olhos castanhos, queremos dizer que em cada cem pessoas, setenta e cinco têm olhos 
castanhos. No caso de 800 pessoas, 600 terão olhos castanhos. A proporção 75% = 75/100 = 0,75 é o 
mesmo que ¾. Podemos dizer que três quartos das pessoas têm olhos castanhos.
Porcentagem e os cálculos relacionados a ela nos ajudam a entender e utilizar melhor muitas informações.
Como se verá a seguir, o símbolo % identifica-se com centésimos.
Exemplos:
a) 85% = 85/100 (lê-se: oitenta e cinco por cento).
b) 7% = 7/100 (lê-se: sete por cento).
c) 12% = 12/100 (lê-se: doze por cento).
d) 100% = 100/100, ou seja, 100% é a totalidade.
Exemplos de 100%:
a) Se uma classe tem 30 alunos, esses 30 alunos correspondem a 100% dos alunos da classe.
b) Se tenho R$ 80,00 na carteira, então R$ 80,00 correspondem a 100% do que tenho na carteira.
Exemplo de Aplicação
1) Escreva cada fração na forma de porcentagem:
a) 47/100 = 47%
b) 2/5 = 40%
c) 7/20 = 35%
d) 3/25 = 12%
2) Um vidro de geleia de morango contendo um peso líquido igual a 150 g contém 28% de açúcar.
a) O que significa a expressão 28% de açúcar?
28/100: significa que em cada 100 g de geleia há 28 g de açúcar.
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MateMática e Bioestatística
b) Qual o peso do açúcar contido nessa embalagem de geleia?
28% de 150 g = 42 g
3) Calcule:
a) 50% de 600 reais: 300 reais
b) 25% de 4000 reais: 1000 reais
c) 10% de 2800 reais: 280 reais
d) 20% de 2800 reais: 560 reais
e) 1% de 2800 reais: 28 reais
f) 100% de 350 gramas: 350 gramas
4.4 regra de três
É o cálculo ou processo matemático para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas. 
A regra de três é outra maneira de resolver situações-problema que envolvam grandezas proporcionais.
Exemplo:
Se uma injeção de insulina contém 100 unidades de insulina em cada mililitro, quantos mililitros 
devem ser injetados para que um paciente receba 40 unidades de insulina?
De três, temos:
100 unidades -------------- 1 mL
40 unidades -------------- x mL
100 . x = 40 . 1
100x = 40
X = 40/100
X = 0,4 mL de injeção de insulina
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Unidade I
Exemplo de Aplicação
1) O elixir pediátrico Digoxina (Lanoxina) contém 0,05 mg de digoxina em cada mililitro de elixir. 
Quantos miligramas de digoxina seriam administrados com uma dose de 0,6 mL?
0,05 mg digoxina ------- 1 mL
x mg ------ 0,6 mL
x . 1 = 0,05 . 0,6
x = 0,03 mg de digoxina
2) Em um estudo clínico, o fármaco triazolam provocou sonolência em 30 dos 1.500 pacientes 
testados. Quantos pacientes de uma determinada farmácia poderiam esperar efeitos semelhantes em 
uma contagem de 100 pacientes?
30 ------------ 1500 pacientes
X ------------- 100 pacientes
1500 . x = 30 . 100
1500 x = 3000
x = 3000/1500
x = 2 pacientes
3) Se 100 cápsulas contêm 500 mg de um ingrediente ativo, quantos miligramas do ingrediente 
estarão contidos em 48 cápsulas?
100 cápsulas ----------- 500 mg
48 cápsulas ----------- x
100 . x = 48 . 500
100 x = 24000
X = 24000/100
X = 240 mg
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MateMática e Bioestatística
4) Se um fluido intravenoso é ajustado para liberar 15 mg de um medicamento por hora a um 
paciente, quantos miligramas do medicamento são liberados por minuto?
Como o problema fala em hora e quer saber por minuto, devemos fazer a transformação de hora 
em minuto.
1 hora = 60 minutos
Por regra de três, temos:
15 mg ------------- 60 minutos
x ------------- 1 minuto
60 . x = 15 . 1
60x = 15
X = 15/60
X = 0,25 mg
5) Um frasco com 100 comprimidos de um fármaco custa ao farmacêutico R$ 42,00. Qual seria o 
custo de 24 comprimidos?
100 comprimidos ------- 42 reais
24 comprimidos ------- x
100 . x = 24 . 42
100x = 1008
X = 1008/100
X = 10,08 reais
4.4.1 Um pouco de razão
Em nosso dia a dia, é comum lermos expressões do tipo “em média duas a cada cinco mulheres 
sofrem de enxaqueca”. O que isso significa?
Significa que se observarmos:
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Unidade I
•	 5	mulheres,	2	delas	sofrem	de	enxaqueca;
•	 10	mulheres,	4	delas	sofrem	de	enxaqueca;
•	 50	mulheres,	20	delas	sofrem	de	enxaqueca;
•	 1.000	mulheres,	400	delas	sofrem	de	enxaqueca.
Por quê?
Quando lemos que “duas a cada cinco mulheres sofrem de enxaqueca”, estamos lendo a razão de 
mulheres que sofrem de enxaqueca (no caso, duas a cada cinco). Essa razão pode ser expressa pelo fator 
ou fração 2/5 (lê-se: dois quintos ou dois a cada cinco). 
Assim, se duas a cada cinco mulheres sofrem de enxaqueca, em 50 mulheres, quantas sofrem de 
enxaqueca?
Podemos fazer esse cálculo por “regra de três”: 
2 - 5
X - 50 . Ou seja, 5.X=2.50 → X = 100/5 = 20.
Conclusão: 20 a cada 50 mulheres sofrem de enxaqueca.
Esse resultado também pode ser obtido pela multiplicação do fator 2/5 por 50, ou seja, de 50 
mulheres, 20 sofrem de enxaqueca, pois 2
5
50 140x = (20 representam dois quintos de 50).
Ainda para esse exemplo – ou seja, duas a cada cinco mulheres sofrem de enxaqueca –, em 350 
mulheres, quantas sofrem de enxaqueca?
Podemos fazer esse cálculo por “regra de três”: 
2 - 5
X- 350 . Ou seja, 5.X=2.350 → X = 700/5 = 140.
Conclusão: 140 a cada 350 mulheres sofrem de enxaqueca.
Esse resultado também pode ser obtido pela multiplicação do fator 2/5 por 350, ou seja, de 350 
mulheres, 140 sofrem de enxaqueca, pois 
2
5
350 140x = (140 representam dois quintos de 350).
Exemplos – razões:1) Qual é a razão de dias de fim de semana em relação ao total de dias da semana?
Quantidade de dias de fim de semana: 2 (sábado e domingo).
Quantidade total de dias da semana: 7 (de segunda-feira a domingo).
Há 2 dias de fim de semana no total de 7 dias da semana.
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MateMática e Bioestatística
Ou seja, a razão de dias de fim de semana sobre o total de dias da semana é de 2 para 7 ou 2/7.
2) Quantos dias de fim de semana existem em um ano de 360 dias?
Vimos no exemplo anterior que a razão de dias de fim de semana em relação ao total de dias da 
semana é de 2 para 7 ou 2/7.
Por “regra de três”, temos: 
2 - 7
X- 360 . Ou seja, 7.X=2.360 → X = 720/7 = 103.
Logo, há aproximadamente 103 dias de fim de semana em um ano de 360 dias.
Ou, por multiplicação: para sabermos a quantidade de dias de fim de semana em um ano (em 360 
dias), devemos multiplicar o fator 2/7 por 360. Desse modo, em um ano de 360 dias há aproximadamente 
103 dias de fim de semana (sábados e domingos), pois 
2
7
360 103x = (103 são dois sétimos de 360).
3) Se um trabalhador tem 1 mês de férias por ano, qual é a razão de meses no ano que esse trabalhador 
goza de férias em relação ao total de meses do ano?
Quantidade de meses em férias: 1.
Quantidade total de meses em um ano: 12.
Por ano, o trabalhador tem 1 mês de férias no total de 12 meses, ou seja, a razão de meses no ano 
que o trabalhador goza de férias em relação ao total de meses do ano é de 1 para 12 ou 1/12.
4.4.2 Um pouco de porcentagem
Em nosso dia a dia é comum ouvirmos e lermos palavras e expressões como porcentagem, percentual, 
variação percentual... Essas expressões são usadas para indicar, por exemplo, o aumento ou a redução 
de preços, de taxas de juros, de desempenho escolar, da inflação, de vagas de empregos, da mortalidade 
infantil etc.
O símbolo que indica porcentagem ou percentual é %.
Podemos interpretar a porcentagem conforme os exemplos a seguir:
•	 3%	indicam	3	partes	a	cada	100	partes	(razão	de	3	para	100	ou	3/100);
•	 15%	indicam	15	partes	a	cada	100	partes	(razão	de	15	para	100	ou	15/100);
•	 50%	indicam	50	partes	a	cada	100	partes	(razão	de	50	para	100	ou	50/100);
•	 83%	indicam	83	partes	a	cada	100	partes	(razão	de	83	para	100	ou	83/100).
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Unidade I
Podemos visualizar as porcentagens conforme ilustrado nas figuras a seguir, nas quais cada parte é 
representada por um retângulo:
•	 3	retângulos	cinzas	em	100	retângulos	representam	3%	ou	3/100	ou	3	a	cada	100	ou	3	para	100:
XXXX XXXX XXXX
Figura 1 
Pela figura, podemos ver que 3% ou 3/100 é bem menos que a metade dos retângulos!
•	 15	retângulos	cinzas	em	100	retângulos	representam	15%	ou	15/100	ou	15	a	cada	100	ou	15	para	
100:
XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
Figura 2 
Pela figura, podemos ver que 15% ou 15/100 é menos que a metade dos retângulos!
•	 50	retângulos	cinzas	em	100	retângulos	representam	50%	ou	50/100	ou	50	a	cada	100	ou	50	para	100:
XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
XXXd XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
Figura 3 
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MateMática e Bioestatística
Pela figura, podemos ver que 50% ou 50/100 é exatamente a metade dos retângulos!
Se 50% é exatamente a metade do total, 50% também poderia ser representado como uma parte em 
duas partes (razão de 1 para 2 ou 1/2). A figura a seguir representa 1 retângulo cinza em 2 retângulos, 
ou seja, representa 50% ou 1/2 dos retângulos:
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Figura 4 
Se 50% é exatamente a metade do total, poderia ser interpretado como 50/100 ou 1/2 ou 12/24, ou 
também 400/800 ou 1.720/3.440 ou 64/128 ou 3.000/6.000 ou... qualquer número em relação ao dobro 
do seu valor, pois 50% representa a razão 1 para 2.
•	 83	retângulos	cinzas	em	um	total	de	100	retângulos	representam	83%	ou	83/100	dos	retângulos:
XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX
XXXX XXXX XXXX
Figura 5 
Pela figura, podemos ver que 83% ou 83/100 é mais do que a metade dos retângulos!
Podemos transformar porcentagens em fatores de multiplicação, como indicado a seguir:
•	 3%	correspondem	ao	fator	0,03	(ou	seja,	a	razão	3	para	100	ou	3/100=0,03);
•	 15%	correspondem	ao	fator	0,15	(ou	seja,	a	razão	15	para	100	ou	15/100=0,15);
•	 83%	correspondem	ao	fator	0,83	(ou	seja,	a	razão	83	para	100	ou	83/100=0,83);
•	 127%	correspondem	ao	fator	1,27	(ou	seja,	a	razão	127	para	100	ou	127/100=1,27).
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Unidade I
Ou seja, para transformarmos porcentagens em fatores de multiplicação, devemos dividir o valor 
(dado em %) por 100.
Podemos calcular porcentagens de números por regra de três, como indicado nos exemplos a seguir:
•	 3%	de	50	é	1,5	por	“regra	de	três”:	
50 - 100%
X- 3% → 100.X=3.50 → X=150/100=1,5;
•	 15%	de	80	são	12	por	regra	de	três:	
80 - 100%
X- 15% → 100.X=15.80 → X=1200/100=12;
•	 83%	de	200	são	166	por	regra	de	três:	
200 - 100%
X - 83% → 100.X=83.200 → X=16600/100=166;
•	 127%	de	45	são	57,15	por	regra	de	três:	
45 - 100%
X- 127% → 100.X=127.45 → X=5715/100=57,15.
Também podemos calcular porcentagens de números pela multiplicação por fatores, como indicado 
a seguir:
•	 3%	de	50	=	0,03x50	=	1,5	(onde	0,03	é	o	fator	de	multiplicação	ou	razão	3/100);
•	 15%	de	80	=	0,15x80	=	12	(onde	0,15	é	o	fator	de	multiplicação	ou	razão	15/100);
•	 83%	de	200	=	0,83x200	=	166	(onde	0,83	é	o	fator	de	multiplicação	ou	razão	83/100);
•	 127%	de	45	=	1,27x45	=	57,15	(onde	1,27	é	o	fator	de	multiplicação	ou	razão	127/100).
Ou seja, para calcularmos porcentagens de números, devemos multiplicar a porcentagem 
transformada em fator de multiplicação pelo número do qual queremos calcular a porcentagem.
Podemos calcular a taxa percentual, ou seja, o percentual de um número em relação a outro número, 
como indicado a seguir:
•	 6	em	12	=	
6
12
100 50⋅ =% % (ou seja, 6 é 50% de 12 ou 6 é a metade de 12);
•	 8	em	100	=	
8
100
100 8⋅ =% % (ou seja, 8 é 8% de 100);
•	 7	em	53	=	 7
53
100 13 2⋅ =% , % (ou seja, 7 é aproximadamente 13,2% de 53).
Isto é, para calcularmos a taxa percentual (o percentual de um número em relação a outro número), 
devemos dividir um número pelo outro e multiplicar o resultado por 100 (ou seja, por 100%).
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MateMáticae Bioestatística
Observação: também podemos calcular a taxa percentual por “regra de três”. Por exemplo, 6 em 12 
pode ser calculado pela seguinte “regra de três” ou razão: 
12 - 100%
6 - x
Assim, 12.X=6.100 → X = 600/12 = 50%
Exemplos – porcentagens e variações porcentuais:
1) Qual é a porcentagem de dias de fim de semana sobre o total de dias da semana?
Quantidade de dias de fim de semana: 2 (sábado e domingo).
Quantidade total de dias da semana: 7 (de segunda-feira a domingo).
Há 2 dias de final de semana no total de 7 dias (razão de 2 para 7 ou 2/7).
Por regra de três, temos: 
20 - 100 
x - 80 . Ou seja, 7.X=2.100 → X = 200/7 = 28,57%.
Também poderíamos dividir 2 por 7 (razão 2/7) e multiplicar o resultado por 100%: 
2
7
100 28 57⋅ =% , % .
Logo, do total de dias da semana, 28,57% são dias de fim de semana.
2) Se um trabalhador tem 1 mês de férias por ano, qual é porcentagem de meses no ano que esse 
trabalhador goza de férias?
Quantidade de meses em férias: 1.
Quantidade total de meses em um ano: 12.
Por ano, o trabalhador tem 1 mês de férias no total de 12 meses (razão de 1 para 12 ou 1/12).
Por regra de três, temos: 12 - 100% 
1 - X
. Ou seja, 12.X=1.100 → X = 100/12 = 8,33%.
Também poderíamos dividir 1 por 12 (razão 1/12) e multiplicar o resultado por 100: 
1
12
100 8 33⋅ =% , %.
Logo, do total de meses do ano, 8,33% são meses de férias.
3) Em época de liquidação, uma loja fornece desconto de 20% em uma calça que custava originalmente 
R$ 80,00. Qual o valor desse desconto em R$? Qual o valor a ser pago em R$?
Por regra de três, temos: 20 - 100 
x - 80
. Ou seja, 100.X=20.80 → X = 1600/100 = 16.
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Unidade I
Assim, o desconto é de R$ 16,00.
Poderíamos também pensar que o percentual 20% corresponde ao fator 20/100=0,2 (razão de 20 
para 100 ou 20/100=0,2). O valor do desconto é 0,2x80 = 16 (o desconto é de R$ 16,00).
O valor a ser pago é o valor original menos o desconto. Ou seja, 80-16=64.
Assim, com o desconto de R$ 16,00, o valor da calça passa a ser R$ 64,00.
4) Luiz Felipe comprou um carro por R$ 30.000,00. Atualmente, passados dois anos da data da 
compra, o carro sofreu desvalorização de 18%. Qual é o valor atual de mercado do carro que Luiz Felipe 
comprou há dois anos?
Por regra de três, temos: 18 - 100 
X - 30.000
. Ou seja, 100.X=18x30.000 → X = 540.000/100 = 5.400.
Isto é, 18% de R$ 30.000,00 são R$ 5.400,00.
Poderíamos também pensar que 18% correspondem ao fator 18/100 = 0,18 (razão de 18 para 100 
ou 18/100=0,18). Ou seja, 18% de R$ 30.000,00 são 0,18x30.000 = 5.400.
Verificamos que o carro perdeu R$ 5.400,00 do seu valor original. 
O valor atual de mercado é o valor original menos a desvalorização. Ou seja, 30.000-5.400=24.600.
Assim, com a desvalorização R$ 5.400,00, o valor atual de mercado do carro passou a ser R$ 24.600,00.
5) Carolina comprou um computador por R$ 1.500,00 e o vendeu com lucro de 30%. Qual foi o lucro 
(em R$) obtido por Carolina? Qual foi o valor de venda (em R$) do computador?
Por regra de três, temos: 30 - 100 
x - 1.500
. Ou seja, 100.X=30x1.500 → X = 45.000/100 = 450.
Isto é, 30% de R$ 1.500,00 são R$ 450,00.
Também poderíamos pensar que o percentual 30% corresponde ao fator 30/100=0,30 (razão de 30 
para 100 ou 30/100=0,3). O valor do lucro é 0,30x1.500 = 450. Ou seja, Carolina teve lucro de R$ 450,00 
com a venda do computador.
O valor de venda do computador é o valor de custo mais o lucro. Ou seja, 1.500+450=1.950.
Assim, com lucro de R$ 450,00, Carolina vendeu o computador por R$ 1.950,00.
6) Márcia gastou R$ 40,00 em materiais (lã e agulhas) para fazer dois cachecóis. Se ela os vendeu 
por R$ 70,00, qual foi o percentual de lucro?
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MateMática e Bioestatística
O custo para a confecção dos cachecóis foi de R$ 40,00.
O valor de venda foi de R$ 70,00.
O lucro obtido foi de R$ 30,00 (ou seja, o preço de venda subtraído do custo: 70-40=30).
Por regra de três, temos: 30 - 40 
X - 100
. Ou seja, 40.X=30x100 → X = 3.000/40 = 75%.
Ou poderíamos pensar que o lucro de R$ 30,00 em relação ao custo de R$ 40,00 representa 75% de 
lucro, pois 30
40
100 75⋅ =% % .
Logo, o percentual de lucro de Márcia foi de 75%.
7) Fábio obteve nota 2 na sua primeira prova de Matemática. Na segunda prova, obteve nota 6. Qual 
foi a variação percentual de suas notas da primeira para a segunda prova?
A nota de Fábio variou de 2 para 6 da primeira para a segunda prova, respectivamente. A nota 
triplicou!
Fábio aumentou a sua nota em 4 pontos (6-2=4) da primeira para a segunda prova, ou seja, houve 
aumento (variação) de 4 pontos da segunda nota em relação à primeira, que era 2.
Por regra de três, temos: 2 - 100% 
4 - X
. Ou seja, 2.X=4x100 → X = 400/2 = 200%.
Também podemos calcular a fração 
4
2
100 200⋅ =% %.
A nota de Fábio triplicou, ou seja, houve aumento de 200% nas suas notas.
8) Luiz obteve nota 7 na sua primeira prova de Matemática. Na segunda prova, obteve também nota 
7. Qual foi a variação percentual de suas notas da primeira para a segunda prova?
A nota de Luiz não variou (a primeira nota foi 7 e a segunda também foi 7), ou seja, houve variação 
de 0% na sua nota. Luiz teve variação nula de suas notas (7-7=0) da primeira para a segunda prova. 
9) Mariana obteve nota 9 na sua primeira prova de Matemática. Na segunda prova, obteve nota 10. 
Qual foi a variação percentual de suas notas da primeira para a segunda prova?
A nota de Mariana variou de 9 para 10 da primeira para a segunda prova, respectivamente; ou seja, 
quase não variou!
Ela aumentou a sua nota em 1 ponto (10-9=1) da primeira para a segunda prova, isto é, houve 
aumento (variação) de 1 ponto da segunda nota em relação à primeira, que era 9.
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Unidade I
Por regra de três, temos: 9 - 100%
1 - X
. Ou seja, 9.X=1x100 → X = 100/9 = 11%.
Também podemos calcular a fração 
1
9
100 11⋅ =% % .
Assim, um aumento de 1 ponto da segunda nota em relação à primeira nota (que era 9) corresponde 
a uma variação de 11% nas notas da Mariana. Embora ela tenha notas ótimas, houve aumento de 
apenas 11% nas suas notas.
10) Suponha que um salário mínimo de R$ 500,00 tenha correção (aumento) de 25%. O que isso 
significa? Quanto é 25% de R$ 500,00? Qual foi o acréscimo dado ao salário mínimo de R$ 500,00? 
Quanto vale o novo salário mínimo após a correção (aumento) de 25%?
Significado: 25% de aumento significa aumento de 25 a cada 100 (a cada R$ 100,00 há acréscimo 
de R$ 25,00).
Quanto é 25% de R$ 500,00?
Por regra de três, temos: 500 - 100%
X - 25%
. Ou seja, 100.X=500.25 → X = 12500/100 = 125.
Também poderíamos multiplicar R$ 500,00 pelo fator 0,25 (pois 25% é 25/100=0,25): 0,25x500=125.
Conclusão: 25% de R$ 500,00 é R$ 125,00.
Qual foi o acréscimo dado ao salário mínimo de R$ 500,00? Foi de R$ 125,00 (ou seja, 25% de R$ 
500,00).
Quanto vale o novo salário mínimo após a correção (aumento) de 25%?
Basta somarmos ao valor inicial de R$ 500,00 o acréscimo dado: R$ 500,00+R$ 125,00=R$ 625,00.
Conclusão: o salário mínimo final, com 25% de aumento, vale R$ 625,00.
Resumindo:
•	 25%	de	500	é	0,25x500,	ou	seja,	125.
•	 25%	de	aumento	em	um	salário	de	R$	500,00	significa	aumento	de	R$	125,00	no	salário.
•	 Se	um	salário	de	R$	500,00	recebe	aumento	de	25%,	esse	salário	passa	a	ser	R$	625,00.
11) Suponha que você queiracomprar um casaco de R$ 120,00 (preço de etiqueta). O vendedor 
informa que, se for feito pagamento à vista, haverá desconto de 10% sobre o preço de etiqueta.
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MateMática e Bioestatística
O que isso significa? Quanto é 10% de R$ 120,00? Qual será o desconto dado no valor do casaco 
para pagamento à vista? Qual será o valor pago pelo casaco no caso de pagamento à vista? 
Significado: 10% de desconto significa diminuição de “10 a cada 100” (a cada R$ 100,00 há 
decréscimo de R$ 10,00).
Quanto é 10% de R$ 120,00?
Por regra de três, temos: 120 - 100%
X - 10%
. Ou seja, 100.X=120.10 → X = 1200/100 = 12.
Também poderíamos multiplicar R$ 120,00 pelo fator 0,1 (pois 10% é 10/100=0,1): 0,1x120=12.
Conclusão: 10% de R$ 120,00 é R$ 12,00.
Qual será o desconto dado no valor do casaco para pagamento à vista?
O desconto dado no valor do casaco para pagamento à vista será de R$ 12,00.
Qual será o valor pago pelo casaco no caso de pagamento à vista?
Basta subtrairmos do valor de R$ 120,00 o desconto dado: R$ 120,00-R$ 12,00=R$ 108,00
Conclusão: o valor do casaco para pagamento à vista, com 10% de desconto, será de R$ 108,00.
Resumindo:
•	 10%	de	120	é	0,10x120,	ou	seja,	12.
•	 10%	de	desconto	em	um	valor	de	R$	120,00	significa	diminuição	de	R$	12,00.
•	 O	resultado	final	do	desconto	de	10%	em	120	é	120-12,	ou	seja,	108.
•	 Se	um	valor	de	R$	120,00	recebe	desconto	de	10%,	esse	valor	passa	a	ser	R$	108,00.
12) Suponha que em uma classe pré-escolar, com 20 alunos, 40% sejam meninos.
O que isso significa? Quanto é 40% de 20? Qual é o número de meninos na classe? Qual é o número 
de meninas na classe?
Significado: 40% de meninos significa que 40 a cada 100 alunos são meninos.
Quanto é 40% de 20?
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Unidade I
Por regra de três, temos: 20 - 100%
X - 40%
. Ou seja, 100.X=20.40 → X=800/100=8.
Também poderíamos multiplicar 20 pelo fator 0,4 (pois 40% é 40/100=0,4): 0,4x20=8.
Conclusão: 40% de 20 é 8.
Qual é o número de meninos na classe?
O número de meninos na classe é igual a 8 (que é 40% de 20).
Qual é o número de meninas na classe?
Basta subtrairmos do número total de alunos o número de meninos: 20-8=12.
Conclusão: há 12 meninas na classe.
Resumindo:
•	 40%	de	20	é	0,40x20,	ou	seja,	8.
•	 40%	de	meninos	em	uma	sala	de	20	alunos	significa	que	há	8	meninos	na	classe.
•	 Se	há	40%	de	meninos,	então	o	percentual	de	meninas	é	60%	(100%-40%=60%).	
•	 Logo,	há	12	meninas	na	classe.
13) Luísa quer comprar um carro usado e em bom estado. Encontrou o automóvel desejado na 
revendedora Car Jet pelo preço de tabela de R$ 23.000,00. O vendedor que a atendeu propôs as seguintes 
opções de pagamento:
Opção 1: pagamento à vista, com 12% de desconto em relação ao preço de tabela.
Opção 2: pagamento parcelado em 10 (dez) parcelas iguais de R$ 2.900,00.
a) Se Luísa optar por pagamento à vista, qual será o valor (em R$) do desconto?
Para pagamento à vista: 12% de desconto no valor tabelado de R$ 23.000,00.
Por regra de três, temos: 23.000 - 100%
 X - 12%
. Ou seja, 100.X=12x23.000 → X=276.000/100=2.760.
Também poderíamos multiplicar 23.000 pelo fator 0,12 (pois 12% é 12/100=0,12): 0,12x23.000=2.760.
Conclusão: o desconto para pagamento à vista será de R$ 2.760,00.
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MateMática e Bioestatística
b) Se Luísa optar por pagamento à vista, qual será o valor final (em R$) a ser pago?
Para pagamento à vista, o valor a ser pago será o valor de tabela subtraído do desconto de 12%, ou 
seja, 23.000-2.760=20.240.
Conclusão: o valor final para pagamento à vista (com desconto) será de R$ 20.240,00.
c) Se Luísa optar por pagamento parcelado, qual será o valor final (em R$) a ser pago?
Para pagamento parcelado: 10 parcelas de R$ 2.900,00 = 10x2.900 = 29.000,00.
Conclusão: o valor final para pagamento parcelado será de R$ 29.000,00.
d) Se Luísa optar por pagamento parcelado, qual será o acréscimo (em R$) em relação ao valor de 
tabela?
Para pagamento parcelado: o acréscimo em relação ao valor de tabela será o valor final para 
pagamento parcelado subtraído do valor de tabela = 29.000–23.000 = 6.000.
Conclusão: o acréscimo para pagamento parcelado em relação ao valor tabelado será de R$ 6.000,00.
e) Se Luísa optar por pagamento parcelado, qual será o percentual de acréscimo em relação ao valor 
de tabela?
O acréscimo para pagamento parcelado em relação ao valor tabelado será de R$ 6.000,00.
Por regra de três, temos: 23.000 - 100%
 6.000 - X
. Ou seja, 23.000.X=6.000x100 → X=600.000/23.000=26,1%.
Ou podemos calcular a fração 
6 000
23 000
100 26 1
.
.
% , %⋅ = .
Conclusão: o percentual de acréscimo para pagamento parcelado em relação ao valor tabelado será 
de 26,1%.
f) Se Luísa optar por pagamento parcelado, qual será o acréscimo (em R$) em relação ao valor a ser 
pago à vista com desconto?
Para pagamento parcelado: o acréscimo em relação ao valor final à vista (com desconto) 
será o valor final para pagamento parcelado subtraído do valor final à vista (com desconto) = 
29.000–20.240 = 8.760.
Conclusão: o acréscimo para pagamento parcelado em relação ao valor à vista (com desconto) será 
de R$ 8.760,00.
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Unidade I
g) Se Luísa optar por pagamento parcelado, qual será o percentual de acréscimo em relação ao valor 
a ser pago à vista com desconto?
O acréscimo para pagamento parcelado em relação ao valor final à vista (com desconto) será de 
R$ 8.760,00.
Por regra de três, temos: 20.240 - 100%
 8.760 - X
. Ou seja, 20.240.X=8.760x100 → X=876.000/20.240=43,3%.
Também podemos calcular a fração 
8 760
20 240
100 43 3
.
.
% , %⋅ = .
Conclusão: o percentual de acréscimo para pagamento parcelado em relação ao valor final à vista 
(com desconto) será de 43,3%.
14) Os gastos mensais de Ana podem ser resumidos em:
Aluguel e contas: R$ 1.350,00.
Lazer: R$ 530,00.
Transporte: R$ 460,00.
Quais são os percentuais representados por cada um dos itens que compõem os gastos mensais de 
Ana?
O total dos gastos mensais de Ana é a soma dos gastos com aluguel e contas, lazer e transporte:
1.350+530+460=2.340.
Logo, Ana gasta mensalmente R$ 2.340,00 com aluguel e contas, lazer e transporte.
Por regra de três, podemos calcular os percentuais representados por cada item em relação ao total 
de gastos mensais de Ana:
Aluguel e contas: 2.340 - 100%
1.350 - X
. Ou seja, 2.340.X=1.350.100 → X=135.000/2.340=57,7%.
Lazer: 2.340 - 100%
 530 - X
. Ou seja, 2.340.X=530.100 → X=53.000/2.340=22,6%.
Transporte: 2.340 - 100%
 460 - X
. Ou seja, 2.340.X=460.100 → X=46.000/2.340=19,7%.
Ou podemos calcular os percentuais representados por item em relação ao total de gastos mensais 
de Ana por razão:
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MateMática e Bioestatística
Aluguel e contas: 
1 350
2 340
100 57 7
.
.
% , %x =
Lazer: 530
2 340
100 22 6
.
% , %x =
Transporte: 
460
2 340
100 19 7
.
% , %x =
Podemos visualizar esses percentuais no gráfico a seguir.
Aluguel e contas
Transporte
Lazer57,7%
22,6%
19,7%
Figura 6 
Lembrandoque é comum usarmos os conceitos de razão, proporção, regra de três e porcentagem 
quando nos deparamos com gráficos e tabelas. Ao fazermos a sua análise, na maioria das vezes usamos 
esses conhecimentos para elaborarmos a sua interpretação.
15) Nos meses de janeiro e de fevereiro de 2009, Oscar teve de pagar os seguintes valores de contas 
de luz e de água:
Conta de luz:
Em janeiro de 2009: R$ 323,00
Em fevereiro de 2009: R$ 431,00
Conta de água:
Em janeiro de 2009: R$ 128,00
Em fevereiro de 2009: R$ 255,00
a) Qual foi o maior valor pago por Oscar?
Foi a conta de luz de fevereiro de 2009.
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Unidade I
b) Qual foi o menor valor pago por Oscar?
Foi a conta de água de janeiro de 2009.
c) Qual conta teve o maior aumento percentual de janeiro para fevereiro de 2009?
Foi a conta de água (seu valor quase duplicou nesse período!).
Podemos fazer os cálculos dos aumentos percentuais das contas de luz e de água de janeiro para 
fevereiro de 2009.
Conta de luz:
Foi de R$ 323,00 para R$ 431,00; logo, aumentou R$ 108,00 (431-323=108).
Percentual de aumento: 
108
323
100 33 4x % , %− .
A conta de luz variou (aumentou) R$ 108,00 de janeiro para fevereiro de 2009. Esse valor de R$ 
108,00 em relação ao valor de janeiro (que foi de R$ 323,00) representa 33,4% de aumento. 
Conta de água:
Foi de R$ 128,00 para R$ 255,00; logo, aumentou R$ 127,00 (255-128=127).
Percentual de aumento: 
127
128
100 99 2x % , %− .
A conta de água variou (aumentou) R$ 127,00 de janeiro para fevereiro de 2009. Esse 
valor de R$ 127,00 em relação ao valor de janeiro (que foi de R$ 128,00) representa 99,2% de 
aumento.
Observe o diagrama a seguir:
Luz Água
jan./09
fev./09
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Figura 7 
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MateMática e Bioestatística
O diagrama permite que seja avaliado o seguinte: na conta de água, a diferença de altura da coluna 
de fev./09 em relação à altura da coluna de jan./09 é maior que a diferença de altura da coluna de 
fev./09 em relação à altura da coluna de jan./09 para a conta de luz. Logo, a conta de água teve maior 
aumento percentual do que a conta de luz.
 Lembrete
Por meio de uma regra de três, podemos estabelecer a correspondência 
entre uma parcela do valor total e seu valor percentual.
 saiba mais
Indicamos o site: 
<www.matematica.br>. 
4.5 tabelas
A partir dos dados inseridos em uma tabela, podemos responder a perguntas:
•	 pela	leitura direta da própria tabela;
•	 por	análises ou cálculos feitos a partir dos dados da tabela.
Se tivermos de responder perguntas sobre o maior (ou o menor) valor de uma tabela, devemos ler 
esse valor na própria tabela. Caso as perguntas sejam sobre a maior (ou a menor) variação de valores e 
participações percentuais, devemos fazer análises ou cálculos a partir dos dados da tabela.
4.5.1 Notas de Matemática
A tabela a seguir mostra as notas de duas provas (N1 e N2) de três alunos (Fábio, Mariana e Luiz).
Tabela 2 
Nome do aluno Nota na 1ª prova (N1) Nota na 2ª prova (N2)
Fábio 2 6
Mariana 9 10
Luiz 7 7
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Unidade I
Qual é o maior valor da tabela?
Por leitura direta da tabela, o maior valor é 10 (nota da 2ª prova – N2 da Mariana).
Qual é o aluno com a maior variação de nota?
Por análise da tabela:
Fábio teve a maior variação de nota: passou de nota N1=2 para nota N2=6. Fábio triplicou a sua 
nota!
Observações:
Luiz não teve variação de nota (manteve nota 7 tanto na N1 como na N2).
Mariana passou de nota N1=9 para nota N2=10. Ela tem as maiores notas, porém a variação de suas 
notas foi bem menor que a variação das notas de Fábio.
Quais foram as variações percentuais das notas de Fábio, Mariana e Luiz?
Por cálculos feitos a partir da tabela:
Fábio: passou de nota N1=2 para nota N2=6 → Fábio triplicou a sua nota!
Variação na nota=6-2=4 (Fábio aumentou sua nota em 4 pontos da N1 para a N2).
Por regra de três, temos: 2 - 100%
4 - X
. Ou seja, 2.X=4x100 → X = 400/2 = 200%.
Também podemos calcular a fração 
4
2
100 200⋅ =% %.
A nota de Fábio triplicou, ou seja, houve aumento de 200% nas suas notas.
Mariana: passou de nota N1=9 para nota N2=10.
Variação na nota=10-9=1 (Mariana aumentou sua nota em 1 ponto da N1 para a N2).
Por regra de três, temos: 9 - 100%
1 - X
. Ou seja, 9.X=1x100 → X = 100/9 = 11%.
Também podemos calcular a fração 
1
9
100 11⋅ =% % .
A nota da Mariana aumentou 11% da 1ª prova para a 2ª prova.
Luiz: passou de nota N1=7 para nota N2=7.
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MateMática e Bioestatística
Variação na nota=7-7=0 (Luiz não alterou sua nota da N1 para a N2).
A nota de Luiz não sofreu variação da 1ª prova para a 2ª prova (variação de 0%).
Conclusões:
Mariana é a aluna com as maiores notas, mas não com a maior variação de nota.
Fábio é o aluno com as menores notas, mas com a maior variação de nota.
Luiz é o aluno com a menor variação de nota (teve notas idênticas na N1 e na N2).
4.5.2 Número de hosts
A tabela a seguir mostra a evolução do número de hosts (computadores conectados à internet) nos 
três países que lideram o setor na América do Sul.
Tabela 3 
País 2003 2004 2005 2006 2007
Brasil 2.237.527 3.163.349 3.934.577 5.094.730 7.422.440
Argentina 495.920 742.358 1.050.639 1.464.719 1.837.050
Colômbia 55.626 115.158 324.889 440.585 721.114
Qual é o maior valor da tabela?
Por leitura direta, o maior valor é 7.422.440 (número de hosts no Brasil em 2007).
Qual é o menor valor da tabela?
Por leitura direta, o menor valor é 55.626 (número de hosts na Colômbia em 2003).
Qual é o país com maior crescimento percentual no número de hosts de 2003 a 2007?
Por análise feita a partir da tabela, foi a Colômbia.
De 55.626 hosts em 2003 para 721.114 em 2007. Em 2007, o número de hosts na Colômbia era quase 
13 vezes o valor de 2003, pois 
721 114
55 626
13
.
.
≅ .
Qual é o país com menor crescimento percentual no número de hosts de 2003 a 2007?
Por análise feita a partir da tabela, foi o Brasil.
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Unidade I
De 2.237.527 hosts em 2003 para 7.422.440 em 2007. Em 2007, o número de hosts no Brasil era 
quase 3 vezes o valor de 2003, pois 
7 422 440
2 237 527
3
. .
. .
≅ .
Quais foram os crescimentos percentuais nos números de hosts de 2003 a 2007 no Brasil, na Colômbia 
e na Argentina?
Por cálculos feitos a partir da tabela:
Brasil: passou de 2.237.527 hosts em 2003 para 7.422.440 em 2007.
A variação no número de hosts no Brasil foi 7.422.440 - 2.237.527 = 5.184.913 de 2003 a 2007.
Por regra de três, temos: 2.237.527 - 100%
5.184.913 - X
. Ou seja, 2.237.527.X=5.184.913x100 → X=232%.
Ou podemos calcular a fração 
5 184 913
2 237 527
100 232
. .
. .
% %⋅ = .
O número de hosts no Brasil aumentou 232% de 2003 a 2007!
Colômbia: passou de 55.626 hosts em 2003 para 721.114 em 2007.
A variação no número de hosts na Colômbia foi 721.114 - 55.626 = 665.488 de 2003 a 2007.
Por regra de três, temos: 55.626 - 100%
665.488 - X
. Ou seja, 55.626.X=665.488x100→ X=1196%.
Também podemos calcular a fração 
665.488
55.626
⋅ =100 1196% %.
O número de hosts na Colômbia aumentou 1196% de 2003 a 2007!
Argentina: passou de 495.920 hosts em 2003 para 1.837.050 em 2007.
A variação no número de hosts na Argentina foi 1.837.050 - 495.920 = 1.341.130 de 2003 a 2007.
Por regra de três, temos: 495.920 - 100%
1.341.130 - X
. Ou seja, 495.920.X=1.341.130x100 → X=270%.
Ou podemos calcular a fração 
1.341.130
495.920
⋅ =100 270% % .
O número de hosts na Argentina aumentou 270% de 2003 a 2007!
4.5.3 Tabela com dupla entrada (esporte e gênero)
A tabela a seguir mostra o número de alunos matriculados na academia Boa Forma Já em três 
modalidades de esportes (natação, musculação e pilates).
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MateMática e Bioestatística
Tabela 4 
Gênero
Modalidade
Natação Musculação Pilates Total
Masculino 43 47 20 110
Feminino 25 30 35 90
Total 68 77 55 200
•	 Total	de	alunos	matriculados	nas	três	modalidades	na	academia:	200	alunos.
•	 Total	de	alunos	do	sexo	masculino	matriculados	na	academia:	110	alunos.
•	 Total	de	alunos	do	sexo	feminino	matriculados	na	academia:	90	alunas.
•	 Percentual	de	alunos	do	sexo	masculino	matriculados	na	academia:	
110
200
× =100 55% .
•	 Percentual	de	alunas	do	sexo	feminino	matriculadas	na	academia:	
90
200
× =100 45% .
•	 Percentual	de	alunos	matriculados	em	natação	na	academia:	 68
200
× =100 34% .
•	 Percentual	de	alunos	matriculados	em	musculação	na	academia:	
77
200
× =100 38 5, % .
•	 Percentual	de	alunos	matriculados	em	pilates	na	academia:	 55
200
× =100 27 5, % .
•	 Percentual	de	alunos	do	 sexo	masculino	que	praticam	natação	em	relação	ao	 total	de	alunos	
matriculados na modalidade natação: 43
68
× =100 63% .
•	 Percentual	 de	 alunos	 do	 sexo	 feminino	 que	 praticam	 natação	 em	 relação	 ao	 total	 de	 alunos	
matriculados na modalidade natação: 
25
68
× =100 37% .
•	 Percentual	de	alunos	do	sexo	masculino	que	praticam	musculação	em	relação	ao	total	de	alunos	
matriculados na modalidade musculação: 
47
77
× =100 61% .
•	 Percentual	de	alunos	do	sexo	feminino	que	praticam	musculação	em	relação	ao	total	de	alunos	
matriculados na modalidade musculação: 30
77
× =100 39% .
•	 Percentual	 de	 alunos	 do	 sexo	masculino	 que	 praticam	 pilates	 em	 relação	 ao	 total	 de	 alunos	
matriculados na modalidade pilates: 20
55
× =100 36% .
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Unidade I
•	 Percentual	 de	 alunos	 do	 sexo	 feminino	 que	 praticam	 pilates	 em	 relação	 ao	 total	 de	 alunos	
matriculados na modalidade pilates: 
35
55
× =100 64% .
Algumas conclusões:
•	 A	maioria	dos	alunos	da	academia	Boa	Forma	Já	é	do	sexo	masculino	(55%).
•	 Musculação	é	a	modalidade	com	maior	percentual	de	alunos	na	academia	(38,5%).
•	 A	maioria	dos	alunos	que	praticam	natação	é	do	sexo	masculino	(63%).
•	 A	maioria	dos	alunos	que	praticam	musculação	é	do	sexo	masculino	(61%).
•	 A	maioria	dos	alunos	que	praticam	pilates	é	do	sexo	feminino	(64%).
Veja a seguir mais um exemplo, referente à população mundial e à emissão de CO2. Considere as tabelas 5, 
que indica a população mundial (em milhões), e 6, que mostra a emissão de CO2 per capita/ano.
Tabela 5 – População mundial
Continentes População (milhões)
África 783,7
América Central 69,3
América do Norte 408,4
América do Sul 345,5
Ásia 3.678
Europa 745,5
Oceania 30
Mundo 6.060,4
Fonte: PORTAL BRASIL (s.d.). 
Tabela 6 – Emissão de CO2 per capita por ano
Continentes Emissão de CO2 per capita por ano (ton)
África 1,1
América Central 3,6
América do Norte 19,9
América do Sul 2,4
Ásia 2,3
Europa 8,5
Oceania 11,3
Mundo 49,1
Fonte: PORTAL BRASIL (s.d.). 
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MateMática e Bioestatística
Observe o percentual da população de cada continente em relação à população mundial (cálculos 
feitos a partir da tabela 5):
•	 População	mundial:	6.060,4	milhões	(aproximadamente	6	bilhões	de	pessoas).
•	 África:	
783 7
6 060 4
100 12 93
,
. ,
, %× =
•	 América	Central:	 69 3
6 060 4
100 114
,
. ,
, %× =
•	 América	do	Norte:	 408 4
6 060 4
100 6 74
,
. ,
, %× =
•	 América	do	Sul:	
345 5
6 060 4
100 5 70
,
. ,
, %× =
•	 Ásia:	 3 678
6 060 4
100 60 69
.
. ,
, %× =
•	 Europa:	 745 5
6 060 4
100 12 30
,
. ,
, %× =
•	 Oceania:	 30
6 060 4
100 0 50
. ,
, %× =
Quase 61% da população mundial encontra-se na Ásia!
Agora observe a emissão de CO2 em cada continente/ano (cálculos feitos a partir das tabelas 5 e 6). 
Para calcularmos a emissão anual em cada continente, precisamos multiplicar a emissão per capita pela 
respectiva população:
•	 África:	1,1	x	783,7=862,07	milhões	de	toneladas	de	CO2/ano.
•	 América	Central:	3,6	x	69,3=249,48	milhões	de	toneladas	de	CO2/ano.
•	 América	do	Norte:	19,9	x	408,4=8.127,16	milhões	de	toneladas	de	CO2/ano.
•	 América	do	Sul:	2,4	x	345,5=829,2	milhões	de	toneladas	de	CO2/ano.
•	 Ásia:	2,3	x	3.678=8.459,4	milhões	de	toneladas	de	CO2/ano.
•	 Europa:	8,5	x	745,5=6.336,75	milhões	de	toneladas	de	CO2/ano.
•	 Oceania:	11,3	x	30=	339	milhões	de	toneladas	de	CO2/ano.
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Unidade I
Veja também estas tabelas:
Tabela 7 – Emissão de CO2 per capita por ano em ordem decrescente
Continentes Emissão de CO2 per capita por ano (t)
América do Norte 19,9
Oceania 11,3
Europa 8,5
América Central 3,6
América do Sul 2,4
Ásia 2,3
África 1,1
Tabela 8 – Emissão de CO2 em cada continente/ano em ordem decrescente
Continentes Emissão de CO2 em cada continente (em milhões de t)
Ásia 8.459,4
América do Norte 8.127,16
Europa 6.336,75
África 862,07
América do Sul 829,2
Oceania 339
América Central 249,48
A partir das tabelas, verificamos que:
•	 Maior	emissão	anual	de	CO2 per capita: 19,9 t (América do Norte).
•	 Menor	emissão	anual	de	CO2 per capita: 1,1 t (África).
•	 Maior	emissão	anual	de	CO2 (por continente): 8.459,4 milhões de t (Ásia).
•	 Menor	emissão	anual	de	CO2 (por continente): 249,48 milhões de t (América Central).
 observação
Embora a América do Norte seja o continente com maior emissão anual 
de CO2 per capita, a maior emissão anual absoluta de CO2 ocorre na Ásia 
(em virtude da sua maior população).
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MateMática e Bioestatística
 saiba mais
Para saber mais sobre o tema, acesse o site: 
<www.brasilescola.com/matematica>
 observação
1 – Resolver uma equação é determinar o seu conjunto solução.
2 – Equações com uma incógnita são aquelas que possuem uma única 
variável, e equações com duas incógnitas são aquelas que possuem duas 
variáveis.
 resumo
Nesta unidade, procuramos abordar de forma clara e simples os conceitos 
básicos da Matemática. Esses conceitos são de extrema importância, pois, 
quando não estabelecemos uma sequência lógica dos acontecimentos, 
não conseguimos chegar a um resultado viável. Para tanto, iniciamos 
com uma revisão sobre critérios de arredondamento e prioridades nas 
operações, porque sabemos que é precisoestabelecer uma ordem quando 
vamos resolver algum tipo de problema matemático; caso contrário, não 
conseguiremos chegar ao resultado pretendido. Em seguida, abordamos 
um tema muito polêmico na iniciação matemática, que é a potenciação. A 
potenciação não significa apenas multiplicar fatores iguais: temos de levar 
em consideração também as suas propriedades. Terminamos esse item 
falando um pouco sobre potências de base dez e notação científica. 
Após trabalharmos esses conteúdos, introduzimos o conceito de 
equações do primeiro e segundo grau. Lembramos que resolver uma 
equação é determinar o valor da variável; portanto, além de reconhecermos 
o grau da equação, devemos encontrar o valor que, substituído na variável 
ou incógnita, faz que ela se torne verdadeira. Trabalhamos também com 
sistemas de equações, nos quais foram abordados os dois métodos de 
resolução: o da substituição de variável e o da adição. 
Encerramos a nossa unidade com o conceito de razão e proporção; 
pois, como sabemos, uma proporção é uma igualdade entre duas razões e, 
80
Re
vi
sã
o:
 N
om
e 
do
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vi
so
r -
 D
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gr
am
aç
ão
: N
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 d
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gr
am
ad
or
 -
 d
at
a
Unidade I
na maioria das vezes, para resolvermos um problema qualquer acabamos 
tendo de aplicar esses conceitos tão importantes em qualquer área para 
chegarmos, na maioria das vezes, a um resultado geralmente utilizando 
valores percentuais. Esperamos que este material tenha contribuído em 
parte para um maior aprimoramento dos conceitos matemáticos, tão 
importantes para qualquer sequência matemática que tenhamos de 
desenvolver nas mais diversas situações práticas.
 exercícios
Questão 1. “De quantos modos se pode pintar as faces de um cubo, usando seis cores diferentes, 
sendo cada face com uma cor?” (Prof. Benedito Tadeu V. Freire).
A) 4.
B) 6.
C) 12.
D) 24.
E) 30.
Resposta correta: alternativa E.
Análise das alternativas
Justificativa Geral: para facilitar o entendimento, suponhamos que o cubo esteja pendurado pelos 4 
vértices de uma mesma face, de modo que duas de suas faces fiquem horizontais, e consideremos um 
observador fixo, em frente a uma de suas faces verticais, conforme mostra a figura abaixo.
A B
CD
FE
G
Figura 8
81
Re
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a
MateMática e Bioestatística
Vejamos, inicialmente, de quantos modos diferentes o observador pode ver o cubo pintado. Para 
pintar a face superior há seis escolhas de cores; para a face inferior, 5; e para as verticais, respectivamente, 
4, 3, 2 e 1 escolhas. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, o observador pode ver o cubo pintado de:
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 modos diferentes.
Entretanto, o número de modos de pintar o cubo nas condições do problema, isto é, sendo cada face 
com uma cor, não é 6!, pois, como veremos a seguir, o observador pode ver de 24 maneiras diferentes 
uma mesma pintura do cubo.
De fato, suponhamos que o cubo tenha sido pintado de uma determinada maneira e que a face 
AEFB, voltada para o observador, esteja pintada de azul. Este pode ver a face do cubo pintada de azul 
de 4 modos diferentes; basta notar que o mesmo pode ser pendurado pelos vértices ABCD, BCGF, GFEH 
e AEHD (o vértice H não é visível na figura, mas é fácil de imaginar onde se encontra); e que, em cada 
uma dessas posições, a face AEFB (pintada de azul) permanece voltada para o observador.
Fazendo igual raciocínio para as 6 faces, segue-se, pelo Princípio Multiplicativo, que o observador 
pode ver a mesma pintura do cubo de:
6 x 4 = 24 modos diferentes.
Seja, então, x o número de pinturas distintas do cubo nas condições exigidas, isto é, sendo cada face 
com uma cor. Como cada pintura pode ser vista de 24 modos diferentes pelo observador, as x pinturas 
podem ser vistas de x 24 modos diferentes. Porém, como vimos no início, esse número é 6!. Logo,
x . 24 = 6! e, portanto, x=
6
24
30
!
= .
Questão 2. Observando as curvas de distribuição normal da figura abaixo, assinale a alternativa que 
apresenta uma afirmação incorreta.
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
–5 –4 –3 –2 –1
d
c
b
a
µ = 0, σ2 = 0,2 a
µ = 0, σ2 = 1,0 b
µ = 0, σ2 = 5,0 c
µ = –2, σ2 = 0,2 d
0 1 2 3 4 5
Figura 9
82
Re
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at
a
Unidade I
A) As curvas de distribuição normal referentes às figuras a, b e c são de distribuição normal 
padronizada.
B) A curva a tem desvio-padrão no valor aproximado de 0,45.
C) As dispersões das distribuições a, b e c mudaram porque as variâncias mudaram.
D) A probabilidade de escolher um valor superior a 1,27 na curva b é de 0,102.
E) A probabilidade de escolher um valor entre 0 e -2,43 na curva b é de 0,4925.
Resolução desta questão na plataforma.
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